mat122 geometria c

Cuaderno de Aprendizaje – 2014

CUADERNO DE

APRENDIZAJE

GEOMETRÍA

Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Estimado Estudiante de AIEP, en este cuaderno de estudio, junto a cada

Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que

cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje

que debes lograr.

Esperamos que estas Ideas Claves, entregadas a modo de síntesis, te orienten

en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.

Mucho Éxito.

Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación

VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP


Las radianes están en torno a los 180 grados, por lo tanto, 180 = π rad. (grados π)/180 = rad. ; (rad 180)/π = grados.

0,413 60 = 24,78 = 24 minutos 0,78 60 = 47 segundos




UNIDAD 1: Trigonometría y Geometría Analítica

APRENDIZAJE ESPERADO

1. Resuelve problemas geométricos aplicando razones trigonométricas.

Criterio 1.1. Expresa medidas angulares en grados sexagesimales, radianes y grados

centesimales con la calculadora.

Los ángulos sexagesimales se caracterizan por tener grados, minutos y segundos. 1 grado = 60 minutos = 3600 segundos 1 minuto = 60 segundos. Los ángulos centesimales están en torno a los 400 grados. 400/360 = 1,11111 Por lo tanto, 1 grado = 1 ,111 grados centesimales.

o . .

Ejercicio 1 Transformar los siguientes grados decimales a sexagesimales:

a) 35,413 b) 17,512 c) 20,975

Solución:

a) 35,413 = 35°

. .

Por lo tanto, tenemos que 35,413° equivalen a 35°24’47”

b) 17,512 = 17°

. .

Por lo tanto, tenemos que 17,512° equivalen a 17°30’43”

c) 20,975 = 20°

. .

Por lo tanto, tenemos que 20,975 equivalen a 20°58’30”


a) 35,42 b) 21,18 c) 20 58’30”

a) 35,42 1.111111 = 39,356c

b) 21,18 1.111111 = 23,53c

c) 20 58’30” = 20 +(58/60 + 30/3600) = 20,975

20 58’30” = 20,975 1,111111 = 23,31c

a) 51 42’25” b) 51 25’43”

((2/7) π 180)/ π ((2/7) 180)

0,4286 60= 25,716 minutos 0,716 60 = 43 segundos

Por lo tanto, tenemos que (2/7)π rad equivale a 51 25’43”


Ejercicio 2 Transformar los siguientes grados a grados centesimales:

o

Solución:

.

.

o

Así,

o .

Ejercicio 3 Dado el siguiente ángulo (2/7) π rad. Determine su equivalencia en grad os sexagesimal.

o o

c) 51°42’86’’ d) 52 ⅕

Solución:

. .

51,4286 = 51 o

. .

o

Respuesta: La alternativa correcta es b.

Ejercicio 4

Al convertir a grados sexagesimales resulta:

a) 60°. b) 120°. c) 150°. d)270°. Alternativa Correcta: B


C

C


Criterio 1.2. Calcula las 6 razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Ejercicio 5 De un triángulo rectángulo ABC, se sabe que sus lados a= 6 cm y b= 8 cm. Calcule las 6 razones trigonométricas de α: Solución:

a2 b

2

6

2 8

2

C 10 sen α = 6/10 cosec α= 10/6 sen α = 0,6 cosec α= 1,6666

cos α = 8/10 sec α = 10/8

cos α = 0,8 sec α= 1,25

tg α = 6/8 cotg α = 8/6

tg α = 0,75 cotg α= 1,33333 Ejercicio 6 Determine el seno, coseno y tangente para α y β.

Solución: Para α Sen α = 40/50 Sen α = 0,8

Cos α = 30/50

Cos α = 0,6

Tg α = 40/30

Tg α = 1.33

Para β Sen β = 30/50 Sen β = 0,6

Cos β = 40/50

Cos β = 0,8

Tg β = 30/40

Tg β = 0,75


75 sen 70° = h h = 70,4769

A = (b h)/2 A = ( 115 70,4769)/2

Respuesta: Por lo tanto, el área de la parcela triangular es de 4052,42 m .


Ejercicio 7

En un triángulo rectángulo se tiene que: cos

corresponde?

a) Obtusángulo. b) Equilátero.

c) Isósceles. d) Escaleno.

Solución:

2

2

. ¿A qué tipo de triángulo rectángulo

Sabemos que cos 45 2 2

. Por lo que el otro ángulo agudo también mide 45°. El triángulo

rectángulo que tiene sus dos ángulos agudos iguales es el triángulo Isósceles.

Ejercicio 8

Si tg 5

12 y es un ángulo agudo, entonces sen

a) 12 b)

13

12 c) 5 d)

5 12

5

13

Ubicar en un triángulo rectángulo, los catetos 5 y 12. Aplicar Pitágoras para determinar la hipotenusa, y luego escribir la función seno. Alternativa Correcta: D

Criterio 1.3. Resuelve triángulos aplicando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente, incluyendo cálculo de lados y de ángulos medidos en distintas unidades.

Ejercicio 9 Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que 2 de sus lados miden 75 y 115 metros respectivamente y forman entre ellos un ángulo de 70°. Solución:

Primero, determinamos la altura. sen 70° = h/75

.

Ahora, calcularemos el área:

. .

A = 4052,42 m 2

2


1,22173 rad = (1,22173 180)/π = 70

pueblo, con un ángulo de depresión de 20 . ¿A qué distancia del pueblo vuela el helicóptero?


Ejercicio 10 Hallar el radio de una circunferencia, sabiendo que una cuerda de 24,6 m., tiene un arco correspondiente de 1,22173 rad. Solución:

. 0

Luego, AOB 70 AOH 35 Ahora, calcularemos el radio. Sen35° = 12,3/ AO AO = 12,3 / sen 35° AO = 21,44 m Respuesta: El radio de la circunferencia es 21,44 m. Ejercicio 11 Un helicóptero está volando a 1200 metros de altura. Desde el helicóptero se visualiza un

0

a) 3508,56 m. b) 3962,97 m c) 3967,79 m. d) 5380,56 m.

Solución: sen 20° = 1200/d d= 1200/sen 20° d= 3508,56 m Respuesta: La alternativa correcta es a.

Ejercicio 12 La medida del ángulo β es: a) 71,5 b) 57,1 c) 18,5 d 17,5

Alternativa Correcta: D


α = tg 0,7907 = 38,33°

1968,504 2,54 = 5000 /100 = 50 m.

(0,43633 180)/π = 25 grados.

Tg 65 50 = x

196,85 2,54 = 500 /100 = 5 m.


Criterio 1.4. Resuelve, contextualizados en la especialidad, problemas reducibles a la trigonometría de triángulos rectángulos, operando con razones trigonométricas seno, coseno y tangente y sus inversas, utilizando distintas medidas lineales y angulares.

Ejercicio 13 Si un hombre de 1,70 metros de altura proyecta una sombra de 215 cm. de longitud. Encuentre el ángulo de elevación que hay desde el borde de la sombra al sol. Solución: tg α = 1,70 / 2,15

tg α = 0,7907

-1

Respuesta: El ángulo de elevación es de 38,33° Ejercicio 14 En la torre de un faro que está a una altura de 1968,504 pulgadas del piso, el vigilante advierte que se aproxima un barco, formando un ángulo de depresión de 0,43633 rad. Determine la distancia en metros que separa el barco del faro. Solución: 1 pulgada = 2,54 cm

.

.

Tg 65 = x/50

.

x = 107, 23 m. Respuesta: Por lo tanto, la distancia que separa el barco del faro es de 107,23 metros. Ejercicio 15 Una escalera se encuentra apoyada en la pared de un edificio alcanzando una altura de 196,85 pulgadas desde el piso, formando un ángulo de elevación de 55°8’24”. Determine la longitud de la escalera en metros.

a) 6,18. b) 6,09. c) 6,00. d) 5,09.

Solución: 1 pulgada = 2,54 cm

.

55 +(8/60 + 24/3600) = 55,14 grados sen 55,14 = 5/d d = 5/ sen 55,14 d = 6,09 m

Respuesta: Por lo tanto, la longitud de la escalera es de 6,09 metros



Ejercicio 16 Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30 como se muestra en la

figura. ¿A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que

alcanza una altura de 1.500 metros? a) 3.000. b) 1.732. c) 1.299. d) 750.

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