matematica control fuzzy.pdf

DEPARTAMENTO DE CONTROL ESCUELA DE ELECTRONICA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERIA Y AGRIMENSURA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO

CONTROL AVANZADO II

MATEMATICA DEL

CONTROL FUZZY

Octubre 2010

Matemática del Control Fuzzy

Control Avanzado II Página 2 de 20

INDICE

1 Conjuntos clásicos ______________________________________________________________________ 3

1.1 Definiciones y características principales de un conjunto clásico____________________________ 3

1.2 Operaciones entre conjuntos y sus propiedades __________________________________________ 3

1.3 Función característica_______________________________________________________________ 4

2 Conjuntos fuzzy ________________________________________________________________________ 5

2.1 Función de pertenencia______________________________________________________________ 5

2.2 Funciones de pertenencia más utilizadas _______________________________________________ 6

2.3 Operaciones entre conjuntos fuzzy ____________________________________________________ 8

3 Relaciones y Reglas ____________________________________________________________________ 10

3.1 Producto cartesiano _______________________________________________________________ 10

3.2 Relaciones clásicas y función característica ____________________________________________ 10

3.3 Relaciones fuzzy __________________________________________________________________ 10

3.4 Implicaciones y reglas______________________________________________________________ 11

4 Razonamiento Aproximado ______________________________________________________________ 14

4.1 Regla Composicional de Inferencia ___________________________________________________ 14

4.2 Modus Ponens ____________________________________________________________________ 16

4.3 Razonamiento fuzzy _______________________________________________________________ 17

5 Bibliografía___________________________________________________________________________ 20



1 Conjuntos clásicos

1.1 Definiciones y características principales de un conjunto clásico

Se define como conjunto a un grupo de elementos de cualquier clase. En la teoría clásica los

conceptos de “conjunto” y “elemento” son primitivos, es decir, no se encuentran definidos en

términos de otros conceptos.

Un conjunto clásico queda completamente especificado por los elementos que el mismo

contiene. Además, para cualquier elemento perteneciente al campo de referencia – también

denominado universo de discurso – puede determinarse sin ambigüedades si el mismo

pertenece o no pertenece a un determinado conjunto.

Un conjunto puede ser finito, contable o incontable. Puede describirse con el listado

completo de sus elementos o enunciando la propiedad que define la pertenencia de los

elementos al conjunto. Los siguientes ejemplos ilustran algunos de estos casos:

A = { 0, 1, 2, 3, 4} conjunto finito

B = { x ∈ Z / x < 0} conjunto contable descrito por una propiedad

Entre todos los conjuntos se distinguen un par de conjuntos especiales:

- el llamado universo, nombrado con U, que contiene todos los elementos del universo de

discurso,

- y el llamado conjunto vacío, indicado con el símbolo ∅, que no contiene ningún elemento.

1.2 Operaciones entre conjuntos y sus propiedades

A partir de un par de conjuntos clásicos A y B del universo U pueden definirse las

siguientes operaciones:

- Complemento de A, A’ = { x / x ∉ A}

- Intersección de A y B, BAI = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}

- Unión de A y B, BAU = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}

- Producto Cartesiano de A y B, A x B = { ( x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}

Estas operaciones cumplen con las siguientes propiedades:

Conmutativa ABBA UU =

ABBA II =

Asociativa )()( CBACBA UUUU =

)()( CBACBA IIII =

Distributiva )()()( CABACBA IUIUI =

)()()( CABACBA UIUIU =



Absorción UUA =U

∅=∅IA

Identidad AA =∅U

AUA =I

Contradicción ∅=′AAI Tercio excluido UAA =′U

1.3 Función característica

Para definir un conjunto es posible enumerar sus elementos o enunciar un predicado que

defina aquella propiedad que es cumplida por todos sus elementos. Existe una tercera

posibilidad para enunciar la definición de un conjunto A: usar su función característica µA.

Sea A un conjunto definido en el dominio X, se define la función

µA(x): X → {0, 1}

como función característica del conjunto A si para todo x perteneciente al dominio X se cumple

que

µA(x) =

∉∈

. si 0

, si 1

Ax

Ax (1.1)

Con esta función característica es posible redefinir las operaciones “complemento”,

“intersección” y “unión” en término de funciones, lo que será de mucha utilidad al tratar la

teoría de conjuntos fuzzy. Sean A y B dos conjuntos definidos en el dominio X, y sean µA y µB

sus respectivas funciones características. Las operaciones referidas anteriormente pueden

definirse como:

- Complemento de A, indicado con A’, µA’(x) = 1− µA(x) (1.2)

- Intersección de A y B, indicado con BAI , µA∩B(x) = min(µA(x), µB(x)) (1.3)

- Unión de A y B, indicado con BAU , µA∪B(x) = max(µA(x), µB(x)) (1.4)

La elección de estas funciones es completamente arbitraria. La única propiedad que la

operación intersección debe satisfacer es la de retornar el valor 1 si ambos argumentos valen 1,

y retornar el valor 0 para el resto de los casos. El uso de la función mínimo cumple con esta

premisa, pero existen definiciones alternativas para la operación intersección, como por

ejemplo:

µA∩B(x) = µA(x).µB(x) (1.5)

µA∩B(x) = max(0, µA(x) + µB(x) – 1) (1.6)

Para el caso de la operación unión también es posible definir una función alternativa para

representarla, se la denomina OR-probabilístico:

µA∪B (x) = µA(x) + µB(x) – µA(x).µB(x) (1.7)

Las funciones que normalmente se utilizan para definir la operación intersección, como (1.3)

y (1.5), son normas triangulares. Las funciones que normalmente se utilizan para definir la

operación unión, como (1.4) y (1.7), son co-normas triangulares.



2 Conjuntos fuzzy

2.1 Función de pertenencia

De acuerdo a lo enunciado en el apartado 1.1, dado un conjunto A definido en el universo X

se sabe sin ambigüedades si un elemento x de X pertenece o no pertenece al conjunto A. En la

teoría de conjuntos fuzzy esta propiedad de pertenencia se generaliza, por lo que dado un

conjunto fuzzy D no es necesario que un elemento x del universo X pertenezca o no pertenezca

al mismo, sino que es posible enunciar que el elemento x pertenece “con un determinado

grado” al conjunto fuzzy D.

La generalización se lleva a cabo en la definición de la llamada función de pertenencia de un

conjunto fuzzy, que se basa en la definición de la función característica de un conjunto clásico.

Esta función asigna a cada elemento x ∈ X un valor en el intervalo unitario continuo [0, 1] en

lugar del conjunto de dos elementos {0, 1}. Un conjunto definido sobre esta base se denomina

conjunto fuzzy.

La función de pertenencia µA de un conjunto fuzzy A definido en el dominio X es una

función

µA(x): X → [0, 1] (2.1)

De este modo, cada elemento x de X tiene un grado de pertenencia µA(x) ∈ [0, 1]. El

conjunto fuzzy A queda completamente determinado por el conjunto de t-uplas

A = {(x, µA(x)) / x ∈ X} (2.2)

La notación anterior suele cambiarse por la siguiente para universos discretos:

A = ∑∈Xx

µA(x) / x (2.3)

y por la siguiente para universos continuos:

A = ∫X µA(x) / x (2.4)

donde los símbolos de sumatoria o integral indican enumeración, y la barra inclinada indica

t-upla.

Se concluye entonces que un conjunto fuzzy en un universo X queda completamente

definido a través de su función de pertenencia en dicho dominio.

Ejemplos:

1) Universo discreto

X = N A : números aproximadamente iguales a 6

A = {0.1/3, 0.3/4, 0.6/5, 1.0/6, 0.6/7, 0.3/8, 0.1/9}

2) Universo continuo

X = R A : números aproximadamente iguales a 6



A = ∫R µA(x) / x

µA(x) =

9 ó 3 si

93 si

0

3

61

><

≤≤

−−

xx

xx

2.2 Funciones de pertenencia más utilizadas

Si bien la elección de una función de pertenencia es arbitraria, en el momento de la

implementación tecnológica hay funciones más comúnmente usadas debido a su sencillez. A

continuación se detallan algunas de estas funciones:

- Funciones Triangulares

µA(x) =triángulo(x; a, b, c)

- Funciones Trapezoidales

µA(x) =trapecio(x; a, b, c, d)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gra

do d

e pe

rten

enci

a

Función de Pertenencia Triangular

x

(x-a)/(b-a) (c-x)/(c-b)

a b c

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

Gra

do d

e pe

rten

enci

a

Función de Pertenencia Trapezoidal

(x-a)/(b-a) (d-x)/(d-c)

a b c d

0 2 4 6 8 10 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

µ

Función de pertenencia uA(x)

1-sqrt(abs(x-6)3)



- Funciones Campanas de Gauss

µA(x) =gauss(x; σ, c)=2

2

2

)(

σcx

e

−−

- Funciones Campanas Generalizadas

µA(x) =campana(x; a, b, c)=b

a

cx2

1

1

−+

- Funciones Sigmoides

µA(x) =sigma(x; a, c)= )(1

1cxae −−+

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xG

rado

de

pert

enen

cia

Función de Pertenencia Campana de Gauss

sigma = 0.2

c = 0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

Gra

do d

e pe

rten

enci

a

Función de Pertenencia Campana Generalizada

a = 0.4

b = 2

c = 0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

Gra

do d

e pe

rten

enci

a

Función de Pertenencia Sigmoide

a = 13

c = -0.4



µA(x) =dif_sigma(x; a1, c1, a2, c2)=sigma(x; a1, c1) – sigma(x; a2, c2)

µA(x) =prod_sigma(x; a1, c1, a2, c2)=sigma(x; a1, c1) . sigma(x; a2, c2)

2.3 Operaciones entre conjuntos fuzzy

A partir de un par de conjuntos fuzzy A y B del universo X, definidos a partir de su función

de pertenencia µA(x) y µB(x), puede encontrarse la función de pertenencia del conjunto que

surge de realizar operaciones básicas entre los mismos. Dados los conjuntos A y B definidos

como

A = {(x, µA(x)) / x ∈ X}

B = {(x, µB(x)) / x ∈ X}

se definen las siguientes operaciones de manera similar a lo hecho con los conjuntos clásicos

y sus funciones características:

- Complemento de A,

µA’(x) = 1− µA(x) (2.5)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

Gra

do

de p

erte

nenc

ia

Función de Pertenencia Diferencia de Sigmoides

a1=-0.5 a2=0.6

c1=10c1=10 c2=10

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

Gra

do d

e pe

rten

enci

a

Función de Pertenencia Producto de Sigmodes

a1=-0.6 a2=0.5

c1=10 c2=-20



- Intersección de A y B,

µA∩B(x) = min(µA(x), µB(x)) (2.6)

µA∩B(x) = µA(x).µB(x) (2.7)

En general, se utiliza la notación µA∩B(x) = µA(x) * µB(x) para indicar el uso de la

operación intersección (norma triangular) e independizarse de su definición.

- Unión de A y B,

µA∪B(x) = max(µA(x), µB(x)) (2.8)

µA∪B(x) = µA(x) + µB(x) – µA(x).µB(x) (2.9)

En general, se utiliza la notación µA∩B(x) = µA(x) ⊕ µB(x) para indicar el uso de la

operación unión (co-norma triangular) e independizarse de su definición.

En el caso de conjuntos clásicos es indistinto el uso de una u otra definición para encontrar

la función característica del conjunto resultado de la intersección o la unión de conjuntos. Esta

condición no se cumple en el caso de trabajar con conjuntos fuzzy y sus funciones de

pertenencia. He aquí algunos ejemplos utilizando las definiciones (2.5), (2.6) y (2.8):

En los ejemplos anteriores puede observarse que no se cumplen las leyes de contradicción y

del tercio excluido definidas para conjuntos clásicos (ver punto 1.2).

µA(x) µB(x)

x

1

µA∩B(x)

x

1 µA∪B(x)

x

1

1

µA’ (x)

x

µA∪A’ (x)

x

µA∩A’ (x)

x



3 Relaciones y Reglas

3.1 Producto cartesiano

Dados los universos X e Y, se define como producto cartesiano XxY al conjunto de todos los

pares ordenados (x, y) tales que x pertenezca a X e y pertenezca a Y. Esta definición puede

expresarse de la siguiente manera:

{ }YyXxyxYX ∈∧∈= /),(x

El producto cartesiano XxY es un nuevo universo, el universo de todos los pares ordenados

(x, y).

3.2 Relaciones clásicas y función característica

Una relación R definida en el producto cartesiano XxY es un subconjunto determinado de

pares (x, y) pertenecientes a XxY. Generalmente los elementos de R cumplen con una

determinada condición que define a la relación.

Ejemplos:

1) Sean los universos X = Y = R

Se puede definir la relación { }2/),( xyYyXxyxR =∧∈∧∈=

La relación está formada por los puntos del plano que pertenecen a la parábola 2xy = .

Luego es sencillo comprobar que R∈)0,0( , R∈)4,2( , y R∉)5,3( .

2) Sean los universos X = Y = Z = R

Se puede definir la relación { }123/),,( ++=∧∈∧∈∧∈= yxzZzYyXxzyxR

El producto cartesiano puede generalizarse a n universos, y el mismo estará integrado

por n-uplas. Luego la relación R estará formada por un subconjunto de n-uplas del

producto cartesiano.

Siendo la relación R un conjunto, es posible definir su función característica µR(x, y) de

manera tal que

µR(x, y) =

∉∈

.),( si 0

,),( si 1

Ryx

Ryx (3.1)

De este modo, para la relación definida en el ejemplo 1 vale que µR(0, 0) = 1 y µR(3, 5) = 0.

3.3 Relaciones fuzzy

Dados los universos X e Y, y el producto cartesiano XxY , se define una relación fuzzy R a

través del enunciado de su función de pertenencia µR(x, y)

µR(x, y): XxY → [0, 1] (3.2)



De este modo, cada par (x, y) de XxY tiene un grado de pertenencia µR(x, y) ∈ [0, 1]. De

manera análoga a los conjuntos fuzzy se indica para el caso de dominios discretos:

R = ∑∈ YXyx x),(

µR(x, y) / (x, y) (3.3)

y para el caso de universos continuos:

R = ∫ YXxµR(x, y) / (x, y) (3.4)

donde los símbolos de sumatoria o integral indican enumeración, y la barra inclinada indica

t-upla.

Ejemplo con universos continuos:

X = Y = [0, 2]

R : x es mucho más grande que y

3.4 Implicaciones y reglas

El motor de inferencia del controlador fuzzy cuenta con una base de reglas a partir de las

cuales define el valor de salida correspondiente a un determinado valor en las entradas. Cada

una de las reglas que componen la base de reglas es del tipo SI-ENTONCES (IF-THEN), y se

representan como:

SI <antecedente> ENTONCES <consecuente> (3.5)

En un controlador fuzzy, el antecedente de la regla contiene las condiciones que deben

cumplir las entradas para que se cumpla en la salida lo que se describe en el consecuente. Por

ejemplo, para un controlador donde la entrada sea el error (e) puede escribirse una regla como

la siguiente:

SI < e es PB > ENTONCES < u es PM >

El error e se encuentra definido en el dominio E, y la salida u en el dominio U. La regla

descripta no es más que una relación fuzzy definida en el dominio que resulta del producto

escalar de los dominios de las entradas y la salida, esto es, ExU, y estará representada por su

función de pertenencia µR(e, u)

µR(e, u): ExU → [0, 1] (3.6)

En la regla anterior PB significa positivo y grande, y PM significa positivo y medio. Cada

uno de estos valores lingüísticos será representado en su respectivo dominio por un conjunto

fuzzy.

3( )

1( , )

1R x y

x ye

µ − −=+

0

1

2

00.511.520

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

uR(x,y)



En general las reglas tendrán la forma:

R: SI < x es A > ENTONCES < y es B >

donde Xx ∈ , A definido a través de µA(x)

Yy ∈ , B definido a través de µB(y)

en la que se enuncia que si la variable x cumple con la premisa descripta en el antecedente,

entonces la variable y cumplirá con lo descripto en el consecuente. Este enunciado se denomina

implicación, y se representa con

BA →

y el objetivo será encontrar la función de pertenencia µR(x, y) de dicha implicación (o regla) en

función de µA(x) y µB(y). En otras palabras

R = ∫ YXxµR(x, y) / (x, y) = ∫ YXx

f (µA(x), µB(y)) / (x, y)

Hay varias propuestas para determinar µR(x, y), aunque la más utilizada en el desarrollo de

controladores – por sus resultados y facilidad en su aplicación – es la llamada implicación de

Mamdani, que propone

R = ∫ YXxµR(x, y) / (x, y) = ∫ YXx

µA(x) * µB(y) / (x, y) (3.7)

y en consecuencia, según la operación que se utilice para representar la norma triangular (*), se

podrán definir

R = ∫ YXxµA(x) . µB(y) / (x, y) (3.8)

R = ∫ YXxmin(µA(x), µB(y)) / (x, y) (3.9)

Ejemplo:

Retomando la regla

R: SI < e es PB > ENTONCES < u es PM >

donde ∈e E = [-1, 1] µPB(e): E → [0, 1]

∈u U = [-10, 10] µPM(u): U → [0, 1]

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e

Gra

do d

e pe

rten

enci

a

PB

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

Gra

do d

e pe

rten

enci

a

PM



A continuación se muestran las funciones de pertenencia de la relación R utilizando la

función mínimo y la función producto:

µR(e, u)= min(µPB(e), µPM(u)) µR(e, u)= µPB(e) . µPM(u)



4 Razonamiento Aproximado

4.1 Regla Composicional de Inferencia

Partiendo de una regla R, la llamada Regla Composicional de Inferencia permite calcular el

“resultado” de aplicar dicha regla a una premisa conocida, el objetivo es el de deducir una

conclusión (salida) generada por dicha regla a partir de ciertas condiciones (entrada).

La tarea se resume en encontrar el conjunto fuzzy B definido en el espacio Y partiendo del

conjunto fuzzy A definido en el espacio X y la relación R definida en el espacio XxY:

A ; µA(x) x ∈ X

R ; µR(x, y) (x, y) ∈ XxY

B ; µB(y) y ∈ Y

Se muestra a continuación el procedimiento a seguir a partir de un ejemplo.

i) El conjunto fuzzy A se encuentra definido por su función de pertenencia µA(x) en el

dominio X:

X = [0 10]

µA(x) =campana(x; 1.5, 2, 5)=4

1

51

1.5

x −+

ii) La relación R representa una regla del tipo SI-ENTONCES como la siguiente:

R: SI < x es A > ENTONCES < y es B >

La función de pertenencia de R es µR(x, y)

X = [0 10]

Y = [0 40]

} datos

resultado }

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

uA(x

)

02

46

810

0

10

20

30

400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xy

uR(x

,y)

R: SI x es A ENTONCES y es B



iii) Se construye la extensión cilíndrica de A, denominada c(A), expandiendo el dominio de

A de X a XxY:

µc(A)(x,y) =µA(x)

iv) Se realiza la intersección de µR(x, y) y µc(A)(x,y):

µc(A)∩R(x,y) = min [µc(A)(x,y) , µR(x, y)] = min [µA(x) , µR(x, y)]

v) Se realiza la proyección de la intersección anterior sobre el dominio Y para encontrar

µB(y):

µB(y) = max { min [µA(x) , µR(x, y)] }

02

46

810

0

10

20

30

400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

Extensión cilíndrica de A

02

46

810

0

10

20

30

400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

x∀

02

46

810

0

10

20

30

400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xy



El resultado de dicha proyección es la función de pertenencia buscada, µB(y):

El problema y su solución quedan planteados entonces de la siguiente manera:

Regla Composicional de Inferencia: Dados un conjunto fuzzy A definido en el espacio X a

través de su función de pertenencia µA(x), y la relación (regla) R definida en el espacio XxY a

través de su función de pertenencia µR(x, y), es posible encontrar la función de pertenencia

µB(y) del conjunto fuzzy B definido en el espacio Y con la ecuación

µB(y) = max { min [µA(x) , µR(x, y)] } (4.1)

El conjunto fuzzy B es el resultado de aplicar la relación (regla) R al conjunto A. La

operación se denomina composición y se representa como

B = A ◦ R

La ecuación (4.1) se denomina composición max-min, ya que se ha utilizado la operación

mínimo para resolver la intersección en µc(A)∩R(x,y). Utilizando la operación producto se obtiene

la llamada composición max-producto, donde en este caso

µB(y) = max [ µA(x) . µR(x, y) ] (4.2)

4.2 Modus Ponens

Existe en lógica una regla básica de inferencia denominada Modus Ponens (o modus

ponendus ponens) que permite evaluar el siguiente razonamiento:

Si disponemos de la regla BA → , si se cumple A (A es verdadero) entonces se cumple B (B

es verdadero).

El siguiente ejemplo ilustra el uso de modus ponens para inferir una conclusión:

Premisa 1 A: El tomate es rojo (hecho)

Premisa 2 R: Si el tomate es rojo, entonces el tomate está maduro (regla)

Conclusión B: El tomate está maduro (consecuencia)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y

uB(y

)

x∀

x∀



Esta regla permite inferir resultados también para el caso aproximado, en el que se parte de

una premisa A’ que es parecida a la premisa A pero no exactamente igual. En este caso el

ejemplo anterior sería:

Premisa 1 A’: El tomate es rojo pálido (hecho)

Premisa 2 R: Si el tomate es rojo, entonces el tomate está maduro (regla)

Conclusión B’: El tomate está casi maduro (consecuencia)

Las dos situaciones anteriores pueden representarse de la siguiente manera:

x es A x es A’

Si x es A, entonces y es B Si x es A, entonces y es B

y es B y es B’

donde A’ es parecido a A y B’ es parecido a B. Este razonamiento se denomina Modus

Ponens Generalizado o Razonamiento Aproximado.

4.3 Razonamiento fuzzy

Sean A, A’ y B conjuntos fuzzy definidos en los universos X, X e Y respectivamente.

Sea BA → una implicación expresada como una relación fuzzy R definida en el dominio

XxY.

Luego, el conjunto fuzzy B’ inducido por el hecho “ x es A’ ” y la regla fuzzy “R: SI

< x es A > ENTONCES < y es B >” se define como

µB’ (y) = max { min [µA’ (x) , µR(x, y)] } (4.3)

o en forma equivalente

B’ = A’ ◦ R = A’ ◦ ( BA → )

Estas conclusiones se aplican a continuación para encontrar la salida de un controlador

fuzzy.

∗ Una regla con antecedente simple

Entrada: x es A’ ;

R: SI < x es A > ENTONCES < y es B > ;

Salida: y es B’.

[ ][ ]

[ ]{ }{ }

' '

'

'

( ) max min( ( ), ( , )

max min( ( ), ( ), ( )

min max min( ( ), ( )) , ( )

min , ( ) ( )

B A Rx

A A Bx

A A Bx

B B

y x x y

x x y

x x y

w y w y

µ µ µ

µ µ µ

µ µ µ

µ µ

∀

∀

∀

= =

= =

= =

= = ∧

donde

x∀



[ ]'max min( ( ), ( ))A Ax

w x xµ µ∀

= ; w es el grado de compatibilidad del antecedente, también

llamado peso del disparo.

∗ Una regla con antecedente múltiple

Entradas: x es A’ ; y es B’ ;

R: SI < x es A > Y < y es B > ENTONCES < z es C > ;

Salida: z es C’.

( , , ) ( ) ( ) ( )R A B Cx y z x y zµ µ µ µ= ∧ ∧

' 1 2( ) ( )C Cz w w zµ µ= ∧ ∧

1 2w w∧ = peso del disparo

∗ Múltiples reglas con antecedente múltiple

Entradas: x es A’ ; y es B’ ;

R1: SI < x es A1 > Y < y es B1 > ENTONCES < z es C1 > ; Salida de R1: z es C1’ ;

R2: SI < x es A2 > Y < y es B2 > ENTONCES < z es C2 > ; Salida de R2: z es C2’ ;

Salida: z es C’ = C1’I C2’ .

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y

A(x)

µµµµ

µ µ µ µ µ µ µ µ A'(x) µ µ µ µ B(y)

µ µ µ µ B'(y)

µµµµ

w

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

µµµµµµµµµµµµ

min

µ µ µ µ A(x) µ µ µ µ A'(x) µ µ µ µ B(y) µ µ µ µ B'(y) µ µ µ µ C(z)

µ µ µ µ C'(z)

w 1

2 w



-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

µµµµ

µµµµ µµµµ

µµµµ

µµµµ

µµµµ

µµµµ

A1(x)µ µ µ µ A1'(x)µ µ µ µ

A2(x)µ µ µ µ

A2'(x)µ µ µ µ

B1(y)µ µ µ µ B1'(y)µ µ µ µ

B2(y)µ µ µ µ B2'(y)µ µ µ µ

C1(z)µ µ µ µ

C1'(z)µ µ µ µ

C2(z)µ µ µ µ

C2'(z)µ µ µ µ

C'(z)µ µ µ µ

min

max



5 Bibliografía

♦ An Introduction to Fuzzy Control Dimiter Driankov, Hans Hellendoorn & Michael Reinfrank

Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1993

♦ Fuzzy Logic Systems for Engineering: A Tutorial Jerry M. Mendel

Proceedings of the IEEE, Vol. 83, Nº 3

IEEE, 1995

♦ Tutorial On Fuzzy Logic

Jan Jantzen

♦ Fuzzy Logic

Lofti A. Zadeh

IEEE, 1988

Ing. Sergio Pastelletto

Depto. Control - Escuela de Electrónica

FCEIA - UNR

matematica control fuzzy.pdf

Documents