matema financiera
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MATEMATICAS FINANCIERAS
• Conceptos Básicos
– Interés– Tasa de interés
• Tipos de Interés– Interés simple– Interés compuesto
• Desrrolo de la tasa efectiva
– Tasa de interés nominal
– Período de capitalización
– Tasa de interés proporcional
– Ambito del interés simple y compuesto
– Tasas de interés equivalentes
• Programación de deuda
– Interés al rebatir
– Amortizaciones iguales
– Pagos iguales
• Tasas equivalentes
– Concepto de flujos
– Tasa interna de retorno o Tasa equivalente
– Aplicación en Programación de deuda
• Descuentos
– Sobre monto total
– Sobre monto parcial– Tasa efectiva equivalente
• Tasa de Interés Real– Precio corrientes y constantes– De flujos corrientes a reales– Tasa real equivalente
• Tasa de interés y cambio de moneda
– El tipo de cambio
– Flujos y cambio de moneda
– Tasas de interés equivalente en otras monedas
INTERES
CONCEPTO
• Es el valor o costo que otorga el mercado al uso del dinero en un período de tiempo, en un determinado instrumento financiero.
EJEMPLO
Préstamo
Saldo PagoInterésAmortiz.
P
PIA
0
1
0
Flujo de Caja
P
F
Amortización
Interés
Pago Futuro
Período0 1
1
P
F
A+I
Programación de deuda
TASA DE INTERES
CONCEPTO
• Tasa equivalente entre los pagos futuros y el préstamo, representando el costo financiero de la operación financiera.
EJEMPLO
0
1
Flujo de Caja
P = S/ 1,000
F = S/1,100
0 11,000 1,000 + 100 1,100
A
I
F
P
I P
100 1,000
i = = = 0.10 = 10%
i = = -1 = -1 = 10% F-P P
F P
1,100 1,000
+
Procesode
Capitalización
INTERES SIMPLE
CONCEPTO
• Se dá cuando en el cálculo de un pago futuro (F) no existe capitalización de intereses en períodos intermedios.
Flujo de la Deuda
0 1 2 31,000 1,000 1,000 1,300 0 100 100 100
SaldoIntereses
I = (P x i) nF = P + IF = P + (P x i) n
F = P (1+i x n)
EJEMPLO
0
1 2 3
P = S/ 1,000
F = ?
10% 10% 10%
300
F = P (1+ iequiv)(1 + iequiv) = (1 + i x n)iequiv = (1 + i x n) - 1
iequiv = i x n
¿Cuál es el pago futuro si la capitalización es trimestral?
INTERES COMPUESTO
CONCEPTO
• Se dá cuando en el cálculo de un pago futuro se capitalizan los intereses de períodos intermedios al saldo de la deuda y sobre estos se calculan los intereses del siguiente período. Se dice que existe capitalización de intereses.
EJEMPLO
0
1 2 3
P = S/ 1,000
F = ?
Flujo de Caja
0 1 2 31,000 1,100 1,210 1,331 0 100 110 121
SaldoIntereses
10% 10% 10%
F = P (1+i) F = P (1+i)(1+i)F = P(1+i)2
F = P (1+i)(1+i)(1+i)F = P(1+i)3
F = P(1+i)n
TASA DE INTERES NOMINAL
Tasa base anunciada por la institución financiera.
inom = 60% anual
PERIODO DE CAPITALIZACIONPeríodo que implica el cómputo de intereses al principal. Divide el tratamiento de la deuda entre interés simple y compuesto.
Capitalización Trimestral = 4 períodos en el año m = 4
TASA DE INTERES PROPORCIONAL
Es la primera tasa efectiva. (iefect)* y se calcula como una proporción del inom en función del número de períodos de capitalización (m).
iprop. = iefect* = inom
m
iefect* = 60% 4
AMBITO DE LOS INTERESES SIMPLE Y COMPUESTO
Interés simple Interés compuesto + múltiplo
n<m m n>miefec*
EJEMPLO
• Calcular el saldo al final del 2do. trimestre del siguiente flujo:
0 1 2 3 4 5 6
Retiros
Depósitos
400 700 400
1,000 500 600 500
La tasa de interés es 60% anual
a) Capitalizada mensualmente
b) Capitalizada trimestralmente
SOLUCION
Mes InteresesRetirosDepósitosSaldo
0
1
2
3
4
5
6
Mes InteresesRetirosDepósitosSaldo
0
1
2
3
4
5
6
a) Capitalización mensual ianual = 60% capitalización mensual ----> imensual =
b) Capitalización trimestral ianual = 60% capitalización trimestral ----> itrim = = imensual =
TASAS DE INTERES EQUIVALENTES
• i anual nominal = 60%
PeríodoCapitaliz. Sem. Men. Bimes. Trimes Semes Anual
Semanal
Mensual
Bimestral
Trimestral
Semestral
Anual
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INTERES AL REBATIR
Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior.
Ejemplo:
¿Cuál es el saldo al trimestre 6?
Bajo las siguientes condiciones:
a) tasa de interés pasiva 5% mensualb) capitalización mensualc) tasa de interés activa: 10% mensual
Mes Saldo Depositos Retiros Interés
0 1,000
1 500
2 600
3
4
2,000
5 400
6 600
300
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PROGRAMACION DE DEUDA
• Programar el servicio del siguiente préstamo:
Préstamo = $1,000
i = 10% efectiva mensual
n = 4
a) Pagos iguales
b) Amortizaciones iguales
Mes PagoInterésAmortiz.SaldoFinal
0
1
2
3
4
Mes PagoInterésAmortiz.SaldoFinal
0
1
2
3
4
a) Amortizaciones Iguales
b) Pagos Iguales
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PAGOS IGUALES
PMT
P
n1 2 3 4 5
PMT (1+ i)1
P = + + + + + ...... +
PMT PMTPMT PMTPMT
PMT = ?
PMT (1+ i)2
PMT (1+ i)3
PMT (1+ i)5
PMT (1+ i)4
PMT (1+ i)n
P = + + + + ...... + 1 (1+ i)
PMT (1+ i)1
PMT (1+ i)2
PMT (1+ i)3
PMT (1+ i)n-1
PMT
P (1+i) = + + + + ...... + + - PMT (1+ i)1
PMT (1+ i)2
PMT (1+ i)3
PMT (1+ i)n-1
PMT PMT (1+ i)n
PMT (1+ i)n
P
P(1+i) = PMT + P - PMT (1+ i)n
P(1+i) - P = PMT - PMT (1+ i)n
iP = PMT (1+i)n - 1 (1+i)n
P = PMT (1+i)n - 1 i (1+i)n
PMT = P i (1+i)n (1+i)n - 1
@PMT(P , i , n)
13
TASA EQUIVALENTE
* A un período
P
F
P(1+i) = F
P = ---> i = - 1 F (1+i)
F p
* A dos períodos
P
F2F1
P = + F1 (1+i)
F2 (1+i)2
P(1+i)2 = F1 (1+i) + F2
P(1+2i+i2) = F1+iF1 + F2
P+2Pi+Pi2 -F1-iF1 - F2 = 0
Pi2 + (2P-F1)i +P-F1- F2 = 0
i = -(2P-F1)+ (2P-F1)2 - 4P(P-F1 -F2)
2P
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TASA EQUIVALENTE
* A “n” períodos
VP
k (tasa de descuento)
VP = - P + + + .........+ F1
(1+k) F2
(1+k)2
VP = 0
k* TIR
TIR = la tasa equivalente que iguala el préstamo P a los flujos actualizados
@IRR (0.18, P F1 ..Fn)
k*
P = + + +......... + F1 (1+ TIR)
F2 (1+ TIR)2
Fn (1+ TIR)n
F3 (1+ TIR)3
Fn
(1+k)n
Flujos actualizados
k*
k* = - 1Fi P n
15
TASAS EQUIVALENTES DE FLUJOS
a) Amortizaciones iguales
1 2 3 4
350 325 300 275
1,000
F F F F (1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4
P = + + +
350 325 300 275 (1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4
1,000 = + + +
b) Pagos iguales
1 2 3 4
315 315 315 315
1,000
315 315 315 315 (1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4
1,000 = + + +
i = ¿ ?
0
1 2 3 4
0
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PRECIOS CORRIENTES Y CONSTANTES
En términos corrientes:
Precio bien0 = 100
mensual = 20%
Precio bien1 = 120
0 1 =20%
100 120
En términos constantes:
Precio bien0= 100Precio bien1= 100
0 1
100 100
Precios corrientesdel bien
Precios constantesdel bien
preal =
p. Corriente ( 1+ )
Para tener un precio en términos constantes se debe deflactar los precios corrientes afectándolos por la inflación.
p0
p1 = p0 * (1 + )
p1
preal = 120 (1+20%) preal = 100
p0 p1 = preal
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DE FLUJOS CORRIENTES A REALES
FCi = Flujo Corriente del Período i
FLUJOS CORRIENTES
FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FCn
P
n1 2 3 4 5
FC1
(1+ )1
FC2
(1+ )2
FC3
(1+ )3
FC4
(1+ )4
FC5
(1+ )5
FCn
(1+ )n
FRi = Flujo Real del Período i
p
n1 2 3 4 5
FR1 FR3 FR4 FRnFR5FR2
FLUJOS REALES
= Flujo real
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FLUJOS Y CAMBIO DE MONEDA
Fd1 Fd2 Fd3 Fd4 Fd5 Fdn
n1 2 3 4 5
Pd
TCi = Tipo de cambio del período i (S/. /$ [Unidad monetaria a emigrar])
FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FCn
P
n1 2 3 4 5
FC 1TC1
FC2
TC2
FC 3TC3
FC 4TC4
FC 5TC5
FC nTCn
PTCO
FLUJOS EN S/
FLUJOS EN $
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TASA EQUIVALENTE
FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FCn
P
n1 2 3 4 5
FC 1(1+ ic)1
FC 2(1+ ic)2
FC 3(1+ ic)3
FC 4(1+ ic)4
FC 5(1+ic )5
FC n(1+ic )n
P = + + + + + ...... +
ic = Tasa de interés equivalente a cifras corrientes
ic = @ IRR (0.2, P, FC1 ...FCn)
p
n1 2 3 4 5
FR1 FR3 FR4 FRnFR5FR2
FR 1(1+ iR)1
FR 2(1+ iR)2
FR 3(1+ iR)3
FR 4(1+ iR)4
FR 5(1+iR)5
FR n(1+iR )n
P = + + + + + ...... +
iR = @ IRR (0.15, P, FR1 ...FRn)
EN FLUJOS CORRIENTES
EN FLUJOS REALES
Nota: Si = cte ----> iR = ief - 1 +
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EJEMPLO
• Calcular el saldo al final del 2do. trimestre del siguiente flujo:
0 1 2 3 4 5 6
Retiros
Depósitos
400 700 400
1,000 500 600 500
La tasa de interés es 60% anuala) Capitalizada mensualmenteb) Capitalizada trimestralmente
a) Capitalización mensual ianual = 60% capitalización mensual ----> imensual = 5.0%
b) Capitalización trimestral ianual = 60% capitalización trimestral ----> i trim = 15.0% ----> imensual = 5.0%
Mes Saldo Depositos Retiros Interes0 1,000.00 1,0001 600.00 0 400 50.00
2 1,100.00 500 30.003 1,835.00 600 55.004 1,135.00 700 91.75
5 735.00 400 56.756 1,420.25 500 36.75
Mes Saldo Depositos Retiros Interes0 1,000.00 1,0001 650.00 0 400 50.002 1,182.50 500 32.503 1,841.63 600 59.134 1,233.71 700 92.085 895.39 400 61.696 1,440.16 500 44.77
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TASAS DE INTERES EQUIVALENTES
• i anual nominal = 60%
PeríodoCapitaliz. Sem. Men. Bimes. Trimes Semes Anual
Semanal
Mensual
Bimestral
Trimestral
Semestral
Anual
1.25% 5.09% 10.45% 81.54%16.08% 34.74%
1.25% 5.00% 10.25% 79.59%15.76% 34.01%
1.25% 5.00% 10.00% 77.16%15.37% 33.10%
1.25% 5.00% 10.00% 74.90%15.00% 32.25%
1.25% 5.00% 10.00% 69.00%15.00% 30.00%
1.25% 5.00% 10.00% 60.00%15.00% 30.00%
22
IINTERES AL REBATIR
Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior.
Ejemplo:
¿Cuál es el saldo al trimestre 6?
Bajo las siguientes condiciones:
a) tasa de interés pasiva 5% mensual
n Saldo Deposito Retiro Interes
0 1,000.00 1,000.00
1 650.00 500.00 150.00
2 1,347.50 600.00 97.50
3 (450.38) 2,000.00 202.13
4 (217.93) 300.00 (67.56)
5 (650.62) 400.00 (32.69)
6 (148.21) 600.00 (97.59)
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IINTERES AL REBATIR
Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior.
Ejemplo:
¿Cuál es el saldo al trimestre 6?
Bajo las siguientes condiciones:
b) capitalización mensual
n Saldo Deposito Retiro Interes
0 1,000.00 1,000.00
1 657.62 500.00 157.62
2 1,361.28 600.00 103.66
3 (424.14) 2,000.00 214.57
4 (191.00) 300.00 (66.86)
5 (621.11) 400.00 (30.11)
6 (119.01) 600.00 (97.90)
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IINTERES AL REBATIR
Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior.
Ejemplo:
¿Cuál es el saldo al trimestre 6?
Bajo las siguientes condiciones:
c) tasa de interés activa: 10% mensual
n Saldo Deposito Retiro Interes
0 1,000.00 1,000.00
1 800.00 500.00 300.00
2 1,640.00 600.00 240.00
3 132.00 2,000.00 492.00
4 471.60 300.00 39.60
5 213.08 400.00 141.48
6 877.00 600.00 63.92
25
Mes Saldo Amortiz Interes Pago
0 1,000
1 785 215 100 315
2 548 237 78 315
3 287 261 55 315
4 0 287 29 315
PROGRAMACION DE DEUDA
• Programar el servicio del siguiente préstamo:
Préstamo = $1,000
i = 10% efectiva mensual
n = 4
a) Pagos iguales
b) Amortizaciones iguales
a) Amortizaciones Iguales
b) Pagos Iguales
Mes Saldo Amortiz Interes Pago
0 1,000
1 750 250 100 350
2 500 250 75 325
3 250 250 50 300
4 0 250 25 275