matematica in brazilia (teorie si probleme rezolvate)

Download Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

Post on 16-Oct-2015

53 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematica - teorie si probleme rezolvate

TRANSCRIPT

  • 5/26/2018 Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

    1/32

    PR-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

    MATEMTICA

  • 5/26/2018 Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

    2/32

    2006-2009 IESDE Brasil S.A. proibida a reproduo, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorizao por escrito dos autores e dodetentor dos direitos autorais.

    ProduoProjeto e

    Desenvolvimento Pedaggico

    Disciplinas Autores

    Lngua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Mrcio F. Santiago Calixto Rita de Ftima Bezerra

    Literatura Fbio DvilaDanton Pedro dos Santos

    Matemtica Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa

    Fsica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette

    Qumica Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa

    Biologia Fernando Pimentel Hlio Apostolo Rogrio Fernandes

    Histria Jefferson dos Santos da SilvaMarcelo PiccininiRafael F. de Menezes

    Rogrio de Sousa Gonalves

    Vanessa SilvaGeografa Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venncio Felipe Silveira de Souza

    Fernando Mousquer

    I229 IESDE Brasil S.A. / Pr-vestibular / IESDE Brasil S.A.

    Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

    660p.

    ISBN: 978-85-387-0571-0

    1. Pr-vestibular. 2. Educao. 3. Estudo e Ensino. I. Ttulo.

    CDD 370.71

  • 5/26/2018 Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

    3/32

  • 5/26/2018 Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

    4/32

  • 5/26/2018 Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

    5/32

    1EM_

    V_

    MAT_

    028

    Tringulo a figura geomtrica determinada por trs seg-

    mentos de reta consecutivos, isto , cujos extremosso coincidentes dois a dois.

    A

    B Cz

    y

    x

    ngulos internos

    , e

    ngulos externos

    x, y e z

    Lados

    AB = m; AC = n; BC = p

    Soma dos ngulos internos + + =180

    Soma dos ngulos externos

    x + y + z = 360

    Tringulo

    O ngulo externo igual soma dos ngulosinternos que no lhe so adjacentes.

    x= +

    y= +

    z= +

    Condio de existncia

    m n

    p

    Para existir um tringulo, necessrio quequalquer lado seja menor que a soma e maior que omdulo da diferena dos outros dois.

    m n < p < m + n

    m p < n < m + p

    p n < m < p + n

    Num tringulo, o maior lado ope-se ao maiorngulo.

  • 5/26/2018 Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

    6/32

    2 E

    M

    V

    M A T

    0 2 8

    Classifcao dos tringulos

    Quanto aos ngulos

    Acutngulo

    Todos os ngulos internos so agudos.

    A

    B C

    RetnguloTem um ngulo interno igual a 90.

    A B

    C

    AC, AB catetos

    BC hipotenusa

    Obtusngulo

    Tem um ngulo interno obtuso e dois agudos.

    A

    B C

    Quanto aos lados

    Escalenos

    Todos os lados e ngulos com medidas dife-rentes.

    B

    A

    C

    Issceles

    Dois lados iguais e dois ngulos iguais (os n-gulos iguais no so formados pelos lados iguais).

    B

    A

    C

    AB = AC

    B = C

    Equiltero

    Trs lados com medidas iguais e trs ngulosiguais a 60.

    CB

    A

    AB = AC = BC

    A = B = C

    Cevianas principais do

    tringulo

    Ceviana

    qualquer reta que parte de um vrtice do trin-gulo e encontra o lado oposto ou seu prolongamento.

    As principais cevianas so:

    Altura (h)a) segmento da perpendicular tra-ada de um vrtice sobre o lado oposto.

    Mediana (m)b) segmento que une um vrticeao ponto mdio do lado oposto.

    Bissetriz interna (c) a) segmento da bissetrizde um ngulo limitado pelo vrtice e peloponto de interseo com o lado oposto.

    Bissetriz externa (d) a) segmento da bissetrizde um ngulo externo limitado pelo vrtice epelo ponto de interseo com o lado oposto.

  • 5/26/2018 Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

    7/32

    3EM_

    V_

    MAT_

    028

    B

    A

    C

    a

    ma

    ha

    aa/2a/2

    H J M

    AH = ha

    AM = ma

    AJ = a

    AJ =a

    A

    B CM H J

    ma h

    a

    a

    Um tringulo possui 3 alturas, 3 medianas, 3bissetrizes internas e 3 bissetrizes externas.

    Todo tringulo retngulo de ngulos agudos,valendo 30 e 60, tem a seguinte relao:

    30

    60/2

    I3

    2

    OrtocentroAs trs alturas de um tringulo concorrem em um

    nico ponto denominado ortocentro do tringulo.

    H3

    B C

    A

    hb

    hc

    H2

    H1

    H

    ha

    O ortocentro do tringulo retngulo coincidecom o vrtice do ngulo reto.

    B

    C

    H A

    hc b

    ha

    hb c

    IncentroAs trs bissetrizes internas de um tringulo

    concorrem, em um nico ponto, equidistantes dostrs lados do tringulo, denominado incentro.

    A

    RQ

    B PC

    J

    O incentro o centro do crculo inscrito notringulo.

  • 5/26/2018 Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

    8/32

    4 E

    M

    V

    M A T

    0 2 8

    BaricentroAs trs medianas de um tringulo concorrem em

    um nico ponto denominado baricentro ou centro degravidade do tringulo.

    A

    B

    P

    M

    N

    C

    G

    M, N e P = Pontos mdios de BC, AC, AB res-pectivamente.

    Propriedades

    O baricentro fica situado sobre cada mediana,a 2/3 do vrtice e a 1/3 do seu p. (ponto mdio dolado oposto)

    GM = x

    AG = 2x

    GN = y

    BG = 2y

    GP = z

    CG = 2z

    CircuncentroAs mediatrizes dos lados de um tringulo con-

    correm em um nico ponto denominado circuncentrodo tringulo.

    A

    B C

    m3

    m2

    m1

    Ro

    RR

    O circuncentro o centro do crculo circunscritoao tringulo.

    A

    B CO

    No caso:

    = 90

    O = ponto mdio da hipotenusa BC circun-centro

    Congruncia de tringulosDois tringulos so congruentes quando su-

    perpomos um ao outro e eles coincidem no valordos lados e dos ngulos. Logo, lados congruentes engulos congruentes.

    A

    BC

    A

    BC

    A = a

    B = b

    C = c

    AB = AB

    AC = AC

    BC = BC

    Casos de congruncia

    LAL (lado-ngulo-lado)

    Dois tringulos so congruentes, quandopossuem dois lados e o ngulo formado entre elescongruentes.

    A

    BC

    A

    BC

    AC AC

    AB AB

    A A

    ALA (ngulo- lado-ngulo)

    Dois tringulos so congruentes, quando possuemdois ngulos e o lado adjacente a eles congruentes.

    A

    BC

    A

    BC

    C C

    BC BCB B

  • 5/26/2018 Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

    9/32

    5EM_

    V_

    MAT_

    028

    LLL (lado-lado-lado)

    Dois tringulos so congruentes quando pos-suem os trs lados congruentes.

    A

    BC

    A

    BC

    AC AC

    AB AB

    BC BC

    LAAo (lado-ngulo-ngulo oposto)

    Dois tringulos so congruentes quando pos-suem um lado, um ngulo e o ngulo oposto ao ladodado congruentes.

    A

    BC

    A

    B C

    A A

    AB AB

    C C

    Semelhana de tringulosDois tringulos so semelhantes quando pos-

    suem trs ngulos congruentes, por consequnciaos lados opostos aos ngulos sero proporcionais,como tambm as cevianas.

    A

    BC H

    A

    BCH

    A= A, B = B, C = C

    = = = =AB AC BC AH

    KA 'B' A 'C' B'C' A 'H '

    K a razo de semelhana.

    Casos de semelhana detringulos

    1. Caso:Dois tringulos so semelhantes quando

    possuem dois pares de ngulos respectivamenteiguais.

    2. Caso:

    Dois tringulos so semelhantes quando pos-suem trs lados homlogos proporcionais.

    a

    bc K.bk.c

    k.a

    3. Caso:

    Dois tringulos so semelhantes quando pos-suem dois pares de lados homlogos proporcionaise os ngulos entre eles iguais.

    a

    b

    k.a

    k.b

    Tringulos retngulos

    m n

    a

  • 5/26/2018 Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)

    10/32

    6 E

    M

    V

    M A T

    0 2 8

    Como + = 90, podemos observar que nafigura temos trs tringulos semelhantes.

    AC = b cateto

    AB = c cateto

    BC = a hipotenusa

    AH = h altura

    BH = m projeo de AB sobre BC

    HC = n projeo de AC sobre BC

    Principais frmulas:

    b2= n . a

    c2= m . a

    h2= m . n

    a . h = b . c

    a2= b2+ c2

    As frmulas so demonstradas por semelhanade tringulos:

    (b 2= n . a):AHC

    ABC

    ba

    = nb

    (Usamos os

    lados opostos de 90 e )

    (c 2= m . a):ABH

    ABC

    ca

    = mc

    (Usamos os

    lados opostos aos ngulos de 90 e )

    (h 2= m . n):ABH

    AHC

    hn

    = mn

    (Usamos os

    lados opostos aos ngulos e )

    (a . h = b . c): AHC ABCba

    = hc

    (Usamos os

    lados opostos aos ngulos de 90 e )

    (a 2= b2+ c2) Destacando as duas primeirasfrmulas temos:

    b2 = n . a

    c2 = m . a

    b2+c2=ma+na

    b2+c2=a (m+n)b

    2

    +c

    2

    =a

    2

    Os tringulos retngulos cujos lados tm valoresinteiros so conhecidos como pitagricos.

    Exemplo:`

    Importante observarmos que, alm dos tringulos pitag-

    ricos citados, existem aqueles que so proporcionais.

    Assim voc pode afrmar que existem infnitos tringulos

    pitagricos, dentre os proporcionais e os no-propor-

    cionais.

    Aplicaes importantesDiagonal do quadrado

    d2 = 2+ 2

    d2 = 2 2

    d2= 2 2 d = 2

    Altura do tringulo equiltero

    h

    A

    B C

    2 2

    = + =

    2 2

    2 2 2 2h ; h ; h=

    2 4

    2

    3