mat2-matriks

MATEMATIKA IIBahan Ajar untuk Kalangan Sendiri Oleh:MASDELIMA DALIMUNTHE, SE. MM

INSTITUT BISNIS & MULTIMEDIAJl. Pacuan Kuda No: 1-5, Pulo Mas Jakarta Timur 2012

Tujuan MK : Matematika II Mahasiswa dapat mengetahui, memahami bahwa pengetahuan matematika dapat mengambil solusi dalam ekonomi dan bisnis dengan batasan / sifat multivariat

Buku sumber : Matematika II1. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Dumairy,2010, BPFE Yogyakarta 2. Matematika I dan II, Alpha C. Chiang 3. Matematika Keuangan, Budi Frensidy, 2006, Buku 2, Penerbit Salemba 4

3

Matematika IITiori Matriks Pengertian Operasi Matriks Determinan Minor Kofaktor

Deferensial Fungsi Multivariat Aplikasi Def fs Multivariat dalam Ekonomi dan Bisnis Representasi Kurva Linear

Deret Hitung dan Deret Ukur

Adjoin Matriks Invers MaktrisPersamaan Linear yang Simultan

Matematika II

PENGERTIAN:4

Matriks : Kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang berbentuk empat persegi panjang, serta termuat di antara dua tanda kurung.

A=

a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn: : :

A tauA=

a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn: : :

Matematika II

Keterangan : Notasi Unsur:

aij

5

i = baris j = kolomcontoh: a1 3

baris maka a13 menunjukkan unsur terletak pada baris 1 dan kolom 3 Unsur : Bilangan yang terkandung di dalam suatu matriks atau disebut

kolom

juga elemen

Baris : Deretan-deretan horizontal dari suatu bilangan Kolom : Deretan-deretan vertikal dari suatu bilangan

Matematika II Keterangan :6

Ciri -ciri:

1. Lambang : - Huruf besar ( dari Alfabet ) dan - Notasi unsur (huruf kecil) disajikan di dalam dua tanda kurung contoh: A = ( aij ) = [ aij ]2. Berdasarkan kolom dan baris: - Matriks berukuran m x n atau disebut juga matriks berorde m x n - matriks bujur sangkar (square matrix) yaitu jumlah m = n

A m x n = ( aij ) m x n = [ aij ] m x n

Matematika II Contoh :7

1 3 -2 6 9 5 1 4 -5 3 5 7 3 14 10 9 1 1 5 -5 2 7 3 5 3 9 -4 3 -6 2 11

Matriks berorde 2 x 3 atau matriks A 2 x 3

Matriks berorde 3 x 2 atau matriks B 3 x 2

Matriks berorde 5 x 3 atau matriks C

5x3

Matriks berorde 2 x 2 atau matriks D 2 x 2

Matematika II Vektor :

Bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom.8

Jenis Vektor:

a. Vektor Baris atau matriks yang berbaris tunggal b. Vektor Kolom atau matriks yang berkolom tunggal Ciri-ciri Vektor:

a. Lambang : - huruf kecil bercetak tebal : a atau b - huruf kecil biasa dan beranak panah: a atau b b. Notasi Unsur : dilambangkan dengan huruf kecil sesuai nama vektornya dan diikuti oleh indeks kolom atau indeks barisnya. aj = unsur vektor baris a kolom ke j bi = unsur vektor kolom b baris ke I c. Dimensi mencerminkan banyaknya unsur vektor

Matematika II

9

Contoh : a = ( 2 4 5 1 ) adalah vektor baris berdimensi 4 , atau A = ( 2 4 5 1) adalah matriks berode 1 x 4

c =

-1 2 3

adalah vektor kolom berdimensi 3 ,C=

atau

-1 2 3

adalah matriks berode 3 x 1

10

Matematika IITiori Matriks Pengertian Operasi Matriks Determinan Minor Kofaktor

Deferensial Fungsi Multivariat Aplikasi Def fs Multivariat dalam Ekonomi dan Bisnis Representasi Kurva Linear



Matematika II

OPERASI MATRIKS:11

1. Penjumlahan dan Pengurangan 2. Perkalian Matriks 1. Penjumlahan dan Pengurangan Syarat : jumlah baris dan kolom dari 2 buah atau lebih matriks harus sama

A 2x3 B 2x3= C 2x3

a11 a12 a13 a21 a22 a23

b11 b12 b13 b21 b22 b23

=

Matematika II

OPERASI MATRIKS:12

a11 b11 a12 b12 a13 b13 c11 c12 c13 a21 b21 a22 b22 a23 b23 c21 c22 c23Contoh : A 2x3 + B 2x3= C 2x3

=

c11 c12 c13 c21 c22 c23

10 -5 20 8

15 12

+

9 2

15 10 8 5

=

Matematika II

OPERASI MATRIKS:13

10 + 9 c11 20 + 2 c21

-5 + 15 c12 8 + 8 c22

15 + 10 c13 12 + 5 c23

=

19 22

10 16

25 17

2. Perkalian Matriks: Syarat : jumlah kolom pada matriks pengali sama dengan jumlah baris pada matriks yang dikalikan

A 2x3 x B 3x3= C 2x3a11 a12 a13 a21 a22 a23 x b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 = c11 c12 c13 c21 c22 c23

Matematika II

Teknis Operasi Perkalian Matriks:14

a11 a12 a13 a21 a22 a23 x

b11 b21 b31

b12 b13 b22 b23 b32 b33 =

a11.b11+a12.b21+a13.b31 c11

a11.b12+a12.b22+a13.b32 a11.b13+a12.b23+a13.b33 c12 c13

a21.b11+a22.b21+a23.b31 a21.b12+a22.b22+a23.b32 a21.b13+a22.b23+a23.b33 c21 c22 c23

Matematika II

contoh :4 2

A 2x3 x B 3x3 = C 2x315

-3 1

8 5 x

5 -4 6

3 2 -2

1 7 0 =

4.5+(-3).(-4)+8.6 c11 2.5+1.(-4)+5.6 c21

4.3+(-3).2+8.(-2) c12 2.3+1.2+5.(-2) c22

4.1+(-3).7+8.0 c13 2.1+1.7+5.0 c23

Matematika II

contoh :4 2

A 2x3 x B 3x3 = C 2x316

-3 1

8 5 x

5 -4 6

3 2 -2

1 7 0 =

20+12+48 12-6-16 c11 c12 10-4+30 6+2-10 c21 c22

4-21+0 c13 2+7+0 c23

80 -10 -17

=

36 -2

9

17

Matematika IITiori Matriks Pengertian Operasi Matriks Deferensial Fungsi Multivariat Determinan Aplikasi Def fs Multivariat dalam Ekonomi dan Bisnis Representasi Kurva Linear Minor Kofaktor



Matematika II

DETERMINAN

18

Syarat : 1. matriks bujur sangkar 2. unsur terletak diantara garis vertikal 3. hasil dalam bentuk bilangan skalar Jenis Determinan : 1. determinan dari matriks berorde 2x2 2. determinan dari matriks berorde 3 x3 3. determinan dari matriks berorde > 3 x3 1. Determinan dari matriks berorde 2x2

A =

a11 a12 a21 a22

Matematika II

DETERMINAN

19

Teknis Determinan dari matriks berorde 2x2 :

| A |=Contoh :

a11 a12 a21 a22

= a11.a22 - a21.a12

A =Jawab :

11 5

8 4

| A |=

11 5

8 4

= 11.4 - 5.8 = 44 40 = 4

Matematika II

DETERMINAN20

2. Determinan dari matriks berorde 3 x3

A =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Teknis Determinan dari matriks berorde 3x3 : a. Metode Diagonal :

a11 | A |= a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

= a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a32.a21 (a11.a23.a32 + a21.a12.a33 + a31.a22.a13)

Matematika II

DETERMINAN21

2. Determinan dari matriks berorde 3 x3

A =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Teknis Determinan dari matriks berorde 3x3 : b. Metode Sarrus :

a11 | A |= a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a21 a31

a12 = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a32.a21 (a11.a23.a32 + a22 a21.a12.a33 + a31.a22.a13) a32

Matematika II

DETERMINAN22

Contoh:

A =

2 1 7

6 3 8

5 4 9

Jawab (Metode Diagonal ):

2 | A |= 1 7

6 3 8

5 4 9

= (2.3.9 + 6.4.7 + 5.1.8 ) (7.3.5 + 8.4.2 + 9.1.6 ) = (54 + 168 + 40) (105 +64 +64 ) = 262 223 = 39

Matematika II

DETERMINAN23

Contoh:

A =

2 1 7

6 3 8

5 4 9

Jawab (Metode Sarrus ):

2 | A |= 1 7

6 3 8

5 4 9

2 1 7

6 3 8

= (2.3.9 + 6.4.7 + 5.1.8 ) (7.3.5 + 8.4.2 + 9.1.6 ) = (54 + 168 + 40) (105 +64 +64 ) = 262 223 = 39

24

Matematika IITiori Matriks Pengertian Operasi Matriks Deferensial Fungsi Multivariat Determinan Aplikasi Def fs Multivariat dalam Ekonomi dan Bisnis Representasi Kurva Linear Minor Kofaktor



Matematika II

DETERMINAN

25

3. Determinan dari matriks berorde > 3 x3 ada 2 cara : a. Minor b. Kofaktor a. MINOR: adalah sub determinan

A =

2 1 7

6 3 8

5 4 9

Menentukan determinan dengan Minor: contoh 1: - baris 1 sebagai acuan - unsur-unsur a11 = 2; a12 = 6; a13 = 5 - minor-minor M11, M12, dan M13

Matematika II

DETERMINANM11 = M12 = M13 = A A 1 7 3 8 1 7 4 9

26

= 3.9 - 8.4 = 27 - 32 = - 5

4 = 1.9 7.4 = 9 28 = -19 9 3 8 = 1.8 - 7.3 = 8 21 = -13

= a11.M11 a12.M12 + a13.M13 = (2.-5 ) (6.-19 )+ (5. -13) = -10 + 114 65 = 39

Matematika II

DETERMINAN Contoh 2: - kolom 2 sebagai acuan

27

- unsur-unsur a12 = 6; a22 = 3; a32 = 8 - minor-minor M12, M22, dan M32

M12 =

1 7 2 7 2 1

4 9 5 9 5 4

= 1.9 - 7.4 = 9 28 = - 19

M22 = M32 =A A

= 2.9 - 7.5 = 18 35 = - 17 = 2.4 - 1.5 = 8 5 = 3

= - a12.M12 + a22.M22 - a32.M32 = - (6.-19 ) + (3.-17 )- (8. 3) = 114 51 -24 = 39

28

Matematika IITiori Matriks Pengertian Operasi Matriks Deferensial Fungsi Multivariat Determinan Aplikasi Def fs Multivariat dalam Ekonomi dan Bisnis Representasi Kurva Linear Kofaktor Deret Hitung dan Deret Ukur Minor


Matematika II

DETERMINAN

29

3. Determinan dari matriks berorde > 3 x3 ada 2 cara : a. Minor b. Kofaktor b. KOFAKTOR: Menentukan determinan dengan Kofaktor: contoh 1: - baris 1 sebagai acuan - unsur-unsur a11 = 2; a12 = 6; a13 = 5 - minor-minor M11 = -5 , M12 = -19 , dan M13 =-13 - kofaktor-kofaktor C11 , C12, dan C13

A

= a11.C11 + a12.C12 + a13.C13

Matematika II

DETERMINANC11 = (-1) 1+1 . M11

30

= (-1) 2 . -5 = 1 . -5 = -5 C12 = (-1) 1+2 . M12 = (-1) 3 . -19 = - 1 . -19 = 19 C13 = (-1) 1+3 . M13 = (-1) 4 . -13 = 1 . -13 = -13 maka determinan:

A A

= a11.C11 + a12.C12 + a13.C13 = 2.-5 + 6.19 + 5.-13 = -10 + 114 - 65 = 39

Matematika II

DETERMINAN

Menentukan determinan dengan Kofaktor: contoh 2: - kolom 2 sebagai acuan - unsur-unsur a12 = 6; a22 = 3; a32 = 8 - minor-minor M12 = -19 , M22 = -17 , dan M32 =3 - kofaktor-kofaktor C12 , C22, dan C32

31

A

= a12.C12 + a22.C22 + a32.C32 C12 C22 C32 = (-1) 1+2 . M12 = (-1) 3 . -19 = - 1 . -19 = 19 = (-1) 2+2 . M22 = (-1) 4 . -17 = 1 . -17 = - 17 = (-1) 3+2 . M32 = (-1) 5 . 3 = - 1 . 3 = -3

A

= 6. 19 + 3.-17 + 8.-3 = 114 51 24 = 39

32

Matematika IITiori Matriks Pengertian Operasi Matriks Deferensial Fungsi Multivariat Determinan Aplikasi Def fs Multivariat dalam Ekonomi dan Bisnis Representasi Kurva Linear Kofaktor Deret Hitung dan Deret Ukur Adjoin Matriks Minor

Invers MaktrisPersamaan Linear yang Simultan

Matematika II

ADJOIN MATRIKS

33

Adalah matriks kofaktor yang di transpose contoh:

A =

2 1 7

6 3 8

5 4 9

Langkah-langkah:

1. Tentukan matriks minor:M11 = 3 8 1 7 4 9 4 9 = 3.9 - 8.4 = 27 32 = - 5 = 1.9 7.4 = 9 28 = - 19

M12 =

Matematika II

ADJOIN MATRIKS1. Tentukan matriks minor:

34

M13 = M21 =

1 7 6 8 2 7

3 8 5 9 5 9

= 1.8 - 7.3 = 8 21 = - 13 = 6.9 8.5 = 54 40 = 14

M22 =

= 2.9 7.5 = 18 35 = - 17

M23 = M31 =

2 76 3

6 85 4

= 2.8 7.6 = 16 42 = - 26 = 6.4 3.5 = 24 15 = 9

Matematika II

ADJOIN MATRIKSM32 = M33 = 2 1 2 1 5 4 6 3

35

= 2.4 - 1.5 = 8 5 = 3 = 2.3 1.6 = 6 6 = 0

Matriks minor:

M =

-5 -19 -13 14 -17 -26 9 3 0

2. Tentukan matriks kofaktor:

Matematika II

ADJOIN MATRIKSC11 = (-1) 1+1 . M11

36

2. Tentukan matriks kofaktor:= (-1) 2 . -5 = 1 . -5 = -5 C12 = (-1) 1+2 . M12 = (-1) 3 . -19 = -1 . -19 = 19 C13 = (-1) 1+3 . M13

= (-1) 4 . -13 = 1 . -13 = -13C21 = (-1) 2+1 . M21 = (-1) 3 . 14 = -1 . 14 = -14

Matematika II

ADJOIN MATRIKS:C22 = (-1) 2+2 . M22

37

= (-1) 4 . -17 = 1 . -17 = -17 C23 = (-1) 2+3 . M23 = (-1) 5 . -26 = -1 . -26 = 26

C31

= (-1) 3+1 . M31= (-1) 4 . 9 = 1 . 9 = 9

C32

= (-1) 3+2 . M32 = (-1) 5 . 3 = -1 . 3 = -3

C33

= (-1) 3+3 . M33 = (-1) 6 . 0 = 1 . 0 = 0

Matematika II

ADJOIN MATRIKSMatriks Kofaktor:

38

C =

-5 19 -13 -14 -17 26 9 -3 0

3. Tentukan Adjoin matriks :Adalah matriks kofaktor (C) yang di transpose dengan merubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

Adj CT =

-5 -14 9 19 -17 -3 -13 26 0

39

Matematika IITiori Matriks Pengertian Operasi Matriks Deferensial Fungsi Multivariat Determinan Aplikasi Def fs Multivariat dalam Ekonomi dan Bisnis Representasi Kurva Linear Minor Kofaktor Adjoin Matriks Invers Matriks Persamaan Linear yang Simultan


Matematika II

INVERS MATRIKS

40

Yaitu matriks balikan dari suatu matriks Syarat : 1. matriksnya harus matriks non singular yaitu matriks yang mempunyai determinan 2. bila matriks balikan dikalikan dengan matriks semula diperoleh matriks satuan yang ordenya sama

Langkah-langkah:

1. Tentukan determinan dari matriks :A = 2 1 7 6 3 8 5 4 9

Matematika II

INVERS MATRIKS:41

Contoh: (Metode Sarrus ):

2| A |= 1 7

63 8

54 9

21 7

63 8

= (2.3.9 + 6.4.7 + 5.1.8 ) (7.3.5 + 8.4.2 + 9.1.6 ) = (54 + 168 + 40) (105 +64 +64 ) = 262 223 = 39

2. Tentukan matriks minor:M = -5 -19 -13 14 -17 -26 9 3 0

Matematika II

INVERS MATRIKS:42

3. Tentukan matriks kofaktor:C = -5 19 -13 -14 -17 26 9 -3 0

4. Tentukan matriks transpose:C =T

-5 -14 9 19 -17 -3 -13 26 0

5. Tentukan matriks balikan:

Matematika II

INVERS MATRIKS:43

5. Tentukan matriks balikan:yaitu adjoin matriks dibagi determinan

CT A

=

-5 -14 9 19 -17 -3 -13 26 0 39

-5/39 -14/39 9/39

=

19/39 -17/39 -3/39 -13/39 26/39 0

= A -1

Matematika II

INVERS MATRIKS:PEMBUKTIAN:44

A-1 . A = I-5/39 -14/39 9/3919/39 -17/39 -3/39 -13/39 26/39 0 x 2 6 5 1 3 4 7 8 9

=

Matematika II

INVERS MATRIKS:PEMBUKTIAN:

45

A-1 . A = I-5/39.6+(-14/39.3)+9/39.8 -5/39.5+(-14/39.4)+9/39.9

-5/39.2+(-14/39.1)+9/39.7

19/39.2+(-17/39 .1)+(-3/39.7) 19/39.6+(-17/39.3)+(-3/39.8) 19/39.5+(-17/39.4)+(-3/39.9)

-13/39.2+ 26/39.1 + 0.7

-13/39.6+ 26/39.3 + 0.8

-13/39.5+ 26/39.4 + 0.9

-10/39+(-14/39)+63/39

-30/39+(-42/39)+72/39

-25/39+(-56/39)+81/39

38/39+(-17/39 )+(-21/39) 114/39+(-51/39)+(-24/39) 95/39+(-68/39)+(-27/39)

-26/39+ 26/39 + 0

-78/39+ 78/39 + 0

-65/39+ 104/39 + 0

Matematika II

INVERS MATRIKS:PEMBUKTIAN:46

A-1 . A = I

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=I

mat2-matriks

Documents