mat 07 trigonometria no triangulo retangulo
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Apostilade Trigonometria no Triângulo Retângulo. Essa apostila é utilizada no curso técnico em edificações oferecido pelo Instituto Federal de Minas Gerais.TRANSCRIPT
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321
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
RELAES MTRICAS NO TRINGULO RETNGULO ....... 323
TRIGONOMETRIA TRINGULO RETNGULO ...................... 327
RELAES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA ........... 331
NGULOS NOTVEIS ............................................................. 334
TABELA DE RAZES TRIGONOMTRICAS .......................... 336
RESPOSTAS ........................................................................... 342
REFERNCIA BIBLIOGRFICA .............................................. 343
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322
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
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323
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
RELAES MTRICAS NO TRINGULO RETNGULO
No ensino fundamental voc estudou semelhana de tringulos e uma importante aplicao deste assunto est nas relaes mtricas no tringulo retngulo. Consideremos um tringulo
ABC retngulo em A como na figura abaixo. Os lados b e c so chamados de catetos e o lado a a hipotenusa.
O segmento h, traado a partir de A e perpendicular hipotenusa em H, a altura. Os segmentos BH e CH so as projees dos catetos em a e sero chamados de n e m respectivamente.
Observando as medidas e como na figura anterior, podemos destacar trs tringulos semelhantes, veja:
I
II
III
De I e II, podemos perceber que:
ahbcb
a
h
c (i)
Ainda de I e II,
ambm
b
b
a 2 (ii)
c
B
A
h
n
a
b
C
A
h
a
b c
C B
A
n m
h
H
a
b c
C B
A
n m
h
H
a
b c
C B
A
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324
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
De I e III, temos:
ancn
c
c
a 2 (iii)
De II e III, temos:
mnhh
m
n
h 2 (iv)
Observando ainda a segunda
figura da pgina anterior, temos:
A partir iii, iv e v, temos:
Esta ltima relao o famoso TEOREMA DE PITGORAS. Assim, as seis expresses encontradas e listadas abaixo, so chamadas de RELAES MTRICAS NO TRINGULO RETNGULO.
i ahbc ii amb2
iii anc2 iv mnh2
v anm
vi 222 cba
Ex.1:No triangulo abaixo, os catetos medem 8cm e 6cm. Determinar a medida da hipotenusa a, das projees m e n e da altura h. Resoluo
cmaa
aa
cba
10100
643686
2
2222
222
cm,hh
ahbc
841068
cm,mmm
amb
4610641082
2
cm,nn,
anm
631046
____________________________
Ex.2: Observe o tringulo ABC de lados 6cm, 8cm e 12cm representado na figura. Encontre a altura h.
anm (v)
22
22
2
2
cbnma
cbanam
can
bam
222 cba (vi)
a
8 6
C n m
h
12
6
8
A
B
C
h
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325
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
J que DABC obtusngulo, vamos chamar de x o prolongamento do segmento BC como na figura abaixo Resoluo:
4
4556
4
11
6
4
114416
144641636
1446416
128
6
2
2
2
222
36
22
222
222
hh
xh
xx
x
xxh
xhADC
xhADB
339) A altura relativa hipotenusa determina sobre ela segmentos de medidas 3 cm e 4 cm. Quanto medem os catetos deste tringulo?
340) Determine e e f nas figuras abaixo: a)
b)
2
3
f
e
12
6
8
A
B
C
h
x D
f
e
5
1
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326
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
341) Qual o permetro de um quadrado cuja diagonal mede 2 cm? 342) A hipotenusa de um tringulo
retngulo issceles mede 85 cm.
Quanto medem os catetos? 343) Dois prdios construdos num mesmo plano a 12 metros de distncia um do outro medem 17m e 22m de altura. Deseja-se construir uma passarela a fim de unir seus topos. Qual ser o menor comprimento possvel desta passarela?
344) Num tringulo retngulo cuja altura mede 12 e a soma dos catetos vale 35, quanto mede a hipotenusa e cada um dos catetos?
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327
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
345) Pesquise na internet ou em livros na biblioteca sobre outras demonstraes do teorema de Pitgoras diferentes daquela apresentada no incio desta apostila e apresente aqui pelo menos uma.
TRIGONOMETRIA TRINGULO RETNGULO
Dois tringulos so ditos
semelhantes se um pode ser obtido pela expanso uniforme do outro. Este o caso se, e somente se, seus ngulos correspondentes so iguais. O fato crucial sobre tringulos similares que os comprimentos de seus lados so proporcionais, isto , se o maior lado de um tringulo duas vezes o maior que o lado do tringulo similar, ento o menor lado ser tambm duas vezes maior que o menor lado do outro tringulo, e o comprimento do lado mdio ser duas vezes o valor do lado correspondente do outro tringulo. Assim, a razo do maior lado e menor lado do primeiro tringulo ser a mesma razo do maior lado e o menor lado do outro tringulo.
Usando estes fatos, definem-se as funes trigonomtricas, comeando pelos tringulos retngulos. O maior lado em um tringulo qualquer sempre o lado oposto ao maior ngulo e devido a soma dos ngulos de um tringulo ser 180, o maior ngulo em um tringulo retngulo o ngulo reto. O maior lado nesse tringulo, consequentemente, o lado oposto ao ngulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados so chamados de catetos.
Dois tringulos retngulos que compartilham um segundo ngulo A so necessariamente similares, e a razo entre o lado oposto a A e a hipotenusa ser, portanto, a mesma nos dois tringulos. Este valor ser um nmero entre 0 e 1 que depende apenas de A.
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328
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
Este nmero chamado de seno de A e escrito como sen A. Similarmente, pode-se definir o cosseno (ou co-seno) de A como a razo do cateto adjacente a A pela hipotenusa. Vamos agora ver e aplicar, graficamente, o que est no texto. A figura a seguir mostra os
tringulos ABC, ABC e ABC. Note que so todos semelhantes. J que os tringulos so todos semelhantes, a razo entre os lados
opostos ao ngulo e as hipotenusas correspondentes constante. Assim:
hipotenusa
aopostocateto
"AC
"C"B
'AC
'C'B
AC
BC
Esta razo chamada de SENO,
desta forma:
Da mesma forma, a razo entre
os lados adjacentes ao ngulo em cada tringulo e as hipotenusas correspondentes constante. Assim:
hipotenusa
aadjacentecateto
"AC
"AB
'AC
'AB
AC
AB
Esta razo chamada de
COSSENO, desta forma:
H ainda outra razo importante que segue a mesma regra devido semelhana entre os tringulos. Trata-se da razo entre os catetos opostos e os respectivos catetos adjacentes ao
ngulo .
aadjacentecateto
aopostocateto
"AB
"BC
'AB
'C'B
AB
BC
Esta razo chamada de
TANGENTE, desta forma:
A B B B
C
C
C
hipotenusa
aopostocatetosen
hipotenusa
aadjacentecatetocos
aadjacentecateto
aopostocatetotg
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329
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
Ex.1: Sendo o ngulo destacado no tringulo retngulo abaixo, determinar
seno, cosseno e tangente de .
Resoluo
O primeiro passo ser determinar o valor da hipotenusa aplicando o Teorema de Pitgoras..
20
400
144256
1216
2
2
222
222
a
a
a
a
cba
Agora j sabemos que a
hipotenusa, o cateto oposto ao ngulo a e o cateto adjacente ao ngulo a medem, respectivamente, 20cm, 12cm e 16cm.
Agora vamos calcular sen ,
cos e tg .
5
3
20
12
sen
hipotenusa
aoposto.catsen
5
4
20
16
cos
hipotenusa
aadjacente.catcos
4
3
16
12
tg
aadjacente.cat
aoposto.cattg
____________________________
Ex.2: Sabendo que o sen 37 = 0,60182 cos 37 = 0,79864, tg 37 = 0,75355 e que o menor cateto do tringulo retngulo abaixo mede 9 cm, determine o comprimento da hipotenusa e do outro cateto
11,94b
0,75355
9b
b0,75355
btg
14,95a
,a
a,
asen
9
937
601820
9
9601820
937
A = 14,95 cm e B = 11,94 cm
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330
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
346) Determine o valor de x em cada caso. Quando precisar, consulte a tabela trigonomtrica que est na pgina 295. a)
b)
c)
347) Calcule, no tringulo que ilustra esta questo, o seno, cosseno e tangente dos ngulos B e C e a seguir consulte a tabela trigonomtrica da pgina 295 para determinar a medida de B e C.
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331
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
RELAES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA
No tringulo retngulo ABC acima, sabemos que:
1
22
2
2
2
2
2
2222
a
c
a
b
a
a
a
c
a
bacb
Sabemos tambm que:
a
bCcos
a
cCsen
a
cBcos
a
bBsen
Substituindo na expresso acima,
temos:
11 2222 CsenCcosouBcosBsen De forma genrica, podemos escrever:
Esta a chamada 1 RELAO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
Do mesmo tringulo ao lado, podemos dizer que:
c
bBtg
dividindo o numerador e o denominador da frao por a, e substituindo correspondentemente por seno e cosseno de B, temos:
Bcos
BsenBtg
ac
abBtg
o mesmo pode ser feito com o ngulo C.
Ccos
CsenCtg
ab
acCtg
b
cCtg
e, de forma geral, podemos escrever:
Esta a chamada 2 RELAO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
348) Retorne questo 347 e calcule a tangente dos ngulos B e C a partir do seno e cosseno de cada um.
a b
c
C
B A
122 cossen
cos
sentg
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332
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
349) Sabendo que x um ngulo compreendido entre 0 e 90 e que
4
3xcos , determine o seno e a
tangente de x alm da medida do ngulo x consultando a tabela da pgina 336. 350) Na figura abaixo, sabe-se que
cos = 0,3,
determine sen e o comprimento da hipotenusa.
351) Em cada um dos trs casos a seguir, determine o valor de x consultando a tabela da pgina 336 quando precisar. a)
b)
c)
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333
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
352) Ainda consultando a tabela da
pgina 336, determine em cada caso: a)
b) ABCD um retngulo
c)
353) Sendo x um ngulo agudo tal que
5
4xsen , determine xtg .
354) Num tringulo retngulo, um dos catetos a tera parte da hipotenusa. Calcule a tangente do menor ngulo do tringulo.
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334
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
355) Na circunferncia abaixo, AC um dimetro. Sabendo que o raio 2 cm, determine o permetro do quadriltero ABCD.
NGULOS NOTVEIS
Existem trs ngulos agudos que
trazem consideraes importantes. Estes ngulos, chamados de NOTVEIS so 30, 45 e 60. A partir da aplicao de alguns conceitos, podemos determinar facilmente o seno, cosseno e tangente destes ngulos. Vamos preencher juntos os espaos a seguir aprendendo a encontrar esses valores. Partiremos do tringulo eqiltero abaixo onde est destacada uma altura.
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335
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
Agora consideraremos o quadrado a seguir e uma diagonal.
Os valores encontrados podem ser resumidos nesta tabela:
30 45 60
sen
cos
tg
A tabela a seguir traz o as razes trigonomtricas dos ngulos compreendidos de 1 a 90. (expressos em graus por nmeros naturais):
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336
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
TABELA DE RAZES TRIGONOMTRICAS sen cos tg sen cos tg
1 0,017 1,000 0,017 46 0,719 0,695 1,036
2 0,035 0,999 0,035 47 0,731 0,682 1,072
3 0,052 0,999 0,052 48 0,743 0,669 1,111
4 0,070 0,998 0,070 49 0,755 0,656 1,150
5 0,087 0,996 0,087 50 0,766 0,643 1,192
6 0,105 0,995 0,105 51 0,777 0,629 1,235
7 0,122 0,993 0,123 52 0,788 0,616 1,280
8 0,139 0,990 0,141 53 0,799 0,602 1,327
9 0,156 0,988 0,158 54 0,809 0,588 1,376
10 0,174 0,985 0,176 55 0,819 0,574 1,428
11 0,191 0,982 0,194 56 0,829 0,559 1,483
12 0,208 0,978 0,213 57 0,839 0,545 1,540
13 0,225 0,974 0,231 58 0,848 0,530 1,600
14 0,242 0,970 0,249 59 0,857 0,515 1,664
15 0,259 0,966 0,268 60 0,866 0,500 1,732
16 0,276 0,961 0,287 61 0,875 0,485 1,804
17 0,292 0,956 0,306 62 0,883 0,469 1,881
18 0,309 0,951 0,325 63 0,891 0,454 1,963
19 0,326 0,946 0,344 64 0,899 0,438 2,050
20 0,342 0,940 0,364 65 0,906 0,423 2,145
21 0,358 0,934 0,384 66 0,914 0,407 2,246
22 0,375 0,927 0,404 67 0,921 0,391 2,356
23 0,391 0,921 0,424 68 0,927 0,375 2,475
24 0,407 0,914 0,445 69 0,934 0,358 2,605
25 0,423 0,906 0,466 70 0,940 0,342 2,747
26 0,438 0,899 0,488 71 0,946 0,326 2,904
27 0,454 0,891 0,510 72 0,951 0,309 3,078
28 0,469 0,883 0,532 73 0,956 0,292 3,271
29 0,485 0,875 0,554 74 0,961 0,276 3,487
30 0,500 0,866 0,577 75 0,966 0,259 3,732
31 0,515 0,857 0,601 76 0,970 0,242 4,011
32 0,530 0,848 0,625 77 0,974 0,225 4,331
33 0,545 0,839 0,649 78 0,978 0,208 4,705
34 0,559 0,829 0,675 79 0,982 0,191 5,145
35 0,574 0,819 0,700 80 0,985 0,174 5,671
36 0,588 0,809 0,727 81 0,988 0,156 6,314
37 0,602 0,799 0,754 82 0,990 0,139 7,115
38 0,616 0,788 0,781 83 0,993 0,122 8,144
39 0,629 0,777 0,810 84 0,995 0,105 9,514
40 0,643 0,766 0,839 85 0,996 0,087 11,430
41 0,656 0,755 0,869 86 0,998 0,070 14,301
42 0,669 0,743 0,900 87 0,999 0,052 19,081
43 0,682 0,731 0,933 88 0,999 0,035 28,636
44 0,695 0,719 0,966 89 1,000 0,017 57,290
45 0,707 0,707 1,000 90 1,000 0,000
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337
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
356) Encontre o valor de x em cada caso: a)
b)
c)
d)
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338
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
e) ABCD um quadrado
357) Uma pessoa se posiciona a 10m de um prdio no mesmo plano horizontal de sua base e olha para o topo sob um ngulo de 60. Qual a altura do prdio?
358) Afim de estimar a altura de uma montanha, um topgrafo, munido de um teodolito e uma trena, fez algumas medies e montou o diagrama abaixo. Determine a altura h da montanha.
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339
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
359) Um fardo de alimentos ser entregue para habitantes de uma regio de difcil acesso por um helicptero conforme a figura abaixo.
No momento em que o fardo atinge o solo, o cabo que sai do helicptero e sustenta o fardo est esticado e perpendicular ao plano que contm os pontos A, P e B. Sabe-se que o helicptero avistado do ponto A sob um ngulo de 30 e do ponto B sob um ngulo de 45. Sabe-se tambm que a medida do
ngulo BPA 90 e que a distncia entre A e B de 100 metros. Qual a altura do helicptero?
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340
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
360) A partir de um ponto, observa-se o topo de um prdio sob um ngulo de 30. Caminhando 23m em direo ao prdio, atingimos um outro ponto de onde se v o todo do prdio segundo um ngulo de 60. Considerando que o observador tem 1,7 metros de altura, qual a altura do prdio? 361) Uma rampa plana de 36 metros de comprimento faz um ngulo de 30 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se, verticalmente, quantos metros?
362) Na figura abaixo o segmento CE mede 80cm. Qual o comprimento de BC?
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341
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
363) No tringulo abaixo, determine as razes que se pede:
sen P =
sen Q =
cos P =
cos Q =
tg P =
tg Q =
364) Observando o tringulo da questo acima, o que podemos dizer sobre os
ngulos P e Q ?
365) Voc deve ter notado que, no tringulo da questo 304, tnhamos que
QcosPsen e PcosQsen . Isso sempre acontecer com ngulos que somam 90. Baseado nesta idia, quanto vale k na expresso:
coscoscoscos
sensensensenk
898821
898821
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342
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
RESPOSTAS 339) cmecm 7221
340) a) 2
5
2
5 fee
b) 2
53
2
5 fee
341) cm24
342) 10cm
343) 13 metros
344) 25, 20 e 15.
345) RESPOSTA ABERTA
346) a) x = 2 b) x 3,28 c) x 17,11
347)
CB
CsenCcos
BsenBcos
3555
149
1497
149
14910149
14910
149
1497
348) 10
7
7
10 CtgeBtg
349)
xe
xtg,xsen
64
3
39
4
13
350) 36950 ,ae,sen
351) a) 342,x b) 764,x c) 612,x
352) a) x 67 b) x 29 c) x 45
353) 3
4
354) 4
2
355) 9810,Permetro
356) a) 26
b) 32
c) 4
d) 60
e) 2
357) 17,32 metros
358) 16,39 metros
359) 50 metros.
360) 19,91 metros
361) 18 metros
362) 10 cm
363)
p
qQtg
q
pPtg
r
pQcos
r
qPcos
r
qQsen
r
pPsen
364) QP 90
365) k = 1
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343
MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO
TRINGULO RETNGULO
REFERNCIA BIBLIOGRFICA
IEZZI, Gelson e outros;
Matemtica, Volume nico. So Paulo,
Atual, 2002.
IEZZI, Gelson e outros;
Fundamentos da Matemtica Elementar,
Volume 1. So Paulo, Atual, 5 edio,
1977.
PAIVA, Manoel; Matemtica;
Volume 1. So Paulo, Moderna, 1995.