MATEMATICA O ARTE?MATEMATICA O ARTE?

Gruppo 3

Le Permutazioni• Permutare n oggetti significa cambiare

l’ordine in cui tali oggetti sono disposti.

1234

3214

Definizione di gruppo• In generale si dice gruppo

un insieme dotato di un’operazione che gode delle seguenti proprietà

• ASSOCIATIVA

• IDENTITA’

• INVERSO

• Anche le permutazioni sono un Gruppo

• 1234 1234

• 1234 4321

Simmetrie di figure geometriche

• Classificazioni delle isometrie del piano. (Chasles, 1831)

• Riflessioni (o ribaltamenti);

• Rotazioni;

• Traslazioni;

• Glissoriflessioni.

Simmetrie dei triangoli e quadrati

Che cos’è un reticolo?

• Un reticolo è un insieme di punti del piano (o dello spazio) “indotto” dal gruppo generato da due traslazioni associate a vettori indipendenti.

Classificazione dei reticoli piani

• Le simmetrie di un reticolo piano dipendono dalla forma del parallelogramma di base, o cella elementare.

Sistemi regolari di punti

E’ un insieme di punti ottenuto ripetendo uno stesso insieme di punti lungo i filari di un reticolo ad intervalli uguali al periodo di identità del filare. Esempi sono le tassellazioni o tappezzerie nel piano e cristalli nello spazio.

I Fregi

• Sono un gruppo di isometrie che contiene solo una:

• Traslazione;

• Rotazioni;

• Riflessioni.

• In totale sono 7.

Esempio di fregio

Tassellazioni nel piano

• I gruppi associati agli insiemi delle simmetrie delle tassellazioni sono 17.

• Un tipo di tassellazioni che permette di coprire il piano sono le tassellazioni di Penrose che non contengono simmetrie al loro interno.

TassellazioneTassellazione di Penrosedi Penrose

Applicazione nell’arte: Escher

Isometrie nello spazio

• Riflessioni rispetto a un piano;• Rotazioni;• Traslazioni;• Glissoriflessioni;• Glissorotazioni;• Riflessioni rotatorie.• I gruppi associati a queste simmetrie sono 230

Il tetraedro

Ha esattamente 24 simmetrie

E ci sono 4 rotazioni di 120°,

4 di 240°, 3 rotazioni di 180°, 6 riflessioni e l’identità, 6 riflessioni rotatorie ad uno dei 3 assi di rotazione