Versión Preliminar para Plan Piloto

El ojo de Horus posee en su estructura y antescedente histórico, el uso de fracciones en la civilización egipcia. Cada una de las piezas que conforman el ojo de Horus corresponde a una fracción unitaria cuyo denominador es una potencia de base 2.

Material de Autoformación e Innovación Docente para Matemática 3º Grado

Versión preliminar para Plan Piloto

Programa Cerrando la Brecha del ConocimientoSubprograma Hacia la CYMA

Ministerio de Educación Viceministerio de Ciencia y Tecnología

Ministerio de Educación

Franzi Hasbún BarakeSecretario de Asuntos Estratégicos de la Presidencia de la RepúblicaMinistro de Educación Ad-honorem

Erlinda Hándal VegaViceministra de Ciencia y Tecnología

Héctor Jesús Samour CanánViceministro de Educación

Mauricio Antonio Rivera QuijanoDirector Nacional de Ciencia y Tecnología

Xiomara Guadalupe Rodríguez AmayaGerente de Educación en Ciencia, Tecnología e Innovación

Oscar de Jesús Águila ChávezJefe de Educación Media en CTI (Coordinador de Matemática)

Carlos Ernesto Miranda OlivaJefe de Educación Básica en CTI (Coordinador de Ciencias Naturales)

Daniel Ulises Acevedo AriasReina Maritza Pleitez VasquezAutores

Carlos Mauricio Canjura LinaresAna Miriam de ChávezAlejandro de LeónRevisores Técnicos

Carmen González HuguetRevisión de texto

Primera edición (Versión Preliminar para Plan Piloto). Derechos reservados. Ministerio de Educación. Prohibida su venta y su reproducción parcial o total.

Edificios A4, segundo nivel, Plan Maestro, Centro de Gobierno, Alameda Juan Pablo II y Calle Guadalupe, San Salvador, El Salvador, América Central. Teléfonos: +(503) 2510-4218, +(503) 2510-4219, +(503) 2510-4211, Correo electrónico: gecti@mined.gob.sv

Estimadas y estimados docentes:

El Plan Social Educativo “Vamos a la Escuela” 2009-2014 nos plantea el reto histórico de for-mar ciudadanas y ciudadanos salvadoreños con juicio crítico, capacidad reflexiva e investi-gativa, con habilidades y destrezas para la construcción colectiva de nuevos conocimientos,

que les permitan transformar la realidad social y valorar y proteger el medio ambiente. Nuestros niños, niñas y jóvenes desempeñarán en el futuro un rol importante en el desarrollo científico, tecnológico y económico del país; para ello requieren de una formación sólida e innovadora en todas las áreas curriculares, pero sobre todo en Matemática y en Ciencias Naturales; este proceso de formación debe iniciarse desde el Nivel de Parvularia, intensificándose en la Educación Básica y especializándose en el Nivel Medio y Superior. En la actualidad, es innegable que el impulso y desarrollo de la Ciencia y la Tecnología son dos aspectos determinantes en el desarrollo económico, social y humano de un país. Para responder a este contexto, en el Viceministerio de Ciencia y Tecnología se han diseñado materiales de autoformación e innovación docente para las disciplinas de Matemática y Ciencias Natu-rales, para los Niveles de Parvularia, Educación Básica y Educación Media. El propósito de éstos mate-riales es orientar al cuerpo docente para fundamentar mejor su práctica profesional, tanto en dominio de contenidos, como también en la implementación de metodologías y técnicas que permitan la innovación pedagógica, la indagación científica-escolar y sobre todo una construcción social del conocimiento, bajo el enfoque de Ciencia, Tecnología e Innovación (CTI), en aras de mejorar la calidad de la educación. Los materiales, son para el equipo docente, para su profesionalización y autoformación perma-nente que le permita un buen dominio de las disciplinas que enseña. Los contenidos que se desarrollan en estos cuadernillos, han sido cuidadosamente seleccionados por su importancia pedagógica y por su riqueza científica. Es por eso que para el estudio de las lecciones incluidas en estos materiales, se requie-re rigurosidad, creatividad, deseo y compromiso de innovar la práctica docente en el aula. Con el estudio de las lecciones (de manera individual o en equipo de docentes), se pueden derivar diversas sesiones de trabajo con el estudiantado para orientar el conocimiento de los temas clave o “pivotes” que son el funda-mento de la alfabetización científica en Matemática y Ciencias Naturales. La enseñanza de las Ciencias Naturales y la Matemática debe despertar la creatividad, siendo divertida, provocadora del pensamiento crítico y divergente, debe ilusionar a los niños y niñas con la po-sibilidad de conocer y comprender mejor la naturaleza y sus leyes. La indagación en Ciencias Naturales y la resolución de problemas en Matemática son enfoques que promueven la diversidad de secuencias didácticas y la realización de actividades de diferentes niveles cognitivos. Esperamos que estos Materiales de Autoformación e Innovación Docente establezcan nuevos caminos para la enseñanza y aprendizaje de las Ciencias Naturales y Matemática, fundamentando de una mejor manera nuestra práctica docente. También esperamos que el contenido de estos materiales nos rete a aspirar a mejores niveles de rendimiento académico y de calidad educativa, en la comunidad educativa, como en nuestro país en general. Apreciable docente, ponemos en sus manos estos Materiales de Autoformación e Innovación Do-cente, porque sabemos que está en sus manos la posibilidad y la enorme responsabilidad de mejorar el desempeño académico estudiantil, a través del desarrollo curricular en general, y particularmente de las Ciencias Naturales y Matemática.

Lic. Franzi Hasbún BarakeSecretario de Asuntos Estratégicos de la Presidencia de la República

Ministro de Educación Ad-honorem

Dr. Héctor Jesús Samour Canán Dra. Erlinda Hándal Vega Viceministro de Educación Viceministra de Ciencia y Tecnología

Indice

I Parte

Presentación.................................................................................................................. 8 La resolución de problemas....................................................................................... 9-10 Uso de los cuadernillos en el aula.......... .................................................................11-13

Matriz de ubicación de lecciones..............................................................................14-15 II Parte

Conozcamos los números hasta 9999.....................................................................17-26 Conozcamos y tracemos ángulos.............................................................................27-35 Rectas paralelas y perpendiculares..........................................................................36-45 Áreas y perímetros de figuras geométricas..............................................................46-55 Utilicemos la operaciones básicas..........................................................................56-68 Conozcamos sólidos geométricos............................................................................69-76

Conozcamos fracciones..........................................................................................77-86 Sumemos y restemos longitudes con fracciones del mismo denominador..............87-95 Representemos datos en gráfica de barra..............................................................96-104 Pensemos y conozcamos la balanza....................................................................105 -112

Primera Parte

¿Por qué material de autoformación e innovación docente?

8

Presentación

El Viceministerio de Ciencia y Tecnología a través de la Gerencia de Educa-ción en Ciencia, Tecnología e Innovación (GECTI) y su programa “Hacia la CYMA” que se está desarrollando durante el quinquenio 2009-2014, ejecuta

el Proyecto de Enriquecimiento Curricular en el área de Ciencias Naturales y Matemática, el cual tiene entre sus acciones la elaboración y entrega de material de enriquecimiento curricular y de autoformación para docentes.

Este material de enriquecimiento curricular para docentes tiene como propósito for-talecer el desarrollo curricular de Matemática de Tercer Grado de Educación Básica, in-troduciendo el enfoque Ciencia Tecnología e Innovación (CTI) como parte inherente y relevante del proceso de formación científica. Con este propósito se han elaborado lecciones con temas pivotes1 considerados necesarios para la educación de calidad de la niñez salvadoreña, para obtener una fundamentación científica que permita forta-lecer las capacidades de investigación, creación de conocimiento y de utilización de ese conocimiento para la innovación.

Se busca que mediante la formación científica se mejoren las condiciones sociales y económicas para alcanzar una vida digna de nuestros futuros ciudadanos. Cada tema de este cuadernillo mantiene una relación con otros materiales curriculares como los programas de estudio, y la colección Cipotas y Cipotes (Guía para Docentes y Libros de texto).

El enriquecimiento que se ha hecho partiendo de temas pivotes, tiene la posibili-dad de ser plataforma de construcción de conocimiento, bajo el enfoque de resolución de problemas, metodología mediante la cual se desarrollan competencias matemáticas necesarias, que debe tener una persona para alcanzar sus propósitos de incorporarse de manera propositiva y útil a la sociedad, y sus propósitos formación intelectual, como son: saber argumentar, cuantificar, analizar críticamente la información, representar y comunicar, resolver y enfrentarse a problemas, usar técnicas e instrumentos matemáti-cos y modelizar e integrar los conocimientos adquiridos, para mejorar su calidad de vida y la de sus comunidad.

1. Un tema pivote es un contenido curricular clave, se considera que si los docentes manejan adecuadamente dichos temas, podrá desarrollar otros contenidos con facilidad y aplicar de forma más pertinente el conocimiento a la realidad en que se desarrolla el proceso de enseñanza – aprendizaje; por otra parte podrá seleccionar qué contenidos del programa desarrollar y en qué orden, de acuerdo a las necesidades e intereses del grupo de alumnos.

9

La resolución de problemas en Matemática

Desde asegurar la subsistencia cotidiana, hasta abordar los más complejos desafíos derivados desde la Ciencia y la Tecnología, sin excepción todos resolvemos problemas. Lo vital de la actividad de resolución de problemas

es evidente; en definitiva, todo el progreso científico y tecnológico2 , el bienestar y hasta la supervivencia de la especie humana dependen de esta habilidad. No debemos extra-ñarnos de que la misma se haya convertido en un nuevo objeto de estudio, atrayendo por igual la atención de profesionales de la psicología, ingeniería, física, química, biología, matemática, etc.

En Matemática debemos hacer algunos cuestionamientos que son fundamentales en el proceso metodológico de la resolución de problemas.

¿Cuál es la diferencia entre ejercicio y problema en Matemática? ¿Cuándo está el estudiantado resolviendo un ejercicio y cuándo un problema? ¿Cuál es el papel de un profesor en la enseñanza de la resolución de problemas?

Al analizar un ejercicio se puede deducir si se sabe resolver o no; Comúnmente se aplica un algoritmo elemental o complejo que los niños y niñas pueden conocer o ignorar, pero una vez encontrado este algoritmo, se aplica y se obtiene la solución.

Justamente, la exagerada proliferación de ejercicios en la clase de Matemática ha desarrollado y penetrado en el estudiantado como un síndrome generalizado. En cuanto se les plantea una tarea a realizar, tras una simple reflexión, tratan de obtener una solu-ción muchas veces elemental, sin la apelación a conocimientos diversos.

En un problema no es siempre evidente el camino a seguir. Incluso puede haber muchos. Hay que apelar a conocimientos, no siempre de Matemática, relacionar saberes procedentes de campos diferentes, poner a punto nuevas relaciones. El papel de cada docente es proporcionar a la niñez la posibilidad de aprender hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos.

¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuan-tos algoritmos, teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente acumulados? A la resolución de problemas se le ha llamado, con razón, el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha traído y atrae a académicos de todas las épocas. Del enfrenta-miento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas y competencias para el desarrollo de herramientas, en una palabra, la vida propia de la Matemática3.

2. José Heber Nieto Said; Resolución de Problemas Matemáticos 2004.3. Miguel de Guzmán Ozámiz, (1936 - 2004) matemático español.

10

4. George Pólya (1887-1985), matemático húngaro, How to solve it, Pricenton University Press.5. Allan Schoenfeld (1985). Mathematical Problem Solving. New York: Academic Pres.

Obviamente la resolución de problemas tiene una clásica y bien conocida fase de formu-lación elaborada por el matemático húngaro George Polya4 en 1945. Fase que consisten en comprender el problema, trazar un plan para resolverlo, poner en práctica el plan y comprobar el resultado.

Por supuesto hay que pensar que no sólo basta con conocer las fases y técnicas de reso-lución de problemas. Se pueden conocer muchos métodos pero no siempre cuál aplicar en un caso concreto.

Justamente hay que enseñar también a las niñas y niños, a utilizar las estrategias que conocen, con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo. Es ahí donde se sitúa la diferencia entre quienes resuelven problemas y los demás, entendiendo que este nivel es la capacidad que tienen de autoregular su propio aprendizaje, es decir, de plani-ficar qué estrategias se han de utilizar en cada situación, aplicarlas, controlar el proceso, evaluarlo para detectar posibles fallos, y como consecuencia transferir todo ello a una nueva actuación5.

Hay que tener presente que resulta difícil motivar. Sólo con proponer ejercicios no se puede conseguir que las niñas y niños sean capaces de investigar y descubrir nue-vos conocimientos y relaciones entre las ciencias. Se recomienda establecer problemas en los que no sepan qué hacer en un primer intento, con esto conseguiremos atraer su atención y motivación, para que se impliquen en el proceso de resolución. Otro aspecto no menos importante a tener en cuenta es la manipulación de materiales para resolver problemas. Hemos de ser capaces de que las niñas y los niños visualicen el problema, utilizando materiales concretos, materiales que ma-nipulen, pues la manipulación es un paso previo e imprescindible para la abstracción en las cien-cias en general.

11

Uso de los cuadernillos en el aula

El cuadernillo de Matemática de Tercer Grado de Educación Básica es un material de autoformación e innovación docente, que permite estudiar con-tenidos clave del programa de estudio de Matemática, con un enfoque cons-

tructivo e investigativo fundamentado en la resolución de problemas. El cuadernillo de Matemática de Tercer Grado se elaboró a partir del estudio de tres bloques: Aritmética, Geometría, Medida. Se proponen diez temas que llamamos contenidos pivotes, por su importancia en la formación de competencias matemáticas, profundizando tanto en la explicación de los contenidos, como haciendo propuestas de abordaje metodológico fun-damentalmente en la resolución de problemas, con el propósito de que este tratamiento de contenidosse pueda emular en el aula, de forma tal que tanto maestros como alumnos puedan desarrollar habilidades intelectuales propias del pensamiento y del quehacer científico.

Las lecciones se estructuran normalmente en catorce partes, las cuales se detallan a continuación:

a. Título. Condensa la idea central de la lección. Se presenta como una idea clara y precisa del contenido.

b. Descripción. Presenta todos aquellos puntos relevantes que se tratarán en la lección, haciendo énfasis en las características (generalidades, importancia, usos, etc.) que se desarrollan. Es un espacio para generar interés y motivación en el docente, para que esta curiosidad pueda transmitirla a los estudiantes.

c. Temas y subtemas. Es la división de temas y subtemas que contiene la lección.

d. Objetivos específicos. Son las metas que se persiguen con la lección, es decir, lo que se pretende alcanzar con el desarrollo de la lección.

e. Habilidades y destrezas científicas. Son las habilidades y destrezas que el estudiante puede adquirir al finalizar la lección. La lección intencionalmente sugiere la enseñan-za de los contenidos para fomentar las habilidades del pensamiento y la ejercitación persistente y sistemática de los conceptos.

f. Tiempo. Es la duración aproximada para el desarrollo de la lección. Este es un tiem-po aproximado que el docente puede adecuar según sus necesidades.

g. Ilustración. Es una imagen de fondo que ilustra y representa el tema de la lección.

h. Conceptos claves. En este apartado se encuentra un pequeño glosario de conceptos básicos del contenido de la lección. La elección de estos conceptos se ha realizado con la intención de que sirva de ayuda en el momento de leer el marco teórico de la lección.

12

i. Marco teórico. Esta sección aborda los conceptos, proposiciones y toda la informa-ción relevante que se establece como marco de referencia de los tópicos a estu-diar. La información se respalda en principios, leyes, clasificaciones, características, propiedades, etc. Se acompaña de ilustraciones, esquemas, modelos y otros con la intención de que el contenido quede lo más claro posible.

j. Actividades de Aplicación. Las actividades de aplicación serán para contribuir al fortalecimiento del marco teórico, asimilando los conceptos de una manera práctica. Las actividades están encaminadas a forjar ideas que construyan la comprensión, el análisis y la resolución de problemas como eje fundamental; éstas se refieren a la ejecución de prácticas significativas de aprendizaje que van desde lo simple a lo complejo, desarrollándose con distintas alternativas de abordaje plasmando al menos tres alternativas de solución comentadas por el docente. Estas contienen estrategias de solución encaminadas a fortalecer la capacidad de razonamiento lógico.

k. Notas históricas de la Matemática. Es la sección que se encuentra a la par de cada actividad. Aquí se presentan comentarios, posibles respuestas a las preguntas plan-teadas en la actividad, ilustraciones, etc. En este espacio se abordan temas de histo-ria de la Matemática y la Tecnología, así como aspectos destacados de la matemáti-ca (CTSA) y sus aplicaciones en las Ciencias Naturales.

l. Actividad integradora. Las ciencias (Matemática y Ciencias Naturales) no deben es-tudiarse como un conjunto de saberes aislados y sin conexión. Los fenómenos de la realidad circundante no pueden ser interpretados bajo una sola visión científica, sino que su comprensión demanda la integración de saberes de todas las áreas de las ciencias para una interpretación eficaz de tales fenómenos.

m. Hojas de ejercicios y problemas. Hay que hacer una valoración importante en este apartado. Se propondrán ejercicios y problemas reflexionando que para resolver pro-blemas será necesario el uso de muchos algoritmos y que no necesariamente tienen una única solución. Este es un instrumento de aprendizaje y un medio por el cual los estudiantes detectan sus conocimientos y sus fallas y a la vez el docente puede rea-lizar los ajustes necesarios en el método con el que imparte la clase. Contempla acti-vidades de evaluación (cuestionarios, esquemas, mapas conceptuales, crucigramas, complemento de afirmaciones, etc.) para ser introducidas en la secuencia didáctica de trabajo en el aula que en conjunto apuntan a favorecer el aprendizaje de conteni-dos de la lección.

n. Referencias. Se hacen referencias tanto a páginas, textos, vídeos y otros materiales para que el docente pueda consultar y profundizar su conocimiento.

13

¿Cómo Utilizar el Cuadernillo?

La organización de las actividades de la clase está de acuerdo a los objetivos y competencias de la asignatura; se sugiere que este cuadernillo de temas pivotes sea utilizado en cualquiera de los casos:

a. Organizando actividades para el inicio, desarrollo y cierre de la clase; esto no quie-re decir que lo ejecutará tal como se presenta, sino que puede tomar las ideas que mejor le parezca y alternarlas con las ideas del programa, la guía metodológica de la Colección “Cipotas y Cipotes”, el libro de texto y los cuadernos de ejercicios de la misma colección de manera que pueda crear su clase como mejor se ajuste a sus necesidades: tamaño de la clase, recursos didácticos, nivel de aprendizaje del estu-diante, tiempo de clase, entre otros. La finalidad es que el docente determine los me-canismos y actividades para avanzar con los estudiantes con un ritmo de aprendizaje adecuado y de calidad.

b. Como material de formación para docente, que le permita emular actividades, con-ceptos y estrategias en lecciones colaterales de integración con las Ciencias Natura-les.

c. Como guión de clase, siguiendo la secuencia de actividades, resolución de ejercicios y problemas

Matriz de ubicación de lecciones propuestas en el libro de texto de Tercer grado.

En La siguiente tabla se enumeran las lecciones del material de Autoformación e Inno-vación Docente, relacionándolas con contenidos del libro de texto de educación básica Colección “Cipotas y Cipotes”.

LECCIÓN 1 Conozcamos y representemos los números hasta 9999”

Unidad 1: Contemos y ordenemos (Libro de texto Colección “Cipotas y Cipotes”)

Lección 1: Leamos y escribamos números hasta 9999, pág. 2-8Lección 2: Representemos núme-ros en forma desarrollada, pág.9-10

La falta de profundidad científica en los libros de textono permite desarrollar las competencias deseadas que se quieren alcanzar en este tema, siendo este eje de formación de competen-cia tales como saber cuantificar, saber resolver y enfrentarse a problemas o traducir situaciones reales a esquemas y estructuras matemáticas, valorar la pertinencia de diferentes vías para resolver problemas con una base matemática, seleccionar estrategias ade-cuadas o utilizar con precisión procedimientos de cálculo, fórmulas y algoritmos para la resolución de problemas

14

LECCIÓN 2 Conozcamos y tracemos ángulos

Unidad 2: Juguemos con líneas (Libro de texto Colección “Cipotas y Cipotes”)Lección 1: Encontremos diferentes ángulos, pág. 16-17

El poco uso de materiales concretos para manipular y lograr cons-truir el concepto de ángulo es evidente en materiales de apoyo en este tópico. Se dará un giro y se trabajará con instrumentos para conocer la medición de ángulos desarrollando con eso la compe-tencia de saber usar técnicas e instrumentos matemáticos, desa-rrollando la capacidad de reconocer y clasificar ángulos.

LECCIÓN 3 Líneas perpendiculares y paralelas

Unidad 2: Juguemos con líneas (Libro de texto Colección “Cipotas y Cipotes”)Lección 2: Tracemos líneas per-pendiculares.Lección 3: Tracemos líneas parale-las, pág.18-21

Esta lección complementa el sentido conceptual con que la lección es desarrollada en la colección “Cipotes y Cipotas”.El estudiante desarrollará capacidades fundamentales relaciona-das con la comunicación, argumentación de resultados y repre-sentación de objetos mediante líneas paralelas y perpendiculares.El uso de juegos recreativos será una estrategia metodológica para fomentar la creatividad como herramienta de aprendizaje.

LECCIÓN 4 Utilicemos las operaciones básicas

Unidad 3: Aprendamos más de suma y resta (Libro de texto Colec-ción “Cipotas y Cipotes”)Lección 1: Sumemos. Lección 4: Restemos.Pág. 22 y pág. 31Unidad 5: Multipliquemos y combi-nemos con suma y resta.Lección 1: Multipliquemos.Pág. 56-58.Lección 4: Utilicemos los parénte-sis en la suma y el producto.pág. 68-69.Unidad 7: Utilicemos la división.Lección 1: Dividamos.Pág. 78-82.

La falta de profundidad científica, así como la poca capacidad de formación en la resolución de problemas, es evidente en los libros de textos. Por ello, siendo las operaciones básicas un tema de trascendencia en la formación inicial de los niños y niñas se preten-de dar un enfoque creativo, imaginativo y de razonamiento lógico.incorporarando la combinación de las operaciones básicas, contri-buyendo al desarrollo de nociones, procesos y actitudes relaciona-das con la aritmética básica y la resolución de problemas, conside-rando el orden de aplicación o jerarquía de operaciones de suma, resta, multiplicación y división.Se fundamentará el proceso de formacion dentro de la aplicación de actividades de fortalecimiento procedimental y formación de procesos de resolución que determinen habilidades y destrezas en el abordaje de problemas y cálculo matemático.

15

LECCIÓN 5 Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros.

Unidad 4: Conozcamos triángulos y cuadriláteros (Libro de texto Colec-ción “Cipotas y Cipotes”)Lección 5: Calculemos perímetros, pág.48.Lección 6: Midamos áreaspág.49 -55.

Usualmente la geometría es tratada de manera poco conveniente y con falta de ilustración pedagógica, siendo los primeros pasos de niñas y niños el proceso de reconocimiento en la geometría clásica, en esta lección se contribuye al desarrollo de capacidades relacio-nas con el estudio de figuras geométricas, mediante el análisis de la forma y longitud de los lados que las conforman, y que permiten identificar el área y el perímetro de figuras planas, dividiendo estas en unidades cuadradas (conocimiento intuitivo de área). Además, se proponen procesos alternativos para obtener el área de figuras mediante la descomposición y transformación de estas en figuras planas simples (triángulos y cuadriláteros)

LECCIÓN 6 Conozcamos sólidos geométricos

Unidad 6: Clasifiquemos sólidos. (Libro de texto Colección “Cipotas y Cipotes”).Lección 1: Clasifiquemos sólidos geométricos, pág.74-75.Lección 2: Conozcamos los ele-mentos del cilindro, el cono y la pirámide.pág. 76-77.

Como complemento en la formación en geometría de los niños y niñas, en esta lección se estudian los cuerpos geométricos, motivando al estudiante a la identificación de características rela-cionando sólidos y construcciones hechas por el hombre.Se pretende mostrar ejemplos que son observables y que han sido durante siglos elementos del avance científico y tecnológico de los seres humanos, se pretende mostrar las posibles descomposicio-nes de dichos sólidos mediante la manipulación y uso de materia-les del entorno.

LECCIÓN 7 Conozcamos fracciones

Unidad 8: “Midamos y dividamos longitudes” (Libro de texto “Colec-ción Cipotas y Cipotes”)Lección 4: “Conozcamos fraccio-nes” Pág. 102.

Ejercicios monótonos y poco creativos se ponen de manifiesto usualmente en materiales propuestos para este tópico, por lo que para esta lección se refuerzan habilidades para la manipulación de figuras geométricas, de forma tal que los niños y niñas logren descomponer dichas figuras y luego deducir por medio de la ob-servación las fracciones. La unidad de medida define y resalta la utilización de partes de las figuras planas como unidades, así como la resolución de problemas en donde se involucren medidas para desarrollar la definición de fracciones.

16

LECCIÓN 8 Sumemos y restemos longitudes con fracciones del mismo denominador.

Unidad 8: Midamos y dividamos longitudes” (Libro de texto Colec-ción “Cipotas y Cipotes”).Lección 3: Sumemos y restemos longitudes, Pág. 101.

Es fundamental poner en contacto a los niños y las niñas con el concepto de medir y cuantificar, de conjeturar por lo tanto, la habili-dad de efectuar operaciones de adición y sustracción auxiliándose de figuras planas. Esto permitirá el reconocimento de las mismas enfocándose en sus propiedades y formas. La manipulacion de las medidas de longitud para sumar y restas fracciones de igual de-nominador permitirá fortalecer las operaciones con elementos que son parte fundamental en el desarrollo mental y algorítmico de los niños y niñas

LECCIÓN 9 Representemos datos en graficas de barras

Unidad 9: Organicemos datos (Li-bro de texto Colección “Cipotas y Cipotes”).Lección 1: Representemos datos en graficas de barras, Pág. 108.

La organizacion de datos fundamentando en métodos de recopila-ción de información permitirá salir de limitantes de reflexión y aná-lisis. Se deberá fortalecer que el niño y niña resuelva y concretice ideas de cómo organizar y representar datos.Por ello el enfoque que se le debe dar a este tema es de mucha utilidad para conocer aspectos relacionados con la vida cotidiana; utilizando la organización de elementos concretos así como mos-trar formas de representacion.

LECCIÓN 10 Representemos y midamos capacidades con los instru-mentos necesarios.

Unidad 10: Midamos y Compremos (Libro de texto Colección “Cipotas y Cipotes”).Lección 3: Pesemos, Pág. 123 – 126.Lección 4: Conozcamos sobre balanzas, Pág. 127 – 128.Lección 5: Midamos capacidades, Pág. 129 – 132.

La estrategia para ilustrar de forma intuitiva la noción de peso y medidas de capacidad está basada en el enfrentamiento del estu-diantes con los procesos de comparar pesos y medidas, mediante el uso de cálculo mental, haciendo énfasis en las unidades de medida de peso y el uso de la balanza. Además, se orientan aspec-tos metodológicos necesarios para que el estudiante adquiera el conocimiento de forma intuitiva y comprenda la utilización de estos saberes en aplicaciones cotidianas.Se promoverá la construcción de la balanza. Se promueve la crea-tividad del estudiante y el apoyo de la familia en el desarrollo cognitivo y social del estudiante.

17

Segunda Parte

LeccionesContenidos Trabajados con Enfoque CTI

OBJETIVOS ESPECÍFICOS• Ubicar las cantidades de unidades

y decenas. • Manipular cantidades con unida-

des de millar.• Verificar qué número es mayor o

menor entre dos cantidades, utili-zando su valor posicional.

LECCIÓN 1

Tiempo: 4 horas clase

DESCRIPCIÓN

El desarrollo de la capacidad de cálculo numérico de los/as niños/as es fundamental para lograr desarrollar la capacidad de análisis, argumentación y resolución de problemas. En esta lección se potencia que los niños/niñas sepan ubicar el valor posicional de unidades de millar, cente-nas, decenas y unidades, considerando siempre que se muestre su utilidad en la vida cotidiana. Mediante el modelaje matemático se deberá lograr comparar cantidades, es decir, saber según el valor posicional de las unidades de millar, centenas, decenas y unidades, cuál es mayor o menor según este criterio.

COMPETENCIAS FUNDAMENTALES

• Saber cuantificar • Saber representar y comunicar• Saber resolver y enfrentarse a pro-

blemas

Conozcamos los números hasta 9999

19

LECTURA PREVIA

Los seres humanos empezaron a mani-pular números en cuanto comenzaron a escribir. La idea de número, como muchas ideas matemáticas, fue evolucionando poco a poco. Es difícil saber cómo fue que se llegó a la idea de número y el símbolo que la representa, así como es difícil expli-car la manera en que un/a niño/a pequeño aprende las primeras palabras. Hace unos 30,000 años, los hombres nómadas que vi-

vían en cavernas, dejaron huellas de una actividad que parece ser la de contar. Por ejemplo, se ha encontrado sobre huesos ciertas marcas sen-cillas (pequeñas rayas) que pudieron servir para llevar alguna cuenta. En general, se advertiría una tendencia a hacer mues-cas que representaran las unidades, de manera que 4 unidades se expresarían así: 1/1/. Se introducirían marcas diversas para el cinco, el diez, el quince, con objeto de evitar el exceso de muescas. Los judíos y los griegos se valían de letras de sus res-pectivos alfabetos (lo que introdujo relaciones carentes de signi-ficado entre palabras y números, y dio lugar a las supersticiones disparatadas de la numerología).

¿Por qué existe el ábaco?

Es difícil imaginarse contando sin números, pero hubo una épo-ca cuando no existían los números escritos. Los primeros dis-positivos para contar fueron las manos humanas y sus dedos. Entonces, como largas cantidades (más de 10 dedos humanos no se podían representar) fueron contadas, varios artículos na-turales como piedrecillas y ramitas fueron usadas para ayudar a contar. Los comerciantes, quienes negociaban artículos, no solo necesitaban una buena forma para contar lo comprado y lo vendido, sino también para calcular el costo de esos artículos. Hasta que los números fueron inventados, los dispositivos para contar eran usados para hacer cálculos todos los días.El ábaco es un instrumento que sirve para facilitar al alumno/a el aprendizaje del concepto de sistema posicional de numeración (en cualquier base) y cómo se forman las distintas unidades que lo conforman, así como para ayudar a comprender las operacio-nes de números naturales (suma, resta, multiplicación y división)

CONCEPTOS CLAVESÁbaco Es un recurso manipulativo que permite efectuar cálculos aritméticos de manera ma-nual; utiliza cuentas que se deslizan a lo largo de una se-rie de barras de metal o ma-dera fijadas a un marco para representar las unidades, de-cenas, centenas, unidades de millar, etc.

Figura 1. Ábaco

Figura 2. Números griegos.

UnidadPropiedad que tienen las co-sas de no poder dividirse ni fragmentarse sin alterarse o destruirse.

DecenasFormar colecciones de 10 elementos.

Centenas Es la agrupación de 100 ca-racteres, objetos elementos o cosas, que matemáticamente se refiere a 1000 unidades es decir “1000 veces 1”

Unidad de millar es la agru-pación de 10 centenas lo que hace que sea 100 decenas y por tanto son 1000 unidades.

20

y afianzar su cálculo. También nos va a permitir profundizar en los conceptos de clasificación y ordenación. Por último podemos desarrollar pequeñas investigaciones acerca de la forma de los números y utilizarla como apoyo en la representación de los números decimales, así como en la representación de las unidades de longitud.En la figura 3 se puede dar cuenta de cómo representar cada una de las unidades hasta un

Figura 3. Unidades de millar, centenas, decenas, unidades.

UM C D U

números.Desarrollo de la lección 1: Conozcamos los números hasta 9,999

DIAGNÓSTICO DE CONOCIMIENTOS PREVIOS (ANTES DE EMPEZAR) Actividad 1: Organicemos cantidades en unidades, decenas y centenas en un ábaco.

Objetivo: Ubicar cantidades de unidades, decenas y centenas en un ábaco.

Metodología: en esta actividad se pretende que, además de que utilicen sus conocimientos pre-vios de las unidades, decenas y centenas, los estudiantes puedan utilizar bien el ábaco, porque al final de cada ronda, ellos deben leer en voz alta la cantidad, en unidades, decenas y centenas. Por ejemplo: 3 centenas, 2 decenas y 8 unidades, además de escribir la cantidad en el cuaderno de trabajo: es decir, 325 se escribe trescientos veinticinco.

Materiales:• Hojas de papel bond de colores (Plastilina)• Tijeras y compás.• Pajillas, tirro,• Cajas de cartón.

Instrucciones:Solicitar a los estudiantes que se reúnan en equipos de 5 integrantes y que seleccionen tres ti-pos de colores que a ellos más les gusten entre las páginas de colores. Si no pueden ser páginas de papel bond, puedes utilizar plastilina.Luego pídeles a los estudiantes que doblen las páginas en 4 partes iguales, y con el compás dibujen círculos de 1cm, (en total saldrán 16 círculos), y corta con la tijera un pequeño agujero en el centro de cada círculo; se debe hacer el proceso con los tres colores, seleccionados por los/as niños/as.

millón, En está ocasión, se conocerá la unidad de millar, hasta conocer el término 9,999. No se pretenderá utilizar el ábaco para las operaciones, sino que se trabajará con las posiciones para co-nocer la escritura de los números naturales, así como para representarlos con unidades, decenas y centenas y unidades de millar. Es por ello que se presenta una serie de actividades, para que el/la niño/a sea capaz de conocer el orden , así como la lectura y escritura, de cada uno de los

21

Como ellos ya han estudiado las unidades, las decenas y las centenas, y realizado la actividad de elaborar los círculos de colores, se colocará las pajillas en un caja de cartón, las cuales se po-drán sostener con tirro; de modo que si queremos formar un ábaco, se realizará una competencia entre los equipos de la siguiente manera: elegirán un color, el cual denominarán unidades. Por ejemplo: verde que sean las unidades, el color rojo que denomine las decenas, y el color celeste que denomine las centenas.El color por equipo puede variar según el gusto del equipo; en cada mesa de trabajo se elegirá en una primera ronda a un representante el cual realizará con los círculos la cantidad que usted como docente elija. Por ejemplo, la cantidad es 325. El estudiante realizará con los círculos la operación. Gana el representante del equipo que ubique más rápido en el ábaco que construyeron, la representación de unidades, decenas y centenas y la cantidad con la cual ganó el equipo se dejará en un lado de la mesa, y otro miembro del equipo realizará la otra cantidad. Por ejemplo 523. El proceso terminará hasta que todos los miembros de cada equipo hayan concursado. Gana el equipo que más aciertos tenga.

Sugerencia metodológica:Tú debes estar pendiente de la construcción del ábaco de cada niño/a; inclusive puedes formar equipos de 3 o 5 integrantes, para que ellos/as se puedan ayudar entre sí a la hora de construir el ábaco.Pedir a los estudiantes que tengan precaución a la hora de manipu-lar las tijeras y abrir los agujeros a la caja de cartón.

Los materiales que se te presentan son simplemente una sugerencia. Usted, como docente, puede proponer otros que a su consideración estén a su alcance, o crea conveniente para la construcción del ábaco.Actividad 2: Elaboremos un ábaco con unidades, decenas, centenas y unidades de millar

Objetivo: Definir las unidades de millar en el ábaco.

Metodología: elaboraremos un ábaco en el cual podamos aumentar, a las unidades, decenas y centenas, las unidades de millar. Anteriormente se elaboró uno con características muy sencillas, para el juego de sus conocimientos previos. Hoy se tratará de que el/la niño/a construya el ábaco, pero a la vez que conozca las unidades de millar.

Materiales:• Una cajita de cartón como mínimo de 20 cm

de largo, o trocitos de madera. • Pedazos de alambre o palillos de madera,

pero en forma de línea recta.• Cinta o tirro y tijera • Plastilina

Figura 4: Ubicación en el ábaco de la cantidad 325.

Figura 5: Ubicación en el ábaco de la cantidad 5789.

22

Figura 6: Construcciión del ábaco hasta unidades de millar (UM).

Sugerencia metodológica:

Usted debe estar pendiente de la construcción del ábaco de cada niño/a; inclusive pue-de formar equipos de 3 o 5 in-tegrantes para que cada uno de ellos/as, se puedan ayudar entre sí a la hora de construir el ábaco.

Pedir a los estudiantes que tengan precaución a la hora de manipular las tijeras al abrir los agujeros a la caja de car-tón.

Los materiales que se le pre-sentan son simplemente una sugerencia. Usted, como do-cente puede proponer otros que a su consideración estén a su alcance, o crea conve-nientes para la construcción del ábaco.

Instrucciones:

Pedir a los alumnos que en una distancia de 4 cm cada uno, elaboren 4 orificios a la caja de cartón, con la tijera o con la pun-ta de los palillos, e inserten las varillas, o los palillos de madera, luego, para sostenerlo que coloquen trozos de cinta o tirro, para que no se muevan los palillos o los alambres.

Es importante que se asegure que los palillos no se muevan, o queden flojos ya que, de lo contrario, cuando estemos trabajan-do, se pueden caer, e interrumpiremos el aprendizaje.

Luego elaborar rótulos en donde se proporcione los nombres de: unidades, decenas, centenas y unidades de millar. Estos se colocarán de derecha a izquierda en cada una de las varillas o palillos de madera.

Luego de haber construido el ábaco vertical, se tendrá que ela-borar las fichas o las bolitas de plastilina, que sean bolitas pe-queñas, un mínimo de 30 bolitas de cuatro colores diferentes, por ejemplo, verde, azul, rojo y amarillo.

Y con esto se completa nuestra manualidad.

Cuando todos los/as niños/as hayan terminado su ábaco con las bolitas de los 4 colores de su preferencia, entonces explíca-les lo siguiente:

“Niños/as: acabamos de construir el ábaco vertical, que es un instrumento que sirve para facilitar el aprendizaje del concepto de sistema posicional de numeración (en cualquier base), cómo se forman las distintas unidades. También nos va a permitir pro-fundizar en los conceptos de clasificación y ordenación.”

Debes señalar que el ábaco es el instrumento que nos servirá de guía para conocer más números naturales.

23

Solución de cuadro

1,036 (mil treinta y seis)

Coloca tú la primera solu-ción. Por ejemplo, en las 26 unidades hay dos decenas. Por tanto, sobran 6 en las unidades y colocamos dos decenas, más la que aparece en el cuadro de las decenas, proporcionándonos un total de 3 decenas.

Ahora como en las decenas solamente hay 3, entonces se tendrá que pasar a la ca-silla de las centenas, y en las centenas hay un total de 10 centenas. Por tanto se coloca el valor de cero y se obtiene una unidad de millar.

Así, el resultado final es 1036 (mil treinta y seis).

De igual manera para los otros casos:

2,320 (dos mil trescientos veinte).

5,901 (cinco mil novecientos uno).

1,173 (un mil ciento setenta y tres).

9,999 (nueve mil novecientos noventa y nueve).

Ahora, para clasificar y conocer más números observa el si-guiente esquema:

UM D UCfigura 7: Repre-sentación de las unidades, dece-nas, centenas y unidades de millar.

Dibújalo en la pizarra comenzando por la unidad y explicando que todos conocen la unidad. Luego, si tenemos 10 unidades, forman una decena, por tanto en la casilla de unidades solamen-te se pueden utilizar 9 unidades, y si tengo 10 entonces tengo cero unidades y una decena en la casilla de decenas, pero el mismo caso ocurre ahora: si tomamos 10 decenas, se tiene cero unidades, cero decenas y una centena. Ahora, si se pasa a la casilla de centenas y se tiene 10 centenas, entonces se está ha-blando de cero unidades, cero decenas y cero centenas y de una unidad de millar; entonces estamos hablando del número que se denomina 1,000 (mil), ahora como ya conoces la nueva unidad de millar, se trabajará la siguiente actividad.

Actividad 3: Conozcamos las unidades de millar.

Objetivo: Manipular cantidades con unidades de millar.

Metodología: Auxiliándose del ábaco, los/as niños/as, deben manipular mediante descomposición de los números en unida-des, decenas, centenas, y unidades de millar, los siguientes nú-meros descritos en el siguiente cuadro.Instrucciones: Pedir a los estudiantes que se reúnan en parejas y que comen-ten el siguiente cuadro:

Unidad de millar

Centena Decena Unidad

10 1 261 11 10 205 9 0 11 0 15 239 7 28 19

Tabla 1

24

Sugerencia metodológica:Se espera que las parejas realicen los siguientes esque-mas con sus ábacos, de ma-nera que el primer resultado sea el siguiente:4,946 (cuatro mil novecientos cuarenta y seis).

Actividad 4: ¿Quién es mayor?

Objetivo: Utilizar el valor posicional de un número para encon-trar si es mayor o menor.

Metodología: que los estudiantes coloquen las cantidades en su ábaco y luego expliquen por qué razón creen que una cantidad es mayor que la otra. Lo deben dejar por escrito en su cuaderno de trabajo.

Materiales:• Cuaderno de trabajo, lápiz.

Instrucciones: Pedir a los estudiantes que formen parejas, y luego con el ába-co que construyeron en la actividad 2, se les proporcionará una hoja con ciertas cantidades. Puedes elaborar una lista como la siguiente

a) 4,946 y 2,432b) 3,347 y 2,653c) 4,356 y 2,566d) 7,892 y 7,891e) 8,264 y 2,564f) 2,689 y 1,256g) 3,654 y 3,336h) 4,569 y 6,489i) 2,763 y 9,997j) 4,978 y 4789

Por ejemplo, la cantidad del literal a) si la ubican en el ábaco, el resultado es 4,946, que es mayor que 2,432. La razón es que la unidad de millar en 4,946 es 4 y la unidad de millar en 2,432 es 2, por tanto, como 4 es mayor que 2, se esperará que ese sea el razonamiento de los/as estudiantes. Debe observar cuando los estudiantes estén realizando la actividad, ya que si su razona-miento no es correcto, debe orientarlos, expresando la pregunta: ¿Quién es el mayor de las unidades de millar? Si las unidades de millar son las mismas, el razonamiento debe continuar con las centenas. Entonces, si las centenas son números diferentes, ellos identificarán quién es el mayor. Pero si en la centena son iguales, el razonamiento se realizará con las decenas, y si son diferentes, se conocerá ¿quién es el mayor? En caso contrario, se realizará la comparación con las unidades, Si son diferentes entonces se comparará ¿quién es el mayor? En caso contrario, las cantidades son iguales.

2,432 (dos mil cuatrocientos treinta y dos).

Figura 8: Ubicación en el ábaco de la cantidad de 4,946.

Figura 9: Ubicación en el ábaco de 2, 432.

Se debe colocar el nombre de cada una de las cantida-des con sus respectivos nom-bres, tal y como se describen en los dos esquemas anterio-res.Utilizando el ábaco los niños y las niñas obtendrán un me-jor aprendizaje de los núme-ros, así como identificarán quien es el mayor o menor de los números.

25

Actividad 8: Juguemos con la descomposición de números en unidades de millar, centenas, decenas y uni-dades.

Objetivo: Utilizar la descomposición de números, de unidades de millar, centenas, decenas y unidades.

Materiales: • Fotocopiar lámina (la que se proporciona en esta actividad) o copiar el cuadro en la piza-

rra.• Cuaderno de trabajo.

Instrucciones:Fotocopiar la lámina o copiar en la pizarra el siguiente cuadro. Formar equipos de 5 integrantes, y entregar una lámina por equipo. Los/as niños/as deberán expresar los números como descom-posición de unidades de millar, centenas, decenas y unidades con el siguiente cuadro que se les proporcionará, de manera que ubiquen la suma de las cantidades que se les proporcionará para conocer la descomposición.

1,525 5 30 20 1,000 400256 300 30 50 6 200761 60 600 1 700 702,589 80 50 500 9 2,000177 70 100 700 7 10612 10 200 600 20 2

Ellos deben escribir para la solución en su cuaderno. Por ejemplo:1,425 = 1,000 + 400 + 20 +5Los cuales son unidades de millar, centenas, decenas y unidades.

De esta manera, el/la niño/a continuarán su estudio de la descomposición de los números. Ade-más se le proporciona otra tabla para que ellos realicen el proceso inverso. Es decir, se le propor-ciona en negrita los valores de los números en unidades de millar, centenas, decenas y unidades, y ahora ellos tendrán que encontrar la cantidad resultante.126 = 100 + 20 + 6 , de esta manera siguen practicando los números hasta 9,999.

126 30 20 60 100 6300 50 4 3,000 4050 10 700 200 7

4,000 600 40 30 540 80 2 100 800

900 70 3 20 200

Tabla 2

Tabla 3

26

Actividad de evaluación:

Objetivo: realizar las operaciones de adición y sustracción utilizando los conocimientos adqui-ridos.

1. Escribe 5 cantidades que lleven 2 unidades de millar y elige qué valor colocar en las cente-nas, decenas y unidades.

2. Elabora en tu cuaderno la figura del ábaco vertical y coloca las siguientes cantidades 1,987; 1,993; 6,536; 9,564; 4,325.

3. Escribe la siguientes cantidades con cifras los siguientes números con letras, representa-dos en los ábacos.

REFERENCIA1. El ábaco, (s.f.). Recuperado Agosto 15, 2011, a partir de http://www.omerique.net/twiki/pub/

CEPCA3/ActividadFormacion071106CU028/Elbaco.pdf

2. Operaciones fundamentales en la aritmética del ábaco chino - Traducido por Peter Yang. (s.d.). Recuperado Mayo 25, 2011, a partir de http://www.librosmaravillosos.com/swanpan/index.html.

3. Recursos didácticos de la Matemática. Recuperado Mayo 25, 2011, a partir de http://www.dfpd.edu.uy/ifd/rocha/novedades/recursos%20did%C3%A1cticos%20para%20%20matema-tica.doc

27

1. Con la siguiente ilustración descubrir qué cantidad, es la que describen las flores; ubi-cándolas con unidades, decenas, centenas y unidades de millar. Representar el número y escritura de dicho número.

GUÍA DE TRABAJO

2. Coloquemos la cantidad que se forma con las edades de Miguel, Ainhoa, Gema y Josué, si Miguel tiene 12 años, Ainhoa tiene 9 años, Gema tiene 6 años y Josué 3. Además escribe cómo se representa dicha cantidad.

3. Escribe la cantidad que han elegido las ruedas de la fortuna.

LECCIÓN 2

DESCRIPCIÓNLos niños/niñas al aprender el contenido escolar “ángulos”, cometen errores que se mantienen como hipótesis propia hasta grados superiores, obstaculizando aprendizajes más complejos. Suelen confundir la medición de longitud de líneas con la amplitud de abertura del ángulo. Este tipo de error se puede atribuir a ideas previas puestas en contraste con los aprendizajes obte-nidos con la metodología escolar tradicional. Se deberá mostrar a los niños/niñas los ángulos como amplitud de giro, con independencia del encuadre en líneas, lados o figuras cerradas.

Conozcamos y tracemos ángulos

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Comprender el concepto de án-gulo

• Apredender a utilizar el transpor-tador para medir ángulos.

• Identificar ángulos agudos, rec-tos, obtusos y llanos.

COMPETENCIAS FUNDAMENTALES

• Saber argumentar • Saber cuantificar • Saber representar y comunicar• Saber resolver y enfrentarse a

problemas• Saber usar técnicas e instru-

mentos matemáticos• Saber modelizar• Saber integrar los conocimien-

tos adquiridos

Tiempo: 8 horas clases

29

CONCEPTOS CLAVEÁngulo.es el que se forma con dos semirrectas o rayos que tie-nen el mismo origen. Vértice B: origen de las semirrectas. Lados.A: Inicial y C: Final del án-gulo. Amplitud: abertura del ángulo.Ángulo agudo: Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0º y menor de 90º.

LECTURA PREVIA

Nuestros movimientos cotidianos están determinados por rec-tas y ángulos cuando caminamos por las calles, avenidas, en el patio de juego, las dependencias de la escuela, nuestras casas, etc.

El conocimiento de los instrumentos de trazado y medida lineal, asi como la abertura y tipos de ángulos que existen, permiten a los/as niños/as trasladar dichos conceptos y sus aplicaciones al ámbito profesional y personal.

Es fundamental que ellos aprendan a manejar con habilidad los diferentes instrumentos de medida y ejerciten su uso hasta que obtengan un dominio correcto de las construcciones gráficas.

Deben propiciarse situaciones de aprendizaje para que los ni-ños puedan:

• Hacer, examinar, predecir, comprobar, generalizar.• Preguntarse ¿por qué? ¿qué ocurriría si...?• Idear sus propias pruebas.• No coartar el progreso del pensamiento propio.

Podemos definir ángulo como la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.Tipos de ángulos:

Figura 1. Ángulo agudo ABCÁngulo rectoUn ángulo recto es de ampli-tud igual a 90º.

Figura 2. Ángulo recto AOB

Ángulo obtusoUn ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor que 90º y menor a 180º.

Figura 3. Án-gulo Obtuso AOB

Ángulo llano: Un ángulo lla-no es aquel cuyos lados son dos semirrectas opuestas, y la amplitud que se forma en-tre ellos es igual a 180º.

Figura 4. defini-ción de ángulo.

Figura 5. Ángulo agudo, Ángulo recto, Ángulo obtuso, Ángulo llano

30

Estos son los conceptos que abordaremos en el transcurso de la lección. Es importante que los/as niños/as conozcan el concepto de ángulo, así como la clasificación de cada uno de ellos. Pero a la vez que puedan utilizar los instrumentos que ayudan a medir dichos ángulos, que en está ocasión se trabajarán en grados, que es la unidad de medida.Será de importancia que ellos logren manipular con agilidad y de manera adecuada el uso del transportador. Se debe tener siempre claros los objetivos que se desea desarrollar en cada una de las actividades, para que los/as niños/as logren tener un mejor proceso de aprendizaje.

Desarrollo de la lección 2: Conozcamos y tracemos ángulos

DIAGNÓSTICO DE CONOCIMIENTOS PREVIOS (ANTES DE EMPEZAR)

Actividad 1: Conozcamos el concepto de ángulo

Objetivo: Comprender el concepto de ángulo.Metodología: En esta actividad se pretende que el/la niño/a conozca e identifique ángulos. Para lograrlo debemos hacer que manipulen ciertos materiales concretos para formar y medir ángulos, con los cuales se podrá explicar los conceptos básicos como vértice y lados.Materiales:

• Paletitas de madera, o pajillas • Cinta adhesiva, o tirro, incluso hilo• Tijeras

Instrucciones:• Con las pajillas, o paletitas de madera, seleccionaremos dos de ellas, las cuales repre-

sentarán las dos semirrectas o rayos. • Luego con la cinta adhesiva cortaremos los pedacitos de cinta con la tijera• Y además uniremos los dos palillos de manera que coincidan en un punto, el cual llama-

remos vértice de dicho ángulo.Luego de que los/as niños/as hayan construido las dos semirrectas con las pajillas o palillos de madera que se unen en un punto, en este caso con la cinta adhesiva, puede explicarles con el modelo que la abertura que forman las dos semirrectas se llama ángulo.Así, dependiendo la abertura que tenga el ángulo se podrán clasificar. Para continuar nuestro estudio de ángulos es importante que el/la niño/a comprenda el concepto de ángulo. Debe explicar que los dos palillos utilizados servirán como los lados o semirrectas del ángulo, y que el punto donde se interceptan

las dos semirrectas se llama vértice.

Pueden realizar diferentes ángulos con los palillos y la cinta adhesiva, solo que en esta etapa no estamos ex-plicando la medida de los ángulos. El objetivo es com-prender el concepto de ángulo.

Figura 4. Representación de un ángulo.

31

Sugerencia metodológica:En esta actividad pretende-mos realizar las medidas de los ángulos.Para ello nos ba-saremos en el uso del trans-portador, ya que este nos dará medidas exactas de los ángulos que quisiéramos me-dir.En la actividad anterior, los/as niños/as manipularon la formación de los ángulos con la representación de palillos o pajillas como las semirrectas. La abertura de estos dos, es lo que denominamos ángulo.Por tanto, ahora hay que sa-ber el valor que tiene cada una de las aberturas que se forman con las semirrectas. Esto se llaman amplitud del ángulo.Para comenzar a medir los ángulos que han formado es importante que ellos tengan claro que lo que mediremos con el trasportador será la amplitud que se forma de las dos semirrectas o rayos.Aclarar que las semirrectas no necesariamente son hori-zontales. Es decir, la posición puede variar y las semirectas pueden ser inclinadas, pero esto no importa. Al ubicarlas para medir con el trasporta-dor, la amplitud no cambia al tomar una de las líneas como inicial.

Actividad 2: Conozcamos el

instrumento de medición del ángulo.

Objetivo: Aplicar el concepto de ángulo mediante el uso de transportador.Luego que el/la niño/a han conocido los elementos que constitu-yen el ángulo, es importante mostrarles ahora cómo medir esas aberturas que denominamos ángulos.Metodología: Para comenzar a medir ángulos es importante que identifiquen el trasportador como un instrumento de medi-ción, el cual determina el ángulo en grados.Por tanto en esta actividad tendremos como objetivo medir dife-rentes ángulos.Materiales:

• Pizarra,• Cuaderno de trabajo• Transportador • Regla graduada.

Instrucciones:Presenta a tus estudiantes el transportador como el instrumento de medición de ángulos.Luego pídeles que elaboren en su cuaderno diferentes semi-rrectas con la regla graduada, que se corten en un punto en distintas posiciones. Con diferentes tipos de aberturas puedes dar un ejemplo en la pizarra antes de dejar a la creatividad de cada niño cómo construir un ángulo. Se le proporcionan algunas alternativas, pero los/as niños/as pueden proporcionar diferentes posiciones de las dos semirrectas, lo cual enriquecerá nuestro aprendizaje. ¿Cómo medimos la abertura de las dos semirrectas? Se hará mediante el transportador. El transportador tiene la forma de una semicircunferencia y tiene la medida de 0º hasta 180º; y

si te fijas, algunos traspor-tadores tiene dos veces la cantidad solo que una está en sentido antihorario; es decir contrario a las agujas del reloj, y la otra está en sentido horario. Utilizaremos en esta oca-sión el sentido antihorario.

Figura 3. Amplitud de ángulos.

Figura 4. Transportador

32

Sugerencia metodológica:

Para trabajar esta actividad podemos reunir a los/as ni-ños/as en equipos de tres in-tegrantes, con el objetivo de que cada uno haga las me-diciones de sus respectivos trazos que ha realizado en la actividad 2.

Pero además de realizar con el trasportador las medidas, se pueden intercambiar los cuadernos de sus compañe-ros, de manera que midan ellos también los trazos de las semirrectas que hicieron los demás. De esta manera, si no les da lo mismo, es por-que alguno ha utilizado mal el trasportador, pero como son tres en el equipo se podrán corregir entre ellos, para que quien lo ha hecho mal lo verifique.

Sí ha cometido el error, en el caso de que el otro sea el que no ha medido bien los/as niños/as deberán pre-guntar al docente, cuál es el error, y usted deberá ayudar no haciéndolo sino pregun-tándole como lo midió cada uno de ellos. Y si lo siguen haciendo mal, léales la pri-mera parte de la instrucción para que comprendan la ma-nera correcta de utilizar el trasportador.

Actividad 3: Midamos ángulos.

Objetivo: Utilizar el transportador para medir distintos ángulos.

Metodología:Es importante mostrarle al estudiantado cómo utilizar el transpor-tador, y de esta manera desarrollar una serie de problemas en los cuales ellos lo manipulen y proporcionen las medidas exactas, es decir, la amplitud de los ángulos.

Instrucciones:Para medir con el transportador los ángulos se hace coincidir la línea horizontal con uno de los lados del ángulo. La posición del otro lado del ángulo sobre el transportador ofrece la lectura del

Figura 5. sosteniendo el transporta-dor para medir un ángulo.

ángulo.Como los/as niños/as habrán reali-zado semirrectas como las que se mostrarán en la figura 6, y para uti-lizar el término de línea horizontal que será la línea guía del transpor-tador, para medir la amplitud del án-

gulo tomaremos la semirrecta donde comienza el cero, y en sentido antihorario mediremos el ángulo hasta la posición de la otra semirrecta.

Y así descubriremos el valor de la amplitud del ángulo. En este caso el ángulo mide 37º.

Los trazos de semirrectas formando ángulos que se realizaron en la actividad 2 podrán servir para que ellos continúen midiendo los ángulos de las semirrectas que trazaron con anterioridad.

En muchos casos el resultado no dará exactamente donde se ven los números “grandes”, es decir, no serán los múltiplos de 10, pero basta con explicarles que en el trasportador van los números de uno en uno es decir que les puede resultar 27º, 33º, 92º, 134º, etc.

Figura 6. Ubicación del transportador según trazo de semirrectas.

33

Sugerencia metodológica:

Es importante que realices una serie de ejemplos para que ellos logren conocer el significado de cada una de la clasificaciones de los ángu-los. Al igual que en la activi-dad anterior, puedes organi-zar a los/as estudiantes para que entre ellos clasifiquen los ángulos en agudos, rectos, obtusos y llanos.

Para que aprendan a compar-tir ideas, es importante que ellos comprendan estos con-ceptos, ya que de esta ma-nera les facilitará el estudio posterior, cuando resuelvan problemas que involucren án-gulos, y además, para que no tengan problemas al clasi-ficarlos.

Inclusive puede pedir que ellos tracen ahora ángulos con las características de un ángulo agudo, recto, obtuso o llano.Debe asegurarse de que ha-yan comprendido estos con-ceptos, de manera que debe estar pendiente de los equi-pos y ver qué es lo que están discutiendo en cada uno de ellos, para comentar algunas dudas o preguntas que pue-dan ocurrir en los equipos y tratar de responder sus in-quietudes con la participación de todo el estudiantado.

Actividad 4: Clasifiquemos ángulos según su amplitud.

Objetivo: Identificar ángulos agudos, rectos, obtusos y llanos.

Metodología: Introducir ahora el tema de cómo clasificar los án-gulos según su medida, tal como se mostró al utilizar el traspor-tador cuando teníamos dos semirrectas, las cuales se cortan en un punto y la abertura entre ellas dos es la medida del ángulo, el cual encontramos con dicho instrumento.

Ahora queremos clasificar los ángulos según su medida, enton-ces escribimos en la pizarra los siguientes cuatro conceptos y luego realizaremos actividades con ellos para descubrir si com-prendieron estos conceptos. Ángulo agudo: Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0º y menor de 90º.

Ángulo recto: es de amplitud igual a 90º.

Ángulo obtuso: es aquel cuya amplitud es mayor a 90º y menor a 180º.

Angulo llano: es aquel cuyos lados son dos semirrectas opues-tas y la amplitud que se forma es de 180º.

Los ángulos se representan en las siguientes figuras.Puede optar por dar el concepto y la figura para que distingan

Figura 7. Representación de clases de ángulos

cuál es la clasifica-ción que se encuen-tra haciendo.

Ahora pídales lo si-guiente: que con los

ángulos que encontraron en la actividad 3 logren clasificar los ángulos que midieron entre ángulos agudos, rectos, obtusos y llanos.

34

Actividad 5: Juguemos a encontrar ángulos.

Objetivo: Identificar ángulos en el entorno.

Materiales: • Cuaderno de apuntes• Lápiz• Colores• 2 pliegos de papel bond o cartulina.

Instrucciones:• El/la docente sacará al patio de la escue-

la a los/as niños/as.• Luego los dividirá en dos equipos. Por

ejemplo: los del equipo de color rojo y los del equipo de color amarillo (el nombre del equipo se lo pueden inventar incluso los/as niños/as).

• Luego expliqueles que entre los miem-bros del equipo se dividirán en parejas o incluso tríos en todo el patio de la escuela y su objetivo será encontrar a su alrededor los diferentes tipos de ángulos. Deben anotar el nombre del objeto que visualicen y luego escribir la clasificación que se le da al ángulo. Por ejemplo: si en el patio hay un poste, con el suelo forman un ángulo recto. Entonces anotan en el cuaderno “El poste y el suelo forman un ángulo recto”

Otro ejemplo sería “las ramas del árbol forman un ángulo agudo”.• Después de realizar el listado se reunirán con su equipo amarillo y discutirán entre ellos

las figuras que encontraron a su alrededor con las características de los ángulos. Y luego dibujarán estas figuras en el pliego de papel bond, de manera que coloquen la clasificación de ángulos agudos, rectos, obtusos y llanos.

El equipo que elabore el cartel con las características de los objetos sin confundir los conceptos es el que ganará.Usted puede pensar el incentivo que obtendrá el equipo ganador. Pueden ser puntos para el laboratorio o para alguna actividad. Usted decide.

Sugerencia metodológicaEl tiempo dedicado a esta actividad es prudencial. Deben salir al patio, pero a los 15 minutos, después de haber observado y anotado, deben entrar al aula. Diles que los dibujos pueden ser bosquejos que representen los ángulos, ya que el interés de la actividad es que ellos identifiquen los ángulos en su entorno y no si saben dibujar. Pídeles que coloreen además los ángulos identificados en el dibujo que elaboren. De esta ma-nera se descubrirá si ellos han comprendido los conceptos de ángulos agudos, rectos, obtusos y llanos.

Figura 8. Niños buscando ángulos en el patío de la escue-la.

35

ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN (Actividad 6):

Objetivo: Resolver los ejercicios planteados.

1. Copia las siguientes letras en tu cuaderno y colorea de rojo los ángulos agudos, de negro los obtusos, de azul los rectos, y verde oscuro los llanos.

2. Asigna a cada una de las figuras, la medida en grados que corresponde, usando para ello una línea. Puedes utilizar el trasportador para estar seguro de tu respuesta.

Sugerencia metodológica:Como sugerencia se te recomienda colocar otro tipo de medidas a los ángulos, desarrollar otros ejercicios, que pueden ser del cuaderno de trabajo.

REFERENCIA1. Ángulos ? Geometría - Monografias.com. (s.f.). . Recuperado Agosto 15, 2011, a partir de

http://www.monografias.com/trabajos41/angulos-triangulos/angulos-triangulos.shtml

2. Maestros108. (s.f.). Recuperado Agosto 15, 2011, a partir de http://sites.google.com/site/maestros108/

36

1. Dibujar con el trasportador los siguientes ángulos, y clasificarlos en agudos, obtusos y lla-nos. 60º ,175º, 45º, 180º, 90º, 30º, 130º.

2. El chino Yan Wei, medalla de oro en los juego olímpicos de Pekin 2008, con su gesto de celebración ha formado varios ángulos ¿los podrás señalar? Hay 9 ángulos.

3. Ordena de mayor a menor según su abertura los siguientes ángulos e indica de qué tipo son cada uno de ellos.

4. Completa con las siguientes palabras: origen - perpendiculares - mayor - puntos - lados - dos - iguales - fin - corta - vértice - principio - desiguales - dirección - menor - recta.

• La línea recta tiene todos sus................ en la misma.............. No tiene................. ni fin.• Una semirrecta empieza en un punto llamado................. y no tiene................. .• Un segmento es un trozo de.................. comprendido entre................... puntos o extremos.• rectas paralelas son las que nunca se..................... aunque se prolonguen.• Rectas perpendiculares son las que se cortan formando regiones.................... .• Rectas oblicuas son las que se cortan formando regiones....................... .• Los elementos de un ángulo son el.................... y los.................... .• El ángulo recto es el que tiene los lados....................• Un ángulo agudo es...................... que un ángulo recto.• Un ángulo obtuso es.......................que un ángulo recto.

GUÍA DE TRABAJO

LECCIÓN 3 Rectas paralelas y perpendiculares

CAPACIDADES FUNDAMENTALES• Saber argumentar • Saber cuantificar • Saber representar y comunicar• Saber usar técnicas e instru-

mentos matemáticos• Saber modelizar• Saber integrar los conocimien-

tos adquiridos.

OBJETIVO ESPECIFICO• Usar instrumentos geométri-

cos (regla, compás, escuadra y transportador) para el proceso de construcción de rectas para-lelas y perpendiculares relacio-nar lo aprendido con estructuras del entorno.

TIEMPO: 4 horas clase

DESCRIPCIÓN

La planimetría forma parte de la geometría y se encarga de estudiar figuras en el plano, iniciando con el estudio del punto, la recta y definiendo la estructura de figuras básicas como el triángulo, el cuadrado, el círculo. En esta lección se utilizan conocimientos rela-cionados a la planimetría y geometría, se plantean actividades, donde el /la niño/a obser-va los diversos tipos de líneas en objetos, y se orienta para la utilización de instrumentos geométricos (regla, escuadra) para su construcción.

38

¿Qué es la geometría?

Se deriva de la palabra griega que se descompone en los ele-mentos “geo” relacionado con tierra, y la palabra “metría”, medi-ción, de este modo, se traduce como “medición de la tierra”, es la ciencia que trata de las propiedades de las figuras geométri-cas empleadas para la medición de extensiones y superficies.

Algunos ejemplos de figuras geométricas a considerar, son: el triangulo, el cuadrado y el círculo.

¿Qué es planimetria? Es parte fundamental de la geometría y se encarga de estudiar las figuras en el plano.En el estudio de la planimetría se consideran los elementos si-guientes:1. Punto y recta. Son figuras geométricas elementales en el

plano. Los puntos y las rectas se marcan en el dibujo o bos-quejo geométrico con un lápiz afilado. El punto se representa con un círculo pequeño o marca que deja un lápiz al presio-nar éste levemente sobre el papel. Y la recta se entiende como la sucesión infinita de puntos. Ambas representaciones muestran una idea concreta de los elementos. Es necesario considerar que el punto y la recta, en sentido geométrico, se interpretan como elementos que no poseen grosor alguno (punto) y elementos de prolongación infinita que no poseen grosor (recta). Para designar puntos se emplean letras ma-yúsculas: A, B, C, D… Las rectas se designan por letras mi-núsculas: a, b, c,…

CONCEPTOS CLAVEInstrumentos de mediciónSon objetos concretos utiliza-dos específicamente para el proceso de medición. Estos cumplen con la característica de poseer elementos están-dar que facilitan la medición y la interpretación de resul-tados obtenidos. Dichas ca-racterísticas son: unidad de medida y la medida propia del instrumento.

Regla graduadaLa regla graduada es un ins-trumento de medición con forma de plancha delgada y rectangular que incluye una escala graduada dividida en unidades de longitud, por ejemplo centímetros o pul-gadas. Es un instrumento útil para trazar segmentos rec-tilíneos con la ayuda de un bolígrafo o lápiz, y puede ser rígida, semirrígida o flexible, construida de madera, metal o material plástico.

EscuadraExisten dos tipos de escua-dras, ambas hacen referen-cia a triángulos notables con-siderados en trigonometría y poseen un ángulo recto (90º). Los ángulos internos tienen proporción 45º-45º-90 para la escuadra que posee dos lados iguales y un lado mayor a los dos anteriores, y ángulos 30º-60º-90º cuyos lados son diferentes todos.

figura 1: Figuras geométricas el triángulo, cuadrado, círculo.

figura 2: Representación de un punto y una recta.

39

Axioma o postuladoSon proposiciones que no ne-cesitan ser demostradas para verificar su veracidad. NomenclaturaUna recta puede ser desig-nada con dos puntos que se hallan en esta. Para la recta a de la figura, se puede expre-sar por los puntos A y B y la recta b por los puntos B y C.

La recta a posee en su estructura infinitos puntos, entre ellos se pueden destacar 2 que llamaremos A y B.

Segmento de rectaPara la recta a se tienen los puntos A y B. El conjunto de puntos limitados entre A y B, se llama segmento de recta.

De este modo, se cumplen propiedades fundamentales de la pertenencia de los puntos y las rectas en el plano. La recta a contiene al punto A y al punto B y se representa mediante infi-nitos puntos que pasan por ellos. En consecuencia, se tiene la afirmación axiomática “entre 2 puntos cualesquiera, se traza una y solo una recta”.

También, se puede decir que los puntos A y B pertenecen a la recta a ó que la recta a pasa por los puntos A y B.

En un mismo plano se representan muchas rectas, en conse-cuencia, para las rectas a y b, donde a contiene los puntos A y C; b contiene a B y C como en la figura:

El punto B pertenece a la recta b pero no se encuentra en la rec-ta a. El punto C se halla en la recta a y en la recta b. Las rectas a y b se cortan en el punto C, entonces el punto C es llamado intersección de las rectas a y b. Sobre el punto C se pueden trazar infinitas rectas cuyos puntos no pertenezcan a la recta a, ni a la recta b.

Axioma: “Si se define un punto C, sobre él se pueden trazar in-finitas rectas”Dos rectas distintas no se cortan, o se cortan en un punto único. Si al trazar dos rectas hubiese dos puntos de intersección, enton-ces resultaría que por esos puntos pasan dos rectas diferentes. En este sentido no se hace referencia a dos rectas, sino a tres.

figura 5: Representación de una recta que pasa por dos puntos A y B

figura 3: Representación de rectas que pasan por dos puntos diferen-tes.

figura 6: Representación de dos rectas que contiene dos puntos respectivamen-te y uno que es común en ambas rectas.

figura 4: Representación de segmen-tos de recta. figura 7: Representación

de dos rectas que se cortan en un punto en común o en ninguno.

40

Tipos de líneas.

Línea: se define como una sucesión infinita de puntos, que según la dirección o re-corrido de los mismos, se detallan los tipos siguientes:1. Líneas curvas: Presen-

tan variación en el reco-rrido de los puntos que las conforman, también reciben el nombre de cur-vilíneas.

Rectas paralelas y perpendiculares

Al trazar dos rectas en el plano, se consideran dos casos:

1. Las rectas, por mucho que se prolonguen, no se interceptan en ningún punto.

2. Existe un punto donde las rectas se interceptan. Si dos rec-tas poseen un punto en común, se les llama rectas secantes.

Rectas paralelasEn el plano se llama “paralelas” a dos rectas que en su prolon-gación infinita no comparten elementos (puntos), es decir, las rectas no se interceptan.

Propiedad fundamental de las rectas paralelas.

Por todo punto B que no se halla en la recta a se puede trazar en el plano no más de una paralela a la recta a.

2. Líneas rectas: Es la su-cesión infinita de puntos que siguen una misma di-rección, no posee origen ni fin. Según el sentido, se reconocen como rectas horizontales, rectas verti-cales y rectas oblicuas.

Dos rectas paralelas cumplen con la siguiente característica: al medir las distancias que separan una y otra, las distancias son congruentes.

Rectas perpendiculares.En el plano se llama perpendiculares a las rectas que se cortan en un punto (secantes) y forman entre sí cuatro ángulos con-gruentes cuya medida es de 90º.

Las rectas perpendiculares se identifican en las construcciones de viviendas, edificios. El ángulo que forma la pared en relación al suelo es de 90º.

figura 8: Representación de líneas curvas.

figura 8: Representación de las posiciones de la línea recta.

figura 9: Representación de las rectas paralelas.

figura 10: Representa-ción de la condición de las rectas paralelas.

figura 11: Representación de que por un punto pasa una y solo una paralela.

figura 12: Representación de las rectas perpendicu-lares.

41

RESEÑA HISTÓRICA

¿Quién fue Euclides?(h. 330 a.C., h. 275 a.C.) Matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la vida de quien fue el matemáti-co más famoso de la Antigüe-dad. Se educó probablemen-te en Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familia-rizado con las obras de Aris-tóteles. Enseñó en Alejan-dría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrará un procedimiento abreviado para acceder al co-nocimiento de las Matemáti-cas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la Geometría (el epigrama, sin embargo, se atribuye también a Menecmo como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno).

Fue editor de la obra “Los elementos”; tras su aparición, se adoptó inmediatamente como libro de texto ejemplar en la enseñanza inicial de la Matemática, con lo cual se cumplió el propósito que de-bió de inspirar a Euclides. más allá, incluso, del ámbito estrictamente matemático.

ACTIVIDAD DE INICIO

La actividad cumple con el objetivo de diagnosticar el grado de conocimiento mínimo que el/a estudiante necesita para iniciar el desarrollo de la lección.

Se recomienda recolectar información que oriente la identifica-ción de lo que se sabe y examinar cuidadosamente el trabajo de los/as estudiantes.

A partir de la información obtenida, proveer refuerzo en aquellos aspectos que ellos/as no comprendan.

Actividad 1: Reconocimiento de tipos de líneas.

Descripción: Invitar a los estudiantes a que dibujen en sus cua-dernos los tipos de líneas conocidos.

Actividad 2: Uso de instrumentos en la construcción de líneas.

Objetivo: Identificar en el estudiante dominio en el trazo y utili-zación de instrumentos geométricos.

Descripción: Facilitar al estudiante los instrumentos necesarios para realizar las construcciones (1 regla, 2 escuadras, 1 compás y 1 transportador). A continuación brindar las siguientes indica-ciones y observar los procesos.

1. Dibujar 2 rectas paralelas con la regla y la escuadra.2. Dibujar 2 rectas utilizando 2 escuadras.3. Dibujar rectas perpendiculares utilizando inicialmente regla y

escuadra y luego con 2 escuadras.4. ¿Podrías construir líneas perpendiculares con el compás?

3 líneas curvas 4 líneas verticales

8 líneas horizontales 2 líneas inclinadas

42

De hecho, Euclides esta-bleció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una propo-sición matemática: un enun-ciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados.

En el caso de los “Elemen-tos”, los principios que se to-man como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axio-mas o nociones comunes. La naturaleza y el alcance de di-chos principios ha sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en espe-cial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto (postulado de las pa-ralelas).

Su condición distinta respec-to a los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de de-mostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostración prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometrías consistentes, llamadas «no euclidianas», en las que no se cumpliera la existencia de una única paralela trazada a una recta por un punto exte-rior a ella.www.biografica.info/biogra-fia-de-euclides-820

ACTIVIDAD 3: Observación.Descripción:Invitar a los estudiantes a que identifiquen en la figura (fotogra-fía), los diversos tipos de líneas (curvas, rectas, horizontales, verticales), e indicar aquellas que cumplen con la característica de ser paralélas o perpendiculares.

1. ¿Qué es línea?2. Identifica las líneas curvas que aparecen en la figura y des-

cribe las características del lugar donde la encontraste.3. Identifica las líneas rectas, horizontales y verticales y descri-

be las características del lugar donde la encontraste.4. ¿Observas líneas paralelas?5. ¿Y líneas perpendiculares?6. ¿Recuerdas haber visto este tipo de líneas en otros objetos

o lugares que has visitado?

Invitar a los estudiantes a compartir experiencias de paseos y lugares donde observaron líneas paralelas y perpendiculares.

Sugerencia.Salir con los estudiantes a una caminata o paseo para identificar figuras paralelas y perpendiculares en la naturaleza.

figura 13: Puente sobre el Rio Lempa, El Salvador.

figura 14: Representación de líneas rectas y perpendiculares.

43

Objetivo:Utilizar instrumentos de cons-trucción (regla y escuadra) para construir rectas parale-las. Materiales:• Estuche de geometría• Regla• Escuadra• Lápiz• Borrador• Compás

Descripción:Construir y representar rec-tas paralelas mediante la uti-lización de instrumentos de construcción. Indicadores de logro:Habilidad al utilizar estuche de Geometría.

Actividad 3: Proceso de construcción de líneas paralelas.Al trazar dos rectas distintas, una es paralela a la otra si no com-parten un punto en común. Si se trazan varias líneas paralelas, se identifica que todas se dirigen a la misma dirección.

PASO 1Ubicar sobre una página o superfi-cie, la regla y la escuadra, según la figura, y trazar un segmento de rec-ta.

PASO 2Desplazar la escuadra hacia abajo y trazar un segundo segmento de recta.Ambas rectas obtenidas son parale-las.

Regla y escuadra.figura 15: Rectas paralelas en la naturaleza.

figura 16: Elaboración de rectas paralelas utilizan-do regla y escuadra.

44

Objetivo:Comprender el proceso de construcción de líneas para-lelas utilizando dos escua-dras.

Materiales:• 2 escuadras de propieda-

des iguales• Lápiz• Borrador• Páginas de papel y/o cua-

dernoDescripción:Brindar a los estudiantes las herramientas para desarrollar la experiencia. Si los estu-diantes olvidan o pierden sus instrumentos geométricos, podrían elaborar dichos ins-trumentos.

Objetivo:Comprender el proceso de construcción de rectas per-pendiculares utilizando regla y escuadra.

Materiales:• Regla• Escuadra• Lápiz• Borrador• Páginas de papel bond

y/o cuaderno

Descripción:Trazar dos rectas perpendi-culares como indica la ilus-tración. Luego con ayuda del transportador, medir los án-gulos formados con la inter-sección de las rectas.

Actividad 4: Dos escuadras.

PASO 1: Posicionar las dos escuadras según la ilustración y trazar un segmento.

PASO 2:Desplazar la escuadra hacia abajo y trazar otro segmento de recta.

Actividad 5: Rectas perpendiculares.

Dos rectas diferentes son perpendiculares si tienen un punto en común y forman con relación a sus lados ángulos de 90º.

PASO 1:Trazar con la regla un segmento de recta.

PASO 2:Posiciona la escuadra sobre la regla según la ilustración y traza el segmen-to correspondiente. Con el transporta-dor, medir el ángulo formado.

figura 17: Elaboración de rectas paralelas utilizando dos escuadras.

figura 18: Elaboración de rectas perpendicu-lares utilizando regla y escuadra.

45

REFERENCIA

1. Historia de Euclides, s.f.). Recuperado Agosto 15, 2011 www.biografica.info/biografia-de-eu-clides-820

2. Pogorelov, A. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir Moscu, traducido por: Carlos Vega

46

1. Observar la siguiente ilustración y describir la presencia de líneas paralelas y perpendicula-res.

a) Escribe los nombres de calles paralelas.

b) Cuando los dos caminos se in-tersecan, estos forman una esqui-na. Las rectas que se unen para formar dichas esquinas son per-pendiculares. Escribe los nombres de las calles que forman esquinas.

c) Si caminas por la calle Santa Rosa de izquierda a derecha, y lue-go subes por la calle Santa María, ¿estas forman una intersección? ¿Son rectas perpendiculares?

d) ¿Cómo se llaman estos tipos de rectas?

GUÍA DE TRABAJO

2. Identificar en las siguientes ilustraciones, rectas paralelas, perpendiculares y transversales.

LECCIÓN 4 Áreas y perímetros de figuras geométricas

DESCRIPCIÓN:

El desarrollo de capacidades relacionas con el estudio de figuras geométricas, mediante el análi-sis de la forma y longitud de los lados que las conforman, permite identificar el área y el períme-tro de figuras planas. Se propone procesos alternativos para obtener el área de figuras mediante la descomposición y la transformación de estas en figuras planas en formas más simples como son los triángulos y cuadriláteros. Los niños y niñas deberán quedar convencidos de la herra-mienta de descomposición como metodología de cálculo de figuras geométricas más complejas.

TIEMPO: 4 horas clase

OBJETIVO ESPECIFICO

Identificar áreas y perímetros de fi-guras geométricas, haciendo uso de técnicas que permiten transformar las figuras sin alterar su área.

COMPETENCIAS FUNDAMENTALES

• Saber argumentar • Saber cuantificar • Saber analizar críticamente la in-

formación • Saber representar y comunicar• Saber resolver y enfrentarse a pro-

blemas• Saber usar técnicas e instrumentos

matemáticos• Saber modelizar• Saber integrar los conocimientos

adquiridos.

48

CONCEPTOS CLAVE

Figuras simples:Una figura se llama simple si puede ser dividida en trián-gulos. En particular, se con-sideran figuras simples el pa-ralelogramo, el trapecio y el polígono regular.

Lado:Es un segmento de recta que une dos puntos consecutivos (vértices).

Vértice:Punto de intersección de dos lados de la figura plana.

Ángulo:Es la unión de dos rayos que tienen un punto en común lla-mado vértice.

Triángulo:Figura geométrica cerrada que consta de 3 vértices, 3 lados y 3 ángulos.

Clasificación de los trián-gulos según sus lados.Triangulo equilátero: los tres lados son iguales.Triangulo isósceles: Posee 2 lados iguales y uno desigual. Triangulo escaleno: Sus tres lados son distintos.

PERÍMETRO Para la medición de objetos es necesario adoptar unidades de medida que faciliten la comparación de los mismos mediante la longitud.

Imaginemos por un momento una cuerda tensa. Esto permite acercarnos a la idea de recta, dado que la cuerda tiene un punto inicial y un punto final. Entonces recibe el nombre de segmento de recta. Este segmento se mide utilizando unidades de medida del sistema métrico decimal (metros, centímetros). Si cambia-mos la forma de la cuerda de tensa a una posición en reposo, sin importar la forma que esta adquiera, la longitud de la cuerda será la misma.

Observar las ilustraciones y redactar conclusiones.

Si con la cuerda anterior de 6cm se hacen movimientos rígidos para formar figuras geométricas, entre ellas: un cuadrado, un rectángulo, un triángulo y un círculo, se tiene que:

Las figuras anteriores son formadas con la misma cuerda, en consecuencia, poseen la misma longitud. Es decir, si medimos los lados de cada una de las figuras resultantes, todas las longi-tudes son equivalentes.¿Qué es perímetro? Perímetro es el contorno de una figura. De este modo, el cua-drado, el rectángulo, el triángulo y la circunferencia poseen el mismo perímetro (6 cm).

Figura 1: Representación de un triángulo

Figura 2: Cuerda extendida para medir la longitud.

Figura 3: Figuras geométricas: cuadrado, rectángulo, triángulo y circunferen-cia.

49

CuadriláterosFigura geométrica cerrada que consta de 4 vértices, 4 lados y 4 ángulos.

Área de cuadrados

ÁREA

El problema de la determinación de áreas de las figuras se re-monta a la antigüedad. Surgió en relación con la actividad prác-tica del hombre. (Tomado de: Geometría Elemental A.V. Pogorélov)Imaginemos las antiguas parcelas de terreno que formaban fi-guras geométricas reconocidas (triángulos, cuadriláteros y otros polígonos). La superficie del terreno se relacionaba con la can-tidad de cultivo que se contenía en él. En relación directa se expresa que: a mayor cantidad de cultivo, mayor superficie del terreno. En la actualidad no utilizamos cultivo para determinar la super-ficie de terrenos. Fue necesario adoptar el centímetro (cm), el metro (m), el kilómetro (km) como unidad de medida para lon-gitudes; y el centímetro cuadrado (cm2), metro cuadrado (m2), kilómetro cuadrado (km2) como unidad de medida para super-ficie. De este modo, la superficie de figuras geométricas puede ser recubierta por unidades cuadradas. La cantidad de unidades que cubren la superficie se denomina área de la superficie.La pregunta que surge es ¿qué es área? Área es la medida de una superficie y se obtiene calculando el número de unidades cuadradas iguales que la cubren.

Procedimiento.Para el triángulo, considerar el proceso siguiente:Si cada cuadrado es equivalente a 1 cm2, entonces el área total corresponde a 4 cm2.

La división de un cuadrado en unidades cuadradas es el punto de partida para la re-presentación de áreas de fi-guras geométricas planas

NOTA: El área del rectángulo se describe de forma similar. Área del rectángulo se define como la cantidad de unidades de medidas que caben dentro de él.

Ambas modificaciones de las figuras permiten observar fácil-mente la superficie cubierta por unidad de medida.Practicar procesos de modificación de figuras con los estudian-tes utilizando tijeras para recortar y armar figuras geométricas.En las transformaciones anteriores se obtiene como resultado un cuadrado de lado 2, contiene exactamente 4 cuadrados de

lado 1. Por lo tanto, el área corresponde a 4 cuadrados, es decir 4 cm2.

Figura 4: Cálculo de área de un triángulo mediante trasformación de cua-drados

Figura 5: Cálculo de área de un triángulo mediante otra trasfor-mación de cuadrados.

50

RESEÑA HISTÓRICA

La Geometría ha sido parte de la vida del hombre desde tiempos inmemoriales. Cons-trucciones como las pirámi-des egipcias o mayas son evidencia del conocimiento y uso de figuras planas en las caras laterales de estas.

ACTIVIDAD DE INICIO (Actividad 1)

La actividad cumple con el objetivo de diagnosticar el grado de conocimiento mínimo que el estudiantado necesita para iniciar el desarrollo de la lección.Con la actividad se pretende observar dominio en proceso de medición y uso de instrumentos, así también, los procesos de cálculo mediante el uso de operaciones matemáticas.

Descripción: Organizar los estudiantes en parejas y brindar a cada una un recorte de figura geométrica (triángulos, cuadra-dos, rectángulos).

Dentro de los instrumentos geométricos más antiguos está el gnomon, una especie de escuadra que utilizaban los astrónomos y geóme-tras para construir modelos geométricos de la tierra

Dado que las figuras son diferentes, antes de iniciar la actividad se invita a los estudiantes a comentar con la pareja respectiva sobre la figura que poseen.Preguntas:¿Cuántos lados tienen las figuras?¿Cómo se llaman las figuras?¿Cuántos ángulos tienen las figuras? Proceso: Indicar al estudiante y desarrollar lo siguiente:1. Dibujar la figura en el cuaderno.2. Medir con la regla graduada los lados de la figura y escribir

el resultado del dibujo en el lugar correspondiente al lado medido.

3. Sumar las longitudes de los lados. Invitar a los estudiantes a compartir los resultados obtenidos con sus compañeros.Preguntas: ¿Cómo se le llama al valor que has encontrado?R/ PerímetroPerímetro es el contorno de figuras geométricas y se encuentra sumando la longitud de los lados.

Figura 6: Pirámides egipcias.

Figura 7: Pirámides Mayas.

Figura 8: Gnomon, instrumento geométrico

Figura 9: Figuras geométricas: cuadrado, rectángulo, triángulo.

51

¿En qué se aplica?

La Geometría es una de las áreas más antiguas del co-nocimiento y desde tiempos remotos se considera fun-damental en la formación de las personas, no solo por la posibilidad de comprender el mundo a través de ella, sino por la oportunidad que brinda para aprender a razonar ló-gicamente, argumentar y de-mostrar afirmaciones.

Las aplicaciones de la Geo-metría en diversos campos son innumerables. En arte, arquitectura, Ingeniería, Físi-ca, Química. Se recurre fre-cuentemente a la Geometría.

Actividad 2: ¿Conoces el área?

Utilizar los conocimientos previos que poseen los estudiantes respecto a la superficie de figuras.

Dibuja 3 figuras de diferente forma pero que posean la misma área.

Cuenta y escribe la cantidad de cuadrados que tiene cada figura para determinar su área.

Figura 10: Molécula de fósforo blanco (P4).

52

Objetivo:Distinguir áreas y perímetros en figuras geométricas.

Material:• Una hoja cuadriculada

en centímetros cuadra-dos (para cada niño/a)

• Un lápiz de color. (para cada niño/a)

• Tijeras (una para cada niño/a)

• 2 dados

Preguntas:¿Todas las figuras tienen el mismo número de lados exte-riores?¿Puedes formar una figura que presente el menor perí-metro?¿Y si quieres una que tenga el mayor perímetro?¿Qué diferencia crees que hay entre área y perímetro?

Sugerencia metodológica:Motivar a los/as niños/as a compartir con sus compañe-ros/as lo que observan en re-lación al área y el perímetro.

Actividad 3: Analicemos superficies.

Descripción:

1. Los/as estudiantes se organizan en equipos. Se lanzan los dados y cada uno de los integrantes elabora en su hoja una figura con el número de cuadros que indique el dado. debe-rán elaborarar su figura sin ver la de sus compañeros/as. Después de seis u ocho jugadas ellos/as recortan las figuras dibujadas.

2. Cada quien agrupa las figuras de acuerdo con el número de cuadros con el que están elaboradas. Figuras de 2 cuadra-dos, de 3, etc. Luego, los equipos deben responder pregun-tas:

¿Todas las figuras que miden 5 cuadraditos tienen la misma for-ma?Invitar al estudiantado a que compartan sus figuras y comenten sus observaciones.3. El/la docente traza una cuadrícula en el pizarrón (cartel o

proyección de cañón) y un/a niño/a pasa a dibujar la figura o figuras de 5 cuadrados que elaboraron en su equipo.

4. Con los dibujos realizados por los/as estudiantes, trazados sobre la cuadrícula de la pizarra, reflexionar sobre las situa-ciones siguientes:

figura 11: Formas de colocar las cuadrículas en el caso de que el dado caiga en 5

Contar los lados del contorno de las figuras formadas para co-nocer el perímetro.

53

Área de cuadrados y rec-tángulos

El área de un rectángulo se describe como la cantidad de unidades cuadráticas (1cm2) que contiene la figura.

Además, se reconoce como el producto de la base por la altura.

Actividad 4: Áreas de cuadrados, rectángulos y triángulos

Para el cuadrado de lado 3, se tiene que:

Lado = 3 cmÁrea = Lado x Lado (Lado por lado)Área = 3 cm x 3 cmÁrea = 9 cm2. (Contar los cuadra-dos de la figura)

Considerar el rectángulo:

Los elementos del rectángulo son base y altura. La base de la figura es de 5 unidades (5cm) y la altura es de 3 unidades (3 cm).

De este modo, el área se define como el producto del valor de la base por la altura.Área = base x alturaÁrea = 5 cm x 3 cm = 15 cm2.

54

Proceso:

OBSERVA:

El triángulo de la figura tiene la mitad de la superficie del rectángulo.

Entonces, si el área del rec-tángulo se describe por A=bxh, en consecuencia el área del triángulo es A=bxh/2

Actividad 5: Área de triángulos.

Área = base x altura

Área = 5 cm x 2cm

Área = 10 cm2.

Halla el área del triángulo a partir del área del rectángulo.

Si recortas la figura y la posicionas de la forma siguiente:

55

Preguntas:

1. ¿Qué área tiene la casa?

2. ¿Qué área tiene el triángulo violeta?

3. ¿Y el triángulo rojo?4. Determina el área de

la puerta.5. ¿Cuánto es el área

del triángulo verde?

Sugerencias metodológi-cas:

Motivar a los/as niños para que utilicen diferentes pro-cedimientos para calcular el área de las figuras.

Actividad 6: Observa la figura y calcula el área.

REFERENCIA

1. Fernández, J. (2006), “Algo sobre resolución de problemas matemáticos”. Revista Sigma, Bilbao España.

2. Gregorio, G. (2004), “El cálculo en el primer ciclo de primaria” Azaraho.

56

1. Observa la figura. Calcular el área del cuadrado A, de los rectángulos B y C y el triángulo D.

Área de A = _____________________Área de B = _____________________Área de C= _____________________Área de D= _____________________

2. Sigue el siguiente proceso y deduce la representación geométrica del cuadrado de la suma de dos cantidades.

• Traza en una hoja de papel un segmento de recta de 6 cm de longitud. Ubica en el punto inicial la letra A y en el punto final del segmento de recta B (Segmento (AB)

• En el extremo B, traza un segmento de 4 cm continuo al segmento (AB). Ubica en el extremo final de este segundo segmento la letra C. La unión de los segmentos (AB) y (BC), forman el segmento (AC), donde (AC) = 6+4→ (AC) = 10.

• Sobre el extremo C, traza un segmento perpendicular al segmento (AC). Divide este en lon-gitudes de 6 cm y 4 cm.

• Forma un cuadrado, tomando como referencia las longitudes de los lados formados. Y traza segmentos de recta que pasen sobre las marcas de las divisiones de los segmentos de 6 cm y 4 cm. La figura final queda como la siguiente ilustración.

• Encuentra el área del cuadrado de lado 10.

• Recortar las figuras A, B, C1 y C2, y determina el área de cada figura.

• Verifica que el área del cuadrado de lado 10 es equivalente a la suma de las áreas de las figuras recortadas.

GUÍA DE TRABAJO

LECCIÓN 5 Utilicemos las operaciones básicas

COMPETENCIAS FUNDAMENTALES

• Saber representar y comunicar• Saber resolver problemas• Saber modelizar• Saber integrar los conocimientos

adquiridos

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Aplicar el algoritmo de la suma, resta, multiplicación y división en la resolución problemas.

• Distinguir la proridad de las ope-raciones en una simplificación de cantidades

TIEMPO: 4 horas clase

DESCRIPCIÓN

Esta lección es para contribuir al desarrollo de nociones, procesos y actitudes relacionadas con la aritmética básica y la resolución de problemas, considerando el orden de aplicación o jerarquía de operaciones de suma, resta, multiplicación y división, generando actividades de fortalecimien-to procedimental y formación de procesos de resolución que determinen habilidades y destrezas en el abordaje de problemas y cálculo matemático. Es muy importante que al final de la lección los estudiantes sean capaces de distinguir el orden prioritario de las operaciones básicas y de los simbolos que las representan.

58

CONCEPTOS CLAVE

Elementos de la suma:Los números que se suman se llaman sumandos y el re-sultado se llama total.

Propiedades de la suma:La suma también recibe el nombre de adición. Esta se considera conmutativa por-que se puede cambiar el or-den de los sumandos y el re-sultado no cambia.

Para los números 5 y 6 se tie-ne que:

OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS NATURALES

Las operaciones básicas consideradas en Tercer grado son 4: entre ellas se mencionan la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Las operaciones aritméticas se clasifican en operaciones de composición directa y operaciones de composición inversa.

Operaciones combinadas:

El término “operaciones combinadas” se utiliza para nombrar procesos donde se involucran diversos signos de operación, en-tre ellos la suma (+), la resta (-), la multiplicación (x) y la división (÷); y los signos de agrupación, entre estos, el que comunmente conocemos como parentesis.

La resolución de operaciones combinadas implica el seguimien-to de un orden establecido llamado jerarquía de operaciones.1. Primero se realizan las operaciones entre paréntesis, sean

estas sumas, restas, multiplicaciones o divisiones.2. Después, se resuelven las multiplicaciones y divisiones.3. Al final, se solucionan sumas y restas indicadas.NOTA: Si dos operaciones pertenecen al mismo rango, entonces se realizan de izquierda a derecha.

En las actividades sugeridas en el desarrollo de la lección, se estudian situaciones didácticas que facilitan el aprendizaje de la multiplicación y de la división. Además, se orientan estrategias metodológicas que guían al estudiante a identificar de entre los números naturales, los números pares, impares, compuestos y primos.

Nota:Una operación que se encie-rra en paréntesis indica que dicha operación tiene que efectuarse primero, y con el resultado de ella se verifica la otra operación indicada.

Propiedad asociativa:Para los números 5, 8, 7, se tiene que:

Fig 2 : Jerarquía de las operaciones

59

RESEÑA HISTÓRICA

El ser humano desde la Anti-güedad se ha interesado por dos operaciones importan-tes: medir y contar. El conteo como herramienta de relación entre objeto-número, y la me-dición en torno a procesos abstractos y de asignación de cantidades numéricas a lon-gitudes físicas.

Las operaciones de suma y resta tienen su fundamento en el conteo. La suma es la operación que simplifica las acciones de conteo de las personas. La suma se consi-dera un aumento, incremento que se detecta en el entorno con la acción de agregar, en cambio la resta es conside-rada operación inversa. Es decir, si en la suma se agre-gan elementos, en la resta se quitan.

La multiplicación surge por la necesidad de simplificar y facilitar la suma de elemen-tos constantes, es decir, para sumar los números 3+3+3+3, se procede simplificando la expresión y denotarla con 4 x 3, que se lee “cuatro ve-ces tres”. Y para la expresión 4+4+4 que se lee “tres veces el cuatro” y se denota 3 x 4.

De igual forma, la multipli-cación posee una operación inversa, llamada división.

Actividad 1: Reconocimiento de operaciones en problemas de aplicación.

Estrategia de aprendizaje:Proponer actividades que fortalecen las capacidades procedi-mentales del estudiante, acompañadas de situaciones proble-máticas que ayuden y motiven al desarrollo de capacidades de razonamiento y análisis durante la resolución de problemas. Francisco contó en un libro de Matemática 120 ilustraciones y en el de Ciencias 210.

¿Qué libro tiene más ilustraciones?R/ Ciencias¿Cuántas ilustraciones hay en total en ambos librosR/ 120 + 210 = 330¿Cómo se llama la operación anterior?R/ SumaSi Francisco encuentra un libro de cuentos y en este, un total de 500 ilustraciones, ¿cuántas ilustraciones tiene hasta el momen-to?R/ 330+500 = 830

En vista de lo anterior, considera la reformulación del problema que se expresa a continuación; Francisco contó en un libro de Matemática 120 ilustraciones, en un libro de Ciencias, 210 y en un libro de cuentos, 500 ¿Cuántas ilustraciones son en total?120 + 210 + 500 Primero desarrolla 120 + 210, obtienes como resultado 330, a este valor se le agrega 500, de esta forma obtienes 500 + 330 = 830¿Por cuantas ilustraciones supera el libro de cuentos a los de Matemática y Física?500 - 330 = 170

Figura 3: Ilustraciones que pueden aparecer en un libro.

60

Objetivo:Resolver problemas utili-zando operaciones básicas (suma, resta).

Estrategia de apendizaje:Introducir al estudiante pau-latinamente en la aplicación de operaciones combinadas utilizando propiedades de la suma y de la resta.

Materiales:• 1 peluche• 1 cajita de colores• Billetes falsos de $1

Actividad 2: Operaciones combinadas (sumas y restas)

Problema: Julia recibió de su abuela $10 dólares de regalo de cumpleaños, con lo que desea comprar en la tienda de la esqui-na: 1 peluche de $7 y una cajita de colores de $2. ¿Sobró dinero después de la compra?

Solución:La cantidad inicial de dinero es de $10, para comprar el peluche utiliza $7.

¿Qué indica esta primera operación?R/ Resta

¿Puedes indicar la solución al problema?10 - 7 = 3

¿Cuánto dinero tiene después de comprar el peluche?R/ 3 dólares

Si compra la cajita de colores ¿Qué sucedió con el dinero?R/ Disminuyó

R/Entonces, de los 3 dólares, utilizó 2 para comprar la cajita de colores.¿Qué proceso operacional propones para esta segunda situa-ción?3 - 2 = 1

¿Sobró dinero? ¿Cuánto?R/ Sí, sobró 1 dólar Considerar el esquema siguiente.

Finalidad:Fortalecer competencias pro-cedimentales mediante la in-terpretación de problemas de aplicación. Motivar a la transi-ción de modelos concretos a procesos abstractos.

Proceso:Invitar a los/as niños/as a que desarrollen las actividades que se encuentran en la hoja de trabajo.

Figura 4: Materiales a utilizar en la actividad.

Figura 5: Operaciones usando la recta numérica.

61

Actividad 3: Operaciones combinadas (sumas, restas y multiplicación).

La multiplicación como suma repetida

Objetivo: Mostrar a los estudiantes la alternativa de resolver problemas de sumas repetidas mediante la multiplicación.

Indicaciones:Plantear a los estudiantes el siguiente proble-ma:1. En el autobús de la escuela se suben dos

estudiantes en la primera parada, luego se suben otros dos en la segunda parada, al final en la tercera parada suben otros dos. ¿Cuánto es el total de estudiantes en el au-tobús?

Sumando el resultado será:2+2+2=6Si en cada parada suben 2 estudiantes, y se hacen 3 paradas, entonces la operación se indica multiplicando 2x3, donde 2x3=6, es asi como el problema es resuelto sustituyendo la suma repetida por la multiplicación.

A continuación formular el siguiente problema en el que se sigue un proceso análogo a la si-tuación anterior.

2. Si Juan tiene 5 carritos y cada carrito tie-ne cuatro llantas ¿Cuántas llantas hay en total?

4+4+4+4+4=20O bien:4x5=20 (cuatro, cinco veces).La expresión 4x5, se interpreta mediante el si-guiente argumento: un auto tiene 4 llantas, si fuesen 2, el número de llantas se duplica, lo que se indica con la operación 4x2. Puesto que se tienen 5 carros, el número de llantas que tienen los cinco carros se expresa mediante la operación 5x4.

Mostrar a los estudiantes otros planteamientos con la finalidad de fortalecer habilidades rela-cionadas con la resolución de problemas me-diante la operación de la suma repetida, simpli-ficando esta con la multiplicación.

Actividad 4: Continuemos multiplicando aplicando la suma repetida

Objetivo: Identificar mediante juegos el símbolo de la multiplicación aplicando la suma repetida

Indicaciones:Seguir las siguientes indicaciones de la activi-dad.Formar parejas de estudiantes. A cada pareja se le entrega un listado de cálculos “largos” de sumas repetidas. Además reciben una tarjeta donde escribirán una frase que describa uno de los cálculos del listado. La actividad consis-te en enviar el mensaje contenido en la ficha

a otra pareja para que identifiquen qué cálculo han recibido y tendrán que reescribir este de forma simplificada. Por ejemplo:13+13+13+13+13+13+13+13+13 podrán utilizar inicialmente como mensaje “sumas 9 veces el número 13”. Luego la pareja que reci-be el mensaje deberá reescribir este de forma simplificada utilizando la expresión 13x9 como

62

forma abreviada de la suma.Luego las dos parejas resolverán en conjunto la operación 13x9. Así la dinámica reforzará en los estudiantes no

solo la escritura del símbolo de la multiplicación sino que también ayudará para que estos cola-boren entre sí para aprender dicha operación.

Actividad 5: Relacionemos aplicaciones de la vida cotidiana con las operaciones combinadas. Objetivo: conocer la jerarquía de las operaciones combinadas.

Indicación:Llevar alguna fruta o verdura en especial, soli-citarlas entre las y los estudiantes para realizar la actividad, la cual inicia con un conversatorio para identificar saberes, realizando las pregun-tas que se describen en las siguientes líneas y anotando estas en el pizarrón: ¿Quién puede dar una idea de lo que entien-de por orden? ¿Saben qué significa jerarquía? ¿Saben qué es jerarquía operacional? Les hablamos de la importancia de llevar un orden en todos los aspectos de la vida y empe-

zamos haciendo la analogía del aguacate:1. Mostramos el aguacate.2. Abrimos el aguate.3. Le quitamos la semilla.4. Con una cuchara le quitamos la carnaza.5. Tiramos la cáscara a la basura (recuerda

que podemos utilizarla como abono orgá-nico)

Nota: con ello se mostrará que se debe de llevar un orden y que existe una jerarquía en nuestras acciones.

Ahora plantee a sus estudiantes lo siguiente.Imagínense el paso 1: es decir que esto es el aguacate{ [ 2 ( 5+ 4 ) ] ÷ 18}Pasos:1. Resolvamos las operaciones que están

dentro de los paréntesis (será el paso 2 abrimos el aguacate) es decir la suma de 5+4=9,

2. Ahora resolvamos las operaciones que es-tán dentro de los corchetes (paso 3 le qui-

tamos la semilla) ahora como lo que está en corchetes es el producto de 2x9=18

3. Resolvamos las últimas operaciones que quedan dentro de las llaves (paso 4 la de quitar la carnaza) es el cociente de 18÷18

4. Hemos eliminado todos los signos de agru-pación (paso 5 tiramos la cáscara a la ba-sura) el resultado que es: 1

De esta manara vemos las operaciones combi-nadas mostrando la importancia que estas tie-nen en la vida cotidiana, y el porqué del orden de estas operaciones para obtener el resultado esperado.

Figura 6: Algoritmo.

63

Actividad 6: Algoritmo de la división.

Objetivo: Brindar al estudiante herramientas que les faciliten la comprensión de divisiones con una y dos cifras, utilizando figuras geométricas.

Materiales:Regletas que se muestran en la figura _(Mostrar longitudes)Dimensiones: • 1cm x 1 cm unidad.• 2cm x 1 cm.• 3 cm x 1 cm.• 4 cm x 1 cm.• 7 cm x 1 cm.• 8 cm x 1 cm.• 9 cm x 1 cm.• 11 cm x 1 cm.• 13 cm x 1 cm.• 17 cm x 1 cm.• 23 cm x 23 cm.Agregar a estos materiales, regletas que servirán para problematizar la actividad.Ej.: • 12 cm x 1 cm.• 5 cm x 1 cm.• 15 cm x 1 cm.• 6 cm x 1 cm.• 10 cm x 1 cm.• 12 cm x 1 cm.• 18 cm x 1 cm.• 30 cm x 1 cm.• 33 cm x 1 cm.

Construir las regletas que son mostradas en la lista de materiales de la actividad.Con estos materiales, indicar a los estudiantes resolver las siguiente situaciones:1. Tomar la regleta de 6 unidades. Determi-

nar el número de veces en que una unidad está contenida en 6 unidades, para ello,

utilizar las regletas necesarias:Indicaciones:

64

¿Cuántas veces está contenido uno en seis? ¿Cuántas veces contiene seis a uno?El número uno está contenido en seis, seis ve-ces exactas o seis puede ser dividido en seis partes iguales.

2. Cambiar la condición de la situación y pro-poner al estudiante que verifique el núme-ro de veces que podría caber 2 en 6.

Observar los resultados y resolver.

3. Repetir la operación para la regleta de tres unidades. ¿Cuántas veces cabe tres en seis?

Observar que en los numerales 1, 2 y 3 se trabaja la división de segmentos en porcio-nes iguales, de este modo se identifica que el número 6 puede dividirse en 6, 3 y 2 partes iguales, mediantes las divisiones con 1, 2 y 3 respectivamente. Estos resultados muestran características de la división exacta de núme-ros enteros.Para problematizar la situación, indicar a los estudiantes que identifiquen el número de ve-ces que el segmento de 4 unidades está con-tenido en 6.Al realizar la operación, la regleta de 4 unidades queda contenida una vez. Aplicando corres-pondencia biunívoca entre ambas regletas, se

identifica que existen dos unidades sobrantes. A estas unidades se les llama residuo de la di-visión por lo que la división de seis en cuatro partes, da como resultado uno, y residuo dos.

Repetir la experiencia con la regleta de cinco unidades y evaluar la división de seis entre cin-co.

Observar que de forma análoga, el resultado será uno, y se obtiene por residuo uno.Para finalizar, indicar la operación de seis entre seis. Y preguntar ¿Qué sucede al comparar las regletas? ¿Existe residuo?Pedir a los estudiantes que mencionen los ca-sos en que las divisiones fueron exactas, los casos son: 1, 2, 3, 6.

A raíz de esta información, invitar a los estu-diantes a: 1. En el cuaderno de trabajo, crear una tabla

que muestre los divisores que entregan coeficiente natural.

Divisores6 1, 2, 3, 654321

65

2. Invitarlos a completar la tabla para los nú-meros 5, 4, 3, 2, 1. Para ello, se utilizarán las regletas tomándo de referencia el pro-ceso descrito para identificar los divisores de seis. Escribir los resultados en la se-gunda columna y comentar.

3. Observar la tabla.Divisores

6 1, 2, 3, 65 1, 54 1, 2, 43 1, 32 1, 21 1

4. Los estudiantes observarán la tabla resuel-ta e identificarán propiedades de los núme-ros del uno al seis.

• Todos los números comprendidos del uno al seis poseen al menos un divisor.

• El divisor común de los números del uno al seis es uno.

• Algunos números solamente son divididos entre ellos mismos y la unidad.

Los números enteros mayores de uno son lla-mados compuestos, debido a que poseen al menos dos divisores enteros. Los números compuestos que tienen en sus divisores al número dos son llamados números pares, en caso contrario, son impares.Los números dos, tres y cinco se definen como números primos. Un número es primo cuando muestra cociente entero únicamente al dividir-se entre él mismo y la unidad.El número uno no es considerado primo, pero es divisor de todo número.¿Puedes identificar otros números primos?¿Qué estrategia utilizarías para determinar los números mayores que 6 que sean primos?Permitir que los estudiantes expresen sus ideas y propongan estrategias que satisfagan la condición “números primos”. Para ello, se sugiere utilizar las regletas.

¿siete es primo?Para responder, tomar la regleta de siete uni-dades y contestar las siguientes interrogantes.¿Menciona un divisor de siete? Todo número entero tiene como divisor el número uno. ¿Existe otro divisor diferente de uno? Determinar si las regletas de dos, tres, cuatro, cinco y seis están contenidas en siete sin dejar residuos. ¿Qué números cumplieron la condi-ción? Después de comprobar con las regletas, se evidencia que dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete no son divisores de siete, pero, por defini-ción siete es divisible por sí mismo, por lo que: el número siete es divisible entre él mismo y la unidad. En consecuencia, este es un número primo.¿Crees que ocho es número primo?En relación al número ocho, el resultado es inminente pues, al comparar este número con las regletas, este contiene exactamente y sin residuo a cuatro regletas de dos unidades y dos regletas de cuatro unidades, todo esto sin mencionar a ocho regletas de una unidad y una regleta de ocho unidades, en consecuencia, los divisores de ocho son: uno, dos, cuatro y ocho.¿Qué podrías decir de nueve? El número nue-ve contiene exactamente tres regletas de 3 uni-dades. Al comprobar con las regletas de 2, 4, 5, 6, 7 y 8, estas están contenidas, pero dejan residuo. Los divisores de 9 son: 1, 3 y 9. Indicar a los estudiantes que identifiquen los divisores de los números del 10 al 21 utilizando regletas, luego llenar la tabla que se adjunta a continua-ción e identificar aquellos números que pueden ser llamados números primos.

Nùmero Divisores Nùmero Divisores10 16

11 17

12 18

13 19

14 20

15 21

66

Nùmero Divisores Nùmero Divisores10 1, 2, 5, 10 16 1, 2, 4, 8, 16

11 1, 11 17 1, 17

12 1, 2, 3, 4, 6, 12 18 1, 2, 3, 6, 9, 18

13 1, 13 19 1, 19

14 1, 2, 7, 14 20 1, 2, 4, 5, 10, 20

15 1, 3, 5, 15 21 1, 3, 7, 21

Solución:

¿Qué puedo hacer con números primos y nú-meros compuestos?

1. Sumando cinco números impares, ¿es po-sible formar números pares?

Invitar a los estudiantes a que traten de resol-ver el problema utilizando los conocimientos previos. En las siguientes líneas se propone una estrategia de resolución, por lo que se re-comienda orientar al estudiante para que pau-latinamente logre satisfacer la condición.

Solución: Iniciar con un caso simple:CASO 1: formar el número 8, sumando dos nú-meros impares.

8 es par, dos números impares que generen 8 son: 5 y 3.5 + 3 = 8; 5 y 3 son impares.

CASO 2: Sumar dos números impares y for-mar el número 20.

Opciones:3+17=205+15=207+13=209+11=20En todas las opciones, el resultado es 20 y to-dos los números involucrados son impares.Conclusión 1: es posible generar cualquier nú-mero par sumando dos números impares.

CASO 3: Sumar tres números impares y for-mar el número 20.

Evaluar las siguientes opciones:5 + 7 = 12, el siguiente número que se puede sumar para generar 20 es el número 8, pero, 8 no es impar.13 + 5 = 18, para generar 20, se tiene que su-mar 2, pero 2 no es impar.Intentar otros casos y tratar de identificar si es posible o no formar números pares a partir de la suma de tres impares.Conclusión 2: la suma de tres números impa-res no es par. La suma de tres números impa-res es impar.CASO 4: ¿Qué sucede con 4 números impa-res?Opciones:3 + 11 + 5 + 1 = 205 + 7 + 3 + 5 = 20Por lo tanto, sí es posible obtener el número 20 al sumar 4 números impares. ¿Qué sucederá sumando cinco números impa-res?Si se desea construir cualquier número par, mayor que 20, cómo responderías las siguien-tes interrogantes:¿Será posible formarlo sumando 6 números impares?¿Y 7?¿Qué sucederá si se suman 97 números im-pares?

Números primosEn la multiplicación, los números primos ejer-cen un rol importante, el cual se deduce a partir de las siguientes situaciones:Todos los números no primos, excepto 1, pue-den generarse multiplicando sus factores pri-mos. Es decir, para todo número no primo. es posible determinar al menos dos números que multiplicados generen la cantidad.Si partimos del número 8, los divisores de 8 son: 1, 2, 4, 8. El único número primo de esta

67

Actividad 7: utilicemos áreas y perímetros para trabajar las operaciones combinadas. (suma, resta, multiplicación y división).

Objetivo: Utilizar las figuras geométricas para realizar operaciones combinadas.

Indicaciones: En una página de papel cuadriculado trazar un triángulo rectángulo, un cuadrado, un rectán-gulo y un triángulo isósceles como se te mues-

tra en la figura.Si la longitud de cada cuadrito del papel cua-driculado es de 1cm, encontrar el perímetro de cada una de las figuras.¿Cuál es el perímetro total de las figuras del cuadrado, el rectángulo y el triángulo isósce-les? Luego indicar que encuentren el área de las fi-guras, considerando que en el triángulo isósce-les la longitud de los lados iguales es de 4 cm.Para resolver las interrogantes se proponen las siguientes estrategias:Pretendemos usar las operaciones combina-das. Por ejemplo, estas se dan cuando tenemos

P= 2(b+h). En la figura dos podemos utilizar la suma repetida porque al contar los cuadritos nos damos cuenta de que por ser un cuadrado, el perímetro es la suma de los 4 lados de igual longitud, así: 4+4+4+4=16, o bien utilizando el producto 4x4=16. Luego, para el perímetro del rectángulo el proceso es utilizando la fór-mula antes descrita. Así P= 2(5+2)=14;y para el triángulo isósceles la base mide 6 y los otros dos lados miden 4 cada uno, así que el resulta-do es P=(2x4)+6=14.Por tanto el perímetro de total de las 3 figuras es: 16+ 2(14)=16+28=44.

Ahora para encontrar el área de las figuras se tendrá en la primera A=bxh/2=4x4/2=16/2; o bien 16÷2=8; para la segunda figura se tie-ne A=bxh=l2=4x4=16; en el rectángulo es A=bxh=5x2=10, y para la última figura, que es el triángulo isósceles, se tiene que trazar la al-tura que es la perpendicular que sale del vérti-ce al lado opuesto y cae en el punto medio del triángulo isósceles. Por tanto, el área de la figu-ra es: A=bxh/2=3x5/2=15/2; o 15÷2, que según han visto es cociente 7 y residuo 1.

serie de datos es el número 2. Si se multiplica 2 un número determinado de veces, este tendrá que generar el número 8: al multiplicar 2 x 2, el resultado es 4, si se multiplica por 2 nueva-mente, se tiene 4 x 2 = 8, por lo que: 2 x 2 x 2 = 8.De forma análoga se ejemplifica con el número 35. Los divisores de 35 son: 1, 5, 7, 35. Los números primos son 5 y 7, al multiplicarlos se tiene que 7 x 5 = 35.

¿Qué se puede decir de 36?Los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 6, 12, 36. Los números primos son 2 y 3. Pero al multiplicar 2x3 = 6, considerar que la multiplicación de 6 x 6 se ilustra mediante la cuadrícula de 6 unida-des de base por 6 unidades por altura. Al con-tar el número de unidades de la superficie, se tiene que 6 x 6 = 36. Ahora bien, si 6 x 6 = 36 y 2 x 3 = 6, entonces 2 x 3 x 2 x 3=36.

68

Indicaciones.Observar en el estudiante, el cumplimiento de los aspectos siguientes:

Utiliza adecuadamente las operaciones básicas para re-solver problemas de aplica-ción.

Comprende el orden en que se realizan las operaciones cuando estas poseen ele-mentos combinados.

Utiliza paréntesis para aso-ciar elementos de operacio-nes combinadas.

Reforzar el contenido si es necesario y proponer otras operaciones o problemas, donde el estudiante aplicará los conocimientos adquiridos. Corregir en caso de error y ejemplificar soluciones.Considerar el esquema si-guiente.

Actividad 8: Signos de agrupación

Los signos de agrupación se utilizan para indicar que la opera-ción que se encuentra dentro de él debe realizarse antes, in-clusive antes de la multiplicación y la división, de este modo, el proceso se define en 3 pasos.

1. Primero se realizan las operaciones entre paréntesis.2. Realizar multiplicaciones y divisiones.3. Finalmente sumas y restas.

Observa el siguiente ejemplo:En el ejemplo, aparece entre paréntesis la operación 4 + 3. Esta operación es prioritaria y, por ende, se efectúa primero. A conti-nuación se indican multiplicaciones y divisiones, dado que am-bas se encuentran en la misma categoría, se realizan de forma simultánea. Al final se expresa una suma 35 + 9 cuyo resultado es 44.

Sugerencia metodológica

Proponer los ejercicios de la hoja de trabajo, solucionarlos y brindar al estudiante otras situaciones o ejercicios donde no se muestre el esquema. Serán capaces de observar y analizar los procesos que deben hacer en un orden lógico y específico.Leer atentamente los siguientes problemas y resolver la situa-ción aplicando procesos de resolución de problemas.

REFERENCIA1. León, H. (1998), “Procedimientos de niños de primaria en la solución de problemas de repar-

to”, Revista Latinoamericana en Matemática Educativa. También se puede encontrar a partir de: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/335/33510202.pdf

2. RENa - Tercera etapa - Matemática - Sumas y restas de fracciones. (s.f.). Recuperado Agos-to 15, 2011, a partir de http://goo.gl/9Zb2q

69

1. Andrea lee durante dos semanas 14 páginas cada día. Como no comprende la lectura, re-trocede 3 capítulos, cada uno de los cuales tiene 20 páginas. La siguiente semana lee dia-riamente la mitad de las páginas que leía al principio, y de nuevo retrocede otras 4 páginas porque no comprende la parte final. Durante los próximos 4 días lee 20 páginas por día. Ahora solo le falta leer 10 páginas más. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

GUÍA DE TRABAJO

a) Andrea lee durante dos semanas 14 páginas cada día. Retrocede 3 capítulos de 20 páginas cada uno. Plantea el algoritmo que se necesitan para resolver esta parte del problema. Recuer-da el orden jerárquico de las operaciones. ________________________Desarrolla la operación planteada y escribe la respuesta: _______________. Esta cantidad indica el número de páginas del libro que leyó Andrea en dos semanas o 14 días.

b) La siguiente semana lee diariamente la mitad de las páginas que leía al principio, y de nuevo retrocede 4 páginas. Plantea el algoritmo que necesitas para solucionar esta parte del problema. _________________________Realiza la operación y escribe la respuesta: ____________. ¿Cuántas páginas ha leído en total hasta este momento? ____ + ____ = ______

c)Durante los próximos 4 días lee 20 páginas por día. Y solo le faltan 10 más para terminar el libro. __________________________: ¿Cuántas páginas tiene el libro? ___+___+___=____

Información que debes considerar:Número de días de la semana.Si la mitad de 20 es 10, entonces la mitad de 14 es: _____Para la resolución de la aplicación es necesario leer en detalle las partes que conforman el problema.

LECCIÓN 6 Conozcamos sólidos geométricos

DESCRIPCIÓN

Los sólidos geométricos están presentes en nuestra vida. Los vemos a nuestro alrededor. Es importante retomar con los niños y niñas esos objetos que son cercanos a ellos y tomarlos como herramientas para introducir el tema de sólidos. Para comenzar la leccion, el profesor (a) puede llevar algunos objetos representativos y pedir que los describan inicialmente: color, tamaño, forma, para qué sirven, etc. Es muy importante que los estudiantes reconozcan los sólidos y además les den los nombres respectivos para irse familiarizando fácilmente con ellos.

TIEMPO: 4 horas claseCOMPETENCIAS FUNDAMENTALES

• Saber representar y comunicar• Saber resolver y enfrentarse a pro-

blemas• Saber usar técnicas e instrumentos

matemáticos• Saber modelizar• Saber integrar los conocimientos

adquiridos

OBJETIVO ESPECIFICO

• Identificar las características que presentan los sólidos geométricos y relacionarlos con objetos del en-torno, fortaleciendo la proyección de los sólidos en dos dimensiones, deduciendo sus propiedades.

71

CONCEPTOS CLAVE

Poliedros:Son sólidos geométricos de muchas caras, cada una de ellas es un polígono.

SÓLIDOS GEOMÉTRICOSLas figuras geométricas planas tienen dos dimensiones, largo y ancho. Los sólidos geométricos tienen 3, largo, ancho y altura.

En la vida cotidiana se observan muchos de estos sólidos. Desde un dado hasta el tronco de un árbol, inclusive el planeta en el que vivimos.

Los cuerpos geométricos se clasifican en poliedros y cuerpos redondos.

PoliedrosPoliedro es un cuerpo sólido limitado por caras planas poligona-les. Posee los siguientes elementos:Caras: Son las superficies planas que forman el poliedro.Aristas: Son los segmentos formados por la intersección de 2 caras.Vértices: Son los puntos donde se intersecan 3 o más aristas.

Prisma.El prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y parale-las (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases.Si la base del prisma es un triángulo, el prisma se llamará trian-gular. Si es un cuadrado, se llamará cuadrangular.

Poligono:Un polígono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos. A estos segmen-tos se les llama lados.

figura 3: Prisma triangular.

figura 4: Prisma rectangular

Figura1: Poliedros.

Figura 2: Figuras planas.

Figura 5: Dimensiones de los sólidos.

Figura6: algunos sólidos geométricos del entorno.

Figura 7: Elementos de un poliedro

72

Pirámide:Según el número de lados del polígono base, la pirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.

PIRÁMIDEUna pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.

Cilindro y cono:La base de estos cuerpos geométricos es un círculo de radio r.

CUERPOS REDONDOSSon sólidos geométricos limitados por una superficie que gira alrededor de un eje, formando de esta forma la circunferencia. Poseen caras curvas.Ejemplo: cilindro, cono y esferaCILINDROEs la figura limitada por una superficie cilíndrica cerrada y dos planos que forman sus bases. Es generado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.

CONOEs un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

ESFERAEs un cuerpo de revolución generado por un semicírculo que gira sobre su diámetro. Todos los puntos de su superficie están a la misma distancia de su centro.

Figura 8 : Clases de pirámides.

Figura 10: Cono

Figura 9: cilindro.

Figura 11: tipos de pirámides en nuestro entorno

Figura 12: tubo en forma de cilindroo

Figura 13: Semilla de pino en forma de cono.

Figura 14: Planeta Tierra en forma esférica.

73

GEOMETRIA CHINALas primeras Matemáticas simples, antecedentes de las Matemáticas que aparecen en China pertenecen a los regis-tros de la adivinación de la di-nastía Shang (año 1600 -1050 antes de Cristo), sin embargo, el primer trabajo definitivo (o al menos más antiguo existente) sobre la geometría en China fue el Mo Jing, perteneciente a los primeros escritos del fi-lósofo Mozi (470 aC-390 aC). Se compiló años más tarde después de su muerte por sus seguidores alrededor del año 330 aC. El Mo Jing describe diver-sos aspectos sobre muchos campos relacionados con la ciencia y la Física y propor-cionó un pequeño cúmulo de información sobre las Mate-máticas. Al igual que Euclides, el Mo Jing dijo que “un punto puede estar en el final de una línea, o en su inicio”. Al igual que las teorías de Demócrito, el Mo Jing dijo que un punto es la unidad más pequeña, y no puede ser reducido a la mitad, ya que ‘nada’ no puede ser reducido a la mitad. De-claró que dos líneas de igual longitud siempre terminan en el mismo lugar. A la vez, pro-porciona definiciones para la comparación de las longitudes y los paralelos, junto con los principios de espacio y límites espaciales.

ANTES DE INICIAR

Objetivo: Identificar en sólidos geométricos los elementos esenciales que los caracterizan.

Actividad 1: Busque los siguientes sólidos geométricos a su alrededor.

Figura 15: Sólidos geométricos.

Identifica las características del lugar donde encuentras los ele-mentos anteriores.Actividad 2: Para los poliedros anteriores, determinar el nom-bre, número de caras, número de aristas y el nombre de una de sus caras planas.

Con la actividad se pretende obtener la capacidad de obser-vación. Se recomienda brindar objetos físicos para que sean manipulados y utilizados por los estudiantes.

NombreNúmero de carasNúmero de aristasCara plana

74

Objetivo:Reconocer cuerpos geométri-cos en ilustraciones de luga-res y objetos varios.Nombrar cuerpos geométri-cos según sus características observables.

Materiales:Lámina con ilustraciones de lugares y objetos.

Indicaciones:Mostrar a los/as niños/as, una lámina con las ilustra-ciones de lugares (castillos, edificios, construcciones anti-guas) y objetos (frutas, uten-silios del hogar), donde se evidencia la utilización de los cuerpos geométricos.

Invitar al estudiante a seña-lizar en las ilustraciones el cuerpo geométrico. Además, indicarle que mencione el nombre del cuerpo y mencio-ne las características que re-lacionan el objeto real con el cuerpo geométrico.

Actividad 3: Reconozco cuerpos geométricos.

LÁMINA 1: Cuerpos geométricos.

Proceso.1. Brindar a cada estudiante la lámina que presenta las ilustra-

ciones, donde identificará las diversas aplicaciones de los cuerpos geométricos.

2. Invitar al niño/a, que argumente acerca de lo que se observa en la lámina. Que compartan sus interpretaciones e ideas. Que mencionen las características de los sólidos que se ob-servan, como también los elementos que los forman.

3. Preguntar si reconocen otros lugares donde los sólidos geométricos estudiados han sido utilizados, para sus cons-trucciones.

4. Invitar a los estudiantes a dibujar los sólidos que identifica-ron en las ilustraciones en sus cuadernos. Escribir en cada caso el número de lados, número de vértices y el nombre de las figuras planas que poseen.

75

Objetivo:Reconocer los elementos que conforman un sólido.Identificar las características que presentan las caras de las figuras.

Materiales:• Hojas blancas comunes• 2 vasos• Algodón• Hisopos de algodón• 1 caja para zapatos• 1 lapicero o pluma• 1 trincheta o navaja

Reactivos a utilizar:• Sulfato de cobre (de ven-

ta en ferreterías)• Amoníaco (de venta en

ferreterías y farmacias)• Agua

Proceso:Antes de iniciar la experimen-tación, leer detenidamente las medidas de precaución a tomar durante la experimen-tación.

Dibujar en el papel en blanco la silueta de una figura plana con la solución de sulfato de cobre. Dejarla secar.

Utilizar esta página para la experimentación y observar el resultado de esta. Invitar a los estudiantes a identificar la figura y relacionarla con el sólido correspondiente.

Actividad 4: Descubrimiento científico.FIGURA SECRETA

PASO 1Realiza una ranura en la tapa de la caja de zapatos.

PASO 2En el interior de la caja coloca dentro de un vaso un pedazo de algodón. Vierte en él un poco de amoníaco.

PASO 3Cierra la caja de zapatos y tapa la ranura para evitar que el vapor de amoníaco salga por ella.

PASO 4En el otro vaso, disuelve un poco de sul-fato de cobre en agua (quedará de color azul claro).

PASO 5Usando como tinta el sulfato de cobre disuelto en agua, dibuja o escribe con una imagen y un nombre en el trozo de papel que pueda pasar por la ranu-ra de la tapa de la caja.

PASO 6Una vez que el dibujo se ha secado, in-trodúcelo en la caja 2 minutos. Al sacarlo, encontrarás que tus trazos ahora son de color azul oscuro, producto de la reacción de sulfato de cobre con el gas amoníaco.

76

Precaución:No permitir que los/as niños/as manipulen los reactivos.Utilizar guantes para la mani-pulación directa del sulfato de cobre y del amoníaco.Guardar una distancia pru-dencial para evitar inhalación de gases.

Sulfato de cobre:Evitar la ingestión de sulfa-to de cobre. Este ocasiona vomito. Es irritante cuando hay contacto directo y pro-longado con la piel. En este caso, lavar la zona afectada con agua abundante. Evitar el contacto con los ojos.

Amoníaco:Evita tener contacto directo con el amoníaco.No inhalar en concentracio-nes elevadas. Puede producir irritación de garganta.Evitar contacto con la piel, puede ocasionar irritación, sobre todo si la piel se en-cuentra húmeda.

Proceso.

1. Dibuja en páginas de papel bond figuras geométricas planas (triángulo, cuadrado, círculo, rectángulo) que hagan referen-cia a las caras de sólidos geométricos.Para el cilindro, se dibuja un círculo que representa la base.Para la pirámide de base cuadrada, dibujar un cuadrado o un triángulo.

2. Introducir el papel en la caja, y al sacarlo invitar a los estu-diantes a observar detenidamente la figura y responder la pregunta:¿Cómo se llama la figura?¿Cómo se llama el sólido geométrico que la e en al menos tiene una de sus caras?¿Existirá otro, aparte del que ya mencionaste?

3. Repetir el proceso hasta haber mencionado las característi-cas de los sólidos representados por la temática.

REFERENCIA1. Free Libros - Forever. (s.f.). . Recuperado Agosto 15, 2011, a partir de http://goo.gl/kSPEB

2. Pogorelov, A. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir, Moscú, traducido por Carlos Vega.

77

1. Observar las ilustraciones e identificar los cuerpos geométricos que se representan.

2. Relaciona cada cuerpo geométrico con el dibujo que corresponde a la proyección de uno de sus lados. Para ello, coloca la letra del sólido sobre la figura de la derecha que consideres correcta.

GUÍA DE TRABAJO

a) Dibuja en tu cuaderno el sólido geométrico llamado cono.

b) ¿Cuántas ilustraciones son semejantes a la representación del cono?

c) Menciona los elementos del cono.d) Dibuja en tu cuaderno una pirámide.e) ¿Cuántas ilustraciones tienen forma simi-

lar a la pirámide?f) ¿Qué características tienen las pirámides?g) En relación a la esfera, ¿qué característi-

cas tiene esta?h) ¿Por qué crees que los planetas son esfé-

ricos?i) ¿La tierra es redonda o esférica?

LECCIÓN 7

Conozcamos fracciones

DESCRIPCIÓN

El estudio de las fracciones es importante por sí mismo y porque permite el desarrollo de no-ciones útiles para el conocimiento de temas más avanzado, entre estos, el razonamiento pro-porcional y el estudio de las expresiones racionales en el Álgebra. Su aprendizaje no es fácil, a pesar de que su estudio comienza desde la primaria, ¿Qué hacer? En primer lugar, los alumnos necesitan conocer y acostumbrarse a los distintos significados de las fracciones, cómo son sus usos para expresar parte o partes de una cantidad o número, para comparar o expresar la razón entre dos cantidades y para expresar una división o cociente. Operar con estos significados para resolver problemas ayudará a que más tarde los alumnos comprendan mejor las operaciones ya sea en Aritmetica o en Álgebra.

OBJETIVOS• Comprender el concepto de frac-

ción utilizando figuras planas.• Reconocer los términos de las frac-

ciones.• Expresar las fracciones como uni-

dades de medida.

COMPETENCIAS FUNDAMENTALES• Saber argumentar • Saber cuantificar • Saber representar y comunicar• Saber resolver y enfrentarse a pro-

blemas.

Tiempo: 10 horas clase

79

CONCEPTOS CLAVE

Numerador: Expresa el número de partes que se toman al dividir la uni-dad.

Denominador:Expresa el número de partes iguales en las que se consi-dera dividida la unidad o el todo en cuestión.

Fracción propia:Es una fracción distinta de cero, cuyo numerador es me-nor que el denominador, es decir, el resultado de la divi-sión es menor que la unidad.

LECTURA PREVIA

Alrededor de 3,000 años antes de Cristo, los egipcios crearon una manera de escribir algunos de los números que hoy llama-mos fraccionarios. Sólo escribían números fraccionarios de la forma:1/2, 1/3, 1/8, 21/4…Fue para ellos necesario crear estos símbolos, pues en el tra-bajo cotidiano, es-pecialmente en las mediciones de los terrenos, aparecían cantidades que no eran enteras.

La medición de los terrenos de los agri-cultores que cultiva-ban la tierra ubicada en las márgenes del río Nilo tenía gran importancia en Egipto, puesto que anualmente, cuando el río crecía, inundaba la mayor parte de estos terrenos y borraba sus linderos. Después de la crecida, cuando el río volvía a su nivel usual, los funcionarios del gobierno hacían las mediciones nece-sarias para restablecer los linderos de cada parcela, y en este oficio de medir hacía falta conocer muy bien los números, inclu-yendo las fracciones.

Una fracción en el lenguaje común significa una porción o parte de un todo. En Matemática se usa también el término fracción para nombrar números que son una parte de la unidad, o tam-bién aquellos números que sean iguales a un número entero, más una parte de la unidad.

En el lenguaje común se usa la idea de fracción de varias mane-ras, por ejemplo, cuando se dice:“Tengo sólo MEDIA hora para resolver este examen’’. “Para hacer la torta con tu receta, necesito TRES CUARTOS de taza de leche’’. “La TERCERA parte de los estudiantes aprobó con 8 el examen de Matemática’’. “Te daré la CUARTA parte del dinero que gané por este trabajo’’. Cuando una fracción es una parte de la unidad, se dice que la fracción es propia. Por ejemplo, las fracciones siguientes son propias:

Fracción impropia:Es una fracción cuyo nume-rador es mayor que el deno-minador, es decir, el resultado de la división es mayor que la unidad.

figura 3: El ojo de Horus (Udyat) contiene los sím-bolos jeroglíficos de los primeros números racio-nales.

figura 1. Representación de fraccio-nes propias.

figura 3. Representación de fraccio-nes impropias.

80

1/2, 1/3, 1/8…El denominador indica cuál es el número de partes en que se ha dividido la unidad, y el numera-dor indica cuántas partes se toman. Para leer la fracción primero se nombra el núme-ro de arriba (numerador) y después el número de abajo (denominador). El número de abajo se lee: medio, tercio, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octa-vo, noveno y décimo; del 11 en adelante, se dice el número con la terminación “avo”: onceavo, docea-vo, etc.

Desarrollo de la lección 7: Conozcamos fracciones.

DIAGNÓSTICO DE CONOCIMIENTOS PREVIOS (ANTES DE EMPEZAR)Actividad 1: Conozcamos fracciones. Objetivo: Desarrollar el concepto de fracción utilizando figuras planas.

Metodología: En esta actividad se pretende que el/la niño/a conozcan e interpreten el concepto de fracción, y la manera para que las identifiquen es me-diante la observación. Es importante que utili-cemos las figuras planas y así desarrollaremos el concepto mediante conocimiento previo de los niños y las niñas.

Materiales: Pizarra, cuaderno de trabajo, hojas de colores, compás, regla graduada, tijeras.

Instrucciones:Repartir hojas de papel de color a los/as estu-diantes y luego con el compás trazar un círculo de radio 4cm. Además, mediremos el diámetro de dicho círculo, y con la tijera recortaremos el círculo y por la línea que conocemos por diá-metro. Entonces preguntar ¿Qué sucede con el círculo si lo cortamos por el diámetro? Se esperará que ellos/as te contesten que se ob-tienen dos mitades. Y luego pueden hacer del semicírculo un corte. Debe mostrarlo en la pi-zarra y seguir la secuencia que se te muestra a continuación para que con los cortes se co-mience a tratar el término de mitad.

De esta manera, al concluir todos los cortes que se te muestran en la figura 5, puedes ex-plicarles: “niños/as observen que el círculo completo es al que llamaremos unidad, pero ¿qué sucedió después de haber dibujado con el compás el círculo? Se esperará que te con-testen que cortaron al círculo por la mitad, pero luego cortamos la mitad del círculo en dos partes más. Es decir, obtuvimos tres partes del círculo y realizamos el mismo proceso para el semicírculo restante. Por tanto, obtuvimos un total de cuatro partes de la unidad. ”

Sugerencia metodológica: Pedirles que expresen de manera verbal las partes del círculo antes de simbolizar. Pode-mos hacer el mismo experimento para otras figuras planas como el triángulo, el rectángulo, el cuadrado, etc., de manera que los/as estu-diantes se familiaricen con el concepto de mi-tad, tercios, cuartos. De esta manera compren-derán en las otras actividades el concepto de fracción.

Figura 4:Representación y lectura de fracciones

figura 5: división de un circulo en 4 partes iguales.

81

Sugerencia metodológica:

En esta actividad se pretende que el/la niño/a sean capaces de visualizar, mediante las fi-guras geométricas, la simbo-lización de la fracción como: de una unidad, dividirla en partes o porciones y selec-cionar alguna de ellas. Debes notar que en esta ocasión, solamente estamos introdu-ciendo el concepto de frac-ción de igual denominador, es decir, la unidad la estamos dividiendo en partes iguales, ya que es importante que el estudiantado comprenda cómo representar una frac-ción de manera geométrica; y la representación aritmética de cada una de ellas.

Para dividir los círculos en partes iguales puedes utilizar el trasportador. Como ya co-noces los ángulos, entonces sabemos que un círculo mide 360º. Podemos dividir en sectores iguales dicho círculo para que se les facilite sim-bolizar las fracciones.Puedes utilizar los divisores de 360 º para facilitar la divi-sión de los sectores, algunos son: 180º, 90º, 45º,15º, 5º etc.

Actividad 2: Conozcamos el concepto de fracción.

Objetivo: Manipular fracciones con figuras planas.

Metodología:Luego de que e/lal niño/a ha manipulado los medios, tercios y cuartas partes de las figuras planas, introduciremos la notación de las fracciones. De esta manera ellos/as comenzarán su inter-pretación y conocimiento de estas. Materiales: Láminas, cuaderno de trabajo.Instrucciones:Mostrar a los/as estudiantes la siguiente lámina, la cual contiene las siguientes figuras:

Luego visualicen las figuras anteriores, se prosigue a realizar las siguientes preguntas.¿Qué observas en el primer círculo?Se espera que te contesten que se ha dividido en 7 partes igua-les. Hay 3 de ellas de color verde. De no ser esta la respuesta que te proporcionen, debes de incentivar diciendo: “El círculo es la unidad y cada una de las líneas trazadas dividen al círculo en sectores; en base a esto, ¿qué puedes decir sobre el primer círculo? Es importante que comparen la unidad con las partes o porciones de esa unidad, para que la comprensión de las frac-ciones se les facilite.Luego de que ellos hayan contestado que se divide en 7 partes de las que 3 están de color verde. Se explicará que cada una de estas partes se designa como: 1/7

Donde 1 representa una parte o porción de la uni-dad y 7 representa todas las partes en que se ha dividido la unidad.Así, en el ejemplo que discutíamos al inicio la frac-ción se representa 3/7, en donde 3 representa tres partes o porciones de la unidad que se han

figura 6: Representación de fraccio-nes mediante figuras geométricas

figura 7: Repre-sentación de 1/7.

tomado y 7 representa todas las partes en que se ha dividido la unidad.

Debes realizar las mismas preguntas para las otras 3 figuras en donde los resultados de las fracciones son 2/5, 1/5 y 1/4.

82

Sugerencia metodológica:

Es importante que los/as ni-ños/as compartan las ideas sobre en cuántas partes se han dividido las figuras y cuántas se han tomado de esas partes, para que escri-ban la representación simbó-lica, así como la escritura y pronunciación de las fraccio-nes. Debes hacer un ejemplo para las fracciones en las cuales el denominador es mayor o igual a 11. Leeremos primero el numerador, y luego el nú-mero agregando la termina-ciòn avo.

Por ejemplo si la fracción es5/12, se lee: cinco doceavos.Si crees que son muy pocos ejemplos y los/las estudian-tes aún no han comprendido el concepto de fracción, lec-tura y escritura, puedes uti-lizar las figuras anexas para practicar. Las figuras se te proporcionan al final de la lec-ción, de manera que a ellos/as les quede claro el concep-to de fracción, que es impor-tante para su conocimiento y aprendizaje.

Actividad 3: Términos numerador y denominador.Objetivo: Reconocer los términos de las fracciones.

Metodología:Es importante mostrarles a los/as niños/as las partes en que se divide la unidad y que las que seleccionamos de esas partes tienen un nombre. Para luego ellos interpretan qué consiste una fracción, se debe introducir los términos de numerador y deno-minador, y a la vez fomentar la lectura correcta de las fracciones.

Instrucciones:Presenta a los/as estudiantes las siguientes figuras (puedes ela-borarlas en la pizarra o llevarlas hechas en un pliego de cartulina o papel bond)

Luego pedir que se reúnan en equipos de 5 integrantes y entre ellos discutan cuales son las representaciones de cada una de las figuras. Se pretenderá que coloquen las representaciones de las partes en que se ha dividido la unidad, en fracciones. Por ejemplo: explícales que la primera figura es una pirámide trián-gular. Tenemos 4 caras, pero de las 4 caras se toman dos.Por tanto la fracción en esta figura se escribe 2/4 pero ahora el número de la parte de arriba de la fracción se llama numerador que como se dijo es el número de partes que tomamos o selec-cionamos del total de partes divididas, y el número de abajo de la fracción se llama denominador, que como se mencionó, es el número de partes iguales en que se divide el total de la unidad.Por tanto en una fracción escribimos: Numerador/DenominadorAhora pregunta: ¿Cómo se debe leer la fracción?Para leer la fracción primero se nombra el número de arriba (numerador) y después el número de abajo (denominador). El número de abajo se lee: medio, tercio, cuarto, quinto, sexto, sép-timo, octavo, noveno y décimo; del 11 en adelante, se dice el número con la terminación “avo”: onceavo, doceavo, etc. Regre-sando a nuestro ejemplo entonces 2/4 se lee: dos cuartos. Después de explicar esto deben proceder a representar las otras figuras que dibujaste o que plasmaste en el pliego de cartulina o papel bond. Utilizando la notación y la escritura correcta de las fracciones, así como la lectura de cada una de ellas.

figura 8: Re-presentación de fracciones mediante figuras geométricas.

83

Sugerencia metodológica:

En esta actividad pretende-mos utilizar el concepto de fracción con las unidades de longitud, para que los/as ni-ños/as interpreten que las unidades de longitud no son solamente unidades enteras, También podremos conocer partes de esas unidades, las cuales denominamos fraccio-nes.

Al construir el metro preten-demos que los/as estudian-tes identifiquen cada una de las partes que componen el metro, y en dividirlas en frac-ciones. De esta manera re-presentarán las unidades de medidas en medio metro, un cuarto de metro, o un octavo de metro. etc. Estos conceptos son impor-tantes ya que, cuando el/la niño/a entre a la etapa de aplicar estos conceptos en la resolución de problemas, no se les dificultará. Es importante que logren ha-cer comparaciones, por ejem-plo: 1/2 m equivale a 50cm; y 1/4 m equivale a 25cm.

Actividad 4: Las fracciones como unidades de medidaObjetivo: Expresar las fracciones como unidades de medida.Metodología:Luego de que los/las estudiantes han conocido la lectura y es-critura de las fracciones, debemos ver las aplicaciones en las cuales podemos utilizarlas, como por ejemplo: en unidades de medidas de longitud, porque es importante que ellos visualicen la aplicación en problemas de la vida cotidiana.Materiales: Cartulina o cartoncillo, regla. Pegamento o tirro, o cinta adhesiva Tijeras Instrucciones:Formemos equipos de tres integrantes.Elaboraremos con la cartulina o cartoncillo un metro, utilizar cinta o pegamento para construir el metro, si no se tiene un me-tro para tomar medidas, se puede hacer lo siguiente: sabemos que un metro tiene 100 cm; por tanto, podemos utilizar la regla graduada de 10 cm, hasta construir la medida de 100 cm que equivale a un metro.

Luego de que construyan el metro, utilizaremos fracciones. Para ello dividiremos el metro por la mitad, como las medidas se han hecho de 10 en 10, entonces hemos marcado 10 puntos, enton-ces la mitad será en el quinto punto. (Puedes dejar que los niños averigüen por sí mismos cómo encontrar la mitad del metro).

Luego hagamos lo mismos, pero de la mitad de cada parte del metro dividamos otra vez por la mitad. Hacemos el mismo proce-so, solo que ahora la mitad de ½ es ¼.

Y ahora, de cada una de las cuartas partes, trazar la mitad, de manera que el resultado nos dará 1/8. Es decir, el metro lo he-mos dividido en 8 partes iguales.

Debes de enfocar a tus alumnos a conocer e interpretar las frac-ciones como unidades de medición.

figura 9: Representación de un metro

figura 10: Representación de la división de un metro en dos partes

figura 11: Representación de la división de un metro en cuatro partes

figura 12: Representación de la división de un metro en ocho partes

84

Actividad 5: Juguemos a medir las paredes y encontrar fracciones con las unidades de longitud.

Objetivo: Expresar las fracciones mediante el uso de las unidades longitud. Materiales:

Cartulina o cartoncillo, regla. pegamento o tirro, o cinta adhesiva, tijeras, cuaderno de trabajo

Instrucciones:Elaboraremos con la cartulina o cartoncillo un metro. Utilizar cinta o pegamento para cons-truir el metro. Si no se tiene un metro para to-mar medidas, se puede hacer lo siguiente: sa-bemos que un metro tiene 100 cm; por tanto podemos utilizar la regla graduada de 10 cm, hasta construir la medida de 100 cm que equi-vale a un metro.Pedir a los/as niños/as que se reúnan en equi-pos de 5 integrantes. Como en la actividad an-

terior han logrado establecer la relación de 1m con las fracciones y a la vez con centímetros, hoy probaremos la elaboración del metro, pero en mediciones de paredes, largo y ancho de una cancha, puertas, portones, balcones, etc., de manera que se les pedirá que salgan del salón de clases. Y con el metro que elabora-ron midan lo que se te menciono anteriormen-te. Por ejemplo, si miden el largo de la cancha resultará por ejemplo que mida unos 4 m, pero les sobra una parte del metro para completar el 5to metro, por ello se deberán utilizar fraccio-nes. Como ellos han elaborado partes en que se divide el metro podrán encontrar si la me-dida es: 1/2,1/4,1/8… etc. Puedes explicarles que es posible dividir el metro en las partes que sean necesarias para que la medición sea en fracciones adecuadas.

figura 13: Representación de un metro en cuatro

figura 14: Bosquejo de un complejo educativo

85

Actividad de evaluación:Objetivo: Manipulación de las fracciones mediante figuras planas.

1. ¿Cuál de las siguientes figuras representan la fracción de 2/7? Y las otras figuras, ¿qué fracción representan?

2. ¿Qué fracción representa la camisa azul? ¿Y las camisas verdes? ¿Y el de las camisas amarillas? Escribe cómo se leen las fracciones anteriores.

3. La pared de tu cuarto mide 1 metro de largo. Tus padres han decidido pintarla, pero quie-ren hacerlo de la siguiente manera: 5/8m de la pared lo quieren de color azul, mientras que 1/8m de color rojo y 2/8m de color amarillo. Puedes dibujar en tu cuaderno ¿Cómo quedará pintada la pared?

REFERENCIA

1. Conociendo fracciones. (s.f.). Recuperado Agosto 15, 2011, a partir de http://palmera.pntic.mec.es/~jcuadr2/fraccion/index.html

2. Free Libros - Forever. (s.f.). Recuperado Agosto 15, 2011, a partir de http://goo.gl/AaI11

3. RENa - Tercera etapa - Matemática - Fracciones. Nociones Básicas. (s.f.). Recuperado Agos-to 15, 2011, a partir de http://goo.gl/lY71H

86

Anexos

¿Qué fracción es la de los carros de color azul? ¿Y los de color amarillo? Escribe cómo se leen las fracciones de cada una de las preguntas.

¿Cuál de las siguientes figuras muestra el resultado de 5/12? ¿Cómo se escribe esta fracción? ¿Qué fracción representa cada una de las otras figuras? Escribe el resultado y cómo se leen dichas fracciones.

¿Cuál de las siguientes figuras muestra el resultado de 8/10? ¿Cómo se escribe esta fracción? ¿Qué fracción representa cada una de las otras figuras? Escribe el resultado y cómo se leen dichas fracciones.

87

1. Ayuda a don Ernesto a dividir el bizcocho en 10 partes y decir: ¿cuál es la fracción que se forma al tomar 3 de las 10 partes?

GUIA DE TRABAJO

2. Dibuja la tercera parte de los muñecos con los brazos levantados.

3. Selecciona el patrón adecuado para escribir la fracción correcta en cada una de las rectas siguientes:

a)

b)

c)

LECCIÓN 8 Sumemos y restemos longitudes con fracciones del mismo denominador

DESCRIPCIÓN

El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina. Tres cuartos de hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes de un pastel, pero se “calculan” de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora, o el pastel) en cuatro partes iguales y tomando luego tres de esas partes. Por esta razón, en ambos casos, se habla de dividir dicha unidad (una hora, un pastel, etc.) en 4 partes iguales y to-mar luego 3 de dichas partes. En esta lección se trabajará con mucho detalle esta idea. El niño/niña será capaz de efectuar la adición y sustracción auxiliándose de las figuras planas y con estrategias de manipulación de dobleces, utilizando medidas de longitud para sumas y restas de fracciones de igual denominador.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS• Identificar las características del

denominador en las fracciones.• Identificar fracciones homogé-

neas para operar sumas y res-tas.

• Interpretar la operación suma con fracciones de igual denomi-nador.

• Resolver problemas de aplica-ción con sumas y restas de frac-ciones.

COMPETENCIAS FUNDAMENTALES

• Saber cuantificar • Saber representar y comunicar• Saber resolver y enfrentarse a

problemas• Saber integrar los conocimientos

adquiridos.

Tiempo: 8 horas clases

89

LECTURA PREVIA

En la lección anterior se conoció el concepto de fracción, aho-ra necesitamos utilizar este término para hacer operaciones de suma y resta con fracciones de igual denominador. Además podemos utilizarlo para desa-rrollar problemas de aplicación con unidades de longitud como son los centímetros, metros, y kilómetros.

Para llevar a cabo este aprendizaje es importante que el/a niño/a comprenda el significado de fracción. Algunos ejemplos de situa-ciones que no son debidamente aprovechadas en la instrucción son: los problemas de reparto, de comparación, de medición y de transformación de medidas.Los números fraccionarios son una estructura de una riqueza y complejidad que encuentra aplicaciones en una multiplicidad de contextos: la ciencia, la técnica, el arte y la vida cotidiana.

En cada uno de estos contextos las fracciones se presentan con una diversidad de significados.

Se debe desarrollar las operaciones de suma y resta de fraccio-nes de igual denominador y seguir la siguiente regla:“Para sumar y restar fracciones de igual denominador, sumamos o restamos los numeradores y escribimos el mismo denomina-dor”. Por ejemplo:

DATOS HISTÓRICOS

La idea del número fraccio-nario fue desarrollada no sólo por los egipcios, sino también por los babilonios y más tar-de por los griegos, seguido-res del gran sabio Pitágoras, quien vivió en el siglo VI A.C. y desarrolló una verdadera fi-losofía del número. Los pitagóricos, como fueron llamados los seguidores de Pitágoras, consideraban los números no sólo como canti-dades sino, como los elemen-tos que regían al Universo. Los números eran asociados a todos los fenómenos cono-cidos y el Universo era conce-bido en términos de relacio-nes matemáticas.

Fracciones de igual denomi-nador.Si dos fracciones tienen igual denominador, se sabe que re-presentan porciones de una cantidad que ha sido dividida en un mismo número de par-tes, o en el caso de fracciones impropias, números naturales más una fracción de la unidad también dividida en el mismo número de partes. Así, sumar y restar fracciones resulta sumamente sencillo, ejemplo:

figura 1: Suma de fracciones me-diante figuras geométricas

figura 2: Fracción de una maqueta de queso.

figura 3: Suma de fracciones mediante figuras geométricas.

figura 4: Resta de fracciones mediante figuras geométricas.

90

En esta ocasión es importante que proporciones ejemplos en los cuales los/as niños/as vean en su entorno para que se sientan involucrados, y de esta manera lograr que el desempeño de nuestros objetivos sea satisfactorio.

Se debe utilizar sumas y restas con unidades de medida, no importando si son de longitud, ya ellos/as reconocen las fracciones porque con anterioridad sus familiares las utilizan como expre-sión verbal: “te daré la mitad del chocolate”, o cuando están cocinado y dicen “agregaré un ¼ de leche al licuado”, etc., por tanto al utilizar problemas de aplicación, para contextualizarlas y se interpreten con más claridad por su significado.Desarrollo de la lección 8: Sumemos y restemos longitudes con fracciones del mismo denominador.DIAGNOSTICO DE CONOCIMIENTOS PREVIOS (ANTES DE EMPEZAR)

Actividad 1: Sumas y restas de fracciones de igual denominador.

Objetivo: Identificar las características del denominador en las fracciones.

Metodología:En esta actividad se pretende que identifiquen que el denominador es común en las fraccio-nes, utilizando las figuras planas para que comprendan las operaciones básicas de frac-ciones con igual denominador.

Materiales:• Pizarra, cuaderno de trabajo,• hojas de colores, compás,• regla graduada, tijeras.

Instrucciones:Pedir a los/as estudiantes que utilicen páginas de colores y realicen las siguientes figuras.Además que dividan las figuras en 4 partes iguales cada una de ellasLuego, que se reúnan en equipos de tres inte-grantes y observen las características en co-mún de cada una de las figuras.

Podría suceder que los/as niños/as no vean características en común, pero aclárales que la característica tiene qué ver con la partición que han realizado a las figuras. Por tanto, la característica en común es que cada objeto esta divido en 4 partes iguales.Si tomamos una de las 4 partes del círculo, ¿cómo quedan las fracciones para la parte que tomamos? ¿Y cómo queda la fracción para las que no tomamos? Las respuestas son ¼ y ¾ respectivamente, pero si ahora tomamos ¼ más, ¿cuántas partes hemos tomado? ¼ + ¼ = 2/4, podría suceder que aún no vean la operación aritmética, pero sí con las figuras que recortan. Así, puedes proponer otras figu-ras y también otra fracción, en esta etapa para que ellos encuentren que la característíca en común de las figuras son las partes en que se divide la unidad.

figura 5: figuras geométricas en las cuales se han dividido

91

Actividad 2: conozcamos la operación de la suma de fracciones de igual denominador.Objetivo: Identificar fracciones homogéneas para operar sumas y restas.Metodología:El/a niño/a en esta etapa ya conoce las fracciones. Ahora se pre-tende utilizar las operaciones de suma y resta usando dobleces en el papel, para operar con medios, tercios y cuartos.Materiales:Hojas de papel bond de colores.Cuaderno de trabajo, lápizInstrucciones:Proporcionar 4 hojas de papel bond de diferentes colores a los/as niños/as. Luego hacer dobleces por la mitad y en tres partes. Una forma de doblar una página en tres partes es utilizando el enrollado. Y en cuatro partes.

Luego reunirse en parejas. Pedir que realicen operaciones de sumas y restas de igual denominador de las siguiente manera: si en el papel doblado, por ejemplo el de Manuel, es de color verde,

y está doblado por la mitad, y el de Rosa es de color rojo, y también está doblado a la mitad, es decir que de ambos tomo una mitad, ¿entonces el resultado será? Una página completa. Hagamos lo mismo para los ter-cios y los cuartos. Tomarán par-tes de su hoja doblada y las uni-rán con el compañero de trabajo

para ver el resultado de la suma.

Es importante que los/as niños/as hagan las anotaciones de estos planteamientos en sus cuadernos para que puedan utilizar las fracciones y comprendan como utilizar las sumas y restas de fracciones homogéneas o de igual denominador.

Sugerencia metodológica:

En esta actividad se pretende que los/as estudiantes utili-cen los dobleces del papel, para que sigan conociendo las fracciones.

Es importante que ellos lo-gren hacer diferentes doble-ces; de esta manera manipu-laron las figuras geométricas, pero a la vez, comprenderán que de la unidad pueden uti-lizar la propiedad para sumar y restar fracciones, porque el método es sumar o restar los numeradores, y escribir el mismo denominador.Para ello sería conveniente que trabajen en parejas, por-que si alguno de los dos tie-ne dudas sobre la actividad, entre ellos se podrán auxiliar. Es importante que utilicen los dobleces de los medios, los tercios, los cuartos. Puedes sugerir más dobleces, como los octavos, dieciseisavos, etc.De esta manera podrán tra-bajar mucho más las diferen-tes fracciones, para que se les facilite cuando trabajen con problemas de la vida co-tidiana.

figura 6: hojas de papel de colores

92

Actividad 3: Otra forma de operar sumas de fracciones de igual denominador.

Objetivo: Interpretar la operación suma con fracciones de igual denominador.

Metodología:El/a niño/a en esta etapa ya conoce las fracciones. Ahora se pretende utilizar la operación de suma. Utilizaremos un método para sumar fracciones de igual denominador utilizando dobleces de papel.

Materiales:Dos hojas de papel rayado por cada uno de los alumnos.

Instrucciones:• Utilice dos hojas de papel con líneas. Dobla por la mitad ambas

hojas de papel.• Coloque uno de los pedazos de papel sobre la mesa, con el

lado doblado hacia arriba y el margen más ancho a la izquier-da.

• Marque las fracciones en el papel. Comenzando arriba, cerca del borde (doblez) marque la línea que está más a la izquierda (la primera línea) con 0. Cuente doce espacios y marque con 1. Luego, cuente doce espacios adicionales y marque 2.

• Marque ahora mitades, tercios, cuartos, sextos y doceavos, siguiendo el mismo procedimiento. Para localizar y marcar la mitad (1/2), cuente seis espacios desde el 0 (no seis líneas). Para localizar y marcar los tercios cuente cuatro espacios, y así sucesivamente hasta completar su hoja. De manera que le quede parecido a la siguiente figura:

Sugerencia metodológica:

En esta actividad pretende-mos utilizar la operación de la suma de fracciones de igual denominador. Para esto nos auxiliaremos con un método del doblez de papel.

Observación:Debes notar que la división de las fracciones que se ha realizado se debe a los divi-sores de 12, que son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Por esta razón se está trabajando con espacios de 12, para la unidad, 6 para la mitad, 4 para los tercios y 3 para los cuartos, dos para los sextos y un espacio para los doceavos.Si la división es para otro nú-mero diferente de doce, en-tonces debes buscar los divi-sores de ese número y luego hacer las respectivas divisio-nes.

Determinar cómo funciona el modelo será más fácil para los estudiantes que se han familiarizado con la interpre-tación de la suma y la resta de números cardinales como movimientos a lo largo de la recta numérica, ya que el mo-delo hace lo mismo con las fracciones.

• Coloque los dobleces del segundo papel en la parte de abajo y localice las fracciones como en el papel anterior. Esta vez, debe localizar las fracciones de abajo hacia arriba.

figura 7: Suma de fracciones mediante técnica del doblaje del papel

93

Sugerencia metodológica:

Como diferente actividad, puede pedir a los estudiantes que construyan otros mode-los en papel para sumar frac-ciones con otros denomina-dores. Este modelo también se utiliza para sumar fraccio-nes no homogéneas, es de-cir, de distinto denominador.Ahora haga que prueben los/as niños/as con las siguien-tes cantidades: 1) 2/4+1/4; 2)1/6+1/63)1/12+1/12.Puede proponer otros ejerci-cios si cree que son conve-nientes.

Sugerencia metodológica: En la actividad 4 se espera desarrollar sumas y restas de fracciones de igual denomi-nador.De esta manera hemos uti-lizado las fracciones en pro-blemas de aplicación de la vida cotidiana, en los cuales se ven involucradas la suma de fracciones para la resta. Podemos utilizar también los dos ejemplos anteriores. Ahora en las pinturas solo necesitamos del total de los ¾ quitandole ¼ de pintura.

De manera, como se te muestra en la siguiente figura.

• Alinee las hojas de papel doblez con doblez, para asegurar-se de que las fracciones alineadas son iguales.

• Veamos cómo funciona el modelo.Vamos a sumar 1/3+1/3.Localice 1/3 en la hoja de papel inferior. Alinee el 0 de la hoja superior directamente sobre 1/3 en la hoja inferior. Localice 1/3 en la parte superior.

Lea la respuesta en la hoja de ABAJO, DIRECTAMENTE DEBA-JO DEL 1/3 EN LA HOJA SUPERIOR. La respuesta es 2/3.

Actividad 4: Utilicemos unidades de medida para sumar y restar fracciones.Objetivo: resolver problemas de aplicación con sumas y restas de fracciones.Metodología:Resolvamos los siguientes problemas.1. Raquel desea pintar la casa de diferentes colores, para lo

cual utilizará ¼ de galón de pintura azul y 2/4 de galón de pintura rosada. ¿Cuánto utilizará en total de pintura?

2. Si Manuel desea medir la pared de su casa, para ello utiliza el metro, pero resulta que la pared mide más del metro, y descubre que mide ¾ más del metro. ¿Cómo representarías en fracciones el total de lo que mide la pared de Manuel?

Para la resolución de este problema el/a niño/a debe represen-tarlo de la siguiente manera.

Como sabemos que el metro se puede reescribir como 4/4m, entonces la suma de 4/4m + ¾ m = 7/4m. Por tanto la suma total de la pared es 7/4 m.

figura 8: Suma de fracciones mediante técnica del doblaje del papel.

figura 9: Representación de fraccio-nes en un metro la cantidad de 3/4

94

Actividad 5: Juguemos a sumar y restar fracciones de igual denominador utilizando medidas de longitud.

Objetivo: Operar con medidas de longitud efectuando sumas y restas de fracciones de igual denominador.

Materiales: • Páginas de colores • Plumones

Instrucciones:• Pedir a los/as niños/as que se reúnan en

equipos de 5 integrantes.• Luego comente con sus estudiantes: “Va-

mos a elaborar un muro con fracciones”. Lo que sucede es lo siguiente, cada equi-po tendrá que elaborar fracciones en cada una de las páginas de colores que se les ha proporcionado con medidas de longitud en metros.

• Se sugiere que para que realicemos las sumas o restas de igual denominador se necesitará utilizar al menos 3 colores de páginas para cada equipo. Ejemplo: azul, rosado y verde. Se deben dar lineamientos para que en esos colores solamente pode-mos escribir fracciones con denominadores de medios, sexto, quinceavo, tú puedes su-gerir otros valores.

• Luego de que cada equipo tenga listas sus fracciones pediremos que con las fraccio-nes que han realizados de medios, sextos y quinceavos, hagan operaciones perti-nentes para poder completar la unidad. Por ejemplo: si el equipo de Pablo tiene una tarjeta de 1/6m y la de Julia tiene 3/6m y la de Carlos tiene 2/6m, entonces el resultado final es 6/6m =1m

Así realizaremos las operaciones de manera que cada uno de los miembros de los equipos formen unidades. En el caso de que existan fracciones en donde no se pueda formar la uni-dad, expresaremos la parte de la unidad que hemos completado.Para la resta, por ejemplo: 15/6m – 9/6m= 6/6m =1m.

Sugerencia metodológica:Proporciona estos ejemplos para que com-prendan la dinámica. Incluso la puedes rees-cribir en la pizarra para que comprendan que deben hacer.Luego de que hayan reunido los cartones, se-gún la adición o sustracción correspondiente, deberán formar el muro y escribir la fracción final de los medios, sextos y quinceavos.Las operaciones, además, se deben dejar re-flejadas en el cuaderno para dejar constancia de la operación que se ha realizado por los/as estudiantes para formar la unidad.

figura 10: Tarjetas para formar la suma de fracciones y completar un metro

95

Actividad de evaluación:Objetivo: Manipulación de las suma y diferencia de fracciones de igual denominador,

1. Escribe las operaciones de los diferentes caminos que existen; para encontrar la salida del laberinto y averigua: ¿Cuál de ellos te da el resultado que tiene al final?

2. Ricardo desea medir la cancha de la escuela. Para eso recurre a utilizar el metro. Entonces se da cuenta de que la cancha mide 4metros y medio. ¿Cómo escribes la operación que rea-lizó Ricardo para expresar en una sola fracción el resultado?

REFERENCIA1. León, H. (1998), “Procedimientos de niños de primaria en la solución de problemas de re-

parto”, Revista Latinoamericana en Matemática Educativa. También se puede encontrar a partir de: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/335/33510202.pdf

2. RENa - Tercera etapa - Matemática - Sumas y restas de fracciones. (s.f.). Recuperado Agosto 15, 2011, a partir dehttp://goo.gl/AWSLM

3. Suma y resta de fracciones « Mi mochila. (s.f.). Recuperado Agosto 15, 2011, a partir de http://mimochila.wordpress.com/2010/02/23/suma-y-resta-de-fracciones/

96

GUÍA DE TRABAJO

1. Si la distancia de una regleta es de 1m y la del inicio al primer agujero es de 2/8 m, ¿cuál es la distancia de los otros agujeros hasta completar la regleta?

2. ¿Qué fracción debe añadirse a 1/5 para obtener como resultado 4/5?

3. Sí se tiene la operación de 1/6+3/6=, encuentra la solución y realiza un planteamiento del problema utilizando los datos de la operación.

4. Si José tiene planeado hacer una fiesta para celebrar el cumpleaños de su hermana Ana, entonces piensa comprar 3 pizzas para celebrar. Llegarán 8 invitados haciendo un total de 10 personas ¿Cómo dividirán las pizzas? y ¿cuántas porciones les corresponderán a cada uno si deben ser iguales?

LECCIÓN 9

Tiempo: 7 horas clases

DESCRIPCIÓNLa representación gráfica permite establecer valores que no han sido obtenidos experimentalmente, sino mediante la interpolación (lectura entre puntos) y la extrapolación (valores fuera del intervalo ex-perimental). Como la organización de datos en esta etapa ya se ha trabajado, hoy se pretende que se represente de manera gráfica y a la vez analice los resultados de dichos datos. Es importante que el/la niño/a comprenda que el tabular y representar gráficamente ciertos datos nos facilita el análisis e interpretación de estos. Es por esta razón que se te proporcionarán ciertas actividades que serán de mucha ayuda para leer, analizar e interpretar datos estadísticos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS• Expresar datos y organizarlos en

tablas.• Representar datos en forma

gráfica.• Interpretar los datos expresados

en forma gráfica.• Representar datos en gráficas de

barras con su respectivo análisis de resultados

COMPETENCIAS FUNDAMENTALES

• Saber representar y comunicar• Saber usar técnicas e instrumen-

tos matemáticos• Saber modelizar• Saber integrar los conocimientos

adquiridos

Representemos datos en gráfica de barra

98

LECTURA PREVIA.

Hoy es inconcebible la representación de la información sin re-currir a los gráficos. La estadística capacita para la elaboración, lectura e interpretación de ta-blas y gráficos. En cualquier medio de comunicación a los que tienen acceso nuestros alumnos aparecen multitud de representaciones de este tipo. Estar atento a esa realidad y trasladarla al mundo de la es-cuela o del hogar, dotándola de sentido matemático es lo que se pretende en esta lec-ción.

Queremos que el/la estudiante aprenda a representar e interpre-tar los datos que posee, que se le han proporcionado o que él ha obtenido de su entorno, así como extraer los datos correspon-dientes a gráficas sencillas que se le muestren.El conocimiento se adquiere mediante la representación y esta a través de gráficos.Para procesar la información es importante recolectar los datos necesarios y elaborar tablas para la representación de la reali-

dad, reconocer el número de veces que apa-rece un dato (frecuencia) como elemento que indica su valor en la gráfica. Hay dos tipos de frecuencias:

La frecuencia absoluta de un dato es-tadístico es el número de veces que se repite ese dato.

La frecuencia relativa de un dato estadístico es el cocien-te entre la frecuencia absoluta de ese dato y el número total

de datos.

CONCEPTOS CLAVE

Muestra:Es un subconjunto de casos o individuos de una población estadística.

Población estadística:Es el conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan las observaciones.

Encuesta:Una encuesta es un estudio observacional en el cual el investigador no modifica el entorno ni controla el proce-so que está en observación (como si lo hiciera en un experimento). Los datos se obtienen a partir de realizar un conjunto de preguntas normalizadas dirigidas a una muestra representativa o al conjunto total de la población estadística en estudio, forma-da a menudo por personas, empresas o entes.

Datos estadísticos:Son los datos obtenidos en una encuesta.

Frecuencia:El número de veces que apa-rece un dato como elemento que indica su valor en la grá-fica.Frecuencia absoluta: de un dato estadístico es el número de veces que se repi-te ese dato.

figura 1: Gráfico de barras.

figura 2: Recolección de datos.

99

Desarrollo de la lección 2: Representemos datos en gráfica de barrasDIAGNÓSTICO DE CONOCIMIENTOS PREVIOS (ANTES DE EMPEZAR)Actividad 1: Recolectemos y tabulemos datos.Objetivo: Sistematizar datos y organizarlos en tablas.

Metodología:Para poder representar datos mediante gráficos, debemos recolectar la información necesaria y luego organizarla en tabulaciones en donde se muestren los resultados de las encuestas elabo-radas.

Diagrama o gráfico:Es un tipo de esquema de in-formación que representa da-tos numéricos tabulados.

Gráfico de barras: Consiste en dos líneas, una vertical y otra horizontal, que se cortan en un punto perpendicular que es el origen. El eje ver-tical son las frecuencias y el horizontal los conceptos o muestras.

• La suma de las frecuencias absolutas es el número total de datos.

• La suma de las frecuencias relativas es siempre la unidad.En esta lección pretenderemos seguir los siguientes pasos para una mejor comprensión de representación de gráficos de barras.Propósito: Aprender a representar datos utilizando diagramas de barras. Propósito Fase Afectiva: Reconoce la importancia que tiene la utilización de diagramas de barras para la representación de datos.Propósito Fase Cognitiva: Comprende la forma de representar datos en diagramas de barras Propósito de Fase Expresiva: Representa en forma correcta datos en diagrama de barra.

Fase expresiva:Algoritmo Una vez reconocidos los datos, veremos la forma de sistemati-zar el conocimiento para emplearlo en el contexto real. Veamos cómo:1. Establece el tipo de datos que deseas graficar.2. Una vez establecido el tipo de dato, determina el tipo de dia-

gramas relacionados con estos datos.2.1.Si los datos están dados en forma de frecuencias (abso-

lutas), procedemos a representarlos preferiblemente en un diagrama de barra de la siguiente manera:

a) Traza una semirrecta vertical y otra horizontal que sean per-pendiculares y que su punto de origen sea un ángulo recto.

b) Señala en el eje vertical las frecuencias (absolutas) partien-do de la menor a la mayor, y en el eje horizontal los concep-tos (muestras) expresados en números y en letras.

c) Elabora barras para los conceptos de igual base cuya altura coincida con el número de la frecuencia correspondiente.

100

Actividad 2: Conozcamos las gráficas de barras.

Objetivo: Representar gráficamente datos tabulados.

Metodología:Luego de practicar la tabulación de los datos recolectados, es necesario llevarlos a los gráficos de barras, puesto que del gráfi-co podemos sacar una serie de informaciones para el análisis e interpretación de los datos.Por esto se les explicará, con un ejemplo, cómo deben gráficar los datos que están en la tabla, para que ellos realicen otros ejemplos con los datos obtenidos en la actividad anterior. Instrucciones:De las preguntas elaboradas por los/as estudiantes podría for-mularse la pregunta, por ejemplo, ¿de qué clases de mascotas tienes en tu casa?

Sugerencia metodológica:

Como el/la estudiante en lec-ciones anteriores ya ha reco-lectado información e incluso ha tabulado y organizado da-tos en esta etapa nos intere-sa que además de recolectar y organizar, también repre-sente gráficamente los datos.

Que ilustren el contenido de los datos. Para comenzar lo harán con el gráfico de ba-rras, que en las otras activi-dades nos servirá para inter-pretar datos.

más. Por ejemplo: ¿a cuántos niños/as les gus-tan las blusas o camisetas de color Rojo? Por ejemplo, a 7. ¿A quién le gusta el color azul? A 5. ¿A quienés les gusta el color verde? A 2 ¿A quién les gusta de color negro? A 15 ¿Ya los que les gustan los de color rosado? A 12. En-tonces tabulamos de la siguiente manera:

Instrucciones:Vamos a pedir a los/as niños/as que realicen preguntas que deseen hacer a sus amigos o compañeros de clases, y las anoten en su cua-derno.Por ejemplo, Susanita quiere saber cuántos años tiene Regina o, ¿Cuál es el color favorito de Carlos? pídeles que formulen una pregunta y en base a esa pregunta haremos la encuesta con todos los compañeros del salón. Resulta-rán varias preguntas. Toma unas 3 por ejemplo y muestra como debemos recolectar los datos.El/la docente pregunta a Rosa “¿Cuál es la pregunta que tú quisieras hacer a tus compa-ñeros/as?” El/la niño/a deberá leer en voz alta su pregunta: ¿Qué color de blusa o camiseta te gusta más? Bien, entonces para pasar tu encuesta con los/as estudiantes del salón de-bemos seleccionar qué colores de blusa esco-geremos. Tomemos de muestra 5 colores que sean rojo, azul, verde, negro y rosado. Ahora pasemos la encuesta. En esta ocasión sola-mente se debe escoger un color ya que la pre-gunta consiste en saber cual es el que le gusta

Noten que la suma total debe ser el número de estudiantes que hay en el salón de clase. De esta manera hemos organizado los datos obtenidos en nuestra encuesta. Luego puedes tabular otra de las preguntas que ellos/as quie-rán conocer sobre sus compañeros.

COLOR B/C FRECUENCIA

Rojo 7Azul 5Verde 2Negro 15Rosado 12Total 41

Tabla 1: Tabulación de blusas de colores.

101

Actividad 3: Interpretemos los datos de la representación del gráfico de barras.

Objetivo: Describir los datos expresados gráficamente.

Metodología:Es importante que el/la niño/a, además de representar datos en gráficas de barras, sepa también interpretar cada uno de los datos obtenidos, y de esta manera concluir el análisis e interpretación de los resultados con respecto a los datos proporcionados. Se les mostrará cómo se debe hacer con su respectiva explicación, y luego deberán utilizarla para analizar sus gráficos anteriores realizados en la actividad 2.

Con las preguntas que los/as estudiantes elaboraron al inicio de la lección, puedes seguir proporcionado más ejemplos para la construcción de gráficos de barras. Auxília-te de la pizarra para explicar cada uno de los ejemplos. In-cluso puedes pedir a uno de los/as niños/as que elaboren ellos la tabulación, es decir, la organización de los datos y luego que otra de los/as estu-diantes elabore el gráfico.De esta manera se promueve la participación en clase que es fundamental para el aprendi-zaje.

Primero tabulamos de la siguiente manera: a) Traza una semirrecta vertical y otra horizontal que sean per-pendiculares y que su punto de origen sea el ángulo recto.

MASCOTAS FRECUENCIA

Perro 8Gato 5Pájaro 2Pez 3Roedor 4Reptil 1Otros 1Total 24

b) Señala en el eje vertical las frecuencias (absolutas) partien-do de la menor a la mayor y en el eje horizontal los conceptos (muestras) expresados en números o letras. (En nuestro ejemplo la clase de mascota).c) Realiza barras para los conceptos de la anchura iguales cuya altura coincida con el número de la frecuencia correspondiente.Entonces nuestro gráfico deberá tener la siguiente forma:

¿Qué clase de máscota tienes?

¿Cuá

ntos

?

Clase de máscota.Figura 3: Gráfico de de barras elaborado apartir de la tabla 2.

Tabla 2: Tabulación de máscotas preferidas por los/as estudiantes.

102

Sugerencia metodológica:

Como puedes observar, lue-go de que has elaborado tu encuesta, organizado los da-tos en una tabla y expresan-do las frecuencias en la grá-fica de barras, es importante hacer un análisis e interpre-tación de los datos obteni-dos. De esta manera se po-drá interpretar los resultados según lo que al encuestador le interese saber. En los dos ejemplos anteriores, en el del color favorito y en el de la mascota favorita podemos hacer varias interpretaciones de los datos. Por ejemplo: en el del color favorito, se pue-de notar que el color negro es el que más predomina, pues es el que mayor frecuencia obtiene y el color que menos les gusta es el verde, ya que solamente les gusta a 2 estu-diantes.

El gráfico de barras facilita la interpretación de los datos obtenidos, ya que visualiza la situación y nos da una idea clara del resultado que nece-sitábamos conocer.

Los gráficos de barras que se te presentan en esta lección son gráficos verticales, pero si revisas los gráficos de los periódicos, también existen gráficos de barras horizonta-les.

Instrucciones:Para lograr esto haremos los pasos anteriores, es decir, formu-laremos las preguntas: ¿Cuántos libros leyeron el año pasado? Sacamos la frecuencia, tabulamos y luego graficamos en el grá-fico de barras.

Pero ahora debemos interpretar el gráfico, es decir, analizar los resultados obtenidos.

Comencemos por interpretar los resultados de la encuesta en el gráfico de barras.

Resultados: 1. Sabemos que en la línea horizontal de la gráfica se encuen-

tra el número de libros que leyeron, que va desde 0 hasta 4. Y en la línea vertical, la frecuencia con que se leyó cada uno de los libros.

2. Interpretamos según el gráfico que de 4 libros, solamente 2 estudiantes leyeron esa cantidad el año pasado.

3. Pero que dos libros fue la mayor cantidad de libros que los estudiantes leyeron, pues resultó que la frecuencia fue de 7 niños.

4. Le sigue los que leyeron un libro pues la gráfica refleja que fueron 5 estudiantes quienes hicieron dicha lectura.

N Ú M E R O DE LIBROS

FRECUENCIA ABSOLUTA

0 21 52 73 44 2

Figura 4: Tabla de frecuencias absoluta y Gráfico de de barras de dicha frecuencia.

103

Actividad 4: Juguemos a representar datos en gráficas de barras.

Objetivo: Representar datos en gráficas de barras con su respectivo análisis de resultados.

Materiales: • Pelotas de básquetbol • Cancha de básquetbol

Instrucciones:• Pedir a los alumnos que realicen grupos de 6 integrantes.• La actividad se realizará en una cancha de básquetbol.• Con los equipos formados realizaremos la frecuencia de tiros. De 15 tiros a cada uno de los

integrantes del equipo. De manera que la muestra en este caso serán los nombres de los integrantes del equipo y la frecuencia el número de tiros que caigan dentro de la canasta.

• Los/as estudiantes deben ir tomando el apun-te de cada uno de los tiros que realicen. Los tiros pueden ir intercalados de manera que si Ramón hizo el primer tiro y anota, continúa. Pero si no anota, cambia a otro miembro del equipo, y así, hasta que todos los miembros del equipo hayan realizado sus 15 tiros.

• Luego regresarán al salón, pues ya recolecta-ron sus datos y los expresarán en una tabla, es decir, organizarán los datos.

• Después de la organización, vendrá la repre-sentación de los datos en el gráfico de barras.

• Y por último, ellos deben interpretar el resul-tado.

Figura 5: Tablero de básquetbol.

Para esta actividad los resultados pueden surgir de las preguntas ¿Quién anotó más canastas?, ¿quién anotó menos canastas?, ¿quién anotó igual número de canastas?, etc.

Y las respuestas a estas preguntas se observarán en el gráfico de barras que se habrá elaborado con los datos obtenidos.

104

Actividad de evaluación:

Objetivo: desarrollar cada uno de los ejercicios planteados, para representar datos en gráficas.

1. Pedir a los/as estudiantes que recolecten la información de ¿cuántos hermanos tienen cada uno de sus compañeros/as del salón de clases? Luego que organicen los datos en una tabla. Después, que representen los datos en un gráfico de barras, y por último, que interpreten los datos obtenidos.

2. Interpreta el siguiente gráfico: ¿Puedes construir a partir del gráfico la tabla que organiza los datos? De ser tu respuesta afirmativa, ¿cómo lo harías?

REFERENCIA3. Intel Educación: Diseño de Proyectos Efectivos: La mascota de la maestra. (s.f.). Recupe-

rado en Agosto 15, 2011, a partir de http://goo.gl/qfEfj

105

1. Coloca los datos correspondientes en el gráfico de barras según información que se te proporcionará a continuación. (En la parte superior de la gráfica pon el número co-rrespondiente y en la inferior, el nombre del equipo).

GUÍA DE TRABAJO

• En una liga de fútbol sala han participado cinco equipos A, B, C, D y E.• El equipo D ha sido el menos goleador. Solo ha marcado 6 goles.• El equipo B ha marcado un gol menos que el equipo más goleador y un gol más

que el equipo A.• El equipo D ha marcado dos goles menos que el equipo E.• Los goles marcados por los equipos, ordenados de mayor a menor, son: 11, 10,

9, 8 y 6.

2. Gema no ha colocado las latas verdes, pero ha colocado más latas que Miguel. Miguel ha colocado menos latas que Vicente y más latas que Ainhoa. ¿Cuántas latas colocó cada uno de ellos? y ¿de qué color? Ver ilustración, completa la tabla y además elabora un gráfico de barras.

LECCIÓN 10

DESCRIPCIÓN

En esta lección se presentan conceptos básicos relacionados con las unidades de medida de peso y el uso de la balanza. Se orientan aspectos metodológicos necesarios para que el/la estu-diante adquiera el conocimiento de forma intuitiva y comprenda la utilización de estos saberes en aplicaciones cotidianas. La construcción de la balanza promueve la creatividad del estudiante y el apoyo de la familia en el desarrollo cognitivo y social. Para realizar las mediciones se utilizarán patrones de masa, cuyo grado de exactitud depende de la precisión del instrumento.

TIEMPO: 2 horas clase

OBJETIVO ESPECÍFICO

• Estudiar la noción de peso y la rela-ción de este con las características físicas de los objetos.

CAPACIDADES FUNDAMENTALES

• Saber cuantificar • Saber analizar críticamente la in-

formación • Saber representar y comunicar• Saber resolver y enfrentarse a pro-

blemas• Saber usar técnicas e instrumentos

matemáticos• Saber modelizar• Saber integrar los conocimientos

adquiridos.

Pesemos y conozcamos la balanza

107

CONCEPTOS CLAVE

Materia:Es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio, tiene una energía medible y está suje-to a cambios en el tiempo y a interacciones con aparatos de medida. Peso:Es la cantidad o porción de materia medida por el valor de su empuje hacia abajo de-bido a la gravedad. En otras palabras, peso es un resulta-do de la fuerza gravitatoria.Peso no es lo mismo que cantidad de materia. La ma-teria que contiene un cuerpo será la misma en el fondo del mar, que en la cima de una montaña e inclusive en otros planetas, pero el peso depen-de de la fuerza con que la Tie-rra atrae a los cuerpos (gra-vedad), de este modo, una persona en la Luna no pesa igual que en la Tierra, pero su materia es constante. Balanza:Instrumento utilizado para estimar el peso de objetos, comparando este con unida-des de medidas (gramo, kilo-gramo, libra y onza).

MATERIA

La noción de materia es adquirida por el/la niño/a desde los pri-meros años de su niñez. La interacción continua entre niños/as permite un sinfín de actividades enriquecedoras que estimulan los sentidos y la percepción de los objetos. De este modo, son capaces de diferenciar objetos duros de objetos blandos, inclusi-ve observa a aquellos que sufren cambios con el tiempo y aque-llos que permanecen intactos (rocas, hierro, construcciones).CONSERVACIÓN DE LA MATERIA

Manipular objetos permi-te cambiar el estado físi-co de la materia. De este modo, si se toma un tro-zo de goma o plastilina y se altera de tal forma que presente características diferentes a las originales, se tiene que la cantidad de materia es igual en ambas representaciones. De igual forma, si se consideran dos recipien-tes idénticos en los que se vierte la misma cantidad de líquido. A continuación, uno de los dos recipientes vierte su contenido en otros dos recipientes de menor tamaño. Entonces, al unir los tres recipientes se obtiene la cantidad de líquido original.

Peso:

El niño/a, antes de ingresar a la escuela, emplea las palabras “pesado” y “ligero” o “liviano”. Para comprender el peso de un objeto, primero debe conocer el objeto y tratar de levantarlo. El/la niño/a mide el peso de los objetos en relación con el esfuerzo realizado para levantarlos o moverlos. Así, un cuerpo que no necesite de esfuerzo alguno, se considera liviano; y aquel que implica imprimir un esfuerzo considerable, se denomina pesado.

figura 2: Cambios físicos de la materia.

figura1: Cambios en el estado de la materia.

108

¿Pesa más el plomo que el algodón?

Es muy usual escuchar ex-presiones como la siguiente “El plomo es muy pesado” o: “El plomo es más pesado que el algodón”. Estas maneras de hablar son imprecisas y no deben emplearse.

Lo que se quiere dar a enten-der con las expresiones ante-riores es que si se tienen dos cuerpos iguales, por ejemplo, un cubo de plomo y un cubo de algodón, el primero pesa más que el segundo. Por con-siguiente, la manera correcta de expresarlo sería: Un cubo de plomo pesa más que un cubo igual de algodón.

¿Qué pesa más, un kilo de plomo o un kilo de algodón?

ACTIVIDAD DE INICIO: Materia.

Actividad 1: Propiedades físicas de los objetos.

Estrategia de aprendizaje:Formar en el estudiante la idea intuitiva de materia, mediante una serie de actividades que lo motiven y lo involucren forma directa en la creación de sus propios conceptos.

Materiales: 1. Caja de tamaño mediano (lo suficientemente grande para

introducir objetos.2. Objetos varios.

a. Piedras.b. Semillas.c. Dulces.d. Vaso con agua.e. Peluche.f. Gel para el cabello.

Descripción:En una caja de tamaño mediano se intro-duce un objeto sin que los/as estudiantes sepan de qué se trata. A continuación in-vitar a uno de los estudiantes a que adivi-ne el nombre del objeto que se encuentra dentro de la caja. Para ello, se vendan los ojos y utilizando el tacto, describe a sus compañeros la textura del objeto.

La práctica y uso del sentido muscular para estimar el peso de objetos es una actividad que motiva y orienta a la creación de la noción de peso en el estudiante.El peso es medible mediante la aplicación de unidades de medida. Entre ellas están: el gramo, el kilogramo, la libra, la onza.

El peso en kilogramos, es el mejor para empezar, de-bido a que es el más utilizado en la sociedad.

figura 3: Instrumentos de medición de peso.

figura 4: Niños/as utilizando el sentido del tacto.

109

Objetivo:Construir el concepto de peso a partir del análisis de activi-dades. Materiales:• 2 bolitas de plastilina

idénticas para cada estu-diante.

• 2 trozos de hule del mis-mo tamaño.

• 1 vaso con agua.• 2 recipientes de diferen-

tes formas físicas.

Finalidad:Que el/la estudiante com-prenda la ley de la conserva-ción de la materia.

Actividad 2: Conservación de la materia.

Proceso:Brindar a cada estudiante 2 bolitas de plastilina idénticas.

Observen las bolitas y respondan.¿Quién es más grande?¿Son iguales?R/ Sí.¿Qué características tienen?R/ Son curvas.R/ Son redondas.

Toma una de las bolitas y a continuación forma con ella una sal-chicha.

¿Cuál es más grande?¿Crees que la salchicha es mayor que la bolita?¿Crees que son iguales ambas?

Convierte la salchicha de nuevo en bolita y concluye.

Experiencias con trozos de hule:Ahora toma los dos trozos de hule y responde.Describe las características físicas que observas.¿Son iguales?Si estiras uno de ellos, ¿qué sucede?Ahora suéltalo. ¿Qué observas?

Conservación de la materia

La tentación de expresar que el plomo es más pesado que el algodón provoca que la pregunta sea contestada in-correctamente. La respuesta es ninguno, ambos pesan 1 kilo. 1 kilo de plomo se interpreta con un cubo de dimensiones pequeñas. Pero un kilo de al-godón, ¿cómo crees que se-ría?

El proceso se repite hasta finalizar la descripción del último ob-jeto contenido en la caja (al menos en su mayoría). Invitar a los/as estudiantes a que compartan las sensaciones que surgen al tocar objetos que no se observan.

A partir de la experiencia anterior, escribir un resumen donde se exprese el concepto de materia.

Los demás estudiantes escuchan atentamente la descripción y al final mencionan el nombre del objeto que consideran es el que se encuentra dentro de la caja.

figura 5: Hules de goma.

110

Experiencia con vasos con agua:Observa el vaso con agua y describe las características físicas del agua. Marca con un plumón el nivel del agua en el vasoSi viertes el agua en un recipiente distinto, ¿qué sucede?¿Tienes más agua o menos agua? Marca con un plumón y com-para los dos recipientes. Ahora devuelve el agua al vaso y concluye.

Objetivo:Formalizar un concepto en relación al peso de objetos y la medición del mismo. Materiales:

• 2 cajas de cartón.o una vacíao una llena de piedras

u objetos pesados.• 2 bolsas

o una llena de plumas o algodón.

o una llena de arena o tierra.

• Objetos que presentan pesos diferentes.

Finalidad:Que el/la estudiante com-prenda la noción de peso.

Actividad 3: ¿Qué es el peso?

Proceso.Invitar a un estudiante a que pase al frente a levantar una caja de cartón.¿Qué puedes decir de la caja?R/ PesaR/No pesa

Identifica la caja que pesa y la caja que no pesa¿Por qué crees que pesa la caja?¿Qué tendrías que hacer para que ambas cajas ten-gan igual peso?

Invitar a otro estudiante para que levante una de las dos bolsas.¿Qué opinas de la bolsa que levantas-te?R/ PesaR/ No pesa

¿Por qué crees que una bolsa pesa más que la otra si ambas están llenas?Menciona algunas propiedades de los objetos que se encuen-tran dentro de la bolsa.

¿Qué es peso?

figura 6: Muestra de agua.

figura 7: Instrumento de medición llamado balanza.

111

Actividad 5: Tarea investigativa.

Pedir a los/as niños/as que investiguen o pregunten a adultos y padres de familia sobre la balanza.A partir de las descripciones que reciben, construir una balanza para utilizarla en el salón de clases.Orientarlos/as en el proceso de construcción. La construcción de la balanza puede ser desarrollada en casa de los/as estudiantes con la orientación de padres de familia o persona responsable.

Actividad 6: Utilicemos la balanza.

Colocar en un extremo de la balanza una roca u objeto pesado. En el otro extremo, posicionar las bolsas con los rótulos de 1kg, 1g, 1lb o 1onz.El reto consiste en lograr que la balanza se equilibre. Una vez logrado esto, observar los elementos utilizados para equilibrar y anotar cada uno de los nombres.

Proporcionar diversos objetos y, en grupos, pesar cada uno de ellos, con el reto de equilibrar la balanza, Al lograr el cometido, anotar los elementos que se utilizaron.

Objetivo:Utilizar una balanza para re-lacionar el peso de objetos. Materiales:• 1 balanza.• Bolsas con arena que pe-

sen exactamente 1 kilo-gramo.

• Bolsas pequeñas que pe-sen exactamente 1 gra-mo.

• Bolsas que pesen 1 libra.• Bolsas que pesen 1 onza.

Cada una de las bolsas será etiquetada con el peso que contiene para un mejor uso por parte de los estudiantes.

Finalidad:

Fortalecer competencias pro-cedimentales mediante la in-terpretación de problemas de aplicación. Motivar a la transi-ción de modelos concretos a procesos abstractos.

Actividad 4: Dramaticemos Invitar a dos estudiantes a realizar una dramatización que oriente sobre la existencia del peso de objetos y ¿por qué pesan más unos que otros?

El primer niño/a levantará una pluma del suelo, imaginando que pesa como una roca.

El segundo niño/a levantará la misma pluma imaginando que pesa como pluma.

Figura 8: Medición de objetos en una balanza.

112

Al terminar de pesar todos los objetos, ordena de menor a ma-yor, según el peso expresado por ellos.

¿Por qué pesan más unos objetos que otros?¿Por qué tienes que equilibrarla?

Nota:En ejercicios que presentan operaciones de suma, resta y multiplicación, primero se efectúa la multiplicación y después sumas o restas.

REFERENCIA1. Lovell, K. (1966), “Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños”

ediciones Morata S,L Madrid.

2. Mosqueira, S. (1969) “Física Elemental”, Talleres de Imprenta y Offset de “La Impresa Azte-ca”, S.A. de R.L., México D.F.

113

Analiza las siguientes aplicaciones y elabora un proceso que permita determinar la respuesta correcta.

1. LOS GATOS Y LOS GATITOS: Según la figura, se observa que cuatro gatos y tres gatitos pesan 15 kg, y tres gatos y cuatro gatitos pesan 13 kg. ¿Cuánto pesa cada gato y cada gatito por separado?

2. EL PESO DE LAS FRUTAS: Tres manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 meloco-tones, y seis melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera. ¿Cuánto pesa cada fruta por separado?

GUÍA DE TRABAJO

CREDITOS DE FOTOGRAFIA

Sitios web de imágenes1. Wikimediacommons.org, imágenes bajo licencia CC BY-SA 3.0 http://goo.gl/GXli02. Corbisimages.com, imágenes bajo términos Royalty Free http://goo.gl/WhXgC3. Inmagine.com, imágenes bajo términos Royalty Free http://goo.gl/d3jEa4. Public-domain-image.com, imágenes de dominio publico bajo licencia CC0 1.0

http://goo.gl/BaLIH5. Openclipart.org, imágenes de dominio publico bajo licencia CC0 1.0 http://goo.gl/

BaLIH6. Recursostic.educacion.es, imágenes bajo licencia CC BY-NC-SA 3.0 ES http://goo.

gl/X4Ya87. Sciencephotolibrary.com, imágenes bajo términos Royalty Free http://goo.gl/tYNKa

Este material de Autoformación e Innovación Docente es un esfuer-zo del Gobierno de El Salvador (Gestión 2009-2014) para desarrollar y potenciar la creatividad de todos los salvadoreños y salvadoreñas, desde una visión que contempla la Ciencia y la Tecnología de una manera “viva” en el currículo nacional, la visión CTI (Ciencia, Tecnología e Innovación)

Viceministerio de Ciencia y Tecnología

Gerencia de Educación en Ciencia Tecnología e Innovación