mat fin - aula 03

D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8

CURSOONLINEMATEMTICAFINANCEIRACURSOREGULARPROFESSOR:GUILHERMENEVES

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Ol pessoal!

Dando continuidade ao nosso cronograma, nesta aula veremos uma breve exposio terica sobre os logaritmos, assunto importantssimo para resolver diversas questes no regime composto. Em seguida estudaremos profundamente o regime composto e a descrio dos diversos tipos de taxas.

Logaritmos Os logaritmos sero de uma utilidade extrema em problemas de juros compostos. Primordialmente naqueles em que teremos que resolver equaes exponenciais. Teremos agora uma breve exposio terica com os principais temas de logaritmos essenciais para as solues dessas equaes.

Definio Considere dois nmeros reais e positivos e . Por motivos que ficam alm dos objetivos deste curso, consideraremos que 1. Denominamos logaritmo na base o expoente que se deve dar base de modo que a potncia obtida seja igual a .

Na simbologia algbrica, temos:

log

Nomenclaturas Na expresso log :

a base. o logaritmando ou antilogaritmo. o logaritmo.

Logaritmao Qual o significado da expresso log 9?

Em suma, como se calcula o valor de log 9?

Devemos raciocinar da seguinte forma: 3 elevado a que nmero igual a 9? A resposta 2.

Portanto, log 9 2.

Ou seja, log 9 2 3 9.

Vejamos outro exemplo. Calcular o valor de log 125.

Devemos raciocinar da seguinte forma: 5 elevado a que nmero igual a 125? A resposta 3.




Portanto, log 125 3.

Ou seja, log 125 3 5 125.

Propriedades decorrentes da definio

i) O logaritmo de 1 em qualquer base igual a 0.

log 1 0

Esse fato de fcil explicao, visto que qualquer nmero no-nulo elevado a 0 igual a 1.

Exemplo: Qual o valor de log 1?

Devemos raciocinar: 4 elevado a que nmero igual a 1? A resposta 0.

Portanto, log 1 0 4 1.

ii) O logaritmo da base em qualquer base igual a 1.

log 1

Esse fato tambm de fcil explicao, visto que qualquer nmero elevado a 1 igual a ele mesmo.

Portanto, temos que:

log 5 1

log 10 1

log 1

iii) Dois logaritmos so iguais se e somente se os logaritmandos so iguais.

log log

Observe, que j que se trata de um se e somente se, podemos utilizar essa propriedade nos dois sentidos. Ou seja:

Se os logaritmos so iguais, ento os logaritmandos so iguais.

Se os dois nmeros so iguais (nmeros positivos), ento os logaritmos em qualquer base tambm so.

Utilizaremos bastante este fato na soluo de equaes exponenciais.




Bases especiais Existem dois sistemas de logaritmos que so muito importantes (inclusive em Matemtica Financeira), que so:

i) Sistema de logaritmos decimais

o sistema de base 10.

Utilizaremos a seguinte notao:

log log

Observe que:

log 10 log 10 1.

ii) Sistema de logaritmos neperianos ou naturais.

o sistema de base 2,71828182

O nmero tem uma infinidade de aplicaes na Matemtica.

Utilizaremos o nmero em Matemtica Financeira no estudo das Capitalizaes Contnuas.

Adotaremos a seguinte notao:

log

Observe que:

log 1

Propriedades operatrias i) Logaritmo do produto

O logaritmo do produto de dois ou mais fatores reais e positivos igual a soma dos logaritmos dos fatores (em qualquer base).

log log log

Exemplo:

Sabemos que:

log 8 3, 2 8.

log 16 4, 2 16.

Vamos calcular o logaritmo de 128 8 16 na base 2.




log 128 log8 16 log 8 log 16 3 4 7

Portanto,

log 128 7

O que verdade, j que 2 128.

ii) Logaritmo do Cociente

O logaritmo do cociente de dois nmeros reais e positivos igual diferena entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor (em qualquer base).

log

log log

Exemplo:

Sabemos que:

log 9 2, 3 9.

log 243 5, 3 243.

Vamos calcular o logaritmo de 27 243/9 na base 3.

log 27 log 243

9 log 243 log 9 5 2 3

Portanto,

log 27 3


iii) Logaritmo da potncia

O logaritmo de uma potncia de base real positiva e expoente real igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potncia.

log log

Exemplo:

Sabemos que:

log 8 3, 2 8.

Vamos calcular o logaritmo de 512 8 na base 2.

log 512 log 8 3 log 8 3 3 9

Portanto,




log 512 9


01. (Companhia Catarinense de guas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos problemas da captao de gua de rios a presena de algas potencialmente txicas, responsveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na gua. No entanto, se a quantidade de clulas (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas no causam riscos sade. O padro considerado preocupante a partir de 20 mil clulas por mililitro. Suponha que a quantidade n de clulas (algas) por mililitro em funo do tempo, em semanas, seja dada pela expresso algbrica n(t) = 20 2t. Determine, aproximadamente, o tempo necessrio, em semanas, para que entre no padro preocupante. (Considere: log10 2 = 0,3) a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

Resoluo

O padro preocupante de 20 mil clulas por mililitro (no mnimo). O tempo necessrio para que entre no padro a raiz da equao

20 2 20.000

2 1.000

O logaritmo de auxlio dado pela questo est na base 10. Podemos, portanto logaritmar ambos os membros na base 10. Lembre-se da terceira propriedade dos logaritmos.

log 2 log 1.000

log 2 log 10

Lembrando que log log ,

log 2 3 log 10

Lembrando tambm que log 1,

0,3 3 1

3

0,3 10

Letra C




02. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a log 144. a) 2,22. b) 2,19. c) 2,06. d) 2,14. e) 2,27.

Resoluo

Quando a base no escrita, por conveno, utiliza-se a base 10. Portanto, os logaritmos escritos no enunciado so todos de base 10.

Se queremos calcular log 144 dados log 2 e log 3, o primeiro passo fatorar 144.

Temos ento que 144 2 3

log 144 log 2 3

Sabemos que o logaritmo do produto a soma dos logaritmos.

log2 3 log 2 log 3

Sabemos tambm que o logaritmo da potncia o produto do expoente pelo logaritmo da base.

log 2 log 3 4 2 2 3

Portanto,

144 4 2 2 3 4 0,3 2 0,47 1,2 0,94 2,14

Letra D

03. (TCM SP 2006/CETRO) A populao de uma cidade aumenta segundo a equao 30.000 1,01, onde N o nmero de habitantes e t o tempo em anos. O valor de t para que a populao dobre em relao a hoje de

a) ,


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b) log 2 1,01

c) 2 2 1,01

d) ,

e) 50

Resoluo

Para calcular a populao hoje, basta fazer t = 0.

30.000 1,01 30.000 1 30.000

Portanto, queremos saber quando a populao ser 60.000.

Basta fazer N = 60.000

30.000 1,01 60.000

O 30.000 que est multiplicando passa para o segundo membro dividindo.

1,01 2

i) Se dois nmeros so iguais, ento os seus logaritmos em qualquer base tambm so.

1,01 2

Logaritmando os dois membros:

1,01 2

1,01 2

2

log 1,01

Letra A

04. (CEF 2010/CESPE-UnB) A populao P de uma comunidade, t anos aps determinado ano considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela frmula , em que k uma constante positiva, a quantidade de indivduos na comunidade no ano t = 0 e a base do logaritmo neperiano. Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para

e que a

populao triplique em 6 anos, ento ser duplicada em




a) 3,38 anos. b) 3,48 anos. c) 3,58 anos. d) 3,68 anos. e) 3,78 anos.

Resoluo

Quando a populao for triplicada, teremos: P = 3P0. Isto ocorrer em 6 anos. Logo:

3

Ou seja:

3

Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equao.

3

6 3

Lembre-se que 1.

6 3

3

6

Quando a populao for dobrada, teremos: P = 2P0. Isso ocorrer em t anos. Logo:

2

2

Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equao.

2

2

Lembre-se que 1.

2

2

Como sabemos que




23

6

2 6

3

6 23

6 0,63 3,78 .

Letra E

Juros Compostos

No regime de capitalizao composta, o juro gerado em cada perodo agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o prximo perodo. Da que surge a expresso juros sobre juros.

Imagine a seguinte situao: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada perodo e o montante aps o perodo de cada aplicao.

Os juros gerados no primeiro ano so

10.000 2.000 e o montante aps o primeiro ano 10.000 + 2.000 = 12.000.

Os juros gerados no segundo ano so

12.000 2.400 e o montante aps o segundo ano 12.000+2.400=14.400.

Os juros gerados no terceiro ano so

14.400 2.880 e o montante aps o terceiro ano 14.400 + 2.880 = 17.280.

Os juros gerados no quarto ano so

17.280 3.456 e o montante aps o quarto ano 17.280 + 3.456 = 20.736.

Os juros gerados no quinto ano so

20.736 4.147,20 e o montante aps o quinto ano 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.

Perodo de Capitalizao O intervalo de tempo em que os juros so incorporados ao capital chamado de perodo de capitalizao.

Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalizao mensal, ento os juros so calculados todo ms e imediatamente incorporados ao capital.

Capitalizao trimestral: os juros so calculados e incorporados ao capital uma vez por trimestre.

E assim por diante.




Caso a periodicidade da taxa e do nmero de perodos no estiverem na mesma unidade de tempo, dever ser efetuado um ajuste prvio para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer clculo. Abordaremos este assunto em sees posteriores (taxas de juros).

Frmula do Montante Composto Para calcular o montante de uma capitalizao composta utilizaremos a seguinte frmula bsica:

1

M montante (capital + juros). C Capital inicial aplicado. i taxa de juros n nmero de perodos. Observe que se a capitalizao bimestral e aplicao ser feita durante 8 meses, ento o nmero de perodos igual a 4 bimestres.

No utilizaremos uma frmula especfica para o clculo dos juros compostos. Se por acaso em alguma questo precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a relao:

Comparao entre as Capitalizaes Simples e Composta Considere a seguinte situao: Joo aplicar a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao ms. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes perodos de capitalizao:

a) 1 ms b) 15 dias (meio ms) c) 2 meses

Resoluo

a) Capitalizao Simples

1

1.000 1 0,1 1 1.100

Capitalizao Composta




1

1.000 1 0,1 1.100

Observe que, para 1, o montante simples igual ao montante composto.

b) Capitalizao Simples

1

1.000 1 0,1 0,5 1.050


1

1.000 1 0,1, 1.048,81

Observe que, para 0,5, o montante simples maior do que o montante composto.

c) Capitalizao Simples

1

1.000 1 0,1 2 1.200


1

1.000 1 0,1 1.210

Observe que, para 2, o montante simples menor do que o montante composto.

Em resumo, temos as seguintes relaes

1 O montante simples igual ao montante composto. 0 1 O montante simples maior do que o montante

composto. 1 O montante simples menor do que o montante

composto.

Conveno Linear e Conveno Exponencial Vimos que se o nmero de perodos for menor do que 1, mais vantajoso para o credor cobrar juros simples.




Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalizao composta, o nmero de perodos for fracionrio.

Por exemplo, estamos fazendo uma aplicao a juros compostos durante 3 meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim, poderamos calcular o montante no perodo fracionrio sob o regime simples (para ganhar mais dinheiro obviamente).

Em Matemtica Financeira, quando o nmero de perodos fracionrio, podemos calcular o montante de duas maneiras:

- Conveno Exponencial

- Conveno Linear

Um capital de R$ 10.000,00 ser aplicado por 3 meses e meio taxa de 10% ao ms, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado.

- Conveno Exponencial

A conveno exponencial diz que o perodo, mesmo fracionrio, ser utilizado no expoente da expresso do montante.

Assim, (1 )nM C i= + 3,510.000 (1 0,10)M = +

3,510.000 1,10M = O valor 1,103,5 = 1,395964 dever ser fornecido pela questo.

10.000 1,395964M = 13.959,64M =

- Conveno Linear

A conveno linear considera juros compostos na parte inteira do perodo e, sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no perodo fracionrio.

Podemos resumir a seguinte frmula para a conveno linear:

(1 ) (1 )Int fracM C i i n= + + Nessa formula Int significa a parte inteira do perodo e nfrac a parte fracionria

do perodo.




310.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = + + 310.000 1,10 1,05M =

13.975,50M = Como era de se esperar, o montante da conveno linear foi maior do que o montante da conveno exponencial.

Exerccios Resolvidos 05. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 Resoluo

1

20.000 1 0,50 45.000,00 Letra A 06. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao ms. O valor de resgate dessa operao foi, em reais, de (Nota: efetue as operaes com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00

Resoluo

1

20.000 1,04 O enunciado mandou efetuar as operaes com 4 casas decimais.




1,04 1,04 1,0816 1,0816 1,04 1,124864 1,1249

20.000 1,04 20.000 1,1249 22.498,00

Letra E

07. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicao de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, so iguais aos da aplicao de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a

a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses

Resoluo

Aplicao a juros compostos:

1 12.500 1 0,08 14.580

Assim, o juro composto a diferena entre o montante e o capital aplicado 14.580 12.500 = 2.080.

Esse juro igual ao da aplicao taxa simples. A resposta do tempo de aplicao ser dada em meses. Como a taxa de 15% ao ano, a taxa equivalente mensal 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao ms.

2.080 10.400 0,0125 2.080 130 16

Letra D

08. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros compostos de 10% ao ms acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta.

a) $ 2.691,43 b) $ 3.691,43 c) $ 4.691,43 d) $ 5.691,43




e) $ 6.691,43

Resoluo

Na capitalizao composta o montante dado por

1

10.000 1 0, 10

10.000 1,61051

10.000

1,61051 6.209,21

No h gabarito compatvel.

09. (Esp-Adm-Or-Fin-Pb Pref. de So Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, tambm durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicaes foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ 14.400,00. b) R$ 14.560,00. c) R$ 14.580,00. d) R$ 16.000,00. e) R$ 16.400,00.

Resoluo

Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim, como utilizamos a metade do capital em cada uma das aplicaes, ento o capital das aplicaes ser x.

1 aplicao (Regime Composto)

Sabemos que

No regime composto, a relao entre o montante e o capital a seguinte.

1

A taxa de 8% ao semestre e o tempo de aplicao igual a 1 ano (2 semestres).

1,08

1,1664

Como ,




1,1664

0,1664

2 aplicao (Regime Simples)

Lembrando que a taxa trimestral e que um ano composto por 4 trimestres.

0,04 4

0,16

A soma dos juros compostos com os juros simples igual a R$ 4.080,00.

4.080

0,1664 0,16 4.080

0,3264 4.080

12.500

Na aplicao do regime composto tivemos o seguinte montante.

1,1664

1,1664 12.500 14.580,00

Letra C

10. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, taxa de 4% ao ms. O montante obtido nessa aplicao foi aplicado a juros compostos por 2 meses taxa de 5% ao ms. Ao final da segunda aplicao, o montante obtido era de

a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40

Resoluo

Temos nesta questo duas aplicaes: uma no regime de capitalizao simples e outra na capitalizao composta. fato que o montante na capitalizao

simples dado por (1 )SM C i n= +




A taxa de juros e o tempo de aplicao do capital j esto na mesma unidade. Podemos aplicar diretamente a frmula acima. O enunciado informou que a taxa de 4% ao ms e o tempo igual a 3 meses. Dessa forma,

500 (1 0,04 3)SM = + 500 1,12SM =

560SM = Esse montante obtido na capitalizao simples ser o capital da segunda aplicao.

Teremos agora uma aplicao em juros compostos com capital inicial igual a R$ 560,00, taxa de juros igual a 5% ao ms durante dois meses.

O montante da capitalizao composta dado por (1 )nCM C i= + . 2560 (1 0,05)CM = +

2560 1,05CM = 617, 40CM =

Letra E

11. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos taxa de 3% ao ms por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada taxa de 3,5% ao ms, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais prximo deste capital, dado que as duas aplicaes juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,0312 = 1,425760)

a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00. e) R$ 50 000,00.

Resoluo




Chamemos o capital total aplicado de 2C. Assim, metade (C) ser aplicada a juros compostos e a outra metade (C) ser aplicada a juros simples.

Em qualquer um dos dois tipos de regime, o montante sempre a soma do capital com os juros.

M C J J M C= + = Capitalizao Composta

Capital aplicado: C

Taxa de juros: 3% = 0,03 ao ms

Tempo de aplicao: 12 meses

Assim, o juro da capitalizao composta ser dado por:

12(1 )CJ M C C i C= = + 121,03CJ C C=

1, 425760 1CJ C C= 0, 425760CJ C=

Capitalizao Simples

Capital aplicado: C

Taxa de juros: 3,5% = 0,035 ao ms

Tempo de aplicao: 12 meses

Assim, o juro da capitalizao simples ser dado por:

SJ C i n= 0,035 12SJ C= 0, 42SJ C=

As duas aplicaes juntas renderam um juro de R$ 21.144,02.




21.144,02S CJ J+ = 0, 42 0, 425760 21.144,02C C + =

0,84576 21.144,02C = 21.144,020,84576

C = 25.000C =

O capital total aplicado 2 .

Logo, 2 50.000C = Letra E

12. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses.

a) 4%. b) 5%. c) 5,33%. d) 6,5%. e) 7%.

Resoluo

Podemos, para facilitar o raciocnio, admitir o que o capital inicial igual a R$ 100,00. Para que o capital aumente 80%, os juros sero iguais a R$ 80,00 (80% de 100,00). Ento o montante ser igual a R$ 180,00. A taxa e o tempo esto na mesma unidade.

Apliquemos a frmula dos juros compostos.

(1 )nM C i= + 15180 100 (1 )i= +

151,80 (1 )i= + Foi fornecida uma tabela na prova para o auxlio de questes como essa.




De acordo com essa tabela, a uma taxa de 4% temos 151,04 1,80 .

Letra E

13. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da Administrao 2005 FEPESE) Determine o tempo em meses que um capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao ms ser triplicado. Informaes adicionais: log 3 0,48 e log 1,03 0,012.

Assinale abaixo a nica alternativa correta.


Resoluo

J que a taxa de juros mensal, ento diremos que a capitalizao tambm mensal.




Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montante ser o triplo do capital (M = 3.C)

Assim, 3M C= . Ora, mas sabemos que na capitalizao composta o montante dado por

(1 )nM C i= + . Temos ento: (1 ) 3nC i C + =

(1 0,03) 3n+ = 1,03 3n =

log1,03 log 3n = log1,03 log 3n =

log 3log1,03

n = 0, 48

0,012n =

0, 480 0480 480 40 meses.0,012 0012 12

n = = = = Letra E

14. (CEF 2008 CESGRANRIO) O grfico a seguir representa as evolues no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos mesma taxa de juros. M dado em unidades monetrias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere taxa de juros utilizada.




Analisando-se o grfico, conclui-se que para o credor mais vantajoso emprestar a juros

a) compostos, sempre. b) compostos, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o perodo do emprstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo.

Resoluo

O grfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o montante simples foi maior do que o montante composto).

Quando o nmero de perodos da capitalizao for menor do que 1 o juro simples ser maior do que o juro composto.

Letra E

15. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A frao de perodo pela conveno linear produz uma renda a e pela conveno exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que:

a) log b) c) d) e)

Resoluo

Vimos que:

1 Omontantesimplesigualaomontantecomposto.0 1 Omontantesimplesmaiordoqueomontante

composto. 1 Omontantesimplesmenordoqueomontante

composto.




Assim, a frao de perodo pela conveno linear produz uma renda maior do que a conveno exponencial.

Letra E

16. (AFRE PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do perodo, adotando a conveno linear, foi igual a

a) R$ 25.500,00 b) R$ 24.932,05 c)) R$ 24.805,00 d) R$ 23.780,00 e) R$ 22.755,00

Resoluo

Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital ser investido durante 2 anos e 3 meses. Devemos adotar a conveno linear, ento a parte fracionria do perodo (3 meses) ser utilizada no regime simples. Como o ano tem 12 meses, 3 meses igual a 1/4 do ano= 0,25 anos.

Assim,

(1 ) (1 )Int fracM C i i n= + + 220.000 (1 0,10) (1 0,10 0, 25)M = + +

220.000 1,10 1,025M = 24.805,00M =

Letra C

17. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao ms pela conveno linear, igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10

Resoluo




De acordo com a conveno linear, a parte inteira do perodo ser aplicada a juros compostos enquanto que a parte fracionria ser aplicada a juros simples. O perodo de 10 dias equivale a 1/3 do ms.

1 1

300 1 0,10 1 0,10 13

300 1,21 1 1

30 363 1

130

363 36330

363 12,1 375,10

Letra D

18. (AFRF 2003/ESAF) Um capital aplicado a juros compostos taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais prximo da perda percentual do montante considerando o seu clculo pela conveno exponencial em relao ao seu clculo pela conveno linear, dado que 1,401,5 =1,656502. a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0%

Resoluo

Assuma, por hiptese, que o capital aplicado de R$ 100,00.

Conveno Exponencial

1

100 1 0,40, 100 1,40, 100 1,656502 165,6502

Conveno Linear

1 1

100 1 0,40 1 0,40 0,5

100 1,40 1,20 168,00

Clculo da perda percentual

168,00

165,6502




165,6502 168168

2,3498

168 100%

234,98168

% 1,398%

Letra C

19. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Jos dispe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento:

I Juros simples de 2% ao ms. II Juros compostos de 1% ao ms. III Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um perodo de seis meses.

Assinale:

a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno.

Resoluo

I Juros simples de 2% ao ms durante 6 meses.

1 10.000 1 0,02 6 11.200

II - Juros compostos de 1% ao ms durante 6 meses.

1 10.000 1 0,01 10.615,20

Portanto, a proposta III a melhor alternativa de investimento.

Letra D

Taxas Equivalentes Duas taxas so ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Essa definio de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto a juros compostos. S que falar em taxas equivalentes no regime simples o mesmo que falar em taxas proporcionais.

Essa afirmao no verdadeira quando se trata de juros compostos.

Exemplo

Qual a taxa trimestral equivalente taxa de juros compostos de 10% ao ms?




Duas taxas so ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (trs meses), ento teremos a seguinte equao:

3 1(1 ) (1 )m tC i C i + = + 3(1 0,10) 1 ti+ = +

1 1,331ti+ = 0,331ti = 33,1%ti =

Portanto, a taxa de 10% ao ms equivalente a 33,1% ao trimestre.

Para o clculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparao dos fatores 1

Exemplo

Qual a taxa anual equivalente taxa de juros compostos de 20% ao trimestre?

J que 1 ano o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relao:

1 1

1 1 0,2

1 2,0736

1,0736

107,36%

Taxa Nominal e Taxa Efetiva H um mau hbito em Matemtica Financeira de anunciar taxas proporcionais (no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expresso do tipo 24% ao ano com capitalizao mensal significa na realidade 2% ao ms.

A taxa de 24% ao ano chamada taxa nominal e a taxa 2% ao ms chamada de taxa efetiva.




No regime de juros compostos, uma taxa dita nominal quando o perodo a que a taxa se refere no coincidir com o perodo de capitalizao. Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalizao mensal uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao perodo de um ano, mas a capitalizao dos juros realizada mensalmente (ou seja, os juros so calculados uma vez por ms e imediatamente incorporados ao capital). J quando a taxa efetiva quando o perodo a que a taxa se refere coincide como perodo de capitalizao. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao ms com capitalizao mensal uma taxa efetiva.

So exemplos de taxas nominais:

- 30% ao ms com capitalizao diria.

- 48% ao ano com capitalizao bimestral.

Uma taxa de juro dita efetiva se o perodo a que ela estiver referenciada for coincidente com o perodo de capitalizao. Assim, uma taxa de juros de 20% ao ano com capitalizao anual uma taxa efetiva.

Nesse caso, podemos dizer simplesmente taxa efetiva de 20% ao ano que estar subentendido 20% ao ano com capitalizao anual.

A taxa de juros nominal a mais comumente encontrada nos contratos financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilizao, pode conduzir a iluses sobre o verdadeiro custo financeiro da transao, pois os clculos no so feitos com taxa nominal !!!

Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de clculo, a mesma deve ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte frmula:

Vejamos alguns exemplos que mostram a converso de taxa nominal para taxa efetiva.

Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalizao bimestral.

1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral ser

60% 10% a.b.6b

i = =




Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito de taxas equivalentes.

Portanto, a taxa efetiva anual ser calculada da seguinte maneira:

1 6(1 ) (1 )a bi i+ = + 61 (1 0,10)ai+ = +

61,10 1ai = 0,7715ai = 77,15%ai =

Ou seja, se a unidade do perodo utilizado for ano, a taxa que dever ser utilizada para efeito de clculo ser 77,15% a.a. (essa a taxa efetiva) e no 60% (taxa nominal). J se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada para efeito de clculo ser 10% a.b..

Para o clculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominal diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implcita na taxa nominal.

Taxa Real e Taxa Aparente Imagine que Thiago fez uma aplicao financeira durante 2 anos e obteve um rendimento total de 80%. Mas nesse perodo de 2 anos houve uma inflao total de 60%. Ento, na verdade, o ganho real no foi de 80%, pois se assim fosse, no estaramos levando em conta a perda causada pela inflao!

A taxa de 80% do nosso problema denominada taxa aparente.

A taxa real aquela que leva em considerao a perda influenciada pela inflao.

E como calcular a taxa real nessa situao?

Para facilitar o processo mnemnico, utilizaremos as seguintes notaes:

A taxa aparente I inflao no perodo




R taxa real vlida a seguinte relao:

A I R I R= + + No nosso exemplo:

A = 80% = 0,8

I = 60% = 0,6

R taxa real = ?

A I R I R= + + 0,8 0,6 0,6R R= + +

0,8 0,6 1,6 R = 1,6 0, 2R = 0, 2 2 0,1251,6 16

R = = = 12,5%R =

Podemos concluir, que a taxa real de juros nesse ambiente inflacionrio foi de 12,5%.

A expresso que fornece a taxa real em funo da taxa aparente e da inflao a seguinte:

1A IR

I= +

No nosso exemplo,

0,8 0,6 0, 2 12,5%1 1 0,6 1,6A IR

I = = = =+ + .


CURSOON LINE MATEMTICAFINANCEIRACURSOREGULARPROFESSOR:GUILHERMENEVES


Exerccios Resolvidos 20. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?

a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0%

Resoluo

Vamos analisar cada parte do enunciado.

... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente.

J que um quadrimestre (4 meses) composto por dois bimestres (2 meses), a taxa efetiva bimestral dada por

40% 20% a.b.2b

i = = J que a taxa efetiva bimestral 20%, para calcular a taxa efetiva semestral devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes. Lembrando que um semestre composto por 3 bimestres.

1 3(1 ) (1 )s bi i+ = + 31 (1 0, 20)si+ = +

1,728 1 0,728si = = 72,8%si =

Letra B

21. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalizao mensal. a) 12,3600% b) 12,5508% c) 12,6825% d) 12,6162% e) 12,4864%

Resoluo




J que um ano composto por 12 meses, a taxa efetiva mensal :

12%

12 1%

Devemos fazer a comparao dos fatores 1 para o clculo da taxa de juros anual.

1 1

1 1 0,01

Consultando a tabela financeira:

1 1,126825

0,126825 12,6825%

Letra C

22. (Auditor Fiscal Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 20.000,00 aplicado taxa nominal de 24% ao ano com capitalizao trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicao. a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92

Resoluo

J que um ano composto por 4 trimestres, a taxa efetiva trimestral :

24%

4 6%

O tempo de aplicao de 18 meses, mas como a nossa taxa efetiva trimestral, ento usaremos o fato de que 18 meses equivalem a 6 trimestres.

1

20.000 1 0,06 28.370,38

Letra D

23. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crdito ao custo de 80 % ao ano com capitalizao trimestral. Tambm no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crdito ao custo dado pela taxa semestral equivalente taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetrias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mrio, por sua vez, obteve 100 unidades monetrias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que




Maria e Mrio honraram seus compromissos nos respectivos perodos contratados, ento os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mrio, foram, respectivamente, iguais a: a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre. b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre. c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre. d) 240 % ao ano e 88 % ao ano. e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre. Resoluo Banco X: 80% ao ano com capitalizao trimestral (taxa nominal). Logo, a taxa efetiva trimestral 80% /4 = 20% a.t. O custo efetivo pago por Maria ao longo de um ano (4 trimestres) foi de:

1 1

1 1

1 0,20 1 1,0736 107,36% Banco Y: J que a taxa efetiva trimestral do banco Y de 20% a.t., a taxa equivalente semestral ser (1+20%)2 1 = 0,44 = 44% ao semestre. Como Mrio pagar sua dvida ao final de um semestre, seu custo percentual foi de 44%. Letra E

24. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente taxa de 30% ao quadrimestre a) 114,70% b) 107,55% c) 109,90% d) 90,00% e) 119,70% Resoluo Lembremos que o quadrimestre um perodo de 4 meses e que 1 ano composto por 3 quadrimestres.

1 1

1 1 0,3




1 2,197

1,197 119,70% Letra E 25. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um emprstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o emprstimo aps 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalizao mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: a) 1,02 1 b) 18 1,36 1 c) 18 1,24 1 d) 3 1,24 1 e) 6 1,24 1 Resoluo O primeiro passo calcular a taxa efetiva mensal. O problema forneceu a taxa nominal de 24% ao ano com capitalizao mensal. Portanto, a taxa efetiva mensal de 24%/12 = 2%.

1

1

1

1 1

25.000 1 0,02 1

25.000 1,02 1 Letra A 26. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um emprstimo ps-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflao no perodo do emprstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de a) 12,00% b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20% e) 13,20% Resoluo Para facilitar o processo mnemnico, chamaremos de:




A taxa aparente I inflao no perodo R taxa real vlida a seguinte relao:

0,2320 0,10 0,10

0,2320 0,10 1,10

1,10 0,1320

0,12 12%

Letra A

27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante aps um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicao e a taxa de inflao do perodo correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de

a) R$ 27.060,00 b) R$ 27.000,00 c) R$ 26.460,00 d) R$ 26.400,00 e) R$ 25.800,00

Resoluo

Para facilitar o processo mnemnico, chamaremos de:


, , , , , , %

Ento o montante resgatado pelo investidor dado por

1 24.000 1 0,1275 27.060,00




Letra A

28. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um perodo em que a inflao foi de 20%, equivale a uma rentabilidade real de: a) 20% b) 44% c) 50% d) 55% e) 60%

Resoluo

Para facilitar o processo mnemnico, chamaremos de:


0,80 0,20 0,20

0,60 1,20

0,601,20

0,50 50%

Letra C

29. (BNB 2004 ACEP) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um perodo de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no perodo foi de 100%, qual a inflao medida no mesmo perodo?

a) 100% ao perodo b) 200% ao perodo c) 300% ao perodo d) 400% ao perodo e) 500% ao perodo Resoluo

O problema j nos deu diretamente o valor de R (taxa real): 100% = 1.

Calculemos a taxa de juros aparente no perodo.

(1 )nM C A= +




O valor de n igual a 1, pois a taxa real foi dada para todo o perodo de 2 anos (binio).

140.000 5.000 (1 )A= + 8 1 A= +

7A = Para calcular a inflao no perodo, vamos utilizar a frmula descrita

anteriormente.

A I R I R= + + 7 1 1I I= + +

6 I I= +

3I = Para transformar a inflao em termos percentuais devemos multiplicar

por 100%.

3 100% 300%I = = Letra C

30. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no incio de um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando-se totalmente seu crdito referente a esta operao. Sabe-se que a taxa de inflao referente ao primeiro ano de aplicao foi de 5% e ao segundo, 4%. Ento, a correspondente taxa real de juros, no perodo desta aplicao foi de

a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85%

Resoluo

Para calcular a inflao acumulada podemos utilizar a seguinte frmula:

2 6I =




Dessa forma, a inflao acumulada nos dois anos foi de:

1 0,05 1 0,04 1 0,092

Para o clculo da taxa aparente, consideraremos 1, pois queremos calcular a taxa real no perodo de 2 anos.

1

98.280 80.000 1

0,2285

0,2285 0,092 0,092

0,1365 1,092

0,13651,092

0,125 12,5%

Letra B

31. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1 da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, que dispe sobre o salrio mnimo a partir de 1 de abril de 2007, transcrito a seguir: A partir de 1 de abril de 2007, aps a aplicao do percentual correspondente variao do ndice Nacional de Preos ao Consumidor INPC, referente ao perodo entre 1 de abril de 2006 e 31 de maro de 2007, a ttulo de reajuste, e de percentual a ttulo de aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 (trezentos e cinqenta reais) o salrio mnimo ser de R$ 380,00 (trezentos e oitenta reais). Considerando que o INPC acumulado no perodo foi de 3,4%, o percentual a ttulo de aumento real a que a lei se refere foi de: a) 5,2%. b) 4,8%. c) 5,0%. d) 5,8%. e) 5,5%.

Resoluo

Vejamos primeiramente qual foi o aumento aparente do salrio mnimo.

350 e 380

380 350350

8,57%

A inflao no perodo considerado, medido pelo INPC, foi de 3,4%.




Calculemos o aumento real:

0,0857 0,034 0,034

0,0517 1,034

0,05171,034

0,05 5%

Letra C

Capitalizao Contnua Voltemos frmula .

Essa formula a base para virtualmente todos os clculos financeiros, aplicando-se a contas bancrias, emprstimos, hipotecas e anuidades.

Alguns bancos calculam o juro acumulado no uma vez, mas vrias vezes por ano!

Se, por exemplo, uma taxa de juros anual de 5% capitalizada semestralmente, o banco usar metade da taxa de juros anual como taxa por perodo. Da que, num ano, um capital inicial de R$ 100,00 ser composto duas vezes, cada vez a uma taxa de 2,5%. Assim, teremos 100 x 1,0252 = 105,0625, cerca de seis centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse composto anualmente a 5%.

Na comunidade bancria podemos encontrar todos os tipos de composio de juros - anual, semestral, trimestral, e mesmo dirio.

Suponha que a capitalizao ser feita 12 vezes ao ano (uma vez por ms). O banco usa a taxa de juros anual dividida por 12. A taxa usada seria igual a 5% dividido por 12.

O montante obtido seria igual a

120,05100 112

M = + 105,11M =

Cerca de 11 centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse composto anualmente a 5%.




Suponha que a capitalizao ser feita 1000 vezes ao ano . O banco usa a taxa de juros anual dividida por 1000. A taxa usada seria igual a 5% dividido por 1000.

O montante obtido seria igual a

10000,05100 11000

M = + 105,12M =

Cerca de 12 centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse composto anualmente a 5%.

Parece que qualquer aumento no nmero de capitalizaes no perodo no afetar o resultado as mudanas acontecero em dgitos cada vez menos significativos.

Mas ser que esse padro continua? possvel que, no importa o quo elevado seja n, os valores do montante estacionem em algum ponto.

Esta intrigante possibilidade foi de fato confirmada!!

Imagine agora que queiramos capitalizar o nosso valor principal a TODO INSTANTE. No estamos falando a cada hora, nem a cada minuto, nem muito menos a cada segundo. Estamos falando a TODO INSTANTE. Qual seria o montante ao final de um ano?

Essa resposta dada pela frmula, inM C e= , onde

2,7182818...e = . Essa capitalizao a todo instante denominada capitalizao contnua.

Vejamos um exemplo:

Calcule o montante aps 20 anos, da aplicao, a juros compostos, de um capital de R$ 1.000,00, taxa de 5% ao ano, considerando a capitalizao contnua.

Resoluo

Devemos aplicar a frmula do montante em uma capitalizao contnua.

inM C e=




0,05 201.000M e = 11.000 1.000 2,71828M e= = 2.718, 28M =

Exerccios Resolvidos 32. (Inspetor Fiscal Prefeitura do Municpio de So Paulo 1998) Um capital de R$ 10.000,00 aplicado taxa mensal de 5% por um prazo de 40 meses, com regime de capitalizao contnua. Qual o montante resultante dessa aplicao? (Use e = 2,7)

a) R$ 62.300,00 b) R$ 63.900,00 c) R$ 66.700,00 d) R$ 72.900,00 e) R$ 75.600,00

Resoluo

Devemos aplicar a frmula do montante em uma capitalizao contnua.

inM C e= 0,05 4010.000 2,7M =

210.000 2,7M = 72.900,00M =

Letra D

33. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao ms, com capitalizao contnua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, igual a R$ 45.000,00. O perodo de aplicao igual a a) 12 meses. b) 15 meses. c) 18 meses. d) 21 meses. e) 24 meses.

Resoluo




O montante, na capitalizao contnua dado por

45.000 25.000 ,

, 1,8

ln , ln 1,8

0,04n ln ln 1,8

0,04 1 0,6

0,6

0,04 15

Letra B

34. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado taxa semestral , durante 2 anos, com capitalizao contnua, apresentando, no final do perodo, um montante igual a R$ 200.000,00. Utilizando ln 2 0,69 (ln o logaritmo neperiano), tem-se que igual a

a) 14,02% b) 17,25% c) 30% d) 34,5% e) 69%

Resoluo

Observe que como a taxa semestral, ento o nmero de perodos igual a 4 semestres.

O montante, na capitalizao contnua dado por

200.000 50.000

4

ln ln 4

ln ln 2

4 2 2

4 1 2 0,69

0,345 34,5%

Letra D




Relao das questes comentadas nesta aula

01. (Companhia Catarinense de guas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos problemas da captao de gua de rios a presena de algas potencialmente txicas, responsveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na gua. No entanto, se a quantidade de clulas (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas no causam riscos sade. O padro considerado preocupante a partir de 20 mil clulas por mililitro. Suponha que a quantidade n de clulas (algas) por mililitro em funo do tempo, em semanas, seja dada pela expresso algbrica n(t) = 20 2t. Determine, aproximadamente, o tempo necessrio, em semanas, para que entre no padro preocupante. (Considere: log10 2 = 0,3) a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

02. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a log 144. a) 2,22. b) 2,19. c) 2,06. d) 2,14. e) 2,27.

03. (TCM SP 2006/CETRO) A populao de uma cidade aumenta segundo a equao 30.000 1,01, onde N o nmero de habitantes e t o tempo em anos. O valor de t para que a populao dobre em relao a hoje de

a) ,

b) log 2 1,01

c) 2 2 1,01

d) ,

e) 50

04. (CEF 2010/CESPE-UnB) A populao P de uma comunidade, t anos aps determinado ano considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela frmula , em que k uma constante positiva, a quantidade de indivduos na comunidade no ano t = 0 e a base do logaritmo neperiano. Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para

e que a

populao triplique em 6 anos, ento ser duplicada em




a) 3,38 anos. b) 3,48 anos. c) 3,58 anos. d) 3,68 anos. e) 3,78 anos.

05. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 06. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao ms. O valor de resgate dessa operao foi, em reais, de (Nota: efetue as operaes com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 07. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicao de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, so iguais aos da aplicao de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a


08. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros compostos de 10% ao ms acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta.

a) $ 2.691,43 b) $ 3.691,43 c) $ 4.691,43 d) $ 5.691,43 e) $ 6.691,43




09. (Esp-Adm-Or-Fin-Pb Pref. de So Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, tambm durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicaes foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ 14.400,00. b) R$ 14.560,00. c) R$ 14.580,00. d) R$ 16.000,00. e) R$ 16.400,00.

10. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, taxa de 4% ao ms. O montante obtido nessa aplicao foi aplicado a juros compostos por 2 meses taxa de 5% ao ms. Ao final da segunda aplicao, o montante obtido era de

a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40

11. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos taxa de 3% ao ms por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada taxa de 3,5% ao ms, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais prximo deste capital, dado que as duas aplicaes juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,0312 = 1,425760)

a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00. e) R$ 50 000,00.

12. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses.

a) 4%. b) 5%. c) 5,33%. d) 6,5%. e) 7%.

13. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da Administrao 2005 FEPESE) Determine o tempo em meses que um




capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao ms ser triplicado. Informaes adicionais: log 3 0,48 e log 1,03 0,012.

Assinale abaixo a nica alternativa correta.


14. (CEF 2008 CESGRANRIO) O grfico a seguir representa as evolues no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos mesma taxa de juros. M dado em unidades monetrias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere taxa de juros utilizada.

Analisando-se o grfico, conclui-se que para o credor mais vantajoso emprestar a juros

a) compostos, sempre. b) compostos, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o perodo do emprstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo.

15. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A frao de perodo pela conveno linear produz uma renda a e pela conveno exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que:

a) log b) c) d) e)




16. (AFRE PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do perodo, adotando a conveno linear, foi igual a

a) R$ 25.500,00 b) R$ 24.932,05 c)) R$ 24.805,00 d) R$ 23.780,00 e) R$ 22.755,00

17. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao ms pela conveno linear, igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10

18. (AFRF 2003/ESAF) Um capital aplicado a juros compostos taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais prximo da perda percentual do montante considerando o seu clculo pela conveno exponencial em relao ao seu clculo pela conveno linear, dado que 1,401,5 =1,656502.

a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0%

19. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Jos dispe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento:

I Juros simples de 2% ao ms. II Juros compostos de 1% ao ms. III Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um perodo de seis meses.

Assinale:

a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno.




20. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?

a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0%

21. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalizao mensal. a) 12,3600% b) 12,5508% c) 12,6825% d) 12,6162% e) 12,4864%

22. (Auditor Fiscal Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 20.000,00 aplicado taxa nominal de 24% ao ano com capitalizao trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicao. a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92

23. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crdito ao custo de 80 % ao ano com capitalizao trimestral. Tambm no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crdito ao custo dado pela taxa semestral equivalente taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetrias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mrio, por sua vez, obteve 100 unidades monetrias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que Maria e Mrio honraram seus compromissos nos respectivos perodos contratados, ento os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mrio, foram, respectivamente, iguais a: a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre. b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre. c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre. d) 240 % ao ano e 88 % ao ano. e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre. 24. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente taxa de 30% ao quadrimestre a) 114,70% b) 107,55%




c) 109,90% d) 90,00% e) 119,70% 25. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um emprstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o emprstimo aps 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalizao mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: a) 1,02 1 b) 18 1,36 1 c) 18 1,24 1 d) 3 1,24 1 e) 6 1,24 1 26. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um emprstimo ps-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflao no perodo do emprstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de a) 12,00% b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20% e) 13,20%

27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante aps um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicao e a taxa de inflao do perodo correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de

a) R$ 27.060,00 b) R$ 27.000,00 c) R$ 26.460,00 d) R$ 26.400,00 e) R$ 25.800,00

28. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um perodo em que a inflao foi de 20%, equivale a uma rentabilidade real de: a) 20% b) 44% c) 50% d) 55% e) 60%

29. (BNB 2004 ACEP) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um perodo de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no perodo foi de 100%, qual a inflao medida no mesmo perodo?




a) 100% ao perodo b) 200% ao perodo c) 300% ao perodo d) 400% ao perodo e) 500% ao perodo

30. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no incio de um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando-se totalmente seu crdito referente a esta operao. Sabe-se que a taxa de inflao referente ao primeiro ano de aplicao foi de 5% e ao segundo, 4%. Ento, a correspondente taxa real de juros, no perodo desta aplicao foi de

a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85%

31. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1 da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, que dispe sobre o salrio mnimo a partir de 1 de abril de 2007, transcrito a seguir: A partir de 1 de abril de 2007, aps a aplicao do percentual correspondente variao do ndice Nacional de Preos ao Consumidor INPC, referente ao perodo entre 1 de abril de 2006 e 31 de maro de 2007, a ttulo de reajuste, e de percentual a ttulo de aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 (trezentos e cinqenta reais) o salrio mnimo ser de R$ 380,00 (trezentos e oitenta reais). Considerando que o INPC acumulado no perodo foi de 3,4%, o percentual a ttulo de aumento real a que a lei se refere foi de: a) 5,2%. b) 4,8%. c) 5,0%. d) 5,8%. e) 5,5%.

32. (Inspetor Fiscal Prefeitura do Municpio de So Paulo 1998) Um capital de R$ 10.000,00 aplicado taxa mensal de 5% por um prazo de 40 meses, com regime de capitalizao contnua. Qual o montante resultante dessa aplicao? (Use e = 2,7)

a) R$ 62.300,00 b) R$ 63.900,00 c) R$ 66.700,00 d) R$ 72.900,00 e) R$ 75.600,00




33. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao ms, com capitalizao contnua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, igual a R$ 45.000,00. O perodo de aplicao igual a a) 12 meses. b) 15 meses. c) 18 meses. d) 21 meses. e) 24 meses.

34. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado taxa semestral , durante 2 anos, com capitalizao contnua, apresentando, no final do perodo, um montante igual a R$ 200.000,00. Utilizando ln 2 0,69 (ln o logaritmo neperiano), tem-se que igual a

a) 14,02% b) 17,25% c) 30% d) 34,5% e) 69%




Gabaritos Oficiais

01. Letra C 02. Letra D 03. Letra A 04. Letra E 05. Letra A 06. Letra E 07. Letra D 08. No h gabarito compatvel. 09. Letra C 10. Letra E 11. Letra E 12. Letra E 13. Letra E 14. Letra E 15. Letra E 16. Letra C 17. Letra D 18. Letra C 19. Letra D 20. Letra B 21. Letra C 22. Letra D 23. Letra E 24. Letra E 25. Letra A 26. Letra A 27. Letra A 28. Letra C 29. Letra C 30. Letra B 31. Letra C 32. Letra D 33. Letra B 34. Letra D

mat fin - aula 03

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