matematica aluno 1 ano vol1

GUIA DO ALUNOVolume 1

Matemática1ª série do Ensino Médio

Entre Jovens 1ª série do Ensino Médio: guia do aluno matemática.

– São Paulo: Instituto Unibanco/CAEd, 2013.

294 p.; Vol I

Coordenação do materialJuliana Irani do Amaral

Pesquisa e conteúdoCAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação da Educação

Consultoria responsávelCAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação da Educação

Agradecimentos especiaisSecretaria Municipal de Educação do Rio de Janeiro, Secretarias de Estado de Educação do Rio de Janeiro, São Paulo, Espírito Santo e Minas Gerais e escolas parceiras que contribuíram para a testagem e validação da Metodologia Entre Jovens.

RealizaçãoInstituto Unibanco

PresidênciaPedro Moreira Salles

Vice-PresidênciaPedro Sampaio Malan

ConselhoAntonio MatiasCláudio de Moura CastroCláudio Luiz da Silva HaddadMarcos de Barros LisboaRicardo Paes de BarrosTomas Tomislav Antonin ZinnerThomaz Souto Corrêa NettoWanda Engel

Diretoria ExecutivaFernando Marsella Chacon RuizGabriel Amado de MouraJânio GomesJosé Castro Araujo RudgeLeila Cristiane B. B. de MeloLuis Antônio RodriguesMarcelo Luis Orticelli

Superintendência ExecutivaRicardo Henriques

Gerência de Implementação de ProjetosTiago Borba

Gerência de Desenvolvimento e ConteúdoMarta Grosbaum

Gerência de Gestão do ConhecimentoCamila Iwasaki

Gerência de Administração e FinançasFábio Santiago

Gerência de Escritório de ProjetosJosé Carlos R. de Andrade

Assessoria de Assuntos EstratégicosChristina Fontainha

Assessoria de ComunicaçãoMarina Rosenfeld

Assessoria de VoluntariadoFabiana Mussato

UMáRIOSOficina 1 – Números Naturais e Inteiros

Oficina 2 – Números Racionais

Oficina 3 – Potenciação e Radiciação

Oficina 4 – Introdução à Álgebra

Oficina 5 – Equações Lineares

Oficina 6 – Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais

Oficina 7 – Porcentagem

Oficina 8 – Grandezas e Medidas

Oficina 9 – Áreas de Figuras Planas

Oficina 10 – Sólidos Geométricos

Oficina 11 – Revisitação

Respostas

Referências Bibliográficas

Anexos

9

27

45

61

79

91

103

115

131

161

179

191

201

203

9GUIA DO ALUNO

NúMEROS NATURAIS E INTEIROS11. Introdução

As operações e aplicações envolvendo números naturais e inteiros são pré-requisitos fundamentais para que o aluno desenvolva bem a matemática do Ensino Fundamental e Médio, e por isso, este capítulo inicial dedica-se a fazer uma recapitulação desses saberes. Inicialmente, utilizaremos a resolução de problemas focando na matemática do cotidiano e depois, um jogo de tabuleiro que objetiva trabalhar a fatoração de um número natural.

2. Resolução de problemas

Problema 1. Júlia, Diogo e Carolina jogaram um torneio de três partidas de boliche.

Veja as pontuações alcançadas por cada um nessas três partidas.

Partidas 1 2 3

Júlia 12060 12200 12580

Diogo 11960 11500 13500

Carolina 8020 12180 14590

a) Vence quem ganha mais partidas;

b) Vence quem faz maior número de pontos em qualquer uma das partidas;

c) Vence quem soma maior número de pontos;

d) Vence quem soma maior número de pontos em duas partidas, desprezando-se o pior resultado.

10 GUIA DE MATEMáTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1

Problema 2. Para montar seu restaurante, Dona Lia dispunha de R$ 50.000,00. Inicialmente, ela gastou R$ 22.000,00 reformando o local do restaurante e R$ 6.750,00 em equipamentos para a cozinha. Depois, ela comprou 3 lotes de refrigerantes, pagando R$ 1.250,00 por cada um, e um estoque de alimentos congelados, que lhe custou R$ 3.000,00. Com tantos gastos, sobrou dinheiro? Quanto?

Problema 3. Paulo que é muito distraído, partiu de um determinado marco quilométrico da estrada com destino a uma cidade que fica no quilômetro 400 dessa mesma estrada. Ao percorrer 129 Km, leu na placa que estava no marco Km 311 dessa estrada, quando percebeu que havia esquecido a mala no ponto de partida. Com isso Paulo teve que voltar para buscá-la.

Km?

Km311

Km400

129 Km

a) De que ponto da estrada Paulo partiu?

b) Considerando as idas e vindas, quantos quilômetros ele percorreu até completar a viagem?

11GUIA DO ALUNO

Problema 4. O gráfico mostra os lucros de uma rede de supermercados no primeiro semestre do ano passado. Você nota que, em alguns meses, ocorreram prejuízos. Podemos considerá-los como lucros negativos.

353025201510

50

-5-10-15-20-25-30-35

meses

lucr

o (e

m m

ilhõe

s)

Janeiro

Fevereiro

Março Maio

Abril

Junho

a) Em que mês o lucro foi de –30 milhões de reais?

b) Em algum mês o lucro foi de 45 milhões de reais?

c) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro?

Problema 5. Indique a expressão correspondente a cada item e calcule seu valor:

a) A soma de -6 com o dobro de 5.


b) A metade da diferença entre –4 e 8.

c) O produto do dobro de –3 com o quíntuplo de –2.

d) A diferença entre a metade de –6 e o número 8.

Problema 6. Uma frota de caminhões levará uma tropa de 1128 soldados até um campo de treinamento. Cada caminhão pode levar até 36 soldados. Para transportar essa tropa, quantos caminhões, no mínimo, serão necessários?

2. O jogo Fatorando

As regras do jogo:

» Número de participantes: 2 jogadores;

» Cada participante deverá ter um botão;

» Os participantes devem embaralhar as peças circulares que contêm os números primos, e colocá-las sobre o tabuleiro, com a face voltada para baixo, nos espaços circulares do tabuleiro;

» Em seguida, devem colocar as peças retangulares que contêm os números naturais sobre a mesa, e separá-las de acordo com o nível de dificuldade (amarelos, azuis e vermelhos) em três blocos com a face voltada para baixo;

» Define-se, no início, a ordem em que os participantes jogarão. Em seguida, cada jogador deve pegar uma peça retangular do nível 1 (fácil) e colocar sobre a cartela para cálculos (figura 4 do anexo), conforme ilustra a figura no 7º passo abaixo;

» O jogo tem início com um jogador lançando o dado e fazendo seu botão percorrer tantas casas quantas as que foram indicadas na face superior do dado, em qualquer direção do tabuleiro, mas por casas que estejam conectadas por segmentos;

13GUIA DO ALUNO

» O primeiro jogador deverá virar a peça circular da casa em que parou e verificar se o número do círculo dessa casa pode ou não dividir o número de sua cartela de cálculos. Se der, ele retira esse círculo do tabuleiro e o coloca sobre a cartela de cálculos conforme ilustrado na figura abaixo, faz a divisão na cartela de cálculos e fica com essa peça em sua cartela de cálculo, passando a vez para o outro jogador. Caso o número do círculo dessa casa do tabuleiro não der para dividir o número de sua cartela, o jogador recoloca o círculo de volta ao tabuleiro, com a face voltada para baixo, e passa a vez para o outro jogador. Veja exemplo:

298

49

» O segundo jogador repete o procedimento anterior e o jogo continua assim, sucessivamente, até que um dos jogadores consiga finalizar a fatoração, vencendo a rodada;

» O jogo prossegue com mais rodadas, de nível 1 (fácil), nível 2 (médio) e nível 3 (difícil).


3. Resolva as atividades propostas abaixo.

Atividade 1. Os quadrados mágicos apareceram na China, por volta de 2200 a.C. Os números dispostos nesses quadrados mantêm uma soma constante nas suas linhas, colunas e diagonais, chamada soma mágica. Construa, usando os números seguintes, um quadrado mágico com soma mágica igual a - 15.

-15 -14 -13 -6 -5 -4 3 4 5

Atividade 2. Calcule:

a) mmc (16, 20)

b) mdc (18, 27, 45)

c) mmc (15, 24, 38)

d) mdc (12, 32, 45)

15GUIA DO ALUNO

Atividade 3. A malha abaixo é formada por quadrados de 1cm de lado. Resolvendo as expressões abaixo, você irá encontrar o caminho feito por uma cobra que parte da origem destacada, pois cada resultado corresponde ao número de centímetros que ela irá percorrer.

Nota: Quando a cobra vai para cima (norte) ou para a direita (leste) ela caminha no sentido positivo e quando vai para baixo (sul) ou para a esquerda (oeste) ela caminha no sentido negativo.

origem

oeste leste

sul

norte

Caminho da cobra:

5+ na horizontal, ()3− + na vertical, 22− na horizontal, ()08− na vertical, ()()9 3− ÷ − na horizontal,

(– 2)² na vertical e ()15 na horizontal.

Marque na malha acima o caminho percorrido pela cobra.

Atividade 4. Diversos cometas passam perto do sol, periodicamente. O cometa A passa de 12 em 12 anos. O cometa B passa de 15 em 15 anos. Se os cometas A e B passarem perto do sol, num mesmo ano, quanto tempo depois essa coincidência voltará a acontecer?


Atividade 5. O esquema a seguir representa a rua onde Elvira mora e os números indicam a distância orientada, em metros, de cada local em relação à igreja, sendo o sinal negativo o indicador de que o local se encontra do lado esquerdo da igreja.

a) Certo dia, Elvira saiu de casa e fez o seguinte trajeto: foi até o correio e em seguida foi assistir à missa. Comeu um lanche na padaria após a missa, foi ao banco pagar uma conta e foi buscar sua filha na escola, pararam na praça e foram para casa. Quantos metros Elvira andou nesse percurso?

b) Saindo da casa da Elvira, faça o seguinte trajeto sobre a reta numérica: 400m para a direita, 300m para a esquerda, 500m para a direita, 300m para a esquerda e 200m para a esquerda. Descreva, segundo esse trajeto, quais foram os lugares visitados e onde você parou.

Atividade 6. Dois rolos de corda, um de 200 metros e outro de 240 metros de comprimento, precisam ser cortados em pedaços iguais e com maior comprimento possível. Responda:

Quanto medirá cada pedaço?

Quantos pedaços serão obtidos de cada rolo?

Atividade 7. Na reta numérica da figura abaixo, o ponto E corresponde ao número 9− e o ponto F, ao inteiro 7− .

-9 -7

A B C D E F G H I J K L M

Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro zero estará:

a) sobre o ponto M.

b) entre os pontos L e M.

c) entre os pontos I e J.

d) sobre o ponto J.

-300 -200 -100 0 100 200 300

CorreioEscolaPadaria

Igreja

Praça

Casa deElvira

Banco

17GUIA DO ALUNO

Atividade 8. Paola comprou dois secadores de cabelo de R$ 120,00 cada, três Dvd’s por R$ 115,00 cada e um televisor de R$ 2500,00. Os objetos foram pagos em cinco parcelas iguais e sem juros. O valor de cada parcela, em reais, foi igual a:

a) 120 b) 617 c) 516 d) 716

Atividade 9. Na cidade de Moscou, na Rússia, os termômetros marcavam, de manhã, 16º− C. Os jornais locais indicavam que a temperatura, no decorrer do dia, iria ainda cair 13º C. Segundo essa previsão, a temperatura chegaria a:

a) 29º− C

b) 3º− C

c) 3º+ C

d) 13º+ C

Atividade 10. Seja ()()2 35 5A = − + − . O valor de A é:

a) 125 b) -5 c) 625 d) -100


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ANOTAÇÕES

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NúMEROS RACIONAIS21. Introdução

Os números naturais surgiram para ajudar no processo de contagem, mas na vida cotidiana utilizamos também as partes próprias da unidade. Comprimento, área, peso, tempo são exemplos de medidas usuais que, sem a criação do conjunto dos números racionais, não poderiam ser quantificadas.

2. Resolução de Problemas

Problema 1: Clara, Elisa, Marcos e Henrique tentam dividir três barras de chocolate entre eles. Mas como fazer se todos devem receber a mesma quantidade?


Problema 2: Imagine três terrenos idênticos, o primeiro dividido em duas partes iguais, o segundo dividido em quatro partes iguais e o terceiro dividido em 16 partes iguais, como representado nas figuras abaixo.

Os três pertencem ao mesmo agricultor e cada um será semeado da seguinte maneira: o primeiro com sementes de cenoura, o segundo de alface e o terceiro de batata. A região colorida nas figuras acima indicam a porção de cada terreno que será semeada. Qual dos três terrenos terá maior área semeada?

Problema 3. Os amigos Carlos, Jonas, Lucas e Pedro foram a uma pizzaria. Lá chegando, Carlos e Pedro escolheram uma pizza de mussarela e pediram que ela fosse repartida em 8 partes iguais. Já Lucas e Jonas escolheram uma de calabresa, mas pediram que fosse repartida em 6 partes iguais. No final da noite, sobrou um pedaço de cada pizza. Qual dupla comeu mais?

29GUIA DO ALUNO

Problema 4. Um agricultor plantou batatas em 5 das 12 partes em que dividiu a sua horta. Em outras 3 partes, plantou abobrinhas. Quantas partes da horta foram utilizadas com essa plantação? Esse mesmo agricultor pretende plantar cenouras na parte restante da horta. Quanto da horta ainda resta para essa plantação?

Problema 5. Dona Rosa é a responsável pela cantina de uma escola. Ela costuma fazer bolos de chocolate para vender para os alunos. Em um dia, ela fez dois tabuleiros de bolo do mesmo tamanho, mas um deles ela dividiu em 12 partes iguais e vendeu 5 pedaços e o outro ela dividiu em 8 partes iguais e vendeu apenas um pedaço. Qual a fração que representa o quanto foi vendido de bolo de chocolate naquele dia?

Problema 6. Seu Jorge tem cinco filhos. Ele comprou um grande terreno e dividiu igualmente entre eles. Anos depois, Júlio, o filho mais velho de seu Jorge, decidiu dividir seu terreno entre seus três filhos. Em relação ao terreno original, qual é a fração que representa a quantidade recebida por cada filho de Júlio?


Problema 7. Uma pesquisa foi feita para analisar a preferência de moradores de uma cidade por

esportes. 34

dos entrevistados gostam de futebol e metade desses 34

gostam também de vôlei. Qual

é a fração que representa os entrevistados que gostam de vôlei?

Antes do próximo problema, vamos analisar algumas situações.

Para repartir igualmente 40 litros de leite entre 10 famílias, quanto deverá receber cada família?

Se 40 litros de leite devem ser colocados em jarras de 1 litro cada uma, quantas jarras serão necessárias?

E se tivermos canecas de 21

litro cada uma, quantas serão necessárias?

E se tivermos copos de 250 m , isto é, 41

de litro cada um, quantos serão necessários?

E se tivermos garrafas de 45

de litro, quantas serão necessárias?

Vamos observar novamente todas as divisões que fizemos:

Problema 8. Para repartir 254

litros de leite em copos de 25 , quantos copos serão necessários?

31GUIA DO ALUNO

Problema 9. Uma fábrica de refrigerantes pôs à venda uma garrafa que continha 14

de litro a mais

em comparação com as garrafas comuns que contém um litro. Comparando a garrafa antiga e a nova garrafa, que fração representa a quantidade de refrigerante na nova garrafa, considerando como unidade um copo de 250 m ?

Problema 10. Parte de um terreno foi utilizada para construção e outra parte para um jardim, conforme mostra a figura.

Construção

Construção Jardim

Construção

a) Indique as frações correspondentes à parte construída e à parte dedicada ao jardim em relação ao terreno todo.

b) Indique a fração correspondente ao jardim em relação à parte construída.

c) Que número decimal representa o tamanho do jardim em relação ao terreno todo?

d) Que número decimal representa o tamanho do jardim em relação à parte construída?


Problema 11. Veja a pontuação obtida por seis atletas em uma competição de ginástica artística:

Atleta Pontos

Aline 8,72

Bia 9,25

Cláudia 9,36

Diana 8,725

Eloá 9,32

Flávia 8,728

Qual foi a ordem de classificação das atletas?

Ordem Atleta

1ª Cláudia

Problema 12. Seu José foi ao supermercado e comprou um pacote de 5kg de arroz por R$ 10,89, 1kg de carne por R$ 12,65 e uma dúzia de ovos por R$ 2,99. Quanto ele gastou? Para pagar a conta, seu José entregou à caixa do supermercado uma nota de R$ 50,00. Quanto ele recebeu de troco?

Problema 13. Ao sair do mercado, seu José lembrou-se que deveria ter comprado mussarela. No caminho de casa passou em uma padaria e comprou 250g do queijo que custava R$ 14,99 o quilo. Quanto pagou pelo queijo?

33GUIA DO ALUNO

Problema 14. Para saber se um carro é econômico, calcula-se o rendimento médio de combustível. Por exemplo, se o carro faz 14km com 2 litros de álcool, o rendimento é de 7km por litro. Isso porque 14 : 2 = 7. Qual será o rendimento médio de um automóvel que rodou 304,5km com 35 litros de combustível?

3. O conjunto dos Números Racionais ( )

Todos os números vistos até agora são chamados números racionais, pois podem ser escritos em forma de fração, como razão entre dois números inteiro. Esses números formam o conjunto dos números racionais que é representado pela letra .

Fixando um ponto para o zero, uma unidade para o 1 e um sentido para ser o positivo,

podemos localizar na reta qualquer número racional. Localize na reta os seguintes números

− −2

; 1, 5; 3, 25; 2, 6 2, 333...3

e :


Resolva as atividades propostas abaixo:

Atividade 1: Observe as figuras abaixo e identifique aquelas que podem ter a parte hachurada representada por uma fração:

I II III IV V VI

As questões a seguir são sobre as figuras que representam uma fração:

a) Que fração representa cada uma delas?

b) Encontre duas frações equivalentes a cada uma delas.

c) Em relação a letra (a), quais são frações equivalentes?

d) Quais são frações irredutíveis?

e) Qual pode ser expressa pela fração 21

?

Atividade 2: Três caixas d’água têm a mesma capacidade. Uma está com 65

da sua capacidade,

outra com 74

e a terceira com 1114

. Qual das caixas está mais cheia?

Atividade 3: O chão da sala de jantar da casa de Denise está sendo acarpetado. Num dia foi

colocado carpete em 86

do chão e, no dia seguinte, em 211

.

a) Qual é a fração que representa a parte acarpetada?

b) Qual é a fração que representa a parte onde falta colocar carpete?

Atividade 4: A classe de Willian, o 9º ano B, foi ao zoológico observar os animais para fazer um trabalho de Ciências.

a) Um ônibus de 48 lugares veio buscar os alunos na porta da escola. A professora de Ciências foi

junto. Se 85

dos lugares foram ocupados, quantos assentos ficaram vazios?

35GUIA DO ALUNO

b) Cinco alunos faltaram à excursão. Quantos alunos têm o 9º ano B?

c) A distância da escola ao zoológico é de 12km. Quando havia percorrido 43

dessa distância, furou

um dos pneus do ônibus. Quantos quilômetros faltavam para chegar ao zoológico?

d) Quando conseguiram chegar ao zoológico, os alunos foram direto à ala dos macacos. Lá vivem 49

macacos; 74

são fêmeas. Quantos são os machos?

e) Num viveiro tinha 311 passarinhos; morreram 5. Um empregado do zoológico retirou os

passarinhos mortos, mas esqueceu a porta do viveiro aberta e 65

do restante fugiram. Quantos

passarinhos sobraram?

f) Na volta à escola, por causa de um grande congestionamento, o ônibus demorou 23

de hora. Quantos quilômetros ele percorreu por hora?

Atividade 5: Observe o gráfico abaixo:

Desmatamento da Mata Atlântica (em milhares de quilômetros quadrados)

46,1 58,8

287,8

193,6 200,5

13,9 4,741,9 39,2 29,9

Espírito Santo Mato Grossodo Sul

Minas Gerais Paraná São Paulo

1500

2000

Fonte: Almanaque Abril, 2004

Qual Estado apresenta maior área de desflorestamento da Mata Atlântica?

Em quais Estados mais da metade da Mata Atlântica foi desflorestada?

Qual a área total original de Mata Atlântica nos cinco Estados?

Qual a área desflorestada nos cinco Estados?


Atividade 6: Considere as seguintes informações sobre o rendimento de combustível do carro do seu Antônio: rendimento médio urbano – 12,1 km//1,12 km ; rendimento médio na estrada – 16,5 km//1,12 km .

Em uma viagem, esse carro percorreu 36,3km na cidade e 198km na estrada. Calcule a despesa com combustível que seu Antônio teve nessa viagem, considerando que o preço de cada litro de combustível foi de R$ 2,30.

Atividade 7: Identifique quais dos racionais abaixo são dízima periódica e encontre sua geratriz.

a) 0,111... b) 1,45379... c) 0,23141414... d) 0,6444... e) 3,141516... f) 0,0202...

Atividade 8: Localize em uma mesma reta os seguintes números racionais:

a) 0,1

b) – 1,2

c) 3,444...

d) 52

−

e) 104

f) – 3,75

37GUIA DO ALUNO

ANOTAÇÕES

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POTENCIAÇãO E RADICIAÇãO31. Introdução

Nessa oficina trataremos esses conteúdos começando pela potenciação com base racional e expoente natural, ampliando para expoentes negativos e dando ênfase à utilização das potências de 10 utilizadas nas notações científicas, que são fundamentais para o desenvolvimento das teorias da Física e da Química. Trabalharemos também com as propriedades da potenciação, objetivando desenvolver técnicas de cálculo e raciocínio.

Quanto à radiciação, introduziremos sua definição como a operação inversa da potenciação e daremos ênfase às propriedades e aos cálculos que envolvam números irracionais trabalhando com simplificação de radicais.

Usaremos um jogo como recurso didático, com o objetivo de desenvolver raciocínio lógico matemático e habilidades de cálculo com potências e radicais por meio lúdico. O jogo que usaremos é uma adaptação do “Dominó Humano Matemático”, que contará com cálculos que envolvem potências e radicais, bem como suas propriedades. Esse jogo tem o objetivo de entreter, aperfeiçoar e, ao mesmo tempo, dinamizar a aula. Por meio desse recurso os alunos aprendem matemática brincando, desenvolvem autonomia, fixam as propriedades e ainda interagem com o professor e com os colegas.

2. Potenciação

A potenciação é útil no estudo de várias situações. Vejamos, por exemplo, como proceder na compreensão da difusão de uma epidemia.

Problema 1. Suponha que uma pessoa esteja contaminada com uma determinada doença. Em 1 dia o sujeito contaminado espalha a doença para 4 pessoas. Cada uma dessas 4 pessoas contamina outras 4 pessoas, no tempo de 1 dia. Em pouco tempo teremos uma epidemia. Faça um diagrama de árvore e complete a tabela:

Tempo Instante inicial 1o dia 2o dia 3o dia 4o dia

Novas pessoas contaminadas 1


No problema anterior, temos um problema com potências.

A fórmula que nos dá o número de contaminados C no enésimo dia, segundo essa tabela, é dado por:

Vamos efetuar as potenciações, relembrando as regras da multiplicação dos números racionais:

a)

b)

c)

d) 85 2

` j

e)

f)

g)

h)

Observando as potências que você acabou de calcular, responda:

a) Se a base é positiva, a potência é positiva ou negativa?

b) Se a base é negativa, a potência é positiva ou negativa?

Problema 2. Complete a tabela, observando a regularidade em sua construção.

22 12 02 12− 22− 32−

8 4 2

a) Escreva o resultado da potência:

47GUIA DO ALUNO

b) Efetue as potenciações, levando em consideração o resultado anterior:

42− 25−

325

−

187

− ()00,7

Problema 3. Leia o seguinte texto, em voz alta, e em menos de 30 segundos:

“...como, por exemplo, o nosso Sistema Solar que tem um diâmetro aproximado de 100.000.000.000 metros. E isso é muito pequeno se comparado com o tamanho da Galáxia onde vivemos com seus incríveis 100.000.000.000.000.000.000 metros de diâmetro. No entanto, ao lembrarmos que o Universo visível deve ter cerca de 100.000.000.000.000.000.000.000.000 metros de diâmetro, vemos que tamanhos assombrosos estão incluídos no estudo da Astronomia. Daí pensamos que é melhor estudar biologia, pois a molécula do DNA tem apenas 0,0000001 metro, muito mais fácil de lidar. O problema é que a astronomia não é uma profissão perigosa enquanto que a biologia... Imagine que os biólogos têm a coragem de lidar com vírus que medem apenas 0,000000001 metro e são terrivelmente mortais. E se, por distração, um biólogo deixar um desses vírus cair no chão do laboratório? Nunca mais irá encontrá-lo!....”.

Difícil ler esses números, não é?

Para facilitar ainda a compreensão de textos como esses, os cientistas passaram a usar uma forma compacta para escrever números muito grandes ou muito pequenos, a chamada notação científica ou notação exponencial.

Agora você pode escrever os números que aparecem no texto acima utilizando notação científica.

3. Radiciação

Problema 4. Vamos completar a tabela calculando a área de um quadrado de lado medindo n centímetros.

Lado n Área

3 cm

7 cm

2,5 cm

x cm


Agora a situação é inversa. Escreva a medida do lado de um quadrado, conhecendo sua área:

Área Lado

16 cm2

64 cm2

2,25 cm2

x2 cm2

Você acabou de calcular várias raízes quadradas. A ideia é a mesma para outras raízes. Procure usar esse raciocínio do inverso da potenciação para calcular as seguintes raízes:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Problema 5. O gráfico abaixo mostra a relação entre os números reais x, de 0 a 10, e os seus quadrados, representados por y. Analise-o e determine através dele, o valor aproximado:

a) dos números cujos quadrado são 36; 30; 19; 84

b) dos números

49GUIA DO ALUNO

x

y100

95

90

85

80

75

70

65

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

00 2 4 6 8 10

Problema 6. As sentenças seguintes referem-se a dois números não negativos. Classifique-as em verdadeira ou falsa.

a) A soma das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da soma desses números:


b) O produto das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do produto desses números:

c) O quociente das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do quociente desses números:

d) A diferença das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da diferença desses números:

e) A raiz quadrada de um número corresponde a uma potência com expoente fracionário 12

:

Problema 7. Obtenha o perímetro do triângulo e do retângulo ilustrados abaixo, cujas medidas de seus lados estão dadas em centímetros, procurando simplificar os radicais.

125

20

5

a) b)

18

22

1+

4. Dominó Matemático

Regras

» Recorte as peças (você poderá refazer essas peças com outro material e de outro tamanho, se julgar necessário) e distribuir para a turma entregando uma peça para cada aluno. Se sobrarem peças, estas ficarão em sua responsabilidade para que o jogo possa se realizar. Se houver mais alunos que peças, divida a turma em dois grupos diferentes, para que todos possam participar.

» Um aluno começa o jogo. Ele vai a frente e lê seu cartaz. Por exemplo:

51GUIA DO ALUNO

Eu tenho 9, quem tem 0100 ?

O aluno que tiver com a resposta, ou seja, o aluno que tem a peça com os dizeres: “Eu tenho 0, ...” irá a frente, ficando ao lado do primeiro (como se fosse um dominó humano) e assim por diante, cada aluno irá se posicionar no dominó conforme sua peça.

É importante que você, tutor, aguarde a tentativa dos alunos. Espere até que alguém se pronuncie com o cartão que contém a resposta correta, mas não se esqueça de formalizar o cálculo ou a propriedade que foi utilizada para resolver aquele item. Você poderá empregar as seguintes questões: Com quem está o cartão com o resultado? Como você chegou ao resultado? Alguém usou algum outro caminho pra efetuar o cálculo?


5. Resolva as atividades propostas abaixo.

Atividade 1. As distâncias entre as estrelas são tão grandes que não convém medi-las em quilômetros. Por isso, os astrônomos utilizam uma unidade de medida mais conveniente: o ano-luz. Um ano-luz é a distância percorrida pela luz em um ano. Responda:

a) Em cada segundo, a luz percorre 300 000 Km. Multiplique isso pelo número de segundos de um ano e diga quantos quilômetros há em um ano-luz. Dê a resposta em notação científica.

b) A segunda estrela mais próxima da Terra está a 4 anos-luz de distância. Quantos quilômetros nos separam dela?

Atividade 2. No primeiro dia de uma epidemia de gripe, foram registrados cinco casos de pessoas infectadas. No segundo dia, cada uma das cinco transmitiu a gripe para outras cinco pessoas saudáveis. E assim a doença se propagou nos dias seguintes. Ao final do 60 dia, quantas pessoas ao todo haviam sido infectadas?

Atividade 3. Qual é o valor aproximado de 3 48 ?

Atividade 4. A medida da área de um triângulo equilátero de ℓ é dado por 2 34

. Nessas condições,

qual é a medida da área de um triângulo equilátero de lado medindo 3 5 cm?

Atividade 5. Um terreno retangular de dimensões 20 2 2m m× deverá ser cercado com arame. Se o metro de arame custa R$ 3,50, quanto será gasto para cercar esse terreno, sendo necessário dar 3 voltas de arame? (Use valores aproximados para os radicais não exatos).

Atividade 6. Qual o resultado da expressão (0,8)2 : (31)0 + (6/10)2 ?

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ANOTAÇÕES


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61GUIA DO ALUNO

INTRODUÇãO à áLGEBRA4Essa oficina trata de um tema muito importante, pois está na base da resolução de problemas em matemática. Aqui veremos como traduzir, em linguagem e notação matemática, informações apresentadas textualmente e saber operar com expressões matemáticas do tipo monômio e polinômio.

1. O emprego de letras em matemática

Problema 1: Represente as frases abaixo em linguagem matemática:

a) Um número mais o quádruplo dele é igual a 10.

b) A metade do número de eleitores de uma cidade é igual a 1642.

c) Os três quartos de um número menos dois é igual a 35.

d) Um número adicionado ao se dobro dá vinte e oito.

Problema 2: O quintal da casa de Érika tem formato retangular e suas dimensões (em metros) estão representadas na figura abaixo.

a

a

bb

Como podemos representar a medida do contorno desse quintal?


2. Operações com monômios

1 – Adição de monômios

Problema 3: Dona Emília quer colocar rodapé no contorno da cozinha, que tem forma retangular e cujas dimensões estão representadas no desenho abaixo. Vamos ajudá-la!

3x

2x

2 – Multiplicação de monômios

Problema 4: Dona Emília quer calcular a área da cozinha para colocar piso. Vamos ajudá-la!

Você já sabe que a largura da cozinha é 3x e o comprimento é 2x.

3 – Subtração de monômios

Problema 5: Quando Dona Emília chegou à loja para comprar o piso, encontrou uma oferta. Resolveu calcular para saber se o piso dava para a cozinha. Descobriu que o total do piso em oferta era 28x metros quadrados.

Como a área que Dona Emília precisa é 26x metros quadrados, o piso em oferta será suficiente?

Sobrará ou faltará?

Quanto?

63GUIA DO ALUNO

4 – Divisão de monômios

Problema 6: Mas a loja só venderia parte dessa mercadoria (piso) se sobrassem pelo menos 23xmetros quadrados. Por isso, Dona Emília não pôde comprar o piso nessa loja. Como ainda precisa do piso para a cozinha, Dona Emília foi a outra loja. Lá encontrou um lote de 218x metros quadrados de piso e, como o preço estava bom, ela resolveu comprar. Curiosa, pensou em quantas cozinhas do tamanho da sua dariam para forrar com aquela quantidade de piso.

5 – Potenciação de monômios

Problema 7: Dona Emília resolveu colocar na sua sala um tapete quadrado com as dimensões abaixo:

2y

2y

Ela quer saber a área desse tapete.

6 – Radiciação de monômios.

Você já sabe que a operação inversa da potenciação é a radiciação. Então, para extrairmos a raiz de um monômio fazemos a operação inversa:

2 22 2 2 1 12 2 24 2 2 2 2 2y y y y y y= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Generalizando, temos:

mn m na a=

e

1 1n n nab a b= ⋅

Portanto, repetimos a base e dividimos o expoente do radical pelo índice da raiz.


3. Polinômios

1 – Adição de polinômios

Problema 8: O presidente do Tabajara Futebol Clube precisa cercar o campo e quer saber quantos metros de alambrado terá que comprar, sendo o comprimento desse campo de futebol dado por 5x + 20 metros e sua largura por 4x + 10 metros.

2 – Multiplicação de polinômios

Problema 9: Em seguida ele necessita gramar o campo de futebol. Para isso, você sabe, é só calcular a área. Assim:

65GUIA DO ALUNO

5. Resolva as atividades propostas abaixo:

1) Faça a tradução das seguintes informações para a linguagem matemática:

a) O dobro de um número.

b) O triplo de um número.

c) A metade de um número.

d) A terça parte de um número.

e) Dois terços de um número.

f) Um número mais quatro.

g) O triplo de um número menos dois.

h) Dois quintos de um número acrescidos de quinze.

i) O dobro de um número mais oito.

j) A metade de um número aumentado de dez.

k) A diferença entre um número e sete.

l) A quarta parte de um número, mais vinte.

m) A terça parte de um número, menos o seu dobro.

2) Uma creche tem x crianças. Escreva a expressão algébrica que representa:

a) o dobro do número de crianças dessa creche.

b) a quinta parte do número de crianças dessa creche.


c) o número de crianças que a creche teria se saíssem quinze crianças.

3) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro das seguintes figuras:

a

a

a a

a

a 2a

b

2a 2a

b

2aa) b)

4) Escreva cada situação descrita abaixo em linguagem algébrica.

a) a diferença entre um número e sua terça parte.

b) a soma de três números consecutivos.

c) a altura de uma pessoa é maior que a altura da irmã dessa pessoa.

d) o quádruplo de um número mais dez é igual a quarenta e seis.

5) Descreva cada situação descrita abaixo em linguagem corrente.

a) 5 1x +

b) 4 2 9x + =

c) 3 2x x−

d) 3

2 2x

x+ =

e) 34 2y y− <

f) ()()a b a b+ −

67GUIA DO ALUNO

6) Observe a figura e responda:

3x

2x

a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse retângulo?

b) Qual é a expressão algébrica do perímetro desse retângulo? Essa expressão pode ser reduzida a um só termo?

7) Responda:

a) Quanto dá o produto de 23x− por 5xy ?

b) Quanto é o produto entre 8abe ab− ?

8) Observe abaixo e responda:

4x²y

3y²

a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse retângulo?

b) A parte literal do monômio que representa a área do retângulo é 2 4x y ? Explique como chegou-se a esse resultado.

9) Um litro de leite custa x reais. Léa comprou três litros de leite. Pagou com 5x reais. Nessas condições, responda:

a) Qual é o monômio que representa o preço de 3 litros de leite?

b) Qual é a expressão algébrica que representa o troco que Léa recebeu?


10) Determine os monômios que representam a seguinte situação: um sorvete custa x reais. Leonardo comprou 3 sorvetes e Carolina 5.

a) Quanto os dois gastaram?

b) O troco que Leonardo recebeu, se ele pagou os seus sorvetes com 10x reais.

11) Se Jussara tem 20x reais e resolveu dar a quarta parte desse dinheiro para seu filho, que quantia seu filho receberá?

12) Qual é a forma mais compacta de representar as expressões abaixo?

a) 7 3xy xy− + =

b) 15 8mn mn− =

c) 2,5 0,5ab ab− =

d) 2 2 2 23a b a b− − =

e) 2 2 26 2y y y+ − =

f) 2 2 24 3 9ax ax ax− + =

13) Qual é o resultado de:

a) ()()215 3 ?xy x÷

b) ( )()220 4 ?x y y− ÷

c) ( )()4 281 9 ?a b c ab÷ −

d) ( )()3 2 249 7 ?a b c a bc− ÷

e) ( )( )4 3 4 248 12 ?x y x y− ÷ −

f) ()()2 2 2 235 5 ?x y x y÷ −

14) Suponha que um quadrado tem área igual a 29y . Qual é a medida do lado desse quadrado?

15) A sala da casa de Lucimar tem forma de um quadrado e 16 m² de área. Qual é a medida do lado dessa sala?

69GUIA DO ALUNO

16) Encontre a medida do lado de um quadrado cuja área mede:

a) 481a

b) 2 6100m n

17) Dê o resultado de:

a) ()2

2x− =

b) ()323a =

c) ()22 3a b c =

d) ()42 3m n− =

e) 264m =

f) 4 10100a b =

g) 4 1049

x a =

18) Branco comprou 5 calças e 12 camisas. Se cada calça custou x reais e cada camisa y reais, qual o polinômio que representa a quantia que Branco gastou?

19) Calcule:

a) ()2x y+ =

b) ()2x y− =

c)()()5 5x x+ − =

d) ()23a + =

e) ()22b − =

f) ()()m n m n− + =


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EQUAÇÕES LINEARES5

1. Identidade e equação

É importante inicialmente compreender a diferença entre equação e identidade. Essa diferenciação deve ser pontuada a priori, pois esclarecerá, mais a frente, as situações “estranhas” que surgirão ao se resolver algumas equações.

Dada uma expressão onde figura apenas uma letra, digamos x, à qual nos referiremos como expressão em x, o conjunto dos números reais x para os quais se podem efetuar as operações indicadas na expressão é chamado de domínio da expressão. Veja os dois casos abaixo.


a) O domínio da expressão 2

3x − é o conjunto dos x reais diferentes de 3, pois nessa expressão

podemos atribuir a x todos os valores reais, exceto o valor 3 já que, nesse caso, o denominador se anularia e estaríamos diante de uma divisão por zero, o que não existe.

b) O domínio da expressão 3 2x + é o conjunto dos números reais, pois podemos atribuir a x qualquer valor real que a expressão em tela sempre fornecerá, por resultado, um número real.

Dada uma igualdade onde em cada membro se tem uma expressão em x, consideremos o conjunto dos números reais x que são comuns aos domínios dessas expressões, ou seja, o conjunto dos números reais x para os quais são possíveis de serem realizadas as operações indicadas por ambas as expressões. Indiquemos tal conjunto por D. Veja os dois casos abaixo.

a) No caso da igualdade 3 1 4x x+ = − , as operações indicadas por ambas as expressões 3 1x + e 4x − podem ser efetuadas para qualquer x real, logo D = . O mesmo sucede com a igualdade ()2 22 4 4x x x+ = + + .

b) Na igualdade 2 3

2 3 2x x=

+ −, o conjunto D é a coleção dos números reais diferentes de 2− e 2 3 , pois

tais números anulam respectivamente os denominadores do primeiro e segundo membros. No caso da

igualdade 1 2 3

2 2 2x x x+ =

− − −, o conjunto D é a coleção dos números reais diferentes de 2.

Se a igualdade se verifica para todo x de D, tem-se uma identidade (em D). Caso contrário, tem-se uma equação. Neste último caso, resolver a equação significa achar os valores x de D que a verificam, o conjunto desses valores será chamado de conjunto-solução da equação (eventualmente tal conjunto pode não conter nenhum elemento, que é o caso de não haver solução para a equação).

2. Equação do 1º grau

Problema 1: Num país chamado Aposentadolândia, um trabalhador tem direito à aposentadoria quando a soma do número de anos trabalhados com a idade do trabalhador é igual a 100. Com que idade poderia aposentar-se uma pessoa que tenha trabalhado ininterruptamente a partir dos 22 anos?

81GUIA DO ALUNO

Problema 2: Resolva as equações abaixo:

a) 2 3 4 2x x+ = −

b) 3 1 1

1,52 2

xx

−= −

c) 4 3

2 22

xx

−+ =

Problema 3: Em um teste de 25 questões, por cada acerto ganha-se 4 pontos e por cada erro perde-se 1 ponto. Pedro respondeu a todas as questões e marcou 70 pontos. Quantas questões Pedro acertou?

Problema 4: Azul e Branca são duas locadoras de automóvel. A locadora Azul cobra R$ 1,00 por quilômetro rodado mais uma taxa de R$ 100,00 fixa. A locadora Branca cobra R$ 0,80 por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de R$ 200,00. Discuta em que situação é mais vantajoso se alugar um carro em uma ou outra locadora.

Problema 5: Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total será dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?

3. Sistemas lineares de duas equações com duas incógnitas

Resolver um sistema formado por duas equações lineares, com duas incógnitas corresponde a obter as soluções simultâneas dessas duas equações.

Problema 6: Resolva o sistema: 2 1

3 11

x y

x y

− = + =

Problema 7: Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, juntos teremos 135 anos. Qual é a minha idade?


Resolva as atividades propostas abaixo.

Atividade 1: Para promover um baile, um clube fez o seguinte levantamento de gastos:

Banda R$ 3 000,00Decoração R$ 2 400,00Iluminação R$ 400,00

Além dos gastos acima, o buffet cobrará R$ 35,00 por pessoa. O preço do convite individual é R$ 70,00. Qual o número mínimo de convites que o clube deve vender para que o baile não dê prejuízo?

Atividade 2: A herança do Antônio foi dividida, entre 10 pessoas, seus 2 irmãos e seus 8 filhos, em partes iguais. Caso a partilha da herança fosse feita somente entre seus 8 filhos, cada um deles teria recebido R$ 5 000,00 a mais do que receberam na partilha por 10. Qual o valor da herança partilhada?

Atividade 3: Foram pesados 3 cubos idênticos e 2 esferas idênticas, todos juntos e, nessa pesagem, obteve-se 11,5 kg. Em seguida, pesou-se 2 desses cubos juntos com 3 esferas idênticas às da primeira pesagem e obteve-se 11kg. Qual o peso de cada cubo e de cada esfera?

83GUIA DO ALUNO

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91GUIA DO ALUNO

GRANDEZAS DIRETA EINVERSAMENTE PROPORCIONAIS6

Esse é um tema básico e importante. Tem sido solicitado em concursos diversos, em vestibulares e também no ENEM. Em geral o aluno sabe resolver problemas envolvendo duas grandezas proporcionais pelo emprego da “regra de três”. Mas aplica a regra de três em situações inadequadas, para as quais ela não é válida. Em geral, o aluno não avalia corretamente se as grandezas envolvidas são ou não proporcionais, muito menos se essa proporcionalidade é direta ou inversa. Mais complicado ainda para o aluno é a situação onde uma grandeza é proporcional a várias grandezas ao mesmo tempo.

1. Grandezas Proporcionais

Considere a seguinte situação: uma empresa de engenharia consegue asfaltar 60 km de estrada em 20 dias. Deseja-se saber quantos dias seriam necessários para que essa mesma empresa asfalte uma estrada de 84km. As duas grandezas envolvidas, quilômetros de estrada a ser asfalto e o número de dias necessários para realizar o asfaltamento são tais que: se uma delas aumenta, a outra também aumenta, ou seja, quando aumentamos o número de quilômetros a ser asfaltado, o tempo necessário para realizar esse asfaltamento também aumenta.

Note, em particular, que se duplicássemos o número de quilômetros, o tempo gasto para realizar o asfaltamento seria também duplicado. Se triplicássemos o número de quilômetros, o tempo para realizar o asfaltamento deveria também ser triplicado. Na tabela abaixo registramos a situação para algumas quilometragens. Note que na última coluna dessa tabela encontra-se registrado o quociente dos valores das duas grandezas em cada caso.

Quilometragem q da estrada

Nº d de dias necessários para realizar o asfaltamento

Quociente q/d

60 20 3

120 40 3

180 60 3

30 10 3

12 4 3

1 1/3 3


Nessa situação, as grandezas q e d são tais que o valor de uma aumenta quando a outra também aumenta e, além disso, o quociente entre elas é constante.

Quando duas grandezas apresentam características como as exemplificada acima, diremos que as duas grandezas são proporcionais (ou diretamente proporcionais). Tecnicamente duas grandezas x e y são proporcionais quando existe uma constante k (fator de proporcionalidade) tal que y k x= × ou, equivalentemente,

yk

x= .

Problema 1: Uma empresa de engenharia consegue asfaltar 60 km de estrada em 20 dias. Quantos dias seriam necessários para a mesma empresa asfaltar uma estrada de 84 km?

Problema 2: Uma lata de leite em pó, pesando 400 g, custa R$ 5,20. O mesmo leite, na embalagem de 900 g, custa R$ 11,20. Qual das duas opções é economicamente a mais vantajosa?

Problema 3: Trabalhando 8 horas por dia, 3 trabalhadores constroem um muro de 40 m de altura em 12 dias. Se o número de horas de trabalho diário for reduzido para 6 e o número de trabalhadores aumentado para 5, qual o comprimento de um muro de mesma altura que eles construirão em 15 dias?

2. Grandezas inversamente proporcionais

Considere agora um tanque a ser enchido e que se possa enchê-lo utilizando-se uma, duas ou várias torneiras, todas de mesma vazão. Dependendo do número de torneiras utilizadas, o tempo para encher o tanque varia. É importante observar que essa situação se diferencia dos anteriores pois, nesse caso, as duas grandezas envolvidas, número de torneiras e tempos para encher o tanque, são tais que, quando uma delas aumenta, a outra diminui, ou seja, quando aumentamos os número de torneiras, o tempo necessários para se encher o tanque diminui. Note, por exemplo, que se uma torneira sozinha gastasse 6 horas para encher o tanque, duas torneiras juntas levariam a metade desse tempo, ou seja, 3 horas, e ainda, três torneiras juntas levariam um terço desse tempo, ou seja, 2 horas. Na tabela abaixo registramos a situação para o número de torneiras variando de 1 a 6. Note que na última coluna dessa tabela encontra-se registrado o produto dos valores das duas grandezas em cada caso.

93GUIA DO ALUNO

Nº n de torneirasTempo t necessário para

encher o tanque (em horas)Produto nXt

1 6 6

2 3 6

3 2 6

4 1,5 6

5 1,2 6

6 1 6

Nessa situação, as grandezas n e t são tais que o valor de uma aumenta quando a outra diminui e, além disso, o produto entre elas é constante.

Quando duas grandezas apresentam características como as exemplificadas acima, diremos que as duas grandezas são inversamente proporcionais. Tecnicamente, duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando existe uma constante k (fator de proporcionalidade) tal que

ky

x= ou, equivalentemente, x . y = k.

Problema 4: Se 4 torneiras (com mesma vazão) enchem um tanque em 2 horas (estando o tanque inicialmente vazio), quanto tempo demorará para encher esse tanque (estando inicialmente vazio) quando somente 3 dessas 4 torneiras estiverem abertas?

Problema 5: Um fazendeiro possui ração suficiente para alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, ele vende 4 vacas. Passados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quantos dias, no total, durou sua reserva de ração?

Problema 6: Uma torneira A enche um tanque em 5 horas. Uma torneira B enche esse mesmo tanque em 15 horas. As duas torneiras juntas encherão esse tanque em quantas horas?



Atividade 1: Um barco com 7 pessoas, à deriva no mar, tem suprimento de água suficiente para 28 dias. Após 4 dias, o barco recolhe mais 1 náufrago. Se o consumo diário de água por pessoa se mantiver o mesmo, em quantos dias mais durará a reserva de água?

Atividade 2: Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e, nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo e todos passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, qual a quantidade de alimentos arrecadados ao final dos 30 dias de campanha?

Atividade 3: Uma caixa d’água de 1000 litros tem um furo no fundo, por onde escoa água a uma vazão constante. às 6h da manhã de certo dia ela foi cheia e, ao meio dia desse mesmo dia, só tinha 850 litros. Quando o volume d’água restante na caixa alcançará a metade da capacidade da caixa?

Atividade 4: Uma caravana com 7 pessoas deve atravessar o Sahara em 42 dias. Seu suprimento de água permite que cada pessoa disponha de 3,5 litros por dia. Após 12 dias, a caravana encontra 3 beduínos sedentos, vítimas de uma tempestade de areia, e os acolhe. Pergunta-se:

a) Quantos litros de água por dia caberão a cada pessoa se a caravana prosseguir sua rota como planejado?

b) Se os membros da caravana (beduínos, inclusive) continuarem consumindo água como antes, em quantos dias, no máximo, será necessário encontrar um oásis?

95GUIA DO ALUNO

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103GUIA DO ALUNO

PORCENTAGEM7O tema porcentagem é recorrente em toda a matemática e surge nas mais diversas situações. Este é um assunto trabalhado ao longo do Ensino Fundamental e deve ser devidamente compreendido, pois estão presentes em problemas diversos, relacionados a diferentes saberes matemáticos, além de ser uma ferramenta muito empregada na vida cotidiana.

Objetivamente falando, uma porcentagem é uma fração de denominador 100.

Por exemplo, “sete por cento” escreve-se como “7%” e significa “sete centésimos”, isto é, 7

7%100

= .

Sempre que se diz “sete por cento” está se pensando em 7% de uma determinada grandeza. Nesse caso, está se pensando em sete centésimos dessa grandeza.

Como porcentagem surge a todo instante, é conveniente se ter em mente os significados das mais frequentemente utilizadas.

Porcentagem 10% 20% 25% 50% 100%

Significado 1 10 1 5 1 4 1 2 1

Um erro muito comum é considerar que se uma mercadoria custava R$ 100,00, e passou a custar R$ 400,00, então essa mercadoria sofreu um aumento de 400%, já que o preço atual é o quádruplo do preço original. De fato, o preço atual é o quádruplo do preço original, entretanto o aumento foi de R$ 400,00 – R$ 100,00 = R$ 300,00 = 3 × R$ 100,00, que corresponde a um aumento de 300% em relação ao preço original.

Em determinados contextos não faz sentido falar em porcentagens superiores a 100%. Por exemplo, não faz sentido falar em um desconto de 140% no preço de um produto. Seria dar um desconto superior ao preço do produto. Entretanto, faz sentido falar que um produto teve um aumento de 140%.

Os problemas de porcentagem envolvem, em geral, três elementos fundamentais: o valor básico, a taxa de porcentagem e a porcentagem do valor básico. Os problemas mais simples de porcentagem consistem em, dados dois desses elementos, calcular o terceiro.


Problema 1: O salário mensal de um trabalhador é R$ 980,00. Ao receber um aumento salarial de 3,6%, quanto passou a ser seu novo salário?

Problema 2: O preço da entrada do cinema foi reajustado em 25% e, com isso, passou a valer R$

Problema 3: Numa empresa há 620 funcionários. Desse total, 341 são homens. Qual a porcentagem de funcionárias nessa empresa?

Problema 4: Em uma liquidação, um lojista diminuiu em 20% o preço de todas as suas mercadorias. Terminado o período da liquidação, o lojista resolveu reajustar todos os preços de forma a restaurá-los aos preços praticados antes da liquidação. Qual deverá ser o percentual de reajuste?

Problema 5: No 1º semestre de 2009, Carlos teve 5% de aumento salarial. No 2º semestre desse mesmo ano Carlos teve um novo aumento salarial, agora de 10%.

a) Qual o aumento salarial de Carlos, acumulado nesses dois semestres?

b) Teria sido melhor ou pior (para Carlos) mudar a ordem (mas não os valores) dos aumentos?

105GUIA DO ALUNO


Atividade 1: Num salão com 200 pessoas, 99% são mulheres. Mantido os homens no salão, quantas mulheres devem sair para que 96% das pessoas que fiquem no salão sejam mulheres.

Atividade 2: Um tanque contém 60 litros de combustível, dos quais 30% são de álcool e o restante de gasolina. Quantos litros de gasolina devem ser acrescentados à esse tanque de modo que o combustível resultante tenha apenas 20% de álcool?

Atividade 3: A água do mar contém 2,5% de seu peso em sal. Quantos quilogramas de água do mar são necessários para obter 500g de sal?

Atividade 4: Numa promoção, uma bermuda sofreu um desconto de 15% e, no último dia da liquidação, sofreu um novo desconto de 10%. Qual foi o desconto percentual total no preço da bermuda no último dia da liquidação, em relação ao preço anterior à liquidação?

Atividade 5: Pedro realizou um trabalho pelo qual recebeu R$ 2.349,00 líquidos, após o desconto de 10% de INSS.

a) Qual foi a remuneração (bruta) paga a Pedro por esse trabalho?

b) Quanto Pedro deveria ter cobrado por esse trabalho de forma a receber (líquidos) R$ 2610,00, após a dedução do INSS?


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107GUIA DO ALUNO

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115GUIA DO ALUNO

GRANDEZAS E MEDIDAS81. Introdução

O aluno está inserido em um universo em que as diferentes grandezas e medidas são presentes e necessárias. O conhecimento desse conteúdo, que vem sendo explorado desde as séries iniciais, agora será relembrado dando ênfase ao raciocínio nas resoluções de problemas e nas regras operacionais de conversões de unidades. Esse conteúdo é de extrema importância para que o aluno acompanhe não só a matemática do Ensino Médio, mas também a Física, a Química, que são disciplinas que trabalham diretamente com medidas de tempo, espaço, massa, volume, área, dentre outras. Também se destaca nessa oficina a possibilidade de trabalharmos as operações com números racionais e discutirmos a ideia existente do sistema sexagesimal na medida do tempo. Iremos dividir essa oficina em três etapas: na primeira faremos uma atividade prática, explorando o universo existente e conhecido do aluno através da utilização de objetos concretos e de observações possíveis. Na segunda etapa, trabalharemos com a revisão de conceitos importantes como operações e conversões de unidades de medida. E, para finalizar, iremos, na terceira etapa, propor problemas sobre grandezas e medidas que favoreçam o raciocínio lógico além de exercitarem as metodologias de conversão.

2. Unidades de Medida

Problema 1. Vamos completar a tabela abaixo, indicando a unidade de medida mais adequada, dentre as apresentadas no primeiro quadro, para efetuar a medição nas seguintes situações:

Ano Quilograma Centímetro Grau Celsius Litro

Segundo Grama Milímetro Mililitro Polegada

Metro Dia Minuto Tonelada Quilômetro


Tabela:

O que medir... Unidade

Comprimento da sala de aula

Um tempo de uma partida de futebol

Massa de um recém nascido

Distância de Juiz de Fora a São Paulo

Tempo entre uma copa e outra

Tempo gasto na troca de pneus de um carro de fórmula 1

Massa de um pão francês

Comprimento de um lápis

Capacidade de uma caixa d’água

Comprimento da Diagonal de uma TV

Temperatura em um dia frio em São Paulo

Espessura do grafite de uma lapiseira

Uma dose de xarope

Massa de um elefante

Tempo de duração da Quaresma

Problema 2.

A partir das informações da tirinha acima responda:

a) Que horas acabará esse jogo?

117GUIA DO ALUNO

b) Quantos minutos há em 1 hora?

c) Quantos segundos há em 1 minuto?

d) Quantos segundos há em 1 hora?

e) Quantos minutos há em 1 mês?

f) Quantas horas há em 1 ano?

g) Joana resolveu assistir a dois programas de TV, um após o outro. O primeiro teve duração de 4h 20min 30s e o segundo 2h 48min 54s. Qual foi o tempo total que Joana gastou assistindo aos dois programas?

h) Um triatleta marcou os tempos gastos em suas provas:

- Natação: 17min 56s 59 centésimos de segundo

- Ciclismo: 58 min 48 s e 50 centésimos de segundo

- Corrida: 49 min 34 s e 80 centésimos de segundo

Qual o tempo total das provas do triatleta?

i) Fernanda irá assistir um filme que tem duração de 124 minutos. No display do dvd ela observa que já se passaram 1h 35mim e 39s do filme. Quanto tempo falta para terminar esse filme?

j) A aula de matemática que será apresentada num programa educacional de TV começa às 14h 15min 34 s e termina às 15h 30min 28s, sem intervalos. Qual é a duração desta aula?

Problema 3.

a) A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de cerca de 429 000 m.

b) A espessura do fio de cabelo é de cerca de 0,0001 m.

As medidas indicadas nos itens a e b poderiam ser melhor expressas em outras unidades de medida de comprimento. Quais seriam essas unidades?


Usando esse mesmo raciocínio, vamos fazer algumas conversões:

a) 10 m = __________dm f) 12 m = _________mm

b) 25 cm = __________mm g) 30 cm = ___________m

c) 870 m = __________dam h) 2 Km = _________m

d) 43 mm = _____________m i) 7,2m = _________cm

e) 32000 m =____________Km j) 78,99cm = _________m

Problema 4. Vamos observar a receita de um bolo de fubá:

» 3 ovos

» 50 g de margarina

» 300 g de açúcar

» ½ Kg de farinha de trigo

» 400 g de fubá

» 30 g de fermento em pó

As quantidades estão expressas em gramas e quilogramas. Como fazer para converter essas unidades? ½ Kg são quantas gramas? Quantas gramas de ingredientes são necessárias no total (considere que 1 ovo = 40 g)?

Faça as seguintes conversões:

23 Kg = _________g

450 mg = __________g

30 hg = ___________dg

67,44 g = ___________mg

322,77 g = _________Kg

32 Kg = __________cg

3 ton = _________Kg

119GUIA DO ALUNO

Problema 5. Para azulejar uma parede, foi necessário medir sua altura e comprimento, mas só tínhamos uma fita métrica em mãos e, por isso, as medidas foram: 205 cm de altura e 315 cm de comprimento. Na loja de materiais de construção vende-se azulejos em metros quadrados. Quantos metros quadrados de azulejos serão necessários para essa parede?


20 cm2 = ___________m2

15000 km2 = ___________m2

340 cm2 = ___________mm2

30000 cm2 = ___________m2

Problema 6. Quantos litros de água são necessários para encher uma piscina retangular de 4m de comprimento; 1,5m de largura e 2m de profundidade.

2m

1,5m

4m


200 cm3 = ___________ℓ

25 m3 = ___________dm3

4,4 m3 = ___________ℓ80000 mm3 = ___________ℓ


Resolva as atividades propostas abaixo

Atividade 1. Uma lata de óleo tem, em geral, 900 ml. Quantas latas de óleo são necessárias para encher um galão de 20ℓ ?

a) 21 b) 22 c) 23 d) 30

Atividade 2. Em uma garrafa com capacidade para 1,5ℓ de água mineral, seu conteúdo de água tem 1,5 Kg de massa e a embalagem cerca de 35g. Qual é a massa, em Kg, de uma caixa que transporta 30 garrafas de água mineral?

Atividade 3. Eduardo faz a edição de um programa de TV. O programa tem quatro blocos e deve ter 14 minutos de duração total. Quando esse tempo é ultrapassado, Eduardo precisa fazer cortes. Veja os tempos dos blocos da edição do programa de hoje:

Bloco Duração

10 3 min 17 s

20 4 min 12 s

30 4 min 47 s

40 3 min 22 s

Eduardo precisará fazer cortes nessa edição? Se sim, de quanto tempo?

Para o próximo programa os três primeiros blocos já estão editados e tem os seguintes tempos: 3 min 50s, 3 min 34 s, 2 mim 58 s. Qual tempo deverá ter o quarto bloco respeitando o tempo total de 14 minutos?

Suponha que o programa comece às 16h 48min e que tenha dois intervalos de 3min 15s cada. Qual será o horário do término do programa?

Atividade 4. Um campo de futebol será coberto com grama. O campo é um retângulo de 100m de comprimento e 50 m de largura. Para cada 10 metros quadrados de grana plantada, gasta-se 1 metro quadrado a mais por causa da perda. Cada metro quadrado de grama custa R$ 8,50. Quanto será gasto, em reais, para cobrir todo o campo?

Atividade 5. Um caminhão pipa pesa 3,2 toneladas quando está vazio e tem capacidade para 15.000 litros de água. No momento ele transporta 65% de sua capacidade. Sabendo que cada litro de água pesa 1Kg, quantas toneladas têm esse caminhão no momento?

121GUIA DO ALUNO

Atividade 6. Quantos litros de água são necessários para encher completamente um recipiente cúbico de 2m de aresta?

Atividade 7. Uma piscina de formato retangular tem 5m de comprimento, 4m de largura e 3m de altura. Ela será azulejada com azulejos quadrados de 20cm de lado.

a) Quantos azulejos serão necessários?

b) Quantos litros de água são necessários para preencher 60% da capacidade de piscina?


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ANOTAÇÕES

123GUIA DO ALUNO

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áREAS DE FIGURAS PLANAS91. Introdução

Agora que já estamos familiarizados com diferentes unidades de medida, podemos começar nosso estudo sobre áreas de figuras planas.

Medir uma grandeza significa compará-la com uma outra, de mesma espécie, tomada como unidade. Nessa oficina vamos tratar de medir a porção do plano ocupada por uma figura, cujo resultado será a medida de sua área.

2. Perímetro de figuras planas

2.1. Perímetro de polígonos

Problema 1: Será construído um muro no entorno de um terreno cuja planta é representada pela figura abaixo. Qual será o comprimento (extensão) desse muro?

6m

15,3m

3m

6m

12m

9,48m 4,23m9m


Problema 2: A professora Raquel pediu que alguns de seus alunos medissem o perímetro da sala de aula. Para essa medição, Paula e Pedro utilizaram um pedaço de corda enquanto que Gabriel e Aline utilizaram uma ripa de madeira. O pedaço de corda e a ripa eram de tamanhos distintos, mas eles não sabiam qual era o comprimento de cada um. Veja as anotações que cada dupla fez após as medições:

307,5

3 12P = 7,5 + 3 + 7,5 + 3 P = 30 + 12 + 30 + 12

P = 21 cordas P = 84 ripas

Paula ePedro

Gabrie le Aline

a) Observando as anotações das duas duplas dá pra saber quem tem o maior comprimento: a ripa ou a corda?

b) A medida do perímetro encontrada pelas duplas é diferente. Porque isso acontece?

c) Sabendo que a corda tem 2m de comprimento, qual é o perímetro da sala em metros?

133GUIA DO ALUNO

Problema 3: A figura abaixo representa os três terrenos que Jorge quer cercar.

2 2 2

2

2

2

3 34

4

41

1

2

Terreno CTerreno BTerreno A

As medidas dos lados dos terrenos estão indicados em metros na figura. Quantos metros de cerca serão necessários para contornar cada terreno?

2.2 Perímetro de uma circunferência

Antes de falar sobre perímetro de uma circunferência, devemos deixar bem clara a diferença entre círculo e circunferência.

Dado um ponto A no plano e um número real positivo r, definimos circunferência de centro A e raio r como sendo o conjunto de todos os pontos do plano que estão à distância r do ponto A. A união de uma circunferência com a região plana de seu interior é chamada região circular fechada ou círculo.

Ar

Ar

Circunferência Círculo

Portanto são dois conceitos distintos. Círculo é uma região do plano formada por uma circunferência com a região por ela delimitada. Assim todo círculo contém uma circunferência, pois é uma de suas partes. Uma circunferência, portanto, é só o contorno de um círculo, é só uma linha fechada. Tecnicamente falando, uma circunferência é o perímetro de um círculo. Portanto, por se tratar de uma linha, circunferência não tem área. Quem tem área é o círculo. Circunferências têm comprimento!


O número p é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Esta razão dá sempre o mesmo quociente, ou seja, não depende da circunferência, já que todas as circunferências são semelhantes entre si. Indicando por C o comprimento de uma circunferência de raio r, tem-se

2Cr

p= .

Mas o que é o comprimento de uma circunferência? Nós sabemos o que é o comprimento de um segmento, mas temos apenas uma ideia intuitiva do que vem a ser o comprimento de uma circunferência. Podemos pensar em passar um barbante bem fino sobre a circunferência, esticá-lo e, em seguida, medir seu comprimento com uma régua. Isso dará uma boa ideia do que seja o comprimento da circunferência. Mas este método é experimental e permite apenas avaliar (com pouca precisão) essa medida.

Portanto, o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por

2C rp= .

O número p é um número irracional, aproximadamente igual a 3,1416. O uso da letra grega p para representar a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro deve-se a Euler, que a adotou em 1737. Mas esta razão sempre fascinou matemáticos e curiosos em toda a história. Por ser um número irracional, sua representação decimal é infinita e não periódica. Hoje conhecemos mais de cinco bilhões de casas decimais de p e muito em breve conheceremos mais.

Problema 4: Uma costureira vai contornar com renda uma toalha circular com raio de 70 cm. Quantos centímetros de renda serão necessários?

3. Noções de área de figuras planas

Medir uma grandeza significa compará-la com uma outra de mesma espécie tomada como unidade. Vamos tratar de medir a porção do plano ocupada por uma figura, cujo resultado será a medida da área dessa figura.

Para encontrar a área de uma figura F devemos comparar sua superfície (a porção do plano que ela ocupa) com a de uma outra figura, tomada como unidade de medida. O resultado dessa comparação será um número que deverá informar quantas vezes a figura F contém a figura tomada como unidade de medida (unidade de área).

Adotamos como unidade de área o quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento. Ele será chamado de quadrado unitário.

= 1 unidade de área

1

135GUIA DO ALUNO

Se o lado do quadrado for de 1 cm, a unidade de área será chamada de centímetro quadrado e representada por 2cm . Naturalmente que, para cada unidade de comprimento, existe uma unidade de área correspondente. Assim, o metro quadrado ( 2m ), o milímetro quadrado ( 2mm ), o quilômetro quadrado ( 2km ) são outras unidades de área utilizadas.

Dissemos que a área de uma figura é um número que representa quantas vezes essa figura contém a unidade de área. Isso é fácil de perceber, por exemplo, quando desejamos conhecer a área de um retângulo cujos lados medem 5 cm e 3cm.

3 cm

5 cm

A unidade de área cabe 15 vezes no retângulo e, por isso, sua área é de 15 cm².

Se as medidas dos lados de um retângulo são os números inteiros a e b , a medida de sua área é dada por:

S ab=

Em particular, se a medida do lado de um quadrado é o número inteiro n, então a medida de sua área é igual a

= 2S n .

Problema 5:

Figura I

Figura II

a) Meça quantas vezes a figura I cabe na figura a seguir, sua seja, calcule área utilizando a figura I como unidade de medida. 28 vezes


b) Agora, meça novamente utilizando a figura II como unidade de medida. 14 vezes

Problema 6: Observe as figuras abaixo:

A B C

D E F

a) Quais são as figuras que têm mesma área que a figura A? C e D

b) Essas figuras possuem formas iguais? Não

137GUIA DO ALUNO

4. Áreas de algumas figuras planas

Nosso próximo passo é a dedução das fórmulas que permitem calcular a medida das áreas das principais figuras planas.

Área do retângulo

Conforme foi visto acima, áreas de retângulos com lados de dimensões inteiras a e b , a medida de sua área é dada por:

S ab=

Essa fórmula continua válida mesmo quando as dimensões a e b são não inteiras. Assim, a medida da área de um retângulo é o produto das medidas de seus lados.

S = ab

a

b

Área do paralelogramo

Conhecida a medida da área do retângulo, podemos calcular a medida da área de um paralelogramo. Consideremos o paralelogramo ABCD da figura abaixo com base AB a= e altura h .

a

h

A

D C

B

A figura, a seguir, mostra o paralelogramo sendo transformado num retângulo de mesma área.

a

h h h h

a

h h h

a a

=== + +


A área do paralelogramo é, portanto, o produto da base pela altura.

S ah= .

Chamamos a atenção para o fato de que o mesmo poderia ter sido feito se tomássemos para base o lado BC por exemplo. É claro que nesse caso a altura a ser considerada seria a distância entre os lados opostos AD e BC, que na figura abaixo indicamos por h1. É lógico que h e h1 não precisam ser iguais, assim como AB e BC.

D

A B

C

h1

h1

Mas o fato é que teremos

1AB h BC h× = × .

Nessa oficina há um encarte que deverá ser trabalhado com o aluno.

Agora, siga as indicações abaixo:

a) Recorte na linha pontilhada interna a figura.

b) Após o recorte, você obterá duas figuras. Cole no espaço indicado a figura que possui lado de medida a.

c) Como os lados do paralelogramo são congruentes, um dos lados do triângulo obtido poderá ser encaixado perfeitamente na figura que você colou. Encontre esse lado e cole o triângulo, de forma a construir uma nova figura.

d) Qual figura você encontrou?

139GUIA DO ALUNO

e) Qual é a área da figura encontrada?

f) A área da figura inicial foi modificada?

g) Conclusão:

h) Fórmula:

Área do triângulo

Para obter a medida da área de um triângulo ABC, escolha um lado para chamar de base. Vamos escolher o lado BC para base. Suponha que a base tenha comprimento a e que a altura relativa a essa base tenha tamanho h .

Pelo vértice A, oposto à base BC, trace paralelas aos lados AB e BC formando o paralelogramo ABCD.

A

B C

D

h

É claro que a área do triângulo ABC é a metade da área do paralelogramo ABCD. Daí resulta que a medida da área do triângulo é igual à metade do produto dos comprimentos da base pela altura, isto é,

2ah

S = .

Agora, siga as indicações abaixo:

a) Qual é a relação entre os dois triângulos? Eles são congruentes.


b) Cole a figura II no espaço indicado.

c) Cole a figura III junto à figura II de forma a obter uma figura de base a. Qual é essa nova figura?

d) Qual é a área dessa nova figura?

e) Qual é a relação entre a figura obtida e um dos triângulos recortados inicialmente?

f) Conclusão:

g) Fórmula:

Propriedades importantes sobre áreas de triângulos

141GUIA DO ALUNO

Propriedade 1: A área de um triângulo não se altera quando sua base permanece fixa e o terceiro vértice percorre uma reta paralela a base.

B C

A4A3A2A1r

A5

h

Na figura acima, a reta r é paralela a BC . Os triângulos 1ABC , 2A BC , 3A BC , 4A BC e 5A BC têm áreas de mesma medida, pois todos possuem a mesma base BC e mesma altura h.

Propriedade 2: Em um triângulo, uma mediana divide sua área em partes iguais.

De fato, observando a figura a seguir, sendo M o ponto médio do lado AB, os dois triângulos interiores possuem bases de mesma medida e mesma altura. Logo, possuem áreas de mesma medida.

S 1S 2

S 2S 1=

M B

C

A

h

a2

a2

Quando duas figuras possuem áreas de mesma medida, dizemos que elas são equivalentes. Portanto, o enunciado desta propriedade pode ser: “Uma mediana divide o triângulo em dois triângulos equivalentes”.


Problema 7. O triângulo ABC da figura abaixo tem área medindo 30 cm². O lado BC está dividido em quatro partes iguais pelos pontos D , E e F . O lado AC está dividido em três partes iguais pelos pontos G e H . Qual é a medida da área do triângulo GDE ?

A

G

H

CB D E F

Área do Trapézio

Chamamos os dois lados paralelos de um trapézio de bases do trapézio e o maior dentre esses dois lados paralelos é chamado de base maior e, o menor deles, de base menor do trapézio. A distância entre os lados paralelos de um trapézio é a medida da altura desse trapézio.

A

D C

B

h bases

Note que, duplicando o trapézio, podemos construir um paralelogramo conforme ilustrado abaixo.

b a

b a + ba

h h+ =

Como já sabemos calcular a área de um paralelogramo, temos que a área desse paralelogramo é dada pelo produto da medida de sua base ()a b+ pela medida de sua altura ()h , ou seja, a medida de sua área é dada por ()a b h+ × . Como a medida S da área do trapézio é igual à metade da área desse paralelogramo, temos que

( ).

2a b h

S+ ×

=

143GUIA DO ALUNO

No Anexo III você encontrará dois trapézios congruentes. Recorte essas figuras e mais uma vez reconheça seus elementos.

Agora siga o roteiro abaixo:

a) Qual é a relação entre os dois trapézios?

b) Cole a figura IV no espaço indicado.

c) Cole a figura V junto à figura IV de forma a obter uma figura de base ()bB + . Qual é essa nova figura?

d) Qual é a área dessa nova figura?

e) Qual é a relação entre a figura obtida e um dos trapézios recortados inicialmente?

f) Conclusão:

g) Fórmula:

Área do losango

Como o losango é um paralelogramo, podemos calcular a medida de sua área da mesma forma como calculamos a medida da área de um paralelogramo. Entretanto, o losango é um paralelogramo com características especiais. Ele possui os quatro lados com a mesma medida, o que implica em ele ser um paralelogramo com suas duas diagonais perpendiculares entre si. Chamando as medidas de suas diagonais de D e d, podemos construir, a partir do losango, um retângulo cujas dimensões são as medidas das diagonais do losango e, cuja medida de sua área será igual ao dobro da medida da área desse losango.

D D

dd


Assim, podemos concluir que a medida da área do losango é dada por

2D d

S+

= .

Siga as instruções do seu tutor e responda as questões abaixo. Vamos ao roteiro:

a) Qual é a área do retângulo recortado?

b) Dobre os cantos do retângulo para dentro, tomando por dobra os lados do losango.

c) Cole a figura já dobrada no local indicado.

d) Qual a relação entre o retângulo inicial e o losango?

e) Conclusão:

f) Fórmula:

Área do círculo

Para essa atividade você deverá utilizar o círculo que está no Anexo. Além disso, precisará de tesoura e cola.

Vamos começar:

a) Recorte o círculo.

b) Com o auxílio de uma tesoura recorte os setores e reagrupe-os como na figura a seguir. Cole-os dessa forma no espaço indicado.

r

r

c) A que polígono essa figura se assemelha?

145GUIA DO ALUNO

d) Quais são as suas dimensões?

e) Qual a relação entre essa figura e o círculo inicial?

f) Qual é a medida de sua área?

g) Conclusão:

h) Fórmula:

Área de setor circular

A medida da área de um setor de um círculo é diretamente proporcional à medida do ângulo central, ou ainda, diretamente proporcional ao comprimento de seu arco. Para justificar isto, basta observar que, dobrando o ângulo central, a área do setor dobra, triplicando o ângulo central a área do setor triplica, e assim por diante.

R

O

L

Assim, se o ângulo central tem medida a em graus, a área do setor medirá

p

a

−−

2360o R

S

ap= 2

360ºS R .

Por outro lado, como a área do setor também é diretamente proporcional ao comprimento L do seu arco, podemos expressar essa área como:

p p−−

22 R R

L S

pp

= =2

2 2L LR

S RR

.



Atividade 1: Considere cada quadradinho da malha abaixo como uma unidade de medida de área. Construa e pinte quatro regiões planas diferentes, todas com 12 unidades de área.

Atividade 2: Construa na malha quadriculada duas figuras planas com as seguintes características:

a) a base de uma é o dobro da base da outra.

b) ambas têm a mesma área.

147GUIA DO ALUNO

Atividade 3: O comprimento da circunferência de uma moeda de R$ 1,00 é de 8,164 cm. Qual é o raio dessa circunferência? Utilize a aproximação 3,14p ≅ .

Atividade 4: O terreno de Paula foi dividido em três setores para uma plantação, de acordo com o indicado na figura. Cada setor tem como contorno uma figura plana. Observe as medidas e os ângulos retos da figura.

Setor I

Setor II

Setor III 20 m

8 m40 m

30 m10 m

a) Que tipo de figura representa cada setor?

b) Calcule a área de cada setor.

c) Calcule a área do terreno todo.

d) Existe outra maneira de calcular a área total do terreno. Pense mais um pouco e responda: qual é essa maneira?

Atividade 5: Durante o intercolegial da escola “Co-Educação” a turma 207 resolveu fabricar sua própria bandeira. Para isso, pegaram um lençol branco retangular com dimensões 2,5 m por 3,6 m e desenharam um losango dentro. Em seguida, resolveram pintar a parte interna do losango com tinta vermelha.

Quantos m2 do lençol serão pintados?

Turma 207

Para enfeitar ainda mais, a turma decidiu colocar uma fita de cetim no entorno da bandeira. Quantos metros de fita foram utilizados?


Atividade 6: Os irmãos Marcos e Júlia são donos de dois terrenos conjuntos, como indicado na figura. Eles receberam duas propostas de compra:

Proposta I: compra dos dois terrenos juntos por R$ 350,00 o metro quadrado.

Proposta II: compra apenas do terreno de área maior por R$ 450,00 o metro quadrado.

a) Qual proposta é mais vantajosa?

b) Antes de vender, eles decidiram trocar o arame da cerca que delimita o terreno. Em cada parte da cerca serão colocados três níveis de arame. Quantos metros de arame serão necessários?

30m

35m

40m 30 m

30m

Atividade 7: Marta tem um terreno retangular de 60 m por 40 m; quer construir nele um canteiro triangular e um lago circular com raio de 10 m, conforme indica a figura. No restante do terreno, Marta pretende colocar pedregulhos. Utilize as aproximações 3,14p ≅ e 5 2,24≅ .

a) Calcule quantos m2 de pedregulho serão colocados.

b) No total, quantos metros de arame serão necessários para cercar o lago e o canteiro?

60 m

40 m

20 m

20 5

Atividade 8: Esta é uma chapa de aço com dimensões 60 cm de base por 50 cm de altura. Nela foram feitos furos circulares com raio de 4 cm. Quanto resta da chapa após a perfuração? Utilize a aproximação 3,14p ≅ .

149GUIA DO ALUNO

Atividade 9: Após anos de intensa circulação de carros e muitas derrapagens, a curva mais perigosa de uma grande rodovia sofrerá obras de asfaltamento. A figura indica a porção da rodovia que será asfaltada. Calcule quantos m2 de asfalto serão necessários, considerando que serão duas coberturas. Utilize a aproximação 3,14p ≅ .

120º

18 m

12 m

Atividade 10: A imagem a seguir representa o telhado de uma casa.

É um tipo específico de telhado chamado “quatro águas”. Duas partes são triângulos iguais e as outras duas são trapézios iguais. As dimensões são:

8,4 m

4,5 m

16,2 m

10,1 m

5,3 m

Para cobrir 1 m2 de telhado gastam-se 15 telhas. Quantas telhas, aproximadamente, há no telhado da casa?


ANEXO I

ANEXO II

ANExOS

151GUIA DO ALUNO

ANEXO III

ANEXO IV


ANEXO V

153GUIA DO ALUNO

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ANOTAÇÕES


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SóLIDOS GEOMÉTRICOS101. Introdução

Na oficina anterior, consideramos figuras planas, principalmente suas áreas e perímetros. Agora, vamos estudar figuras tridimensionais, mais especificamente volumes, planificações e áreas laterais e totais de sólidos geométricos.

Vivemos em um mundo físico tridimensional. Ao ser capaz de relacionar a teoria da sala de aula com o cotidiano, o aluno terá maior facilidade para a aprendizagem. Explore o fato de que as figuras geométricas foram criadas a partir da observação de formas existentes na natureza e dos objetos produzidos pelo homem.

As figuras planas são aquelas que estão contidas em um plano. Quando uma figura geométrica é tal que não há um plano que possa contê-la, ela é chamada de uma figura tridimensional. Estaremos interessados em figuras tridimensionais que apresentam certas particularidades: os sólidos geométricos. Essa figuras geométricas, além de comprimento e largura, possuem também altura (ou profundidade). As figuras tridimensionais que estudaremos nessa oficina têm relação com as figuras planas vistas anteriormente.

FiguraPlana

FiguraTridimensional

Situação problema:

Desde criança Juliana adora peixes. Ela acaba de se mudar para uma casa e quer construir um grande aquário com tampa para que possa curtir seus animais preferidos. Para isso, fez várias pesquisas e descobriu coisas bem interessantes. A primeira coisa que descobriu foi que existem três opções para o formato de seu aquário:


Prisma Retangular

Cubo

Cilindro

Antes de escolher uma dentre as três formas, resolveu verificar quanto gastaria e quais as providências deveria tomar com cada tipo de aquário.

Problema 1. A vidraçaria informou à Juliana que ela deveria levar um molde do aquário. Para tal, Juliana buscou desenhar o que seriam os moldes para as diferentes formas de aquário. Quando terminou de desenhar os moldes percebeu que havia cometido alguns erros. Abaixo, estão os moldes construídos por ela. Identifique que sólido cada molde deveria representar, os erros cometidos em cada um e desenhe novos moldes de forma correta.

Aqui, iremos trabalhar com planificações. Explique o que é a planificação de um sólido, utilizando esse problema como exemplo. Lembre-se que existem várias planificações para cada sólido. Mostre isso a seus alunos apresentando diferentes planificações desses sólidos.

Molde 1 Molde 2 Molde 3

163GUIA DO ALUNO

MOLDE 1

SóLIDO: _________________________________

ERROS: ______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

MOLDE CORRETO

MOLDE 2

SóLIDO: _________________________________

ERROS: ______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

MOLDE CORRETO


MOLDE 3

SóLIDO: _________________________________

ERROS: ______________________________________________________________________________

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MOLDE CORRETO

Problema 2. Antes de desenhar novos moldes, Juliana decidiu as dimensões de cada tipo de aquário.

105 cm140 cm

70 cm

105 cm

105 cm

60 cm

Em seguida, corrigiu seus moldes e levou-os à vidraçaria. Lá foi informada que o metro quadrado de vidro custava R$ 22,00. Quantos reais ela gastará em vidro para fazer cada tipo de aquário?

165GUIA DO ALUNO

Problema 3. Com o orçamento da vidraçaria em mãos, a próxima providência de Juliana é calcular o volume do aquário. Vamos ajudá-la nesse cálculo.

Problema 4. Chegou a hora de Juliana escolher os peixes para seu aquário. Ela quer colocar paulistinhas, lebistes e néons.

Paulistinha Lebiste Néon

Em um aquário, é recomendável prever as seguintes quantidades de água para cada unidade de peixe:

» Paulistinha: de 5 litros de água;

» Lebiste: 11 litros de água;

» Néon: 4 litros.

Em qual dos três aquários considerados por Juliana caberiam 50 paulistinhas, 50 lebistes e 85 néons?

Problema 5. Apesar de querer um aquário bem grande, Juliana quer ter o menor gasto possível em sua confecção. Portanto, dentre as duas possibilidades que lhe resta, qual das duas é a mais econômica?

Outros sólidos importantes

Além do prisma retangular, do cubo e do cilindro, o cone e a pirâmide são formas geométricas que aparecem com frequência em nosso cotidiano. Abaixo temos exemplos de cone e pirâmides junto com suas planificações.


CONE

CARACTERÍSTICAS DA PLANIFICAÇãO: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

167GUIA DO ALUNO

PIRÂMIDE

PirâmideTriangular

PirâmideQuadrangular

PirâmidePentagonal

CARACTERÍSTICAS DA PLANIFICAÇãO: ___________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Resolva as atividades propostas abaixo

Atividade 1: Relacione as figuras com suas planificações.

Fig 1 Fig 2 Fig 3 Fig 4 Fig 5Fig 6

Fig A Fig B Fig C Fig D

Fig E

Fig F

Fig G

Fig H

Atividade 2: A figura abaixo mostra um dado planificado.

Qual das figuras abaixo representa o mesmo dado depois de reconstituído?

I II III IV

169GUIA DO ALUNO

Atividade 3: Um silo de milho tem a forma de cilindro circular reto com raio da base de 1,5m e altura de 4m. Qual é a área total da superfície desse silo? Utilize a aproximação 3,14p ≅ .

Atividade 4: Dona Jussara quer construir uma piscina em seu quintal com formato de um prisma retangular. Essa piscina terá todo seu interior azulejado. Para isso tem dois projetos:

Projeto I: comprimento 2m, largura 3m e profundidade 1,5m;

Projeto II: comprimento 2,5m, largura 2m e profundidade 1,8m.

Qual dos dois projetos é mais vantajoso para Dona Jussara, ou seja, qual gastará menos azulejos?

Atividade 5: Uma vasilha está cheia de feijões. Essa vasilha tem formato de um cilindro circular reto com raio da base de 10cm e altura 20cm. O que acontecerá se despejarmos os feijões em uma caixa com mesma altura, comprimento de 18cm e largura de 15cm? Utilize a aproximação 3,14p ≅ .

Atividade 6: Uma empresa de sucos precisa de embalagens com capacidade de um litro. Três fábricas de embalagem apresentaram propostas:

Fábrica I: no formato de um cubo de aresta de 10cm;

Fábrica II: na forma de um paralelepípedo com comprimento 5cm, largura 20cm e altura 15cm;

Fábrica III: na forma de um paralelepípedo com comprimento 5cm, largura 10cm e altura 20cm.

a) Todas as fábricas apresentaram propostas compatíveis à necessidade do cliente?

b) O critério de escolha da empresa será a fábrica que utilizar menos material. Sendo assim, qual fábrica será escolhida?

c) Após a escolha da embalagem, a empresa colocará suas caixas de suco em caixas de papelão com formato de bloco retangular com comprimento de 40cm, largura de 50cm e profundidade de 60cm. Quantas caixas de suco caberão em cada caixa de papelão?


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ANOTAÇÕES

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179GUIA DO ALUNO

REVISITAÇãO11Como essa oficina tem o propósito de revisitar os temas trabalhados nas oficinas de 1 a 10, buscamos selecionar vários problemas de forma a fornecer uma coletânea que possibilite mobilizar os saberes abordados nas oficinas anteriores. Para tal, recorremos ao banco de questões da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, onde há problemas interessantes e desafiadores para os alunos.

A proposta nessa oficina é trabalhar esses problemas que, em comum, têm o potencial de despertar o prazer de raciocinar.

Procure discutir o enunciado dos problemas com os alunos, deixando-os pensar sobre cada um deles, mas procure elaborar perguntas que possam ajudá-los a descobrir uma estratégia pertinente para o problema em tela.

Problemas

1. Calcule a diferença - Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é essa diferença?

2. O carro de Maria - Um litro de álcool custa R$ 0,75. O carro de Maria percorre 25 km com 3 litros de álcool. Quantos reais Maria gastará com o álcool necessário para percorrer 600 km?

3. Quanto custa? - Ester vai a uma papelaria para comprar cadernos e canetas. Nessa papelaria, todos os cadernos custam R$ 6,00. Se ela comprar três cadernos, sobram R$ 4,00. Se, em vez disso, seu irmão lhe emprestar R$ 4,00 adicionais, ela conseguirá comprar dois cadernos e sete canetas, todas iguais.

a) Quanto custa cada caneta?

b) Se ela comprar dois cadernos e não pedir dinheiro emprestado, quantas canetas Ester poderá comprar?


4. Retângulo e quadrados - A figura ao lado representa um gramado retangular em que foram marcados sete quadrados numerados de 1 a 7. Se a área do menor desses quadrados é 1 m², quanto mede a área total do gramado?

2

3

4

6 7

51

5. Quadrado mágico - Complete as casas em branco da tabela ao lado com frações, de tal modo que a soma dos três números de qualquer linha, qualquer coluna e das duas diagonais seja sempre a mesma.

35

12

0,4 0,5

6. Três algarismos - Sejam A, B e C algarismos diferentes de zero tais que ()2AB CAB= , isto é, o número de dois algarismos AB, elevado ao quadrado dá o número de três algarismos CAB. Determine o valor de A B C+ + .

7. O suco do Diamantino - Diamantino colocou três litros de água e um litro de refresco num recipiente. O refresco é composto de 20% de suco de laranja e 80% de água. Depois de misturar tudo, que porcentagem do volume final representa o suco de laranja?

8. Uma eleição - Três candidatos concorreram à eleição de representante de uma turma de escola: João, Rosa e Marcos. João obteve 2/7 dos votos e Rosa 2/5 dos votos. Quem ganhou a eleição?

9. Correndo menos - Correndo a uma velocidade de 10 km/h, João completa um certo percurso em seis minutos. Com qual velocidade, em km/h, ele pode completar o mesmo percurso em oito minutos?

10. Qual é o numerador? - Se 24n

é um número entre 16

e 14

, quem é n?

11. A florista - Uma florista colheu 49 kg de flores do campo. O quilograma das flores pode ser vendido imediatamente a R$ 1,25 ou, mais tarde, com as flores desidratadas, a R$ 3,25. O processo de desidratação faz as flores perderem 5/7 de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para a florista?

181GUIA DO ALUNO

12. Cálculo de porcentagem - Se você acerta 58 das 84 questões de um teste, qual é o seu percentual de acertos?

13. Ovos e maçãs - Num certo armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o mesmo preço. Depois de uma semana, o preço dos ovos caiu 10% e o da maçã subiu 2%. Percentualmente, quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maçãs?

14. O maior MDC - Quais são os seis números de dois algarismos cujo o máximo divisor comum é o maior possível?

15. Divisões e restos - O dobro de um número dividido por 5 deixa resto 1. Qual é o resto da divisão desse número por 5?

16. Perímetros e áreas - Um quadrado tem 3 3+ cm de lado e as dimensões de um retângulo, em centímetros, são 2 e 72 3 6+ . Qual dos dois tem maior área? E maior perímetro?

17. Pontos da reta – Na reta dada estão representados os seis números a, b, m, n, p e q, além dos

números 0, 12

, 1 e 2.

m

0 12

1 2

n p a b q

Dentre os seis números m, n, p e q, indique quais deles melhor representam os números a b+ , a b− e a b⋅ .

18. Qual é o cubo? – Cortamos o canto de um cubo oco, conforme mostra a figura ao lado. Apresente uma planificação do cubo cortado.


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ANOTAÇÕES

183GUIA DO ALUNO

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187GUIA DO ALUNO

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189GUIA DO ALUNO

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191GUIA DO ALUNO

RESPOSTAS

Oficina 1: Números naturais e inteiros

Atividade Resposta

01 Podem aparecer outras soluções.

– 6 13 4

5 – 5 – 15

– 14 3 – 4

02 a) 80

b) 9

c) 2280

d) 1 (quando o mdc entre dois números é igual a 1, esses são chamados de números primos entre si)


03

oeste

origem

norte

leste

04 A coincidência voltará a ocorrer 60 anos depois.

05 2200 metros

Padaria ⇒ Banco ⇒ Correio ⇒ Igreja ⇒ Escola (parou na escola)

06 a) 40 metros

b) primeiro rolo: 5 pedaços e segundo rolo: 6 pedaços

07 Alternativa c

08 Alternativa b

09 Alternativa a

10 Alternativa d

193GUIA DO ALUNO

Oficina 2: Números Racionais

Atividade Resposta

01

a) I ⇒ 43

, III ⇒ 86

, IV ⇒ 63

e VI ⇒ 47

b) 220115

1129

43

== , 32224

11612

86

== , 60330

330115

63

== , 20335

12221

47

==

c) 86

43=

d) 43

e 47

e) 21

63=

02

65

03a)

4441

8882

=

b) 443

886

=

04 a) 18 vazios

b) 34 alunos

c) 3 km

d) 21 machos

e) 51 passarinhos

f) 8 km/h

05 a) MG

b) Todos

c) 786,8 km2

d) 657,2 km2

06 R$ 34,50

07a)

91 c)

99002291

d) 9058

f) 992


Oficina 3: Potenciação e Radiciação

Atividade Resposta

01a) 9,46 x 1012

b) 3,78 x 1013

02 19.530 pessoas

03 20,4

04 19,12

05 R$ 151,20

06 Alternativa c

Oficina 4: Introdução à Álgebra

Atividade Resposta

01

a) m2

b) m3

c) 2m

d) 3m

e) m32 ou

32m

f) 4+m

g) 23 −m

h) 11552

+m ou 155

2+

m

i) 82 +m

j) 102+

m

k) 7−m

l) 204 +m

m) mm

23−

195GUIA DO ALUNO

02

a) 2x

b) x5

c) x – 15

03a) aaaaaaa 6=+++++b) babbaaaabaabaa 2422222222 +=+++++=+++++

04

a) 3p

p −

b) ()()[ ] 33111 +=+++++ nnnn

c) abouba <>

d) 46104 =+y

05

a) O quíntuplo de um número mais um.

b) O quádruplo de um número mais dois é igual a 9.

c) A diferença entre o triplo de um número e dobro desse número.

d) A soma de um número com sua metade é igual a três meios.

e) A diferença entre a quarta parte de um número e três é menor que a metade desse número.

f) O produto da soma de dois números pela diferença desses dois números.

06a)

2632 xxx =⋅

b) xxxxP 3232 +++= . Como os dois termos têm partes literal iguais então podem ser reduzidos a um termos só. Com isso, temos xP 10= .

07 a) ( )( ) ( )( ) yxyxyxxxyx 3322 151155353 −=⋅⋅−=⋅⋅⋅−=−

b) ( )( ) ( )[ ]( ) abbababaabab 88188 22 −=⋅⋅−=⋅⋅⋅−⋅=−

08a) ( )( ) ( )( ) 42423232 12123434 yxyxyyxyyxA =⋅⋅=⋅⋅⋅==

b) Sim. Aplicando a propriedade do produto de potência de mesma base que diz que nesse caso devemos conservar a base e somar os expoentes.

09a) x3

b) xxx 235 =−

10a) Leonardo: x3 Carolina: x5

b) x7

11 x5


12

a) xy4−b) mn7c) ab2d) 224 ba−

e) 25y

f) 210ax

13

a) 25yb) 25x−c) bca39−d) ab7−e) y4

f) 7−

14 y3

15

16a) 29a

b) 310mn

17

a) 24x

b) 627ac) 264 cba

d) 128nm

e) m8

f) 5210 ba

g) 52

32

ax

18 yx 125 +

19

a) 22 2 yxyx ++

b) 22 2 yxyx +−

c) 252 −x

d) 962 ++ aa

e) 442 +− bb

f) 22 nm −

197GUIA DO ALUNO

Oficina 5: Equações lineares

Atividade Resposta

01 166 convites

02 R$ 200.000,00

03 2,5 kg e 2 kg

Oficina 6: Grandezas direta e inversamente proporcionais

Atividade Resposta

01 21 dias

02 1720 kg

03 2h do dia seguinte

04 a) 2,45 litros b) em 21 dias ou menos

Oficina 7: Porcentagens

Atividade Resposta

01 150 mulheres

02 30 litros

03 20 kg

04 23,5%

05 a) R$ 2.610,00 b) R$ 2.900

Oficina 8: Grandezas e Medidas

Atividade Resposta

01 Alternativa c

02 46,05 Kg

03c) Deverá cortar 1min 38d) 3min 38se) 17h 08min 30s

04 R$ 46 750,00

05 12,95 toneladas

06 8000 litros

07a) 1850b) 36.000 litros


Oficina 9: Áreas

Atividade Resposta

03 1,3 cm

04

a) Setor I: paralelogramo; Setor II: triângulo; Setor III: trapézio

b) Setor I: 200 m2; Setor II: 400 m2; Setor III: 380 m2

c) 980 m2

d) 2980 mAAA IIIIII =++ ou ( ) 2980

2205840

mAT =⋅+

=

05a) 4,5 m2

b) 12,2 m

06a) Proposta Ib) 525,96 m

07a) 1686 m2

b) 167,6 m

08 1995,2 cm2

09 1205,76 m2

10 2658 telhas

Oficina 10: Sólidos geométricos

Atividade Resposta

011 → C 4 → G 2 → E 5 → F3 → B 6 → D

02 III

03 51,81m2

04 Proposta II

05 Vai transbordar ( VC VV < )

06b) Apenas I e IIIc) Fábrica Ia) 120 caixas

199GUIA DO ALUNO

Oficina 11: Revisitação

Problema Resposta

01 729

02 R$ 54,00

03 a) R$ 2,00 b) 5

04 45 m²

05

06 13

07 5%

08 Rosa

09 7,5 km/h

10 5

11 Sem a desidratação

12 Aproximadamente 69,047%

13 4%

14 16, 32, 48, 64, 80 e 96

15 3

16Ambos têm a mesma área.O retângulo tem maior perímetro

17 q, m e p respectivamente.

18

201GUIA DO ALUNO

REFERêNCIAS BIBLIOGRáFICAS

» DANTE, Luis Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. Volumes I, II, III e IV. São Paulo - SP. Editora ática, 2005.

» DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática – São Paulo: ática, 2002

» DINIZ, Maria Ignez de S. V; SMOLE, Kátia Cristina S.. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. 4ª edição. São Paulo – SP. CAEM - IME/USP. 2002.

» LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Vol 1. Coleção Professor de Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 1996.

» LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. 2ª edição. Coleção Professor de Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 2006.

» LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas. 2ª edição. Coleção Professor de Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 2003.

» OCHI, Fusako H; PAULO, Rosa M.; YOKOYA, Joana H. e IKEGAMI, João K.. O uso de quadriculados no ensino de Geometria. 3ª edição. São Paulo – SP. CAEM - IME/USP. 1997.

» REZENDE, Eliane Q. F; QUEIROZ, Maria Lúcia B.. Geometria Euclidiana Plana e construções geométricas. Campinas – SP. Editora da UNICAMP. 2000.

» IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. Volumes I, II, III e IV. 5ª edição. São Paulo – SP. Atual Editora. 2005.

» IMENES, Luiz Márcio; LELIS, Marcelo. Matemática. Volumes I, II, III e IV. São Paulo – SP. Editora Scipione. 2001.

» IMENES, Luiz Márcio. Matemática: Imenes & Lellis – 1o edição – São Paulo: Moderna, 2009.

» CENTRO DE REFERêNCIA VIRTUAL DO PROFESSOR – Secretaria de Educação de Minas Gerais. http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/crv.htm

» Dominó Humano: http://ensfundamental1.wordpress.com/407-2/415-2/

» História da Matemática - http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page01.htm

» ICMC/USP - http://educar.sc.usp.br/matematica/matematica.html


» Motokame, Luciane Vieira de Paula – Jogo Fatorando: www.sbempaulista.org.br/.../Comunicacoes_Orais%5Cco0021.doc

» Portal São Francisco. http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/historia-da-matematica/historia-da-matematica-1.php

» Programa de Formação Continuada em Matemática – Escola Superior de Educação de Leiria – Portugal. http://blogs.esecs.ipleiria.pt/eb1mat/

» Só MATEMáTICA - http://www.somatematica.com.br/index2.php

» Usando números muito pequenos e números muito grande – Observatório Nacional. www.on.br/site_edu_dist_2011/pdf/modulo1/1-numeros.pdf

203GUIA DO ALUNO

ANEXOS

205GUIA DO ALUNO

Figura 1

ANExOS - OFICINA 1

207GUIA DO ALUNO

Figura 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 2

5 5 5 5 5

13 11 11 7 7

29 29 19 19 17

47 37 23

209GUIA DO ALUNO

Figura 3

1650

2142

3990

4620

6105

125

154

220

312

380

36

40

60

72

98

414

423

665

725

957

211GUIA DO ALUNO

Figura 4

213GUIA DO ALUNO

Figura 1

215GUIA DO ALUNO

Figura 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 2

5 5 5 5 5

13 11 11 7 7

29 29 19 19 17

47 37 23

217GUIA DO ALUNO

Figura 3

1650

2142

3990

4620

6105

125

154

220

312

380

36

40

60

72

98

414

423

665

725

957

219GUIA DO ALUNO

Figura 4

221GUIA DO ALUNO

12

34

0,5

0,75

ANExOS - OFICINA 2

223GUIA DO ALUNO

58

13

0,625

0,333...

53

16

1,666...

0,1666...

225GUIA DO ALUNO

15

14

0,2

0,25

710

35

0,7

0,6

227GUIA DO ALUNO

12

34

0,5

0,75

58

13

0,625

0,333...

229GUIA DO ALUNO

53

16

1,666...

0,1666...

15

14

0,2

0,25

231GUIA DO ALUNO

710

35

0,7

0,6

233GUIA DO ALUNO

ANExOS - OFICINA 3

Eu tenho 9,

Quem tem 0 ?100

Eu tenho 11,

Quem tem 3 ?2

Eu tenho 12,

Quem tem 121 ?

235GUIA DO ALUNO

Eu tenho 0,

Quem tem 3 ?-2

Eu tenho 4,

Quem tem 27 ?

Eu tenho 1,

Quem tem 8 . 2 ?

9

3

237GUIA DO ALUNO

Eu tenho 3,

Quem tem (-3) ?4

3

Eu tenho -8,

Quem tem 16 + 4 ?

Eu tenho 81,

Quem tem (-2) ?

239GUIA DO ALUNO

Eu tenho 6,

Quem tem ?

Eu tenho 2,

Quem tem 81 - 16 ?

12

3

42

Eu tenho 5,

Quem tem (3 ) ?

241GUIA DO ALUNO

Eu tenho 3 ,

Quem tem 5 . 5 ?

Eu tenho 5 ,

8

2

5

4

10

10

7

3

3

Eu tenho 10 ,

Quem tem 2 ?

Quem tem ?

243GUIA DO ALUNO

Eu tenho 2 ,

Quem tem 5 ?

Eu tenho 5 ,

1/2

1/3

3

2

-80

Eu tenho -16 ,

Quem tem 1 ?

Quem tem -4 ?

245GUIA DO ALUNO

Eu tenho 1,

Quem tem 3 x 10 ?

Eu tenho 300,

-3

2

2 3

Eu tenho 0,009,

Quem tem 5 + 5 ?

Quem tem 9 x 10 ?

247GUIA DO ALUNO

Eu tenho 150,

Quem tem 3 - 3 ?

Eu tenho 24,

25

-2

13

-3

Eu tenho 1 ,

Quem tem (-4) ?

Quem tem 5 ?

249GUIA DO ALUNO

64Eu tenho -1 ,

Quem tem 144 ?

251GUIA DO ALUNO

ANExOS - OFICINA 9

ANEXO I

ANEXO II

253GUIA DO ALUNO

ANEXO III

ANEXO IV

255GUIA DO ALUNO

ANEXO V

257GUIA DO ALUNO

ANExOS - OFICINA 10

259GUIA DO ALUNO

261GUIA DO ALUNO

263GUIA DO ALUNO

265GUIA DO ALUNO

267GUIA DO ALUNO

269GUIA DO ALUNO

271GUIA DO ALUNO

273GUIA DO ALUNO

275GUIA DO ALUNO

277GUIA DO ALUNO

279GUIA DO ALUNO

281GUIA DO ALUNO

283GUIA DO ALUNO

285GUIA DO ALUNO

287GUIA DO ALUNO

289GUIA DO ALUNO

291GUIA DO ALUNO

matematica aluno 1 ano vol1

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