matematica - integrale
DESCRIPTION
Matematica - IntegraleTRANSCRIPT
(se fac cu substituţiile lui
Euler).
Făcînd substituţia conduce la tipul XXI.
Tema 1.4.20:
1) 2)
3) 4)
XXII. Integrale Cebîşev de forma:
cu .
Substituţiile Cebîşev
1) Dacă p este număr întreg şi
atunci fie s numitorul comun al acestor fracţii: m şi n.
Substituţia . Rezultă integrală raţională. (Acest caz conduce la
integrală de tip VI)
2)Dacă este număr întreg, atunci se face substituţia unde
s este numitorul fracţiei p.
3) Dacă este număr întreg, atunci se face substituţia ,
unde s este numitorul fracţei p.
În toate cazurile conduce la integrala raţională.
Aplicaţie:
Să se calculeze:
Soluţie:
Deci:
60
atunci:
Calculăm
care este număr întreg, deci se face substituţia
Înlocuind în integrală se obţine:
Dar: .
Atunci:
Tema 1.4.21.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
61
1.5. Primitive
Definiţie.
Fie atunci este o primitivă a lui dacă:
1) derivabilă :
2)
Notaţie: Primitiva
Observaţii:
1)Orice două primitive diferă printr-o constantă, adică şi
primitive ale lui
2)Orice funcţie care admite primitive are proprietatea lui Darboux.
Definiţie:
are proprietatea Darboux
astfel încît .
Proprietate:
a) Orice funcţie continuă are proprietatea Darboux
b) Dacă o funcţie are proprietatea Darboux nu rezultă că funcţia este
continuă.
3) Fie .
Dacă (imaginea funcţiei f ), nu este un interval,
atunci nu are primitive.
4) Dacă f este continuă are primitivă.
5) Dacă găsesc primitiva unei funcţii, atunci ea trebuie să fie continuă
şi derivabilă
62
.
6) Dacă se cere să se demonstreze că o funcţie nu are primitive, atunci se
încearcă direct condiţia:
“Primitiva” F(x) nu este derivabilă în acest caz.
Aplicaţii:
Să se studieze dacă următoarele funcţii au primitive.
1) f: R R cu f(x)=[x].
care nu este interval f nu are primitive.
2) cu
Soluţie:
Varianta I: Calculez efectiv primitivele.
pentru cu pentru
pentru
pentru
Deci primitiva
care trebuie să fie continuă şi derivabilă.
Studiez continuitatea.
Este continuă şi derivabilă pe şi ca fiind funcţie elementară
Studiez continuitatea în
Dar:
pentru că:
Înmulţind această inegalitate cu rezultă:
63
Pentru ca f să fie continuă în , trebuie ca:
Studiez derivabilitatea în ?
, nu există pentru că:
nu există.
Deci, funcţia f nu are primitive.
Varianta a II-a
Fie o primitivă pentru
Dar iar nu există nu are primitivă.
3)
Soluţie:
Pentru şi este funcţie elementară continuă şi derivabilă.
Studiem continuitatea în
continuă în admite primitive.
pentru
pentru
pentru .
Primitiva
care trebuie să fie continuă
64
Tema 1.5. Să se determine primitivele funcţiilor:
1)
2)
3)
4)
1.6. Sume Riemann
Fie şi o diviziune a lui [a,b], adică:
Fig. 2
Alegem Se formează un dreptunghi elementar cu baza
şi înălţime care are aria elementară .
Notăm cu:
(1)
care se numeşte sumă Riemann corespunzătoare funcţiei f, intervalului
, diviziunii şi alegerii punctelor .
Definiţie:
y=f(x)
x x0=a ξ0 x1 ξ2 x2 xi ξi xi+1 xn-1 ξn xn=b
f(ξ0)
f(ξ1) f(ξi) f(ξn)
65
y
Numim norma diviziunii , cea mai mare lungime a subintervalelor
diviziunii şi se notează:
Definitie:
Funcţia f este integrabilă pe dacă există şi este finită:
şi reprezintă aria mărginită de graficul funcţiei , axa Ox, şi
Cazuri particulare:
A. Dacă:
1) Intervalul
2) Diviziunea este echidistantă
3) Punctele (capătul din stânga intervalului.)
Diviziunea este echidistantă , atunci:
(notaţie – reprezintă pasul diviziunii).
În aceste condiţii diviziunea are punctele:
sau pentru .
Alegînd punctele ,
atunci înlocuind în (1) rezultă:
66
(2)
Dacă f este integrabilă, atunci:
pentru
sau:
(*)
B. Dacă:
1) Intervalul
2) Diviziunea este echidistantă
3) Punctele (capătul din dreapta intervalului).
Atunci suma Riemann (1) devine:
adică:
(**)
Formulele (*) şi (**) sunt utile la calculul limitelor de şiruri.
Calculul integralelor definite
Pentru a calcula se procedează astfel:
1) Se calculează primitiva
2) ; formula lui Leibnitz
3) reprezintă integrala definită.
67
Tema 1.6.1.
I. Să se verifice egalităţile:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
II. Să se calculeze integralele:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
68
15) .
Aplicaţie:
Să se afle , unde .
Soluţie:
Se urmăreşte să se aducă şirul la una din formele (*) sau (**) de unde
să se poată “ghici” uşor funcţia f
Deci:
Ghicesc!!! funcţia , atunci:
Calculez primitive F a funcţiei f:
Deci:
,
69