GRANDEZAS PROPORCIONAIS

RAZÃODenominamos razão (divisão) entre dois números

racionais a e b, b 0 o quociente de “a” por “b”.

A razão é lida da seguinte forma: “a está para b”

PROPORÇÃODenomina-se Proporção a igualdade entre duas ou

mais razões.

A igualdade é uma proporção. Os termos a e

c são chamados de antecedentes da proporção e os termos b e d são conseqüentes. Outra denominação usual é termos extremos e meios, ou seja:

meios

extremos

PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO

1ª) (propriedade fundamental)

2ª)

3ª)

4ª)

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAISDuas grandezas são diretamente proporcionais entre

si, se e somente se, variarem a quociente constante, ou seja, a razão entre seus termos correspondentes é uma constante (K).Ex.: Considere as grandezas calculadora e custo:

Calculadora Custo1 R$ 40,002 R$ 80,003 R$ 120,00

OBS.: O gráfico deste tipo de grandeza corresponde a uma reta ascendente no 1º quadrante.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAISDuas grandezas são inversamente proporcionais

entre si, se e somente se, variarem a produto constante.Ex.: Considere as grandezas operários e dias:

Operários Dias 1 482 243 16

OBS.: O gráfico deste tipo de grandeza corresponde a uma curva descendente no 1º quadrante.

IMPORTANTE: Uma aplicação muito importante de razão e proporção é a escala. É um método que nos permite relacionar o comprimento no desenho e a medida do comprimento real, considerando na mesma unidade.

Escala = Medida do comprimento no desenhoMedida do comprimento real

EXERCÍCIOS DE RAZÃO, PROPORÇÃO E DIVISÃO ROPORCIONAL

01. Uma pessoa, em repouso, respira 17 vezes por minuto e cada vez inala 0,6 litros de ar. Do ar respirado 1/5 é de oxigênio, que será absorvido pelo organismo. Do total de oxigênio absorvido somente 1/5 chega à corrente sangüínea. Quantos litros de oxigênio entram na corrente sangüínea em 1 (uma) hora?a) 24,28 b) 24,48 c) 24,18 d) 24,38 e) 24,08

O ENUNCIADO A SEGUIR É REFERENTE ÀS QUESTÕES 02 E 05.

A quantia de R$ 1.280,00 deverá ser dividida entre 3 pessoas. Quanto receberá cada uma, se:

02. A divisão for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7?

03. A divisão for feita em partes inversamente propor-cionais a 5, 2 e 10?

04. Divida 800 em partes diretamente proporcionais a 2, 9 e 6; e diretamente proporcionais a 3, 2 e 4.

05. Dividir 1200 em partes inversamente proporcionais a 7, 4; e inversamente proporcionais a 4 e 5.

06. Para rebocar uma parede, será necessário preparar 420kg de uma mistura com cimento, saibro e areia na proporção de 1 : 2 : 4. Indique quantos quilos de cimento serão necessários.

07. A quantia de R$ 132.000,00 foi dividida entre Marcelo e Carolina, na razão direta de suas idades. Se Marcelo tem 29 anos e Carolina tem 26 anos, a parte que coube a Carolina corresponde, em R$, a:a) 48.600,00 b) 62.400,00 c) 52.800,00 d) 68.600,00 e) 70.000,00

08. Um criador possui 1200 cabeças de gado em sua fazenda; e quer distribuí-las proporcionalmente às áreas de 3 cercados que medem 10km2, 15km2, 35km2. Assinale a alternativa que corresponde às quantidades de cabeças de gabo distribuídas respectivamente nos 3 cercados.a) 700, 300 e 200 b) 200, 700 e 700 c) 200, 300 e 700 d) 150, 350 e 700 e) 250, 350 e 600

09. Um pai dividiu certa quantia entre seus filhos, em partes inversamente proporcionais às idades. Sabendo que os filhos tinham 2, 4 e 8 anos e que o filho mais novo recebeu R$ 8.000,00, que quantia foi dividida?a) R$ 14.000,00 b) R$ 16.000,00c) R$ 18.000,00 d) R$ 24.000,00e) R$ 20.000,00

antecedente conseqüente (b 0)

10. Três vasos contêm, em cada um deles, 12 rosas. Deseja-se redistribuir estas rosas de modo que, ao final, o número de rosas nos vasos fique na proporção 3:2:1. Indique o número mínimo de rosas que devem ser movidas para alcançar este objetivo.

11. Um pai possui 3 filhos: André, Bernardo e Carlos; cujas as idades são, respectivamente, 10, 15 e 20 anos. Se, os mesmos, durante o ano letivo da escola faltaram, respectivamente, 12, 8 e 24 aulas; e ao longo do ano praticaram 3, 9 e 6 boas ações; e suas respectivas médias em matemática foram 8, 10 e 6. Sabendo ainda que este pai dispõe de R$ 4.100,00 para presentear os filhos neste Natal e que a divisão do dinheiro será proporcional às boas ações e às notas de matemática e inversamente proporcional às idades e ao número de faltas;

então:I II0 0 O filho que recebe mais é Bernardo.1 1 O filho que recebe menos é André2 2 Bernardo recebe 10 vezes mais que

Carlos3 3 André recebe apenas R$ 800,004 4 A quantia recebida por Carlos é metade

da quantia recebida por André.

12. Certa herança foi dividida de forma diretamente proporcional às idades dos herdeiros, que tinham 35, 32 e 23 Anos. Se o mais velho recebeu R$ 525.000,00, quanto coube ao mais novo.a) R$ 230.000,00 b) R$ 245.000,00c) R$ 325.000,00 d) R$ 345.000,00e) R$ 350.000,00

13. Jorge, Franz e Salin fizeram em conjunto uma aposta na loteria e ganharam R$ 1.500.000,00. Sabendo que suas contribuições foram de R$ 15,00, R$ 25,00 e R$ 35,00 e que o premio foi distribuído proporcionalmente a contribuição de cada apostador, pode-se dizer que Franz recebeu?a) R$ 300.000,00 b) R$ 400.000,00c) R$ 500.000,00 d) R$ 600.000,00e) R$ 700.000,00

14. Antonio, Carlos e Paulo ganharam na loteria o premio de R$ 12.600,00 o premio deverá ser rateado proporcionalmente a contribuição de cada um no jogo. Tendo Antonio desembolsado R4 400,00, Calor R$ 300,00 e Pedro R$ 200,00, ao primeiro caberá o valor de?a) R$ 5.500,00 b) R$ 5.300,00c) R$ 5.600,00 d) R$ 5.400,00e) R$ 5.800,00

REGRA DE TRÊS

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTAQuando é conhecido um par de valores de duas

grandezas e outro valor de uma delas, podemos calcular

o valor correspondente da outra grandeza por meio de uma proporção chamada Regra de três simples.

A regra de três simples pode ser direta ou inversa. É direta quando as grandezas são diretamente proporcionais, isto é, variam no mesmo sentido. É inversa quando as grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, variam no sentido contrário (enquanto uma aumenta, a outra diminui e vice-versa).

Se o problema envolve mais de duas grandezas, temos uma Regra de três composta, que nada mais é que uma reunião de várias regras de três simples.

EXERCÍCIOS DE REGRA DE TRÊS

01. Por causa da diferença de gravidade, um astronauta de 150kg pesa, na Lua, 25kg. Quanto pesa, na Lua, um homem que na Terra pesa 90kg?

02. Num destacamento militar com 400 homens há estoque de gêneros alimentícios suficientes para 30 dias. Se chegar um reforço de 350 homens, quantos dias durarão este estoque?

03. A hélice do motor de um navio, girando 300 rotações por minuto, permite que se percorra uma distância entre duas cidades em 64h. Se as rotações aumentassem para 800, em quanto tempo seria percorrida a mesma distância?

04. O comprimento, em metros, do arame necessário para produzir 320 pregos é igual ao número de pregos que se produzem com 20m desse mesmo arame. Quantos pregos serão produzidos com 500m desse arame?

a) 1000 b) 1200 c) 1500 d) 1800 e) 2000

05. A população de insetos numa plantação é inversamente proporcional à quantidade de agrotóxicos utilizada para combatê-la. Quando se utilizou 10 litros de agrotóxicos, a população restante foi estimada em 2000 insetos. Quantos litros de agrotóxico devem ter sido utilizados para que a população de insetos fosse reduzida a 400?

06. Um dentista, trabalhando 8h por dia, extrai em 3 dias 36 dentes. Quantos dentes ele extrairá em 5 dias, trabalhando 6h por dia?

07. Se uma galinha e meia põe um ovo e meio em um dia e meio, quantos ovos põem uma galinha em uma dúzia e meia de dias?a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

08. Para asfaltar 1km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia gastarão:a) 6 dias b) 28 dias c) 12 dias d) 30 dias e) 24 dias

09. Um empreiteiro comprometeu-se a construir 50km de linha férrea em um ano, empregando-se nesse serviço 225 homens. Após 7 meses, estavam prontos somente 21km. Para terminar esse trabalho dentro do prazo serão necessários quantos homens?a) 116 b) 221 c) 228 d) 435 e) 450

10. Numa gráfica existem 3 impressoras “Off set”, que trabalhando ininterruptamente, 10 h/dia, durante 2 dias imprimem 240 mil folhas. Tendo quebrado uma das impressoras e necessitando-se imprimir em 3 dias 480 mil folhas, quantas horas por dia deverão funcionar ininterruptamente as 2 máquinas restantes?a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24

11. Um motor de avião consome 450 litros de gasolina em 2h de vôo quando funciona a 3000 rotações por minuto, na altitude de 2500m. sabendo-se que quanto maior é a altitude, maior é o consumo, em 1h de vôo à 3000m de altura, funcionando a 4500 rotações por minuto, o consumo será (em litros):a) 405 b) 540 c) 1000 d) 500 e) 300

12. Dose operários, em 90 dias, trabalhando 8h/dia, fazem 36m de um certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6h/dia levarão:a) 90 b) 80 c) 12 d) 36 e) 64

13. Um gato e meio come um rato meio em um minuto e meio. Em quanto tempo 4 gatos comerão 6 ratos?a) 3min12sb) 2min25s c) 2min15s d) 1min52s e) 2min30s

14. Júnior possui uma fazenda onde recolhe 45 litros de leite de cabra por dia, que são utilizados na fabricação de queijo. Com cada 5 litros de leite, ele fabrica 1kg de queijo. O queijo fabricado é então dividido em porções de 125g que são empacotadas em dúzias. Cada pacote é vendido por R$ 6,00. Quanto Júnior arrecada por dia com a venda do queijo?a) R$ 35,00 b) R$ 37,00 c) R$ 34,00d) R$ 36,00 e) R$ 33,00

15. Suponha que x2 macacos comem x3 bananas em x minutos (onde x é um número natural dado). Em quanto tempo espera-se que 5 destes macacos comam 90 bananas?a) 11 minutos b) 13 minutos c) 18 minutos d) 15 minutos e) 16 minutos

PORCENTAGEM

Uma taxa percentual representa uma razão em que o denominador é igual a 100.Exemplos: 20% = 20/100 3% = 3/100

Dessa forma, toda percentagem está associada a um número decimal.Exemplos: 48% = 0,48 7% = 0,07

Assim, calcular uma percentagem de uma quantidade qualquer, significa multiplicá-la pelo número decimal associado àquela percentagem. Acompanhe:15% de 200 = 0,15 x 20074% de 3.000 = 0,74 x 3.000

Acréscimos e decréscimos percentuais:Se um número n sofre um aumento percentual i , seu novo valor passa a ser (1 + i).N. Da mesma forma, se o número n sofre um decréscimo percentual i, passa a valer (1 – i).N. Exemplos: Um produto que custava R$ 40,00 e sofreu um aumento de 15%, passou a custar 1,15 . 40,00 = R$ 46,00.

Se você reduzir o número 120 em 30%, ele passará a valer 0,70 . 120 = 84

EXERCÍCIOS DE PORCENTAGEM

01. Perdendo-se 30% das frutas de um depósito, ainda restaram 1.400 frutas. Quantas frutas havia antes no depósito? Marque no cartão resposta o número que corresponde a 1% da quantidade encontrada.

02. Se, no primeiro semestre de 2004, com a cobrança de tarifas, os bancos arrecadaram um total de 16 bilhões de reais e, no primeiro semestre de 2005, este valor subiu para 19,6 bilhões de reais, qual o crescimento percentual do valor obtido pelos bancos com a cobrança de tarifas neste período?a) 22,5% b) 23,4% c) 24,3%d) 25,2% e) 26,1%

03. Se eu comprar um objeto por R$ 20,00 e vendê-lo por R$ 25,00, qual será minha porcentagem de lucro?

04. Uma pesquisa sobre o número de moradores nas residências de um bairro concluiu que, em 70% das residências, moram duas ou mais pessoas; 80% das demais residências são habitadas por um único homem. Qual o percentual do total de

residências do bairro ocupadas por uma única mulher?a) 30% b) 20% c) 10% d) 6% e) 5%

05. Uma quantidade 6.240 litros de água apresenta índice de salinidade de 12%. Devido a evaporação, esse índice subiu para 18%. Calcule a quantidade, em litros, de água que evaporou.

06. A concentração de determinada substância, após atingir um máximo, num certo instante, diminui 15% ao fim de cada hora. Podemos dizer que, duas horas após o mencionado instante, a concentração da substância terá diminuído em:a) 30% b) 31% c) 32,25%d) 28% e) 27,75%

07. Um investidor decidiu aplicar certa quantia em ações de uma empresa. Após um mês o valor destas ações subiu 5%. No segundo mês subiu 10% e no terceiro mês caiu 5%. A percentagem de ganho do investidor nestes três meses foi:

a) maior do que 12% b) entre 8 e 10%c) entre 10 e 12% d) abaixo de 8%e) igual a 10%

08. Dentre os candidatos inscritos num concurso, 40% são homens e 60% são mulheres. Destes já têm emprego 70% dos homens e 50% das mulheres. Qual a percentagem dos candidatos inscritos que já têm emprego?

09. Um sanduíche é constituído de 50% de pão, 30% de salada e 20% de atum. Se o pão aumentar 20%, a salada diminuir 20% e o atum aumentar 15%, qual será o aumento percentual do preço de custo do sanduíche?

10. Uma proposta para ajudar a combater a fome no mundo é taxar as transações financeiras internacionais em 0,01%. Estas transações movimentam US$1,2 trilhão ao dia útil. Qual seria o total arrecadado em um ano? (Considere que o ano consiste de 52 semanas e cada semana contém 5 dias úteis).a) 3,12 milhões de dólares.b) 3,12 bilhões de dólares.c) 3,12 trilhões de dólares.d) 31,2 milhões de dólares.e) 31,2 bilhões de dólares.

11. Durante sua viagem ao país das Maravilhas a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: "beba-me e fique 25% mais alta". A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: "prove-me e fique 10% mais baixa"; logo após tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: "beba-me e fique 10% mais alta". Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito: "prove-me e fique 20% mais baixa". Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela:

a) ficou 1% mais baixab) ficou 1% mais altac) ficou 5% mais baixad) ficou 5% mais altae) ficou 10% mais alta

12. A população de pobres de um certo país, em 1981, era de 4400000, correspondendo a 22% da população total. Em 2001, este número aumentou para 5400000, correspondendo a 20% da população total. Indique a variação percentual da população do país no período.

13. Júnior tem uma coleção de cds de música nos gêneros erudito, popular e jazz. Se 65% da coleção consiste de música erudita, 1/5 consiste de música popular e 930 cds são de jazz, quantos são os cds de música erudita da coleção?a) 4010 b) 4020 c) 4030 d) 4040 e) 4050

14. A Empresa Pernambuco S/A., tinha um determinado n.º de empregados e uma folha F de pagamentos. Após estudos realizados no setor de produção, a empresa dispensou 20% de seus empregados e concedeu, na folha F de pagamento, um aumento de 10%. O salário médio da empresa variou de:a)20% b)5,7% c)27,5% d)35,7% e)37,5%

15. Um produto que custava Cr$ 1.500,00, sofreu um aumento de 50%. Com a queda das vendas, o comerciante passou a dar um desconto de 20% sobre o novo preço. Por quanto está sendo vendida a mercadoria?a) Cr$ 1.600,00 b)Cr$ 1.530,00c) Cr$ 1.800,00 d) Cr$ 1.950,00e) Cr$ 1.750,00

16. Um vendedor ambulante compra sete canetas por cinco reais, para comercializá-las ao preço de quatro canetas por três reais. Qual o lucro percentual do vendedor?a) 0,05% b) 0,5% c) 5% d) 15% e) 50%

17. Uma pêra tem cerca de 90% de água e 10% de matéria sólida. Um produtor coloca 100kg de pêra para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da massa total. Quantos litros de água serão evaporados?a) 15 litros b) 45 litros c) 75 litrosd) 80 litros e) 30 litros

18. Segundo pesquisa recente, 7% da população brasileira é analfabeta, e 64% da população de analfabetos é do sexo masculino. Qual percentual da população brasileira é formada por analfabetos do sexo feminino?

a) 2,52% b) 5,20% c) 3,60%d) 4,48% e) 3,20%

19. Determinadas frutas frescas contêm 70% de água e quando secas apresentam 20% de água. Quantos quilos dessas frutas frescas são necessários para se obter 30kg de frutas secas?a) 80 b) 60 c) 64 d) 70 e) 75

20. O número de sócios de um clube aumentou 15% em 2003 (relativo a 2002). Se o percentual de sócios do sexo masculino aumentou 10%, e o percentual de sócios do sexo feminino aumentou 30%, qual é o percentual de mulheres sócias do clube, em 2002?a) 25% b) 30% c) 33% d) 35% e) 40%

JUROS SIMPLES

O regime de Juros Simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Atualmente as transações comerciais não utilizam dos juros simples e sim o regime de juros compostos.

A fórmula utilizada para o cálculo dos juros simples é:

J = jurosC = capitali = taxa da aplicação t = tempo que durou a aplicação

Obs Montante (M) é igual ao Capital ( C ) acrescido dos juros (j) no fim do período.

M = C + j

EXERCÍCIOS I

01. Calcular os juros simples produzidos pela aplicação de R$ 16.000,00 a uma taxa de 3% a.a., durante 36 dias.

02. Para obter-se um total de R$ 22.800,00 ao final de 1 ano e 2 meses, à taxa de 12% ao ano, a juros simples, é necessário que se aplique:

03. Um capital aplicado a juros simples de 10% ao mês, no final de 45 dias elevou-se a R$ 103.500,00. O valor do capital inicial era:

04. Um terreno custa, à vista, 20000 reais. Se pago a prazo, em 24 prestações mensais iguais, são cobrados juros simples de 2,5% ao mês, sobre o preço à vista. Assim, seu preço à prazo é de:

05. O capital que, investido hoje a juros simples de 15% a.a., se elevará a 2150 reais, no fim de 6 meses, é de:

EXERCÍCIOS II

06. Alfredo emprestou 216000 reais à Paula por 5 meses. No fim do prazo, recebeu de volta 224100 reais. A taxa anual de juros simples foi de:

Resp.: 9% a.a.

07. Emprestei a um amigo 54000 reais a uma taxa de 12% ao ano. Depois de um certo tempo, ele devolveu-me o empréstimo, pagando 360 reais de juros. O meu dinheiro esteve emprestado durante ______ dias.

Resp.: 20

08. O capital de 2000 reais aplicado a uma taxa de 6% ao ano, durante 6 meses, rendeu juros de:

Resp.: 60 reais

09. O capital que, aplicado 2% ao mês, produz 4200 reais de juros em 1 ano e 2 meses é:

Resp.: 15000

10. Para que 120 reais, aplicados à taxa de 8% a.a., rendam juros de R$ 5,60, serão necessários _____ meses da aplicação.

Resp.: 7

11. O capital que, aplicado a 2% ao mês, produz 2400 reais de juros em 2 anos é:

Resp.: 5000 reais

12. A que taxa foi aplicada um capital de R$ 2400,00 para produzir, em 7 meses, juros de R$ 126,00?

Resp.: 9% a.a.

13. Durante quanto tempo deve ser aplicado um capital de 8000 reais a uma taxa de 8% ao ano, para render juros de 1472 reais?

Resp.: 628 dias

14. Um capital de 15000 reais foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de 19050 reais o prazo dessa aplicação deverá ser de:

Resp.: 1 ano e 6 meses

15. Um automóvel custa, à vista, 12000 reais. Em seis prestações mensais, sem entrada, esse mesmo automóvel passa a custar 14880 reais. A taxa mensal de juros é de:

16. Um capital colocado à taxa de 8% ao mês triplicará o seu valor no final de ______ meses.

17. A que taxa de juros simples, em por cento, ao ano, deve-se emprestar um capital qualquer, para que no fim de 6 anos e 8 meses, duplique de valor?

18. Pedro emprestou 40000 reais à Paula por 5 meses. No fim do prazo, recebeu de volta 41000 reais. A taxa anual de juros foi de: