mat._1_-_cap._1

Lista de Exercícios Complementares

MAT. 1 – Capítulo 1 Prof. Flávio Lemos

1

1. (Ime 2016) Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto

G H é igual ao conjunto:

a) (G F) (F H) b) (G H) (H F)

c) (G (H F)) H d) G (H F)

e) (H G) (G F)

2. (Ueg 2016) Dados os conjuntos 42/ xRxA e

0/ xRxB . A intersecção entre eles é dada pelo conjunto:

a) 40/ xRx b) 0/ xRx

c) 2/ xRx d) 4/ xRx

3. (Imed 2015) Dos 500 alunos matriculados em uma escola,

constatou-se que:

- 40% do total frequenta oficinas de xadrez;

- 35% do total frequenta oficinas de robótica;

- 75 alunos cursam, simultaneamente, xadrez e robótica;

- x alunos cursam outras oficinas. Com base nessas informações, o número de alunos que frequentam outras oficinas é:

a) 75. b) 100. c) 125.

d) 200. e) 300.

4. (Uern 2015) Uma empresa de software aloca seus funcionários em duas equipes de trabalho: manutenção e atendimento. Sabe-se que

80% de seus funcionários trabalham na equipe de manutenção e

35% na equipe de atendimento. Sabendo-se que essa empresa possui

500 funcionários e que um funcionário não precisa necessariamente

trabalhar em uma única equipe, então o número de funcionários que trabalham nas equipes de atendimento e de manutenção é:

a) 50. b) 60. c) 65. d) 75.

5. (Uece 2015) Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangeiras,

174 alunos estudam inglês e 186 alunos estudam chinês. Se, neste

grupo, ninguém estuda outro idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um idioma é :

a) 236. b) 240. c) 244. d) 246.

6. (Pucpr 2015) Em uma enquete, com 500 estudantes, sobre a

preferência de cada um com três tipos diferentes de sucos (laranja,

manga e acerola), chegou-se ao seguinte resultado: 300 estudantes

gostam do suco de laranja; 200 gostam do suco de manga; 150

gostam do suco de acerola; 75 gostam dos sucos de laranja e acerola;

100 gostam dos sucos de laranja e manga; 10 gostam dos três sucos e

65 não gostam de nenhum dos três sucos. O número de alunos que

gosta dos sucos de manga e acerola é:

a) 40. b) 60. c) 120.

d) 50. e) 100.

7. (Mackenzie 2015) Se 60/ dedivisoréxNxA e

51/ xNxB então o número de elementos do conjunto

das partes de A B é um número:

a) múltiplo de 4, menor que 48.

b) primo, entre 27 e 33.

c) divisor de 16.

d) par, múltiplo de 6.

e) pertencente ao conjunto 4032/ xRxB

8. (Uerj 2015) Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grêmio e

O Estudante. Em relação à leitura desses jornais, por parte dos 840

alunos da escola, sabe-se que:

- 10% não leem esses jornais;

- 520 leem o jornal O Estudante;

- 440 leem o jornal Correio do Grêmio.

Calcule o número total de alunos do colégio que leem os dois jornais.

9. (Uece 2015) No colégio municipal, em uma turma com 40 alunos,

14 gostam de Matemática, 16 gostam de Física, 12 gostam de

Química, 7 gostam de Matemática e Física, 8 gostam de Física e

Química, 5 gostam de Matemática e Química e 4 gostam das três

matérias. Nessa turma, o número de alunos que não gostam de nenhuma das três disciplinas é:

a) 6. b) 9. c) 12. d) 14.

10. (Uemg 2015) Em uma enquete sobre a leitura dos livros selecionados para o processo seletivo, numa universidade de determinada cidade,

foram entrevistados 1200 candidatos. 563 destes leram “Você Verá”,

de Luiz Vilela; 861 leram “O tempo é um rio que corre”, de Lya Luft;

151 leram “Exílio”, também de Lya Luft; 365 leram “Você Verá” e “O

tempo é um rio que corre”; 37 leram “Exílio” e “O tempo é um rio que

corre”; 61 leram “Você Verá” e “Exílio”; 25 candidatos leram as três

obras e 63 não as leram. A quantidade de candidatos que leram

apenas “O tempo é um rio que corre” equivale a:

a) 434. b) 484. c) 454. d) 424.

11. (Pucrs 2015) Numa escola de idiomas, 250 alunos estão

matriculados no curso de inglês, 130 no de francês e 180 no de

espanhol. Sabe-se que alguns desses alunos estão matriculados em 2,

ou até mesmo em 3 desses cursos. Com essas informações, pode-se

afirmar que o número de alunos que estão matriculados nos três cursos é, no máximo,

a) 130 b) 180 c) 250

d) 310 e) 560

12. (Espcex (Aman) 2014) Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação a seus três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. Os resultados indicaram que: - 65 pessoas compram cream crackers. - 85 pessoas compram wafers. - 170 pessoas compram biscoitos recheados. - 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. - 50 pessoas compram cream crackers e recheados. - 30 pessoas compram cream crackers e wafers. - 60 pessoas compram wafers e recheados. - 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa. a) 200 b) 250 c) 320 d) 370 e) 530 13. (Uepg 2014) Numa pesquisa realizada com 60 pessoas sobre a preferência pelos produtos A e B, constatou-se que: - o número de pessoas que gostam somente do produto A é o dobro do

número de pessoas que não gostam de nenhum dos dois produtos; - o número de pessoas que gostam somente do produto B é o triplo do

número de pessoas que gostam de ambos os produtos; - o número de pessoas que gostam de pelo menos um dos produtos é

48.



2

Nesse contexto, assinale o que for correto. 01) O número de pessoas que gostam do produto B é 20. 02) O número de pessoas que gostam do produto A é 30. 04) O número de pessoas que não gostam de nenhum dos produtos é

12. 08) O número de pessoas que gostam de ambos os produtos é 6. 14. (Uece 2014) Uma pesquisa com todos os trabalhadores da FABRITEC, na qual foram formuladas duas perguntas, revelou os seguintes números: 205 responderam à primeira pergunta; 205 responderam à segunda pergunta; 210 responderam somente a uma das perguntas; um terço dos trabalhadores não quis participar da entrevista. Com estes dados, pode-se concluir corretamente que o número de trabalhadores da FABRITEC é: a) 465. b) 495. c) 525. d) 555.

15. (Mackenzie 2014) Se 71/ xeímparéxZxA e

056/ 2 xxRxA então a única sentença falsa é:

a) O conjunto das partes da intersecção dos conjuntos A e B é

b) O conjunto complementar de B em relação a A é 7,3B

AC .

c) O conjunto das partes do complementar de B em relação a A é

d) O conjunto A intersecção com o conjunto B é

e) O número de elementos do conjunto das partes da união dos

conjuntos A e B é

16. (Uepg 2014) Considerando o conjunto

301/ 2 xNxC assinale o que for correto.

01) O conjunto C tem 32 subconjuntos.

02) Se 51/ xNxA então A C {2, 3, 4}.

04) Escolhendo-se, ao acaso, dois elementos desse conjunto, a probabilidade de que ambos sejam ímpares é de 20%.

08) Escolhendo 3 elementos desse conjunto e efetuando o produto entre eles, pode-se obter 20 produtos distintos.

16) Escolhendo-se ao acaso um elemento desse conjunto, a probabilidade de que seja par é de 40%.

17. (Udesc 2014) Um evento cultural ofereceu três atrações ao público: uma apresentação de dança, uma sessão de cinema e uma peça de teatro. O público total de participantes que assistiu a pelo menos uma das atrações foi de 200 pessoas. Sabe-se, também, que 115 pessoas compareceram ao cinema, 95 à dança e 90 ao teatro. Além disso, constatou-se que 40% dos que foram ao teatro não foram ao cinema, sendo que destes 25% foram apenas ao teatro. Outra informação levantada pela organização do evento foi que o público que assistiu a mais de uma atração é igual ao dobro dos que assistiram somente à apresentação de dança. Se apenas 2 pessoas compareceram a todas as atrações, então a quantidade de pessoas que assistiu a somente uma das atrações é: a) 102 b) 114 c) 98 d) 120 e) 152 18. (Uepg 2013) Dados os conjuntos abaixo, assinale o que for correto

04/ xRxA

31/ xRxB

01) 0 A B

02) 0,1, 2, 3 A B

04) 3 A –B

08) 1, 2 B – A

16) 1 A B

19. (Fatec 2013) Em uma pesquisa de mercado sobre o uso de notebooks e tablets foram obtidos, entre os indivíduos pesquisados, os seguintes resultados: - 55 usam notebook; - 45 usam tablet, e - 27 usam apenas notebook. Sabendo que todos os pesquisados utilizam pelo menos um desses dois equipamentos, então, dentre os pesquisados, o número dos que usam apenas tablet é: a) 8 b) 17 c) 27 d) 36 e) 45

20. (Ufsj 2013) Dados três conjuntos A, B e C, não vazios, com A B

e A C, então, é sempre CORRETO afirmar que:

a) B C

b) A B C

c) B C

d) A B C

21. (Uern 2013) Em um vestibular para ingresso no curso de engenharia de uma determinada universidade, foi analisado o desempenho dos 1472 vestibulandos nas provas de Português, Matemática e Física, obtendo-se o seguinte resultado: - 254 candidatos foram aprovados somente em Português; - 296 candidatos foram aprovados somente em Matemática; - 270 candidatos foram aprovados somente em Física; - 214 candidatos foram aprovados em Português e Física; - 316 candidatos foram aprovados em Matemática e Física; - 220 candidatos foram aprovados em Português e Matemática; - 142 candidatos foram reprovados nas três disciplinas. O número de alunos aprovados nas três disciplinas, e, portanto, aptos a ingressarem no curso de engenharia, é: a) 98. b) 110. c) 120. d) 142. 22. (Ufsj 2013) O diagrama que representa o conjunto

A B C C B A é:

23. (Udesc 2012) Considere em um conjunto universo, com 7 elementos, os subconjuntos A, B e C, com 3, 5 e 7 elementos, respectivamente. É correto afirmar que:

a) (A B) C tem no máximo 2 elementos.

P A B 1 , 5 , 1, 5 .

BAP , 3 , 7 , 3, 7 . ð

A B 1, 5 .

n P A B 16.



3

b) (A B) C tem no mínimo 1 elemento.

c) B C tem 3 elementos.

d) A C tem no mínimo 2 elementos.

e) A B pode ser vazio. 24. (Ufsj 2012) Na figura, R é um retângulo, T é um triângulo e H é um hexágono.

Então, é CORRETO afirmar que a região destacada em cinza é dada por

a) H– T R

b) T –H

c) (R T)– (T H)

d) (R T)

25. (Ufsj 2012) Para os conjuntos

2

x

A x; x Z e 0 x 1 4 ,

B x; x Z e x 2x 3 0 e

C x; x Z e 10 10 2305 ,

é CORRETO afirmar que: a) A – C = {2, 3, 4}

b) A B =

c) A B = C

d) A B = {1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

26. (Pucpr 2010) As pessoas atendidas em uma unidade de saúde

apresentaram os seguintes sintomas: febre alta, dores no corpo e dores

de cabeça. Os dados foram tabulados conforme quadro a seguir:

Sintomas Número de

pacientes

Febre 22

Dor no corpo 16

Náuseas 24

Febre e dor no corpo 10

Dor no corpo e náuseas 10

Náuseas e febre 8

Febre, dor no corpo e náuseas 6

Determine o número de pacientes atendidos no posto de saúde.

a) 62 pessoas. b) 68 pessoas. c) 40 pessoas. d) 86 pessoas. e) 42 pessoas. 27. (Uepg 2010) Indica-se por n(X) o número de elementos do conjunto

X. Se A e B são conjuntos tais que n(A) = 20, n(B – A) = 15 e n(A B) =

8, assinale o que for correto.

01) n(A – B) = 12 02) n(B) = 23 04) n(AB) = 35 08) n(AB) – n(AB) = 27 16) n(A) – n(B) = n(A – B)

28. (Uel 2011) Num dado momento, três canais de TV tinham, em sua programação, novelas em seus horários nobres: a novela A no canal A, a novela B no canal B e a novela C no canal C. Numa pesquisa com 3000 pessoas, perguntou-se quais novelas agradavam. A tabela a seguir indica o número de telespectadores que designaram as novelas como agradáveis.

Novelas Número de telespectadores

A 1450

B 1150

C 900

A e B 350

A e C 400

B e C 300

A, B e C 100

Quantos telespectadores entrevistados não acham agradável nenhuma das três novelas? a) 300 telespectadores. b) 370 telespectadores. c) 450 telespectadores. d) 470 telespectadores. e) 500 telespectadores. 29. (Ufpe 2011) Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo que: - o numero de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o

número de alunos que cursam as três disciplinas; - existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física; - existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática; - o numero de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas e 150; - o numero de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas e 190. Quantos alunos cursam as três disciplinas? 30. (Uepg 2011) Considerando os conjuntos: R = {0, 1, 3, 5, 7}, S = {2, 4, 6} e P = {1, 2}, assinale o que for correto. 01) 1 (S – P). 02) Existe uma função f: S P que é bijetora.

04) (S P) R = R.

08) R S P = .

16) Nenhuma função f: S R é sobrejetora.



4

Gabarito: 1: [C] Utilizando os diagramas de Venn, pode-se representar o conjunto

G H como sendo:

Comparando este diagrama com os apresentados nas alternativas, tem-se:

[A]

(G F) (F H)

[B]

(G H) (H F)

[C]

(G (H F)) H

[D] G (H F)

[E]

(H G) (G F)

Assim, comparando-se os diagramas percebe-se que a alternativa correta é a alternativa [C]. 2: [A]

A intersecção dos dois conjuntos é {x | 0 x 4}. Ou

graficamente:

3: [D] Analisando as informações do enunciado, conclui-se:

- 40% do total frequenta oficinas de xadrez, portanto

X 500 40% 200 alunos.

- 35% do total frequenta oficinas de robótica, portanto

R 500 35% 175 alunos.

- 75 alunos cursam, simultaneamente, xadrez e robótica, portanto

XR 75 alunos.

Como XR X, logo têm-se 100 alunos que frequentam de APENAS

robótica.

Analogamente, XR R, logo têm-se 125 alunos que frequentam de

APENAS xadrez. Assim, se o total de alunos que matriculados é igual a 500, têm-se:

500 125 75 100 200 alunos que frequentam outras

oficinas, conforme a figura a seguir demonstra.

4: [D]

Se 80% dos funcionários trabalham na equipe de manutenção e

35% na equipe de atendimento, então 15% dos funcionários

trabalham nas duas equipes simultaneamente, pois

80% 35% 115%. Logo, o número de funcionários que trabalham

nas equipes de atendimento e de manutenção será:

500 15% 500 0,15 75.

5: [B]

Sejam I e C, respectivamente, o conjunto dos alunos que estudam

inglês e o conjunto dos alunos que estudam chinês. Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, segue-se que

#(I C) #(I) #(C) #(I C) 300 174 186 #(I C)

#(I C) 60.

Portanto, o número de alunos que estudam apenas um idioma é

#(I C) #(I C) 300 60 240.

6: [D] De acordo com o enunciado temos:

135 100 x 75 x 90 10 x 65 65 500

x 500 540

x 40

x 40

7: [A]

Tem-se que A {1, 2, 3, 4, 5, 6,10,12,15, 20, 30, 60} e

B {1, 2, 3, 4, 5}. Logo, como A B B, segue-se que o resultado

pedido é 52 32 4 8, isto é, um múltiplo de 4, menor do que

48.



5

8:

10% de 840 84 (nenhum dos jornais)

De acordo com as informações da questão, temos o seguintes diagramas:

440 x x 520 x 840 84 x 204 x 204

O número total de alunos do colégio que leem os dois jornais é 204. 9: [D]

Utilizando M para matemática, F para física e Q para química, tem-

se:

M 14

F 16

Q 12

MF 7

FQ 8

MQ 5

MQF 4

MQ MQF, logo têm-se 1 aluno que gosta de APENAS matemática e

química e 4 que gostam das três matérias simultaneamente

(5 4 1). As demais deduções podem ser feitas analogamente pela

teoria de conjuntos, conforme diagrama a seguir.

Assim, o total de alunos que gostam de ao menos uma matéria é:

6 3 4 1 5 4 3 26.

Se o total de alunos na sala é 40, então o número de alunos que não

gosta de nenhuma matéria é: 40 26 14.

10: [B]

Considere o diagrama, em que o conjunto A representa os candidatos

que leram “Você Verá”, o conjunto B representa os candidatos que leram “O tempo é um rio que corre” e o conjunto C representa os candidatos que leram “Exílio”.

Portanto, a quantidade de candidatos que leram apenas “O tempo é um

rio que corre” é igual a 484.

11: [A] O número máximo de alunos matriculados nos três cursos não pode superar o número de alunos matriculados no curso de francês. Portanto,

o resultado pedido é 130.

12: [B] Com os dados do problema, temos os seguintes diagramas:

Portanto, o número de pessoas que responderam a pesquisa será dado por: N = 5 + 10 + 30 + 20 + 15 + 40 + 80 + 50 = 250. 13: 02 + 04 + 08 = 14. Sejam x e y, respectivamente, o número de pessoas que não gostam

de nenhum dos dois produtos e o número de pessoas que gostam de ambos os produtos. Tem-se que

2x y 3y x 60 3x 4y 60

2x y 3y 48 2x 4y 48

x 12.

y 6

[01] Incorreto. O número de pessoas que gostam do produto B é

y 3y 4 6 24.

[02] Correto. O número de pessoas que gostam do produto A é

2x y 2 12 6 30.

[04] Correto. O número de pessoas que não gostam de nenhum dos

produtos é x 12. [08] Correto. O número de pessoas que gostam de ambos os produtos é

y 6.

14: [A]



6

A: conjunto das pessoas que responderam à primeira pergunta B: conjunto das pessoas que responderam à segunda pergunta. x: número de pessoas que responderam às duas perguntas. n: número de trabalhadores da FABRITEC; Temos, então, o seguinte sistema de equações:

n 2n2 (205 x) x x 410

n ,3 3

205 x 205 x 210 2x 200

onde x = 100 e n = 465. Portanto, o número de trabalhadores da empresa é 465. 15: [A]

Tem-se que e Daí, e,

portanto,

Como 7,3 BAC B

A segue-se que

7,3,7,3,B

ACP .

Sendo tem-se que

Portanto, a única alternativa falsa é a letra [A]. 16: 01 + 16 = 17.

Tem-se que C {1, 2, 3, 4, 5}.

[01] Correto. Sendo n(C) 5, segue que o conjunto C possui

n(C) 52 2 32 subconjuntos.

[02] Incorreto. Se A {2, 3, 4, 5}, então A C .

[04] Incorreto. A probabilidade de que os dois elementos escolhidos sejam ímpares é dada por

3

2 3 3100% 30%.

5!5 10

2! 3!2

[08] Incorreto. O número de produtos distintos, tomando-se 3

elementos do conjunto C, é igual a 5 5!

10.3 3! 2!

[16] Correto. De fato, a probabilidade de escolher ao acaso um número

par do conjunto C é 2

100% 40%.5

17: [A]

Sejam C, D e T, respectivamente, o conjunto das pessoas que foram

ao espetáculo de dança, o conjunto das pessoas que foram ao cinema e o conjunto das pessoas que foram ao teatro.

Sabemos que 0,4 90 36 das pessoas que foram ao teatro não

foram ao cinema. Assim, 0,25 36 9 pessoas foram apenas ao

teatro e, portanto, exatamente 36 9 27 pessoas assistiram à

apresentação de dança e foram ao teatro, mas não foram ao cinema. Se x é o número de pessoas que foram à apresentação de dança e ao cinema, mas não foram ao teatro, considere o diagrama.

Daí, como o público que assistiu a mais de uma atração é igual ao dobro dos que assistiram somente à apresentação de dança, vem

x 2 27 52 2 (66 x) x 17.

Em consequência, a quantidade de pessoas que assistiu a somente uma das atrações é

66 x 61 x 9 136 2 17 102.

18: 01 + 04 + 08 = 13.

[01] (Verdadeiro), pois 0 A e 0 B.

[02] (Falsa), pois 3 A e 3 B.

[04] (Verdadeira), pois 3 A e 3 B.

[08] (Verdadeiro), pois {1,2} B e {1,2} A.

[16] (Falsa), pois 1 A.

19: [B] Considerando N o conjunto dos indivíduos que usam notebook e T o conjunto dos indivíduos que usam tablet, temos os seguintes diagramas:

28 + x = 45 x = 17, onde x é o número de indivíduos que usam apenas

o tablet. 20: [B]

Se x A e A B e A C x B e x C x (B C) A (B C).

21: [C]

Sejam P, M e F, respectivamente, o conjunto dos alunos aprovados

em Português, o conjunto dos alunos aprovados em Matemática e o conjunto dos alunos aprovados em Física.

Se n(P M F) x, então, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, vem

n(P M F) n(P) n(M) n(F) n(P M) n(P F) n(M F) n(P M F)

688 x 832 x 800 x 220 214 316 x

1570 2x.

A {1, 3, 5, 7} B {1, 5}. A B {1, 5}

P(A B) { , {1}, {5}, {1, 5}}.

A B A, 4n[P(A B)] 2 16.



7

Portanto, sendo U o conjunto universo, temos

n(U) n(P M F) n(P M F) 1472 1570 2x 142

x 120.

22: [B]

23: [B] Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, vem n(A B) n(A) n(B) n(A B) n(A B) n(A) n(B) n(A B).

Assim, para que n(A B) assuma o seu valor mínimo, devemos ter

n(A B) 7. Logo,

n(A B) 3 5 7 1.

Além disso,

n(A B C) n(A B) n(C) n((A B) C),

e como queremos o valor mínimo de n(A B C), devemos supor

que n((A B) C) 7. Portanto,

n(A B C) 1 7 7 1,

ou seja, (A B) C tem no mínimo 1 elemento.

24: [C]

25: [B]

Gabarito Oficial: Questão anulada Gabarito Correto: [B] A = { 1, 2, 3, 4, 5} B = {-2, -1, 0} e C = {1, 2, 3}

Portanto, a alternativa correta é [B], A B = .

26: [C]

Considere os diagramas que resumem a tabela

Total = 10 + 4 + 6 + 2 + 12 + 4 + 2 = 40

27: 01+ 02 + 04 + 08 = 15

(01) Verdadeiro, observe a figura.

(02) Verdadeiro, 15 + 8 = 23

(04) Verdadeiro, 12 + 8 + 15 = 35

(08) Verdadeiro, 35 – 8 = 27

(16) Falso, 20 – 23 = 12

28: [C] Representando a tabela através de conjuntos onde x é número de pessoas que não acham agradável nenhuma das três novelas, temos:

A B

U

20 - 8 =12 8 15

A - B B - A

A B



8

x + 100 + 250 + 300 + 200 + 800 + 600 + 300 = 3000 Portanto, x = 450 29: Considere o diagrama abaixo, em que x é o número de alunos que cursam as três disciplinas.

Sabendo que o número de alunos que cursam exatamente uma das

disciplinas é 150, temos que y w z 150. Por outro lado, se o

número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é

190, então

x y z w 5 6 7 190 x 190 168 22.

30: 08 + 16 = 24. Item (01) - Falso

S – P = {4,6}. Portanto 1 (S – P).

Item (02) - Falso

Função Bijetora Função injetora e função sobrejetora.

Função injetora:

Função sobrejetora:

Portanto:

não é injetora, pois existirá

Item (04) - Falso

Item (08) – Verdadeiro

pois não possuem nenhum elemento em comum.

Item (16) – Verdadeiro

Função sobrejetora:

Portanto: Qualquer associação entre S e R que defina uma função terá

1 2 1 2x x y y

CD(f) Im(f)

f : S P1 2 1 2x x y y

(S P) R 0,1,2,3,5,7 R

R S P ,

CD(f) Im(f)

CD(f) Im(f).

mat._1_-_cap._1

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