matemática financ iera - esan
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MATEMATICA FINANCIERA ESAN 2015 MAESTRIA EN SUPPLY CHAIN MANAGEMENTTRANSCRIPT
INTERESVALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
MATEMATICA
FINANCIERA
® 2015
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Lo que relaciona el valor del dinero con el tiempo es el interés
Nunca se deben sumar valores en fechas diferentes.
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
*
*
Desplazamiento del flujo financiero
*
*
*
*
10%
CRECIO
46.41%
100
100
10
110
110
11
121
121.00
12.10
133.10
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Alberto deposita $1,500 en una cuenta de ahorro a un 12% de interés anual compuesto por un plazo de 3 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 3 años
Claudia hace un deposito de $2,000 en una cuenta de ahorro a un 8% de interés anual compuesto por un plazo de 5 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 5 años?
Patricia hizo un deposito de $1,000 en una cuenta de ahorro y al final de 5 años obtuvo $1,350. ¿Cuál fue la tasa de interés anual compuesta?
*
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Es una tasa de interés enunciativa que no refleja el verdadero interés que se obtiene por el capital. Se presenta con fines nominativos. Esta tasa debe estar acompañada de los periodos de capitalización compuesta.
Ejemplos
16% nominal anual con capitalización quincenal.
10% nominal anual con capitalización diaria.
32% nominal anual con capitalización semestral.
i m = r/m
im : Tasa de interés del periodo “m”
*
*
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*
El número de veces que el interés se capitaliza en un año se conoce como Frecuencia de Capitalización o Frecuencia de Conversión
Ejemplos:
*
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*
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Es una tasa de interés que refleja el interés que verdaderamente se obtendrá por el capital. La tasa de interés efectiva emplea el concepto del interés compuesto.
La tasa de interés efectiva se suele expresar en términos anual recibiendo el nombre de Tasa Efectiva Anual o TEA.
La tasa de interés efectiva es la empleada entre otros en:
Préstamos concedidos por los bancos a empresas.
Compras de bienes de consumo a plazos.
Créditos hipotecarios.
Créditos vehiculares.
*
i = (1 + r/m)m - 1
Relación entre la Tasa de interés nominal (r) y la Tasa de interés efectiva ( i )
i m = r/m
im : Tasa de interés efectiva del periodo “m”
i : Tasa de interés efectiva correspondiente al periodo de la Tasa de interés nominal “r”
r = [(1 + i)1/m – 1] m
*
96
=INT.EFECTIVO(tasa_nominal, núm_per_año)
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*
Tasa equivalente para interés efectivo
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La tasa efectiva anual que paga un Banco por una cuenta a plazo fijo es de 15%. ¿Cuál será la tasa efectiva mensual?
Una entidad financiera cobra por préstamo una tasa efectiva mensual de 5%.¿Cuál será la Tasa Efectiva anual que cobra el Banco por préstamo?
Cual es la tasa efectiva equivalente bimestral de una tasa efectiva del 25% semestral
*
CASOS PRACTICOS
Calcular la tasa efectiva semestral correspondiente a la tasa de interés del 50% anual capitalizable trimestralmente.
i = (1 + 0.50/4)2 - 1 = 0.26562 = 26.56%
*
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Si la tasa efectiva mensual es de 4%. Hallar la tasa equivalente diaria.
i01 = (1 + 0.04)1/30- 1 = 0.0013082
= 0.13082%
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Si la tasa efectiva quincenal es de 1.5%. Hallar la tasa equivalente semestral.
i180 = (1 + 0.015)180/15- 1 = (1.015)12 - 1
= 0.195618 = 19.562%
CASOS PRACTICOS
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Es una función que trabaja con tasas de interés y tiempo.
La tasa de interés SIEMPRE ingresa a las fórmulas expresada en TANTO POR UNO (=/100)
Cuando no se dice nada acerca de la tasa de interés, SE ASUME que está expresada en términos ANUALES.
La tasa de interés y el tiempo SIEMPRE deben estar expresados en la misma unidad de medida, y se puede transformar cualquiera de ellos o ambos en el interés simple, y en el compuesto siempre se debe de expresar en términos del periodo de capitalización o pago.
Leyes
Interés Simple
10,000.00x6%=600.00
11,200.00
11,800.00
12,400.00
13,000.00
Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual simple.
¿Cuánto debemos pagar al final?
*
*
Interés Compuesto
10,000.00x6%=600.00
11,236.00
11,910.16
12,625.77
13,382.26
*
*
*
*
*
*
Antes de resolver problemas de interés compuesto debemos hacernos la siguiente pregunta:
¿Quién manda?
La Capitalización
*
*
10%
CRECIO
46.41%
100
100
10
110
110
11
121
121.00
12.10
133.10
INTERES COMPUESTO
en Capital:
INTERES COMPUESTO
convierte en capital, se conoce como
“frecuencia de conversión” o
INTERES COMPUESTO
n
INTERES COMPUESTO
meses, la frecuencia de capitalización es 4.
Tasa anual de interés = 0,07 = 0,0175
frecuencia de capitalización 4
INTERES COMPUESTO
al 7% convertible trimestralmente, tenemos que:
P = 1.000
i = 0,0175
n = 34
n 34
= 1000(1,803725) = 1.803,72
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INTERES COMPUESTO
Ejemplo B:
por 3 años, si el interés de 5% es capitalizable
anualmente en capital.
INTERES COMPUESTO
Ejemplo B:
El interés por un año es 1.000(0.05) = 50.00
El Capital al final del primer año es = 1.050.00
El interés del nuevo capital es 1050(0.05)= 52.50
El capital al final del 2º año es = 1.102.50
El interés nuevo capital es 1.102.50(0.05) = 55.12
El capital al final del 3er año es = 1.157.62
El interés compuesto es 1.157.62 - 1.000 = 157.62
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INTERES COMPUESTO
Ejemplo B:
INTERES COMPUESTO
Calcule el monto de un Capital inicial de S/. 1,000
colocado durante 4 años a una tasa efectiva anual
de 18%.
INTERES COMPUESTO
Calcule el monto de un Capital inicial de S/. 1,000
colocado durante 4 años a una tasa efectiva anual
de 18%.
n= 4 años S = 1,938.78
i = 0.18
INTERES COMPUESTO
tasa efectiva mensual del 4%
S=?
INTERES COMPUESTO
tasa efectiva mensual del 4%
n
n= 5 meses S = 2,433.31
i = 0.04
INTERES COMPUESTO
público una tasa nominal mensual del 3% con
capitalización trimestral. ¿Qué monto se habrá
acumulado con un capital inicial de S/. 3,000
colocado durante 6 meses?
INTERES COMPUESTO
n = 6 meses S = 3,564.30
i = 0.03 mensual
INTERES COMPUESTO
PERIODO DE CONVERSION FRACCIONARIO
Ejemplo: Hallar el valor presente de US$ 3.000
pagaderos en 8 años y 10 meses, suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente.
S= 3.000; i= 0.01; n = 35 trim, más 1 mes
- 35 -1/3
P = 3.000(0,7059114)(0,996689)= 2.110,73
INTERES COMPUESTO
n
1/n
S
INTERES COMPUESTO
¿A que tasa efectiva mensual un capital de S/. 1,000
se habrá convertido en un monto de S/ 1,100 si dicho
capital original fue colocado a 3 meses?
1/n
1/3
S = 1,100 i = 0.0322801155
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INTERES COMPUESTO
Log (S/P)
INTERES COMPUESTO
El 1º de Abril, el precio de una materia prima fue de S/. 20,000 por TM. 45 días después aumentó a S/ 22,000 ¿Cuál será el precio a pagar por el nuevo stock que lo renovaremos dentro de 180 días, contados a partir del 1º de Abril, si nuestro proveedor nos manifiesta que los precios se incrementarán periódicamente (cada 45 días) en el mismo porcentaje?
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INTERES COMPUESTO
Solución
La tasa de crecimiento (i) del precio de la MP en
22,000
20,000
El número de períodos (n) de 45 días que se
capitalizarán en el plazo de 180 días = 4 .
Conociendo P, n e i, podemos proyectar el precio
de la materia prima a 180días
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. 80,000 para cancelarlo dentro de 120 días, a la tasa efectiva mensual de mercado
Al vencimiento del plazo, la tasa efectiva ha sufrido las siguientes variaciones:
5% durante 46 días, 4.5% durante 10 días y 4% durante 64 días.
¿Cuál es el monto a cancelar al vencimiento del crédito?
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INTERES COMPUESTO
0 i = 0.05 46 i = 0.04 56 i = 0.04 120P=
P = 80,000
INTERES COMPUESTO
S = 95,124
INTERES COMPUESTO
El 6 de Junio la empresa Agroexport S.A. Compró
en el Banco Platino un Certificado de Depósito a
Plazo (CDP) a 90 días por un importe de S/. 20,000,
ganando una tasa nominal anual de 24% con
capitalización diaria, si el 1º de Julio del mismo año
la tasa bajó al 18 nominal anual (con la misma
capitalización). ¿Cuál fue el monto que recibió
Agroexport S.A. Al vencimiento del plazo del CDP?
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INTERES COMPUESTO
06.06 n1 = 25 01.07 n2 = 65 04.09
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INTERES COMPUESTO
S = 21,007.62
INTERES COMPUESTO
Calcule el Valor Futuro de un Capital inicial de S/. 2,000, que genera una tasa de interés nominal anual del 24% capitalizable mensual- mente, durante un trimestre.
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INTERES COMPUESTO
P = 2,000
INTERES COMPUESTO
P = 2,000
INTERES COMPUESTO
Hace 4 meses se colocó en un banco un capital de 3% efectivo mensual, lo que permitió acumular un monto de S/. 2,000 ¿Cuál fue el importe del Capital original?
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
¿Cuánto podré disponer hoy, si me han descontado un paquete de 4 letras cuyos importes son S/. 2,000, 6,500, 8,000 y 7,500, las cuales vencen dentro de 15,30,45 y 60 días respectivamente? La tasa efectiva quincenal que cobra la entidad financiera es del 1%.
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INTERES COMPUESTO
de 4 valores futuros, descontándolos cada uno
aplicando una tasa efectiva quincenal del 1%
durante 1, 2, 3 y 4 períodos quincenales
respectivamente.
INTERES COMPUESTO
P = ?
INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
El 24 de setiembre se efectuó un depósito al banco percibiendo una tasa efectiva mensual del 4% la cual varió el 16 de Octubre al 4.2% y al 4.5% el 11 de Noviembre. El día de hoy, 25 de Noviembre, el saldo de la cuenta es de S/. 6,500 ¿Qué importe se depositó originalmente? ¿Cuál fue la tasa de interés acumulada?
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INTERES COMPUESTO
Hallar el capital inicial que produjo un monto de
S/.6,500 en el plazo de 42 días. En ese período de
tiempo la tasa de interés efectiva mensual fue del
4% durante 22 días, 4.2% durante 26 días y 4.5%
durante 14 días
INTERES COMPUESTO
24/9 16/10 11/11 25/11
P = ?
INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
6,500
INTERES COMPUESTO
Después de tres meses de haber colocado un capital de S/. 3,000 se obtuvo un monto de S/. 3,500 ¿A qué tasa de interés efectivo mensual se colocó el capital?
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual de un bono comprado en S/. 2,000 y vendido al cabo de 90 días en S/. 2,315.25
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
una tasa de interés efectiva del 4% mensual
se ha obtenido un monto de S/. 1,500.
¿A qué tiempo se colocó el capital?
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INTERES COMPUESTO
i = 0.04. Podemos plantear la siguiente ecuación:
n
1,500
log
1,000
INTERES COMPUESTO
¿Cuánto tiempo a partir del segundo depósito será necesario para que un depósito de /. 1,000 efectuado hoy y un depósitop de S/. 1,500 que efectuar dentro de 4 meses en un banco, ganando una tasa efectiva mensual del 4% se conviertan en S/. 4,000?
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Solución 4
4,000.00
Log
2,669.86
INTERES COMPUESTO
Calcule el Interés que ha producido un capital de S/. 7,000 a una tasa efectiva mensual del 1% por e período comprendido entre el 3 de Abril y 6 de Junio del mismo año.
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
¿Cuánto de interés se pagará por un préstamo de S/. 6,000 que devenga una tasa efectiva trimestral del 2% ? El crédito se ha utilizado durante 17 días.
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INTERES COMPUESTO
SERVICIO DE LA DEUDA
¿Qué es el interés al rebatir?
Es el interés que se cobra sobre los saldos deudores durante períodos de frecuencia de tiempos exactos.
Cuota: Amortización + Interés
Amortización: Es lo único que rebaja el principal de una
deuda.
Interés: es el importe cobrado sobre el saldo deudor.
Si el interés es igual a cero es que se ha otorgado otro
préstamo.
Cronograma de pago: Método Amortizaciones Iguales (Tasa 10%)
n Saldo Amortización Interés Cuota
1 100,000 25,000 10,000 35,000
2 75,000 25,000 7,500 32,500
3 50,000 25,000 5,000 30,000
4 25,000 25,000 2,500 27,500
100,000 25,000 125,000
Interés al Rebatir
Cronograma de pago: Método Pago Final
n Saldo Amortización Interés Cuota
1 100,000 0 10,000 10,000
2 100,000 0 10,000 10,000
3 100,000 0 10,000 10,000
4 100,000 100,000 10,000 110,000
100,000 40,000 140,000
Interés al Rebatir
Modificaciones
n
Saldo
Amortización
Interés
Cuota
1
100,000
25,000
10,000
35,000
2
75,000
25,000
7,500
32,500
3
50,000
35,000
5,000
40,000
4
15,000
15,000
1,500
16,500
100,000
24,000
124,000
2. PAGO DE UNA CUOTA MENOR
N
Saldo
Amortización
Interés
Cuota
1
100,000
25,000
10,000
35,000
2
75,000
25,000
7,500
32,500
3
50,000
15,000
5,000
20,000
4
35,000
35,000
3,500
38,500
100,000
26,000
126,000
3. CUANDO EL CLIENTE NO PUEDE PAGAR NADA
n
Saldo
Amortización
Interés
Cuota
1
100,000
25,000
10,000
35,000
2
75,000
25,000
7,500
32,500
3
50,000
25,000
5,000
0
4
55,000
55,000
5,500
60,500
105,000
23,000
128,000
Cuotas Iguales
renta mensuales, dividendos trimestrales,
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ANUALIDADES
US$ 1,000 anuales, durante 4 años, al 5%
1,000 1,000 1,000 1,000
ANUALIDADES
Es la suma de los montos compuestos,
de los distintos pagos, c/u, acumulado
hasta el término del plazo.
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ANUALIDADES
Solución:
Puesto que el primer pago gana intereses por 3 años,
el segundo pago por 2 años, el tercero por 1 año y el
cuarto coincide con el término del plazo, tenemos que:
3 2 1
o invirtiendo e orden:
ANUALIDADES
2 3
S = 1,000 (4.310125)
ANUALIDADES
distintos pagos, cada uno descontado al
principio del plazo.
ANUALIDADES
i = j/m = la tasa de interés por período de
interés.
número de períodos de interés
S =El monto de la anualidad
A =El valor presente de la anualidad
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ANUALIDADES
n
ANUALIDADES
n
intervalo de pago durante “n”
intervalos.
ANUALIDADES
-n
ANUALIDADES
Donde:
-n
intervalo de pago durante “n” intervalos
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ANUALIDADES
anualidad de US$ 150 mensuales, durante tres
años seis meses al 6% convertible mensualmente.
S = X
R = 150
n = 42
ANUALIDADES
n
n i 42 0.005
ANUALIDADES
-n
n i 42 0.005
ANUALIDADES
US$ 500 al final de cada año en una cuenta
de ahorros la cual paga el 3.5% efectivo.
¿Cuánto había en la cuenta inmediatamente
después de haber hecho el 10º depósito?
R = 500
i = 0.035
n i
ANUALIDADES
n i 10 0.035
ANUALIDADES
anual. Si el primer pago vence en un año,
¿Cuál fue el costo de la anualidad?
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ANUALIDADES
ANUALIDADES
La compañía de Televisión Canal XZN, tiene una oferta de una máquina con US$ 20,000 de cuota inicial y de US$ 2,500 de cuota mensual por los próximos 12 meses. Si se carga un interés de 9% convertible mensualmente, hallar el valor al ctdo equivalente C.
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ANUALIDADES
La compañía de Televisión Canal XZN, tiene una oferta de una máquina con US$ 20,000 de cuota inicial y de US$ 2,500 de cuota mensual por los próximos 12 meses. Si se carga un interés de 9% convertible mensualmente, hallar el valor al ctdo equivalente C.
C= 20,000 + 2,500a = 20000+2500(11.4349)=
12 0.0075
C= 48,587
ANUALIDADES
Eduardo depositó cada 6 meses US$ 100 en una cuenta de ahorros, la cual producía un interés del 3% convertible semestralmente. El primer depósito lo hizo cuando el hijo de Eduardo tenía 6 meses de edad y el último cuando el hijo cumplió 21 años. El dinero permaneció en la cuenta y fue entregado al hijo cuando cumplió 25 años. ¿Cuánto recibió?
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ANUALIDADES
Eduardo depositó cada 6 meses US$ 100 en una cuenta de ahorros, la cual producía un interés del 3% convertible semestralmente. El primer depósito lo hizo cuando el hijo de Eduardo tenía 6 meses de edad y el último cuando el hijo cumplió 21 años. El dinero permaneció en la cuenta y fue entregado al hijo cuando cumplió 25 años. ¿Cuánto recibió?
8 8
42 0.015
X = 6,525.00
ANUALIDADES
Para liquidar una cierta deuda con intereses al 6% convertible mensualmente, José acuerda hacer pagos de US$ 50 al final de cada mes por los próximos 17 meses y un pago final de US$ 95.25 un mes después. ¿Cuál es el importe de la deuda?
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ANUALIDADES
Para liquidar una cierta deuda con intereses al 6% convertible mensualmente, José acuerda hacer pagos de US$ 50 al final de cada mes por los próximos 17 meses y un pago final de US$ 95.25 un mes después. ¿Cuál es el importe de la deuda?
-18
17 0.005
ANUALIDADES
¿Cuál tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que deberán hacerse en una cuenta de ahorros que paga el 3.5% convertible semestralmente, durante 10 años para que el monto alcance la suma US$ 25,000, precisamente después del último depósito?
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ANUALIDADES
¿Cuál tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que deberán hacerse en una cuenta de ahorros que paga el 3.5% convertible semestralmente, durante 10 años para que el monto alcance la suma US$ 25,000, precisamente después del último depósito?
1 1
R = 1,054.78
ANUALIDADES
convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe de cada
uno de los retiros trimestrales que podrá hacer durante
cuatro años, iniciando el primero, transcurridos tres
meses? A =10,000; i = 0.01 ; n = 16
1 1
R = 10,000(0.0679446) = 679.45
ANUALIDADES
convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe de cada
uno de los retiros trimestrales que podrá hacer durante
cuatro años, iniciando el primero, transcurridos tres
meses? A =10,000; i = 0.01 ; n = 16
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ANUALIDADES
Tres meses antes de ingresar al colegio un estudiante
recibe US$ 10,000.00, los cuales son invertidos al 4% anual convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe de cada uno de los retiros trimestrales que podrá hacer durante cuatro años, iniciando el primero, transcurridos tres meses?
A =10,000; i = 0.01 ; n = 16
1 1
R = 10,000(0.0679446) = 679.45
CRONOGRAMAS DE PAGOS
Una deuda de US$ 5,000 con intereses
al 5% anual convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales “R” en los próximos 3 años, el primero con vencimiento al término de 6 meses. Hallar el pago.
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CRONOGRAMA DE PAGOS
al 5% convertible semestralmente se va
a amortizar mediante pagos semestrales
iguales “R” en los próximos 3 años, el
primero con vencimiento al término de 6
meses. Hallar el pago.
a a
TABLA DE AMORTIZACION
Insoluto Vencido pagado
446.49 5,446.50 5,000.01
CRONOGRAMA DE PAGOS
después del 4º pago y comparar con la
cifra de la tabla del Ejemplo anterior.
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CRONOGRAMA DE PAGOS
después del 4º pago y comparar con la
cifra de la tabla del Ejemplo anterior.
El Capital insoluto “ P “ justamente
después del 4º pago, es el Valor
Presente de los 6 - 4 = 2 pagos que
aún faltan por hacerse.
P = 907.75 a = 1,749.62
CRONOGRAMA DE PAGOS
para renovar su planta de producción. Acuerda
amortizar su deuda, capital e intereses al 4.5%
mediante pagos anuales iguales por 8 años, el
primero con vencimiento en un año. Hallar:
a) El costo anual de la deuda
b) El capital insoluto después del 6º pago
c) ¿En cuanto se reduce la deuda con el 4º pago?
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a) El pago anual es:
1
b) El capital insoluto después de 6º pago es:
1
c) En cuánto reduce la deuda el 4º pago?
El capital insoluto después de 3er pago es:
1
El interés vencido cuando sea hecho el 4º pago es:
13,311.24 (0.045)= 599.01.
US$ 3,032.19 - US$ 599.01= US$ 2,433.18
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PROGRAMA DE PAGOS CON PERIODO DE GRACIA
*
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Es el periodo que transcurre entre que se efectúa el préstamo y que se empiezan a efectuar los pagos de las amortizaciones y el interés.
Durante el periodo de gracia no se efectúan pagos del principal (amortización).
Se tienen dos modalidades de préstamo con periodos de gracia:
Periodo de gracia muerto: Es aquel en donde no se efectúa ninguna clase de pagos, ni del principal ni de intereses. No obstante, los intereses se van acumulando a la deuda, es decir, se capitalización durante todo el periodo de gracia.
*
Saltar a la primera página
Solicita un préstamo al banco por un valor de $10,000. El Banco del Norte le ha ofrecido prestarle el monto bajo las siguientes condiciones: TEA de 12% pagadero en 12 meses en cuotas uniformes con un periodo de gracia de 5 meses. Los 12 meses se cuentan a partir del inicio del pago.
Desarrollar el cronograma de pago de la deuda, con Periodo de Gracia Muerto y con Cuota reducida
A cuanto ascendería la cuota que pagaría.
*
*
Paso 1: Datos
P5 = 10,000*(1+0.95%)5
P5 = 10,483.52
Monto capitalizado
Intereses que se capitalizan
Paso 1: Datos
P5 = 10,000
Periodo de gracia con cuota reducida
Periodo de pago de la deuda
*
MATEMATICA
FINANCIERA
® 2015
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Lo que relaciona el valor del dinero con el tiempo es el interés
Nunca se deben sumar valores en fechas diferentes.
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
*
*
Desplazamiento del flujo financiero
*
*
*
*
10%
CRECIO
46.41%
100
100
10
110
110
11
121
121.00
12.10
133.10
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Alberto deposita $1,500 en una cuenta de ahorro a un 12% de interés anual compuesto por un plazo de 3 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 3 años
Claudia hace un deposito de $2,000 en una cuenta de ahorro a un 8% de interés anual compuesto por un plazo de 5 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 5 años?
Patricia hizo un deposito de $1,000 en una cuenta de ahorro y al final de 5 años obtuvo $1,350. ¿Cuál fue la tasa de interés anual compuesta?
*
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Es una tasa de interés enunciativa que no refleja el verdadero interés que se obtiene por el capital. Se presenta con fines nominativos. Esta tasa debe estar acompañada de los periodos de capitalización compuesta.
Ejemplos
16% nominal anual con capitalización quincenal.
10% nominal anual con capitalización diaria.
32% nominal anual con capitalización semestral.
i m = r/m
im : Tasa de interés del periodo “m”
*
*
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*
El número de veces que el interés se capitaliza en un año se conoce como Frecuencia de Capitalización o Frecuencia de Conversión
Ejemplos:
*
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*
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Es una tasa de interés que refleja el interés que verdaderamente se obtendrá por el capital. La tasa de interés efectiva emplea el concepto del interés compuesto.
La tasa de interés efectiva se suele expresar en términos anual recibiendo el nombre de Tasa Efectiva Anual o TEA.
La tasa de interés efectiva es la empleada entre otros en:
Préstamos concedidos por los bancos a empresas.
Compras de bienes de consumo a plazos.
Créditos hipotecarios.
Créditos vehiculares.
*
i = (1 + r/m)m - 1
Relación entre la Tasa de interés nominal (r) y la Tasa de interés efectiva ( i )
i m = r/m
im : Tasa de interés efectiva del periodo “m”
i : Tasa de interés efectiva correspondiente al periodo de la Tasa de interés nominal “r”
r = [(1 + i)1/m – 1] m
*
96
=INT.EFECTIVO(tasa_nominal, núm_per_año)
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*
Tasa equivalente para interés efectivo
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La tasa efectiva anual que paga un Banco por una cuenta a plazo fijo es de 15%. ¿Cuál será la tasa efectiva mensual?
Una entidad financiera cobra por préstamo una tasa efectiva mensual de 5%.¿Cuál será la Tasa Efectiva anual que cobra el Banco por préstamo?
Cual es la tasa efectiva equivalente bimestral de una tasa efectiva del 25% semestral
*
CASOS PRACTICOS
Calcular la tasa efectiva semestral correspondiente a la tasa de interés del 50% anual capitalizable trimestralmente.
i = (1 + 0.50/4)2 - 1 = 0.26562 = 26.56%
*
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Si la tasa efectiva mensual es de 4%. Hallar la tasa equivalente diaria.
i01 = (1 + 0.04)1/30- 1 = 0.0013082
= 0.13082%
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Si la tasa efectiva quincenal es de 1.5%. Hallar la tasa equivalente semestral.
i180 = (1 + 0.015)180/15- 1 = (1.015)12 - 1
= 0.195618 = 19.562%
CASOS PRACTICOS
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Es una función que trabaja con tasas de interés y tiempo.
La tasa de interés SIEMPRE ingresa a las fórmulas expresada en TANTO POR UNO (=/100)
Cuando no se dice nada acerca de la tasa de interés, SE ASUME que está expresada en términos ANUALES.
La tasa de interés y el tiempo SIEMPRE deben estar expresados en la misma unidad de medida, y se puede transformar cualquiera de ellos o ambos en el interés simple, y en el compuesto siempre se debe de expresar en términos del periodo de capitalización o pago.
Leyes
Interés Simple
10,000.00x6%=600.00
11,200.00
11,800.00
12,400.00
13,000.00
Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual simple.
¿Cuánto debemos pagar al final?
*
*
Interés Compuesto
10,000.00x6%=600.00
11,236.00
11,910.16
12,625.77
13,382.26
*
*
*
*
*
*
Antes de resolver problemas de interés compuesto debemos hacernos la siguiente pregunta:
¿Quién manda?
La Capitalización
*
*
10%
CRECIO
46.41%
100
100
10
110
110
11
121
121.00
12.10
133.10
INTERES COMPUESTO
en Capital:
INTERES COMPUESTO
convierte en capital, se conoce como
“frecuencia de conversión” o
INTERES COMPUESTO
n
INTERES COMPUESTO
meses, la frecuencia de capitalización es 4.
Tasa anual de interés = 0,07 = 0,0175
frecuencia de capitalización 4
INTERES COMPUESTO
al 7% convertible trimestralmente, tenemos que:
P = 1.000
i = 0,0175
n = 34
n 34
= 1000(1,803725) = 1.803,72
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INTERES COMPUESTO
Ejemplo B:
por 3 años, si el interés de 5% es capitalizable
anualmente en capital.
INTERES COMPUESTO
Ejemplo B:
El interés por un año es 1.000(0.05) = 50.00
El Capital al final del primer año es = 1.050.00
El interés del nuevo capital es 1050(0.05)= 52.50
El capital al final del 2º año es = 1.102.50
El interés nuevo capital es 1.102.50(0.05) = 55.12
El capital al final del 3er año es = 1.157.62
El interés compuesto es 1.157.62 - 1.000 = 157.62
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INTERES COMPUESTO
Ejemplo B:
INTERES COMPUESTO
Calcule el monto de un Capital inicial de S/. 1,000
colocado durante 4 años a una tasa efectiva anual
de 18%.
INTERES COMPUESTO
Calcule el monto de un Capital inicial de S/. 1,000
colocado durante 4 años a una tasa efectiva anual
de 18%.
n= 4 años S = 1,938.78
i = 0.18
INTERES COMPUESTO
tasa efectiva mensual del 4%
S=?
INTERES COMPUESTO
tasa efectiva mensual del 4%
n
n= 5 meses S = 2,433.31
i = 0.04
INTERES COMPUESTO
público una tasa nominal mensual del 3% con
capitalización trimestral. ¿Qué monto se habrá
acumulado con un capital inicial de S/. 3,000
colocado durante 6 meses?
INTERES COMPUESTO
n = 6 meses S = 3,564.30
i = 0.03 mensual
INTERES COMPUESTO
PERIODO DE CONVERSION FRACCIONARIO
Ejemplo: Hallar el valor presente de US$ 3.000
pagaderos en 8 años y 10 meses, suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente.
S= 3.000; i= 0.01; n = 35 trim, más 1 mes
- 35 -1/3
P = 3.000(0,7059114)(0,996689)= 2.110,73
INTERES COMPUESTO
n
1/n
S
INTERES COMPUESTO
¿A que tasa efectiva mensual un capital de S/. 1,000
se habrá convertido en un monto de S/ 1,100 si dicho
capital original fue colocado a 3 meses?
1/n
1/3
S = 1,100 i = 0.0322801155
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INTERES COMPUESTO
Log (S/P)
INTERES COMPUESTO
El 1º de Abril, el precio de una materia prima fue de S/. 20,000 por TM. 45 días después aumentó a S/ 22,000 ¿Cuál será el precio a pagar por el nuevo stock que lo renovaremos dentro de 180 días, contados a partir del 1º de Abril, si nuestro proveedor nos manifiesta que los precios se incrementarán periódicamente (cada 45 días) en el mismo porcentaje?
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INTERES COMPUESTO
Solución
La tasa de crecimiento (i) del precio de la MP en
22,000
20,000
El número de períodos (n) de 45 días que se
capitalizarán en el plazo de 180 días = 4 .
Conociendo P, n e i, podemos proyectar el precio
de la materia prima a 180días
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. 80,000 para cancelarlo dentro de 120 días, a la tasa efectiva mensual de mercado
Al vencimiento del plazo, la tasa efectiva ha sufrido las siguientes variaciones:
5% durante 46 días, 4.5% durante 10 días y 4% durante 64 días.
¿Cuál es el monto a cancelar al vencimiento del crédito?
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INTERES COMPUESTO
0 i = 0.05 46 i = 0.04 56 i = 0.04 120P=
P = 80,000
INTERES COMPUESTO
S = 95,124
INTERES COMPUESTO
El 6 de Junio la empresa Agroexport S.A. Compró
en el Banco Platino un Certificado de Depósito a
Plazo (CDP) a 90 días por un importe de S/. 20,000,
ganando una tasa nominal anual de 24% con
capitalización diaria, si el 1º de Julio del mismo año
la tasa bajó al 18 nominal anual (con la misma
capitalización). ¿Cuál fue el monto que recibió
Agroexport S.A. Al vencimiento del plazo del CDP?
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INTERES COMPUESTO
06.06 n1 = 25 01.07 n2 = 65 04.09
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INTERES COMPUESTO
S = 21,007.62
INTERES COMPUESTO
Calcule el Valor Futuro de un Capital inicial de S/. 2,000, que genera una tasa de interés nominal anual del 24% capitalizable mensual- mente, durante un trimestre.
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INTERES COMPUESTO
P = 2,000
INTERES COMPUESTO
P = 2,000
INTERES COMPUESTO
Hace 4 meses se colocó en un banco un capital de 3% efectivo mensual, lo que permitió acumular un monto de S/. 2,000 ¿Cuál fue el importe del Capital original?
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
¿Cuánto podré disponer hoy, si me han descontado un paquete de 4 letras cuyos importes son S/. 2,000, 6,500, 8,000 y 7,500, las cuales vencen dentro de 15,30,45 y 60 días respectivamente? La tasa efectiva quincenal que cobra la entidad financiera es del 1%.
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INTERES COMPUESTO
de 4 valores futuros, descontándolos cada uno
aplicando una tasa efectiva quincenal del 1%
durante 1, 2, 3 y 4 períodos quincenales
respectivamente.
INTERES COMPUESTO
P = ?
INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
El 24 de setiembre se efectuó un depósito al banco percibiendo una tasa efectiva mensual del 4% la cual varió el 16 de Octubre al 4.2% y al 4.5% el 11 de Noviembre. El día de hoy, 25 de Noviembre, el saldo de la cuenta es de S/. 6,500 ¿Qué importe se depositó originalmente? ¿Cuál fue la tasa de interés acumulada?
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INTERES COMPUESTO
Hallar el capital inicial que produjo un monto de
S/.6,500 en el plazo de 42 días. En ese período de
tiempo la tasa de interés efectiva mensual fue del
4% durante 22 días, 4.2% durante 26 días y 4.5%
durante 14 días
INTERES COMPUESTO
24/9 16/10 11/11 25/11
P = ?
INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
6,500
INTERES COMPUESTO
Después de tres meses de haber colocado un capital de S/. 3,000 se obtuvo un monto de S/. 3,500 ¿A qué tasa de interés efectivo mensual se colocó el capital?
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual de un bono comprado en S/. 2,000 y vendido al cabo de 90 días en S/. 2,315.25
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
una tasa de interés efectiva del 4% mensual
se ha obtenido un monto de S/. 1,500.
¿A qué tiempo se colocó el capital?
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INTERES COMPUESTO
i = 0.04. Podemos plantear la siguiente ecuación:
n
1,500
log
1,000
INTERES COMPUESTO
¿Cuánto tiempo a partir del segundo depósito será necesario para que un depósito de /. 1,000 efectuado hoy y un depósitop de S/. 1,500 que efectuar dentro de 4 meses en un banco, ganando una tasa efectiva mensual del 4% se conviertan en S/. 4,000?
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Solución 4
4,000.00
Log
2,669.86
INTERES COMPUESTO
Calcule el Interés que ha producido un capital de S/. 7,000 a una tasa efectiva mensual del 1% por e período comprendido entre el 3 de Abril y 6 de Junio del mismo año.
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
¿Cuánto de interés se pagará por un préstamo de S/. 6,000 que devenga una tasa efectiva trimestral del 2% ? El crédito se ha utilizado durante 17 días.
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INTERES COMPUESTO
SERVICIO DE LA DEUDA
¿Qué es el interés al rebatir?
Es el interés que se cobra sobre los saldos deudores durante períodos de frecuencia de tiempos exactos.
Cuota: Amortización + Interés
Amortización: Es lo único que rebaja el principal de una
deuda.
Interés: es el importe cobrado sobre el saldo deudor.
Si el interés es igual a cero es que se ha otorgado otro
préstamo.
Cronograma de pago: Método Amortizaciones Iguales (Tasa 10%)
n Saldo Amortización Interés Cuota
1 100,000 25,000 10,000 35,000
2 75,000 25,000 7,500 32,500
3 50,000 25,000 5,000 30,000
4 25,000 25,000 2,500 27,500
100,000 25,000 125,000
Interés al Rebatir
Cronograma de pago: Método Pago Final
n Saldo Amortización Interés Cuota
1 100,000 0 10,000 10,000
2 100,000 0 10,000 10,000
3 100,000 0 10,000 10,000
4 100,000 100,000 10,000 110,000
100,000 40,000 140,000
Interés al Rebatir
Modificaciones
n
Saldo
Amortización
Interés
Cuota
1
100,000
25,000
10,000
35,000
2
75,000
25,000
7,500
32,500
3
50,000
35,000
5,000
40,000
4
15,000
15,000
1,500
16,500
100,000
24,000
124,000
2. PAGO DE UNA CUOTA MENOR
N
Saldo
Amortización
Interés
Cuota
1
100,000
25,000
10,000
35,000
2
75,000
25,000
7,500
32,500
3
50,000
15,000
5,000
20,000
4
35,000
35,000
3,500
38,500
100,000
26,000
126,000
3. CUANDO EL CLIENTE NO PUEDE PAGAR NADA
n
Saldo
Amortización
Interés
Cuota
1
100,000
25,000
10,000
35,000
2
75,000
25,000
7,500
32,500
3
50,000
25,000
5,000
0
4
55,000
55,000
5,500
60,500
105,000
23,000
128,000
Cuotas Iguales
renta mensuales, dividendos trimestrales,
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ANUALIDADES
US$ 1,000 anuales, durante 4 años, al 5%
1,000 1,000 1,000 1,000
ANUALIDADES
Es la suma de los montos compuestos,
de los distintos pagos, c/u, acumulado
hasta el término del plazo.
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ANUALIDADES
Solución:
Puesto que el primer pago gana intereses por 3 años,
el segundo pago por 2 años, el tercero por 1 año y el
cuarto coincide con el término del plazo, tenemos que:
3 2 1
o invirtiendo e orden:
ANUALIDADES
2 3
S = 1,000 (4.310125)
ANUALIDADES
distintos pagos, cada uno descontado al
principio del plazo.
ANUALIDADES
i = j/m = la tasa de interés por período de
interés.
número de períodos de interés
S =El monto de la anualidad
A =El valor presente de la anualidad
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ANUALIDADES
n
ANUALIDADES
n
intervalo de pago durante “n”
intervalos.
ANUALIDADES
-n
ANUALIDADES
Donde:
-n
intervalo de pago durante “n” intervalos
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ANUALIDADES
anualidad de US$ 150 mensuales, durante tres
años seis meses al 6% convertible mensualmente.
S = X
R = 150
n = 42
ANUALIDADES
n
n i 42 0.005
ANUALIDADES
-n
n i 42 0.005
ANUALIDADES
US$ 500 al final de cada año en una cuenta
de ahorros la cual paga el 3.5% efectivo.
¿Cuánto había en la cuenta inmediatamente
después de haber hecho el 10º depósito?
R = 500
i = 0.035
n i
ANUALIDADES
n i 10 0.035
ANUALIDADES
anual. Si el primer pago vence en un año,
¿Cuál fue el costo de la anualidad?
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ANUALIDADES
ANUALIDADES
La compañía de Televisión Canal XZN, tiene una oferta de una máquina con US$ 20,000 de cuota inicial y de US$ 2,500 de cuota mensual por los próximos 12 meses. Si se carga un interés de 9% convertible mensualmente, hallar el valor al ctdo equivalente C.
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ANUALIDADES
La compañía de Televisión Canal XZN, tiene una oferta de una máquina con US$ 20,000 de cuota inicial y de US$ 2,500 de cuota mensual por los próximos 12 meses. Si se carga un interés de 9% convertible mensualmente, hallar el valor al ctdo equivalente C.
C= 20,000 + 2,500a = 20000+2500(11.4349)=
12 0.0075
C= 48,587
ANUALIDADES
Eduardo depositó cada 6 meses US$ 100 en una cuenta de ahorros, la cual producía un interés del 3% convertible semestralmente. El primer depósito lo hizo cuando el hijo de Eduardo tenía 6 meses de edad y el último cuando el hijo cumplió 21 años. El dinero permaneció en la cuenta y fue entregado al hijo cuando cumplió 25 años. ¿Cuánto recibió?
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ANUALIDADES
Eduardo depositó cada 6 meses US$ 100 en una cuenta de ahorros, la cual producía un interés del 3% convertible semestralmente. El primer depósito lo hizo cuando el hijo de Eduardo tenía 6 meses de edad y el último cuando el hijo cumplió 21 años. El dinero permaneció en la cuenta y fue entregado al hijo cuando cumplió 25 años. ¿Cuánto recibió?
8 8
42 0.015
X = 6,525.00
ANUALIDADES
Para liquidar una cierta deuda con intereses al 6% convertible mensualmente, José acuerda hacer pagos de US$ 50 al final de cada mes por los próximos 17 meses y un pago final de US$ 95.25 un mes después. ¿Cuál es el importe de la deuda?
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ANUALIDADES
Para liquidar una cierta deuda con intereses al 6% convertible mensualmente, José acuerda hacer pagos de US$ 50 al final de cada mes por los próximos 17 meses y un pago final de US$ 95.25 un mes después. ¿Cuál es el importe de la deuda?
-18
17 0.005
ANUALIDADES
¿Cuál tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que deberán hacerse en una cuenta de ahorros que paga el 3.5% convertible semestralmente, durante 10 años para que el monto alcance la suma US$ 25,000, precisamente después del último depósito?
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ANUALIDADES
¿Cuál tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que deberán hacerse en una cuenta de ahorros que paga el 3.5% convertible semestralmente, durante 10 años para que el monto alcance la suma US$ 25,000, precisamente después del último depósito?
1 1
R = 1,054.78
ANUALIDADES
convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe de cada
uno de los retiros trimestrales que podrá hacer durante
cuatro años, iniciando el primero, transcurridos tres
meses? A =10,000; i = 0.01 ; n = 16
1 1
R = 10,000(0.0679446) = 679.45
ANUALIDADES
convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe de cada
uno de los retiros trimestrales que podrá hacer durante
cuatro años, iniciando el primero, transcurridos tres
meses? A =10,000; i = 0.01 ; n = 16
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ANUALIDADES
Tres meses antes de ingresar al colegio un estudiante
recibe US$ 10,000.00, los cuales son invertidos al 4% anual convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe de cada uno de los retiros trimestrales que podrá hacer durante cuatro años, iniciando el primero, transcurridos tres meses?
A =10,000; i = 0.01 ; n = 16
1 1
R = 10,000(0.0679446) = 679.45
CRONOGRAMAS DE PAGOS
Una deuda de US$ 5,000 con intereses
al 5% anual convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales “R” en los próximos 3 años, el primero con vencimiento al término de 6 meses. Hallar el pago.
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CRONOGRAMA DE PAGOS
al 5% convertible semestralmente se va
a amortizar mediante pagos semestrales
iguales “R” en los próximos 3 años, el
primero con vencimiento al término de 6
meses. Hallar el pago.
a a
TABLA DE AMORTIZACION
Insoluto Vencido pagado
446.49 5,446.50 5,000.01
CRONOGRAMA DE PAGOS
después del 4º pago y comparar con la
cifra de la tabla del Ejemplo anterior.
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CRONOGRAMA DE PAGOS
después del 4º pago y comparar con la
cifra de la tabla del Ejemplo anterior.
El Capital insoluto “ P “ justamente
después del 4º pago, es el Valor
Presente de los 6 - 4 = 2 pagos que
aún faltan por hacerse.
P = 907.75 a = 1,749.62
CRONOGRAMA DE PAGOS
para renovar su planta de producción. Acuerda
amortizar su deuda, capital e intereses al 4.5%
mediante pagos anuales iguales por 8 años, el
primero con vencimiento en un año. Hallar:
a) El costo anual de la deuda
b) El capital insoluto después del 6º pago
c) ¿En cuanto se reduce la deuda con el 4º pago?
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a) El pago anual es:
1
b) El capital insoluto después de 6º pago es:
1
c) En cuánto reduce la deuda el 4º pago?
El capital insoluto después de 3er pago es:
1
El interés vencido cuando sea hecho el 4º pago es:
13,311.24 (0.045)= 599.01.
US$ 3,032.19 - US$ 599.01= US$ 2,433.18
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PROGRAMA DE PAGOS CON PERIODO DE GRACIA
*
Saltar a la primera página
Es el periodo que transcurre entre que se efectúa el préstamo y que se empiezan a efectuar los pagos de las amortizaciones y el interés.
Durante el periodo de gracia no se efectúan pagos del principal (amortización).
Se tienen dos modalidades de préstamo con periodos de gracia:
Periodo de gracia muerto: Es aquel en donde no se efectúa ninguna clase de pagos, ni del principal ni de intereses. No obstante, los intereses se van acumulando a la deuda, es decir, se capitalización durante todo el periodo de gracia.
*
Saltar a la primera página
Solicita un préstamo al banco por un valor de $10,000. El Banco del Norte le ha ofrecido prestarle el monto bajo las siguientes condiciones: TEA de 12% pagadero en 12 meses en cuotas uniformes con un periodo de gracia de 5 meses. Los 12 meses se cuentan a partir del inicio del pago.
Desarrollar el cronograma de pago de la deuda, con Periodo de Gracia Muerto y con Cuota reducida
A cuanto ascendería la cuota que pagaría.
*
*
Paso 1: Datos
P5 = 10,000*(1+0.95%)5
P5 = 10,483.52
Monto capitalizado
Intereses que se capitalizan
Paso 1: Datos
P5 = 10,000
Periodo de gracia con cuota reducida
Periodo de pago de la deuda
*