MATEMATICA 1 ACTIVIDAD 5.

Parte D. Gustavo Miguel Fernndez.

En esta instancia colaborativa de aprendizaje y junto a su compaero de grupo:

Seleccione un ejercicio del Listado de ejercicios adjunto en el pizarrn de la Actividad 5. Comunique el ejercicio seleccionado en el pizarrn de la Actividad 5. Resuelva ejercicio seleccionado.

Puntaje mximo: 10 puntos.

Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformacin matricial (transformacin lineal TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbologa matemtica): a) El vector genrico TX. b) El ncleo de esta TL. c) Los autovalores de la TL. d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor. Adems: e) Grafique cada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado. f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices? h) Plantee la transformacin inversa.

Use paquetes informticos en los clculos. Las matrices que se dan originan diferentes casos: diagonalizable, no diagonalizable; uno, dos, tres autovalores diferentes; autovalor de multiplicidad superior a 1; uno, dos, tres, autovectores LI, etc, etc. La idea es cubrir diversidad de situaciones que nos lleven a esclarecer ideas. Pregunte sus dudas estudiamos y aprendemos juntos! No est solo! O no nota que le tengo su mano?

5 5 913 8 9 18

2 3 7A

,

1 3 913 0 5 18

0 2 7B

A13 y B13 coinciden en autovalores pero no en autovectores

Planteamos la transformacin lineal:

Hacemos A13 = T y tenemos:

: . Si: =

tenemos:

. = 5 5 98 9 182 3 7 . = 5 5 98 + 9 + 182 3 7

Punto a : El vector genrico TX.

Vector genrico: . = 5 5 98 + 9 + 182 3 7

Punto b : El ncleo de esta TL.

El nucleo de la transformacin T es el conjunto de vectores X tales que T.X=0.

= { /. = 0} 5 5 98 9 182 3 7 . = 000

Ahora planteamos el SEL cuya matriz ampliada es:

5 5 9 08 9 18 02 3 7 0

Y lo solucionamos con paquete informtico:

Por lo tanto:

= 000

Punto c : Los autovalores de la TL.

Encontrar los autovalores de la transformacin equivale a encontrar un escalar real k tal que:

. = . Manipulando algebraicamente la ecuacin tenemos:

0 = . = . . . = ( . ). Y como por hiptesis X no es nulo:

0 = . = 5 5 98 9 182 3 7 1 0 00 1 00 0 1 = 5 5 98 9 182 3 7 0 00 00 0 = 5 5 98 9 182 3 7

Y para que el SELH tenga infinitas soluciones incluida la nula usamos el hecho que: det( . ) = 0

Podemos ver que: () 3 3 1 = ( + 1) Y por lo tanto : ( + 1) = 0 = 1 Nuestro autovalor es entonces : =

Punto d: Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.

Para encontrar los autovectores hacemos:

. = . = 1. (puesto que nuestro autovalor es -1) 5 5 98 + 9 + 182 3 7 = 1. = 5 5 98 + 9 + 182 3 7 = 4 5 98 + 10 + 182 3 6 = 0

Ahora buscamos la solucin del SELH:

4 5 98 + 10 + 182 3 6 = 000

Como conclusin tenemos que la base para nuestros autovectores asociados al autovalor k=-1 es: .

Los autovectores de nuestra transformacin pertenecen a .

Punto e: Grafique cada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado

El espacio generado por el autovector es la recta que pasa por el punto cero y (1.5,-3,1).

Punto f: Analice si A es diagonalizable

En nuestro caso contamos con un solo autovalor k = -1. Esto hace que tengamos como base de autovectores a un solo vector 3 x 1.

La matriz P, cuyas columnas son cada uno de los autovectores ser entonces 3 x 1.

Como P no es cuadrada tampoco tiene inversa y por lo tanto T no es diagonalizable.

Punto h: Plantee la transformacin inversa.

La transformacin inversa est asociada a la matriz inversa de T. : ,:

Para probar esto apliquemos T a un vector genrico:

Ahora al vector resultante le apliquemos T-1:

Vemos que llegamos nuevamente al vector genrico.