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MatemáticaFinancieraMatemáticaFinanciera
Decanatode Postgrado e Investigaciones
Decanatode Postgrado e Investigaciones
Interés Interés CompuestoCompuesto
Interés Interés CompuestoCompuesto
Mate
máti
ca F
inan
cie
raM
ate
máti
ca F
inan
cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Los intereses se capitalizan, es
decir, se añaden al capital al final de cada periodo de composición.
Capital
Intereses
Capital+
Intereses
DEFINICION
Mate
máti
ca F
inan
cie
raM
ate
máti
ca F
inan
cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Periodo
C. Inicial(P)
Intereses(I) C. Final (F)
1 1.000 100 1.100
10%
2 1.100 110 1.210
3 1.210 121 1.331
4 1.331 133,10 1.464,10
5 1.464,10 146,41 1.610,51
Mate
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ca F
inan
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raM
ate
máti
ca F
inan
cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Periodo C. Inicial(P)
Intereses(I) C. Final (F)
1 P Pi P(1+i)
i %
2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i)2
3 P(1+i)2 P(1+i)2
iP(1+i)3
. ...... ....... ........
n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n
Mate
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Características
Los intereses devengan intereses
Los intereses son crecientes en cada periodo de capitalización
Se aplica en cualquier tipo de operación tanto a corto como a largo plazo
La equivalencia de capitales es perfecta
Mate
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
VP: Valor Presente o capital Inicial
VF: Valor Futuro o Monto final
I: Intereses
i: tasa del periodo de capitalización
n: plazo de la operación expresado en periodos de capitalización
k: Frecuencia de la capitalización
Periodo de capitalización: intervalo de tiempo al final del cual se ganan los
intereses
Elementos
Mate
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cie
raM
ate
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cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Frecuencia de capitalización (k)
Número de veces que se capitalizan los intereses al año.
Si tomamos como unidad de tiempo el mes, y el interés se compone mensualmente entonces k = 12;
si el interés se capitaliza trimestralmente, entonces
k = 12/3 = 4;
si el interés se convierte bimestralmente, k = = 6
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Frecuencia de capitalización (k)
Ejemplo: ¿Cuál es la frecuencia de capitalización si realizo un depósito en un banco que paga 21% de interés anual convertible cuatrimestralmente?
3re)cuatrimest un (en meses 4
año) 1 en meses( 12K
La frecuencia es 3
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Interés CompuestoInterés Compuesto
NOTACION Y FORMULAS
i = Tasa del periodo de capitalizaciónVP = Valor presente o capital invertidoI = Intereses devengados.n = Nº de periodos de capitalizaciónVF = Valor futuro o Monto final
VF = VP*(1+i)n
I = VP*[(1+i)n-1] VP = VF*(1+i)-n
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Interés CompuestoInterés Compuesto
GRAFICAS DE INTERES SIMPLE Y COMPUESTO
VF = VP*(1 + i)n
VP
V.Futuro
Tiempo 1
VF = VP*(1 + i*n)
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Interés CompuestoInterés Compuesto
TASAS
Nominal: i Tasa que se declara en la operación financiera
Proporcional odel periodo:ip
ki
cap. frecuencianominal tasa
ip
Efectiva: ieTasa real deganancia anual 1)
ki
1(i ke
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Interés CompuestoInterés Compuesto
¿Cuál es el valor final de una inversión de Bs. 1.000.000 colocados durante un año al 36% nominal anual capitalizable mensualmente? ¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real?
Ejemplo Nº1Ejemplo Nº1
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución:
VP= 1.000.000k =12n = 12 meses
Dentro de un año tendré Bs. 1.425.760,89
ni
1*VPVF
k
89,760.425.11236,0
000.000.
12
1*1VF
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Interés CompuestoInterés Compuesto
¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real?
Inversión: 1.000.000Recupero en un año: 1.425.760,89Intereses ganados en el año:
1.425.760,89-1.000.000 = 425.760,89
Tasa real de ganancia anual =
La tasa de ganancia real anual es de 42,58%.
42576089,0000.000.1
89,760.425
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Interés CompuestoInterés Compuesto
¿Cuál es la tasa efectiva de la operación si colocamos Bs. 1.000.000 al 24% nominal
anual convertible trimestralmente durante dos años?
Ejemplo Nº2Ejemplo Nº2
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Interés CompuestoInterés Compuesto
La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta anualmente que produce el mismo valor futuro que colocar al 24% n.a.c.t. Por eso,
Tasa efectiva de 26,25% anual
Solución:Solución:
0,262510,061i
i14
0,241i1
40,24
1
i1*1.000.0004
0,241*1.000.000VF
4e
e
42
e
8
2e
8
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
¿Cuál es la tasa efectiva de la operación si colocamos Bs. 1.000.000 durante dos años en
un banco que paga 24% nominal anual convertible trimestralmente durante un año y
22% nominal anual capitalizable mensualmente, durante el año siguiente?
Ejemplo Ejemplo Nº3Nº3
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cie
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ate
máti
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cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta anualmente que produce el mismo valor futuro que colocar 1.000.000 a las tasas anteriores. Por eso,
Valor al final del primer año:
Valor al final del segundo año:
Solución:Solución:
96,476.262.14
0,241*1.000.000VF
4
96,476.262.14
0,241*1.000.000VF
4
02,012.570.112
0,221*96,476.262.1VF
12
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ate
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cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Invertimos 1.000.000 y al cabo de 2 años obtenemos como valor final 1.570.012,02. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación?
Tasa efectiva de 25,30% anual
SoluciónSolución (continuación):(continuación):
96,476.262.14
0,241*1.000.000VF
4
2530,0i
02,012.570.1i1*1.000.000
e
22
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Interés CompuestoInterés Compuesto
TASAS EQUIVALENTES
Dos tasas son equivalentes si aplicadas a capitales iguales en el mismo periodo de tiempo producen el mismo capital final
Tasa nominal: iFrecuencia anual: k
Tasa nominal:jFrecuencia anual: p
pk )pj
1()ki
1(
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Hallar la tasa nominal anual capitalizable cuatrimestralmente que es equivalente a 60% nominal anual capitalizable mensualmente.
R: 64,65%
Ejemplo Nº4Ejemplo Nº4
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución:
3 12i 0,60
1+ = 1+ i 0,64653 12
Tasa: 64,65% nominal anual capitalizableCuatrimestralmente.
En este sentido, la tasa efectiva es la tasa anual equivalente
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Interés CompuestoInterés Compuesto
PERIODOS PERIODOS FRACCIONARIOSFRACCIONARIOS
Convenio lineal
Los intereses de la fracción se calculan a interés compuesto con
la tasa equivalente
Convenio exponencia
l
Los intereses de la fracción se
calculan a interés simple
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Ejemplo Nº5Ejemplo Nº5
Una persona recibe un préstamo de Bs. 20.000 que cancelará en dos
pagos de la siguiente manera: Bs. 10.000 dentro de diez meses y el resto dentro de un año. La tasa de
interés es de 24% nominal anual con capitalización trimestral. Calcular el
valor del último pago.
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución ejemplo Nº5
0 10 12
20.000 10000x
X 324 )06,1(000.10)06,01(000.20
44,853.14X
24% a.c.t es equivalente a 6% t.c.t.
La deuda se lleva al mes 12 y se igualan a los pagos llevados al mes 12
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Interés CompuestoInterés Compuesto
En una institución financiera se colocan Bs. 100.000 al 30% nominal anual con capitalización mensual durante 20 años. Al finalizar los años 5 y 10 se retiraron Bs. 200.000 y Bs. 500.000 respectivamente. Si la tasa de interés disminuye a 18 % nominal anual capitalizado trimestralmente a partir de finales del séptimo año, determine la cantidad adicional que se debe depositar a principios del año 15, para compensar los retiros y la disminución de la tasa de interés y lograr reunir la misma cantidad que se hubiese obtenido de no producirse ningún cambio.
Ejemplo Nº6Ejemplo Nº6
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución ejemplo Nº6100.000
0200.000
5
500.000
10
14
X
20
7
18%
12*20 12*7 4*130, 30 0, 30 0,18
100.000 1 100.000 1 112 12 4
12*2 4*13 4*100, 30 0,18 0,18
200.000 1 1 500.000 112 4 4
4*60,18
x 1 x 12.552.332,124
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ate
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
1)Se invierten 1.500.000 durante 8 meses a la tasa de 20% nominal anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación?
2) Se invierten 2.300.000 durante 1 año y 5 meses a la
tasa de 24% nominal anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación?
3) Se invierten 800.000 durante 1 año y 6 meses a la tasa de 18% n.a.c.m., durante los ochos primeros meses y al 20% n.a.c.m., durante el resto de la operación. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación?
R: 21,94%; 26,25%; 20,88%
EjerciciosEjercicios
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cie
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ate
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Ejercicio 4 :: Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla:
Frecuencia de Frecuencia de capitalizacióncapitalización
Tasa Tasa del del
periodoperiodo
Tasa Tasa efectivefectiv
aa
Capital Capital FinalFinal
Tasa Tasa equivalente equivalente trimestraltrimestral
Anual
Semestral
Cuatrimestral 12%
Trimestral
Bimestral
Mensual 1.425,70
Quincenal
Diaria 37,65 % n.a.
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Usted necesita 5.000 $ para sus vacaciones de Diciembre con la familia. Si puede colocar el capital en un Banco que paga el 12% n.a. capitalizado mensualmente, ¿cuánto debe depositar el 1° de Febrero si quiere irse de vacaciones el 1° de Diciembre?
R: 4.526,43 $
Ejercicio Nº5Ejercicio Nº5
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raM
ate
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inan
cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Un inversionista coloca 2.500.000 a una tasa de 20% nominal anual capitalizado trimestralmente, durante 15 años. Calcule:
a) El total de intereses devengados entre final del año 6 y finales del primer trimestre del año 9.
b) El total de intereses ganados hasta el final del año 15.
R: Bs. 4.445.221,50; Bs. 44.197.964,73
Ejercicio Nº6Ejercicio Nº6
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máti
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inan
cie
raM
ate
máti
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cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Se coloca una cantidad de dinero así: durante 9 meses a 20% anual capitalizado semestralmente, por los siguientes cuatro meses a 30% anual capitalizado mensualmente, por 8 meses más a una tasa de 27% anual capitalizado cuatrimestralmente y, finalmente, por 15 meses mas a una tasa de 24% anual capitalizado trimestralmente. El monto al término de la operación fue de 4.049.457,14. Determine el capital inicial y la tasa efectiva anual de la operación.
R: El capital inicial es 2.000.000 tasa efectiva es 26,51%
Ejercicio Nº7Ejercicio Nº7
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raM
ate
máti
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
TASAS VARIABLESTASAS VARIABLES
j21n
j
j
n
2
2
n
1
1
k
i1*...*
k
i1*
k
i1*VPVF
ij es la tasa nominal con frecuencia kj durante nj periodos de capitalización.
Mate
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cie
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cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución:
1)
14,836.199.34
0,241*2.300.000VF
317
0,2625i
14,836.199.3i1*2.300.000 12
17
2)
771.712.063,12
0,201*1.500.000VF
8
0,2194i
771.712.063,i1*1.500.000 12
8
Mate
máti
ca F
inan
cie
raM
ate
máti
ca F
inan
cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución:
3)
07,194.90112
0,181*800.000VF
8
57,173.063.112
0,201*07,194.901VF
10
0,2088i
57,173.063.1i1*800.000 12
18
Mate
máti
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inan
cie
raM
ate
máti
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cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución 4:: Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla:
Frecuencia de Frecuencia de capitalizacióncapitalización
Tasa Tasa del del
periodoperiodo
Tasa Tasa efectivefectiv
aa
Capital Capital FinalFinal
Tasa Tasa equivalente equivalente trimestraltrimestral
Anual 36% 36% 1.360 31.96% n.a.
Semestral 18% 39.24% 1.392,4 34.51% n.a.
Cuatrimestral 12% 40.49% 1.404,9 35.48% n.a.
Trimestral 9% 41.15% 1.411,5 36.00% n.a.
Bimestral 6% 41.85% 1.418,5 36.53% n.a.
Mensual 3% 42.57% 1.425,7 37.09% n.a.
Quincenal 1,5% 42.95% 1.429,5 37.37% n.a.
Diaria 0,1% 43.30% 1.433,0 37.65% n.a.
Mate
máti
ca F
inan
cie
raM
ate
máti
ca F
inan
cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº5:
10
5.000P 4.526, 43
0,121
12
Necesita depositar 4.526,43 $
Mate
máti
ca F
inan
cie
raM
ate
máti
ca F
inan
cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº6 Diagrama Temporal:
0 6
8 9 151
9 trimestres
I = 12.507.971,36 – 8.062.749,86 = 4.445.221,50
36,971.507.124
20,01*000.500.2VF
)14*8(33
86,749.062.8420,0
1*000.500.2VF6*4
73,964.197.44000.500.273,964.697.46TI
73,964.697.46420,0
1*000.500.2VF15*4
Mate
máti
ca F
inan
cie
raM
ate
máti
ca F
inan
cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº7
9 4 2 50,20 0,30 0,27 0,246
P 1+ 1+ 1+ 1+ = 4.049.457,142 12 3 4
P = 2.000.000
32.000.000(1+i) = 4.049.457,14
i = 26,51%
El capital inicial es 2.000.000 y la tasa efectiva es 26,51%