MATEMATICA 2.

ACTIVIDAD 2 – SEGUNDA PARTE.

Gustavo Miguel Fernández.

FUNCION RACIONAL.

Respecto del tópico seleccionado le solicitamos:

La definición formal de la función. Explicite el dominio, el codominio, la

regla de asignación haciendo uso preciso de la simbología y del

lenguaje matemático.

La gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.

Un ejemplo de aplicación en la vida cotidiana, en la ciencia (Física,

Biología, Química, Economía, Astronomía entre otras) ó en otras

asignaturas de la carrera, como herramienta.

En matemáticas, una función racional de una variable es una función que

puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio

nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de

definición en todos los valores de x que no anulen el denominador. Esta

definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables,

usando polinomios de varias variables.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o

cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden

ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis

numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más

complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los

polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplos de funciones racionales y sus gráficos.

Función racional de grado 2:

Función racional de grado 3:

Una función racional es f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador

son formas polinómicas y f(x) es irreducible.

Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes

características observables:

El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el

denominador.

Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota

vertical: Q(a)=0 implica que x=a es una asíntota vertical de f(x).

Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota

x=a tienen sentidos distintos, una hacia + infinito y la otra a - infinito.

Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia + infinito o hacia -

infinito.

Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una

asíntota oblicua, la misma, tanto si x tiende a + ∞ como si x tiende a –

∞.

Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en

y=m/n. Siendo m y n los coeficientes respectivos de mayor grado de

P(x) y Q(x).

Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal

en y=0.

Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.

Ejemplo: analizando una función racional:

Analizar y representar la función:

푓(푥) =푥

푥 − 1

a) Dominio: La función no está definida para:

푥 − 1 = 0 Que es lo mismo que:

(푥 + 1)(푥 − 1) = 0 Es decir, el denominador se anula para x=1 y x=-1.

CONCLUSION: 퐷표푚 푓 = 푅 − {1,−1}

b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-f(x), por lo que es simétrica

respecto del origen (0,0)

c) Cortes con los ejes:

Eje OX: f(x)=0 -> x=0

Eje OY: f(0)=0 -> y=0

d) Regiones:

x (-,-1) (-1,0) (0,1) (1,+) x3 - - + +

x+1 - + + + x-1 - - - + f(x) - + - +

e) Asíntotas:

Verticales: x=-1, x=1

Oblicuas:

푚 = lim→

푓(푥)푥

= 1 ;푛 = lim→

(푓(푥) −푚푥) = 0 ⇔푦 = 푥

f) Puntos singulares:

f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)2

f'(x)=0 -> x2(x2-3)=0 -> x=0; x=√3; x=- √3

f(0)=0; f(- √3)=-3√3/2; f(√3)=3√3/2

f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3

f''(- √3)<0; x =- √3 es un máximo relativo

f''(√3)>0; x = √3 es un mínimo relativo

f''(0)=0, x=0 es un posible punto de inflexión

g) Puntos de Inflexión

- f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3

- f''(x)=0 2x3+6x=0 2x(x2+3)=0 x=0.

Este es el único punto de inflexión posible, para el que tenemos que

comprobar si cambia en él la curvatura. En vez de acudir a f'''(0), como

resulta tedioso el cálculo, basta comprobar que f''(x) cambia de signo al

pasar por x=0:

En efecto f''(0-h)=f''(-h)>0 y f''(0+h)<0 con h>0 y arbitrariamente

pequeño.

La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de

Inflexión con tangente horizontal.

h) Grafico de la función

푓(푥) =푥

푥 − 1

Trazo rojo : asintota oblicua y = x.

Asintotas verticales : x = 1 y x = -1.

Aplicación de las funciones racionales.

La función:

푝(푥) =240푥 + 1400

14(푥 + 1)

Representa el porcentaje de petróleo que permanece en el mar

después de ocurrir un derrame en un buque cisterna transportador de

este hidrocarburo.

a) Que tipo de función es P(x) y de acuerdo al problema que representa.

R= Es una función racional y representa el porcentaje de petróleo que

queda en el mar.

b) Que porcentaje de residuo de petróleo queda al concluir el cuarto mes de

limpieza.

푝(4) =240.4 + 1400

14(4 + 1)= 33.71%

c) Al cabo de un año podrá disminuir a 100% los contaminantes?.

푝(12) =240.12 + 1400

14(12 + 1)= 23.51%

No. Al cabo de un año queda en el mar el 23.51%

d) Cual es el máximo porcentaje de limpieza que se puede obtener de acuerdo

con este modelo.

Asíntota horizontal.

24014

= 17.14%

17.14% Queda en el mar.

100%=17%+83% máximo de limpieza.