MATEK ELMÉLET

HALMAZOK:

részhalmaz: A halmaznak B részhalmaza, ha B bármely eleme az A halmaznak is eleme (jel: B⊆

A )

valódi részhalmaz: B valódi részhalmaza A-nak, ha részhalmaza és A-nak létezik olyan eleme, ami

nem eleme B-nek (jel: B⊂ A)

unió: A és B halmazok uniója azon elemek halmaza, amelyek A-nak vagy B-nek elemei

A ∪ B := { a | a ∈ A ∨ a ∈ B }

metszet: A és B halmaz metszete, azon elemek halmaza, amelyek A-nak és B-nek is elemei

A ∩ B := { a | a ∈ A ∧ a ∈ B }

különbség: A és B halmaz különbsége, azon elemek halmaza melyek elemei A-nak, de nem elemei

B-nek A \ B := { a | a ∈ A ∧ a ∉ B }

komplementer halmaz: A halmaz alaphalmazra vett különbsége (jel: H \ A = Ā)

direkt ( Descartes) szorzat: A és B halmazok direkt szorzata azon rendezett elempárok halmaza,

melyben minden elempár első eleme A-ból való, a második eleme pedig B-ből

AxB := { (a;b) | a∈A ; b∈B }

de Morgan azonosságok:

_

Ā = A : A halmaz komplementerének komplementere maga az A halmaz

____ _ _

A ∪ B = A ∩ B : A és B halmaz uniójának komplementere egyenlő A halmaz

komplementerének és B halmaz komplementerének metszetével

____ _ _

A ∩ B = A ∪ B : A és B halmaz metszetének komplementere egyenlő A halmaz

komplementerének és B halmaz komplementerének uniójával

kétváltozós reláció: az A halmazon vett kétváltozós relációnak nevezzük AxA direktszorzat

részhalmazait

ekvivalenciareláció: olyan reláció, amire a szimmetria, tranzitivitás és a reflexivitás egyszerre

teljesül

-szimmetria: ha a ~b (egyik halmaz elem relációban áll a másikkal) akkor b~a (másik is az

egyikkel)

-tranzitivitás: ha a~b (a és b relációban áll) és b~c (b és c relációban áll), akkor a~c (a és c is

relációban áll)

-reflexivitás: a~a teljesül (bármely halmaz relációban áll önmagával)

VALÓS SZÁMOK

Műveleti tulajdonságok

kommutativitás: felcserélhetőség a + b = b + a ; a x b = b x a

disztributivitás: műveleti sorrend felbonthatósága a x ( b+ c) = a x b + a x c

asszociativitás: zárójelre érvényesülő felbonthatóság (a + b) + c = a + ( b + c)

neutrális elem: semleges elem vagy egységelem a + 0 = a ; a x 1 = a

Rendezési axiómák

trichotómia elve: Bármely két a; b ∈ R számra az alábbi relációk közül pontosan egy

érvényes: a<b ; a>b; a= b

tranzitivitás: Ha a >b és b >c , akkor a > c

monotonitás: ha a <b és c<0 akkor a+ c < b + c és a x c < b x c

Bármely két különböző valós szám között van racionális szám

teljességi axióma: Ha egy számhalmaz felülről korlátos, nem üres akkor létezik legkisebb felső

korlátja (supT) T∈R

Teljes indukció: olyan bizonyítási módszer, melyben igaznak tekintünk egy 'n' egész számra

vonatkozó állítást és ugyanazt az állítást 'n + 1' -re az 'n'-re vonatkozó állítás alapján bizonyítjuk

lépései:

1. kicsi egészre kipróbáljuk, hogy igaz e az állítás

2. feltesszük, hogy 'n' ∈ Z- re teljesül az állítás -> INDUKCIÓS FELTEVÉS

3. belátjuk az indukciós feltevés alapján, hogy az állítás 'n + 1' -re igaz

Binomiális tétel:

halmazelméleti jelentése: n- elemű halmaz k- elemű részhalmazainak száma (tulajdonságai:

szimmetria, additivitás)

egy kéttagú kifejezés bármely egész, nem negatív kitevőjű hatványa szorzattá alakítható

KOMPLEX SZÁMOK

komplex számsík: a komplex számokat ábrázolhatjuk egy derékszögű koordináta- rendszerben

(síkban), ezt a síkot, azaz a komplex számok halmazát valós számsíknak nevezzük

egyenlőség: két komplex szám egyenlő, ha valós és képzetes részük is egyenlő

z = a + ib ; w = c + ib (a,b,c,d valós szám); z=w ha, a=c és b=d

konjugálás: egyik szám a másik konjugáltja ha valós részük megegyezik, képzetes része pedig az

ellentettjére változik; geometriailag: a szám és a konjugáltja egymás valós tengelyre vett tükörképei

z konjugáltja = a- ib ; a valós számok konjugáltja önmaga

összeadás/ kivonás: komplex számok összeadásánál/ kivonásánál a valós és a képzetes részük

külön összeadódik/kivonódik, geometriailag: vektorösszeadás

szorzás: geometriailag: forgatva nyújtás

algebrai alakban:

trigonometrikus alakban:

osztás: (reciprokkal való szorzás) geometriailag: forgatva összenyomás

algebrai alakban

trigonometrikus alakban

hatványozás: a komplex számok hatványozása a Moivre formulával történik

gyökvonás: a komplex számok gyökvonása többértékű művelet, annyi megoldása van ahanyadik

gyököt vonunk ; geometriailag : egy komplex szám n-edik gyökei egy szabályos n- szög csúcsait

jelölik ki

egységgyök: az 1 szám n-edik gyökei ; εk^n = n√1 közül a k-adik

POLINOMOK:

polinom: n-ed fokú polinom az a kifejezés, mely a 'z' változóhoz a következő véges összeget

rendeli

an x z^n + an-1 x z^n-1 +...a1z + a0

an nem egyenlő 0; n a polinom fokszáma, a0 = konstans, z=változó

irreducibilis polinom: valós együtthatós polinomoknál nem mindig tudjuk a polinomot kisebb

fokszámú szintén valós együtthatós polinomokra bontani, az ilyen polinomokat irreducibilis

polinomoknak nevezzük

Bézout- tétele: ha p(z) komplex együtthatós polinómnak gyöke z0 akkor létezik q(z) polinom úgy,

hogy p(z)= (z-z0) q(z) ;degp= 1+degp ; (z-z0)-> lineáris faktor: fokszáma 1

polinomok algebrai alapfeltétele: minden legalább 1. fokú komplex együtthatós polinomnak van

gyöke, ennek következménye: p(z) komplex polinom lineáris faktorok szorzatára bontható: p(z)=

(z-z1)^k1 x (z-z2)^k2....(z-zl)^kl x an

SZÁMSOROZATOK:

valós számsorozatok: {an} sorozat olyan hozzárendelés, amely minden pozitív egész számhoz egy

valós számot rendel

korlátosság: {an} valós számsorozat korlátos, ha létezi k valós szám úgy, hogy minden 'n'-re an>=

k, (k alsó korlát ) és létezik K valós szám, hogy minden n-re an<=K, (K felő korlát)

monotonitás:

{an} monoton növő, ha bármely n<m -re (n, m egész szám) igaz, hogy an<= am, monoton csökkenő

ha an>= am (szigorú monotonitás> az egyenlőség nem megengedett)

határérték: {an} valós számsorozatnak A szám határértéke, ha bármely ε>0 -ra létezik

N( ε) küszöbindex, hogy ha n> N( ε), akkor |an-A| < ε (jelölés lim an = A)

konvergencia: ha létezik lim an = A (a>végtelenbe), akkor {an} konvergens

divergencia: ha nem létezik lim an = A (a>végtelenbe), akkor divergens

torlódási pont: egy T szám torlódási pontja {an} -nek, ha bármely ε>o -ra létezik n, hogy |an-T|< ε

(minden h.é torlódási pont, de fordítva nem igaz)

részsorozat: Az an számsorozat egy részsorozatának nevezzük az ani

számsorozatot, ahol i = 1,2, . . . és ani minden tagja eleme az an részsorozatnak.

Konvergens sorozatok korlátossága: Konvergens számsorozat mindig korlátos

Monoton, korlátos sorozatok konvergenciája: Minden korlátos, monoton sorozat konvergens.

Rendőr- elv: ha {an} és {cn} konvergens és határértékük megegyezik továbbá {bn} sorozatról

tudjuk, hogy minden an ≤ bn ≤cn akkor {bn} határértéke megegyezik a másik két sorozat

határértékével

Műveletek konvergens sorozatokkal:

Nevezetes határértékek:

FÜGGVÉNYEK:

függvény: legyen A és B két valós számhalmaz. Ekkor f: A->B függvény, ha a eleme A-hoz

hozzárendelünk egy b eleme B számot.

Injektív függvény: injektívnek nevezzük azokat a , függvényeket, melyek az értelmezési tartomány

különböző elemeihez az értékkészlet különböző elemeit rendelik. ( a1; a2 eleme A halmaznak, a1

nem egyenlő a2vel és f(a1) sem egyenlő f(a2) -vel)

szürjektív függvény: Ha minden B halmazbeli b számhoz létezik A halmazbeli a szám, hogy

f(a)=b

bijektív: ha injektív és szürjektív, más néven: egyértelmű hozzárendelés

inverz függvény:Az f függvény inverz függvényének nevezzük és 1 f − -el jelöljük azt a függvényt,

mely minden valós 'a' számhoz (mely az f függvény az értékkészletéhez tartozik), azt a

b számot rendeli, melyhez az f az a-t rendelte. Geometriai jelentése: Az 1 f − függvény és az f

függvény grafikonja egymásnak az y x = egyenesre vett tükörképe.

Függvénykompozíció: legyen f A->B és g B-> C , akkor ezeknek kompozíciója az a függvény,

melynek értelmezési tartománya az A azon elemeiből áll, melyeket a g az f értelmezési

tartományába képezi.

értelmezési tartomány: Az f funkció szempontjából lehetséges x-ek halmaza jele: Df

értékkészlet: a lehetséges f(x) függvényértékek halmaza jele: Rf

paritás:

páros ha minden x eleme Df-re f(x) = f(-x) geom: y tengelyre tükrös fgv

páratlan ha minden x eleme Df-re -f(x)= f(-x) geom: origóra tükrös fgv

periódikusság: az f függvény periodikus és periódusa a p valós szám, ha f(x)= f(x+p) bármely

értelmezési tartománybeli x-re

korlátosság: az f fgv korlátos, ha Rf korlátos mint halmaz

)inf( na : legnagyobb alsó korlát, a sorozatnak nincsen ennél kisebb eleme

)sup( na : legkisebb felső korlát, a sorozatnak nincsen ennél nagyobb eleme

monotonitás: f fgv szigorúan monoton nő ha bármely x1; x2 eleme Df-re igaz h x1<x2, akkor

f(x1)<f(x2), szigorúan monoton csökken, ha f(x1)>f(x2)

határérték: legyen f fgv értelmezve az 'a' pont egy környezetében ekkor f-nek az 'a'-ban A a

határértéke ha bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-A|< ε

jobboldali határérték: legyen f fgv értelmezve az 'a' pont egy jobboldalú környezetében (létezik δ ,

hogy (a; a+ δ ) kisebb egyenlő Df). Ekkor az f-nek jobboldali határértéke az 'a'-ban az A szám, ha

bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-A|< ε

baloldali határérték: legyen f fgv értelmezve az 'a' pont egy baloldalú környezetében (létezik δ ,

hogy ( a-δ ; a ) kisebb egyenlő Df). Ekkor az f-nek baloldali határértéke az 'a'-ban az A szám, ha

bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha 0 <|x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-A|< ε

folytonosság: legyen f fgv értelmezve 'a' pont környezetében és 'a' pontban is, ekkor f folytonos, ha

bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-f(a)|< ε

végtelenbe tartó függvény: legyen f fgv értelmezve 'a' pont környezetében ekkor f -nek végtelen a

határértéke 'a'-ban, ha bármely K>0- ra létezik δ(K) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(K), akkor f(x) >K

végtelenben vett határérték: legyen f fgv értelmezve az (a;∞) ekkor f-nek az '∞'-ben A a

határértéke ha bármely ε>0- ra létezik k(ε) >0 úgy hogy ha |x-a| <k(ε), akkor|f(x)-A|< ε

szakadási helyek típusai:

hézagpont: ha létezik adott pontban határérték, de nincs értelmezve ott

megszüntethető szakadás: ha létezik adott pontban határérték, de az nem egyezik meg az adott

pontbeli helyettesítési értékkel

lényeges szingularitás: ha nincs az adott pontban határértéke

pólus: lényeges szingularitás egy típusa, ha adott pontban végtelen a határérték

átviteli elv: legyen az f fgv értelmezve 'a' környezetében. Ekkor az f-nek 'a'-ban A a határértéke

akkor és csak akkor, ha MINDEN {xn} -re vett n= végtelen beli határérték 'a' (bármely xn eleme

Df) az {f(xn)} az A pontba tart.

Függvények összegének, szorzatának, hányadosának határértéke:

a) nnnn baba limlim)lim(

b) nnnn baba limlim)lim(

c) nnnn baba lim/lim)/lim( ( 0lim nb )

Boltzano és Weierstrass tételei:

- ha f fgv folytonos értelezési tartománybeli intervallumon, akkor ott korlátos is

(létezik k és K, hogy hogy bármely intervallumbeli pont a kettő közé esik)

- ha f folytonos adott intervallumon, akkor létezik x1; x2 (eleme az intervallumnak) úgy hogy

bármely intervallumbeli pont f(x1) és f(x2) közé esik, azaz f felveszi egy alsó és egy felső korlátját

Elemi függvények:

racionális törtfgv

racionális egészfgv

hatványfgv

logaritmusgfgv

trigonometrikusfgv (inverzeik arc)

hiperbolikusfgv (inverz arcsh)

DERIVÁLÁS:

differenciálhányados: legyen f fgv (Df: R) értelmezve egy x0 pontban és annak környezetében.

Ekkor az f fgv x0 pontbeli differenciálhányados függvényének nevezzük és

adja a differenciálhányadost; geometriai jelentés: (x; f(x)) és (x0;f(x0))

pontokat összekötő szakasz emelkedési meredeksége

derivált: legyen f értelmezve x0 pontban és egy környezetében. Ekkor ha létezik A∈R és ε(x) fgv

úgy, hogy f(x)- f(x0)= A (x-x0) + ε(x) (x-x0) és lim ε(x)= 0 (ha x tart x0-ba) akkor f deriváltja A

szám x0 pontban

függvény érintője: vegyük az (x0;f(x0)) és (x;f(x)) grafikonpontok közötti szakaszokat, amihez

vegyünk olyan x értékeket, amik egyre közelebb vannak x0-hoz, ekkor a szakaszok határhelyzetét

nevezzük f grafikonjának x0 pontban vett érintőjének

bal- és jobboldali derivált: f fgv deriválható az [a;b]-n (Df részhalmaza), ha minden xo∈ ]a;b[ -ra

deriválható x0-ban és f deriválható jobbról a-ban és balról b-ben

deriválási technikák:

folytonosság és deriválhatóság kapcsolata: ha f fgv deriválható adott pontban, akkor ott folytonos

is

egyváltozós függvények monotonitása: ha [a;b]-n f ' (x) >0igaz bármely x ∈ [a;b]-ra, akkor a fgv monoton nő adott intervallumom

ha [a;b]-n f ' (x) <0igaz bármely x ∈ [a;b]-ra, akkor a fgv monoton csökken adott intervallumon

lokális szélsőérték: lokális szélsőértéke van a fgv-nek adott x0 pontban, ha f ' (x0) = 0

(szükséges feltétel)és f ' (x) az x0-ban előjelet vált (elégséges feltétel)

konvexitás: f fgv legyen értelmezve x0-ban és egy környezetében, ekkor f x0-ban szigorúan

lokálisan konvex ha bármely x-re x0 egy adott környezetében f(x)> f ' (x0) (x-x0) + f (x0) , ha

kétszer deriválható és f '' (x) >0 akkor lokálisan konvex, ha f '' (x) < 0, akkor lokálisan konkáv

inflexiós pont: azt a pontot jelenti, ahol a függvénygörbe görbületet vált. A görbe alakja az

inflexiós pontban változik konkávból konvexbe vagy fordítva. Vizsgálata: az a pont ahol a második

derivált egyenlő 0-val( szükséges feltétel) és a második derivált előjelet vált (elégséges feltétel)

Középérték tételek:

Rolle-tétele: Ha a f függvény folytonos az [a;b] intervallumban, differenciálható az intervallum

belső pontjaiban és f (a) = f(b), akkor van olyan a<x0<b szám, hogy f ' (x0)= 0 teljesül

Lagrange- tétele: ha f(x) [a;b]-on folytonos és ]a;b[ -n differenciálható, akkor van olyan a<x0<b ,

hogy

f ' (x0) = (f(b)-f(a) )/ b-a

Cauchy- tétele: f és g függvények folytonosak és deriválhatóak [a;b]-n. Ekkor van olyan x0 eleme

]a;b[ pont, hogy

L’Hospital-szabály: ha egy hányados határértéke a 0

0 vagy

határozatlan alakban áll elő (

helyett lehet is), akkor )('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

axax . Ha ez szintén határozatlan alakú, a szabály

újból alkalmazható. A többi határozatlan alakra is alkalmazható a szabály a következő átalakítások

után:

Határérték alakja Átalakítás

0 → hányadossá alakítás

)(

1

)(lim

)(

1

)(lim)()(lim

xf

xg

xg

xfxgxf

axaxax ,

ez már 0

0 vagy

alakú

00 , 0 ,

1 → logaritmizálás )(ln)()(ln)( limlim)(lim)( xfxg

ax

xf

ax

xg

axeexf

xg

,

ahol a kitevő már 0 alakú

→ törtté alakítás pl. közös

nevezőre hozással

n-ed fokú Taylor-poliom és hiba becslése:

Taylor-formula Lagrange-féle maradéktaggal – Ha az f valós-valós függvény (n+1)-szer

differenciálható az értelmezési tartománya belsejének egy a pontja körüli I intervallumban, akkor

tetszőleges, I-beli x ponthoz létezik az a és x között olyan szám, amire:

INTEGRÁLÁS:

alsó/felső közelítő összeg: f függvény korlátos [a;b;]-n és felosztjuk [a;b] -t. A részintervallumokon

is korlátos f, azaz minden i-re létezik mi≤f(x)≤Mi ( x eleme [xi-xi-1]

– ekkor az alsó közelítő összeg:

– a felső közelítő összeg:

(ha n a végtelenbe tart akkor ezek limsn = limSn határértékek pontosan f határozott integrálját adják

[a;b]-n)

Riemann összeg szerinti határozott integrál: f egy adoot valós és [a;b]-n korlátos és folytonos

függvény. Vegyük [a;b] felosztását, jelölje az osztópontokat növekvő sorrendben x1; x2....xn.

Legyen továbbá a=x0; b=xn. Ekkor tetszőleges ξi eleme ]xi-1; xi[,-t választva (i=1,2,3...n)

összeget a Riemann- összegnek nevezzük.

Folytonos és integrálható függvények kapcsolata: ha egy függvény folytonos [a;b]-n, akkor ott

integrálható, azaz létezik

(ellenpélda: Priman összeg, Dirishlet fgv)

Határozott integrálási szabályok:

határozott integrál additivitása: f(x) integrálható [a;b]-n, ekkor minden [c;d]-n ami részhalmaza

[a;b]- nek, integrálható és

primitív függvény: ha f fgv értelmezett egy [a;b]-n, akkor F(x) -et az f(x) primitív függvényének

nevezzük, ha F'(x)=f(x) az [a;b]-n

Newton- Leibniz szabály: legyen f(x) [a;b]-n integrálható és F(x) a primitív függvénye ott, ekkor:

(ez megadja a kapcsolatot határozott és határozatlan integrál között)

Integrálfüggvény: az f(x) fgv legyen integrálható [a;b] -n , ekkor f(x) integrálfüggvénye:

Parciális integrálás:

Helyettesítéses integrálás:

Racionális törtfüggvények felbontása résztörtekre:

Improprius integrálok fő típusai:

– f(x) [a;∞[ -on korlátos és minden [a;b]-n integrálható, ekkor

– f(x) nem korlátos fgv az [a;b]-n, minden ε>0 -ra az f(x) integrálható az [a+ε; b]-n, azaz f(x) az

'a' fele haladva, nem korlátos, ekkor

– ha f fgv nem korlátos az [a;∞[-on akkor:

→ 1. és 2. típusú integrálok összegére bontható

az integrálszámítás alkalmazásai:

ívhossz számítása:

forgástest felszín:

paraméteresen adott

Forgástest térfogat:

-sima

-paraméteres

Szektorterület:

-paraméteres:

VEKTORANALÍZIS:

vektorműveletek:

-összeadás: a és b vektor összvektorját a paralelogramma szabály alapján kapom meg (kommutatív,

asszociatív)

paralelogramma szabály: a vektor végpontjába vesszük fel b vektor kezdőpontját, az így kapott 2

összefűzött vektor meghatározza az összegvektort,ami a vektor kezdőpontjából, b vektor

végpontjába mutató vektor

- kivonás: a vektort és b vektort közös kezdőpontból felvéve a b vektor végpontjából az a vektor

végpontjába mutató vektor, a két vektor különbsége

- ellentett: az a vektor amit 'a' vektorhoz adva a nullvektort kapjuk

- vektorok szorzása konstanssal: adott 'a' vektor és λ x a olyan, hogy

λ x a = λ x a és ha λ>0 irányuk megegyezik, ha λ<0 ellentétes

nullvektor: olyan vektor aminek hossza 0, iránya tetszőleges lehet

lineáris kombináció: az a1; a2; ….an 'n' db vektor lineáris kombinációja λ1x a1 + λ1 x a2 +.... λn

x an összeg, ahol mindegyik lambda valós szám

lineáris függetlenség: az a1; a2; ….an 'n' db vektor lineárisan független, ha λ1x a1 + λ1 x a2 +....

λn x an =0 esetén a kombinációban szereplő összes lambda = 0 és nincsen más kombinációja a

vektoroknak, mert a nullvektort adná eredményül

lineáris összefüggőség: az a1; a2; ….an 'n' db vektor lineárisan összefüggő, ha bármely lambda

valós szám, úgy hogy nem mindegyik 0 és λ1x a1 + λ1 x a2 +.... λn x an =0 (nem triviális lineáris

kombináció)

skaláris szorzat: a és b vektorok skalárszorzata , eredménye mindig egy

valós szám. Geometriai jelentés: ha a x b =0 , akkor a két vektor derékszöget zár be

vektoriális szorzat: 3 dimenziós vektorokkal végzett művelet, melynek eredménye egy

vektor: Geometriai jelentés: az eredményvektor állása merőleges

a és b vektorra is, irány pedig olyan, hogy a 3 vektor jobbsodrású vektorrendszert alkot

c vektor koordinátái: