matemática - funções - livro pdf
DESCRIPTION
Livro de caráter básico sobre o assunto de funções. Para quem quer ter um conhecimento mais aprofundado, recomendo os seguintes livros do ensino superior : James Stewart - Cálculo I ; George B. Thomas - Cálculo I ; Guidorizzi - um curso de cálculo.TRANSCRIPT
����������
�� ����
���������� �
���� ����������������������
��������������
����
����
�
���
���������� ��������������������������������������� ���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� �
����� ���������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� �� �������� �������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� �
����� � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� ���� ���������� ������� ��������������������������������������������������������������������������������������������� � � �� ����������!������"� ���������������������������������������������������������������������������������������� � �����"�#"�����������$����������������%��&�������$�"#�� �������������������������� � �'���"�#"�����������$�������������������(����"���������������������������������� ��
������������� � ��������������������������������������������������������������������������������������������� ��
������������������� � ��������������������������������������������������������������������������������������� ��
��� �! ����������� � �������������������������������������������������������������������������������������� ��
���������� �������������������������� �"�#�$���� ����# ����������������������������������������������������������������������������������������� ��
����� $����� ������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������� '�� �� $����� ������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������� '����� $�����������(��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������� '
����� �����������%�&'��#� ��� ������������������������������������������������������������������������ �( ������"�)���� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � ����*+� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � ����,-���"��������.��� �������������������������������������������������������������������������������������������������� / �'�� ����"����"�����0�1��2 ����������������������������������������������������������������������������������������� / �3��0�.�������(����"� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� / �4�� ��5���� ���&� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� �
����� �����������%�) �#�$*����# �������������������������������������������������������������������� �������,-���"��������.��� �������������������������������������������������������������������������������������������������� � �� �� ,������ 01����� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ �
����� ������������%�&'�����"�# ���������������������������������������������������������������������������� ��
������������������������������������)�'�������#���#� �#�+�������# �������������������������������������������������������������������������� �(
������6������������(��� ���������������������������������������������������������������������������������������������� ���� ���6��������� ��(��� ���������������������������������������������������������������������������������������������� �/
���, �-����)���� ���������������������������������������������������������������������������������������������� ��
���, �-����.���� �� ������������������������������������������������������������������������������������������ ��
��������������
�������� �!������ ����������� ��/�'#�� ����������������������������������������������������������������������������������������������� ��
����� 7������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� '��� �� %��������� ��� �������� �������������������������������������������������������������������������������������� '�
���/��##������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������ �( ���� �5���� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� '� � �� 8�.�5���� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� '/ ���� ��5���� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� '/ �'�� �������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� '/
����� ��, 0��#� �������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������"��� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3 �� �� �������� ��01���9"�� ��������������������������������������������������������������������������������������������� 3������%�������������)��� ������������������������������������������������������������������������������������������ 3���'�� ���������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3�
����� ��1����� ������������������������������������������������������������������������������������������������� ��'���� �����������(��-���"�� ���!:���� ����������������������������������������������������������������������� 33'� ��%����������!:����������7;������� ������������������������������������������������������������������ 33'���� $�����!:���� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 33
���$-������, �-����1����� ������������������������������������������������������������������������������ ��
����������
���������� ����������������������������� �������������
���������� ��������������������������������������� ��������"��#�������������������� �����������������������
������� ��� �������������� ����������� � ���������������� �� ����������������������������������������� ������ ��������������������� �������������������������������������� ������ ����������������� ��� ����������� ��������� ������������ �� ������� ��������� �����!������� ���� ��� ��������"��#��� �$����� �������������������$������������������������������������������������ ������ ��$����� �%&�������������������������������������%'���� ���"�������������()��*%&��%'+���,�������� #����������� �����$������ �����- ������"������- �����������������������������- ��������������������������������$������ ���� ������� ��������$�������"�� �()����$������������()����*&��.'+������ ����$������$�����������&����������������������������.'��/���$����� ������������ � �$�������������������- �����������������()�� *0�1+� �� ����� �����"������� �����()�*1�0+��2��������� �����#�������������������������3�� ��������������������� ��������()���� � �������
���� �����%4+�*����+�5�*����+������� ��������5������5��&4+�*����+�5�*����+������� ��������5��
����"����������������6����������������������������� � ����
��������������������������������������������������������������������������� �����$����%7�� �������(�����%7����������*�+���&7�� �������(�����&7����������*�+�
��8�9�5��*��+�:� ∈ ��� ∈���
��������������������������"���"������������������������������������������ �������������8���5����
;�� ������� ������� ��������������"�� ��� �� ������()�� ��� ����������������
�������3���� ���5��%��<��=�����5��&��0����� ���"��������������������������8����� #� � ��� ���� �� ���������� ��� �����,�������,�����"�� ���
������������������������������� ������������ ������������
������������ ��$���������� ������������������������$���������� ������������������ ������ ����������� ��3
��8���5��*%��&+��*%��0+��*<��&+��*<��0+��*=��&+��*=��0+�;� ��� ������������ � ��� ���������
������"����������������8���*������������+3���8���5��*&��%+��*&��<+��*&��=+��*0��%+��*0��<+��*0��=+��
>#����������8������8������ ��������$�� �� ������� ���������� �)�� � � �� ������������������������ ������������������8�������"��������8����?@��� �����������������8���5���8���$�����������"�� �������������������
���� ����!�����������$������������ ��������������������- ������������������#������������������- ������ ��������������������� ��3���*��8��+�5��*�+�8��*�+�
�������������������� �������� ������������ ������������
������������ ����"�������$������������� ��������� ������������������������� ����A����;�����������������������B"�����B�$����� ����%7�� �����������������*���%7���������+������ ����&7��� ������������������*���&7���������+�
���������� �����������������������������
������
������������
!�������������������������������������� ����������������������������"��������� ������������������� ����"�����3
�����!��������������������� ������������ �������������
����������������$������������ �����%7����������� ��������������������&7����������� ��������������� � ������ ������ ����������� ���� ������� ����������������������A ������� �����������$��������� ���� � ��������� ��� ����� *������������������������+��/�������� �������������������� ���������$������)��������������������������������� ������ �������������������������������������������*��8��+�
����$������%��&���6�� ���$�������������"���������������
� ���#����������������������������������������(C��#��,������� ���������
������� ��� � �� "�� �� $�� �� ��������������������"�� ����������������������������������� ���������������������� �����������"����������������
;� ����#������ �������� ������ ����(C��#��,�����
��������#6��������������������5��.%��D��%��&��0��
�� 5� �D�� %��&��0��<��1��E����"��� ����� ���()�#��,���������� �����������������(�3
���5��*��+�∈���8���:���5���.�F����� ������ ����3
���5��*.%��%+��*D��D+��*%��%+��*&��<+�.�6����� ����"�����3
.�G�,"�������������
��������$6��������������������5��&��0��<��1��'��
��5��%��0��1��H��=����"��� ��������()��#��,��������� �����������������(�3
���5��*��+�∈���8���:��5��I�%�.�F����� ������ ����3
���5��*&��0+��*<��1+��*'��=+�
���������� ���������������������������� �
������
������������
.�6����� ����"�����3
.�G�,"�������������3
��������%6��������������������5��D��%��&��0��<��'��
��5��&��1����"��� ��������()��#��,����� ��� �����������������(�3
� �5��*��+�∈���× ��:��J��.�F����� ������ ����3
� �5��*0��&+��*<��&+��*'��&+��*'��1+�.�6����� ����"�����3
.�G�,"�������������3
������&���!�� � ��������&������� �����()���
�������������� ���������� ��������������$�������� ��������������������������������������������'������/���� ����������()��#��,���������������� ��3
�*��+�5��.%��D��%��&� �*��+�5��&��<��'� �*� +�5��0��<��'�����(��������&���!�� � ��������������&��������������
"�� ��������� �����$��"��� �K��������()�������� �����)���������������� ���� ����� ���������� �������������>��������� ������� � ���� �����������������������()���A ����������� ����$��� �������������� ������������������9������ 3
� �*��+�5�� �*��+�5�� �*� +�5�������(��'�����������!�� � ������������������ �������
������������������������$���������������������� �� ��������� ��������������������()��#��,�����>����������"�� ������������������ �����������()������� ��������'�������������/���� ���������������� ��3
���*��+�5��D��%��<����*��+�5��0��1��=����*� +�5��&��1�
���������� �����������������������������
������
������������
>����'��������������,�� �������������������� �������������������'����������������#�������������������� �����
����� ����������������������'��������� "�� ������� �� ����� ����
����������"��(C����� �������������(C���#��"��()��$��"�� ������������������������
>�������������������������������������� ������ ��"��()��$��������������� �����������6� ���������$���������������� ��� ������ ��-����� ����"�� �� ��� ���#������/)������������� � ������� ���� ���������"�����"�����
������"����� ������ ����,�������#���� �"��()�����$���� ���� ���������� �6� ���������$������� �����$���� ����� ����������������� ��-���������"��������#������/)�������������#���������� � � ��B�������B������������������������"���������#���(��
>�� �������������������������"�������������������������������� �� ������������������ �"��()��������,������� ���#��������/�� ���$���� � �����,�������� � ���������(C��������#���������)���� �����������������"�������� ���������������������������"��������������������������,��������� �-�������������� �����������������������
����������������(���'&��)�/�� ���$�������� �������������
������� ������ �������������� ����������������������� ����������� $������ �������� ���)�� ������������� ����� ���������������L�������������������� �"��()���� �������� ��������� ������������������������������������� �������$�������� ������� ��������������� �-����������������������������������
���������6���������������������������)���������
������� ������������� ��� �� ���()��#��,������� ��������� ������$�������� ��������������� ������������ � ����� ���� -�����������������������������������������$������� ������� �� ����
/�� ���$�������� �� ���()��#��,������������������������������� ������������ ��"��()����������$�3
%7+������� ���������������������������� ������������*� �� +��������������M
&7+� ���� ����� � ���� ��� ����������������� �-����������������*� �� +��������������
���� ��� �� ����(C������ ���������"��(C���$���)�����(C��������������������������� 3
���&���)� ��������� ���� � ����� $����� �� �� �������������������������������������� �5���
(��������&���)��������������� ����$���������� �K�������()�������� ����)��� ���������� ����������������������������������������������� �5���
(��'����� ������)� ��#������������������������"�� ����������������� �����$��)��� ���������� ������������������������������� ����������3�L �5�����������
����$�)��*�)�'�������'� ��������'��������+��'��� ��)*����������(C��$��� �����()�������
�������� ������ ��������� ���� "�������������"������������ ��"��()���)�3
%7+ ������ ������������������� ������������������ ��"�����
&7+ ����"�����������-�������������
�+
���������� ���������������������������� ��
������
������������
/)����"��()��������)���������� ��"���������� ������∈���
#+
/)����"��()���������� ������"��������� ������∈���
�+
N�� ��"��()������������"�����������(C������������� �� �����5���5������������������� �����5���5��%��&��0��<������L �� �5��%��&�
�� �$�)��*�)�'�������'� ��������'����������&��)�����������;� ����#�����������,"��������� ���(C�
#��,�����$���������� ���������
6� ����#������$���������������� ����� �� ���� ���� ������� �������� ������ ������������ ���������������#��������� ������ ����������������������� �������,"����������()������ ������������������������������������������� ��������������������()����������� �����,"�������������������$������������������� ������A����� �������� ����� ���������� �� ���� ���������������
���������� ������������������������������
������
������������
!� �#������������ ����� � #�������$����������� ��"��()��������� �������� ������������ ��-������ �� ����������� ������ �� ��� ���#���� �� ������������3�������������� ������� �"��()����� ����������,"���������������������$��������$���$���������������$���������� �������� ���()�� B����B�� �-������������,"������� ���()���$��� ��� �� ���,������������� ��"��()��
O���)����"��()��
O���)����"��()��
O ���"��()��
,-��)�)���$����.����D%��+ ?������5��%�&�����5��.%��D��%���������
��8���*�������������+������������,"����#+�!����������� ��� � ��� ���������
�������������������8���*�������������+�������������,"����
*>#����$����8���≠���8��+
���������� ���������������������������� ��
������
������������
������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������
D&� P��#���������������� ���� � ������������������������������������(C������ �9����5��*��+ ∈���8���:��5���.�&����5��*��+ ∈���8���:��5��.�%�O����������������������������� �����"�������������
D0� *2G;�?�+� ?)�� ������ ��� ����������������5��&��0��<�����5��1��E��H��'��=��������()�� � � ���5� �*��+�∈���8��� :���� ��� ��� ����������������Q ������ �������������()�
��������������3�+ *=��<+ �+��*0��E+#+ *1��<+ + *&��'+�+ *<��H+������������������������������������������������������� ����
� ������ ����������� !��
D<� ?�� ���������������5��.&��.%��D��%��&��0��<�����5��D��%��&����5��*��+�∈���8���:��5���3�+ ��� ������� �������OM#+����� ������� ��������� �� ���O���������� ����������"�������"�� ������ #�$�%#���������� �
���&'�������������
���������� ������������������������������
������
������������
D1� *Q2O/+�?��*�+�5�0���*9+�5�&����)�*�*��8�9++���∩���������� ,�� ����������3
�+ % �+ %'#+ E + 0E�+ %&�����������8��������������������(�����)*��+�',#��-%�#��'�'.'�'�/#0��'���∩������12�/3#��#��-%�#��'�����������������∩ ���4�)�����)������� ��2DE� *Q2Q�RG+�����������������������
��� ����"�� �� ��"��()����5�5�*����������+ �6�5�*���S�����T+U
�+ LL��LLL��L;#+ L;��;�+ L��LL��;�+ L��L;+ L��L;��;�
���������4�78�93#"�����3#�4�78�93#��:#%0���/'�����#,,'0;
:#��'�/'0�'��6"������3#�4�78�93#��:#%0� ��3#�/'��#,,'0:#��'�/'�'��6"��<�4�78�93#"�<��3#�4�78�93#�:#%0� �'���/=�����#,,'0:#��'�/'0�'��6�'����3#�/'��#,,'0:#��'�/'�'��61
������� ��
DH� *Q2RG+�6��� "��������#������ ��-����$�������������,"������� ��"��()������5�7*+��� ��� �����V����W��3
���������� ���������������������������� �
������
������������
�������
���������� �����������������������������!
������
������������
*�������)�A
������������� ������ ������� ���� �� "��()�������
��� ������� ���� ������L��>��� �������������� �$������� ��
���� ������������$������������ ������ ������������������A������������������&��������������
LL��>������������������ �$���������� ������� ���������� ���������� �����A�������������������������&��������������
LLL��������(�� �� ,�����$������������ ���������� ������������ �� ���������������������������� �����
73� �→�� ��� ��5�7*+
;�� ����������� ������������#!������ ������������������5��D��%��&��0��1�
���5��D��%��&��0��<��1��E��H��'���;� ����"������"��()��7����� ����� �7*+�5��I�%��P� � ��� �� ����������������������������������#������ ������� �����������(��7*+�"��� ���������(C���������������������������,���� �� ����� ��������������������
7!���→�����7������>��
��������$!������ ������������������5��.%��%��&��1�
���5��D��%��&��0��%H��&<��00���;� ����"������"��()��7����� ����� �7*+�5���.�%������ ��� ��������������������
�� � �� ����� ����.%� �����������7*.%+�5�*.%+��.�%�5�D���������������*.%��D+�∈�7�
���������� ���������������������������� ��
������
������������
��� �� ����� ����%�������������7*%+�5�%��.�%�5�D���������������*%��D+�∈�7�
��� �� ����� ����&������������7*&+�5�&��.�%�5�0���������������*&��0+�∈�7�
��� �� ����� ����1������������7*1+�5�1��.�%�5�&<���������������*1��&<+�∈�7�
/�� ���$������ ������� ������������������ �� � � �� � �� � �� � ��������������L������� ����������"���()���"��()���>�$���)��������������� � � �� ������ � ������� ��� �� ����� � ����� �� �� �
7!���→��"�����7�������.�%
���� ����/������������"��(C���� �����"�$X��
�������� ���� ������ ���� �� ���� ���������� ������������������������� ��"��()�������'����������+�������������/�����������(C�����������������$���� �����������������()������������������������"��()����,��� ��������� �� ���������������������� ��"��()�������#������������ ����������(�� �� ,�����$�� ������������ � ����������� �����K��� ���������������� �����
������������������� �����"��()��7����� ��
�� �7*+�5�& �I�0��#�������������� ���$���� ��"��()�������� �7*+�5�& �I�0�
������������������� ���������()����� ��"��()����� ��
�������,"������ ������ ���������)���@���R�� ,����� �� �������������� �� ������������������"�����
A���#����� ���,"����$�� ����������������������� �������(�� �"��()�������������� ������ �������������������������� ���� ����� �������� $������� ���� �����������(����,��������������C���� ����������� ����
���� ������ ���,"����$��������������� ������������������ ���� ������������������ ��� ��������()�� "����������� ���� ��������� �������� ����� �����"����������������$����)�������,���������������� �������������()��
>��� ������� �� ������������������������ ��������������������������� �������� ���,"�������$����������� �����$�������������������������������� ���� ������# ������������������� ����������������� ������������������������ �()�����"�#����()������"����# ������������()��������� �������$����������
/��2��������������� ������� � @�������������������� ������ ���,"���������$���$��������������� �������������������()����������� @�������#�����()������"�������,"����
/��� �������������$���������"�� �()��������(C������� ���,"��������� ������ ����Y����� ������������������������������������
/�� ������ �� ,���������� ���������� �������,"������� ��"��()����� ����� ����������� � ���������� ������ ��#�������� ��� ������ �������� ����(��$�� ����������"��()�����#�������� �� ��������������������� ������� �������������������������������*� ������ �� +����������������������$X ��������������$�������� ��������������������� ��������,"�������"��()��
R������ �����)������� ��� �� ��� ��������������������� ������������������()������,"�������"��()���#��������������������������������������()���������$������,���� ���� ������,"��������"�����"��()��
���������� ������������������������������
������
������������
;�� ������ ���!������ �����"��()������7*+�5�&�.�%�;� ��� ����������� �� ��#��� "�������
����������������� ����������(�� 7*+��#�� ������� ������������������
P�������������������������������������� ����������� �� ��� �#��� �� ��,"��������������K�"��()��7*+���� ����� ��������
��� ������� ��������,"������� ��"���()������������������ ����������������� �� ��;� ����#����������,"������������
!������ �����"��()��7*+��"����������5�V����W� ��1
���&���)����()�����������������,"������"��()��������������� �� �5�V����W�5���
�5�V�"��W
(��'�����������3����()����������������,"�������"��()��������������� �����5�V����W�
���������� ���������������������������� ��
������
������������
���5�V����W
���� ����>��������� �����*�+��������������
������������>����� � ������� ��"�� �()��$�����
������������#������ ���� ������� �"��()�������#����()�������,"��������� �������������������Q ��"��()�������������������� ���� ���3
�������������������)���"��()��7*+���� ����� ������ ���������� �� ������� ��� ���,����,������������������������������������� ����-��������� ����.��/�-��.��/�
��J���⇒�7*�+�J�7*�+
����������������������)� "��()�� 7*+���� ��� ��������������������������������,����,������������������������������������� ����-��������� ����.��/�0��.��/�
��<���⇒�7*�+�Z�7*�+
���������������������)���"��()��7*+���� ��� ������ ���������� �� ��������� ������,����,������������������������������������� ����-��������� ����.��/�1��.��/�
���������� �����������������������������
������
������������
,-��)�)���$����.����D%� *Q?2�?�+�>��- ���?���� ������$�
� ����������(����,�������������� ����� ��� ����:�� ����� �����������������"@� ���3
� � ��� ���
= =+� �
����������- ��������������� ������������� �� �����������&H�&�� U
�������
� � ����� ���� ��
��= =
⋅ +=� �
������� �� �
D&� *;���+�6"��� ���73�@��⇒�@���
���
� � � �
� �
� �
� �� � � �
=
+ =
�����
A��)�3�+ 7�*0+�5�' �+ 7*0+�5�%E#+ 7*0+�5�= + 7*0+�5�0&�+ 7*0+�5�%&�������A�,������� ⇒�7���>����������� ⇒�7�����������A�,������� ⇒�7���>����������� ⇒�7����������� A�,������� ⇒�7���>������������ ⇒�7������������)������� �� �D0� *!���������O[+� �?� 73���⇒��� ��� �
"��()���"�������������)�7*�.�%+�5� ����)������������7*0+����������3�+ D#+ %�+ E�+ %1+ E<�������A�,����.�8.�,�7�����'B'�#0�/',����������#8���� 1�00%���7������ ����) ������� ��2
D<� *Q2RG+�Q ��"��()��73���→���������$�7*1+� 5� 17*+� ���� ����� �� �- ��� ���� �?�7*&1+�5�H1����)������������7*%+��3
�+ 0 �+���&1#+ 1 +���<1�+ %1�������C�D'��#;0'�������B'�!7���(�������7����⇒ 7���������(�7���E�0�7���������1F#&#��������(�7����⇒�7��������C�D'��#;0'�������B'�!7���(�������7����⇒�7�������7���1�F#&#!�������(�7����⇒�7�������������� ���D1��*Q2RG+�6�����,"��������-�����$�����
������ ��"��()����� �� � � � �∈ ≤ ≤�� �� ���� ����� � � �∈ ≤ <�� �� ���
�+
#+
���������� ���������������������������� ��
������
������������
�+
�+
+
�������
�+ �� � � � � � �= ∈ < <� �#+ � � � �= ∈ ≤ ≤� ��� ��+ !������+ /)����"��()��+ /)����"��()��������� ���
DE� *R��\����?�+�>���,"�����#�������������� ��"��()���"������ �������5�7*+�
>���������7*&+�I�7*7*.1++����������3�+ .& �+��%#+ .% +���&�+ D������� #�&,-7%�#��/'�#0!7��������7�7��������7�������7��������F#&#!�7����>�7�7�����������>������������� ���
���������� ������������������������������
������
������������
������ ����������� ������� ��"��()������ ��������������
� ����������������������- ���� ������ ����� �� #� ������������������- �����������,�����,�������������������()��������(��$��"�����B����()�B�������� ������������� �� ������ ���������� ��������(���� �������������� ������)�������� � �� � ����� ���� � ���� ��� "��()�� � �� � � �= − � �����- �������D��)����������� �� ����������������7*+��)����"��()��
�����$������ �������K�7*+�������������������"��()�������� ����� ��������������������������� ������������������������-� ������������� �����$����������������(����)�������� �� �� ��/��������#�������� ���#��� ��� �� ���� �������"��()��7*+������������ �5���∈�O�:��≥�%��
�������� ���� ������� �������� �"��()������������ #������������� ���$�� �����(C�� ������������� ����(�� �)��������������� �����������6����"�� ��������� ���� ��� �����(C������ ����� �������()���������)�������������������
%7+ y f x f x n Nn= ≥ ∈� � � � �� � � �&7+ y
f xf x= ⇒ ≠] ^
_ `_ `
;�� ����������� ��������� ����()������ �������� ��"��()������
��������6�� ������� �����������������"���
(C�������%7+ 7*+�5�0��I�H�.�'
�5�O&7+ 7*+�5� � − ��.�H�≥ D�⇒��≥�H
�5���∈�O�:��≥�H�07+�7*+�5� � + ��
�5�O���� ����6� ���������$��������������������� ����� �� ����������������� ���$���$��������������������������������������
<7+�7*+�5��
�� +�I�'�Z�D�⇒��Z�.'
�5���∈�O�:��Z�.'�
17+�7*+�5���
−−
��
�.�1�≥�D�⇒��≥�1�.�'�≠�D�⇒��≠�'
�5���∈�O�:��≥�1���≠�'�
(����������� ����"���� ��������������"��()�
������ ��������$����$���������� �����(��7*+����� ���� �������� ����� ����#��������� ������� ���� ������$�� �����������(C�������������������(��7*+������ �������������
!� ���#����()����� ��� ���#���$������������ �������,�������������� ��������������������- ���������
,-��)�)���$����.����D%�6�� ������� ���������"��(C����
���� ���������� �#������+ 7*+�5�0��I�E�I�'
#+ 7*+�5��
� �G −
�+ 7*+�5� � + �
�+ 7*+�5� � �� � +
+ 7*+�5��� ��� +
��������� ������ ����)�≠ ����⇒ ��≠ ����⇒ � ����������
�� �>���≥���⇒ �≥����⇒ � ����� � �∈ ≥� ����� �������'B'�#0�#�0',B�,�H8'�#�,��%����#��'B'
0',���%#,�#8�%&8�.���D',#�:�,��,�$D'0��'�$��%�'�� ��'� I'�#0�8���,�%D��#��$��%�'�:�,��#��'�#�%��;
�#,���00%�!
���������� ���������������������������� ��
������
������������
��>���J����⇒ ���J��KL
��� x R / x –57
∈ >������
D&� *!"�.�O+
?� f xx xx x
� � = � � �
� �
��
���� ��"��()���� �
�����)�� �������������3�+ � � �G � G∈ ≠ �#+ � � �� � � �∈ ≠ ≠ ±� ��
�+ � � ���� � � �∈ < >� �� �
�+ � � ���� � � �∈ > <���
+ � � �� �x R x x∈ < < >� ����������
G � G �� �� � ⇒ � �� � �� �� �⋅ ≠
� �� ≠ ' � � � �� ≠� �≠ ' � �≠ ±������� !��D0�>� �� ����� ��� "��()�� ����� ��
� � �= + + � ��3
�+ � � � � abx R x∈ ≥ c#+ � � � � ���dx R x∈ ≠�+ � � R��+ � � � � abG � G∈ > c
�������
� � �⇒ ≥ ���
x 4 x 0 x –4+ ⇒ + ≥ ⇒ ≥� ����
����∩�����
� � �� � � � ��∈ ≥������� !��
D<� *�Q!.?�+��������� ��������"��()�3
f x x�� �� �→ � �� � U
�������
��� � �� �� � ≥E8./%:.%����#�#0��#%0��'��,#0�:#,���
(x – 1) 03 2 ≤F'��,���#�H8'�H8�.H8',��+�',#�,'�.�'.'B��#��#
H8��,��#�4�:#0%/%B#�#8��8.#��0M�/'�#0�8���#:93#!
G � � N� =
G �� =G �= ������
���������� ������"��#�"��#$�����
������
������������
���������� �������������������
������ ��� �!���� ���� ���� ���"��(C���)��������������� � ����
"�$X ��������������R�� ,��������������������������$����������������������������������� ����� �������������"���������������������
A����� "��(C�� �)�� ��� ��� ����� "��(C�� ��������� �����������������������
���� ��������������.�2�������)�7 *+�5�O�� �$��O���� ��"��()�
��������� ����.� �5�O��� �5�O�����5��O�.�3�"����
(��������)�����,"������� ��"��()��������������� �����������������$���������������� �O�
;�������,"�����������3
���� ���������������.�2�������)�7*+�5��� �$�������� ���
� ��� ��� �� ��� � ��.� �5�O��� �5�O�����5�O.�3�"����
(��������)�����,"������� ��"��()������������ ��� �� ����#������������$��������� ������������������������������������� �������� ��
���� ��������/����. 2�������)�7*+�5���I������ �����"������D. �5�O��� �5�O�����5�O�
���������� ������"��#�"��#$��� �
������
������������
.�3�"����A� �����������Z�D�!������ ���7 *+�5�&�.�%�
A� ����������J�D!������ ���7 *+�5�.��I�%�
(��������)�����,"������� ��"��()�����%7�������� �������������������Z�D��� ����������������� �J�D�
.�*��4���� ��"��()����������� �$�����,"��������������������������#�� ������������ ��"��()����� ������ �������� ���������$������� �� ����������������#�����"���7 *+�5�D��/����������"��()�����%7��������� ��3
��������I���5�D�����5�.�����5�.�:�
.�(������������������ ������"�����������������������
������"������������
.������������������������������������()������,"������� ��"��()���� ������������������ �� ����� �����5�D��� ������� �������������/����������"��()�����%7�����������(��7 *+�5���I������B����� ���B������,�"������ ����������������������������������
���� ����? �� $����≠� D�� ���� ��������� ����
��,"����"*+�#�������������� �����������.56��/�������������������.7�8 6�5/�������������������� ���������������������,�����,"������"��()��
.������������������������������#9�����)��������������������()�������������"���()�����%7������������ ����������()����������������������������������� �$�����)�� ���������� ��� � ��������� � ������������������������������� �����������)�� ��,"���� ��� ����� ����� �������,� �� � �� � ��������� ��� �����,���� ���� ����� ���������� $�� � �� ����)��������������#��������������������������� ���������������������()������������ ��"��()�����%7�������������������"����������������������$��������������� *���� ������+� ����������� *����������+��������������"��()��
���������� ������"��#�"��#$����!
������
������������
!������ �����"��()��7 *+�5���I����� ���≠�D�
�$����������������"��()��"*+�
���� ������"��()�����%7������7 *+�5���I������ ���≠ D�
��,���� ������ ������� ������� $������������������ ������������������ ����"������������������"��()�����%7���������� �#� ������������ ��������������
,-��)�)���$����.����D%�*R��\����?�+���"��()��7����"�����
���"*+�5���I����?�#������$��"*.%+�5�0�"*%+�5�%������������"*0+��3
�+ D �+��.0#+ & �+��.%�+ .1
�������
� �� � � �� � �
� � � � � � �� � � � � �
� � �
� � � �� �� �
= ⇒ ⋅ + =
= ⇒ ⋅ + =
�����⇒ = =
∴ = +
�00%���7���������>�������������� ��2
D&� *Q2RG+�?������J�D����Z�D����-������������()����,"�����������������"��()��"*+5���I����3
��������#�#���P������78�93#��'B'�0',��'�,'0�'�/'�1�#�#���J�����'B'�%�/',�':/�,�#�'%#�����:�,/'
:#0%/%B�����%����#�'%#��1������� ���D0��*Q2�L+���"��()������������,�������
�"���������"*+�5�*0�.�&�+�I�&����������$�����3
�+ ��Z�D �+ a = ��
#+ a < ��
�+ a > ��
�������A�,��7���0',��,'0�'�/'���'B'�#0�/',��������J��F#&#!�����J����(�����
�� � � ��
< ⇒ <
������� !��
���������� ������"��#�"��#$��� ��
������
������������
D<��A�#�(�������,"�������� ��������� �������������� ���������������� �� ��������"����$�������������� ���������������"��(C�3
�+ "*+�5�&�.�%#+ "*+�5�&�.��+ "*+�5�&��������� 7���4�8���78�93#��#��Q�&,�8��'�/3#� �����
� �����'��������#�#�������J������78�93#�4��,'0�'�/'1
�� 7���������7���4�8���78�93#��#��Q�&,�8��'�/3#� ������ ������'�������1�#�#��������P������78�93#�4��'�,'0�'�/'1
�� 7������7���4�8���78�93#��#�0/��/'��'�/3#� ������ �����'�������
D1��*Q��"���!A+�?���7���"��()�������"�����
��� � ��
� �� ���������������������������V.0M�%W�
?������������ �� ��3�+ O
#+ −������
]�
]� �+ −������
]�
���
�+ −������
]�
]�� +
]�
���������
��������#�#�7���4��#��Q�&,�8��#�&,-7%�#�0',%��8���,'/�1
I#��B%����#�#�#��#�$�%#�4�8��%�/',B�.#�,'�.�'��3#���#�&,-7%�#�0',-�8��0'&�'�/#��'�,'/�1
�� � � �� � � �
�� � � � � � �
�
�
�����
F#&#��#��#�R8�/#�%��&'��0',-��'7%�%�#��'�����/4���1
�00%�!
�� ��S T�
= ������
U,-7%�#
������� ��2
���������� ������"��#�"��#$�����
������
������������
����� �����������"#$�� � ���6�� ��� ���"��()��$����,��������"���
()������� ������������������������ ��� ���"��()�������������������� ��"��()���O� �O�$������������������������ ��� ��� �S���� #� ��������������S�5�����I�#��I����������∈�Oe��#�∈�O����∈�OM���������,��������S���������,��������M����#�����)����"���������� ����������"��()��
"�3�O�→�OS�5�"�*�+�5�����I�#��I����∈�Oe��#�∈ O����∈ O�?�#�≠�D����≠�D����"��()������� ������ ��
��M�����������,�������,���� �������� �������������+ "�*�+�5�0���I�&��.�1���"��()�����&7����
�� ����#+ "�*�+�5����.�E��I�<���"��()�����&7�����
�� �����+ "�*�+�5�.&���I�&��I�%���"��()�����&7�����
�� �����+ "�*�+�5�.���I�1���"��()�����&7���������
�� ����*#�5�D+�+ "�*�+�5�<���I�0����"��()�����&7���������
�� ����*��5�D+�"+ "�*�+�5�.�����"��()�����&7����������� �
����*#�5�D����5�D+��+ "�*�+�5�&� �.�0���I�&��.�1��)����"��()����
&7�������+ "�*�+�5�0��.�1��)����"��()�����&7�������+ "�*�+�5�.0��I�E��)����"��()�����&7������
�������)�.�����/����������������������,"�������"��()�
���&7��������� ���������#������� �������,#����� �/�� ��������� "��(C�����&7������� ���,#������� ��� ���� ������������������������ ��*��Z�D+����������������#�����*��J�D+��� ��� ����������3
�
����$��0����������������������"��()��$����,����
"*�+�5�����I�#��I����)�������������������������$��"*�+�5�D�������������������(C�����$���()�����������������
����I�#��I���5�D
�������()����� ��$��()�����&7�������"���� �� ��� �������� ��� ��� ���� f"@� ���������������9���\���g�
��
����� � � ��
� �� � � �
��
hi�
>#����$�3?�∆�Z�D����$��()���������,����������
��������������$���)�3
��
�� �
��� �� �
=− +
=− −∆ ∆
?�∆�5�D����$��()���������,���������������������$���)�3
� � ��� � �
= = −
���������� ������"��#�"��#$��� ��
������
������������
?�∆�J�D����#����$������������� ∆ ∉ ����� ���$����$��()���)�������������������
1�+����)���+��'2���)�������0��L������������ ����� ������� ��
$�� ��� ��������� "��()�� $����,����� �)�� ���#��������������������������,#���������������������
A��)�3
����32���)���"��&4�������,#����$������������"��� ����
"��()�����&7��������������� ����������� ������ ��������������$��������������,�"������ ������$����� �� ����� :������
�������� ���� ������#������������������*��+����� �����"������$������������,"����� ������� ����()�������� ����������������������*��I�\+��*���.�\+������� ��� � �� �� ����������"*���I�\+�5�"*���.�\+��?���"*�+�5�����I�#��I����� ��3
"*���I�\+�5��*���I�\+��I�#*���I�\+�I���5�S�
"*���.�\+�5��*���.�\+��I�#�*���.�\+�I���5�S�
!�����������$��S��5�S����� ��3
� ���
= −�
$����������������#�����������������*��+��������� ���� ��������������������
����*S�+����� ����� "������$������������� �������������K���,#�����$���������������� �� ��������S�����������S��5�"*��+�
���� ���� ��
S��5��*��+��I�#*��+�I���→�S��5�−∆��
�
$���������������������������������*S�+�
S��5�−∆��
�� ��������)���)�'�,�-�5����$���������������� �����������
*D��S+���������� ���� ����� ������()����"��()��"*�+�5�����I�#��I������ �������S�#����"������5�D�
"*D+�5���j�D��I�#�j�D�I���→�"*D+�5���F����� ����,#���� ���������� ����S���
�����*D���+�
��6�,�4�������&��)����������*$�������)������+�������������
������()�� �� �������S� �)�� "���� ������������(�� ���� ��#�(�������,"������� �"��()�����&7������
���������� ������"��#�"��#$����
������
������������
��7����8�����'�+�'>����������� �� ���� ��"��()�����&7��������,������������������������� ����������
K�������������������*S�+�
�
���������� ������"��#�"��#$��� ��
������
������������
,-��)�)���$����.����D%�A�#�(�������,"�������� �����������
������� �� �����"��(C���#������+�"*�+�5����.�E��I�'#+�"*�+�5�.���I�&��I�0
�+�"*�+�5�]�����I���I�%
����������7���������)�>���#���B%���'!�������J���→�:�,���%��,�$D'0���∆��� "������'�����
<4,/%�'�!������
= − =�
� ;
� � �� ��� �
= = − = − = − = −� <� ��
��
�∆
��/',0'�93#��#��#�'%#�!�������'0:#0/�!���&'��!���������∈��V��≥�����20�#9#
#+�"*�+�5�.���I�&��I�0!���������3���5�.%�J�D�����#����M������3
∆�5�%EM����5�.%�����5�0
;�����3����5�−�����5�%���M��S��5�
−∆��
�5�<
L�����()���� �������S3���5�0������� !���������∈ ��V��≤� ��20�#9#
�+�� � � �� <= + +��
��
!���������3���5�]�
�> ������� �M������3
∆�5�.%�→�������������
;�����3����5�.#:&��5�.%��M�S��5�− =∆�
���
L�����()���� �������S3���5%�������
�������∈����V��≥ �]� �
20�#9#
y
x–1
12
1
eix
od
esi
metr
ia
���������� ������"��#�"��#$�����
������
������������
D&� *;���+� >� ��,"���� ��� "��()�$����,������"���������S�5����.� ��I�* �.�%+���������� ��- ��������� �� �-��������� ��� � ��� ������������#���������A��)�����������S�$������"��()��������������5�&��3�+ .& �+�%#+ .% +�&�+ D
��������#�#���78�93#�/'��8��+�%�#�:#�/#�'���#�8�
�#��#�'%#�5��#�B�.#,��'�∆�4�D',#1��00%�!∆�����→�������� �(���(�������������→������F#&#�����������>��1�A#,/��/#��:�,�������
/'�#0!�����������(���>������������� �� D0��*Q2O/+�?�"*�+�5����.�%����)����������
�������������3�+�VD��∞V �+�W.∞��%W#+�V.%��%W +�W.∞��DW�+�V.%��∞V
�������7����������20�#9���#�#�&,-7%�#����78�93#��/'�#0!
F#&#����78�93#�4��,'0�'�/'�:�,��/#�#��≥��1������� ���D<� *Q2�L+�Q ��",#�����������*�+�5����I�&�
����������������������@�����������������������������,������?���",#������� (����"����������K��'���������� ���)������%D��%%����������)�����������3�+ H��������������#+ '���������������+ %1���������������+ &0��������������
�������A�,��/�����W#,�0��/'�#0!:���������>���(���⇒�:����������:�,'0��'�0�:�/#A�,��/�����W#,�0��/'�#0!:���������>���(�������:�,'0��'�0�:�/#F#&#�� '�/,'� ��� '� ��� W#,�0� 0',3#� :,#�8D%�#0
�����������:�,'0��'�0�:�/#1������� ���
����� �����%�����"�& � !'���� � > � ��, " � �� � �� � "��()� � �� � & 7 � ����
"*�+�5�����I�#��I������≠�D���� ����,#�����A�����,#���� � � �� ����������� �������� ����� ��$��������Z�D������������������������#�����$��������J�D�
����32���)���"��&4�������,#����$�� ����������"��� ��
��"��()�����&7��������������� ��������� ������ �� ������������ $�� �����������,"������ ��������� �������������
�������������������������)�3
� ���
= −�
�������� ��= −∆�
����3������,-���'��>�S�� ������������������ ����� "���
()���?�������������������,#�����������������������#��������S����,��������� ,�� ����"��()�M����������������������������������� �����S����,��������� ��� �����"��()��
���������� ������"��#�"��#$��� ��
������
������������
,-��)�)���$����.����D%� *!���������O[+�>� ������ ��� ����
����k ���S�5����I�#��I�����������,"������ ������������"��������3
�+ .% �+�− ��
#+ .& +�− ��
�+ − ��
�������*�&,-7%�#����78�93#������>���>���:�00��:'.#0
:#�/#0��������'�������1�F#&#!�������→������������→���>����>�������→�������F#&#!�7����������
*�B�.#,��$�%�#�0',-�� �����
��������� �(���(������
F#&#!�− = −
⋅= −∆
��
� ����
D&� *�Q!�?�+�>���������� �����"��()�S�5����.�'��I�%1��3�+ ,�� �����������;�5�*<�%+#+ ��� �����������;�5�*<��.%+�+ ,�� �����������;�5�*.<��.%+�+ ��� �����������;�5�*.<��.%++ ,�� �����������;�5�*<��.%+
�������@��78�93#����������>�����#�B�.#,��'���4��"
.#&#����78�93#�/'��:#�/#��'��$�%�#!
G��
��
�
�
��
���� �
�
��
��
��
���
X
XXX
Y�
A#,/��/#��#�B�.#,�'/,'�#����78�93#�4�:#�/#��'�$�%�#�� �����1
������� ���D0� *2!!�?�+�Q � �������,�K�����Y����
E���� � �������������0��������� ��#���$������#�������� �����#���� �����?��$��()����������@�������#���� ����()�������� ���������������������������"�������S�5�����I�*%�.�<�+������������� ,�� �������������#�����3
�+ 1 �+�0�1#+ <�1 +�0�+ <
�������
*�:#�/#��)�����:',/'��'��#�&,-7%�#��.#&#!�������)���>������ ���(�)�����)��>�)���� ��→
�= −��
?8�0/%/8%��#�������� ����78�93#!
� � ���
���
��
���������� ������"��#�"��#$�����
������
������������
��.�8.���#����./8,���-%��!
� ��
�����
��� �� ��
��
��
�
�
������� ���D<� *2!R?!�?�+�!������ ��������������
�Y����������� ����'D� ����,��� ,�� ��$�������������������� ��������Y��������3
�+ &DD� � �+�EDD� �
#+ &1D� � +�'DD� �
�+ <DD� �
�������
��>��������→��>���� ��→���� ���������(�F#&#!�������(�� �����
�� �����
����������>� �����"����� �������
�����
��
���
���
��� �
��
?'�������→ ���������F#&#!� ��������(�������������� ��������� ���
����� ������������"#$������� R�������)�����"�k ������������� ���
����� ��������������"��()�����&7���������#� �����"�������$�� �����#��������� ��
� ,�����"��������������)����������������������������������� ,�� ����� ��� ��� ��������������������������������()�������"��()��
������������������ ��������������(C���������� ��������#� ���������������������
,-��)�)���$����.����D%� *Q���� �?�+�6���������� �������
�������������������������������� ������������ ������������������ ����������X�������������"��()�3��*�+�5�!*O��.���+� �� :������!���� ������������O������������������?������� ����� ���� ������ ����� $�!�5�%�'�j�%D����O�5�%D���� ��������3
�+ ���������������������������������������������X���M
#+ ���������������������������� ��������������������������������������
��������� A�,��,������/'�#0!
� � � � � � � ��� � ��� �� ��� � ��� �� ��� � ��� � �
� ��
� ��
� �
� � � � � �� � � �� �� �
= − ⇒ =
= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅=
−
−
�� A�,��� ��
=
��
�� �
�
��
�
�� �
�
�
��
��
��
���� ��
���
��
��� �� �
�
�
�
�
� ��
���� = − ��
��
����
�
⇒ ���� = −���
�
���� =�����
���� = ⋅ ⋅ ⋅
���� =
−
�
�
��
� �
������� !����������V0"�����������V0D&� *2�����?�+�Q ��#���������(�������
����� ��������� ��������������* � ����+$�����#����������������������*�+�5�&D��.�1�������������� ������������@�������(� ������ ���������
6�� ����3�+ �������� ������,��������#���������
��������������� ,�� �U#+ �������������� ,�� �U�+ �������� �����#��������,����������
�������� ����� ������ �@�� ��� ������������������� ,�� �U
���������� ������"��#�"��#$��� �
������
������������
����������*�/'�:#��#�H8�.�#�#�R'/#��/%�&%,-����./8,�
�-%���4�#��1
� � �� ��� � ���
��� �
��
�� � � �= − + = − = −⋅ −
=
������� ��/�����0
�� � ���
�����
������ �= = − = −
−=∆
������� ��W ����������� @#�0#.#�W�����⇒����/��>���/����/�����#8�/��� ������� �� �0
D0� *2G;�?�+�>������� �������� �� ���������������F*�+�5�.���I�0D��.�1�����������$��������� �������������+ ������������� ����� ,�� ��������U#+ A����$�������������������������$���
������ ������������ ��� ����������%=1U��������� F8�,#��-%�#����
����− = −
−=∆
����N�
�NN
�� A�,��H8'�#�.8�,#�0'R�������'B'�#0�/',!���������>��������⇒����>������������������#8������
���.%0���#�#�&,-7%�#��#�0',B��#0�H8'���≤��≤ ��������� �����≤��≤ ��
D<� *Q������O[+�/� ���#����@����������������� ����� ������� �� � ����������,������������������������������()���� ����������� ������ ���� ����$�������� �"��()����� ����� ������������������� ���"@� ���3
*�+�5�.0���.�0����I�%D'���� ���������� �� ,�� ����$����
�������������C ����������������� �������������$��������������������� ����3�+ ��"�������%1� �������#+ ���������%1� ����������"�������0D� ��
�������+ ���������0D� ����������"�������ED� ��
�������+ ���������ED� ����������"�������=D� ��
������+ ���������=D� ����������"�������%&D� ��
���������������/���������������>������������������(���>�������/���������������(������>����Z8���#�#���/',%�.�'0/%B',�/#�#�B#.�/%.%D��#�/',';
�#0�H8'�����00���#���/',%�.���#�'0/��#�0M.%�#�#8.$H8%�#��0',-�%&8�.���D',#1��00%��
�����������(������>������������7�D'��#�������������(��>���������⇒������#8���������1�1������⇒��������#8���������⇒ /����/�����W#,�0��������%�8/#0������� ��2D1� *2���?�+�?������$���������1�����
� #�����%==1����?���(����R������������A��������?)���������������"�� ����$���� ������������������?)������������������� ��������� ,�� ��K�� %<�������� �$������������ �������"*�+� ���������� �"��()������ ��f�g� ����� ��������������� "*�+� 5� .��� I� #�� .� %1E�� $�����'�J���J�&D�
>#���������������#��+ %< +��<&#+ &% �+��01�+ &'
���������� ������"��#�"��#$����!
������
������������
�������*�W#,-,%#����/'�:',�/8,���-%����#,,'0:#��'�[
��0�%00���#�B4,/%�'1��00%��
G ���
�� �� �
� ���
= − ⇒ = −⋅ −
⇒ − = −� �������*�������)�!DE� *2���?�+�!� ���������������#� �
���������������"�� ���$����� ������ ,�� ������������������ 1����� #����%==1�"��3
�+ <D#+ 01�+ 0D�+ &1+ &D���������/'�:',�/8,���-%���#�#,,'8�[0�� �W#,�0��.#&#
/ �����7�� �������� ���>����(�� �����)��� �1������� ���DH� *LP��?�+�>����������� ������������
#������������������� �K����������(C���� �� ��#��Y�����$�� ���� ����� � �������������%������������� �����$�����������$������������� ����������� ���������� ����,#������ ���$�������������()��* � ���+��@��&�1����������3
=�����.�/ (������������.����/% 0�DD& 1�DD0 %�DD
�+ 0�ED �+�0�H1#+ 0�E1 +�0�'D�+ 0�HD
��������#�#���\.%�W�]�4�8���:�,-�#.�����78�93#�H8'
,'.��%#������#��'�/,�93#��#��#�/'�:#�4�8���78�93#�#��Q�U,�8!
7��������>���>��1�?��'�#0��%����H8'�7�������"7��������'�7�������1��00%��
� � � ��� �� � ��� �� �
+ + =+ + =+ + =
������'0#.B'��#�#�0%0/'����'��#�/,��#0!�������"��������'�������A#,/��/#�7���������>�������1�A�,���������
/'�#0!7�����������(��������>����(�������(���������������� �� D'�l��#�������k��K�F���R��������� ���"������� �����$�����
��� � �����"���������������� ����� �������������)���� ��������,�$������Y ������F�������#��������@����#�� �Y�������������� ���������/������������ ������������#� ���� � ��������������"������$����#���������������,�� ��-����������(�����������������$����"���������������������� �$����"��(��������()�����P��������F���)��$����������Q �������������������������� �@� ��������(��,� �������� ��������()�����F����� �������������"��(���������()��������9��$� �����������������()�$��������
6���������� ��������/T�������"��(�������()������������������������������ ����������������������������� ������$��� ���� �� � ������ �������������� ��$�������� ��� ����Y����� $�� ��� ����
� � � ��
= ⋅��
��� ��?������� ������R��� ���
������P����� m��� ����������(�����������������Y���������������"��������"��(���� $�� ��P���� ������ �������� ���� ���������(����������� ��,���
� ��
� ��
� � � �� �= = =� �
� �
��"��(���� �$����F����������������� ����"��������� � ���������,� G:*��.��+������ ����� ��������F������������Y�����$�����������P���������������()��������������"�������#��������$�����������������F�������P�����>���#� ������$�
���������� ������"��#�"��#$��� ��
������
������������
���
��� �� �
=−� �
������
��
�� �� �
=− +
�
� �������()��R: �� ���������������� ���
$������������ ��� ������'%�1����������������� ��
�� �� �
�
� ���� �
− += �
6���
'D�1���.�%E0�D����I�'%�1����5�D
A$��()�� ����$��� ���������� "����� �������
���5�D�=�M����5�%�%&�
���� ���������K��������)����$�����#�������$������������������F�������P�������� ����������������������()����� #�������������������#����"������� �������������� �����3�� ���D�=�������Y�����$���������������������������������������������P���M������������%�%&������ � ������Y�������>����������Y������������������������P����� � ��� F��� �� ����� ��� ��� ������ �0'<�DDD\ M����������� ����������������������������������0<E�DDD�\ ����P����� ���������<0D�DDD�\ �
N��������� ��������$������������ ������������������$�������"�� �K����� ����������#� ����� ����������Y�����$��������������� ������ ��������� �� ����� ����� ����� ��������� ���Y ������$������?� "��� �������������������"� �����
��������������������������������$�����������������P��������F������������"� ��������,�� ���"��� ������������ �����"�� K����� �����������#� ��
>���Y ����������"�����,��������%�%&���.�D�=��5�D�&&��≅ �'<�DDD�\ /�� � ���� �$���� "����� �������
������������"���������,�"��(��� ������� ��#���� ���"���� ����������$��������������"��(��������()�����F������������P����
2������%
>��#���������������� "����� �� ���� ��������$��������������P����#�������)������ ��� �������� ��(��� ���� �� �� %&����������"�� �� �������� ��� ����,��������� ��������L����"������������� �������"��������� ��������
��������������� ����������������������� � ������� �� $��()��� $�� �� "��(�� ��������()�����P������� �����$�������F����)���@��������"����� �������������������,�����U��� ��,���� ����#������ �������� ������������������"������ ������������� �������� ������)������"�������"�� ��������� #�������������������
���������� ��� ���� �������������� ��������� ������������������������
���������� %��&������"����"���$�����
������
������������
������������� �������������������
���&�$������� ��� �� �(������� ����������� ��������$��(C����� ���
�����$����� ���� ������ ���� �����������������������������
���+���� ����� ��������#������� �� �� �������������������� #�������������������� �$������������������������
��Z�#�⇒���I���Z�#�I������Z�#�⇒���.���Z�#�.������J�#�⇒���I���J�#�I������J�#�⇒���.���J�#�.��
!���$X ����3��#��� �������������������I�#�Z���
������������� #����� #����������������.#���� ��3
��I�#�.�#�Z���.�#�⇒���Z���.�#2������� �� f�����()�g��,���������
����� ���� ���$����� ��������������� ���f ����g�� ��- ������ � �#�������������� #������������ ����� ����� ����������������- ���
��+�6�������������������0������ �� �������,������������������ #����� �#�������� ������������)���������� ����������������������3
��j���Z�#�j����������������������������� ������j���J�#�j����������������������������� ��
����������$������ �������� ������������� ���� ������������������ �����������)�������� �� ���������������������� "���
����������$������������������������������������������$����������������������������
!���$X ����3�������� �������������������j�#�Z���
6���������� #����� #�����������������#���� ��3
� ��
��
���� �
⋅> ⇒ >
� ��
��
� ��
��
� ���� �
⋅< ⇒ < <
� �� �
���������������������������(��$�������������$��()����
%7����������������� ��"�� ����������������)�����I#��� �������� ������������������I�#����,���3�≥ ≤ > <� �� � �� �� �
>������ �����������()�������$��()����%7������������� � ����� ���������������()�����$��()�����%7������������������������ ���������������������������������
��������#O����������$��()��0��I�%&�Z�D�
. f��������g�%&�������&7� #����� ��30��Z�.%&�
. 6�������������������������0����������� ��3���Z�.<�
. !������������()�3�?�5�����∈�O:���Z�.<���������$O����������$��()��.1��I�%1�J�D�
. f��������g�%1�������&7� #����� ��3.1��J�.%1
. �6�������������������������.1���������� ��3���Z�0�
. !������������()�3�?�5����∈�O�:���Z�0��
���������� %��&������"����"���$��� ��
������
������������
���������������������!�� � �����$��(C�����&7�G����K�����
��(��3����I�#��I���Z�D������I�#��I���≥�D������I�#��I���J�D�
����I�#��I���≤�D��������#�����)���- ���������������������≠�D������������@������
2�������*�+�5�S�5�����I�#��I�����������������$��()����� �������"������� ���������$��������������������� ����������� ��3
S�Z�D��S�≥�D��S�J�D��S ≤�D�L����������"��������������������������
���"��()��"*�+5�S�5�����I�#��I������������������������()�������������"���
()�����&7�G����������� ������� ����� ��"��
��(C������������()����������,"���3��)���������,����$������ ��������()�������������������#�����$������������������������������M�)�������������#�������������������()������,"�������"��()���� �������S����������������$��� �������� ������������)������������#���������������)�������������� ��������������������()���������S��A ���� ���������#��� ����������()������������� ��"���()�����&7�������#����������� ��������()��������������������,#������������������� ��������#������������� ������$����������������$������������
!������ �����"��()��"*�+�5�����I�#��I���� ���≠�D�
���������� %��&������"����"���$����
������
������������
2���� ������ � ����� ������()�������$��()��������C�����������$�������� K����� ��������������������
��������#O����������$��()�����.�E��I�'�≥�D�.�2�� ���S�5����.�E��I�'�.�A����� ����������()�������������"���
()��S�
.�P� � ������ ������()�������$��()�����������������������$�����S�Z�D3
?�5�����∈�O�:���J�&������Z�<����� ��������������������������������(C���)���
"���������"�� ����� �$��������������������O����������
,-��)�)���$����.����D%�O������ �LO������$��(C��
�+�0�*��.�%+�.&�*%�.��+�≥ D
#+� � �+ − − > −��
��
� � �
����������� �������������������≥������������>���≥ �������≥ ��⇒���≥���⇒���≥ �?������∈��V��≥���
��G ��
G ��
�G ��
+ − − > −
�����������J������������
����J��)�⇒��P����
?�����∈ ��V��P����
�
D&�O������ �LO������$��(C���+ ���.�E��.�H�≤�D#+ ���.�<��I�<�≥�D�+ ���.�<��I�<�≤�D�+ .&���I�1��.�&�Z�D
�������
D0� *2����?�+�?���"3�O�⇒�O�� ��"��()����"���������"*�+�5�*��.�%+����I����I�%����∈�LO��>�����������������$��"����������������������������������"�� �������(�3
�+��
�< <� �+�� ≠�&����≠�%
#+ .�<�J���J�< +���≠ D����≠�%�+ D ≤���J�'
�������A�,��H8'�7�0'R��8���78�93#��#��Q�&,�8!�/�����≠ ��⇒
⇒�/�≠��1A�,��H8'�7�/'�W���8�0�,�$D'0�,'�%0�'��%0/%�/�0��';
B'�#0�/',�∆ J��1����� �(���(���J��1/���� �(��/������(���J��1/���� /�>� �J��1
���������� %��&������"����"���$��� ��
������
������������
�/�≠���'�/�≠��������� ��
D<� *Q!?�O?+� >� �� ����� ��� "��()�
� � �� � = − +� � ��3
�+ V.&M�&W �+� − � ��
#+ −� ��� � +� − � ��� ��+ −∞ − ∪ +∞� �� �� �
�������
� � � ��� � = − +
�#��%93#!����>���≥��
� �� � � � �� �∈ − ≤ ≤ = −� �������� ��
�� �) �*����&����!�� � ����� ��$��()��������� ����
��$��()�������������� ��������()���������C���� ��*��.�%+�j�*��I�&+�j�*0�.��+�Z�D��/���� ����)������������������������ ���������()���� ��������()�� ���������������$������ ����#���� ����$��()�����07���������"����������()���������� ����������� ��������������� ���������������()������ �������$��()���$����,������������������. 2�� ����� �$�������� ����������
�C��*"���������������+����������������� ��"��()������� 3
S��5���.�%��S��5���I�&��S �5�0�.��
. A����� ��� �� �����()���� �������� ����� ������"��(C������������� ���������,"����� �����������
y11
x
y2–2
x
y33
x
. O��� �������������(C������������� $��������� ����,����������������
–2 3
y1
y2
P
y3
1
. �����#����()�����-��� ��"��������$�����������������$���������������������()����������������������� ������#�������������������()�������$��()�3
?�5� � � � �� �∈ < − < <� � � �� ��� ) �*����+���� ��!�����������$��������- �����)�����
����$������ ������������������ ��� �� ��������$��$������������������� ����������� ��$��(C�� "�������������)������������C����� � ������� ��������������������()��������$��(C���������
A� ��
O����������$��()����
+−
≤��
� �
. 2�� ����� �$�������� �����������C�������������� �������� ����� ��������� ���� ������������� �� "��()�������� 3
S��5���I�%��S��5���.�&
���������� %��&������"����"���$�����
������
������������
. A����� ��� �� �����()���� �������� ����� ������"��(C������������� ���������,"����� �����������
y1–1
x
y22
x
. O��� �������������(C�����$��������������
–1 2
y1
y2
Q �/
. �����#����()�����-��� ��"��������$������������������� ������#��������������������()�������$��()�3
� � � �= ∈ − ≤ <� � �� �����������)/�� ��$��()��$������� ���������#�������$���$������������)��$������������������� �������"������������������������)���)�����"������
'��(�)���)�*�+�������������/�����$��(C����������������$��(C�
$������� �� �� � � �������� ��� �� ���� ��*��.�0+���*<�.�1�+���*���.�1��I�E+������
�������������������$��(C��#������ �#������������������������ ��������#������������������3
%+�P������ �������#������������� ����������������������#���
��Z�D�� ⇒���������Z�D��5�D���⇒ �������5�D��J�D���⇒��������J�D&+�P������ �������#������������
������ ��- ����)����������� ∈�O�⇒�����≥�D��*��∈�/+
�������O����������$��()�3*&��.�E+��j�*��I�&+��≥�D2�� ����S��5�*&��.�E+���S��5�*��I�&+�
F #�� ���$������ ������� ����� ����#�������� ������������#������)�����������*&��.�E+���������������������&��.�E�
y13
���� �������#������������������ ��- ����)�����������A��)��*��I�&+������������5�.&��������������≠ .&
y20
–2
2��������$��������������3–2 3
y1
y2
P
?�5� � � � �� �∈ = − ≥� � �� �
,-��)�)���$����.����D%�O������� �O�������$��(C�3�+ *���.�<��I�0+�*��.�&+�J�D
#+� �
�
� � ��
�− +−
≥
�+ *��I�%+�*��.�&+�*.&��I�E+�≥ D
�+� �
���
�−
−≥
����������C�D'��#�������� �>���'�����������/','�#0!
���������� %��&������"����"���$��� ��
������
������������
� � � � � � �� � � = ∈ < < <� ��� C�D'��#�� ���� �� �>��� � '� �� �������
/','�#0!
� � � � � � � �� � = ∈ ≤ < >� ��� C�D'��#�����>�������������'��������>�)�
/','�#0!
� � � � � � �� � � = ∈ ≤ − ≤ ≤� �
�� �� �� �
� �� �� �
� �
�� � � �� �
� � �� �
�
−−
≥ ⇒ −−
− ≥ ⇒
− − −−
≥ ⇒ −−
≥� �
C�D'��#���������'�����������/','�#0!
� � � � � � �� � �= ∈ ≤ >� �D&� *2G;�?�+�?���������������������()�
�����$��()��*���.�1�+�*���.�'��I�%&+�J�D������������������������ ������3�+ .%�∈��
#+��
∈��
�+ ���∈ O�:�D�J���J�0��⊂ ���+ D�∈��+ 1�1�∈��
�������
C�D'��#;0'�#�H8��,#�:,#�8/#��B'�!
���������� %��&������"����"���$�����
������
������������
F#&#�����./',��/%B���#,,'/��4����1�*8�0'R�������∈��1D0� *Q�����?�+�6��������$��()�3�*&��.�1+�j
*<���.�&1+�j�*���I���I�%+�J�D�����������������()���3
�+ � � �∈ <������� �
�
#+ � � �∈ < −������� �
�
�+ � � �∈ − < < +������� �
���
�+ � � �∈ >������� �
�+ ∅
�������
F#&#��7�D'��#�#�H8��,#�:,#�8/#��/'�#0!
� ��� ��
∈ < −������
D<� *R��\����?�+�����$��()��*���.�<+���j*��.�&+��Z�D�� ��� ������()�������������������������������$�3�+ ��≤�&#+ ��Z�&�+ ��Z�.&�+ ��J�.&+ ��J�&
������������ ���(���������J���������� � �����������
������� ��������������� �����������^�� ����
C�D'��#�#�H8��,#�:,#�8/#��/'�#0!
� � ��� �= ∈ >� �D1� *�Q!�O?+�>��� �������� "��()�� ���
��������� ��
�� � = +
−�
���3
�+ � � � � �∈ > − <� � �� �#+ � � � �� �∈ < − ≥� � �� ��+ � � � � �∈ ≥ − ≤� � �� ��+ � � � �� �∈ ≤ − >� � �� �+ � � � � �∈ ≥ − <� � �� �
���������� %��&������"����"���$��� �
������
������������
�������
� �� �
N+−
≥
�����>� ������� ������>� ������� ����� ���
Z8��,#�H8#�%'�/'!
� ��� � �� � �∈ ≤ − >� �DE� *!���������O[+�>��������������������
�- ���� ����� �� J� %� $�� �����"�� � �
��$��()�� ��
��
�−
< �
�+ �� �
#+ � ���������
�+ � � �∈ − < <� � �� ��+ � � �∈ <� �� �+ � � �∈ <� �� �
�������
�� �
�−
<
�� �
� N−
− <
� � �� �
�− −
−<
� �
� � �� �
N � �� �
N− +−
< ⇒ − +−
<
20/8����#�#�0%��.��#��8�',��#,�'��#��'�#�%��;�#,��/'�#0!
�����>�� ��������������>�� ���� ������� ����
C�D'��#;0'�#�H8��,#�H8#�%'�/'��B'�!
�#�#��P����/'�#0!
� ��� � � � ������ �∈ < >� � � � 1DH� *2G;�?�+� >� ��������� ����()�� ��
��$��()��� �
� �−
+ −≥
�
� � �� ��3
�+ � � � �� � � �∈ < − ≥ >� � � �� �#+ � � � �� �∈ < − >� � �� ��+ � � �∈ − < <� � �� ��+ � � �∈ − < ≤� � �� �+ � � � �� �∈ − < ≤ ≥� � � �� ��������
G GG �G �
N�
�
−+ −
≥
�������
�����
������>������
���������� %��&������"����"���$����!
������
������������
C�D'��#;0'�#�H8��,#�H8#�%'�/'��B'�!
� �� � � �∈ − < ≤� �������� ��
���������� ,����"� ������ ��
������
������������
��������!�"������ ������
����� ��,�$ ��!������ ��������"��(C�������*6�5�O�
!6�5�O+���"���������������(���"*�+�5�&��I�H��*�+�5����.�%�
;� ������ ��������������������(�"*�+�� �� � �� � ��� � ���� .&�� ��� ����"*.&+�5�&�j�*.&+�I�H�5�0�
���������������������(���*�+���� ����� ������*0+�5�0��.�%�5�'�
���� 3��*0+�5���V"*.&+W�5�'�2��()���� ��������������� ������(�
������������� ��������������� ���.&�������� �� �'�
?@������������ �� ������"��(C������ ������������������� �� ���"������� �������"��()����
����9������������()������������������������ ���()�
���"��()���*�+��� ���"��()���"*�+�����"*�+�.�� ��f��#����"��������,����g����f����������"���������,����g�.� ����� ��������������������()�������� ����"����� ������ ������"��������*��"+�*�+��>�� �����������#� ���$�3
��"*�+�5��V*"*�+W
���������'����������'����������� ��"���������� ���()�����"���
()�� �� ������ �� ������������ ��� "��(C�� �,���������3
"*�+�5�&��I�H���*�+�5����.�%
���� 3��"*�+�5��V"*�+W�5�"*�+��.�%�5�*&��I�H+��.�%�5�<���I
I�&'��I�<=��.�%�5���"*�+�5�<��� I�&'��I�<'�������������� � �������� "��(C��
���������������� ��� �������� ����()���������(��$������������� ���()���"��(C����� ������ �����������(��"��*�+�
���� 3"��*�+�5�"V�*�+W�5�&��*�+�I�H�5�&*���.�%+�I�H�5
5�&���.�&�I�H�5�"���*�+�5�&���I�1N�#� ��� ���� ������������� ���
���� ���()����"��(C����������� ���$��� �� ���()�� �)�� �� ��� ��������������������� ����������� ����������≠≠≠≠≠�����
,-��)�)���$����.����D%� *�R�/�O[+�?�"*�+�5�0��I�%���*�+�5�&���
��)��"�V�*.%+W�.���V"*.%+W����������3�+ .% �+�D#+ % +������+ %1��������-.�8.#0��8%.%�,'0!&������������������7��������������>�������7_&����`���7��������(���>������&_7����`���&_��`��������������F#&#!7_&����`���&_7����`�������������������� ���
D&� *AA?!�?�+�?�"*�+�5������*�+�5�� ����)�"V�*&+W��3
�+ %E �+�E<#+ %&' +�0&�+ %&
���������� ,����"� ��������
������
������������
�������7�_&���`���7�������7�����������) ������� ��
D0� *2G;�?�+� !������� ��� "��(C�"*�+�5�&��I�%���*�+�5����.�%��A��)��������������$��()��"V�*�+W�5�D��)�3
�+ ��������#+ ����������+ �����������)�� ���������+ ��������� �����������+ ��������������7_&��`�����⇒�7�_�����`��������������>�������⇒��������>������
������1 ⇒��������⇒����^�
���⇒����^�
��
F#&#���0�,�$D'0�03#�#:#0/�01������� ��2
D<�!�����������$��"*�+�5���I�&��"V�*�+W�5&��.�0����)���*�+����������3
�+ 1�.�� �+���
#+ <��.�& +�&�.�<��+ &��.�1�������7�_&��`���&���>����������&���>���⇒�&����������������� ���
D1� ?�����*�+�5���.�H��"V�*�+W�5�0��.�%������ �������"��()��"*�+�
�������&����������⇒����&���>��7_&��`���������⇒�7_&��`����_&���>��`����7�_&��`����&���>��� ⇒�7�������>���
���,�� ������������8�����Q ��"��()������� ���� ��������$�����
�������� �������������������� ������������� �� ������� #� ������������������������ �����
���≠����⇒�"*��+�≠ "*��+
O����� �������"��� ����� ��"��()���������$�������� ������������������$����$���$��������������������,"�������"��()��� ��-��������
"*�+����������
�*�+��)�����������
*�������������,"���� ������� ����+
���������� ,����"� ������ ��
������
������������
����1�4��8�����Q ��"��()������� ������#�������$����
������������� ����������������� �����"��� �� ���������� ����� �� �������� �����
L �5�!6
O����� �������"��� ����� ��"��()���#�������$�������$���$���$����������������������$����������������������������� ������ ���������� �� #� ���������������� �4�����,"�������"��()��
"*�+�����#������
*�)��������������,"���+
�*�+��)������#������*�)���������������,"���+
����%�8�����Q ��"��()������� ����#�������$�����
�������� ��� ��������������� �� ��������'������������������������������'��������������� ���������������� �� ��� ��������������������������� ������������������ ������)��� ���������� ����� � ��������� �����
���� ����Q ��"��()��#����������������$������ � ����� ���()�� #��������3� ���� ����� �����,�� ��-����� � �� �� ���������
�� ���'���'����6� ���� #����$������ �"��(C��$�
�)���)������������ ��� �������#��������A�����)����# �� ��������"���()�������M�)�� ������� ������ � � �������� � � ��#�������
���������� ,����"� ������
������
������������
,-��)�)���$����.����D%�>����,"����� �#����� ������ � "���
(C����O� �O�
;��"�$���������)������)����#��������������������#���������[����"�$��
��������� ��7�����
����7�������� ��7�����@3#�4�0#�,'R'/#,���:#%0�����7��≠�� ��7�����@3#�4�%�R'/#,���:#%0�/#�#0�#0�'.'�'�/#0��#�#�$�%#�/=���#�#�%��&'��#�'.'�'�/#��1�#�#��3#�4�%�R'/#,���'��0#�,'R'/#,����3#�4�%R'/#,�1
�� ��7���������7������ ��7�����a�0#�,'R'/#,���:#%0�����7����� ��7�1a�%�R'/#,���:#%0�/#�#0�#0�'.'�'�/#0��%0/%�/#0��#� �#�$�%#� /=�� %��&'�0� &� �%0/%�/�0� �#�#�/,��#�$�%#1F#&#��4��%R'/#,�1
�� ��7�����
����7���� � ��� ��
∈ ≥ −������
� ��7�����@3#�4�0#�,'R'/#,���:#%0����7��≠ � ��7�1
@3#�4�%�R'/#,���:#%0�'%0/'��'.'�'�/#0��'����7�H8'�03#�%��&'���'��#%0�B�.#,'0��%0/%�/#0��'�1F#&#���3#�4��%R'/#,�1
D&�6�� ����������������9��� ����$��� ����(�� "*�+� 5� ��� �"���� � �� "��()���#�����������5�����∈�O�:�.0�≤���≤�<�� �9�6������������������(C��������#�������
������������ ������_�∈ ��V�� ≤��≤��)`@3#�4��%R'/#,���:#%0��3#�4�%�R'/#,�1
����� ��) -�� ��������)����;� �������������� ��"��()��"��� ����
���������������� �����9�������$��������� ������������������������������������ �� � �� �S� 5� "*�+�������� �����������9����� ��������������� ������� ��"��()��$�������������� �� �S����� ������ ���������������� ��"��()�������
���������� ,����"� ������ �
������
������������
$���*S+�5����A����"��()�����$��"������� ��������������"��()��"������� ������������� �������"����#�������()��"���
��������������,-���:�)��6� ���������$���������������������
���� ������,����$�� ��������� � ��������������� ��������"��()��"���� �� ���������� �� ��������� ������� �������� -������ �����6����"�� ��������� ���$��@���������������������"��()��"�����"��()�"�"�����'������
6����"�� ������� ���$�������&������"��()�� �� �� �� �������� ������� ���� � $����������� �������"������� �������"���
���� 3
6*"+�5�!6*"���+�5�L *"���+
!6�*"+�5�6*"���+�5�L *"+
���������'����������.�������������� ���()���������(��$����
�������� ���������� "��()�� "������ ��������������"��()����������A�$��������"���()��"��� ����� ����������� �����������
(��"���������������������������� �� �S���"��()���������"���� ��� �����"���� ����� �� �S������ ����������(��"���������������� �������;�� ���������������������������� �����������
6�� �������"��()������������"��()�
"*�+�5�&��.�<
%7+ ;� ��������������������()����� �� ��"*�+����S������ 3�S�5�&��.�<�
&7+ �������� ����������������� ���f������g�����
F������ ��
�� � �
�= + ⇒ =
+
07+ ��� ��������$���,�������� ����������(��$��������������������"���������� ����� � �� �S������� ��� ���#������ ������������$����S������� �� ������ ������"����������()������������������������������������>�
A��)�3���= + ��
<7+�O���������K�����()��������� ������������ �� "��()��� �� ��� ��#�������� S� ��� �−�� � �
2���� ������ ������ � �− = +� ��
� �
�� �"�������������+�A����� ����������*���#+������
K�"��()��"��������*#���+������,��K�"��()��"���
� ����� ����������������������������������������,�� ���� ��������������� �������������������*���#+��*#���+� �����()��K�����S�5���*#������������$���������� ����+��L����"��������������������������������������� ������"��(C�������������$�����,"������� ��"��()������������������)��� �������� ����()��K�����S�5��*"��()�����������+
���������� ,����"� ������ �
������
������������
��+�!�����������$����"��()���������� ����K�� �� ������������������� �� ���� ��������� ��� �����"��()���� ����������������� ����� ������� ������������� ���
���� 3 "�"��*�+�5�"���"*�+�5��
������������������$�3
� +� � � � �− −=�
�� �� � � ���+� ��� � ��� �− − −=� � �
,-��)�)���$����.����D%�6�� ����������������"��(C�3�+ � � �� � = −� �
#+ � ��
����= +−
≠� ��
�
����������� � �� � = −� �� � � �= − ⇒ = + ⇒� � � �
��
� �=+
⇒ = +��
��
� � �− = +� ��
� �
������ �� �
= +−
�� � �− = +� � �
�� � �− = +� � �
� � �⋅ − = +� � �� �
� ���� ��� �
� �� �� �
⇒ = +−
� � �� �� �
���� ��− = +−
≠� ��������
���� � � � ��
�− = +� �
��� � � �� �� �
���� ��− = +−
≠� �
D&��*!���?�+?���"3�O�⇒�O���"��()������������,"���
���������
���������������������$���������������,"�������"��()�����������"3
�+
���������� ,����"� ������ �
������
������������
#+
�+
�+
+
������� ���*�&,-7%�#��'�8���78�93#�'�#����08��%�B',0��03#
0%�4/,%�#0�'��,'.�93#�[�,'/�����
D0��*2�R��[�������.�?�+?�� ����"��(C��"������O� �O���"������
���"*�+�5�&��.�%���*�+�5�\��I������"��()������,�����������"������� ����3
�+ � �� = ��
#+ � �− = ��+ \�5�&��+ \�I���5�D
+ � �= = ��
�������7���������������>���⇒
�� ��
=+
�⇒����� ��+
F#&#��� ��� � � ���&������ �+
= +�
���
��
E�0�&�����O�>�/
F#&#��O���]���'��/���
]�
������� ��2
���������� ,����"� ������ �
������
������������
D<� *Q�2�.�O?+?��� "3� O� →� O� #�������� �"������ ��
"*�+�5�� �I�%��?����3�O�→ O��#���������"�����
����*�+�5��� ��� +
�
A��)���� ��� �� � �I��� � ������
���� ����3
�+���
�+��
#+]]�
+���
�+���
��������-.�8.#0��8%.%�,'0b �-.�8.#����%�B',0�!
7�������>�������>����→������>���→����������→
→ ��� � �� −
F#&#��� ��� � � ��� � �� −
� �� �� � ��� � � � �� �− = =
� ��
��
� ��� ��
����� = ���� + = + =
� � ��
� ��
� ���
�
���
�
����
��
����
����=���� =
⋅ +=
+= =
A#,/��/#��7�����>�� � ��
� ���
���
����
����= + =
������� ���
D1���� "��()�� "���"������ � ��− �� � ���
"*�+5��
+−�� �������������>������������ ����
���� �−� ��
!��������������� ��/'#,%��0��'�#0�H8'�#��#�/,���#�$�%#��'�8��
78�93#�4�%&8�.��#��#�$�%#��'�08��%�B',0�1�2�/3#!�Q�:�00#� '/',�%��93#����%�B',0�
�� �� �
�� �� � �
� �� �� �
=+−
⇒ − = + ⇒
⇒ + = −
� � � �� � ��� �� �
+ = − ⇒ =−+
� �
C%��.�'�/'�� ��� � �= −+
�� �� �
�Q�:�00#� ��� ��� �− =
��� �− 5��>���≠��� ⇒���≠���
IDf :1− � � �� �∈ ≠ −� �� � 1�F#&#� 7����� � �− − ∴ = −� �� �
DE��6������"��()��"3�O�→ 9��� "*�+�5����.�<��I�0������������$���C���#�����+ 6�� ������� ���������9�����$�� �
"��()��"�������#�������#+ !����������������������9�����������
(C������� ������ ���"������ �������� ��������"�����$����"��()��"����#������U
�+ P� �����"����������(C�������������#������������ ��"��()��#����������� ����������(��$������������������"����
�������
��
���������� ,����"� ������
������
������������
A�,��H8'�7�0'R��0#�,'R'/#,����'B'�#0�/',�� ������
#8�0'R�������� � �� � � �∈ ≥ −� ����
�'0:'%/���0��0��#��%9c'0��#�%/'������:�,��H8'�7�0'R��%R'/#,����0/��H8'�/���4��0'R��%�R'/#,�1�A�,��%00#���0/�'0�#.W',���,'&%3#��,'0�'�/'�#8���,'&%3#��'�,'0�'�/'��#8�0'R�� �� � � � ��= ∈ ≥ ����#8
��5� � �� � � �∈ ≤� ���� 7��������� �>��
������� �>������ �>���������
�� � � �
�=
± +
� � � �= ± +
� � � ��− = ± +
7������� � � �+ +#8
� � � ��− = − +�� �
����� ��.�����;� ���������������������"��()�� ��
�����������������?�������� ��- �������
�������������������'2���)���(;����!������ ������������������$�����
���������������- ��������������������� �������������� ����� ���������>��$������������� ������- �������D�*���+�
6�� ���$���?�������� ��- �������������f����@����g����������$�����������������*�"���+�A������������������������ ����� �������- �������0�� � @������������0����������f����Y����g����K����� ��6�� �� �� ����$����������f����Y����g�����- ������.�<����������� ���������$����������������� ���$���� @�������.�<������������<�������()��$���� ������ @���������- ����������� ������#������������������- �����
R@������������������������n�n�
��������������(;�������'9<'���$�������������� �������()���� ���������
@���������������������� ������Y�����$���������� ��������)������������� �������#��������������"���()����� @�������� �- ������3
� � �� �� � ������� �� � �� �
= ≥= − ≤���
�� �
���� 3nEn�5�E������E�Z�D�no�Hn�5�o*oH+������oH�J�DN�#� �� #��� ���$��������5�D�������
�� �����������n�n�5������ ��n�n�5�o����)���� ����������������������"���()���������� �� �� �≥ ≤� � �
��� �����(;����. 2�������)�"*�+�5�n�n������������ ���
� ��� ��� �� �������������#�������������������� @�����
. 6�5�O��!6�5�O��L �5�O��
. 3�"����)��������������()�������,"������"��()�� ���������� ���"������������������(C�3
%7+�� ≥ ⇒� �"*�+�5����$������"��()����������*#�����������%7�$�������+M
&7+���J�D�⇒�"*�+�5�o���$����� ��"��()�����%7����� �������� *#�������� ��� &7$�������+�
���������� ,����"� ������ !
������
������������
!�������������������������������������� ��������������,"��������"��()�� �������3
,-��)�)���$����.����D%��*Q2;�RG+���"�������#�����������,"���
��� ��"��()��"3�O�→ O�
�����������������������������,"��������"��()���*�+�� �$���*�+�5In"*�+n�3
�+
#+
�+
�+
+
�������
F'��,���#�H8'� � �= �0'��≥����'�� � �= − �0'�P����/','�#0!
&�����7����0'���7���≥����:�,/'��#�&,-7%�#���%����#'%#���'�&��������7����0'��7���P����:�,/'��#�&,-7%�#���%#��#�'%#����%0/#�4��#�&,-7%�#����78�93#�&�0',-0%�4/,%�#��#�&,-7%�#����78�93#�7�'��,'.�93#��#�'%#�
���������� ,����"� ������ �
������
������������
������� ���D&��!������������,"�������"��()�������"��
��������"*�+�5� � ��
������� A#�'�#0��#�0/,8%,�#�&,-7%�#��'�7���:#,��#%0�:,#�'00#0�����������
?��'�#0�H8'� �� �� �� �� �� �� �
� � �����
� �� �
'�/3#�7�:#�'�0'��'7%�%����#�#�8���78�93#�����8�00'�/'�9�0��#8�0'R�
� �� �� �� �� �� ��� �
� � ����
� �� �
�8R#�&,-7%�#�4!
�����������A,%�'%,#�7�,'�#0�#�&,-7%�#��'�&������;���1�A�,��#�/',�#0
#�&,-7%�#��'�7����� � �� � �:,#�'�','�#0��#�#��#�'',�$�#��
*�0!�2��:,#�.'��0�0'�'.W��/'0��#,��.�'�/'��#/�,'�#0�#��Q�:,#�'00#1
D0��*Q2RG+��?���"3�O�→�O�� ��"��()�����
$��"*�+5 � ��� − ��>���,"�������5�"*�+��3
�+
#+
�+
�+
���������� ,����"� ������ �
������
������������
+
�������7����������� →
7����� � ��� − �→
������� ���
D<��!�������������,"�������������������������� �� ����"��()�
"*�+�5� � �I�%�������
A,%�'%,#�7�,'�#0�#�&,-7%�#��'�&������ 1A�,��#�/',�#0�#�&,-7%�#��'�7�����&���>����'0.#;
���#0������:#�/#��#�&,-7%�#����78�93#�&�8���8�%��;�'�\:�,���%��]1
���������� ,����"� ������ �
������
������������
D1��!�������������,"�������������������������� �� ����"��()�
"*�+�5�� − −� �
�������
&����� � − � ��'�/3#�7�����&��������#8�0'R���:�,�#�/',�#0�#�&,-7%�#��'�7�����'0.#���#0�#0�:#�/#0���78�93#�&��8�0�8�%���'0�:�,����%#1
��7���_��"�∞`
DE�� *;���+� >� ��,"���� ��� "��()�
� � � �� �= − −� � � ��3
�+
#+
�+
�+
+
���������� ,����"� ������!
������
������������
�'0#.893#�� 7�����5������→
�
�� 7����� � �� �− �→
�� ���� � �� ��= − − →
DH��A�#�(�������,"�������� ������������������ �� ����"��()�3�"*�+�5����.�<� � �I�0�
��������'�#,,'��#�[��'7%�%93#��'�� �/'�#0
����� � � �� � �
� � �� � �
�
�=
− + ≥
+ + <
�����
�
�
������S�∈���V�S�≥����
D'��*R��\����.�?�+�?�����"��()��"3�O�→�O
�"����������5� � �− −� ��>���,"����$�� ����������������3
�+
#+�
���������� ,����"� ������ !�
������
������������
�+
�+
+
��������'�#,,','�#0��#B��'�/'�[��'7%�%93#��'��M�8.#1
G �G � �� G �G � �� G �
− =− ≥
− + <��� �1�2�/3#
?'��≥�� ⇒������������ ⇒�������?'��P���⇒�������>������ ⇒��������>��
������� ���
���!*������) �*���.�����;� ��� �������� ������� ����� � ������
����"�������� @�������� ��- ������3. L������()���� ������3� @������
� ��- �����������f����@����g����������$�����������- ���������� ���� K����� ��������
. 6"���()�3��� �� �� �� �
=≥
≤���
���
������ ��������"����������������()�����$��(C���������$��(C�� ������������������������������������������ @�����3
��+ � ≥� �����$���$���������
� �= ⇔ =� �
��+ � � � � �� � � ��� �= ⇒ = = − ≥� �
� + � � � � �� � �= ⇒ = = −
��+ � � � � �� � � ��� �> ⇒ > < − ≥� �
��+ � � � � � ��� �< ⇒ − < < ≥� �
��+ � � � �⋅ = ⋅
��+��
��
��� �= ≠�
��+ � �� =
��+ � � �� � �� � �= =
������������� ���������� ��� ���"���� ������"������� �� �������������� ��������()���� ����������� @������
����� �� �����()�� ���� $��(C�� � �����$��(C�� ����������� �������������� ������3������4����������������������������� �����()������ $��(C�� � ��$��(C��$�������� �� �+������?����� ����������������������������������� �������������������?�����,��������������������������������,�������?�������6������:������?����6
���������� ,����"� ������!�
������
������������
��������������������������� ���" ������������#
O��������$��()�� �− =� �
� � �� � �− = ⇒ = − = − ⇒ = −� � � � � �
?�5��.1M�=�
��������$
O��������$��()�� � �+ = −� � �
��I�1�5�&��.�H�⇒����5��%&�⇒���5�%&�����
��I�1�5�.�*&��.�H+��⇒���I�1�5�.&��I�H���⇒ ��5���
?�5���
��;������
��������%
O��������$��()�3� � �� � � �− − =
*��������6� �����3
*�������)�?�5��.�%��%��0��1���������B
O����������$��()�� � � ��− <
.�1�J�&��.�0�J�1 *I0+
.�&�J�&��J�' *÷ &+
.�%�J���J�<
?5����∈�O�:�.�%�J���J�<�
��������C
O�����3� � � ��− ≥
0��.�1�≥�%�⇒ ��≥�&��
0��.�1�≤�.�%�⇒ ��≤����
?�5� � � � �� �∈ ≤ ≥������� �
��
��������D
O����������$��()�3�� � �� �− ≥
*��������6� �����3
������� ��?�����∈�� V��≤������#8��≥���/���� ��������������������� ������"��
��()���� @����������������(��������� ����$��� � @����������)������ ���� @����������� ������)���� �����,���
���������� ,����"� ������ !�
������
������������
��������EO����������$��()�
� � � �� �
� �� �
− + + <��� ���
>#��������#����������3
?�� ��� ��� � ���� � ��� � � ��
∈������
��������FO������� ��� 3
� �� �
− + − >� � �� �
��� ���
*��������
*�������)�?�5����∈�� �:����J�%�������Z�&�
��������G*2�����?�+�?������� ��- ��������*%�I��+�*%�.� � �+�≥�D������ ����3
�+ � �≤ % �+ ��≥�%#+ ��≤ % + ��≤ .�%�+ � �≥�%
���������� ,����"� ������!�
������
������������
*��������#9����� ��≥�D *%+
*%�I��+�*%�.��+�≥�D%�.����≥�D
.�%�≤���≤�% *&+*%+�∩�*&+����� ���D�≤����≤��%���*L+
$9����� ��J�D *%+*%�I��+�*%�I��+��≥��D�⇒��*%�I��+��≥�D
∀ ∈� ��� ��
6�*%+��*&+��� �������J�D���*LL+*L+��∪�*LL+��⇒���≤�%*�������)�9
,-��)�)���$����.����D%��*LP��?�+�?�#����$���������(C����
$��()�� � �� � �− − = ��)�����������$��()����.���I���5�D���� ����"�� ���$�3
�+ ��5�%�������5�E#+ ����D�������5�.�E�+ ����%���������.E�+ ����D���������.=+ /)������ ����#������$�����.����I�#�5
D���������������������������$��()�������
�'0#.893#
C�D'��#�� �= �/'�#0!
�������)���������#8�������
�00%�
� �� � ��������= = −� �� �2�/3#������#8�������?3#��0�,�$D'0��'�������>��A#,/��/#
?#�����− −
= − + = ⇒ =�
�� � �� � � �
A,#�8/#�����
� � �= − ⋅ = ⇒ = −� �� � � �������� ��
D&��*Q2Q�RG+�>��� ��������"��()�����������,��������"���������"*�+�5 � � ��− − ��3
�+ ����∈ O�:���≥�&�#+ ����∈ O�:�.�%�≤ ���≤�&��+ ����∈ O�:��≤ .�%������≥�&�
�+ � � �∈ ≤ ≤������
��
�
+ O�
�������
7����� � � ��− −
�#��%93#! � � � �
� � �
�
�
− − ≥
− ≥
'B'�#0�/',!������≤�;�����#8 ������≥����≤��� ��≥�
������� ���