matemática 1

MATEMÁTICA I

ifna

Instituto Federal Nicolás Avellaneda

EDITORIAL DEL CENTRO EDUCATIVO ARGENTINO

BUENOS AIRES - ARGENTINA

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Todos los derechos reservados. Hecho el depósito que marca la Ley 11.723 El derecho de propiedad de esta obra comprende para su autor la facultad exclusiva de disponer de ella, publicarla, traducirla, adaptarla o autorizar su traducción y reproducirla en cualquier forma, total o parcial, por medios electrónicos o mecánicos, incluyendo fotocopia, copia xerográfica, grabación magnetofónica y cualquier sistema de almacenamiento de información. Por consiguiente ninguna persona física o jurídica está facultada para ejercer los derechos precitados sin permiso escrito del autor y del editor. I.S.B.N.: 987 – 9464 – 10 – 9



ÍNDICE

Introducción y orientación para el estudio del espacio curricular.......................................... 7 Cómo trabajar con este libro................................................................................................... 9 Algunas convenciones........................................................................................................... 10 UNIDAD 1: NÚMEROS ENTEROS

Objetivos................................................................................................................................. 13 1. Números naturales............................................................................................................... 13 2. Relaciones de los números naturales................................................................................... 14 2.1. De igualdad................................................................................................................... 14 2.2. De desigualdad.............................................................................................................. 14 3. Números enteros.................................................................................................................. 14 4. Valor absoluto de un número entero................................................................................... 15 5. Representación de los números enteros.............................................................................. 15 6. Relaciones entre números enteros...................................................................................... 16 6.1. De igualdad................................................................................................................... 16 6.2. De la desigualdad.......................................................................................................... 16 7. Operaciones en Z................................................................................................................. 16 7.1. Adición o suma en Z.................................................................................................... 16 7.2. Sustracción o resta en Z................................................................................................ 18 7.3. Suma algebraica............................................................................................................ 19 7.4. Cancelación de términos............................................................................................... 19 7.5. Supresión de paréntesis................................................................................................. 19 7.6. Multiplicación en Z....................................................................................................... 20 7.7. División en Z................................................................................................................. 22 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 24 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 26 UNIDAD 2: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN N y Z

Objetivos................................................................................................................................. 30 1. Potenciación en N............................................................................................................ 30 1.1. Propiedades de la potenciación en N............................................................................ 31 1.2. Propiedades distributivas.............................................................................................. 32 1.3. Propiedades recíprocas................................................................................................. 32 1.4. Producto de potencias de igual base............................................................................. 33 1.5. Cociente de potencias de igual base.............................................................................. 33 1.6. Potencia de una potencia............................................................................................... 33 1.7. Cuadrado de la suma de dos números........................................................................... 33 1.8. Cuadrado de la diferencia de dos números.................................................................... 33 1.9. Producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos........................ 34



2. Radicación en N.................................................................................................................. 34 2.1. Propiedades de la radicación en N................................................................................ 34 2.2. Propiedades distributivas.............................................................................................. 35 2.3. Propiedades recíprocas................................................................................................. 36 2.4. Raíz de una raíz............................................................................................................. 36 2.5. Simplificación de índices y exponentes........................................................................ 36 3. Potenciación en Z................................................................................................................ 36 3.1. Regla de los signos........................................................................................................ 37 3.2. Propiedades de la potenciación en Z............................................................................. 37 4. Radicación en Z................................................................................................................ 37 4.1. Regla de los signos....................................................................................................... 37 4.2. Propiedades de la radicación en Z................................................................................ 38 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 39 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 42

UNIDAD 3: NÚMEROS RACIONALES Objetivos................................................................................................................................. 46 1. Múltiplos y divisores....................................................................................................... 46 1.1. Propiedades de los múltiplos de un número.................................................................. 47 1.2. Criterios de divisibilidad............................................................................................... 47 2. Números primos y compuestos........................................................................................... 48 2.1. Descomposición de un número en factores primos....................................................... 49 3. Máximo común divisor....................................................................................................... 49 4. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)....................................................................................... 49 5. Casos de imposibilidad de división..................................................................................... 50 5.1. Imposibilidad de división de números enteros.............................................................. 50 6. Números racionales......................................................................................................... 50 6.1. Representación de los números racionales sobre la recta numérica.............................. 51 7. Reducción de fracciones..................................................................................................... 51 7.1. Denominador común menor......................................................................................... 51 8. Operaciones con números racionales.................................................................................. 53 8.1. Adición de números racionales..................................................................................... 53 8.2. Sustracción de números racionales............................................................................... 54 8.3. Multiplicación de números racionales.......................................................................... 55 8.4. División de números racionales.................................................................................... 56 8.5. Potenciación de números racionales............................................................................. 58 8.6. Radicación de números racionales................................................................................ 60 9. Fracción y número decimal............................................................................................. 61 10. Fracción ordinaria............................................................................................................. 61 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 62 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 65



UNIDAD 4: ECUACIONES E INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Objetivos................................................................................................................................. 69 1. Ecuaciones.......................................................................................................................... 69 1.1. Concepto....................................................................................................................... 69 1.2. Propiedades................................................................................................................... 70 2. Resolución de ecuaciones con una incógnita...................................................................... 70 3. Planteamiento de problemas............................................................................................... 71 4. Inecuaciones con una incógnita.......................................................................................... 72 5. Ecuaciones fraccionarias..................................................................................................... 74 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 76 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 77 UNIDAD 5: CONJUNTO DE PUNTOS Objetivos................................................................................................................................. 81 1. La geometría....................................................................................................................... 81 1.1. El punto......................................................................................................................... 81 1.2. La recta......................................................................................................................... 81 1.3. El plano......................................................................................................................... 82 2. Axiomas del punto, la recta y el plano............................................................................... 82 3. Semiplano............................................................................................................................ 83 3.1. Axioma de la separación del plano............................................................................... 84 4. Semirrecta........................................................................................................................... 84 4.1. Axioma de la separación de la recta............................................................................. 85 5. Segmento............................................................................................................................ 85 5.1. Relaciones y propiedades de segmentos....................................................................... 85 5.2. Igualdad y desigualdad de segmentos........................................................................... 86 6. Ángulos............................................................................................................................... 87 6.1. Ángulo convexo............................................................................................................ 87 6.2. Ángulo cóncavo............................................................................................................ 87 6.3. Ángulo llano.................................................................................................................. 88 6.4. Ángulo nulo.................................................................................................................. 88 6.5. Bisectriz de un ángulo................................................................................................... 88 6.6. Clasificación de los ángulos.......................................................................................... 89 7. Posiciones de la recta en el plano........................................................................................ 92 7.1. Rectas oblicuas.............................................................................................................. 92 7.2. Rectas perpendiculares.................................................................................................. 92 7.3. Rectas paralelas............................................................................................................. 93 8. Ángulos particulares............................................................................................................ 94 8.1. Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una tercera........................... 94 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 98 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 102



UNIDAD 6: TRIÁNGULOS

Objetivos................................................................................................................................. 107 1. Introducción........................................................................................................................ 107 1.1. Abierto.......................................................................................................................... 107 1.2. Cerrado.......................................................................................................................... 107 2. Triángulo............................................................................................................................. 108 2.1. Clasificación de los triángulos...................................................................................... 109 2.2. Congruencia de triángulos............................................................................................ 110 2.3. Construcción de triángulos............................................................................................ 111 2.4. Alturas de triángulo....................................................................................................... 112 2.5. Medianas de un triángulo.............................................................................................. 113 2.6. Bisectrices de un triángulo............................................................................................ 113 2.7. Mediatrices de un triángulo........................................................................................... 114 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 115 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 116 UNIDAD 7: MEDIDAS. SISTEMAS Objetivos................................................................................................................................. 120 1. Medidas............................................................................................................................... 120 2. Sistema métrico legal argentino.......................................................................................... 121 2.1. Medidas de longitud...................................................................................................... 122 2.2. Medidas de superficie................................................................................................... 122 2.3. Medidas de volumen..................................................................................................... 123 2.4. Medidas de peso............................................................................................................ 124 2.5. Medidas de capacidad................................................................................................... 125 3. Cuadro de relaciones entre unidades................................................................................... 125 3.1. Capacidad, peso y volumen........................................................................................... 125 4. Sistema sexagesimal............................................................................................................ 125 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 127 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 128

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Introducción y orientaciones para el estudio de este espacio curricular

Estimado alumno:

La idea de este espacio curricular, es la de facilitarle a Ud. la comprensión de la importancia que tiene Matemática I. En la primera Unidad de este texto encontrará: Números naturales. Relaciones de los números naturales. Números enteros: valor absoluto; representación; relación. Operaciones en Z: adición, sustracción, suma algebraica, cancelación de términos, supresión de paréntesis. Multiplicación, división: leyes; propiedades. A posteriori analizaremos en la segunda Unidad: Potenciación en N. Propiedades. Operaciones. Radicación en N. Propiedades. Operaciones. Simplificación de índices y exponentes. Potenciación en Z. Propiedades. Radicación en Z. Propiedades. Regla de los signos. En la tercera Unidad veremos: Múltiplos y divisores. Propiedades de la relación y de los múltiplos de un número. Criterios de divisibilidad. Números primos y compuestos. Descomposición de un número en factores primos. Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo. Casos de imposibilidad de división de números enteros. Números racionales. Reducción de fracciones a denominador común. Operaciones con números racionales. Fracción compuesta. Fracción decimal y número decimal. Fracción ordinaria. Pasaremos luego a estudiar en la cuarta Unidad: Ecuaciones: Concepto. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Interpretación gráfica. Problemas que se resuelven mediante ecuaciones de primer grado. Inecuaciones: concepto. Interpretación gráfica. Ecuaciones fraccionarias. En la quinta Unidad: El punto, la recta y el plano. Segmento: relaciones y propiedades; igualdad y desigualdad. Ángulos: clasificación. Posición de la recta en el plano. Seguidamente en la sexta Unidad: Triángulos: clasificación y propiedades. Construcción de triángulos. Alturas; medianas; bisectrices; mediatriz. Propiedades. En séptima instancia, nos internaremos en: Medidas. Sistema métrico legal Argentino. Medidas de longitud; superficie; volumen; peso. Múltiplos y submúltiplos; cuadro de relaciones Sistema sexagesimal. Se tratarán temas para adentrarse al aprendizaje del manejo de Matemática I, tratando los mismos de justificar su uso y permitirle a Ud. comenzar a trabajar y crear estructuras válidas que sean sustento de aplicaciones que irá desarrollando en el transcurso de las unidades componentes. Los temas abordados le permitirán diferenciar entre los distintos tipos, determinar criterios y opciones como así también definir estructuras, poder comprender selecciones y actualizaciones de contenidos. Así, usted encontrará las características básicas. Podrá conocer y aplicar conceptos específicos.



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En otro orden de ideas no se olvide que usted está estudiando bajo la modalidad...

A DISTANCIA Lo cual le permitirá:

- organizar su aprendizaje de acuerdo con sus horarios; - enfrentar los materiales de aprendizaje en forma independiente; - aunque no descarte contactarse con sus compañeros y... ¡por supuesto!, con su tutor. - en este camino, le solicitamos no olvidar las técnicas de trabajo intelectual que le permiten un aprendizaje acorde con las exigencias de la carrera.

Es nuestro deseo que este recorrido le resulte agradable y cumpla con sus expectativas.

¿Empezamos?



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Cómo trabajar con este libro

Le pedimos que trate de respetar la secuencia planteada, dado que supone un estudio

teórico, marco de las actividades que se le proponen.

Las mismas, le permitirán retroalimentar los contenidos.

Si duda, busque a su tutor: él lo orientará de acuerdo con sus necesidades.



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Algunas convenciones

Indicamos a continuación los íconos que utilizaremos a lo largo de este texto:

ÍCONOS DESCRIPCIÓN Y USO

Pregunto......¿Qué opina Ud. de tal tema? ¿Cómo le parece que puede encararse tal situación?

Actividades

CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN

Señala que determinado tema es importante y debe ser tenido presente.


SOLUCIONES SUGERIDAS

A B C GLOSARIO

LECTURA / BIBLIOGRAFÍA

Remite a leer un tema tratado anteriormente en el libro.

Indica que lo expresado en un párrafo es importante y debe ser tenido en cuenta.

No olvide que…



UNIDAD 1

NÚMEROS ENTEROS



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UNIDAD 1

NÚMEROS ENTEROS

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir relaciones de los números naturales. - Identificar propiedades. - Resolver productos.

11 NÚMEROS NATURALES

Para empezar a hablar de los números enteros, vamos a hablar primero de los números naturales. Los números naturales están incluidos dentro de los números enteros. A B

En estos dos conjuntos se relaciona cada elemento de A con un elemento de B. De la misma manera se pueden relacionar los elementos de B con los elementos de A. La propiedad común de dos conjuntos finitos coordinables es el cardinal de esos conjuntos. El cardinal es un número natural. El cardinal de un conjunto es el número de elementos que posee. # = cardinal Por ejemplo:

El cardinal de los conjuntos unitarios es el número natural 1. El cardinal de los conjuntos binarios es el número natural 2. El cardinal de A = { 0, 1, 2 } es el número natural 3. El cardinal del conjunto vacío es el número natural 0.

a b c

d e f



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Designamos N al conjunto de números naturales. N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

22 RELACIONES DE LOS NÚMEROS NATURALES

2.1 De igualdad Los cardinales de dos conjuntos coordinables son números naturales iguales.

Ej: # A = 1 y # B = 1 # A = # B

2.1.1 Propiedades de la igualdad

ó Reflexiva: todo número natural es igual a sí mismo. ó Simétrica: si un número natural es igual a otro, éste es igual al primero.. ó Transitiva: si un número natural es igual a otro, y éste es igual a un tercero, el primero es igual al tercero.

2.2 De desigualdad Si dos conjuntos no son coordinables, sus cardinales no son iguales. Hay dos tipos de relación:

π Relación de mayor: # A = 6 y # B = 1 # A > # B π Relación de menor: # A = 3 y # B = 7 #A < # B

2.2.1 Propiedades de la desigualdad

ó No Reflexiva: es falso que A > A ó No Simétrica: si a > b es falso que b > a. ó Transitiva: si a > b y b > c a < c.

33 NÚMEROS ENTEROS

Los números naturales y los números negativos forman al conjunto de números enteros que se designa Z. Si consideramos un par de números {4, 2} tenemos una clase de equivalencia. Cada clase de equivalencia definirá a un número entero.



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A los números naturales también se los llama enteros positivos. En este caso, el primer elemento del par es mayor que el segundo. Por ejemplo, {4, 2} = +2. Estos números se representan por un número natural precedido por el signo +. Generalmente no hace falta escribir al sino +, ya que si un número no tiene signo se entiende que es positivo.

Si el primer elemento del par es menor que el segundo, tendremos un número entero llamado entero negativo. A estos números se los representa por medio de un número natural precedido del signo -. Por ejemplo: {1, 2} = -1 También puede darse el caso de un par cuyos componentes sean iguales. Al número que surge se lo llama cero (0). Este número no tiene signo. Por ejemplo: {2, 2} = 0

44 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

El número entero queda definido por un número natural y un signo ( + o -). El número natural es el valor absoluto del número entero. Ej: + 8 y – 8 8 = valor absoluto + y - = signos Estos dos son números opuestos simétricos, tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo.

55 REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Dada una recta y un punto 0, se representan sobre una de las semirrectas los enteros positivos y los enteros negativos sobre la semirrecta opuesta, a cada uno de los lados de 0.

El valor absoluto del 0 es el mismo número.



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Cada número entero corresponde a un punto de la recta. Existen infinitos puntos de la recta a los que no corresponde ningún número entero, por lo tanto, podemos decir que no la completan.

66 RELACIONES ENTRE NÚMEROS ENTEROS

6.1 De igualdad Dos números enteros son iguales si tienen el mismo signo e igual valor absoluto. Ej: +12 = +12 (- 1) = ( - 1) 6.1.1 Propiedades de la igualdad Goza de las mismas propiedades que la igualdad de los números naturales: Reflexiva, Simétrica y Transitiva.

6.2 De la desigualdad Si dos números enteros son positivos, es mayor el de mayor valor absoluto. Ej: 12 > 6 Si dos números enteros tienen distinto signo, es mayor el positivo. Ej: 15 > - 40 Si dos números enteros son negativos, es mayor el de menor valor absoluto. Ej: - 1 > - 16

6.2.1 Propiedades de la desigualdad Goza de las mismas propiedades que la desigualdad de los números naturales: No Reflexiva, No Simétrica y Transitiva.

77 OPERACIONES EN Z

7.1 Adición o suma en Z La adición es una operación que aplicada a un par de números enteros, da como resultado otro número entero. Ej: (+ 3) + (+ 4) = (+ 7) (+ 3) y (+ 4) son los términos de la adición o sumandos. (+ 7) es la suma de los números dados.



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En la adición en Z puede haber dos posibilidades: 7.1.1 Sumandos de igual signo Se suman los valores absolutos de los sumandos y el resultado tiene el mismo signo.

Ej: (+ 3) + (+ 4) = (+ 7) (- 3) + (- 4) = (- 7)

7.1.2 Sumando de distinto signo Se restan los valores absolutos de los sumandos, en el sentido posible y el resultado tiene el signo del de mayor valor absoluto.

Ej: (- 5) + 10 = 5 (- 10) + 5 = (- 5) 15 + (- 2) = 13

7.1.3 Propiedades de la adición en Z 1. Conmutativa Si en la adición de dos números enteros se cambia el orden de los sumandos, el resultado no varía.

Ej: (- 5) + 10 = 5 10 + (- 5) = 5

2. Ley de cierre La suma de dos números enteros es siempre un número entero.

Si (- 5) ∈ Z y (+ 10) ∈ Z ⇒ 5 ∈ Z 3. Ley asociativa Si en la adición de tres o más números enteros se reemplazan dos de ellos por su suma, no varía el resultado.

Ej: (- 2 + 3) + 5 = (- 2) + (3 + 5) 1 + 5 = (- 2) + 8

6 = 6

4. Ley uniforme Si se suma un mismo número entero a los dos miembros de una igualdad, se obtiene otra igualdad.



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Ej: (- 15) = (- 18) + 3 ⇓ (- 15) + 2 = (- 18 + 3) + 2 (- 13) = (- 13)

5. Ley cancelativa Si en ambos miembros de una igualdad figura un sumando, puede suprimirse.

Ej: (- 15) + 6 = (- 18 + 3) + 6 (- 15) = (- 18) + 3

6. Existencia de elemento neutro Cero (0) es el elemento neutro de la adición en Z.

Ej: (- 15) + 0 = 0 + (- 15) ⇒ (- 15) 7. Existencia de opuesto aditivo Para cada número entero existe otro número entero tal que al aplicar a ambos la adición el resultado es el neutro (0).

Ej: 15 + (- 15) = 0

7.2 Sustracción o resta en Z La diferencia entre un número entero a y otro número entero b, es otro número entero n que sumado a b, de cómo resultado el número a.

a – b = n ⇔ n + b = a

El primer término de una resta se llama minuendo y el segundo término se llama sustraendo.

El resultado de esta operación es la resta o diferencia. Ej: 2 – 5 = 2 + (- 5) 2 – 5 = (- 3) La diferencia en enteros es igual a la suma del minuendo y el opuesto del sustraendo.



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7.3 Suma algebraica Una suma algebraica es una combinación de sumas y de restas. Ej: 15 + 3 – 5 – 1 + 2 Cada uno de estos números es un término de la suma algebraica. Se resuelve restando a la suma de los términos que suman, la suma de los términos que restan.

Ej: 15 + 3 – 5 – 1 + 2 (15 + 3 + 2) – ( 5 + 1)

20 – 6 = 14

7.4 Cancelación de términos En la adición y en la sustracción, dos términos pueden cancelarse en los siguientes casos:

0 Si un número figura en ambos miembros de una igualdad con el mismo signo. 0 Si en un mismo miembro de una igualdad figuran dos números opuestos.

7.5 Supresión de paréntesis

12 – 6 + 4 – 3 – 4 = 15 – 6 + 2 – 8 9 = 9

Los paréntesis se usan para agrupar términos indicando el orden de las operaciones.

5 – 8 – 6 + 2 – 7 = (5 + 2) – ( 8 + 6 + 7)

0 Todo paréntesis precedido por el signo más puede suprimirse escribiendo los términos encerrados en él con sus propios signos.

0 Todo paréntesis precedido por el signo menos puede suprimirse escribiendo los términos encerrados en él con los signos contrarios.

Ej: 8 + (9 – 1) – (7 + 4) – (5 – 2)

Resuelto según indican los paréntesis: = 8 + 8 – 11 – 3 = 2 Resuelto previa supresión de los paréntesis: = 8 + 9 – 1 – 7 – 4 – 5 + 2 = (8 + 9 + 2) – (1 + 7 + 4 + 5) = 19 – 17 = 2



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7.6 Multiplicación en Z El producto es el resultado de esta operación. Los términos se llaman factores.

El producto de dos números enteros distintos de cero (0) es otro número entero cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores y cuyo signo es + ó – , según que los factores tengan o no distinto signo. Si tenemos en cuenta el signo, se pueden dar dos casos: 7.6.1 Producto de números enteros del mismo signo

(+ 4) (+ 3) = (+ 12) (- 4) (- 3) = (+ 12)

El producto de números enteros del mismo signo es otro número entero tal que:

π Su signo es positivo (+). π Su valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

7.6.2 Producto de números enteros de distinto signo

(- 4) (+ 3) = (- 12) El producto de números enteros de distinto signo es otro número entero tal que:

π Su signo es negativo (-). π Su valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

7.6.3 Propiedades de la multiplicación de números enteros 1. Conmutativa Si en la multiplicación de dos números enteros se cambia el orden de los factores, el resultado no varía. Ej: (- 2) (- 3) = (+ 6)

(- 3) (- 2) = (+ 6)



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2. Ley de Cierre El producto de dos números enteros es siempre un número entero.

Si (- 3) ∈ Z y (- 2) ∈ Z ⇒ (+ 6) ∈ Z

3. Ley asociativa

Si en la multiplicación de tres o más factores se reemplazan dos de ellos por su producto, no varía el resultado.

Ej: (2 . 3) (- 2) = 2 [3 (- 2)]

6 (- 2) = 2 (- 6) - 12 = - 12

4. Ley uniforme Si se multiplican por un mismo número entero a los dos miembros de una igualdad, se obtiene otra igualdad.

Ej: (- 6) = 3 (- 2) ⇓ (- 6) . 5 = 3 (- 2) . 5 (- 30) = (- 30) 5. Ley cancelativa Si en ambos miembros de una igualdad figura un mismo factor distinto de cero (0) que multiplica a todo el miembro, éste puede suprimirse.

Ej: (- 6) . 5 = 3 (- 2) . 5 ⇓ (- 6) = 3 (- 2)

6. Existencia de elemento neutro La multiplicación de cualquier número entero y uno (1), es dicho número entero. Uno (1) es, por lo tanto, el elemento neutro de la multiplicación.

Ej: (- 2) . 1 = 1 . (- 2) = (- 2) 7. Propiedad distributiva



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La multiplicación de números enteros es distributiva con respecto a la adición de números enteros.

Ej: [(+ 3) + (- 7)] (- 5) = (+ 3) (- 5) + (- 7) (- 5) (- 4) (- 5) = (- 15) + (+ 35) (+ 20) = (+ 20)

7.7 División en Z Dividir un número entero a por otro b, siendo a múltiplo de b y b distinto de cero (0), es hallar un tercer número c tal que multiplicado por b, de por resultado a. Este número c es el cociente entre a y b.

Ej: (- 28) : 7 = (- 4) ⇒ (- 4) 7 = (- 28) Si tenemos en cuenta el signo, se pueden dar dos casos: 7.7.1 Cociente de dos números enteros del mismo signo (+ 12) : (+ 3) = (+ 4) ya que (+ 4) (+ 3) = (+ 12) (- 12) : (- 3) = (+ 4) ya que (+ 4) (- 3) = (- 12) 7.7.2 Cociente de dos números enteros de distinto signo (+ 12) : (- 3) = (- 4) ya que (- 4) (- 3) = (+ 12) (- 12) : (+ 3) = (- 4) ya que (- 4) (+ 3) = (- 12) Por lo tanto:

_ El signo es positivo (+) si los números tienen el mismo signo. _ El signo es negativo (-) si los números tienen distinto signo. _ El valor absoluto es el cociente de los valores absolutos de los números dados.

7.7.3 Propiedades de la división de números enteros

1. No es conmutativa

Ej: 15 : (- 3) ≠ (- 3) : 15

El primer término se llama dividendo y el segundo se llama divisor.



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2. No cumple la Ley de cierre 3. No es asociativa 4. Ley uniforme Si se divide por un mismo número entero a los dos miembros de una igualdad, se obtiene otra igualdad.

Ej: (- 12) = 2 (- 6) ⇓ (- 12) : 3 = 2 (- 6) :3 (- 4) = (- 4)

5. Ley cancelativa Si en ambos miembros de una igualdad figura un mismo número entero como divisor de todo el miembro, éste puede simplificarse.

Ej: (- 12) : 3 = 2 (- 6) : 3 ⇓

(- 12) = 2 (- 6) 6. Propiedad distributiva La división de números enteros es distributiva con respecto a la adición de números enteros.

Ej: [(- 6) + 8 + 10] : 2 = (- 6) : 2 + 8 : 2 + 10 : 2 12 : 2 = (- 3) + 4 + 5 6 = 6

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¡Perfecto! Ha finalizado Ud. La Unidad 1 ¿Continuamos con la 2?

Si tiene dudas, por favor, comuníquese con su tutor



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1. Expresar el cardinal de: A = { x/x es provincia de la República argentina } B = { x/x es satélite natural de la Tierra } C = { x/x es jugador de un equipo de fútbol } 2. Ordenar de menor a mayor los números a, b, c, 9, 2, 5 sabiendo que: 5 < b; 2 > a; b > 9; c > 2; c < 5 3. 1. Dados los siguientes números enteros: - 5, 2, 0, - 3, 1, 8, - 6, - 2 a) representarlos en la recta numérica. b) ordenarlos en forma decreciente. c) indicar entre ellos pares de opuestos. d) escribir el valor absoluto de cada uno de ellos. 4. Resolver las siguientes adiciones: a) ( - 23 ) + 45 = b) ( - 28 ) + 28 = c) 30 + ( - 8 ) = d) 42 + ( - 50) = e) ( - 15 ) + ( - 15 ) = f) ( - 9 ) + ( - 4 ) = 5. Resolver las siguientes sustracciones: a) ( - 20) – 8 = b) ( - 4 ) – ( - 18 ) = c) 11 – 9 = d) 16 – 24 = e) 28 – 0 = f) 0 – 13 = 6. Resolver las siguientes sumas algebraicas:



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a) - 8 + 14 + 2 – 15 – 9 = b) 20 – 40 + 50 – 30 + 60 = c) 11 + 4 – 19 + 1 – 21 + 4 = 7. Resolver suprimiendo paréntesis y cancelando términos: - 7 + [ 6 – ( 4 – 7 ) + ( 4 – 8 ) – 1 ] + 3 = 8. Resolver los siguientes productos: a) ( - 7 ) ( - 9 ) = b) ( + 12 ) ( + 3 ) = c) ( + 20 ) ( - 5 ) = d) ( - 14 ) ( + 2 ) = e) ( - 6 ) ( + 5 ) = f) ( - 13 ) ( - 2 ) = g) ( - 5 ) ( - 4 ) ( - 3 ) ( + 1 ) = h) ( - 2 ) ( - 5 ) ( - 10 ) ( - 3 ) = i) ( + 2 ) ( - 3 ) ( + 5 ) ( - 4 ) = 9. Resolver las siguientes divisiones: a) ( + 32 ) : ( + 16 ) = b) ( + 15 ) : ( + 3 ) = c) ( - 18 ) : ( + 3 ) = d) ( - 21 ) : ( - 7 ) = e) ( + 100 ) : ( - 5 ) = f) ( - 63 ) : ( - 9 ) = 10. Resolver aplicando la propiedad distributiva: a) [ ( + 6 ) + ( - 5 ) ]. ( - 2 ) =

b) [ ( - 6 ) + 10 + 12 ] : 2 =

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CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN SOLUCIONES SUGERIDAS

1. a) 23 b) 1 c) 11 2. a < 2 < c < 5 < 9 < b 3. 1. a) - 6 - 5 - 3 - 2 0 1 2 8 b) 8 > 2 > 1 > 0 > - 2 > - 3 > - 5 > - 6 c) 2 y – 2 0 y 0 d) | - 6 | = 6 | - 5 | = 5 | - 3 | = 3 | - 2 | = 2 | 0 | = 0 | 1 | = 1 | 2 | = 2 | 8 | = 8 4. a) = 22 b) = 0 c) = 22 d) = (-8) e) = (-30) f) = (-13) 5. a) = (-28) b) = 14 c) = 2 d) = (-8) e) = 28 f) = (-13) 6. a) = (-16) b) = 60 c) = (-20) 7. – 7 + [ 6 – ( 4 – 7 ) + ( 4 – 8 ) – 1 ] + 3 = = - 7 + [ 6 – 4 + 7 + 4 – 8 – 1 ] + 3 = - 7 + 6 – 4 + 7 + 4 – 8 – 1 + 3



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= 6 – 8 – 1 + 3 = ( 6 + 3 ) – ( 8 – 1 ) = 9 – 9 = 0 8. a) = (+63) b) = (+36) c) = (-100) d) = (-28) e) = (-30) f) = (+26) g) = (-60) h) = (+300) i) = (+120) 9. a) = (+2) b) = (+5) c) = (-6) d) = (+3) e) = (-20) f) = (+7) 10. a) = ( +6 ) (- 2 ) + ( -5 ) ( -2 ) = ( -12 ) + 10 = - 2 b) = ( - 6 ) : 2 + 10 : 2 + 12 : 2 = ( - 3 ) + 5 + 6 = 8

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UNIDAD 2

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN N y Z



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UNIDAD 2

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN N y Z

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Identificar propiedades de la radicación. - Diferenciar leyes. - Calcular potencias.

11 POTENCIACIÓN EN N

Se llama potencia enésima de un número natural a, siendo n ³ 1, al producto de n factores iguales a a. an = a . a . a ... n factores Se lee: a a la enésima a = base n = exponente

El resultado de an se llama potencia. Ej: 34 = 3 . 3 . 3 . 3 34 = 81

♦ La potenciación es una manera abreviada de escribir el producto de factores iguales.

♦ Si el exponente es uno, la potencia es igual a la base.

Ej: 121 = 12



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♦ Si el exponente es cero y la base distinta de cero, la potencia es igual a uno.

Ej: 250 = 1

♦ Si el exponente es dos, la potencia se llama cuadrado.

Ej: 62 = 36

♦ Si el exponente es tres, la potencia se llama cubo.

Ej: 33 = 27

♦ Toda potencia de base cero y exponente distinto de cero es igual a cero.

Ej: 01 = 0

♦ Toda potencia de base uno es igual a uno.

Ej: 112 = 1

1.1 Propiedades de la potenciación en N 1.1.1 No es conmutativa No es lo mismo elevar un número a un exponente que intercambiarlos, siendo el exponente del valor de la base y la base del valor del exponente.

Ej: 62 ≠ 26 1.1.2 Ley de monotonía Si un número es menor que otro y se elevan a la misma potencia, ese número seguirá siendo menor que el otro, y en forma inversa, si un número es mayor que otro y se elevan a la misma potencia, ese número seguirá siendo mayor que el otro.

Ej: Si a < b ⇒ an < bn ó también 2 < 5 será 22 < 52 5 > 2 será 52 > 22 4 < 25 25 > 4



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1.1.3 Ley Uniforme Si ambos miembros de una igualdad se elevan al mismo exponente, se obtiene otra igualdad.

Ej: 2 = 2 ⇒ 22 = 22 4 = 4 1.1.4 Ley cancelativa Si ambos miembros de una igualdad están elevados a un mismo exponente distinto de cero (0), pueden simplificarse los exponentes.

Ej: Si an = bn ⇒ a = b 22 = 22 Þ 2 = 2

1.2 Propiedades distributivas

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división. No ocurre lo mismo con respecto a la adición y a la sustracción. 1.2.1 Con respecto a la multiplicación: Potencia de un producto La potencia enésima de un producto es igual al producto de las potencias enésimas de cada uno de los factores.

( a . b )n = an . bn (7 . 5 )4 = 74 . 54

1.2.2 Con respecto a la división: Potencia de un cociente La potencia enésima de un cociente es igual al cociente de las potencias enésimas del dividendo y del divisor.

( a : b )n = an : bn ( 25 : 5 )4 = 254 : 54

1.3 Propiedades recíprocas 1.3.1 Producto de potencias del mismo exponente Se da por la propiedad simétrica de la igualdad de relación.



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an . bn = ( a . b )n 1.3.2 Cociente de potencias del mismo exponente Se da por la propiedad simétrica de la igualdad de relación. an : bn = ( a : b )n 1.4 Producto de potencias de igual base El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores dados.

a3 . a2 = a3 + 2 = a5 33 . 32 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 ⇒ 33 + 2 = 35

1.5 Cociente de potencias de igual base El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. a5 : a2 = a5 – 2 = a3 1.6 Potencia de una potencia La potencia de otra potencia es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente es el producto de los exponentes dados. (a3)2 = a3 . a3 ⇒ a3 . 2 (85)4 = 85 . 4

1.7 Cuadrado de la suma de dos números El cuadrado de la suma de dos números, es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

1.8 Cuadrado de la diferencia de dos números El cuadrado de la diferencia de dos números, es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, menos el cuadrado del segundo. ( a – b )2 = a2 - 2 ab + b2



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1.9 Producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos El producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos, es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. ( a + b ) . ( a – b) = a2 - b2

22 RADICACIÓN EN N

Se llama raíz enésima de un número natural a siendo n ≥ 1, a otro número natural b tal que elevado a la potencia enésima sea a.

bn = a ⇔ = n a = b

a = radicando n = índice b = raíz

= signo radical a = bn ⇒ b es raíz exacta de a 3 125= 5 ya que 53 = 125 125 = radicando 5 = raíz 3 = índice

La radicación es posible en N si y sólo si el número a es potencia de b. Por convención el índice 2 no se escribe. 3

raíz cúbica √ raíz cuadrada Si el índice es uno, la raíz es igual al radicando.

1 2 = 2 2.1 Propiedades de la radicación en N 2.1.1 No es conmutativa

532 325 ≠

La radicación es la operación inversa a la potenciación.



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2.1.2 Ley de monotonía Si un número es menor que otro y se les extrae la misma raíz, ese número seguirá siendo menor que el otro, y por el contrario, si un número es mayor que otro y se les extrae la misma raíz, ese número seguirá siendo mayor que el otro.

Ej:

a < b luego n a <

n b

a > b luego n a >

n b 2.1.3 Ley uniforme Si a ambos miembros de una igualdad de números naturales se les extrae la raíz de igual índice, se obtiene otra igualdad.

Si baba nn =⇒= baba nn =⇒=

2.1.4 Ley cancelativa

Esta propiedad permite simplificar en una igualdad los índices, si la raíz afecta a todo el miembro.

2.2 Propiedades distibutivas La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división. No ocurre lo mismo con respecto a la adición y a la sustracción. 2.2.1 Con respecto a la multiplicación: Raíz de un producto La raíz enésima de un producto es igual al producto de las raíces enésimas de cada uno de los factores.

25.10025.100 = = 10 . 5

= 50 2.2.2 Con respecto a la división: Raíz de un cociente La raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces enésimas del dividendo y del divisor.

333 8:648:64 =

= 4 : 2 = 2

Si dos raíces de igual índice son iguales, sus radicandos también son iguales.



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2.3 Propiedades recíprocas

2.3.1 Producto de raíces del mismo índice Se da por la propiedad simétrica de la igualdad de relación.

nnn baba .. =

2.3.2 Cociente de raíces del mismo índice Se da por la propiedad simétrica de la igualdad de relación.

nnn baba :: =

2.4 Raíz de una raíz La raíz de una raíz es otra raíz cuyo índice es el producto de los índices de las raíces dadas.

6

3.23

64

6464

=

=

= 2 2.5 Simplificación de índices y exponentes Si el índice de una raíz y el exponente tienen un factor común, ambos pueden simplificarse dividiendo por dicho factor.

aa =3 3

El índice de una raíz que afecta a todo un miembro de una igualdad entre números naturales, puede pasarse al otro miembro como exponente.

33 2828 =⇒=

El exponente de una potencia que afecta a todo un miembro de una igualdad entre números naturales puede pasarse al otro mimbro como índice. 34 = 81

3814 =

33 POTENCIACIÓN EN Z

Se llama potencia enésima de un número entero x, siendo n un número natural, al producto de n factores iguales a x.



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3.1 Regla de los signos La potencia de un número entero sólo es negativa cuando la base es negativa y el exponente impar. En los demás casos es positiva. Por ejemplo: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 (-5)4 = (-5) . (-5) . (-5) . (-5) = 625 (-7)3 = (-7) . (-7) . (-7) = (-343)

3.2 Propiedades de la potenciación en Z Goza de las mismas propiedades que la potenciación en N.

44 RADICACIÓN EN Z

La raíz enésima de un número entero es igual a otro número entero cuyo valor absoluto se obtiene del mismo modo que con los números naturales, y cuyo signo está dado por la ley de los signos de la radicación. 4.1 Regla de los signos 4.1.1 Índice par y radicando positivo Tiene como resultado dos números opuestos.

16 = 4 porque 4 . 4 = 16 y

16 = -4 porque (-4) . (-4) = 16 4.1.2 Índice impar y radicando positivo Tiene un resultado positivo.

3 64 = 4 porque 4 . 4 . 4 = 64 y

3 64 ≠ - 4 porque (-4) . (-4) . (-4) = (-64)

4.1.3 Índice impar y radicando negativo Tiene un resultado negativo.



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( )3 27− = (-3) porque (-3) . (-3) .(-3) = (-27) y

( )3 27− ≠ 3 porque 3 . 3 . 3 = 27 4.1.4 Índice par y radicando negativo No tiene solución en el conjunto de los números enteros.

( )16− No existe ningún número entero que elevado al cuadrado de (- 16). 4.2 Propiedades de la radicación en Z Goza de las mismas propiedades que la radicación en N, pero la radicación en Z no cumple la ley de uniformidad.

*

¡Bien! Ha finalizado Ud. la Unidad 2 ¿Vamos por la 3?

Le recuerdo que ante cualquier duda, su tutor puede ayudarlo



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1. Potenciación en N 1.1 Calcular las siguientes potencias: a) 35 = b) 113 = c) 104 = d) 100 = e) 141 = 1.2 Expresar como potencia los siguientes productos: a) 4 . 4 . 4 = b) 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = c) 2 . 2 = d) 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 = e) 5 . 5 . 5 = 1.3 Escribe al lado de cada igualdad si es verdadero o falso: a) a0 = 17 b) 31 = 13 c) 24 = 42 d) 01 = 10 1.4 Resuelve aplicando la propiedad distributiva:

a) ( ) =⋅⋅ 34105 b) ( ) =⋅ 523

c) ( )2847 ⋅⋅ = d) ( ) =26:24

e) ( ) =35:10 f) ( ) =42:6 1.5 Calcular

a) =024 5.3.2.3.5 b) =4.7:4.7 536

c) ( ) ( ) ( ) =79235 :.:.: aaaaaa 1.6 Aplicar la ley cancelativa y resolver:

a) 55 2=x b) (x . 5)2 = (5.4)2

c) (x + 7)5 = (2 + 7)5 d) (x – 2 + 3)2 = (4 + 3 – 2)2 1.7 Calcular el cuadrado

a) (a + 2)2 = b) (2ª + 3b)2 = c) (5x + 2y)2 = d) (2 ab + 7 ac)2 =

e) (5ª -2)2 = f) (7 – 3y)2 =



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g) (2ª - 3b)2 = h) (4a - 2y)2 = 1.8 Resolver a) (3a - 2b) . (3a + 2b) = b) (5 – 4x) . (5 + 4x) = c) (2m + 6r) . (2m – 6r) = d) (7 p + 3q) . (7 p – 3q) = 2. Potenciación en Z 2.1 Calcular las siguientes potencias a) (+2)2 = b) (-3)2 = c) (+3)3 = d) (-5)3 = e) (+7)0 = f) (-2)5 = g) -32 = 2.2 Resolver aplicando las propiedades convenientes a) (-2)2 . (-2) . (-2)3 = b) (-3) . (-3) . (-3)2 = c) (-5)5 : (-5)2 = d) [(- 4)7 : (- 4)5 ] (- 4) = 3. Radicación en N 3.1 Calcular las siguientes raíces a) 36 = b) 169 =

c) 144 = d) 81 = 3 4

e) 27 = f) 16 = 5 g) 32 = 3.2 Calcular x aplicando la ley cancelativa

3 3 4 4 a) x = 5 b) x = 7 x 3 x

c) 7 = 7 d) 18 = 18 3.3 Calcular x a) 2 . x = 24 b) x . 3 = 12.3 3



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c) x . 5 = 40. 25 d) 49 . x = 49 3.4 Calcular x a) x = 3 b) x = 5 c) 2 . x = 4 d) 3 . x = 6 3 4

e) x = 5 f) 3 . x = 3 g) x3 = 27 h) x3 = 125 i) x2 = 36 j) x2 = 64

k) 2 . x5 = 64 l) 3 . x3 = 81 4. Radicación en Z 4.1 Resolver aplicando la propiedad distributiva 3 a) ( 125) . 8 . 27 = b) 16 . 25 = 4 3

c) 16 . 10.000 = d) ( - 125) . ( - 1000) 3

[(- 3) . 5 + 4 . 5 ( - 3)] [( - 4) : 2]2 . ( - 8) + ( - 2)2 4.2 Resolver

3

a) [( -4) : 2]2 . ( -8) + ( -2)2b) b) [5 – 8 . (- 3) – 3] : 13 + ( - 10) = 3

c) [ ( - 3 ) . 5 + 4 . 5 – ( -3)] d) ( - 3) . 6 + 3 + ( - 4 ) . ( - 6) - ( - 25) . ( - 1) =

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- Matemática I -

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1.1 a) = 243 b) = 1331 c) = 10.000 d) = 1 c) = 14 1.2 a) = 43 b) = 15 c) = 22 d) = 66 d) = 53 1.3 a) V b) F c) V d) F 1.4 a) (5)3 . 103 .43 =125 . 1000 64 =8000.000 b) 35 . 25 = 243.32 = 7.776 c) 72 42 82 = 49.16.64 = 501476 d) 242 : 62 = 576 : 36 = 16 e) 103 : 53 = 1000 : 125 = 8 f) 64 : 24 = 1296 : 16 = 81 1.5 a) 54 . 33 . 2 = 33.750 b) 7 . 42 = 112 c) = a7 1.6 a) x = 2 b) x = 4 c) x = 2 d) x = 4 1.7 a) a2 + 4a + 4 b) 4a2 + 12 ab + 9b2 c) 25x2 + 20 xy + 4y2 d) 4a2 b2 + 28 a2 bc + 49 a2 c2 e) 25 a2 - 20a + 4 f) 49 – 42 y + 9 y2 g) 4 a2 – 12 ab + 9 b2 h) 16 a2 – 16 ay + 4 y2 1.8 a) 9 a2 - 4 b2 b) 25 – 16 x2 c) 4m2 – 36 r2 d) 49 p2 – 9q2 2.1 a) ( +4 ) b) ( +9 ) c) ( +27 ) d) ( -125 ) e) ( +1) f) ( -32 ) g) ( -9 )



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2.2 a) ( -2 )6 = ( + 64 ) b) ( -3 )4 = ( + 81 ) c) ( - 5 )3 = ( -125 ) d) ( -4 )3 = ( -64 ) 2.3 a) 4 a2 – 12 ab + 9 b2 b) 25 a4 - 20 a3 + 4 a2 c) 16 x6 + 16 x3 n2 + 4 n4 d) 100 x8 - 100 x4 + 25 3.1 a) 6 b) 13 c) 12 d) 9 e) 3 f) 2 g) 2 3.2 a) x = 5 b) x = 7 c) x = 3 d) x = 2 3.3 a) x = 2 b) x = 2 c) x = 2 d) x = 1 3.4 a) x = 9 b) x = 25 c) x = 8 d) x = 4 e) x = 125 f) x = 1 g) x = 3 h) x = 5 i) x = 6 j) x = 8 k) x = 2 l) x = 3 4.1 a) ( -30 ) b) 20 c) 20 d) 50 4.2 a) ( -28 ) b) ( -2 ) c) 2 d) ( -2 )

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UNIDAD 3

NÚMEROS RACIONALES XXXXXXXX

XXXXXXXXX

XXXXXX



XXX



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UNIDAD 3

NÚMEROS RACIONALES

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir casos de imposibilidad de división de números enteros. - Diferenciar máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

- Comprender criterios de divisibilidad.

11 MÚLTIPLOS Y DIVISORES

El conjunto de los múltiplos de un número natural a, se obtiene multiplicando a dicho número a por cada uno de los números naturales.

a . 0 = 0 •a . 1 = a a . n e s a , n ∈ Na . 2 = 2 a

•{ x /x e s 8 } = { 0 , 8 , 1 6 , 2 4 , 3 2 }

Observaciones:

ó El cero es múltiplo de todos los números. ó Todo número es múltiplo de sí mismo. ó El conjunto de múltiplos de un número tiene infinitos elementos.

Un número a es divisible por otro b cuando el cociente a : b es exacto, para ello a debe ser múltiplo de b. ·

Si a : b = c ⇒ a es b y a es divisible por b y b es divisor de a. a es múltiplo de b y a es divisible por b son expresiones equivalentes. 28 : 7 = 4 ⇒ 28 es 7, 28 es divisible por 7 y 7 es divisor de 28. a es múltiplo de b y b es divisor de a son relaciones inversas.



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{ x/x es divisor de 24 } = { 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1 }

1.1 Propiedades de los múltiplos de un número

La suma y la diferencia de múltiplos de un número son múltiplos de dicho número. · · · · 35 es 5 y 25 es 5 Þ ( 35 + 25 ) es 5 y ( 35 - 25 ) es 5

El múltiplo del múltiplo de un número es múltiplo de dicho número. · · 15 es 3 Þ 15 . 2 es 3

1.2 Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad permiten averiguar si un número es o no divisible por otros sin efectuar la división.

Un número es divisible por 2 si la cifra de sus unidades es múltiplo de 2. · · 458 es 2 porque 8 es 2. En efecto 458 : 2 = 229

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. · · 231 es 3 porque 2 + 3 + 1 = 6 y 6 es 3. En efecto 231 : 3 = 77

Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4.

· · 728 es 4 porque 28 es 4. En efecto 728 : 4 = 182

Un número es divisible por 5 si la cifra de sus unidades es múltiplo de 5. · · 230 es 5 porque 0 es 5. En efecto 230 : 5 = 46

El conjunto de divisores de un número es un conjunto finito.



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Un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8.

· · 2.840 es 8 porque 840 es 8. En efecto 2.840 : 8 = 355

Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. · · 801 es 9 porque 8 + 0 + 1 es 9. En efecto 801 : 9 = 89

Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras de los lugares pares y la suma de las cifras de los lugares impares ( en el sentido posible ) es múltiplo de 11.

· · 9.042 es 11 porque ( 9 + 4 ) – ( 0 + 2 ) = 13 – 2 = 11 y 11 es 11. En efecto 9.042 : 11 = 822

Un número es divisible por 10, 100, 1.000, etc. si la última cifra, las dos últimas cifras, las tres últimas cifras, etc., son respectivamente ceros.

· 450 es 10 porque la última cifra es 0. · 7.400 es 100 porque las dos últimas cifras son 0. · 9.000 es 1000 porque las tres últimas cifras son 0.

22 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Un número a mayor que 1 es primo si sus únicos divisores son a ( él mismo ) y 1. 5 es primo porque sus únicos divisores son 5 y 1.

Un número a mayor que 1 es compuesto cuando tiene al menos otro divisor además de a y de 1. ( Tiene más de dos divisores ).

12 es compuesto porque tiene como divisores a 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Observación: los números 0 y 1 no se consideran

primos ni compuestos.

Los números primos menores que 100 son:



- Matemática I -

- 49 -

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67. 71, 73, 79, 83, 89, 97. 2.1 Descomposición de un número en factores primos Para hallar los factores primos de un número se lo divide sucesivamente por el menor divisor hasta que el cociente sea 1.

Esta descomposición es única.

33 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.)

El m.c.d. de varios números es el mayor de los divisores comunes a dichos números. Para 24 y 36 los conjuntos de sus divisores son: { x/x es divisor de 24 } = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } { x/x es divisor de 36 } = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 } 24 y 36 tienen varios divisores comunes, entre ellos el mayor es 12. En la práctica se lo obtiene hallando el producto de los factores primos comunes con su menor exponente.

2 4 2 3 6 2

1 2 2 1 8 2

6 2 9 3

3 3 3 3

1 1

2 4 = 2 ³ . 3 3 6 = 2 ² . 3 ²

m .c .d ( 2 4 , 3 6 ) = 2 ² . 3

m .c .d ( 2 4 , 3 6 ) = 1 2

44 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)

El m.c.m. de varios números es el menor de los múltiplos comunes a dichos números, excluido el cero.

Todo número puede expresarse como producto de potencia de sus factores primos.



- Matemática I -

- 50 -

Para 8 y 12 los conjuntos de sus múltiplos son: { x/x es múltiplo de 8 ^ x ¹ 0 } = { 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ... } { x/x es múltiplo de 12 ^ x ¹ 0 } = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ... } Entre los múltiplos comunes a 8 y 12, el menor es 24. En la práctica se lo obtiene hallando el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

8 2 1 2 2

4 2 6 2

2 2 3 3

1 1

8 = 2 ³ 1 2 = 2 ² . 3

m .c ..m . ( 8 , 1 2 ) = 2 ³ . 3

m .c ..m . ( 8 , 1 2 ) = 2 4

55 CASOS DE IMPOSIBILIDAD DE DIVISIÓN

5.1 Imposibilidad de división de números enteros Dada la división 7 : 3, no existe ningún número entero que sea resultado de la misma, es decir, no existe ningún número entero tal que multiplicado por 3 de por resultado 7; para interpretar las divisiones de este tipo se crearon los números llamados números fraccionarios puros.

DEFINICIÓN: Se llama número fraccionario puro al cociente indicado de dos números enteros, distintos de cero, y tales que el dividendo no sea múltiplo del divisor. En general, un número fraccionario puro se representa: , , que expresa la división del número a por el número b. Toda expresión de la forma se llama fracción y se lee a sobre b. El dividendo a, se llama numerador, el divisor b se llama denominador y ambos se llaman términos de la fracción.

66 NÚMEROS RACIONALES

Los números enteros y los números fraccionarios puros constituyen en conjunto los números racionales.



- Matemática I -

- 51 -

Notación: al conjunto de los números racionales es costumbre designarlo con la letra Q, es decir:

Q = { q/q es un número racional }

6.1 Representación de los números racionales sobre la recta numérica Se fija la unidad U sobre la recta numérica. Para representar el número fraccionario se divide U en b partes iguales y se cuenta a veces el segmento U en el sentido que indique el signo a partir de 0. El punto obtenido sobre la recta representa la fracción

Ejemplos:

77 REDUCCION DE FRACCIONES

7.1 Denominador común menor Dadas dos fracciones de distinto denominador siempre pueden conseguirse dos fracciones equivalentes a las dadas con el mismo denominador. La forma más simple de obtener tales fracciones consiste en multiplicar ambos términos de cada una de ellas por el denominador de la otra. Por ejemplo:



- Matemática I -

- 52 -

74 y

95

74 =

9.79.4 =

6336 e l m is m o d e n o m in a d o r

95

= 7.97.5

= 6335

Pero cuando los denominadores son grandes esta forma no resulta práctica.

74 y

95

74 =

9.79.4 =

6336 e l m ism o d eno m in ad o r

95 =

7.97.5 =

6335

Si tratamos de encontrar el denominador común que pueden tener dos fracciones

equivalentes a las dadas, en lugar del producto, calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

m.c.m (72, 48 ) = 144 144 es el denominador común menor d.c.m = 144

Hay que encontrar ese número:

72 . ? = 144 ⇒ 144 : 72 = 2 ( Hay que multiplicar por 2 ) 48 . ? = 144 ⇒ 144 : 48 = 3 ( Hay que multiplicar por 3 )

Para calcular los numeradores debemos multiplicar numerador y denominador por un mismo número



- Matemática I -

- 53 -

. 2

725 =

2.722.5 =

14410

725 =

14410

. 2

. 3

487

= 3.48

3.7 =

14421

487

= 14421

. 3

88 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

8.1 Adición de números racionales Al sumar números racionales pueden presentarse dos casos: 1° Que todos los sumandos tengan igual denominador. 2° Que los sumandos tengan distinto denominador. 8.1.1 Suma de fracciones de igual denominador Por ejemplo:

72 +

74 =

742 + =

76

Se observa que el resultado tiene el mismo denominador 7 que los sumandos y que el

numerador 6 es la suma de los denominadores 2 y 4.

Se llama suma de dos o más números fraccionarios de igual denominador al número fraccionario de igual denominador cuyo numerador es la suma se los numeradores de los números dados con sus respectivos signos.

Para sumar dos fracciones del mismo denominador:



- Matemática I -

- 54 -

0 Se suman los numeradores. 0 Se escribe el mismo denominador.

8.1.2 Suma de fracciones de distinto denominador

En este caso, en que los sumandos tienen distinto denominador, queda incluido en el anterior, reduciendo los números fraccionarios a común denominador. Se acostumbra reducir a mínimo común denominador, porque así se simplifican los cálculos.

La suma de dos o más números fraccionarios de distinto denominador es la suma de los mismos, previamente reducidos a mínimo común denominador

Por ejemplo:

43 +

61 =

1229 + =

1211

En este caso el mínimo común denominador es 12.

8.1.3 Regla práctica para calcular el denominador común

0 Si los denominadores son primos entre sí, el denominador común es producto de los denominadores.

0 Si los denominadores no son primos entre sí, el denominador común es el mínimo común múltiplo de los denominadores.

8.1.4 Elemento neutro para la adición de números racionales

El número racional ( 0, 1 ) es neutro para la adición.

( a, b ) + ( 0, 1 ) = ( 0, 1 ) + ( a, b ) = ( a, b )

8.1.5 Elementos inversos Los números racionales ( a, b ) y ( - a, b ) son inversos para la adición en Q porque su suma es igual al elemento neutro.

(a, b) + (-a, b) = (0, b) 8.1.6 Propiedades de la adición de números racionales



- Matemática I -

- 55 -

La adición de números racionales goza de las mismas propiedades que la de los números naturales.

8.2 Sustracción de números racionales

Restar de un número fraccionario a/b otro c/d , es encontrar un tercer número fraccionario x/y tal que, sumado al sustraendo, de por resultado el minuendo Ejemplo:

75 -

73 =

72 pues

72 +

73 =

75

8.2.1 Procedimiento para hallar la diferencia de dos números fraccionarios

a) Números fraccionarios de igual denominador

Por ejemplo: Calcular la diferencia:

119

- 113

= 116

La diferencia de dos números fraccionarios de igual denominador se obtiene escribiendo la fracción de igual denominador, cuyo numerador es la diferencia entre el numerador del minuendo y el del sustraendo b) Números fraccionarios de distinto denominador Para restar dos números fraccionarios de distinto denominador se reducen a común denominador y se procede como en el caso anterior. Por ejemplo: Calcular la diferencia:

:

98 -

52 =

451840 − =

4522

8.2.2 Propiedades de la sustracción de números racionales



- Matemática I -

- 56 -

La sustracción de números racionales goza de las mismas propiedades que la de los números naturales.

8.3 Multiplicación de números racionales

Definición: El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo signo se obtiene aplicando la regla de los signos de la multiplicación de números enteros, y cuyo valor absoluto es la fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores de las fracciones dadas Ejemplos:

21

711

35

⋅⋅ = 2.7.31.11.5 =

4255

−⋅

−⋅

21

97

31

= 547

Observación: En los ejercicios de multiplicación resulta ventajoso efectuar todas las simplificaciones posibles en los productos indicados del numerador y del denominador, antes de obtener el resultado final. La simplificación se hace entre un factor del numerador y uno del denominador, siendo evidente que conviene siempre simplificarlos por el mayor número posible. Por ejemplo:

251

1115

2714

169

⋅⋅⋅

9 y 27 se simplifican por 9; luego, en lugar de 9 queda 1 y en lugar de 27 queda 3. 14 y 16 se simplifican por 2; luego, en lugar de 14 queda 7 y en lugar de 16 queda 8. 15 y 25 se simplifican por 5; quedando, respectivamente, 3 y 5. Y por último el 3 que quedó en lugar de 27 se simplifica con el 3 que quedó en lugar de 15,

quedando 1 en lugar de cada uno de ellos.

La operación es igual a 5.11.87

= 4407

8.3.1 Propiedades de la multiplicación de números racionales

Las simplificaciones que pueden hacerse son las siguientes:



- Matemática I -

- 57 -

La multiplicación de números racionales goza de las mismas propiedades que la multiplicación de números enteros

8.4 División de números racionales

Dividir un número racional por otro es hallar un tercer número racional tal que, multiplicando por el segundo, de por resultado el primero Ejemplo:

3

:73

76

21

= pues 73

21

76

=⋅

1

Definición: Dividir un número racional por otro es hallar un tercer número racional tal que,

multiplicando por el segundo, de por resultado el primero Si en el ejemplo, en lugar de dividir 3 por 1 se multiplica 3 por 2, se tiene: 7 7 3 . 2 = 6 resultado que coincide con el anterior.

7 7

Para obtener el cociente de un número racional; por otro, se multiplica el dividendo por el recíproco o inverso del divisor.

3215

43

85

34:

85

=⋅=

8.4.1 Propiedades de la división de números racionales La división de números racionales goza de las mismas propiedades que la división de números enteros. 8.4.2 Fracción compuesta Recordemos que la división a : b puede expresarse a/b. Cuando el dividendo y el divisor son números racionales, su cociente puede indicarse en la siguiente forma:



- Matemática I -

- 58 -

409:

1615 o bien

409

1615

Esta es una fracción compuesta, cuyo numerador es 15/16 y cuyo denominador es 9/40. A los numeradores 15 y 9 se los llama numeradores secundarios, y a los denominadores 16 y 40 denominadores secundarios. Para transformar esta fracción compuesta en una fracción ordinaria se razona así: Como:

409

1615

= 409:

1615

5 5

1625

940

1615

=⋅

2 3 Se observa que la fracción compuesta se ha transformado en una fracción simple, cuyo numerador es el producto del numerador 15 del dividendo por el denominador 40 del divisor, y el denominador es el producto del denominador 16 del dividendo por el numerador 9 del divisor; de donde se deduce, como se ha hecho en el ejemplo dado, que en una fracción compuesta pueden simplificarse los numeradores secundarios entre sí y los denominadores secundarios entre sí. 8.5 Potenciación de números racionales

Se llama potencia enésima de un número racional a/b (siendo n un número natural) al producto de n factores iguales a a/b Ejemplo:

3

32

=

278

3.3.32.2.2

32

32

32

==⋅⋅

Para hallar la potencia enésima de un número racional se forma el número racional cuyo signo es menos, si el exponente es impar y la base negativa, y más en todos los otros casos, y cuyo valor absoluto tiene por numerador la potencia enésima del numerador y por denominador la potencia enésima del denominador.



- Matemática I -

- 59 -

Ejemplo:

125

852

52

3

33

==

Son válidas para los números racionales las siguientes definiciones:

Se llama potencia primera de un número racional a ese mismo número

Es decir:

43

43 1

=

Se llama potencia cero de un número racional al número 1 Es decir:

185 0

=

−

8.5.1 Propiedades de la potenciación de números racionales

♦ Producto de potencias de igual base

El producto de potencias de igual base racional es otra potencia de igual base cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas.

Ejemplo:

7

7741242

53

53

53

53

53

53

=

=

=

⋅

⋅

++

♦ Cociente de potencias de igual base

El cociente de dos potencias de igual base racional, tales que el exponente del dividendo es mayor que el exponente del divisor, es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y del divisor. Ejemplo:

1251

51

51

51:

51 36969

=

=

=

−



- Matemática I -

- 60 -

♦ Potencia de potencia de un número racional

La potencia de otra potencia de un número racional es otra potencia de la misma base, cuyo

exponente es el producto de los exponentes de las potencias dadas. Ejemplo:

6

663.232

53

53

53

53

=

=

=

♦ Potencias con exponentes negativos Al resolver los cocientes de potencias de igual base como otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor, así:

yxyx aba −=: Se ha impuesto hasta ahora la condición de que el exponente del dividendo sea mayor que el del divisor, para que el exponente x – y del resultado sea un número positivo. Pero es preciso interpretar los casos en que el exponente del dividendo es menor que el del divisor, por ejemplo:

53 : aa Si se admite que sigue siendo válida la regla anterior, resulta:

25353 : −− == aaaa

resulta:

22 1

=−

aa

Toda potencia enésima con exponente negativo de un número es igual a 1 sobre dicho número elevado a un exponente de igual valor absoluto, pero positivo. Ejemplo:

1251

515 3

3 ==−

Podemos decir que: Toda potencia de exponente negativo es igual a la inversa de la base elevada al mismo exponente pero positivo. Ejemplo:

( )271

271

313 3

3 −=−

=−

=− −



- Matemática I -

- 61 -

2764

34

34

43

3

333

==

=

−

8.6 Radicación de números racionales Definición: La raíz “n” de un número racional, es otro número racional cuyo numerador y denominador se obtienen extrayendo la raíz enésima al numerador y al denominador dados

Ejemplo:

n

ba =

ba

yx

yx

ba

n

n

n

n

=⇒=

1625 =

45

1625

=

499

− no tiene solución en el conjunto de los números racionales

8.6.1 Propiedades de la radicación de números racionales La radicación de los números racionales goza de las mismas propiedades que la radicación de los números enteros.

99 FRACCIÓN Y NÚMERO DECIMAL

Llamamos fracción decimal a toda fracción cuyo denominador es una potencia de 10 ( 10, 100, 1.000, etc. ). Ejemplo:

100018;

10015;

103

Se leen: 3 décimos; 15 centésimos y 18 milésimos. A estas fracciones las podemos escribir en forma entera. Para esto escribiremos el numerador y con una coma separamos sus cifras desde la derecha según ceros tenga el denominador. Por ejemplo: 4/10 tenemos sólo una cifra en el numerador y debemos separar una después de la coma, como indica el denominador, para esto agregamos un cero a la izquierda y nos queda que es = 0,4; de la misma forma 5/100 = 0,05. Vemos que después de la coma deben quedarnos tantas cifras como ceros tenga el denominador.



- Matemática I -

- 62 -

1100 FRACCIÓN ORDINARIA

Las fracciones que poseen denominadores distintos de 10, se las llama fracciones ordinarias.

Ejemplo:

34;

510;

95

*

¡Bravo! Ud. ha finalizado la Unidad 3 ¿Continuamos?

Su tutor puede ayudarlo, no lo olvide


1. Representar en la recta numérica los siguientes números racionales:

a ) 47;

45;

23;

21;

25;

23

−−−

b ) 67;

35;

611;

32;

65;

34

−−−

2. Calcular la fracción irreducible equivalente a cada una de las dadas:



- Matemática I -

- 63 -

a ) 2416 b )

3618 c )

2821

d ) 8460

e ) 10890

f ) 14496

g ) 22575

h ) 240122

i ) 143121

3. Sumar los siguientes números racionales:

§

a ) =++81

27

43 b ) =++

64

315

23

c ) =++34

183

92 d ) =++

356

214

75

4. Resolver las siguientes operaciones:

a ) =−+−41

23

52

41 b ) 3

61

54

32

−+− =

c ) =+−+ 6191

27 d ) =−+−+

61

53

431

69

5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3x = 5 b) 5 ( x + 3) = 2

c) 21

43

=+x d) 32

45

=− x

6. Calcula los siguientes productos. Simplifica antes de efectuar las operaciones:



- Matemática I -

- 64 -

a) =⋅⋅155

2112

4035 b) =

−⋅⋅

−

2415

2539

2616

c) =⋅

−⋅

−

3621

1830

149 d) =⋅⋅

−⋅

−

3224

1518

8155

226

7. Calcular:

a ) =

−

−+

101:3

214

b ) =−+

⋅

25

:41772

c ) =

−

+

−

52

:41

:3121

:5

d ) =−

−

65

2

21

34



- Matemática I -

- 65 -

d ) =−

−

652

21

34

e ) 224

3

321

21:

871

−−

−

− =

3

§ ( ) =−

−

⋅

−

− 22 2:

211

35

103

53

g ) 3

2

531

52

911

43

32

21

−−

+

−+ =

h )

2

43

1

535

23

52

−+−

+=

i ) =

−−

−

−− 2

2 121

321

61

951

*



- Matemática I -

- 66 -


1.

§ a)

b)

2.

a) 32 b)

21 c)

43 d)

75

e) 65

f) 32

g) 31

h) 12061

i) 1311

3.

a) 835 b)

643 c)

1831 d)

105113

4.

a) 1011 b)

3089

− c) 18155 d)

60131



- Matemática I -

- 67 -

5.

a) x = 35 b) x = -

513 c) x = -

41 d) x =

127

6.

a) 61 b)

53 c)

85 d)

61

7.

a) 29 b) 57 c) -5 d)

75

e) 365 f) 2 g) -

401 h)

19361681

i) 4

17

*



UNIDAD 4

ECUACIONES E INECUACIONES CON UNA

INCÓGNITA



- Matemática I -

- 69 -

UNIDAD 4

ECUACIONES E INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir problemas. - Identificar errores. - Resolver ecuaciones e inecuaciones.

11 ECUACIONES

1.1 Concepto Dada una función f::x y ó y = f (x) se presentan dos problemas: 1. Conocido x, calcular y. 2. Conocido y, calcular x. Por ejemplo: 3x + 2 = y 1. sabiendo que x = 5, calcular y 3 . 5 + 2 = 17 y = 17 FUNCIÓN 2. sabiendo que y = 14, calcular x Si 3x + 2 = 14 x = ( 14 – 2 ) : 3 x = 4 ECUACIÓN

Resolver la ecuación significa encontrar los valores de x, que verifican la igualdad.



- Matemática I -

- 70 -

1.2 Propiedades 1.2.1 Ley cancelativa

π Todo término de una ecuación puede pasarse de un miembro a otro de la misma como opuesto. En efecto, por la propiedad se suma a ambos miembros el término opuesto y luego se aplica la ley cancelativa.

3x – 4 = 2x + 8

3x – 4 – 2x + 4 = 2x + 8 – 2x + 4

x = 4

π Todo factor de un miembro de una ecuación puede pasarse al otro miembro de la misma como divisor. En efecto, por la propiedad se multiplican ambos miembros por el inverso del factor y luego se aplica la ley cancelativa.

22 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

El proceso de resolución de una ecuación consiste en obtener sucesivas ecuaciones más sencillas, equivalentes a la dada. En la práctica se procede así:

Se resuelven las operaciones indicadas. Se reúnen en un miembro los términos en los que figura la incógnita y en el otro los

términos independientes. Se efectúan las reducciones a ambos miembros. Si el coeficiente de x es distinto de 1, pasa al otro miembro como divisor.

Ejemplo:



- Matemática I -

- 71 -

5 (x – 1) + 3x = 4x + 3 27 se resuelven las operaciones

5x – 5 + 3x = 4x + 3 se reúnen en un miembro los términos en x yen el otro los independientes por propiedad uniforme y cancelativa.

5x + 3x – 4x = 3 + 5

4x = 8

x = 84

x = 2

• Si en los términos de una ecuación figuran números fraccionarios, se multiplican ambosmiembros por el m.c.m. de los denominadores.

Ejemplo:

21

- x = 53

- 43

x m.c.m (2, 5, 4) = 20

20 (21

- x ) = 20 (53

- 43

x )

10 – 20 x = 12 – 15 x

-20 x + 15 x = 12 – 10

-5 x = 2

x = - 52

33 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

Propuesto un problema se trata de interpretar el enunciado mediante la lectura comprensiva del mismo, cuidando de identificar la incógnita y la información sobre ésta, o sea, los datos. Se expresan simbólicamente las condiciones que la incógnita debe satisfacer, de lo que resulta la ecuación. ( Indicar claramente qué incógnita es la que se designa x ). Se resuelve el problema y luego se discute si la raíz hallada satisface las condiciones del problema.

Las ecuaciones permiten resolver problemas cuyas condiciones son expresables por igualdades.



- Matemática I -

- 72 -

Ejemplos:

π Hallar dos números consecutivos sabiendo que el duplo de su suma es 38. Resolución: Se designa con x al menor de los dos números, entonces su consecutivo es x + 1. ( x + x + 1 ) = suma de los dos números

Para calcular el duplo, multiplico por 2:

2 ( x + x + 1 ) = 38 2x + 2x + 2 = 38 4x = 38 – 2 4x = 36

x = 4

36

x = 9

El primer número es 9, su siguiente es 10. Estos son los dos números consecutivos. Para poder comprobarlo, vemos que su suma es 19 y el duplo de la suma es 38.

π Hallar tres números pares consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual a la suma del tercero y 14.

Resolución: Se designa con x al menor de los números, los pares consecutivos son: x + 2; x + 4. x + x + 2 = x + 4 + 14 x + x – x = 4 + 14 – 2 x = 16 Los números son 16, 18 y 20. Esto se comprueba ya que la suma de los dos primeros es 34 y la suma del tercero y 14 también es 34.

44 INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

Una desigualdad en la que figura una variable o incógnita es una INECUACIÓN.



- Matemática I -

- 73 -

En este caso tendremos que averiguar cuáles son los valores de x para los que el valor del polinomio es mayor o menor que cero.

P (x) > 0 ó P (x) < 0 Ejemplos de inecuaciones:

12x < 24 x > - 35

Resolver una inecuación es encontrar los valores que la satisfacen, el conjunto de ellos es el

conjunto solución. Para 2x > 10 es x > 5 y el conjunto solución es : Sx = { x/x ∈ℜ ^ x > 5 }

Este conjunto también puede expresarse como intervalo Sx = ( 5, + ∞ ) Un intervalo puede ser abierto o cerrado, a derecha o a izquierda. Es abierto si no incluye al respectivo extremo, se indica con un paréntesis. El cerrado incluye al respectivo extremo, se indica con corchete.

El símbolo + ∞ indica que hay infinitos elementos a la derecha, considerando la ubicación en la recta numérica. Se lee infinito o más infinito.

El símbolo - ∞ indica que hay infinitos elementos a la izquierda, considerando la ubicación en la recta numérica. Se lee menos infinito. En la resolución de inecuaciones se procede de forma análoga al caso de las ecuaciones, teniendo en cuenta que:

ó Todo término de una inecuación puede pasarse de un miembro a otro como opuesto.

x – 3 > 1 x < 1 + 3 x < 4

Sx = { x/x ∈ ℜ ^ x < 4 } o bien Sx = ( - ∞, 4 )

ó Todo factor positivo de un miembro de una ecuación puede pasar al otro miembro como divisor, con su signo.

4 x > - 24 x < - 24 : 4 x < - 6

Sx = { x/x ∈ ℜ ^ x > - 6 } o bien Sx = ( - 6, + ∞ )

ó Todo factor negativo de un miembro de una ecuación puede pasar al otro miembro como divisor con su signo, cambiando el sentido de la desigualdad.

- 2 x > 8 x < 8 : ( - 2 ) x < - 4

Sx = { x/x ∈ ℜ ^ x < - 4 } o bien Sx = ( - ∞, - 4 )



- Matemática I -

- 74 -

Estas propiedades se justifican por la ley de monotonía de la adición y por la ley de monotonía de la multiplicación. Ejercicio:

π Hallar el conjunto solución y representar en la recta numérica.

a) - 4x ≤ 12 b) x – 5 < - 1 Respuesta:

a) - 4x ≤ 12 x ³ 12 : ( - 4 ) x ³ - 3

Sx = [ -3, + ∞ )

La representación gráfica del conjunto solución es la semirrecta de origen A. b) x – 5 < - 1 x < - 1 + 5 x < 4

Sx = ( - ∞, 4 )

La representación gráfica del conjunto solución es la semirrecta abierta de origen B. Abierta porque el valor de x = 4 no pertenece a la solución de x < 4, por lo tanto no incluye al origen de ella.

55 ECUACIONES FRACCIONARIAS

Las expresiones algebraicas fraccionarias dan origen a las ecuaciones fraccionarias.

01

32

13=

−+

−+

xx

xx

8752

=−x

x



- Matemática I -

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Las ecuaciones fraccionarias no están definidas para los valores de las variables que anulan a alguno de los denominadores.

En el primer ejemplo, si x = 2 el primer denominador es 0, si x = 1 el segundo denominador es 0, por ello se requiere x ≠ 2 ^ x ≠ 1.

El segundo ejemplo debe ser x ≠ 0.

0 Si al resolver la ecuación el valor que se obtiene es uno de los excluidos, no hay solución.

Para resolver ecuaciones fraccionarias:

0 Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el múltiplo común de menor grado de los denominadores, se simplifica lo posible teniendo en cuenta las restricciones requeridas.

0 Se resuelve la ecuación entera que resulta. 0 Se verifica si la raíz hallada satisface a la ecuación dada porque:

1°: no debe ser uno de los valores excluidos. 2°: al multiplicar ambos miembros de una ecuación por una expresión entera se obtiene una ecuación que tiene al menos las mismas raíces que la dada, pero que puede admitir además nuevas raíces. Ejemplo:



- Matemática I -

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1

4−xx - 4 =

x5 d ebe ser x ≠ 1 ∧ x ≠ 0

m .c .m de no m ina do res: x (x – 1 )

[1

4−xx - 4 ] . x . (x – 1 ) =

x5 . x . (x – 1)

1

4−xx . x . (x – 1) – 4x . (x – 1 ) = 5 . (x – 1 )

4x2 - 4x2 + 4x = 5x – 5

4x – 5x = -5

-1x = -5

x = 5

S x = { 5 }

V er ific ac ió n:

1520−

- 4 = 55

4

20 - 4 = 1

5 – 4 = 1

1 = 1

*

Ha finalizado Ud. la Unidad 4 ¿Vamos por la 5?

Si tiene dudas, hable con su tutor


1. Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: a) 5x – 12 = 8 – 5x b) 2 ( x – 1 ) + 4 ( x + 3 ) = 0

c) 4x . 225 −

= =

232 +x

x - 1



- Matemática I -

- 77 -

d) 6x 2 = - x - 1

e) 2x + 5 = 0 f) x – 3 = 0 g) – 8 – 4x = 0 h) – 3 – 6x = 0 i) 2x + 5 = 9 j) – 2x + 3 = 3 k) 5x – 2 + 4x – 3 + 1 – 5 = 0 l) 6 – ( - x + 3 – 2 ) – 3x = - 5 m) 12 + 2x – [ - ( - x + 6 ) – 2 + 4 – x ] + 5 = 7x + 6 2. Representar gráficamente e indicar el conjunto solución: ( Indicar dos números que pertenezcan a la solución ).

a) 1 – x ≤ - 7

b) 2 – x ≥ - 3 c) 3 – x < 6 d) 4 – x < 1 3. Hallar el conjunto solución y representarlo. 2x – 1 ≥ - 3

*



1. a) x = 2

b) x = 35−

c) x = 3/10



- Matemática I -

- 78 -

d) x = -1 15 e) x = - 5 2 f) x = 3 g) x = - 2 h) x = -1 2 i) x = 2 j) x = 0 k) x = 1 l) x = 5 m) x = 3 2. a) Sx = [8; + ∞)



- Matemática I -

- 79 -

8 9 10 11

b) Sx = (-∞; 5]

2 3 4 5

c) Sx = (-3; +∞)

-3 -2 -1 0

d) Sx = (3; +∞)

3 4 5 6

3. x ≥ - 1

*



UNIDAD 5

CONJUNTO DE PUNTOS



- Matemática I -

- 81 -

UNIDAD 5

CONJUNTO DE PUNTO

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir segmento, relaciones y propiedades. - Identificar ángulos. - Diferenciar posiciones de la recta en el plano.

11 LA GEOMETRÍA

Los conceptos primitivos de la geometría son:

_ el Punto _ la Recta _ el Plano

1.1 El punto Se representa por la marca que deja el lápiz sobre el papel o por dos pequeños trazos que se cortan. En símbolos se lo representa por una letra minúscula. El punto es un ente que tiene ubicación pero que carece de dimensión.

1.2 La recta Se representa por medio de un trazo continuo, con una flecha en cada uno de los extremos para indicar que se extiende infinitamente. En símbolos se expresa por medio de letras mayúsculas de imprenta. La Recta es una sucesión infinita de puntos que se ordenan en una misma dirección.

El estudio de las figuras y sus propiedades corresponde a la geometría.



- Matemática I -

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1.3 El plano

Se representa por convención con paralelogramos. En símbolos se expresa con letrasgriegas (α,β,γ,ε,etc) α

En geometría el Universal se llama espacio, y es el conjunto de todos los puntos. U = E = { x/x es un punto } Las rectas y los planos son subconjuntos del espacio.

22 AXIOMAS DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO

Axioma 1: existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.

α

Axioma 2: todo punto pertenece a infinitas rectas.

o ∈ A, o ∈ B, o ∈ C, o ∈ D Decimos que A, B, C y D concurren o pasan por o.

Axioma 3: una recta es un conjunto infinito de puntos.

Axioma 4: un plano es un conjunto infinito de puntos.

Axioma 5: toda recta está incluida en infinitos planos.



- Matemática I -

- 83 -

α β δ

A ⊂ α, A ⊂ β, A ⊂ δ

Decimos que α β δ pasan por Α

Axioma 6: Dados dos puntos distintos existe una y sólo una recta a la cual pertenecen. Esos dos puntos la determinan.

a, b º A Se lee: a y b determinan a A a ∈ A ^ b ∈ A º = determina

Axioma 7: Una recta y un punto no perteneciente a ella determinan un plano tal que el punto pertenece al plano y la recta está incluida en el mismo.

Si a ∉ B ⇒ a ^ B ≡ α , tal que a ∈ α ^ B ∈ α

Axioma 8: Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que determinan está incluida

en el plano.

Si a ∈ α , b ∈ α ^ a, b ≡ R ⇒ R ⊂ α

33 SEMIPLANO

Toda recta incluida en un plano determina dos subconjuntos llamados semiplanos.



- Matemática I -

- 84 -

La recta A separa al plano en dos semiplanos. A es el borde de dichos semiplanos. Los semiplanos son: Semiplano de borde A que contiene a x. Semiplano de borde A que contiene a y. En símbolos sería: S (A, x) y S (A, y) 3.1 Axioma de la separación del plano Toda recta de un plano lo separa en dos semiplanos tales que: 1. Todo punto del plano pertenece a la recta o a uno de los semiplanos. 2. Dos puntos del mismo semiplano determinan un segmento que no corta la recta de

separación. 3. Dos puntos de diferentes semiplanos determinan un segmento que corta la recta de

separación

44 SEMIRRECTA

Todo punto de una recta determina en ella dos partes llamadas semirrectas.

O es el origen de las semirrectas. A cada una de las semirrectas que determina el punto o pertenecen ese punto, que es su origen y todos los puntos que le siguen en uno de los sentidos posibles. Decimos:

Semirrecta de origen o que contiene a x ox

Semirrecta de origen o que contiene a y oy Estas dos semirrectas son semirrectas opuestas. Cada una de ellas es un conjunto infinito de puntos.



- Matemática I -

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ox ∩ oy = {o} ox ∪ oy = {R} 4.1 Axioma de la separación de la recta Todo punto de una recta la separa en dos semirrectas de tal modo que: 1. Todo punto de la recta pertenece a una de las dos semirrectas o coincide con el origen. 2. Dos puntos de la misma semirrecta determinan un segmento que no contiene a o.

55 SEGMENTO Si marcamos en una recta dos puntos a y b, quedan determinadas cuatro semirrectas: dos de origen a y dos de origen b. → → Considerando las semirrectas ab y ba, diremos que la figura formada por los puntos comunes a las dos semirrectas se llama segmento ab. Los puntos a y b se llaman extremos del segmento. — El segmento ab es la intersección de la semirrecta de origen a que contiene a b y la semirrecta de origen b que contiene a a. En símbolos : → → — ab ∩ ba = ab a y b son los extremos.

— ab se lee: segmento ab Dos puntos de diferentes semiplanos determinan un segmento que corta a la recta de separación.

Si a ∈ S (R,a) ^ b ∈ S (R,b) ⇒ ab ∩ R = {c}

5.1 Relaciones y propiedades de segmentos 5.1.1 Segmentos encadenados Son aquellos cuya intersección es un extremo de los mismos, o sea, un extremo en común.



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- 86 -

— — Por ejemplo: ab ∩ bc = b

5.1.2 Segmentos consecutivos Son aquellos segmentos que tienen un extremo común y ningún otro punto común. Son dos segmentos encadenados que pertenecen a una misma recta.

— — ab y bc son consecutivos Pueden estar:

0 alineados .b es el extremo común

0 no alineados

.b es el extremo común

5.2 Igualdad y desigualdad de segmentos Dos segmentos son iguales si y sólo si, superponiendo uno sobre otro, sus extremos coinciden. Cuando estos extremos no coinciden son desiguales.



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ab = cd ef ≠ gh Son congruentes 5.2.1 Propiedades de la igualdad de segmentos

0 Reflexiva: Todo segmento es igual a sí mismo. ab = ba

0 Simétrica: Si un segmento es igual a otro, éste es igual al primero. — — — — ab = cd ⇒ cd = ab

0 Transitiva: Si un segmento es igual a otro, y éste es igual a un tercero, el primero es igual al tercero.

— — — — — — ab = cd ^ cd = ef ⇒ ab = ef

66 ÁNGULOS

6.1 Ángulo convexo Si trazamos dos rectas ab y bc que se cortan en b, quedan determinados dos semiplanos: dos de borde ab y dos de borde bc. La figura formada por los puntos comunes a ambos semiplanos se llama ángulo convexo abc.

∧ ∧

abc o α

Se lee: ángulo abc o ángulo alfa. En símbolos: S ( ab, c) ∩ S ( bc, a) = abc 6.2 Ángulo cóncavo Dados tres puntos a, b, c que no pertenecen a la misma recta, se llama ángulo cóncavo ∧



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abc al conjunto de puntos de la unión de dos semiplanos: el que determina la recta ab que no contiene al punto c y el que determina la recta bc que no contiene al punto a.

ba y bc son los lados del ángulo b es el vértice En símbolos sería: ∧ S ( ab, no c) ∪ S ( bc, no a) = abc cóncavo 6.3 Ángulo llano Es el conjunto de puntos de un semiplano, cuyos lados son semirrectas opuestas.

6.4 Ángulo nulo Es el ángulo que tiene sus lados coincidentes y no tiene puntos interiores.

∧ a = ángulo nulo

6.5 Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es la semirrecta interior que lo divide en dos ángulos congruentes o iguales. a

d

b c ∧



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Semirrecta bd = bisectriz de abc

6.6 Clasificación de los ángulos Dos rectas al cortarse determinan cuatro ángulos convexos.

O es el vértice de cada uno de los ángulos.

α, β, γ y δ son ángulos convexos.

A ∩ B = {o} Los ángulos pueden ser:

Rectos: Se llama así a cada uno de los ángulos que resulta de bisectar a un ángulo llano (180°). El ángulo recto tiene 90°.

Agudo: Es todo ángulo menor que un ángulo recto (menores de 90°).

Obtuso: Es todo ángulo mayor que un ángulo recto (mayores de 90°).

6.6.1 Ángulos complementarios



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Si la suma de dos ángulos es igual a un ángulo recto (90°) , decimos que los ángulos son complementarios. ∧ ∧

Si α + β = 1 Recto ⇒ son complementarios.

Por ejemplo:

Un ángulo de 30° es complemento de un ángulo de 60°.

De la misma manera, un ángulo de 60° es complemento de un ángulo de 30°. 6.6.2 Ángulos suplementarios Si la suma de dos ángulos es igual a un ángulo llano (180°) , decimos que los ángulos son suplementarios.

∧ ∧ Si α + β = 1 Llano ⇒ son suplementarios.

Por ejemplo:

Un ángulo de 70° es suplemento de un ángulo de 110°.

De la misma manera, un ángulo de 110° es suplemento de un ángulo de 70°.

6.6.3 Ángulos congruentes Un ángulo es congruente con otro, si y sólo si haciendo coincidir a ambos vértices y un lado, los restantes lados coinciden también.



- Matemática I -

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6.6.4 Ángulos consecutivos Son aquellos ángulos que tienen un lado en común y pertenecen a distintos semiplanos respecto al lado en común.

6.6.5 Ángulos adyacentes

Son aquellos ángulos que son consecutivos y sus lados no comunes son semirrectas opuestas.

6.6.5.1 Propiedades de los ángulos adyacentes

π Los ángulos adyacentes son suplementarios porque forman un ángulo llano. La suma de ambos vale 180°.

π Si dos ángulos son adyacentes y uno de ellos es recto, el otro también es recto.

6.6.6 Ángulos opuestos por el vértice

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.



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→ → → → ao es opuesta a ob y co es opuesta a od ∧ ∧ aoc y dob son ángulos opuestos por el vértice. 6.6.6.1 Propiedad de los ángulos opuestos por el vértice

π Teorema: Si dos ángulos son opuestos por el vértice entonces son congruentes.

77 POSICIONES DE LA RECTA EN EL PLANO

Consideramos dos rectas A y B que pertenecen al mismo plano. Como ambas pertenecen al mismo plano se llaman coplanares.

Teniendo en cuenta este par de rectas podemos tener las siguientes posibilidades:

π Que tengan un solo punto en común. π Que no tengan ningún punto en común. π Que tengan todos los puntos comunes.

7.1 Rectas oblicuas Dos rectas son oblicuas si cuando se cortan determinan ángulos adyacentes diferentes.

A ∠ B

Se lee. A es oblicua a B

A ∩ B = {o} ∧ ∧

α ≠ β ⇒ son adyacentes diferentes

∠ = es oblicua a 7.2 Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si al cortarse determinan cuatro ángulos congruentes. De esta manera, las rectas perpendiculares determinarán cuatro ángulos rectos.

De acuerdo a la primera posibilidad las rectas pueden ser:



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- 93 -

^ ^ ^ ^α = β = γ = δ

A ∩ B = {o} A ⊥ B Se lee: A es perpendicular a B

⊥ = es perpendicular a

7.2.1 Propiedades de la relación de perpendicularidad

♦ No es reflexiva: una recta no es perpendicular a sí misma.

A no ⊥ A

♦ Es simétrica: si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera. A ⊥ B ⇒ B ⊥ A

♦ No es transitiva: si una recta es perpendicular a otra, y ésta es perpendicular a una tercera, la primera no es perpendicular a la tercera.

Si A ⊥ B y B ⊥ C ⇒ A no ⊥ C 7.2.2 Propiedades de las rectas perpendiculares

♦ Teorema: los lados de un ángulo recto y sus semirrectas opuestas determinan rectas perpendiculares.

♦ Postulado de la existencia y unicidad de la perpendicularidad: por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta.

De acuerdo a las otras dos posibilidades antes mencionadas las rectas pueden ser: 7.3 Rectas paralelas Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común o cuando son coincidentes ( tienen todos los puntos comunes ).

= es paralela a

A ∩ B = φ

A B



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7.3.1 Propiedades de la relación de paralelismo

ó Es reflexiva: toda recta es paralela a sí misma. A A

ó Es simétrica: si una recta es paralela a otra, ésta es paralela a la primera.

A B ⇒ B A

ó Es transitiva: si una recta es paralela a otra, y ésta es paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera.

Si A B y B C ⇒ A C La relación de paralelismo es una relación de equivalencia 7.3.2 Propiedades de las rectas paralelas

ó Si una recta corta a una de dos paralelas corta también a la otra. ó Si una recta es perpendicular a una de dos paralelas también es perpendicular a la otra. ó Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.

ó Postulado de la existencia y unicidad del paralelismo: por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

88 ÁNGULOS PARTICULARES

8.1 Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una tercera

Si dos rectas son cortadas por una tercera, se forman dos grupos de cuatro ángulos.



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- 95 -

Vamos a clasificar a estos ocho ángulos teniendo en cuenta su posición con respecto a las rectas que los determinan. 8.1.1 Ángulos interiores

Los ángulos que se incluyen en el semiplano respecto de A que contiene a b y los incluidos en el semiplano respecto de B que contiene a a, son los ángulos interiores. 8.1.2 Ángulos exteriores

Los ángulos exteriores son aquellos que no son interiores. Por otro lado, si consideramos la posición de los ángulos con respecto a la transversal o secante tenemos que los ángulos pueden ser: 8.1.3 Ángulos alternos Son los pares de ángulos que están en diferentes semiplanos respecto de la secante. 8.1.4 Ángulos correspondientes

Son los que surgen si establecemos una correspondencia entre los ángulos interiores y los ángulos exteriores, teniendo en cuenta la posición que ocupan. Entonces dos ángulos formados por dos rectas cortadas por una tercera son correspondientes cuando están de un mismo lado de la secante; uno es interior y el otro es exterior.



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∧ ∧α Ö α’∧ ∧β Ö β’∧ ∧γ Ö γ’∧ ∧δ Ö δ’

8.1.5 Ángulos alternos internos Dos ángulos son alternos internos cuando están situados en diferentes semiplanos con respecto a la secante y ambos son interiores.

8.1.6 Ángulos alternos externos

Dos ángulos son alternos externos cuando están situados en diferentes semiplanos con respecto a la secante y ambos son exteriores.

8.1.7 Ángulos conjugados internos Dos ángulos son conjugados internos cuando están situados en un mismo semiplanos con



- Matemática I -

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respecto a la secante y ambos son interiores.

8.1.8 Ángulos conjugados externos

Dos ángulos son conjugados externos cuando están situados en un mismo semiplanos con respecto a la secante y ambos son exteriores.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal determinan ángulos correspondientes congruentes.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal determinan ángulos alternos

iguales

Los ángulos conjugados entre paralelas cortadas por una transversal son suplementarios.

*

Ha finalizado Ud. La Unidad 5 ¿Continuamos ?

Recuerde que su tutor lo espera



- Matemática I -

- 98 -


1. Si tenemos dos rectas R y S, determinar:

a) R ∩ S ( si son secantes) b) R ∩ S (si son paralelas)

R R S

o S

2. Dibujar en un plano dos rectas secantes y mencionar cuántos semiplanos determinan.

3. Indicar en los siguientes gráficos cuáles pares de segmentos son consecutivos, no consecutivos, encadenados y no encadenados.



- Matemática I -

- 99 -

4. Marcar en la siguiente figura los ángulos cóncavos y los ángulos convexos.

5. a) Mencionar los segmentos que determinan a, b y c sobre la recta R.

b) Mencionar las semirrectas que determinan a, b y c sobre la recta R.

6. Colocar el signo ∈ y ∉ según corresponda.

a ...... R ab ...... R b ...... a ab ...... a c ...... a cd ...... R d ...... R R ...... a ab...... R S ...... a

7. Decir qué clase de ángulo es:

a) el complemento de un ángulo agudo b) el suplemento de un ángulo agudo c) el suplemento de un ángulo recto d) el suplemento de un ángulo obtuso



- Matemática I -

- 100 -

8. Contestar:

a) Dos ángulos consecutivos ¿ son siempre adyacentes ? b) Dos ángulos adyacentes ¿ son siempre suplementarios ? c) Dos ángulos suplementarios ¿ son siempre adyacentes ?

9. Contestar:

Si dos planos son perpendiculares a un tercero, entre sí son:

a) Perpendiculares b) Paralelos c) Secantes 10. a) Decimos que un punto es: 1. Todo lo que se puede dividir. 2. Todo lo que tiene dimensión y no tiene ubicación. 3. Todo lo que tiene ubicación y no tiene dimensión. b) Decimos que por un punto pasan: 1. Infinitas rectas. 2. Infinitas rectas paralelas. 3. Infinitas rectas perpendiculares. c) Dos puntos que pertenecen a un plano determinan: 1. Una recta. 2. Infinitas rectas. 3. Dos rectas paralelas. d) Decimos que una recta es: 1. Una sucesión finita de puntos alineados en una dirección. 2. Una sucesión infinita de puntos alineados en una dirección. 3. Una sucesión finita de puntos no alineados en una misma dirección. e) Dos rectas son coplanares cuando: 1. Pertenecen a dos planos secantes respectivamente. 2. Pertenecen a dos planos paralelos. 3. Pertenecen al mismo plano. f) Si una recta tiene origen, pero carece de final se llama: 1. Vector. 2. Semirrecta. 3. Segmento. g) Se denomina plano al:



- Matemática I -

- 101 -

1. Conjunto infinito de puntos que nos da la sensación de superficie llana. 2. Conjunto finito de puntos que nos da la sensación de superficie llana. 3. Conjunto finito de puntos que nos da la sensación de superficie curva. h) Si a un plano lo dividimos con una recta, se forman dos: 1. Espacios. 2. Semiespacios. 3. Semiplanos. i) Si una recta tiene origen y final se la denomina: 1. Vector. 2. Semirrecta. 3. Segmento. j) Si dos segmentos tienen un extremo común y no pertenecen a la misma recta, se dice que son: 1. Consecutivos. 2. Encadenados. 3. Iguales. k) La desigualdad de segmentos goza de la propiedad: 1. Transitiva. 2. Asociativa. 3. Ninguna. l) El ángulo cuyo vértice es origen de dos semirrectas opuestas se llama: 1. De un giro. 2. Convexo. 3. Llano. m) Si la unión de dos ángulos es igual a un recto, éstos son: 1. Suplementarios. 2. Complementarios. 3. Opuestos. n) Si una recta divide a un ángulo en dos partes iguales, ésta se llama: 1. Bisectriz. 2. Arista. 3. Diagonal. o) Si dos rectas coplanares no tienen puntos en común son: 1. Paralelas. 2. Secantes. 3. Perpendiculares.



- Matemática I -

- 102 -

p) La perpendicularidad en el plano goza de la propiedad: 1. Reflexiva. 2. Transitiva. 3. Simétrica. q) Para que dos rectas no formen un plano deben ser: 1. Paralelas. 2. Perpendiculares. 3. Secantes. 11. Marcar los ángulos en la siguiente figura y clasificarlos según corresponda.

A B

*



1. a) R ∩ S = {o} conjunto unitario. b) R ∩ S = f conjunto vacío.

2.

Determina cuatro semiplanos: a) Semiplano limitado por la recta S que contiene al punto m. b) Semiplano limitado por la recta S que no contiene al punto m. c) Semiplano limitado por la recta R que contiene al punto n. d) Semiplano limitado por la recta R que no contiene al punto n.



- Matemática I -

- 103 -

3. 1. a) no consecutivos. b) consecutivos. c) consecutivos. d) no consecutivos.

2. a) no encadenados. b) encadenados. c) encadenados. d) no encadenados.

4.

5. a) ab, bc b) ba y bc

6.

a ∈ R ab ⊂ R b ∈ α ab ∈ α c ∈ α cd ∉ R d ∉ R R ⊂ α ab ⊂ R S ⊄ α

7. a) agudo b) obtuso c) recto d) agudo 8. a) No. b) Sí. c) No. 9. Paralelos. 10. a) 3. Todo lo que tiene ubicación y no tiene dimensión. b) 1. Infinitas rectas. c) 1. Una recta.



- Matemática I -

- 104 -

d) 2. Una sucesión infinita de puntos alineados en una dirección. e) 3. Pertenecen al mismo plano. f) 2. Semirrecta. g) 1. Conjunto infinito de puntos que nos da la sensación de superficie llana. h) 3. Semiplanos. i) 3. Segmento. j) 2. Encadenados. k) 3. Ninguna. l) 3. Llano. m) 2. Complementarios. n) 1. Bisectriz. o) 1. Paralelas. p) 3. Simétrica. q) 2. Perpendiculares. 11.

γ, δ, β’, α’ = ángulos interiores β, α, γ’, δ’ = ángulos exteriores α, α’ = ángulos correspondientes β, β’ = ángulos correspondientes γ, γ’ = ángulos correspondientes δ, δ’ = ángulos correspondientes δ, β’ = alternos internos γ, α’ = alternos internos α, γ’ = alternos externos



- Matemática I -

- 105 -

β, δ’ = alternos externos δ, α’ = conjugados internos γ, β’ = conjugados internos α, δ’ = conjugados externos β, γ’ = conjugados externos

*



UNIDAD 6

TRIÁNGULOS



- Matemática I -

- 107 -

UNIDAD 6

TRIÁNGULOS

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir congruencia de triángulos. - Construir triángulos.

11 INTRODUCCIÓN

.

Los triláteros pueden ser abiertos o cerrados. 1.1 Abierto

1.2 Cerrado

El trilátero cerrado separa al plano en dos regiones: una interior y una exterior. El trilátero es el elemento de separación, la frontera entre las dos regiones.

Con conjuntos de segmentos consecutivos se pueden formar triláteros



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22 TRIÁNGULO

Se llama triángulo abc al conjunto de puntos del trilátero abc y los puntos exteriores a él.

B

A C

Si marcamos tres puntos no alineados a, b, y c y trazamos las rectas ab, bc y ca, observamos que queda formada una figura por los puntos comunes a los tres semiplanos. Entonces: Dados tres puntos no alineados a, b y c, se llama triángulo ABC a la intersección del semiplano de borde AB que contiene a C, al semiplano de borde BC que contiene a A y el semiplano de borde CA que contiene a B.

ABC = S (AB, C), S (BC, A) y S (AC, B) De la misma manera, si marcamos tres puntos no alineados a, b y c y marcamos los ∧ ∧ ∧ ángulos ABC, BCA y CAB, observamos que queda formada una figura por los puntos comunes a los tres ángulos. Entonces: Dados tres puntos no alineados a, b y c, se llama triángulo ABC a la ∧ ∧ ∧ intersección de los ángulo ABC, BCA y CAB. ∧ ∧ ∧ ABC = ABC ∩ BCA ∩ CAB A, B y C son los vértices del triángulo.

AB, BC y CA son los lados del triángulo.

∧ ∧ ∧ ABC, BCA y CAB son los ángulos interiores del triángulo. Pueden designarse simplemente



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∧ ∧ ∧ A, B y C . α, β y γ son los ángulos exteriores del triángulo.

_ La suma de todos los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. _ Cualquier triángulo tiene tres lados, tres vértices y tres ángulos. Esto distingue al

triángulo de otras figuras del plano.

2.1 Clasificación de los triángulos Si se clasifican según sus ángulos, los triángulos pueden ser: 2.1.1 Triángulos acutángulos Son los triángulos que tienen los tres ángulos agudos.

2.1.2 Triángulos rectángulos Son los triángulos que tienen un ángulo recto.

2.1.3 Triángulos obtusángulos Son los triángulos que tienen un ángulo obtuso.

Si se clasifican según sus lados, los triángulos pueden ser:



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2.1.4 Triángulos isósceles Son los triángulos que tienen por lo menos dos lados iguales.

2.1.5 Triángulos equiláteros

Son los triángulos que tienen los tres lados iguales. Quedan comprendidos dentro del grupo de los isósceles.

2.1.6 Triángulos escalenos Son los triángulos que tienen todos los lados diferentes.

2.2 Congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes cuando se pueden superponer, de tal manera que coincidan todos sus puntos. Hay tres posibilidades:

_ Que los triángulos tengan congruentes los tres lados.

_ Que los triángulos tengan un lado y dos ángulos correspondientes respectivamente congruentes.

_ Que los triángulos tengan dos lados y el ángulo comprendido respectivamente congruentes.



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2.3 Construcción de triángulos 2.3.1 Para que tenga congruentes los tres lados. Sobre una semirrecta de origen A, transportamos por medio de un compás a B.

Con vértice en A, trazamos un arco en uno de los semiplanos. Luego, con vértice en B, trazamos otro arco que corte al que habíamos marcado antes. Esto, determinará un punto C. Si unimos A, B, y C, tendremos un triángulo equilátero.

2.3.2 Para que tenga un lado y dos ángulos congruentes. Sobre una semirrecta de origen A, transportamos por medio de un compás a B.

Marcamos un punto sobre esta semirrecta y desde ese punto trazamos un arco en uno de los

semiplanos. Luego, desde A, trazamos otro arco que lo corte.

Después volvemos a repetir lo mismo, pero en vez de apoyarnos en A lo hacemos en B. Los lados de ambos ángulos se cortan en C.



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2.3.3 Para que tenga dos lados y un ángulo congruente. Sobre una semirrecta de origen A, transportamos por medio de un compás a B.

Con vértice en A marcamos un punto sobre la semirrecta. Luego, apoyándonos en este punto, trazamos un arco y trazamos otro que lo corte desde A.

Después, desde B trazamos un arco que corte la semirrecta que se formó a partir de la unión de los otros dos arcos anteriores. A este punto lo llamamos C y lo unimos con B para que quede terminado el triángulo.

2.4 Alturas de un triángulo

La altura correspondiente a un lado del triángulo es el segmento que cumple simultáneamente las siguientes condiciones:

1. Es perpendicular al lado.

2. Tiene un extremo en el vértice opuesto al lado y el otro extremo en el lado o en su prolongación.



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__ __ __ En el triángulo ABC, la altura AH corresponde al lado BC, la altura CR corresponde __ __ __ al lado AB y la altura SB corresponde al lado AC.

Todos los triángulos tienen tres alturas. Dichas alturas o su prolongación siempre se cortan en un punto, llamado ortocentro.

o = es el punto de intersección de las prolongaciones de las alturas, es el ortocentro.

2.5 Medianas de un triángulo La mediana correspondiente al lado de un triángulo es el segmento que tiene un extremo en el punto medio del lado y el otro extremo en el vértice opuesto.

— — — En el triángulo ABC, la mediana BF corresponde al lado AC, la mediana CD

corresponde al lado BA y la mediana AE corresponde al lado BC. Todos los triángulos tienen tres medianas. Las tres medianas se cortan en un punto, llamado baricentro. M es el punto de intersección de las tres medianas, M es el baricentro.

2.6 Bisectrices de un triángulo Se llaman bisectrices de un triángulo a las bisectrices de sus ángulos interiores.

C X Y P A Z B



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AY es la bisectriz del triángulo con respecto al ángulo A BX es la bisectriz del triángulo con respecto al ángulo B CZ es la bisectriz del triángulo con respecto al ángulo C

A cada ángulo interior de un triángulo le corresponde una bisectriz, las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. P es el incentro.

2.7 Mediatrices de un triángulo En un triángulo, la mediatriz correspondiente a un lado, es la perpendicular a dicho lado trazada por el punto medio del mismo. C Q R S A T B T es la mediatriz correspondiente al lado AB. Q es la mediatriz correspondiente al lado AC S es la mediatriz correspondiente al lado CB

En todo triángulo existen tres mediatrices, una correspondiente a cada lado. Las mediatrices correspondientes a los tres lados de un triángulo, concurren a un punto llamado circuncentro. R es el circuncentro.

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¡Bravo! Ha finalizado Ud. la Unidad 6

Si le quedaron dudas, consulte con su tutor



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1. La distancia desde un vértice de un triángulo, al lado opuesto se llama: a) bisectriz b) mediatriz c) altura 2. Indicar que tipo de triángulo es cada una de las siguientes figuras:

3. En el siguiente triángulo, marcar los vértices, los lados, los ángulos interiores y los ángulos

exteriores.

4. Trazar las alturas de los siguientes triángulos: 5. Trazar las medianas de los siguientes triángulos:

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1. c) altura 2. RECTÁNGULO ISÓSCELES EQUILÁTERO OBTUSÁNGULO ACUTÁNGULO ACUTÁNGULO ESCALENO 3.

4.



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5.

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UNIDAD 7

MEDIDAS. SISTEMAS



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UNIDAD 7

MEDIDAS. SISTEMAS

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Conocer el Sistema Métrico Legal Argentino. - Diferenciar medidas.

11 MEDIDAS A menudo en el lenguaje cotidiano empleamos expresiones tales como: LONGITUD, PESO, VOLUMEN, CAPACIDAD, etc. Nos estamos refiriendo a MAGNITUDES. PESO TIEMPO MAGNITUDES VOLUMEN CAPACIDAD LONGITUD FUERZA, ETC. Sin embargo, cuando reunimos a dichas expresiones, generalmente lo hacemos en forma más específica.

La LONGITUD del tramo de autopista inaugurado. El VOLUMEN de trigo vendido. La SUPERFICIE del área cerealera.

En todos estos casos, nos estamos refiriendo a CANTIDADES de esas magnitudes.

CANTIDAD: es una determinación cualquiera de esa magnitud.



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Cada vez que deseamos medir una cantidad, necesitamos compararla con otra homogénea

con ella, es decir, perteneciente a la misma magnitud, a la que llamamos UNIDAD. METRO SEGUNDO UNIDADES DE MEDIDA DECALITRO HECTÁREA METRO CUADRADO, ETC.

Se llama medida de una cantidad al cociente entre dicha cantidad y la unidad elegida.

Ejemplo:

22 SISTEMA MÉTRICO LEGAL ARGENTINO SIMELA es el Sistema Métrico Legal Argentino. El Sistema Métrico decimal es el que se usa en la mayoría de los países. Sus unidades fundamentales son para longitudes, el metro; para pesos, el gramo y para capacidades, el litro. El m² se emplea para medir las superficies y el m³ para medir volúmenes.



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2.1 Medidas de longitud La unidad de longitud es el METRO ( m ). Las medidas de longitud son de base 10. Valor en m MÚLTIPLOS km ( kilómetro ) 1.000 hm ( hectómetro ) 100 dam ( decámetro ) 10 UNIDAD m ( METRO ) 1 SUBMÚLTIPLOS dm ( decímetro ) 0,1 cm ( centímetro ) 0,01 mm ( milímetro ) 0,001 Para pasar de una unidad a otra que esté más arriba, se divide por 10n, donde “n” es el número de unidades que hay entre ambas. Para pasar de una unidad a otra situada debajo, se multiplica por 10n. Ejemplos: Reducir 6 cm a m. Dividimos 6 : 10² ( n = 2 porque de cm a m hay dos unidades ). entonces 6 cm = 0,06 m. Reducir 7 hm a dm. Multiplicamos 7 . 10³ ( n = 3 porque de hm a dm hay tres unidades ). entonces 7 hm = 7.000 dm. 2.2 Medidas de superficie La unidad de superficie es el METRO CUADRADO (m²). Las medidas de superficie son de base 100. Valor en m2 MÚLTIPLOS km² ( kilómetro cuadrado ) 1.000.000 hm² ( hectómetro cuadrado ) 10.000 dam² ( decámetro cuadrado ) 100 UNIDAD m² ( METRO CUADRADO ) 1 SUBMÚLTIPLOS dm² ( decímetro cuadrado ) 0,01 cm² ( centímetro cuadrado ) 0,0001 mm² ( milímetro cuadrado ) 0,000001 Para pasar de una unidad a otra, se multiplica o divide por 100 n. Ejemplos: Reducir 5 m² a cm². 5 m² = 50.000 cm² Reducir 50 dm² a hm². 50 dm² = 0,000050 hm².



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Otras unidades muy empleadas para medir superficies son la hectárea ( ha ): 1 ha = 1 hm², el área ( a ): 1 a = 1 dam² y la centiárea ( ca): 1 ca = 1 m². Se las llama unidades agrarias y surgieron de la necesidad de medir grandes extensiones de terreno. La unidad es el área. La hectárea es el único múltiplo y la centiárea es el único submúltiplo. 2.3 Medidas de volumen La unidad de volumen es el METRO CÚBICO ( m³ ). Las medidas de volumen son de base 1000. Valor en m3 MÚLTIPLOS km³ ( kilómetro cúbico ) 1.000.000.000 hm³ ( hectómetro cúbico ) 1.000.000 dam³ ( decámetro cúbico) 1.000 UNIDAD m³ ( METRO CÚBICO ) 1 SUBMÚLTIPLOS dm³ ( decímetro cúbico ) 0,001 cm³ ( centímetro cúbico ) 0,000001 mm³ ( milímetro cúbico ) 0,000000001

Ejemplos: Reducir 2 dm³ a m³.

2 dm³ = 0,002 m³ Reducir 3 dam³ a dm³. 3 dam³ = 3.000.000 dm³. Además de los múltiplos y submúltiplos que vimos en los cuadros anteriores ( que también están incluidos en este cuadro ), existen otros, que son los siguientes: • MÚLTIPLOS:

Para pasar de una unidad a otra , se multiplica o divide por 1.000 n.



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• SUBMÚLTIPLOS:

En el Sistema internacional de Unidades ( S. I. ) existen tres tipos de unidades:

2.4 Medidas de peso La unidad de peso es el GRAMO ( g ). Las medidas de peso son de base 10. Valor en g MÚLTIPLOS T ( tonelada métrica ) 1.000 kg Q ( quintal métrico ) 100 kg kg ( kilogramo ) 1.000 g hg ( hectogramo ) 100 g dag ( decagramo) 10 g UNIDAD g ( GRAMO ) 1 g



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SUBMÚLTIPLOS dg ( decigramo ) 0,1 g cg ( centigramo ) 0,01 g mg ( miligramo ) 0, 001 g Ejemplos: Reducir 25 cg a kg. 25 cg = 0,00025 kg. Reducir 3 hg a g. 3 hg = 300 g.

2.5 Medidas de capacidad La unidad de capacidad es el LITRO ( l ). Las medidas de capacidad son de base 10. Valor en g MÚLTIPLOS kl ( kilolitro ) 1.000 l = 1 m³ hl ( hectolitro ) 100 l dal ( decalitro) 10 l UNIDAD l ( LITRO ) 1 l = 1 dm³ SUBMÚLTIPLOS dl ( decilitro ) 0,1 l

cl ( centilitro ) 0,01 l ml ( mililitro ) 0,001 l

Ejemplos: Reducir 4 ml a dl. 4 ml = 0,04 dl. Reducir 25 kl a cl.. 25 kl = 2.500.000 cl.

33 CUADRO DE RELACIONES ENTRE UNIDADES

3.1 Capacidad, peso y volumen CAPACIDAD ml cl dl l Dal hl kl PESO g dag hg kg T VOLUMEN cm³ dm³ m³

44 SISTEMA SEXAGESIMAL

Es un sistema que se emplea para medir ángulos.



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La unidad en este sistema es el GRADO SEXAGESIMAL, que es el cociente de un ángulo recto por el N° 90.

1° = °=⇒ 901901 RR

Este sistema no tiene múltiplos. Los submúltiplos son: el MINUTO SEXAGESIMAL y el SEGUNDO SEXAGESIMAL

0 1 grado sexagesimal por el número 60 es igual a un minuto sexagesimal. 0 1 minuto sexagesimal dividido por el número 60 es igual a un segundo sexagesimal.

1R = 90° 1° = 60’ 1’ = 60’’ Por ejemplo: 120° 15’ 30’’ Significa: ciento veinte grados sexagesimales, quince minutos, treinta segundos.

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¡Lo felicito! Ha finalizado Ud. la materia

Recuerde que su tutor puede ayudarlo



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1. Reducir: a) 25 cm² a m² b) 13,4 mm³ a cm³ c) 10 dl a l d) 0,5 g a mg e) 2,3 m a cm f) 8 km a m g) 1,93 km a m h) 362 dm a m i) 0,25 dm³ a g j) 2 m³ a dl k) 5 l a cm³ l) 25 g a l m) 5 T a cl

n) 8 l a m³

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1. a) 0,0025 m². b) 0,0134 cm³. c) 1 litro. d) 500 mg. e) 230 cm. f) 8.000 m. g) 1930 m. h) 36,2 m. i) 250 g. j) 20.000 dl. k) 5.000 cm³. l) 0,025 l. m) 500.000 cl. n) 0,008 m³.

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matemática 1

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