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Mateociales1

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I S B N 8 4 - 7 1 3 1 - 7 9 1 - 5

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales 1

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GUÍA DIDÁCTICAGUÍA DIDÁCTICAGGUUÍÍAA DDIIDDÁÁCCTTIICCAA

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Carlos González GarcíaProfesor de Enseñanza Secundaria,especialidad de Matemáticas

Jesús LLorente MedranoProfesor de Enseñanza Secundaria,especialidad de Matemáticas

María José Ruiz JiménezCatedrática de Enseñanza Secundaria,especialidad de Matemáticas

1º BACHILLERATOHumanidades y Ciencias Sociales

Matemáticas aplicadasa las Ciencias Sociales 1

GUÍA

DIDÁCTICA

G U Í A D I D Á C T I C A • 3

1. PRESENTACIÓN .................................................................................................... 5

2. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 7

3. OBJETIVOS DEL CURSO .......................................................................................... 9

4. BLOQUE TEMÁTICO I: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA ......................................................... 13

Introducción y estructura de unidades didácticas ............................................. 15

Unidad didáctica 1: Números reales ........................................................... 17

Unidad didáctica 2: Polinomios. Fracciones algebraicas ............................. 27

Unidad didáctica 3: Ecuaciones y sistemas. ............................................... 35

Unidad didáctica 4: Inecuaciones y sistemas ............................................. 45

Unidad didáctica 5: Logaritmos. Aplicaciones ............................................ 55

Criterios y actividades de evaluación ................................................................ 65

5. BLOQUE TEMÁTICO II: FUNCIONES Y GRÁFICAS ......................................................... 69


Unidad didáctica 6: Funciones reales. Propiedades globales .................... 73

Unidad didáctica 7: Funciones polinómicas y racionales .......................... 83

Unidad didáctica 8: Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas ..................................................... 99

Unidad didáctica 9: Interpolación ............................................................ 111

Unidad didáctica 10: Límites de funciones. Continuidad ............................ 121

Unidad didáctica 11: Introducción a las derivadas y sus aplicaciones ........ 131


6. BLOQUE TEMÁTICO III: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ............................................... 149


Unidad didáctica 12: Estadística. Tablas y gráficos .................................... 153

Unidad didáctica 13: Distribuciones unidimensionales. Parámetros ........... 167

Unidad didáctica 14: Distribuciones bidimensionales. Correlación y regresión ............................................. 177

Unidad didáctica 15: Distribuciones discretas. Distribución binomial ........ 187

Unidad didáctica 16: Distribuciones continuas. Distribución normal .......... 199


7. BLOQUE TEMÁTICO IV: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ................................................. 215

ÍÍÍÍ NNNN DDDD IIII CCCC EEEE


La intencionalidad de esta guía didáctica es la de complementar nuestro libro de tex-to Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 1, correspondiente a la asignatu-ra del mismo título del Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales.

El profesorado podrá encontrar en esta guía:

• Pautas para trabajar con el grupo-clase, referidas a:

— Metodología y tratamiento de la diversidad.

• Objetivos generales del curso y su conexión con el segundo ciclo de la ESO.

• Tratamiento de cada uno de los bloques temáticos, en cada uno de los cuales se en-contrará:

— Introducción al bloque y estructura de Unidades.

— Desarrollo de cada Unidad Didáctica contemplando:

• Objetivos didácticos de la Unidad.

• ¿Cómo trabajar la Unidad?

• Estructura de contenidos: conceptos, procedimientos y actitudes.

• Resolución de los diferentes tipos de actividades: actividades iniciales, activida-des para resolver, actividades de enseñanza-aprendizaje y actividades de la Re-solución de problemas.

— Criterios y actividades de evaluación.

Queremos agradecer desde aquí a nuestros compañeros su colaboración en forma de opi-niones, críticas, sugerencias sobre todo aquello que consideren oportuno con el fin demejorar nuestros materiales en posteriores ediciones.

Los autores

1111 .... PPPP RRRR EEEE SSSS EEEE NNNN TTTT AAAA CCCC IIII ÓÓÓÓ NNNN


METODOLOGÍA

Concebimos la metodología como la forma con-creta en la que se organizan, regulan y se rela-cionan entre sí los diversos componentes queintervienen en el proceso de aprendizaje: obje-tivos, contenidos, actividades, recursos y me-dios didácticos; y, especialmente, alumnado,profesorado y comunidad educativa.

La metodología, en consecuencia, se identificaen nuestro proyecto con la concepción curricu-lar que desarrollamos, siendo para nosotrosesencial la consecución de las metas educativaspropuestas.

La metodología implícita en estos materiales cu-rriculares se explica en las respuestas que da-mos a las siguientes preguntas:

¿Cómo vamos a intervenir con nuestrogrupo-clase?

1. A través de actividades dirigidas a:

• Conocer las ideas previas de los/as alum-nos/as y su grado de elaboración.

• Modificar sus ideas iniciales construyendode forma significativa nuevos conoci-mientos.

El profesor/a es mediador y plantea activi-dades de aprendizaje para modificar lasconcepciones iniciales, para que el alum-no/a dé pasos progresivos a nivel de iden-tidad y elaboración personal, abriendo laposibilidad de llevar a cabo una reflexióncrítica sobre ellos.

• Fomentar el rigor en el uso de lenguajes(algebraico, geométrico, gráfico y probabi-lístico).

• Potenciar los siguientes aspectos:

— La reflexión sobre lo realizado.

— La recogida de datos.

— Elaboración de conclusiones.

— Recopilación de lo que se ha aprendido.

— Analizar el avance en relación con lasideas previas (punto de partida).

— Facilitar al alumno la reflexión sobre:habilidades de conocimiento, proce-sos cognitivos, control y planificaciónde la propia actuación, la toma de de-cisiones y la comprobación de los re-sultados.

2. La intervención en relación con la enseñan-za-aprendizaje requiere:

• Una actividad previamente diseñada (tra-bajo prospectivo del profesor).

• Negociación de los objetivos concretos deaprendizaje (trabajo del profesor comoorientador).

• Toma de decisiones acerca de los métodosde trabajo y la evaluación del proceso deaprendizaje. Valoración por parte del profe-sor del proceso de aprendizaje (trabajo delprofesor como asesor e investigador).

3. Esta metodología permite el establecimientode redes conceptuales y exige un marco in-teractivo.

¿Qué pautas metodológicas seguiremos?

Como pautas de reflexión metodológica, suge-rimos:

• Promover el aprendizaje significativo, yaque para conseguir verdaderos aprendizajesescolares es necesaria la actividad construc-tiva del/a alumno/a. Desde esta perspectivaplanteamos las actividades de enseñanza-aprendizaje, con una intención clara, den-tro de unas tareas que tienen sentido para elalumno/a y que así hemos experimentado ennuestra actividad docente, consideradas demanera que los/as alumnos/as puedan ad-quirir, por sí solos, su sentido, significativi-dad y utilización para otros contextos dife-rentes.

2222 .... IIII NNNN TTTT RRRR OOOO DDDD UUUU CCCC CCCC IIII ÓÓÓÓ NNNN

• Considerar el tratamiento de atención a ladiversidad como esencial en todo el desa-rrollo del currículo y para ello proponemosactividades directas, guiadas, contextualiza-das, de análisis, síntesis, etc, que refuerceny amplíen los aprendizajes de los alum-nos/as.

• Potenciar la globalización, a través de lo quedenominamos «contenidos mínimos», consi-derados éstos como un conjunto de los dife-rentes contenidos y capacidades a desarrollar.

• Practicar el aprendizaje interactivo, básicopara la construcción del conocimiento, perosin caer en el activismo, sino fomentando laparticipación de nuestros alumnos/as en lastareas de aula.

• Propiciar la motivación, organizando una se-cuencia clara, sencilla y asequible que conec-te a los alumnos/as con la realidad y el entor-no en el que se desenvuelven.

¿Cómo planteamos la evaluación?

Consideramos que para realizar una adecuadaintervención educativa, es necesario plantearuna evaluación amplia y abierta a la realidad delas tareas de aula, y de las características de losalumnos/as, con especial atención al tratamien-to de la diversidad.

Nuestros referentes están en los objetivos ge-nerales de curso, contenidos y criterios pres-criptivos de evaluación, que responden al quéevaluar, teniendo en cuenta para ello la diversi-dad de tareas de evaluación de conceptos, pro-cedimientos y actitudes.

Partimos para ello, en cada Unidad Didáctica, deuna evaluación inicial, que nos permite cono-cer el nivel de aprendizaje del que parten nues-tros alumnos/as y al final del aprendizaje decada Bloque Temático proponemos una serie deactividades que sirven para evaluar objetivos ycontenidos.

Consideramos que estamos en la línea de unaevaluación formativa (véase la incidencia enlas actividades de refuerzo y ampliación), quenos proporciona una mayor información sobrecuál es la situación de cada alumno/a en su pro-ceso de enseñanza. Por supuesto, también deuna evaluación continua, que realizamos a lolargo de todo el proceso de enseñanza-aprendi-zaje, y no sólo al final del mismo.

Al evaluar de esta manera reflexionamos sobrela práctica educativa. Luego cada profesor/aplanteará los correctores adecuados, individua-les y grupales, para mejorar el proceso de en-señanza-aprendizaje.

Este proceso de evaluación debe ser entendidocomo construcción conjunta, en el que conside-ramos al profesor/a como un mediador quedebe ofrecer la ayuda necesaria y oportuna, enrelación con las demandas de necesidades queplantee el grupo-clase.

Los criterios de evaluación que proponemosresponden al modo de comprobar los objetivosde curso proyectados a través de los objetivosdidácticos que constituyen las metas de las dis-tintas Unidades Didácticas.

Estos criterios los planteamos por Bloques Te-máticos ya que entendemos que esta agrupa-ción curricular es más coherente, teniendo encuenta que vienen a ser complemento y señaldel resto del conjunto de actividades planteadasen cada Unidad Didáctica, herramienta impres-cindible para la evaluación continua.

¿Qué diferencias existen con respecto a laetapa anterior?

A lo largo de la ESO los/as alumnos/as han se-guido un proceso de construcción del conoci-miento matemático basado en la aproximaciónde forma intuitiva y práctica a los contenidosconceptuales y procedimentales.

En el Bachillerato se introducen nuevos concep-tos y se modifican las estructuras conceptuales,profundizando en el tratamiento de procedi-mientos, destrezas y algoritmos.

Hemos de tener en cuenta que esta nueva etapadebe cumplir una triple finalidad educativa: deformación general, de orientación de losalumnos y de preparación de los mismospara estudios superiores. No debe olvidarseque las Matemáticas en el Bachillerato desem-peñan un triple papel: instrumental, formati-vo y de fundamentación teórica.

Las Matemáticas de esta etapa han de contribuira la adquisición de nuevas actitudes y al desa-rrollo de las adquiridas en la etapa anterior,como la curiosidad ante situaciones nuevas, elinterés por investigar a fondo una situación, laactitud crítica ante informaciones, la mentalidadabierta y receptiva a las ideas de los otros y laconfianza en las propias capacidades.

8 • G U Í A D I D Á C T I C A


Formulamos los siguientes Objetivos Generalespara el primer curso de Bachillerato corres-pondientes a la modalidad de Humanidades yCiencias Sociales en el área de Matemáticas:

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En el Segundo Ciclo de la ESO el alumno/a haalcanzado estrategias y recursos técnicos sen-cillos en la resolución de problemas. Estos re-cursos están relacionados con las fases decomprensión del enunciado y búsqueda de es-trategias, así como en la puesta en practica dealguna estrategia (simplificar el problema,particularizar, etc.) en la resolución de un pro-blema.

En primer curso de Bachillerato el alumno/a de-berá ser capaz de:

• Alcanzar estrategias y recursos más generalespara resolver problemas, poner en práctica laestrategia elegida en la fase de búsqueda deestrategias, analizar los resultados obtenidosy validar o no las estrategias utilizadas. En de-terminados casos debe generalizar las situa-ciones que haya solucionado.

• Elaborar, de forma precisa y clara, el protoco-lo de resolución, ser capaz de modificar supunto de vista y perseverar en la búsqueda delas soluciones a los problemas.

Este objetivo general se trata en todas las Uni-dades Didácticas, en las dos páginas finales decada Unidad que se desarrollan bajo el título«Resolución de Problemas».

LENGUAJES MATEMÁTICOS

En el Segundo Ciclo de la ESO el alumno/a se hafamiliarizado con el uso de los distintos lengua-jes matemáticos.

En el primer curso de Bachillerato el alumno/adeberá ser capaz de:

• Utilizar, correctamente, los números enteros,fraccionarios, decimales e irracionales, en di-ferentes contextos y situaciones de las cien-

cias sociales y humanas y en las actividadescotidianas.

• Incorporar los lenguajes simbólico y gráfico yen particular el lenguaje algebraico a la reso-lución de ecuaciones, inecuaciones, sistemasy, en definitiva, a la resolución de problemas.

• Consolidar el lenguaje probabilístico. Utilizaréste como herramienta para comunicar y cuan-tificar situaciones relacionadas con el azar.

Este objetivo general se trata, en su contextomás amplio, en todas las Unidades Didácticas.

FORMAS DE HACER PROPIAS LAS MATEMÁTICAS

En el Segundo Ciclo de la ESO el alumno/a ha in-terpretado funciones dadas por medio de sugráfica, que responden a fenómenos reales y asituaciones próximas a su entorno. Asimismoha entrado en contacto con el tratamiento esta-dístico mediante la recogida de datos relativosa su propio entorno, construyendo con ellos al-gunas tablas, diagramas y gráficas estadísticas,así como a calcular los parámetros asociados avariables estadísticas unidimensionales y bidi-mensionales.

En primer curso de Bachillerato el alumno/a de-berá ser capaz de:

• Organizar y relacionar informaciones diversasrelativas a la vida cotidiana, obteniendo lasexpresiones analíticas en los fenómenos enlos que aparecen funciones polinómicas deprimero y segundo grado así como funcionesexponenciales o logarítmicas.

• Utilizar técnicas de recogida de datos, repre-sentar la información relativa al estudio de larelación entre dos variables de forma numéri-ca y gráfica, calcular los parámetros estadísti-cos más usuales e interpretar los resultados.

Este objetivo general se trata en las UnidadesDidácticas:

— Número 6: Funciones reales. Propiedadesglobales.

3333 .... OOOO BBBB JJJJ EEEE TTTT IIII VVVV OOOO SSSS DDDD EEEE LLLL CCCC UUUU RRRR SSSS OOOO


— Número 7: Funciones polinómicas y racionales.

— Número 8: Funciones exponenciales, loga-rítmicas y trigonométricas.

— Número 10: Límites de funciones. Continui-dad.

— Número 12: Estadística. Tablas y gráficas.

— Número 13: Distribuciones unidimensiona-les. Parámetros.

— Número 14: Distribuciones bidimensionales.Correlación y regresión.

— Número 15: Distribuciones discretas. Distri-bución binomial.

— Número 16: Distribuciones continuas. Distri-bución normal.

VALORACIÓN Y ACTITUD

Al ser éste un objetivo general actitudinal es vá-lido para todo el Bachillerato y en particular enprimer curso.

En éste el alumno/a deberá ser capaz de:

• Conocer y valorar las propias habilidades ma-temáticas para afrontar las situaciones que re-quieran su empleo o que permitan disfrutarcon los aspectos creativos, manipulativos outilitarios de las Matemáticas.

Este objetivo general se trata en todas las Uni-dades Didácticas.

Estos Objetivos de curso se concretan en cadaUnidad Didáctica dentro de lo que llamamosObjetivos Didácticos. Estos aparecen descri-tos en las páginas posteriores correspondientescada una de las Unidades Didácticas.

CONEXIONES CON LA EDUCACIÓN SE-CUNDARIA OBLIGATORIA

El currículo oficial determina las enseñanzas mí-nimas relativas a contenidos, así como los obje-tivos generales y los criterios de evaluaciónpara la materia de Matemáticas Aplicadas a lasCiencias Sociales I correspondiente al Bachille-rato de la modalidad de Humanidades y Cien-cias Sociales. Partiendo de este marco hemosconstruido el Proyecto de Matemáticas para elprimer curso de Bachillerato. Para ello, hemostenido muy presente los conceptos y capacida-des que el alumno/a ha adquirido en el Segun-do Ciclo de la ESO.

A continuación describimos y comentamos,para cada Bloque Temático que contempla el cu-rrículo oficial, la conexión existente entre las ca-pacidades y contenidos ya adquiridos en el Se-gundo Ciclo de la ESO con las capacidades ycontenidos que deben adquirir en primer cur-so de Bachillerato aludiendo así, obviamente, anuestra consideración sobre la recurrencia y eltratamiento en espiral de los contenidos. Éstosa su vez servirán, en algún caso, de punto departida en segundo curso de Bachillerato.

1. Bloque Temático I: Aritmética y álgebra.

En el Segundo Ciclo de la ESO los alumnos/as:

• Manejan los números naturales, enteros, de-cimales y fraccionarios. Estableciendo relacio-nes de ordenación, expresión de cantidades ymedidas, cálculo de razones y porcentajes yrelaciones de divisibilidad.

• Son capaces de operar con soltura utilizandolas reglas de los paréntesis y la jerarquía delas distintas operaciones.

• Saben qué tipo de operaciones deben utilizaren problemas con contextos reales, lo máscerca posible a su entorno.

• Utilizan la calculadora con las operaciones ele-mentales, además en relación con el cálculocon paréntesis, notación científica, jerarquíade las operaciones y cálculos con las funcio-nes elementales.

• Se inician para manejar las operaciones con po-linomios, la resolución de ecuaciones y sistemasde ecuaciones de primer grado y segundo gra-do y pasar al lenguaje algebraico enunciados li-terales y de otro tipo. Asimismo, serán capacesde resolver problemas sencillos mediante el em-pleo de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.Además se iniciarán en el estudio y en la reso-lución de desigualdades e inecuaciones.

En primer curso de Bachillerato, los alumnos/as:

• Adquirirán mayor soltura en el manejo e in-terpretación de las distintas clases de núme-ros. Manejarán con soltura los métodos algo-rítmicos y aplicarán todo lo que conocen a lassituaciones de resolución de problemas.

• Reforzarán la capacidad de operar con soltu-ra, aplicando la jerarquía de operaciones y lautilizarán con las operaciones de la potencia-ción y la radicación.


• Serán capaces de manejar la calculadora cien-tífica utilizando todas las posibilidades queofrece en relación a los cálculos numéricos. Seiniciarán, en lo posible, en el uso de la calcu-ladora gráfica.

• Adquirirán las nociones necesarias para ma-nejar, con soltura, la resolución de ecuacionese inecuaciones y sistemas de ecuaciones einecuaciones de primer grado y segundo gra-do y pasar al lenguaje algebraico enunciadosliterales y de otro tipo. Asimismo, serán capa-ces de resolver problemas mediante el empleode ecuaciones e inecuaciones y sistemas deecuaciones e inecuaciones. Se iniciarán en elmanejo de nuevos métodos de resolución desistemas de ecuaciones lineales como el mé-todo de Gauss.

2. Bloque Temático II: Funciones y gráficas.


• Saben interpretar y manejar funciones dadaspor medio de su gráfica, tabla, expresión al-gebraica sencilla o descripción verbal. Asímismo analizarán las gráficas atendiendo anuevos conceptos: acotación, crecimiento,máximos y mínimos, etc.

• Conceptualizan las funciones constantes, li-neales o de proporcionalidad directa y afines;así como los elementos asociados a ellas. Se-rán capaces de identificar estas relaciones fun-cionales con problemas y fenómenos reales.

• Se iniciaron en el estudio de las funciones ex-ponenciales y logarítmicas. Diferenciando lascaracterísticas gráficas de ambas familias defunciones.

En el primer curso de Bachillerato los alum-nos/as:

• Sabrán interpretar y manejar funciones da-das por medio de su gráfica, tabla, expresiónalgebraica o descripción verbal. Asimismoanalizarán las gráficas atendiendo a nuevosconceptos: continuidad, crecimiento, extre-mos, etc.

• Conceptualizarán las principales familias defunciones: polinómicas de primer y segundogrado, de proporcionalidad inversa, exponen-ciales y logarítmicas; así como las principalespropiedades asociadas a ellas. Deberán iden-tificar estas funciones en situaciones de reso-lución de problemas y fenómenos reales.

• Se iniciarán el estudio de los conceptos aso-ciados a las tendencias de las funciones en re-lación con los límites.

3. Bloque Temático III: Estadística y proba-bilidad.


• Han adquirido los conceptos relativos a la Es-tadística, de forma precisa, así como la utili-dad práctica de la misma. Interpretarán infor-maciones dadas a través de tablas o gráficas,mediante el estudio de los parámetros.

• Se han iniciado en el estudio de las posiblesrelaciones estadísticas entre dos variables.Deberán ser capaces de interpretar la relaciónentre dos variables a través de un diagramade puntos o mediante el cálculo del coeficien-te de correlación.

• Conceptualizan los experimentos o fenóme-nos deterministas y aleatorios. En cada expe-rimento aleatorio saben describir el conjuntode los resultados posibles. Se iniciarán en laprobabilidad, como medida de lo esperable deun suceso.

• Se aproximan a las nociones de azar y pro-babilidad a través de simulaciones de ex-perimentos aleatorios (dados, monedas,chinchetas, etc.). Serán capaces de asignarprobabilidades a sucesos equiprobables pormedio de la Regla de Laplace y a sucesos noequiprobables por métodos empíricos.

• Saben aplicar procedimientos propios asocia-dos a las formas de contar en diferentes si-tuaciones sencillas.

• Asignan probabilidades a sucesos equiproba-bles por medio de la Regla de Laplace y me-diante las propiedades de la probabilidad. Seiniciarán en el estudio de la probabilidad con-dicionada a través de tablas de contingencia ydiagramas de árbol.

En el primer curso de la Bachillerato los alum-nos/as:

• Revisarán los conceptos asociados al estudiode las variables estadísticas unidimensiona-les: tablas, gráficos y parámetros, tanto decentralización como de dispersión.

• Se iniciarán en el estudio de las posibles rela-ciones estadísticas entre dos variables. Debe-rán ser capaces de interpretar la relación en-tre dos variables a través de un diagrama de

puntos o mediante el cálculo del coeficientede correlación.

• Formalizarán el estudio de variables aleatoriasdiscretas y continuas. Aplicarán las distribu-ciones de probabilidad binomial y normal a si-tuaciones pertinentes. Manejarán con solturalas tablas de la distribución normal estándar.

4. Bloque Temático IV: Resolución de pro-blemas.


• Han conseguido recursos técnicos sencillosen la resolución de problemas. Estos recur-sos están relacionados con las fases de com-prensión del enunciado y búsqueda de es-trategias.

• Logran estrategias y recursos más generalespara resolver problemas, pondrán en prácti-ca la estrategia elegida en la fase de bús-queda de estrategias, analizar los resultadosobtenidos y validar o no las estrategias utili-zadas.

En el primer curso de la Bachillerato los alum-nos/as:

• Utilizarán alguno de los modelos descritos enla resolución de problemas. Pondrán en prác-tica las estrategias más habituales en la reso-lución de problemas.

• Elaborarán, de forma precisa y clara, el proto-colo de resolución de un problema, serán ca-paces de modificar su punto de vista y perse-verar en la búsqueda de las soluciones a losproblemas.


4444 .... BBBB LLLL OOOO QQQQ UUUU EEEETTTT EEEE MMMM ÁÁÁÁ TTTT IIII CCCC OOOO IIII ::::

AAAA RRRR IIII TTTT MMMM ÉÉÉÉ TTTT IIII CCCC AAAA YYYYÁÁÁÁ LLLL GGGG EEEE BBBB RRRR AAAA


Unidad Didáctica 1: Números reales.

1. Números naturales y enteros.2. Números racionales. Potencias.

2.1. Potencias de números racionales3. Relaciones entre los números racionales y deci-

males.4. Números irracionales.5. Números reales. Representación.6. Conjuntos en la recta real.7. Aproximaciones decimales.8. Redondeos y truncamientos.9. Errores.

10. Notación científica y orden de magnitud.11. Radicales.

11.1. Los radicales como potencias de exponen-te fraccionario.

12. Operaciones con radicales.13. Racionalización de denominadores.

Unidad Didáctica 2: Polinomios. Fracciones algebraicas.

1. Polinomios. Identidad de polinomios.2. Operaciones con polinomios. 3. División de polinomios.4. División por x – a. Regla de Ruffini.5. Teorema del resto y teorema del factor.6. Descomposición factorial de un polinomio.7. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

de polinomios.8. Fracciones algebraicas.9. Operaciones con fracciones algebraicas.

Unidad Didáctica 3: Ecuaciones y sistemas.

1. Ecuaciones de segundo grado. Resolución.

2. Propiedades y aplicaciones de la ecuación de se-gundo grado.

3. Ecuaciones de grado superior.4. Ecuaciones irracionales.5. Sistemas de ecuaciones de 2º grado.6. Sistemas de ecuaciones lineales.7. Sistemas equivalentes.8. Método de Gauss.9. Resolución de problemas con ecuaciones.

Unidad Didáctica 4: Inecuaciones y sistemas.

1. Inecuaciones de primer grado. Resolución.1.1. Resolución.

2. Sistemas de inecuaciones de primer grado conuna incógnita. Resolución.

3. Inecuaciones de segundo grado.4. Inecuaciones racionales.5. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Resolución.5.1. Resolución.

6. Sistemas de inecuaciones de primer grado condos incógnitas.

7. Resolución de problemas con inecuaciones.

Unidad Didáctica 5: Logaritmos. Aplicaciones.

1. Logaritmo de un número. Propiedades.1.1. Propiedades.

2. Ecuaciones exponenciales.3. Sistemas de ecuaciones exponenciales.4. Ecuaciones logarítmicas.5. Sistemas de ecuaciones logarítmicas.6. Interés simple.7. Interés compuesto.8. Anualidades de capitalización.9. Anualidades de amortización.

ESTRUCTURA DE UNIDADES

Aritmética y álgebraAritmética y álgebraAritmética y álgebra

III


Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de:

1. Comprender el concepto de número real y las distintas clases de números reales.

2. Representar números reales en la recta real.

3. Utilizar las estimaciones, aproximaciones y redondeos en situaciones reales.

4. Trabajar con intervalos y entornos de la recta real.

5. Utilizar la calculadora como herramienta habitual en cálculos numéricos.

• Haciendo énfasis especial en la definición de los distintos conjuntos numéricos, para que el alum-no sepa distinguirlos.

• Utilizando múltiples ejercicios de cálculo, con el fin de aplicar propiedades y la jerarquía de lasoperaciones.

• Trabajando con números decimales de forma operativa y sabiéndolo clasificar en racionales e irra-cionales.

• Utilizando la calculadora en redondeos, para expresar números en notación científica y en cálcu-los numéricos.

• Haciendo múltiples ejercicios de operaciones con radicales.

¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD?

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

PÁGINA • 9

ACTIVIDADES INICIALES

1. Encuentra varios números que estén com-prendidos entre los que se indican:

a) 2/5 y 3/5; b) 2,1 y 2,2; c) 2,01 y 2,1.

a) Números comprendidos entre y son: 0,42;0,46; 0,54; 0,57.

b) Números comprendidos entre 2,1 y 2,2 son: 2,11;2,14; 2,18; 2,195.

c) Números comprendidos entre 2,01 y 2,1 son:2,03; 2,045; 2,076; 2,098.

2. Utilizando solamente las teclas de las ope-raciones elementales de tu calculadora,describe un procedimiento que te permita

calcular .103

35

25


CONCEPTOS

1. Números naturales y enteros.

2. Números racionales. Potencias.2.1. Potencias de números racio-

nales.

3. Relaciones entre los números ra-cionales y decimales.

4. Números irracionales.

5. Números reales. Representación.

6. Conjuntos en la recta real.

7. Aproximaciones decimales.

8. Redondeos y truncamientos.

9. Errores.

10. Notación científica y orden demagnitud.

11. Radicales.11.1. Los radicales como poten-

cias de exponente fraccio-nario.

12. Operaciones con radicales.

13. Racionalización de denominado-res.

ACTITUDESPROCEDIMIENTOS

RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES

• Operar correctamente connúmeros enteros, utilizan-do la jerarquía de las ope-raciones.

• Expresar los números racio-nales en forma de fraccióno decimal.

• Operar con soltura con nú-meros racionales haciendouso de la jerarquía de lasoperaciones.

• Representar en la rectanúmeros naturales, enterosy racionales, utilizando estarepresentación para com-pararlos.

• Utilizar correctamente lacalculadora en operacionescon números y en la nota-ción científica.

• Utilización de la calculado-ra, así como algoritmos delápiz y papel para la realiza-ción de cálculos numéricos,en particular con radicales.

• Utilización de aproxima-ciones y redondeos en la re-solución de problemas quecomporten números reales.

• Representación sobre larecta real de conjuntosusuales de números realescomo intervalos y entornos.

– Incorporación del lenguajenumérico al lenguaje habi-tual.

– Reconocimiento y valora-ción de la calculadoracomo instrumento útil encálculos numéricos.

– Apreciación de los númeroscomo entes necesarios paraestudiar la realidad.

– Valoración de la utilidad dellenguaje numérico para re-presentar o comunicar si-tuaciones del ámbito cientí-fico.

– Curiosidad e interés por en-frentarse a problemas nu-méricos.

– Gusto por la presentaciónordenada de los procesos yresultados obtenidos en loscálculos numéricos.

– Disposición favorable haciael trabajo propuesto.

Utilizando la tecla del producto podemos conseguiraproximaciones sucesivas al valor de . Así:

2 × 2 × 2 < < 3 × 3 × 3

2,1 × 2,1 × 2,1 < < 2,2 × 2,2 × 2,2

2,15 × 2,15 × 2,15 < < 2,16 × 2,16 × 2,16

2,154 × 2,154 × 2,154 < < 2,155 × 2,155 ×× 2,155

2,1544 × 2,1544 × 2,1544 < < 2,1545 ×× 2,1545 × 2,1545

3. Ordena de menor a mayor los siguientesnúmeros:

5,31; –4,21; 5,201; –4,201; 5,201;5,2101; –4,2101; 4,211; 4,201.

La ordenación es:

–4,2101 < –4,21 < –4,201 < 4,201 < 4,211 < < 5,201 < 5,2101 < 5,31.

4. Comprueba que la siguiente igualdad es

cierta: .

Elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos:

Es cierta la igualdad.

5. ¿Para qué valores de n y a se cumple

?

n par y a � �+ o n impar y a � �.

PÁGINA • 19

ACTIVIDADES PARA RESOLVER

1. Expresa en notación científica e indica el or-den de magnitud en cada caso:

a) 57 billones b) 623 cienmilésimas

c) 0,035 millones d) 12 milésimas

a) 5,7 · 1013 (1014) b) 6,23 · 10–3 (10–2)

c) 3,5 · 104 (104) d) 1,2 · 10–2 (10–2)

Los paréntesis indican el orden de magnitud.

2. Efectúa las siguientes operaciones utilizan-do la calculadora e indica el orden de mag-nitud del resultado:

a) 2,32 · 104 · 7,2 · 10–3

b) 6,215 · 105 : 3,25 · 10–2

a) 167,04 el orden de magnitud es 102.

b) 1 912,307692 = 1,912307692 · 103 y el or-den de magnitud es 103.

PÁGINA • 24

ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE

Ordena, de mayor a menor, los siguientesnúmeros:

0,4 ; 0 ; –0,3 ; 42 ; –2,3 ; –20 ; 428

La ordenación pedida es:

428 > 42 > 0,4 > 0 > –0,3 > –2,3 > –20

Efectúa los siguientes cálculos haciendouso de la jerarquía de las operaciones:

a) 7 – 2 · (– 4) + 3 – 5 · (–2 + 7)

b) 4 · 22 – (–1)3 + [3 – (5 – 32)]

c) (–3)2 – 32 + 2 · (–1)3

d) 8 : 4 · 5 – (–4 – 3)2 – 3 · (–13)

a) –7; b) 24; c) –2; d) 0

Efectúa las siguientes operaciones, dandoel resultado lo más simplificado posible:

a) b)

c) d)

e) f) 1 1

1 1

1 12

+−

−

2 3

1 15

23

+− ⋅

2 14

1 27

32

54

−

⋅ −

+

32

25

25

: ⋅

1 12

3 2 13

−

⋅ − +32

14

35

2− + −

3

2

1

an� �

2 2 3 6 2

4 2 3 6 2 2 12

8 4 3 8 4 3

2 2

2 2

– –( ) ( )⇓ ⇓

−( ) ( ) + ( ) −

⇓ ⇓

− = −

2 2 – 3 = 6 – 2

103

103

103

103

103

103


a) – ; b) – ; c) ;

d) ; e) ; f) 0

Efectúa, dejando el resultado en forma depotencia de exponente natural:

a) b)

c)

d)

e)

f)

a) 36 ; b) 1; c) 1 ;

d) 1 ; e) ; f)

Indica, sin efectuar la división, qué tipo dedecimal genera cada racional siguiente.Compruébalo con la calculadora:

a) b) – c)

d) e)

a) Decimal periódico puro;

b) Decimal finito;

c) Decimal periódico puro;

d) Decimal periódico mixto;

e) Decimal periódico mixto.

Clasifica los siguientes números en racio-nales e irracionales:a) 232,25b) 452, 323 323 323…c) 0,273 45 45 45…d) 37, 34 334 3334 33334…

e) 0,010 33333…

f ) 522, 1248163264… g) –22

h) 3,141592653589…

Racionales: a), b), c), e), g).

Irracionales: d), f), h).

Un agricultor recoge 120 000 kg de man-

zanas. Vende a un mayorista los de la

cosecha. De lo que le sobra vende a peque-

ños comerciantes los . Del resto están

estropeados los que se lleva un ganadero

para alimento del ganado. De lo que le que-da vende 20 000 kg a una fábrica de zumoy los kilogramos restantes los utiliza parael consumo familiar. ¿Cuántos kg consumela familia?

Vende al mayorista · 120 000 = 105 000 kg.

Le quedan 15 000 kg.

Vende a pequeños comerciantes · 15 000 == 6 000 kg. Le quedan 9 000 kg.

Se lleva el ganadero · 9 000 = 3 857,14 kg.

Le quedan 5 142,86 kg, luego no se puede dar la so-lución.

PÁGINA • 25

Un alumno tardaen pasar un traba-jo a ordenador 12horas, un segundoalumno tarda enpasar el mismotrabajo 8 h. El pri-mer alumno traba-ja durante 4 h ydeja el resto del trabajo al segundo. ¿Cuán-to tiempo tardará este en finalizarlo?

El 1er alumno hace del trabajo, luego quedan por

hacer del trabajo.

El 2o alumno tarda: : = = 5,3)

horas = 5 h

20 min en terminar el trabajo.

6412

18

812

812

412

8

37

25

78

37

25

78

7

6

2 1452 100

42528

7363

36225

28126

5

56

6

12

4

56

56

65

8 5 3

⋅

−

:

12

12

12

5 4 3

−

⋅

:

32

23

23

4 3 6 0

⋅

−

:

2 13

53

2 2

−

⋅

−

35

35

35

3 5 2

⋅

:13

2 3

−

4

7113

511

32

16

320


Razona la verdad o la falsedad de las si-guientes afirmaciones:a) Algún número decimal es racional.b) Todo número entero es natural.c) Ningún número racional es entero.d) Algún número real es irracional.e) Ningún número natural es racional.

a) Verdadero; todos los números decimales son racio-nales excepto los decimales infinitos y no periódicos.

b) Falso; los números enteros negativos no son naturales.

c) Falso; muchos números racionales son enteros, to-dos los que su división es exacta.

d) Los números reales son los racionales y los irra-cionales, luego es verdadero.

e) Falso; todo número natural es racional.

Halla el menor conjunto numérico al quepertenecen los siguientes números:

3 � �; 4,23 � �; � �; 0 � �; – � �;

= 8 � �; 1,03� � �; – = –4 � �;

= –2 � �; � �; � �.

Representa en la recta real los siguientesnúmeros:

Dibuja sobre la recta real los siguientesconjuntos:

a) Los números reales mayores o igualesque 3.

b) B = {b � � |b < 0 y b > –7} c) (–�, –5]

d) D = {d � � |d > 1 o d > –5} e) E(5,2)

f) Los números naturales mayores que–1,6 y menores que 6.

g) E * (2,5)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Expresa de forma simbólica los siguien-tes conjuntos y estudia su acotación y laexistencia de supremo, ínfimo, máximo ymínimo.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

a) (1,+∞). No acotado.

b) (–2,2]. Acotado. Inf = –2. Máximo = 2.

c) [–4,–1] � [1,4). Acotado. Mínimo = –4. Sup = 4.

d) {x � � | –1 ≤ x ≤ 3}. Acotado. Mínimo = –1. Máximo = 3.

e) (–∞,–3] � [1,3]. Acotado.

f) (–3,3) � {5}. Acotado. Inf = –3. Máximo = 5.

g) (–∞,1) – {–1}. No acotado.

h) (–∞,–5] � [5,+∞) – {7}. No acotado.

Para el número p + F calcula las siguien-tes aproximaciones a decimales:

a) Aproximación decimal a décimas porexceso y por defecto.

14

5– 5 7

1– 1

5– 3 3

1 3– 3

– 1 0 1 2 3

1 4– 1– 4

2– 2

1

13

–3 72

0 4 5321

3 7

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3...

–5

0–7

30

12

11

–1,30,5

1π

–83

123

64

37

13

10

9


3 4,23 0 1,03�– ,

,1 30 5

1π–83– 12

364– 3

713

–32 1,6 0,7� 412– 18

91253– 4

3– 8

85

2 3

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

–32 0,7)

41/2

–43– 8

5–

O

−18

9

− = −2 2 8 2 3 1253

2

3

23

22

1,6


b) Aproximación decimal por defecto amilésimas.

c) Aproximación decimal por exceso acentésimas.

p + F = 4,75962664 ...

a) Aproximación decimal a décimas por exceso es 4,8.Aproximación decimal a décimas por defecto es 4,7.

b) Aproximación decimal por defecto a milésimas es4,759.

c) Aproximación decimal por exceso a centésimas es4,76.

Dado el número 1 724,157203...

a) Calcula sus respectivos redondeos conlas siguientes cotas de error:

b) Indica cuáles de las siguientes aproxi-maciones decimales del número ante-rior son redondeos. En los casos enque lo sean escribe la cota de error.

a) Cota de error 5 ⇒ redondeo a decenas 1 720.Cota de error 0,5 ⇒ redondeo a unidades 1 724.Cota de error 0,005 ⇒ redondeo a centésimas

1 724,16.Cota de error 0,0005 ⇒ redondeo a milésimas

1 724,157.Cota de error 500 ⇒ redondeo a unidades de mil

2 000.

b) 1 725 no es redondeo.1 724,16 es un redondeo a centésimas.1 724,2 es un redondeo a décimas.1 724,1 no es redondeo.1 724,158 no es redondeo.1 724,1572 es un redondeo a diezmilésimas.

PÁGINA • 26

En un supermercado nos presentan lacuenta a cobrar en euros. Los productosque hemos comprado tienen los siguien-tes precios:a) 1,325 euros b) 0,477 eurosc) 25,008 euros d) 122,553 eurose) 82,572 euros f) 7,634 euros

El supermercado redondea a centésimasde euro. ¿Cuántos euros pagaremos si:

• primero redondea y luego suma o

• primero suma y luego redondea?

Primero redondea y luego suma:1,33 + 0,48 + 25,01 + 122,55 + 82,57 + 7,63 =

= 239,57 euros.

Primero sumamos y después redondeamos a centési-mas:1,325 + 0,477 + 25,008 + 122,553 + 82,572 +

+ 7,634 = 239,569 eurosredondeando a centésimas queda: 239,57 euros.

Calcula, aproximadamente, el error abso-luto y relativo que se comete al tomarcomo valor aproximado de p 221/71.

Consideramos como valor real p = 3,141592.

Error absoluto:

| 3,141592 – | = 0,028916...

Error relativo:

= = 0,0092...

Calcula, aproximadamente, el error abso-luto y relativo que se comete al redondearel número de oro F a centésimas.

F = 1,61803398...

Redondeo a centésimas: 1,62.

Error absoluto = 0,00197...

Error relativo = 0,00121506...

Expresa en notación científica las siguien-tes cantidades y determina el orden demagnitud:

a) Distancia Tierra-Luna: 384 000 km.

b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km.

19

18

0,0289163,141592

Error absolutoValor real

22171

17

16

15

5 0,5 0,005 0,0005 500

1 720 1 724,158 1 724,1572

1 725 1 724,16 1 724,2 1 724,1

c) Distancia Tierra-Neptuno: 4 308 000 000 km.

d) Virus de la gripe: 0,000 000 002 2 m.

e) Radio del protón: 0,000 000 000 05 m.

f) Peso de un estafilococo: 0,000 000 000 1 g.

g) Distancia del universo observable:2,5 · 1010 años luz (1 año luz es 9,4 · 1012 km).

a) 3,84 · 105 el orden de magnitud es 105

b) 1,5 · 108 " " " " " 108

c) 4,308 · 109 " " " " " 109

d) 2,2 · 10–9 " " " " " 10–9

e) 5 · 10–11 " " " " " 10–11 · 10 == 10–10

f) 1 · 10–10 " " " " " 10–10

g) 2,35 · 1023 " " " " " 1023

La capacidad de memoria de un ordena-dor se mide en:

Byte = 23 Bits;

K-Byte = 210 Bytes

Megabyte = 210 K-Bytes;

Gigabyte = 210 Megabytes

Expresa en forma de potencia y en nota-ción científica la capacidad de los si-guientes ordenadores y disquetes en By-tes y Bits:

a) Disco duro de 6,2 Gigas

b) Disquete de 1,44 Megas

c) Un disco Zip de 100 Megas

d) Un CD-ROM de 650 Megas

a) 6,2 · 230 Bytes = 6,2 · 233 Bits.

b) 1,44 Megas = 1,44 · 220 Bytes = 1,44 · 223 Bits.

c) 100 Megas = 1 · 222 Bytes = 1 · 225 Bits.

d) 650 Megas = 6,5 · 222 Bytes = 6,5 · 225 Bits.

Simplifica los siguientes radicales:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Efectúa las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

a) b) c) d) x3720

223– 3

5 4 3 36 3 25 4 96

x x x xx

– –+ ++

45

8 50 72

18 34

98– –+

2 16 3 128 5 543 3 3+ –

3 12 5 27 243 15

75– –+

22

x y x y z

x yx y z x z

3 5 5 4 9

4 2

3 6 4= ⋅

51

2553 93 =

8

81

23 3

4

33a

b

ab

a3 =

72

236 6

7

3

4 2x

xx x= =

3 3 3 3 3344 4 316 716= ⋅ =

2 8 2 23 4 12⋅ =

x x x143 2 3=

x x x x⋅ = =3 4 2

– –1 080x x x53 236 5=

729 376 6a a a=

x y x y4 6 2 3=

128 8 23x x x=

x y x y z

x y

3 5 5 4 9

4 25 125

33

8

81

4

3

a

b372

2

7

3

x

x

3 33442 83 4⋅

x143x x⋅ 3

–1 080x53729 76

a

x y4 6128 3x

21

20


PÁGINA • 27

Efectúa las siguientes operaciones, sim-plificando todo lo posible los resultados:

a)

b)

c)

d)

a) b)

c) 1 d)

Racionaliza las siguientes fracciones:

Efectúa y simplifica:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

La naranja al pelarla pierde de su peso;

la naranja pelada pierde al exprimirlapara hacer zumo un 30 % de su peso.¿Cuántos kg de naranjas hemos de com-prar para obtener 2 400 kg de zumo?

15

26

a

b

c

d a a a a a a a

a a

e

f

)

)

)

)

)

)

98 48 18 10 2 4 3

4 9 729 4 9 9 36 6

9 17 9 17 9 17

64 4

250 16 4 64

10 4 6

14

3

3 3 2 23

3

23 34 23 34 8 3724

1324

3 3 3 3 3

– –

– –

– –

–

+

1 000

=

= ⋅ = =

⋅ + = ( ) =

= =

⋅ = ⋅ ⋅ = =

=

⋅ = =

= =

+ 77 81 14 4 4

4236

218

426

21

2 2

426

424

4212

2 5 3 2

2 5 3 2

2

3 2

38 12 102

23

57 18 10 23

4–

– – –

–

––

––

– –

= + =

= = =

=

= =

=

g

h

)

)+

2 5 3 22 5 3 2

23 2

– –+

4236

218

–

14 7 814+ –

250 16 43 3 3–( ) ⋅

a a a23 34⋅

9 17 9 + 17–3 3⋅

4 9 7293

98 48 1812

12

12– +

25

3

3

2 33

1

2 5

510

2

3

1623

7

7 3 33

2 2

6 3 22

3

3 2 33 2

5 2

5 2

9 4 51

11

3 5 2 7

3 5 22 717

7 1

2 7 53 7

5

5

5

3

6

= = =

⋅=

+=

=+

=

= + ++

=

; ; ;

;–

;

–– – ;

– –;

–; –

3 087

3

24

4 10 20–

4 4 2+3 3 2–

72 20 2 2 2 8 7 2– – –( ) ( )+

1 2 1 2 2 2 2 2+ + +( ) ( ) ( ) ( )– –

2 2 2 2 2 22

+ +( ) ( ) ( )– –

3 2 2 2 3 3+( ) ( ) ⋅–

23


32 2+

7

7 33⋅

2

3

5

51

2 523

7 12 7 5

++

113 5 2 7–

5 25 2

–+

33 2 3–

El zumo supone · · Peso = · P.

Por tanto, · P = 2 400 ⇒ P = 4 285,7 kgnaranjas.

La cantidad de azúcar morena que se ob-tiene de la caña es 12/19 de su peso. Lacantidad de azúcar blanca que se obtienede refinar el azúcar morena es 4/3 de supeso. ¿Cuánta caña de azúcar se necesi-ta para obtener 10 toneladas de azúcarblanca?

Efectúa, simplificando lo más posible elresultado:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

En qué cifra termina cada uno de los si-guientes números:

a) 3535 b) 22 001 + 1

c) 81 999 – 1

a) Las terminaciones de las potencias de 3 son:

3535 = 34·133+3

3535 termina igual que 33 en 7

b) Las terminaciones de las potencias de 2 son:

22 001 termina igual que 21

es decir, en 2; por tanto:

22 001 + 1 termina en 3

c) Las terminaciones de las potencias de 8 son:

81 999 termina igual que 83

es decir, en 2; por tanto:

81 999 – 1 termina en 1

8 8

8 64

8 512

8 4 096

8 32 768

1

2

3

4

5

=

=

=

=

=

2 2

2 4

2 8

2 16

2 32

1

2

3

4

5

=

=

=

=

=

3 3

3 9

3 27

3 81

1

2

3

4

=

=

=

=

29

f ) 2 8 2 8 24 8 78= ⋅ =

b

c

)

)

2 81 3 24 192

3

6 3 6 3 3

34

25

52

25

25

52

25

25

3 3 3

3

3 3 3

3

3 3 6 12

= =

= ⋅ ⋅ =

=

– –+ + 4

⋅

⋅

=

=

⋅ = ( ) =

= ⋅ ⋅ =

4 212

312 4

2 2

3 5

34

30 20 12

4560 1760

52

25

25

25

7 2 6 7 2 6 7 2 6 5

3 3 3

3

3 3 3

33

d

e

)

)

– –+

a)16

16

16 16 256

12

32

12

12

32

42

4

2

=

= =

–

––

2 84

3 3 3

3

3 5

34

7 2 6 7 2 6– ⋅ +

25

52

25

3

2 81 3 24 192

3

3 3 3

3

– +

16

16

1 2

3 2

1 2 4/

/

– /

28

Azúcar moreno ( ) caña ( )

Azúcar blanca ( ) ( )

T T de caña

AM C

AB AM

AB C

C C

=

=

⇒

⇒ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ =

1219

43

1219

43

101219

43

11 875,

27

2850

2850

45

70100


PÁGINA • 29


1. SUMAS. Considera la serie de números pa-res 2, 4, 6, 8, etc. ¿Cuánto vale la suma delos m primeros?

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2m = m (m + 1).

2. EL CAMELLO SEDIENTO. El beduino Ali-kan desea transportar 100 bidones llenosde agua desde Kamal hasta Wadi, pueblosseparados por 100 km de desierto. Paraello, dispone de un camello capaz de andarindefinidamente descargado, o de cargarcon un solo bidón, debiendo en este caso,cada vez que completa 100 km cargado,beber una cantidad de agua igual a la quecontiene aquél.

El beduino no dispone de más agua para elcamello que la contenida en los bidones.¿Cuántos de estos 100 bidones podrán lle-gar a Wadi?

• Supongamos que el camello lleva un bidón hasta lamitad del camino, vuelve a Kamal, carga con otro

bidón hasta el mismo punto y se bebe uno de los bi-dones transportados, quedándole otro. Repitiendoeste proceso conseguirá llevar 50 bidones hasta lamitad del camino. Desde aquí repitiendo lo mismohasta Wadi conseguirá que lleguen 25 bidones =

= 100 · .

• Si mejoramos la solución conseguiremos que lle-guen más bidones, haciendo el camino en tres fasestras el 1.er tercio, el camello habrá bebido 33,333...bidones y quedan 66,666... En el 2.º tercio se bebe22,22... y quedan 44,444... En Wadi se bebe14,81... y quedan 29,629... bidones, es decir:

100 · = 100 · .

• Avanzando por cuartos de camino se puede mejo-

rar la solución (llegan 31,640 ≅ 100 · =

= 100 · = 100 · ( )4

bidones). Siguiendo así

sucesivamente se puede decir que en el mejor de los

casos llegan 100 · ( )100

≅ 100 · .1e

99100

34

34

44

81256

23

33

827

12

22



1. Realizar con corrección todas las operaciones elementales con polinomios.

2. Relacionar el resto con los factores en las divisiones por x – a o x + a.

3. Aplicar los resultados obtenidos de las divisiones de polinomios.

4. Operar con fracciones algebraicas.

• Reforzar el trabajo con los conceptos previos asociados al potente lenguaje algebraico, en par-ticular con los polinomios.

• Trabajando las operaciones con polinomios, en particular, el cociente de polinomios.

• Aplicando los resultados de la división de polinomios en la factorización de estos, para calcularel máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios.

• Operando con fracciones algebraicas y con las descomposiciones en fracciones simples.




PÁGINA • 31


1. Calcula el cociente y el resto en cada una delas siguientes divisiones:

a) (x3 – 3x2 + 4) : (x + 1)

b) (x4 – x) : (x – 2)

a) Por Ruffini:

b) Por Ruffini:

2. Calcula el valor de a para que el polinomio:A(x) = x3 + ax2 – 7x – 2

dé resto 5 al dividirlo por x + 3.

Utilizando el teorema del resto:

Resto = A(–3) ⇒ 5 = (–3)3 + a (–3)2 – 7 (–3) – 2 ⇒

⇒ a = 139

El resto es 14.

El cociente es:x3 + 2x2 + 4x + 7

1 0 0 1 0

2 2 4 8 14

1 2 4 7 14

−

=R

El resto es 0.

El cociente es:x2 – 4x + 4

1 3 0 4

1 1 4 4

1 4 4 0

− +

− − + −

− + =R


CONCEPTOS

1. Polinomios. Identidad de polino-mios.

2. Operaciones con polinomios.

3. División de polinomios.

4. División por x – a. Regla de Ruf-fini.

5. Teorema del resto y teorema delfactor.

6. Descomposición factorial de unpolinomio.

7. Máximo común divisor y mínimocomún múltiplo de polinomios.

8. Fracciones algebraicas.

9. Operaciones con fracciones alge-braicas.

– Curiosidad e interés por en-frentarse a problemas alge-braico.

– Gusto por la presentaciónordenada de los procesos yresultados obtenidos en lasoperaciones con polinomiosy fracciones algebraicas.

– Perseverancia y flexibilidaden la búsqueda de solucio-nes a las actividades pro-puestas con polinomios yfracciones algebraicas.

– Tomar conciencia de la im-portancia de las situacio-nes que pueden formularsea través del lenguaje alge-braico.

• Empleo correcto del len-guaje algebraico.

• Utilización de las técnicas yprocedimientos que permi-tan realizar las operacionescon monomios, polinomiosy fracciones algebraicas.

• Utilización de la regla deRuffini en la factorizaciónde polinomios.

• Aplicación de los conceptosasociados a la divisibilidadde polinomios al cálculo derestos, factores o coeficien-tes de polinomios; ademásde a la simplificación defracciones algebraicas.



3. Descompón en factores los siguientes poli-nomios:

a) A(x) = x3 – 5x2 + 6x

b) B(x) = x4 – 16

a) x3 – 5x2 + 6x = x (x – 2) (x – 3)

b) x4 – 16 = (x – 2) (x + 2) (x2 + 4)

4. Efectúa y da el resultado en forma de frac-ción irreducible:

PÁGINA • 33


1. Dados los polinomios:

A(x) = –x3 – 2x + 5; B(x) = 2x4 + x3;

C(x) = 2x – 5calcula:

a) A(x) + B(x) – C(x)

b) A(x) – [B(x) – C(x)]

c) A(x) – 2 B(x) d) B(x) · C(x)

e) [B(x)]2 f) C(x) · [B(x) + A(x)]

a) A(x) + B(x) – C(x) = 2x4 – 4x + 10

b) A(x) – [B(x) – C(x)] = –2x4 – 2x3

c) A(x) – 2 · B(x) = –4x4 – 3x3 – 2x + 5

d) B(x) · C(x) = 4x5 – 8x4 – 5x3

e) [B(x)]2 = 4x8 + 4x7 + x6

f) C(x) · [B(x) + A(x)] = 4x5 – 10x4 – 4x2 + 20x – 25

2. Efectúa las siguientes operaciones:

a) (3 – 2x)2

b) (5x – 2) (5x + 2)

c) (2 + x)3

d) ( + 4x)2

e) (x – 3)2 – (x + 3)2

f) (3x + 5)2 – (3x – 5) (3x + 5)

a) (3 – 2x)2 = 9 – 12x + 4x2

b) (5x – 2) (5x + 2) = 25x2 – 4

c) (2 + x)3 = 8 + 12x + 6x2 + x3

d) ( + 4x2)2

= + 4x2 + 16x4

e) (x – 3)2 – (x + 3)2 = –12x

f) (3x + 5)2 – (3x – 5) · (3x + 5) = 30x + 50

PÁGINA • 34

1. Determina el cociente y el resto de la divi-sión (–2 + 3x2 + 2x – 3x4) : (x2 + 4 + 2x).Comprueba que:

a) Dividendo = divisor · cociente + resto.

b) Grado del resto < grado del divisor.

c) Grado del cociente = grado del dividen-do – grado del divisor.

Cociente: – 3x2 + 6x + 3

Resto: –28x – 14

a) Efectivamente se verifica la igualdad:

(x2 + 2x + 4) · (–3x2 + 6x + 3) + (–28x – 14) == –3x4 + 3x2 + 2x – 2

b) Grado resto = 1 < 2 = grado divisor.

c) Grado cociente (2) = grado dividendo (4) – gradodivisor (2)

PÁGINA • 35

1. Efectúa las siguientes divisiones utilizandola regla de Ruffini:

a) (x4 – 3x3 + 4x – 2) : (x – 1)

b) (2x4 – 17) : (x + 2)

c) (x5 – 32) : (x – 2)

a) Cociente = x3 – 2x2 – 2x + 2 Resto = 0

b) Cociente = 2x3 – 4x2 + 8x – 16 Resto = 15

c) Cociente = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 Resto = 0

2. Calcula el valor de a para que las siguien-tes divisiones sean exactas:

a) (3x3 – 2x2 + 5x + a) : (x + 1)

b) –(x4 + 2x3 – ax + 1) : (x – 2)

14

12

12

11

1

1 11 1

12

2−

⋅ +

−= − ⋅ ⋅ +

− +=

xx x

x

x x xx x x

( ) ( )( ) ( )

1 1

1

2

2−

⋅ +

−xx x

x


a) Aplicando la regla de Ruffini obtenemos: a = 10

b) Aplicando la regla de Ruffini obtenemos: a =

PÁGINA • 38

1. Descompón en factores los siguientes poli-nomios:a) A(x) = 3x2 – 48

b) B(x) = x3 + 8x2 + 16x

c) C(x) = x3 + 3x2 – x – 3

a) A(x) = 3 · (x – 4) (x + 4)

b) B(x) = x · (x + 4)2

c) C(x) = (x – 1) (x + 1) (x + 3)

2. Encuentra las raíces de cada uno de los po-linomios siguientes:

a) A(x) = x3 – 4x

b) B(x) = 2x4 – 32

c) C(x) = x3 + 2x2 – 4x – 8

Descomponemos en factores cada uno de los polino-mios:

a) A(x) = x · (x – 2) (x + 2)Las raíces de A(x) son 0, 2 y –2.

b) B(x) = 2 · (x – 2) (x + 2) (x2 + 4)Las raíces de B(x) son 2 y –2.

c) C(x) = (x – 2) (x + 2)2

Las raíces de C(x) son 2 y –2; esta última es raízdoble.

3. Calcula el MCD y el mcm de los polinomiosde los siguientes apartados:

a) A(x) = 3x2 – 12B(x) = 2x4 – 2x3 – 4x2

b) A(x) = x3 – x2 – 9x + 9B(x) = x3 – 1

c) A(x) = x3 + 2x2 – 4x – 8B(x) = x3 + x2 – 4x – 4C(x) = 2x3 + 2x2 – 4x

a) A(x) = 3 · (x – 2) · (x + 2)B(x) = 2 · x2 · (x – 2) · (x + 1)

MCD [A(x), B(x)] = (x – 2)mcm [A(x), B(x)] = 6 · x2 · (x – 2) (x + 2) (x + 1)

b) A(x) = (x – 1) (x – 3) (x + 3)B(x) = (x – 1) · (x2 + x + 1)

MCD [A(x), B(x)] = (x – 1)mcm [A(x), B(x)] = (x – 1) (x – 3) (x + 3) (x2 + x + 1)

c) A(x) = (x – 2) · (x + 2)2

B(x) = (x – 2) · (x + 1) · (x + 2)C(x) = 2 · x · (x + 2) · (x – 1)

MCD [A(x), B(x), C(x)] = (x + 2)mcm [A(x), B(x), C(x)] = (x + 2)2 · 2 · x · (x – 2) ·

· (x + 1) · (x – 1)

4. Para los polinomios del apartado a) ante-rior comprueba:

MCD [A(x), B(x)] · mcm [A(x), B(x)] = A(x) · B(x)

Fácilmente se comprueba esta igualdad a partir de lasdescomposiciones factoriales de los polinomios.

PÁGINA • 41

1. Efectúa las siguientes operaciones y obténen cada caso la fracción irreducible:

a) –

b) ·

c) :

d) +

e) (1 + ) :

f) : ·

a)

b) =

c) =

d)

e) = 1

f) 3 · (x + 1)2

x3 – x2

(x + 2) · x · (x – 2)x (x – 2) · (x + 2)

5x – 4x2 – x – 2

2 (x – 1) (x + 3)x

(x + 3)2 · 4 · (x – 1)2

x (x – 1) · 2 · (x + 3)

4 · xx – 1

x · (x + 1) · 4 · (x2 + 1)(x2 + 1) · (x + 1) · (x – 1)

x2 + 1x2 – 1

3x – 12x2 – x

x2 – 16x2 + 2x + 1

x2 + 4xx2

x2 – 4x2 – 2x

2x

3x + 1

2x – 2

2x + 64x2 – 8x + 4

x2 + 6x + 9x2 – x

4x2 + 4x2 – 1

x2 + xx2 + 1

1x + 1

xx – 1

12


PÁGINA • 42


Encuentra el polinomio A(x) que satisfagala igualdad:

(x2 – 3) · A(x) = x3 + 2x2 – 3x – 6

• Mediante identidad de polinomios:

(x2 – 3) (ax + b) = x3 + 2x2 – 3x – 6

ax3 + bx2 – 3ax – 3b = x3 + 2x2 – 3x – 6

Identificando coeficientes obtenemos:

a = 1, b = 2 ⇒ el polinomio A(x) = x + 2

• Mediante la división:

A(x) = = x + 2

Determina a y b de modo que sea cier-ta la siguiente igualdad:

Operando y utilizando la identidad de polinomios ob-tenemos:

a = 1 b = –2

Descompón en factores los siguientes poli-nomios:

a) A(x) = x4 – 25x2 + 144

b) B(x) = x3 + 2x2 + x

c) C(x) = x3 – x2 – x + 1

d) D(x) = 8x3 + 2x2 – 13x + 3

e) E(x) = x4 – 2x3 – 2x2 – 2x – 3

Las descomposiciones pedidas son:

Calcula el MCD y el mcm de los siguientespolinomios:

a) A(x) = x3 – 5x2 + 6x ;B(x) = x2 + x – 6

b) C(x) = x3 – 4x2 + 5x – 6;D(x) = x3 – 5x 2 + 8x – 4

c) E(x) = 2x3 – 2x2 – 2x – 4;F(x) = –2x 2 – x + 10

En cada uno de los casos descomponemos los polino-mios en factores y calculamos el MCD y el mcm.

Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Dado el polinomio P(x) = x4 +x3 –2x2 +3calcula: P (0), P (1) y P(–2)

b) Calcula el valor de k para que el poli-nomio P(x) = 2x3 – kx 2 + 6 sea divisi-ble por x + 1.

c) Calcula el valor de a para el cual el res-to de la división (x4 – 4x3 + ax) : (x + 2)es 2.

d) Calcula el resto de dividir el polinomioB(x) = x2 + 3x – 5 por x.

a) P(0) = 3; P(1) = 3; P(–2) = 3

b) Debe verificarse que P(–1) = 0 ⇒ k = 4

c) Debe verificarse que P(–2) = 2 ⇒ a = 23

d) El resto de esta división es B(0) = –5

Obtén la fracción irreducible en cada unade las siguientes:

a) b) 2 44 42

xx x

–– +

5 1510 15

2

3 2

x xx x

–+

6

5

a A x x x xB x x x

A x B x xA x B x x x x x

b C x x x x

D x x x

)

)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

[ ( ), ( )] ( )[ ( ), ( )] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= − −= + −

⇒

⇒= −= − − +

= − − +

= − −

3 23 2

23 2 3

3 2

2 1

2

2

MCDmcm

⇒

⇒== ⋅

= + + −

= − +

⇒

⇒= −

MCDmcm

MCD

mcm

[ ( ), ( )][ ( ), ( )] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) – ( )

[ ( ), ( )] ( )

[ ( ), (

C x D xC x D x C x D x

c E x x x x

F x x x

E x F x x

E x F x

1

2 1 2

2 252

2 2

2)

)])] – ( ) ( )= − + +

+

2 2 152

2x x x

x

4

a A x x x x x

b B x x x

c C x x x

d D x x x x

e E x x x x

)

)

)

)

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= − + − +

= +

= − +

= − −

+

= + − +

3 3 4 4

1

1 1

8 114

32

1 3 1

2

2

2

3

( – ) ( ) – –x x ax b x x x2 3 22 3 5 4 7 1+ + + = +⋅

2

x3 + 2x2 – 3x – 6x2 – 3

1


c) d)

Efectúa las siguientes operaciones y da elresultado en forma de fracción irreducible:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

PÁGINA • 43

Utilizando la identidad de polinomios re-suelve las siguientes cuestiones:a) Calcula a y b de forma que se verifique:

(x2 + x + 1) · (ax + b) = 2x3 + x2 + x – 1

8

ax

x xx x

x x

bx

x x x

cx

x xx

x

x x

x

dx

x

xx

x x

)

)

)

)

53

32

5 7 93 2

2 1

4

22

3

4

73

53

6

9

7 22 15

9

2 6

1

5 54 12

2 3 5 1

2

2 2

2

2

2

2

++

) (

+

++

+

– ( )

–

––

–

––

– –

–

– –( ) ( )

= − ++ −

=

= + +

⋅ = − ⋅ ⋅ +(( ) ( )

–:

–– –

( ) ( ) ( )( )

– –

–:

–

x x x

x

exx

xx

x xx x x

x

fx x

x x

x

x x

x

x

− + ⋅ ⋅ −=

=−

= − ⋅ − ⋅ ++ − +

=

= −+

⋅

1 1 4 35

2 2

12 6

13 9

1 3 32 3 1 1

32 2

6 5

5 6

2 8 2 10

2

2

2

2

2 2

) (

+ ) ( ) (

+

+ +

)

)++

) ( ) 2 ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) 2 ( )

+

31 5 2 2 3

2 3 1 52

1 1 1 11

1

2

xx x x x x x

x x x x xx

g xx

xx

xx

xx

x

h xx

xx

xx

=

= − − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ++ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

=

= −

= − − = +

((

– :–

:

–: –

–

)

)11 1

21

11 2 2

33 9

39

393

3 3 93 3

2 2

2

3 2 3

2

=−

−−

=

= −− ⋅ ⋅ −

=−

⋅ = − ⋅ +−

=

= − + ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ −

xx

x xx

x xx x x

xx

ix

xx xx

xx

x xx

x x x xx x

:

( )( ) ( )

––

( ) ( )( )

)+

) ( ==

= + + = + + +

⋅

= + ⋅ −+ −

=

= − ⋅ +⋅ ⋅ + −

= −−

( ) (

++ ) ((

) (

x x x x x

jx

x x xx

x x xx

x x x x x

3 93

3 9 273

12

11

11

12

21 1

2 12 1 1

1

2 3 2

2

)

–– ( )

)( )

)

xx x x+

+1

21

11

1⋅

––

xx

x xx3

3 93

3

––

⋅ +

xx

xx

xx

+–

: ––1 1

xx

xx

– : –1 1

x xx x

xx x

xx x

2

2

2

2 2

6 55 6

2 8 2 103

– ––

: –++ + +

⋅

xx

xx

– : –– –

12 6

13 9

2

+

2 61

5 54 122

xx

xx

–– –

⋅ +

73

53

692

xx x

xx–

––+

+

2 14

222

xx x

––

–+

53

32

xx x+

+–

7

ax x

x x

x x

x x

x

x x

bx

x x

x

x x

cx x

x x

x xx x

x

)

)

)

5 15

10 15

5 3

5 2 3

3

2 3

2 4

4 4

2 2

2

22

6

2 8

2 3 12 4

2

3 2 2 2

2 2

2

2

– ( )

( )

–

–

( )

( )

– –

–

( ) ( ) ( )( ) ( )

+ +

+

+

= −+

= −

= −−

=−

= − + −− +

= − − 334

8 12

6 2 12

2 3

2 4 6

2 3

4 6

6

4 6

3 2

3 2

2

2

2

2

2

x

dx x x

x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

+

= − +− − −

=

= − +− −

= + −− −

)– –

–

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

+

+ +

x x xx x x

3 2

3 2

8 126 2 12

– ––

++ +

62 8

2

2

– ––

x xx x+


b) Calcula la siguiente raíz:

c) Calcula A y B de modo que se verifi-que la igualdad siguiente:

a) Utilizando el principio de identidad de polinomiosobtenemos:

b)

c)

Encuentra las raíces de los siguientes poli-nomios:

A (x) = x4 – x3 – x2 – x – 2

B (x) = x3 + 4x 2 + 4x

C (x) = x3 + 9x

Obtenemos la raíces de los polinomios a partir de sudescomposición factorial:

A(x) = (x + 1) (x – 2) (x2 + 1). Las raíces son 2 y –1.

B(x) = x (x + 2)2. Las raíces de B(x) son 0 y –2; estaúltima es raíz doble.

C(x) = x (x2 + 9). Las raiz de C(x) es 0.

Halla los valores que deben tomar a y bpara que las siguientes fracciones seanequivalentes:

Estas fracciones son equivalentes siempre y cuandosus fracciones reducidas sean equivalentes:

Mediante el principio de identidad de polinomios ob-tenemos:

b = –3 ; a = –5

Halla un polinomio de primer grado sa-biendo que su raíz es –2 y que toma elvalor de 5 para x = 3.

El polinomio buscado será P(x) = ax + b

Debe cumplir:

El polinomio es: P(x) = x + 2

Estudia si el polinomio P(x) = xn – 1 esdivisible por x + 1, siendo n un núme-ro natural.

Observamos que P(–1) = (–1)n – 1 = 0 si n es par.

Por tanto P(x) es divisible por (x + 1) siempre quen sea par.

Halla a y b para que el polinomioA (x) = x3 + ax + b tenga la raíz doble 1.

Para que A(x) tenga por raíz doble 1 debe verificarse:

x3 + ax + b = (x – 1)2 · (x + c)

Utilizando el principio de identidad de polinomios ob-tenemos:

Por tanto a = –3; b = 2

Encuentra el polinomio en cada uno de lossiguientes casos:

a) Raíces 1, 2 y 3

b) Raíces 0 y 1 raíz doble

c) Raíces 0 raíz doble y –1 raíz triple

a) El polinomio que tiene como raíces 1, 2, 3 esde la forma: P(x) = a · (x – 1) · (x – 2) · (x – 3).Un caso particular es:

P(x) = (x – 1) · (x – 2) · (x – 3).

14

Para

Para

Para

x a b

x b c

x a b c

a

b

c

= ⇒ + + =

= ⇒ =

= − ⇒ − − + = − +

⇒

= −

=

=

1 1 0

0

1 1 4 4

3

2

2

13

12

P a b

P a b

a

b

( )

( )

− = ⇒ − + =

= ⇒ + =

⇒=

=

2 0 2 0

3 5 3 5

1

2

11

x

x

x x

x x ax b

x x x ax b

x x x

++

= − −− + +

⇒

= + ⋅ − + + =

= + ⋅ − −

2

1

6

2

1 6

2

2

3 2

2

3 2

2

( )

( ) ( )

( ) ( )

x

x x

x

x

2

3 2

4

3 2

2

1

−− −

++

=( )

xx x

x xx x ax b

2

3

2

3 2

43 2

6−− −

− −− + +

y

10

9

5 4

2

1 2

2

1 2 5 4

2 3 6 2

1 3 9 3

2 2

x

x x

A x B x

x x

A x B x x

x A A

x B B

−− −

= + + −

− −⇒

⇒ + + − = −

= ⇒ = ⇒ =

= − ⇒ − = − ⇒ =

( ) ( )

( ) ( )

Para

Para

x x x x x3 23 333 3 1 1 1− + − = − = −( ) ( )

Para

Para

x b

x a b

b

a

= ⇒ = −

= ⇒ + =

⇒= −

=

0 1

1 3 3 3

1

2

5 42 2 12

xx x

Ax

Bx

−− −

=−

++

x x x3 233 3 1− + −


b) El polinomio que tiene como raíces 0 y 1 doblees de la forma: P(x) = a · x · (x – 1)2

c) El polinomio que tiene como raíz doble el 0 y raíztriple el –1 es de la forma: P(x) = a · x2 · (x + 1)3

Comprueba si son o no ciertas las si-guientes igualdades:

a) (x2 + 1)2 – (x2 – 1)2 = 4x2

b)

a) Operando obtenemos:

(x2 + 1)2 – (x2 – 1)2 = x4 + 2x2 + 1 – (x4 – 2x2 + 1) = 4x2

luego esta igualdad es cierta.

b) luego esta igualdad es cierta.

Halla m y n para que el polinomio4x4 + mx3 – 11x2 – 6x + n sea un cua-drado perfecto.

Se debe verificar que:

4x4 + mx3 – 11x2 – 6x + n = (2x2 + ax + b)2

Utilizando el principio de identidad de polinomios,dando valores a la x, obtenemos:

a = 1 b = –3 m = 4 n = 9

Para estos valores se cumple:

4x4 + 4x3 – 11x2 – 6x + 9 = (2x2 + x – 3)2

PÁGINA • 45


1. DECORACIÓN. ¿Cómo colocarías 10 lám-paras de pie en torno a un cuarto de estarcuadrado, de manera que haya el mismonúmero de lámparas junto a cada pared?

De la siguiente forma:

Cada punto represen-ta una lámpara.

2. LAS CALLES DEL PUEBLO. Todas las ca-lles de un pueblo son rectas, sin que hayados paralelas. Al emplear una farola encada cruce, se colocan 66 farolas. ¿Cuántascalles tenía el pueblo como mínimo?

Si hay n calles el número máximo de cruces es:

Cn,2 =

Luego si hay 66 farolas ⇒ 66 cruces ⇒ ⇒

⇒ n2 – n – 132 = 0 ⇒ n = 12 calles como mínimotenía el pueblo.

3. UN CRIADO SABIO. Un señor tenía sus me-jores botellas de vino dispuestas en la cavade la manera indicada en la figura.

Desconfiaba de su criado y, todas las no-ches, antes de acostarse, bajaba a la cava ylas contaba sumando el número de botellasque había en los tres compartimentos decada uno de los cuatro lados. Si la suma era21 botellas en los cuatro casos, descansa-ba feliz.

El criado, por su parte, sabedor de la es-tratagema y del bajo concepto que de él te-nía el señor, decidió robarle botellas. ¡Y loconsiguió! Le robaba unas cuantas y redis-tribuía las restantes, de tal modo que noperturbase los sueños del amo.

¿Cuántas botellas, como máximo, pudo ro-bar? ¿Cómo quedó la cava?

Ésta es una de las disposicio-nes en que quedó la cava.

Como máximo pudo robar:

60 – 42 = 18 botellas.

La disposición de las 42 bote-llas en la cava admite muchasformas diferentes.

n2 – n2

n2 – n2

16

x

x

xx

x

x−

−= −

−=1

11

11

x

x

x−

−=1

1 1

15


1 20

20 1

6 9 6

9 9

6 9 6


1. Reconocer y diferenciar las ecuaciones y sistemas de primero y segundo grado de otros.

2. Resolver con corrección ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primero y segundo grado.

3. Utilizar los diferentes métodos de resolución de ecuaciones y sistemas.

4. Aplicar el lenguaje simbólico y algebraico a la resolución de problemas.

5. Usar el método de Gauss en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

• Pueden ponerse en práctica algunas estrategias de resolución de problemas, sobre todo la co-rrespondiente a la elección de un lenguaje adecuado.

• Debe buscarse entre las experiencias del alumno sus conocimientos en el ámbito que nos ocupa.

• Reforzaremos el razonamiento inductivo a través de situaciones concretas.




PÁGINA • 47


1. Halla los valores que, sustituidos por x, ve-rifiquen las igualdades siguientes:

a) (x – 2)2 = x2 – 5x + 5

b) (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

a) Operando obtenemos:

x2 – 4x + 4 = x2 – 5x + 5 ⇒ x = 1

Esta igualdad sólo se verifica para x = 1.

b) Esta igualdad se verifica para todos los valores de x.

2. ¿Qué dos números dan el mismo resultadocuando se suman que cuando se multipli-can? ¿Y si consideramos tres números?

• Son números x, y que verifican: x + y = x · y. Es

decir: = y.

Todos los números x; con x ≠ 1 dan igual

resultado al sumar que al multiplicar.

• En el caso de tres números son números de la for-

ma: x; y; con x · y ≠ 1 y se obtienen de

forma análoga al caso anterior.

4. Los pueblos de Abejar, Buitrago y Cidonesno están situados en línea recta. Para irdesde Abejar a Cidones, pasando por Bui-trago, se recorren 24 km. En el camino deBuitrago a Abejar, pasando por Cidones,se cubren 32 km. Caminando desde Cido-

x + yxy – 1

xx – 1

xx – 1


CONCEPTOS

1. Ecuaciones de segundo grado. Re-solución.

2. Propiedades y aplicaciones de laecuación de segundo grado.

3. Ecuaciones de grado superior.

4. Ecuaciones irracionales.

5. Sistemas de ecuaciones de 2º grado.

6. Sistemas de ecuaciones lineales.

7. Sistemas equivalentes.

8. Método de Gauss.

9. Resolución de problemas conecuaciones.

– Curiosidad e interés por en-frentarse a problemas quecomportan el uso del len-guaje algebraico.

– Gusto por la presentaciónordenada de los procedi-mientos y resultados obteni-dos en la resolución deecuaciones y sistemas deecuaciones.

– Perseverancia y flexibilidaden la búsqueda de solucio-nes de ecuaciones, sistemasy problemas que comportenecuaciones y sistemas.


• Formulación de problemashaciendo uso del lenguajesimbólico y algebraico.

• Revisión de las técnicas deresolución de ecuacionesde primero y segundogrado.

• Utilización del método deGauss en la resolución desistemas de ecuaciones li-neales.

• Uso del lenguaje algebraicopara representar, comuni-car o resolver situacionescon igualdades en los ám-bitos cotidiano, científico otécnico.



nes a Buitrago, pasando por Abejar, se re-corren 28 km. ¿Cuáles son los pueblosmás cercanos?

Consideremos el siguiente esquema:

Imponiendo las condiciones del problema obtenemos:

PÁGINA • 60


Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 1 – = +

b) – = 2

c) – 1 =

d) – – ( – ) = 0

a) 1 – = + ⇒ x =

b) – = 2 ⇒ x = 3

c) – 1 = ⇒ x = 4

d) – – ( – ) = 0 ⇒ x =


a) 2x (x + 3) = 3 (x – 1)

b) x + 1 =

c) (x + 2) (x – 2) = 2 (x + 5) + 21

d) – = 2

e) (x2 – 5) (x2 – 3) = –1

f) x4 – 13x2 + 36 = 0

g) 9x4 + 5x2 = 4

h) 4x4 – 65x2 + 16 = 0

i) (x2 – 16) (x2 + 25) = 0

j) x3 + 2x2 – 5x – 6 = 0

Las soluciones son:

a) 2x (x + 3) = 3 (x – 1) ⇔ 2x2 + 3x + 3 = 0

No tiene soluciones reales.

b) x + 1 = ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇒ x1 = 2; x2 = –3

c) (x + 2) (x – 2) = 2 (x + 5) + 21 ⇔⇔ x2 – 2x – 35 = 0 ⇒ x1 = 7; x2 = –5

d) – = 2 ⇔ x2 + 6x – 27 = 0 ⇒

⇒ x1 = 3; x2 = –9

e) (x2 – 5) (x2 – 3) = –1 ⇔ x4 – 8x2 + 16 = 0 ⇒⇒ x1 = 2; x2 = –2

f) x4 – 13x2 + 36 = 0 ⇒⇒ x1 = 2; x2 = –2; x3 = 3; x4 = –3

g) 9x4 + 5x2 = 4 ⇒ x1 = ; x2 = –

h) 4x 4 – 65x2 + 16 = 0 ⇒ x1 = +4; x2 = –4;

x3 = ; x4 = –

i) (x2 – 16) · (x2 + 25) = 0 ⇒ x2 – 16 = 0 ⇒⇒ x1 = 4; x2 = –4

j) x3 + 2x2 – 5x – 6 = 0 ⇒⇒ (x – 2) (x + 1) (x + 3) = 0 ⇒⇒ x1 = 2; x2 = –1; x3 = –3

Resuelve las siguientes cuestiones:a) Halla el valor de m en la ecuación x2 +

+ mx – 24 = 0 sabiendo que una de lasraíces es 8.

b) Las raíces de la ecuación x2 + ax + b = 0son 2 y –3. Halla a y b.

c) Halla b en en la ecuación 2x2 + bx ++ 50 = 0 para que las dos raíces de laecuación sean iguales.

d) Dada la ecuación x2 + 6x = 0, escribeuna ecuación de segundo grado quetenga como soluciones las solucionesdobles de las de la ecuación dada.

3

12

12

23

23

x3

9x

6x

x3

9x

6x

2

35

x3

25

13

2x – 16

x6

4x

8x

34

3x + 2x + 1

65

x – 16

x2

x + 16

x3

25

13

2x – 16

x6

4x

8x

34

3x + 2x + 1

x – 16

x2

x + 16

1

x yy zx z

xyz

+ =+ =+ =

⇒===

243228

101418

km de Abejar a Buitragokm de Buitrago a Cidoneskm de Abejar a Cidones

ABEJAR

BUITRAGO CIDONES

zx

y


a) Si una de las raíces es 8, esta verifica la ecuación;es decir, 82 + m · 8 – 24 = 0 ⇒ m = –5.

b) Si las raíces de la ecuación son 2 y –3, éstas debenverificar la ecuación, por lo tanto:

c) Las dos raíces son iguales si el valor del discrimi-nante es 0, es decir:

b2 – 4ac = 0 ⇒ b2 – 4 · 2 · 50 = 0 ⇒ b = ±20

d) La ecuación x2 + 6x = 0 tiene como solucionesx1 = 0 y x2 = –6. La ecuación que tenga comosoluciones dobles de las anteriores, 0 y –12, es:

x2 + 12x = 0

Descompón 200 en dos partes de formaque la cuarta parte de la primera menos laquinta parte de la segunda de 32.

Las dos partes son x e y; deben verificar:

Luego las dos partes son 160 y 40.

Encuentra un número de dos cifras sabien-do que éstas suman 11 y que si invertimosel orden de las cifras el número obtenidoexcede en 45 al número dado.

Llamando xy al número de dos cifras e imponiendolas condiciones del enunciado obtenemos:

Por tanto el número buscado es 38.

La edad actual de Luis es el triple de la desu hija María. Halla las edades de ambossabiendo que dentro de 16 años el padretendrá doble edad que la hija.

Llamando x a la edad de Luis e y a la edad de Ma-ría. Se debe cumplir:

Luis tiene 48 años y María tiene 16 años.

En un parking hay 37 vehículos entre co-ches, motos y camiones de 6 ruedas. El nú-mero de motos excede en 3 al de coches ycamiones juntos. Halla el número de ve-hículos de cada clase si en total suman 118ruedas.

Llamando x al nº de coches, y al de motos y z alde camiones. Se tiene que cumplir:

La diferencia de cuadrados de dos númerospares consecutivos es 100. ¿Cuáles sonesos números?

Sean los números pares consecutivos: (2x + 2) y(2x). Se debe cumplir:

(2x + 2)2 – (2x)2 = 100 ⇒ x = 12

Los números buscados son 26 y 24.

PÁGINA • 61


Elevando al cuadrado ambos miembros y operan-do obtenemos: x2 – 9 = 0.

Las soluciones de la ecuación son: x1 = 3; x2 = –3

Elevando al cuadrado ambos miembros y operando:

3x2 + x – 2 = 0 ⇒ x1 = –1; x2 =

La solución que verifica la ecuación dada es x = 23

23

b x x x) 2 5 3 2 1– + = –

a x) 2 5 2– =

a x

b x x x

c x x

d x x x

e x x

f x xx

)

)

)

)

)

)

2

2

2 2

5 2

5 3 2 1

9 21

3 3 3 3

2 1 2 4 3

3 6 33

– =

– + = –

+ + =

– + = +

– – – =

+ + + =+

9

8

x y z

y x z

x y z

x

y

z

+ + =

= + +

+ + =

⇒

=

=

37

3

4 2 6 118

12

20

5

coches

motos

= camiones

7

x y

x y

x

y

=

+ = ⋅ +

⇒=

=

3

16 2 16

48

16( )

6

x y

y x x y

x

y

+ =

+ − + =

⇒=

=

11

10 10 45

3

8( ) ( )

5

x y

x yx

y

+ =

− =

⇒

=

=

200

4 532

160

40

4

4 2 0

9 3 0

1

6

+ + =

− + =

⇒== −

a b

a b

a

b


Operando de forma análoga a los casos anterioresobtenemos:

Las soluciones que verifican la ecuación dada son:

x1 = 4; x2 = –4

Elevando al cuadrado ambos miembros y operan-do obtenemos:

4x2 – 21x – 18 = 0 ⇒ x1 = 6; x2 = –

La solución que verifica la ecuación dada es: x1 = 6

Elevando ambos miembros al cuadrado obtenemos:

Elevando, otra vez, ambos miembros al cuadradoobtenemos:

x =

Esta solución no verifica la ecuación dada, por tan-to la ecuación dada no tiene soluciones.

Elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos:

9x + 18 = 0 ⇒ x = –2

La ecuación dada tiene como solución: x = –2

El dividendo de una división es 1 081. Elcociente y el resto son iguales y el divisores doble del cociente. Halla el divisor.

Las condiciones del problema nos dan:

De donde: 1 081 = 2x2 + x ⇔ 2x2 + x – 1 081 = 0

Las soluciones son: x1 = 23; x2 = –23,5

El divisor de esta división es 46 o –47

Los dos catetos de un triángulo rectángu-lo difieren en 5 unidades y la hipotenusamide 25 cm. Calcula los catetos.

El triángulo tiene por catetos x, x – 5 y por hipote-nusa 25, por lo tanto:

x2 + (x – 5)2 = 252 ⇔ x2 – 5x – 300 = 0 ⇒⇒ x = 20 cm

Un cateto mide 20 cm y el otro 15 cm.

La suma de un número y su inverso es34/15; ¿cuánto vale el número?

Llamando x al número e imponiendo las condicionesdel enunciado obtenemos:

x + = ⇔ 15x2 – 34x + 15 = 0

Las soluciones son: x1 = ; x2 =

El número de días que tiene un año tienela propiedad de ser el único número quees suma de los cuadrados de tres númerosconsecutivos. Además es también sumade los cuadrados de los dos números con-secutivos a los anteriores. Demuéstralo.

(x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 365 ⇒ x = 11

Los números son: 10, 11, 12.

Los números consecutivos a éstos son: 13 y 14 y secumple 132 + 142 = 365.

Resuelve los siguientes sistemas:

a)

b)

c)

d)

e) f) x y

x y

+ =

= – 0

7

3⋅

x y

x y

2 2 2

3

– = 1

=+

x y

x y

2 2 1

8

+ = 60

– =

y x

x y

= +

− = −

2 3

5 3 2

( )

( )

xy

x y

− − =

− + = −

22

7

32

2 2 5( )

x y

y x

− = +

= +

32

13

4 3

14

13

35

53

3415

1x

12

11

1 081 2x

xx

10

e x xx

x x x x x x

) + + + =+

+ +

3 63

3

3 3 6 3 9 182= + + ⇔ + + = −( ) ( )

52

− = −1 2 4x

e x x

x x

) 2 1 2 4 3

2 1 3 2 4

– – – =

–

⇔⇔ = + −

34

d x x x x x) 3 3 3 3 2 3 3 3– + = + +⇔ − =

x x

x x x x

4 2

1 2 3 4

43 432 0

3 3 3 3 4 4

− + = ⇒⇒ = = − = = −; ; ;

c x x x x) 2 2 2 29 21 9 21+ + = +⇔ = −


Halla las dimensiones del rectángulo de60 cm2 de área y cuya base es 7 cm máslarga que su altura.

Llamando x a la longitud de la altura, la base tendrápor longitud (7 + x). Conocida el área se verifica:

x (7 + x) = 60 ⇒ x = 5 cm

El rectángulo mide 5 cm de altura y 12 cm de base.

Marta quiere hacer el marco de un espejocon un listón de madera de 2 m, sin quele sobre ni le falte nada. Sabiendo que elespejo es rectangular y que tiene una su-perficie de 24 dm2, ¿de qué longitud de-ben ser los trozos que ha de cortar?

El espejo será como el de la figura.

Llamando x a la longitud de la basee y a la de la altura e imponiendo lascondiciones del problema obtenemos:

Las sumas de las áreas de dos cuadradoses 3 250 m2 y su diferencia 800 m2. Cal-cula la medida de sus lados.

Llamando x al área de un cuadrado e y al área delotro obtenemos:

De donde el lado de un cuadrado mide 35 m y el delotro mide 45 m.

Dos albañiles hacen un trabajo en 3 ho-ras. Uno de ellos lo haría en sólo 4 horas.Calcula el tiempo que tardaría en hacerloel otro solo.

Llamando x al tiempo que tarda él solo en hacer eltrabajo obtenemos:

+ = ⇒ x = 12 horas tardaría el solo.

Los estudiantes de 1º de Bachillerato es-tán preparando una excursión. La Agen-cia de Viajes les da un presupuesto de1 620 euros. En el último momento dosestudiantes se ponen enfermos y al no po-der ir de excursión el resto ha de pagar4,8 más cada uno. ¿Cuántos estudianteshabía en el curso?

Llamando x al número de estudiantes del curso e yal dinero que han de pagar cada uno por la excursión,obtenemos:

En un multicine hay dos salas de proyec-ción, una grande en la cual las entradas va-len a 5 euros y otra pequeña en la cual elprecio de las entradas es igual al 75 % delprecio de las mismas en la otra sala. Un díaen que asistieron al multicine 280 perso-nas se recaudaron 1 287,5 euros. ¿Cuan-tas personas estuvieron en cada sala?

Llamando x al número de personas que asistieron ala sala grande e y al número de personas de la salapequeña; imponiendo las condiciones del enunciadoobtenemos:

PÁGINA • 62

Utilizando el método de Gauss, resuelve lossiguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)2 4

3 2

x y

x y

+ =

– = 1−

21

5 3 75 1 287 5

280

190

90

x y

x y

x

y

+ ⋅ =

+ =

=

=, ,

personas en la sala grande

personas en la sala pequeña

20

x y

x y

xy

⋅ =

− ⋅ + =

==

1 620

2 4 8 1 620

2760

( ) ( , )

estudiantes euros pagacada uno

19

13

1x

14

18

x yx y

x

y

+ =− =

⇒=

=

3 250800

2 025

1 225

2

2

m

m

17

2 2 2024

64

46

x yx y

xy

xy

+ =⋅ =

⇒==

==

cmcm

o biencmcm

x

y

16

15

a)

b)

c)

d)

x y

y x

x

y

xy

x y

x

y

y x

x y

x

y

x y

x y

x

− = +

= +

⇒

=

=

− − =

− + = −

⇒=

= −

= +

− = ⋅ −

⇒= −

=

+ =

− =

⇒

=

32

13

4 3

5

2

22

7

32

2 2 5

4

4

2 3

5 3 2

1

4

160

8

2 2

( )

( )

( )

−− = −

= =

− =

+ =

⇒

=

= −

+ =

⋅ = −

⇒= = −

= − =

4 12

12 4

21

3

5

2

7

30

10 3

3 10

2 2

;

;

;

;

y

x y

x y

x y

x

x

x y

x y

x y

x y

e)

f)


b)

c)

d)

e)

f)

g) h)

i)

La suma de las tres cifras de un númeroes 7. La cifra de las centenas es igual a lasuma de la de las decenas más el doble dela de las unidades. Si se permutan entre

sí las cifras de las centenas y la de las uni-dades el número disminuye en 297 uni-dades. Calcula dicho número.

Sea el número xyz.

De las condiciones del enunciado obtenemos el si-guiente sistema:

Resolviendo el sistema obtenemos: x = 4, y = 2, z = 1.El número buscado es: 421.

Un hombre le dijo a su hijo: Cuandotranscurra la tercera parte de los añosque yo tengo, tú tendrás la mitad de miedad actual. Sí, contestó el hijo, perohace sólo 4 años, tu edad era 11 vecesla mía. ¿Cuál es la edad actual del hijo?

Llamando x a la edad del padre e y a la edad delhijo obtenemos:

El padre tiene 48 años y el hijo 8 años.

Las tres cifras de un número suman 18. Sia ese número se le resta el que resulta de in-vertir el orden de sus cifras, se obtiene 594;la cifra de las decenas es media aritméticaentre las otras dos. Halla dicho número.

Sea el número xyz.

Imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos:

El número es 963.

Las edades de una familia formada por lospadres y una hija suman 86 años. Halla la

25

x y zx y z z y x

yx z

x y zx zx y z

xyz

+ + =+ + − + + =

= +

⇒

⇒+ + =− =− + =

⇒===

18100 10 100 10 594

2

186

2 0

963

( ) ( )

24

yx x

x y

x yx y

xy

+ =

– = 11 ( – )

+ =– 1 = – 0

==

3 24 4

6 01 4

488

⇒

−

⇒

23

x y zx y z

x y z z y x

+ + =– – =

+ + + + =

72 0

100 10 100 10 297⇒

( ) – ( )

x y zx y zxyz zyx

+ + == +

– =

72

297

⇒

22

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

x y

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x t y t

x y z

= =

= = − =

= − = =

= = − =

= = =

= − = = −

= − = −

= = =

1 2

1 2 2

1 2 3

1 2 3

16 2 4

1 1 2

1 7 2

1 1 2

;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

; ;

Sistema incompatible. No tiene solución.

Sistema indeterminado.Infinitas soluciones.

x y z

x y z

x y z

– + =

– + =

+ – =

2 3 5

2 3

3 2 0

x y t

x t

x y t

+ + =

– = –

6

1

3 2 11+ + =

x y

y z

x z

– =

– = 1

1

3− =

3 3

6

x y z

x y z

x y z

+ 4 – =

– 6 + 2 = –16

– + 2 = –6

x y z

x y z

x y z

+ 4 – = –

+ 8 – = 6

– – 4 = 10

8 8

4 7

8 1

x y z

x y z

x y z

+ =

+ 3 + 5 = 1

– 5 + 6 = 9

+ 2

2 1

2

x y z

x z

x y

+ 3 – = –1

+ =

+ 5 = 8

2

2

2

x y z

x y z

x y z

– =

+ + = 0

+ – 4 = –9

+ 2 7

2 5 1


edad de cada uno de ellos sabiendo que laedad de la madre es triple de la edad dela hija, y las edades del padre y de la hijadifieren en 26 años.

Llamamos x a la edad del padre, y a la edad de lamadre y z a la edad de la hija. Obtenemos:

El padre tiene 38 años, la madre 36 años y la hija 12años.

Un país importa 22 400 vehículos entremotos, coches y todoterrenos, al precio de4 800, 9 000 y 9 500 euros, respectiva-mente. Si el total de los vehículos impor-tados cuesta 168,65 millones de euros,¿cuántos vehículos de cada tipo importaeste país si de coches importa el 60 % dela suma de motos y todoterrenos?

Llamamos x al número de motos que importa este país,y al de coches y z al de todoterrenos. Obtenemos:

El país importa 8 500 motos, 8 400 coches y 5 500todoterrenos.

En un centro hay dos equipos de fútbol Ay B. Si del equipo A pasan tres personasal B en ambos queda el mismo número.En cambio, si del B pasan 7 al A queda enéste un número que es el cuadrado de losde aquél. ¿Cuántos deportistas hay encada equipo?

Llamamos x al número de jugadores del equipo A ey al del equipo B.

La única solución válida con el enunciado es que en elequipo A hay 18 deportistas y en el B hay 12.

PÁGINA • 63

En un número de seis cifras, la cifra de suizquierda es 1. Si se lleva esta cifra al pri-mer lugar de la derecha, el número obte-nido es triple del primitivo. Calcula el nú-mero primitivo.

Por ensayo y error dirigido obtenemos que el númeroes 142 857. También se puede hacer por ecuaciones:

Número = 100 000 + x ⇒ 3 (100 000 + x) =

= x · 10 + 1 ⇒ x = 42 857 ⇒ Número = 142 857

En un trabajo actúan tres mecanógrafas ylo terminan en cuatro días. Si trabajasesolamente la primera, lo terminaría en 12días; si trabajase solamente la segunda, loterminaría en 10 días. ¿En cuánto tiempolo terminaría la tercera actuando sola?

Llamamos x al tiempo que invertiría la tercera ellasola. Obtenemos:

+ + = ⇒ x = 15 días tarda la 3ª

Dos capitales se diferencian en 567 eu-ros. Se sabe que si se colocan a interéssimple al mismo tanto por ciento, el pri-mero durante 4 meses y el segundo du-rante 13 meses, ambos producen el mis-mo interés. Determina dichos capitales.

Llamando x e y a los capitales, obtenemos:

Los capitales pedidos son de 819 euros y 252 euros.

Invirtiendo mil euros en acciones de tipoA y dos mil en acciones de tipo B, obten-dríamos unos intereses totales (anuales)de 1 680 euros, y si invertimos dos mil enA y mil en B, obtenemos 1 560 euros.¿Cuáles serían los intereses si se invirtie-ran 3 000 euros en A y 5 000 euros en B?

Llamando x al interés que produce cada acción tipoA e y al que produce cada acción tipo B, obtenemos:

Por tanto 3 000 euros en tipo A y 5 000 en B pro-ducen 4 440 euros.

1 000 2 000 1 680

2 000 1 000 1 560

0 48

0 6

x y

x y

x

y

+ =

+ =

⇒=

=

,

,

euros

euros

31

x y

x r y rx y

x y

x

y

− =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒− =

− =

⇒=

=

567

41 200

131 200

567

4 13 0

819

252=

30

14

1x

110

112

29

28

x y

x y

x y

x y

− = +

+ = −

⇒

= =

= =

3 3

7 7

18 12

9 32( )

;

;

27

x y z

x y z

y x z

x

y

z

+ + =

+ + = ⋅

= +

⇒

⇒

=

=

=

22 400

4 800 9 000 9 500 168 65 10

60100

8 500

8 400

5 500

6,

( )

26

x y zy zx z

xyz

+ + ==− =

⇒===

863

26

383612


Disponemos de fotos para pegar en lashojas de un álbum. Si pego 4 fotos encada hoja, me sobran 2 hojas y si pego 3fotos en cada hoja, me sobran 10 fotos.¿Cuántas fotos tenemos y cuántas hojastiene el álbum?

Llamamos x al número de hojas del álbum e y alnúmero total de fotos. Obtenemos:

El álbum tiene 18 hojas y disponemos de 64 fotos.

Una empresa recoge papel usado para re-ciclar, que clasifica en tres tipos: bueno,medio y bajo. Ha realizado tres pruebascon diferentes mezclas: en la primera hanobtenido 4 kg, habiéndose utilizado 2, 3y 1 kilogramo de cada tipo, respectiva-mente; en la segunda, con 1, 2 y 3 kg seproduce un total de 5 kg; y en la tercera3 kg con 3, 1 y 2 kg. ¿Cuál es el rendi-miento de cada tipo de papel?

Llamando x al rendimiento que produce el tipo bueno,y al del tipo medio y z al del tipo bajo, obtenemos:

Un grupo de personas se reúne para ir deexcursión, juntándose un total de 20 en-tre hombres, mujeres y niños. Contandohombres y mujeres juntas, su número re-sulta ser el triple del número de niños.

Además, si hubiera acudido una mujermás, su número igualaría al de hombres.Averigua cuántos hombres, mujeres y ni-ños han ido de excursión.

Llamando h al número de hombres, m al de muje-res y n al de niños, obtenemos:

En total fueron de excursión 8 hombres, 7 mujeres y5 niños.

Un ganadero tiene vacas que comen lamisma cantidad de pienso cada día. Ob-serva que si vende 15 vacas el pienso ledura 3 días más, y en cambio si compra25 vacas el pienso le dura 3 días menos.¿Cuantas vacas tiene este ganadero?

Llamamos v al número de vacas que tiene el gana-dero y t al tiempo en días que le dura el pienso parasus vacas. Obtenemos:

El ganadero tiene 75 vacas.

En cierto colegio, al principio de curso, larelación del número de alumnas al dealumnos era de 8/7. Al finalizar el curso,habían causado baja, por diversas causas,40 chicas y el 4 % de los chicos, y la re-lación era de 15/14. ¿Cuántos alumnosde cada sexo acabaron el curso?

Llamamos x al número de alumnas que había alprincipio en el curso e y al número de alumnos. Ob-tenemos:

Finalizan el curso 360 chicas y 336 chicos.

En una confitería envasan los bombonesen cajas de 250 g, 500 g y 1 kg. Ciertodía envasaron 60 cajas en total, habiendo5 cajas más de tamaño pequeño (250 g)que de tamaño mediano (500 g). Sabien-do que el precio del kilo de bombones son24 euros y que el importe total de losbombones envasados asciende a 750 eu-ros, determina cuántas cajas se han enva-sado de cada tipo.

Llamamos x al número de cajas de 250 g, y al de500 g y z al de 1 000 g. Obtenemos:

Se han envasado 25 cajas pequeñas, 20 medianas y15 cajas grandes.

x y z

x y

x y z

x

y

z

+ + =

= +

+ + ⋅ =

⇒

=

=

=

60

5

0 25 0 5 24 750

25

20

15( , , )

37

xy

xy

x

y

=

−⋅

=

⇒=

=

87

400 96

1514

400

350,

alumnas

alumnos

36

v t v t

v t v t

v

t

⋅ = − ⋅ +

⋅ = + ⋅ −

⇒=

=

( ) ( )

( ) ( )

15 3

25 3

75

12

vacas

días

35

h m n

h m n

m h

h

m

n

+ + =

+ =

+ =

⇒

=

=

=

20

3

1

8

7

5

34

2 3 4

2 3 5

3 2 5

79

49

109

x y z

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + =

+ + =

⇒ = = =; ;

33

4 2

3 10

18

64

⋅ − =

⋅ = −

⇒=

=

( )x y

x y

x

y

32


PÁGINA • 65


1. VENDIMIADORES. Una cuadrilla de vendi-miadores tenía que vendimiar dos fincas,una de doble superficie que la otra. Toda lacuadrilla estuvo vendimiando en la fincagrande durante medio día. Por la tarde lamitad de la cuadrilla vendimió en la fincapequeña y la otra mitad en la grande. Al fi-nalizar el día sólo les quedó un poco de ven-dimiar en la finca pequeña, para lo cual fuenecesario que vendimiara un solo vendi-miador el día siguiente. ¿Cuántos personascomponían la cuadrilla?

Podemos resolver este problema por medio de ecua-ciones pero este camino es muy complicado. Intente-mos representar la situación:

Las condiciones del problema nos muestran que sitoda la cuadrilla trabajó durante la mitad del día en lafinca grande y sólo la mitad de la cuadrilla el otro me-dio día. Entonces la mitad de la cuadrilla vendimió latercera parte de la finca grande en medio día, es decir,x/3. Luego en la finca pequeña durante medio día ven-dimiaron el equivalente a la grande, es decir, x/3 = 2x/6,luego quedó sin vendimiar x/6 de la finca pequeña quela vendimió 1 trabajador al día siguiente.

Si un trabajador vendimia x/6 en un día y se vendimia-ron el campo grande 3x/3 más el pequeño (3x/6 – x/6) to-dos los trabajadores en 1 día, entonces el primer díase hicieron:

es decir, en la cuadrilla había 8 vendimiadores.

2. PRIMOS. Supongamos que X es cualquiernúmero primo mayor que 3. Demostrar queX 2 da de resto 1 cuando se divide por 12.

3. TINTA DE IMPRENTA. Para numerar las pá-ginas de un libro grande hacen falta 2 989dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

Hacemos el siguiente diagrama:

* 2 889 + 100 = 2 989

En total hacen falta: 2 889 + 100 = 2 989 dígitos

100 dígitos son 25 páginas ⇒ hacen falta 999 == 25 = 1 024 páginas.

El libro tiene 1 024 páginas.

4. TRES NAIPES. Tres naipes de una barajaestán colocados boca arriba en una fila ho-rizontal. A la derecha del rey hay una o dosdamas. A la izquierda de una dama hay unao dos damas. A la izquierda de un corazónhay una o dos picas. A la derecha de unapica hay una o dos picas. ¿Puedes decir dequé cartas se trata?

Por medio de ensayo y error dirigido se obtiene:

— Con la información referida a los Reyes (R) y lasDamas (D) llegamos a que puede ser: RDD o DRD.

— Con la información referida a los Corazones (C) ylas Picas (P) llegamos a que puede ser: PCP o PPC.

Juntando los resultados obtenidos llegamos a que lasolución es:

Rey de Picas - Dama de Picas - Dama de Corazones

Páginasnumeradas

- - - 99 -1 025

DígitosusadosTotaldígitos

1 9 10 99 100 9 1 000

9 180 2 700 100

9 180 9 180 9 2 7002 889

2 889 100+ + + ==

+

Hay que ver que

Al ser primo

yoyo

o

X

X X X

X

X X

X X

X

X

2

21 12

1 1 1

3

1 3 1 4

1 4 1 3

1 12

1 12

− =− = − +

> ⇒

− = + =

− = + =

− =

+ =

⋅

⋅

⋅

.

( ) ( ).

˙ ˙

˙ ˙

33

36

36

66

26

86

86

x x x x x x x+ −

= + = = ⋅

Finca grande Finca pequeña

3 3 3 3 3 3

Superficie finca grande

Superficie finca pequeña

día

toda la cuadrilla

día

mediacuadrilla

día media cuadrilla Sin segar

x x xx x x

x

x

2 2 2

2

12

12

12

1 2444 3444 124 34 1 2444 3444 1 24 34

=

=


En cualquier casoX2 – 1 = 1·2.


1. Reconocer y diferenciar los conceptos de desigualdad e inecuación.

2. Diferenciar las inecuaciones y sistemas de primero y segundo grado de otros.

3. Resolver con corrección inecuaciones de primero y segundo grado y sistemas de inecuaciones deprimer grado.

4. Utilizar los diferentes métodos de resolución de inecuaciones y sistemas.

5. Aplicar el lenguaje simbólico y algebraico a la resolución de problemas afectados de desigualdades.

• Pueden ponerse en práctica algunas estrategias de resolución de problemas, sobre todo la corres-pondiente a la elección de un lenguaje adecuado.

• Debe buscarse entre las experiencias del alumno sus conocimientos en el ámbito que nos ocupa.

• Reforzaremos el razonamiento inductivo a través de situaciones concretas.




PÁGINA • 67


1. Dos segmentos miden 10 y 15 cm, respec-tivamente. ¿Qué dimensiones puede tenerun tercer segmento para que forme trián-gulo con los anteriores?

La medida del tercer segmento debe estar entre 5 y25 cm.

2. La desigualdad 25 > 15 es verdadera. Es-tudia si son verdaderas las desigualdadessiguientes:

a) 25 + 5 > 15 + 5 b) 25 – 6 > 15 – 6

c) 25 · 4 > 15 · 4 d) 25/5 > 15/5

e) 25 (–3) > 15 (–3) f ) 25/(–5) > 15/(–5)

Son verdaderas las desigualdades a), b), c) y d).

Son falsas las desigualdades e) y f).

3. Comprueba si los valores que se indicanson soluciones de las inecuaciones corres-pondientes:

a) x = 3, x = 4, x = 5 de x2 + 3x > 30

b) x = –2, x = 6 de x + 2 < 8 – x

c) x = 0, x = 2 de > 1

d) x = 0, x = 1 de >

a) Los valores x = 3 y x = 4 no son soluciones dela inecuación dada. Sin embargo, x = 5 sí lo es.

b) El valor x = –2 es solución de la inecuación daday x = 6 no lo es.

c) El valor x = 0 no es solución de la inecuación yx = 5 sí lo es.

d) Los valores x = 0, x = 1 no son soluciones de lainecuación.

12

2x + 1x – 2

2x + 3x – 1


CONCEPTOS

1. Inecuaciones de primer grado. Re-solución.1.1. Resolución.

2. Sistemas de inecuaciones de pri-mer grado con una incógnita. Re-solución.

3. Inecuaciones de segundo grado.

4. Inecuaciones racionales.

5. Inecuaciones de primer grado condos incógnitas. Resolución.5.1. Resolución.

6. Sistemas de inecuaciones de pri-mer grado con dos incógnitas.

7. Resolución de problemas con ine-cuaciones.

– Curiosidad e interés por en-frentarse a problemas quecomportan el uso del len-guaje algebraico.

– Gusto por la presentaciónordenada de los procedi-mientos y resultados obteni-dos en la resolución de ine-cuaciones y sistemas deinecuaciones.

– Perseverancia y flexibilidaden la búsqueda de solucio-nes a las actividades pro-puestas con desigualdades.


• Uso correcto del lenguajealgebraico en el trabajo condesigualdades.

• Revisión de las técnicas deresolución de inecuacionesde primero y segundo grado.

• Utilización de los métodosgráficos en la resolución deinecuaciones y sistemas deinecuaciones.

• Uso del lenguaje algebrai-co para representar, co-municar o resolver situa-ciones con desigualdadesen los ámbitos cotidiano ycientífico.



4. Un vehículo se desplaza en línea recta conuna velocidad superior a 75 m/s e inferiora 110 m/s. ¿Entre qué distancias se en-cuentra el móvil al cabo de dos horas?

Entre 540 km y 792 km.

PÁGINA • 69


1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x + 3 > –x – 1

b) 2 (3 – x) < 7 – 5 (x – 1)

c) – ≤ – 1

d) + <

e) – ≥ +

f) – + < –

a) x + 3 > –x – 1 ⇒ 2x > –4 ⇒ x > –2 ⇒⇒ Solución (–2, +∞)

b) 2(3 – x) < 7 – 5 (x – 1) ⇒ x < 2 ⇒ Solu-ción (–∞, 2)

c) – ≤ – 1 ⇒ x ≤ – ⇒ Solu-

ción

d) + < ⇒ x < ⇒ Solu-

ción

e) – ≥ + ⇒ 5x +4 ≥ 5x + 4

⇒ Solución �

f) – + < – ⇒ x <

⇒ Solución

2. Asocia a cada inecuación su conjunto de so-luciones correspondiente:

1) ≤ 2x – 17 a) (–9, +∞)

2) 3x – 7 > x – 1 b) (–∞, 6]

3) < x + 3 c)

4) 2 (x – 3) ≤ x d) x > 3

Resolviendo las inecuaciones obtenemos:

1 con c); 2 con d); 3 con a); 4 con b)

PÁGINA • 71

1. Asocia, de forma razonada, las siguientes so-luciones con sus sistemas correspondientes:

La solución es:

a) con iii); b) con ii); c) con i)

2. Resuelve cada uno de los siguientes siste-mas de inecuaciones:

a) x xx x

b) x xx x

c) x x

x x

d) xx

x xx

e) xx

x x x

4 7 22 3

5 1 2 102 3 17

3 58

249

5

5 3 113

12

3 24

2

3 52

12

13 5

− < ++ ≥

+ > ++ < +

+ <

− <

− ≤ −

+ − − > −

+ <

+ + − >

( )

( )

xxx

− + <

13

1

a) x x

xx

i)

b) xx

x x

ii)

c) xx

x

iii)

2 3 4 5

1 7 24

3

36 6

2 1

2 0

2 60

1

1 2

− < −

+ > −

+ ∞

− <+ ≤

+ ≥

−

− < −≥

− <

( , )

( )

[ , ]

( , )

94x – 6

7

x + 110

−∞

,257220

257220

2x35

925

x15

1321

5x7

13

5x12

x4

2x + 13

−∞

,6

13

613

–x + 25

x6

x2

−∞ −

,54

54

2x3

13

6x5

2x35

925

x15

1321

5x7

13

5x12

x4

2x + 13

–x + 25

x6

x2

2x3

13

6x5


PÁGINA • 73


a) –2x2 + 12x + 18 < 0

b) 3x2 – 12x + 15 ≥ 0

c) x2 + 16 < 0

d) x3 – 11x2 + 10x ≤ 0

e) x2 – 12x2 + 32x > 0

f) x3 – 1 ≥ 0

g) < 0 h) – 1 ≥ 0

i) ≤ 0 j) > 0

k) + 2 < 0 l) ≥ 0

PÁGINA • 74

1. Estudia en cada una de las siguientes ine-cuaciones si los puntos que se dan son o nosoluciones de la misma:

a) 3x – 2y > 5;

A(1, 2), B(–1, 2), C(–2, 1) y M(0, 0)

b) 4x + 3y ≤ –2;

D( , 1), E(– , –1), F(– , 0) y G(– , )Son soluciones de las inecuaciones:

a) Ninguno de estos puntos.

b) Los puntos E, F y G.

13

34

12

12

14

a) x x x x

b) x x x x

c) x

d) x x x

e) x x x

− + + < ⇒ − − >= −∞ −( ) + + ∞( )

− + ≥ ⇒ − + >=

+ < ⇒ = ∅

− + ≤ ⇒= ∞

− + >

2 12 18 0 6 9 0

3 3 2 3 3 2

3 12 15 0 4 5 0

16 0

11 10 00 1 10

12 32 0

2 2

2 2

2

3 2

2 2

Solución

Solución

Solución

Solución

, ,

(– , ] [ , ]

�

�

�

⇒⇒ =

− ≥ ⇒ = + ∞

+< ⇒ = −∞ −

− ≥ ⇒ =

+−

≤ ⇒ =

+ > ⇒ = ∞ + ∞

+−

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

03211

1 0 1

32 8

0 4

11 0 0 1

52 5

0 5 5

65

0 6 0

11

3

2

,

[ , )

( , )

( , ]

( )[– , )

(– , – ) ( , )

f) x

g)x

h)x

i)xx

j)x x

k)xx

�

++ < ⇒ −−

< ⇒

=

+−

≥ ⇒ = + ∞

2 03 1

10

13

1

34

0 3

xx

l)x

Solución

Solución

,

[– , )

x + 3–4

x + 1x – 1

x2 + 6x5

x + 52 (x – 5)

1x

32x + 8

a) x

x

b) x

x

c) x

x

d) x

x

e) x

x

x

f) x

x

x

<≥

⇒

><

⇒

<<

⇒ ∞

≤

>

⇒

< −

> −

>

⇒ ∅

≥ −<

< −

3

11 3

3

143 14

15

901

720

072

2

519

1

2

6

–[

(

(

,

Solución – , )

Solución , )

Solución – , 5)

Solución

Solución

113

2x ≥

⇒ ∅Solución

f) xx

x xx

≥ −

+ <

− > +

≤ +

2 4

62 3

5 2 6

8 72



a) x – 2y < 0 b) 5x – 2y ≥ 3

c) –2x – y > 2 d) x + y ≥ –2

e) 2x – y < 4 f) 2x + 3y < 6

Las soluciones son las regiones rayadas.

a) x – 2y < 0

b) 5x – 2y ≥ 3

c) –2x – y > 2

d) x + y ≥ –2

e) 2x – y < 4

f) 2x + 3y < 6

En los apartados b) y d) la solución incluye a la recta.

PÁGINA • 78


Comprueba si los valores x = –2, x = –1,x = 0, x = 1 y x = 2 son soluciones de lasinecuaciones siguientes:

1

Y

XO3

2

Y

XO 2 3

2

Y

XO

–2

–2

Y

XO

–2

–1

1

Y

XO–1

–2

1

2

Y

XO 4

2

1



a) 3 – x < 2 + 5x b) 1 + x > 2 – 3x

c) x2 – 2x + 8 < 0 d) ≤ 2

e) > 3 f ) >

g) x (x + 4) < 2x2 h) (x + 2)2 > 9

i ) > 1

Las soluciones pueden verse en la tabla que sigue:

Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 2 (3x – 3) > 6

b) 3 (3 – 2x) < 2 (3 + x)

c) 2 (x + 3) + 3 (x – 1) > 2 (x + 2)

d) – < – 3x

e) 2 (3 + x) >

f) – 3x ≥ + 4

¿Qué porcentaje mínimo de descuento seha aplicado a un artículo de 60 euros siahora cuesta menos de 40 euros?

· 60 = 40 ⇒ x = 66,7 %

Luego el porcentaje mínimo aplicado es del100 % – 66,7 % = 33,3 %

Resuelve los siguientes sistemas de inecua-ciones:

a)x x

x x

x

x

x

x

x

b)x

xx

x

x x

x

x

1 2 3

3 2 5

2 1

4 1

1214

14

12

15

3

4 25

145

5 4 2

14547

− < −+ < +

⇔<

− < −

⇔<

>

⇒ ∈

+ <

< −

⇔<

< −

⇔

<

>

Las soluciones son los valores : ,

⇒ ∈ −∞

− > −+ ≤ −

⇔>≤ −

⇔>≤ −

⇒

Las soluciones son los valores :

El sistema no tiene solución.

x

c)x x

x x

x

x

x

x

,47

5 7 5

3 1 1

6 12

2 2

2

1

a)x xx x

b)x

xx

c)x xx x

d)

x x

x x

e)

x xx

x xx

f)

x

1 2 33 2 5

15

3

4 25

5 7 53 1 1

3 58

249

5

13

32

4 24

13

− < −+ < +

+ <

< −

− > −+ ≤ −

+ >

− >

− − + ≤

− − − ≥

55 72

3 56

− <

− > −

x

x x

4

x100

3

+ > + ⇔ + > + ⇔

⇔ + > + ⇔ > − ⇔⇔ > −

+ − ≥ − + ⇔ + − ≥

≥ −

2 38

36 2

83

18 6 8 5 102

12

31 5

34 3 3 18

2 10

xx

xx

x x xx

xx

xx x

x

( )e)

f)

++ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ −24 5 23235

x x

a)

b)

c)

d)

2 3 3 6 6 6 6 6 122

3 3 2 3 3 9 6 6 2

8 338

2 3 3 1 2 2 2 6 3

3 2 4 3 113

3 35

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x xx

x x x x

x x

x x x x x

x x x

x

− > ⇔ − > ⇔ >⇔ >

− < + ⇔ − < + ⇔

⇔ − < − ⇔ >

+ + − > + ⇔ + + −

− > + ⇔ > ⇔ >

− −− + < − ⇔ − −

− − < − ⇔ < ⇔⇔ <

4 82 4

3 12 12

40 80 5 60 27 923 41

x xx x

x x x xx ,

1 – 5x3

x + 12

8 + x3

x4

4x + 82

3x – 35

2

Inecuación

no no no sí sí

no no no sí sí

no no no no no

sí sí sí no no

no no no no no

no no no no sí

sí sí no no no

no no no no sí

no no no no sí

x x x x x= − = − = = =2 1 0 1 2

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

(x – 1)2 – 63 – 2x

23

2x + 1x + 5

x – 1x + 3

2x + 3x – 1

Juan tiene la costumbre de subir la escale-ra de su casa saltando los escalones de 2 en2 y la baja con saltos de 3 en 3. No recuer-da con exactitud cuántos saltos da entre lasubida y la bajada: entre 45 y 50. ¿Cuántosescalones tiene la escalera de su casa?

Llamando x al número de escalones, tenemos:

El número de escalones está comprendido entre 54y 60.

En un concurso organizado en el aula, unade las pruebas consiste en tirar una mone-da 20 veces. Si sale cara al jugador se leasignan 10 000 puntos y si sale cruz,6 000. ¿Cuántas caras y cruces han podi-do salir si se sabe que ha ganado menos de176 000 puntos?

Llamando x al número de caras y (20 – x) al nú-mero de cruces obtenemos:

10 000 · x + 6 000 · (20 – x) < 176 000

x < 14

El máximo número de caras conseguido es de 14.

Un vendedor recibe una cantidad fija al mesde 600 euros, además de un 5 % de lasventas que realice. ¿Qué cantidad debevender para tener un sueldo mensual com-prendido entre 1 200 y 1 500 euros?

Llamando x a la cantidad que debe vender se cumple:

1 200 < 600 + 0,05 · x < 1 500

12 000 < x < 18 000

Debe vender una cantidad entre 12 000 y 18 000euros.


a) –x2 + 3x + 10 ≤ 0 ⇒ x2 – 3x – 10 ≥ 0La solución es (–∞, –2] � [5, +∞)

b) 9x2 – 6x + 1 > 0 ⇒ (3x – 1)2 > 0

La solución es � –

c) (x + 1)2 – 8x + 4 ≥ 0 ⇒ x2 – 6x + 5 ≥ 0La solución es (–∞, 1] � [5, +∞)

d) ⇒ x + 12 < 0

La solución es (–∞, –12)


a)x

33

0 2−

> +∞( ). ,Las solución es:

a)x

b)x

x

c)x

d)x

x

32

0 33

0

102

0 6 23

0

−> −

+≤

−−

< −+

≥

9

( )x x x− + + < −13

11 215

13

2 2

13

a) x x

b) x x

c) x x

d)x x x

− + + ≤

− + >

+ − + ≥

− + + < −

2

2

2

2 2

3 10 0

9 6 1 0

1 8 4 0

13

11 215

13

( )

( )

8

7

6

452 3

50 4556

50

96

10 54 60

< + < ⇔ < < ⇔

⇔ < < ⇔ < <

x x x

xx

5

+ >

− >

⇔+ >− >

⇔

>

d)

x x

x x

x x

x x

x

3 58

249

5

5 3 120

9 8 90

8 120

xx

x

x x

e)

x xx

x xx

x x x

x x x

x

x

x

x

>

⇔>>

⇒∈ +∞( )

− − + ≤

− − − ≥

⇔− − − ≤− − + ≥

⇔− ≤− ≥

⇔≥ −

≤ −

90

15

90 90

13

32

4 24

13

2 2 3 9 6

12 6 4 4 12

7 11

4 2

117

12

Las soluciones son

,

⇒

⇒ ∈ − −

− <

− > −

⇔− <− > −

⇔

⇔<> −

⇔<> −

⇒

⇒ ∈ − [ ]

Las soluciones son los

Las soluciones son los

x

f)

x x

x x

x x

x x

x

x

x

x

x

117

12

5 72

3 56

7 5 70

5 3 90

2 70

2 90

35

45

45 35

,

,


PÁGINA • 79

Deseamos constuir un cuadro metálico deforma cuadrada. El interior del cuadradoes de acero que vale a 150 euros el metrocuadrado y el marco de cobre cuesta30 euros el metro. ¿Qué longitud tendrácomo máximo el lado del cuadrado si nodisponemos de más de 620 euros?

Llamando x al lado del cuadrado obtenemos:

150 · x2 + 30 · 4x ≤ 620

Las soluciones son los valores de x que estén en el in-tervalo (–2,47 ; 1,67). Luego la longitud máxima delcuadro es de 1,67 metros.

Escribe los sistemas de inecuaciones querepresentan las regiones rayadas si-guientes:

Un alumno dispone de 30 euros y entraen una tienda de música. Quiere comprarcintas de casete y discos compactos. Cada

cinta vale 8 euros y cada disco, 10 euros.¿Cuántos discos y cintas puede comprar?

Llamando x al número de cintas que puede comprare y al número de discos compactos, obtenemos quepodrá comprar las parejas (x, y) de números enterosque verifiquen:

Las soluciones son:

(0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0)

(0, 1) (0, 2) (0, 3)

(1, 1) (1, 2)

(2, 1)

Es conocido que cada lado de un triángu-lo es menor que la suma de los otros dosy mayor que su diferencia. Si en un trián-gulos dos de sus lados miden 2 y 10 cm,¿qué se puede decir del tercero?

El lado del triángulo buscado debe verificar:

8 < l < 12

Es decir, el lado debe estar entre 8 y 12 cm.

Representa en el plano los puntos quecumplen las siguientes condiciones:

Y

XO–1

–1

a)

x – y = 0 x + y + 1 = 0

a)x yyx y

b)yyx y

c)

x yy xxy

d)x y

x yx y

− >>+ + >

≤≥ −<

+ ≤>>>

− + − ≤− + ≥+ + ≤

00

1 0

21

2 12

00

1 01 01 0

14

13

Y

XO

3

3

8 10 30

0

0

4 5 15

0

0

⋅ + ≤

>

>

⇒

+ ≤

>

>

x y

x

y

x y

x

y

12

a)x

xb)

x

x

y

y

c)x

yd)

y

y

x y

> −

<

>

<

> −

< −

< −

>

> −

< −

+ <

1

3

0

3

3

1

1

1

3

1

2 2

ya)

x3–1

b) y

x3

–3

–1

c) y

x–1

1

d) y

x2

–3

–1

o

o

o

o

11

10

b)x

x

c)x

d)x

x

33

0 3 3

102

0 2

6 23

0 3 3

−+

≤ −∞ −( ) +∞[ )−

−< +∞( )

−+

≥ −( ]

. , ,

. ,

. ,

Las solución es:

Las solución es:

Las solución es:

�


Un quiosco vende bolígrafos a 0,2 eurosy cuadernos a 0,6 euros. Llevamos 2 eu-ros y pretendemos comprar los mismoscuadernos que bolígrafos por lo menos.¿Cuál será el máximo número de piezasque podemos comprar?

Sean x e y el número de bolígrafos y cuadernos, res-pectivamente, que podemos comprar. Se debe cumplir:

Las soluciones son el conjun-to de pares enteros dentrodel recinto rayado. Es decir:

(0, 1) (0, 2) (0, 3) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 2)

Halla el área de la parte del plano quecumple las condiciones:

y > x, x > –5, –2 < y < 2

El área del recinto es de 18 unidades cuadradas.

Resuelve gráficamente los sistemas deinecuaciones siguientes:

Las soluciones pueden verse en los gráficos que siguen:

La solución es la zona rayada y las semirectas másmarcadas.

c) Este sistema no posee soluciones.

Y

XO

2

–1

b) 2x – y + 2 = 0

y – x = 0

y + x = 0

Y

XO

3

–2

a)

x – 3y + 2 = 0

x + 4y – 12 = 0

2x + y – 3 = 0

a)x y

x yx y

b)x yx y

x y

c)x

yx y

− + <+ − >

+ − <

≥+ ≥− + ≥

− < <>+ − <

3 2 02 3 0

4 12 00

2 2 0

2 24

1 0

17

Y

XO

–2

2 y = 2

y = –2

y = x

–5

x = –5

16

Y

XO

x = y

x + 3y = 10

x

y

x y

x y

x

y

x y

x y

>

>

≤

+ ≤

⇒

>

>

− ≤

+ ≤

0

0

0 2 0 6 2

0

0

0

3 10, ,

15

Y

XO

d)

–x + y – 1 = 0

x + y + 1 = 0

–1

–1

Y

XO

6

c)

y = xx + 2y = 12

Y

XO

–1

2

b)

y = 2

y = –1

x – y = 0


En un campeonato de mus, cada partida ga-nada vale 2 puntos y cada partida perdida,1 punto; además, no puede haber empates.A una pareja le faltan diez partidas por dis-putar. Para conseguir dicho campeonatotendrán que lograr un mínimo de 16 pun-tos. ¿Cuántas partidas han de ganar?

Llamamos x al número de partidas ganadas; se debecumplir:

2 · x + (10 – x) · 1 ≥ 16 ⇒ x ≥ 6

Por tanto ha de ganar más de 5 de las 10 partidas.

Mezclamos azúcar de 2 euros/kg con otrade 3 euros/kg, y queremos obtener unamezcla de calidad intermedia cuyo preciono sobrepase las 2,6 euros/kg. Para con-seguir 60 kg de esta calidad intermedia,¿qué condiciones deberán cumplir los pe-sos de las dos clases mezcladas?

Se debe cumplir:

2 · x + 3 · (60 – x) ≤ 2,6 · 60 ⇒ x ≥ 24

Por tanto deben mezclarse 24 o más kilos de 2 eu-ros/kg con 36 o menos kilos de 3 euros/kg.

Escribe un sistema de inecuaciones cuyassoluciones sea el conjunto de puntos seña-lado sobre la recta o los intervalos dados.

a)

b)

c) (–�, 1] d) [–3, –1] � (2, 5]

Un ejemplo de estos sistemas puede ser:

PÁGINA • 81


1. RELACIONES FAMILIARES. Por ahí vienennuestros padres, padres de nuestros hijos,

maridos de nuestras madres y nuestros pro-pios maridos. ¿Es esto cierto?

Sí puede ser cierto; se trata de dos padres que se hancasado cada uno con la hija del otro.

2. ANIMADO BAILE. Cuarenta y dos personastoman parte en un baile. Durante la veladauna dama bailó con siete caballeros; una se-gunda, con ocho; una tercera, con nueve; yasí sucesivamente, hasta la última, que bai-ló con todos los caballeros. ¿Cuántas da-mas había en aquel baile?

a1 = 7

a2 = 8

........................................

an = 7 + (n – 1) · 1 = n + 6

Además sabemos que an + n = 42 ⇒ n = 18 damas.

an = 42 – 18 = 24 caballeros.

Había 18 damas y 24 caballeros.

3. LA PERRA CATI. Luis va todos los díasdesde su casa a la sierra más cercana, quedista 1,5 km. Va acompañado de su perramastina Cati que va corriendo a la sierra.Cuando la perra llega a la sierra, vuelvecon Luis y así sucesivamente, hasta queLuis llega a la sierra. Luis camina a 6 km/hy Cati va a 16 km/h. ¿Cuántos km recorreCati?

Luis tarda 15 minutos en llegar a la sierra.

La perra, por lo tanto, ha estado moviéndose durante15 minutos. Por tanto ha recorrido:

16 km/h : 4 = 4 kilómetros.

4. LA EDAD DE ASTÉRIX. ¿Qué edad tendráAstérix en el año 2000, sabiendo que esaedad será igual a la suma de las tres últimascifras de su año de nacimiento?

2 000 – 19xy = 9 + x + y

2 000 – (1 000 + 900 + 10x + y) = 9 + x + y ⇒⇒ 11x + 2y = 91 ⇒ x = 7 y = 7,

es decir, Astérix nació en el año 1977 y en el año2000 tendrá 23 años.

a)x

xb)

x

x

c)x

xd)

x

x

≥ −

< −

− < <

< <

≤

<

− ≤ ≤ −

< ≤

4

1

1 1

3 5

1

7

3 1

2 5

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

20

19

18



1. Incorporar al lenguaje y modos de comunicación habituales los conceptos relacionados con la ma-temática financiera.

2. Comprender el concepto de logaritmo y las propiedades asociadas.

3. Resolver ecuaciones y sistemas logarítmicos y exponenciales.

4. Resolver problemas sencillos de amortización y capitalización.

5. Valorar la utilidad de la calculadora en el cálculo logarítmico y financiero.

• Haciendo hincapié en el concepto de logaritmo y la utilización de sus propiedades, tanto para eldesarrollo de expresiones como para la simplificación de las mismas.

• Resolviendo múltiples ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicos.

• Proponiendo problemas de matemática financiera en diferentes contextos.




PÁGINA • 83


1. Un fabricante incrementa el precio de susproductos en un 5 % anual. Actualmente,uno de sus productos cuesta 15 euros.¿Cuánto costará este producto dentro de 3años? ¿Cuánto costaba hace 2 años?

Al cabo de 3 años costará

Hace 2 años costaba .

2. ¿A qué rédito anual hemos de colocar 120euros para que en 6 trimestres se convier-tan en 150 euros?

Los intereses que han producido son 30 euros, portanto:

El redito es del 50 %.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

• 8x = 32 • 3x · 9x = 93 • ( )x =

PÁGINA • 87


1. Resuelve los siguientes sistemas:

a)

b) 2 3 35

5 2 2 3 34

1x y

x y

+ + =

– = –⋅ ⋅

5 2 80

9 3 1

⋅

x y

x y

+

–

=

=

•

•

•

8 3253

3 9 9 3 3 2

23

278

23

23

3

3 3 6

3

x

x x x

x x

x

x

x

= ⇒ =

⋅ = ⇒ = ⇒ =

= ⇒

=

⇒ = −−

278

23

30120 6

1 20050= ⋅ ⋅ ⇒ =r

r %

15105100

13 612

⋅

=−

, euros

15105100

17 363

⋅

= , euros


CONCEPTOS

1. Logaritmo de un número. Propie-dades.1.1. Propiedades.

2. Ecuaciones exponenciales.

3. Sistemas de ecuaciones exponen-ciales.

4. Ecuaciones logarítmicas.

5. Sistemas de ecuaciones logarítmi-cas.

6. Interés simple.

7. Interés compuesto.

8. Anualidades de capitalización.

9. Anualidades de amortización.

– Valorar la utilidad de los lo-garitmos en la resolución deproblemas de matemáticafinanciera.

– Gusto por la presentaciónordenada y clara de los pro-cedimientos y resultadosobtenidos en la resoluciónde ecuaciones y sistemas.

– Valorar la utilidad de la cal-culadora en el cálculo delogaritmos y en las aplica-ciones financieras.

• Resolución de ecuacioneslogarítmicas y exponencia-les.

• Utilización de la calculado-ra en cálculos logarítmicosy exponenciales de cual-quier base.

• Cálculo de montantes condiferentes períodos de capi-talización.

• Resolución de problemasde capitalización y amorti-zación.



c)

d)

PÁGINA • 96


Utilizando la definición de logaritmo,calcula x en cada uno de los apartados:

Utilizando las propiedades de los logarit-mos desarrolla las expresiones:

Utilizando las propiedades de los logarit-mos simplifica las expresiones:

Haciendo uso de los logaritmos y de la cal-culadora encuentra el valor de las opera-ciones:

4

a) b)log log25 973

3

5

2

⋅

⋅

⋅

a

m h

t p

a) a

b) m t p h

log log log

log log log log

2 2 25 3 73

9

12

2 52

− +

− − +

3

a)

b)

c)

log

ln

log

2 3

4

2

2

4 3

2

a b

ca b c

a

b ca b c

a b

ca b c

⋅

= + −

⋅

= − +

⋅

= + −

−

2 3 4

32

2 4

4 325

3

4

5 2 2 2

log log log

ln ln ln

log log log

a)a b

cb)

a

b c

c)a b

c

log ln

log

2

2

4

⋅

⋅

⋅

−

3

4

3

4

2

3

25

2

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

xlog

log

log

log

log

log

log

ln

log

1 000 3 10

27 3

3 8

116

4

32 512

2 1

2 100

2

127

3 3

3

2

2

1

2

2

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ = −

= − ⇒ =

= ⇒ = −

= ⇒ =

= ⇒ =

= − ⇒ =

x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x e

x

x

x

a) b) x

c) x d) x

e) f) x

g) x h) x

i)

x

x

x

log log

log log

log log

log ln

log

1 000 3 27

3 116

32 5 2

2 2

127

3

3

2 2

12

= =

= =

= − =

= =

= −

1

a)

b)

5 2 80

9 3

2 16

3 34

2 1

1

3

2 3 35

5 2 2 3 34

3

2 35

5 2

1 2 1

1

⋅ =

=

⇒

=

=

⇒

⇒+ =

= −

⇒=

=

+ =

⋅ − ⋅ = −

=

=

+ =

− = −

+

−

+

−

+

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

x y

x y

x

y

a

b

a b

a b

haciendo el cambio

2obtenemos

x

3434

4

27

2 4

3 27

2

3

2 2 2

2 128 2

2

128

16 2 16 4

8 2 8 3

5 5 625

2 2 256

⇒=

=

⇒ =

⇒ =

⇒ =

⇒ =

=

=

=

=

=

⋅ =

⇒

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

= ⋅

⋅ =

+

a

b

x

y

a

b

a b

a x

b y

x

y

x y

x y

x

y

x

y

x y

x y

c)

d)

:haciendo el cambio

2obtenemos

ab

⇒

=

=

⇒

⇒− =

+ =⇒

=

=

−

+

5 5

2 24

8

6

2

4

8

x y

x y

x y

x y

x

y

5 5 625

2 2 256

x y

x y

=

=

⋅

⋅

2 2 2

2 128

x y

x y

: =

=+


Demuestra:

Un empresario incrementa el precio de susproductos en un 5 % anual. Actualmente,uno de sus productos vale 1,8 euros. Con-testa a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuánto costará el producto dentro de4 años?

b) ¿Cuánto costaba hace 4 años?

c) ¿Cuántos años han de pasar para que elprecio actual del producto se duplique?

El servicio decontrol de cali-dad de una granempresa que fa-brica cierta mar-ca de televisoresha comprobadoque el porcentajede televisoresque siguen funcionando al cabo de t añosviene dado por la función:

f (t) = ( )t

a) ¿Qué proporción de televisores siguenfuncionando después de 5 años? ¿Y des-pués de 15 años? ¿Y al cabo de 20 años?

89

7

a)

b)

c)

El producto dentro de 4 años costará :

euros

Hace 4 años costaba :

euros

Llamando al número de años que han de pasarobtenemos :

Tomando logaritmos :

=log 2

log 1,05años

Por tanto, han de pasar casi 15 años.

1 8 1 05 2 19

1 8 1 05 1 48

3 6 1 8 1 05 2 1 05

14 21

4

4

, , ,

, , ,

, , , ,

,

⋅ =

⋅ =

= ⋅ ⇒ =

=

−

t

t

t t

6

c) 1 1log log loga bab

a bab

( ) + −

= +( ) ⋅ −

+ ==

=+( ) ⋅ −( )

= +

⋅ −( )

=

= +

+ −( )

log log

log log

a b a b

bab

a b

ab

a b

1

1

a)

b)

2 2 212

1

2

2 2

log log log log

log log log

log

a a a a

abab

ba

abab

ba

a b

= ⋅ = ⋅ =

( ) + −

= ( ) −

=

= −( )

a) a a

b) a b abab

ba

c) a babab

a b

2

1

1

log log

log log ( ) log

log ( ) log

log log ( )

=

−( ) = + −

+ + −

=

= +

+ −

2 2

5

Tomamos logaritmos en cada una de ellas :

a)

b)

c)

d)

log 735

log

log

log

56 = ⋅ = ⇒

⇒ = ⋅

= ⋅ = ⇒

⇒ =

= = ⇒ =

=

⋅ ( ) = + ⋅ =

= ⇒ ⋅

56 735 160 51

735 3 25 10

64 151

1464 15 0 1291

64 15 1 346

33315

333 0 5045 333

3 195

1 428 25 1 428 175 25

247 79 1 428 25

56 160

14

14

1

5

1

5

175

log ,

,

, log , ,

, ,

log ,

,

log log

, 175175 247

253

253 16

27

6 2 10

104253

104 16 8086

104 6 44 10

104 2157

36 27 972

9 38 10

= ⋅

= = ⇒

⇒ = ⋅

= ⋅ − =

⇒ = ⋅

,

log ,

,

log log ,

,

e)

f)

log

log2

36

2

36

104

157

104

157

a) b)

c) d)

e) f)

735 64 15

333 1 428 25

104 2

36

56 14

15 175

253 104

157

,

( )⋅


b) ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir paraque funcionen el 40 % de los televisoresfabricados?

a) Al cabo de 5 años funcionan , el55% de los televisores.

Después de 15 años: , es decir, el17% de los televisores.

Al cabo de 20 años: , es decir, fun-

cionan el 9% de los televisores.

b) Deberán pasar t años y se debe cumplir:

es decir, deberán pasar casi 8 años.

PÁGINA • 97

Se ha comprobado ex-perimentalmente que,al variar la altura res-pecto al nivel del mar,la presión en cadapunto es, aproximada-mente, 0,9 veces lapresión existente enun punto inferior a élen 1 km.

a) Completa la si-guiente tabla, te-niendo en cuenta que las alturas negati-vas significan profundidad terrestre:

b) Encuentra la expresión que nos permitecalcular la presión en función de la altura.

c) ¿Qué presión hay a 12 km de altura?¿Y en un valle de 2 km de profundidad?

d) ¿Qué aumento de presión experimentaun montañero que desciende de 6 000a 4 000 m? ¿Y un espeleólogo que des-ciende de – 4 000 a –6 000 m?

a)

b) La expresión es: P = 0,9h

c) A 12 km de altura hay una presión de

0,912 = 0,28 atmósferas.

A 2 km de profundidad hay una presión de

0,9–2 = 1,23 atmósferas.

d) A 6 000 m la presión es de 0,96 = 0,53 atmósferas.

A 4 000 m la presión es de 0,94 = 0,66 atmósferas.

Por tanto el montañero sufre un aumento de 0,13atmósferas. Al descender de –4 000 m en dondela presión es de 1,52 atmósferas a –6 000 m endonde es de 1,88 atmósferas sufre una diferenciade presión de 0,36 atmósferas.

Resuelve las siguientes ecuaciones expo-nenciales:

a) 128x + 1 = 2x2 – x – 2

b) 3x · 9x = 93

c) 2–x = 83 – x

d) 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 7

e) 61 – x + 6x = 7

f) 4x + 1 + 2x + 3 – 320 = 0

g) 2x + 2x – 1 + 2x – 2 = 1

h) 9x – 2 · 3x + 2 + 81 = 0

i) 5x + 1 = 10 + 3 · 52 – x

j) 2x2 – 5x = 64–1

a)

b)

c)

d)

e)

128 2 9 1

3 9 9 3 3 2

2 8 2 292

2 2 2 7 2 2 2 4 2 7

2 1 0

6 6 7

1 21 2

3 3 6

3 9 3

1 2

1

2x x x

x x x

x x x x

x x x x x x

x

x x

x x

x

x

x

+ − −

− − − −

+ +

−

= ⇒ = = −

⋅ = ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

+ + = ⇒ + ⋅ + ⋅ =

⇒ = ⇒ =

+ =

y

⇒⇒ + = ⇒ =

=

+ − = ⇒ ⋅ + ⋅ −

− = ⇒ + ⋅ − = ⇒ =

+ +

6

66 7 0

1

4 2 320 0 4 2 8 2

320 0 2 2 2 80 0 3

1

2

1 3 2

2

x

x x x x

x x

xx

x

x

;

f)

9

Altura km -3

Presión atm 1,37

( ) − −

( )2 1 0 1 2 3

1 23 1 1 1 0 9 0 81 0 729, , , , ,

8

89

0 40 489

7 8

= ⇒ =

=,log ,

log,

t

t

89

0 0920

= ,

89

0 1715

= ,

89

0 555

= ,


Altura (km) –3 –2 –1 0 1 2 3

Presión (atm) 1


Resuelve las siguientes ecuaciones loga-rítmicas:

a) 2 log2 x – log2 (x – 16) = log2 4

b) log x = 1 + log (22 – x)

c) 2 log (5x + 4) – log 4 = log (x + 4)

d) (x2 – 5x + 9) log 2 + log 125 = 3

e) ln (2x – 3) + ln (5 – x) = ln 5

f) ln x = ln 2 + 2 ln (x – 3)


a)log3 3 0

3

1

3

2 62

0 38

0 38

2 62

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

+ =

+ =

⇒

⋅ =

+ =

⇒

⇒=

=

=

=

log

,

,

,

,

;

;

a) x y

x y

b) x yx y

c) xy

x y

d) x yx y

log log

log log

log

log log

log log loglog log log

3 3

2 2

0

3

111

1

3

3 55

+ =+ =

− =− =

=

+ =

− =+ =

12

a)

b)

c)

d)

log log

log log

log log

log

2

2

2

2

2 2

1 2

164

164

10 22 10 22

20

5 4

44

5 4

4

4 036

25

xx

xx

x x x x

x

xx

x

x x x

−

= ⇒−

= ⇒

⇒

= ⋅ −( )[ ] ⇒ = −( )⇒ =

+( )

= +( ) ⇒+( )

=

= + ⇒ = = −

No tienes soluciones reales

;

22 125 1 000 2

8 2 3

2 3 5 5 2 3 5

5 494

2 3 2

2 25 9 5 9

1 2

1 2

2

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

− + − +⋅

= ⇒ =

= ⇒ = =

−( ) ⋅ −( )[ ] = ⇒ −( ) −( ) =

= ⇒ = =

= ⋅ −( )

⇒ = ⋅ −

log

ln ln

ln ln

;

;

e)

f) 33

92

2

2

1 2

( ) ⇒

⇒ = =x x ;

11

a)

b)

c)

2 2 6

2 2 2

2 4

2 2

2

1

3 3 36

3 243 3

36

243

27 3

9 2

2

3

2 5

x y

x y

x

y

x y

x y y

x y

x

y

a

b

a b

a b

a x

a x

y

y

+ =

− =

⇒

=

=⇒

=

=

+ =

=

=

=

+ =

⋅ =

⇒= ⇒ =

= ⇒ =

=

=

+ =

+ Haciendo

3 obtenemos :

y b = 9

y b = 27

x

99

2 5 9

2 5 9

4 2 5 5 9

2 4 2

5 5 1

3 3

4 4 256 4

2

2

2 1x y

x y

x y

x

y

x y

x y

x

y

x y

x y

x

y

+ +− = −

⇒

+ =

⋅ − ⋅ = −

= ⇒ =

= ⇒ =

=

⋅ =

⇒

=

+ =

⇒=

=d)

a) b)

c) d)

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

2 2 6

2 2 2

3 3 36

3 243

2 5 9

2 5 9

3 3

4 4 2562 1

+ =

− =

+ =

=

+ =

− =−

=

⋅ =

+

+ +

10

+ + = ⇒ + + =

⇒ = ⇒ =

= −

− −2 2 2 1 222

24

1

247

472

1 2x x x xx x

x xlog

log

g)

00 81

9 2 3 81 0 3 18 3 81 02

5 10 3 5 5 5 1075

51

2 64 2 22 3

2 2

1 2

5 1 5 6

1 2

2 2

,

;

h)

i)

j)

x x x x

x x xx

x x x x

x

x

x x

− ⋅ + = ⇒ − ⋅ + =⇒ =

= + ⋅ ⇒ ⋅ = +

⇒ =

= ⇒ = ⇒⇒ = =

+

+ −

− − − −


PÁGINA • 98

Responde a las siguientes cuestiones re-lacionadas con el interés simple:

a) Un capital de 1 000 euros colocado al12 % de interés simple durante tresaños, ¿en qué capital se transforma?

b) ¿Cuánto tiempo hay que tener 3 000euros al 10 % de interés simple paraque se conviertan en 3 900 euros?

c) Calcula los intereses que generan12 000 euros colocados al 7 % de in-terés simple durante 4 años, si los in-tereses se devengan:

c1) Anualmente

c2) Mensualmente

Calcula el montante que generan 15 000euros colocados al 7 % de interés com-puesto durante 4 años, si los intereses sedevengan:

a) Anualmente b) Mensualmente

Calcula el tiempo que debe estar coloca-do un capital de 4 000 euros en una cuen-ta corriente al 5,5 % de interés compues-to anual para que el capital se duplique.

Aplicando la fórmula M = C (1 + r)t obtenemos:

Una caja de ahorros de tu localidad teoferta tres fórmulas distintas para colocartu dinero, que asciende a 4 000 euros ainterés compuesto durante 10 años:• Fórmula A: capitalización trimestral al

8,6 % anual.• Fórmula B: capitalización anual al

8,65 %.• Fórmula C: capitalización mensual al

8,55 % anual.

¿Cuál te parece mejor?

La más conveniente es la fórmula C, porque es laque más interés devenga.

El abuelo de Luis, al nacer éste, decidióingresar en un banco un capital de 2 000euros a interés compuesto anual del

17

• :

,,

• :

, ,

• :

,,

Fórmula

euros

Fórmula

euros

Fórmula

euros

A

M

B

M

C

M

= +

=

= +( ) =

= +

=

4 000 10 086

49 366 88

4 000 1 0 086 9 127 63

4 000 10 086

129 423 70

40

10

120

16

8 000 4 000 1 0 055

2 1 0 0552

1 05512 9

= ⋅ +( ) ⇒

= +( ) ⇒ = =

,

,log

log ,,

t

tt años

15

a M

b M

)

)

= ⋅ +( ) =

= ⋅ +

=

15 000 1 0 07 19 661 94

15 000 10 0712

19 830 81

4

48

, ,

,,

euros

euros

14

a)

b)

c)

i

tt

i i

i i

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⇒ =

= ⋅ ⋅ ⇒ =

= ⋅ ⋅ ⇒ =

1 000 12 3100

360

9003 000 10

1003

12 000 7 4100

3 360

12 000 7 481 200

3 360

euros

Se transforma en 1 300 euros

años

euros

euros

En ambos casos generan unos intereses de 3 360euros.

13

b)

c)

log

2 22 2

11

1

11

10

10313

x y

x y

x y

xy

x

y

xy

− =

− =

⇒

− =

=

⇒

⇒=

=

log

log

=

+ =

⇒− =

+ =

⇒

⇒

=

− =

⇒= =

= =

1

3

1

3

3 5

5

2 5 25

5 5

log log

log log

log log

log

log log log

log log log

log log ;

log log ;

x y

x y

x y

x x

y y

x y

x y

x x

y y

= 2 ; = 100

log = 1 ; = 10

+d)


7,5 %. ¿Cuánto dinero recibirá al cumplir25 años? Si la capitalización se hubierahecho semestralmente, ¿cuánto dinerohubiera recibido?

M = 2 000 · (1 + 0,075)25 = 12 196,68 euros recibi-rá al cumplir 25 años.

En caso de hacer la capitalización semestral recibirá:

Calcula el tiempo necesario para que uncapital impuesto a interés compuesto al6 % anual se duplique. ¿Y para que se tri-plique?

•

Tomando logaritmos obtenemos

Para que el capital se duplique han de pasar 11,9años.

•

Para que el capital se triplique han de pasar 18,85años.

¿A qué tanto por ciento anual debe pres-tarse un capital puesto a interés com-puesto para que en 20 años se duplique?¿Y para que se duplique en 10 años?

•

Tomando logaritmos obtenemos

Para que el capital se duplique al cabo de 20 añosel rédito debe ser de un 3,5 %.

•

Para que el capital se duplique en 10 años se debecolocar a un rédito del 7,2 %.

Dos capitales que difieren en 2 500 eurosse colocan al 4,5 % de interés compuestoel mayor y al 6 % el menor. Halla estoscapitales sabiendo que en 20 años dan elmismo capital final.

Llamando x e y a los capitales obtenemos:

¿Qué capital será preciso que coloque unpadre, al nacer su hijo, en el Banco, si de-sea que cuando cumpla siete años puedatener un capital de 2 100 euros? La im-posición la hace al 8 % de interés com-puesto anual.

2 100 = C (1 + 0,08)7 ⇒ C = 1 225,33 euros

Deberá poner un capital de 1 225,33 euros.

PÁGINA • 99

Una persona entrega al principio de cadames y durante 4 años una cantidad fija de60 euros. La capitalización es mensual al5 % anual. ¿Qué capital tendrá al final delos 4 años?

C = 3 194,1468 euros

Al cabo de 4 años tendrá 3 194,1468 euros.

¿Qué anualidad habrá de colocarse al13 % de interés compuesto para reunir en5 años doce mil euros?

Aplicando la fórmula

obtenemos:

euros

Ca r r

r

a

a

t

=⋅ +( ) ⋅ +( ) −

=⋅ +( ) ⋅ +( ) −

⇒ =

1 1 1

12 0001 0 13 1 0 13 1

0 13

1 638 7385

5, ,

,

,

23

C =

+

⋅ +

−

60 10 0512

10 0512

1

0 0512

48, ,

,

22

21

x y

x y

x

y

− =

⋅ +( ) = ⋅ +( )

⇒

=

=

2 500

1 0 045 1 0 06

10 084 91

7 584 91

20 20, ,

,

,

euros

euros

20

2 1 12

100 072

10C C r r r= +( ) ⇒ +( ) = ⇒ =log

log,

loglog

, ,12

201 1 035 0 035+( ) = ⇒ + = ⇒ =r r r

2 1 2 120 20

C C r r= +( ) ⇒ = +( )

19

3 1 0 063

1 0618 85C C t

t= +( ) ⇒ = =,log

log ,, años

t = =loglog ,

,2

1 0611 9 años

2 1 0 06 2 1 06C Ct t= +( ) ⇒ =, ,

18

M = ⋅ +

=2 000 10 075

212 601 88

50,

, euros


¿Qué anualidad de capitalización hemos dedepositar en una entidad financiera, al prin-cipio de cada año, para capitalizar al cabode 20 años, al 8 % anual, 30 000 euros?

Aplicando la misma fórmula del problema anterior ob-tenemos:

Al comienzo de cada uno de 4 años con-secutivos depositamos en una libreta deahorro 1 500 euros. Al comenzar el quin-to año, sacamos 5 000 euros de la libre-ta. ¿Qué cantidad de dinero queda en la li-breta si sabemos que los intereses soncompuestos al 4,5 % anual?

Aplicando la misma fórmula que en los problema an-teriores obtenemos:

En la libreta después de sacar 5 000 euros quedan1 706,06 euros.

Se paga una deuda al 9 % en 6 años me-diante una anualidad de amortización de1 350 euros. ¿A cuánto ascendía la deuda?

¿Cuál es la cuota mensual de amortiza-ción de un préstamo hipotecario de50 000 euros a 15 años al 11 % anual?¿Qué cantidad de dinero pagamos duran-te los 15 años?

Aplicando la fórmula anterior obtenemos:

La cuota mensual de amortización es 568,298 euros.En total hemos pagado:

Es decir, 260 767,83 euros.

Una persona compra un piso en 100 000euros. A la firma del contrato entrega20 000 euros y el resto lo paga una enti-dad financiera que le ha concedido elpréstamo correspondiente. Esta entidadle cobra un 9 % anual y las cuotas deamortización mensuales. ¿A cuánto as-ciende cada una de estas cuotas si ha desaldar la deuda en 20 años?

La entidad le concede un préstamo de 80 000 euros.Aplicando la fórmula utilizada en el problema anterior,obtenemos:

a = 719,78 euros mensuales debe pagar.

Para amortizar una deuda de 29 500 eu-ros, hemos abonado varias anualidadesde 4 200 euros cada una al 7 % anual.¿Durante cuántos años?

Aplicando la fórmula obtenemos:

⇒ t = 10 años.

Una empresamaderera com-pra un camión,el cual se com-promete a pa-gar en 13 anua-lidades al 6 %.Cada anualidadde amortizaciónasciende a 21 000 euros. ¿Cuánto costóel camión?

30

4 20029 500 0 07 1 07

1 07 11 07 1 9672= ⋅ ⋅

−⇒ =, ,

,, ,

t

tt

AD r r

r

t

t=

⋅ ⋅ +( )+( ) −

1

1 1

29

a =⋅ +

+

−

80 000 10 0912

0 0912

10 0912

1

240

240

, ,

,

28

C =

⋅ +

+

−

568 298 10 1112

10 1112

1

0 1112

180 180

,, ,

,

a a=⋅ +

⋅

+

−

⇒ =50 000 1

0 1112

0 1112

10 1112

1

568 298

180

180

, ,

,, euros

27

Aplicando la fórmula obtenemos :

La deuda asciende a euros.

aD r r

r

DD

t

t=

⋅ ⋅ +( )+( ) −

=⋅ ⋅ +( )

+( ) −⇒ =

1

1 1

1 3500 09 1 0 09

1 0 09 16 055 99

6 055 99

6

6

, ,

,,

,

26

C

C

=⋅ +( ) +( ) −

⇒

⇒ =

1 500 1 0 045 1 0 045 1

0 045

6 706 06

4, ,

,

, euros

25

euros

, ,

,30 000

1 0 08 1 0 08 1

0 08

607

20

=⋅ +( ) +( ) −

⇒ =

a

a

24



D = 185 906,34 euros costó el camión.

Tu hermana se ha comprado una motocuyo valor es de 10 000 euros. Ha de pa-garla mediante cuotas trimestrales de528,7 euros al 8 % anual. ¿Cuántos añostardará en pagar la moto?


Es decir, pagará la moto en 6 años.

Una empresa de mensajería adquiere 100motocicletas a 2 000 euros cada una. Paraello contrata una financiación que le cobrael 5 % anual y debe pagar al final de cadaaño 22 565 euros. ¿Durante cuántos añosdeberá pagar esta cantidad a la financiera?

En total la financiera le presta 200 000 euros. Apli-cando la fórmula del problema anterior obtenemos:

PÁGINA • 101


1. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS. Ob-serva las siguientes igualdades:

1 · 2 · 3 · 4 = 52 – 1;

2 · 3 · 4 · 5 = 112 – 1;

3 · 4 · 5 · 6 = 192 – 1

¿Será siempre cierto que el producto decuatro enteros consecutivos es un cuadradoperfecto menos uno?

Veamos si el producto de cuatro números enteros(x – 1) · x · (x + 1) (x + 2) es un cuadrado perfecto me-nos una unidad.

2. NAVES HACIA VENUS. Los cohetes A y Bmarchan hacia Venus a una velocidad de50 000 km/s, formando sus trayectorias ha-cia dicho planeta un ángulo de 60°. En uninstante dado, hallándose ambos a3 000 000 de km de Venus, A emite una se-ñal de radio (velocidad de ésta 300 000km/s), que una vez alcanzado B, es devuel-ta por éste hacia A. Éste nuevamente la re-envía y así sucesiva-mente, hasta queambos cohetes lle-gan al planeta. Hallala distancia recorridapor las señales radioeléctricas desde suemisión hasta esemomento.

Ambos cohetes tardan = 60 segundos en

alcanzar Venus. Durante este tiempo la señal, en susidas y venidas ha recorrido:

300 000 × 60 = 18 000 000 km.

3. A BUEN FIN, MEJOR PRINCIPIO. ¿En quécifra termina 783 578?

71 = 7 ⇒ termina en 772 = 49 ⇒ " en 973 = 343 ⇒ " en 374 = 2 401 ⇒ " en 175 = 16 807 ⇒ " en 7..............................................

Por tanto hay 4 terminaciones distintas que se repitencíclicamente; de modo que:

Es decir, 783 578 termina en el mismo número que 72,es decir termina en 9.

83 578

2

420 894R =

3 000 00050 000

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

− + + = + − −

+ − = + − − +

⇒

− + + = + − −

1 1 2 2 2

1 2 2 1

1 1 2 1 1

4 3 2

2 2 4 3 2

2 2Luego

22 565200 000 0 05 1 05

1 05 1

22 565 1 05 1 10 000 1 05

12 565 1 05 22 565

12

= ⋅ ⋅

−

⋅ −( ) = ⋅

⋅ =

=

, ,

,

, ,

,

t

t

t t

t

t años

32

528 710 000

0 084

10 08

4

10 08

41

528 7 1 02 1 200 1 02

1 02 1 60845 24

,

, ,

,

, , ,

, ,

=⋅ ⋅ +

+

−

⋅ −( ) = ⋅ ⇒

⇒ = ⇒ =

t

t

t t

t t períodos

31

21 0000 06 1 06

1 06 1

13

13= ⋅ ⋅

−

D , ,

,


B

VA

1. Usar los números reales (racionales e irracionales), sus notaciones, operacionesy procedimientos asociados para intercambiar información y resolver problemasde la vida cotidiana y de los ámbitos científico y sociológico.

Este criterio supone:

• Realizar adecuadamente los cálculos numéricos teniendo en cuenta la jerarquía de las ope-raciones.

• Usar los diferentes tipos de números en la resolución de problemas.

• Resolver problemas de Matemática Financiera haciendo uso del concepto de logaritmo yde sus propiedades.

2. Utilizar conveniéntemente redondeos y aproximaciones por defecto y por excesode los números acotando el error, absoluto o relativo, en una situación de resolu-ción de problemas, desde la toma de datos hasta la solución.


• Manejar los conceptos y procedimientos relacionados con la estimación, la precisión, laaproximación y el error.

• Aplicar técnicas de obtención de números aproximados por redondeo y aproximacionesdecimales por defecto y por exceso.

3. Utilizar las operaciones con distintos tipos de números para plantear ecuacionesy sistemas con soluciones en diferentes campos numéricos.


• Resolver problemas surgidos de las operaciones con números.

• Elegir la forma de cálculo apropiada, interpretando los resultados obtenidos.

4. Resolver problemas por medio de la simbolización de las relaciones que existanen ellos y, en su caso, en la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.


• Utilizar las herramientas algebraicas básicas en la resolución de problemas.

• Usar notaciones simbólicas en el planteamiento de problemas.

• Resolver ecuaciones y sistemas, utilizando los procedimientos algebraicos convencionales.

• Dar una interpretación, ajustada al contexto, a las soluciones obtenidas.

5. Resolver problemas por medio de la simbolización de las relaciones que existan enellos y, en su caso, en la resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones.


• Utilizar las herramientas algebraicas básicas en la resolución de problemas.

• Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones, utilizando los procedimientos alge-braicos convencionales.

• Dar una interpretación, ajustada al contexto, a las soluciones obtenidas.


CCCC RRRR IIII TTTT EEEE RRRR IIII OOOO SSSS YYYY AAAA CCCC TTTT IIII VVVV IIII DDDD AAAA DDDD EEEE SSSS DDDD EEEE EEEE VVVVAAAA LLLL UUUU AAAA CCCC IIII ÓÓÓÓ NNNN

CRITERIOS

1. Efectúa las siguientes operaciones:

a) Efectuamos las operaciones pasando los númerosdecimales a forma de fracción:

b)

2. Las expresiones decimales de π, Ø, e y son:

π = 3,14159265…

Ø = 1,61803398…

e = 2,71828182…

= 2,223606797…

Obtén los respectivos redondeos a décimasy milésimas, indicando en cada caso el errorcometido.

• π = 3,14159265…

3,1 es un redondeo a décimas con cota de errorde 0,05.

3,142 es un redondeo a milésimas con cota deerror de 0,0005.

• Ø = 1,61803398…



• e = 2,71828182…



• = 2,223606797…



3. Para la adquisición de un local comercialcuyo precio es de 92 409 euros, una per-sona dispone de unos medios financierosque le permiten pagar una cuota trimestralde amortización de 2 500 euros, efectuan-do cada pago al final de cada trimestre.¿Cuántos pagos deberá hacer si el bancoaplica un interés del 7 % anual?

T = 60 períodos trimestrales.

Debe hacer al banco 60 pagos, es decir, debe pagardurante 15 años.

4. Calcula, simplificando al máximo los resul-tados:

a) Racionalizando y operando obtenemos:

b)

5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) − + − =

− − +( ) = ⇒ =

− + = ⇒ = ± = ±

2 22 36 0

2 11 18 0 0

11 18 0 2 3

5 3

4 2

4 2

x x x

x x x x

x x x x

a x x x

b x x

)

)

− + − =

− − = −

2 22 36 0

2 2 1 2 1

5 3

3 523

45 12512

80

3 5 2 5 5 5 2 5

3 5 5 15

⋅ − +

=

= ⋅ − +( ) =

= −( ) = −

3 2

2 3 2

3 2 3 2 2

3 2 2 3 2 2

11 2 1214

−+

=−( ) −( )

+( ) −( ) = −

a)

b)

3 22 3 2

3 5 23

45 125 12

80

−+

− − +

2 50092 409

0 074

1 0175

1 0175 1

2 500 1 0175 2 500 1 617 16 1 0175

882 85 1 0175 2 500

=⋅ ⋅

−

⋅ − = ⋅

⋅ =

,,

,

, , ,

, ,

r

T

r T

T

5

5

5

−( )

= −( ) = − ( ) =−2 64 2 64 2164

2 32 3 2 3

; ;

3730

811

1112

187240

: − =

a)

b)

1 23 0 721112

2 2 22 32 3 2 3

, : ,

; ;

) � −

−( )

−( ) ( )−


ACTIVIDADES

6. Dibuja la región factible correspondiente alsiguiente sistema de inecuaciones y en-cuentra los vértices de la misma:

La región factible es lazona sombreada del di-bujo.

Los vértices son:

A(0, 0)

B(1, 0)

C(–1, 4)

7. Resuelve la siguiente inecuación:

(x + 2) (x – 3) ≤ 0

Estudia si el conjunto solución está o noacotado.

Resolvemos la ecuación (x + 2) (x + 3) = 0 y obte-nemos como soluciones x = –2 y x = 3.

Representando estas en la recta real obtenemos:

La solución de la inecuación es el conjunto de núme-ros reales del intervalo [–2, 3].

Este conjunto solución está acotado superior e infe-riormente, por tanto está acotado y tiene máximo ab-soluto el 3 y mínimo absoluto el –2.

8. Una panadería fabrica masa para pizzas yhace 80 pizzas de tres tamaños: grande,mediano y pequeño, con 6 700 g de harina.Si en cada pizza grande utiliza 120 g de ha-rina, en cada una de las medianas 80 g y60 g en cada una de las pequeñas, y ademásel número de pizzas grandes que fabrica conesa cantidad de harina es la tercera partede las que fabrica en tamaño mediano y pe-queño juntas ¿cuantas pizzas fabrica decada tamaño con esa cantidad de harina?

Llamando G, M y P al número de pizzas grandes,medianas y pequeñas que fabrica, respectivamente,obtenemos el sistema siguiente:

Resolviendo por el método de Gauss obtenemos:

G = 20 ; M = 35 ; P = 25

Por tanto, con esa cantidad de harina fabrica 20 piz-zas grandes, 35 medianas y 25 pequeñas.

G M P

G M P

G M P

+ + =

+ + =

= +( )

80

120 80 60 6 700

13

–2 3

– ++

Y

XO–1 1

2x + y = 2

4x + y = 0

A B

C 4

2 2

4 0

0

x y

x y

y

+ ≤

+ ≥

≥

b)

+ − + −

− − = −− = +

−( ) = +( )− = + +

0 3 3 2 2

2 2 1 2 1

2 2 1 1

2 2 1 1

8 4 2 1

2 2

2

x x

x x

x x

x x x

Esta ecuación tiene por soluciones :

; ; ; ;

⇒⇒ − + =⇒ = =

= =

x xx x

x x

2 6 5 01 5

1 5

;

Esta ecuación tiene por soluciones :y


5555 .... BBBB LLLL OOOO QQQQ UUUU EEEETTTT EEEE MMMM ÁÁÁÁ TTTT IIII CCCC OOOO IIII IIII ::::

FFFF UUUU NNNN CCCC IIII OOOO NNNN EEEE SSSSYYYY GGGG RRRR ÁÁÁÁ FFFF IIII CCCC AAAA SSSS


Unidad Didáctica 6: Funciones reales.Propiedades globales.

1. Formas de expresar una función. 2. Funciones reales de variable real. Dominio y re-

corrido de una función.3. Monotonía.4. Extremos relativos.5. Funciones acotadas. Extremos absolutos.6. Funciones simétricas.7. Tendencias de una función. Asíntotas. Ramas in-

finitas.8. Funciones periódicas.9. Función inversa.

Unidad Didáctica 7: Funciones polinómicas y racionales.

1. Funciones cuyas gráficas son rectas.2. Funciones cuadráticas.3. Funciones de oferta y demanda.4. Funciones de proporcionalidad inversa.

5. Funciones de la forma y = .

6. Traslaciones de gráficas de funciones.

Unidad Didáctica 8: Funciones exponenciales,logarítmicas y trigonométricas.

1. Funciones exponenciales.2. Funciones logarítmicas.3. Unidades angulares.4. Razones trigonométricas de un ángulo agudo.5. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.6. Reducción de un ángulo al primer giro.7. Funciones circulares.8. Funciones inversas de las funciones circulares.

9. Funciones relacionadas con las funciones circu-lares.

Unidad Didáctica 9: Interpolación.

1. El problema de la interpolación.2. Interpolación lineal.3. Interpolación cuadrática.

Unidad Didáctica 10: Límites de funciones. Continuidad.

1. Idea intuitiva de función convergente.2. Límite de una función.3. Límites infinitos cuando x tiende a un número fi-

nito. Asíntota vertical.4. Límites finitos en el infinito. Asíntota horizontal.5. Límites infinitos en el infinito.6. Asíntotas de una función.7. Operaciones con límites de funciones.8. Cálculo de límites sencillos.9. Funciones continuas.

10. Propiedades de las funciones continuas. Discon-tinuidad.

Unidad Didáctica 11: Introducción a las derivadasy sus aplicaciones

1. Tasas de variación media e instantánea.2. Derivada de una función en un punto. Significado

geométrico y función derivada.3. Derivadas de las operaciones con funciones.4. Derivadas de las funciones elementales más sen-

cillas. 5. Algunas aplicaciones de la derivada.6. Optimización de funciones.7. Representación gráfica de funciones polinómicas

y racionales.

ax + bcx + d


Funciones y gráficasFunciones y gráficasFunciones y gráficas

IIIIII



1. Manejar el lenguaje funcional.

2. Utilizar las distintas formas de expresar una función.

3. Analizar gráficas de funciones atendiendo a sus características: dominio, recorrido, monotonía,extremos relativos, acotación, simetrías, periodicidad, tendencia y continuidad.

4. Representar gráficas de funciones que obedecen a unas características dadas.

5. Valoración del lenguaje funcional y gráfico como potente herramienta de las Matemáticas para lainterpretación de fenómenos económicos y sociales.

• Revisando los conceptos relativos a las funciones estudiados en la Educación Secundaria Obliga-toria.

• Usar, profusamente, la representación gráfica de funciones por su gran utilidad en la visualizaciónde las características más significativas de las mismas.

• Traducir al lenguaje gráfico informaciones dadas en lenguaje verbal o numérico.

• Obtener información de fenómenos descritos mediante una función.



PÁGINA • 105


1. Dibuja la gráfica de las funciones con lascaracterísticas siguientes:

a) Dom f = (–6, 6); Im f = [0, 4]; simétri-ca respecto del eje OY, máximos en lospuntos (3, 4) y (–3, 4) y mínimo en elpunto (0, 0).

b) Dom f = (–�, 0); Im f = (–�, 0) y estric-tamente decreciente en todo su dominio.

Una solución puede ser:

4

0 3 6–3–6

a)

74 •G U Í A D I D Á C T I C A

CONCEPTOS

1. Formas de expresar una función. 1.1. Expresión mediante una ta-

bla de valores.1.2. Expresión mediante una grá-

fica.1.3. Expresión mediante una fór-

mula matemática o expre-sión algebraica.

1.4. Expresión mediante la des-cripción verbal.

2. Funciones reales de variable real.Dominio y recorrido de una fun-ción.2. 1. Dominios de las funciones

más usuales.2. 2. Recorrido de una función.

3. Monotonía.

4. Extremos relativos.

5. Funciones acotadas. Extremos ab-solutos.

6. Funciones simétricas.

7. Tendencias de una función. Asín-totas. Ramas infinitas.

8. Funciones periódicas.

9. Función inversa.



• Utilización del lenguajefuncional y gráfico.

• Estudio del dominio de lasfunciones elementales.

• Utilización de las gráficas defunciones dadas para el es-tudio de sus características:recorrido, monotonía, extre-mos relativos, acotación, si-metrías, periodicidad, ten-dencia y continuidad.

• Representación de funcio-nes que obedecen a unascaracterísticas dadas.

• Interpretación de fenóme-nos mediante una función.

– Valoración de la utilidad dellenguaje gráfico para el es-tudio de las característicasde una función.

– Incorporación del lenguajegráfico a la forma de tratarla información.

– Gusto por la precisión y elcuidado en la representa-ción gráfica de las funcio-nes y análisis de las mismas.

2. Encuentra la expresión algebraica asociadaa la descripción verbal de la relación fun-cional de la página siguiente.

La expresión algebráica pedida es: N = 2t, siendoN el número de bacterias y t el tiempo en horas.

PÁGINA • 110


1. Estudia la acotación de las siguientes fun-ciones y halla, en caso de que existan, losextremos absolutos, supremos e ínfimos.

La función k(x) está acotada superior e inferiormente.Su supremo es 2 y no es máximo absoluto, y su ínfimoy mínimo absoluto es 0.

La función h(x) está acotada superior e inferiormente.Su supremo y máximo absoluto es 3, y su ínfimo es 0,pero no tiene mínimo absoluto.

PÁGINA • 118


Determina una tabla de valores, una fór-mula matemática y una gráfica de cada unade las siguientes funciones:

a) La tarifa de precios de un aparcamientourbano indica que el precio es de 1 europor cada hora o fracción, siendo el pre-

cio máximo por día de 8 euros. Expresaesta función mediante su tabla de valo-res, su gráfica y su expresión algebraica.

b) El espacio, enkilómetros, querecorre un au-tobús que llevauna velocidadconstante de100 km/h.

c) La tarifa de lostaxis que co-bran 1 europor bajada debandera y 0,05 euros por cada minutorecorrido en el taxi.

d) El área de un rectángulo cuya basemide 5 m más que su respectiva altura.

Expresar, en cada caso, sus dominios y re-corrido o conjunto imagen.

a) Tabla de valores:

Dom f = (0, +∞); Im f = [1, +∞). La gráfica es:

b) Fórmula:e = 100 · t

Dom e = [0, +∞)

Im e = [0, +∞)

O t (horas)21

100

e (km)

200

t e

1 100

1 5 150

2 200

,

Precio (€)

O

Tiempo (h)

2421 3 4 5 6 7 8

2

1

3

4

5

6

7

8

Fórmula

si

si

si

f x

x

x

x

( ) =

< ≤

< ≤

< ≤

1 0 1

2 1 2

8 7 24

Tiempo en horas

Precio en euros

1 1 5 2 8 9

1 2 2 8 8

, …

…

1

h (x ) = —3x2 + 1

Y

O X

3

k (x ) = —2x2

x2 + 1

Y

O X

2

0

b)


c)

P = 1 + 0,05 · t

Dom P = [0, +∞); Im P = [1, +∞)

d) Llamando x a la medida de la altura, sabemos quela base mide 5 + x, por tanto, el área es:

A = x · (x + 5) ⇒ A = x2 + 5x

Dom A = (0, +∞); Im A = (0, +∞)

Estudia el dominio de las siguientes funcio-nes:

j(x) = x4 – 2x2 k(x) =

l(x) = m(x) =

n(x) = o(x) =

p(x) = q(x) =

Dom f = � Dom g = (–3, 0]

Dom h = (–5, +∞) Dom i = (–∞,1) � (4,+∞)

Dom j = � Dom k = � – {2, 3}

Dom l = � – {1} Dom m = [–2, +∞)

Dom n = � Dom o = [1, +∞)

Dom p = (–∞,–2] � [2,+∞) Dom q = � – {–1}

Estudia el dominio y el recorrido de las si-guientes funciones:

a) Dom f = [0, +∞)

Im f = [100, +∞)

b) Dom g = (–∞, –1] � [1, +∞)

Im g = [–2, +∞)

PÁGINA • 119

Analiza y estudia, en cada una de las si-guientes funciones, el dominio, el recorridoo conjunto imagen, la monotonía y los ex-tremos relativos:

y = f (x)

Y

O X–2 –1 2

y = g(x)

Y

O X

4

y = f (x)

1 2 3 4

100

200

300

400Y

O X

y = g(x)–1

–1

–2

1

Y

O X

b)

a)

3

5√√x3 – 2x 2

x + 16√√x2 – 4

4√√x – 13√√x 2 + 5

6√√x + 2–11 – x

x2 + 1x2 – 5x + 6

2–5

y = h(x)

1 4

y = i(x)

Y

O X

Y

O X

y = f (x)

–3

y = g(x)

Y

O

X

Y

O X

2

A (m2)

O x (m)21 3 4

20

10

30

x A

1 6

2 14

3 24

4 36

P (€)

O t (m)105 15 20

2

1

3t P

1 1 05

10 1 5

20 2

,

,


• y = f (x)

Dom f = �; Im f = (0, +∞)

Estrictamente creciente en todo su dominio. No tie-ne extremos relativos.

• y = g (x)

Dom g = � – {–2, 2}; Im g = (–∞, –1] � (0, +∞)

Estrictamente creciente en (–∞, –2) � (–2, 0)

Estrictamente decreciente en (0, 2) � (2, +∞)

Máximo relativo (0, –1)

• y = h(x)

Dom h = � – {2}; Im h = (–∞, 4). Carece de ex-tremos relativos.

Estrictamente creciente (2, +∞)

Estrictamente decreciente (–∞, 2)

• y = i (x)

Dom i = (0, +∞); Im i = [–2, +∞)

Mínimo relativo (2, –2)

Estrictamente decreciente (0, 2)

Estrictamente creciente en (2, +∞)

• y = j (x)

Dom j = �; Im j = �

Máximo relativo (–5, 4); Mínimo relativo (–1, –3)

Estrictamente creciente (–∞, –5) � (–1, +∞)

Estrictamente decreciente (–5, –1)

• y = k(x)

Dom k = �; Im k = (–1, 1). Carece de extremosrelativos.

Estrictamente decreciente en todo su dominio.

Dibuja las gráficas correspondientes a lafunciones con las características que se ci-tan a continuación:

a) Dom f = (–∞∞, –2] � [2, +∞∞); Im f = (–∞∞, 2];máximos relativos en los puntos (–3, 2)y (3, 2).

b) Dom g = R; Im g = (–3, 2); mínimo re-lativo en el punto (–2, –1) y máximo re-lativo en el punto (0, 1).

c) Dom h = (–∞∞, 0); Im h = (1, +∞∞) y es-trictamente creciente en todo su do-minio.

d) Dom i = R – {0}; Im i = R; estricta-mente creciente en (–∞∞, 0) y estricta-mente decreciente en (0, +∞∞).

Estudia la acotación y la posible existen-cia de supremo, ínfimo y extremos abso-lutos en cada una de las siguientes fun-ciones:

–3

y = h(x)

5

–2 2

Y

O X

y = i(x)

–8 8

Y

O X

y = f(x)2

4

–2

Y

O X

y = g(x)

–2

3

Y

O X

6

–3 –2 2 3

2

0

y = f (x)a)

–2

2

0

y = g(x)b)

–3

–1

1

0

y = h(x)

c)

1

0

y = i (x)

d)

5

y = h(x)

4

2

Y

O X

y = k(x)

1

–1

Y

O X

y = j(x)

–3

–5–1

4

Y

O X

y = i(x)

–2

2

Y

O X



a) Esta función y = f (x) está acotada por 0 y 4.El supremo es 4 y el ínfimo es 0.Esta función tiene mínimo absoluto = 0.

b) y = g (x) está acotada por 3 y –2.El supremo es 3 y el ínfimo –2.No tiene extremos absolutos.

c) y = h(x) está acotada por –3 y 5.El supremo es 5 y el ínfimo –3.Esta función tiene máximo absoluto = 5.

d) No está acotada y = i (x).

e) y = j (x) está acotada inferiormente por (–1), lue-go tiene ínfimo (–1). No tiene supremo.Tiene un mínimo absoluto = –1.

f) y = k(x) está acotada superiormente por (2).No tiene ínfimo, tiene supremo = 2.No tiene extremos absolutos.

PÁGINA • 120

Estudia la simetría de las siguientes funcio-nes:

f (x) = x6 – x4 g(x) = x – 1

h(x) = i (x) = 8

j (x) = k(x) =

l (x) = |x| m(x) = x · ex2

• Las funciones: f; i; k; l; n; p; son simétricasrespecto al eje de ordenadas.

• Las funciones: h; j; m; q; r; s; son simétricasrespecto al origen de coordenadas.

• Las demás funciones no tienen estas simetrías.

Estudia si las siguientes funciones son o noperiódicas y, en caso afirmativo, halla elperíodo:

1

π 2π

j (x) = |cos x |

– π π2

– — π2— 3π

2—

Y

O X

1–1

h(x) = —x2

ex2

1e—

Y

O X

–2 –1 1

1

2 3

f (x) = [x – E(x)]2Y

O X

3

2–2 4

y = g(x)Y

O X

8

y = r (x)

Y

O X

y = s(x)

Y

O X

y = q(x)

Y

O X

y = n(x)

Y

O X

y = p(x)

Y

O X

x2 – 4x2 + 1

x3

x2 + 4

1x

7

2

y = k(x)

1–1

Y

O X

y = j(x)

–4

–1

Y

O X

• f (x) periódica de período T = 1.

• g (x) periódica de período T = 2.

• h(x) no periódica.

• i (x) periódica de período T = π.

• j (x) periódica de período T = 2 · π.

Estudia y describe las tendencias de lasfunciones cuyas gráficas puedes ver en lasactividades 2, 4 y 6.

Actividad 2:

Actividad 4:

Actividad 6:

Dibuja las gráficas correspondientes a lasfunciones que verifican las siguientes con-diciones:

a) Dom f = R; Im f = [0, +∞∞); simetríarespecto del eje de ordenadas, máximorelativo en el punto (0, 2) y mínimosrelativos en ( , 0) y en (– , 0).

b) Dom f = R; simetría respecto del ori-gen de coordenadas; acotada por –1y 1, alcanzando la función ambos va-lores; mínimo relativo en (–2, –1) ymáximo relativo en (2, 1).

PÁGINA • 121

El siguiente dibujo muestra parte de lagráfica de una función y = f(x). Complé-tala de forma que verifique una de estascondiciones:

11

1

2

0

a)

–1

b)

–2

–12

1

0

X

Y

Y

X

√√2√√2

10

y f x x y

y g xx y

x y

y h xx y

x y

y i xx y

x y

y j xx y

x y

y k x

x

= ( ) → −∞ →{

= ( ) → +∞ → −

→ −∞ →

= ( ) → +∞ → −

→ −∞ → −

= ( ) → − → +∞

→ → −∞

= ( ) → +∞ → +∞

→ −∞ →

= ( )→ −∞

+

−

;

;

;

4

2

3

3

3

8

8

0

;;

;

y

x y

x y

→

→ +∞ →

→ → −∞

2

2

0

y f xx y

x y

y g x

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y h x

x y

x y

x y

y i x

= ( ) → +∞ → +∞

→ −∞ →

= ( )

→ −∞ →

→ − → +∞

→ − → −∞

→ → −∞

→ → +∞

→ +∞ →

= ( )→ +∞ →

→ −∞ →

→ → −∞

=

−

+

−

+

;

;;

0

0

2

2

2

2

0

4

4

2

(( )→ +∞ →

→ → +∞

= ( ) → +∞ → +∞

→ −∞ → −∞

= ( ) → +∞ → −

→ −∞ →

+

x y

x y

y j xx y

x y

y k xx y

x y

0

0

1

1

y f xx y

x y

y g x x y

y h x x y

y i x

x y

x y

x y

x y

= ( ) → +∞ → +∞

→ −∞ → +∞

= ( ) → − → ±∞{= ( ) → +∞ → +∞{

= ( )

→ +∞ → +∞

→ −∞ → +∞

→ → −∞

→ → −∞

+

+

−

;

;

;

3

4

1

9


a) Sea simétrica respecto al eje de orde-nadas.

b) Sea simétrica respecto al origen decoordenadas.

Simétrica respecto OY


La gráfica siguiente muestra los benefi-cios en miles de euros de una empresadesde el momento en que se fundó.

Contesta razonadamente a cada una delas siguientes cuestiones:

a) ¿Qué variables se relacionan?

b) ¿Cual es el dominio y el recorrido deesta función? ¿Qué sentido tienen enel contexto del problema?

c) ¿Al cabo de cuántos años tiene la em-presa beneficios máximos? ¿A cuántoascienden estos?

d) ¿Cómo varían los beneficios los prime-ros años? ¿Y después?

e) ¿Crees que habrá un punto en el queno existan ni beneficios ni pérdidas?

a) La variable independiente es el número de añosdesde su fundación, y la variable dependiente el be-neficio en miles de euros.

b) Dom f = [0, +∞) Im f = [0, 75]

c) La empresa tiene beneficios máximos al cabo de4 años, y estos ascienden a 75 000 euros.

d) Durante los 4 primeros años los beneficios crecen;a partir del 4º año empiezan a decrecer.

e) Como en todo el dominio se verifica f(x) > 0, nohabrá en ningún momento pérdidas; siempre ha-brá beneficios.

En el año 1995 se fundó una ONG. El nú-mero de sus afiliados ha variado con losaños según la función:

N = 250 (2t2 – 12t + 21)

¿Cuantos son los afiliados fundadores?

13

f (x) = 600 xx2 + 16

O

Mileseuros

Años1 2 3 4 5 6 7 8

10

20

30

75

…

12

P(x)

XO

y = f(x)

1

3

5 71 3–7

–3

P(x)

XO

y = f(x)

1

3

5 71 3

P(x)

XO

y = f(x)

1

3

5 71 3


Ayudándote de una calculadora indicacómo varía el número de afiliados. ¿En al-gún momento será nulo este número?

Haciendo t = 0 obtenemos N = 5 250 socios fun-dadores.

La gráfica de esta función viene dada por:

El número de afiliados desciende los tres primerosaños hasta alcanzar el número de 750 y, a partir deese año, empieza a aumentar.

En ningún momento es nulo este número.

Una empresa Cable I ofrece una tarifa deutilización de Internet de 15 euros men-suales. La empresa Cable II ofrece unatarifa de 0,05 euros por hora. Discute quétarifa te parece la más conveniente a lahora de elegir.

Cable I ⇒ P = 15

Cable II ⇒ P = 0,05 · t

Veamos a partir de qué número de horas el precio deuna empresa y de la otra es el mismo:

0,05 t = 15 ⇒ t = 300 horas

Hasta 300 horas mensuales interesa más la empresaCable II; a partir de 300 horas mensuales interas másla empresa Cable I, y si se utiliza Internet durante 300horas mensuales exactamente es indistinta la empresaa elegir.

El autobús nº 5 hace siempre el mismo re-corrido. Empieza su horario a las 8 de lamañana y termina a las 5 de la tarde. Va

desde el Barrio de la Paz hasta la playaque está a 15 km empleando en el trayec-to 20 minutos; está parado en la playa 12minutos y vuelve al punto de partida em-pleando otros 20 minutos. Para 8 minutosy vuelve a repetir el recorrido. Haz unagráfica que se ajuste a esta situación.¿Qué características tiene esta gráfica?

Esta es la gráfica que muestra el recorrido de este au-tobús desde las 8 de la mañana y que se repite hastalas 5 de la tarde.

Es una función periódica de período 1 hora o 60 mi-nutos.

PÁGINA • 123


1. EL PEQUEÑO ASTUTO. El pequeño astutotiene más de 36 cajas, pero menos de1 991. Las dispone todas en una pila trian-gular y luego las dispone formando una pilacuadrada. ¿Cuántas cajas tiene?

Hay que buscar un nº que sea a la vez triangular y cua-drado.

N.os triangulares: 1, 3, 4, 10, 15, 21, …,

N.os cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, …, n2.

esto se cumple para n = 8, pues

Como dice que tiene más de 36 cajas, hay que buscarotra solución, y ésta es:

n = 49, pues

Luego x2 = 1 225 cajas tiene.

49 492

35 1 2252

2+ = = .

8 82

362

2 2+ = ⇒ =x x .

⇒ + = ⇒n nx

22

2

n n2

2+

km

Horas

109 118

15

15

14

Nº de afiliados

O Años

750

21 3 4 5 6

5 250

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000


2. IGUALDAD. ¿Será cierta la siguiente igual-dad?

Observamos que

Luego:

Sumando:

3. TOSTADO RÁPIDO. Hay que tostar en untostador tres rebanadas de pan. En el tos-

tador caben dos rebanadas a la vez, perosólo se tuestan por un lado. Se tarda 30 se-gundos en tostar una cara de una rebanadade pan; 5 segundos en colocarla en el tos-tador; 5 segundos, en sacarla; y 3 segun-dos, en darle la vuelta. ¿Cuál es el mínimode tiempo que se necesita para tostar lastres rebanadas?

Sean A, B, C, las tres rebanadas

Con A1 indicamos que se tuesta la cara 1 y con A2 in-dicamos que se tuesta la cara 2.

1.º A1 B1 tarda: 30 segundos: tostar cara A1 y B1

5 s: colocar A1

5 s: colocar B1

5 s: sacar B1

2.º A2 C1 3 s: dar la vuelta A1

5 s: meter C1

30 s: tostar cara A2 y C1

3 s: dar la vuelta C2

3.º B2 C2 5 s: sacar A2

5 s: meter B2

30 s: tostar B2 y C2

5 s: sacar B2

5 s: sacar C2

En total se necesitan: 136 s en tostar las 3 rebanadas.

⇒⋅

+⋅

+⋅

+ … +⋅

+⋅

=11 2

12 3

13 4

1998 999

1999 1 000

0 999,

11 2

11

12

12 3

12

13

13 4

13

14

1998 999

1998

1999

1999 1 000

1999

11 000

⋅= −

⋅= −

⋅= −

… = … − …

⋅= −

⋅= −

11

11

12

( ).

n n n nn

− ⋅=

−− ≥ con

11 2

12 3

13 4

1998 999

1999 1 000

0 999

⋅ ⋅ ⋅…

⋅ ⋅

+ + + +

+ + = ,



1. Representar gráficamente funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa y anali-zar sus propiedades.

2. Asociar funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa a fenómenos concretos.

3. Valorar la utilidad del lenguaje gráfico en el estudio de fenómenos económicos, naturales y sociales.

4. Conocer algunas funciones asociadas a la oferta y demanda del mercado.

• Representando gráficamente muchas funciones polinómicas y racionales.

• Utilizando las funciones polinómicas y racionales en contextos reales.

• Haciendo uso de la calculadora en las representaciones gráficas.

• Utilizando las representaciones gráficas con el fin de deducir propiedades y resolver problemasde optimización.




PÁGINA • 125


1. Dibuja las gráficas de las siguientes funcio-nes y estudia sus propiedades:f (x ) = 4; g (x ) = 2x;h (x ) = –3x + 1; i (x ) = x2 – 4x

• f (x) es una función constan-te.

Dom f = �

Im f = {4}

Acotada por 4.

• h (x) es una función afín.

Dom h = �

Im h = �

Estrictamente decreciente entodo su dominio.

• g (x) es una función lineal.

Dom g = �

Im g = �

Estrictamente creciente entodo su dominio.

• i (x) es una función cuadrática.

Dom i = �

Im i = [–4, +∞)

Acotada inferiormente (–4).

Estrictamente decreciente(–∞, 2).


Mínimo (2, –4).

2. Indica cuáles de las siguientes magnitudesson inversamente proporcionales:

a) El número de invitados a una fiesta y losaperitivos que pueden comerse.

i(x) = x2 – 4x

Y

O X

g(x) = 2x

Y

O X

h(x) = –3x + 1

Y

O X

f(x) = 4

Y

O X


CONCEPTOS

1. Funciones cuyas gráficas son rectas.

2. Funciones cuadráticas.

3. Funciones de oferta y demanda.

4. Funciones de proporcionalidad in-versa.

5. Funciones de la forma y = .

6. Traslaciones de gráficas de fun-ciones.

ax + bcx + d

– Valorar la gran utilidad de larepresentación gráfica parainferir propiedades de lasfunciones.

– Curiosidad por abordar ma-temáticamente el estudio defenómenos sociales y eco-nómicos.

– Sensibilidad y gusto por lapresentación, orden y lim-pieza en la representacióngráfica de las funciones.

– Valorar la utilidad de lasgráficas en el estudio de fe-nómenos económicos y so-ciales.

• Representar gráficamentefunciones constantes, linea-les, afines, cuadráticas y deproporcionalidad inversa; yanalizar sus propiedades.

• Interpretar fenómenos con-cretos a través de las gráfi-cas de las funciones que lasdescriben.

• Utilización de las gráficasde las funciones cuadráti-cas en la resolución de pro-blemas de optimización.

• Representar funciones apartir de la gráfica de unadada por traslación verticalu horizontal de esta.



b) El número de lápices adquiridos y el pre-cio pagado por ellos.

c) La dosis de un jarabe y el peso del en-fermo.

d) El número de mecanógrafas y el tiempoque tardan en hacer un determinado tra-bajo.

Son magnitudes inversamente proporcionales las queintervienen en las cuestiones a) y d).

3. La siguiente tabla muestra el tiempo queemplea un autobús de línea regular en rea-lizar el trayecto entre dos ciudades en fun-ción de la velocidad media que lleva:

Encuentra la expresión algebraica corres-pondiente a la función que define esta tabla.¿Cuál es la distancia entre estas ciudades?

La expresión algebráica correspondiente es:

t =

La distancia entre estas ciudades es de 400 km.

PÁGINA • 136


1. A partir de la gráfica de la función y = representa las gráficas de las funciones:

y = – 1; y = + 2.

2. Dibuja las gráficas de las funciones y = 3 + x3,y = x3 – 1 utilizando la gráfica de la fun-ción y = x3 de la página siguiente.

PÁGINA • 137

1. A partir de la gráfica de la función y = x2

encuentra las gráficas de las funciones:

y = x2 – 6x + 9, y = x2 + x +

2. Dibuja las gráficas de las funciones

y = (x + 2)2 – 1, y =

a partir de las gráficas de las funciones co-rrespondientes.

y = (x + 2)2 – 1

Proviene de y = x2 trasladada 2 unidades a la iz-quierda y 1 hacia abajo.

2x – 2

Y

XO

y = x2

y = (x – 3)2)(y = x + —12

2

14

Y

XO

y = x3 + 3

y = x3 – 1

y = x3

Y

XO

y = — + 22x

y = —2x

2x

2x

2x

400v

Velocidad (km/h)

Tiempo (h)

4,21

80 85 90

5 4 71 4 44

95 100 105 110 115

4 3 81 3 64 3 48

, ,

, , ,


y = proviene de y = trasladada 2 unida-

des hacia la derecha.

PÁGINA • 138


Resuelve las cuestiones que siguen:

a) Halla la función lineal cuya gráfica parapor el punto (5, 3).

b) La recta que pasa por los puntos (1, 2)y (–1, –2), ¿es una función constante, li-neal o afín?

c) Halla la ecuación de la recta que pasapor los puntos A (1, –3) y B (–2, 6).

d) Averigua si los puntos (0, 7), (3, –6) y(–3, –8) están o no alineados.

a) La función es y = · x

b) Es una función lineal de ecuación y = 2x

c) La ecuación es y = –3x

d) No están alineados.

Realiza la gráfica de las siguientes funcio-nes:

a) f (x) = ||x – 1|| b) g(x) = |x| +

c) h(x) = |x| –

Representa gráficamente las siguientesfunciones definidas a trozos:

a) f(x)x

x xx x

b) g(x)

x xx

x x

c) h(x)x x

xx x

=< −

− − ≤ <− ≥

=

− ≤− =

>

=− ≤− < ≤

− >

3 11 2 1 13 1 1

5 2 12 2

12

2

21 2 5

6 5

sisisi

sisi

si

sisisi

3

Y

XO–2 1

3

–1

g(x) =|x|– —|x|x

Y

XO 2–1

g(x) =|x|+ —|x|x

3

–1

Y

XO

f(x) = |x – 1|

3–1

|x|x

|x|x

2

35

1

2x

2x – 2

Y

XO

y = —2x – 2

y = —2x

2

Y

XO

y = x2

y = (x + 2)2 – 1

–2–1


Estudia en cada una de ellas: dominio, re-corrido, monotonía, extremos relativos,acotación y simetría.

• y = f (x)

Dom f = �

Im f = (–1, +∞)

Estrictamente decreciente:(–1, 1).


No tiene extremos relativos.

Está acotada inferiormente por (–1).

No es simétrica ni respecto al eje de ordenadas nirespecto al origen.

• y = g (x)

Dom g = (–∞, 1] � [2, +∞)

Im g = �

Estrictamente creciente:(–∞, 1) � (2, +∞).

No tiene extremos relativos.

No está acotada.

No tiene simetrías.

• y = h(x)

Dom h = �

Im g = [–2, +∞)

Estrictamente decreciente (–∞,2)

Estrictamente creciente (5,+∞)

Carece de extremos relativos.

Está acotada inferiormente por 2 y no está acotadasuperiormente, luego no está acotada.

No tiene simetrías.

Los muros de las viviendas de una deter-minada urbanización se han construido contres revestimientos aislantes de 10 cm degrosor.

Para un determinado instante de tiempocon una temperatura exterior de 5 °C la si-guiente función, f (x), describe la tempera-tura en un punto del muro situado a unadistancia x cm del interior de la vivienda.

Representa gráficamente la función f (x).

La bajada de bandera de un taxi está en 1euro y cada 3 minutos sube 0,2 euros elmarcador. Dibuja la gráfica correspondien-te a la primera media hora e indica el cos-to de una carrera de 15 minutos y 30 se-gundos.

Una carrera de 15 min30 s cuesta 2,2 euros.

En la Oficina Central de Correos de ciertopaís están expuestas las tarifas del serviciode cartas, que son las siguientes:

Cartas hasta 20 g de peso: 0,2 euros. Porcada 10 g o fracción de 10 g de exceso depeso: 0,03 euros más.

a) Escribe la expresión algebraica de lafunción y = f (x), donde x representael peso de la carta e y, el precio quehay que pagar por enviarla, hasta unpeso máximo de 50 g.

b) Representa gráficamente la funciónf (x).

6

P (€)

t (m)

O

1

2

3

63 9 12 15 18 21 24 27 30

f x

xxxx

x

= ( )

<<<<

<

≤≤≤≤

≤

1 2 01 4 31 6 61 8 9

3 2

36912

30

,,,,

...........................

si si si si

si 7

5

T (°C)

x (cm)O 10

y = f(x)

5 15 20 25 30

5

10

15

20

f(x)x xx xx x

=− + < ≤− + < ≤− + < ≤

0 8 22 100 4 18 1 200 5 20 2 30

,,,

0 cm0 cm0 cm

4

y = h (x )

–1–1

1

2

–2

–2

1 2 X

Y

O 5

y = g (x )

–1–1

1

2

–2

–2

1 2 X

Y

O

–1–1

1

3

y = f (x )

X

Y

O


PÁGINA • 139

Una determinadaempresa nos ofrecela oferta siguientepor conectarnos aInternet:— Cuota mensual de

abono 6 euros.— Cada hora de conexión 1,8 euros.

a) Encuentra la función que nos indique elprecio a pagar mensualmente, segúnlas horas que se haya establecido cone-xión.

b) Representa gráficamente esta función.c) La empresa carga un 16 % de IVA.

¿Cómo afecta esto a la función anteriory a su gráfica?

a) La función es P = 6 + 1,8 · t, donde P es el pre-cio a pagar en euros y t es el tiempo en horas.

b)

c) La función será:

Todas las ordenadas de esta función quedan multi-plicadas por 1,16.

Dibuja, para cada una de las siguientes fun-ciones cuadráticas, sus respectivas gráficas:a) f (x) = x2 – 8x + 12b) g(x) = x2 – 6x + 9c) h(x) = x2 – 2x + 3d) i (x) = –x2 + 4x – 6e) j (x) = –x2 + 6x – 5f ) k (x) = –x2 – 4x – 4

Estudia en cada una de estas funciones: do-minio, recorrido, monotonía, extremos re-lativos, acotación y simetría.

a) Dom f = �Im f = [–4, +∞)Estrictamente decreciente en

(–∞, 4).Estrictamente creciente en

(4, +∞).Mínimo relativo (4, –4).Acotada inferiormente por(–4). Mínimo absoluto es –4.Es simétrica respecto a su eje

x = 4.

b) Dom g = �Im g = [0, +∞)Estrictamente decreciente en


(3, +∞).Mínimo relativo (3, 0).Acotada inferiormente por 0. Mínimo absoluto es 0.Es simétrica respecto a su eje

x = 3.

c) Dom h = �Im h = [2, +∞)Estrictamente decreciente en


(1, +∞).Mínimo relativo (1, 2).Acotada inferiormente por 2. Mínimo absoluto es 2.Es simétrica respecto a su eje

x = 1.

y = h(x)

O X

Y

y = g(x)

3O X

Y

y = f(x)

O

–4

2 4 6

X

Y

8

f x P t( ) ( , )= = +116100

116100

6 1 8

0 1 2 3 4 5 6

6

12

18

P(euros)

7,8

15

t (h)

7

f(x) =

<

<

<

<

≤

≤

≤

≤

0 2 0

0 23 2

0 3

0 4

20

30

40

50

,

,

si

si 0

,26 si 0

,29 si 0

x

x

x

x

Precio (€)

Peso (g)

O

0,2

0,3

2010 30 40 50


d) Dom i = �; Im i = (–∞, –2]

Estrictamente creciente en(–∞, 2).

Estrictamente decreciente en(2, +∞).

Máximo relativo (2, –2).

Acotada superiormente por–2. Máximo absoluto es –2.

Es simétrica respecto a su ejex = 2.

e) Dom j = �

Im j = (–∞, 4]

Estrictamente creciente en(–∞, 3).

Estrictamente decreciente en(3, +∞).

Máximo relativo (3, 4).

Acotada superiormente por4. Máximo absoluto es 4.

Es simétrica respecto a sueje x = 3.

f) Dom k = �

Im k = (–∞, 0]

Estrictamente creciente en(–∞, –2).

Estrictamente decreciente en(–2, +∞).

Máximo relativo (–2, 0).

Acotada superiormente por0. Máximo absoluto es 0.

Es simétrica respecto a sueje x = –2.

Encuentra las ecuaciones o expresiones al-gebraicas de las funciones cuyas gráficasson las adjuntas.

y = g(x) = –x2 – 4x – 3 y = f(x) = x2 – 4x + 6

Resuelve las cuestiones que siguen:

a) Halla una función cuadrática que seanule, para x = 1 y para x = –1.¿Cuántas soluciones hay?

b) Estudia los intervalos en los cuales lafunción cuadrática f (x) = x2 – 6x + 5es positiva y los intervalos en los que esnegativa. ¿Se anula para algún valor?

c) Halla los intervalos en los cuales las or-denadas de la función f (x) = x2 – 5x + 6sean iguales o superiores a 2.

a) Hay infinitas soluciones. Una de ellas es y = x2 – 1

b)

A la vista de la gráfica te-nemos que:

f (x) > 0 en (–∞, 1) �(5, +∞).

f (x) < 0 en (1, 5)

f (x) = 0 en x = 1 y x = 5.

c) f (x) = x2 – 5x + 6 ≥ 2 ⇒ x2 – 5x + 4 ≥ 0.

Veamos los intervalos paralos cuales la función

g (x) = x2 – 5x + 4es positiva o nula. Para ellodibujamos su gráfica:

g (x) > 0 en (–∞, 1) � (4, +∞).

g (x) = 0 en x = 1 y x = 4.

Luego f (x) ≥ 2 en (–∞, 1] � [4, +∞)

Las funciones que aparecen a continua-ción, representan el beneficio, expresadoen miles de euros, que obtiene una em-presa por la fabricación de x unidadesde dos productos distintos.

f (x) = (–x2 + 100x – 1 600)

g(x) = 10x – x2 – 21

a) Representa gráficamente las funciones.

b) ¿Cuántas unidades hay que fabricar decada producto para que no se produz-can pérdidas?

c) ¿Cuál es el mayor beneficio posible?¿Cuántas unidades deben fabricarse?

190

11

y = g(x)

4

4–1O X

Y

y = f(x)

5

3

–4

O X

Y

10

y = f (x )

10 2 3 4

1

2

3

4

5

6

Y

X

y = g (x )

–3

–2

–1

1

0–4 –3 –2 –1

Y

X

9

y = k(x)

O X

Y

y = j(x)

–2

–5

31 5

O X

Y

y = i(x)–2

–6

2

O X

Y


a)

b) En el primer caso hay quefafricar entre 20 y 80 uni-dades y el segundo casoentre 3 y 7 unidades.

c) En la función f(x) el ma-yor beneficio se produceal fabricar 50 unidades yeste beneficio es de10 000 euros.

En la función g(x) elmayor beneficio se pro-duce al fabricar 5 unida-des, y este beneficio es de4 000 euros.

PÁGINA • 140

Considérese la función

La variable y = f (t) representa el precio(en euros) de un producto que ha estadodiez años en el mercado, correspondiendot = 0 a la salida del producto al mercado.

a) Calcúlense los valores a y b si elproducto salió al mercado con un pre-cio de 54 euros y alcanzó su preciomáximo después de 4 años.

b) ¿Durante cuánto tiempo el precio su-peró los 48 euros?

a) t = 0 ⇒ b = 54 euros.El precio máximo lo alcanzó para t = 4, luegoa = 8.

b) El precio superó los 48 euros para los valores de tentre 0 y 8 que verifiquen la inecuación:

–t2 + 8t + 54 > 48y esto se verifica � t � [0, 8].

La economía de un gran almacén de za-patos se rige por las siguientes funcionesde oferta y demanda:

fo(p) = p + 100

fd (p) = – p +

Halla el precio y el número de unidadesque se deben fabricar para que la oferta yla demanda coincidan, es decir, «preciode equilibrio» y «cantidad de equilibrio».

El precio de equilibrio se consigue cuando coincidenambas funciones:

El precio de equilibrio es de 5 000, y la cantidad deequilibrio es 2 000 unidades.

Las funciones de oferta y demanda corres-pondientes a un taller de alfarería son:fo(p) = 3p + 150 y fd (p) = 300 – 2psiendo p el precio unitario en euros.

a) Encuentra el precio y la cantidad deequilibrio.

b) ¿Qué ocurre, si el artesano pone unprecio de 40 euros/unidad? ¿Y si elcomprador no está dispuesto a pagarmás de 15 euros/unidad?

a) El precio de equilibrio es p = 30 euros y la canti-dad de equilibrio es 240 unidades.

b) Si pone un precio de 40 euros/unidad, él oferta270 unidades y se demandan sólo 220 unidades.

Si el precio es de 15 euros/unidad, la oferta es de195 unidades y la demanda de 270, es decir, seproduce un desequilibrio.

Una agencia inmobiliaria de una zona tu-rística dispone de apartamentos para al-quilar. La función demanda de estos apar-tamentos obedece a un modelo lineal. Laagencia observa que si el precio, p, de al-quiler mensual por apartamento es de 600euros, ésta alquila 100 apartamentos,mientras que si el alquiler mensual es de

15

14

1950

10023

16 0003

5 000p p p+ = − + ⇒ =

fd (p) = nº de unidades queel mercado pide

p = precio que paga porunidad

16 0003

23

fo(p) = nº de unidades queel almacén produce

p = precio de cada unidad

1950

13

f(t) t at b tt t

= − + + ≤ ≤− + < ≤

2 si 0si

817 8 10

12

X

O 5 10

Y

–21

5

3 7

y = g (x)

XO

10

20 80

Y

–17,8

y = f (x)


750 euros, entonces alquila 50 aparta-mentos. Obtén la función demanda fd (p)e indica a partir de qué precio la agenciano alquila ningún apartamento.

La función demanda que obedece a estas condicioneses:

fd (p) = 300 – p

No alquila ningún apartamento al precio de 900 euros.

La función que determina la curva (de de-manda) de un producto es f (x) = –2x ++ 16, donde f (x) es la cantidad de pro-ducto fabricado por unidad de tiempo yx es el precio en dólares por unidad. Sedefine el ingreso total como el productox · f (x).Dibuja, en el primer cuadrante, las fun-ciones f (x) y g(x) = = x · f (x).Halla el punto de intersección y determi-na el ingreso total máximo.Si el ingreso total del producto aumentade 14 a 24 dólares, antes de llegar al in-greso total máximo, ¿en qué cantidad au-menta el producto fabricado por unidadde tiempo y en qué cantidad disminuye elprecio del producto?

• El punto de intersec-ción lo hallamos resol-viendo el sistema:

Los puntos de intersec-ción son (8, 0) y (1, 14).

El ingreso total máxi-mo se produce parax = 4 dólares y vale 32dólares.

• El ingreso total pasa de14 a 24 dólares paravalores de x � (1, 2).

La función f(x) que dala cantidad de productofabricado disminuye de14 a 12 unidades, noaumenta y el preciopasa de 1 a 2 dólares.

Un restaurante abre sus puertas a las 12 hy las cierra a las 17 horas. La siguiente ex-presión algebraica muestra el número declientes C en función del número de horasen que está abierto el restaurante:

C = –10h2 + 40h + 50

a) Representa gráficamente esta función.

b) ¿Qué parte de la gráfica tiene sentidoreal? Indica el significado de los pun-tos de corte con los ejes.

c) ¿Durante qué horas aumenta el núme-ro de clientes?

d) ¿Entre qué horas hay más de 80 co-mensales?

a)

b) Tiene sentido real la parte dibujada de la gráfica.Los puntos de corte con los ejes significan que a las12 horas tiene 50 clientes el restaurante y a la horade cierre, las 17 horas, no tiene clientes.

c) El número de clientes aumenta desde las 12 horashasta las 14 horas en que tiene el máximo núme-ro del clientes.

d) Resolvemos la inecuación: –10h2 + 40h + 50 > 80y obtenemos h � (1, 3), es decir, entre las 13 ho-ras y las 15 horas hay más de 80 comensales.

PÁGINA • 141

Representa gráficamente las siguientesfunciones de proporcionalidad inversa,realizando sus correspondientes tablas devalores:

18

Horas

50

13 1614 15 17

Nº Clientes

10

90

12

17

y x x

y x

x

y

x

y

= − +

= − +

⇒

⇒=

=

=

=

2 16

2 16

8

0

1

14

2

ó

X($)O 4 8

Y

2 6

2

16

32

y = f(x)

y = g(x) = –2x2 + 16x

16

13


a) y = b) y = –

c) y = d) y = –

Encuentra la función de proporcionalidadinversa que se adecua a cada una de lassiguientes gráficas:

a) y = – b) y = c) y =

La siguiente tabla muestra el tiempo dellenado de una piscina en función del nú-mero de grifos que se abren:

a) Encuentra más valores para la tabla.

b) ¿Cuál es la expresión matemática de lafunción que se ajusta a la tabla?

c) Realiza la representación gráfica.

a) b) La expresión correspondiente es y = , con

lo cual podemos buscar todos los valores quequeramos.

c) La gráfica correspondiente viene dada por:

La parte negativade la gráfica notiene sentido en elcontexto del pro-blema.

Un cine-club piensa proyectar una granpelícula la próxima semana. El alquiler dela misma cuesta 300 euros que deben pa-gar entre todos los asistentes a la proyec-ción. Encuentra la función real de varia-ble natural que matematiza esta función.Representa esta función gráficamente eindica qué tipo de función obtienes.

La función es y =

Es una función de proporcionalidad inversa. Su gráfi-ca viene dada por:

La parte negativa dela gráfica carece desentido en el con-texto del problema.

O

Precio (€)

Nº Asistentes1

100

200

300

2 3

300x

21

Y

XO

Tiempo (h)

Nº Grifos

1

10

24x

20

4x

8x

6x

4

2

b) Y

XO

3

–2

a) Y

XO

2

2

c) Y

XO

19

y = —3x

a)

3

1

Y

XO

y = – —3x

3

–1

b) Y

XO

y = – —13xy = —13x

c) Y

XO

1

—13

—13

d) Y

XO–1

13x

13x

3x

3x


nº de grifos (x) 2 3 4 5 6

tiempo en horas (y) 12 8 6 24/5 4

Un generador de sonidos emite éstos condistintas longitudes de onda y distintas fre-cuencias, según muestra la siguiente tabla.

a) Completa esta tabla.

b) Representa gráficamente los datos deesta tabla.

c) Encuentra la fórmula matemática aso-ciada a esta función.

22

a)

b)

c) La fórmula pedida es:

y =

Representa gráficamente la función:

PÁGINA • 142

En la función de proporcionalidad inversay = , halla:

a) ¿Para qué valores de x la función esigual o menor que una millonésima?

b) ¿Para qué valores de x la función esigual o mayor que una milésima?

a) ≤ ⇒ x ≥ 106 ⇒ ∀ x ≥ 106

b) ≥ ⇒ x ≤ 1 000 ⇒ ∀ x ≤ 103

Dadas las funciones y = e y = ,

represéntalas gráficamente y encuentrasus asíntotas.

La función y = tiene como asíntotas las rec-

tas de ecuaciones: x = 2; y = 0

8x – 2

y = —8x – 2

–1

Y

XO–1 2 4 6

4

8x – 2

–2x + 1

25

11 000

1x

11 000 000

1x

1x

24

O X

5

Y

1

2

1 2

–1

–1

y = f(x)

23

300x

O X (Frecuencia)100

10

20

30

200 300

Y (Longitudde onda)

Frecuencia 60 75 150 500 800 1 200

Longitud onda 5 4 2 0,6 0,375 0,25

6

50


Frecuencia (ciclos/segundo) 6 60 75 150 500 800 1 200Longitud de onda (metros) 50 5 4 2

f(x) =

<−

+ − ≤ <

+ ≥

3 32

2 1 32

0

1 02

xx

x x

x x

si

si

si

La función

y =

tiene como asíntotas lasrectas de ecuaciones:

x = –1; y = 0

Representa gráficamente las siguientesfunciones, determinando previamente susrespectivas asíntotas.

a) y =

b) y =

c) y =

d) y =

a) Asíntotas: x = –1; y = 4.

b) Asíntotas: y = 3; x = 2.

c) Asíntotas: y = 1; x = –2.

d) Asíntotas: y = –2; x = –2.

Una fábrica dedicada al montaje de dis-positivos para aviones ha calculado que lamedia de dispositivos que prepara cadatrabajador viene dada por la siguientefunción:

y =

siendo x el tiempo en días desde que eltrabajador es contratado. ¿Cuántos dis-positivos prepara un trabajador el primer

60xx + 5

27

y = —–2x – 8x + 2

Y

XO–2

–4

–4

–2

y = —4x + 74x + 8

Y

XO–2

1

y = —6x – 112x – 4

Y

XO 2

2

3

y = —4xx + 1

–1

Y

XO–1

1

4

–2x – 8x + 2

4x + 74x + 8

6x – 112x – 4

4xx + 1

26

–2x + 1

y = – —2x + 1

–1

Y

XO–1

1


día? ¿Cuántos prepara el quinto día? ¿Y eltrigésimo día? ¿Al cabo de cuántos díasprepara 50 dispositivos? ¿Tiene ramas in-finitas esta función? En caso afirmativo,discute su significado.

El 1er día prepara: = 10 dispositivos.

El 5º día prepara: = 30 dispositivos.

El 30º día prepara: = 51,4 dispositivos.

Para preparar 50 dispositivos necesita:

= 50 ⇒ x = 25 días.

El vigésimo quinto prepara una media de 50 disposi-tivos.

Esta función tiene dos ramas infinitas horizontales conasíntota horizontal y = 60. Las ramas infinitas verti-cales no tienen sentido en el contexto del problemaporque están en x = –5.

El sentido de la rama infinita horizontal es que la me-dia de dispositivos que llega a hacer es de 60 comomáximo.

Un gabinete psicopedagógico ha hecho unestudio para determinar la memoria vi-sual de los empleados de un banco. Paraello, se pasó a cada empleado una colec-ción de 60 dibujos y se les dio dos díaspara que los memorizaran. El gabinete de-terminó que, durante cada uno de los 30días siguientes, cada empleado debía es-cribir los nombres de los dibujos que re-cordaban, y obtuvo este gabinete que lamedia de aciertos es:

y =

siendo t el tiempo en días.

Haz una tabla de valores y, a partir deella, dibuja la gráfica correspondiente.

¿Cuántos dibujos recuerda un empleadoal cabo de 8 días? ¿Y al cabo de 10 días?¿Y al cabo de 15 días? ¿Cuál es el menornúmero de dibujos que retiene en la me-moria? ¿Y el máximo?

Estudia las ramas infinitas y asíntotas deesta función.

Al cabo de 8 días recuerda: = 12,7 dibujos.



El menor número de dibujos que retiene en la memo-ria es 8 dibujos.

El mayor número lo da en 50 dibujos.

Esta función presenta dos ramas infinitas verticalescon asíntota vertical la recta t = –1 y dos ramas infi-nitas horizontales con asíntota horizontal y = 8. Lasramas verticales no tienen sentido en el contexto delproblema.

PÁGINA • 143

Cierta entidad financiera lanza al merca-do un plan de inversión cuya rentabilidadRd (x) en miles de euros viene dada por:

Rd(x) = –0,001x2 + 0,5x + 2,5

siendo x la cantidad invertida en miles deeuros.

a) Deduce razonadamente qué cantidadde dinero le conviene invertir a uncliente en dicho plan.

b) ¿Qué rentabilidad obtendrá?

La función Rd(x) es una función cuadrática que al-canza un valor máximo en su vértice. Calculamos estevértice:

x = = 250

y = –0,001 · 2502 + 0,5 · 250 + 2,5 = 65

Por tanto, le conviene invertir 250 000 euros para ob-tener como rentabilidad máxima 65 000 euros.

–b2a

29

y = —8t + 50t + 1

Y

tO–1

8

–6

50

t y

0 50

1 29

2 22

3 18 5

4 16 4

10 11 8

100 8 4

1 000 8 04

,

,

,

,

,

8 · 15 + 5015 + 1

8 · 10 + 5010 + 1

8 · 8 + 508 + 1

8t + 50t + 1

28

60 · xx + 5

60 · 3030 + 5

60 · 55 + 5

60 · 11 + 5


A partir de las gráficas de las funcionesbásicas, dibuja las gráficas de las siguien-tes funciones:

a) y = x 4 – 2

b) y = + 3

c) y = log2 x + 2

d) y = (x – 2)3

e) y =

a) Se obtiene de trasladar la gráfica de y = x4, 2 uni-dades hacia abajo.

b) Se obtiene de trasladar la gráfica de y = , 3unidades hacia arriba.

c) y = log2 x + 2 se obtiene de trasladar y = log2 x,2 unidades hacia arriba.

d) y = (x – 2)3 se obtiene de trasladar la gráfica dey = x 3, 2 unidades hacia la derecha.

e) y = se obtiene de trasladar la gráfica de

la función y = , 1 unidad hacia la izquierda.

A partir de qué gráficas dibujarías las si-guientes funciones y explica cómo lo ha-rías:

a) y = (x – 1)2 + 4

b) y = ex+2 – 2

a) Se obtiene de trasladar la gráfica de la funcióny = x2, 1 unidad hacia la derecha y a esta gráficatrasladarla 4 unidades hacia arriba.

b) Se obtiene de trasladar la gráfica de la funcióny = ex, 2 unidades hacia la izquierda y a la nuevagráfica 2 unidades hacia abajo.

A partir de lagráfica y = f (x)adjunta, dibujalas gráficas delas funciones:

a) y = f (x + 2)

b) y = f (x) – 5

c) y = –f (x)

a)

b)

c)

–2

2

2

4 5

–1

13

1

y = –f (x)

–7

2 4

–5

1

y = f (x) – 5

–2

2

2

1

31

y = f (x + 2)

–1

32

–2

2

2

4 5–1

1

31

y = f (x)

31

1x4

1(x + 1)4

1x 3

1(x + 1)4

1x 3

30


Halla dos números cuya suma sea 18 y suproducto sea máximo.

Los números que suman 18 son x y (18 – x).

Su producto es p = x (18 – x) ⇒ p = –x2 + 18x.

Este producto será máximo en el vértice de la función,es decir, para x = 9; y = 9 y p = 81.

Halla el rectángulo de área máxima quese puede construir con una cuerda de20 cm de longitud.

Llamando x, y a la base y altura del rectángulo res-pectivamente, como el perímetro es 20 cm, se verifi-ca que:

y = 10 – x

por tanto el área del rectángulo es:

A = x (10 – x) = 10x – x2

Es una función cuadrática con un máximo relativo ensu vértice (5, 25). Por tanto, el rectángulo de área má-xima 25 cm2 es un cuadrado de 5 cm de lado.

En un cuadrado de lado 10 cm inscribi-mos otro cuadrado, como se muestra enla figura.

Halla, en función de x, el área de estecuadrado. ¿Cuál es el dominio de la fun-ción?

Halla el valor de x, para el cual el áreadel cuadrado inscrito es mínima.

El área del cuadrado inscrito viene dada por:

A(x) = 2x2 + 100 – 20x

El dominio de esta función es (0, 10) y el área de estecuadrado inscrito es mínimo en el vértice (5, 50), esdecir, para x = 5 cm el área vale 50 cm2.

Un cultivador de naranjas estima que siplanta 60 naranjos en su finca, la pro-

ducción media por árbol será de 400naranjas, pero esta producción dismi-nuirá en un promedio de 5 naranjas porcada árbol de más que plante en la fin-ca. Halla:

a) La función que da la producción totalde naranjas.

b) Mediante la gráfica de esta función en-cuentra cuántos árboles debe plantaren la finca para maximizar la produc-ción. ¿Qué producción máxima llegaráa obtener?

a) La función que da la producción total de naranjasrespecto al número x de árboles que planta es:

P = (60 + x) · (400 – 5x)

P = 24 000 + 100x – 5x2

b) Esta función alcanza el máximo en el vérticex = 10; P = 24 500 naranjas.

Maximiza la producción si planta 10 naranjos másy el máximo lo alcanza en 24 500 naranjas.

PÁGINA • 145


1. VACAS LECHERAS. Cuatro vacas blancasy tres vacas negras dan tanta leche en cin-co días como tres vacas blancas y cinco ne-gras en cuatro días. ¿Qué clase de vaca esla más lechera, la blanca o la negra?

36

10 cm

x

35

34

33


Parábolas que forma el agua en la Fuente de Latona. La Granja de San Ildefonso.

Llamemos B a las vacas blancas y N a las vacas negras:

5 · (4 B + 3 N) = 4 · (3 B + 5 N)

20 B + 15 N = 12 B + 20 N

8 B = 5 N

Dan más leche las vacas negras.

2. IGUALDAD. En un almacén de fruta al-macenamos naranjas en pilas con formade pirámide de base cuadrada. Cada ladode la base lo forman 15 naranjas, ¿cuáles el máximo número de naranjas que po-demos apilar? Intenta generalizar esteproblema.

El número de naranjas de la pirámide es:

12 + 22 + 32 + 42 + … + 142 + 152 = 1 240 naranjas.

En general si el lado de la base es de n naranjas el nºde naranjas en la pirámide es:

3. TRES NAIPES. Tres naipes de una barajaestán colocados boca arriba en una fila ho-rizontal. A la derecha del rey hay una o dosdamas. A la izquierda de una dama hay unao dos damas. A la izquierda de un corazónhay una o dos picas. A la derecha de unapica hay una o dos picas. ¿Puedes decir dequé cartas se trata?

Por medio de ensayo y error dirigido se obtiene:

— Con la información referida a los Reyes (R) y lasDamas (D) llegamos a que puede ser: RDD o DRD.

— Con la información referida a los Corazones (C) ylas Picas (P) llegamos a que puede ser: PCP o PPC.

Juntando los resultados obtenidos llegamos a que lasolución es:

Rey de Picas - Dama de Picas - Dama de Corazones

1 22 32 2 2 2

1

3 2+ + + = = + +

=∑... n i

n n n

i

n

6 naranjas



1. Definir de forma clara y precisa cada una de estas funciones.

2. Identificar funciones con sus gráficas correspondientes.

3. Inferir las propiedades características de las funciones a partir de sus gráficas.

4. Valorar positivamente la utilidad del lenguaje gráfico como potente herramienta en el estudio defenómenos reales.

5. Utilizar correctamente la calculadora en la representación gráfica de funciones.

• Insistir en el concepto de familia de funciones como pieza fundamental en la clasificación de lasmismas.

• Representar gráficas de funciones con ayuda de la calculadora y manipularlas.

• Utilizar las gráficas con el fin de deducir propiedades, comparar expresiones y cantidades, resol-ver problemas de optimización, etc.

• Potenciar el uso del papel vegetal y/o acetatos para construir gráficas de funciones simétricas yde funciones inversas de unas dadas.

• Utilizar diferentes contextos reales para trabajar las familias de funciones.




PÁGINA • 147


1. En cada una de las siguientes gráficas estu-dia: dominio, recorrido, monotonía, acota-ción, simetrías y asíntotas.

a) Dom f = � Im f = �Estrictamente creciente en todo su dominio.No acotada.Simétrica respecto al origen.Tiene dos ramas infinitas parabólicas.Continua en �.

O X

Yc)

O X

Y

O X

Ya) b)


CONCEPTOS

1. Funciones exponenciales.

2. Funciones logarítmicas.

3. Unidades angulares.

4. Razones trigonométricas de un án-gulo agudo.

5. Razones trigonométricas de un án-gulo cualquiera.

6. Reducción de un ángulo al primergiro.

7. Funciones circulares.7.1. Función seno.7. 2. Función coseno.7. 3. Función tangente.

8. Funciones inversas de las funcio-nes circulares.

9. Funciones relacionadas con lasfunciones circulares.

– Valorar la gran utilidad delas representaciones gráfi-cas para inferir propiedadesde las funciones.

– Gusto por la precisión ylimpieza en las representa-ciones gráficas de funcio-nes.

– Reconocimiento y valora-ción de la utilidad del con-cepto de familia de funcio-nes como método paracomparar infinitas funcio-nes con un mismo «tipo decomportamiento».

• Encontrar las propiedadescaracterísticas de una fun-ción dada mediante su grá-fica.

• Utilización de la calculado-ra en la representación grá-fica de funciones y en el es-tudio de sus propiedades.

• Saber asociar a una gráficadada su expresión analíticay viceversa.

• Utilizar estas funciones enla resolución de problemasque requieran su uso.



b) Dom f = � – {0} Im f = (0, +∞)

Estrictamente creciente en (–∞, 0).

Estrictamente decreciente en (0, +∞).

Acotada inferiormente por 0.

Simétrica respecto a OY.

Asíntota vertical: x = 0.

Asíntota horizontal: y = 0.

Continua en � – {0}.

c) Dom f = � Im f = �

Estrictamente creciente en todo su dominio.

No acotada.

Simétrica respecto del origen de coordenadas.Tiene dos ramas infinitas parabólicas.

No tiene asíntotas.

PÁGINA • 164


Representa gráficamente las funciones:

a) y = 3x b) y = ( )x

c) y = ex d) y = 4–x

Ayúdate de la calculadora creando una ta-bla de valores para cada función.

a) y b)

A partir de la gráfica de la función y = ex

representa las gráficas de las funcionesy = ex – 1; y = ex + 2; y = ex–1; y = ex+2.

y = ex–1 se obtiene de trasladar la gráfica de la funcióny = ex, 1 unidad a la derecha.

y = ex+2 se obtiene de trasladar la gráfica de la funcióny = ex, 2 unidades hacia la izquierda.

Demuestra que si el punto (m, p) está enla gráfica de la función y = ax , el punto(–m, 1/p) está también en su gráfica.

(m, p) � y = ax ⇒ p = am

Veamos el punto si también pertenece a la

función:

¿Respecto de qué rectas son simétricas lasfunciones f(x) = 4x y g(x) = 4–x ? Asimis-mo, la función t(x) = 2|x| es simétrica res-pecto de una recta. ¿Qué recta es?

Las funciones f(x) y g(x) son simétricas respecto deleje OY o eje de ordenadas (recta x = 0).

Igualmente, la función y = 2|x| es simétrica respectoal eje de ordenadas.

1

1

y = 4x

–1

4

X

Y

O

y = 4–x

4

aa p

mp

y amm

x− = = ⇒ −

∈ =1 1 1efectivamente ,

−

mp

,1

3

1 2 3–1–2

1

2

3

4

5

–1

e

2

1

y = ex + 2

y = ex

y = ex – 1

Y

XO

2

1

1

y = ex

–1

e

X

Y

O

c)

1

1

y = 4–x

–1

4

X

Y

O

d)

1

1

y = 3x

–1

3

X

Y

O

y = — x

13( )

13

1


Los controles de calidad de una cadena demontaje de ordenadores han obtenido que elporcentaje de ordenadores que siguen fun-cionando al cabo de t años viene dado por:

p(t) = 100 · ( )t

a) Representa gráfi-camente esta fun-ción.

b) ¿Tiene sentidoreal toda la gráfi-ca obtenida?

c) ¿Qué porcentaje de ordenadores siguefuncionando al cabo de dos años? ¿Y alcabo de cinco años?

d) ¿Qué significado tiene el punto de cortecon el eje de ordenadas?

a)

b) La parte negativa de la gráfica no tiene sentido.

c) t = 2 ⇒ p = 64 % siguen funcionando al cabode 2 años.

t = 5 ⇒ p = 32,768 % siguen funcionando alcabo de 5 años.

d) El punto de corte con el eje de ordenadas significael 100 % de ordenadores que funcionan en el mo-mento de salir de la cadena de montaje.

La cantidad de madera de un bosque au-menta en un 50 % cada 100 años. Toman-do como punto de partida y como unidadde medida la cantidad de madera que habíaen este bosque en el año 1600 y como uni-dad de tiempo el siglo:

a) Encuentra la cantidad de madera quehabía en los años 1800, 2000, 1900.

b) Encuentra la función correspondiente.

c) ¿Cuánta madera había en los años1500, 1400, 1450, 1000?

d) Averigua cuándo habrá una masa demadera doble que en 1600 y cuándo lamitad.

e) Averigua cada cuánto tiempo se triplicala cantidad de madera.

a) En el año 1600 hay una unidad de madera.En 1800 había (1 + 50 % de 1)2 = 1,52 unidadesde madera.En 1900 había 1,53 unidades de madera.En 2005 habrá 1,54,05 unidades de madera.

b) La función es y = 1,5t, con t = siglos a partir de1600.

c) En 1500 había 1,5–1 = 0,667 unidades de madera(u m).En 1400 había 1,5–2 = 0,444 u m.En 1450 había 1,5–1,5 = 0,544 u m.En 1000 había 1,5–6 = 0,087 u m.

d) Para que haya doble madera que en 1600 se ha deverificar:

Es decir, en el año 1600 + 171 = 1771.

Para que haya la unidad de madera se ha de verifi-car:

Es decir, en el año 1600 – 171 = 1429.

e) Si consideramos la madera en un tiempo t como1,5t y queremos saber cuánto tiempo t' ha depasar para que la madera se triplique, 3 · 1,5t,obtenemos:1,5t+t' = 3 · 1,5t ⇒ 1,5t' = 3 ⇒ t' = 2,710 siglos

Es decir, cada 2,710 siglos o 271 años, la maderase triplica.

12

1 50 51 5

1 710= ⇒ = =,log ,log ,

– ,t t siglos

2 1 52

1 51 710= ⇒ = =,

loglog ,

,t t siglos

6

0

100

80

60

40

20

1 2 3

p

t

64

51,2

45

5


PÁGINA • 165

Representa gráficamente las funciones:

a) y = log3 x b) y = log1/3 x

c) y = ln x d) y = log1/4 x

Ayúdate de una calculadora creando unatabla de valores para cada función.

A partir de la gráfica de la función y = log2 xrepresenta las gráficas de las funciones:

y = –1 + log2 x ; y = 2 + log2 x ;

y = log2 (x – 1) ; y = log2 (x + 2).

y = –1 + log2 x se obtiene de trasladar la gráfica dey = log2 x, 1 unidad hacia abajo.

y = 2 + log2 x se obtiene de trasladar la gráfica dey = log2 x, 2 unidades hacia arriba.

y = log2 (x – 1) se obtiene de trasladar la gráfica de lafunción y = log2 x, 1 unidad hacia la derecha.

y = log2 (x + 2) se obtiene de trasladar la gráfica de lafunción y = log2 x, 2 unidades hacia la izquierda.

A partir de las gráficas de las funciones si-guientes, compáralas dos a dos:f(x) = 2x g(x) = x 2 h(x) = log2 x

2x > x2 en (–0,75; 2)

2x < x2 en (–∞; –0,75) � (2, +∞)

2x = x2 en x = 2 y x ≈ –0,75

2x > log2 x ; ∀ x � � x2 > log2 x ; ∀ x � �

Representa gráficamente, con ayuda de lacalculadora, las siguientes funciones:

f(x) = 4x g(x) = ( )x

h(x) = log4 x y(x) = log1/4 x

j(x) = 4x + 2 k(x) = log4 x + 4

1

1

–1

4

X

Y

O

f(x) = 4x

g(x) = — x

14( ) 1

–1

4

X

Y

O

i(x) = log x14–

h(x) = log4 x

14

10

1

1

–1 X

Y

O

h(x) = log2 x

g(x) = x2

1

1

–1 X

Y

O

f(x) = 2x

h(x) = log2 x

1

1

–1

4

X

Y

O

f(x) = 2x

g(x) = x2

9

1

y = log2 x

2

4 X

Y

O

1

2

8

1

y = ln x

–1

e X

Y

O

1

–1

4

X

Y

O

y = log x14–

1

1

y = log3 x

–1

3

X

Y

O

y = log x13–

7


Representa gráficamente la función:

En un pueblo dealta montaña se re-pobló una zona conacebos hace 6 años.Inicialmente se pu-sieron 100 ejempla-res y en estos mo-mentos hay 2 010ejemplares de ace-bo. Si sabemos que N = A · eBt es la fun-ción que da el número N de acebos enfunción del tiempo que ha pasado, en-cuentra esta función para este enunciado.¿Cuántos años han de pasar para quehaya 14 850 ejemplares?


La función buscada es:

N = 100 · e0,5t

Para que haya 14 850 ejemplares han de pasar taños, y se debe verificar:

14 850 = 100 · e0,5t ⇒ t = 10 años.

En el contrato de trabajo de un empleadose especifica que cada año se le aumenta-rá el sueldo el 12 % de lo que cobró el añoprecedente, ¿cuántos años tardará en do-blar el sueldo? ¿Cuánto tardará en cuadri-plicar su sueldo? ¿Y en sextuplicarlo?

El sueldo de este empleado al cabo de t años seráy = 1,12t · x, siendo x el sueldo inicial.

• 2x = 1,12t · x ⇒ años

tardará en duplicar su salario.

• 4x = 1,12t · x ⇒ años

tardará en cuadruplicar su sueldo.

• 6x = 1,12t · x ⇒ años

tardará en sextuplicar su salario.

La población de la Tierra, en 1986, era de4 mil millones de personas. Suponiendoque tiene un crecimiento anual del 2 %,¿cuándo se alcanzará una población de10 mil millones?

• Con un crecimiento anual del 2 % al cabo de t años,habrá en la Tierra una población:

P = 1,02t · 4 mil millones de habitantes

• 10 = 1,02t · 4 ⇒ años

Al cabo de 46,27 años la población será de 10 mil mi-llones.

La función y = log x – log ( ) ¿es una

función logarítmica? Razona la respuesta.

No es una función logarítmica, sino una función cons-tante.

y xx x

x= −

= =log log log log2

2

2

x215

log

log ,,

104

1 0246 27= =t

14

loglog ,

,6

1 1215 8t = =

loglog ,

,4

1 1212 23t = =

loglog ,

,2

1 126 12t = =

13

100

2 010

10020 10

6

0 50

6

= ⋅

= ⋅

=

=( ) =

⋅

A e

A e

A

BBln , ,

12

Y

XO e1

1

2

–1

f(x)x xx xx x

=+ ≤

− + < ≤>

2 3 12 1 1

12

sisisi

––

ln

11

1

1

X

Y

O

j(x) = 4x + 2

2

3

1

1

X

Y

O

4 k(x) = log4 x + 4


Considerando la función f(x) = 2 – e–x,calcula:

a) f(0) ; f(1).

b) El valor de x que anulará la función.

c) Los valores de x tales que f(x) = 5/2 yf(x) = 1/2 , respectivamente.

Una fábrica produce dos tipos de ruedasde automóvil: Tipo S y Tipo N. Las ven-tas, en millones de ruedas, de cada unode los tipos sigue las funciones:

Tipo S ≡≡ y = 4t–1 Tipo N ≡≡ y = 2t

t en años.A partir de sus gráficas indica en qué mo-mento vende el mismo número de ruedasde cada tipo. ¿En qué momento vende másruedas de calidad S que de calidad N?

• Para ver en qué momento vende el mismo númerode ruedas de cada tipo resolvemos la ecuación:

4t–1 = 2t ⇒ 22t–2 = 2t ⇒ t = 2 años

Al cabo de 2 años.

• Vende más ruedas S que N para los valores de tque verifiquen la inecuación:

4t–1 > 2t ⇒ 22t–2 –2t > 0 ⇒ t > 2

A partir del 2º año vende más ruedas de calidad Sque de calidad N.

PÁGINA • 166

Crecimiento de la población. ThomasMalthus enunció en su obra “Ensayo so-bre el principio de la población”, publica-

da en 1798, que el crecimiento de la po-blación sería de tipo exponencial, mien-tras que los alimentos crecerían de formalineal. Pero en nuestro siglo los analistashan llegado a la conclusión de que el cre-cimiento de la población es de tipo logís-tico y, desde 1960, se ajusta a la función

P(t) =

siendo t los años transcurridos desde1960 y P(t) la población en millones dehabitantes.

a) ¿Cuál sería la población mundial en elaño 2000?

b) ¿En qué año la población era de 5 000millones de habitantes?

c) Según esta función, P(t), ¿cuál es lapoblación límite del planeta?

a) P (40) = = 6 309,89 millones

de habitantes fue la población en el año 2000.

b) 5 000 = ⇒ t = 27

La población es de 5 000 millones de habitantes enel año 1960 + 27 = 1987.

c) La población límite del planeta es de 36 000 mi-llones de habitantes, que es hacia la recta que se di-rige la curva logística cuando t se hace infinita-mente grande.

Se sabe que cuando comienza el inviernoel número de moscas decrece y en un de-terminado campo de cultivo dicho núme-ro viene dado por

P(x) = 500 000 · e–0,06498x

siendo x el tiempo medido en días.

19

36 0001 + 11 · e–0,02123 · t

36 0001 + 11 · e–0,02123 · 40

36 0001 + 11 · e–0,02123t

18

17

a)

b)

c)

f e fe

e e x

f x e e

f x e e

e x

x x

x x

x x

x

0 2 1 1 21

1 63

2 012

0 69

52

252

12

12

212

32

23

23

0( ) = − = ( ) = − =

− = ⇒ = ⇒ = −

( ) = ⇒ − = ⇒ =

= −

( ) = ⇒ − = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

=

−

− −

− −

; ,

,

ln

Imposible

−− ⇒

= −

0 41

0 41

,

,x

16


a) Determina el número inicial de moscas.

b) Encuentra el porcentaje de moscas su-pervivientes después de 16, 32, 64 y128 días.

a) El número de moscas inicial es de:P(0) = 500 000

b) • Al cabo de 16 días hay P(16) = 176 783,90moscas, que supone un 35,36 %.

• Al cabo de 32 días hay P(32) = 62 505,1 mos-cas, que supone el 12,5 %.

• Al cabo de 64 días quedan 7 813,77 moscas,que supone el 1,56 %.

• Al cabo de 128 días hay P(128) = 122,11 mos-cas, que supone el 0,024 %.

Algunos expertos estimaron, a principiosde los años ochenta, que una determina-da enfermedad tropical muy contagiosacrecía a razón de un 15 % anual. Si su-ponemos que en esta fecha, en una deter-minada región, había 2 000 enfermos dela citada enfermedad y la expresión delcrecimiento viene dada por

P(x) = 2 000 (1 + 0,15)x , se pide:

a) ¿Cuántos enfermos habría a comien-zos de 1983? ¿Y en el año 1990? ¿Yen el año 2000?

b) ¿Cuánto tardará en duplicarse el nú-mero de enfermos?

P(x) = 2 000 (1 + 0,15)x = 2 000 · 1,15x

a) P(3) = 3 041,75 enfermos había en 1983.

P(10) = 8 091,12 enfermos había en 1990.

P(20) = 32 733,07 enfermos había en el año 2000.

b)

Luego en el año 1985 se ha duplicado el númerode enfermos.

Indica el signo de cada una de las si-guientes razones trigonométricas:

a) sen 150° b) cos 285° c) tg 200°

d) cos 170° e) tg 345° f) sen 55°

g) cos 250° h) sen 320° i) tg 27°

j) sen (–120°)

Son positivas las razones trigonométricas de los apar-tados a) b) c) f) i).

Son negativas las de los apartados d) e) g) h) j).

Reduce los siguientes ángulos al primergiro:a) 1 215° b) –60°

c) d) 18 750° e)

A partir de las gráficas de las funcionescirculares halla los valores de x en el in-tervalo [–π, π] que hagan ciertas las si-guientes desigualdades:

cos x ≤ – tg x > 1 2 > sen x

cos x – ≥ 0

• 2 > sen x en todos los valores del intervalo (–π, π).

PÁGINA • 167

Dibuja las gráficas de las siguientes fun-ciones a partir de las gráficas de las fun-ciones circulares:a) y = sen x – 3 b) y = cos x + 2

c) y = sen (x + π) d) y = cos (x – )e) y = 3 sen x f) y = cos (2x)

g) y = sen h) y = –2 cos x

i) y = 3 sen [2 (x – )]π2

x2

x2

24

• ,cos 0 cos en x x− ≥ ⇒ ≥ −

32

32 6 6

π π

• , ,

• , ,

cos en

t en

x

g x

≤ − − −

∪

>

∪ − −

12

23

23

14 2

34 2

π π π π

π π π π

32

12

23

a)

b)

c)

d)

e)

1 215 135 3 360 135

60 300 300

236

690 330 1 360 330

18 750 30 360 52 30

263

1 560 120 4 360 120

° = ° + ⋅ ° ⇒ °

− ° = ° ⇒ °

= ° = ° + ⋅ ° ⇒ °

° = ° + ° ⋅ ⇒ °

= ° = ° + ⋅ ° ⇒ °

π

π

26π3

23π6

22

21

4 000 2 000 1 15 1 15 2

21 15

4 96

= ( ) ⇒ = ⇒

⇒ = =

, ,

loglog ,

,

x x

x

20


En una isla del Pacífico se ha comproba-do que la temperatura media durante elmes de diciembre viene dada por (en gra-dos centígrados):

T = 5 cos [( )· π] + 10 °C

siendo t la hora del día variando en[0, 24).

12 – t12

25

π

1

–1

y = sen x

2π–π

y = 3sen (2x – π)

XO

Yi)3

–3

π

1

–1y = cos x

2π–πX

O

Yh) y = –2 · cos x

–2π

2

–2

π

1

–1 y = sen x

2π–π XO

Yg)y = sen –x2( )

π

1

–1y = cos x

2π–πX

O

Yf)y = cos (2x)

–2π

π

1

–1

y = sen x

2π–π XO

Y

e) y = 3 sen x

–2

2

π

1

–1y = cos x

2π–πX

O

Y

y = cos –x2( )d)

–2π

π

1

–1

y = sen x

2π–π

y = sen (x + π)

XO

Yc)

π

1

–1

2

y = cos x

2π–π

y = cos x + 23

XO

Yb)

–2π

π

1

–1

3

y = sen x

2π–π

y = sen x – 3

–3

XO

Ya)


a) ¿Qué temperatura habrá a las 16 ho-ras? ¿Y a las 8 horas?

b) ¿A qué hora del día la temperatura esde 10 °C? ¿Podrá ser la temperatura0 °C?

c) ¿A qué hora se alcanza la temperaturamínima? ¿Y la máxima?

a) T (16) = 12,5 °C T (8) = 12,5 °C

b) •

A las 6 horas y a las 18 horas la temperatura fuede 10 °C.

•

Nunca podrá ser 0 °C la temperatura.

c) La temperatura mínima fue de 5 °C y la alcanzó alas 0 horas.

La temperatura máxima fue de 15 °C y la alcanzóa las 12 horas.

Una persona está aprendiendo a nadar elestilo «espalda». Transcurridas x horasde entrenamiento, es capaz de nadar, enun minuto, una distancia de y metros,dada por la expresión:

y = 16 (1 – e–0,035x)

a) ¿Qué distancia es capaz de recorrer enun minuto después de 12 horas de en-trenamiento?

b) ¿Cuántas horas de entrenamiento sonnecesarias para recorrer 12 metros enun minuto?

c) ¿Cuántas horas de entrenamiento sonnecesarias para recorrer 20 metros enun minuto?

a) Si x = 12 ⇒ y = 5,48 metros es capaz de re-correr en un minuto después de 12 horas de en-trenamiento.

b) Si y = 12 metros por minuto ⇒

c) Para recorrer 20 metros en un minuto necesita:

20 = 16 (1 – e–0,035x)

1,25 = 1 – e–0,035x ⇒ e–0,035x = –0,25

Esta ecuación no tiene soluciones; por tanto, nun-ca podrá recorrer 20 metros en un minuto me-diante la expresión que da el problema.

Encuentra una solución en cada una delas siguientes ecuaciones:

a) sen y = –

b) x = arc cos

c) tg y = –1

a) sen y

yk

k

= − ⇒

⇒ =° + ° ⋅

° + ° ⋅

12

210 360

330 360

32

12

27

⇒ = −( )= − ⇒ =

=−

=

− ⋅

− ⋅ − ⋅

12 16 1

0 75 1 0 25

0 250 035

39 61

0 035

0 035 0 035

e

e e

x

x

x x

,

, ,, ,

ln ,,

, horas de entrenamiento

26

0 512

1210

1212

2

C cos C

cos

Imposible

° = ⋅ −

⋅

+ ° ⇒

⇒ −

⋅

= − ⇒

⇒

t

t

π

π

10 512

1210

1212

0

6 6

C cos C

cos

horas y horas

° = ⋅ −

⋅

+ ° ⇒

⇒ −

⋅

= ⇒

⇒ = = −

t

t

t t

π

π


Encuentra la expresión algebraica aso-ciada a cada una de las siguientes fun-ciones e indica el período de las mismasy los valores máximo y mínimo que al-canzan.

a)

b)

c)

d)

a) y = sen x – 2

El período es 2π

Los valores máximo lo alcanza en y el

mínimo en .

b) y = cos (3x)

El período es

.

c) y = –sen

El período es 4π.

Máximo (3π, 1) Mínimo (π, –1).

d) y = 2 · cos x

El período es 2π.

Máximo (2π, 1) Mínimo (π, –1).

PÁGINA • 169


1. UN PASO DIFÍCIL. En la subida a un pico demontaña hay que pasar por un sendero muyestrecho en el que es imposible que se cru-cen dos personas, a excepción de un lugar allado del camino en el que hay una pequeñacueva donde tan sólo cabe una persona. Unfin de semana en el que suben muchos mon-tañeros, coinciden dos grupos. Uno de ellos,compuesto por dos montañeros, está su-biendo al pico, mientras el otro, compuestopor tres, está bajando. ¿Cómo puede orga-nizarse el paso de los montañeros para quecada grupo pueda seguir su camino sin queninguno tenga que retroceder?

Los pasos a seguir son los siguientes, llamando ABa los montañeros que suben y abc a los que bajan.

1.º 2.ºAB abc AB bc

a

3.º 4.ºAB bc

aa AB bc

5.º 6.ºa AB bc a AB c

b

7.º 8.ºa AB c

bab AB c

9.º 10.ºab AB c ab AB

c

11.º 12.ºab AB

cabc AB

x

2

Máximo Mínimo 23

13

1π π

, ,

−

23π

32

3π

, −

π2

1, −

2

–2

3π2π

π–π

O

Y

X

1

–1

3π2ππ–π O

Y

X

1

–1

3π2π

π–πO

Y

X

1

–1

3π2ππ–π O

Y

X

–2

–3

28

b)

c)

arc con

tg

x

xk

k

y

yk

k

= ⇒

⇒ =° + ° ⋅

° + ° ⋅

= − ⇒

⇒ =° + ° ⋅

° + ° ⋅

32

30 360

330 360

1

135 360

315 360


2. UNA ABEJA GOLOSA. Sobre una mesa hay 25monedas, cada una delas cuales contiene unagota de miel, colocadascomo indica la figura.Viene volando una abejay se posa sobre una de las monedas paracomerse la gota de miel. Como es muy go-losa, quiere comerse todas las gotas, peropara ello debe pasar de una moneda a otray no pisar dos veces una misma moneda.¿Podrá hacerlo?

Señalamos las monedas con C y X.

• Consideramos el caso de que sólo tengamos 9 mo-nedas.

En este caso hay 5 caras C y 4 cruces X.

Si la abeja parte de una moneda marcada con C,puede hacer el recorrido:

CXCXCXCXC,

pero si parte de una moneda marcada con X, nopuede: XCXCXCXC... falta una C.

• En nuestro caso hay 13 caras C y 12 cruces X.

Si la abeja parte de una moneda marcada con C, esposible el recorrido, pero si parte de una monedamarcada con X no es posible.

3. LA MAGIA DE LOS NÚMEROS. Toma unnúmero cualquiera de tres cifras diferentes,por ejemplo, 472. Dale la vuelta: 274. Res-ta el menor del mayor: 472 – 274 = 198.Invierte este número: 891. Suma los dos úl-timos y obtienes: 198 + 891 = 1 089.¿Ocurre lo mismo con cualquier número detres cifras distintas?

Sea el número inicial xyz ⇒ (100x + 10y + z) –

– (100z + 10y + x) = (x – z) 100 + (z – x)

Si x > z ⇒ z – x < 0 ⇒ hay que poner la expresiónanterior en la forma:

(x – z – 1) 100 + 100 + (z – x) =

= (x – z – 1) 100 + 9 · 10 + (10 + z – x)

La 1.ª cifra de este número es: x – z – 1.

La 2.ª cifra de este número es: 9.

La 3.ª cifra de este número es: 10 + z – x.

Observamos que (x – z – 1) + (10 + z – x) = 9, es de-cir, la 1ª + 3ª siempre da 9 y la 2ª también da 9. Lue-go siempre se cumple el resultado del problema.

C CXX XCC CX



1. Obtener el polinomio interpolador que se ajuste a una tabla de valores dados.

2. Saber determinar el polinomio interpolador por varios métodos.

3. Interpolar y extrapolar valores que no están en una tabla obtenida experimentalmente.

4. Valorar la utilidad de la interpolación en la inferencia de valores.

• Revisando los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, haciendo hin-capié en el método de Gauss.

• Utilizando la calculadora para interpolar y extrapolar valores.

• Obteniendo muchos polinomios interpoladores asociados a diferentes fenómenos con el fin demanjar correctamente los algoritmos de cálculo.




PÁGINA • 171


1. Calcula la ecuación de la función cuadráti-ca que pasa por los puntos (0, 0), (4, 4) y(1, –2).

La parábola que pasa por estos puntos tiene por ecua-ción:

y = a0 + a1x + a2x2 = P (x)

Calculamos los coeficientes:

El polinomio buscado es:y = P(x) = –3x + x2

2. Las diferentes contracciones de un muelle(en mm) sometido a diferentes cargas (enkg) vienen dadas por la tabla:

Halla la función cuadrática cuya gráficapase por los puntos (5, 49), (10, 105) y

(25, 352). Comprueba si esta función apro-xima convenientemente los otros valores dela tabla.

La función cuadrática buscada será de la forma:

f(x) = a0 + a1x + a2x2

Caculamos los coeficientes:

Por tanto,

Para

Para

Esta función nos permite obtener buenas aproxima-ciones de x = 15 y x = 20.

x f= ( ) = + ⋅ + ⋅ =20 20376

294

2079300

20 256 52; ,

x f= ( ) = + ⋅ + ⋅ =15 15376

294

1579300

15 174 172; ,

f x x( ) = + ⋅ +376

294

1579300

2

49 5 25

105 10 100

352 25 625

376

29479300

0 1 2

0 1 2

0 1 2

0

1

2

= + +

= + +

= + +

⇒

=

=

=

a a a

a a a

a a a

a

a

a0

4 4 16

2

03

1

0

0 1 2

0 1 2

0

1

2

=

= + +

− = + +

⇒== −=

a

a a a

a a a

aaa


CONCEPTOS

1. El problema de la interpolación.

2. Interpolación lineal

3. Interpolación cuadrática.

– Valorar la utilidad de la in-terpolación en la inferenciade valores.

– Rigor y claridad en los pro-cesos que nos permiten en-contrar el polinomio inter-polador.

• Obtener, por interpolaciónlineal, un valor intermedioentre dos dados en funcio-nes no algebraicas.

• Obtener el polinomio de in-terpolación cuadrática.

• Interpolar y extrapolar va-lores.

• Obtener el polinomio in-terpolador por diversosmétodos.



Carga x 5 10 15 20 25

Contracción y 49 105 172 253 352

PÁGINA • 179


Obtén la función de interpolación lineal quepasa por los puntos:

(–1, 1) y (2, 4)

Interpola el valor a = 0 y extrapola el va-lor a = 5.

La gráfica adjunta representa dos interpo-laciones lineales. Halla la tabla de valoresque corresponde a los puntos A y B y sucorrespondiente polinomio interpolador.De igual forma calcula la tabla de valores yel polinomio interpolador correspondientea los puntos B y C.

Interpola el valor que corresponde a x = 2y extrapola el valor de x = 6, utilizando,en cada caso, el polinomio adecuado.

Recta AB: (1,2) (3,1)

Polinomio de la forma: f1(x) = a0 + a1 x, y debe veri-ficar:

Luego la función lineal que pasa por A y BA:

De la misma forma la función que pasa por:

Haciendo uso de la interpolación lineal, re-suelve las siguientes cuestiones:

a) Calcula de forma aproximada sen 31° 25’

sabiendo que sen 31° = 0,515038 ysen 32° = 0,529919.

b) Sabiendo que tg 42° = 0,900404 ytg 43° = 0,932515, determina de for-ma aproximada el valor de tg 42° 42’.

c) Calcula cos 10° 25’ a partir de cos 10° == 0,984808 y de cos 11° = 0,981627.

d) Determina el valor de ln 6,3 sabiendoque ln 6 = 1,791759 y ln 7 == 1,945910.

a) Aplicando la interpolación lineal obtenemos:

f(x) = a0 + a1 · x

b) Aplicando la fórmula:

f ay yx x

a x y

tg

tg

( ) ≅−−

⋅ −( ) +

° ≅ − ⋅ +

⇒ ° ≅

1 0

1 00 0

42 420 932515 0 900404

6042 0 900404

42 42 0 09228817

'

', ,

'' ,

' ,

obtenemos :

f

f

a a

a a

aa

x x

sen

31 0 515038

32 0 529919

31 0 515030

32 0 529919

0 0534710 014889

0 053471 0 014889

31 25 0 52123

0 1

0 1

0

1

( ) =

( ) =

⇒

+ =

+ =

⇒==

⇒ = + ⋅

⇒ ° ==

,

,

,

,

,,

, ,

' ,

sen

3

B C f x

f f

f f

x3 1 5 212

12

252

132

652

312

2 112

12

6 312

52

2

1 1

2 2

, ,

• ;

• ;

( ) ( ) = −

( ) = − = ( ) = − = −

( ) = − = ( ) = − =

( ) y es :

f xx152

12( )= −

f a a

f a a

a

a

1 0 1

1 0 1

1

0

1 2 2

3 1 3 1

12

52

( ) = ⇒ + =

( ) = ⇒ + =

⇒

= −

=

1 2 3

Y

XO 4 5

1

2

3

A

B

C

2

La función de interpolación lineal es :

La función buscada es

Para el valor , obtenemos :

Para el valor , obtenemos :

y yy yx x

x x

y x y x

f x x

a

f a f

a

f f

− =−−

⋅ −( )

− = −+

⋅ +( ) ⇒ = +

( ) = +

=

( ) = + ⇒ ( ) =

=

( ) = + ⇒ ( ) =

01 0

1 00

14 12 1

1 2

2

0

0 2 0 2

5

5 5 2 5 7

1


c) Buscamos la función de interpolación lineal quepase por los puntos (10; 0,984808) y(11; 0,981627) y obtenemos:

f(x) = a0 + a1 x

También lo podíamos haber obtenido por medio de:

d) Aplicando la fórmula del apartado (b) o mediantef(x) = a0 + a1x obtenemos:

Determinar el polinomio interpolador cuyagráfica pasa por los puntos:

(–1, 12), (0, 6) y (3, 0)Encuentra por interpolación el valor del po-linomio para x = 2,75 y encuentra por ex-trapolación el valor que toma el polinomiopara x = –1,25.

El polinomio interpolado es:P(x) = a0 + a1x + a2 x2

P(x) = 6 – 5x + x2

P(2,75) = 6 – 5 · 2,75 + 2,752 = –0,1875

P(–1,25) = 6 – 5 · (–1,25) + (–1,25)2 = 13,8125

Encuentra, por interpolación, un polinomiode grado 2 cuya gráfica pase por los pun-tos (1, –5), (2, 2) y (–1, –7).

El polinomio será de la forma:P(x) = a0 + a1x + a2x2

El polinomio buscado es:

P(x) = –8 – x + 2x2

Halla haciendo uso del polinomiointerpolador de segundo grado de la fun-ción f (x) = en los puntos x1 = 121;x2 = 144; x3 = 169.

Buscamos el polinomio interpolador de segundo gra-do que pase por los puntos (121, 11) (144, 12)(169, 13) y será de la forma:

P(x) = a0 + a1 x + a2 x2

Luego el polinomio buscado es:

Obtén la función cuadrática de interpola-ción cuya gráfica pasa por los puntos:

(0, 4), (2, 9), (4, 20)

La función cuadrática buscada es:

P(x) = a0 + a1x + a2 x2

P a

P a a a

P a a a

a

a

a

0 4 4

2 9 2 4 9

4 20 4 16 20

4

134

0

0 1 2

0 1 2

0

1

2

( ) = ⇒ =

( ) = ⇒ + + =

( ) = ⇒ + + =

⇒

=

=

=

7

P x x x

P

( ) = + −

( ) = = ⇒

⇒ ≅

2 574575

1732 760

113 800

15028 1712 300

12 25

150 12 25

2

Luego ,

,

P a a a

P a a a

P a a a

a

a

a

121 11 121 121 11

144 12 144 144 12

169 13 169 169 13

2 574575173

2 7601

13 800

0 1 22

0 1 22

0 1 22

0

1

2

( ) = ⇒ + ⋅ + ⋅ =

( ) = ⇒ + ⋅ + ⋅ =

( ) = ⇒ + ⋅ + ⋅ =

⇒

=

=

= −

√√x

√√1506

− = + +

= + +

− = − +

⇒= −==

5

2 2 4

7

812

0 1 2

0 1 2

0 1 2

0

1

2

a a a

a a a

a a a

aaa

5

12

6

0 3 9

65

1

0 1 2

0

0 1 2

0

1

2

= − +

=

= + +

⇒== −=

a a a

a

a a a

aaa

4

ln

ln

6 31 945910 1 791759

10 3 1 791759

6 3 1 8380043

,, ,

, ,

, ,

≅ − ⋅ +

⇒ ≅

cos ', ,

',

cos ' ,

10 250 981627 0 984808

6025 0 984808

10 25 0 983482583

° ≅ − ⋅ +

⇒ ° =

0 984808 10

0 981627 11

0 003181

1 016618

1 016618 0 003181

10 25 0 983482583

10 25 0 983482583

0 1

0 1

1

0

,

,

,

,

, ,

' ,

cos ' ,

= +

= +

⇒

= −

=

⇒ ( ) = −

°( ) =

° =

a a

a a

a

a

f x x

fCon lo cual


La función cuadrática es:

Obtén el polinomio interpolador cuya grá-fica pasa por los puntos:

(0, 0), (1, 15), (3, 7), (5, 2)Extrapola el valor x = 5,8.

Es un polinomio de tercer grado de la forma:

El polinomio es:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

PÁGINA • 180

Obtén el polinomio interpolador cuya grá-fica pasa por los puntos:

(–1, 2), (0, 3), (1, 2) y (2, 0)Determina los valores que corresponden ax = 1,6 y a x = 2,4.

Buscamos un polinomio de interpolación de grado tres.

Será de la forma: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

Dada la tabla de la función f(x), calculael polinomio interpolador de segundo gra-do cuya gráfica pase por los tres primerospuntos (1, 2), (2, –1) y (3, 6). Determi-na el error cometido cuando se calculaf(4) por extrapolación.

La función buscada es:

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2

Para hacer más sencillo en los cálclos podemos tomarla función cuadrática de la forma

f(x) = A0 + A1 (x – 1) + A2 (x – 1) (x – 2)

a0 + a1 x + a2 x2 = A0 + A1 (x – 1) + A2 (x – 1) (x – 2)

donde desarrollando el segundi miembro y por el prin-cipio de identidad de polinomios tenemos que:


f(x) = 2 – 3 (x – 1) + 5 (x – 1) (x – 2) ⇒

⇒ f(x) = 5x2 – 18x + 15

f(4) = 5 ·16 – 18 · 4 + 15 = 23

Por tanto, el error cometido es 23.

La población activa española en el sectoragrícola en los años que se indican fue:

11

f A

f A A

f A A A

A

A

A

1 2 2

2 1 1

3 6 2 2 6

2

3

5

0

0 1

0 1 2

0

1

2

( ) = ⇒ =

( ) = − ⇒ + = −

( ) = ⇒ + + =

⇒

=

= −

=

a A A A

a A A

a A

0 0 1 2

1 1 2

2 2

3

3

= − +

= −

=

10

a

a

a

a

P x

3161

16

0

1

2

3

⇒

=

= −

= −

=

⇒ (( ) = − − +

( ) = ( ) = −

316

16

1 6 0 856 2 4 0 856

2 3x x x

P P• , , • , ,

P a

P a a a a

P a a a a

P a a a a

0 3 3

1 2 2

2 0 2 4 8 0

1 2 2

0

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

( ) = ⇒ =

( ) = ⇒ + + + =

( ) = ⇒ + + + =

−( ) = ⇒ − + − =

9

P a

P a a a a

P a a a a

P a a a a

a

a

a

a

P x

0 0 0

1 15 15

3 7 3 9 27 7

5 2 5 25 125 2

03 0431201 404120

161120

0

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

0

1

2

3

( ) = ⇒ =

( ) = ⇒ + + + =

( ) = ⇒ + + + =

( ) = ⇒ + + + =

⇒

=

=

= −

=

( )

El polinomio es :

== − +

( ) =

161120

1 404120

3 043120

5 8 15 2656

3 2x x x

P , ,

8

P x x x( ) = ⋅ + +34

42


x 1 2 3 4

f(x) 2 –1 6 0


donde el número de ocupados viene dadoen miles.

a) Obtén la función de interpolación cua-drática.

b) Determina por interpolación el nú-mero de ocupados en el sector agrí-cola en el año 1989 y por extrapola-ción el número de ocupados en elaño 1992.

a) La función es: f(x) = ao + a1x + a2x2

Tomamos 1988 como año 0, 1990 como año 2 y1991 como año 3 y obtenemos:

Luego f(x) = 1 694,2 – 77,65x – 13,35x2

b) f(1) = 1 603,2 ⇒ en 1989 había:1 603,2 ocupados

f(4) = 1 170 ⇒ en 1992 había:1 170 ocupados

En España, en el año 1993, la inflacciónen los meses que se indican fue:

Haz sendas estimaciones para los mesesde agosto y noviembre.

Considerando julio como mes 0, septiembre comomes 2 y octubre como mes 3, obtenemos la funciónde interpolación cuadrática que se ajusta a estos datos:

• f(1) = 4,4; la inflación en agosto es 4,4

• f(4) = 5,3; la inflación en noviembre es 5,3

Los gastos de producción y los ingresospor ventas (ambos expresados en millo-nes de euros) de cierta editorial en losaños que se citan fueron:

a) Obtener el polinomio interpoladorque expresa los ingresos por ventasen función de los gastos de produc-ción.

b) ¿Qué ingresos cabe esperar que ob-tenga la editorial en 1997 si los gastosde producción estimados son de 9 mi-llones de euros?

a) Hallamos el polinomio interpolar cuadrático quepase por los puntos (3, 60) (4,5; 78) (7, 120):

P(x) = ao + a1x + a2x2

es el polinomio buscado

b) Hallamos P(9) = 164,4

Cabe esperar unos ingresos de: 164,4 millones deeuros.

P a a a

P a a a

P a a a

a

a

a

P x x x

3 60 3 9 60

4 5 78 4 5 20 25 78

7 120 7 49 120

40 2

3

1 2

40 2 3 1 2

0 1 2

0 1 2

0 1 2

0

1

2

2

( ) = ⇒ + + =

( ) = ⇒ + + =

( ) = ⇒ + + =

⇒

=

=

=

⇒ ( ) = + ⋅ + ⋅

, , ,

,

,

, ,

13

f a

f a a a

f a a a

aaa

f x x x

0 4 9 4 9

2 4 3 2 4 4 3

3 4 6 3 9 4 6

4 90 7

0 24 9 0 7 0 2

0

0 1 2

0 1 2

0

1

2

2

( ) = ⇒ =

( ) = ⇒ + + =

( ) = ⇒ + + =

⇒== −=

⇒ ( ) = − +

, ,

, ,

, ,

,,

,, , ,

12

a

a a a

a a a

a

a

a

0

0 1 2

0 1 2

0

1

2

1 694 2

2 4 1 485 5

3 9 1 341 1

1 694 2

77 65

13 35

=

+ + =

+ + =

⇒

=

= −

= −

,

,

,

,

,

,

Julio Septiembre Octubre

4,9 4,3 4,6

1994 1995 1996

Gastos de producción 3 4,5 7

Ingresos por ventas 60 78 120

1988 1990 1991

1 694,2 1 485,5 1 341,1

El número de lineas telefónicas instaladasen España en los años que se indican hansido los que aparecen en la tabla.

a) ¿Es lineal el aumento producido en1997?

b) Calcula el valor esperado en 1998 me-diante una extrapolación cuadrática.

a) Hallamos el polinomio de interpolación lineal queserá:

P(x) = 8,547 + 0,335 · x

Veamos si se verifica para el año 1997P(2) = 9,217

no es lineal el aumento

b) Hallamos el polinomio de interpolación cuadráticoy obtenemos:

P(x) = 8,547 + 0,1235 · x + 0,2115x2

Luego el valor esperado para 1998 es de:P(3) = 10,821 millones de líneas telefónicas.

PÁGINA • 181

En la tabla siguiente se indica el tiempo(en días) y el peso (en gramos) de tres em-briones de cierta especie animal:

a) Obtén el polinomio de interpolacióncorrespondiente.

b) Determina a partir de dicho polinomioel peso que corresponderá a un em-brión de 6,5 días.

c) ¿Cuánto tiempo estimas que tendríaun embrión de 52 g?

a) Hallamos el polinomio de interpolación cuadrática:P(x) = a0 + a1x +a2x2

b) P(6,5) = 43,625 g

c) 5 – 5,1x + 1,7x2 = 52 ⇒ x = 6,97

aproximadamente 7 días

Se ha medido la velocidad a la que un ci-clista sube una cuesta: al empezar, pasa-da media hora y pasada una hora, dandolos siguientes resultados:

a) Encuentra el polinomio interpoladorque nos da la velocidad en función deltiempo.

b) ¿Cuál será su velocidad al cabo de 1h15 minutos de empezar?

c) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido paraque lleve una velocidad de 27 km/h?

a) Hallamos el polinomio de interpolación cuadrática:

b) P(1,25) = 6,5625 km/h

c x x

x s

x s

) ,

,

,

30 37 5 15 27

0 08273 4 58

2 41726 2 25 2

2

1

2

− + =

⇒= =

= =

min

h min

P a

P aa a

P a a a

a

a

a

P x x x

0 30 30

12

152 4

15

1 7 5 73

30

37 5

15

30 37 5 15

0

01 2

0 1 2

0

1

2

2

( ) = ⇒ =

= ⇒ + + =

( ) = ⇒ + + =

⇒

=

= −

=

⇒ ( ) = − +

,

, ,

16

P a a a

P a a a

P a a a

a

a

a

P x x x

3 5 3 9 5

5 22 5 25 22

8 73 8 64 73

5

5 1

1 7

5 5 1 1 7

0 1 2

0 1 2

0 1 2

0

1

2

2

( ) = ⇒ + + =

( ) = ⇒ + + =

( ) = ⇒ + + =

⇒

=

= −

=

⇒ ( ) = − +,

,

, ,

15

14


Año 1995 1996 1997

Millones de 8,547 8,882 9,640líneas

tiempo 3 5 8

peso 8 22 73

Tiempo (horas) 0 1

Velocidad (km/h) 30 15 7,5

12

La primera solución se calcula por interpolación y la se-gunda por extrapolación. (La más fiable es la primera.)

Dada la tabla siguiente, obtén por inter-polación el valor :

Calculamos el polinomio de interpolación cuadrática:

Encuentra el valor de a en la siguiente ta-bla de valores para que p(x) sea un poli-nomio de segundo grado:

Calculamos el polinomio de interpolación cuadráticapara los otros tres valores:

En la siguiente tabla se dan los pesos, enkg, de una niña al nacer y en los dos si-guientes meses:

Utilizando un polinomio de interpolación,¿qué peso estimas que tendrá cuando ten-ga año y medio?

¿Puedes estimar, por este procedimiento,cuánto pesará cuando tenga 5 años?

Con el polinomio interpolador podemos calcular (ex-trapolando) el valor para x = 60 que es

P (60) = 38,66 kg

pero este valor no tiene mucho sentido por que estámuy alejado de los puntos que hemos consideradopara calcular el polinomio interpolador.

En una farmacia encontramos junto a lamáquina de pesar una tabla en la que in-dica los pesos ideales de mujeres, en kg,en función de la altura en cm. La tabla es:

a) Calcula por interpolación lineal el pesode una mujer de 168 cm de altura.

b) ¿Qué altura corresponde a una mujerque pesa 62,5 kg?

a) Calculamos el polinomio de interpolación lineal uti-lizando los puntos (160, 52) y (170, 60) por que laaltura que nos piden está entre esos dos valores ypor tanto la interpolación será más precisa:

20

P a

P a a a

P a a a

a

a

a

P x x x

0 3 2 3 2

6 7 3 6 36 7 3

12 11 1 12 144 11 1

3 2

0 675

0 0014

0 0014 0 675 3

0

0 1 2

0 1 2

0

1

2

2

( ) = ⇒ =

( ) = ⇒ + + =

( ) = ⇒ + + =

⇒

=

= −

= −

⇒

⇒ ( ) = − + +

, ,

, ,

, ,

,

,

,

, , ,,

,

2

18 14 9P ( ) = kg pesará a los 18 meses.

19

P a a a

P a a a

P a a a

a

a

a

P x x x

P a

2 14 2 4 14

6 2 6 36 2

8 8 8 64 8

32

11

1

11 32

4 4

0 1 2

0 1 2

0 1 2

0

1

2

2

( ) = ⇒ + + =

( ) = ⇒ + + =

( ) = ⇒ + + =

⇒

=

= −

=

⇒

⇒ ( ) = − − +

( ) = luego = 4

18

P a

P a a a

P a a a

a

a

a

P x x x

P

0 1 1

1 1 4142 1 4142

2 1 7321 2 4 1 7321

1

0 4635

0 04815

0 04815 0 46235 1

0 4 0 6

0

0 1 2

0 1 2

0

1

2

2

( ) = ⇒ =

( ) = ⇒ + + =

( ) = ⇒ + + =

⇒

=

=

= −

⇒

⇒ ( ) = − + +

≈ −

, ,

, ,

,

,

, ,

, ,(( ) = 0 705256,

√√0,417


Meses 0 6 12

Peso (kg) 3,200 7,300 11,100

Altura (cm) 155 160 170

Peso (kg) 48 52 60

PÁGINA • 183


1. SUMAS. Considera los números impares 1,3, 5, 7, etc. ¿Cuánto vale la suma de los nprimeros?

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n – 1 = · n = n2

2. CASTILLO DE NAI-PES. En la figuratienes un castillo denaipes de dos pi-sos. Han sido nece-sarias 7 cartas paraformarlo. ¿Cuántascartas serán nece-sarias para hacer un castillo similar de 15pisos de altura? ¿Cuántos pisos tendrá uncastillo que tiene 3 775 naipes?

1.er piso: se necesitan 2 naipes.2.º piso: se necesitan 5 naipes.3.er piso: se necesitan 8 naipes.4.º piso: se necesitan 11 naipes.Luego en el enésimo piso habrá (3n – 1) naipes.

Una torre con n pisos tendrá: naipes.

Una torre con 15 pisos tendrá:

= 345 naipes.

Veamos cuántos pisos tendrá un castillo de

= 3 775

3n2 + n – 7 550 = 0 ⇒ n = ⇒

3. LAS BICIS. Un padre y un hijo van en sendasbicis a la misma velocidad. La rueda traserade la bici del padre da una vuelta, al tiempoque la rueda trasera de la bici del hijo da

vuelta y media. En la rueda de la bici del pa-dre hay dos marcas, azul y roja, diametral-mente opuestas, y análogamente ocurre enla rueda de la bici del hijo. En un determina-do instante, las dos marcas rojas están sobreel suelo. ¿Cuándo coincidirán por primeravez las marcas azules sobre el suelo?

Imaginamos que la rueda del padre tarda 6 segundosen dar una vuelta y la del hijo 6 segundos en dar vuel-ta y media.

En la situación de partida vuelven a estar al cabo de12", pero en ningún momento coincidirán las marcasazules sobre el suelo.

4. NÚMERO FANTASMA. Tu amigo Juan dicehaber encontrado un número cuyo cuadra-do acaba en tres cifras idénticas. ¿Dice laverdad? ¿Sería cierto si las cifras no pue-den ser cero?

El cuadrado de cualquier número entero termina en 0,1, 4, 5, 6, 9.

Si el número entero es par, su cuadrado es múltiplo de4.

Así, 142 = 196 =•4.

Si el número entero es impar, su cuadrado es múltiplode 4 +1. Así, 132 = 169 =

•4 + 1.

Ahora bien, si el número al cuadrado termina en 111,555, 666 o 999, éstos no son ni múltiplos de 4 nimúltiplos de 4 + 1, luego no pueden ser.

Veamos, pues, los que terminan en 000 o 444.

Efectivamente: 10 000 = 1002 ⇒ acabando encero se cumple.

También 1 444 = 382, luego también se verifica sino son cero las cifras.

5. DESIGUALDAD. ¿Es cierta la siguiente de-sigualdad?:(2n)! > [1 · 3 · 5 · … · (2n – 1)]2 ·

(2n)! = 2n · (2n – 1) · (2n – 2) · ... · 3 · 2 · 1

√2n + 1

PADRE R R R

HIJO R A R

6 6

6 6

" "

" "

→ →

→ →

AAzul

RRojo

AAzul

RRojo

n = 50 pisos

–1 ± 3016

(3n + 1) · n2

3 775 naipes

(3 · 15 + 1) · 152

(3n + 1) · n2

1 + (2n – 1)2

y x y x

y

b x x

− = −−

−( ) ⇒ = −

( ) =

− = ⇒ =

5260 52

170 16060 0 8 7 6

168 58 4

0 8 76 62 5 173 125

, ,

,

, ,

calculamos ahora el valor kg

) , cm


Veamos si es cierta la igualdad anterior transformadaen otra:

2n · (2n – 1) · (2n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 >

> [1 · 3 · 5 · ... · (2n – 1)]2 · ⇒

⇒ > ⇒

⇒ >

Esto es lo que vamos a demostrar por el método de in-ducción.

Para n = 1 ⇒ 2 > ⇒ 2 >

Supongamos que es cierto para n:

>

Veamos que es cierto para n + 1:

¿ > ? ( I )

=

= · >

>

Veamos si es cierto que:

>

Elevando al cuadrado:

(2n + 2)2 (2n + 1) > (2n + 1) > (2n + 1)2 (2n + 3) ⇒

⇒ 16n + 4 > 14n + 3 ⇒ 2n + 1 > 0

Esto siempre es cierto, pues n � N ⇒ es cierta ladesigualdad ( I ) ⇒ es cierto el enunciado.

√2n + 3√2n + 1(2n + 2)(2n + 1)

√2n + 1(2n + 2)(2n + 1)

2n (2n – 2) · ... · 4 · 2(2n – 1) · ... · 5 · 3 · 1

(2n + 2)(2n + 1)

(2n + 2) (2n) (2n – 2) · ... · 4 · 2(2n + 1) (2n – 1) · ... · 5 · 3 · 1

√2n + 3(2n + 2) (2n) (2n – 2) · ... · 4 · 2(2n + 1) (2n – 1) · ... · 5 · 3 · 1

√2n + 12n · (2n – 2) · ... · 4 · 2(2n – 1) · ... · 5 · 3 · 1

√3√2 · 1 + 1

√2n + 12n · (2n – 2) · ... · 6 · 4 · 2(2n – 1) · ... · 5 · 3 · 1

√2n + 12n[1 · 3 · 5 · ... · (2n – 1)]

√2n + 1



1. Estudiar las tendencias laterales finitas mediante tablas de valores y calculadora.

2. Comprender los conceptos asociados a la convergencia de funciones.

3. Interpretar las tendencias infinitas a partir de las gráficas de las funciones correspondientes y de-terminar, si existen, asíntotas.

4. Calcular límites sencillos utilizando las gráficas de las funciones elementales y de las familias defunciones.

5. Valorar la utilidad de la representación gráfica y de la calculadora en el estudio de la convergen-cia y las tendencias infinitas.

• Revisando las representaciones gráficas de las funciones elementales y de las familias de fun-ciones.

• Utilizando tablas de valores, calculadora y representaciones gráficas.

• Insistiendo mucho en los ejercicios de obtención de gráficas de las funciones que se adecuen aunas características prefijadas.

• Utilizando múltiples gráficas para inferir propiedades de las funciones representadas.




PÁGINA • 185


1. Comenta la tendencia de las siguientes fun-ciones:

• f (x) tiende a (3) cuando x tiende a (–∞) y tien-de a (+∞) cuando x tiende a (+∞).

• g (x) tiende a (–∞) cuando x tiende a (–∞) ytiende a (+∞) cuando x tiende a (+∞).

• h (x) tiende a (–2) cuando x tiende a (–∞) ytiende a (2) cuando x tiende a (+∞).

• t (x) tiende a (+∞) cuando x tiende a (–4) ytiende a (–∞) cuando x tiende a (+∞).

PÁGINA • 202


En las siguientes funciones, cuyas gráficasse dan, calcula los valores pedidos:

y = f (x)

1 2 3 4 5

1

–1–1

–2–3–4

–5–6

2

3

1

y = g(x)

O

Y

X

y = f (x)

O

Y

X

y = t (x)

O

Y

X

–4

y = h(x)

2

–2

O

Y

X

3


CONCEPTOS

1. Idea intuitiva de función conver-gente.

2. Límite de una función.

3. Límites infinitos cuando x tiende aun número finito. Asíntota vertical.

4. Límites finitos en el infinito. Asín-tota horizontal.

5. Límites infinitos en el infinito.

6. Asíntotas de una función.

7. Operaciones con límites de fun-ciones.

8. Cálculo de límites sencillos.

9. Funciones continuas.

10. Propiedades de las funciones con-tinuas. Discontinuidad.

– Valorar la utilidad de la re-presentación gráfica en elestudio de la convergencia,las tendencias infinitas y lasasíntotas de las funciones.

– Apreciar la gran utilidad dela calculadora en el estudiode la convergencia y lastendencias infinitas de lasfunciones.

• Calcular las tendencias fini-tas de una función median-te la calculadora o su repre-sentación gráfica.

• Encontrar las asíntotas deuna función dada por sugráfica.

• Representar gráficamentefunciones que se ajustan aunas características dadas.

• Calcular tendencias infini-tas de funciones dadas me-diante su gráfica.

• Calcular límites sencillos.



Identifica cada una de las tres expresionessiguientes con su gráfica correspondiente:

Representa gráficamente funciones que sa-tisfagan las siguientes condiciones:

a) ; f (2) = 5; Dom f = R;

Im f = (–2, +�)

b) ;

g(x) estrictamente creciente en (–�, 1); Im g = (–�, 4]

c) ; ;

h (2) = 3; Dom h = [0, 3]

d)

e) l (x) > 0 x > 2; l (x) ≤≤ 0 x < 2;

f) Dom n = R – (2, 3]; Im n = R; ; ;

n (0) = 0

lím n(x) = –2x → 3+

lím n(x) = 0x → 2–

lím l (x)x → 2

E/

AA

lím t (x)x → 1

lím t (x) =x → 0

lím t (x) =x → –1

lím h(x) = 5x → 2+

lím h(x) = 3x → 2–

lím g(x) = 4x → 1

lím f(x) = –2x → 2

3

a lím g x

b g

c lím g x

x

x

)

)

)

∃ =

=

=

→

→

+/ ( )

( )

( )

1

1

3

1 3

3

lim g(x) = 3x → 1

3

1

c

∃/ lim g(x) = 3 x → 1+

g (1) = 3

3

1

a

3

1

b

2

• ( ) ; ( ) ; (– )

(– ) ; ( ) ;

( ) ; ( ) ;

( ) ; ( ) ;

( ) ; ( )

f f f

f lím f x

lím f x lím f x

lím f x lím f x

lím f x lím f x

x

x x

x x

x x

2 1 5 2 5

6 1

1 1

2 1

3

5

5 6

2 2

5 5

= =

= −

= − = −

= =

=

→ −

→ − → −

→ →

→ →

−

+ −

+ −

− +

no definida;

no existe

==

= =

= − =

= −

=

= −

→ − → −

→

→ →

→

+

3

1 5 1 5

1 2 2 0 2 5

3 2

0

2

2 5 2 5

1

2 2

3

;

( ) , ; ( ) ,

• ( ) ; ( ) ; ( , )

( ) ( ) ;

( ) ; ( ) ;

( ) ;

, ,

–

lím f x lím f x

g g g

g lím g x

lím g x lím g x

lím g x

x x

x

x x

x

no existe;

no existe;

no existe+

+límlím g x

lím g x

x

x

→

→

3

3

–( ) ;

( )

no existe

no existe

• ( ) • ( ) • ( , ) • ( )

• ( ) • ( ) • ( )

• ( ) • ( ) • ( )

–

–

+

+

g g g g

lím g x lím g x lím g x

lím g x lím g x lím g x

x x x

x x x

1 2 2 5 3

1 2 2

3 3 3

→ → →

→ → →

321

–1

–2

y = g(x)

• ( ) • ( ) • (– ) • (– )

• ( ) • ( ) • ( )

• ( ) • ( ) • ( )

• ( ) • ( ) •

– – –

– , –

–

–

+ –

+ –

+ +

f f f f

lím f x lím f x lím f x

lím f x lím f x lím f x

lím f x lím f x lím

x x x

x x x

x x x

2 5 5 6

5 5 6

2 2 5

5 2 5 2

→ → →

→ → →

→ → → ,,( )

5f x


PÁGINA • 203

En las siguientes funciones, cuyas gráficasse dan, calcula los valores pedidos:

• • •

• • •

• Ecuaciones de las asíntotas horizontales yverticales, si es que existen.

• • •

• • •

• Ecuaciones de las asíntotas horizontales yverticales, si es que existen.

• = –�; = +�;

= +�; = –�;

= –1; = –1.

Asíntota horizontal: y = –1.

Asíntotas verticales: x = –1; x = 1.

• = +�; = +�;

= +�; = 0;

= +�; = 4.

Asíntota horizontal: y = 0.

Asíntota vertical: x = 2.

Representa gráficamente funciones que sa-tisfagan las siguientes condiciones:

a) Asíntota vertical en x = –2;

b) ; ;

;

c) h (–4) = 2; ; lím h(x) = –�x → –2–

lím g(x) = +�x → +�

lím g(x) = –�x → 3–

lím g(x) = –�x → 3+

lím g(x) = 1x → 1

lím f(x) = 2x → +�

lím f(x) =x → –�

5

lím g(x)x → 1

lím g(x)x → +�

lím g(x)x → –�

lím g(x)x → 2

lím g(x)x → 2+

lím g(x)x → 2–

lím f(x)x → –�

lím f(x)x → +�

lím f(x)x → 1+

lím f(x)x → 1–

lím f(x)x → –1+

lím f(x)x → –1–

lím g(x)x → 1

lím g(x)x → +�

lím g(x)x → –�

lím g(x)x → 2

lím g(x)x → 2+

lím g(x)x → 2–

1 2

4

y = g(x)


lím f(x)x → +�

lím f(x)x → 1+

lím f(x)x → 1–



–1

–1

1

y = f (x)

4

f)e)

1

3

3

y = n(x)

02

y = l (x)

0 –1–2 –2

2

d)c)

5

23

1

y = t (x)

02

y = h(x)

0 3 –1

b)a)

2

y = f (x)

0

54

1

y = g(x)

0


; ;

d) t (0) = 1; ;

;

Calcula los límites siguientes:

PÁGINA • 204

Dada la función:

calcula: ; ;

; ;

; ;

; .

Comprueba los resultados obtenidos pormedio de la gráfica.

lím f (x) lím x

lím f (x) lím

lím f (x)

lím f (x) lím

lím f (x) lím x

x x

x x

x

x x

x x

→ − → −

→ − → −

→ −

→ →

→ →

− −

+ +

− −

+ +

= − = −

= − = −

⇒

⇒ = −

= − = −

= + =

⇒

1 1

1 1

1

2 2

2 2

2 1 3

3 3

3

3 3

1 3

( )

( )

( )

( )

lím f(x)x → +�


lím f(x)x → 2

lím f(x)x → 2+

lím f(x)x → 2–

lím f(x)x → –1



fx x

xx x

(x) =si <si <

+ si

2 1 13 1 2

1 2

– –– – ≤≤

≥≥

7

c) límx

d) lím x

e) lím f) límx

g) límx

h) límx

i) límx

j) lím x

k) lím

x x

x x

x x

x x

→ − → −

→ − →

→ →

→ + → −

= = −

− = − = +

− = = −

= =

+

−

3 25

0 10

10 0 13

13 1

6

1 19

7 74

10

1

10 2 2

�

�

�

�

�

�

�–

( )

xx x

x x

x x

x x

x x

x l) límx

m) límx

n) límx

ñ) límx

o) lím x

p) lím x q) lím x

r) límx

s) lím x

→ →

→ →

→ + → −

→ → −

−

→ → +

−

+ −

+

= = +

= + = −

= = +

− = − + = −

= +

0

3

0 6

0 7 0 7

66

1

2

1

1

0 97

07

1 1

10

3 2 2 1

1

�

� �

�

�

� �

�

( ) ( )

== +�

a) lím b) lím xx x→ → +

= =0

52 2 0�

–

a) lím b) lím x c) límx

d) lím x e) lím f) límx

g) límx

h) límx

i) límx

j) lím x k) lím x l) límx

m) límx

n) lím

x x x

x x x

x x x

x x x

x

→ → →

→ → →

→ → →

→ → →

→

−

0

5

3 2

5

0 10

10 0 13 13

1

6

0

3

0 6

0 7

2 1

7 4

1 1 1

2 7

1

+

+

+

+

�

� �

� �

–

–

– –

–

–

(– )

–

–

xx x

x x x

x x

xñ) lím

x

o) lím x p) lím x q) lím x

r) límx

s) lím x

→ →

→ → →

→ →

− +

0 7 6

6

1

2

1

1

0 97

1 1

3 2

1

–

– –

–( ) ( )

+

++

�

�

�

6

–2 0

2y = f (x)

a)

10

y = g(x)

b)

1

3

–2 0

2

y = h(x)

c)

20

y = t (x)

d)

1

3–4 –12

2

lím t(x) = +�x → 3+

lím t(x) =x → 3–

lím t(x) = 2x → 2

lím t(x) = –�x → 0+

lím h(x) = –1x → 2+

lím h(x) = 2x → 2–

lím h(x) = +�x → –2+


Calcula los siguientes límites:


b) límx x

x x x

límx x

x x x

c) límx

x x

límx xx x

d) límx

x

lím

x

x

x

x

x

x

→

→

→

→

→ −

→

+

− +=

= +

− +=

−

− −=

= − +− +

=

−

+=

=

0

2

3 2

0 2

3

2

2

3

1

4

3

21

2 11

9

5 13 63 33 5 2

617

1

1

0

0

0

�

�

�

0

0

0

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

−−

→ →

→

→

+ +

+ − += −

−−

=−( ) +( )− +( ) =

= −− +( ) =

− +

1

3 3

3

2

2

1 1 1

1 1

43

32 6

3 3

2 6 3

3

2 3 3

1

4 3

5 6

0

0

( ) ( – ) ( )

( ) ( )

( )

( )

x x x

x x x

e) límxx

límx x

x x

límx

x x

f) límx x

x

x x

x

x

2

2

0

0

�

�

22 2 2

0

4 4

2 3

2

1 12

0

0

− += − −

−= ±

− − =

→

→

xlím

x x

x

g) límxx

x

x

�

�

0

0

( ) ( )

( )�

a) límx

x x x

límx x xx x x

x

x

→

→

−

+ −=

= − + +− +

=

1

3

3 2

1

1

2 3

1 11 3

34

0�0

2( ) ( )( ) ( )

a) límx

x x xb) lím

x x

x x x

c) límx

x xd) lím

x

x

e) límxx

f) límx x

x x

g) límxx

h) límx

x x

x x

x x

x x

→ →

→ →

→ →

→ →

−−

1

3

3 2 0

2

3 2

3

2

2 1

4

3

3 2

2

2

0 1

2

1

2 3 2

9

5 13 6

1

1

32 6

5 6

4 4

1 12

–

– –

–

– –

–

–

–

– –

–

+

+

+

+

+

+

–––11

22 22

2

x

i) límx xxx →

−+ −

9

a) lím x x

b) límx x

c) lím x x

d) lím x x

e) límx x

x

f) límx x

x

x

x

x

x

x

x

→ +

→ −

→ −

→ −

→ +

→ +

− + = +

− +=

− + = +

− + − = +

− =

− +

− +

�

�

�

�

�

�

�

�

�

[ ]

[ ]

[ ]

–

–

2 7 2

2

3 5 20

4 7 5

3 2 4

5 1

2 30

2 7 5

2 4

3

2

4

5

2

3

2

2

+

xx

g) límx

x

h) límx x

x

i) límx

x x

x

x

x

−= −

+ =

+= +

+

+ +=

→ +

→ −

→ +

31

72

12

3 2

4 5

6 2

23

2

4

2

2

�

�

�

�–

a) lím x x b) límx x

c) lím x x d) lím x x

e) límx x

xf) lím

x x

x x

g) límx

x x

x x

x x

x

→ →

→ →

→ →

→

−

+

+ +

+

++

+ +

+ +

+

+

� �

� �

� �

�

[ – ]–

[ – ] [– – ]

–

–

–

– –

–

– –

2 7 2 2

3 5 2

4 7 5 3 2 4

5 1

2 3

2 7 5

2 4 3

72

32

4 5

2

3

2

2

2

xxh) lím

x x

x

i) límx

x x

x

x

→

→

+

+

+ +

–

–�

�

3 2

4 5

6 2

2

4

2

2+

8

–2

01

y = f (x)

–1 2

2

3

4

5

–1

–2–3

–4

–5

lím fx →

⇒2

(x)(x)

lím f (x) lím f (x)x x

no existe

→ − → += − = +

� �� ;


Calcula los límites siguientes:


a) límxx

e

e e

b) límx x

x x

e

x

x lím xx

x

límx

x

x

x

límx

x

x

x

→ +

−+

−

−+ −

→ +

−+

= =

= =

−

− −

=

=

→ +

→ +

→ +

�

�

� �

� ��

�

�

5 25 3

2 6

2 5

3 35 2

5 31

15

5 3 3

2

2

2

2

1

2

1

�

�

�

2 22 6

2 51

5 5

4 2 10

2

2

0

x x

x x

límx x

x xe ex

−

− −−

− +

− − −

=

= = =→ +� �

3 2

2

a) límxx

b) límx x

x x

c) límxx

x

x

x

x

x

x

→

→

→

+

+

+

+�

�

�

5 25 3

2 6

2 5

4 35 3

3

2

2

2

3

2

–

–

– –

––

–

11

⋅ +

= ⋅ ⋅ +

⋅=

= + = +

−

→ →

→

→ +

2 23

2 2

3

2 2

3

9 4 9

0 3 0

0 2

0d) límx

x xlím

x x

x

límx

x

e) lím x x x

x x

x

x

2

3

2 2

0

+

( )

( )

–

�

�

�22

9 4 9 2 9 4 9 2

9 4 9 24 2

9 4 9 246

23

21

2

2 2

2

[ ] =

=+ −( ) + + −( )

+ −=

= +

+ −=

= =

−

→ +

→ +∞

→ +∞

→ +∞

��

��

�

–

–

–

límx x x x x x

x x x

límx

x x x

límxx

f) límx

xx

x

x

x

x

x

2 2

2 2

2 2

3

2

+

+

+ +

�

=

= + − + −

+ + +=

= − + + +

+ + += −

→ +∞

→ +∞

�� –

( ) ( ) ( )lím

x x x x

x x x

límx x x

x x x

x

x

2

2

3

2

2 3

3

2

3

2 2 1

2 2 4

2 2 2

2 2 42

a) límxx

límxx

límxx

b) límx

xlím

x

x

límx

x

c) lím x x

límx

x x

x

x x

x

x

x

→ →

→

→ →

→

→ +∞

→ +∞

− +

− +

+−

= − +−

= + ⇒

⇒ /∃ +−

+ = + + = + ⇒

⇒ + = +

−[ ] =

=

1 1

1

0 2 0 2

0 2

2

11

11

11

2 2

2

2 2

2

2 + 3

� �

� �

�

� �

;

;

–�++ −( ) + +( )

+ +=

=+ +

=→ +∞

3 3

33

30

2

2

2

x x x

x x

límx xx

a) límxx

b) límx

x

c) lím x x d) límx

x x

e) lím x x x

f) límx

xx

x

x x

x x

x

x

→ →

→ +∞ →

→

→

−[ ] ⋅

−[ ]−

1 0 2

0 3

2

11

2

2 23

9 4 9 2

21

2

2

22

+

2 2

+

3

2

+ +

+ 3 +

+

+ +

–

–

–

�

�

10

0

0 0

1 1 1 1

2 1 11 1

2 1 1

1

2 1 1

14

= − − − +− +

=

= − −− +

= −− +

= −→

→ →

límx x

x x

límx

x xlím

x

x

x x

( ) ( )

( )

( ) ( )

h)h) límx

xlím

x x

x x

límx x

x

límx x x

x

i) límx x

x

lím

x x

x

x

x

x

→ →

→

→

→

→

−−

= − +− +

=

= − +−

=

= − + +−

=

−+ −

=

=

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1 1

1 1

1 11

1 1 11

4

2

2 2

0

0

0

�

�

�

0

0

0

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

(xx x x

x

límx x x

xx

2

2

2 2 2

2

2 2 2

28

0

− + +( )−

=

=− + +( )

−=

→

)

( )

�0


Halla las asíntotas, si las tienen, de cadauna de las siguientes funciones:

a) Asíntota vertical: x = 1Asíntota horizontal: y = 2

b) Asíntotas verticales: x = 2; x = –2Asíntota horizontal: y = 0

c) Asíntota vertical: x = 3Asíntota oblicua: y = x + 3

d) Asíntota horizontal: y = 0

e) Asíntotas verticales: x = 1; x = –1Asíntota horizontal: y = 1

f) Asíntota vertical: x = 0Asíntota oblicua: y = x

PÁGINA • 205

Obtén las gráficas de las funciones si-guientes y calcula los límites indicados:

a) f (x) = ; f (x) ;

f (x) ; f (x) ; f (x)

b) g (x) = ; g(x) ; g(x);

g(x) ; g(x)

c) h(x) = ; h(x) ;

h(x) ; h(x) ; h(x)

Estudia la continuidad de estas funcionesen los puntos que se indican:

f (x) en x = 0; g(x) en x = 2;h(x) en x = 1.

En las siguientes funciones, calculaf (x); g(x) y h(x).

Estudia su continuidad en las respectivastendencias de x.

a) f(x) no es continua en x = 0 pues no está defini-da en ese punto.

f(x) no existelímx → 0

límx → 1

límx → 0

límx → 0

14

•

•

•

•

•

l m h x

l m h x

l m h x

l m h x

x

x

x

x

x

í

í

í

í

Esta función escontinua en

+→ ∞

→−∞

→

→

( ) = −∞

( ) =

( ) =

( ) =

=

−

+

0

1

1

1

1

1

Y

XO 1

1

–1

c)y = h(x)

–1

•

•

•

•

•

l m g x

l m g x

l m g x

l m g x

g xx

x

x

x

x

í

í

í

í

es discontinuano evitable en

+→ ∞

→−∞

→

→

( ) =

( ) =

( ) = −∞

( ) = +∞

( )=

−

+

1

1

2

2

2

Y

XO

1

–1

b)

–2

y = g(x)

2–4

• í

• í

• í

• í

es discontinua no evitable en

+

l m f x

l m f x

l m f x

l m f x

f xx

x

x

x

x

→−∞

→

→

→ ∞

( ) = +∞

( ) =

( ) = −

( ) = −

( )=

−

+

0

0

1

2

2

0•

Y

XO 1

1

–1

a)

–2

y = f(x)

límx → 1+

límx → 1–

límx → –�

límx → +�

1——— si x ≤ 12 – x2 – x si x > 1

límx → 2+

límx → 2–

límx → –�

límx → +�

x + 4x – 2

límx →→ +�

límx →→ 0+

límx →→ 0–

límx →→ –�

x2 + 1 si x ≤ 0– 2 si x > 0

13

a) f (x)xx

b) g(x)x

x

c) h(x)x

xd) k(x)

x

x

e) m(x)x

xf ) r(x)

xx

= −−

=−

=−

=+

= −

−= −

2 31

3

4

33

14

1

4

2

2

2

2

2

2

12

3

34 3

5 31

14 35 3x

x

lím xx

xlím

x

c) límxx

e ex x

→ +

−

−−−

−

− +

−−

=

= =→ + → +

�

� �

��

( )33

5 3

1

3 3

− =

= =

x

e e


b) g(x) es continua en toda la recta real.

g(x) = 1

c) h(x) es continua en toda la recta real.

h(x) = –1

Estudia la continuidad de las siguientesfunciones definidas a trozos:

• Veamos la continuidad de f (x) en x = 2 y x = 4.

f (2) = 0

= = 0 = f (2)

= = 0 = f (2)

Luego f (x) es continua en x = 2.

f (4) = 2

= = 5 ≠ f (4)

= = 2 = f (4)

f (x) no es continua en x = 4.

• Veamos la continuidad de g (x) en los puntos deabscisa x = 0 y x = 3.

g (0) = = –1

= = 1 ≠ g (0)

= = –1 = g (0)

La función g (x) no es continua por la derecha enx = 0, luego no es continua en x = 0.

g (3) = = 2

= = 2 = g (3)

= = 2 = g (3)

La función g (x) es continua en x = 3.

Conclusión: la función f (x) no es continua en x = 4y la función g (x) no es continua en x = 0.

Un estudio biológico establece que el nú-mero de animales de una determinada po-blación de una especie protegida vendrádado, durante los próximos años, por lafunción:

F(t) = (t son añostranscurridos)

Halla:

a) El tamaño actual de la población.

b) Si esta función fuese válida indefinida-mente, ¿se estabilizaría el tamaño dela población? Si es así, ¿a qué númerode individuos?

a) F(0) = 5 000 animales hay en la actualidad (t = 0).

b) La población tiende a estabilizarse a 7 500 anima-les, puesto que:

La siguiente función muestra los benefi-cios en miles de euros de un banco en fun-ción del tiempo x desde que abrió suspuertas.

f (x) = (x en años)

¿Qué pasa con los beneficios cuando eltiempo se hace infinitamente grande?

Los beneficios se anulan cuando el tiempo crece inde-finidamente.

l mx

xxí

→+∞

+

+=60 810

90

2

60 x + 810x 2 + 9

17

l mttx

í→+∞

++

=15 000 10 0002 2

7 500

15 000 t + 10 0002t + 2

16

√x + 1límx → 3–

lím g(x)x → 3–

10x + 2

límx → 3+

lím g(x)x → 3+

√4

5x – 5

límx → 0–

lím g(x)x → 0–

√x + 1límx → 0+

lím g(x)x → 0+

5–5

lím (x – 2)x → 4–

lím f(x)x → 4–

lím 5x → 4+

lím f(x)x → 4+

lím (x2 – 4)x → 2–

lím f(x)x → 2–

lím (x – 2)x → 2+

lím f(x)x → 2+

g (x)

xx

x x

xx

=

si

+ si <

+si >

55

0

1 0 3

102

3

–≤≤

≤≤

f (x)

x x

x x

x

=

si <

si

si >

2 4 2

2 2 4

5 4

–

– ≤≤ ≤≤

15

–2

–1

1

1

2

Y

O X

O

Y

X

x + 1 si x > 0–x – 1 si x < 0

f (x) = –x 2 + 1 si x < 0 1 si x ≥ 0

g(x) =

1

–1 O

Y

X

2

–1–1

1 3

4

6

8

x 2 – 2x si x ≤ 1x – 2 si x > 1

h(x) =

f (x) = |x | + —|x |x

límx → 1

límx → 0


PÁGINA • 207


1. FICHAS DE COLORES. Tenemos 16 fichas,de las cuales 4 son rojas; 4, verdes; 4, azu-les; y 4, amarillas. En cada uno de los colo-res tenemos una ficha cuadrada, una circu-lar, una triangular y otra pentagonal.Coloca estas fichas en una cuadrícula o ta-blero 4 x 4, de manera que en cada fila, co-lumna o diagonal haya una ficha de cadacolor y de cada forma.

Designamos los colores por: rojo (R), verde (V), azul (Z)y amarillo (A); y las tres formas por: cuadrada (C), cir-cular (O), triangular (T) y pentagonal (P).

Por ensayo y error las colocamos en un tablero 4 x 4,cumpliendo las condiciones que marca el enunciado.

Una solución es:

Podemos encon-trar hasta 72 so-luciones distintas.

2. AMANITAS MUSCARIAS. Juan fue con supadre a ver una exposición micológica. Lesllamó la atención el colorido de la Amanitamuscaria. Al día siguiente, su amigo le pre-guntó por el número total de ejemplaresque habían visto de esta variedad en la ex-posición, a lo que Juan respondió: Había8/9 de las “Amanita muscaria” más 8/9de “Amanita muscaria”. ¿Cuántos ejem-plares de amanita había en la exposición?

El número total de amanitas ha de ser múltiplo de 9menos 1, es decir, 8 amanitas. Haciendo el problemamediante ecuaciones:

3. LATAS DE ZUMO. Hay un cierto número delatas de zumo en la nevera. Invitas a dos

amigos a tu casa a merendar. El primero sebebe la mitad de las latas que hay en la ne-vera más media lata; el segundo, la mitadde las que quedan más media lata; y tú tebebes la mitad de las que quedan más me-dia lata. Después de esto, no queda ningu-na lata de zumo. ¿Cuántas latas había ini-cialmente?

El enunciado del problema nos muestra que el núme-ro de latas de zumo debe ser un número impar. Por en-sayo y error dirigido obtenemos:

Hay 7 latas de zumo.

El 1.er amigo se bebe + 0,5 = 4 latas. Quedan 3 latas.

El 2.º amigo se bebe + 0,5 = 2 latas. Queda 1 lata.

El dueño de la casa se bebe + 0,5 = 1 lata.

Luego, efectivamente, había inicialmente 7 latas dezumo.

Este problema se puede resolver también por mediode ecuaciones.

3. MÚLTIPLO DE DOCE. El cuadrado de unnúmero natural multiplicado por el númeroanterior a ese cuadrado, ¿es múltiplo de12?

Sea n un número natural.

Veamos si n2 · (n2 – 1) = 12

n2 (n2 – 1) = n · n (n – 1) · (n + 1)

, pues es producto de tres núme-ros consecutivos.

Si ,

luego ,

Si , por lo que

,

Si

En cualquier caso, efectivamente, n2 · (n2 – 1) = 12·

.

n nn n n n

+ = ⇒ = ⇒⇒ − ⋅ + = ⋅ ⋅ =

⋅1 3 2

1 1 2 2 3 12

˙ ˙

( ) ( ) ˙ ˙ ˙

n n n n⋅ − ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ =⋅

( ) ( ) ˙ ˙ ˙1 1 2 3 2 12

n n− = ⇒ =1 3 2˙ ˙

( ) ( ) ˙ ˙ ˙n n n− ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ =⋅

1 1 3 2 2 12

n n n= ⇒ − = + =˙ ˙ ˙3 1 2 1 2y

( ) ( ) ˙n n n− ⋅ + =1 1 3

12

32

72

89

89

8x x x+ = ⇒ = amanitas

RC VO ZT AP

ZP AT RO VC

AO ZC VP RT

VT RP AC ZO



1. Comprender el concepto de derivada de una función en un punto así como su significado geo-métrico.

2. Saber encontrar, haciendo uso de la definición, la función derivada de una función dada.

3. Saber hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado.

4. Utilizar las operaciones con funciones derivadas y las reglas de derivación en el cálculo de deri-vadas de funciones dadas.

5. Utilizar la derivada para estudiar aspectos de una función como la monotonía y los extremos.

• Insistiendo en el concepto de derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica.

• Utilizando la definición calcular funciones derivadas de las funciones dadas.

• Haciendo múltiples ejercicios dirigidos con el fin de que el alumno memorice, de forma progresi-va, las derivadas de las funciones elementales.

• Proponiendo al alumno gran variedad de ejercicios en los que aparezcan funciones compuestasde funciones diversas, para que éste adquiera gran soltura en la derivación e interpretación de laderivada.





CONCEPTOS

1. Tasas de variación media e instan-tánea.

2. Derivada de una función en unpunto. Significado geométrico yfunción derivada.

3. Derivadas de las operaciones confunciones.

4. Derivadas de las funciones ele-mentales más sencillas.

5. Algunas aplicaciones de la deri-vada.5.1. Estudio de la monotonía de

una función.5.2. Estudio de los extremos rela-

tivos de una función.

6. Optimización de funciones.

7. Representación gráfica de funcio-nes polinómicas y racionales.

– Valorar la utilidad del límiteen el cálculo de derivadasde una función en un puntoy de funciones derivadas.

– Apreciar la importancia quetiene el concepto de deriva-da en el cálculo de rectastangentes a una curva dada.

– Tomar conciencia de que laderivada es una buena he-rramienta para medir elcambio o variación que su-fre una función en un pun-to.

• Interpretar el cambio queexperimenta una funciónen un intervalo a través delas tasas de variación mediae instantánea.

• Saber determinar la rectatangente a una curva en unpunto dado.

• Cálculo de derivadas defunciones sencillas.

• Estudiar la monotonía defunciones sencillas hacien-do uso de las derivadas.

• Optimizar situaciones sen-cillas haciendo uso de laderivada.



PÁGINA • 209


1. Calcula los siguientes límites:

a) f (x ) = 3x + 5; lím h→→0

b) g(x ) = 4x2; lím h→→0

2. Halla la ecuación de la recta que pasa porel punto A (2, –3) y su pendiente vale–1/5.

Las rectas de pendiente son de la forma:

y = – x + b

La que pase por (2, –3) es: y = – x –

3. ¿En qué dos partes debe dividirse el núme-ro 12 para que su producto alcance el má-

135

15

15

–15

lím límh h

x xh h xh

h x

h→ →= + + − ==

+(0

2 2 2

0

4 8 4 4 8 4

a)

b)

lím lím

lím

lím lím

h h

h

h h

f h f

h

h

h

hh

g x h g x

h

x h x

h

→ →

→

→ →

+( ) − ( )=

+( ) + −=

= =

+( ) − ( )=

+( ) −=

0 0

0

0 0

2 2

2 2 3 2 5 11

33

4 4

g (x + h ) – g(x)h

f (2 + h ) – f (2)h

ximo valor posible? Ayúdate de una tablade valores y de la correspondiente repre-sentación gráfica.

Los números son x y 12 – x.

y = (12 – x) ⇒ f(x) = –x2 + 12x

Es una función cuadrática y el máximo lo alcanza ensu vértice, es decir, para x = 6.

Los números buscados son 6 y 6.

4. Calcula la tasa de variación media en losintervalos [0, 2] y [2, 4] para cada unade las siguientes funciones:

a) f1(x ) = 2x b) f2(x ) = 2x + 2

c) f3(x ) = x2 d) f4(x ) = 2x

PÁGINA • 215


1. Dadas las siguientes funciones con sus res-pectivas derivadas, calcula las derivadasque se indican:

• f (x) = x3 – 3; f' (x) = 3x2

• g(x) = sen x; g' (x) = cos x

a) D [f(x) + g(x)] b) D [–2 · g(x)]

c) D [f(x) · g(x)] d) D[ ]e) D [sen (x3 – 3)]

PÁGINA • 227


Completa en tu cuaderno la tabla que siguecon la determinación de las tasas de varia-ción media correspondientes.

[ ] ( )=3 ( )=3 –2 ( )=3 +2

[–2,0]

[–1,1]

[0,2]

[1,2]

[ , +1]

[ ] ( )= ( )= ( )=3

[–2,0]

[–1,1]

[0,2]

[1,2]

[ ,

1 2 3

42

53

6

t f x x f x x f x x

a a

t f x x f x x f x

a

vm

vmx

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

2 4

0 1

2 4 4

3 7 6

49

53

−

aa+1] 2 1 3 3 1 2 32a a a a+ + + ⋅

1

a)

b)

c)

D f x g x D f x D g x x x

D g x D g x x

D f x g x D f x g x f x D g x

x x x

( ) + ( )[ ] = ( )[ ] + ( )[ ] = +

− ⋅ ( )[ ] = − ⋅ ( )[ ] = − ⋅

( ) ⋅ ( )[ ] = ( )[ ] ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )[ ] =

= ⋅ + −

3

2 2 2

3 3

2

2 3

cos

cos

sen (( ) ⋅

( )( )

=( )[ ] ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ( )[ ]

( )[ ]=

=⋅ − −( ) ⋅

( )−( )[ ] = ( )[ ] =

= ( )( )[ ] ⋅

cos

sen cos

sen

sen o

x

Df x

g x

D f x g x f x D g x

g x

x x x x

x

D x D g f x

D g f x D f

e)

f)

2

2 3

2

3

3 3

3

xx x x( )[ ] = −( ) ⋅cos 3 23 3

f(x)g(x)

a)

b)

c)

tf f

tf f

tf f

tf f

tf f

vm

vm

vm

vm

vm

0 22 0

2 02

2 44 2

4 22

0 22 0

2 03

2 44 2

4 22

0 22 0

1 1

1 1

2 2

2 2

3 3

,

,

,

,

,

[ ] =( ) − ( )

−=

[ ] =( ) − ( )

−=

[ ] =( ) − ( )

−=

[ ] =( ) − ( )

−=

[ ] =( ) − ( ))

−=

[ ] =( ) − ( )

−=

[ ] =( ) − ( )

−=

[ ] =( ) − ( )

−=

2 02

2 44 2

4 26

0 22 0

2 032

2 44 2

4 26

3 3

4 4

4 4

tf f

tf f

tf f

vm

vm

vm

,

,

,

d)


Un depósito de agua tiene forma cilíndricacon unas medidas de 1 m de radio y 3 m dealtura.

a) Realiza la gráfica de la función que pro-porciona el volumen de agua en funciónde la altura del líquido.

b) Calcula la tasa de aumento medio delvolumen en litros por centímetro de al-tura de agua cuando el nivel sube de 0,5a 1 m; de 1,5 a 2 m y de 2 a 2,5 m.

c) ¿Cuánto vale la tasa de aumento medioentre dos niveles de agua?

a) Llamando x a la altura del líquido obtenemos:

V = π · x con 0 ≤ x ≤ 3

Un país desea enviar un satélite artificial alespacio. El cohete que lo transportará lle-vará una ecuación de movimiento e = 3t2 ++ 8t, siendo e el espacio recorrido en km,desde la superficie terrestre y t el tiempoen minutos, desde que la lanzadera espa-cial pone en movimiento al cohete. Calculala velocidad media del cohete en los inter-valos [0, 3]; [2, 5]; [1, 8]; [8, 12]. Al ale-jarse de la Tierra el cohete, ¿cómo varía suvelocidad?, ¿aumenta o disminuye?

Al alejarse de la Tierra aumenta la velocidad del cohete.

La función C = 10 · 0,92t nos da la canti-dad del fármaco Valium presente en la san-gre, en mg, en función del tiempo, en horas,desde que este fármaco llega a la sangre.

a) ¿Cuál es la dosis inicial administrada?

b) ¿Cuál es la variación media de la canti-dad del fármaco en sangre entre la pri-mera y segunda hora? ¿Cuál es el signi-ficado del resultado obtenido?

c) ¿Cuál es la variación instantánea alcabo de hora y media? ¿Y cuál es su sig-nificado?

a) La dosis inicial es 10 mg.

b) tC C

vm 1 22 1

110 0 92 10 0 92

0 736

2, , ,

,

[ ] =( )− ( )

= ⋅ − ⋅ =

= −

4

V te e

V te e

V te e

m vm

m vm

m vm

[ , ] [ , ]( ) ( )

[ , ] [ , ]( ) ( )

[ , ] [ , ]( ) ( )

0 3 0 33 03 0

3 3 8 33

17

2 5 2 55 25 2

115 283

29

1 8 1 88 18 1

256 117

35

2= = −

−= ⋅ + ⋅ =

=

= = −−

= − =

=

= = −−

= − =

=

km/m

km/m

km/m

VV te e

m vm[ , ] [ , ]( ) ( )

8 12 8 1212 812 8

528 2564

68

= = −−

= − =

= km/m

3

c) t a bb a

b avm [ ; ] = −−

=π π π

b) t

t

t

vm

vm

vm

[ , ; ],

,

[ , ; ],

,

[ ; , ],

,

0 5 10 5

0 5

1 5 22 1 5

0 5

2 2 52 5 2

0 5

= − =

= − =

= − =

π π π

π π π

π π π

0altura (m)1 2 3

π

2π

3π

volumen (m3)

2


Significa que va disminuyendo la cantidad de fármacoa medida que pasa el tiempo.

Significa que es negativa la velocidad de aumento delfármaco al cabo de hora y media.

Calcula, usando la definición de derivadade una función en un punto, las derivadassiguientes en los puntos que se indican:

a) f (x) = 6; D [f (3)]

b) g (x) = 7 – x; D [g (0)]

c) h(x) = 3x 2 + 2; D [h (–1)]

d) l (x) = ; D [l (3)]

Halla las ecuaciones de las rectas tangentesa las gráficas de las funciones de la activi-dad anterior en los puntos indicados en lamisma.

Obtén las funciones derivadas de las fun-ciones de la actividad número 5.

PÁGINA • 228

Calcula en cada una de las siguientes fun-ciones las derivadas que se indican:

1

1 2

y = 2x – 1

y = f (x)

y = 1

3 4 5 6

2

3

Y

O X

D[f(2)] y D[f(6)]

–1

1

1

y = –x

y = g (x)

2

Y

O X

–2

2

D[g(2)]

–1

1

1 2

y = f (x)

3

2Y

O X

–2

–3 D[f(0)] y D[f(2)]

8

a) c)

c) d)

f x g x

h x x l xx

' '

' '

( ) = ( ) = −

( ) = ( ) =+

0 1

61

2 1

7

d) La recta tangente a l xx x P

y x x y

( ) = + ( )− = −( ) ⇒ − + =

1 3 2

214

3 4 5 0

en es :,

a)

b)

c)

La recta tangente a en el punto es :

La recta tangente a en el punto

es :

La recta tangente a +2 en es :

f x P

y x y

g x x

P

y x y x

h x x P

y x y x

( ) = ( )− = −( ) ⇒ =

( ) = −

( )− = − −( ) ⇒ = − +

( ) = −( )− = − +( ) ⇒ = − −

6 3 6

6 0 3 6

7

0 7

7 1 0 7

3 1 5

5 6 1 6 1

2

,

,

,

6

a)

b)

c)

D f l mf h f

hl m

h

D g l mg h g

hl m

hh

D h l mh h h

h

l

h h

h h

h

33 3 6 6

0

00 0 7 7

1

11 1

0 0

0 0

0

( )[ ] =+( ) − ( )

= − =

( )[ ] =+( ) − ( )

= − − = −

−( )[ ] =− +( ) − −( )

=

=

→ →

→ →

→

í í

í í

í

ímmh

hl m

h hh

D l l ml h l

hl m

hh

l mh

h h

h h

h h

h

→ →

→ →

→

− +( ) + −= − = −

( )[ ] =+( )− ( )

= + − =

=+( ) −

+ +( ) =

0

2

0

2

0 0

0

2 2

3 1 2 5 3 66

33 3 4 2

4 2

4 2

14

0

í

í í

í

0d) �

√√x + 1

5

c) t l mC h C

h

D C

vhi

1 51 5 1 5

1 5 10 0 92 0 92 0 736

0

1 5

, í

ln

( ) =+( ) − ( )

=

( )[ ] = ⋅ ⋅ = −

→

, ,

, , , ,,


Calcula las derivadas de las siguientes fun-ciones potenciales:

a) D [x6] b) D [ ]c) D[ ] d) D [x3 · (x2 – 3)4]

e) D [(x2 + x)4] f ) D [ 3√√x2 + 1]

g) D [ ] h) D [ ]i ) D[ ]

Calcula las derivadas de las siguientesfunciones exponenciales:

a) D [4 ] b) D [3 · 2x ]

c) D [e2x2 – ex – 2] d) D [2x2 · 3x2]

e) D [ ] f ) D [(e2x + 1)3]

Calcula las derivadas de las siguientesfunciones logarítmicas:

a) D[ln (x2 + 7)] b) D[ln (ex + 2)]c) D[ln (3 – 4x3)5]d) D[ln[(2x2 – 1) · (x2 – 2)]e) D[log2(x2 + 1)] f) D[ln ( )]

a) D xx

x

b) D ee

e

c) D x D x

x

x

x

x

D x x

D x

xx

x

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

( )

( )

( ) ( )

ln

ln

ln ln

2

3 5 3

3 3

2 2

2

72

7

22

3 4 5 3 4

512

3 4

60

3 4

2 1 2

2 1

+ =+

+ =+

− = ⋅ − =

= ⋅ −

−= −

−

−( ) −( )[ ] =

= −( ) +

2

2 2

ln

ln

d)

lnln

logln 2

2

xx

x

x

x

x x

x x

D xx

x

22

2

3

4 2

22

24

2 1

2

2

8 10

2 5 2

12

1

−( )[ ] =−

+

+−

= −

− +

+( )[ ] =+( ) ⋅

e)

1 – x1 + x

11

a) Dx

b) D

c) D e e e x e

d) D D x

e) De e

f) D

x x

x x

x x x x

x x x x

x x

4 4 43

3 2 3 2 2

2 4

2 3 6 6 2 6

4 2

3 3

2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

[ ] = ⋅ ⋅ −

⋅ = ⋅ ⋅

− − = ⋅ −

⋅ = = ⋅ ⋅

= −− −

ln

ln

ln

[ ][ ][ ] [ ]

[[ ]( ) ( )e e ex x x2 3 2 21 6 1+ = ⋅ + 2

e –2x

4

3x

10

a)

b)

c)

d)

D x x

Dx

D xx

Dx

D xx

D x x x x

x x x x

6 5

55

6

3

1

343

3 2 4 2 2 4

4 2 3 2 3

6

33

15

1 1

3

3 3 3

8 3 3 11

[ ] =

= ⋅[ ] = −

=

= −

−( )

= −( ) +

+ −( ) = −( )

−

−

44 2

2 4 2 3

2 3

23

232

5 2 5

4

5 2 6

2

9

4 2

8

12

3 1

1

3

25 10

3

14

−( )+( )

= +( ) ⋅ =

= +( )+[ ] =

+( )

− +( )

= − +

− +( )−

x

D x x x x x

x x x

D xx

x

Dx x

x x

x x

Dx

e)

f)

g)

h)

=

+

= −

+( )

x

Dx

x

x

2

3

4 5

12

4 52 2

3i)

3√√4x2 + 5

x2 –14

1(x5 – x2 + 3)5

13√√x

3x 5

9

a)

b)

c)

D f D f

D g

D f D f

032

232

2 1

2 2 6 0

( )[ ] = ( )[ ] =

( )[ ] = −

( )[ ] = ( )[ ] =


Halla la ecuación de la recta tangente a laparábola y = 2x2 – 12x + 10 en los pun-tos en que ésta corta al eje de abscisas.

La parábola corta al eje de abscisas en: P (5, 0) yQ (1, 0).

Además y’ = 4x – 12. Por tanto:

Recta tangente en P ⇒ y – 0 = 8 (x – 5) ⇒⇒ y = 8x – 40

Recta tangente en Q ⇒ y – 0 = –8 (x – 1) ⇒⇒ y = –8x + 8

PÁGINA • 229

Calcula las derivadas de las siguientesfunciones trigonométricas:

a) D [sen 4x] b) D [4 sen x]

c) D [sen ( )] d) D [sen ( )]e) D [sen x 4] f) D[sen4 x]

g) D [sen 2x – 2 cos x] h) D[sen x–4]

i) D [ ] j) D[3 · cos (x + 1)]

k) D [cos2 (x2 + 1)] l) D[cos2 x + cos x2]

m) D [tg (x2 + 2)] n) D[tg ]

ñ) D [x · tg x] o) D[sen (cos x)]

p) D [tg (3x )] q) D[tg3 x 3]

La gráfica adjuntacorresponde a lafunción derivada deuna determinadafunción f (x).

Indica cuál de las gráficas, A, B, o Ccorresponde a la función f (x), justifican-do la respuesta.

f’(x) = x

La función f(x) se corres-ponde con c)

f(x) = x2 – 313

23

O

–3

3 X

Y

–3

c)

O

2

X

Y

b)

O

3

3 X

Y

–3

a)

O

2

3 X

Yf' (x)

14

-

2

sen cos

sen cos

4 sen

cos + sen

cos + sen cos

D xx

x

D xx

x

D x x

D x x x x

[ ] =− ⋅ ( )

[ ] =( )

⋅ ( )[ ] = − − +( )( )[ ] = − +( ) ⋅

−h)

i)

j)

k)

4

3 1 3 4 1

1 4 1

44

5

4

34

2 2 2 ++( )[ ] = − − ⋅

( )[ ] = ( )[ ] =

⋅

[ ] = + +( )( )[ ] = − ⋅ ( )

( )[ ] =

1

2 2

22

2

1

2

1

3

2 2 2

22 2

2

2

l)

m)

n)

ñ)

o)

p)

D x x x x x x

D xx

x

D xx x

D x x x x x

D x x x

D x

cos + cos cos sen sen

tg +cos +

tgcos

tg tg tg

sen cos sen

tg

cos cos

33 3 1 3

9 1

2

3 2 2 3 2 3

x x

D x x x x

⋅ ⋅ + ( )[ ][ ] = ⋅ +( )

ln tg

tg tg tg3q)

a) D x x

b) D x x

c) Dx x

d) Dx x x

e) D x x x

f) D x D x

sen cos

4 sen cos

sen cos

sen cos

sen cos

sen sen sen

2

4

4 4 4

4

414 4

4 4 4

4

4

4 3 4

4

[ ] = ⋅

[ ] = ⋅

=

= − ⋅

= ⋅

= = ⋅

[ ][ ] [ ]( ) 33 cos

sen cos cos 2 sen

x x

D x x x x

⋅

−[ ] = + ⋅g) 2 2 2 2

√√x

√sen x

4x

x4

13

12

ln ln ln Dxx

D x x

x x

11

1 1

11

11

−+

= −( ) − +( )[ ] =

= −−

−+

=

f)

−−−

2

1 2x


Dada la función f (x) = ax + b, calcula ay b, de modo que f (1) = 1 y f' (1) = 2.


Determina los intervalos de crecimiento ydecrecimiento de las siguientes funciones:

a) f (x) = 7 – 3x b) g (x) = 2x2

c ) h(x) = d) l (x) = 8x – x 2 – 4

e) t (x) = x3 – 6x2 + 9x – 5

f ) s (x) =

a) f' (x) = – 3 ⇒ f(x) es decreciente en todo �

b) g' (x) = 4x ⇒ g(x) es creciente en (0, + ∞) ydecreciente en (–∞,0)

c) h' (x) = – ⇒ h(x) es decreciente en � – {0}

d) l' (x) = 8 – 2x ⇒ l(x) es creciente en (–∞, 4) ydecreciente en (4, + ∞)

e) t' (x) = 3x2 – 12x + 9 ⇒ t(x) es decreciente en(1, 3) y creciente en (–∞, 1) � (3, +∞)

f) s' (x) = ⇒ s(x) es creciente en (–∞, 0)

y decreciente en (0, +∞)

Encuentra los máximos y mínimos de lassiguientes funciones:a) f (x) = x2 + 2x

b) g (x) = 6x2 – x3

c) h(x) = x4 – 8x2

a) f'(x) = 2x + 2 = 0 ⇒ x = –1

f''(x) = 2 > 0 ⇒ f(x) tiene mínimo en (–1, –1)

g(x) tiene mínimo en (0, 0) y máximo en (4,32)

Halla dos números cuya suma sea 50 y ta-les que el doble del cuadrado del primeromás el triple del cuadrado del segundosea mínimo.

Los números son x y (50 – x).

P (x) = 2· x2 + 3 (50 – x)2 = 5x2 – 300x + 7 500

P' (x) = 10x – 300 = 0 ⇒ x = 30

P'' (x) = 10; P'' (30) > 0 Mínimo

Los números pedidos son: 30 y 20.

Entre los rectángulos de 4 m de períme-tro, determina el de área máxima. ¿Cuálserá el de diagonal mínima?

Los rectángulo de 4 cm de perímetro tendrán por di-mensiones x y (2 – x)

El rectángulo de área máxima tiene de dimensiones 1m y 1 m, es decir, un cuadrado de 1 m de lado.

El rectángulo de diagonal mínima tienes de dimensio-nes 1 m y 1 m, es decir, un cuadrado de 1 m de lado.

Entre todos los triángulos rectángulos deigual hipotenusa, 10 m, ¿cuál es el deárea máxima?

Llamamos x, y a los catetos del triángulo rectángulo.

Se verifica: x2 + y2 = 100 ⇒ y = √100 – x2

20

•

'

' ' ;

' '

La diagonal será :

Mínimo

D x x x x x

D xx

x xx

D xx x x x

D

( ) = + −( ) = − +

( ) =−( )

− += ⇒ =

( ) =− +( ) ⋅ − +

( ) >

2 2 2

2

2 2

2 2 4 4

2 1

2 20 1

2

2 2 2 2

1 0

•

'

' ' ; ' '

El área será :

Mínimo

A x x x x x

A x x x

A x A

( ) = −( ) = − +

( ) = − + = ⇒ =

( ) = − ( ) <

2 2

2 2 0 30

2 1 0

2

19

18

h"

h"

h"

h x

h x

h x

( ) < ⇒ ( ) ( )( ) > ⇒ ( ) −( )−( ) > ⇒ ( ) − −( )

0 0 0 2

2 0 2 14

2 0 2 14

,

,

,

tiene máximo en

tiene mínimo en

tiene mínimo en

c) h'

h"

x x x x x x

x x

( ) = − = ⇒ = = = −

( ) = −

4 16 0 0 2 2

12 16

3

2

; ;

b) g'

g"g"

g"

x x x x x

x x

( ) = − = ⇒ = =

( ) = −( ) >

( ) <

12 3 0 0 4

12 60 0

4 0

2 ;

17

–2x(x2 + 1)2

1x2

1x2 + 1

1x

16

f a b

f a

a

b

1 1 1

1 2 2

2

1

( ) = ⇒ + =

( ) = ⇒ =

⇒

=

= −'

15


A'' (5 ) > 0 ⇒ área máxima. El triángulo rectán-gulo de área máxima es un triángulo rectángulo isós-cles de catetos 5 unidades.

¿En qué punto de la curva f (x) = x2 – 1

la recta tangente tiene de pendiente 1?

f' (x) = 1 ⇒ x = 1 el punto es P (1, – )

PÁGINA • 230

Dada la función f (x) = x 4 – 18x 2 + 2. Ha-lla:

a) La ecuación de la recta tangente a lagráfica de la función en el punto deabscisa 1.

b) Los intervalos en los que la función escreciente y en los que es decreciente.

c) Los extremos relativos de esta función.

a) P(1, –15)

f' (x) = 4x3 – 36x ⇒ f' (1) = m = –32

La recta tangente tiene de ecuación: y = –32x + 17

b) f' (x) = 4x3 – 36x = 0 ⇒ x = 0; x = 3; x = –3

f (x) es creciente en (–3, 0) � (3, +∞) y decre-ciente en (–∞, –3) � (0, 3)

El consumo, en litros, de un vehículo enfunción de la velocidad, en km/h, por

cada 100 kilómetros recorridos vienedado por:

C = 0,1 · v 2 – 12 · v + 368¿Para qué valores de la velocidad aumen-ta el consumo? ¿Para qué valores dismi-nuye? ¿Para qué valor de la velocidad elconsumo es mínimo y cuál es este?

El consumo aumenta para los valores de v que ha-cen C' (x) > 0, es decir, para v � (60, +∞) y dismi-nuye para los valores de v que hacen C' (v) < 0, esdecir, v � (0, 60).

El consumo es mínimo para v = 60 km/h y este con-sumo es de 8 litros.

Una finca rectangular se divide en tresrectángulos iguales con el fin de plantardiferentes variedades de árboles. Para va-llar todas las partes se utilizan 4 000 me-tros de alambre. ¿Qué dimensiones ten-drá la finca para que el área encerradapor la valla sea máxima?

Llamamos x e y a las di-mensiones del rectángulo. Sedebe cumplir:

4x + 2y = 4 000 ⇒ y = 2 000 – 2xÁrea = x · y = x · (2 000 – 2x) = 2 000x – 2x2

A' = 2 000 – 4x = 0 ⇒ x = 500A'' = –4 < 0 Máxima

El área es máxima para x = 500 m y = 1 000 m.

La producción defresas en un inver-nadero dependede la temperaturaT, en °C, del mis-mo según muestrala función:

P = 60 + 120 · T + 27 · T 2 – T 3

(con P en kg)¿A qué temperatura se conseguirá el má-ximo número de kg de fresas en el inver-nadero?

Se conseguirá el máximo número de kg de fresas parala temperatura que haga máxima la función dada:

P' = 120 + 54T – 3T2 = 0 ⇒ T = 20°; T = –2°P'' = +54 – 6 T; P'' (20) < 0

La temperatura será de 20 °C.

25

x

y

24

23

c) f x

f x x

f f

f f

f f

'

"

"

"

" ,

( ) =

( ) = −

( ) < ( ) ( )( ) > ( ) −( )−( ) > ( ) − −( )

0

12 36

0 0 0 2

3 0 3

3 0 3 79

2

x tiene un máximo en ,

x tiene un mínimo en , 79

x tiene un mínimo en

22

12

12

21

√2

√2

Área

A'

A"

= ⋅ ⋅ −

( ) = −

−= −

−= ⇒

⇒ = ±

( ) = −

−( ) −

12

100

100 2

2 100

50

1000

5 2

2 300

2 100 100

2

2

2

2

2

3

2 2

x x

xx

x

x

xx

xx x

x x


Una empresa ha estimado que los gastosanuales (en euros) que genera la fabrica-ción y venta de x unidades de un pro-ducto vienen dados por las funciones:

Ingresos: I (x) = 2x 2 – 500x – 350 000

Gastos: G(x) = 3x2 – 2 000x + 120 000

a) Determina la función que da el benefi-cio anual de la empresa?

b) ¿Qué número de unidades hay que ven-der para que el beneficio sea máximo?

c) ¿A cuánto asciende este beneficio má-ximo?

a) Beneficio = Ingresos – Gastos B (x) = I (x) – G (x) = –x2 + 1 500x – 470 000

b) Esta función es una función cuadrática que alcanzaun valor máximo en su vértice:B' (x) = –2x + 1 500 = ⇒ x = 750 B'' (x) = –2 < 0El beneficio es máximo al vender 750 unidades

c) Este beneficio máximo asciende a:B (750) = 92 500 euros

¿Qué número verifica que la diferencia en-tre él y su cuadrado sea máxima?

Llamamos x al máximo:

D (x) = x – x2

D' (x) = –2x + 1 = 0 x =

D'' (x) = –2 < 0 ⇒ La diferencia es máxima para

x = . Luego el número es 0,5.

Encuentra los intervalos de crecimiento ydecrecimiento y los extremos relativos, sies que los tiene, de la función:

f (x) = 2x 2 + 4 ln x

f(x) = 2x2 + 4 ln x

f' (x) = 4x + =

Esta función es creciente en (0, +∞) y decrecienteen (–∞, 0) pero aquí no esta definida, por tanto f(x)solo es creciende en (0, +∞). Carece de extremos re-lativos.

Para qué valores reales de p y q la fun-ción: f (x) = x 3 + px 2 + qx + 1 tiene unmínimo en el punto (1,1)?

Si la función f(x) tiene un mínimo en el punto (1, 1) ve-rifica:

Para p = –2 y q = 1 la función

f(x) = x3 – 2x2 + x + 1 tiene un mínimo en el punto(1, 1).

PÁGINA • 231

Representa gráficamente las siguientesfunciones:

a) y = 3x2 – 2x3 b) y = x4 – 8x2 + 16y

c ) 4x2 – 2x4 d) y =

e) y = f ) y =

g) y = h) y =

i ) y =

a) y = 3x2 – 2x3

Máximo (1, 1)

Mínimo (0, 0)

Cortes (0, 0) (1,5 ; 0)

b) y = x4 – 8x2 + 16

Máximo (0, 16)

Mínimos (–2, 0) (2, 0)

Cortes (–2, 0) (2, 0)(0, 16)


Y

XO–2 2

16

Y

XO–1 1

1,5

x2

x – 2

xx2 – 4

x – 2x + 2

4x2 + 1

–2xx + 4

3x – 2

30

a)b)

f p q

f p qpq

1 1 1 1 1

1 0 0 3 22

1( ) = ⇒ = + + +

( ) = ⇒ = + +

⇒ = −='

29

4x2 + 4x

4x

28

12

12

27

26


c) y = 4x2 – 2x4

Máximos (–1, 2) (1, 2)

Mínimo (0, 0)

Cortes (–1,4 ; 0) (1,4 ; 0)(0, 0)


d)

y = Corte (0; –1,5) Asíntotas:

e)

y = Asíntotas:

Cortes (0, 0)

f)

y = Cortes (0, 4) Máximo (0, 4)

Asíntonta y = 0 Simétrica respecto OY

g)

y = Cortes (0, –1) (2, 0)Asíntontas x = –2; y = 1

h)

y = Cortes (0, 0)

Asíntontas x = 2; x = –2; y = 0

Simétrica respecto al origen.

xx2 – 4

Y

XO–2 2

x – 2x + 2

Y

XO

1

–2

–1

2

4x2 + 1

Y

XO

4

x

y

= −

= −

4

2

–2xx + 4

Y

XO

–2

–4

x

y

=

=

2

0

3x – 2

Y

XO

–2

2

Y

XO–2 1

2


i)

y = Cortes (0, 0)

Asíntontas x = 2; y = x + 2

Máximo (0, 0) y Mínimo (4, 8).

Una compañía deautobuses obser-va que sus ingre-sos dependen delprecio p a quecobren el billete,en euros, según lafunción:

I (p) = 18p – 3p 2

¿Para qué valores de p aumentan los in-gresos? ¿Para qué valor de p los ingre-sos alcanzan el mayor valor posible?¿Cuál es este valor máximo

• Los ingresos aumentan para los valores de p quehacen l' (p) > 0 es decir:

l' (p) = 18 – 6 p

l' (p) > 0 ∀ p � (0, 3)

• Los ingresos alcanzan el valor máximo para p = 3euros y este ingreso máximo asciende a l (3) = 27euros.

Se ha comprobado que la evolución des-de el año 1980 (t = 0) del número deejemplares de lince ibérico sigue la ley:

N = (con N miles de ejemplaresy t tiempo en años).

Representa gráficamente esta función yhaz un estudio de la evolución de esta es-pecie animal.

En la gráfica esta representada la función: N =

En el contexto del problema sólo tiene sentido la par-te de gráfica correspondiente al primer cuadrante.

En el año 1980 (t = 0) había 2 000 ejemplares delince ibérico, estos van disminuyendo con los añostendiendo hacia 1 000 ejemplares.

Un instituto concierta un viaje con unaagencia de forma que hasta 40 alumnoscobra a cada uno 50 euros. La agenciaofrece una oferta especial diciendo quepor cada alumno más que se apunte des-contará 1 euro en el precio del viaje. ¿Quénúmero de alumnos hacen máximos losingresos de la agencia? ¿Cuál es el valorde dichos ingresos máximos?

Los ingresos de la agencia vendrán dados por la fun-ción I (x) = (40 + x) (50 – x) siendo x el número dealumnos de más que van de viaje. Veamos para quévalor de x estos impresos son máximos.

I (x) = –x2 + 10x + 2 000

I' (x) = –2x + 10 = 0 ⇒ x = 5 alumnos

I'' (x) = –2 < 0 Máximo

Los ingresos son máximos para 5 alumnos de más, yestos ingresos ascienden a I (5) = 2 050 euros.

Calcula las derivadas de las siguientesfunciones:

a) y = (x2 – 1) · √√x + 2

34

33

N

tO

1

–1

2

–2

t + 2t + 1

t + 2t + 1

32

31

x2

x – 2

Y

X

O

–2 2


b) y = e3x · x2

c ) y =

d) y =

e) y = 3 · sen (x – 2)

f ) y = sen2 7x – cos 4x

g) y = ln ( )h) y = ln (4x2 – 5)3

i ) y = (e–x – x)2

En el mes de enero hubo una epidemia degripe que afectó a los habitantes de unaciudad. El número de enfermos, N, esfunción del número, t, de días que trans-currieron desde que comenzó la epidemiaviene dado por:

N = 56t – 2t 2 + 120

¿En qué momento aumenta el número deenfermos? ¿Cuándo alcanza el númeromáximo de enfermos? ¿Cuál fue el núme-ro máximo de enfermos?

• El número de enfermos aumenta cuando N' (t) > 0

N' (t) = 56 – 4t

N' (t) > 0 para t � (0, 14)

• El número máximo de enfermos lo alcanza parat = 14 días puesto que:

N' (14) = 0 y N'' (14) < 0

• El número máximo de enfermos fue de:

N (14) = 512 enfermos

PÁGINA • 233


1. FONOTECA. La empleada de la fonotecano ha parado de trabajar en toda la sema-na. El lunes recibió varios discos y marcóalgunos de ellos. El martes recibió tantosdiscos nuevos como no había marcado ellunes y marcó 12. El miércoles recibió 14más que el lunes y marcó doble númeroque el lunes. El jueves recibió el doble delos discos que había marcado el miércolesy marcó 10. El viernes recibió 4 discos ymarcó 14 menos de los que había recibidoel miércoles. El sábado marcó los 20 dis-cos que le quedaban. ¿Cuántos discos re-cibió el lunes?

Vamos a organizar los datos en una tabla:

Los discos que recibe menos los que marca son los 20discos que le quedaron para el sábado:

X + X – M + X + 14 + 4M + 4 –

– (M + 12 + 2M + 10 + X) = 20 ⇒⇒ 3X + 3M + 18 – 3M – X – 22 = 20

2X = 24 ⇒ discos recibió el lunes.

2. CAMIÓN Y TRACTOR. Un camión tarda enpasar a un tractor, una vez que lo alcanza,el doble de lo que tardan ambos en cruzar-se cuando circulan en direcciones opuestas.¿Qué relación existe entre las velocidadesde ambos?

X = 12

Recibe Marca

Lunes X M

Martes X – M 12

Miércoles X +14 2M

Jueves 4M 10

Viernes 4 X +14 – 14

Sábado 2035

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

yx x

x

y e x x

yx

x

yx

x

y x

y x x x

yx

x

yx

x

y e

x

x

'

'

'ln

'

'

' cos

'

'

'

= + −+

= +( )= −

=−( )

= ⋅ −( )= ⋅ +

=−

=−

= ⋅ −−

5 8 1

2 2

3 2

1

3

2 1

3 2

14 7 7 4 4

10

5 2

24

4 5

2

2

3 2

2

2 2

2

2

cos

sen sen

xx e x( ) ⋅ − −( )− 1

2 – 5x2

4

–3x2

4x2 – 2

ln xx


Sea v la velocidad del camión y w la velocidad deltractor.

v + w = 2 (v – w) ⇒

es decir, la velocidad del camión es el triple de la velo-cidad del tractor.

3. RELOJES DE ARENA. Disponemos de dosrelojes de arena: el uno mide cuatro minu-tos y el otro nueve minutos. Se trata de con-seguir medir intervalos de uno, dos, tres,cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve y diezminutos. Describe, razonadamente, los pro-cedimientos a utilizar.

Llamamos R4 al reloj que mide 4 minutos y R9 alque mide 9 minutos.

— Para medir 1 minuto: ponemos ambos relojes.Cuando pasan 4 minutos, damos vuelta a R4 y alpasar otros 4 minutos, lo que queda en R9 es 1minuto.

— Para medir 2 minutos: conseguimos 1 minutopor el procedimiento anterior. A la vez que logra-mos 1 minuto, el reloj de 4 minutos lo ponemos yquedan en él 3 minutos. En ese momento pone-mos a funcionar R9 y al terminar, queden en éste6 minutos; ponemos a funcionar R4 y al terminaréste último, queden en el anterior 2 minutos.

— Para medir 3 minutos: está explicado en el pro-cedimiento anterior.

— Para medir 4 minutos: con el reloj R4.

— Para medir 5 minutos: ponemos R4 y R9; alterminar R4, queden en R9 5 minutos.

— Para medir 6 minutos: esta situación está expli-cada en el procedimiento de medir 2 minutos.

— Para medir 7 minutos: conseguimos 2 minutospor el procedimiento dado anteriormente. Los 2

minutos los tenemos en R9. Ponemos a funcio-nar R4 y al pasar los 2 minutos de R9, quedenen R4 2 minutos. Ponemos a funcionar R9 y alpasar los 2 minutos de R4, queden en R9 7 mi-nutos.

— Para medir 8 minutos: ponemos dos veces R4.

— Para medir 9 minutos: ponemos a funcionar R9.

— Para medir 10 minutos: conseguimos que queden6 minutos en R9 por los procedimientos ya vis-tos anteriormente y cuando pasan esos 6 minutos,ponemos a funcionar R4, con lo que obtenemos10 minutos.

4. TRIÁNGULOS. La figu-ra adjunta muestra laestrella pitagórica ins-crita en un pentágonoregular. ¿Cuántos trián-gulos pueden verse enesta figura?

En esta figura podemos encontrar los siguientes tiposde triángulos:

En cada figura podemos encontrar 5 triángulos igua-les al rayado en la misma; por tanto, en total hay5 × 6 = 30 triángulos.

v = 3w


1. Interpretar situaciones presentadas mediante relaciones funcionales expresadasen forma de tablas numéricas, gráficas o expresiones algebraicas.


• Utilizar gráficas de funciones dadas para el estudio de sus características: dominio, reco-rrido, extremos, acotación, simetrías, periodicidad y continuidad.

• Construir gráficas de funciones que se ajustan a unas características dadas.

2. Reconocer las familias de funciones más frecuentes en los fenómenos económicosy sociales, relacionando sus gráficas con situaciones que se ajusten a ellas e in-terpretar, cuantitativa y cualitativamente, las situaciones presentadas medianterelaciones funcionales expresadas en forma de tablas numéricas, gráficas o ex-presiones algebraicas.


• Reconocer las familias de funciones elementales en contextos reales.

• Representar funciones asociadas a situaciones económicas y sociales.

3. Utilizar tablas y gráficas como instrumento para el estudio de situaciones empí-ricas relacionadas con fenómenos sociales y analizar funciones que no se ajustena ninguna fórmula algebraica, encontrando métodos numéricos para la obtenciónde valores no conocidos.


• Obtener el polinomio interpolador que se ajuste a una tabla de valores.

• Interpolar y extrapolar valores que no están en una tabla obtenida experimentalmente.

4. Interpretar situaciones presentadas en forma gráfica o a través de expresiones po-linómicas o racionales sencillas, que exijan tener en cuenta intervalos de creci-miento y decrecimiento, continuidad, máximos y mínimos y tendencias de evolu-ción de la situación.


• Resolver problemas sencillos de optimización.

• Calcular límites sencillos utilizando las gráficas de las funciones y la calculadora.

• Interpretar las tendencias infinitas a partir de las gráficas de las funciones, determinando,si existen, las asíntotas.



CRITERIOS

1. Un establecimiento de hostelería abre suspuertas a las 9 de la noche, sin ningún clien-te, y las cierra cuando todos se han mar-chado. Se supone que la función que repre-senta el número de clientes, C, en funcióndel número de horas que lleva abierto el es-tablecimiento, h, es: C = 80h – 10h2.a) Determina el número máximo de clien-

tes que van una determinada noche alestablecimiento.

b) Si deseamos ir cuando haya menos de150 personas y más de 70, ¿entre quéhoras debemos hacerlo?

c) Si deseamos ir cuando haya menos de150 personas y más de 70 y, además,queremos que durante nuestra estanciadisminuya el número de clientes, ¿entrequé horas debemos ir?

d) A qué hora cierra el establecimiento?

En la gráfica esta representada la situación que plan-tea este problema. A partir de la gráfica respondemosa las cuestiones planteadas en el mismo.

a) El número máxi-mo de clientes esde 160 a las 4 ho-ras de abrir el es-tablecimiento, esdecir, a la 1 de lamadrugada.

b) Debemos ir en losintervalos:

(22, 24) � (2, 4).

c) Esto tiene lugar entre las 2 y las 4 horas, es decir,en el intervalo (2, 4).

d) El establecimiento cierra a las 5 de la mañana.

2. Dibuja la gráfica de la función que se ajus-ta a las siguientes características:a) Dom f = R – {–3, 3}; Im f (–∞] � (1, + ).b) Función simétrica respecto del eje de

ordenadas.c) Máximo relativo en el punto (0, 0).d) Asíntota horizontal y = 1

3. El número N de faros que un mecánicoconsigue montar al día viene dado en fun-ción de los días t que lleva realizando estetrabajo mediante la expresión:

a) Representa gráficamente la función eindica la parte gráfica que tiene sentidoen el contexto del problema.

b) ¿Cuántos faros monta al empezar a tra-bajar? ¿Y al cabo de un día de trabajo?

c) ¿Al cabo de cuántos días monta 20 fa-ros? ¿Cuál es el número máximo de fa-ros que puede llegar a montar?

d) Calcula:

a) La gráfica de esta función viene dada por:

N (nº de faros)

t(días)

O

5

3–1

15

25

límt

tlím

ttt t→+∞ →−

++

+++

25 51

25 511

;

N tt

t( ) = +

+25 5

1

Y

XO

1

3–3

e) lím f x lím f xx x→ →− +

( ) = +∞ ( ) = −∞3 3

;

C (h)Nº de personas

O

20

21 h (horas)

C(h) = 80h – 10h2

22 23 24 1 2 3 4

160

140

120

100

80

60

40

70

150


ACTIVIDADES

Sólo tiene sentido la parte de gráfica situada en elprimer cuadrante.

b) Al empezar a trabajar monta N (0) = 5 faros y alcabo de un día N (1) = 15 faros.

c) 20 = ⇒ t = 3 días.

Al cabo de 3 días monta 20 faros.

El número máximo de faros que llega a montar es 25.

4. El número de kilos de una que compra unacooperativa depende del precio de la mismacomo muestra la siguiente tabla:

Encuentra el polinomio de interpolacióncuadrática que se ajuste a estos valores.¿Cuántos kilos compraría la cooperativa a200 céntimos de euro/kg? ¿Y a 50 cénti-mos de euro/kg?

El polinomio que se ajusta a estos valores fue de laforma:

P(x) = ao + a1 x + a2 x2


P(x) = 6 200 – 2x – 0,04x2

• P(200) = 4 200 kg de uva compraría a 200 cénti-mos de euro/kg.

• P(50) = 6 000 kg de uva compraría la cooperativaa 50 céntimos de euro/kg.

5. La densidad de población a t kilómetrosde un gran aeropuerto viene dada, en milesde persona por Km2, por la expresión:

a) ¿Qué densidad de población hay en elaeropuerto? ¿Y a 2 Km del mismo?

b) ¿A qué distancia del aeropuerto se du-plica la densidad de población?

a) En el aeropuerto la densidad de población es:

A 2 km del aeropuerto la densidad de población esde unos:

b) Veamos a qué distancia la densidad de población esde 500 hab./Km2.

A 86,64 km la densidad de población es de 500hab/km2.

6. Halla el domino de definición de las si-guientes funciones:

Dom f = � – {0, 2}

Dom f = � – {x � �| x + 2 ≥ y x – 3 ≥ 0}

Resolvemos el sistema:

Es decir:Dom f = {x � �| x ≥ 3} = [3, +∞)

7. Un agricultor quiere vallar una finca rec-tangular uno de cuyos lados limita con unrío. Dispone de 400 m de alambre para va-llar los otros tres lados de la finca. Halla lasdimensiones para que la superficie valladasea máxima.

2x + y = 400

Área = x · y = x · (400 – 2x) = –2x2 + 400x

x

y

x

río

x

xx

+ ≥

− ≥

≥2 0

3 03y obtenemos

f xx x

g x x x( ) =−

( ) = + − −1

22 3

2

50014

1 000

2

2 0 0082

0 00886 64

0 008

0 008

= ⋅ ⋅

=

= ⋅ ⇒ = =

⋅

⋅

e

e

t t

t

t

,

,

ln ,ln,

, km

d e214

2540 016 2( ) = ⋅ =, hab/km

d e014

14

2500 2( ) = ⋅ = ⇒ hab/km

d t e t( ) = ⋅ ⋅14

0 008,

P a a a

P a a a

P a a a

aaa

300 300 300 2 000

250 250 250 3 200

150 150 150 5 000

6 20020 04

0 12

2

0 12

2

0 12

2

0

1

2

( ) = + ⋅ + ⋅ =

( ) = + ⋅ + ⋅ =

( ) = + ⋅ + ⋅ =

⇒

⇒== −= − ,

Precio (Kg)

Número Kg 2 000 3 200 5 000

300 250 150

d límt

tlím

ttt t

) ;→+∞ →−

++

= ++

= −∞+

25 51

2525 5

11

25t + 5t + 1


La función cuadrática A = –2x2 + 400x tiene su valormáximo en su vértice 0 dando A' (x) = 0 y A'' (x) < 0es decir:

A' (x) = –4x + 400 = 0 ⇒ x = 100

A'' (x) = –4; A'' (100) < 0

Las dimensiones de la finca son:

x = 100 m y = 200 m

8. Deriva las siguientes funciones:

Dxx x

D x xx

x x x

2 12 3

8

2 3

12 1 1

2 1 2 2

2

−+

=+( )

+ +( )[ ] = + ++ + +

ln

f xxx

g x x x( ) = −+

( ) = + +[ ]2 12 3

1ln


6666 .... BBBB LLLL OOOO QQQQ UUUU EEEETTTT EEEE MMMM ÁÁÁÁ TTTT IIII CCCC OOOO IIII IIII IIII ::::

EEEE SSSS TTTTAAAA DDDD ÍÍÍÍ SSSS TTTT IIII CCCC AAAAYYYY PPPP RRRR OOOO BBBB AAAA BBBB IIII LLLL IIII DDDD AAAA DDDD


Unidad Didáctica 12: Estadística. Tablas y gráficos.

1. Estadística: clases y conceptos básicos.2. Variables o caracteres estadísticos.3. Tablas estadísticas: recuento.4. Tablas estadísticas: frecuencias.

4. 1. Frecuencias acumuladas.5. Otra forma de recuento: diagrama de tallos y ho-

jas.6. Gráficos para variables estadísticas cualitativas.7. Gráficos para variables estadísticas cuantitativas.8. Series temporales y otros gráficos.

Unidad Didáctica 13: Distribuciones unidimen-sionales. Parámetros.

1. Parámetros de centralización.1.1. Media aritmética.1.2. Moda.1.3. Mediana.1.4. Percentiles.

2. Parámetros de dispersión.2.1. Recorrido.2.2. Desviación media.2.3. Varianza.2.4. Desviación típica.2.5. Coeficiente de variación.

3. Estudio conjunto de x– y σ.

Unidad Didáctica 14: Distribuciones estadísticasbidimensionales. Correlación y regresión.

1. Variables estadísticas bidimensionales.1.1. Distibuciones bidimensionales.

2. Diagramas de dispersión o nube de puntos.

3. Dependencia o correlación.4. Correlación lineal. Coeficiente de Pearson.

4.1. Escala de valores del coeficiente de correla-ción lineal.

5. Regresión. Rectas de regresión.5.1. Estimaciones con la recta de regresión.

6. Calculadora científica y estadística bidimensional.7. Calculadora gráfica y estadística bidimensional.

Unidad Didáctica 15: Distribuciones discretas.Distribución binomial.

1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Su-cesos.

2. Probabilidad. Propiedades.3. Regla de Laplace.4. Probabilidad condicionada. Sucesos dependientes

e independientes.5. Distribuciones estadísticas discretas.6. Distribuciones de probabilidad discretas.

6.1. Parámetros.7. Distribución binomial o de las pruebas de Ber-

noulli.7.1. Función de probabilidad binomial.7.2. Media y desviación típica.

Unidad Didáctica 16: Distribuciones continuas.Distribución normal.

1. Distribuciones estadísticas continuas.2. Distribuciones de probabilidad continuas.3. Distribución normal o de Gauss.4. Distribución normal estándar.5. Tipificación de la variable.6. La distribución binomial se aproxima a la normal.


Estadística y probabilidadEstadística y probabilidadEstadística y probabilidad

IIIIIIIII



1. Conocer los principales conceptos usados en Estadística: población, muestra e individuo.

2. Diferenciar los tres tipos de variables estadísticas: cualitativas, cuantitativas discretas y cuanti-tativas continuas.

3. Diseñar tablas estadísticas para coleccionar y ordenar datos.

4. Extraer la información almacenada en los gráficos estadísticos.

5. Construir los principales tipos de representaciones usados en Estadística.

• Hacer aflorar las ideas que el alumno tiene sobre las situaciones de tipo estadístico que ha ad-quirido en cursos pasados.

• Fomentar el razonamiento deductivo, a través de los procesos seguidos en la obtención de las ta-blas y gráficos que aparecen en la unidad.

• Orientar el desarrollo de la unidad, haciendo primar los procedimientos y técnicas, poniendo elénfasis en una metodología heurística.



PÁGINA • 237


1. Un grupo de estudiantes ha realizado unarecogida de plantas de una misma especie,anotando el número de éstas, por dam2, enfunción de su latitud, como puede verse enla tabla que sigue:

Determina el porcentaje total de plantasque corresponde a cada altitud.

Los porcentajes de plantas que corresponden a cadaaltitud se recogen en la tabla siguiente:

2. La tabla muestra los porcentajes de la pro-ducción mundial de petróleo en el año1990.

Representa estas producciones sobre uncírculo, de manera que cada sector circular

tenga una am-plitud propor-cional a cadauno de los tan-tos por cientode la tabla.

La representacióngráfica de las produc-ciones es, aproximadamente, la del dibujo siguiente:

Oriente Medio

Antigua URSS

Norteamérica59,76°

Iberoamérica

Asia y Oceanía38,16°

África33,48°

Europa Occidental22,32°

70,92°

94,68°

40,68°


CONCEPTOS

1. Estadística: clases y conceptos bá-sicos.

2. Variables o caracteres estadísticos.

3. Tablas estadísticas: recuento.

4. Tablas estadísticas: frecuencias.4.1. Frecuencias acumuladas.

5. Otra forma de recuento: diagramade tallo y hojas.

6. Gráficos para variables estadísticascualitativas.

7. Gráficos para variables estadísticascuantitativas.

8. Series temporales y otros gráficos.



• Construcción de tablas es-tadísticas a partir de una co-lección de datos.

• Construcción de gráficas apartir de tablas estadísticas.

• Construcción de tablas apartir de una gráfica.

– Reconocimiento y valora-ción de la utilidad del len-guaje estadístico para repre-sentar problemas de la vidacotidiana y del conocimien-to científico.

– Interés por el uso del len-guaje estadístico en infor-maciones de los medios decomunicación.

Altitud (m) 100 200 300 400 500 600 700 800Nº de plantas 1 5 10 15 17 8 3 1

Altitud (m) 100 200 300 400 500 600 700 800Nº de plantas 1,67 8,33 16,67 25 28,33 13,33 5 1,67

Región Porcentaje

Oriente Medio 26,3Antigua URSS 19,7Norteamérica 16,6Iberoamérica 11,3Asia y Oceanía 10,6África 9,3Europa Occidental 6,2

PÁGINA • 239


1. Clasifica los siguientes caracteres estadísticos:a) Número de músculos de los animales

vertebrados.b) Intención de voto.c) Velocidad que, en un instante dado, lle-

van las motocicletas que circulan por lascarreteras y calles de una gran ciudadespañola.

d) Talla de pantalones de los alumnos de tucentro.

e) Tipos de zumos que prefieren los ado-lescentes.

f) Temperatura mínima en tu ciudad cadadía del año.

g) Las marcas de los coches que circulanen España.

h) Deporte practicado por los chicos y chi-cas de tu centro.

i) La duración de cada pila eléctrica pro-ducida por una empresa durante un se-mestre.

Son variables o caracteres cualitativos las correspon-dientes a los apartados b), e), g) y h).

Son variables o caracteres cuantitativos discretos lascorrespondientes a los apartados a), c) y d).

Son variables o caracteres cuantitativos continuos lascorrespondientes a los apartados f) e i).

PÁGINA • 245

1. La asociación de vecinos de cierto barriodesea conocer el número de personas quehabitan cada uno de los edificios del citadobarrio. Para ello, ha realizado una encues-ta y ha obtenido los datos siguientes:

47 42 27 25 23 78 75 5367 38 89 35 71 46 35 3463 79 47 63 71 77 36 8447 44 69 25 45 85 86 3758 50 38 81 46 56 79 3633 67 52 45 50 32 52 5468 58 29 70 54 28 25 3787 57 28 51

a) Realiza el gráfico de tallo y hojas co-rrespondiente a los datos anteriores.

b) Agrupa los datos en intervalos de ampli-tud 10, siendo el centro del primer inter-valo (marca de clase) 25 y construye la ta-bla con frecuencias absolutas y relativas,tanto simples como acumuladas, así comolos porcentajes simples y acumulados.

a) El gráfico de tallo y hojas es:2: 3 5 5 5 7 8 8 93: 2 3 4 5 5 6 6 7 7 8 84: 2 4 5 5 6 6 7 7 75: 0 0 1 2 2 3 4 4 6 7 8 86: 3 3 7 7 8 97: 0 1 1 5 7 8 9 98: 1 4 5 6 7 9

b) La tabla de frecuencias y porcentajes es:

2. Construye el gráfico de tallo y hojas de losdatos que siguen, relativos a las puntuacio-nes obtenidas en un test de habilidad nu-mérica por un grupo de alumnos que inicianla enseñanza secundaria.47 20 42 33 53 31 53 6442 31 20 42 20 34 45 6754 56 36 27 64 51 18 3139 29 75 33 46 50 24 6328 61 77 27 45 27 64 6642 19 30 41 45 50 54 7428 20 44 49 30 18 23 5753 48 51 31

El gráfico de tallo y hojas es:

1: 8 8 92: 0 0 0 0 3 4 7 7 7 8 8 93: 0 0 1 1 1 1 3 3 4 6 94: 1 2 2 2 2 4 5 5 5 6 7 8 95: 0 0 1 1 3 3 3 4 4 6 76: 1 3 4 4 4 6 77: 4 5 7

Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Porcentajes

Intervalo Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumulados

8 8 0,1333 0,1333 13,33 13,3320 30

30 40 11 19 0 1833 0 3166 18 33 31 66

40 50 9 28 0 1500 0 4666 15 00 46 66

50 60 12 40 0 2000 0 6666 20 00 66 66

60 70 6 46 0 1000 0 7666 10 00 76 66

70 80 8

,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

,

[ )[ )[ )[ )[ )[ ) 5454 0 1333 0 9000 13 33 90 00

80 90 6 60 0 1000 1 0000 10 00 100 00

, , , ,

, , , , ,[ ]


PÁGINA • 254


Enuncia cinco variables estadísticas decada una de las clases que aparecen en eltexto, referidas a los alumnos de tu curso.

Variables o caracteres cualitativos:1. Color del cabello.2. Deporte favorito.3. Asignatura favorita.4. Diversión más practicada.5. Marca de zapatos que utiliza.

Variables o caracteres cuantitativos discretos:1. Número de hermanos.2. Número de deportes practicados.3. Películas vistas a la semana.4. Número de electrodomésticos en su hogar.5. Libros leídos al año.

Variables o caracteres cuantitativos continuos:1. Estatura.2. Peso.3. Perímetro torácico.4. Tiempo en realizar una prueba.5. Longitud de las piernas.

Responde a lo que se pide en la actividadanterior, referidas, en este caso, a un indi-viduo de tu lugar de residencia.

Variables o caracteres cualitativos:1. Color de los ojos.2. Marca de pantalones que utiliza.3. Tipo de programa de televisión más visto.4. Deporte practicado.5. Marca del automóvil de su familia.

Variables o caracteres cuantitativos discretos:1. Número de miembros en su familia.2. Número de operaciones quirúrgicas que se han

efectuado.3. Días de baja por enfermedad.4. Número de vehículos en su familia.5. Refrescos que toma al día.

Variables o caracteres cuantitativos continuos:1. Perímetro craneal.2. Gastos anuales en alimentación de su familia.3. Longitud de los brazos.4. Superficie de su vivienda.5. Gastos mensuales en actividades lúdicas.

Clasifica las siguientes variables estadís-ticas:

a) Temperaturas registradas cada día enun observatorio.

b) Duración de un determinado modelo depila eléctrica.

c) Número de frutas producidas por cadaárbol de una plantación de melocoto-neros.

d) Número de caries de cada alumno de uninstituto.

e) Gasto medio de litros de gasóleo porcada 100 km de un determinado mode-lo de camión.

f ) Número de espectadores que han asisti-do a un pabellón durante los partidos debaloncesto de toda la liga.

a) Continua. b) Continua.

c) Discreta. d) Discreta.

e) Continua. f) Continua.

Una determinada especie de mamíferos tie-ne en cada parto un número variable de hi-jos. Se observa que las camadas de 35 fa-milias durante un año han sido las que serecogen en la tabla adjunta.

Elabora una tabla estadística completa contodos los tipos de frecuencias existentes.

La tabla pedida es la siguiente:

4

3

2

1


Nº de hijos 0 1 2 3 4 5 6 7Nº de familias 2 3 10 10 5 0 5 0

La realización de una prueba de habilidadmotora por parte de 60 niños ha dado losresultados que siguen:

a) Agrupa estos datos en intervalos de am-plitud 5, realizando la correspondientetabla estadística completa.

b) Responde a las mismas cuestiones delapartado anterior tomando clases deamplitud 10.

a) La tabla con intervalos de amplitud 5 es la siguiente:

b) La tabla con intervalos de amplitud 10 es la siguiente:

En 1798 el científico inglés Henry Caven-dish midió la densidad de la Tierra a travésde una balanza de torsión. Realizó 29 ob-servaciones y obtuvo los siguientes valores(en g/cm3).

Agrupa los datos en 5clases de amplitud 0,25,considerando como lími-te inferior de la primeraclase el valor 4,75 yconstruye la corres-pondiente tabla comple-ta de frecuencias.

La tabla de frecuencias es:

PÁGINA • 255

Elabora una tabla completa de frecuencias dela aparición de vocales de la frase que sigue:«There are two ways of talking about ambi-guity: we can talk of one string representingtwo different sentences, or we can say thatone sentence has two different meanings.»

La tabla de frecuencias es:


Vocales Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumuladas

a

e

i

o

TOTAL 52

12 12 0 2308 0 2308 23 08 23 08

21 33 0 4038 0 6346 40 38 63 46

8 41 0 1538 0 7885 15 38 78 85

9 50 0 1731 0 9615 17 31 96 15

2 52 0 0385 1 0000 3 85 100 00

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,u

7


Intervalo Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumuladas

4 75 5 00 1 1 0 0345 0 0345 3 45 3 45

5 00 5 25 2 3 0 0690 0 1034 6 90 10 34

5 25 5 50 13 16 0 4483 0 5517 44 83 55 17

5 50 5 75 10 26 0 3448 0 8966 34 48 89 66

5 75 6

, ; , , , , ,

, ; , , , , ,

, ; , , , , ,

, ; , , , , ,

, ; ,

[ )[ )[ )[ )

0000 3 29 0 1034 1 0000 10 34 100 00[ ) , , , ,

6

15, 35, 18, 23, 75, 81, 19, 27, 15, 18,63, 45, 31, 32, 45, 18, 29, 17, 30, 77,76, 75, 19, 15, 23, 35, 81, 15, 81, 41,76, 24, 27, 69, 15, 18, 13, 18, 76, 14,29, 31, 52, 46, 18, 17, 35, 62, 44, 31,18, 27, 32, 74, 19, 31, 47, 19, 82, 50.

5


5,50 5,61 4,88 5,07 5,26 5,55 5,36 5,29 5,58 5,655,57 5,53 5,63 5,29 5,44 5,34 5,79 5,10 5,27 5,395,42 5,47 5,63 5,34 5,46 5,30 5,75 5,68 5,85


El número de trabajadores en las 60 em-presas de una determinada localidad es lasiguiente:

En ocasiones no resulta útil usar intervalosde la misma amplitud como ocurre en estecaso. Utiliza los intervalos [0, 15), [15, 30),[30, 45), [45, 60], [60, 75), [75, 90),[90, 450) y elabora la tabla estadísticacompleta.

La tabla completa es:

Completa los datos que faltan en las tablasestadísticas siguientes:

Las tablas estadísticas completas son:

En un centro de enseñanza hay 240, 160,200 y 120 alumnos de primero, segun-do, tercero y cuarto curso de EnseñanzaSecundaria Obligatoria, respectivamente.Se pide:

a) Representar gráficamente estos datosmediante un diagrama de sectores.

b) Representar mediante un diagrama debarras el número de alumnos que ten-dría cada curso si el centro decide: au-mentar en un 5 % el número de alum-nos matriculados en primer curso,mantener el número de matriculadosen segundo y tercero, y disminuir elnúmero de matriculados en cuarto cur-so, de manera que no se modifique elnúmero total de alumnos.

a) El diagrama de sectores es:

4º ESO

3º ESO

2º ESO

1º ESO

120°

80°100°

60°

10

a)b)

c)d)

Calificación

Insuficiente

Suficiente 20 0,25

Notable 16 0,20

Sobresaliente 14 0,175

Total 80 1 000

Número de caries

20 0,2

35 0,35

15 0,15

5 0,05

TOTAL 100

Número de hijos

15 0,3

15 0,3

5 0,1

4 0,08

1

TOTAL 50 1,00

f hf h p

f hx f F

i ii i i

i ii i

30 0 3750 25 0 25 25

1 20

2 35

3 10

4 5

1 00 100

0 10 0 2

1

2

3

4

5 0 02

,,

,

,

,

ii ih

1 3 3 0,05

2 4 7 0,07

3 9 16 0,15

4 7 23 0,12

5 5 28 0,08

6 10 38 0,17

7 7 45 0,12

8 15 60 0,25

9


Número de trabajadores

Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumuladas

0 15 10 10 0 1667 0 1667 16 67 16 67

15 30 8 18 0 1333 0 3000 13 33 30 00

30 45 9 27 0 1500 0 4500 15 00 45 00

45 60 15 42 0 2500 0 7000 25 00 70 00

60 75 7 49 0 1167 0 8167 11 67 81 67

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

[ )[ )[ )[ )[ )7575 90 7 56 0 1167 0 9333 11 67 93 33

90 450 4 60 0 0667 1 0000 6 67 100 00

, , , , ,

, , , , ,

[ )[ )

13, 50, 46, 22, 54, 5, 61, 26, 43, 34,75, 79, 234, 434 ,45, 36, 84, 75, 56,53, 5, 64, 74, 25, 62, 6, 49, 75, 34, 2,83, 42, 53, 67, 63, 96, 15, 7, 33, 45,

16, 54, 3, 47, 4, 22, 50, 42, 18, 46, 95,27, 4, 45, 32, 86, 58, 72, 38, 4.

8

Número de caries

01234

TOTAL

fi

2520

15

hi

0,250,2

0,150,05

pi

Número de hijos

012345

TOTAL

fi

15

54

50

hi

0,2

0,02

CalificaciónInsuficienteSuficienteNotable

SobresalienteTotal

fi

2016

80

hi

0,375

xi fi Fi hi

1 32 43 16 0,154 75 5 286 387 7 458

a)

c) d)

b)

b) El 5 % de 240 es

· 240 = 12 alumnos.

La composición del centroserá:

El diagrama de barras de la nueva composición delcentro es:

En este diagrama de sectores aparecen re-presentados el número de hermanos deun grupo de 36 alumnos de 1º de bachi-llerato. Construye la tabla de frecuenciasabsolutas correspondiente.

La tabla de frecuencias buscada es:

PÁGINA • 256

Las dianas logradas en un campeonatopor 25 tiradores fueron:

8, 10, 12, 12, 10, 10,11, 11, 10, 13, 9, 11,10, 9, 9, 11, 12, 9,

10, 9, 10, 9, 10, 8, 10

Resume los datos anteriores en una ta-bla de frecuencias absolutas y relativas,y dibuja el correspondiente diagrama debarras.

Los datos tabulados son:

El diagrama de barras es:

Se ha realizado un test de habilidad nu-mérica a los alumnos de una clase. Los re-sultados obtenidos son:

Representa los datos mediante un histo-grama.

13

Frecuenciasabsolutas

N.º dedianas

2

1

4

3

5

7

6

9

8

10

8 9 10 11 12 13

N.º de dianas Frecuenciasabsolutas

Frecuenciasrelativasxi

8 2 0 08

9 6 0 24

10 9 0 36

11 4 0 16

12 3 0 12

13 1 0 04

,

,

,

,

,

,

12

Número de hermanos

Frecuenciasabsolutas

0 7

1 12

2 9

3 5

4 3

120°

1hermano

2hermanos

3hermanos

4 hermanos

0hermanos

90°

50°30°

70°

11

100

50

200

150

250

108

4º ESO

200

3º ESO

160

2º ESO

252

1º ESO

Curso Número dealumnos

ESO

ESO

ESO

ESO

Total

1 252

2 160

3 200

4 108

720

º

º

º

º

5100


Puntuaciones [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) [45, 50]

Nº de alumnos 4 6 6 10 8 10 3 3

El histograma es:

Se ha aplicado un test a los empleados deuna fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:

Construye el histograma y el polígono defrecuencias absolutas acumuladas.

El histograma es:

El polígono de frecuencias absolutas acumuladas es:

Para la tabla deingresos adjunta,construye el his-tograma de fre-cuencias relati-vas y el polígonode frecuencias.

Los gráficos son:

Los pesos en kg de 20 alumnos de ciertocentro de enseñanza son:51, 47, 55, 53, 49, 47, 48, 50, 43, 60,45, 54, 62, 57, 46, 49, 52, 42, 38, 61Agrupa los datos en clases de amplitud 5,siendo el extremo inferior del primer in-tervalo 37,5. Dibuja el correspondientehistograma.

La tabla de datos agrupados es:

Intervalos Marcas de clase Frecuencias absolutasx fi i

[ , ; , )

[ , ; , )

[ , ; , )

[ , ; , )

[ , ; , )

37 5 42 5 40 2

42 5 47 5 45 5

47 5 52 5 50 6

52 5 57 5 55 4

57 5 62 5 60 3

16

Ingresos

Frecuencias

menos de40 000

55 000 75 000 90 000 115 000 más de130 000

20

10

40

30

60

50

80

70

90

Ingresos

0,2

0,1

0,3Frecuencias relativas

menos de40 000

55 000 75 000 90 000 115 000 más de130 000

15

Puntuaciones del test

N.º de trabajadores

41 47 53 59 65 71 77

20

10

40

30

50

60

80

70

90

100

Puntuación del test

10

5

20

15

25

30N.º de trabajadores

41 47 53 59 65 71 77

14

Puntuaciones

2

1

4

3

5

7

6

9

8

10N.º de alumnos

12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5


x (38, 44] (44, 50] (50, 56] (56, 62] (62, 68] (68, 74] (74, 80]

Nº de trabajadores 7 8 15 25 18 9 6

Ingresos Frecuencias

Menos de 40 000 3540 000-70 000 7070 000-80 000 7080 000-100 000 90100 000-130 000 85Más de 130 000 64

El histograma es:

Como resultadode un estudio es-tadístico sobrelos ingresos porventas (en milesde euros) reali-zado sobre ungrupo de 100empresas del sector de la alimentación, seha obtenido la tabla de la derecha.

Identificar, entre los siguientes, el histo-grama de frecuencias asociado a los da-tos de la tabla. Explicar razonadamente laelección efectuada.

El histograma correcto es el correspondiente al gráfi-co A. Puede observarse que las alturas de los rectán-gulos son proporcionales a los resultados 10, 20, 40,20 y 10, respectivamente.

PÁGINA • 257

Después de medir a 60 compañeros unaalumna ha entregado el siguiente diagra-ma de tallo y hojas:

a) Realiza el mismo gráfico con los datosordenados.

b) Con los mismos datos construye unúnico diagrama de tallo y hojas.

c) Agrupando adecuadamente los datos,construye la correspondiente tabla defrecuencias.

a) El mismo gráfico con los datos ordenados es:

b) Un único diagrama de tallo y hojas es:

c) La tabla de frecuencias absolutas es:

Frecuencias absolutas

Alturas Simples Acumuladas

140 150 4 4

150 160 12 16

160 170 19 35

170 180 19 54

180 190 6 60

,

,

,

,

,

[ )[ )[ )[ )[ )

14

15

16

17

18

6 7 9 9

2 4 4 4 5 5 5 5 8 8 9 9

0 2 3 3 3 4 5 5 5 5 6 7 7 8 8 8 9 9 9

0 0 1 1 2 2 2 3 3 4 5 5 6 6 6 7 7 8 9

0 1 2 2 3 6

18

A B C

17

Peso (en kg)

2

1

4

3

5

6


40 45 50 55 60

7


Ingresos Resultados

[100, 200) 10[200, 300) 20[300, 400) 40[400, 500) 20[500, 600] 10

Alumnas Alumnos9 6 14 7 9

5 5 2 8 4 4 15 5 9 8 4 5 95 2 0 5 5 6 3 9 8 5 16 8 7 9 3 4 3 9 8 7

9 0 3 3 6 2 8 1 17 7 5 0 4 2 1 6 2 5 6 72 0 18 1 3 6 2

Alumnas Alumnos9 6 14 7 9

8 5 5 4 4 2 15 4 5 5 8 9 99 8 6 5 5 5 5 3 2 0 16 3 3 4 7 7 8 8 9 9

9 8 6 3 3 2 1 0 17 0 1 2 2 4 5 5 6 6 7 72 0 18 1 2 3 6

En un proceso experimental se han medi-do la longitud de 80 plantas adultas decierta variedad de tomate cultivadas enlas mismas condiciones en el interior deun invernadero, con los siguientes resul-tados, expresados en milímetros:

a) Efectúa el recuento de los datos ante-riores realizando un diagrama de talloy hojas.

b) Elabora la tabla estadística correspon-diente a las distintas frecuencias y por-centajes, tomando 9 intervalos de lamisma amplitud.

c) Representa dos histogramas, uno conlas frecuencias relativas y otro con lasfrecuencias relativas acumuladas de latabla anterior.

a) El diagrama de tallo y hojas es:

b) La tabla es:

c) El histograma de frecuencias relativas es:

El histograma de frecuencias relativas acumuladas es:

Las alturas, en centímetros, de 60 alum-nos que cursan 3º de ESO son:

a) Agrupando los datos en intervalos deamplitud 10 centímetros, haz una ta-bla de frencuencias y el correspon-diente histograma.

155 157 153 172 165 166170 159 159 162 151 154163 172 166 163 162 165173 152 170 179 168 164159 176 162 170 158 161158 157 163 164 159 160161 161 154 167 158 162154 157 175 169 162 163168 172 176 170 164 161155 170 159 162 165 154

20

Medidas en mm

0,2

0,1

0,3

Frecuencias relativas

105 115 125 135 145 155 165 175 185

0,5

0,4

0,6

0,8

0,7

0,9

1

Medidas en mm

0,2

0,1

0,3Frecuencia relativa

105 115 125 135 145 155 165 175 185

130 140 9 24 0 1125 0 3000 11 25 30 00

140 150 14 38 0 1750 0 4750 17 50 47 50

150

, , , , ,

, , , , ,

[ )[ )

,, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

160 19 57 0 2375 0 7125 23 75 71 25

160 170 10 67 0 1250 0 8375 12 50 83 75

170 180 10 77 0 1250 0 9625 12 50 96 25

180 190 3 80 0 0375 1 0000 3 75 100 00

[ )[ )[ )[ )


Medidas en mm.

Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumuladas

100 110 2 2 0 0250 0 0250 2 50 2 50

110 120 6 8 0 0750 0 1000 7 50 10 00

120 130 7 15 0 0875 0 1875 8 75 18 75

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

[ )[ )[ )[ )

10

11

12

13

14

15

16

17

18

4 4

2 3 6 7 8 9

2 2 2 6 6 6 9

1 2 2 4 4 7 7 9 9

0 0 0 2 4 5 5 5 6 7 8 9 9 9

0 1 2 2 2 2 3 3 3 4 5 5 5 5 6 6 6 7 8

0 0 1 2 2 5 5 5 8 9

0 0 0 0 1 2 2 5 5 7

0 2 8

113 126 139 171 119 134 170 144153 175 180 139 126 149 117 154122 137 140 142 152 149 129 148175 168 104 104 134 145 131 122153 149 169 132 147 150 152 140116 153 177 146 152 112 140 145152 151 112 162 188 156 170 165156 156 157 161 162 155 170 160172 165 155 170 160 172 165 155182 132 126 158 137 118 145 155

19


b) Realiza una tabla y un diagrama aná-logos a los del apartado anterior, agru-pando los datos en intervalos de am-plitud 5 centímetros.

a) La tabla y el histograma son:

b) La tabla y el histograma son:

PÁGINA • 258

Se ha controlado el peso de 50 recién naci-dos, obteniéndose los siguientes resultados:

Representa gráficamente estos datos, eli-giendo el gráfico más adecuado.

Realizamos un histograma de frecuencias absolutas:

Se considera una distribución de datosagrupados en intervalos cuyo polígono defrecuencias acumuladas es el de la figura.

a) Calcular la ta-bla de distribu-ción de frecuen-cias absolutas.

b) Dibuja el corres-pondiente his-tograma.

a) La tabla de frecuencias es:

b) El histograma es:

El producto interior bruto (PIB) de los paísesque se indican tuvo la siguiente distribu-ción en porcentajes durante el año 1986:

23

Marea de clase

2

1

3


40 60 80

5

4

6

20 100

Intervalos Mareade clase

Frecuenciaabsoluta

10 30 20 3

30 50 40 6

50 70 60 5

70 90 80 0

90 110 100 6

,

,

,

,

,

[ )[ )[ )[ )[ )

100806040200

20

14

9

3

22

Peso en kg

8

4

12

Frecuencias absolutas20

16

2,65 2,95 3,25 3,55 3,85 4,15 4,45

21

Medidas en cm

10

5

15


25

20

30

152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5

Alturas Frecuenciasabsolutas

150 155 7

155 160 13

160 165 18

165 170 9

170 175 9

175 180 4

,

,

,

,

,

,

[ )[ )[ )[ )[ )[ )

Medidas en cm

10

5

15


155 165 175

25

20

30Alturas Frecuenciasabsolutas

150 160 20

160 170 27

170 180 13

,

,

,

[ )[ )[ )


Peso en kilogramos [2,5; 2,8) [2,8; 3,1) [3,1; 3,4) [3,4; 3,7) [3,7; 4) [4; 4,3) [4,3; 4,6]

Número de niños 2 2 4 10 16 10 6

País Agricultura Industria Servicios

Austria 4 40 56Bélgica 2 31 67Canadá 3 24 72Eitopía 42 18 40España 6 40 54Grecia 17 29 54Ghana 51 16 33Italia 4 34 62

Mozambique 50 12 38Venezuela 7 44 49

Representa estos datos en un diagramatriangular.

Los datos pueden verse en el diagrama adjunto:

Expresa en tablas de forma aproximadalos datos recogidos en cada una de lasgráficas.

Las tablas buscadas son:

a)

b)

c)

PÁGINA • 259

Con los datos que aparecen en los gráfi-cos que siguen elabora sendos diagramasde rectángulos.

Los diagramas de rectángulos son:

N.º de estaciones

Continental O

il

3 500

PetrogalShell

Total-FinaO

tras

BP Cam

psaRepsol

3 500

540559

191150140130100

300

500

700

900

1 100

1 300

1 700

1 500

1 700

25

Fuentede energía

Petróleo Carbón Nuclear Gasnatural

Renovables Hidráulica

Porcentaje 51,83 21 06 15 96 6 17 2 97 2 58, , , , ,

Mes E F M A M J J A S O N DTemp.

C9

Precip.(mm)

490 390 290 190 170 70 90 130 230 400 620 640

°10 12 17 21 26 26 24 20 17 12 11

Países EE UU Canadá Ibero -américa

EuropaOccidental

Ex -URSS

OrienteMedio

Argelia AsiaOceanía

Millonesde Tep

440 100 88 170 650 100 50 140

24


1000

9010

8020

7030

6040

5050

4060

3070

2080

1090

01000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

SERVICIOS

IND

USTR

IA

AG

RIC

ULT

URA

Et

Mo

Gh

G

Es

C

AV

IB

EL CLIMOGRAMA O DIAGRAMA TERMOPLUVIOMÉ-TRICO. Realizando esta actividad conoce-rás un nuevo gráfico estadístico.

En una capital de provincia se han regis-trado las siguientes temperaturas y preci-pitaciones a lo largo de un año:a) Con los datos de las precipitaciones

realiza un diagrama de barras.b) Con los datos de las temperaturas di-

buja un polígono de frecuencias.c) Realiza los dos diagramas anteriores

uno encima del otro teniendo en cuen-ta que debes situar el eje vertical conlas lluvias a la derecha y el eje verticalde las temperaturas a la izquierda.

El último gráfico recibe el nombre de cli-mograma o diagrama termopluviométrico.

Los gráficos pedidos son:a)

b)

c) El climograma es:

PÁGINA • 261


1. CUADRADOS. Un cua-drado tiene uno de susvértices en el centro deotro cuadrado del mis-mo lado que el ante-rior, como se muestraen la figura. ¿Cuánto vale el área de la re-gión limitada por ambos?

Basta con mover el cuadrado para verque el área de la región limitada es:

del área del cuadrado.

2. ROSA DE CUATRO PÉTALOS. La figura ad-junta muestra una rosa de 4 pétalos y se co-rresponde con el símbolo de una asocia-ción. Esta asociación ha convocado un

14

°C

10

20

30

40

50

60

MesesE F M A M J J A S O N D

10

20

30

40

50

60 mm

Temperaturas (°C)

10

20

30

40

50

60


Precipitación (mm)

10

20

30

40

50

60


26

N.º de estaciones

Asturias

Cantabria

Castilla y León

Madrid

Castilla-La M

ancha

574

171116

678

368

638

221155

73

322

1 003

172

694

265

1 176

294

Galicia

Navarra

La RiojaA

ragónC

ataluñaBaleares

País Vasco

ValenciaM

urciaA

ndalucíaExtrem

adura

100

300

500

700

900

1 100


Temperaturas

Precipitaciones (mm)

E

3,6

39

F

4,9

34

M

8,2

48

A

10,4

32

M

13,6

42

J

18,4

27

J

21,4

15

A

21,2

14

O

12,5

41

N

7,5

49

D

4,3

53

S

18,1

22

Proceso de construcciónde un climograma.

15°

concurso que consiste encalcular el área de la rosa, to-mando una sola medida sobreella. ¿Ganarías tú el concurso?

Basta con conocer el lado delcuadrado que se forma den-tro de la figura.

La resolución de este proble-ma nos recuerda al problemade los perros guardianes.

El área de esta rosa de 4 pé-talos es igual al área del cua-

drado rayado más 4 veces el área de un pétalo y. Elárea del pétalo y lo puedes encontrar en la resolu-ción del problema de los perros guardianes.

3. CUADRADO. En el cuadrado de la figura delado a se han trazado arcos de circunfe-rencia con centro en cada uno de los vérti-ces del cuadrado y radio a. Halla el áreade cada una de las regiones x, y y z.

Área (x) = = Área cuadrado – Área triángulo – 2 · Área sector =

Área (rayada) = Área círculo –

– Área triágulo rectángulo =

Área (y) = Área triángulo rectángulo – Área rayada –

4. DOS CUADRADOS SEPARADOS. Los cua-drados de la figura tienen 10 m de lado.Calcula el área de las zonas sombreadas.

• En la figura (1) el área pedida es 2 veces el área deuna de las aspas rayada en el dibujo adjunto.

Área aspa = Área cuadrado –

– 2 Área (a) – 2 Área (b)

Vamos a hallar el área de lazona (a). El radio de esta zonaes la mitad de la diagonal delcuadrado.

D = = 10 ⇒ r = 5

Área (a) = π · r2 = π · (5 )2 = = m2

Vamos a hallar el área de la zona (b). El radio deesta zona es el lado del cuadrado menos el radio de

la zona (a) ⇒ r = 10 – 5 .

Área (b) = π · (10 – 5 )2 = m2

Área aspa = 102 – 25 π – (75 – 50 √2 ) π =

= 100 – 100 π + 50 √2 π

Área pedida = 2 · Área aspa =

= 2 (100 – 100 π + 50 √2 π) ⇒

⇒

• En la figura (2) el área pedida es igual al área delcuadrado de lado 10 m menos el área del círculo deradio 5 m.

Área figura (2) = 102 – π· 52 = 100 – 25 π= 21,46 m2.

Área pedida = 15,97 m2

(75 – 50 √2 ) π

4√21

4

√2

25 π2

50 π4

√214

14

√2√2√102 + 102

b

a

1) 2)

= ⋅ − ⋅ =

= ⋅ −

− − + + ⋅

2 2

24 2

23

2 12

Área Área rayada Área

2 22

2 2

( ) ( )z y

a aa

a aπ π =

= ⋅ − + − − ⋅ =

= − + ⋅

π π

π

aa a a

a

a aa

22 2 2

2

2 22

22 3

6

33

− ⋅ = ⋅ −

−

− ⋅ − −

= − + + ⋅

22 4 2

2 134 6

32 12

Área2 2 2

2 22 2

( ) –xa a a

a aa a

π

π π

= ⋅ − = −

π πa a a2 2 2

4 2 2 21

14

y

=⋅

− ⋅ ⋅ = − −

aa

aa

a22

2–

32

22

121

34 6

π π

a

a a

a

z

yx

Sectorx

a

60°

y



1. Calcular los parámetros estadísticos de centralización y dispersión.

2. Utilizar correctamente los parámetros estadísticos, además de saber interpretarlos.

3. Diferenciar las distribuciones estadísticas simétricas de las que no lo son mediante el estudio con-junto de la media y la desviación típica.

4. Calcular y aplicar las puntuaciones típicas o normalizadas en las situaciones que lo requieran.


• Fomentar el razonamiento deductivo, a través de los procesos seguidos en la obtención de los pa-rámetros que aparecen en la unidad y la posible comparación entre algunos de ellos.

• Orientar el desarrollo de la unidad, haciendo primar los procedimientos y técnicas, poniendo elénfasis en una metodología heurística.




PÁGINA • 263


1. Elabora un climograma con los datos si-guientes:

Calcula la temperatura media y la precipi-tación media anual

El climograma pedido es el siguiente:

La temperatura media es:

La precipitación media anual es:

2. Con el fin de estimar el grupo sanguí-neo más abundante en un centro de600 alumnos, hemos extraído unamuestra de tamaño 25. Los grupos san-guíneos obtenidos son:

A, A, O, A, O, O, O, O, A,O, O, A, O, O, A, A, O, O,

B, AB, B, A, A, A, O

Determina el grupo sanguíneo moda deesta muestra.

Los resultados pueden verse en la siguiente tabla:

p = =38612

32 17, mm

t = = °144 512

12 04,

, C

°C

60

50

40

30

20

10

0

mm

60

50

40

30

20

10

0E F M A M J J A S O N D

0

0

0


CONCEPTOS

1. Parámetros de centralización.1.1. Media aritmética.1.2. Moda.1.3. Mediana.1.4. Percentiles.

2. Parámetros de dispersión.2.1. Recorrido.2.2. Desviación media.2.3. Varianza.2.4. Desviación típica.2.5. Coeficiente de variación.

3. Estudio conjunto de x– y σ.

– Reconocimiento y valoracióndel trabajo en grupo, como lamanera más eficaz para rea-lizar determinadas activi-dades: encuestas, toma dedatos, representación e inter-pretación de la información.

– Sensibilidad y gusto por laprecisión, el orden y la clari-dad en el tratamiento y pre-sentación de datos y resulta-dos relativos al cálculo delos parámetros estadísticos.

– Apreciar la gran utilidad delas calculadoras científica ygráfica en todas las situacio-nes de tipo estadístico.

• Cálculo, análisis e interpre-tación de parámetros esta-dísticos.

• Detección de la buena, re-gular o mala simetría deuna distribución.

• Utilizar con corrección lacalculadora en los cálculosestadísticos.

• Comparar dos situaciones,referidas a distribucionesdiferentes, a través de laspuntuaciones tipificadas.



E F M A M J J A S O N D

Temp. (°C) 3,7 4,9 8,2 10,5 13,6 18,4 21,5 21,3 18,1 12,5 7,5 4,3

Preci. (mm) 39 34 48 32 42 27 15 14 22 41 19 53

El grupo sanguíneo que presenta mayor frecuencia y,por tanto, el grupo moda es el grupo O.

3. Los cambios medios anuales del francofrancés (pesetas por cada franco) du-rante los años que van desde 1985 has-ta 1992 figuran en la siguiente tabla.Calcula la media del cambio del francodurante estos años.

La media del cambio es = 19,346.

PÁGINA • 276


Los sueldos mensuales en una empresa sonlos siguientes:

1 director, 3 000 euros; 3 jefes, 2 500 eu-ros; 6 encargados, 1 500 euros, y 9 ope-rarios, 800 euros.

Calcula el sueldo medio.

De una muestra de 16 tornillos, se ha me-dido, en cm, el diámetro de su cabeza, ob-teniendo los siguientes resultados:

Calcula la media.

La media del diámetro es = 0,0955 cm.

Para comprobar la resistencia de unas vari-llas de nailon, se someten 250 varillas a untest de resistencia. El test consiste en com-probar si se rompen o no cuando se aplicauna fuerza sobre 5 puntos diferentes de lavarilla. El número de roturas sufridas porcada varilla aparece en la tabla adjunta.

Calcula el número medio de roturas por va-rilla y el porcentaje de varillas que sufrenmás de 2 roturas.

El número medio de roturas por varilla es:

= 0,7

El porcentaje de varillas que sufren más de 2 roturas es:

· 100 = 6,4 %

A un conjunto de cinco números cuya me-dia aritmética es 7,31 se le añaden 4,47 y10,15. ¿Cuál es la media del nuevo con-junto de números?

La media es:

Un instituto tiene tres grupos de Bachille-rato. La nota media de los alumnos del gru-po A es de 5,7 puntos. La de los alumnosdel grupo B es de 5,6, siendo 5,5 para losdel grupo C. En el grupo A hay 30 alumnosy se sabe que en el grupo C hay 5 alumnosmás que en el grupo B. Si la nota media detodos los alumnos de Bachillerato es de 5,6puntos, ¿cuántos alumnos de Bachilleratohay en el instituto?

Los datos del problema aparecen en la siguiente tabla:

Se tiene que:

5 65 7 30 5 6 5 5 5

30 5,

, , ,=

⋅ + ⋅ + ⋅ +( )+ + +

n n

n n

Grupo Nota media Número de Nota mediadel grupo alumnos de todos los alumnos

A 5,7 30

B 5,6 n 5,6

C 5,5 n + 5

5

5 7 31 4 47 10 157

51 177

7 31⋅ + + = =, , , ,

,

4

16250

175250

3

1,52816

2

El sueldo medio es :

1 3 000 3 2 500 6 1 500 9 80019

26 70019

1 405 26

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= = ,

1

154,778

Gruposanguíneo Frecuencia

A 10

B 2

AB 1

O 12


Años 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

Franco francés 19,00 20,22 20,93 19,57 18,57 18,72 18,42 19,34

Diámetro 0,092 0,093 0,094 0,095 0,096 0,097 0,098

Nº tornillos 1 2 3 2 2 2 4

Nº roturas 0 1 2 3 4 5

Nº varillas 141 62 31 14 1 1

Resolviendo la ecuación, se obtiene que n = 25

Por tanto, el número de alumnos es:

30 + 25 + 30 = 85

Una oficina bancaria ha tabulado las canti-dades de dinero que retiran de sus cuentas100 clientes jóvenes en un determinadodía:

Calcula la cantidad media de dinero retira-da por el cliente.

La cantidad media de dinero retirado es:

El siguiente dia-grama de barrasmuestra las cali-ficaciones obte-nidas por ungrupo de 50alumnos. Cons-truye el histo-grama corres-pondiente a las calificaciones numéricas ycalcula la calificación media, teniendo encuenta el siguiente cuadro de calificaciones:

El histograma pedido es:

La calificación media es:

PÁGINA • 277

Un especialista en pediatría obtuvo la si-guiente tabla sobre los meses de edad de50 niños de su consulta en el momento deandar por primera vez:

a) Dibuja el polígono de frecuencias.b) Calcula la media, la moda y la mediana.

a) El polígono de frecuencia es el siguiente:

b) La media es:

Se ha pasado un test de 79 preguntas a600 personas. El número de respuestas co-rrectas se refleja en la siguiente tabla:

a) Representa los datos mediante un his-tograma.

b) Calcula la media y la moda de respues-tas correctas.

c) Calcula la mediana y el primer cuartil.¿Qué miden estos parámetros?

9

x

M

Me

= =61050

12 2

0

, meses

La moda es : = 12 meses

La mediana es : = 12 meses

16151413121110

987654321

9 10 11 12 13 14 15 Meses

Frecuencias

8

x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + +

= =2 5 20 6 14 8 12 9 5 420 14 12 4

27550

5 36, ,

,

7

suspenso

201816141210

8642

aprobado notable sobresaliente

x = =3 700100

37

6


Euros [0, 20) [20, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 100]

Nº clientes 33 27 19 14 7

suspenso aprobado notable sobres

[0, 5) [5, 7) [7, 9) [9, 10]

Meses 9 10 11 12 13 14 15

Niños 1 4 9 16 11 8 1

Respuesta [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80

Nº de personas 40 60 75 90 105 85 80 65

a) El histograma pedido es el que sigue.

Los gastos mensuales en lectura (periódi-cos, revistas y libros) de 7 personas fue-ron, en euros, 27, 29, 9, 28, 27,5, 30 y28,5.

a) Calcula la media y la mediana de losdatos anteriores. ¿Cuál de ellas es másrepresentativa para estos datos?

b) Si el precio de los artículos de lecturasube un 10 % y se mantiene el consu-mo, deduce los nuevos valores de lamedia y la mediana a partir de los re-sultados obtenidos en el apartado an-terior.

a) La media es:

La mediana de los datos del enunciado, previa-mente ordenados, es: Me = 28 euros

En esta situación es más representativa la medianaque la media.

b) Los parámetros anteriores aumentan ambos un 10por ciento y valen:

Para el siguiente conjunto de datos:10, 13, 4, 7, 8, 11, 10, 16,18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20,

7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18Obtén su mediana y cuartiles.

Ordenamos previamente los datos, éstos son:

3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10,11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20

Los cuartiles son:

Los siguientes datos corresponden a la al-tura en centímetros de los alumnos deuna determinada clase:

150, 169, 171, 172, 172,175, 176, 177, 178, 179,181, 182, 183, 184, 184

Calcula la moda, mediana y los cuartilesde la variable. Indica el significado de losparámetros encontrados.

Existen dos valores modales, son 172 y 184 cen-tímetros.

La mediana o segundo cuartil vale Me = Q2 = 177 cm.

Los otros dos cuartiles son

Q1 = 172 cm y Q3 = 182 cm.

12

Q Q M Qe1 2 37 10 14= = = =; y

11

x y Me= =28 13 30 8, , euros euros

x = =1797

25 57, euros.

10

b)

c)

La media es

La desviación típica es

La media es :

El primer cuartil es :

1

: ,

:

, ,

,

,

x

M

Q

e

= =

= − ( ) =

= + − ⋅ =

= + − ⋅ =

25 600600

42 67

1 345 000600

42 67 20 52

40300 265

10510 43 33

20150 100

7510 26 67

2σ

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5 15 25 35 45 55 65 75

Respuestas

Frecuencias


Se ha medido la altura (en cm) de un gru-po de 100 alumnos de Segundo de Ba-chillerato y, posteriormente, se han agru-pado los datos en intervalos (abiertos porla derecha).Los resultados se han representado en elhistograma adjunto.

Se pide:

a) Hallar la correspondiente tabla comple-ta de frecuencias y calcular la media.

b) Representar el polígono de frecuenciasacumuladas y hallar la mediana y elprimer cuartil.

c) Calcular el percentil 60, es decir, en-contrar un intervalo que abarque el60 % de la población

a) La tabla es:

El polígono de frecuencias acumuladas es:

PÁGINA • 278

Calcula todos los parámetros de disper-sión que se describen en el texto para lassiguientes distribuciones estadísticas:

a) Goles por partido en la liga de fútbol86-87:

b) Prueba, con puntuación de 0 a 10, a20 personas:

c) Calificaciones de 20 estudiantes:6, 3, 2, 5, 7, 5, 9, 7, 6, 1, 4,

6, 6, 4, 2, 10, 8, 7, 5, 9.

a) El ango es :

La desviación media es =

La varianza es La desviación típica es

2

r R

DM

= − =

=

=

= − ( ) =

8 0 8377 4306

1 23

2 39

2 342306

2 29 1 552

,,

,

, ,

σ

σ

14

c) El percentil 60 e :

= cm.60

s

P 175

60 100100

36

405 178+

⋅ −⋅ =

Altura

Frecuencias absolutas acumuladas

150 160 170 180 190 200 210

20

10

40

30

50

60

80

70

90

100

b) La mediana es :

= cm.

El primer cuartil es :

= cm.1

M

Q

e 175

1002

36

405 176 75

170

1004

16

205 172 25

+−

⋅ =

+−

⋅ =

,

,


Altura (cm) Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumuladas

150 165 6 6 0 06 0 06 6 6

165 170 10 16 0 10 0 16 10 16

170 175 20 36 0 20 0 36 20 36

175 180 40 76 0 40 0 76 40 76

180 190 16 92 0 16 0 92 16 92

190 210 8 100 0 08 1 00 8 100

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

[ )[ )[ )[ )[ )[ )

150 165 170 175 180 190 210

0,06

0,10,08

0,160,2

0,4hi

13


Nº de goles 0 1 2 3 4 5 6 7 8Partidos 32 71 80 62 36 15 6 2 2

Intervalo [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10]Nº de personas 2 4 8 5 1

Las ventas de tres modelos de coches deun concesionario durante 15 semanasson:

Averigua la media y la desviación típica delas ventas de cada uno de los tres mode-los de coches y, mediante el coeficiente devariación, compara las respectivas dis-persiones relativas.

Las dispersiones, en porcentajes, son, respectivamente:27,99 %, 44,79 % y 39,46 %

Los datos del modelo Y son los más dispersos.

Los jugadores de un determinado equipode baloncesto se clasifican, por alturas,según la tabla siguiente:

Queremos analizar la variable altura, paralo cual se pide calcular:

a) La mediana.

b) La media y ladesviación típica.

c) ¿Cuántos jugado-res se encuen-tran por encimade la media másuna desviacion tí-pica?

a) La mediana es:

b) La media y la desviación típica son:

c) Los jugadores que se encuentran por encima de:

son 2 del intervalo [1,90 ; 1,95) y otros 2 del in-tervalo [1,95 ; 2,00); en total, 4.

Un jugador de baloncesto tiene dos ofer-tas para la próxima temporada en equiposde categorías similares. Al consultar la in-formación de la pasada liga, observa quelos componentes del equipo A tienen unamedia de 18 puntos con desviación típicade 4 puntos, mientras que en el equipo Bla media es de 21 puntos con desviacióntípica de 9.

Dado que las condiciones económicas deambos contratos son prácticamente las

17

x + = + =σ 1 866 0 064 1 93, , ,

x =

=

1 866

0 064

,

,σ

Me = +−

⋅ =1 85

232

8

80 05 1 872, , , . cm

16

V

V

y

z

= =

= =

10 83924 2

0 4479

9 36323 73

0 3946

,,

,

,,

,

Para el modelo tenemos : y



Los coeficientes de variación son :

xx

yy

zz

V

x

y

z

x

= =

= =

= =

= =

20 8 5 822

24 2 10 839

23 73 9 363

5 82220 8

0 2799

, ,

, ,

, ,

,,

,

σ

σ

σ

15

b)

El coeficiente de variación es

El ango es :



2

V

r R

DM

= =

= − =

=

=

= − ( ) =

1 552 29

0 6769

10 0 1030 820

1 54

4 19

56420

4 92

,,

,

,,

,

,

σ

σ 22 05

2 054 9

0 4184

10 1 938 820

1 94

5 74

74220

5 6 2 40

2 405 6

0 4286

2

,

,,

,

,,

,

, ,

,,

,


El ango es :




2

V

r R

DM

V

= =

= − =

=

=

= − ( ) =

= =

c)

σ

σ


Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Mod X 25 15 32 19 10 25 15 19 29 17 22 28 18 17 21Mod Y 20 14 12 25 37 13 44 14 15 39 36 25 15 18 36Mod Z 19 19 34 43 19 18 26 8 17 30 33 26 12 17 35

Altura [1,70; 1,75) [1,75; 1,80) [1,80; 1,85) [1,85; 1,90) [1,90; 1,95) [1,95; 2,00]Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2

mismas, el jugador decide fichar por elequipo en el que tenga mayores posibili-dades de destacar como figura. ¿Cuál serála opción elegida?

Debe elegir el equipo A, ya que en él todos los juga-dores son parecidos, y, sin embargo, en el equipo Blos jugadores presentan grandes diferencias como lomuestra el alto valor de la desviación típica.

En la tabla aparecen los resultados de lascalificaciones correspondientes a un exa-men de Matemáticas para dos muestrasde 10 alumnos:

¿Qué grupo obtuvo mejores resultados?¿Cuál es más homogéneo?

La media y la desviación típica de cada grupo es:

Según la media los dos grupos obtienen igual resulta-do. El grupo B es más homogéneo al tener menordesviación típica.

PÁGINA • 279

Se nos informa que los datos correspon-dientes a los gráficos A y B son, aproxi-madamente:–x1 = 5,4; σσ1 = 3,3; –x2 = 5,6; σσ2 = 2,5.

Averiguar el gráfico correspondiente acada par ( –x, σσ), explicando el razona-miento que se ha seguido.

El gráfico A presenta menos dispersión, por tanto lecorresponden x–2 = 5,6 y σ2 = 2,5. La otra pareja devalores son los del gráfico B.

En una clase hay15 alumnos y 20alumnas. El pesomedio de los 15alumnos es de58,2 kg, y el de las

20 alumnas de 52,4 kg. Supongamos quelas desviaciones típicas de los dos gruposson, respectivamente, 3,1 kg y 5,1 kg. Elpeso de Juan es de 70 kg y el de Pilar esde 65 kg. ¿Cuál de ellos puede, dentro delgrupo de alumnos de su sexo, considerar-se más grueso?

Calculamos las puntuaciones típicas de ambos alum-nos:• Pilar pesa 65 kg, con x–p = 52,4 y σp = 5,1.• Juan pesa 70 kg, con x–g = 58,2 y σg = 3,1.

Por tanto,

Debe considerarse a Juan más grueso, dentro del gru-po de alumnos.

Se han realizado dos pruebas, en una de-terminada asignatura, a un grupo dealumnos, la prueba M y la N. De la infor-mación obtenida se han hecho los si-guientes cálculos:–xM = 15,5 –xN = 75σσM = 2,5 σσN = 30,6Los alumnos 1 y 2 han obtenido los si-guientes resultados:x1, M = 16,7 x2, M = 14x1, N = 77,5 x2, N = 82,4¿Cuál de los dos alumnos puede conside-rarse mejor?

Calculamos las puntuaciones típicas de cada uno delos alumnos.

Se tiene para el primer alumno que:

Y para el segundo alumno:

En el examen M ha sido mejor el alumno 1 y, porcontra, en el examen N ha sido mejor el alumno 2.

z

z

M

N

2

2

14 15 52 5

0 6

82 4 7530 6

0 242

= − = −

= − =

,,

,

,,

,

z

z

M

N

1

1

16 7 15 52 5

0 48

77 5 7530 6

0 082

= − =

= − =

, ,,

,

,,

,

21

z

z

p

j

= − =

= − =

65 52 45 1

2 471

70 58 23 1

3 806

,,

,

,,

,

20

19

Grupo

Grupo

A x

B x

A A

B B

: , ,

: , ,

= =

= =

4 6 3 072

4 6 1 744

σ

σ

18


Gráfico A Gráfico B

Grupo A 0 1 1 3 5 5 6 8 8 9Grupo B 2 2 4 4 4 5 5 6 6 8

Al estudiar la distribución de la edad enuna población, se obtuvieron los resulta-dos siguientes:

Como se ve, se ha extraviado el dato co-rrespondiente al intervalo (20, 40].

a) ¿Cuál sería el valor de ese dato si laedad media fuera de 35 años?

b) ¿Cuál sería el valor de ese dato si laedad mediana fuera de 35 años?

c) ¿Cuál sería la desviación típica si eldato fuera 16?

a) En este caso,

b) En este caso,

c) Si el dato fuera 16 la desviación típiva sería:

σ = 22,358

Las edades, en años, de los asistentes acierto curso fueron: 37, 35, 38, 36, 37,40, 38, 25, 38.

a) ¿Cuál es la edad media de los asistentes?b) La varianza del conjunto de datos an-

terior es 16,9. Las mismas personasasistirán a otro curso dentro de 2años. Obtén razonadamente la media yla varianza del nuevo conjunto de da-tos a partir de las correspondientes alconjunto de datos inicial.

a) La edad media es x– = 36 años.

b) La media y la varianza de los datos

39, 37, 40, 38, 39 ,42, 40, 27, 40, es:

x– = 38 σ2 = 16,9

Debe tenerse en cuenta que las varianzas de las dosseries de datos coinciden y que la diferencia entrelas medias son los dos años que han transcurrido.

La suma de unos datos es de 25 unidadesy la de sus cuadrados es de 250 unidadescuadradas. Si la media y la desviación tí-pica coinciden, calcular:

a) La media de los datos.

b) La varianza de los datos.

Llamando n al número de datos, debe cumplirse:

La solución del sistema es x– = 5; n = 5.

a) La media de los 5 datos es x– = 5.

b) La varianza de los 5 datos es σ2 = 25.

Las puntuaciones obtenidas por 50 alum-nos en una cierta prueba pueden verse enla tabla.

a) Calcular la moda, la mediana, el pri-mer y el tercer cuartil. ¿Cuál es el sig-nificado de estos valores?

b) Calcular la media, la varianza y ladesviación típica de la puntuación ob-tenida.

c) ¿Qué ocurre con el valor de la media sia todos los alumnos se les sube la pun-tuación obtenida 1 punto? ¿Y con lavarianza?

a) La moda es Mo = 6.

La mediana es Me = 6.

El primer cuartil es Q1 = 4.

El tercer cuartil es Q3 = 7.

b) La media es x– = 5,64.

La derivación típica es σ = 1,852.

La varianza es σ2 = 3,43.

c) La media aumenta en 1 punto y la varianza per-manece igual.

PÁGINA • 281


1. EL PASTOR Y EL REBAÑO. Un pastor tie-ne un redil, donde guarda su rebaño, en loalto de una montaña. Un determinado díasale de su casa a las 9 de la mañana y,

25

xn

nx x

=

= − =

25

250 2σ

24

23

35 20

462

1520 32= +

+ −⋅ ⇒ =

x

xx

3510 15 30 50 15 70 16

15 15 1682= ⋅ + + ⋅ + ⋅

+ + +⇒ =x

xx

22


Edad (en años) [0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80]Nº de individuos 15 ? 15 16

Puntuaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de alumnos 1 2 2 8 10 12 7 5 2 1

después de caminar todo el día, llega al lu-gar donde está el redil. Allí está durante10 días, al término de los cuales y a las 9de la mañana regresa a su casa. Al ir ba-jando, se pregunta: ¿Habrá algún puntodel camino por el que pase a la mismahora que pasé el día que subí a la mon-taña?

En el gráfico esá muy clara la situación del problemay la solución del mismo. Efectivamente, hay un puntopor el que pasa a la misma hora, y es el punto (*) enel que se encuentra los dos trayectos: de ida y vuelta.

2. DOS DEPORTISTAS. Luis y Ana todos losdías hacen deporte. Ayer fueron desde laPlaza Mayor hasta el Pinarcillo. Luis corrióla mitad de distancia y anduvo la otra mi-tad. Ana corrió la mitad del tiempo y andu-vo la otra mitad. Los dos corren a la mismavelocidad y andan a la misma velocidad.¿Quién llegó antes al Pinarcillo?

Cuando Luis está a mitad del camino, comienza a an-dar, luego la otra mitad va a velocidad más lenta. Encambio, Ana, al correr la mitad del tiempo, corre másde la mitad del camino, por lo que menos de la mitadlo hace andando, así que llega antes Ana.

3. TRIPLE OPERACIÓN. Un montañero ha su-frido una grave caída y, al llegar al hospital,ha de ser operado por tres cirujanos distin-tos. En ese momento hay una epidemia quepueden padecer los cirujanos y el montañe-ro. Esta enfermedad puede contagiarse através de cualquier útil o por la piel. Lastres intervenciones se debían realizar con-secutivamente. Cada cirujano debe operarcon ambas manos, pero en el hospital sólohabía dos pares de guantes esterilizados.¿Cómo consiguieron operar al montañero,utilizando los guantes disponibles y evitan-do toda la posibilidad de contagio?

El primer cirujano se pone el guante (A) dentro del otro(B), es decir, se pone el A y encima se pone el B.

El 2º cirujano se pone el guante (B) por la cara queno ha tocado al herido.

El 3er cirujano se pone el guante (A) dándole la vuel-ta y encima de éste el B, operando al herido por ellado del guante B con el que ya han operado losotros dos cirujanos.

LUIS

ANA

anda

anda

corre

corre

Plaza Mayor

Plaza Mayor

Pinarcillo

Pinarcillo

*ida

vuelta

Tiempo

REDIL

Lugar

9 de la mañana

sale hacia el redil



1. Conocer los conceptos de la Estadística bidimensional: variable bidimensional, nube de puntos odiagramas de dispersión, correlación y regresión.

2. Con los datos obtenidos en una variable bidimensional, hacer el recuento y confeccionar la tablacorrespondiente.

3. Calcular, por procedimientos algorítmicos y mediante la calculadora, el coeficiente de correlaciónlineal de Pearson.

4. Ajustar la nube de puntos a la posible recta de regresión, calculando los coeficientes por proce-dimientos algorítmicos y mediante la calculadora.

5. Valorar la gran importancia que tienen la correlación y regresión en el estudio predictivo de di-versas ciencias: políticas, sociales, medicina y economía.


• Fomentar el razonamiento deductivo a través de los procesos seguidos en la obtención de los pa-rámetros y las rectas que aparecen en la unidad didáctica.

• Orientar el desarrollo de la Unidad haciendo primar los procedimientos y técnicas, poniendo el én-fasis en una metodología heurística.




PÁGINA • 283


1. Un centro sanitario está llevando a cabo unestudio sobre la edad y el peso de los ni-ños. Un determinado día obtiene los si-guientes resultados:(6, 24) (4, 21) (2, 15) (4, 21) (3, 18)(3, 17) (5, 19) (5, 23) (7, 33) (6, 24) (3, 18) (4, 21) (5, 19) (7, 33) (6, 24)(8, 40) (5, 20) (6, 24) (5, 19) (6, 28)

a) Construye una tabla estadística de dobleentrada.

b) Encuentra la media y la desviación tí-pica de las edades y del peso en kilo-gramos.

a) La tabla de doble entrada es:

b) Los parámetros de las edades son:

x– = 5 σx = 1,517

Los parámetros de los pesos son:

y– = 23,05 σy = 6,07

y x peso \ edad TOTALES

1 3 3

TOTALES

2 3 4 5 6 7 8

15 20 7

20 25 3 2 4 9

25 30 1 1

30 35 2 2

35 40 1 1

1 3 3 5 5 2 1 20

,

,

,

,

,

[ )[ )[ )[ )[ )


CONCEPTOS

1. Variables estadísticas bidimensio-nales.1.1. Distibuciones bidimensio-

nales.

2. Diagramas de dispersión o nubede puntos.

3. Dependencia o correlación.

4. Correlación lineal. Coeficiente dePearson.4.1. Escala de valores del coefi-

ciente de correlación lineal.

5. Regresión. Rectas de regresión.5.1. Estimaciones con la recta de

regresión.

6. Calculadora científica y estadísti-ca bidimensional.

7. Calculadora gráfica y estadísticabidimensional.

– Reconocimiento y valora-ción de la utilidad del len-guaje estadístico bidimen-sional para matematizar einterpretar situaciones rela-cionadas con la vida coti-diana y con el conocimien-to científico.

– Sensibilidad y gusto por laprecisión, el orden y la cla-ridad en el tratamiento ypresentación de datos y re-sultados de observaciones yexperimentos.


• Construcción de tablas es-tadísticas bidimensionales.

• Cálculo e interpretación delos parámetros estadísticoscentrales y de dispersión, asícomo el coeficiente de co-rrelación lineal de Pearson.

• Utilización de las rectas deregresión en correlación li-neal y cálculo de las mismas.

• Utilización de la calculado-ra en los cálculos de esta-dística bidimensional.



2. Las ventas de libros de aventuras en una li-brería tiene como valores –x = 10, σσ = 3.¿Cómo se clasificaría un día que se vendan15 libros de aventuras?

Es un día raro, ya que 15 se sitúa en el intervalo

(x– – 2σ, x– + 2σ).

La puntuación típica z = = 1,6667 se aleja

bastante de la media estándar que es cero.

3. Diez alumnos han realizado el último mesdos ejercicios de Matemáticas. Las notasson las de la tabla.

Dibuja la nube de puntos. Ajusta a ojo unarecta a la nube de puntos y estima el valorque tendrá la posible correlación.

La nube de puntos será:

La recta ajustada a ojo puede ser bisectriz del cua-drante, y = x. La correlación será positiva y fuerte,próxima a 1.

PÁGINA • 296


Estudia si existe o no correlación entre lassiguientes variables estadísticas e indica sutipo en caso de que exista.

a) Estatura de un estudiante y calificaciónque este obtiene en Lengua.

b) Visión espacial de un estudiante y cali-ficación que este obtiene en Dibujo Téc-nico.

c) Número de vehículos en las carreteras ynúmero de accidentes.

d) Peso de un alumno y calificación enEducación Física.

e) Gastos en publicidad de una empresa yventas efectuadas por la misma.

f) Número de plazas hospitalarias e índicede mortalidad de un país.

a) No es probable que exista correlación.

b) Es probable que haya correlación positiva y fuerte.

c) Es probable que haya correlación positiva y fuerte.

d) No es probable que exista correlación.

e) Es probable que haya correlación positiva.

f) Es probable que haya correlación positiva y fuerte.

Se ha pasado una encuesta a los 20 veci-nos de una urbanización de las afueras deuna gran ciudad obteniéndose los siguien-tes resultados en los que el primer númerose refiere al número de viajes realizadospor los padres y el segundo al número deviajes realizados por sus hijos.

(4, 1) (3, 4) (2, 5) (1, 6) (3, 2)(2, 6) (2, 6) (4, 2), (1, 7) (1, 6)(4, 1) (1, 7) (2, 4) (2, 6) (3, 3)(4, 2), (4, 1) (4, 2) (1, 6) (2, 5)

a) Construye la tabla de doble entrada co-rrespondiente.

b) Representa gráficamente los datos deesta tabla y a la vista de la gráfica estu-dia si existe correlación entre las varia-bles y el tipo de la misma.

2

1

Primerejercicio

Segundoejercicio10

8

6

4

2

O 2 4 6 8 10

15 – 103


Primer ejercicio 4 7 6 9 4 7 9 4 8 10Segundo ejerc. 5 8 5 10 3 6 8 4 8 10

a) La tabla de doble entrada es:

b) El diagrama de dispersión es:

Las variables presentan una correlación lineal fuerte ynegativa.

En una muestra de100 familias se hanestudiado las varia-bles estadísticas X,número de miem-bros en edad labo-ral, e Y, número deellos que se encuen-tran en activo. Losresultados obtenidos pueden verse en latabla adjunta.

a) Construye la tabla bidimensional simplecorrespondiente.

b) Obtén las distribuciones marginales deX e Y.

c) Calcula la media y la derivación típicade las distribuciones marginales.

a) La tabla bidimensional simple es:

b) Las distribuciones marginales son:

• Número de miembros en edad laboral:

• Número de miembros en activo:

c) Los parámetros de las distribuciones marginalesson:

x– = 3,01 σx = 0,985

y– = 1,54 σy = 0,713

Se ha solicitado a un grupo de 50 indivi-duos información sobre el número de ho-ras que dedica diariamente a dormir y aver la televisión. La clasificación de las res-puestas ha permitido elaborar la siguientetabla:

a) Realiza el diagrama de dispersión co-rrespondiente.

b) Calcula la media y la desviación típicade cada una de las variables.

c) Halla el porcentaje de individuos queven la televisión por encima de la media.

d) Calcula el coeficiente de correlación li-neal.

a) La nube de puntos es:

Nº horas TV4

6 8 10O 5 7 9

3

2

1Nº horas dormidas

4

y

fi

1 2 3

59 28 13

x

fi

1 2 3 4

9 21 30 40

x

y

fij

1 2 2 3 3 3 4 4 4

1 1 2 1 2 3 1 2 3

9 14 7 16 9 5 20 12 8

3

Viajes padres

Viajes hijos

1 2 3 4

2

1

4

3

5

6

7

y xviajeshijos

viajespadres

3

\ 1 2 3 4

1

2 1 3

3 1

4 1 1

5 2

6 3 3

7 2

− − −

− −

− − −

− −

− − −

− −

− − −


x y 1 2 3

1 9 0 0

2 14 7 0

3 16 9 5

4 20 12 8

N.º horas dormidas X 6 7 8 9 10

N.º horas televisión Y 4 3 3 2 1

Frecuencias absolutas 3 16 20 10 1

b) La media y la desviación típica de cada una de lasvariables es:

x– = 7,8 σx = 0,89

y– = 2,82 σy = 0,55

c) El porcentaje de individuos por encima de la mediaes:

= 0,78, es decir, del 78 %.

d) La covarianza es:σxy = –0,436.

El coeficiente de correlación lineal es:

r = = –0,891

PÁGINA • 297

La siguiente tabla muestra el valor (en eu-ros) de algunas monedas y su diámetro (enmilímetros).

¿Qué tipo de correlación existe entre es-tas variables? Halla el coeficiente de co-rrelación.

Los parámetros de las variables son:

• Valor en euros:x– = 0,485 σx = 0,654

• Diámetro en mm:y– = 21,4375 σy = 2,904

La covarianza es:σxy = 1,465.


r = = 0,772

La correlación es positiva y fuerte.

En cinco estudios estadísticos se han obte-nido los siguientes coeficientes de correla-ción lineal:

r = –0,98 r = 0,93

r = 0,05 r = 0,71

r = –0,62

Identifica, justificando la respuesta, la nubede puntos correspondiente a cada uno deellos:

A los gráficos les corresponden los siguientes coefi-cientes de correlación:

a) r = 0,05 b) r = 0,71

c) r = –0,98 d) r = 0,93

e) r = –0,62

Se han pasado dos pruebas a un grupo dealumnos de 4.º ESO. Una de ellas corres-ponde a Física y la 2.ª no sabe el tutor delgrupo si era de Matemáticas o de Idioma. Ala vista de la relación entre las variables in-dica a que asignatura crees tú que corres-ponde la 2.ª prueba.

Los parámetros de la primera prueba son:

x– = 12,5 σx = 2,73

Los parámetros de la segunda prueba son:

y– = 14,3 σy = 2,72

La covarianza es: σxy = 3,15

7

d) e)

a) b) c)

6

1,4650,654 · 2,904

5

–0,4360,89 · 0,55

20 + 16 + 350


Valor 0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2

Diámetro 16,25 18,75 21,25 19,75 22,25 24,25 23,25 25,75

Alumno/a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.º 14 12 15 12 13 12 17 7 9 142.º 14 13 17 15 16 12 12 10 14 20


r = = 0,42

Ante el valor obtenido podemos pensar que la segun-da prueba corresponde a Idioma.

PÁGINA • 298

La estadística de ingresos de determinadasempresas, en millones de euros, y de em-pleados, en miles, es la siguiente:

a) Estudia la correlación existente entreambas variables.

b) Determina la recta de regresión de in-gresos en función del número de em-pleados.

Los parámetros de las variables son:x– = 2,68 σx = 1,98y– = 15,4 σy = 7,96σxy = 8,47

a) La correlación es:

r = = 0,54

b) La recta de regresión es:

y – 15,4 = = (x – 2,68)

Una compañía disco-gráfica ha recopiladola siguiente informa-ción sobre el númerode conciertos ofreci-dos, durante el vera-no, por 15 gruposmusicales y las ven-tas de discos de estosgrupos (expresadasen miles de CDs), ob-teniendo los datos si-guientes:

a) Calcula el número medio de CDs vendi-dos por estos grupos.

b) ¿Cómo es el grado de dependencia li-neal del número de conciertos dado porel grupo con respecto al número de dis-cos que ha vendido?

c) Obtén la recta de regresión que explicala dependencia anterior.

d) Si un grupo musical ha vendido 18 000CDs, ¿qué número de conciertos es pre-visible que dé?

Llamando x al número de CDs vendidos e y al nú-mero de conciertos, los datos en una tabla simple son:

Los parámetros estadísticos son:x– = 9,6 σx = 4,71y– = 41 σy = 16,55σxy = 63,4

a) El número medio de CDs vendidos es:x– = 9,6

b) El coeficiente de correlación lineal es:

r = = 0,814

La dependencia lineal es moderada.

c) La recta de regresión es:

y – 41= (x – 9,6)

d) Si x = 18, el número de conciertos aproximado es:

y – 41 = (18 – 9,6); y = 65,01 conciertos.

En la tabla figu-ran los datoscorrespondien-tes a una varia-ble estadísticabidimensional.

a) Calcula la covarianza.

b) Obtén e interpreta el coeficiente de co-rrelación lineal.

c) Determina la ecuación de la recta de re-gresión de Y sobre X.

10

63,422,18

63,422,18

63,44,71 · 16,55

x

y

fi

3 7 5 7 5 7 5 15 15

20 20 35 60 35 60

3 1 4 1 1 5 15

, , ,

… →

9

8,473,92

8,471,98 · 7,96

8

3,152,73 · 2,72


Ingresos 5,7 3,8 1,9 1 1Empleados 16 29 17 6 9

10-30 30-40 40-80

1-5 3 0 0

5-10 1 4 1

10-20 0 1 5

Y X 100 50 25

14 1 1 0

18 2 3 0

22 0 1 2

conciertosCDs

Los valores de la variable en una tabla simple son:

Los parámetros estadísticos son:

x– = 60 σx = 27,83

y– = 18,4 σy = 2,8

a) La covarianza es:

σxy = – 60 · 18,4= –44

b) El coeficiente de correlación es:

r = = –0,56

La correlación es negativa y débil.

c) La recta de regresión de Y sobre X es:

y – 18,4= (x – 60)

La siguiente tabla muestra los valores ob-servados de dos variables X e Y en cin-co individuos:

a) Halla a para que el coeficiente de co-rrelación sea nulo.

b) Suponiendo que a = 4, halla la rectade regresión de Y sobre X y estimael valor de Y cuando X tome el va-lor –2.

a) El coeficiente de correlación lineal es nulo si la co-varianza es nula. Por tanto,

– (–0,4) · = 0

La solución de la ecuación es a = –2,083.

b) Los parámetros de las variables son:

x– = 1,8 σx = 1,72

y– = –0,4 σy = 1,85

σxy = 2,92

La recta de regresión de Y sobre X es:

y + 0,4 = (x – 1,8) ⇔ y = 0,99x – 2,18

Si x = –2, el valor estimado de y es:

y = 0,99 (–2) – 2,18 ⇒ y = –4,16

De dos variables X e Y se sabe que ladesviación típica de X es , la media yla desviación típica de Y valen 1 y 2, res-pectivamente, y la ecuación de la recta deregresión de Y sobre X es 2x + 3y = 6.Hallar:

a) La media de X.

b) La covarianza de X e Y.

c) El coeficiente de correlación.

d) La recta de regresión de X e Y.

a) La recta de regresión 2x + 3y = 6 pasa por elpunto (x–, y–), por tanto:

2x– + 3·1 = 6 ⇒ 2x– = 3 ⇒ x– =

b) El coeficiente de regresión vale para la recta2x + 3y = 6

c) El coeficiente de correlación es:

d) La recta de regresión de X sobre Y es:

PÁGINA • 299

La siguiente tabla muestra las notas que 5amigos de primer curso de Bachilleratoobtuvieron en la primera y segunda eva-luación en la asignatura de Inglés:

a) Calcula el coeficiente de correlación li-neal, interpretando el resultado.

b) Determina las rectas de regresión deY sobre X y de X sobre Y.

c) Halla el punto donde se cortan las dosrectas de regresión.

13

x y x y− = − = −( ) ⇔ = − +1 52

21 0 5 2

2, ,

r x

x y=

⋅= −

⋅= −

σσ σ

2

3 20 58,

σ

σσ σxy

xx xy2

23

3 2= − = = −; ,al ser obtenemos

σ

σxy

x2

32

√√312

2,92(1,72)2

5 + a5

3 + 2a5

11

–44774,51

–4427,83 · 2,8

10 60010

x

y

fi

100 100 50 50 50 25

14 18 14 18 22 22

1 2 1 3 1 2


X 1 –1 a 2 3

Y –2 –3 2 1 0

1ª Evaluación (X ) 5 6,5 8 4 32ª Evaluación (Y ) 4,5 7 7,5 5 3,5

a) Los parámetros son: x– = 5,3 σx = 1,78y– = 5,5 σy = 1,52σxy = 2,55


r = = 0,94

La correlación es positiva y muy fuerte:

b) La recta de regresión de Y sobre X es:

La recta de regresión de X sobre Y es:

c) Las rectas de regresión se cortan en el punto (x–, y–),es decir, en (5,3 ; 5,5).

En las bibliotecas de seis ciudades se hananalizado la afluencia de lectores X (ex-presada en miles de personas) y el núme-ro de libros prestados (Y ), obteniéndoselos siguientes datos:

a) ¿Cuál es el nú-mero medio delibros presta-dos en el con-junto de biblio-tecas?

b) Ajusta estos da-tos a una recta enla que obtener el

número de libros prestados a partir del nú-mero de lectores que van a la biblioteca.c) Si acudiesen 1 500 lectores a una bi-

blioteca, ¿cuantos libros se prestarían?a) El número medio de libros prestados es y– = 285.b) La recta de regresión de Y sobre X es:

c) Si x = 1,5 se prestarían, aproximadamente:

y = 107,14 · 1,5 + 124,3 ⇒ y = 285 libros.

Se observaron las edades de 5 niños/as ysus pesos respectivos, obteniéndose lossiguientes resultados:

a) Halla el coeficiente de correlación y lasrectas de regresión de Y sobre X yde X sobre Y.

b) ¿Qué peso corresponderá a un niño/ade 5 años? ¿Qué edad corresponderáa un peso de 36 kg?

Los parámetros estadísticos de ambas variables son:

x– = 5,54 σx = 2,13

y– = 25,2 σy = 7,49

σxy = 15,41

a) El coeficiente de correlación lineal r es:

Las rectas de regresión son:

• De Y sobre X:

• De X sobre Y:

b) El peso de un chico de x = 5 años será, aproxi-madamente:

La edad correspondiente a un peso de y = 36 kg es:

La recta de regresión del gasto anual enalimentos Y (en euros) por familia, enfunción de los ingresos anuales X (en eu-ros), viene dada por y = 600 + 1,5x.

a) ¿Cuál es el gasto en alimentos en fami-lias con ingresos anuales de diez mileuros?

16

x x− = −( ) =36 25 215 414 54

5 54 8 72,,,

, ; , años.

x y− = −( ) =25 215 414 54

5 5 54 23 36,,,

, ; , kg.

x y− = = −( )05 5415 4156 1

25 2,,,

,

y x− = = −( )25 215 414 54

5 54,,,

,

r =⋅

=15 412 13 7 15

0 96,

, ,,

15

y x

y x

− =( )

−( ) ⇒

⇒ = +

28546 67

0 661 5

107 14 124 3

2

,

,,

, ,

14

x y x y− =( )

−( ) ⇒ = −5 32 55

1 525 5 1 1 0 77

2,

,

,, , ,

y x y x− =( )

−( ) ⇒ = +5 52 55

1 785 3 0 8 1 23

2,

,

,, , ,

2,551,78 · 1,52


X 0,5 1 1,3 1,7 2 2,5

Y 180 240 250 300 340 400

Edad, en años (X) 2 4,5 6 7,2 8

Peso, en kg (Y) 15 19 25 33 34

b) Sabiendo que el ingreso medio es dedoce mil euros, hallar el gasto medioanual en alimentos.

a) Si x = 10 000 euros, el el gasto anual en alimen-tos será:

y = 600 + 1,5 ·10 000 ⇒ y = 15 600 euros.

b) Como la recta de regresión para el punto (x–, y–), alser, x– = 12 000, obtenemos comos gasto medioanual n alimentos:

y– = 600 + 1,5 · 12 000 ⇒ y– = 18 600 euros.

La estatura media de una muestra de pa-dres es de 1,68 m con una desviación típi-ca de 5 cm. En una muestra de sus hijos, laestatura media es de 1,70 m con una des-viación típica de 7,5. El coeficiente de co-rrelación entre las estaturas de padres e hi-jos es 0,7. Si un padre mide 1,80 m, ¿quéestatura se estima que tendrá su hijo?

Al ser el coeficiente de correlación r = 0,7; obtene-mos:

La recta de regresión de Y (estatura de los hijos) so-bre X (estatura de los padres) es:

Si un padre mide x = 180 cm, se estima que su hijotendrá:

y = 1,05 · 180 – 6,4 ⇒ y = 182,6 cm.

NOTA: Todos los datos se han convertido a centíme-tros.

PÁGINA • 301


1. JUEGO AL QUINCE. Nueve tarjetas nume-radas del 1 al 9 se colocan sobre la mesa.Es un juego para dos jugadores y gana elprimero que consiga sumar 15, tomando al-ternativamente una tarjeta cada uno. Inten-ta elaborar dos estrategias que puedan con-ducir a la victoria: una para usarla, si erestú el primero en comenzar el juego, y otra,si te toca en segundo lugar.

La estrategia consiste en estableceruna analogía con el cuadrado mágico3 × 3 que contiene los nueve prime-ros números naturales 1 … 9 y laconstante mágica 15.

Hay que utilizarlo como si se jugase al tres en raya.

2. LAS GEMAS DE LA FAMILIA. Un antiguoproblema indio cuenta de qué manera, almorir un rico nabab, sus hijos se repar-tieron la herencia, consistente en un cier-to número de gemas iguales. El hijo ma-yor tomó una piedra más una séptimaparte del resto; el segundo, 2 piedrasmás un séptimo del resto; y así sucesiva-mente. Al terminar el reparto, todos loshijos habían recibido el mismo númerode gemas. ¿Cuántos hijos y gemas teníael nabab?

En total el nabab tenía 36 gemas y 6 hijos.

Al mayor le da: gemas. Quedan 30.

Al 2.º le da: gemas. Quedan 24.




Al 6.º le da: 6 gemas.

3. LÚNULA Y TRIÁNGULO.¿Existe alguna relación en-tre el área de la lúnula y ladel triángulo de la figuraadjunta?

Área triángulo = ;

Área lúnula = Área semicírculo – Área (x)

Área (x) = Área círculo – Área triángulo =

= Área lúnula = π − ⇒r r2 2

4 2

14

12

r2

2

x

577

6+ =

4147

6+ =

3217

6+ =

2287

6+ =

1357

6+ =

2 7 6

9 5 1

4 3 8

y x y x− = −( ) ⇒ = −17026 25

5168 1 05 6 4

2

,, ,

r xy

x y

xyxy= ⇒ =

⋅⇒ =

σ

σ σ

σσ0 7

5 7 526 25,

,,

17


= =

=

Ámbas áreas son iguales.

4. LA CADENA DEL ESTUDIANTE. Un estu-diante, a mediados de mes, se ha quedadosin un duro y no puede pagar la pensión delos últimos quince días. Dispone de una ca-dena de oro de 15 cm de longitud y llega alacuerdo con la patrona de que le pagará lapensión entregándole 1 cm de cadena cada

día. El estudiante decidió cortar la cadenaen sólo 4 trozos. ¿Cómo consiguió pagar ala patrona?

Cortó la cadena en 4 trozos de 1, 2, 4 y 8 cm cadauno.

• El primer día le dio 1 cm.

• El segundo día le dio el trozo de 2 cm y le de-volvió la patrona el de 1 cm.

• El tercer día le dio el trozo de 1 cm, luego la pa-trona tiene 1 cm + 2 cm.

• El cuarto día le dio el trozo de 4 cm y la patro-na le devolvió los dos trozos que tenía.

• Así sucesivamente.

π ⋅ − π + =r r r r2 2 2 2

4 4 2 2

12

22 4 2

2 2 2⋅ π ⋅

− π −

r r r



1. Describir las distribuciones de probabilidad asociadas a las variables aleatorias discretas.

2. Representar gráficamente y utilizar para el cálculo de probabilidades las funciones de probabi-lidad.

3. Calcular e interpretar la media o valor esperado, así como la desviación típica de una variable alea-toria discreta.

4. Diferenciar las situaciones asociadas a las variables que siguen una distribución binomial.

5. Aplicar el modelo binomial a situaciones que presenten dos únicas opciones de ocurrencia.

• Hacer aflorar las ideas que el alumno tiene sobre situaciones de tipo aleatorio que ha adquiridoen cursos anteriores.

• Realizar el desarrollo de la unidad a través de procedimientos que faciliten el razonamiento de-ductivo.

• Poner en práctica algunas estrategias de resolución de problemas en la resolución de las activi-dades de esta unidad.




PÁGINA • 303


1. En las familias formadas por cuatro hijos laprobabilidad de que éstos sean dos varonesy dos hembras es:

a) 1/4. b) 1/2.

c) 3/8. d) No puede saberse.

(c)

2. Una empresa fabrica chips para ordenado-res personales. Tras varios controles de ca-lidad descubre que el 5 % de los que fabri-ca son defectuosos. Elegidos 5 chips alazar, ¿cuál es la probabilidad de que haya4 defectuosos?

3. Un arquero tiene una probabilidad de 5/6de hacer blanco. Si realiza cuatro disparos,calcula:

a) La probabilidad de hacer dos blancos.

b) La probabilidad de hacer dos o másblancos.

a)

b)

4. Una fábrica de galletas empaqueta éstas encajas de cien unidades cada una. Para pro-bar la eficacia de la producción, se han ana-lizado 80 cajas, comprobando las galletas

P B P B P B P B( ) ( ) ( ) ( )

,

≥ = + + =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+

=

2 2 3 4

56

56

16

16

42

56

56

56

16

43

56

0 984

P B( ) ,256

56

16

16

42

0 1157= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

P x( ) ,= =

⋅

⋅ =45

4

5100

95100

0 00002974

P V M( )2 242

12

12

38

2 2

y =

⋅

=


CONCEPTOS

1. Experimentos aleatorios. Espaciomuestral. Sucesos.

2. Probabilidad. Propiedades.

3. Regla de Laplace.

4. Probabilidad condicionada. Suce-sos dependientes e independientes.

5. Distribuciones estadísticas discretas.

6. Distribuciones de probabilidaddiscretas.6.1. Parámetros.

7. Distribución binomial o de laspruebas de Bernoulli.7.1. Función de probabilidad bi-

nomial.7.2. Media y desviación típica.

– Valoración de la utilidad delas variables aleatorias en lamatematización de las si-tuaciones de azar.

– Curiosidad e interés por en-frentarse a problemas alea-torios.

– Gusto por la presentaciónordenada de los procesos yresultados obtenidos en loscálculos.


• Cálculo de probabilidadesmediante la regla de La-place.

• Construcción de la funciónde probabilidad y su aplica-ción al cálculo de probabi-lidades.

• Cálculo y significado de lamedia y la desviación típi-ca de una variable aleatoriadiscreta.

• Utilización del modelo bi-nomial o de Bernoulli en elcálculo de probabilidades.



defectuosas que contiene cada una y se hanobtenido los resultados de la tabla:

Calcula, para esta distribución, la mediaaritmética (µ), la desviación típica (σσ) yel número de cajas que están en los in-tervalos (µ – σσ, µ + σσ), (µ – 2σσ, µ + 2σσ),(µ – 3σσ, µ + 3σσ).

µ = 1,125; σ = 1,452

En (µ – σ, µ + σ) = (–0,327; 2,577) hay 65 cajas de-fectuosas, es decir, el 81,25 %.

En (µ – 2σ, µ + 2σ) = (–1,779; 4,029) hay 77 cajasdefectuosas, el 96,25 %.

En (µ – 3σ, µ + 3σ) = (–3,231; 5,481) hay 79 cajasdefectuosas, el 98,75 %.

PÁGINA • 316


Lanzamos dos dados al aire y anotamos losnúmeros de sus caras superiores. Hallar:

a) El espacio muestral.

b) El suceso “la suma de los números ob-tenidos es 7”.

c) El suceso “ambos números son iguales”.

d) El suceso “el producto de los númeroses mayor o igual que 20”.

e) La probabilidad de cada uno de los su-cesos anteriores.

a) E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) …(6, 5), (6, 6)}

El espacio muestral tiene 36 elementos.

b) A = “suma puntos es 7” = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5,2), (6, 1)}

c) B = “números iguales” = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

d) C = “producto ≥ 20” = {(4,5), (4, 6), (5, 4), (5, 5),(5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

e) P (E) = 1

P (A) = = ; P (B) = ; P (C) = = ;

Extraemos unacarta de una bara-ja española de 52cartas. Sean lossucesos:

A = {sacar copas}

B = {sacar as}

C = {sacar figura}

a) Determina los sucesos siguientes:A � B ; A � B � C ;

A–

� C ; B � C

b) Calcula las probabilidades asociadas alos sucesos anteriores.

a) A � B = sacar as de copas.

A � B � C = sacar as de copas.

Consideramos los ases como figuras.

A–

� C = {as oros, as espadas, as bastos, sota oros,sota espadas, sota bastos, caballo oros, caballo es-padas, caballo bastos, rey oros, rey espadas, reybastos}

B � C = “sacar as o sacar figura”

b) P(A � B ) = ; P(A � B � C ) = ;

P(A–

� C ) = = P(B � C ) =

Una moneda está trucada de forma que laprobabilidad de obtener cara es doble de lade obtener cruz. Halla cada una de estasprobabilidades.

Llamando c a sacar cara y x a sacar cruz obtenemos:

Lanzamos tres monedas al aire, calcula laprobabilidad de que:

a) Salgan tres caras.

b) Salgan al menos dos cruces.

c) Salga como máximo una cara.

d) No salga ninguna cara.

El espacio muestral consta de 8 elementos.

4

P c P x

P c P x

P c

P x

( ) + ( ) =

( ) = ⋅ ( )

⇒

( ) =

( ) =

1

2

2313

3

413

313

1252

152

152

2

29

836

16

16

636

1


Nº de galletas defectuosas 0 1 2 3 4 5 6Número de cajas 40 15 10 9 3 2 1

Una urna tiene 10 fichas blancas, 8 azulesy 7 verdes.

• Sacamos una ficha, halla la probabilidadde que:a) Salga ficha azul.b) Salga ficha blanca o verde.c) No salga ficha verde.

• Sacamos dos fichas, una detrás de otra ysin reemplazar la primera, halla la pro-babilidad de que:a) Salgan dos fichas verdes.b) Salga la primera azul y la segunda

blanca.c) Salga una azul y una blanca.d) Salgan dos fichas iguales.

• Haz el apartado anterior pero reempla-zando la ficha.

• a) P(azul) =

b) P(blanca o verde) =

c) P(no verde) =

• Sin reemplazamiento.

a) P(2 verdes) = · = 0,07

b) P(1ªazul y 2ª blanca) = · = 0,13

c) P(una azul y una blanca) = · · 2= 0,27

d) P(dos iguales) = · + · + ·

= 0,31

• Con Reemplazamiento.

a) · = 0,0784

b) · = 0,128

c) · · 2= 0,256

d) · + · + · = 0,3408

En una determinada ciudad el 40 % de lapoblación son mujeres. La mitad de loshombres llevan gafas y las 3/5 partes delas mujeres no llevan gafas.

a) Halla la probabilidad de elegir un hom-bre sin gafas.

b) Sabiendo que hemos elegido una per-sona con gafas. Halla la probabilidadde que sea mujer.

Con los datos del problema hacemos una tabla de con-tingencia y obtenemos:

PÁGINA • 317

El Ayuntamiento ha decidido construir unparque público, pero, antes de comenzarlas obras, quiere contar con la opinión delvecindario. Para ello, ha elegido una mues-tra de 117 ciudadanos y les ha informadosobre el parque. Después, les ha pregunta-do sobre el grado de aceptación del pro-yecto, pidiéndoles que puntúen de uno adiez, según estén muy poco de acuerdo,hasta total grado de acuerdo. Los resulta-dos han sido:

a) Representa los datos en el correspon-diente diagrama de barras.

b) Calcula la media aritmética (µ), la des-viación típica (σσ) y el número de indivi-

7

M H

Gafas

No Gafas

Totales

H sin gafas

M / gafas

16 30 46

24 30 54

40 60 100

30100

0 3

1646

0 35

a)

b)

P

P

( ) = =

( ) = =

,

,

6

725

725

825

825

1025

1025

1025

825

1025

825

725

725

624

725

724

825

924

1025

1024

825

1024

825

624

725

1825

1725

825

5

a)

b)

c)

d)

P

P

P

P

318

248

12

148

12

18

caras

al menos caras

máximo cara

ninguna cara

( ) =

( ) = =

( ) = =

( ) =


Aceptación xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Frecuencia fi 1 3 15 25 30 24 16 2 1 0

duos que hay en cada intervalo (µ – σσ),(µ – 2σσ,, µ + 2σσ), (µ – 3σσ,, µ + 3σσ).

a) El diagrama es:

b) µ = 4,983; σ = 1,46

En (µ – σ, µ + σ) = (3,523; 6,443) hay 79 indivi-duos, es decir, el 67,52 %.

En (µ – 2σ, µ + 2σ) = (2,063; 7,903) hay 110 in-dividuos, el 94,02 %.

En (µ – 3σ, µ + 3σ) = (0,603; 9,363) hay 117 in-dividuos, el 100 %.

Esta distribución presenta un comportamiento “normal”.

En el lanzamiento dedos dados considera-mos la variable aleato-ria que asocia a cadaresultado el mayor delos números obtenidos.

a) Halla la función de probabilidad asocia-da a dicha variable aleatoria.

b) Realiza el gráfico correspondiente.

c) Calcula la media o valor esperado y ladesviación típica.

a) La función de probabilidad es:

b)

c)

Responde a las cuestiones propuestas en laactividad anterior si ahora se considera lavariable aleatoria diferencia de puntos delos dos dados, en valor absoluto.


b) El gráfico se hace de forma análoga al anterior.

c)

Describe la función de probabilidad aso-ciada a la variable aleatoria número decruces en el lanzamiento de cuatro mone-das. Halla el valor esperado y la desvia-ción típica.

La función de probabilidad es:

Valor esperado:

Desviación típica:

Una urna tiene 10 bolas negras y 6 bolasblancas. Sacamos tres bolas sucesiva-mente y consideramos la variable aleato-ria “número de bolas blancas extraídas”.Halla:

11

σ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =01

161

416

26

163

416

41

162 12 2 2 2 2 2

µ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =01

161

416

26

163

416

41

162

Nº Cruces

Probabilidad1

164

166

164

161

16

0 1 2 3 4

10

µ

σ

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

=

0636

11036

2836

3636

4436

5236

1 94

0636

11036

2836

3636

4436

5236

1 94

1 44

2 2 2 2 2 2 2

,

,

,

Mayor nº

Probabilidad636

1036

836

636

436

236

0 1 2 3 4 5

9

µ

σ

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

=

1136

2336

3536

47

365

936

61136

4 47

1136

2336

3536

47

365

936

61136

4 47

1 41

2 2 2 2 2 2 2

,

,

,

11—36

X1 2 3 4 5 6

P(x)

9—36

1—36

3—36

5—36

7—36

Mayor nº

Probabilidad136

336

536

736

936

1136

1 2 3 4 5 6

8

30

25

20

15

10

5

Xi1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



a) La función de probabilidad asociada adicha variable.

b) La probabilidad de extraer dos o másbolas blancas.

c) La probabilidad de extraer como máxi-mo dos bolas blancas.

d) La esperanza matemática y la desvia-ción típica.

Consideramos que reemplazamos las bolas


Tomamos al azar una ficha del dominó yconsideramos la variable aleatoria que des-criba la suma de puntos de la ficha. Calcu-la la función de probabilidad, su esperan-za matemática y su desviación típica.

La función de probabilidad es:

µ = 6; σ = 3

En la siguiente distribución de probabili-dad halla x e y sabiendo que la espe-ranza matemática es 1,1.

Halla la desviación típica de esta variablealeatoria.

Se debe cumplir:

La desviación típica es:σ = 0,7

¿Cuál es la esperanza matemática de ga-nar de un jugador que lanza dos dados dequinielas y recibe 90 euros si salen dosdoses; 45 euros si sale un dos y paga 81euros si no sale dos?

Esperanza = 90 · + 45 · – 81 · = –6 euros

La esperanza del jugador es de –6 euros

PÁGINA • 318

Una variable aleatoria X sigue la ley bi-nomial de tipo B (5; 0,3). Determina:

a) Su función de probabilidad.

b) La media y la desviación típica.

c) Las probabilidades:

c1) P (X = 2) c2) P (X = 3)

c3) P (X < 2) c4) P (X ≥ 3)


b) La media es µ = n · p = 5 · 0,3 = 1,5.

La desviación típica es:

c) P(X = 2) = 0,3087

P(X = 3) = 0,1323

P(X < 2) =P(X=0) +P(X=1) = 0,1681+ 0,3602== 0,5283

P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,1631

Se tiene una moneda trucada, de modoque la probabilidad de sacar cara es cua-tro veces la de sacar cruz. Se lanza seis

16

σ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =n p q 5 0 3 0 7 1 025, , ,

X

Pi

0 1 2 3 4 5

0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024

15

49

49

19

Nº Doses

Probabilidad

0 1 249

49

19

14

x y

x y

x

y

+ =

⋅ + + =

⇒=

=

0 8

0 0 2 1 2 1 1

0 5

0 3

,

, ,

,

,

13

Sumapuntos

Probabilidad 128

128

228

228

328

328

428

Sumapuntos

Probabilidad 3

283

282

282

28128

128

( )

( )

X

P

X

P

i

i

0 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

12

b)

c)

d)

P x

P x P x

≥( ) = + =

≤( ) = − >( ) = − =

µ =

=

2135512

27512

0 32

2 1 2 127512

0 95

1 125

0 84

,

,

,

,

Esperanza matemática

Desviación típica

σ

N Bolas Blancas

Probabilidades

º 0 1 2 3125512

225512

135512

27512

X 0 1 2

Pi 0,2 x y

veces la moneda. Calcula las siguientesprobabilidades:

a) Obtener dos veces cruz.

b) Obtener, a lo sumo, dos veces cruz.

Es una distribución binomial B (6; 4/5), con:

P (cara) = y P (cruz) =

a) P (X = 4 caras) =

b) P (X ≥ 4 caras) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) =

El 4 % de los disquetes que fabrica unaempresa son defectuosos. Los disquetesse distribuyen en cajas de 10 unidades.Hallar la probabilidad de que una cajatenga como mínimo 8 discos sin fallo.

Es una distribución binomial B(10; 0,96) sea x elsuceso salga disco sin fallo.

La probabilidad de que salga cara con unamoneda trucada es 0,45. Se lanza la mo-neda siete veces. Calcula la probabilidadde que:

a) Salgan exactamente tres caras.

b) Salgan, al menos, tres caras.

c) Salgan como máximo tres caras.

Es una binomial B (7; 0,45).

a) P (X = 3) = 0,453 · 0,554 = 0,2918.

b) P (X≥3) = P (X=3) +P (X=4) +P (X=5) +P (X=6) =

= 1 – P (X = 0) – P (X = 1) – P (X = 2) =

= 1 – 0,557 – 0,45 · 0,556 –

– 0,452 · 0,555 = 0,6836.

c) P (X≤3) = P (X=0) +P (X=1) +P (X=2) +P (X=3) =

= 0,557 + 0,45 · 0,556 +

+ 0,452 · 0,555 + 0,453 · 0,554 = 0,6083.

La probabilidad de que un estudiante deun determinado centro de enseñanza ob-tenga el título de bachillerato es de 0,7.Calcula la probabilidad de que de un gru-po de diez estudiantes matriculados enese centro:

a) Los diez finalicen el bachillerato.

b) Al menos dos acaben el bachillerato.


La probabilidad de que un alumno/a dePrimero de Bachillerato estudie Matemá-ticas I es de 0,4. Calcula la probabilidadde que en un grupo de 20 alumnos/as ele-gidos al azar haya exactamente 7 que noestudien Matemáticas I.


En un examen trimestral de cierta asigna-tura suele aprobar el 70 % de los que sepresentan. ¿Cuál es la probabilidad deque aprueben los 8 alumnos que se hanpresentado un día determinado? ¿Cuál esla probabilidad de que apruebe sólo uno?

Es una distribución binomial B (8; 0,7).

La probabilidad de que aprueben los 8 alumnos es:

P (X = 8) = 0,78 = 0,0576.88

21

P x =( ) =

⋅ =7 20

70 6 0 4 0 01467 13, , ,

20

a)

b)

P x

P x P x P x

P x

=( ) =

=

≥( ) = − <( ) = − =( ) −

− =( ) = −

−

⋅ =

=

1010

100 7 0 0282

2 1 2 1 0

1 110

00 3

10

10 3 0 7

0 999

10

10 9

, ,

, , ,

,

19

73

72

71

70

72

71

70

73

18

P x P x P x P x≥( ) = =( ) + =( ) + =( ) =

=

⋅ +

⋅ +

+

=

8 8 9 10

10

80 96 0 04

10

90 96 0 04

10

100 96 0 99

8 2 9

10

, , , ,

, ,

17

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅ +

⋅

=

=

64

45

15

65

45

15

66

45

0 2458

4 2 5 6

,

64

45

15

0 24584 2

⋅

⋅

= ,

15

45


La probabilidad de que apruebe sólo uno es:

P (X = 1) = 0,71 · 0,37 = 0,0012.

En una asociación juvenil el 30 % de lossocios juegan al baloncesto. Se quiere for-mar un equipo, por lo que se pregunta a12 socios. ¿Cuál es la probabilidad de quehaya 2 o más que jueguen a baloncesto?¿Cuántos socios de ese grupo se esperaque lo practiquen?

Es una distribución binomial B (12; 0,3). Llamamosx al suceso jugar al baloncesto:

µ = 12 · 0,3 = 4 socios se espera que practiquen ba-loncesto.

En un examen tipotest hay 10 pre-guntas, con cuatroposibles respues-tas a elegir encada una. Si unapersona descono-ce completamentela materia y res-ponde al azar,

a) ¿Cuántas respuestas acertará por tér-mino medio?

b) ¿Cuánto vale la desviación típica?

c) ¿Qué probabilidad tiene de acertar, almenos, cinco preguntas y, por tanto,aprobar?

a) Es una binomial B .

Acertará, por término medio, µ = 10 · = 2,5preguntas.

b) La desviación típica es: .

c) La probabilidad pedida es:

P (X ≥ 5) = P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) +

+ P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) = 0,076

Supón que la probabilidad de que unapersona sea mujer es 1/2. Se eligen alazar 100 familias de cinco hijos cada una.¿En cuántas es de esperar que haya 2 mu-jeres y 3 hombres?

Es una distribución B .

La probabilidad de que una familia formada por 5 hi-jos sean 2 mujeres y 3 hombres es:

= 0,3125.

Entre las 100 familias cabe esperar que haya:

100 × 0,3125 ≅ 31 familias con 2 hijas y 3 hijos.

La probabilidad de nacimientos de niñosvarones en España es de 51,7 %. Halla laprobabilidad de que una familia de 6 hijostenga:

a) Por lo menos, una niña.

b) Por lo menos, un niño.

Es una distribución binomial B (6, 0,483). Sea x elnúmero de niñas.

PÁGINA • 319

Tráfico ha observado que el 60 % de losaccidentes en fin de semana se producenpor conductores que han sobrepasado elnivel de alcohol en sangre permitido. Enun fin de semana en el que se produjeron4 accidentes de tráfico. Encuentra la dis-tribución de probabilidad asociada a lavariable aleatoria X “número de conduc-tores que han sobrepasado el nivel de al-cohol”. Halla P (X ≤ 3), la media y la des-viación típica.

x

P x

0 1 2 3 4

0 0256 0 1536 0 3456 0 3456 0 1296( ) , , , , ,

26

a)

b)

P x P x

P P

P x

≥( ) = − =( ) = −

=

=

( ) = − ( ) =

= − =( ) = −

=

1 1 0 16

00 517

0 9809

1

1 6 16

60 483 0 9873

6

6

,

,

, ,

al menos un chico ningún chico

25

52

12

12

2 3

⋅

512

;

24

σ = ⋅ ⋅ =1014

34

1 37,

14

1014

;

23

P x P x P x

P x

≥( ) = − <( ) = − =( ) −

− =( ) = −

−

⋅ =

=

2 1 2 1 0

1 112

00 7

12

10 3 0 7

0 9150

12 11, , ,

,

22

81


En una estación de ferrocarril se sabe quela probabilidad de que un tren cualquierallegue a su hora es del 95 %. Un determi-nado día en el que llegan 20 trenes a laestación, ¿cuál es la probabilidad de queal menos 18 lleguen a su hora? ¿Y la deque como máximo 1 no llegue a su hora?

Es una distribución binomial B(20; 0,95). Llamamosx al número de trenes que llegan a su hora:

Una empresa de estadística te ofrece dostipos de contratos para un trabajo de en-cuestador. Después de hacer un minucio-so estudio de ambos concluyes que:— Contrato 1: Tienes una probabilidad de

0,9 de ganar 100 euros diarios y 0,1de perder 50 euros diarios por gastos.

— Contrato 2: Tienes una probabilidad de0,7 de ganar al día 150 euros y una pro-babilidad de 0,3 de gastar 100 eurosdiarios en gastos de desplazamiento.

¿Qué contrato de parece más convenien-te aceptar?

Contrato 1: Esperanza = 100·0,9 – 50·0,1 = 85 eu-ros diarios.

Contrato 2: Esperanza = 150·0,7 – 100·0,3 = 75 eu-ros diarios.

Parece más conveniente el contrato 1.

La función de probabilidad de una varia-ble aleatoria discreta X es:

Halla a, b, c sabiendo que la media es2,45 y P (2 ≤ X ≤ 3) = 0,6.

Una tómbola con el nombre “El clientesiempre gana” te ofrece un juego que con-siste en lanzar 2 veces seguidas un dadotetraédrico y sumar los números obteni-dos en las caras de la base. Si obtienessuma mayor que 5 el dueño te da 6 eurosy si la suma es menor que 5 tú le das al dela tómbola 4 euros. ¿Te parece justo eljuego? (Un juego es justo si la ganancia opérdida esperada es cero).

El juego no es justo, es favorable al dueño de la tómbola.

El 5 % de los habitantes de un país perte-necen al grupo sanguíneo ORh–. En unaciudad acuden un día 60 personas a do-nar sangre. ¿Cuál es la probabilidad deque ninguno sea de ese grupo sanguíneo?¿Cuántas personas del grupo ORh– cabeesperar que haya entre esos donantes?

Es una distribución binomial B(60; 0,05). Sea x = nú-mero de personas con grupo 0Rh–.

P x =( ) =

⋅ =0 60

00 95 0 04660, ,

31

Sea suma mayor que 5X P x P x= ⇒ ( ) ( ) =

= ⋅ − ⋅ = −

516

1016

66

164

1016

0 25

;

,µ

30

a b c

a b c

b c

a

b

c

+ + =

+ + =

+ =

⇒

=

=

=

0 8

2 3 1 6

0 6

0 2

0 4

0 2

,

,

,

,

,

,

29

28

P x P x P x P x

P x P x P x

≥( ) = =( ) + =( ) + =( ) =

=

⋅ +

⋅ ⋅ +

+

=

≥( ) = =( ) + =( ) =

18 18 19 20

2018

0 95 0 05 2019

0 95 0 05

2020

0 95 0 9245

19 19 20 0 7358

18 2 19

20

, , , ,

, ,

,

27

Es una binomial

Media

Desviación típica

B

P x P x

n p

n p q

4 0 6

3 1 4 0 8704

4 0 6 2 4

0 98

; ,

,

: , ,

,

( )≤( ) = − =( ) =

µ = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ =σ


X 0 1 2 3 4 5

Pi 0,01 a b c 0,1 0,09

La esperanza es µ = 60 · 0,05 = 3 personas cabe es-perar que haya entre sus donantes con grupo 0Rh–.

PÁGINA • 321


1. EL BIZCOCHO. Lafigura representa laforma de un bizco-cho especial. En laetiqueta figura queel volumen es:

V = π · h · (R2 + r2).

¿Es cierto?

Veamos los dos casos límites:1.er r = 0 ⇒ V = π · h · R2 = volumen del cilindro.2.º r = R ⇒ V = π · h (R2 + R2) = 2 · π · R2 · h, perosi r = R el volumen es 0.

Luego la fórmula es falsa.

2. NÚMEROS FELICES. El número 44 es unnúmero feliz, pues:

44 ⇒ 42 + 42 = 32 ⇒ 32 + 22 = 13⇒ 12 + 32 = 10 ⇒ 12 + 02 = 1

Investiga sobre los números felices.

Números felices de 2 cifras:10 ⇒ 12 + 02 = 113 ⇒ 12 + 32 = 10 ⇒ 12 + 02 = 123 ⇒ 22 + 32 = 13 ⇒ 12 + 32 = 10 ⇒ 12 + 02

= 131 ⇒ 32 + 12 = 10 ⇒ 12 + 02 = 1

32 ⇒ 32 + 22 = 13 ⇒ 12 + 32 = 10 ⇒ 12 + 02

= 144 ⇒ 42 + 42 = 32 ⇒ 32 + 22 = 13 ⇒ 12 + 32

= 10 ⇒ 12 + 02 = 1

Números felices de 3 cifras:100 ⇒ 12 + 02 + 02 = 1130 ⇒ 12 + 32 + 02 = 10 ⇒ 12 + 02 = 1103 ⇒ 12 + 02 + 32 = 10 ⇒ 12 + 02 = 1

Igualmente: 310; 301; 230; 203; 320; 302; 440;404.

Números felices de 4 cifras:

Igual que los que hemos formado de tres cifras másotros como 1 339.

Así sucesivamente podemos seguir con los demás.

3. CAMBIO DE VAGONES. La figura muestraunas vías de tren, en las cuales hay dos va-gones W1 y W2; una locomotora L, situa-da en una vía muerta; y un túnel, por el cualsólo puede pasar la locomotora. Lalocomotora puede enganchar los vagonespor delante y por detrás, e incluso puedearrastrar los dos vagones a la vez. El proble-ma consiste en cambiar la posición de los dosvagones, dejando la locomotora en una delas dos vías muertas. Puedes simular esteproblema utilizando tres monedas diferentes.

Después de varios intentos vemos que la situación fi-nal, para lograr el objetivo buscado, que debe quedaren la vía muerta superior es: W1 W2 L.

Llamamos A al lugar en el que inicialmente está elvagón W1 y B al lugar en el que inicialmente está elvagón W2.

Los pasos a seguir son:

1.º L coge a W1 y lo lleva a la vía muerta de abajo.

2.º L da la vuelta al circuito pasando por el túnel yempuja a W2 hasta el punto A.

3.º L coge a W1 y lo lleva junto a W2.

4.º L da la vuelta al circuito y empuja a ambos vago-nes a la vía muerta de arriba, quedando la situa-ción que buscábamos, W1 W2 L.

5.º L remolca a W2 hasta el punto A.

6.º L da la vuelta al circuito y engancha a W1 lle-vándolo a la posición B.

7.º L vuelve a la vía muerta de arriba y los vagoneshan cambiado de posición.

4. DOBLE FRONTÓN. Un pelotari se encuentraen P y golpea la pelota. Ésta debe llegar alpelotari que se encuentra en Q, después depegar en ambos frontones. Construye la tra-yectoria que debe seguir la pelota.

L

A

BW2

W1


h

rR

Este problema es una doble simetría.

Construimos P', simétrico de P respecto a la banda (1), y Q' simétrico de Q respecto a la banda (2).

Unimos P' con Q' y llamamos A y B a los puntos en que la recta P'Q' corta a las bandas. La trayectoria pe-dida es:

PABQ

PQ

P’

Q’B

A

(1)

(2)

PQ



1. Describir las distribuciones de probabilidad asociadas a las variables aleatorias continuas.

2. Representar gráficamente y utilizar para el cálculo de probabilidades las funciones de densidad.

3. Calcular e interpretar la media o valor esperado, así como la desviación típica de una variable alea-toria continua.

4. Diferenciar las situaciones asociadas a las variables que siguen una distribución normal.

5. Aplicar el modelo de distribución normal estándar, con el uso adecuado de sus valores tabuladosa cualquier situación que presente una distribución normal.

• Hacer aflorar las ideas que el alumno tiene sobre situaciones de tipo aleatorio que ha adquiridoen cursos anteriores.

• Realizar el desarrollo de la unidad a través de procedimientos que faciliten el razonamiento de-ductivo.

• Poner en práctica algunas estrategias de resolución de problemas en la resolución de las activi-dades de esta unidad.




PÁGINA • 323


1. Calcula el área de cada uno de los recintosrayados:

a) Área = = 0,5625 unidades cuadradas.

b) Área = · 2 = 1,5 unidades cuadradas.

c) Área = 1 · 0,5 + = 1 unidades cuadradas.

2. En una determinada ciudad se ha hecho unestudio sobre la edad de las personas queasistieron al último espectáculo musical delverano, y se han obtenido los siguientes re-sultados:

Calcula la media aritmética y la desviacióntípica de esta distribución. ¿Qué % de per-sonas hay en cada uno de los intervalos (µµ – σσ, µµ + σσ), (µµ – 2σσ, µµ + 2σσ), (µµ – 3σσ, µµ + 3σσ)?

x– = 39,825 σ = 14,76

2 · 0,52

0,5 + 12

1,5 · 0,752

O

c)Y

1

0,5

X1 2 3

1O

a)

X

Y

2

1

1,5

1O

b)

X

Y

2

1

0,5y = — x + —1

4

12


CONCEPTOS

1. Distribuciones estadísticas conti-nuas.

2. Distribuciones de probabilidadcontinuas.

3. Distribución normal o de Gauss.

4. Distribución normal estándar.

5. Tipificación de la variable.

6. La distribución binomial se apro-xima a la normal.

– Valoración de la utilidad delas variables aleatorias en lamatematización de las si-tuaciones de azar.

– Curiosidad e interés por en-frentarse a problemas alea-torios.

– Gusto por la presentaciónordenada de los procesos yresultados obtenidos en loscálculos.


• Interpretación de la funciónde densidad de una varia-ble aleatoria continua.

• Construcción de la funciónde densidad y su aplica-ción al cálculo de probabi-lidades.

• Cálculo y significado de lamedia y la desviación típi-ca de una variable aleatoriacontinua.

• Utilización del modelo nor-mal o de Gauss en el cálcu-lo de probabilidades.

• Aplicación de la distribu-ción normal para el cálculode probabilidades que si-guen la ley binomial.



Edad [0, 15) [15, 30) [30, 45) [45, 60) [60, 75) [75, 90]Nº de asistentes 12 120 310 95 47 16

En (µ – σ, µ + σ) = (25,065; 54,585) hay 405 per-sonas, es decir el 67,5%.

En (µ – 2σ, µ + 2σ) = (10,305; 69,345) hay 572 per-sonas, es decir el 95,3%.

En (µ – 3σ, µ + 3σ) = (–4,455; 84,105) hay 600 per-sonas, el 100%.

3. Representa gráficamente la función si-guiente y halla el área del recinto limitadopor la gráfica de la función, el eje OX y las

rectas x = y x = 3.

Área rayada = = 0,5625 unidades cuadra-das.

PÁGINA • 336


La tabla siguiente recoge las estaturas encm de los estudiantes de un instituto quepractican balonmano.

a) Representa gráficamente estos datos.b) Calcula la estatura media de estos estu-

diantes y la desviación típica correspon-diente.

c) ¿Cuántos estudiantes por altura estánen (–x – σσ, –x + σσ)? ¿Y en (–x – 2σσ, –x + 2σσ)?

d) ¿Qué porcentaje de estudiantes tienensu estatura comprendida entre 165 y185 cm?

a) El gráfico es un histograma.

b) x– = 171,55 σ = 6,95

c) En (x– – σ, x– + σ) = (164, 6; 178, 5) hay 67 estu-diantes.En (x– – 2σ, x– + 2σ) = (157, 65; 185, 45) hay 100estudiantes.

d) Hay 78 estudiantes con una estatura comprendidaentre 165 y 185 cm que representan el 78 %.

Estudia, ayudándote de la representacióngráfica, si las siguientes funciones son fun-ciones de densidad de ciertas variablesaleatorias continuas.

En caso afirmativo calcula:P (X ≤ 3); P (X ≥ 1);

P (X = 2,5); P (2 ≤ X ≤ 3)

a) f(x) ≥ 0 ∀ x y además el área del recinto rayadovale 1, por tanto es función de densidad.

b) g(x) ≥ 0 ∀ x y además el área del recinto rayado vale

= 1, por tanto es función de densidad.

P x P x

P x P x

≤( ) =⋅

= ≥( ) =

=( ) = ≤ ≤( ) =

31

18

21

161 1

2 5 0 2 31

16,

O

Y

1

X1 2 3 4 5 6

0,5y = g(x)

4 ·0,52

P x P x

P x P x

≤( ) = ⋅ = ≥( ) = ⋅ =

=( ) = ≤ ≤( ) = ⋅ =

3 314

34

1 314

34

2 5 0 2 3 114

14

,

O

Y

1

X1 2 3–1 4

1/4y = f(x)

b) g(x)x x

x x=

< >

− ≤ ≤

0 2 6

18

14

2 6

si y

si

a) f (x)x

x=

< <

14

0 4

0

si

para otros

2

Estatura (cm)20

10

30N.º Alumnos

165 170 175 180155 160 185 190

1

1,5 ·0,752

0,5O

Y

1

X1 2 3

f(x)x x

x= − ≤ ≤

>

112

0 2

0 2

si

si

12


Estaturas [155, 160) [160, 165) [165, 170) [170, 175) [175, 180) [180, 185) [185, 190]Nº alumnos 2 17 25 27 15 11 3

En la siguiente función, calcula el valor de“a” para que sea una función de densidadpara la variable aleatoria X continua:

• f(x) ha de ser ≥ 0, por tanto a ≥ 0.

• Como área rayada = 1 ⇒ = 1 ⇒ a =

Por tanto f(x) es función de densidad si a = .

Se ha hecho un estudio sobre una especievegetal en tres zonas diferentes A, B y C, re-sultando que se ajustan a curvas normalesN (5; 3,5), N (5; 1,5) y N (7; 1,5), respec-tivamente.

a) Elige, de entre estas tres gráficas, laadecuada a cada caso.

b) Haz un breve resumen, comparando lassemejanzas y las diferencias que hay enla altura que alcanza el vegetal en lastres zonas estudiadas.

a) La gráfica 1 se corresponde con N(7; 1,5).

La gráfica 2 se corresponde con N(5; 1,5).

La gráfica 3 se corresponde con N(5; 3,5).

b) Las plantas más altas corresponden a la distribu-ción N (7; 1,5). En las otras distribuciones, lamedia de alturas coincide, y en N (5; 1,5) estánmás agrupadas, respecto a la media, que enN (5; 3,5).

En una distribución normal N (0,1), calcula:

a) P (Z ≤ 1,45) b) P (Z ≥ 0,25)

c) P (Z ≤ –1,45) d) P (0,35 ≤ Z ≤ 1,5)

e) P (–1,35 ≤ Z ≤ 0,25)

f) P (Z ≥ –0,84) g) P (–1,45 ≤ Z ≤ –0,15)

h) P (Z ≥ 3,8)

Manejando la tabla de la distribución normal, obtene-mos:

a) P (Z ≤ 1,45) = 0,9265.

b) P (Z ≥ 0,25) = 1 – P (Z < 0,25) = 1 – 0,5987 == 0,4013.

c) P (Z ≤ –1,45) = 1 – P (Z ≤ 1,45) = 1 – 0,9265 == 0,0735.

d) P (0,35 ≤ Z ≤ 1,5) = P (Z ≤ 1,5) – P (Z ≤ 0,35) == 0,9332 – 0,6368 = 0,2964.

e) P (–1,35 ≤ Z ≤ 0,25) = P (Z ≤ 0,25) – P (Z ≤ –1,35) == P (Z ≤ 0,25) – [1 – P (Z ≤ 1,35)] = = 0,5987 – (1 – 0,9115) = 0,5102.

f) P (Z ≥ –0,84) = P (Z ≤ 0,84) = 0,7995.

g) P (–1,45 ≤ Z ≤ –0,15) = P (0,15 ≤ Z ≤ 1,45) == P (Z ≤ 1,45) – P (Z ≤ 0,15) = 0,9265 – 0,5596 == 0,3669.

h) P (–2,25 ≤ Z ≤ 2) = P (Z ≤ 2) – P (Z ≤ –2,25) == P (Z ≤ 2) – [1 – P (Z ≤ 2,25)] = = 0,9772 – (1 – 0,9878) = 0,965.

PÁGINA • 337

En una distribución normal N (0,1), calcu-la el valor de k, sabiendo que k ≥ 0, enlos siguientes casos:

a) P (Z ≥ k ) = 0,1075

b) P (Z ≥ k ) = 0,7967

c) P (0 ≤ Z ≤ k ) = 0,4236

a) P(Z ≥ k) = 0,1075 = 1 – P(Z ≤ k) ⇒ P(Z ≤ k)= 0,8925. Por tanto k = 1,24.

b) P(Z ≥ k) = 0,7967 = 1 – P(Z ≤ k) ⇒ P(Z ≤ k)= 0,2033. Por tanto k = –0,83.

c) P(0≤ Z ≤ k) = 0,4236.

P(Z ≤ k) – P(Z ≤ 0)= 0,4236 ⇒ P(Z ≤ k)= 0,9236. Por tanto k = 1,43.

En una distribución normal N (5,2), calcula:

a) P (X ≤ 6) b) P (X ≥ 4,5)

c) P (X ≤ 7,2) d) P (3 ≤ X ≤ 6)

Tipificamos la variable X, convirtiéndola en normalN (0, 1) y, posteriormente, consultamos la tabla.

a) P (X ≤ 6) = P = P (Z ≤ 0,5) =

= 0,6915.

Zx= − ≤ −

52

6 52

7

6

5

5 5 510 10 10O

1 2 3Y

X O

Y

X O

Y

X

4

13

13

6 · a2

O

Y

a

X1 2 3–1 4–2

f (x)a x

x=

− ≤ ≤

si

para otros valores de

2 4

0

3


b) P (X ≥ 4,5) = P =

= P (Z ≥ –0,25) = P (Z ≤ 0,25) = 0,5987.

c) P (X ≤ 7,2) = P =

= P (Z ≤ 1,1) = 0,8643.

d) P (3 ≤ X ≤ 6) = P =

= P (–1 ≤ Z ≤ 0,5) = P (Z ≤ 0,5) – [1 – P (Z ≤ 1)] =

= 0,6915 – (1 – 0,8413) = 0,5328.

En una distribución normal N (5,2), calcu-la el valor de k, para que se cumplan lassiguientes igualdades:

a) P (X ≥ k ) = 0,8106

b) P (X ≥ k ) = 0,4801

c) P (5 – k ≤ X ≤ 5 + k ) = 0,5934

a) P (X ≤ k) = 0,8106

P = 0,8106 ⇒

⇒ = 0,88 ⇒ k = 6,76.

b) P = 0,4801 ⇒

1 – P = 0,4801 ⇒

⇒ P = 0,5199 ⇒

⇒ = 0,05 ⇒ k = 5,1.

c) P (5 – k ≤ X ≤ 5 + k) =

= P =

= P = 2 P – 1 = 0,5934

⇒ P = 0,7967 ⇒ = 0,83 ⇒

⇒ k = 1,66.

La duración media de un aparato de T.V. esde 20 años, con una desviación típica de0,5 años. Si la vida útil del televisor se dis-

tribuye normalmente, halla la probabilidadde que al comprar un aparato de T.V., éstedure más de 20 años.

La varilla X se distribuye según la normal N(20; 0,5).

Una compañía de autobuses realiza un es-tudio sobre el número de veces que, se-manalmente, utilizan el autobús los usua-rios. Se sabe que los datos se distribuyenN (10,3). Calcula la probabilidad de queun usuario utilice el autobús:

a) Más de 11 veces.

b) Menos de 8 veces.

a) P (X≥11) = P = P =

= 1 – P = 1 – 0,6293 = 0,3707.

b) P (X≤8) = P = P =

= 1 – P = 0,2546.

La dirección de una clínica ha observadoque la estancia de los enfermos sigue unadistribución normal de media 9 días y des-viación típica 3. Calcula la probabilidadde que la estancia de un enfermo:

a) Sea superiora 8 días.

b) Sea inferior a5 días.

c) Esté compren-dida entre 11y 13 días.

a) P (X ≥ 8) = P = P =

= P = 0,6293.

b) P (X ≤ 5) = P = P =Z ≤ −

43

X − ≤ −

93

5 93

Z ≤

13

Z ≥ −

13

X − ≥ −

93

8 93

11

Z ≤

23

Z ≤ −

23

X − ≤ −

103

8 103

Z ≤

13

Z ≥

13

X − ≥ −

103

11 103

10

P X P Z P Z

P Z

≥( ) = ≥ −

= ≥( ) =

= − ≤( ) =

20 520 5 20

20 25

1 0 25 0 4013

,,

,

, ,

9

k2

Zk≤

2

Zk≤

2

− ≤ ≤

kZ

k2 2

5 52

5 52

− − ≤ ≤ + −

kZ

k

k − 52

Zk≤ −

52

Zk≤ −

52

ZX k= − ≥ −

52

52

k − 52

ZX k= − ≤ −

52

52

8

3 52

52

6 52

− ≤ − ≤ −

x

Zx= − ≤ −

52

7 2 52

,

Zx= − ≥ −

52

4 5 52

,


= P = 1 – 0,9082 = 0,0918.

c) P (11 ≤ X ≤ 13) = P =

= P = P – P =

= 0,9082 – 0,7454 = 0,1628.

El tiempo necesario para que una ambu-lancia llegue a un centro sanitario se dis-tribuye según una variable normal de me-dia 17 minutos y desviación típica 3minutos.

a) Calcula la probabilidad de que el tiem-po de llegada esté comprendido entre13 y 21 minutos.

b) ¿Para qué valor de t, la probabilidadde que la ambulancia emplee más det minutos en llegar es del 5 %?

El tiempo empleado por estudiantes deQuímica en realizar cierto experimentode laboratorio se distribuye normalmen-te con media 30 minutos y desviación tí-pica 5.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un es-tudiante tarde menos de 28 minutosen realizar el experimento?

b) ¿Cuál es el porcentaje de estudiantesque emplean entre 25 y 35 minutos?

c) ¿Qué tiempo utilizan como máximo el80 % de los estudiantes?

La varilla se distribuye según la normal N(30;5).

Un estudio antropológico de una tribu haconstatado que la longitud del dedo cora-zón de los adultos sigue una ley normalde media 60 mm y desviación típica de 3mm. Si hay 800 adultos en esa tribu, de-termina cuántos tienen el dedo corazón:a) Más largo de 62 mmb) Más corto de 57 mmc) Entre 60 y 66 mm

La variable de ajuste a la normal N(60; 3).

Por tanto hay 201 adultos con el dedo corazónmás largo de 62 mm.

b) P (X ≤ 57) = P (Z ≤ –1) = P (Z ≥ 1) = 1 – P (Z ≤ 1) == 0,1587. Es decir, el 15,87 % que suponen 127adultos.

c) P ( 60 ≤ X ≤ 66) = P (0 ≤ Z ≤ 2) = P (Z ≤ 2) –– P (Z ≤ 0) = 0,4772. Es decir, el 47,72 % que su-ponen 382 adultos.

PÁGINA • 338

El peso teórico de la tableta de cierto me-dicamento es 234 mg. Si suponemos quelos pesos de las tabletas siguen una dis-tribución normal de desviación típica10 mg por tableta,

a) ¿Cuál será el tanto por ciento de table-tas con peso menor o igual a 210 mg?

15

a) , 7P X P Z P Z

P Z

≥( ) = ≥ −

= ≥( ) =

= − ≤( ) = ⇒

6262 60

30 6

1 0 67 0 2514 25 14, , , %el

14

a) ,

b)

P X P Z P Z

P Z

P X P Z

P Z P Z

P Z P Z

<( ) = < −

= < −( ) =

= − <( ) =

≤ ≤( ) = − ≤ ≤ −

=

= − ≤ ≤( ) = ⋅ ≤ ≤( ) =

≤( ) − ≤( )[ ] =

2828 30

50 4

1 0 4 0 3446

25 3525 30

535 30

5

1 1 2 0 1

2 1 0

, , .

00 6826

68 26

0 8030

50 80

305

0 84 34 2

,

, %.

, ,

, ,

es decir el

minutos.

c) P X t P Zt

tt

≤( ) = ⇒ ≤ −

=

− = ⇒ =

13

a)

b)

P t P Z

P Z P Z

P Z

P X t P Zt

tt

13 2113 17

321 17

3

1 33 1 33 2 0 1 33

2 1 33 1 0 8164

0 9517

30 95

173

0 645

≤ ≤( ) = − ≤ ≤ −

=

= − ≤ ≤( ) = ⋅ ≤ ≤( ) =

= ⋅ ≤( ) − =

≤( ) = ⇒ ≤ −

= ⇒

⇒ − = ⇒ =

, , ,

, ,

, ,

, 2121 935

22

, ⇒

⇒ =t minutos aproximadamente

12

Z ≤

23

Z ≥

43

23

43

≤ ≤

Z

11 93

13 93

− ≤ ≤ −

Z

Z ≥

43


b) ¿Cuál será el tanto por ciento de table-tas con peso superior a 240 gramos?

a) P (X ≤ 210) = P =

= P (Z ≤ –2,4) = 1 – P (Z ≤ 2,4) = 1 – 0,9918 =

= 0,0082.

Hay un 82 % con peso menor o igual a 210 mg.

b) P (X ≥ 240) = P =

= P (Z ≥ 0,6) = 1 – P (Z ≤ 0,6) = 1 – 0,7257 =

= 0,2743.

Hay un 27,43 % con peso superior a 240 mg.

La calificación media de cierto examen hasido de 5,5 con una desviación típica de1,5, y el conjunto de notas se ajusta a unadistribución normal. El profesor quierecalificar con sobresaliente al 10 % de laclase, y con notable al 30 %. ¿A partir dequé nota se conseguirá el sobresaliente yde cuál el notable?

Llamamos k a la nota mínima a partir de la cual seconseguirá el sobresaliente. Debe cumplirse:

P (X ≤ k) = 0,9000, luego

P = 0,9000.

Por tanto, = 1,282 ⇒

⇒ k = 1,282 · 1,5 + 5,5 ⇒ k = 7,423.

De igual forma, para la calificación de notable:

P (X ≤ k) = 0,7000 ⇒

⇒ P = 0,7000 ⇒

⇒ = 0,525 ⇒ k = 0,525 · 1,5 + 5,5 ⇒

⇒ k = 6,2875.

Se lanza un dado 360 veces. ¿Cuál es laprobabilidad de obtener 3 menos de 55veces?

Es una distribución binomial B (360; 1/6) y la aproxi-mamos con una distribución normal N (µ; σ) con:

La probabilidad es P (X < 55); con la corrección deYates obtenemos:

P (X < 55) = P (X' ≤ 55,5) = P =

= P (Z ≤–0,64) = 1– P (Z ≤ 0,64) = 1– 0,7389 = 0,2611.

Un jugador de ajedrez gana 9 de cada10 partidas que disputa. Juega 50 par-tidas. ¿Cuál es la probabilidad de quegane 40?

Es una distribución binomial B (50; 0,9) que aproxi-mamos a una distribución normal N (µ; σ) con:

La probabilidad pedida con la corrección de Yates es:

P (X = 40) = P (39,5 ≤ X' ≤ 40,5) =

= P =

= P (–2,59 ≤ Z ≤ –2,12) = 1 – P (2,12 ≤ Z ≤ 2,59) =

= P (Z ≤ 2,59) – P (Z ≤ 2,12) = 0,0122.

Se lanza una moneda 100 veces. ¿Cuál esla probabilidad de que el número de carasque se obtenga esté comprendido entre45 y 55?

Es una distribución binomial B (100; 0,5) que apro-ximamos con la normal N (µ; σ) con:

La probabilidad pedida, con la corrección de Yates, es:

P (45 < X < 55) = P (44,5 ≤ X' ≤ 55,5) =

= P =

= P (–1,1 < Z < 1,1) = P (Z <1,1) – [1 – P (Z < 1,1)] =

= 0,8643 – (1 – 0,8643) = 0,7286.

Un examen tipo test tiene 100 preguntasy cada pregunta 4 respuestas diferentes,de la que sólo una es correcta. Calcula laprobabilidad de que un estudiante queresponde al azar acierte más de 20 pre-guntas.

Es una binomial B (100; 0,25) que aproximamos ala normal N (25; 4,33).

20

44 5 505

505

55 5 505

, ,− < ′ − < −

X

µ σ= ⋅ = = ⋅ ⋅ =100 0 5 50 100 0 5 0 5 5, , , .y

19

39 5 452 12

40 5 452 12

,,

,,

− ≤ ≤ −

Z

µ σ= ⋅ = = ⋅ ⋅ =50 0 9 45 50 0 9 0 1 1 12, , , , .y

18

′ − ≤ −

X 607 07

55 5 607 07,,,

µ σ= ⋅ = = ⋅ ⋅ =36016

60 36016

56

7 07y , .

17

k−5 51 5

,,

X k− ≤ −

5 51 5

5 51 5

,,

,,

k−5 51 5

,,

X k− ≤ −

5 51 5

5 51 5

,,

,,

16

X − ≥ −

23410

240 23410

x − ≤ −

23410

210 23410


P (X > 20) = P (X' ≥ 19,5) = P = (Z ≥ –1,27) =

= P (Z ≤ 1,27) = 0,8980.

En un bombo de lotería tenemos 10 bolasidénticas numeradas del 0 al 9. Cada vezque hacemos la extracción de una boladespués la devolvemos al bombo.

a) Si tomamos 3 bolas, calcula la proba-bilidad de que el 0 salga una sola vez.

b) Si hacemos 100 extracciones, calcularempleando la normal, la probabilidadde que el 0 salga más de 12 veces.

La media de una distribución binomialB (n, p) con n = 10 es 8. Halla la des-viación típica. Si p es la probabilidad deobtener cara con una moneda trucada,¿cuántas veces hay que lanzarla para quela probabilidad de obtener al menos unacara sea 0,893?

µ = 8 = n · p ⇒ p = 0,8

Hay que lanzarla al menos dos veces.

Se lanza una moneda 900 veces ¿cuál esla probabilidad de sacar menos de 440caras?

Es binomial B(900, 0,5).

µ = 450 σ = 15

La aproximamos a la nomal N(450; 15).

P(X < 440) = P(X ≤ 439,5) = P(Z ≤ –0,7) =

=P(Z ≥ 0,7) = 1 – P(Z ≤ 0,7) = 0,242.

La probabilidad de que un nacido sea va-rón es 0,52. Un año nacieron en mi ciu-dad 3 000 niños. ¿Cuál es la probabilidadde que hubiera entre 1 450 y 1 600 va-rones?

Es una binomial B(3 000; 0,52) la aproximamos a lanormal N(1 560; 27,4).

P(1 450 < X < 1 600) =

= P(1 449,5 ≤ X' ≤ 1 600,5) = P(–4 ≤ Z ≤ 1,48) =

= P(Z ≤ 1,48) – P(Z ≤ –4) = 0,9306.

María se presenta al examen teórico paraobtener el carnet de conducir. El examenconsta de 80 preguntas a las que debecontestar sí o no. Para aprobar debe acer-tar al menos 45 preguntas. ¿Qué proba-bilidad tiene de aprobar si contesta alazar?

Es una binomial B(80; 0,5) la aproximamos a lanormal N(40; 4,47).

P(X ≥ 45) = P(Z ≥ 1,12) = 1 – 0,8686 = 0,1314.

PÁGINA • 339

¿Cuál es la relación que existe entre trescurvas de la distribución normal que tie-nen la misma media y diferente desviacióntípica? ¿Y si tienen la misma desviación tí-pica y diferente media?

Si tienen igual media y diferente desviación típica se-rán tres curvas centrales en el mismo valor µ y condiferente altitud.

Si tienen distinta media e igual desviación típica serántres curvas con distintos centro e igual altitud.

Según estudios médicos actuales el nivelde colesterol en una persona adulta sanasigue una distribución normal centradaen el valor 192 y con una desviación típi-ca de 12 unidades. ¿Cuál es la probabili-dad de que una persona adulta sana ten-

27

26

25

24

23

P

nnn

ninguna cara( ) = − =

⋅ = ⇒ = =

1 0 893 0 107

00 2 0 107

0 1070 2

1 4

, , .

, ,log ,log ,

, .

La desviación típica es σ = ⋅ ⋅ =10 0 8 0 2 1 26, , , .

22

a)

b)

P

B

N

P X P Z P Z

p Z

salga 0 una sola vez

Es una binomial la aproximas a una

normal

( ) = ⋅ ⋅ ⋅ =

( )

≥( ) = ≥ −

= ≥( ) =

= − ≤( ) =

110

910

910

3 0 243

100 0 1

10 3

1313 10

31

1 1 0 1587

, .

; ,

( ; ).

, .

21


ga un nivel de colesterol inferior a186 unidades?

N(192; 12).

P(X ≤ 186) = P(Z ≤ –0,5) = P(Z ≥ 0,5) == 1 – P(Z ≤ 0,5) = 0,3085.

El peso de las alumnas de 2º de Bachille-rato de un determinado centro sigue unadistribución normal de media 54 kg y dedesviación típica 2 kg. Halla:

a) La probabilidadde que una alum-na pese más de51 kg.

b) Calcula la pro-porción de alum-nas que tendránun peso com-prendido entre55 y 60 kg.

N(54; 2).

a) P(X ≥ 51) = P(Z ≥ –1,5) = P(Z ≤ 1,5) = 0,9332.

b) P(55 ≤ X ≤ 60) = P(0,5 ≤ X ≥ 3) = = P(Z ≤ 3) – P(Z ≤ 0,5) = 0,3072.

Consideremos una distribución normal demedia µ = 50 en la que la probabilidadde obtener un valor por encima de 70 es0,0228. ¿Cuál es la desviación típica?¿Cuál será la probabilidad de los valorespor debajo de 45?

Una gran empresa debe reponer las batasde sus 1 000 operarios. Se sabe que la ta-

lla media es 170 con una desviación típi-ca de 3 cm. Las batas se confeccionan entres tallas válidas para estaturas entre155 y 165 cm, 165 y 175 cm y finalmen-te entre 175 y 185 cm. ¿Cuántas batas decada talla ha de adquirir suponiendo quelas tallas se distribuyen normalmente?

De una urna que contiene 1 bola blanca y2 bolas negras se hacen extracciones su-cesivas y con reemplazamiento (una bolacada vez). Llamamos X al número de bo-las blancas extraídas.

a) Si se hacen 5 extracciones, ¿cuál es ladistribución de probabilidad de X ?¿Cuánto valen su media y su desvia-ción típica? ¿Cuánto vale P (X ≥ 2)?

b) Si se hacen 288 extracciones, ¿cuál esla probabilidad de que salgan más de90 bolas blancas?

a) Es una binomial B(5 ; ).

Media

Desviación

aproximamos a la normal

µ

σ

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

≥( ) = − <( ) = − =( ) − =( )=

( )

>( ) = ≥( ) = ≥ −(

n p

n p q

P X P X P X P X

B N

P X P X P Z

513

1 67

513

23

1 05

2 1 2 1 0 1

0 539

28813

96 8

90 90 5 0 69

,

,

, .

; ;

, ,

b)

)) =

= ≤( ) =P Z 0 69 0 7549, , .

x

P x

0 1 2 3 4 5

23

523

13

1023

13

1023

13

523

13

13

5 4 3 2 2 3 4 5

( )

⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

13

31

N

P X P Z

P Z P Z

P X P Z

P Z

P X

170 3

155 165 5 1 67

5 1 67

0 0475 48

165 175 1 67 1 67

2 0 1 67 2 0 9525 0 5 0 905

905

175 185

;

• ,

,

,

• , ,

, , , ,

•

( )≤ ≤( ) = − ≤ ≤ −( ) =

= ≤( ) − ≤( ) =

=

≤ ≤( ) = − ≤ ≤( ) =

= ≤ ≤( ) = −[ ] =

⇒

≤ ≤

es decir batas.

batas.

(( ) = ≤ ≤( ) = ≤( )− ≤( ) = ⇒

P Z P Z

P Z

1 67 5 5

1 67 0 0475 48

,

, , batas.

30

N

P X

P Z

P Z P Z

P Z

P X P Z P Z

50

70 0 0228

70 500 0228

201

200 0228

200 9772

202

10

4545 50

10

;

• ,

,

,

,

.

•

σ

σ

σ σ

σ σσ

( )≥( ) =

≥ −

=

≥

= − ≤

= ⇒

⇒ ≤

= ⇒ =

⇒ =

≤( ) = ≤ −

= ≤ −00 5

0 5 0 3085

,

, , .

( ) =

= ≥( ) =P Z

29

28



La probabilidad de que un golfista hagahoyo en un lanzamiento es 0,4. Si lo in-tenta 10 veces, calcula la probabilidad deque acierte a lo sumo 2 veces. Si lanza1 000 veces y su capacidad de acierto semantuviera, ¿qué probabilidad hay de queacierte más de 450 veces?

• Es una binomial B(10; 0,4).

• Es una binomial B(1 000; 0,4) que aproximamosa la normal N(400; 15,49).

PÁGINA • 341


1. EL CARACOL. Un caracol se encuentra en elfondo de un pozo. Cada día asciende 30 m ypor la noche se resbala 20 m hacia abajo.¿Cuánto tiempo tardará el caracol en salir delpozo? El pozo mide 300 m de profundidad.

Como cada día asciende 30 m y resbala 20 m, en rea-lidad asciende 10 m.

Luego al cabo de 27 días ha ascendido 270 m, y ya eldía 28 asciende a la superficie, pues asciende

30 m ⇒ 270 + 30 = 300 m.

El caracol tarda 28 días en salir.

2. TRIÁNGULO DE MONE-DAS. El triángulo de lafigura está formado con10 monedas iguales.¿Cuál es el mínimo nú-mero de monedas quehay que cambiar de sitiopara que el triángulo quede en posición in-vertida?

Simplemente cam-biando tres mone-das, las señaladascon los números

1 - 2 - 3,el triángulo invierte laposición.

3. VALOR DESCONOCIDO. Determina el va-lor de la siguiente expresión:

Llamemos

Elevando al cuadrado ⇒

4. PIES GRANDES Y SUS AVES. El indio PiesGrandes, sale de su tienda con un montónde granos de maíz y, cuando regresa de nue-vo, no tiene ninguno. Cuando llega a su tien-da, su hija Luz de Luna le pregunta qué hahecho con el maíz. Él le dice: A cada aveque me encontré le di la mitad de los gra-nos que llevaba más uno. ¿Con cuántasaves te encontraste?, le vuelve a preguntarLuz de Luna. Me encontré con ocho, res-ponde Pies Grandes. ¿Cuántos granos demaíz llevaba Pies Grandes al principio?

Comenzando el problema desde el final.

Ave 8ª le da 1 + 1 = 2.Ave 7ª (tiene 6) – le da 3 + 1 = 4 – le quedan 2.Ave 6ª (tiene 14) – le da 7 + 1 = 8 – le quedan 6.Ave 5ª (tiene 30) – le da 15 + 1 = 16 – le quedan 14.

⇒ = + + + + … ⇒ = + ⇒

⇒ − − = ⇒ = ± ⇒

⇒ = + = =

x x x

x x x

x

2 2

2

1 1 1 1 1

1 01 5

2

1 52

Φ nº áureo.

x = + + + …1 1 1

1 1 1+ + + …

1

1

3

3

2

2

P X P X P Z

P Z

>( ) = ≥( ) = ≥( ) =

= − ≤( ) =

450 450 5 3 26

1 3 26 0 0006

, ,

, ,

P X P X P X P X≤( ) = =( ) + =( ) + =( ) =

=

+

⋅ +

⋅ =

2 0 1 2

10

00 6

10

10 4 0 6

10

20 4 0 6 0 16710 9 2 8, , , , , ,

32

Ave 4ª (tiene 62) – le da 31 + 1 = 32 – le quedan 30.




Al principio tenía 510 granos de maíz.

5. LAS PESAS. ¿Cuál es el juego de 4 pesasque es necesario tener para poder pesar enuna balanza, con dos platos, cualquier can-tidad entera desde 1 hasta 40 kg?

Las pesas que necesitamos tener han de ser de: 1, 3,9 y 27 kg.

Así: 1 kg = 1

2 kg = 3 – 1

3 kg = 3

4 kg = 3 + 1

5 kg = 9 – 3 – 1

6 kg = 9 – 3

7 kg = 9 – 3 + 1

8 kg = 9 – 1

9 kg = 9

10 kg = 1 + 9

y así sucesivamente.

La suma de los números significa que las pesas se co-locan en el mismo plato de la balanza, y la diferencia,que se colocan en platos diferentes.



1. Utilizar las tablas y gráficas como instrumento para el estudio de situaciones em-píricas relacionadas con fenómenos sociales.


• Representar en una tabla los datos relativos a una variable estadística unidimensional.

• Expresar con un gráfico los datos de una distribución estadística unidimensional.

• Calcular los parámetros de centralización y de dispersión de una variable estadística uni-dimensional.

• Interpretar los parámetros estadísticos relativos a una distribución estadística unidimen-sional.

2. Utilizar el coeficiente de correlación y la recta de regresión para valorar el gradoy carácter de la relación entre variables en situaciones reales definidas medianteuna distribución bidimensional y obtener las rectas de regresión para hacer pre-dicciones estadísticas en un contexto de resolución de problemas relacionadoscon fenómenos económicos y sociales.


• Representar en una tabla o en un diagrama los datos relativos a una variable estadísticabidimensional.

• Analizar cualitativamente la correlación por medio de los diagramas de dispersión.

• Saber calcular, por procedimientos algorítmicos y usando calculadora, e interpretar el coe-ficiente de correlación lineal de Pearson.

• Determinar la recta de regresión lineal y mediante ella predecir resultados.

3. Tomar decisiones ante situaciones que se ajusten a una distribución de proba-bilidad binomial o normal, estudiando las probabilidades de uno o varios su-cesos.


• Analizar fenómenos aleatorios a través de las variables aleatorias.

• Utilizar e interpretar los conceptos asociados a las variables aleatorias, tanto discretascomo continuas: funciones de probabilidad o de densidad, media o valor esperado y des-viación típica.

• Utilizar las distribuciones binomial y normal para el cálculo de probabilidades.

• Calcular situaciones asociadas a la distribución binomial mediante la distribución normal,haciendo uso adecuado de los valores tabulados de la distribución normal estándar.


CRITERIOS


1. Diez alumnos/as de un mismo curso hanrealizado en un mes dos exámenes de Ma-temáticas. Las calificaciones vienen dadasen la siguiente tabla:

a) Dibuja la nube de puntos. Ajusta a ojouna recta a la nube de puntos y estimael valor que tendrá el coeficiente de co-rrelación.

b) Calcula el coeficiente de correlación.Compara el resultado con el del coefi-ciente anterior.

c) Calcula las rectas de regresión.

c) Un alumno/a que sacase 6 en el segun-do examen, ¿qué calificación habría ob-tenido en el primer examen?

a) La nube de puntos, así como una recta ajustada aella, puede verse en la gráfica:

b) Llamando X a la variable primer examen e Y ala variable segundo examen, obtenemos los si-guientes parámetros:

El coeficiente de correlación es:

c) La recta de regresión de Y sobre X tiene porecuación:

La recta de regresión de X sobre Y tiene porecuación:

d) Sustituyendo y = 6 en la segunda recta de regre-sión, se obtiene:

Obtendría 6,2 en el segundo examen.

2. El volumen de importaciones y exportacio-nes (en millones de dólares) de algunospaíses europeos se recoge en la tabla si-guiente:

Calcula la correlación entre importaciones yexportaciones.

País RFA Francia R.Unido Suiza Italia URSS Holanda España

Export

Import

320 170 140 50 130 110 100 40

290 170 190 60 140 110 100 60

x

x

− = ⋅ − ⇒

⇒ =

6 84 64

2 336 6 7

6 2

2,

,

( , )( , )

,

x y− = ⋅ −6 84 64

2 336 7

2,

,

( , )( , ).

y x− = ⋅ −6 74 64

2 146 8

2,

,

( , )( , ).

r =⋅

=4 642 14 2 33

0 93,

, ,, .

x y

x y xy

= = = =

= = =

6810

6 86710

6 7

2 14 2 33 4 64

, ,

, , ,σ σ σ

7 49 6 36 42

9 81 8 64 72

4 16 4 16 16

8 64 8 64 64

10 100 10 100 100

68 508 67 503 502

x x y y x yi i i i i i2 2

4 16 5 25 20

7 49 8 64 56

6 36 5 25 30

9 81 10 100 90

4 16 3 9 12

⋅

Primerexamen

Segundoexamen

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

10987654321

1 4 7 6 9 4 7 9 4 8 10

2 5 8 5 10 3 6 8 4 8 10

º

º

ex.

ex.

ACTIVIDADES

Mediante la calculadora obtenemos:

El coeficiente de correlación de Pearson es:

3. Se lanzan dos dados y se suman los puntosobtenidos. Calcula la media y la desviacióntípica.

La función de probabilidad de la variable aleatoria aso-ciada es:

Su media es:

La desviación es:

4. Se elige al azar una familia de 6 hijos, ob-servando el número de hijos varones. Cal-cula la probabilidad de que la familia tenga:a) Tres hijos varones.b) Cuatro mujeres.c) Más de cuatro mujeres.d) Alguna mujer.

Es una distribución binomial B (6; 1/2). Por tanto:

a) P (Tres varones) =

b) P (Cuatro mujeres) = P (Dos varones) =

c) P (Más de 4 mujeres) = P (5 mujeres) + P (6 mujeres) =

0,0938 + 0,0156 =

= 0,1094.

d) P (Alguna mujer) = 1 – P (ninguna mujer) =

= 1 – P (seis hombres)

= 1 – 0,0156 = 0,9844.

5. La vida media de las baterías de un tractor,de una determinada marca, siguen una dis-tribución normal de media dos años y des-viación típica seis meses. Compramos unabatería de dicha marca. Calcula:

a) Probabilidad de que dure 17 meses omenos.

b) Probabilidad de que dure entre 20 y 32meses.

c) Probabilidad de que dure más de 38 me-ses.

Estamos ante una distribución normal N (24; 6).

a) P (X ≤ 17) = =

= P (Z ≤ –1,17) = 1 – P (Z ≤ 1,17) = 1 – 0,8790 =

= 0,121.

b) P (20 ≤ X ≤ 32) = =

= P (–0,67 ≤ Z ≤ 1,33) = P (Z ≤ 1,33) –

– P (Z ≤ –0,67) = 0,9082 – (1 – 0,7486) = 0,6568.

c) P (X ≥ 38) = = P (Z ≥ 2,33) =

= 1 – P (Z ≤ 2,33) = 1 – 0,9901 = 0,0099.

6. Se lanza un dado 100 veces. Calcula lasprobabilidades siguientes:

a) Salga 30 veces o más el número 5.

b) Salga menos de 25 veces el número 5.

c) El número 5 salga 20 veces.

Aproximamos la binomial B (100; 1/6) por una normal,

de media µ = n · p = 100 · = 16,67,

y desviación típica r = ⋅ ⋅ =10016

56

3 73, .

16

PX − ≥ −

246

38 246

PX20 24

624

632 24

6− ≤ − ≤ −

Px − ≤ −

246

17 246

= −

=160

12

6

=

+

=61

12

12

60

12

5 6

=

=62

12

12

0 23442 4

, .

63

12

12

0 31253 3

= , .

= =6 3333 2 52, , .

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =2136

3236

4336

5436

6536

7636

8536

9436

10336

11236

12136

72 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

r x pi ii

= − =∑ 2 2µ

µ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ = =

∑ x pi ii

2136

3236

4336

5436

6536

7636

8536

9436

10336

11236

12136

25236

7.

X

P

i

i

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

r =⋅

=5 70081 8 71 76

0 97, ,

, .

x yx y

xy

= = = =

=

132 5 81 8 140 71 76

5 700

, , ,σ σ

σ



La normal es N (16,67; 3,73).

a) P (X ≥ 29,5) = =

= P (Z ≥ 3,43) = 1 – P (Z ≤ 3,43) = 1 – 0,9997 =

= 0,0003.

b) P (X ≤ 24,5) = =

= P (Z ≤ 2,10) = 0,9821.

c) P (19,5 ≤ X ≤ 20,5) =

= =

= P (0,76 ≤ X ≤ 20,5) = P (Z ≤ 1,03) – P (Z ≤ 0,76)=

= 0,8485 – 0,7764 = 0,0721.

7. En un determinado centro de enseñanza sesabe que por término medio el 15 % de losestudiantes falta a clase una vez al mes. Se-leccionamos al azar un grupo de 8 estu-diantes un determinado mes.a) Halla la probabilidad de que ese mes no

haya faltado ninguno de ellos.b) Halla la probabilidad de que hayan fal-

tado más de 3 y menos de 6.

Es una binomial B(8; 0,15).

8. Las calificaciones de los alumnos en un exa-men de Matemáticas siguen una distribu-ción normal de media 6 y desviación típi-ca 1,5.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alum-no que se presente a su examen saqueuna nota igual o mayor de 7?

b) Si queremos seleccionar el 15 % de losalumnos mejores en su asignatura ¿apartir de qué nota hemos de hacerlo?

a)

b)

P X P Z P Z

P Z

P X k P Zk

P Zk

kk

≥( ) = ≥ −

= ≥( ) =

= − ≤( ) =

≥( ) = ≥ −

= ⇒

⇒ ≤ −

== ⇒

⇒ − = ⇒ =

77 61 5

0 67

1 0 67 0 2514

61 5

0 15

61 5

0 85

61 5

1 04 7 56

,,

, , .

,,

,,

,, ,

Se han de seleccionar a partir de Se han de seleccionar a partir de 7 56, .

b) P X P X P X< <( ) = =( ) + =( ) =

=

⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ =

=

3 6 4 5

8

40 15 0 85

8

50 15 0 85

0 021

4 4 5 3, , , ,

,

a) P X =( ) =

⋅ ⋅ =0

8

00 15 0 85 0 270 8, , ,

PX19 5 16 67

3 7316 67

3 7320 5 16 67

3 73, ,

,,

,, ,

,− ≤ − ≤ −

PX − ≤ −

16 673 73

24 5 16 673 73

,,

, ,,

PX − ≥ −

16 673 73

29 5 16 673 73

,,

, ,,


Resolución de problemasResolución de problemasResolución de problemas

IVIVIV

Los diferentes contenidos relacionados con la resolución de problemas se han distribuido a lo lar-go de cada una de las Unidades Didácticas descritas con anterioridad. Los aspectos considerados sonlos que siguen.

CONCEPTOS

1. ¿Qué es un problema?

2. Protocolo de un problema.

3. Modelos de resolución deproblemas.

4. Fase de familiarización conel problema.

5. Fase de búsqueda de estra-tegias.

6. Fase de llevar adelante laestrategia.

7. Fase de revisar el proceso ysacar consecuencias de él.

8. Simplificar. Particularizar.

9. Experimentación.

10. Ensayo y error.

11. Organización.

12. Modificar el problema.

13. Codificación: Elección dellenguaje y notación ade-cuados.

14. Analogía. Semejanza.

15. La simetría y los casos lí-mite.

16. Trabajar marcha atrás.

– Mostrar interés por los diversosaspectos de la resolución deproblemas.

– Presentar curiosidad por en-frentarse a problemas, investi-gaciones y, en definitiva, a si-tuaciones desconocidas.

– Habituarse a recorrer todas lasfases que describe un modeloen la resolución de cualquierproblema.

– Perseverancia en la búsquedade la solución de un problema.

– Flexibilidad en la fase de apli-cación de las estrategias queposibilitan la resolución de unproblema.

– Interés y respeto por las estrate-gias y soluciones distintas a laspropias.

– Gusto por la presentación orde-nada y clara del proceso segui-do y de los resultados obtenidosen la resolución de problemas.

– Tomar conciencia de la impor-tancia de los aspectos de la re-solución de problemas en suaplicación a situaciones de lavida cotidiana.

• Formulación clara y precisa decada una de las fases de la re-solución de un problema.

• Planificación y realización in-dividual o colectiva, buscandoformas propias de actuación,del desarrollo del protocolo dela resolución de un problema.

• Elección de la estrategia apro-piada en la resolución de unproblema, después de haberconsiderado las estrategiasque no hacen avanzar en laresolución.

• Diferenciación de las estrate-gias y las pautas que nos per-miten resolver un problema.

• Aplicación de las pautas y es-trategias propias de la resolu-ción de problemas a cualquie-ra de las situaciones de lasMatemáticas, en particular acuestiones y actividades detipo numérico, algebraico,geométrico, analítico, estadísti-co y probabilístico.

• Manejo de todas las estrategiasdescritas para su posterior usoy aplicación.


mate y sociedad

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