matemática ppt - números complexos
TRANSCRIPT
![Page 1: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/1.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Δ (b2 - 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos
deparamos com um valor negativo (Δ < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (R). A partir daí, vários
matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro
conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.
Números Complexos
Esquematicamente, temos: R C
![Page 2: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/2.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
► Números ComplexosNúmeros Complexos► Chama-se conjunto dos números complexos, Chama-se conjunto dos números complexos,
e representa-se por e representa-se por CC, o conjunto de pares , o conjunto de pares ordenados, ou seja:ordenados, ou seja:
► z = (x,y)z = (x,y)onde x pertence a onde x pertence a RR e y pertence a e y pertence a RR..
► z= x + y.i (z= x + y.i (forma algébricaforma algébrica) , ) , em que i em que i = √-1= √-1
► e z = (x,y) e z = (x,y) AfixoAfixo
![Page 3: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/3.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
► Exemplos:Exemplos: A A (5,3) = 5+3i(5,3) = 5+3i(2,1) = 2+i(2,1) = 2+i(-1,3) = -1+3i ...(-1,3) = -1+3i ...
Dessa forma, todo o números complexo Dessa forma, todo o números complexo z = z = (x,y)(x,y) pode ser escrito na forma pode ser escrito na forma z = x + y.iz = x + y.i, , conhecido como forma algébrica, onde conhecido como forma algébrica, onde temos: temos:
► x = Re(z)x = Re(z), parte real de z, parte real de zy.i = Im(z)y.i = Im(z), parte imaginária de z, parte imaginária de z
x
y
5
3 A
![Page 4: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/4.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
►Igualdade entre números Igualdade entre números complexoscomplexos
Dois números complexos são iguais Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se za parte imaginária. Assim, se z11 = a+bi = a+bi e ze z22 = c+di, temos que: = c+di, temos que:
►zz11 = z = z22 ↔↔ a = c e b = da = c e b = d
![Page 5: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/5.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
►Adição de números complexosAdição de números complexos
Para somarmos dois números Para somarmos dois números complexos basta somarmos, complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se imaginárias desses números. Assim, se zz11 = = aa++bbi e zi e z22 = = cc++ddi, temos que:i, temos que:
►zz11 + z + z22 = ( = (a+ca+c) + () + (b+db+d)i)i
![Page 6: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/6.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
►Subtração de números complexosSubtração de números complexos
Para subtrairmos dois números Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se imaginárias desses números. Assim, se zz11 = = aa++bbi e zi e z22 = = cc++ddi, temos que:i, temos que:
►zz11 – z – z22 = ( = (a-ca-c) + () + (b-db-d)i)i
![Page 7: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/7.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
Multiplicação de números complexosMultiplicação de números complexos
► Para multiplicarmos dois números complexos Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a distributiva dos dois basta efetuarmos a distributiva dos dois binômios, observando os valores das potência binômios, observando os valores das potência de de ii. Assim, se z. Assim, se z11 = a+bi e z = a+bi e z22= c+di, temos = c+di, temos que:que:
► zz11 .z .z2 2 = a.c + adi + bci + bdi= a.c + adi + bci + bdi22
zz11 .z .z22 = a.c + bdi = a.c + bdi22 = adi + bci = adi + bcizz11 .z .z2 2 = (ac - bd) + (ad + bc)i= (ac - bd) + (ad + bc)iObservar que : iObservar que : i22= -1= -1
![Page 8: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/8.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
z1= 2 w1 = i.z1 = 2i
z2 = 5 w2 = i.z2 = 5i
z3 = 6 + 2i w3 = 2i.z3 = 12i + 4i2 = - 4 + 12i
2
5
12
-4
3
4
62
4.3
2
.
hbA
![Page 9: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/9.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
►Conjugado de um número complexoConjugado de um número complexoDado z = a + bi, define-se como Dado z = a + bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z ) conjugado de z (representa-se por z ) → → z z = a - bi= a - bi
Exemplo:Exemplo:z= 3 - 5i z= 3 - 5i →→ z = 3 + 5i z = 3 + 5iz = 7i z = 7i →→ z = - 7iz = - 7iz = 3 z = 3 →→ z = 3 z = 3
![Page 10: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/10.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
► Divisão de números complexosDivisão de números complexosPara dividirmos dois números complexos Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador pelo conjugado do denominador. denominador.
► Assim, se zAssim, se z11= a + bi e z= a + bi e z22= c + di, temos = c + di, temos que:que:zz11 / z / z22 = [z = [z11 .z .z22 ] / [z ] / [z22 .z .z22 ] = ] =
[ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ][ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
![Page 11: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/11.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
41
84147
21
21.
21
47
ii
i
i
i
iz
ii
z 235
1015
Gabarito: B
04.
![Page 12: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/12.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
22
2
4
242
2
2.
2
2
2
2
i
iii
i
i
i
i
i
i
Se a parte imaginária é zero, então - 4=0 = 4Se a parte imaginária é zero, então - 4=0 = 4
05. FUVEST
ii
4
4
4
22
4
)4()22(222
![Page 13: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/13.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
► Potências de iPotências de i
Se, por definição, temos que i = Se, por definição, temos que i = √-1√-1, então:, então:
ii00 = 1 = 1ii11 = i = iii22 = -1 = -1ii33 = i = i22 .i = -1.i = -i .i = -1.i = -iii44 = i = i22 .i .i22 = -1.-1=1 = -1.-1=1ii55 = i = i44 .1= 1.i = i .1= 1.i = iii66 = i = i55 .i = i.i = i .i = i.i = i22 = -1 = -1ii77 = i = i66 .i = (-1).i = -i ...... .i = (-1).i = -i ......
Soma = 0
![Page 14: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/14.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
►Observamos que no desenvolvimento Observamos que no desenvolvimento de ide inn ( (nn pertencente a pertencente a NN, de modo que , de modo que
os valores se repetem de os valores se repetem de 44 em em 44 unidades. Desta forma, para unidades. Desta forma, para
calcularmos icalcularmos inn basta calcularmos basta calcularmos iirr onde onde rr é o resto da divisão de é o resto da divisão de nn por por 44..
Exemplo:Exemplo:ii6363 → → 63 / 4 dá resto 3, logo i63 / 4 dá resto 3, logo i6363 = i = i33= -i= -i
![Page 15: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/15.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
02. Obtenha02. Obtenha
a) ia) i20072007 + i + i20092009 + i + i1006 1006 + i+ i1008 1008 ==
ii3 3 + i+ i11+ i+ i2 2 + i+ i00 = =
- i + i – 1 + 1 = - i + i – 1 + 1 = 00
b)b)
18
5
6518765 1)1(...n
n iiiiiiiii
12 parcelas têm soma zero
![Page 16: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/16.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
► Módulo de um número complexoMódulo de um número complexoDado z = a+bi, chama-se módulo de z Dado z = a+bi, chama-se módulo de z | z || z | = √(a= √(a22 + b + b22 ), conhecido como ), conhecido como ρρ
Interpretação geométricaInterpretação geométricaComo dissemos anteriormente, a Como dissemos anteriormente, a interpretação geométrica dos números interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira= a+bi da seguinte maneira
![Page 17: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/17.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
Forma GeométricaForma Geométrica
![Page 18: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/18.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
![Page 19: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/19.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
Da interpretação geométrica, Da interpretação geométrica, temos que:temos que:
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
z = z = ρρ.(cos .(cos өө + i. sen + i. sen өө))
![Page 20: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/20.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
Possibilidades de se trabalhar com Possibilidades de se trabalhar com números complexos:números complexos:
Forma
algébricaAfixo
Forma
geométrica
Forma
trigonométrica
![Page 21: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/21.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
Operações na forma trigonométricaOperações na forma trigonométrica
a) Multiplicação
b) Divisão
![Page 22: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/22.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
Potenciação
Radiciação
![Page 23: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/23.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
Exercícios ResolvidosExercícios Resolvidos
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2iDetermine x e y de modo que z1 + z2 = 0Temos que:z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0logo, é preciso que:2x+1 - y =0 e y+2 = 0Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
![Page 24: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/24.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puroEfetuando a multiplicação, temos que: z = x + (x+2)i + 2i2z= (x-2) + (x+2)iPara z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
![Page 25: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/25.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)? Efetuando a divisão, temos que:z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
![Page 26: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/26.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x? Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2Em decorrência, x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 3620 = -4x + 404x = 20, logo x=5
![Page 27: Matemática PPT - Números Complexos](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050700/55296b594a7959c2158b4740/html5/thumbnails/27.jpg)
professor Dejahyr Lopes Junior
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / iEfetuando-se a divisão, temos: z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - iPara a forma trigonométrica, temos que: r = (1 + 1)1/2 = 21/2sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2 Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315ºLembrando que a forma trigonométrica é dada por: z = r(cos t + i sen t), temos que:z = 21/2 ( cos 315º + i sen 315º )