mat 2455 - cálculo iiirobertom/resources/l1.pdfmat 2455 - cálculo iii roberto mossa email:...
TRANSCRIPT
![Page 1: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/1.jpg)
MAT 2455 - Cálculo III
Roberto Mossa
Email: [email protected]
Sala: 111A
February 22, 2020
Universidade de São Paulo
Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Matemática
![Page 2: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/2.jpg)
• H. Guidorizzi, "Um Curso de Cálculo", Vol. 3, LTC, 5a ed. 2002.
• J. Stewart, "Calculo", Ed. Pioneira-Thomson Learning, 2000.
• Tom M. Apostol, "Cálculo", Vol. 2, Ed. Reverté, 1981.
• J. Bouchara, V. Carrara, A.C. Hellmeister e R. Salvitti, "Cálculo Integral
Avançado", Ed. Edusp, 2a ed. revisada, 2006.
1
![Page 3: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/3.jpg)
INTEGRAIS DUPLAS
![Page 4: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/4.jpg)
SOMA DE RIEMANN
Sejam a < b e c < d numeros dados. Consideramos o seguinte retangulo
R ={
(x , y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
equivalentemente R = [a, b]× [c, d ]. Sejam
P1 : a = x0 < x1 < · · · < xn = b
e
P2 : c = y0 < y1 < · · · < yn = d
partições de [a, b] e [c, d ] respectivamente. Fica determinada uma partição P do
retangulo R
P ={(
xi , yj)|i = 0, 1, 2, . . . , n, j = 0, 1, 2, . . . ,m
}Uma partição P de R determina m · n retângulos
Rij ={
(x , y) ∈ R2|xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj}
2
![Page 5: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/5.jpg)
SOMA DE RIEMANN
Figure 1: Partição P = {(xi , yj )} do retangulo [a, b]× [c, d ]
3
![Page 6: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/6.jpg)
SOMA DE RIEMANN
Seja f : B ⊂ R2 → R, com B limitado, logo existe um retangulo R = [a, b]× [c, d ]
que contem B
B ⊂ R.
Seja P ={(
xi , yj)|i = 0, 1, 2, . . . , n, j = 0, 1, 2, . . . ,m
}uma partição de R. Para
cada Rij seja Xij ∈ Rij um ponto escolhido arbitrariamente.
Figure 2: B ⊂ R.
4
![Page 7: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/7.jpg)
SOMA DE RIEMANN
De�nimos soma de Riemann de f relativa à partição P e aos pontos Xij o seguinte
numero
S =n∑
i=1
m∑j=1
f(Xij
)∆xi∆yj
onde f(Xij
)deve ser substituído por zero se Xij /∈ B. Observe que se f
(Xij
)> 0,
então f(Xij
)∆xi∆yj será o volume do paralelepipedo de altura f
(Xij
)e cuja base é o
retángulo Rij
Figure 3: f (Xij ). 5
![Page 8: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/8.jpg)
DEFINIÇÃO DE INTEGRAL DUPLA
Seja
∆ = max {∆x1, . . . ,∆xn,∆y1, . . . ,∆ym} .
Dizemos que a soma de Riemann∑n
i=1
∑mj=1
f(Xij
)∆xi∆yj tende a L ∈ R, quando
∆ tende a zero, e escrevemos
lim∆→0
n∑i=1
m∑j=1
f(Xij
)∆xi∆yj = L
se para todo ε > 0 dado, existir δ > 0, que sé dependa de ε mas não da escolha de Xij ,
tal que ∣∣∣∣∣∣n∑
i=1
m∑j=1
f(Xij
)∆xi∆yj − L
∣∣∣∣∣∣ < ε
para toda partição P, com ∆ < δ. Tal número L, que quando existe é único,
denomina-se integral dupla (segundo Riemann) de f sobre B. Assim∫∫Bf (x , y)dxdy = lim
∆→0
n∑i=1
m∑j=1
f(Xij
)∆xi∆yj
Se∫∫
B f (x , y)dxdy existe, então diremos que f é integrável (segundo Riemann) em B.
6
![Page 9: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/9.jpg)
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
Seja B ⊂ R2, de�nimos área de B por
|B| := m(B) :=
∫∫Bdxdy
Conjunto de conteúdo nulo
Seja D um subconjunto de R2. Dizemos que D tem conteudo nulo |D| = 0, se para
todo ε > 0 dado, existir um número �nito de retângulos A1,A2, . . . ,An tais que
D ⊂ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An∑ni=1
m (Ai ) < ε,
onde m (Ai ) é a área do retângulo Ai
7
![Page 10: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/10.jpg)
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
O grá�co de uma função continua f tem conteúdo nulo. Sendo f integrável em [a, b],
dado ε > 0 existe δ > 0 (com δ dependendo apenas de ε e não da escolha dos ci em
[xi−1, xi ]) tal que ∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (ci ) ∆xi −∫ b
a(x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2
para toda partição de [a, b], com ∆ < δ.
Sejam si e ti , respectivamente, os pontos de
máximo e de minimo de f em [xi−1, xi ] . Segue que,∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (si ) ∆xi −∫ b
af (x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2e
∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (ti ) ∆xi −∫ b
af (x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2
Assimn∑
i=1
[f (si )− f (ti )]∆xi < ε.
Observamos que
m(Ai ) = [f (si )− f (ti )]∆xié a area do rettangulo
Ai = [xi−1, xi ]× [f (si ) , f (ti )].
8
![Page 11: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/11.jpg)
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
O grá�co de uma função continua f tem conteúdo nulo. Sendo f integrável em [a, b],
dado ε > 0 existe δ > 0 (com δ dependendo apenas de ε e não da escolha dos ci em
[xi−1, xi ]) tal que ∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (ci ) ∆xi −∫ b
a(x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2
para toda partição de [a, b], com ∆ < δ.Sejam si e ti , respectivamente, os pontos de
máximo e de minimo de f em [xi−1, xi ] . Segue que,∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (si ) ∆xi −∫ b
af (x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2e
∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (ti ) ∆xi −∫ b
af (x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2
Assimn∑
i=1
[f (si )− f (ti )]∆xi < ε.
Observamos que
m(Ai ) = [f (si )− f (ti )]∆xié a area do rettangulo
Ai = [xi−1, xi ]× [f (si ) , f (ti )].
8
![Page 12: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/12.jpg)
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
EXEMPLOS:
• A imagem de uma curva γ : [a, b]→ R2 de classe C1([a, b]) tem conteúdo nulo.
(Lembre-se: γ é de classe C1([a, b]) se tem derivada continua em [a, b]).
• A imagem de uma curva γ : [a, b]→ R2 de classe C1([a, b]) por partes tem
conteúdo nulo.
Curva de classe C1 por partes
Dizemos que γ : [a, b]→ R2 é de classe C1 por partes se γ for continua e se existir
uma partição de [a, b], a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = b e curvas de classe C1
γi : [ti−1, ti ]→ R2(i = 1, 2, . . . , n)
tais que
γ(t) = γi (t) em (ti−1, ti )
Figure 4: γ é de classe C1 por partes.
9
![Page 13: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/13.jpg)
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
EXEMPLOS:
• A imagem de uma curva γ : [a, b]→ R2 de classe C1([a, b]) tem conteúdo nulo.
(Lembre-se: γ é de classe C1([a, b]) se tem derivada continua em [a, b]).
• A imagem de uma curva γ : [a, b]→ R2 de classe C1([a, b]) por partes tem
conteúdo nulo.
Curva de classe C1 por partes
Dizemos que γ : [a, b]→ R2 é de classe C1 por partes se γ for continua e se existir
uma partição de [a, b], a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = b e curvas de classe C1
γi : [ti−1, ti ]→ R2(i = 1, 2, . . . , n)
tais que
γ(t) = γi (t) em (ti−1, ti )
Figure 4: γ é de classe C1 por partes.
9
![Page 14: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/14.jpg)
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
EXEMPLOS:
• Sejam A ⊂ B ⊂ R2 então
|B| = 0⇒ |A| = 0
• O conjunto vazio tem conteudo nulo
• Todo subconjunto de R2 com um número �nito de pontos tem conteúdo nulo.
Isto é
A = {a1, . . . , am} ⇒ |A| = 0.
10
![Page 15: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/15.jpg)
TOPOLOGIA DE R2
Ponto de fronteira
Seja B ⊂ R2 e seja (x0, y0) um ponto de R2 que pode pertencer ou não a B.
Dizemos que (x0, y0) é um ponto de fronteira de B se toda bola aberta de centro
(x0, y0) contiver pelo menos um ponto de B e pelo menos um ponto que não
pertence a B. O conjunto ∂B de todos os pontos de fronteira de B denomina-se
fronteira de B.
EXEMPLO 1.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}. A fronteira de B /∈ o conjunto{
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}
EXEMPLO 2.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 ≤ y ≤ x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1}. A fronteira de B é o conjunto
Gε ∪ Gh ∪{
(0, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1}∪{
(1, y) ∈ R2|1 ≤ y ≤ 2}.
Onde GzeGh são, respectivamente, os gra�cos das funções g(x) = x2 e h(x) = x2
com 0 ≤ x ≤ 1. Portanto
|∂B| = |Gε ∪ Gh| = 0
11
![Page 16: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/16.jpg)
TOPOLOGIA DE R2
Ponto de fronteira
Seja B ⊂ R2 e seja (x0, y0) um ponto de R2 que pode pertencer ou não a B.
Dizemos que (x0, y0) é um ponto de fronteira de B se toda bola aberta de centro
(x0, y0) contiver pelo menos um ponto de B e pelo menos um ponto que não
pertence a B. O conjunto ∂B de todos os pontos de fronteira de B denomina-se
fronteira de B.
EXEMPLO 1.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}. A fronteira de B /∈ o conjunto{
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}
EXEMPLO 2.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 ≤ y ≤ x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1}. A fronteira de B é o conjunto
Gε ∪ Gh ∪{
(0, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1}∪{
(1, y) ∈ R2|1 ≤ y ≤ 2}.
Onde GzeGh são, respectivamente, os gra�cos das funções g(x) = x2 e h(x) = x2
com 0 ≤ x ≤ 1. Portanto
|∂B| = |Gε ∪ Gh| = 0
11
![Page 17: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/17.jpg)
TOPOLOGIA DE R2
Ponto de fronteira
Seja B ⊂ R2 e seja (x0, y0) um ponto de R2 que pode pertencer ou não a B.
Dizemos que (x0, y0) é um ponto de fronteira de B se toda bola aberta de centro
(x0, y0) contiver pelo menos um ponto de B e pelo menos um ponto que não
pertence a B. O conjunto ∂B de todos os pontos de fronteira de B denomina-se
fronteira de B.
EXEMPLO 1.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}. A fronteira de B /∈ o conjunto{
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}
EXEMPLO 2.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 ≤ y ≤ x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1}. A fronteira de B é o conjunto
Gε ∪ Gh ∪{
(0, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1}∪{
(1, y) ∈ R2|1 ≤ y ≤ 2}.
Onde GzeGh são, respectivamente, os gra�cos das funções g(x) = x2 e h(x) = x2
com 0 ≤ x ≤ 1. Portanto
|∂B| = |Gε ∪ Gh| = 0
11
![Page 18: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/18.jpg)
TOPOLOGIA DE R2
Seja B ⊂ R2. Denotamos o complementar de B por
Bc ={
(x , y) ∈ R2 | (x , y) /∈ B}
= R2 \ B.
Conjunto fechado
B fechado ⇔ Bc aberto⇔ ∂B ⊂ B,
onde ∂B é a fronteira de B.
Conjunto compacto
B compacto ⇔ Bc fechado e limitado
12
![Page 19: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/19.jpg)
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
Teorema 1. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 1)
Seja B ⊂ R2 um conjunto limitado e seja f : B → R uma função continua e
limitada. Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
A hipotese �f é continua� pode substituida por �f é continua em todos os pontos de
B, exceto nos pontos de un conjutto de conteúdo nulo".
Teorema 2. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 2)
Seja f : B → R uma função continua onde B ⊂ R2 um conjunto compacto (fechado
e limitado). Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
Con efeito
B compacto + f : B → R continua ⇒ f limitada
13
![Page 20: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/20.jpg)
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
Teorema 1. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 1)
Seja B ⊂ R2 um conjunto limitado e seja f : B → R uma função continua e
limitada. Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
A hipotese �f é continua� pode substituida por �f é continua em todos os pontos de
B, exceto nos pontos de un conjutto de conteúdo nulo".
Teorema 2. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 2)
Seja f : B → R uma função continua onde B ⊂ R2 um conjunto compacto (fechado
e limitado). Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
Con efeito
B compacto + f : B → R continua ⇒ f limitada
13
![Page 21: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/21.jpg)
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
Teorema 1. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 1)
Seja B ⊂ R2 um conjunto limitado e seja f : B → R uma função continua e
limitada. Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
A hipotese �f é continua� pode substituida por �f é continua em todos os pontos de
B, exceto nos pontos de un conjutto de conteúdo nulo".
Teorema 2. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 2)
Seja f : B → R uma função continua onde B ⊂ R2 um conjunto compacto (fechado
e limitado). Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
Con efeito
B compacto + f : B → R continua ⇒ f limitada
13
![Page 22: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/22.jpg)
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 1.
Sejam f (x , y) = x + y e B o conjunto de todos (x , y) tais que x2 + y2 ≤ 1. Então a
função f é integrável em B. Porque?
• f é continua e limitada em B;
• ∂B é a imagem da curva de classe C1 dada por x = cos t, y = sen t, t ∈ [0, 2π];
Como |∂B| = 0, segue que f é integrãvel em B, isto é a integral∫∫B
(x + y)dxdy
existe.
14
![Page 23: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/23.jpg)
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 1.
Sejam f (x , y) = x + y e B o conjunto de todos (x , y) tais que x2 + y2 ≤ 1. Então a
função f é integrável em B. Porque?
• f é continua e limitada em B;
• ∂B é a imagem da curva de classe C1 dada por x = cos t, y = sen t, t ∈ [0, 2π];
Como |∂B| = 0, segue que f é integrãvel em B, isto é a integral∫∫B
(x + y)dxdy
existe.
14
![Page 24: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/24.jpg)
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 2.
Sejam f (x , y) = x + y e B ={
(x , y) ∈ R2|x2 ≤ y ≤ 1 + x2,−1 ≤ x ≤ 1}.
A função f : B → R é integravel?
A fronteira ∂B tem conteúdo nulo, pois ∂B = D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4, onde
• D1 é o grá�co de y = x2,−1 ≤ x ≤ 1 ;
• D2 é o grá�co de y = 1 + x2,−1 ≤ x ≤ 1 ;
• D3 é a imagem da curva x = 1, y = t, 1 ≤ t ≤ 2 ;
• D4 é a imagem da curva x = −1, y = t, 1 ≤ t ≤ 2.
Observe que as funções y = x2 e y = 1 + x2 são continuas e as curvas mencionadas
são de classe C1. Segue que f é integrável em B.
15
![Page 25: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/25.jpg)
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 2.
Sejam f (x , y) = x + y e B ={
(x , y) ∈ R2|x2 ≤ y ≤ 1 + x2,−1 ≤ x ≤ 1}.
A função f : B → R é integravel?
A fronteira ∂B tem conteúdo nulo, pois ∂B = D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4, onde
• D1 é o grá�co de y = x2,−1 ≤ x ≤ 1 ;
• D2 é o grá�co de y = 1 + x2,−1 ≤ x ≤ 1 ;
• D3 é a imagem da curva x = 1, y = t, 1 ≤ t ≤ 2 ;
• D4 é a imagem da curva x = −1, y = t, 1 ≤ t ≤ 2.
Observe que as funções y = x2 e y = 1 + x2 são continuas e as curvas mencionadas
são de classe C1. Segue que f é integrável em B.15
![Page 26: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/26.jpg)
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 3.
Seja B o círulo x2 + y2 ≤ 1. Seja f : B → R dada por
f (x , y) =
{1 se y > 0
−1 se y < 0
f é integrável em B? Por quê?
Soluçao.
• A fronteira de B tem conteúdo nulo.
• A função f é limitada em B (−1 ≤ f (x , y) ≤ 1 )
• A função f é descontinua apenas nos pontos (x , 0),−1 ≤ x ≤ 1
Como o conjunto dos pontos de descontinuidade tem conteúdo nulo, segue que f é
integrável em B.
16
![Page 27: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/27.jpg)
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 3.
Seja B o círulo x2 + y2 ≤ 1. Seja f : B → R dada por
f (x , y) =
{1 se y > 0
−1 se y < 0
f é integrável em B? Por quê?
Soluçao.
• A fronteira de B tem conteúdo nulo.
• A função f é limitada em B (−1 ≤ f (x , y) ≤ 1 )
• A função f é descontinua apenas nos pontos (x , 0),−1 ≤ x ≤ 1
Como o conjunto dos pontos de descontinuidade tem conteúdo nulo, segue que f é
integrável em B.
16
![Page 28: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/28.jpg)
PROPRIEDADES DA INTEGRAL
Sejam f e g integraveis em B e seja k uma constante. Tem-se
1. f + g e kf são integráveis e
a)∫∫
B [f (x , y) + g(x , y)]dxdy =∫∫
B f (x , y)dxdy +∫∫
B g(x , y)dxdy
b)∫∫
B kf (x , y)dxdy = k∫∫
B f (x , y)dxdy
2. f (x , y) > 0 em B ⇒∫∫
B f (x , y)dxdy > 0.
3. f (x , y) 6 g(x , y) em B ⇒∫∫
B f (x , y)dxdy 6∫∫
B g(x , y)dxdy
4. Se B tiver conteúdo nulo (i.e. |B| =∫∫
B dxdy = 0), então∫∫Bf (x , y)dxdy = 0
5. se o conjunto E = {(x , y) ∈ B|f (x , y) 6= g(x , y)} tiver conteúdo nulo (i.e.
|E | = 0), então ∫∫Bf (x , y)dxdy =
∫∫Bg(x , y)dxdy
6. se f for integrável em B1 e B ∩ B1 tiver conteúdo nulo (i.e. |B ∩ B1| = 0), então∫∫B∪B1
f (x , y)dxdy =
∫∫Bf (x , y)dxdy +
∫∫B1
f (x , y)dxdy
17
![Page 29: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/29.jpg)
PROPRIEDADES DA INTEGRAL
Conexidade por arcos
Um conjunto B ⊂ R2 é dito conexo por arcos (ou conexo por caminhos) se quaisquer
dois dos seus pontos estão ligados por curva continua contida em B.
18
![Page 30: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/30.jpg)
PROPRIEDADES DA INTEGRAL
Propriedade do valor médio para integrais
Seja f continua em B ⊂ R2 compacto, conexo por arcos e com |∂B| = 0. Então,
existe pelo menos um ponto (x0, y0) ∈ B. Tal que∫∫Bf (x , y)dxdy = αf (x0, y0),
onde
α = Vol(B) =
∫∫Bdxdy .
19
![Page 31: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/31.jpg)
Funçòes nào de�nidas num cojunto de conteudo nulo.
Integrabilidade de sunçòes nào de�nidas num cojunto de conteudo nulo.
Seja B um conjunto compacto com fronteira de conteudo nulo (i.e. |∂B| = 0). Seja
f : B \ D → R.
onde D ⊂ B é un conjunto de conteúdo nulo. Seja g : B → R ingravel e tal que
f (x , y) = g(x , y) para todo (x , y) ∈ B \ D.
De�nimos ∫∫Bf (x , y)dxdy =
∫∫Bg(x , y)dxdy .
Observe que a integral acima está bem de�nida, pois se h for outra função de B em Rtal que h(x , y) = f (x , y) em todo (x , y) /∈ D, com h integrável em B, então∫∫
Bh(x , y)dxdy =
∫∫Bg(x , y)dxdy
pela propriedade 5.
20
![Page 32: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/32.jpg)
Funçòes nào de�nidas num cojunto de conteudo nulo.
EXEMPLO 1. Seja B o círulo x2 + y2 ≤ 1. Seja
f (x , y) =x2
x2 + y2,
por (x , y) ∈ B \ {(0, 0)} e seja g : B → R dada por
g(x , y) =
{x2
x2+y2se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
Como g é integrável em B, segue que∫∫
Bx2
x2+y2dxdy existe e
∫∫B
x2
x2 + y2dxdy =
∫∫Bg(x , y)dxdy
21
![Page 33: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/33.jpg)
Funçòes nào de�nidas num cojunto de conteudo nulo.
EXEMPLO 2. Seja B o círulo x2 + y2 ≤ 1 observamos que
∂B ={
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}. Sejam
f (x , y) =sen(1− x2 − y2
)1− x2 − y2
, (x , y) ∈ B \ ∂B
e g : B → R dada por
g(x , y) =
{sen(1−x2−y2)
1−x2−y2se (x , y) ∈ B \ ∂B
1 se (x , y) ∈ ∂B
Sendo g continua em B, segue que g é integrável em B. Assim,∫∫B
sen(1− x2 − y2
)1− x2 − y2
dxdy =
∫∫Bg(x , y)dxdy .
22
![Page 34: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/34.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Seja o retângulo R ={
(x , y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}e seja f (x , y) integrável
em R.
Fixado y ∈ [c, d ] consideramos a função gy : [a, b]→ R dada por
gy (x) = f (x , y)
Se por cada y ∈ [c, d ] a função gy è integravel, podemos considerar a função dada por
α(y) =
∫ b
agy (x)dx =
∫ b
af (x , y)dxdy ∈ [c, d ].
No caso f (x , y) ≥ 0, α(y) è a area da região hachurada:
23
![Page 35: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/35.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Seja o retângulo R ={
(x , y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}e seja f (x , y) integrável
em R. Fixado y ∈ [c, d ] consideramos a função gy : [a, b]→ R dada por
gy (x) = f (x , y)
Se por cada y ∈ [c, d ] a função gy è integravel, podemos considerar a função dada por
α(y) =
∫ b
agy (x)dx =
∫ b
af (x , y)dxdy ∈ [c, d ].
No caso f (x , y) ≥ 0, α(y) è a area da região hachurada:
23
![Page 36: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/36.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Seja o retângulo R ={
(x , y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}e seja f (x , y) integrável
em R. Fixado y ∈ [c, d ] consideramos a função gy : [a, b]→ R dada por
gy (x) = f (x , y)
Se por cada y ∈ [c, d ] a função gy è integravel, podemos considerar a função dada por
α(y) =
∫ b
agy (x)dx =
∫ b
af (x , y)dxdy ∈ [c, d ].
No caso f (x , y) ≥ 0, α(y) è a area da região hachurada:
23
![Page 37: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/37.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Seja o retângulo R ={
(x , y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}e seja f (x , y) integrável
em R. Fixado y ∈ [c, d ] consideramos a função gy : [a, b]→ R dada por
gy (x) = f (x , y)
Se por cada y ∈ [c, d ] a função gy è integravel, podemos considerar a função dada por
α(y) =
∫ b
agy (x)dx =
∫ b
af (x , y)dxdy ∈ [c, d ].
No caso f (x , y) ≥ 0, α(y) è a area da região hachurada:
23
![Page 38: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/38.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 1
Seja f (x , y) integrável no retângulo R = [a, b]× [c, d ].
Suponhamos que
•∫ ba f (x , y0)dx exista, para todo y0 ∈ [c, d ],
•∫ dc f (x0, y)dy exista, para todo x0 ∈ [a, b],
Então ∫∫Rf (x , y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af (x , y)dx
]dy =
∫ b
a
[∫ d
cf (x , y)dy
]dx
24
![Page 39: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/39.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 1
Seja f (x , y) integrável no retângulo R = [a, b]× [c, d ]. Suponhamos que
•∫ ba f (x , y0)dx exista, para todo y0 ∈ [c, d ],
•∫ dc f (x0, y)dy exista, para todo x0 ∈ [a, b],
Então ∫∫Rf (x , y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af (x , y)dx
]dy =
∫ b
a
[∫ d
cf (x , y)dy
]dx
24
![Page 40: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/40.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 1
Seja f (x , y) integrável no retângulo R = [a, b]× [c, d ]. Suponhamos que
•∫ ba f (x , y0)dx exista, para todo y0 ∈ [c, d ],
•∫ dc f (x0, y)dy exista, para todo x0 ∈ [a, b],
Então ∫∫Rf (x , y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af (x , y)dx
]dy =
∫ b
a
[∫ d
cf (x , y)dy
]dx
24
![Page 41: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/41.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 1
Seja f (x , y) integrável no retângulo R = [a, b]× [c, d ]. Suponhamos que
•∫ ba f (x , y0)dx exista, para todo y0 ∈ [c, d ],
•∫ dc f (x0, y)dy exista, para todo x0 ∈ [a, b],
Então ∫∫Rf (x , y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af (x , y)dx
]dy =
∫ b
a
[∫ d
cf (x , y)dy
]dx
24
![Page 42: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/42.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 1. Calcule∫∫
R(x + y) dxdy , onde R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.
Solução. Pelo teorema de Fubini∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(∫2
1
(x + y)dx
)dy .
Temos: ∫2
1
(x + y)dx =
[x2
2+ xy
]21
=
(4
2+ 2y
)−(1
2+ y
)=
3
2+ y .
Então, ∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(3
2+ y
)dy =
[3
2y +
y2
2
]10
= 2.
Invertendo a ordem de integração, obtemos∫∫R
(x+y)dxdy =
∫2
1
[∫1
0
(x + y)dy
]dx =
∫2
1
[xy +
y2
2
]10
dx =
∫2
1
(x +
1
2
)dx = 2.
25
![Page 43: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/43.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 1. Calcule∫∫
R(x + y) dxdy , onde R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.
Solução. Pelo teorema de Fubini∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(∫2
1
(x + y)dx
)dy .
Temos: ∫2
1
(x + y)dx =
[x2
2+ xy
]21
=
(4
2+ 2y
)−(1
2+ y
)=
3
2+ y .
Então, ∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(3
2+ y
)dy =
[3
2y +
y2
2
]10
= 2.
Invertendo a ordem de integração, obtemos∫∫R
(x+y)dxdy =
∫2
1
[∫1
0
(x + y)dy
]dx =
∫2
1
[xy +
y2
2
]10
dx =
∫2
1
(x +
1
2
)dx = 2.
25
![Page 44: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/44.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 1. Calcule∫∫
R(x + y) dxdy , onde R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.
Solução. Pelo teorema de Fubini∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(∫2
1
(x + y)dx
)dy .
Temos: ∫2
1
(x + y)dx =
[x2
2+ xy
]21
=
(4
2+ 2y
)−(1
2+ y
)=
3
2+ y .
Então, ∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(3
2+ y
)dy =
[3
2y +
y2
2
]10
= 2.
Invertendo a ordem de integração, obtemos∫∫R
(x+y)dxdy =
∫2
1
[∫1
0
(x + y)dy
]dx =
∫2
1
[xy +
y2
2
]10
dx =
∫2
1
(x +
1
2
)dx = 2.
25
![Page 45: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/45.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 2. Calcule
a)∫1
−1∫2
0xy2dxdy
∫1
−1
∫2
0
xy2dxdy =
∫1
−1
[∫2
0
xy2dx
]dy =
∫1
−1
[x2
2y2]20
dy =
∫1
−12y2dy =
4
3
b)∫2
0
∫1
−1 xy2dydx .
∫2
0
∫1
−1xy2dydx =
∫2
0
[∫1
−1xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[∫1
0
xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[xy3
3
]10
dx
=2
3
∫2
0
xdx =4
3
26
![Page 46: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/46.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 2. Calcule
a)∫1
−1∫2
0xy2dxdy
∫1
−1
∫2
0
xy2dxdy =
∫1
−1
[∫2
0
xy2dx
]dy =
∫1
−1
[x2
2y2]20
dy =
∫1
−12y2dy =
4
3
b)∫2
0
∫1
−1 xy2dydx .
∫2
0
∫1
−1xy2dydx =
∫2
0
[∫1
−1xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[∫1
0
xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[xy3
3
]10
dx
=2
3
∫2
0
xdx =4
3
26
![Page 47: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/47.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 2. Calcule
a)∫1
−1∫2
0xy2dxdy
∫1
−1
∫2
0
xy2dxdy =
∫1
−1
[∫2
0
xy2dx
]dy =
∫1
−1
[x2
2y2]20
dy =
∫1
−12y2dy =
4
3
b)∫2
0
∫1
−1 xy2dydx .
∫2
0
∫1
−1xy2dydx =
∫2
0
[∫1
−1xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[∫1
0
xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[xy3
3
]10
dx
=2
3
∫2
0
xdx =4
3
26
![Page 48: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/48.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 2. Calcule
a)∫1
−1∫2
0xy2dxdy
∫1
−1
∫2
0
xy2dxdy =
∫1
−1
[∫2
0
xy2dx
]dy =
∫1
−1
[x2
2y2]20
dy =
∫1
−12y2dy =
4
3
b)∫2
0
∫1
−1 xy2dydx .
∫2
0
∫1
−1xy2dydx =
∫2
0
[∫1
−1xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[∫1
0
xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[xy3
3
]10
dx
=2
3
∫2
0
xdx =4
3
26
![Page 49: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/49.jpg)
VOLUME DE UM SOLIDO.
Seja f (x , y) integrável em B com f (x , y) ≥ 0 em B. Seja
A ={
(x , y , z) ∈ R3|(x , y) ∈ B, 0 ≤ z ≤ f (x , y)}
De�nimos o volume de A por
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy
EXEMPLO. f (x , y) = k, k constante, R ={
(x , y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Vol(A) =
∫∫Rkdxdy =
∫ d
c
(∫ b
akdx
)dy =
∫ d
c(k(b − a)) dy = k(b − a)(d − c)
Se k > 0,∫∫
R kdxdy é o volume do paralelepipedo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e 0 ≤ z ≤ k
27
![Page 50: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/50.jpg)
VOLUME DE UM SOLIDO.
Seja f (x , y) integrável em B com f (x , y) ≥ 0 em B. Seja
A ={
(x , y , z) ∈ R3|(x , y) ∈ B, 0 ≤ z ≤ f (x , y)}
De�nimos o volume de A por
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy
EXEMPLO. f (x , y) = k, k constante, R ={
(x , y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Vol(A) =
∫∫Rkdxdy =
∫ d
c
(∫ b
akdx
)dy =
∫ d
c(k(b − a)) dy = k(b − a)(d − c)
Se k > 0,∫∫
R kdxdy é o volume do paralelepipedo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e 0 ≤ z ≤ k
27
![Page 51: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/51.jpg)
VOLUME DE UM SOLIDO.
Seja f (x , y) integrável em B com f (x , y) ≥ 0 em B. Seja
A ={
(x , y , z) ∈ R3|(x , y) ∈ B, 0 ≤ z ≤ f (x , y)}
De�nimos o volume de A por
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy
EXEMPLO. f (x , y) = k, k constante, R ={
(x , y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Vol(A) =
∫∫Rkdxdy =
∫ d
c
(∫ b
akdx
)dy =
∫ d
c(k(b − a)) dy = k(b − a)(d − c)
Se k > 0,∫∫
R kdxdy é o volume do paralelepipedo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e 0 ≤ z ≤ k
27
![Page 52: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/52.jpg)
VOLUME DE UM SOLIDO.
EXEMPLO 3. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que 0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x2 + y2
Vol(A) =
∫∫B
(x2 + y2
)dxdy =
∫1
0
[∫1
0
(x2 + y2
)dx
]dy =
∫1
0
[x3
3+ xy2
]10
dy =
∫1
0
[1
3+ y2
]dy
=
[1
3y +
y3
3
]10
=2
3.
28
![Page 53: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/53.jpg)
VOLUME DE UM SOLIDO.
EXEMPLO 3. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que 0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x2 + y2
Vol(A) =
∫∫B
(x2 + y2
)dxdy =
∫1
0
[∫1
0
(x2 + y2
)dx
]dy =
∫1
0
[x3
3+ xy2
]10
dy =
∫1
0
[1
3+ y2
]dy
=
[1
3y +
y3
3
]10
=2
3.
28
![Page 54: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/54.jpg)
VOLUME DE UM SOLIDO.
EXEMPLO 3. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que 0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x2 + y2
Vol(A) =
∫∫B
(x2 + y2
)dxdy =
∫1
0
[∫1
0
(x2 + y2
)dx
]dy =
∫1
0
[x3
3+ xy2
]10
dy =
∫1
0
[1
3+ y2
]dy
=
[1
3y +
y3
3
]10
=2
3.
28
![Page 55: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/55.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 2
• Sejam c(x) e d(x) duas funções continuas tais que, c(x) ≤ d(x) ∀x ∈ [a, b]
• Seja f (x , y) continua no retângulo R = {(x , y) | a ≤ x ≤ b e c(x) ≤ y ≤ d(x)}.
Então ∫∫Bf (x , y)dxdy =
∫ b
a
[∫ d(x)
c(x)f (x , y)dy
]dx
29
![Page 56: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/56.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 3
• Sejam a(x) e b(x) duas funções continuas tais que, a(y) ≤ b(y), ∀y ∈ [c, d ]
• Seja f (x , y) continua no retângulo R = {(x , y) | c ≤ y ≤ d e a(x) ≤ x ≤ b(x)}.
Então ∫∫Bf (x , y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b(y)
a(y)f (x , y)dx
]dy
30
![Page 57: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/57.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 5. Calcule∫∫
B(x − y)dxdy , onde B ={
(x , y) | x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0}
então
∫∫B
(x − y)dxdy =
∫1
0
[∫ √1−x2
−√
1−x2(x − y)dy
]dx
=
∫1
0
[xy − y2
2
]√1−x2
−√
1−x2
dx =
∫1
0
2x√
1− x2dx
31
![Page 58: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/58.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 5. Calcule∫∫
B(x − y)dxdy , onde B ={
(x , y) | x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0}
então
∫∫B
(x − y)dxdy =
∫1
0
[∫ √1−x2
−√
1−x2(x − y)dy
]dx
=
∫1
0
[xy − y2
2
]√1−x2
−√
1−x2
dx =
∫1
0
2x√
1− x2dx
31
![Page 59: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/59.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 5. Calcule∫∫
B(x − y)dxdy , onde B ={
(x , y) | x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0}
então
∫∫B
(x − y)dxdy =
∫1
0
[∫ √1−x2
−√
1−x2(x − y)dy
]dx
=
∫1
0
[xy − y2
2
]√1−x2
−√
1−x2
dx =
∫1
0
2x√
1− x2dx
31
![Page 60: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/60.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Façamos a mudança de variável
u = 1− x2; du = −2xdxx = 0; u = 1
x = 1; u = 0
Assim, ∫1
0
2x√
1− x2dx =
∫1
0
√udu =
2
3
Portanto, ∫∫B
(x − y)dxdy =2
3
32
![Page 61: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/61.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Vamos, agora, calcular∫∫
B(x − y)dxdy invertendo a ordem de integração.
Então
∫∫B
(x − y)dxdy =
∫1
−1
[∫ √1−y2
0
(x − y)dx
]dy =
∫1
−1
[ x22− xy
]√1−y2
0
dy
=
∫1
−1
(1− y2
2− y√
1− y2)dy =
∫1
−1
1− y2
2dy =
∫1
0
(1− y2
)dy =
2
3.
33
![Page 62: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/62.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Vamos, agora, calcular∫∫
B(x − y)dxdy invertendo a ordem de integração.
Então
∫∫B
(x − y)dxdy =
∫1
−1
[∫ √1−y2
0
(x − y)dx
]dy =
∫1
−1
[ x22− xy
]√1−y2
0
dy
=
∫1
−1
(1− y2
2− y√
1− y2)dy =
∫1
−1
1− y2
2dy =
∫1
0
(1− y2
)dy =
2
3.
33
![Page 63: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/63.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que x ≥ 0, y ≥0, x + y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1− x2.
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy ,
onde
f (x , y) = 1− x2
e B è o triangulo
B = {(x , y) | x ≥ 0, y ≥ 0 e x + y ≤ 1}
34
![Page 64: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/64.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que x ≥ 0, y ≥0, x + y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1− x2.
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy ,
onde
f (x , y) = 1− x2
e B è o triangulo
B = {(x , y) | x ≥ 0, y ≥ 0 e x + y ≤ 1}
34
![Page 65: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/65.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que x ≥ 0, y ≥0, x + y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1− x2.
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy ,
onde
f (x , y) = 1− x2
e B è o triangulo
B = {(x , y) | x ≥ 0, y ≥ 0 e x + y ≤ 1}
34
![Page 66: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/66.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
A área da região hachurada è dada por:∫1−x0
(1− x2
)dy
=(1− x2
)(1− x) = 1− x − x2 + x .
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy =
∫∫B
(1− x2
)dxdy =
∫1
0
[∫1−x
0
(1− x2
)dy
]dx
=
∫1
0
(1− x − x2 + x3
)dx =
5
12.
35
![Page 67: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/67.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 7. Calcule∫∫
B xydxdy , onde B é o triângulo de vértices (−1, 0), (0, 1) e
(1, 0)
Como a(y) = y − 1 e b(y) = 1− y , resulta∫ b(y)
a(y)xy dx =
∫1−y
y−1xydx =
[x2
2y
]−1−y
y−1=
(1− y)2y
2−
(y − 1)2y
2= 0
Assim, ∫∫Bxy dxdy =
∫1
0
[∫ b(y)
a(y)xy dx
]dy = 0
36
![Page 68: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/68.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 7. Calcule∫∫
B xydxdy , onde B é o triângulo de vértices (−1, 0), (0, 1) e
(1, 0)
Como a(y) = y − 1 e b(y) = 1− y , resulta∫ b(y)
a(y)xy dx =
∫1−y
y−1xydx =
[x2
2y
]−1−y
y−1=
(1− y)2y
2−
(y − 1)2y
2= 0
Assim, ∫∫Bxy dxdy =
∫1
0
[∫ b(y)
a(y)xy dx
]dy = 0
36
![Page 69: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/69.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 7. Calcule∫∫
B xydxdy , onde B é o triângulo de vértices (−1, 0), (0, 1) e
(1, 0)
Como a(y) = y − 1 e b(y) = 1− y , resulta∫ b(y)
a(y)xy dx =
∫1−y
y−1xydx =
[x2
2y
]−1−y
y−1=
(1− y)2y
2−
(y − 1)2y
2= 0
Assim, ∫∫Bxy dxdy =
∫1
0
[∫ b(y)
a(y)xy dx
]dy = 0
36
![Page 70: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/70.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Vamos, agora, calcular a integral invertendo a ordem de integração
∫∫B
xydxdy =
∫∫B1
xydxdy +
∫∫B2
xydxdy
∫∫B1
xydxdy =
∫ 0
−1
[∫ 1+x
0
xydy
]dx =
∫ 0
−1
x(1 + x)2
2dx
e ∫∫B2
xydxdy =
∫ 1
0
[∫ 1−x
0
xydy
]dx =
∫ 1
0
x(1− x)2
2dx.
Portanto ∫∫B
xydxdy =1
2
[∫ 0
−1
(x + 2x2 + x3
)dx +
∫ 1
0
(x − 2x2 + x3
)dx
]= 0
37
![Page 71: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/71.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Vamos, agora, calcular a integral invertendo a ordem de integração
∫∫B
xydxdy =
∫∫B1
xydxdy +
∫∫B2
xydxdy
∫∫B1
xydxdy =
∫ 0
−1
[∫ 1+x
0
xydy
]dx =
∫ 0
−1
x(1 + x)2
2dx
e ∫∫B2
xydxdy =
∫ 1
0
[∫ 1−x
0
xydy
]dx =
∫ 1
0
x(1− x)2
2dx.
Portanto ∫∫B
xydxdy =1
2
[∫ 0
−1
(x + 2x2 + x3
)dx +
∫ 1
0
(x − 2x2 + x3
)dx
]= 0
37
![Page 72: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/72.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Vamos, agora, calcular a integral invertendo a ordem de integração
∫∫B
xydxdy =
∫∫B1
xydxdy +
∫∫B2
xydxdy
∫∫B1
xydxdy =
∫ 0
−1
[∫ 1+x
0
xydy
]dx =
∫ 0
−1
x(1 + x)2
2dx
e ∫∫B2
xydxdy =
∫ 1
0
[∫ 1−x
0
xydy
]dx =
∫ 1
0
x(1− x)2
2dx.
Portanto ∫∫B
xydxdy =1
2
[∫ 0
−1
(x + 2x2 + x3
)dx +
∫ 1
0
(x − 2x2 + x3
)dx
]= 0
37
![Page 73: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/73.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 8. Calcule∫∫
B e−2dxdy , onde B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e
(0, 1).
∫∫Be−y2dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
e−y2dx
]dy =
∫1
0
[∫ b(y)
0
e−y2dx
]dy =
∫1
0
ye−y2dy =
=
[−1
2e−y2
]1
0
=1
2
(1− e−1
)
38
![Page 74: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/74.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 8. Calcule∫∫
B e−2dxdy , onde B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e
(0, 1).
∫∫Be−y2dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
e−y2dx
]dy =
∫1
0
[∫ b(y)
0
e−y2dx
]dy =
∫1
0
ye−y2dy =
=
[−1
2e−y2
]1
0
=1
2
(1− e−1
)
38
![Page 75: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/75.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 9. Inverta a ordem de integração e calcule∫1
0
[∫1√y sen x3dx
]dy
Observamos que ∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫∫B
sen x3dxdy
onde
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1,√y ≤ x ≤ 1
}
∫∫B
sen x3dxdy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
39
![Page 76: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/76.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 9. Inverta a ordem de integração e calcule∫1
0
[∫1√y sen x3dx
]dy
Observamos que ∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫∫B
sen x3dxdy
onde
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1,√y ≤ x ≤ 1
}
∫∫B
sen x3dxdy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
39
![Page 77: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/77.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 9. Inverta a ordem de integração e calcule∫1
0
[∫1√y sen x3dx
]dy
Observamos que ∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫∫B
sen x3dxdy
onde
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1,√y ≤ x ≤ 1
}
∫∫B
sen x3dxdy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
39
![Page 78: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/78.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Portanto
∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
onde ∫ x2
0
sen x3dy = sen x3∫ x2
0
dy = sen x3[y ]x2
0 = x2 sen x3.
Portanto
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx =
∫1
0
x2 sen x3dx =
[−1
3cos x3
]1
0
=1
3(1− cos 1)
40
![Page 79: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/79.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Portanto
∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
onde ∫ x2
0
sen x3dy = sen x3∫ x2
0
dy = sen x3[y ]x2
0 = x2 sen x3.
Portanto
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx =
∫1
0
x2 sen x3dx =
[−1
3cos x3
]1
0
=1
3(1− cos 1)
40
![Page 80: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/80.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Portanto
∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
onde ∫ x2
0
sen x3dy = sen x3∫ x2
0
dy = sen x3[y ]x2
0 = x2 sen x3.
Portanto
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx =
∫1
0
x2 sen x3dx =
[−1
3cos x3
]1
0
=1
3(1− cos 1)
40
![Page 81: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/81.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 10. Inverta a ordem de integração na integral∫1
0
[∫√2−x2
x f (x , y)dy
]dx ,
onde f (x , y) é suposta continua em R2.
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫Bf (x , y)dydx
41
![Page 82: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/82.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 10. Inverta a ordem de integração na integral∫1
0
[∫√2−x2
x f (x , y)dy
]dx ,
onde f (x , y) é suposta continua em R2.
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫Bf (x , y)dydx
41
![Page 83: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/83.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
∫Bf (x , y)dydx =
∫∫B1
f (x , y)dxdy +
∫∫B2
f (x , y)dxdy
Onde∫∫B1
f (x , y)dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy e
∫∫B2
f (x , y)dxdy =
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
Portanto
=
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy+
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
42
![Page 84: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/84.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
∫Bf (x , y)dydx =
∫∫B1
f (x , y)dxdy +
∫∫B2
f (x , y)dxdy
Onde∫∫B1
f (x , y)dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy e
∫∫B2
f (x , y)dxdy =
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
Portanto
=
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy+
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
42
![Page 85: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/85.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
∫Bf (x , y)dydx =
∫∫B1
f (x , y)dxdy +
∫∫B2
f (x , y)dxdy
Onde∫∫B1
f (x , y)dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy e
∫∫B2
f (x , y)dxdy =
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
Portanto
=
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy+
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
42
![Page 86: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/86.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
∫Bf (x , y)dydx =
∫∫B1
f (x , y)dxdy +
∫∫B2
f (x , y)dxdy
Onde∫∫B1
f (x , y)dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy e
∫∫B2
f (x , y)dxdy =
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
Portanto
=
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy+
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
42
![Page 87: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/87.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 11. Utilizando integral dupla, calcule a área da região compreendida entre
os grá�cos das funções y = x e y = −x2 + x + 1, com −1 ≤ x ≤ 1
Area (B) =
∫∫Bdxdy
∫∫Bdxdy =
∫1
−1
[∫ −x2+x+1
xdy
]dx =
∫1
−1
([y ]−x2+x+1
x
)dx =
∫1
−1−x2 + 1dx =
4
3.
43
![Page 88: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/88.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 11. Utilizando integral dupla, calcule a área da região compreendida entre
os grá�cos das funções y = x e y = −x2 + x + 1, com −1 ≤ x ≤ 1
Area (B) =
∫∫Bdxdy
∫∫Bdxdy =
∫1
−1
[∫ −x2+x+1
xdy
]dx =
∫1
−1
([y ]−x2+x+1
x
)dx =
∫1
−1−x2 + 1dx =
4
3.
43
![Page 89: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/89.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 11. Utilizando integral dupla, calcule a área da região compreendida entre
os grá�cos das funções y = x e y = −x2 + x + 1, com −1 ≤ x ≤ 1
Area (B) =
∫∫Bdxdy
∫∫Bdxdy =
∫1
−1
[∫ −x2+x+1
xdy
]dx =
∫1
−1
([y ]−x2+x+1
x
)dx =
∫1
−1−x2 + 1dx =
4
3.
43
![Page 90: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/90.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 11. Utilizando integral dupla, calcule a área da região compreendida entre
os grá�cos das funções y = x e y = −x2 + x + 1, com −1 ≤ x ≤ 1
Area (B) =
∫∫Bdxdy
∫∫Bdxdy =
∫1
−1
[∫ −x2+x+1
xdy
]dx =
∫1
−1
([y ]−x2+x+1
x
)dx =
∫1
−1−x2 + 1dx =
4
3.
43
![Page 91: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/91.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 12. Inverta a ordem de integração na integral∫3
0
[∫4x−x2
xf (x , y)dy
]dx
a região de integração é o conjunto
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 3 e x ≤ y ≤ 4x − x2}
Precisamos expressar x em função de y . Temos
y = 4x − x2 ⇔ x2 − 4x + y = 0
44
![Page 92: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/92.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 12. Inverta a ordem de integração na integral∫3
0
[∫4x−x2
xf (x , y)dy
]dx
a região de integração é o conjunto
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 3 e x ≤ y ≤ 4x − x2}
Precisamos expressar x em função de y . Temos
y = 4x − x2 ⇔ x2 − 4x + y = 0
44
![Page 93: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/93.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 12. Inverta a ordem de integração na integral∫3
0
[∫4x−x2
xf (x , y)dy
]dx
a região de integração é o conjunto
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 3 e x ≤ y ≤ 4x − x2}
Precisamos expressar x em função de y . Temos
y = 4x − x2 ⇔ x2 − 4x + y = 0
44
![Page 94: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/94.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 12. Inverta a ordem de integração na integral∫3
0
[∫4x−x2
xf (x , y)dy
]dx
a região de integração é o conjunto
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 3 e x ≤ y ≤ 4x − x2}
Precisamos expressar x em função de y . Temos
y = 4x − x2 ⇔ x2 − 4x + y = 044
![Page 95: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/95.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
Segue que
x = 2±√
4− y
∫∫Bf (x , y)dydx =
∫3
0
[∫ y
2−√4−y
f (x , y)dx
]dy +
∫4
3
[∫2+√4−y
2−√4−y
f (x , y)dx
]dy
45
![Page 96: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/96.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 13. Inverta a ordem de integração na integral∫ π
0
[∫ sen x
0
f (x , y)dy
]dx
A região de integração é o conjunto
B = {(x , y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sen x}
Precisamos expressar x em função de y .
46
![Page 97: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/97.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 13. Inverta a ordem de integração na integral∫ π
0
[∫ sen x
0
f (x , y)dy
]dx
A região de integração é o conjunto
B = {(x , y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sen x}
Precisamos expressar x em função de y .
46
![Page 98: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/98.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 13. Inverta a ordem de integração na integral∫ π
0
[∫ sen x
0
f (x , y)dy
]dx
A região de integração é o conjunto
B = {(x , y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sen x}
Precisamos expressar x em função de y .
46
![Page 99: MAT 2455 - Cálculo IIIrobertom/resources/L1.pdfMAT 2455 - Cálculo III Roberto Mossa Email: robertom@ime.usp.br Sala: 111A February 22, 2020 Universidade de São auloP Instituto de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081621/6122adeeb7a7345a6420bec4/html5/thumbnails/99.jpg)
TEOREMA DE FUBINI.
y = sen x , 0 6 x 6π
2⇔ x = arcsen y , 0 ≤ y ≤ 1
Logo, ∫ π
0
[∫ sen x
0
f (x , y)dy
]dx =
∫1
0
[∫ π−arcsen y
arcsen yf (x , y)dx
]dy .
47