mat2-5 matriks

8/18/2019 Mat2-5 Matriks

1/22

duMairy — FEB UGM, (c) 2016

M A T R I K S

Matriks ialah kumpulan-bilangan non-numeris*) ygtersaji teratur dalam baris dan kolom sertatermuat di antara sepasang tanda kurung.

Bilangan2 di dalam sebuah matriks disebut unsur.Tanda kurung yang mengapit unsur2 matriks bisa

berupa tanda kurung biasa atau tanda kurungsiku, tetapi bukan tanda kurung kurawal.

*) Non-numeris maksudnya bukan merupakanbilangan tertentu, bukan mrpk nilai penyelesaian

tertentu.


2/22


a a2 !!! an

a2 a22 !!! a2n. . . .

Am×n = . . . .

. . . .amam2 !!! amn

m"n menunjukkan dimensi atau ordo matriks#m $ jumlah baris, n $ jumlah kolom)

aij merujuk ke unsur pada baris dan kolom tertentu

#baris ke-i dan kolom ke- j )


3/22


Beberapa Contoh Matriks

2 % &' ( ' (

&+

( + 2 ' '

ordo 2"( ("2 2"2

Matriks yg jumlah barisnya sama dengan jumlahkolomnya #m$n) disebut matriks bujursangkar.

ektor matriks sebaris #disebut /ektor baris)

matriks sekolom #disebut /ektor kolom)


4/22


Pengoperasian Matriks [1]

0perasi 1enjumlahan1engurangan

3ua buah matriks hanya dapat dijumlahkan

#atau dikurangkan) apabila keduanya seordo

#sama2 berdimensi m"n).

Am"n4 Bm"n $ Cm"n

A("'4 B("'$ C("'

dalam hal ini c ij $ aij 4 bij


5/22


Pengoperasian Matriks [2]

5yarat 1erkalian

3ua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila

jumlah-kolom matriks-terkali sama dengan

jumlah-baris matriks-pengali.

Am"n"Bn" p$Cm" p

A("'"B'"%$C("%

dalam hal ini c ij $ Σ#aij ⋅ bii )


6/22


Matriks-matriks Khas

Matriks Uaha! (transpose matrix )matriks hasil pengubahan matriks yang sudah ada

sebelumnya, baris2 dan kolom2nya saling bertukar letak.

Matriks "ia#$!a%

matriks bujursangkar yg semua unsurnya angka 6 ke7ualipada diagonal utama.

Matriks &ka%ar

matriks bujursangkar yg semua unsurnya pada diagonal

utama sama, selebihnya angka 6.Matriks &atua! atau Matriks 'd!titas

matriks bujursangkar yg semua unsurnya pada diagonal

utama angka , selebihnya angka


7/22duMairy — FEB UGM, (c) 2016


Matriks $%matriks yang semua unsurnya angka 6 #nol).

Matriks Ba%ika! (inverse matrix )

matriks yang merupakan hasil pembalikan matriks

bujursangkar tertentu

&imtrik (symmetric matrix )

matriks bujursangkar yang sama dengan matriks

ubahannya.Matriks &imtrik-Miri!# (skew symmmetric m*)

matriks bujursangkar yang sama dengan negati8

matriks ubahannya




Matriks +rt$#$!a%

matriks yang perkaliannya dengan matriks ubahannya

menghasilkan matriks satuan.

Matriks &i!#u%ar (singular matrix )matriks bujursangkat yang nilai determinannya nol.

Matriks $!-si!#ur%ar (non-singular matrix )

matriks bujursangkar yang nilai determinanya tidak nol

#ada, exists).

Matriks singular tidak mempunyai balikan. 5edangkan

matriks non-singular memiliki balikan #inverse).



"EEM'A

3eterminan ialah gugus bilangan berbentuk bujur-sangkar yg memiliki nilai numerik #penyelesaian).

a a2 . . . an

a2 a22 . . . a2n . . . . . . ! . . .

an an2 . . . ann

Matriks tidak memiliki nilai penyelesaian, hanyasekadar gugus bilangan, dan tidak selaluberbentuk bujursangkar.

.A.n/n $



EEE&A'A "EEM'A

Nilai penyelesaian sebuah determinan ialah jumlahhasil-kali unsur2 9kitas-kawah: dikurangi jumlah

hasil-kali unsur2 9kiwah-katas:.

kitas

ki3ah ka3ah

katas 4 $ s i t i 5

! ( # a t i 5


11/22


12/22


!y%saia! "trmi!a!

.A.(;( $ #aa22a(( 4 a2a2(a(4 a(a(2a2) —#a(a22a( 4 a(2a2(a4 a((a2a2)

.A.(;( $ aa22a(( 4 a2a2(a(4 a(a(2a2

a(a22a( a(2a2(a a((a2a2

Contoh

( 2 % % ' ( % 2

( 2 ' (

..(;($ ..(;($


13/22


M ' +

Minor # ij ) ialah sub-determinan yang diperolehdengan mengabaikan baris #i ) dan kolom # j )

tertentu dari determinan asalnya.

162 #ba7a minor


14/22


C$!t$h-c$!t$h Mi!$r

( % 2 ( % 2

2 ' 2 '

=umlah minor untuk setiap determinan $ n"n $ n2.

>itunglah minor-minor lainnya dari determinan di

atas?

.A. $ .A. $

µ


15/22


7uu!#a! Mi!$r d!#a! "trmi!a!

.A.(;( $ aa22a(( 4 a2a2(a(4 a(a(2a2 a(a22a( a(2a2(a a((a2a2

.A.(;(

$ #a

a22

a((

a(2

a2(

a

) 4 #a2

a2(

a(

a((a2a2) 4 #a(a(2a2 a(a22a( )

.A.(;( $ a#a22a(( a(2a2() 4 a2#a2(a( a((a2)

4 a(#a(2a2 a(a22)

.A.(;( $ a#a22a(( a(2a2() 4 a2# a2a(( 4 a(a2() 4 a(#a2a(2 a(a22)


16/22


7uu!#a! Mi!$r d!#a! "trmi!a!

.A.(;( $ a#a22a(( a(2a2() 4 a2# a2a(( 4 a(a2() 4 a(#a2a(2 a(a22)

.A.(;( $ a#a22a(( a(2a2() a2#a2a(( a(a2() 4 a(#a2a(2 a(a22)

.A.(;( $ a. µ


17/22


.A.n;n $ aij . µ ij @i,j $, 2, . . ,nA

jika #i+j ) genap tanda positi8

jika #i4j) ganjil tanda negati8

.A.n;n $ aij. µ ij

i tertentu #konstan)

j $ , 2, ! , n

i disebut operator

.A.n;n $ aij. µ ij

i $ , 2, ! , n j $ tertentu #konstan)

j disebut operator


18/22


.A.n;n $ aij. µ ij j $ , 2, !. ,n

.A.n;n $ aij. µ ij i $ , 2, !. ,n

.A.(;( $ a. µ


19/22


K+FAK+

o8aktor # ij ) adalah i;j $ #-)i+j . i;j

jika #i+j ) genap κ i;j $ µ i;j

jika #i4j) ganjil κ i;j $ µ i;j

Nilai determinan dapat juga dihitung melalui nilai2

ko8aktor, dengan rumus dasar

.A.n;n $ aij .κ ij @i,j $, 2, . . ,nA

i tertentu #konstan)

j $ , 2, ! , n

i $ , 2, ! , n

j tertentu #konstan)


20/22


MA'K& K+FAK+

Matriks o8aktor ialah matriks bujursangkar yang

unsur2nya terdiri atas ko8aktor2 #κ ij ) yang berasal

dari sebuah matriks asal.

κ κ 2 . . . κ n

κ 2 κ 22 . . . κ 2n

. . . . . . ! . . .κ n κ n2 . . . κ nn

ij n/n $


21/22


A"8+'

Cdjoin sebuah matriks ialah matriks-ubahan darimatriks ko8aktor sebuah matriks asal.

adj. A $ ij n/n κ κ 2 . . . κ n

κ 2 κ 22 . . . κ 2n

. . . . . . ! . . .

κ n κ n2 . . . κ nn

$


22/22


ma%ika! Matriks

Membalik matriks #inverting a matrix ) berarti

menemukan matriks-balikan dari sebuah matriks

asal. Balikan A dilambangkan dengan A—1. A—1

benar mrpk balikan dari A jika terbukti A.A

—1

$ '.=adi, membalik A berarti men7ari A—1 yg meme-

nuhi syarat A.A—1$ '. Matriks-balikan A—1 dapat

diperoleh dengan rumus

adj. A

. A . A—1 $

mat2-5 matriks

Documents