master rad globalna dinamika sir epidemiolo skog modela sa … · 2018-10-11 · tema ovog master...

Univerzitet u Nisu

Prirodno-matematicki fakultet

Departman za matematiku

Master rad

Globalna dinamika SIRepidemioloskog modela samedicinskim tretmanom

Mentor: Student:Prof. dr Jelena Manojlovic Milica S. Milunovic

Nis, 2018. godine

Sadrzaj

Uvod 5

1 Nelinearni dimanicki sistemi 71.1 Osnovne definicije i teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Klasifikacija polozaja ravnoteze homogenog linearnog DS sa konsta-ntnim koeficijentima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2 Polozaji ravnoteze nelinearnih DS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Zatvorene trajektorije i granicni cikli nelinearnih DS u ravni . . . . 141.1.4 Ispitivanje stabilnosti polozaja ravnoteze nelinearnih DS . . . . . . 16

1.2 Bifurkacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.1 Sedlo-cvor bifurkacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2 Transkriticna bifurkacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.3 Racvasta bifurkacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.4 Hopf bifurkacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Dinamicki modeli infektivnih bolesti 272.1 Klasifikacija matematickih epidemioloskih modela . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Klasican SIR epidemioloski model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Formiranje klasicnog SIR epidemioloskog modela . . . . . . . . . . 292.2.2 Tri osnovne granicne velicine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3 Analiza klasicnog SIR epidemioloskog modela . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Klasican SIR endemski model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.1 Formiranje klasicnog SIR endemskog modela . . . . . . . . . . . . . 362.3.2 Analiza klasicnog SIR endemskog modela . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Stohasticki SIR epidemioloski model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5 Odredivanje reprodukcionog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.1 Matrica sledece generacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.2 Reprodukcioni broj SIR epidemioloskog modela . . . . . . . . . . . 442.5.3 Reprodukcioni broj SIR endemskog modela . . . . . . . . . . . . . . 45

3 SIR epidemioloski model sa medicinskim tretmanom 473.1 Formulacija matematickog modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Analiza matematickog modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Polozaji ravnoteze DS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.2 Osnovni reprodukcioni broj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.3 Stabilnost polozaja ravnoteze i globalna dinamika . . . . . . . . . . 543.2.4 Bifurkacija unapred i bifurkacija unazad . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.5 Hopf bifurkacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 Numericka simulacija modela i diskusija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Literatura 77

4 SADRZAJ

Uvod

Naucnici su jos sedamdesetih godina XX veka najavljivali da ce opasne infektivne bolestiuskoro biti pobedenje. U to vreme se uglavnom mislilo na velike boginje, deciju paralizu,malariju, ebolu, jer se broj infekcija znacajno smanjio. Medutim danas, 40 i nesto godinakasnije, ove bolesti su uzrok smrti velikog broja ljudi.

Infektivne bolesti su vrsta oboljenja ljudi i zivotinja izazvana spoljasnjim bioloskimizazivacem (bakterije, paraziti, gljivice, virusi). Medicina je znacajno napredovala u ovojoblasti i broj medicinskih istrazivanja se svakodnevno povecava. Medicinska nauka jerazvila efikasne metode za borbu protiv mnogih infektivnih bolesti (antibiotike za elimi-nisanje bakterija, antimikotike za borbu protiv gljivica i virostatike protiv virusa). Protivnekih bolesti razvijene su vakcine. Medutim, bolesti se i dalje razvijaju, javljaju se novaoboljenja, desava se da se ponovo pojavljuju stare bolesti koje su, decenijama ranije,ostavljale katastrofalne posledice. Na primer, od pocetka oktobra 2017. godine do jula2018. godine u Srbiji je registrovano 5666 slucajeva malih boginja a zbog komplikacijakoje su izazvale umrlo je 15 osoba. U Kongu je ebola odnela 50 zivota za manje od mesecdana (avgusta 2018. godine). Epidemija meningitisa u Nigeriji usmrtila je 745 osoba zapet meseci (do aprila 2017. godine). Epidemija se brzo sirila (za nedelju dana umrlo 256osoba) a zabelezeno je oko 8000 obolelih. Od izbijanja epidemije kolere u Jemenu u aprilu2017. godine, ukupno je registrovano 1,2 miliona slucajeva, od kojih je 2515 sa smrtnimishodom (podatak preuzet oktobra 2018. godine).

Epidemiologija je naucna disciplina koja proucava rasprostranjenost i sirenje bolestiu odredenoj populaciji. Pored standradnih medicinskih istrazivanja ukljucuju se i znanjaiz drugih naucnih oblasti sa ciljem pronalaska strategije za kontrolu infektivne bolesti.Jedna od njih je i oblast matematickog modeliranja.

Matematicko modeliranje je metod kojim se opisuje realan sistem, uz pomoc razlicitihmatematickih alata, pri cemu se takav model dalje koristi za analizu, projektovanje ioptimizaciju pomenutog sistema. Prilikom formiranja matematickog modela treba voditiracuna da on bude dovoljno jednostavan da bi se mogao resiti i analizirati, ali se takodemora voditi racuna da on dovoljno realno opisuje problem koji se modelira.

Mnoge studije su posvecene modelima kojima bi se tok odredene bolesti najrealnijeopisao, jer bi tada mogle da se predvide dalje faze sirenja bolesti. Modeliranje se koristi dabi se ispitali mehanizmi kojima se bolest siri, da bi se predvideo dalji tok razvoja bolesti.

Zacetnikom matematickog modeliranja sirenja bolesti smatra se dansko-svajcarskifizicar Daniel Bernoulli, koji je 1760. godine matematickim modelom opisao sirenje ve-likih boginja. Ipak, smatra se da je istinski razvoj epidemioloskih deterministickih modelapoceo tek u XX veku.

Nakon ponovnog izbijanja malih boginja, 1906. godine, Hamer je u pokusaju darazume i objasni ovaj dogadaj formulisao i analizirao svoj diskretan matematicki model.Ovaj model se smatra prekretnicom u oblasti matematickog modeliranja jer se prvi put unjemu pojavljuje da broj novoobolelih u jedinici vremena zavisi od proizvoda koncentracijeosetljivih i infektivnih.

Engleski lekar Ser Ronald Ros bavio se istrazivanjem rasprostranjenosti i kontrole

5

sirenja malarije. On je 1911. godine razvio dinamicki model kojim je analizirana ovaepidemija.

Godine 1927. naucnici McKendrick i Kermack objavljuju svoj rad u kome formirajuSIR epidemioloski model i dolaze do zakljucka da osnovni uslov da bi doslo do izbijanjaepidemije je da pocetni broj osetljivih bude veci od nekog konacnog broja.

Pocevsi od sredine XX veka, oblast matematickog modeliranja u oblasti epidemiologijerazvija se eksponencijalno brzo. Najnoviji modeli u svoj domen istrazivanja, izmedu osta-log, ukljucuju i aspekte kao sto su pasivni imunitet, postepeni gubitak imuniteta i dejstvavakcine, socijalno i polno mesanje medu grupama, starosne grupe, medicinski tretman,vakcinaciju, karantin, hemoterapiju itd. Specijalni modeli su formulisani za bolesti kaosto su malarija, velike i male boginje, sarlah, grip, ebola, tuberkuloza, rubela, difterija,zauske, zutica (hepatitis A, E), dizenterija, kolera, meningitis, HIV/AIDS, hepatitis B, Citd.

Tema ovog master rada je Globalna dinamika SIR epidemioloskog modela samedicinskim tretmanom, koji je formulisan i analiziran u [18] autora Linhua Zhou iMeng Fan.

Rad se sastoji iz tri glave.U prvoj glavi date su osnovne definicije i tvrdenja za nelinearne dinamicke sisteme,

uveden je pojam bifurkacije i izlozena su cetiri osnovna tipa lokalnih bifurkacija.U drugoj glavi su formirani i analizirani osnovni dinamicki modeli infektivnih bolesti:

klasican SIR epidemioloski model, klasican SIR endemski model i stohasticki SIR epidemi-oloski model. Takode, definisane su tri osnovne granicne velicine koje uticu na kontrolusirenja bolesti i opisan je metod za odredivanje osnovnog reprodukcionog broja.

U trecoj glavi formulisan je SIR epidemioloski model sa zasicnom stopom incidence izasicenom funkcijom medicinskog tretmana i izvrsena je njegova lokalna i globalna ana-liza. Odredeni su polozaji ravnoteze, odreden je osnovni reprodukcioni broj, ispitana jelokalna i globalna stabilnost polozaja ravnoteze i pokazano je da u zavisnosti od vrednostiparametra moze doci do cetiti tipa bifurkacija: transkriticna bifurkacija (bifurkacija una-pred), bifurkacija unazad, sedlo-cvor bifurkacija i Hopf bifurkacija. Na kraju je izvedenakompletna diskusija razmatranog modela i uz pomoc programskog paketa MATHEMA-TICA uradena je odgovarajuca numericka simulacija, navodenjem sest tipicnih primeradinamike modela.

Ovom prilikom zelela bih da se zahvalim svom mentoru prof. dr Jeleni Manojlovicna nesebicnoj pomoci i podrsci prilikom izrade ovog master rada. Njeni konstruktivnisaveti i predlozi doprineli su konacnoj formi master rada. Zahvaljujem se i profesorkamadr Mariji Krstic i dr Jeleni Milosevic na sugestijama koje su poboljsale kvalitet rada.

Zahvaljujem se svojoj porodici na ogromnoj podrsci i ljubavi.

6

Glava 1

Nelinearni dimanicki sistemi

U ovoj glavi dacemo osnovne definicije i teoreme koje su nam potrebne za dalji rad.

1.1 Osnovne definicije i teoreme

Definicija 1.1. Sistem diferencijalnih jednacina u normalnom obliku dat je sa

dx1

dt= f1(t, x1, x2, . . . , xn)

dx2

dt= f2(t, x1, x2, . . . , xn)

... (1.1)

dxndt

= fn(t, x1, x2, . . . , xn)

gde su fi : D→ R, D ⊂ Rn+1, i = 1, 2, . . . , n date funkcije.

Obelezimo sa x = (x1, x2, . . . , xn) i sa f : D→ Rn

f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), . . . , fn(t, x)) (1.2)

vektorsku funkciju. Sistem (1.1) zapisujemo u vektorskom obliku :

dx

dt= f(t, x). (1.3)

Definicija 1.2. Vektorska funkcija ϕ(t) = (ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t)) je resenje vektorskeDJ (1.3) na intervalu (a, b), ako za svako t ∈ (a, b) vazi:

i) postoji ϕ′(t);ii) (t, ϕ(t)) ∈ D;iii) ϕ′(t) = f(t, ϕ(t)).

Kosijev problem za sistem diferencijalnih jednacina (1.1):Za datu tacku (t0, x

01, x

02, . . . , x

0n) ∈ D odrediti resenje ϕ(t) = (ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t))

sistema (1.1), definisano u nekoj okolini tacke t0 koje zadovoljava uslove:

ϕ1(t0) = x01, ϕ2(t0) = x0

2, . . . , ϕn(t0) = x0n, (1.4)

tj. u vektorskom obliku:ϕ(t0) = x0. (1.5)

7

8 GLAVA 1. NELINEARNI DIMANICKI SISTEMI

Egzistencija i jedninstvenost resenja su centralni problemi u teoriji diferencijalnih jednacina.Jedan od vaznih pojmova u tvrdenjima egzistencije i jedninstvenosti resenja je pojamLipsicovog1 uslova.

Definicija 1.3. Neka je I ⊂ R i Ω ⊂ Rn. Funkcija f(t, x), f : I × Ω → R, zadovoljavaLipsicov uslov po promenljivoj x = (x1, x2, . . . , xn) u oblasti D = I × Ω, ako postojikonstanta L > 0 tako da za bilo koje dve tacke (t, x), (t, y) ∈ D vazi

|f(t, x)− f(t, y)| ≤ L

n∑k=1

|xk − yk|.

Za vektorsku funkciju (1.2) definisanu na I × Ω vazi adekvatna definicija Lipsicovoguslova sa nekom normom ‖ · ‖ u prostoru Rn. Mi cemo koristiti Euklidovu normu: zavektor x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn je

‖x‖2 =n∑k=1

x2k.

Definicija 1.4. Neka je I ⊂ R i Ω ⊂ Rn. Vektorska funkcija f(t, x), f : I × Ω → Rn,zadovoljava Lipsicov uslov po promenljivoj x ∈ Rn u oblasti D = I × Ω, ako postojikonstanta L > 0 tako da za bilo koje dve tacke (t, x), (t, y) ∈ D vazi

‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ L‖x− y‖.

Definicija 1.5. Neka je I ⊂ R i Ω ⊂ Rn. Vektorska funkcija f(t, x), f : I × Ω → Rn,zadovoljava lokalni Lipsicov uslov po promenljivoj x ∈ Rn u oblasti D = I × Ω, ako zasvaku tacku (t0, x0) ∈ D postoji okolina U ⊆ D te tacke takva da postoji konstanta Lu > 0tako da za bilo koje dve tacke (t, x), (t, y) ∈ U vazi

‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ Lu‖x− y‖.

Ako funkcija f zadovoljava lokalni Lipsicov uslov u oblasti D, ne znaci da zadovoljavaLipsicov uslov na D. Ako funkcija f zadovoljava lokalni Lipsicov uslov u oblasti D ondaona zadovoljava Lipsicov uslov na svakom kompaktu sadrzanom u D.

Teorema 1.1. (Pikarova2 teorema egzistencije i jedinstvenosti resenja)Neka je vektorska funkcija f(t, x) definisana i neprekidna u oblasti G ⊂ Rn+1 i neka zado-voljava lokalni Lipsicov uslov po promenljivoj x na G. Tada kroz svaku tacku (t0, x0) ∈ Gprolazi jedinstveno resenje x = ϕ(t) Kosijevog problema (1.5) sistema DJ (1.3), definisanou nekoj okolini tacke t0.

Za vektorsku funkciju f Jakobijeva matrica je

∂f

∂x(t, x) =

∂f1

∂x1

(t, x) . . .∂f1

∂xn(t, x)

∂f2

∂x1

(t, x) . . .∂f2

∂x1

(t, x)

...∂fn∂x1

(t, x) . . .∂fn∂xn

(t, x)

n×n

1R. Lipschitz (1832-1903), nemacki matematicar2Emil Picard (1856-1941), francuski matematicar

1.1. OSNOVNE DEFINICIJE I TEOREME 9

Lema 1.1. Ako su funkcije f(t, x), ∂f∂x

(t, x) neprekidne na D = I ×K, I ⊆ R, K ⊆ Rn

konveskan skup, tada funkcija f(t, x) zadovoljava lokalni Lipsicov uslov po x na D.

Jednostavnije se oblast egzistencije i jedninstvenosti resenja sistema (1.3) odredujepomocu naredne teoreme koja je posledica predhodne leme i Pikarove teoreme.

Teorema 1.2. Ako su funkcije f(t, x), ∂f∂x

(t, x) neprekidne na G = I×K, I ⊆ R, K ⊆ Rn

konveskan skup tada kroz svaku tacku (t0, x0) ∈ G prolazi jedinstveno resenje x = ϕ(t)Kosijevog problema (1.5) sistema DJ (1.3), definisano u nekoj okolini tacke t0.

Najcesce se u primeni javljaju sistemi diferencijalnih jednacina u kojima funkcije fine zavise od nezavisno promenljive t. Takve sisteme diferencijalnih jednacina nazivamodinamickim sistemima.

Definicija 1.6. Dinamicki sistem diferencijalnih jednacina dat je sa

dx1

dt= f1(x1, x2, . . . , xn)

dx2

dt= f2(x1, x2, . . . , xn)

... (1.6)

dxndt

= fn(x1, x2, . . . , xn)

gde su fi : E → R, E ⊂ Rn, i = 1, 2, . . . , n date funkcije koje ne zavise od nezavisnopromenljive t.

U vektorskom obliku sistem (1.6) dat je sa:

dx

dt= f(x). (1.7)

Ako su funkcije fi ∈ C(1)(E) po Teoremi 1.2 oblast egzistencije i jedinstvenosti resenjadinamickog sistema (1.7) je G = R×E - za bilo koju tacku (t0, x0), t0 ∈ R, x0 ∈ E posto-ji jedinstveno neproduzivo resenje x = x(t) sistema (1.7), definisano na maksimalnomintervalu egzistencije I(x0), koje zadovoljava pocetni uslov x(t0) = x0.

Geometrijsko mesto tacaka Γ = (t, x(t)) : t ∈ I(x0) ⊂ G naziva se integralnakriva Kosijevog resenja x = x(t), t ∈ I(x0). Ona daje potpunu informaciju o resenju.Medutim, cesto je dovoljno poznavati faznu trajektoriju resenja, kao geometrijsko mestotacaka γ = (x(t)) : t ∈ I(x0) ⊂ Rn. Dakle, fazna trajektorija je projekcija integralnekrive na fazni prostor

Rn = (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R,

paralelno t-osi. Specijano za n = 2, fazni prostor se naziva fazna ravan.Pravac fazne trajektorije je pravac kretanja tacke (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) po faznoj

trajektoriji u pravcu rasta promenljive t. Tako se dolazi do faznog portreta-grafika faznihtrajektorija u faznom prostotu (ravni) sa naznacenim pravcima.

Definicija 1.7. [Polozaj ravnoteze] Tacka x0 ∈ E u kojoj je f(x0) = 0 naziva sepolozaj ravnoteze dinamickog sistema (1.7).

Ocigledno, ako je tacka x0 polozaj ravnoteze sistema (1.7), tada ovaj sistem ima resenjex(t) = x0, t ∈ R, a odgovarajuca trajektorija je upravo tacka x0 u faznom prostoru Rn.

Sledeci stav govori o najbitnijim osobinama faznih trajektorija.


Stav 1.1. i) Svaka fazna trajektorija dinamickog sistema (1.7), razlicita od polozajaravnoteze je glatka kriva.

ii) Ako je x = ϕ(t) resenje Kosijevog problema dinamickog sistema (1.7) koje zadovo-ljava pocetni uslov ϕ(t0) = x0 na [t0, t1], tada je funkcija x = ϕ∗(t), gde je ϕ∗(t) ≡ ϕ(t+t0)resenje istog sistema na [0, t1 − t0] koje zadovoljava pocetni uslov ϕ∗(0) = x0.

iii) Ako se fazne trajektorije dinamickog sistema (1.7) seku u nekoj tacki, onda se onepoklapaju.

Definicija 1.8. [Tok DS] Neka je ϕ(t, x0) jedinstveno resenje Kosijevog problema

dx

dt= f(x), x(0) = x0,

definasano da maksimalnom intervalu I(x0). Za svako t ∈ I(x0), tok dinamickog sistema(tok vektorskog polja f) je neprekidno preslikavanje Φt : E→ E takvo da je

Φt(x0) := ϕ(t, x0).

Definicija 1.9. [Zatvorena trajektorija] Trajektorija ϕ(t, x) je zatvorena ako postojiT > 0 tako da je ϕ(t, x) = ϕ(t + T, x) za svako t ∈ R, a minimalno takvo t naziva seperiod zatvorene trajektorije. Zatvorena trajektorija DS naziva se CIKL. Odgovarajuceresenje Kosijevog problema naziva se periodicno rezenje DS sa periodom T .

1.1.1 Klasifikacija polozaja ravnoteze homogenog linearnog DSsa konstantnim koeficijentima

Posmatrajmo dvodimenzionalni homogen linearni DS sa konstantnim koeficijentima.

dx1

dt= ax1 + bx2

dx2

dt= cx1 + dx2. (1.8)

Iako ovaj DS mozemo resiti, njegova analiza ima kljucnu ulugu prilikom analiziranjanelinearnih dvodimenzionalnih DS.

Obelezimo sa

A =

(a bc d

).

Za matricu A karakteristicna jednacina je

det(A− λI) =

∣∣∣∣ a− λ bc d− λ

∣∣∣∣ = 0⇔

λ2 − (a+ d)λ+ (ad− bc) = 0⇔ λ2 − pλ+ q = 0

gde je p = Tr(A) = a + d - trag matrice3 A, a q = det(A) = ad − bc - determinantamatrice A. Diskriminanta karakteristicne jednacine je:

4 = p2 − 4q,

a resenja

λ± =1

2

(p±

√4).

3Trag matrice je zbir elemenata matrice na glavnoj dijagonali

Primetimo da je

λ+ + λ− = Tr(A) = p, λ+ · λ− = det(A) = q.

Klasifikaciju polozaja ravnoteze dacemo u pq-ravni. Matrici A sa tragom p i determi-nantom q odgovara tacka sa koordinatama (p, q). Polozaj tacke u pq-ravni odreduje tipfaznog portreta. Pre svega znak diskriminante 4 odreduje tip sopstvenih vrednosti:

1. Realne i razlicite sopstvene vrednosti: 4 > 0:

(1a) stabilan cvor: q > 0 i p < 0 (obe negativne sopstvene vrednosti);

(1b) nestabilan cvor: q > 0 i p > 0 (obe pozitivne sopstvene vrednosti);

(1c) sedlo: q < 0 (sopstvene vrednosti razlicitog znaka).

2. Konjugovano kompleksne sopstvene vrednosti: 4 < 0⇒ q > 0:

(2a) stabilan fokus: p < 0 (realni deo negativan);

(2b) nestabilan fokus: p > 0 (realni deo pozitivan);

(2c) centar: p = 0 (realni deo je jednak nuli).

3. Realne dvostruke sopstvene vrednosti: 4 = 0⇒ λ+ = λ−:

Postoje dva linearno nezavisna sopstvena vektora:

(3a-1) stabilna zvezda: p < 0 (negativna sopstvena vrednost);

(3a-2) nestabilna zvezda: p > 0 (pozitivna sopstvena vrednost);

(3a-3) sve tacke fazne ravni su neizolovani cvorovi: p = 0 (λ = 0);

Postoji jedinstven sopstveni vektor:

(3b-1) stabilan degenerisani cvor: p < 0 (negativna sopstvena vrednost);

(3b-2) nestabilan degenerisani cvor: p > 0 (pozitivna sopstvena vrednost;

(3c-3) sve tacke prave odredene sopstvenim vektorom su neizolovani polozajiravnoteze: p = 0 (λ = 0).

Na Slici 1.1 dat je graficki prikaz polozaja ravnoteze u pq-ravni matrice A.

Slika 1.1: Klasifikacija polozaja ravnoteze u pg-ravni


1.1.2 Polozaji ravnoteze nelinearnih DS

Posmatrajmo DS (1.7). Obelezimo sa

A =∂f

∂x(x∗) = Df(x∗) =

∂f1

∂x1

(x∗) . . .∂f1

∂xn(x∗)

∂f2

∂x1

(x∗) . . .∂f2

∂x1

(xn)

...∂fn∂x1

(x∗) . . .∂fn∂xn

(x∗)

n×n

gde je x∗ polozaj ravnoteze DS (1.7). Matrica A se naziva Jakobijeva matrica polozajaravnoteze x∗ DS (1.7). Linearizovan sistem dinamickog sistema (1.7) dat je sa

dx

dt= Ax. (1.9)

Definicija 1.10. Polozaj ravnoteze x∗ nelinearnog DS (1.7) naziva se hiperbolicki akoje realni deo svake sopstvene vrednosti Jakobijeve matrice J(x∗) razlicit od nule. Ako jerealni deo neke sopstvene vrednosti Jakobijeve matrice J(x∗) jednak nuli, polozaj ravnotezex∗ se naziva nehiperbolicki.

Postavlja se pitanje da li analiza linearizovanog DS daje kvalitativno korektnu slikufaznog portreta u okolini polozaja ravnoteze nelinearnog DS. Odgovor na to pitanje dajeHartman-Grobmanova teorema, koja predstavlja jedan od najznacajnijih rezultata u kva-litativnoj analizi nelinearnih DS. Pre nego sto formulisemo teoremu, dacemo definicujutopoloske konjugovanosti i topoloske ekvivalentnosti dva DS.

Definicija 1.11. [Topoloska ekvivalentnost i konjugovanost DS]Neka su φt : X→ X i ψt : Y→ Y, X,Y ⊂ Rn tokovi DS:

dx

dt= f(x), f : X→ R,

dy

dt= g(x), g : Y→ R. (1.10)

Za DS (1.10) kazemo da su TOPOLOSKI EKVIVALENTNI ako postoji homeomorfizamh : X → Y (neprekidno, bijektivo preslikavanje, ciji je inverz neprekidan) koji preslikavafazne trajektorije ϕ(t, x) jednog sistema u fazne trajektorije ψ(t, x) drugog sistema, pricemu se cuva orjentacija trajektorija (ako je trajektorija ϕ(t, x) usmerena od x1 do x2 iz X,tada je trajektorija ψ(t, x) usmerena od h(x1) do h(x2) u Y), odnosno postoji neprekidnopreslikavanje τ : R × X → R, za koje je t → τ(t, x) strogo rastuca bijekcija i za svakot ∈ R i svako x ∈ X vazi

h(ϕ(t, x)) = ψ(τ(t, x), h(x)).

Ako je specijalno τ(t, x) = t za svako t ∈ R i svako x ∈ X, tada su DS (1.10) suTOPOLOSKI KONJUGOVANI.

Teorema 1.3. [Hartman-Grobmanova teorema] Neka je E otvoren podskup od Rn,takav da x∗ ∈ E, f ∈ C(1)(E), f(x∗) = 0 i neka je Φt tok dinamickog sistema (1.7). Nekaje ~0 = (0, 0, . . . , 0) hiperbolicki polozaj ravnoteze linearizovanog DS (1.9). Tada postojeokoline U, V ⊂ Rn, x∗ ∈ U,~0 ∈ V i homeomorfizam h : U → V , takav da za svaku pocetnutacku x0 ∈ U , postoji otvoren interval I0 ⊂ R, 0 ∈ I0 tako da za svako t ∈ I0 vazi

h Φt(x0) = eAth(x0),

odnosno tok DS (1.7) je topoloski konjugovan toku eAt linearnog DS (1.9).

Naredna teorema daje uslove pod kojima je lokalni fazni portret nelinearnog DS uokolini polozaja ravnoteze C1-topoloski ekvivaltentan faznom portretu linearizovanog DS.

Teorema 1.4. [Hartmanova teorema] Neka je E otvoren podskup od Rn, takav dax∗ ∈ E, f ∈ C(2)(E), f(x∗) = 0 i neka je Φt tok dinamickog sistema (1.7). Neka je~0 = (0, 0, . . . , 0) hiperbolicki polozaj ravnoteze linearizovanog DS (1.9). Tada postojeokoline U, V ⊂ Rn, x∗ ∈ U,~0 ∈ V i C1-difeomorfizam h : U → V , takav da za svakupocetnu tacku x0 ∈ U , postoji otvoren interval I0 ⊂ R, 0 ∈ I0 tako da za svako t ∈ I0 vazi

h Φt(x0) = eAth(x0),

odnosno tok DS (1.7) je C1-topoloski ekvivalentan toku eAt linearnog DS (1.9).

Tipovi polozaja ravnoteze nelinearnih DS u ravni

Posmatramo dvodimenzionalni nelinearni dinamicki sistem:

dx

dt= f(x, y),

dy

dt= g(x, y), (1.11)

gde su funkcije f, g ∈ C(1)(R2) i (x0, y0) polozaj ravnoteze DS (1.11). Obelezimo saF = (f, g). Linearizovan sistem dat je sa:

dx

dt=

∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

dy

dt=

∂g

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂g

∂y(x0, y0)(y − y0). (1.12)

U ovom delu pretpostavljamo da se polozaj ravnoteze (x0, y0) DS (1.11) uvodenjem smeneX = x− x0, Y = y − y0 translira u koordinatni pocetak (0, 0).

Definicija 1.12. Polozaj ravnoteze (0, 0) je CENTAR nelinearnog DS (1.11) ako postojiδ > 0 tako da je svaka fazna trajektorija DS (1.11) u okolini Nδ((0, 0))\(0, 0) zatvorenatrajektorija unutar koje se nalazi polozaj ravnoteze (0, 0).

Definicija 1.13. Polozaj ravnoteze (0, 0) je STABILAN FOKUS nelinearnog DS (1.11)ako postoji δ > 0 tako da za svako 0 < r0 < δ i θ0 ∈ R je r(t, r0, θ0)→ 0 i |θ(t, r0, θ0| → ∞kada t → ∞. Polozaj ravnoteze (0, 0) je NESTABILAN FOKUS nelinearnog DS (1.11)ako postoji δ > 0 tako da za svako 0 < r0 < δ i θ0 ∈ R je r(t, r0, θ0)→ 0 i |θ(t, r0, θ0| → ∞kada t→ −∞. Svaka trajektorija DS (1.11) koja zadovoljava r(t)→ 0 i |θ(t)| → ∞ kadat→ ±∞ kazemo da se spiralno priblizava polozaju ravnoteze kada t→ ±∞.

Definicija 1.14. Polozaj ravnoteze (0, 0) je STABILAN CVOR nelinearnog DS (1.11)ako postoji δ > 0 tako da za svako 0 < r0 < δ i θ0 ∈ R je r(t, r0, θ0) → 0 kada t → ∞i limt→∞ θ(t, r0, θ0) postoji tj. svaka trajektorija u okolini polozaja ravnoteze priblizavase polozaju ravnoteze tangentno na neki pravac kada t → ∞ . Polozaj ravnoteze (0, 0)je NESTABILAN CVOR nelinearnog DS (1.11) ako postoji δ > 0 tako da za svako 0 <r0 < δ i θ0 ∈ R je r(t, r0, θ0) → 0 kada t → −∞ i limt→−∞ θ(t, r0, θ0) postoji tj. svakatrajektorija u okolini polozaja ravnoteze ,,izlazi” iz polozaja ravnoteze tangentno na nekipravac i udaljava se od njega kada t→∞ .


Definicija 1.15. Polozaj ravnoteze (0, 0) je SEDLO nelinearnog DS (1.11) ako postojedve trajektorije Γ1,Γ2 koje se priblizavaju (0, 0) kada t → ∞ i dve trajektorije Γ3,Γ4

koje se priblizavaju (0, 0) kada t → −∞ i ako postoji δ > 0 tako da sve trajektorije kojepolaze iz okoline Nδ((0, 0)) \ (0, 0) napustaju tu okolinu kada t → ±∞. TajektorijeΓi, i = 1, 2, 3, 4 nazivaju se saparatrise nelinearnog sedla.

Postavlja se pitanje pod kojim uslovima tip polozaja ravnoteze linearizovanog sistemane samo da nece promeniti stabilnost, sto je obezbedeno teoremom Hartman-Grobmanavec ce zadrzati i svoj tip. O tome govore naredne teoreme.

Teorema 1.5. Neka je E otvoren podskup od R2, takav da (0, 0) ∈ E i neka je F ∈C(1)(E), F (0, 0) = 0. Neka je 0 = (0, 0) hiperbolicki polozaj ravnoteze DS (1.11). Tada je0 nelinearno sedlo DS (1.11) ako i samo ako je sedlo linearizovanog DS (1.12).

Teorema 1.6. Neka je E otvoren podskup od R2, takav da (0, 0) ∈ E i neka je F ∈C(2)(E), F (0, 0) = 0. Neka je 0 = (0, 0) hiperbolicki polozaj ravnoteze DS (1.11).

i) 0 je stabilan (nestabilan) fokus DS (1.11) ako i samo ako je stabilan (nestabilan)fokus linearizovanog DS (1.12).

i) 0 je stabilan (nestabilan) cvor DS (1.11) ako i samo ako je stabilan (nestabilan)cvor linearizovanog DS (1.12).

Teorema 1.7. Neka je E otvoren podskup od R2, takav da (0, 0) ∈ E, i neka je F (0, 0) = 0i F analiticka u E. Ako je (0, 0) centar linearizovanog DS (1.12) tada je 0 ili nelinearancentar ili nelinearan fokus DS (1.11).

1.1.3 Zatvorene trajektorije i granicni ciklinelinearnih DS u ravni

Definicija 1.16. Granicni cikl dvodimenzionalnog sistema (1.11) je zatvorena fazna tra-jektorija γ tog sistema za koju postoji okolina sa faznim trajektorijama po kojima se faznetacke neograniceno priblizavaju krivoj γ kada t→∞ ili t→ −∞.

Pojam granickog cikla uveo je fracunski matematicar Poincare4 i dao je neke kriteri-jume egzistencije granicnih cikala.

Granicni gikl se vrlo cesto definise kao izolovana fazna trajektorija tj. da postojiokolina oko γ u kojoj nema drugih zatvorenih faznih trajektorija izuzev γ. S obzirom dafazne trajktorije sistema (1.11) nemaju tacaka preseka, polazeci iz neke tacke u blizinigranicnog cikla one se mogu samo spiralno priblizavati granicnom ciklu ili udaljavati odgranicnog cikla, okruzujuci ga sa unutrasnje ili spoljasnje strane.

Slika 1.2: Stabilnost granicnih cikala

Ako se sve fazne trajektorije priblizavaju granicnom ciklu kada t→∞ (sa unutrasnjei spoljasnje strane), granicni cikl je stabilan.

4Henri Poincare (1854-1912), francuski matematicar i fizicar


Ako se sve fazne trajektorije priblizavaju granicnom ciklu kada t→ −∞ (sa unutrasnjei spoljasnje strane), granicni cikl je nestabilan.

Ako se fazne trajektorije priblizavaju granicnom ciklu sa jedne strane kada t→∞, asa druge strane udaljavaju kada t→ −∞, granicni cikl je polustabilan.

Ispitivanje postojanja (nepostojanja) granicnog cikla

Jedan od najcesce koriscenih kriterijuma prilikom dokazivanja nepostojanja granicnogcikla je Dulacov kriterijum.

Teorema 1.8. [Dulacov kriterijum] Neka je F = (f, g) ∈ C(1)(E) gde je E jednostrukopovezana oblast u faznoj ravni. Ako postoji funkcija v ∈ C(1)(E), tako da funkcija

div(vF ) =∂

∂x(vf) +

∂

∂y(vg)

ne menja znak u oblasti E tada DS (1.11) nema zatvorenih trajektorija (nema periodicnihresenja) u E.

Prilikom ispitivanja egzistencije granicnog cikla sledeci zakljucci su jako korisni.

Teorema 1.9. Granicni cikl DS okruzuje bar jedan polozaj ravnoteze.

Iz predhodne teoreme zakljucujemo da ako DS nema polozaje ravnoteze, onda nemani granicnog cikla.

Teorema 1.10. Ako zatvorena trajektorija okruzuje samo jedan polozaj ravnoteze ondataj polozaj ravnoteze nije sedlo.

Definicija 1.17. [Invarijantan skup] Neka je skup E ⊂ R2 otvoren i F ∈ C(1)(E) ineka je φt : E → E tok DS (1.11). Skup S ⊂ E je pozitivno (negativno) invarijanan skupu ondosu na tok φt DS, ako je φt(S) ⊂ S za svako t ≥ 0 (t ≤ 0).

Slika 1.3: Invarijantan skup DS

Teorema 1.11. [Teorema Poincare-Bendixon] Neka vazi:

1. R je zatvoren i ogranicen podksup fazne ravni;

2. F je neprekidno, diferencijabilno vektorko polje na otvorenom skupu sadrzanom uR;

3. R ne sadrzi nijedan polozaj ravnoteze;

4. postoji fazna trajektorija C koja u pocetnom trenutku t0 polazi iz neke tacke oblastiR i ostaje u R za svako t > t0.

Tada je C ili zatvorena trajektorija ili se spiralno priblizava zatvorenoj trajektoriji sistema(1.11). U oba slucaja postoji granicni cikl u R.

Teoremu Poincare-Bendixona mozemo formulisati i na sledeci nacin:

Ako je R zatvoren i ogranicen podskup fazne ravni koji je invarijantan za DS (1.11) ine sadrzi ni jedan polozaj ravnoteze, onda postoji granicni cikl u R.

Teorema Poincare-Bendixona je vrlo bitan rezultat u nelinearnoj dinamici, ukazujeda je dimanika dvodimenzionalnog DS predvidljiva. Pretpostavimo da postoji zatvorenatrajektorija C u faznoj ravni (Slika 1.4). Tada bilo koja trajektorija koja polazi iz oblastiunutar krive C ostaje u unutrasnjosti jer se trajektorije DS ne mogu seci. Sta se desavasa tako ogranicenom trajektorijom? Ako postoje polozaji ravnoteze u unutrasnjosti Ctada se trajektorija moze priblizavati nekom od polozaja ravnoteze. Ako nema polozajaravnoteze trajektorije ne mogu ”lutati” unaokolo zauvek.

Slika 1.4: Trajektorija u unutrasnjosti zatvorene trajektorije C

U faznoj ravni, teorema Poincare-Bendixona garantuje da ako je neka trajektorijazatvorena u ogranicenoj, zatvorenoj oblasti koja ne sadrzi polozaje ravnoteze onda se tatrajektorija mora priblizavati zatvorenoj trajektoriji (slozenije ponasanje nije moguce).Sa druge strane, teorema Poincare-Bendixona ne vazi za n ≥ 3.

1.1.4 Ispitivanje stabilnosti polozaja ravnoteze nelinearnih DS

Teorija stabilnosti po Ljapunovu

U ovom delu nije bitno da je DS sistem dvodimenzionalan. Zato cemo stabilnost disku-tovati za n-dimenzionalan sistem (1.7).

Definicija 1.18. [Lokalna stabilnost polozaja ravnoteze] Polozaj ravnoteze x0 si-stema (1.7) je lokalno stabilan, ako za svako R > 0, postoji r = r(R) > 0, tako da zasvaku faznu trajektoriju x = x(t) ovog sistem vazi

‖x(t0)− x0‖ < r ⇒ ‖x(t)− x0‖ < R

za svako t ∈ [t0,∞).

Polozaj ravnoteze je nestabilan ako nije stabilan.

Definicija 1.19. [Lokalna asimptotska stabilnost polozaja ravnoteze] Polozajravnoteze x0 sistema (1.7) je lokalno asimptotski stabilan, ako je stabilan i postoji δ > 0tako da vazi

‖x(t0)− x0‖ < δ ⇒ limt→∞‖x(t)− x0‖ = 0.


Slika 1.5: Lokalna stabilnost i asimptotska stabilnost PR x0 = 0

Definicija 1.20. [Globalna asimptotska stabilnost polozaja ravnoteze] Polozajravnoteze x0 sistema (1.7) je globalno asimptotski stabilan ako za svaku trajktoriju x(t)vazi

limt→∞‖x(t)− x0‖ = 0.

Napomena 1.1. Kada kazemo da je polozaj ravnoteze stabilan (asimptotski stabilan)podrazumevamo lokalnu stabilnost (lokalnu asimptotsku stabilnost). Kada je u pitanjuglobalna stabilnost, to cemo naglasavati.

Teorija stabilnosti Ljapunova linearnih DS

Definicija 1.21. Matrica A = (aij)n×n se naziva matrica Hurwitza ako sve sopstvenevrednosti matrice A imaju negativan realan deo.

Teorema 1.12. Polozaj ravnoteze x = 0 sistema (1.11) je lokalno asimptotski stabilanako i samo ako sve sopstvene vrednosti matrice A imaju negativan realni deo tj. matricaA je matrica Hurwitza.

Negacija predhodnog tvrdenja daje odgovor na pitanje kada je polozaj ravnotezelokalno stabilan a kada nestabilan.

Teorema 1.13. Ako bar jedna sopstvena vrednost matrice A ima pozitivan realni deo tadaje x = 0 nestabilan polozaj ranoteze.

Ako je realni deo neke sopstvene vrednosti jednak nuli, a u svim ostalim slucajevimaje negativan, tada je x = 0 lokalno stabilan polozaj ravnoteze.

Prema tome, za ispitivanje lokalne stabilnosti polozaja ravnoteze linearnih DS bitnoje odrediti samo znak realnih delova sopstvenih vrednosti ne nalazeci same sopstvenevrednosti.

Za dvodimenzionalan linearan sistem imamo narednu teoremu na osnovu klasifikacijepolozaja ravnoteze.

Teorema 1.14. i) Asimptotski lokalno stabilni polozaji ravnoteze su: stabilan cvor, sta-bilni fokus, stabilna zvezda, stabilan degenerativni cvor.

ii) Nestabilni polozaji ravnoteze su: nestabilan cvor, nestabilan fokus, sedlo, nestabilnazvezda, nestabilan degenerativni cvor.

iii) Centar je lokalno stabilan ali nije asimptotski lokalno stabilan polozaj ravnoteze.

Direktni metod Ljapunova

Ovo je metod za ispitivanje stabilnosti polozaja ravnoteze nelinearnih DS.

Definicija 1.22. Funkcija V (x) neprekidna i sa neprekidnim parcijalnim izvodima prvogreda u okolini O(x∗) tacke x∗, naziva se FUNKCIJA LJAPUNOVA5 DS (1.7) ako je

1. V (x∗) = 0;

2. V (x) > 0 za svako x ∈ O(x∗), x 6= x∗;

3. V (x) =n∑k=1

∂V

∂xkfk ≤ 0 za x ∈ O(x∗).

STROGA FUNKCIJA LJAPUNOVA DS (1.7) je funkcija Ljapunova za koju vazi V (x) <0, za x ∈ O(x∗) \ x∗.

Prva dva uslova iz predhodne definicije govore da je funkcija Ljapunova pozitivnodefinitna.

Teorema 1.15. [Teorema stabilnosti Ljapunova] Neka je za sistem (1.7) funkcijaf ∈ C(1)(G) i tacka x=0 polozaj ravnoteze. Ako u nekoj okolini O(0) postoji funkcijaLjapunova DS (1.7), polozaj ravnoteze x = 0 je lokalno stabilan.

Teorema 1.16. [Teorema apsolutne stabilnosti Ljapunova] Neka je za sistem (1.7)funkcija f ∈ C(1)(G) i tacka x=0 polozaj ravnoteze. Ako u nekoj okolini O(0) postoji strogafunkcija Ljapunova DS (1.7), polozaj ravnoteze x = 0 je asimptotski lokalno stabilan.

Teorema 1.17. [Teorema nestabilnosti Ljapunova] Neka je za sistem (1.7) funkcijaf ∈ C(1)(G) i tacka x=0 polozaj ravnoteze. Ako u nekoj okolini O(0) postoji funkcija v zakoju vazi da je pozitivno definitna i zadovoljava uslov v(x) > 0, za x ∈ O1(0)\0, O1(0) ⊆O(0), polozaj ravnoteze x = 0 je nestabilan.

Indirektni metod Ljapunova

Direktni metod Ljapunova nam daje odgovor kada je polozaj ravnoteze nelinearnog DSasimptotski stabilan, stabilan ili nestabilan. Indirektni metod Ljapunova nam daje odgovorna to pitanje posmatrajuci odgovarajuci linearizovan DS.

Teorema 1.18. Neka je x = 0 polozaj ravnoteze nelinearnog DS (1.7), f ∈ C(1)(G) ineka je A = Df(0).

i) Ako je matrica A matrica Hurwitza tada je x = 0 asimptotski lokalno stabilan polozajravnoteze DS (1.7).

ii) Ako je realni deo bar jedne sopstvene vrednosti veci od 0 tada je polozaj ravnotezenelinearnog DS (1.7) nestabilan.

Primetimo da predhodna teorema ne daje odgovor na pitanje kakva je stabilnostpolozaja ravnoteze x = 0 nelinearnog DS (1.7) ako je bar jedna sopstevena vrednostmatrice A jednaka nuli a sve ostale imaju realni deo manji od nule.

5A.M. Ljapunov (1857-1918), ruski matematcar i fizicar

1.2. BIFURKACIJE 19

1.2 Bifurkacije

U slucaju visedimenzionalnih DS

dx

dt= f(x, µ), x ∈ Rn, µ ∈ Rk (1.13)

uobicajna definicija bifurkacije je: do bifurkacije dolazi za vrednost parametra µ = µ0

ako postoji parametar µ1 proizvoljno blizu parametra µ0 tako da DS:dx

dt= f(x, µ1) i

dx

dt= f(x, µ0) nisu topoloski ekvivalentni, konstantu µ0 nazivamo bifurkacioni kriticni

parametar.Kazemo da dolazi do bifurkacije ako se sa promenom vrednosti parametra µ menja

kvalitativna struktura faznog portreta DS. Zapravo, moze doci do promene u brojupolozaja ravnoteze (do nestajanja odredenih ili nastajanja novih polozaja ravnoteze) ilimoze doci do promene u stabilnosti postojecih polozaja ravnoteze. Bifurkacije su veomaznacajne sa stanovista primene. Razlikujemo lokalne i globalne bifurkacije:

• lokalne bifurkacije su bifurkacije kod kojih dolazi do promene stabilnosti polozajaravnoteze ili granicnog cikla sa promenom vrednosti parametra;

• globalne bifurkacije su bifurkacije kod kojih se veci invarijantni skupovi npr. granicnicikl sudara sa polozajem ravnoteze - sto dovodi do globalnih promena u topoloskojstrukturi faznog portreta a ne samo do promena u okolini polozaja ravnoteze iligranicnog cikla.

U ovom delu posmatracemo lokalne bifurkacije polozaja ravnoteze nelinearnih DS u ravni,koje mogu biti:

1. sedlo-cvor bifurkacija;

2. transkriticna bifurkacija;

3. racvasta bifurkacija;

4. Hopf bifurkacija.

Graficku interpretaciju bifurkacije u ravni nazivacemo bifurkacioni dijagram. Bifurka-cioni dijagram predstavljamo u µx-ravni (µ je horizontalna, x vertikalna osa) gde crtamografike krivih φ(µ, x) = 0 koje ce predstavljati krive na kojim leze polozaji ravnoteze ioznacavamo vektorsko polje dx

dt= φ(µ, x) sa ↑ ako je dx

dt> 0 i ↓ ako je dx

dt< 0 . Da bi

razlikovali stabilni i nestabilni polozaj ravnoteze punom linijom obelezavamo stabilni deo,a isprekidanom nestabilni.

1.2.1 Sedlo-cvor bifurkacija

Sedlo-cvor bifurkacija predstavlja osnovni mehanizam za stvaranje i nestajanje polozajaravnoteze. Normalna forma sedlo-cvor bifurkacije je:

dx

dt= µ− x2

dy

dt= −y.

Slika 1.6: Sedlo-cvor bifurkacija u dvodimenzionalnom sistemu

Posmatrajmo fazni portret pri promeni vrednosti parametra µ (Slika 1.6). Za µ > 0postoje dva polozaja ravnoteze: stabilan cvor (x∗, y∗) = (

√µ, 0) i sedlo u (−√µ, 0). Kada

vrednost µ opada sedlo i cvor se priblizavaju jedno drugom, a zatim se sudaraju kada jeµ = 0 i najzad nestaju kada je µ < 0 (x2 = µ nema resenja u skupu R). Konstanta µc = 0je bifurkacioni kriticni parametar sedlo-cvor bifurkacije. Za µ = 0 je

J(0, 0) =

(0 00 −1

),

pa je (0, 0) nehiperbolicki polozaj ravnoteze - stabilni neizolovani cvor linearizovanogsistema. Na Slici 1.7 je dat bifurkacioni dijagram sedlo-cvor bifurkacije.

Slika 1.7: Bifurkacioni dijagram sedlo-cvor bifurkacije

1.2.2 Transkriticna bifurkacija

U primenama cesto polozaj ravnoteze uvek postoji bez obzira na vrednost parametraµ. Medutim, moze se desiti da polozaj ravnoteze menja svoju stabilnost u zavisnostiod parametra. Transkriticna bifurkacija je klasican oblik bifurkacije koja opisuje ovakvepromene u faznom portretu. Normalna forma transkriticne bifurkacije je

dx

dt= µx− x2

dy

dt= −y.

Polozaji ravnoteze su x∗ = (0, 0) i x = (µ, 0) za µ 6= 0, dok je za µ = 0 x∗ = x = (0, 0).Dakle, polozaj ravnoteze x∗ = (0, 0) uvek postoji bez obzira na vrednost parametra µ.Jakobijan matrica je:

J(x, y) =

(µ− 2x 0

0 −1

).

Za polozaje ravnoteze imamo:

J(x∗) =

(µ 00 −1

), J(x) =

(−µ 00 −1

).

1.2. BIFURKACIJE 21

Za µ < 0 x∗ je asimptotski stabilan polozaj ravnoteze dok je x nestabilan (Teorema 1.18).S druge strane, za µ > 0 je (na osnovu iste teoreme) x∗ nestabilan polozaj ravnotezedok je x asimptotski stabilan polozaj ravnoteze. Dakle µ = 0 je bifurkacioni kriticniparametar transkriticne bifurkacije. Primetimo da je i ovde za µ = 0 polozaj ravnotezex∗ neizolovani cvor linearizovanog sistema. Na Slici 1.8 je dat bifurkacioni dijagram.

Slika 1.8: Bifurkacioni dijagram transkriticne bifurkacije

1.2.3 Racvasta bifurkacija

Ovo je tip bifurkacije kada u zavisnosti od parametra µ imamo pojavljivanje ili nestajanjesimetricnih polozaja ravnoteze.

Natkriticna racvasta bifurkacija

Normalna forma natkriticne bifurkacije je:

dx

dt= µx− x3

dy

dt= −y.

Za µ < 0 jedini polozaj ravnoteze je x∗ = (0, 0) dok su za µ > 0 polozaji ravnotezex∗ = (0, 0) x = (

√µ, 0) i x = (−√µ, 0). Za µ = 0 sva tri su jednaka sa x∗ = (0, 0).

Jakobijan matrica je:

J(x, y) =

(µ− 3x2 0

0 −1

).


J(x∗) =

(µ 00 −1

), J(x) =

(−2µ 0

0 −1

), J(x) =

(−2µ 0

0 −1

)Dakle, za µ < 0 x∗ je jedini, asimptotski stabilan polozaj ravnoteze na osnovu Teoreme1.18. S druge strane, za µ > 0 je (na osnovu iste teoreme) x∗ nestabilan polozaj ravnotezedok su x i x asimptotski stabilni polozaji ravnoteze (Slika 1.9). Dakle, µ = 0 je bifurkacionikriticni parametar za natkriticnu bifurkaciju. Primetimo da je i ovde za µ = 0 polozajravnoteze x∗ neizolovani cvor linearizovanog sistema.

Slika 1.9: Natkriticna bifurkacija u dvodimenzionalnom dinamickom sistemu

Potkriticna racvasta bifurkacija

Normalna forma potkriticne bifurkacije je:

dx

dt= µx+ x3

dy

dt= −y.

Za µ > 0 jedini polozaj ravnoteze je x∗ = (0, 0), dok su za µ < 0 polozaji ravnotezex∗ = (0, 0) x = (

√−µ, 0) i x = (−

√−µ, 0). Za µ = 0 sva tri su jednaka sa x∗ = (0, 0).

Jakobijan matrica je:

J(x, y) =

(µ+ 3x2 0

0 −1

).


J(x∗) =

(µ 00 −1

), J(x) =

(−2µ 0

0 −1

), J(x) =

(−2µ 0

0 −1

)Analizom analognom kao za natkriticnu bifurkaciju, dolazimo do suprotnih zakljucakau odnosu na natkriticnu bifurkaciju. Sada je za µ < 0 x∗ asimptotski stabilan polozajravnoteze (stabilan cvor) dok su x i x nestabilni polozaji ravnoteze, dok je za µ > 0 x∗

jedini polozaj ravnoteze koji je nestabilan (sedlo). Dakle µ = 0 je bifurkacioni kriticniparametar za potkriticnu bifurkaciju. Primetimo da je i ovde za µ = 0 polozaj ravnotezex∗ neizolovani cvor linearizovanog sistema.

Sa stanovista primene pojava potkriticne bifurkacije je nezgodnija je od natkrticne jerza vrednost parametra µ > 0 ostaje nestabilan polozaj ravnoteze.

Na Slici 1.10 dati su bifurkacioni dijagrami natkriticne i potkriticne racvaste bi-furkacije.

Slika 1.10: Bifurkacioni dijagrami natkriticne i potkriticne racvaste bifurkacije

1.2. BIFURKACIJE 23

1.2.4 Hopf bifurkacija

Videli smo da do pojave bifurkacija sa promenom vrednosti µ u DS

dx

dt= f(x, y, µ),

dy

dt= g(x, y) (1.14)

dolazi kada je jedna sopstvena vrednost matrice J(x∗) jednaka 0 za µ = 0 tj. x∗ jenehiperbolicki polozaj ravnoteze.

Ako su polozaji ravnoteze stabilni onda obe sopstvene vrednosti λ1 i λ2, moraju daleze u levoj poluravni Re(λ) < 0. Prema tome, da bi polozaj ravnoteze postao nestabilan,potrebno je da jedna ili obe sopstvene vrednosti predu na desnu poluravan, pri promenivrednosti parametra µ. Kako λ zadovoljava kvadratnu jednacinu sa realnim koeficijentimamoguca su dva slucaja: ili su obe sopstvene vrednosti realne i negativne (Slika 1.11-(a))ili su konjugovano kompleksi brojevi (Slika 1.11-(b)).

Slika 1.11: Sopstvene vrednosti Jakobijana u komleksnoj ravni

Dakle, polozaj ravnoteze moze da izgubi stabilnost na dva nacina:

1. ako jedna realna negativna vrednost postane pozitivna

2. ako obe kompleksne vrednosti predu na desnu stranu (Hopf bifurkacija).

Kada sa promenom vrednosti parametra µ dolazi do nastajanja ili nestajanja peri-odicnog resenja ili granicnog cikla koji okruzuje polozaj ravnoteze nastaje Hopf bifurkacija.

Kada stabilan granicni cikl okruzuje nestabilan polozaj ravnoteze bifurkacija se nazivanatkriticna Hopf bifurkacija a kada nestabilni granicni cikl okruzuje stabilan polozajravnoteze bifurkacija se naziva potkriticna Hopf bifurkacija.

Slika 1.12: Natkriticna Hopf bifurkacija

Slika 1.13: Potkriticna Hopf bifurkacija

Normalna forma Hopf bifurkacije u polarnim koordinatama je:

dr

dt= µr + cr3

dy

dt= ω. (1.15)

Smenom x = r cos θ, y = r sin θ dobijamo normalnu formu u Dekartovim koordinatama:

dx

dt= µx− ωy + cx(x2 + y2)

dy

dt= ωx+ µy + cy(x2 + y2). (1.16)

Natkriticna Hopf bifurkacija

Posmatrajmo DS (1.15) za c < 0:

dr

dt= µr − cr3

dy

dt= ω. (1.17)

Kada je µ < 0, koordinatni pocetak r = 0 je stabilan fokus ciji smer rotacije zavisi odpredznaka ω. Za µ = 0 = µc, koordinatni pocetak je jos uvek stabilan fokus, s tim stoje opadanje sporije. Za µ > 0, koordinatni pocetak je nestabilan i pojavljuje se stabilnigranicni cikl, oblika bliskog kruznici r =

√µ.

Da bismo videli kako se sopstvene vrednosti ponasaju tokom bifurkacije, posmatramosistem u Dekartovim koordinatama (1.16). Tada je Jakobijan matrica

J(x, y) =

(µ− 3cx2 −ω − 2cxyω − 2cxy µ− 3cy2

),

pa za (0, 0) imamo

J(0, 0) =

(µ −ωω µ

).

Sopstvene vrednosti matrice J(0, 0) su λ1,2 = µ± iω. Dakle, sopstvene vrednosti prelazeimaginarnu osu sleva na desno kada µ raste od negativnih ka pozitivnim vrednostima. NaSlici 1.14-(a) dat je bifurkacioni dijagram.

1.2. BIFURKACIJE 25

(a) Natkritica Hopf bifurkacija (b) Potkriticna Hopf bifurkacija

Slika 1.14: Bifurkacioni dijagrami Hopf bifurkacije

Naglasimo da ovaj idealizovani slucaj ilustuje dva pravila tipicna za natkriticnu Hopfbifurkaciju:

1. Velicina granicnog cikla raste neprekidno od nule, a povecava se proporcionalnovelicini

√µ− µc za µ blisko µc.

2. Frekvencija granicnog cikla priblizno je ω = Im λ, za µ = µc. Ova jednakost jetacna kada granicni cikl nastaje i tacnosti je O(µ − µc) za µ blisko µc. U tom slucaju,period je T = (2π Im λ) +O(µ− µc).

Medutim, nas primer je topoloski tipican ali ne i geometrijski i ima neka svojstva kojase ne srecu cesto u primenama, odnosno Hopf bifurkacija koja se javlja u primenama jenesto drugacija. Prvo, u najvecem broju slucajeva, granicni cikl ima oblik elipse, a nekruznice. Pri tome, oblik grancnog cikla deformise se kako se µ pomera od bifurkacionetacke. Drugo, u nasem idealizovanom slucaju, sopstvene vrednosti se pomeraju po hori-zontalnoj liniji kako se µ menja i prelaze imaginarnu osu , tj. Im λ je strogo nezavisnood vrednosti µ. Medutim, sopstvene vrednosti mogu pratiti trajektoriju krive i preciimaginarnu osu sa nagibom razlicitim od nule (Slika 1.15).

Slika 1.15: ”Nastajanje” natkriticne Hopf bifurkacije u kompleksnoj ravni

Potkriticna Hopf bifurkacija

Kao sto je poznato, potkriticna bifurkacija predstavlja dramaticniji i potencijalno opasnijislucaj od natkriticne u primeni. Naime, nakon bifurkacije, trajektorije skacu na udaljeniatraktor, koji moze biti polozaj ravnoteze, granicni cikl ili u prostorima sa tri ili visedimenzija, strani atraktor.

Posmatrajmo DS (1.15) za c > 0. Kada je µ < 0, koordinatni pocetak r = 0 je stabilanfokus ciji smer rotacije zavisi od predznaka ω i postoji stabilan granicni cikl r =

√µ. Za

µ = 0 = µc, nestaje granicni cikl a koordinatni pocetak je nestabilan fokus. Za µ > 0,koordinatni pocetak je nestabilan polozaj ravnoteze. Bifurkacioni dijagram prikazan jena Slici 1.14-(b).

Teorema 1.19. [Hopf bifurkaciona teorema] Posmatrajmo DS

dx

dt= fµ(x, y)

dy

dt= gµ(x, y)

Pretpostavimo da je (0, 0) polozaj ravnoteze i da su sopstvene vrednosti matrice linearizo-vanog sistema J(0, 0):

λ(µ) = λ(µ) = α(µ) + iβ(µ).

Pretpostavimo dalje da vazi:

1. α(0) = 0, β(0) = ω 6= 0, sgn(ω) = sgn

(∂gµ∂x

)∣∣∣∣µ=0

(0, 0) (nehiperbolicki uslov - par

cisto imaginarnih sopstvenih vrednosti)

2.dα(µ)

dµ

∣∣∣∣µ=0

= d 6= 0 (sopstvene vrednosti prelaze imaginarnu osu sa nagibom ra-

zlicitim od nule)3.

a =1

16[fxxx+fxyy+gxxy+gyyy]+

1

16ω[fxy(fxx+fyy)−gxy(gxx+gyy)−fxxgxx+fyygyy] 6= 0,

gde fxy oznacava∂2f

∂x∂y

∣∣∣∣µ=0

(0, 0) itd.

Tada:

• do pojave granicnog cikla dolazi za

µ > 0 ako je ad < 0

µ < 0 ako je ad > 0

• (0, 0) je

stabilan polozaj ravnoteze za µ > 0 i nestabilan polozaj ravnoteze za µ < 0 ako jed < 0

stabilan polozaj ravnoteze za µ < 0 i nestabilan polozaj ravnoteze za µ > 0 ako jed > 0

• granicni cikl je

stabilan ako je polozaj ravnoteze nestabilan za one µ za koje postoji granicni cikl

nestabilan ako je polozaj ravnoteze stabilan za one µ za koje postoji granicni cikl

• amplituda periodicne trajektorije raste kao√|µ|, dok njena perioda tezi ka 2π/ω

kada |µ| tezi nuli.

Glava 2

Dinamicki modeli infektivnih bolesti

Matematicki modeli, cak i oni najjednostavniji, postali su vazan metod za izucavanjeinfektivnih bolesti. Za razliku od medicinskih istrazivanja, gde se testiranje vrsi na zivimsubjektima i nije uvek prakticno, matematicko modeliranje pruza mogucnost koriscenjaracunarskih simulacija i eksperimentalnih testiranja teorije. Ono sto je jako bitno, postojimogucnost promene vrednosti razlicitih parametara i detaljnog proucavanja posledica kojeto uzrokuje.

U ovoj glavi upoznacemo se sa osnovnim modelima infektivnih bolesti koji, iako sujednostavni, pruzaju sliku kretanja bolesti i predstavlju osnovu za dalje razumevanjeslozenijih matematickih modela.

Epidemija je neobicno cesto pojavljivanje jedne bolesti u jednoj populaciji. Rec epi-demija nastala je od grckih reci epi (preko) i demos (narod). Endemija, za razliku od epi-demije, opisuje normalno i uobicajno pojavljivanje (sirenje) bolesti medu jednom popula-cijom. Tako je na primer jedan odredeni procenat obolelih od gripa sasvim normalan. Cimbroj obolelih prede odredenu granicu (kod gripa je to 10%) moze se govoriti o epidemiji.Epidemije koje prelaze drzavne ili cak kontinentalne granice nazivaju se pandemije.

Matematicki modeli koji izucavaju infektivne bolesti zbog toga se mogu posmatrati kaoepidemioloski i kao endemski. Epidemioloski modeli se koriste za opisivanje iznenadnog ibrzog izbijanja epidemija, epidemija koje traju ne duze od godinu dana, dok se endemskimmodelima proucavaju bolesti cije delovanje traje duzi vremenski period.

2.1 Klasifikacija matematickih

epidemioloskih modela

Klasifikacija epidemioloskih modela moze se vrsiti na osnovu grupa, odnosno klasa, u kojese rasporeduju osobe iz populacije u zavisnosti od njihove ,,reakcije” na infekciju. Na ovajnacin razlikuje se pet osnovnih grupa:

• M grupa: osobe koje pripadaju ovoj grupi poseduju pasivni imunitet, odnosnoovoj grupi pripadaju uglavnom deca (novorodencad) koja su svoj imunitet steklarodenjem, ukoliko im je majka za vreme trudnoce bila inficirana tom bolescu;

• S grupa: osobe osetljive na bolest cine ovu grupu, tj. cine je one osobe za kojepostoji opravdana i realna mogucnost da se zaraze bolescu;

• E grupa: ovu grupu predstavljaju osobe koje se nalaze u latentnom periodu, tj.zarazene su ali nemaju jos uvek mogucnost da prenesu bolest; razlog za postojanjeove grupe moze da lezi kako u karakteristikama same bolesti, tako i u genetskimpredispozicijama osobe o kojoj se govori;

27

28 GLAVA 2. DINAMICKI MODELI INFEKTIVNIH BOLESTI

• I grupa: cine je osobe koje su zarazene i imaju mogucnost da prenesu bolest drugima;

• R grupa: grupa onih osoba koje su se od bolesti oporavile, odnosno osobe koje sunakon prelezane bolesti stekle trajni imunitet.

Na primer, ukoliko je zena za vreme trudnoce bila zarazena nekom infektivnom bolescu,tada dete rodeno pod ovim uslovima stice privremeni, odnosno pasivni imunitet te pripadagrupi M. Nakon sto majcina antitela napuste organizam deteta, ono prelazi u grupu S.Vazno je napomenuti da deca cije majke nisu bile zarazene nikakvom bolescu u trudnoci,automatski po rodenju ulaze u grupu S. U slucaju adekvatnog kontakta, kontakta izmeduosetljive S osobe i inficirane I osobe, osetljiva S osoba prelazi u grupu E. Osobe koje pri-padaju grupi E jos uvek nemaju mogucnost da drugu osobu iz populacije ucine zarazenom.Nakon zavrsetka latentnog perioda, osoba ulazi u grupu I, odnosno sada pripada grupiinficiranih i moze da prenese bolest drugima. Nakon izlecenja, osoba prelazi u grupu R,klasu oporavljenih.

Graficki prikaz ponasanja infekcije, u zavisnosti od grupa populacije dat je na Slici2.1. Kao sto se sa slike vidi, osim prelazom iz jedne grupe u drugu, svaka grupa se mozenapustiti u slucaju da osoba iz date grupe umre.

Slika 2.1: Graficki prikaz ponasanja infekcije

Koje ce grupe populacije biti ukljucene u odgovarajuci matematicki model zavisi odkarakteristika same bolesti koja se modelira, kao i od svrhe modela. Koriscenjem nave-denih grupa, razlikuju se modeli kao sto su MSEIR, MSEIRS, SEIR, SEIRS, SIR, SEI,SEIS, SI, SIS i drugi, gde se SI i SIS smatraju najjednostavnijim, dok SIR model pred-stavlja verovatno najosnovniji matematicki model epidemija.

Kada govorimo o tumacenju naziva modela, recimo, razlika izmedu MSEIR i MSEIRSmodela ogleda se u razlicitom imunitetu koji osoba stice nakon prelezane bolesti: u MSEIRmodelu osoba stice trajni imunitet, dok u MSEIRS modelu stice samo privremeni imuniteti nakon odredenog vremenskog perioda, ista osoba prelazi u grupu osetljivih, odnosnovraca se u grupu S.

Kada je populacija podeljena u svih pet osnovnih grupa, osnovna pretpostavka je dase prelasci iz grupa M, E i I u naredne grupe, S, I i R respektivno, vrse pomocu izraza

δM, εE i γI

koji se nazivaju stope prelaza. Na ovaj nacin, definisu se1

δ,

1

εi

1

γ, koji respektivno

predstavljaju srednju vrednost trajanja pasivnog imuniteta, srednju vrednost latentnogperioda i srednju vrednost trajanja infekcije.

Da bismo uveli osnovne pojmove, oznake i naveli neke od osnovnih rezultata do kojihse moze doci matematickom analizom epidemioloskih modela, dva najvaznija klasicna SIRmodela bice formulisana i analizirana.

2.2. KLASICAN SIR EPIDEMIOLOSKI MODEL 29

2.2 Klasican SIR epidemioloski model

2.2.1 Formiranje klasicnog SIR epidemioloskog modela

SIR modeli predstavljaju klasicne i najjednostavnije matematicke modele koji se baveispitivanjem pojma epidemije, koristeci ranije datu klasifikaciju modela. Naziv modelapotice iz engleskog jezika i formiran je kao skracenica grupa kojima pripadaju osobeiz populacije, S je skacenica za Susceptibles (osetljive), I za Infectives (zarazene) i R zaRemoved (oporavljene ili odstranjene). Osobe iz S grupe ukoliko u kontaktu sa inficiranomosobom obole prelaze u grupu I. Osobe iz grupe I oporavkom sticu trajni imunitet i prelazeu grupu R ili umiru (u zavisnosti od modela i parametara koji su u njega ukljuceni).Sematski prikaz bolesti dat je na Slici 2.2.

Slika 2.2: Sematski prikaz SIR epidemioloskog modela

Osnovne pretpostavke SIR modela su:

(i) osoba koja je jednom zarazena ne moze se vratiti u grupu osetljivih kao ni stoni osoba iz grupe R ne moze ponovo da postane osetljiva ili ponovo oboli (stice trajniimunitet);

(ii) velicina populacije je konstantna tokom vremena i iznosi N ;

(iii) verovatnoca susreta ma koje dve osobe uvek je ista;

(iv) inkubacioni period je zanemarljivo kratak odnosno, oseljiva osoba koja dode ukontakt sa zarazenom osobom odmah postaje zarazena i prelazi u klasu I.

Da bi model sto vise odgovarao realnosti, u model je potrebno ukljuciti i vremenskui starosnu komponentu, t i a respektivno. Naime, starosna promenljiva je potrebna sobzirom na to da je poznato da se grupe iste i slicne starosne dobi mesaju heterogeno,rizik ka infekciji moze zavisiti od uzrasta, programi vakcinacije se obicno fokusiraju naodredene starosne grupe. Ovde se necemo baviti modelima koji ukljucuju komponentustarosti.

Formulacija matematickog modela zahteva definisanje odredenih promenljivih i parame-tra koji ce se koristiti u modelu.

U trenutku t funkcije S(t), I(t) i R(t) predstavlju broj osetljivih, zarazenih i oporavlje-nih u populaciji respektivno. Kako je velicina populacije konstantna tokom vremenazakljucujemo da u svakom trenutku t vazi

S(t) + I(t) +R(t) = N. (2.1)

Funkcije s(t) =S(t)

N, i(t) =

I(t)

Ni r(t) =

R(t)

Npredstavljaju frakcije, tj. udeo osetljivih,

zarazenih i oporavljenih u populaciji u trenutku t. Na osnovu (2.1) za frakcije vazi:

s(t) + i(t) + r(t) = 1. (2.2)

Neka je sa β > 0 oznacen broj adekvatnih kontakata u jedinici vremena, pri cemu sepod kontaktom ovakvog tipa smatra onaj kontakt koji je dovoljan da se bolest prenese


sa zarazene na osetljivu osobu. Tada je sa βi = βI

Ndefinisan prosecan broj kontakata

jednog osetljivog sa inficiranima, u jedinici vremena, odnosno sa

βI

NS =

βIS

N= βNis (2.3)

je definisan broj novoobolelih slucajeva u jedinici vremena.Kako se posmatra epidemioloski model, smatra se da je vremenski period epidemije

relativno kratak, te u model nisu ukljucene stope radanja i umiranja.Matematicki model, odnosno dinamicki sistem kojim je opisan postupak sirenja bolesti

pod uvedenim pretpostavkama je oblika:

dS

dt= −βIS

N, S(0) = S0 ≥ 0

dI

dt=

βIS

N− γI, I(0) = I0 ≥ 0 (2.4)

dR

dt= γI, R(0) = R0 ≥ 0.

Kada se bolest prati od samog pocetka najcesce se uzima da je R0 = 0.Objasnimo malo detaljnije predhodni dinamicki sistem. Populacija osetljivih se smanju-

je za broj novoobolelih jedinki te zato imamo −βISN

, dok se populacija zarazenih povecava

za isti taj broj, pa imamo +βISN

. Pored toga, populacija zarazenih se smanjuje za brojonih koji su izleceni, pa imamo −γI, a samim ti se populacija oporavljenih povecava za+γI, pri cemu je γ stopa oporavka, odnosno 1

γje srednja vrednost trajanja infekcije.

Deljenjem sistema jednacina (2.4) sa konstantom koja predstavlja ukupnu velicinupopulacije N , dobija se ekvivalentni sistem jednacina:

ds

dt= −βis, s(0) = s0 ≥ 0

di

dt= βis− γi, i(0) = i0 ≥ 0 (2.5)

dr

dt= γi, r(0) = 0

gde na osnovu (2.2) vazi i r(t) = 1 − s(t) − i(t), gde su s(t), i(t) i r(t) ranije definisanefrakcije.

2.2.2 Tri osnovne granicne velicine

Definisacemo tri granicne velicine od cijih vrednosti zavisi da li ce doci do epidemije iline. Razlikuju se: osnovni reprodukcioni broj R0, kontaktni broj σ i zamenski broj R.

Osnovni reprodukcioni broj R0 definise se kao prosecan broj onih koji se zarazebolescu kada se u populaciji koju cine iskljucivo osetljive osobe, pojavi jedna infektivnaindividua, pri cemu se ova pojava naziva invazija bolesti. Drugim recima, osnovni repro-dukcioni broj (stopa ili odnos), se smatra kvantitativnom granicom koja odreduje kada ceepidemija da se prosiri kroz populaciju, odnosno kada ce epidemija da zahvati populaciju.U opstem slucaju vazi da je R0 > 1. Bitno je napomenuti da se implicitno pretpostavljada se inficirana osoba, za vreme trajanja svog infektivnog perioda, nalazi u populaciji ida se sa osobama iz populacije mesa na isti nacin na koji bi to cinile i individue u okvirusame populacije, odnosno bez odudaranja u sablonima ponasanja.

S druge strane, kontaktni broj σ, definise se kao prosecan broj adekvatnih kontakatakoje ostvari bilo koja inficirana osoba za vreme trajanja svog infektivnog perioda.


Na kraju, zamenski broj R, se definise kao prosecan broj sekundarnih infekcija,odnosno onih infekcija, koje zaista proizvede bilo koja zarazena osoba za vreme trajanjasvog infektivnog perioda.

Vazno je primetiti da su u pocetnom trenutku, u trenutku kada epidemija tek pocinjeda se siri kroz populaciju, sve tri granicne velicine, R0, σ i R jednake.

Iako je R0 definisan samo za pocetni trenutak, trenutak kada nastupa invazija bolesti,σ i R su definisani za svaki trenutak. U velikom broju modela, kontaktni broj σ je konsta-ntan za vreme perioda sirenja infekcije kroz populaciju, te je takode jednak osnovnomreprodukcionom broju R0, pa se stoga, u tim slucajevima, ove dve velicine koriste naiz-menicno. Medutim, postoje i oni modeli u kojima je kontaktni broj manji od osnovnogreprodukcionog broja i to su slucajevi kada se, nakon invazije bolesti, pojavljuju osobecija je sposobnost prenosenja infekcije, iz razlicitih razloga, manja, te svi kontakti nisu iadekvatni. Dalje, kako je zamenski broj, definisan kao broj sekundarnih infekcija nakoninvazije, on je uvek i manji od osnovnog reprodukcionog broja, jer je veci broj populacijevec zarazen, odnosno manji broj osoba ima mogucnost da se zarazi. Takode, nakon in-vazije frakcija osetljivih mora biti manja od 1, te svaki adekvatni kontakt istovremenopredstavlja i novi slucaj, odnosno zamenski broj je uvek manji od kontaktnog broja.Kombinacijom datih zapazanja, dolazi se do zakljucka da je:

R0 ≥ σ ≥ R.

Drugim recima, osnovni reprodukcioni broj R0 najveca je od tri navedene velicine, jer upocetnom trenutku najveci broj osoba (cela populacija umanjena za jednog zarazenog) imamogucnost da se zarazi. U svim sledecim trenucima, s obzirom na to da je koncentracijaosetljivih umanjena za broj onih koji su se vec zarazili, manji broj ljudi ima sposobnost dapostane zarazeno u kontaktu sa inficiranom osobom. Dalje, kako se kontaktni broj definisekao broj adekvatnih kontakata, a adekvatni kontakt je samo potreban ali ne i dovoljanuslov za stvaranje inficirane osobe, ne postoji garancija da ce i svaki od tih kontakataproizvesti po jednu novu inficiranu osobu. Imajuci u vidu upravo receno zamenski broj,koji se definise kao upravo broj onih koji ce se i nakon adekvatnog kontakta sigurnozaraziti, broj sekundarnih infekcija, uvek mora biti manji ili jednak od kontaktnog broja.

2.2.3 Analiza klasicnog SIR epidemioloskog modela

I pored dosta jednostavno postavljenog matematickog modela, dinamicki sistem (2.4)odnosno (2.5) nije moguce resiti analiticki, ali analizom dinamickog sistema mozemo docido niza korisnih zakljucaka.

Posmatrajmo model (2.5). Kako prve dve jednacine ne zavise od r i vazi r(t) =1− s(t)− i(t), analiziracemo pored DS (2.5) i sledeci dinamicki sistem:

ds

dt= −βis,

di

dt= βis− γi. (2.6)

Kako smo kontaktni broj σ definisali kao prosecan broj adekvatnih kontakata kojeostvari bilo koja inficirana osoba za vreme trajanja svog infektivnog perioda, zakljucujemo

da je za ovaj model σ =β

γ, jer je β broj adekvatnih kontakata u jedinici vremena a

prosecno vreme trajanja infekcije je1

γ. Zamenski broj u pocetnom trenutku je R = σs0.

Na osnovu definicije osnovnog reprodukcionog broja R0 (prosecan broj onih koji se zaraze

bolescu kada se u populaciji koju cine iskljucivo osetljive osobe pojavi jedna infektivna

individua) zakljucujemo da je R0 =β

γ(videti Poglavlje 2.5.2).

Na osnovu prve jednacine sistema (2.5) mozemo zakljuciti da jeds

dt< 0 (jer su sve

vrednosti parametra pozitivne), sto nam daje da je funkcija s(t) monotono opadajuca zasvako t ≥ 0. Kako je s(t) monotono opadajuca i ogranicena odozdo (iz nenegativnostifrakcije sledi da je ogranicena nulom) onda mora biti i konvergentna kada t → ∞ tj.postoji

limt→∞

s(t) = s(∞) ≥ 0. (2.7)

Pokazacemo da je s(∞) > 0. Posmatrajmo prvu i trecu jednacinu sistema (2.5):

ds

dr= −βs

γds

s= −σdr.

Dobili smo diferencijalnu jednacinu koja razdvaja promenljive. Integraljenjem leve i desnestrane dobijamo: ∫

ds

s=

∫−σdr

ln |s| = −σr + C1,

s = Ce−σr, C = ±eC1 .

Na osnovu pocetnih uslova i cinjenice da je r0 = 0 dobijamo da je C = s0. Pored toga,kako je r(t) ≤ 1 vazi:

s = s0e−σr ≥ s0e

−σ.

Kada t→∞ dobijamo:s(∞) ≥ s0e

−σ > 0. (2.8)

Na osnovu trece jednacine DS (2.5) zakljucujemo da jedr

dt> 0 (ponovo iz istih razloga)

sto nam daje da je funkcija r(t) monotono rastuca za t ≥ 0 i kako je ogranicena odozgo(na osnovu pretpostavke da je ukupna velicina populacije konstantna tokom vremena ida sve jedinke pripadaju nekoj od ovih tri grupa) sledi da postoji

r(∞) = limt→∞

r(t). (2.9)

Kako vazi da je i(t) = 1− r(t)− s(t) i postoje granicne vrednosti (2.7) i (2.9) to znacida postoji i

i(∞) = limt→∞

i(t) (2.10)

i vazi s(∞) + i(∞) + r(∞) = 1.Posmatrajmo sada drugu jednacinu sistema (2.5). Kako je

di

dt= i(βs− γ)

> 0, s >

γ

β=

1

σ

< 0, s <γ

β=

1

σ

(2.11)

mozemo zakljuciti da je i(t) monotono opadajuca funkcija ako je βs < γ i monotonorastuca ako je βs > γ.

Ako u pocetnom trenutku imamo da je frakcija osetljivih s0 <γ

βi kako je funkcija

s(t) monotono opadajuca, to ce za svako t > 0 vaziti

s(t) < s0 <γ

β,

sto dalje na osnovu (2.11) i predhodnog zakljucka znaci da je i(t) monotono opadajucafunkcija za svako t ≥ 0, odnosno i0 > i(t) → 0 kada t → ∞. Dakle, u ovom slucaju nedolazi do epidemije.

Sa druge strane, ako je s0 >γ

βtada na osnovu (2.11) imamo da je i(t) monotono

rastuca funkcija tj. i0 < i(t) i dolazi do sirenja epidemije.

Na ovaj nacin uvodimo granicnu velicinuγ

β=

1

σ, koja predstavlja vrednost koju

pocetni broj osetljivih mora da prede da bi epidemija pocela da se siri kroz populaciju,tj. mora da vazi σs0 > 1 da bi doslo do sirenja epidemije (slika 2.3). Primetimo daprag kojim je odredeno da li ce doci do epidemije je kod ovog modela odreden zamenskimbrojem u pocetnom trenutku R = σs0 a ne osnovnim reprodukcionim brojem R0 kao stoje slucaj kod vecine dinamickih modela infektivnih bolesti.

Iskoristimo prve dve jednacine sistema (2.5) za dobijanje jos nekih korisnih analitickihrezultata:

di

ds= −(βs− γ)i

βsi= −1 +

1

σs, i 6= 0. (2.12)

Poslednja jednacina je diferencijalna jednacina koja razdvaja promenljive. Integraljenjemleve i desne strane dobijamo: ∫

di =

∫ (− 1 +

1

σs

)ds

i = −s+1

σln s+ C

tj. za trajektorije u si faznoj ravni vazi:

i+ s− 1

σln s = C. (2.13)

Na osnovu pocetnih uslova odredicemo konstantu C. Za t = 0 dobijamo da je

C = i0 + s0 −1

σln s0,

menjajuci u (2.13) dobijamo:

i+ s− 1

σln s = i0 + s0 −

1

σln s0. (2.14)

Fazne trajektorije DS (2.6) u si-faznoj ravni date su na Slici 2.3. Kada je s0 + i0 = 1(r0 = 0), sve fazne trajektorije DS (2.6) krecu sa prave s + i = 1 i ostaju unutar trouglaT datog sa:

T = (s, i) : s ≥ 0, i ≥ 0, s+ i ≤ 1 (2.15)

koji je dobro definisan, matematicki i epidemioloski, na osnovu pretpostavke da je velicinapopulacije konstantna tokom vremena. Trougao T je pozitivno invarijantan i postojejedinstvena resenja DJ (2.12) u T . Za proizvoljne pocetne vrednosti (s0, i0) za koje vazis0 < 1/σ, duz fazne trajektorije i opada od i0 ka nuli (nema epidemije). S druge strane,


za pocetne vrednosti (s0, i0) za koje vazi s0 > 1/σ duz fazne trajektorije i raste od i0 doimax (dolazi do epidemije), a zatim opada do nule.

Slika 2.3: Fazni portret SIR epidemioloskog modela za σ = 3

Kada je s(t) =1

σna osnovu (2.11) zakljucujemo da funkcija i(t) dostize maksimalnu

vrednost koju cemo obeleziti sa imax, sto znaci da u trenutku kada frakcija osetljivih bude

jednaka smax =1

σtada epidemija dostize svoj vrhunac (Slika 2.3). Na osnovu (2.14)

mozemo odrediti maksimalnu frakciju infektivnih imax. Zamenom s(t) =1

σu (2.14)

dobijamo:

imax = − 1

σ+

1

σln

1

σ+ i0 + s0 −

1

σln s0

= i0 + s0 −1

σ− 1

σln(σs0). (2.16)

Kako se na osi i = 0 nalaze polozaji ravnoteze sistema (2.6) zakljucujemo da frakcijai(t) opada do nule kada t → ∞, tj. i(∞) = 0. Tada iz (2.14) kada t → ∞, dobijamonelinearnu jednacinu za odredivanje vrednosti s(∞):

i(∞) + s(∞)− 1

σln s(∞) = i0 + s0 −

1

σln s0

s(∞)− 1

σln s(∞) = i0 + s0 −

1

σln s0. (2.17)

Na osnovu predhodne diskusije mozemo formulisati narednu teoremu.

Teorema 2.1. Neka je (s(t),i(t)) resenje sistema (2.6) u T . Ako je σs0 ≤ 1 tada i(t)opada do nule kada t→∞. Ako je σs0 > 1 tada i(t) prvo raste do maksimalne vrednostiimax date sa (2.16) a zatim opada do nule kada t→∞. Frakcija osetljivih s(t) je opadajucafunkcija i granicna vrednost s(∞) je jedinstven koren u intervalu (0, 1/σ) jednacine

i0 + s0 − s(∞) +1

σln

(s(∞)

s0

)= 0. (2.18)

Sa epidemioloske strane uslovi Teoreme 2.1 dobro su definisani. Naime, kada brojinfektivnih opadne, epidemije vise nema, odnosno nakon odredenog vremena infektivna


osoba gubi mogucnost inficiranja vise od jedne osobe, s obzirom na to da je dovoljan brojljudi stekao imunitet, a o tome govori σs0 ≤ 1.

S druge strane, ako je σs0 > 1 tada infektivna osoba moze da zarazi vecu grupu ljudii dolazi do epidemije. Kako je s(t) opadajuca funkcija i zamenski broj σs(t) opada tokomvremena, ali da bi opao mora da dostigne vrednost 1 i upravo u tom trenutku najvecibroj ljudi bude inficiran i tada i(t) dostize maksimalnu vrednost imax. Nakon toga, ovajbroj ponovo pocinje da opada ka nuli i epidemija nestaje sto se vidi na Slici 2.3.

Jako bitan zakljucak ove analize je da i(t)→ 0, s(t)→ s(∞) > 0 kada t→∞, tj. doprestanka bolesti dolazi usled toga sto se tokom vremena gubi broj zarazenih, a ne zboggubitka broja osetljivih osoba.

Od znacaja je odrediti i trenutak kada se dostize imax. Obelezimo ga sa te. Posmatra-jmo prvu jednacinu sistema (2.5) i (2.14). Iz (2.14) dobijamo da je:

i = i0 + s0 − s+1

σln

s

s0

.

Zamenom u prvu jednacinu sistema (2.5) dobijamo diferencijalnu jednacinu koja razdvajapromenljive:

ds

dt= −βs

(i0 + s0 − s+

1

σln

s

s0

)dt =

−ds

βs

(i0 + s0 − s+ 1

σln s

s0

) . (2.19)

Kako se imax dobija kada je se s(t) =1

σintegraljenjem leve i desne strane u (2.19) u

granicama od 0 do1

σdobijamo:

∫ 1σ

0

dt =

∫ 1σ

0

−dsβs(i0 + s0 − s+ 1

σln s

s0)

te =

∫ 1σ

0

−dsβs(i0 + s0 − s+ 1

σln s

s0). (2.20)

Kada je I0, pocetni broj infektivnih, zanemarljivo mali (to je i i0 mali broj), tadase moze oceniti kontaktni broj σ za konkretnu bolest i konkretnu zajednicu (ne mora seinfekcija na isti nacin siriti kroz razlicite grupe ljudi). Na osnovu (2.17) dobijamo:

s0 − s(∞) +1

σln

(s(∞)

s0

)= 0 ⇒ 1

σln

(s(∞)

s0

)= s(∞)− s0

odakle je

σ =

ln

(s(∞)

s0

)s(∞)− s0

. (2.21)

Kako su s0 i s(∞) pocetna i konacna vrednost frakcije osetljivih i kako se do obe vrednostimoze doci klinickim pracenjem bolesti u odredenom vremenskom periodu , na osnovu(2.21) lako se moze izracunati kontaktni broj σ.

Na Slici 2.4 dat su grafici frakcija osetljivih i infektivnih u zavisnosti od vremena zaσ = 3 i γ = 1/3 dana. Zelena kriva predstavlja frakciju osetljivih s(t) a crvena krivafrakciju infektivnih i(t).


0 5 10 15 20 250.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Frakcija osetljivih

Frakcija infektivnih

Slika 2.4: Resenje klasicnog SIR epidemioloskog modela za σ = 3 i1

γ= 3 dana

Kao sto smo na pocetku rekli, ovo je najjednostavniji model ali njegovom analizom(ne eksplicitnim resavanjem) dobili smo dosta informacija o epidemiji: pri kojim uslovimase ona javlja, koje su joj razmere i trenutak kada imamo najveci broj obolelih, kao i brojonih koji ne obole za vreme trajanja bolesti, ocenu za kontaktni broj σ.

2.3 Klasican SIR endemski model

2.3.1 Formiranje klasicnog SIR endemskog modela

SIR endemski model razlikuje se od predhodnog po duzini trajanja bolesti, pa su zbogtoga u njemu ukljucene i stopa radanja i stopa umiranja. I dalje podrazumevamo da vazi(2.1), tj. da je velicina populacije konstantna tokom vremena. Neka je µ stopa radanja, azbog (2.1) i stopa umiranja. Model je slican predhodnom modelu sa razlikom da se grupaosetljivih S povecava za broj novorodenih µN , a sve tri grupe S, I i R smanjuju za broj

umrlih µS, µI i µR redom. Prosecan vek osobe dat je sa1

µ. Na osnovu svega navedenog

SIR endemski model dat je sa:

dS

dt= µN − βIS

N− µS, S(0) = S0 ≥ 0

dI

dt=

βIS

N− γI − µI, I(0) = I0 ≥ 0 (2.22)

dR

dt= γI − µR, R(0) = R0 ≥ 0.

Deljenjem sistema jednacina (2.22) sa N dobijamo:

ds

dt= µ− βis− µs, s(0) = s0 ≥ 0

di

dt= βis− (γ + µ)i, i(0) = i0 ≥ 0 (2.23)

dr

dt= γi− µr, r(0) = r0 ≥ 0

a na osnovu (2.2) vazi i r(t) = 1 − s(t) − i(t), gde su s(t), i(t) i r(t) ranije definisanefrakcije.

2.3. KLASICAN SIR ENDEMSKI MODEL 37

Slika 2.5: Samatski prikaz SIR endemskog modela

2.3.2 Analiza klasicnog SIR endemskog modela

Kao u predhodnom modelu, analizu cemo dati u si-faznoj ravni posmatrajuci dinamickisistem:

ds

dt= µ− βis− µs,

di

dt= βis− (γ + µ)i. (2.24)

Za ovaj model, kontaktni broj σ odreduje se na isti nacin kao i za predhodni i dat

je sa σ =β

γ + µ, jer je sada prosecan period trajanja infekcije

1

γ + µ, pri cemu se u

obzir uzimaju i smrtni slucajevi. Osnovni reprodukcioni broj je R0 = σ =β

γ + µ(videti

Poglavlje 2.5.3).Odredimo polozaje ravnoteze modela (2.24). Polozaje ravnoteze dobijamo resavanjem

sistema:ds

dt= 0

di

dt= 0,

tj. resavanjem jednacina:

µ− βis− µs = 0 (2.25)

i(βs− (γ + µ)) = 0. (2.26)

Jednacina (2.26) je zadovoljena kada je i = 0 ili s =γ + µ

β=

1

σ.

Za i = 0 dobijamo polozaj ravnoteze bez bolesti. Zamenom u (2.25) dobijamo da jeµ− µs = 0 tj. da je s = 1, sto znaci da je polozaj ravnoteze bez bolesti (1, 0).

Za s =γ + µ

β=

1

σ(i 6= 0) dobijamo endemski polozaj ravnoteze. Zamenom u (2.25)

dobijamo:

i =

µ

(1− γ + µ

β

)βγ + µ

β

⇒ i =µ(β − γ − µ)

β(γ + µ)⇒ i =

µ(σ − 1)

β.

Endemski polozaj ravnoteze dat je sa

(se, ie) =

(1

σ,µ(σ − 1)

β

)i ima smisla (od epidemioloskog je znacaja) samo kada je σ − 1 > 0⇔ σ > 1.

Primetimo da se za σ = 1 endemski polozaj ravnoteze i polozaj ravnoteze bez bolestipoklapaju.

Jakobijan datog sistema dat je sa:

J(s, i) =

(−βi− µ −βs

βi βs− γ − µ

).

Za polozaj ravnoteze bez bolesti (1, 0) je

J(1, 0) =

(µ −β0 β − γ − µ

).

Sopstvene vrednosti matrice su realne i iznose λ1 = β − γ − µ i λ2 = −µ. Kako je µ > 0to je λ2 < 0 dok za sopstvenu vrednost λ1 imamo:

λ1 < 0 ⇔ β < γ + µ ⇔ β

γ + µ< 1 ⇔ σ < 1.

Polozaj ravnoteze bez bolesti je za σ < 1 hiperbolicki polozaj ravnoteze koji je asimp-totski stabilan cvor linearizovanog sistema, pa je na osnovu Teoreme 1.6 i Teoreme 1.18asimptotski stabilan cvor nelinearnog sistema. Za σ > 1 je sedlo linearizovanog sistema,pa je na osnovu Teoreme 1.5 sedlo nelinernog sistema i nestabilan polozaj ravnoteze naosnovu Teoreme 1.18. Za σ = 1 imamo nehiperbolicki polozaj ravnoteze. Kako su sop-stveni vektori v1 = (−β

µ, 1) i v2 = (1, 0) linearno nezavisni, polozaj ravnoteze bez bolesti

je neizolovani cvor linearizovanog sistema.Za endemski polozaj ravnoteze imamo

J(se, ie) =

(−µσ −γ − µ

µ(σ − 1) 0

).

Karakteristicna jednacina ove matrice je

λ2 + µσλ+ µ(σ − 1)(µ+ γ) = 0,

cija je diskriminanta 4 = (µσ)2 − 4µ(σ − 1)(µ+ γ) = (µσ)2 − 4

AG, gde je A =

1

µ(σ − 1)

i G =1

µ+ γ. Sopstvene vrednosti matrice su

λ1 =−µσ +

√4

2i λ2 =

−µσ −√4

2.

Ako je 4 < 0, tada su sopstvene vrednosti konjugovano kompleksne i realni deo

−µσ2< 0, pa je endemski polozaj ravnoteze asimptotski stabilan fokus (na osnovu Teo-

reme 1.6 i Teoreme 1.18).Ako je 4 > 0, sopstvene vrednosti su realne i razlicite i λ2 < 0. Odredimo kakvog je

znaka sopstvena vrednost λ1:

λ1 < 0 ⇔ −µσ +√4 < 0

⇒ (µσ)2 > (µσ)2 − 4µ(σ − 1)(µ+ γ) ⇔ σ > 1.

Dakle, za 4 > 0 i σ > 1 endemski polozaj ravnoteze je stabilan cvor. Zakljucujemo daje bez obzira na znak diskriminante 4, endemski polozaj ravnoteze asimtotski stabilanpolozaj ravnoteze, kada postoji.

2.3. KLASICAN SIR ENDEMSKI MODEL 39

Dakle, polozaj ravnoteze bez bolesti je asimtotski stabilan za σ < 1 i nestabilan zaσ > 1, dok je za σ > 1 endemski polozaj ravnoteze asimtotski stabilan a za σ < 1 nijeod interesa sa stanovista primene (ali je nestabilan). Zakljucujemo da je R0 = σ = 1bifurkacioni kriticni parametar za koji dolazi do transkriticne bifurkacije. Na Slici 2.6 datje bifurkacioni dijagram.

Slika 2.6: Bifurkacioni dijagram SIR endemskog modela

Za razliku od predhodnog modela funkcija s(t) nije uvek monotono opadajuca kao stoni funkcija r(t) nije uvek monotono rastuca (sto je razumljivo jer su u model ukljucenestope radanja i umiranja). Na analogan nacin kao za SIR epidemioloski model, pokazuje

se da je i(t) monotono rastuca kada je s >1

σi monotono opadajuca za s <

1

σi u trenutku

t kada je s(t) =1

σdostize maksimalnu vrednost.

Primenjujuci Dulacov kriterijum (Teorema 1.8) pokazacemo da DS (2.24) u unutrasnjostitrougla T definisanim sa (2.15) nema zatvorenih trajektorija. Posmatrajmo funkciju

B(s, i) =1

sii neka je

f1(s, i) = µ− βis− µs f2(i, s) = βis− γi− µi,

tada je:

div(Bf) =∂(Bf1)

∂s+∂(Bf2)

∂i

=∂

∂s

(µ− βis− µs

si

)+∂

∂i

(βis− γi− µi

si

)= − µ

s2i< 0.

Dakle, kada je σ < 1 polozaj ravnoteze bez bolesti je globalno asimptotski stabilan dokako je σ > 1 tada je endemski polozaj ravnoteze globalno asimptotski stabilan.

Na osnovu date diskusije formulisemo narednu teoremu.

Teorema 2.2. Neka je (s(t), i(t)) resenje DS (2.24) u T , gde je T definisano sa (2.15).Ako je σ ≤ 1 ili i0 = 0 tada trajektorije koje pocinju u T prilaze polozaju ravnoteze bezbolesti koji je dat sa s = 1 i i = 0. Ako je σ > 1, tada sve trajektorije sa i0 > 0 prilaze

endemskom polozaju ravnoteze koji je dat sa se =1

σi ie =

µ(σ − 1)

β.

Dakle, ovaj model za razliku od SIR epidemioloskog modela pokazuje svojstvo endemije-bolest koja trajno ostaje u nekoj oblasti.

Slika 2.7: Fazni portret klasicnog SIR endemskog modela za σ = 0.5

Naime, ako je R0 = σ ≤ 1, tada je zamenski broj R = σs(t) < 1 kada je i0 > 0,pa funkcija koja predstavlja frakciju infektivnih opada do nule. Nakon nekog konacnogvremena i funkcija data za oporavljenu frakciju r(t) opada do nule, s obzirom da ljudiumiru. Zakljucak je da, nakon konacnog vremena, uzimajuci u obzir rodenja novih indi-vidua, broj osetljivih poraste pa se dobija stanje s(t) = 1 i i(t) = 0, pri cemu epidemijevise nema. Na Slici 2.7 dat je primer faznog portreta za σ = 0.5 sa stabilnim polozajemravnoteze bez bolesti (1, 0).

Slika 2.8: Fazni portret klasicnog SIR endemskog modela za σ = 3,1

γ= 3 dana i

1

µ= 60

dana

2.4. STOHASTICKI SIR EPIDEMIOLOSKI MODEL 41

U suprotnom slucaju, kada je R0 = σ > 1, pocetna frakcija infektivnih i0 mala, dokje s0 velika vrednost, sa σs0 > 1 funkcija frakcije osetljivih opada, a funkcija frakcijeinfektivnih raste, kada dolazi do epidemije, sve do neke maksimalne vrednosti (imax zaovaj model), nakon cega pocinje da opada. Medutim, nakon sto se frakcija infektivnihsmanji, ali je i dalje strogo pozitivna vrednost, frakcija osetljivih se povecava (zbog radanjanovih jedinki) i nakon nekog vremena stvaraju se uslovi za pojavu (izbijanje) nove epi-demije. Ovaj proces se ponavlja sve dok se trajektorije priblizavaju endemskom polozaju

ravnoteze. Na Slici 2.8 dat je primer faznog portreta za slucaj kada je σ = 3,1

γ= 3

dana i1

µ= 60 dana sa endemskim polozajem ravnoteze (0.333, 0.032) koji je asimptotski

stabilan fokus.

2.4 Stohasticki SIR epidemioloski model

U Poglavlju 2.2 analizirali smo deterministicki SIR epidemioloski model. Pokazali smoda bolest nestaje ako je R0s0 < 1 i dolazi do epidemije ako je R0s0 > 1. Ovi rezultatisu dobijeni pod pretpostavkama koje smo uveli na pocetku (osobe sticu trajni imunitet,velicina populacije je konstantna tokom vremena, osobe se mesaju homogeno, ne postojiperiod inkubacije). Sve ove pretpostavke nisu uvek realne (homogeno mesanje osoba).Medutim, cak i da zadrzimo sve ove pretpostavke, sta se desava ako je velicina populacijemala. Na primer, posmatramo sirenje epidemije u nekom dnevnom boravku ili skoli.Cine se razumnim pretpostaviti da postoji neka nesigurnost (slucajnost) u konacnombroju obolelih. Cak i ako je R0s0 > 1 i velicina populacije velika, ukoliko sirenje bolestikrece sa malim brojem obolelih trebalo bi da postoji mogucnost da epidemija nikad neuzme maha. Ova dva argumenta motivisu definisanje odgovarajuceg stohastickog SIRepidemioloskog modela.

U ovom poglavlju formulisacemo stohasticki SIR model i dati verovatnocu sa kojomdolazi do epidemije.

Neka su S(t), I(t), R(t) diskretne slucajne slucajne promenljive:

S(t), I(t), R(t) ∈ 0, 1, . . . , N,

koje predstavljaju broj osetljivih, zarazenih i oporavljenih u trenutku t redom i pri tomvazi S(t)+I(t)+R(t) = N za svako t ≥ 0. Pored ove, zadrzavamo i sve ostale pretpostavkeSIR epidemioloskog modela.

Posmatramo mali vremenski interval [t, t +4t] i pretpostavljamo da u tom intervalumoze da se desi samo jedan od dogadaja:

i) jedan osoba oboli tj. broj osetljivih se smanji za jedan a broj zarazenih se povecaza jedan (S → S − 1, I → I + 1, R→ R) sa verovatnocom

β

NS(t)I(t)4t+ o(4t);

ii) jedna osoba se oporavi tj. broj osetljivih ostane isti, broj infektivnih se smanji zajedan a broj oporavljenih poveca za jedan (S → S, I → I−1, R→ R+1) sa verovatnocom

γI(t)4t+ o(4t);

iii) broj osetljivih, zarazenih i oporavljenih ostane isti (S → S, I → I, R → R) saverovatnocom

1−[β

NS(t)I(t) + γI(t)

]4t+ o(4t).


Oznacimo sa 4S = S(t + 4t) − S(t), 4I = I(t + 4t) − I(t). Kako je R(t) =N − S(t)− I(t), verovatnoce infekcije i oporavka su:

P4S(t) = i,4I(t) = j|(S(t), I(t)) =

β

NS(t)I(t)4t+ o(4t), (i, j) = (−1, 1)

γI(t)4t+ o(4t), (i, j) = (0,−1)

1−[β

NS(t)I(t) + γI(t)

]4t+ o(4t), (i, j) = (0, 0)

o(4t), inace

za i, j = 0, N .Ovaj model je uveo Barlett 1949. godine u [2].Neka je (S(0), I(0)) = (S0, I0) pocetna raspodela pri cemu vazi S0 + I0 = N , S0 ≥ 0 i

I0 > 0. Osnovni reprodukcioni broj je odreden kod deterministickog SIR epidemioloskog

modela i iznosi R0 =β

γ.

U pocetnom trenutku (t = 0) kada je S(0) = N − j ≈ N i I(0) = j pokazuje se u [1]da je verovatnoca da se epidemija brzo zavrsi ili da uopste ne dode do nje:

1, R0 ≤ 1(1

R0

)j, R0 > 1.

Na primer, ako je N = 100, R0 = 2 i I(0) = 2 verovatnoca da ne dode do epidemije je1/4.

S obzirom da je alat za dalju analizu stohastickog modela zasnovan na teoriji koja seoslanja na verovatnocu i slucajne procese, kroz ovaj rad se necemo detaljnije baviti ovimmodelom. Ono sto primecujemo je da i kod stohastickog SIR modela osnovni reprodrukci-oni broj R0 predstavlja granicnu velicinu za kontrolu bolesti.

2.5 Odredivanje reprodukcionog broja

Kao sto smo videli u predhodnim poglavljima, osnovni reprodukcioni broj R0 ima veomavaznu ulogu u epidemiologiji. Do sada smo ga odredivali bez problema jer smo imalijednu grupu infektivnih i mali broj parametra. U slucaju kada je broj infektivnih grupaveci, metod za odredivanje reprodukcionog broja R0 dali su Diekmann, Heesterbeek iMetz u [5], poznat pod nazivom matrica sledece generacije (eng. The next generationmatrix). Autori Driessche i Watmough su u [6] prikazali metod matrica sledece generacijeza odredivanje osnovnog reprodukcionog broja za bolesti koje se modeliraju obicnimdiferencijalnim jednacinama. U nastavku cemo izloziti navedeni metod i primeniti gana odredivanje osnovnog reprodukciong broja SIR modela.

2.5.1 Matrica sledece generacije

Posmatramo dinamicki model koji se sastoji iz n grupa:

dxidt

= fi(x), i = 1, n. (2.27)

zajedno sa nenegativnim pocetnim uslovima, gde je x = (x1, . . . , xn), xi = xi(t) i tvremenska promenljiva (t ≥ 0).

2.5. ODREDIVANJE REPRODUKCIONOG BROJA 43

Definisimo Xs kao skup svih stanja bez bolesti tj.

Xs = x ≥ 0 | xi = 0, i = 1, 2, . . . ,m

gde je m broj infektivnih grupa, m ≤ n.

Da bi izracunali R0, vazno je razlikovati nove infekcije od svih drugih promena upopulaciji.

Neka je:

• Fi(x) stopa pojavljivanja novih infekcija u grupi i;

• ν+i (x) stopa pojavljivanja svih drugih individua u grupi i;

• ν−i (x) stopa odlaska individua iz grupe i

za i = 1, n.

Za ovako definisane funkcije (Fi(x), ν+i (x), ν−i (x)) podrazumevamo da su najmanje dva

puta neprekidno-diferencijabilne po svakoj promenljivoj.

Sada sistem jednacina (2.27) mozemo zapisati na sledeci nacin

dxidt

= fi(x) = Fi(x)− νi(x), i = 1, n (2.28)

gde je νi = ν−i − ν+i .

Funkcije iz sistema (2.28) zadovoljavaju sledece uslove:

C1: Ako je xi ≥ 0 onda vazi Fi, ν−i , ν+i ≥ 0 za i = 1, n.

C2: Ako je xi = 0 onda je ν−i = 0 (i-ta grupa je prazna pa nema ko da je napusti).Ocigledno, ako x ∈ Xs onda je ν−i = 0 za svako i = 1,m.

C3: Fi = 0 za i > m.

C4: Ako x ∈ Xs, tada je Fi = 0 i νi = 0 za svako i = 1,m.

C5: Ako je F(x) = 0, tada sve sopstvene vrednosti matrice Df(x0) imaju negativni realnideo.

Sledecu lemu dajemo bez dokaza (za dokaz videti [6]).

Lema 2.1. Ako je x0 polozaj ravnoteze bez bolesti sistema (2.28) i fi(x) zadovoljavajuuslove C1-C5, tada su matrice DF(x0) i Dν(x0) date sa

DF(x0) =

(F 00 0

), Dν(x0) =

(V 0J3 J4

)(2.29)

gde su matrice F i V matrice dimenzija m×m definisane sa

F =

(∂(F(x0))

∂xi

)i V =

(∂(ν(x0))

∂xi

)(2.30)

za 1 ≤ i ≤ m, F je nenegativna i V je invertibilna matrica.

Diekmann je matricu FV −1 nazvao matricom sledece generacije i definisao osnovnireprodukcion broj kao spektralni radijus1 matrice FV −1 tj.

R0 = ρ(FV −1) (2.31)

gde ρ(A) oznacava spektralni radijus matrice A.Naredna teorema tvrdi da je osnovni reprodukcioni broj R0 granicni parametar za

stabilnost polozaja ravnoteze bez bolesti (za dokaz videti [6]).

Teorema 2.3. Neka je x0 polozaj ravnoteze bez bolesti sistema (2.28) i neka funkcijefi(x) zadovoljavaju uslove C1-C5. Ako je R0 < 1 tada je x0 lokalno asimptotski stabilanpolozaj ravnoteze, dok ako je R0 > 1 tada je x0 nestabilan polozaj ravnoteze, gde je R0

dato sa (2.31).

2.5.2 Reprodukcioni broj SIR epidemioloskog modela

SIR epidemioloski model dat je sa (2.4) analogno i sa (2.5). U ovom modelu populacijaje podeljena na tri grupe pa je n = 3, a kako je jedna infektivna onda je m = 1. Model(2.5) zapisacemo na sledeci nacin:

di

dt= βis− γi

ds

dt= −βis (2.32)

dr

dt= γi.

Na osnovu definicije funkcija Fj(i, s, r), ν+j (i, s, r), ν−j (i, s, r), za ovaj model one su date

sa:

F =

F1

F2

F3

=

βis00

, ν = ν− − ν+ =

ν−1 − ν+1

ν−2 − ν+2

ν−3 − ν+3

=

γiβis−γi

. (2.33)

Polozaj ravnoteze bez bolesti je x0 = (i∗, s∗, r∗) = (0, 1, 0). Na osnovu (2.30) matrice F iV su:

F =

(∂F1

∂i(x0)

)=(β)

i V =

(∂ν1

∂i(x0)

)=(γ)

(2.34)

jer je m = 1.

Ocigledno je V −1 =

(1

γ

)pa je

FV −1 =

(β

γ

).

Kako matrica FV −1 ima jednu sopstvenu vrednost i to βγ, samim tim je ρ(FV −1) = β

γ, pa

je osnovni reprodukcioni broj za modela (2.4)

R0 =β

γ

sto se poklapa sa reprodukcionim brojem koji je odreden kvalitativnom analizom ovogmodela u Poglavlju 2.2.

1Spektralni radijus je sopstvena vrednost matrice sa najvecim modulom

2.5. ODREDIVANJE REPRODUKCIONOG BROJA 45

2.5.3 Reprodukcioni broj SIR endemskog modela

Postupak odredivanja reprodukcionog broja SIR endemskog modela datog sa (2.22) (kao isa (2.23)) analogan je odredivanju za SIR epidemioloski model. Model (2.23) zapisacemona sledeci nacin:

di

dt= βis− (γ + µ)i,

ds

dt= µ− βis− µs, (2.35)

dr

dt= γi− µr.

Funkcije F(i, s, r) i ν(i, s, r) su:

F =

F1

F2

F3

=

βis00

, ν = ν−−ν+ =

ν−1 − ν+1

ν−2 − ν+2

ν−3 − ν+3

=

(γ + µ)iβis+ µs− µµr − γi

, (2.36)

gde je n = 3 i m = 1.Polozaj ravnoteze bez bolesti je x0 = (i∗, s∗, r∗) = (0, 1, 0). Na osnovu (2.30) matrice

F i V su:F =

(β)

i V =(γ + µ

)(2.37)

jer je m = 1.


(1

γ + µ

)pa je

FV −1 =

(β

γ + µ

).

Kako matrica FV −1 ima jednu sopstvenu vrednost i toβ

γ + µto je ρ(FV −1) = β

γ+µpa je

osnovni reprodukcioni broj za model (2.22)

R0 =β

γ + µ

sto se poklapa sa reprodukcionim brojem koji je odreden kvalitativnom analizom ovogmodela u Poglavlju 2.3.

Glava 3

SIR epidemioloski model samedicinskim tretmanom

U predhodnoj glavi upoznali smo se sa klisicnim SIR modelom i njegovim karakteristi-kama. Njegovom analizom dosli smo do najbitnijih informacija o jednoj epidemiji. Medutim,mozemo primetiti da on nije dovoljno realistican. Zato cemo u ovoj glavi uopstiti ovajmodel uzimajuci u obzir jos neke kljucne parametre koji uticu na sirenje bolesti, a takodecemo parametre koje smo vec imali uopstiti sa ciljem dobijanja sto realnijeg modela.

3.1 Formulacija matematickog modela

U medicini postoji nekoliko nacina merenja ucestalosti neke bolesti u populaciji.

Incidenca predstavlja broj novoobolelih jedinki u odredenom vremenskom periodu upopulaciji izlozenoj riziku od nastanka bolesti.

Kumulativna incidenca (apsolutni rizik, eng. incidence risk, incidence) predstavljaverovatnocu da zdrava osoba na pocetku perioda pracenja oboli kroz taj period, a racunase kao broj novoobolelih u datom periodu podeljen sa velicinom osetljive populacije (popu-lacije u riziku) na pocetku pracenja. Kumulativna incidenca predstavlja udeo (proporci-ju), dakle nema jedinicu.

Stopa incidence (eng. incidence rate) za razliku od kumulativne incidence u ime-niocu ima prosecan broj osoba u riziku za vreme pracenja. Jedinica stope incidence je1/vreme, a najcesce se izrazava kao broj obolelih na broj osoba-godina pracenja. Naprimer, stopu incidence od 69 obolelih na 1000 osoba-godina interpretiramo na sledecinacin: ocekujemo 69 obolelih uz pracenje 1000 osoba tokom jedne godine.

U klasicnom SIR modelu stopa javljanja novih infekcija data je sa g(I)S = βIS, gdeje β broj adekvatnih kontakata u jednici vremena. Stopa incidence g(I) = βI najcescese naziva linearna stopa incidence (eng. linear incidence rate). Kako je g(I) linearnafunkcija, ona ukazuje da je broj novih infekcija proporcionalan broju postojecih.

Stopa incidence u dinamickom modelu odreduje se funkcijom g(I) koja moze bitirazlicitog oblika, u zavisnosti od modela i parametra koji se u njega ukljucuju.

Nakon ispitivanja epidemije kolere u Bariju 1973. godine autori Capasso i Serio suu [4] uveli nelinearnu zasicenu stopu incidence (eng. nonlinear saturated incidence rate)

g(I) =βI

1 + kI, kojom se sprecava neograniceni broj kontakata i kada I → ∞ imamo da

g(I)→ β

ktj. stopa incidence dostize svoje zasicenje

β

k. Deo

1

1 + kIgovori o promenama

u ponasanju osoba koje pripadaju osetljivoj grupi kada broj zarazenih raste (meramapredostroznosti), sto je potpuno razumljivo uzeti u obzir.

47

48 GLAVA 3. SIR EPIDEMIOLOSKI MODEL SA MEDICINSKIM TRETMANOM

U ovom radu analiziracemo model koji ukljucuje nelinearnu stopu incidence

g(I) =βI

1 + kI.

Medicinski tretman podrazumeva lecenje infektivnih bolesti u cilju njihovog suzbijanja.Medicinski resursi (bolnicki kreveti, lekovi, vakcine) neophodni za medicinski tretman, kaoi sposobnost snabdevanja istim uticu na epidemiju i na njeno sirenje. U klasicnom modelunismo uzeli to u obzir, smatrali smo da su medicinski resursi neograniceni i dostupni svima.

Jako je bitno odrediti pravi kapacitet medicinskih resursa. Naime, ako je on preveliki,zajednica se izlaze nepotrebnim troskovima, s druge strane ako je nedovoljan tada postojiopasnost od izbijanje epidemije.

Da bi se istrazio efekat ogranicenog medicinskog tretmana na sirenje infektivne bolestineki autori (Wang i Ruan u [15]) uveli su konstantnu funkciju tretmana u SIR modelu:

h(I) =

r, I > 0

0, I = 0

dok su kasnije drugi autori funkciju tretmana modifikovali u:

h(I) =

rI, 0 ≤ I ≤ I0

rI0, I > I0

gde je stopa tretmana proporcionalna broju inficiranih sve dok se ne dostigne maksimalnikapacitet rI0.

Autori Zhang i Liu su u [16] uveli novu neprekidno-diferencijabilnu funkciju tretmana:

h(I) =rI

1 + aI. (3.1)

Objasnimo funkciju datu sa (3.1) malo detaljnije: r/a predstavlja maksimalno sna-bdevanje medicinskim resursima u jedinici vremena ( lim

I→∞h(I) = r/a, zbog toga i naziv

zasicenja) i 1/(1+aI) opisuje povratni efekat inficiranih osoba koje imaju odlozeno lecenje(nije im odmah ukazana medicinska pomoc) kao i efikasnost snabdevanja raspolozivimmedicinskim resursima. U funkciji datoj sa (3.1) ogranicenost medicinskim resursima r/ai efikasnost snabdevanja 1/(1 + aI) su zavisne. Zato je bolje funkciju datu sa (3.1) datina sledeci nacin:

h∗(I) =αI

ω + I, (3.2)

gde α ≥ 0 predstavlja konstantu zasicenja (maksimalne medicinske resurse u jedinicivremena, lim

I→∞h∗(I) = α) i ω > 0 konstantu polu-zasicenja (kada je I = ω tada je

h(I) = α/2), koja meri efikasnost snabdevanja medicinskim resursima u smislu sto je ωmanje to je efikasnost veca. Sada su α i ω nezavisne konstante i svaka od njih ima svojeznacenje u epidemiologiji.

Osobe se pridruzuju grupi osetljivih po stopi f(N) (eng. recruitment rate). Stopaf(N) moze biti razlicitog tipa fc(N) = Λ, fp(N) = µN , fL(N) = µN(1 − N

K) koje

odgovaraju konstantnoj, proporcionalnoj i logistickoj stopi ulaska, redom. U ovom modelukoristicemo konstantnu stopu ulaska

fc(N) = Λ.

3.2. ANALIZA MATEMATICKOG MODELA 49

U tabeli koja sledi dacemo pregled svih parametra koje koristimo u modelu.

S(t) broj osetljivih u trenutku tI(t) broj inficiranih u trenutku tR(t) broj oporavljenih u trenutku t

Λ stopa ulaska u grupu osetljivihβ stopa adekvatnih kontakata u jedinici vremenak konstanta opreznosti osetljivihd stopa smrtnostiε stopa smrtnosti zbog bolestiγ stopa oporavkaα maksimalni medicinski resursiω efikasnost snabdevanja medicinskim resursimaR0 osnovni reprodukcioni broj

Sada, na potpuno analogan nacin kao sto smo formirali klasican SIR model, mozemoformirati SIR model sa medicinskim tretmanom (3.2) (kao u [18]) i pocetnim uslovima:

dS

dt= Λ− βIS

1 + kI− dS, S(0) = S0 ≥ 0

dI

dt=

βIS

1 + kI− (d+ ε+ γ)I − αI

ω + I, I(0) = I0 ≥ 0 (3.3)

dR

dt= γI +

αI

ω + I− dR, R(0) = R0 ≥ 0.

Vektorsko polje DS (3.3) je neprekidno-diferencijabilno beskonacan broj puta.

Osnovni reprodukcioni broj ima vaznu ulogu u epidemiologiji. Osnovni reprodukcionibroj R0 za model (3.3) dat je sa

R0 =βΛ

d(d+ ε+ γ + αω

), (3.4)

sto cemo pokazati pomocu tehnike koja je data u predhodnoj glavi (matrice sledece gene-racije). Pre toga, neophodno je odrediti polozaje ravnoteze sistema (3.3).

Ukoliko u modelu nije ukljucen medicinski tretman (α = 0), ovaj reprodukcioni brojpostaje:

R∗ =βΛ

d(d+ ε+ γ). (3.5)

Primetimo da prve dve jednacine sistema ne zavise od R, zbog toga je dovoljno razma-trati i diskutovati samo njih. Na dalje posmatramo dinamicki sistem:

dS

dt= Λ− βIS

1 + kI− dS,

dI

dt=

βIS

1 + kI− (d+ ε+ γ)I − αI

ω + I. (3.6)

3.2 Analiza matematickog modela

U ovom poglavlju izlozicemo globalnu i bifurkacionu analizu modela sa ciljem da se objasnikako ograniceni medicinski resursi uticu na brzinu sirenja bolesti.


3.2.1 Polozaji ravnoteze DS

Polozaje ravnoteze nalazimo resavanjem sistema:

dS

dt= 0

dI

dt= 0,

tj. resavanjem jednacina:

Λ− βIS

1 + kI− dS = 0 (3.7)

βIS

1 + kI− (d+ ε+ γ)I − αI

ω + I= 0. (3.8)

Polozaj ravnoteze bez bolesti uvek postoji i dobija se za I = 0. Zamenom u jednacinu

(3.7) dobijamo: Λ− dS = 0 tj. S =Λ

di obelezicemo ga sa

E0 =

(Λ

d, 0

). (3.9)

Endemske polozaje ravnoteze dobijamo za I 6= 0 resavanjem jednacina:

Λ− βIS

1 + kI− dS = 0,

βS

1 + kI− (d+ ε+ γ)− α

ω + I= 0. (3.10)

Iz prve jednacine dobijamo da je

S =Λ(1 + kI)

(β + kd)I + d, (3.11)

gde zamenom u drugu jednacinu i njenim sredivanjem dobijamo kvadratnu jednacinu poI datu sa:

AI2 +BI + C = 0 (3.12)

gde je:

A = (β + dk)(d+ γ + ε) (3.13)

B = −βΛ + α(β + dk) + (d+ γ + ε)(d+ ω(β + dk))

= d

(d+ γ + ε+

α

ω

)(1−R0) + (β + dk)(α + ω(d+ γ + ε))− dα

ω(3.14)

C = αd+ (d+ γ + ε)dω − βΛω

= dω

(d+ γ + ε+

α

ω

)(1−R0) (3.15)

Resenja jednacine (3.12) su:

I1 =−B −

√B2 − 4AC

2A, I2 =

−B +√B2 − 4AC

2A

gde zamenom u (3.11) dobijamo:

S1 =Λ(1 + kI1)

(β + kd)I1 + d, S2 =

Λ(1 + kI2)

(β + kd)I2 + d

pa su polozaji ravnoteze dati sa E1 = (S1, I1) i E2 = (S2, I2). Od interesa za posmatranimodel su polozaji ravnoteze za koje su I1 i I2 pozitivni koreni jednacine (3.12) i u tomslucaju te polozaje ravnoteze nazivamo endemskim.

Da bi olaksali diskusiju definisimo sa:

Ω1 :=

(ω, α) : ω ≥ d

β + dk, α > 0

Ω2 :=

(ω, α) : 0 < ω <

d

β + dk, 0 < α ≤ α0(ω)

Ω3 :=

(ω, α) : 0 < ω <

d

β + dk, α > α0(ω)

gde je

α0(ω) =ω2(β + dk)(d+ γ + ε)

d− ω(β + dk)

i

P ∗ = 1−

(√(β + dk)(d+ γ + ε)ω −

√α( d

ω− β − dk)

)2

d(d+ ε+ γ + αω

). (3.16)

Na Slici 3.1 date su oblasti Ω1, Ω2 i Ω3 u ωα-ravni.

Slika 3.1: Oblasti Ω1, Ω2 i Ω3 u ωα-ravni

Na osnovu Teoreme 2.3 u DS (3.3) za α = 0 bolest nestaje ako je R∗ ≤ 1 i dolazi doepidemije kada je R∗ > 1 , gde je R∗ dato sa (3.5).

Kada se ispituje dinamika DS (3.3), narocito kada se istrazuje efekat ogranicenihmedicinskih resursa, kao i efikasnost snabdevanja istim na sirenje epidemije, razumnoje predpostaviti da je R∗ > 1.

Teorema 3.1. Pretpostavimo da je R∗ > 1.i) Ako je R0 > 1 tada sistem (3.6) ima jedinstven endemski polozaj ravnoteze E2.ii) Ako je P ∗ < R0 < 1 i (ω, α) ∈ Ω3 tada sistem (3.6) ima dva endemska polozaja

ravnoteze E1 i E2.iii) Ako je R0 = 1 i (ω, α) ∈ Ω3 tada sistem (3.6) ima jedinstven endemski polozaj

ravnoteze E2.iv) Ako je P ∗ = R0 i (ω, α) ∈ Ω3 tada sistem (3.6) ima jedinstven endemski polozaj

ravnoteze E1 = E2.

v) Ako je 0 < R0 < P ∗ i (ω, α) ∈ Ω3 tada sistem (3.6) nema endemske polozajeravnoteze.

vi) Ako je 0 < R0 ≤ 1 i (ω, α) ∈ Ω1 ∪ Ω2 tada sistem (3.6) nema endemske polozajeravnoteze.

Dokaz. Posmatrajmo konstantu C datu sa (3.15). Kako su svi parametri pozitivni za-kljucujemo da vazi:

C > 0⇔ 1−R0 > 0⇔ R0 < 1, C = 0⇔ R0 = 1, C < 0⇔ R0 > 1.

Kvadratna jednacina (3.12), odnosno f(I) = AI2 +BI + C = 0 ima:

• dva pozitivna korena ako i samo ako vazi: 4 = B2−4AC > 0, f(0) = C > 0, B < 0;

• ima jedan pozitivan koren ako i samo ako vazi:

1. f(0) = C < 0 (I1 < 0 < I2) ili

2. f(0) = C = 0, B < 0 (0 = I1 < I2 = −BA

) ili

3. 4 = 0, B < 0 (I1 = I2 = − B

2A);

• nema pozitivnih korena ako vazi:

1. 4 > 0, f(0) = C ≥ 0 i B > 0 (I1 < I2 ≤ 0) ili

2. 4 = 0, B ≥ 0 (I1 = I2 ≤ 0) ili

3. 4 < 0 (konjugovano kompleksna resenja).

Ako je C < 0, zakljucujemo da kvadratna jednacina (3.12) ima jedinstven pozitivni korenodnosno, kada je R0 > 1 tada DS (3.6) ima jedinstven endemski polozaj ravnoteze E2 stodokazuje i).

Uvodenje pretpostavke R∗ > 1 je opravdano, jer u suprotnom vazi R∗ ≤ 1⇒ B > 0.Zaista, zapisimo konstantu B datu sa (3.14) na drugaciji nacin:

B = d(d+ γ + ε)(1−R∗) + (β + dk)(α + ω(d+ γ + ε)).

Dakle, R∗ ≤ 1 povljaci da je B > 0.Neka je C ≥ 0⇔ R0 ≤ 1. Za konstantu B datu sa (3.14) vazi, B < 0 ekvivalentno je

sa:

R0 > 1 +(β + dk)(α + ω(d+ γ + ε))− dα

ω

d(d+ γ + ε+ α

ω

)= 1 +

(β + dk)(d+ γ + ε)ω2 + αω(β + dk)− αdωd(d+ ε+ γ + α

ω)

= 1 +Φ(ω)

ωd(d+ ε+ γ + αω

):= P1,

gde je

Φ(ω) = (β + dk)(d+ γ + ε)ω2 + αω(β + dk)− αd. (3.17)

Ocigledno, ako je P1 ≥ 1 tada za 0 < R0 < 1 nemamo endemske polozaje ravnoteze(R0 < P1 ⇔ B > 0).

Odredimo uslove za (ω, α) pod kojim je P1 < 1 odnosno P1 > 1. Uvedimo sledeceoznake u = β + dk i v = d+ γ + ε, tada je:

P1 < 1 ⇔ uvω2 + αωu− αd < 0

⇔ uvω2 + α(ωu− d) < 0

⇔ α(ωu− d) < −uvω2

⇔(ω >

d

u∧ α < − uvω2

ωu− d

)∨(ω <

d

u∧ α >

uvω2

d− ωu

).

Kako je uvω2 > 0, ako je ω >d

udobijamo da α < 0 sto je netacno. Dakle, za (ω, α) ∈ Ω1

je P1 > 1. Ako je ω <d

u=

d

β + dki α >

uvω2

d− ωu= α0(ω), odnosno (ω, α) ∈ Ω3, bice

P1 < 1. Ako (ω, α) ∈ Ω2 tj. ω <d

ui α < α0(ω) dobijamo:

α <uvω2

d− ωu⇒ α(d− ωu) < uvω2

⇒ α(ωu− d) > −uvω2

⇒ uvω2 + α(ωu− d) > 0 ⇒ P1 > 1.

Kako je R∗ > 1, ako (ω, α) ∈ Ω3, 4 > 0 ekvivalentno je sa

R0 > 1−

(√(β + dk)(d+ γ + ε)ω −

√α( d

ω− β − dk)

)2

d(d+ ε+ γ + αω

):= P ∗

ili

R0 < 1−

(√(β + dk)(d+ γ + ε)ω +

√α( d

ω− β − dk)

)2

d(d+ ε+ γ + αω

):= P ∗∗.

Nije tesko pokazati da je0 1 i (ω, α) ∈ Ω3.Na osnovu svega navedenog zakljucujemo da ako (ω, α) ∈ Ω3 i P ∗ < R0 < 1 (onda

je C > 0, 4 > 0 i P1 < R0 < 1 ⇔ B < 0), pa DS (3.6) ima dva endemska polozajaravnoteze E1 i E2 sto dokazuje ii).

Ako je R0 = 1 i (ω, α) ∈ Ω3, tada je C = 0 i P1 < 1 = R0 ⇔ B < 0, tada DS (3.6)ima jedinstven endemski polozaj ravnoteze E2, cime smo dokazali iii).

Ako je R0 = P ∗ i (ω, α) ∈ Ω3, tada je 4 = 0 pa je I1 = I2 i kako je P1 < P ∗ = R0 ⇔B < 0 zakljucujemo da sistem (3.6) ima jedinstven endemski polozaj ravnoteze E1 = E2

sto dokazuje iv).Ako (ω, α) ∈ Ω3, kada je P1 < R0 < P ∗ tada je 4 < 0, a kada je 0 < R0 ≤ P1 tada je

B ≥ 0. Dakle, za 0 < R0 < P ∗ i (ω, α) ∈ Ω3 DS (3.6) nema endemske polozaje ravnotezesto dokazuje v).

Na kraju, ako je 0 < R0 ≤ 1 i (ω, α) ∈ Ω1 ∪ Ω2 tada je B ≥ 0 i C ≥ 0, pa jednacina(3.12) nema pozitivne korene sto znaci da DS (3.6) nema endemske polozaje ravnoteze,cime smo pokazali vi) i time kompletirali dokaz teoreme.

Teorema 3.1 daje potpunu sliku o postojanju endemskih polozaja ravnoteze. Parametriω i α (medicinski tretman) imaju jako vazan efekat na dinamiku DS (3.6).


3.2.2 Osnovni reprodukcioni broj

Posmatrajmo model (3.3), za njega je n = 3 i m = 1 i zapisimo ga na sledeci nacin:

dI

dt=

βIS

1 + kI− (d+ ε+ γ)I − αI

ω + IdS

dt= Λ− βIS

1 + kI− dS

dR

dt= γI +

αI

ω + I− dR.

Na osnovu definicije funkcija Fi(I, S,R), ν+i (I, S,R), ν−i (I, S,R), za ovaj model one su

date sa:

F =

F1

F2

F3

=

βIS1+kI

00

, ν = ν− − ν+ =

ν−1 − ν+1

ν−2 − ν+2

ν−3 − ν+3

=

(γ + d+ ε)I + αIω+I

βIS1+kI

+ dS − Λ

dR− αIω+I− γI

.

Polozaj ravnoteze bez bolesti je X∗ = (I∗, S∗, R∗) =

(0,

Λ

d, 0

). Na osnovu (2.30) matrice

F i V su:

F =

(∂F1

∂I(X∗)

)i V =

(∂ν1

∂I(X∗)

)tj.

F =

(βΛ

d

)i V =

(d+ ε+ γ +

α

ω

).


(1

d+ ε+ γ + αω

)pa je

FV −1 =

(βΛ

d(d+ ε+ γ + αω

)

).

Kako matrica FV −1 ima jednu sopstvenu vrednost i toβΛ

d(d+ ε+ γ + αω

), to je ρ(FV −1) =

βΛ

d(d+ ε+ γ + αω

), pa je osnovni reprodukcioni broj za ovaj model dat sa

R0 =βΛ

d(d+ ε+ γ + αω

).

3.2.3 Stabilnost polozaja ravnoteze i globalna dinamika

U ovom delu razmotricemo lokalnu i globalnu stabilnost polozaja ravnoteze sistema (3.6),kao i postojanje zatvorenih trajektorija.

Jakobijan DS (3.6) dat je sa:

J(S, I) =

−βI

1 + kI− d − βS

(1 + kI)2

βI

1 + kI

βS

(1 + kI)2− (d+ γ + ε)− αω

(ω + I)2

. (3.18)

Posmatrajmo polozaj ravnoteze E0 dat sa (3.9). Za njega je:

J(E0) =

−d −βΛ

d

0βΛ

d−(d+ γ + ε+

α

d

) .

Determinanta je

det(J(E0)) = d((d+ γ + ε+

α

d

)− βΛ = −d

(d+ γ + ε+

α

d

)(R0 − 1)

a trag

Tr(J(E0)) = −d+(d+ γ + ε+

α

d

)(R0 − 1).

Teorema 3.2. Ako je 0 < R0 < 1 tada je polozaj ravnoteze bez bolesti E0 asimptotskilokalno stabilan, dok je za R0 > 1 nestabilan polozaj ravnoteze.

Dokaz. Sopstvene vrednosti matrice J(E0) su

λ1 = −d i λ2 =(d+ γ + ε+

α

d

)(R0 − 1).

Kako je d > 0 ⇒ λ1 < 0, dok je za R0 < 1 sopstvena vrednost λ2 < 0, pa je matricaJ(E0) matrica Hurwitza sto na osnovu Teoreme 1.18 sledi da je E0 asimptotski stabilanpolozaj ravnoteze (na osnovu Teoreme 1.6 stabilan cvor).

Za R0 > 1 je λ2 < 0, pa zakljucujemo da je E0 nestabilan polozaj ravnoteze (naosnovu Teoreme 1.5 sedlo).

O stabilnosti endemskog polozaja ravnoteze E1 govori naredna teorema.

Teorema 3.3. Polozaj ravnoteze E1 je sedlo uvek kada postoji.

Dokaz. Na osnovu Teoreme 3.1 polozaj ravnoteze E1 postoji ako je R∗ > 1, (ω, α) ∈ Ω3

i P ∗ < R0 < 1. Za E1 imamo

J(E1) =

−βI1

1 + kI1

− d − βS1

(1 + kI1)2

βI1

1 + kI1

βS1

(1 + kI1)2− (d+ γ + ε)− αω

(ω + I1)2

,

pa je

det(J(E1)) =I1

(1 + kI1)(ω + I1)2Ψ(I1)

gde je Ψ(I1) = (β + dk)(d+ γ + ε)(ω + I1)2 + α(ω(β + dk)− d).Primetimo da je Ψ(0) = Φ(ω) gde je Φ(ω) dato sa (3.17).Kako iz (ω, α) ∈ Ω3 ⇒ P1 < 1 (iz dokaza Teoreme 3.1) zakljucujemo da je

Φ(ω) < 0⇒ Ψ(0) < 0.

Kako je Ψ′(I1) = 2(β + dk)(d + γ + ε)(ω + I1) > 0 (sto znaci da je Ψ(I1) monotonorastica funkcija) i Ψ(0) < 0 zakljucujemo da postoji jedinstveno I∗ > 0 za koje vazi:

Ψ(I1)

< 0, 0 < I1 < I∗

= 0, I1 = I∗

> 0, I1 > I∗,

gde je

I∗ =

√α(d− ω(β + dk))

(β + dk)(d+ γ + ε)− ω. (3.19)

S druge strane je

I1 =−B −

√B2 − 4AC

2A

= − B

2A−√4

2A

= −−βΛ + α(β + dk) + (d+ γ + ε)(d+ ω(β + dk))

2(β + dk)(d+ γ + ε)−√4

2A

=d(d+ γ + ε+ α

d

)(R0 − 1) + αd

ω− ω(β + dk)

(d+ γ + ε+ α

d

)2(β + dk)(d+ γ + ε)

−√4

2A

=

√α(d− ω(β + dk))

(β + dk)(d+ γ + ε)− ω +

d(d+ γ + ε+ α

d

)(R0 − P ∗)

2(β + dk)(d+ γ + ε)−√4

2A

= I∗ +d(d+ γ + ε+ α

d

)(R0 − P ∗)−

√4

2(β + dk)(d+ γ + ε),

i

4 = B2 − 4AC

= d2

(d+ γ + ε+

α

d

)2

(R0 − P ∗)2

+ 4d

(d+ γ + ε+

α

d

)(R0 − P ∗)

√αω(β + dk)(d+ γ + ε)

(d

ω− β − dk

).

Kada E1 postoji i P ∗ < R0 < 1 ocigledno je 4 > 0 i I1 < I∗ pa je Ψ(I1) < 0 odakledobijamo da je det(J(E1)) < 0 (sopstvene vrednosti su razlicitog znaka) sto znaci da jeE1 sedlo linearizovanog sistema. Na osnovu Teoreme 1.5 sledi da je E1 sedlo DS (3.6) kojije nestabilan polozaj ravnoteze.

Pre ispitivanja stabilnosti endemskog polozaja ravnoteze E2 definisimo

m1 = (ω2q + 2dω + kωα− α)A2 + qB2 − qAC − rAB,m2 = A2ω2d− rAC + qBC,

gde je q = β + dk + k(d+ γ + ε) i r = d+ 2qω.

Teorema 3.4. Ako je µ > 0 tada je endemski polozaj ravnoteze E2 lokalno asimptotskistabilan dok je za µ < 0 nestabilan polozaj ravnoteze, gde je

µ = 2Am2 +m1(√B2 − 4AC −B). (3.20)

Dokaz. Za E2 imamo

J(E2) =

−βI2

1 + kI2

− d − βS2

(1 + kI2)2

βI1

1 + kI2

βS2

(1 + kI2)2− (d+ γ + ε)− αω

(ω + I2)2

,

pa je

det(J(E2)) =I2

(1 + kI2)(ω + I2)2Ψ(I2)

gde je Ψ(I2) = (β + dk)(d+ γ + ε)(ω + I2)2 + α(ω(β + dk)− d).

Analognim razmatranjem kao u dokazu Teoreme 3.3 zakljucujemo:i) ako (ω, α) ∈ Ω3 tada za I2 > I∗ ⇒ det(J(I2)) > 0, (I∗ dato sa (3.19));ii) ako (ω, α) ∈ Ω1 ∪ Ω2, tada je Ψ(0) = Φ(ω) > 0 i kako je Ψ′(I2) > 0 zakljucujemo

da tada uvek vazi det(J(I2)) > 0.Dakle, det(J(I2)) > 0 za svako (ω, α). Pored toga imamo

Tr(J(E2)) = −d(1 + kI2)(ω + I2)2 + (β + k(d+ γ + ε))(ω + I2)2I2 + α(kω − 1)I2

(1 + kI2)(ω + I2)2

= − [β + k(2d+ γ + ε]I32 + [d(2ωk + 1) + 2ωβ + 2ωk(d+ γ + ε)]I2

2

(1 + kI2)(ω + I2)2

− [ω2(β + dk) + ω2k(d+ γ + ε) + ω(2d+ αk)− α]I2 + dω2

(1 + kI2)(ω + I2)2

= − G(I2)

(1 + kI2)(ω + I2)2(3.21)

i vazi sgn(Tr(J(I2))) = −sgn(G(I2)) gde je

G(x) = [β + k(2d+ γ + ε]x3 + [d(2ωk + 1) + 2ωβ + 2ωk(d+ γ + ε)]x2

+[ω2(β + dk) + ω2k(d+ γ + ε) + ω(2d+ αk)− α]x+ dω2.

Imajuci u vidu definicije za m1 i m2, G(I2) mozemo zapisati na sledeci nacin:

G(I2) = (AI2 +BI2 + C)ϕ0(I2) +m1I2 +m2

A2,

gde je ϕ0(I2) polinom prvog stepena po I2. Kako je AI2 + BI2 + C = 0 (I2 je korenjednacine (3.12)), sledi

sgn(Tr(J(E2))) = −sgn(G(I2)) = −sgn(m1I2 +m2).

Uzimajuci u obzir da je I2 =−B +

√B2 − 4AC

2Ai da je A > 0 imamo

G(I2) =m1−B+

√B2−4AC2A

+m2

A2

=2Am2 +m1(

√B2 − 4AC −B)

2A3

=µ

2A3(3.22)

pa je sgn(G(I2)) = sgn(µ).Dakle, kako je det(J(I2)) > 0 i sgn(Tr(J(E2))) = −sgn(µ) zakljucujemo da je za

µ < 0 endemski polozaj ravnoteze E2 nestabilan i da je za µ > 0 polozaj ravnoteze E2

lokalno asimptotski stabilan na osnovu Teoreme 1.18.

Ispitajmo pod kojim uslovima DS (3.6) nema zatvorenih trajektorija. O tome govorinaredna teorema.

Teorema 3.5. Sistem (3.6) nema zatvorenih trajektorija za

α ≤ ω2(β + dk) + ω2k(d+ γ + ε) + ω(2d+ αk). (3.23)

Dokaz. Da bi dokazali teoremu koristicemo Dulacov kriterijum.Neka je

B(S, I) =1 + kI

Ii

f1(S, I) = Λ− βIS

1 + kI− dS, f2(S, I) =

βS

1 + kI− (d+ ε+ γ)− α

ω + I.

tada je

div(Bf) =∂(Bf1)

∂S+∂(Bf2)

∂I

=∂

∂S

[Λ

I(1 + kI)− βS − dS

I(1 + kI)

]+

∂

∂I

[βS − (d+ ε+ γ)(1 + kI)− α(1 + kI)

ω + I

]= −β − d

I(1 + kI)− k(d+ ε+ γ)− αk

ω + I+α(1 + kI)

(ω + I)2

= −d(1 + kI)(ω + I)2 + [β + k(d+ ε+ γ)]I(ω + I)2 + kα(ω + I)I − α(1 + kI)I

I(ω + I)2

= − [β + k(2d+ γ + ε]I3 + [d(2ωk + 1) + 2ωβ + 2ωk(d+ γ + ε)]I2

I(ω + I)2

−

︷︸︸︷[ω2(β + dk) + ω2k(d+ γ + ε) + ω(2d+ αk)− α] I + dω2

I(ω + I)2

= − G(I)

I(ω + I)2.

Ako vazi (3.23) tada je ocigledno G(I) > 0, pa je div(Bf) < 0. Time smo na osnovuTeoreme 1.8 pokazali tvrdenje.

Na osnovu predhodne teoreme, narednom teoremom iskazujemo tvrdenje o globalnoj sta-bilnosti polozaja ravnoteze E2.

Teorema 3.6. Ako je

R0 > 1 i α ≤ ω2(β + dk) + ω2k(d+ γ + ε) + ω(2d+ αk)

tada je E2 globalno asimptotski stabilan polozaj ravnoteze.

Dokaz. Na osnovu uslova datih u teoremi zakljucujemo da na osnovu Teoreme 3.1 i Teo-reme 3.4 postoji E2 i da je lokalno asimptotski stabilan a da je E0 nestabilan polozajravnoteze. Pored toga, ako vazi (3.23) tada na osnovu predhodne teoreme sistem (3.6)nema zatvorenih trajektorija. Iz svega navedenog zakljucujemo da je E2 globalno asimp-totski stabilan polozaj ravnoteze.

Teorema 3.7. Polozaj ravnoteze bez bolesti E0 je globalno asimptotsi stabilan ako i samoako vazi jedan od sledecih uslova:

i) 0 < R0 < 1, (ω, α) ∈ Ω1 ∪ Ω2;ii) 0 < R0 < P ∗, (ω, α) ∈ Ω3.

Dokaz. Nije tesko pokazati da je oblast D = (S, I) : S ≥ 0, I ≥ 0, S + I ≤ Λd

pozitivno invarijantan skup sistema (3.6). Prema tome, svaka trajektorija koja krece izD priblizavace se ili polozaju ravnoteze ili zatvorenoj trajektoriji u D. Ako vazi neki oduslova i) ili ii) na osnovu Teoreme 3.1 sistem (3.6) nema endemske (unutrasnje) polozajeravnoteze pa nema ni zatvorene trajektorije na osnovu Teoreme 1.9. Kako je pod ovimuslovima E0 lokalno asimptotski stabilan polozaj ravnoteze na osnovu Teoreme Poincare-Bendixon E0 je globalno asimptotski stabilan polozaj ravnoteze.

3.2.4 Bifurkacija unapred i bifurkacija unazad

Osnovni reprodukcioni broj R0 ima jako vaznu ulogu u epidemiologiji. Analizom klasicnogSIR endemskog modela videli smo da za R0 > 1 dolazi do epidemije, dok za R0 ≤ 1 bolestnestaje. Sta vise, kao sto je receno u Poglavlju 2.5.1 (videti Teoremu 2.3), osnovni repro-dukcioni broj R0 je kriticni parametar koji odreduje da li ce doci do epidemije ili ce bolestnestati. Polozaj ravnoteze bez bolesti je globalno asimptotski stabilan polozaj ravnotezekad god je lokalno asimptotski stabilan, odnosno za R0 < 1 ne postoji endemski polozajravnoteze. Za R0 > 1 endemski polozaj ravnoteze je asimptotski stabilan dok je polozajravnoteze bez bolesti nestabilan. Dakle, R0 = 1 predstavlja bifurkacioni kriticni para-metar transkriticne bifurkacije koja se u epidemiologiji naziva bifurkacija unapred (eng.forward bifurcation). Na Slici 3.2-(a) dat je bifurkacioni dijagram bifurkacije unapred.Plavom linijom su obelezeni delovi gde su stabilni polozaji ravnoteze a crvenom nesta-bilni. Vidimo da je za R0 < 1 stabilan polozaj ravnoteze bez bolesti (eng. disease-freeequlilibrium DFE) dok je za R0 > 1 stabilan endemski polozaj ravnoteze (eng. endemicequilibrium EEP).

(a) Bifurkacija unapred (b) Bifurkacija unazad

Slika 3.2: Bifurkacioni dijagrami

U mnogim modelima, pod odgovarajucim uslovima, javlja se jos jedan tip bifurkacije,bifurkacija unazad (eng. backward bifurcation). Ova bifurkacija podrazumeva da za R0 <1 stabilan polozaj ravnoteze bez bolesti koegzistira sa endemskim polozajem ravnoteze kojije takode stabilan. Prilikom pojave bifurkacije unazad osnovni reprodukcioni broj i uslovda je R0 ≤ 1, nece biti jedini prag za kontrolu bolesti. Zbog toga je vazno identifikovati bi-furkacije unazad kako bi se odredili pragovi za kontrolu bolesti, jer sada smanjivanje osno-vnog reprodukcionog broja R0 ispod jedinice ne znaci nuzno da ce bolest nestati. Gene-ralno, bifurkacija unazad ukazuje na postojanje barem dva endemska polozaja ravnotezeza R0 ∈ (Rc, 1). U vecini modela kod kojih dolazi do bifurkacije unazad jedan od tihendemskih polozaja ravnoteze je lokalno asimptotski stabilan i to najcese onaj sa vecimbrojem infektivnih. Dakle, prisustvo bifurkacije unazad sasvim sigurno ima za posledicu,cak i pod uslovom R0 < 1, bolest jos uvek postoji. Drugim recima, klasican uslov za nes-tajanje bolesti vise nije zadovoljen. Da bi se obezbedila eliminacija bolesti u populacijiu slucaju bifurkacije unazad izbor parametra bi morao biti takav da je R0 < Rc. NaSlici 3.2-(b) dat je bifurkacioni dijagram bifurkacije unazad. Plavom bojom su obelezenistabilni delovi polozaja ravnoteze a crvenom nestabilni delovi. Vidimo da i za R0 < 1imamo dva stabilna polozaja ravnoteze, polozaj ravnoteze bez bolesti i endemski polozajravnoteze.

Ako (ω, α) ∈ Ω1 ∪ Ω2 tada na osnovu Teoreme 3.1 DS (3.6) nema endemske polozajeravnoteze za 0 < R0 < 1 i ima jedinstven endemski polozaj ravnoteze E2 kada je R0 > 1.Dakle DS (3.6) ima bifurkaciju unapred za R0 = 1 kada polozaj ravnoteze bez bolestiE0 gubi stabilnost i ,,prelazi” u endemski polozaj ravnoteze E2 koji je sada asimptotskistabilan.

Slika 3.3: Bifurkacioni dijagram DS (3.6) kada (ω, α) ∈ Ω3 i R∗ > 1

Ako (ω, α) ∈ Ω3 na osnovu Teoreme 3.1 DS (3.6) ima jedinstven endemski polozajravnoteze E2 za R0 > 1, ima dva razlicita endemska polozaja ravnoteze E1 i E2 kadaje P ∗ < R0 < 1 i nema endemske polozaje ravnoteze za 0 < R0 < P ∗. Zato DS (3.6)za R0 = 1 ima bifurkaciju unazad od polozaja ravnoteze bez bolesti do dva endemskapolozaja ravnoteze gde su E0 i E2 asimptotski stabilni polozaji ravnoteze. Na Slici 3.3dat je bifurkacioni dijagram kordinate I u zavisnosti od osnovnog reprodukcionog brojaR0. Zakljucujemo, da bi bolest nestala mora biti ispunjen uslov R0 1, DS (3.6) ima jos jedan tip bifurkacije. Naime,R0 = P ∗ je bifurkacioni kriticni parametar sedlo-cvor bifurkacije endemskih polozajaravnoteze E1 i E2. Za R0 P ∗ postoje dva, gde je E1 sedlo (nestabilan polozaj ravnoteze) i E2 lokalno asimptotskistabilan polozaj ravnoteze.

Teorema 3.8. Sistem (3.6) ima bifurkaciju unazad za R0 = 1 ako i samo ako je R∗ > 1i (ω, α) ∈ Ω3.

U narednoj tabeli dajemo pregled predhodnih zakljucaka vezanih za endemske polozajeravnoteze i bifurkacije unapred i unazad.

(ω, α) ∈ Ω1 ∪ Ω2 (ω, α) ∈ Ω3

0 < R0 < 1 nema endemske PR 0 < R0 1 jedan endemski PR E2 R0 > 1 jedan endemski PR E2

Bifurkacija unapred Bifurkacija unazad

Na Slici 3.4 dat je primer faznog portreta DS (3.6) za vrednosti prarametra:

Λ = 16, k = 0.01, d = 0.1, γ = 0.01, ε = 0.02, β = 0.005, α = 6, ω = 7. (3.24)

U ovom slucaju vazi (ω, α) ∈ Ω3 i P ∗ < R0 = 0.81. Vidimo da postoji polozaj ravnotezebez bolesti E0 i dva endemska polozaja ravnoteze E1 i E2, gde je E1 sedlo a E0 i E2 sulokalno asimptotski stabilni polozaji ravnoteze. Pored toga primecujemo, da se u zavisno-sti od pocetnih uslova neke trajektorije priblizavaju enedemskom polozaju ravnoteze E2

a neke polozaju ravnoteze bez bolesti E0.

Slika 3.4: Fazni portret DS (3.6) kada (ω, α) ∈ Ω3 i P ∗ < R0 = 0.81

3.2.5 Hopf bifurkacija

U ovom odeljku proucavacemo Hopf bifurkaciju. Na osnovu diskusije o globalnoj dinamicisistema (3.6) znamo da ne postoji zatvorena trajektorija oko E0 jer je S-osa invarijantanskup a ni oko E1 jer je uvek sedlo (na osnovu Teoreme 3.3 i Teoreme 1.10). Dakle, Hopfbifurkacija se moze pojaviti samo za E2.

Oznacimo sa

σ =

(c2 + 3c6 −

c1c3

a12

− 2c1c5

a12

)D4 +

[a2

11(c2 + 3c6)− 2βa11a12 + a11

(c3 − 2

a11

a12

c1

)×(c3 −

a11

a12

c1

)−(

2a2

11

a12

c1 − a11c3 + 2a11c5 − a12c4

)(c5 −

a11

a12

c1

)]D2

−a11(a11c3 + 2a11c5 − a12c4)

(a2

11

a12

c1 − a11c3 + a11c5 − a12c4

),

gde su aij(i, j = 1, 2), ck(k = 1, 6) i D definisani u teoremi koja sledi.

Teorema 3.9. U sistemu (3.6) dolazi do pojave Hopf bifurkacije ako je µ = 0. Sta vise,ako je σ < 0 tada DS (3.6) ima stabilan granicni cikl kada µ opada od 0; ako je σ > 0tada DS (3.6) ima nestabilan granicni cikl kada µ raste od 0.

Dokaz. U dokazu Teoreme 3.4 pokazali smo da je sgn(Tr(J(E2))) = −sgn(µ), odnosno

Tr(J(E2)) = 0⇔ µ = 0

i da je det(J(E2)) > 0 uvek kada E2 postoji. Dakle, sopstvene vrednosti matrice J(E2) supar cisto imaginarnih korena ako i samo ako je µ = 0. Na osnovu (3.21) i (3.22) imamo


da jed(Tr(J(E2)))

dµ

∣∣∣∣µ=0

= − 1

2A3(1 + kI2)(ω + I2)26= 0.

Na osnovu Teoreme 1.19, µ = 0 je bifurkacioni kriticni parametar Hopf bifurkacije.Razmotrimo sada sledeci sistem ekvivalentan sistemu (3.6):

dS

dt= Λ(1 + kI)(ω + I)− βSI(ω + I)− dS(1 + kI)(ω + I)

dI

dt= βSI(ω + I)− (d+ γ + ε)I(1 + kI)(ω + I)− αI(1 + kI). (3.25)

Uvedimo smenu x = S − S2 i y = I − I2. Tada (3.25) postaje:

dx

dt= a11x+ a12y + c1y

2 + c2xy2 + c3xy

dy

dt= a21x+ a22y + c4xy + c5y

2 + c6y3 + βxy2, (3.26)

gde jea11 = −[(β + dk)I2

2 + (βω + dkω + d)I2 + dω], a12 = −[(d+ γ + ε)(ω + I2) + α],a21 = β(ω + I2)I2,a22 = βS2I2 − αkI2 − (d+ γ + ε)(ω + I2)kI2 − (d+ γ + ε)(1 + kI2)I2,

c1 = − βΛ

d+ (β + dk)I2

, c2 = −(β + dk), c3 = −[2(β + dk)I2 + d+ ω(β + dk)],

c4 = β(ω + 2I2), c5 = βS2 − (d+ γ + ε)[k(ω + I2) + 1 + 2kI2]− αk,c6 = −k(d+ γ + ε).Neka E∗ oznacava (0, 0) u xy-ravni tada je:

det(J(E∗)) = a11a22 − a12a21

= I2(1 + kI2)[(d+ γ + ε)(β + dk)(ω + I2)2 + αω(β + dk)− αd]

= I2(1 + kI2)Ψ(I2).

U dokazu Teoreme 3.4 pokazali smo da je Ψ(I2) uvek pozitivno. Nije tesko proveriti daje a11 + a22 = 0 ako i samo ako je µ = 0. Obelezimo D =

√det(J(E∗)) i uvedimo da je

u = −x i v =a11

Dx+

a12

Dy, tada je normalna forma za (3.25) Hopf bifurkacije data sa:

du

dt= −Dv + f(u, v)

dv

dt= Du+ g(u, v), (3.27)

gde je

f(u, v) =

(a11

a12

c3 −a2

11

a212

c1

)u2 − D2c1

a212

v2 +

(Dc3

a12

− 2Da11c1

a212

)uv

+c2a

211

a212

u3 + 2Da11c2

a212

u2v +Dc2

a212

uv2,

g(u, v) =a11

D

(a2

11

a212

c1 −a11

a12

c3 +a11

a12

c5 − c4

)u2 +

(Da11c1

a212

+Dc5

a12

)v2

+

(2a2

11

a212

c1 −a11

a12

c3 + 2a11

a12

c5 − c4

)uv +

(a3

11c6

a212D− a2

11c2

a212D− a2

11β

a12D

)u3

+D2c6

a212

v3 +

(3a2

11c6

a212

− 2a2

11c2

a212

− a11β

a12

)u2v +

(3Da3

11c6

a212

− Da11c2

a212

− Dβ

a12

)uv2.

3.3. NUMERICKA SIMULACIJA MODELA I DISKUSIJA 63

Obelezimo sa

Γ =1

16[fuuu+fuvv+guuv+gvvv]+

1

16D[fuv(fuu+fvv)−guv(guu+gvv)−fuuguu+fvvgvv],

gde fuv oznacava∂2f

∂u∂v(0, 0) itd. Tada je:

Γ =1

8a212D

2

(c2 + 3c6 −

c1c3

a12

− 2c1c5

a12

)D4 +

[a2

11(c2 + 3c6)− 2βa11a12

+a11

(c3 − 2

a11

a12

c1

)(c3 −

a11

a12

c1

)−(

2a2

11

a12

c1 − a11c3 + 2a11c5 − a12c4

)(c5 −

a11

a12

c1

)]D2

−a11(a11c3 + 2a11c5 − a12c4)

(a2

11

a12

c1 − a11c3 + a11c5 − a12c4

)=

σ

8a212D

2.

Ocigledno je znak Γ odreden znakom σ. Na osnovu Teoreme 1.19 sledi ostatak tvrdenja.

3.3 Numericka simulacija modela i diskusija

Dinamika DS (3.6) jako je bogata. Na osnovu dobijenih teorijskih rezultata iznecemozakljucke vezane za kontrolu sirenja infektivnih bolesti.

Na osnovu definicije osnovnog reprodukcionog broja R0 date sa (3.4) primecujemo dase R0 povecava ako se ω povecava i da se smanjuje ako se α smanjuje. Sto znaci vecakolicina medicinskih resursa (vece α) i veca efikasnost snabdevanja medicinskim resursima(manje ω) olaksavaju kontrolu sirenja infektivnih bolesti (R0 se smanjuje i tada polozajravnoteze bez bolesti E0 postaje globalno asimptotski stabilan na osnovu Teoreme 3.7).

Slika 3.5: Prikaz bifurkacija u ωα-ravni

Na Slici 3.5 u ωα-ravni prikazane su krive koje odreduju pojavu bifurkacije unazad iHopf bifurkacije za vrednosti parametra

Λ = 16, β = 0.01, k = 0.001, d = 0.1, γ = 0.12, ε = 0.2.

Ako (ω, α) ∈ Ω1∪Ω2 tada DS (3.6) ima samo Hopf bifurkaciju, dok ako (ω, α) ∈ Ω3 mozese pojaviti i Hopf bifurkacija i bifurkacija unazad. Jednacina prave

α = α1(ω) = ω

(βΛ

d− (d+ γ + ε)

),

dobijena je iz uslova R0 = 1 i R0 < 1 za (ω, α) iznad prave. Kriva F (ω, α) = R0−P ∗ = 0dobijena je iz uslova R0 = P ∗ i R0 < P ∗ kada je (ω, α) iznad krive. Kriva µ(ω, α) = 0odgovara uslovu µ = 0 (Hopf bifurkaciona kriva) i µ < 0 kada (ω, α) pripada oblasti

ogranicenoj zatvorenom krivom abcdefa. Kriva σ(ω, α) = 0 dobijena je iz uslova σ = 0 i

σ < 0 kada je (ω, α) iznad krive (kao i duz dela bcde Hopf bifurkacione krive µ(ω, α) = 0)

i σ > 0 kada se nalazi ispod krive (kao i duz dela ab Hopf bifurkacione krive µ(ω, α) = 0).

Kada je (ω, α) blizu krive bcde DS (3.6) dopusta pojavu stabilnog granicnog cikla kada µ

opada od nule, dok ako je (ω, α) blizu krive ab tada DS (3.6) dopusta pojavu nestabilnoggranicnog cikla kada µ raste od nule.

Dobijeni teorijski rezultati se razlikuju u zavisnosti od oblasti kojoj pripadaju α i ω,zato cemo diskusiju podeliti na dva slucaja.

1. Ako (ω, α) ∈ Ω1 ∪ Ω2 tada je R0 = 1 bifurkacioni kriticni parametar bifurkacijeunapred DS (3.6), gde je za R0 < 1 polozaj ravnoteze bez bolesti globalno asimptotskistabilan (na osnovu Teoreme 3.7), dok za R0 > 1 postoji jedinstven endemski polozajravnoteze E2 koji je ili globalno asimptotski stabilan (ukoliko ne postoje zatvorene tra-jektorije na osnovu Teoreme 3.6) ili se javlja Hopf bifurkacija (stabilni granicni cikl okonestabilnog polozaja ravnoteze E2 za µ < 0 ili nestabilni granicni cikl oko stabilnogpolozaja ravnoteze E2 za µ > 0, Teorema 3.9). Prema tome, osnovni reprodukcioni brojR0 je kljucni prag za kontrolu infektivne bolesti i najbolji nacin da bolest nestane je dase izaberu vrednosti parametra takve da je R0 < 1.

2. Ako (ω, α) ∈ Ω3, tada je R0 = 1 bifurkacioni kriticni parametar bifurkacije un-azad DS (3.6). Ako je 0 < R0 < P ∗ tada je polozaj ravnoteze bez bolesti E0 globalnoasimptotski stabilan (na osnovu Teoreme 3.7). Za P ∗ < R0 < 1, polozaj ravnoteze E0

postaje lokalno asimptotski stabilan (Teorema 3.2) i pojavljuju se dva endemska polozajaravnoteze od kojih je E1 uvek sedlo (Teorema 3.3) i E2 je ili lokalno asimptotski stabilno(Teorema 3.4) ili se javlja Hopf bifurkacija (Teorema 3.9). Za R0 > 1, polozaj ravnotezeE0 je nestabilan i postoji jedinstven endemski polozaj ravnoteze E2 koji je ili globalnoasimptotski stabilan (ukoliko ne postoje zatvorene trajektorije na osnovu Teoreme 3.6)ili se javlja Hopf bifurkacija. U ovom slucaju, uslov R0 < 1 nije dovoljan za nestajanjebolesti zbog bifurkacije unazad koja se javlja.

Ako (ω, α) ∈ Ω3 i 0 < R∗ < 1, lako je pokazati da kriva F (ω, α) = 0 lezi izvan Ω3 itada je uvek 0 < R0 < P ∗. Na osnovu Teoreme 3.7 polozaj ravnoteze bez bolesti E0 jeglobalno asimptotski stabilan i bolest na kraju nestaje. Ovaj rezultat je opravdan timeda ako u modelu nije ukljucen medicinski tretman, bolest nestaje kada je 0 < R∗ < 1 naosnovu Teoreme 2.3.

Slika 3.6: Oblasti Ω1, Ω2 i Ω3, Ω13 i Ω2

3 u ωα-ravni za R∗ > 1

Ako (ω, α) ∈ Ω3 i R∗ > 1, tada deo krive F (ω, α) = 0 lezi u oblasti Ω3 i deli jena dva dela Ω1

3 i Ω23 (Slika 3.6). Nije tesko pokazati da je R0 1 i

(ω, α) ∈ Ω13 i u tom slucaju bolest nestaje, dok ako (ω, α) ∈ Ω2

3 bolest postaje endemicnai endemski polozaj ravnoteze E2 je lokalno asimptotski stabilan ili postoje periodicnaresenja. Obelezimo sa α0 presek krive F (ω, α) = 0 i α-ose (ω = 0). Ako je 0 < α < α0

bolest ce biti prisutna bez obzira na to kolika je efikasnost snabdevanja medicinskimresursima. Ako je α > α0, bolest ce nestati pod uslovom da je efikasnost snabdevanjamedicinskim resursima dovoljno velika tj. da (ω, α) ∈ Ω1

3.

(a) Uticaj stope k na Hopf bifurkaciju (b) Uticaj stope k na bifurkaciju unazad

Slika 3.7: Uticaj zasicene stope incidence na dinamiku DS (3.6)

DS (3.6) razlikuje se od klasicnog SIR modela i po stopi incidence koju smo odabrali.Naime, ako su posledice infektivne bolesti ozbiljne (kao sto je visok stepen smrtnosti, saogranicenim sredstvima za tretman i prevenciju itd.) ljudi ce biti oprezniji kako bi sprecilida budu zarazeni. Ove promene u ponasanju uticu na prenosenje bolesti. U zasicenoj

stopi incidenceβIS

1 + kI, vece k smanjuje broj novoobolelih. Iako povecanje stope k ne

smanjuje osnovni reprodukcioni broj R0 (jer ne zavisi od k), ono ima ocigledan uticaj nadinamiku modela (kao sto je uticaj na Hopf bifurkaciju i bifurkaciju unazad). Na Slici 3.7dat je uticaj zasicene stope incidence za vrednosti parametra

Λ = 16, d = 0.1, γ = 0.12, ε = 0.2, β = 0.01

i za razlicite vrednosti parametra k u ωα-ravni . Vece k opisuje vecu opreznost osetljivihkada broj infektivnih raste. Na Slici 3.7-(a) vidimo da vece k smanjuje povrsinu ogranicenukrivama µ(ω, α) = 0 i α = α1(ω) gde DS (3.6) dopusta pojavljivanje stabilnih periodicnihresenja. Kada je R∗ > 1 i (ω, α) ∈ Ω3 Teorema 3.8 tvrdi se za DS (3.6) pojavljujebifurkacija unazad. Slika 3.7-(b) pokazuje da se sa povecanjem k smanjuje povrsinaoblasti Ω3.

Da bi ilustrovali dobijene teorijske rezultate dacemo numericku simulaciju modela.Za simulaciju je koriscen programski paket MATHEMATICA. Graficki prikazi resenjaDS (3.6) u svim primerima koji slede dobijeni su numerickim resavanjem DS naredbomNDSolve

pr1 = NDSolve[S ′(t) = −dS(t)− βIN(t)S(t)

kIN(t) + 1+ Λ, IN′(t) = IN(t)

(−(γ + d+ ε)) +βIN(t)S(t)

kIN(t) + 1− αIN(t)

αIN(t) + ω, S(0) = 20, IN(0) = 40, S, IN, t, 50]

Izlaz koji se dobija je specijalan oblik funkcije, InterpolatingFunction, koji nije analiticki,ali je moguce odrediti vrednosti za konkretne vrednosti vremenske promenljive t i nacrtatije naredbom

Plot[Evaluate[x(t)/. pr1], t, 0, 50].

Posmatrajmo primer u kome (ω, α) ∈ Ω1∪Ω2 i R0 > 1, tada (na osnovu Teoreme 3.1)postoje dva polozaja ravnoteze, bez bolesti E0 i endemski E2.

Primer 3.1. Za ovaj primer vrednosti parametra su:

Λ = 16, k = 0.01, d = 0.1, γ = 0.01, ε = 0.02, β = 0.002, α = 5, ω = 35.

Osnovni reprodukcioni broj je R0 = 1.17277.

U ovom slucaju (ω, α) ∈ Ω1 jer je ω >d

β + dk= 33.3333 i α0(35) = −95.55.

Polozaj ravnoteze bez bolesti je E0 = (160, 0) koji je sedlo, a endemski polozaj ravnotezeje E2 = (132.408, 11.6311) koji je stabilan fokus (Slika 3.9). Kako je u ovom primeruispunjenja nejednakost (3.23) (α = 5 < 14.0175) endemski polozaj ravnoteze je globalnoasimptotski stabilan (na osnovu Teoreme 3.6).

Na Slici 3.8 dat je grafik resenja DS (3.6) u zavisnosti od t za pocetne vrednosti S0 = 20i I0 = 40.

0 10 20 30 40 500

50

100

150

200

Osetljivi

Inficirani

Slika 3.8: Resenje DS (3.6) kada (ω, α) ∈ Ω1 i R0 > 1

100 120 140 160 180 200

0

10

20

30

40

Slika 3.9: Fazni portret DS (3.6) kada (ω, α) ∈ Ω1 i R0 > 1

Na Slici 3.10-(a) dati su grafici resenja inficiranih a na Slici 3.10-(b) grafici resenjaosetljivih. Krive zelenom bojom su za pocetne vrednosti S0 = 20, I0 = 40, plavom bojomsu za S0 = 40, I0 = 20 i crvenom S0 = 50, I0 = 50.

0 10 20 30 40 500

10

20

30

40

50

Inficirani I0=40

Inficirani I0=20

Inficirani I0=50

(a) Grafik resenja inficiranih

0 10 20 30 40 500

50

100

150

Osetljivi S0=20

Osetljivi S0=40

Osetljivi S0=50

(b) Grafik resenja osetljivih

Slika 3.10: Resenje DS (3.6) za razlicite pocetne vrednosti

Vidimo da se S(t), I(t) priblizavaju vrednostima S2, I2 endemskog polozaja ravnotezeE2 koji je u ovom slucaju globalno asimptotski stabilan. Dakle, bolest je u stanju en-demije, odnosno stalno prisutna.

U predhodnom primeru (ω, α) ∈ Ω1, tako da se kod DS (3.6) pojavljuje bifurkacijaunapred, osnovni reprodukcioni broj R0 je jedini kljucni parametar i da bi bolest nestaladovoljno je da R0 < 1. U narednom primeru ilustovacemo kako povecanje medicinskihresursa utice na nestajanje bolesti (povecacemo vrednost α od 5 do 7).

Primer 3.2. Vrednosti parametra su:

Λ = 16, k = 0.01, d = 0.1, γ = 0.01, ε = 0.02, β = 0.002, α = 7, ω = 35.

Osnovni reprodukcioni broj je R0 = 0.969697.I u ovom slucaju (ω, α) ∈ Ω1.Polozaj ravnoteze bez bolesti je E0 = (160, 0) koji je globalno asimptotski stabilan (sta-bilan cvor), a endemski ne postoje (sto nam daju Teorema 3.1 i Teorema 3.7).

Na Slici 3.11 dat je grafik resenja DS (3.6) u zavisnosti od t za pocetne vrednostiS0 = 20 i I0 = 40.

0 10 20 30 40 500

50

100

150

Osetljivi

Inficirani

Slika 3.11: Resenje DS (3.6) kada (ω, α) ∈ Ω1 i R0 < 1


0 10 20 30 40 500

10

20

30

40

50

Inficirani I0=40

Inficirani I0=20

Inficirani I0=50


0 10 20 30 40 500

50

100

150

Osetljivi S0=20

Osetljivi S0=40

Osetljivi S0=50



Vidimo da se sada resenja S(t), I(t) pribljizavaju vrednostima Edfe, Idfe polozaja ravnotezebez bolesti E0 koji je u ovom slucaju globalno asimptotski stabilan i da bolest na krajunestaje (I(t)→ 0, t→∞).

Narednim primerom ilustrujemo sta se desava ako se stopa adekvatnih kontakta poveca,medicinski resusrsi ostanu slicni ali se efikasnost snabdevanja takode poveca tj. ω sesmanji.

Primer 3.3. Za ovaj primer vrednosti parametra su:

Λ = 16, k = 0.01, d = 0.1, γ = 0.01, ε = 0.02, β = 0.005, α = 4, ω = 7.


U ovom slucaju (ω, α) ∈ Ω3 jer je ω <d

β + dk= 16.6667 i α > α0(7) = 0.659.

Polozaj ravnoteze bez bolesti je E0 = (160, 0) koji je sedlo a endemski polozaj ravnotezeje E2 = (60.0496, 49.9009) koji je stabilan fokus (Slika 3.14).


0 10 20 30 40 500

50

100

150

Osetljivi

Inficirani


50 100 150

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 500

10

20

30

40

50

Inficirani I0=40

Inficirani I0=20

Inficirani I0=50


0 10 20 30 40 500

50

100

150

Osetljivi S0=20

Osetljivi S0=40

Osetljivi S0=50


Slika 3.15: Resenje DS (3.6) za razlicite PV

Vidimo da se S(t), I(t) priblizavaju vrednostima S2, I2 endemskog polozaja ravnotezeE2 koji je u ovom slucaju asimptotski stabilan. Dakle, bolest je stanju endemije, odnosnostalno prisutna.

U narednom primeru ilustovacemo kako povecanje medicinskih resursa utice na sirenjebolesti i kako uslov R0 < 1 nije dovoljan uslov da bi bolest nestala. Sta vise, konacnoponasanje sistema zavisi od pocetnih vrednosti sto nije slucaj kod DS sa bifurkacijomunapred.


Λ = 16, k = 0.01, d = 0.1, γ = 0.01, ε = 0.02, β = 0.005, α = 6, ω = 7.

Osnovni reprodukcioni broj je R0 = 0.81042 a R∗ = 6.15385.I u ovom slucaju (ω, α) ∈ Ω3.Kriticna vrednost P ∗ = 0.774871. Dakle, vazi P ∗ < R0 < 1, pa (ω, α) ∈ Ω2

3.Polozaji ravnoteze su: polozaj ravnoteze bez bolesti E0 = (160, 0) koji je lokalno asimp-totski stabilan (stabilan cvor), endemski polozaj ravnoteze E1 = (123.142, 6.36745) kojije sedlo i endemski polozaj ravnoteze E2 = (78.2949, 26.3761) koji je stabilan fokus.

U datom primeru dolazi do bifurkacije unazad jer za R0 < 1 DS ima dva stabilnapolozaja ravnoteze, odnosno smanjivanje R0 ispod jedinice nije dovoljno za nestajanjebolesti.


0 10 20 30 40 500

50

100

150

Osetljivi

Inficirani

Slika 3.16: Resenje DS (3.6) kada (ω, α) ∈ Ω3 i P ∗ < R0 < 1

Primecujemo da broj inficiranih opada do nule i da bolest nestaje. Medutim sapromenom pocetnih vrednosti to nece uvek biti slucaj.

60 80 100 120 140 160

0

10

20

30

40

50

Slika 3.17: Fazni portret DS (3.6) kada (ω, α) ∈ Ω3 i P ∗ < R0 < 1

Na Slici 3.17 dat je fazni portret DS (3.6). Primecujemo da se u zavisnosti od pocetnihvrednosti neke trajektorije priblizavaju polozaju ravnoteze bez bolesti E0 a neke endem-skom polozaju ravnoteze E2.



0 10 20 30 40 500

20

40

60

80

100

Inficirani I0=40

Inficirani I0=20

Inficirani I0=50


0 10 20 30 40 500

50

100

150

Osetljivi S0=20

Osetljivi S0=40

Osetljivi S0=150



Vidimo da se za pocetne vrednosti S0 = 150 i I0 = 50 resenja S(t), I(t) priblizavaju vred-nostima S2, I2 endemskog polozaja ravnoteze E2, dok se smanjivanjem pocetnih vrednostiresenja S(t), I(t) priblizavaju vrednostima Sdfe, Idfe polozaja ravnoteze bez bolesti E0.Takode, za pocetne vrednosti S0 = 150 i I0 = 50 vidimo da dolazi do epidemije (povecanjabroja inficiranih) koja odgovarajucim medicinskim tretmanom prelazi u stanje endemije.

U ovom slucaju promena stope opreznosti k nece uticati na to da bolest nestane (stosmo vec iskomentarisali) ali uticace na krajnji broj inficiranih. Za pocetne vrednostiS0 = 150 i I0 = 50 (kada bolest opstaje) na Slici 3.19-(a) dati su grafici resenja inficiraniha na Slici 3.19-(b) grafici resenja osetljivih. Krive crvenom bojom su za k = 0.005,ljubicastom za k = 0.01 i plavom za k = 0.015.

0 10 20 30 40 500

20

40

60

80

100

120

Inficirani k=0.015

Inficirani k=0.01

Inficirani k=0.005


0 10 20 30 40 500

50

100

150

Osetljivi k=0.015

Osetljivi k=0.01

Osetljivi k=0.005


Slika 3.19: Resenje DS (3.6) za razlicite vrednosti k

Kao sto smo rekli, bolest je u stanju endemije (nije nestala) ali se krajnji broj inficiranihsmanjuje sa povecanjem stope k.

Da bi se osigurali da ce bolest nestati, osnovni reprodukcioni broj R0 treba biti manjiod P ∗ tj. (ω, α) ∈ Ω1

3. U narednom primeru povecacemo medicinske resurse α da bismanjili R0.

Primer 3.5. Vrednosti parametra za ovaj primer su:

Λ = 16, k = 0.01, d = 0.1, γ = 0.01, ε = 0.02, β = 0.005, α = 8, ω = 7.


I u ovom slucaju (ω, α) ∈ Ω3.

Kriticna vrednost P ∗ = 0.735262. Dakle, vazi 0 < R0 < P ∗, pa (ω, α) ∈ Ω13.

Sada je jedini polozaj ravnoteze bez bolesti E0 = (160, 0) koji je globalno asimptotskistabilan.

Na Slici 3.20 dat je grafik resenja DS (3.6) u zavisnosti od t za pocetne vrednostiS0 = 20 i I0 = 40. Primecujemo da broj inficiranih opada do nule i da bolest nestaje.

0 10 20 30 40 500

50

100

150

Osetljivi

Inficirani

Slika 3.20: Resenje DS (3.6) kada (ω, α) ∈ Ω3 i 0 < R0 < P ∗


0 10 20 30 40 500

10

20

30

40

50

Inficirani I0=40

Inficirani I0=20

Inficirani I0=50


0 10 20 30 40 500

50

100

150

Osetljivi S0=20

Osetljivi S0=40

Osetljivi S0=50



Kako je u ovom slucaju polozaj ravnoteze bez bolesti globalno asimptotski stabilan(teorema 3.7) bolest na kraju nestaje.

Narednim primerom ilustujemo pojavu Hopf bifurkacije.



Λ = 16, k = 0.001, d = 0.1, γ = 0.12, ε = 0.2, β = 0.01, α = 9, ω = 10.


U ovom slucaju (ω, α) ∈ Ω1 jer je ω >d

β + dk= 9.90099 i α0(10) = −424.2.

Polozaj ravnoteze bez bolesti je E0 = (160, 0) koji je sedlo, a endemski polozaj ravnotezeje E2 = (97.1183, 6.51695) koji je nestabilan fokus. Dakle, oba polozaja ravnoteze sunestabilna.


0 20 40 60 80 100 120 1400

50

100

150

Osetljivi

Inficirani


Na Slici 3.23 dat je fazni portret DS (3.6). Vidimo da se oko endemskog polozajaravnoteze E2 pojavio stabilan granicni cikl i da se sve trajektorije spiralno udaljavaju odpolozaja ravnoteze E2 i priblizavaju ciklu.

0 50 100 150

0

10

20

30

40

50



0 20 40 60 80 100 120 1400

10

20

30

40

50

60

Inficirani I0=40

Inficirani I0=20

Inficirani I0=50


0 20 40 60 80 100 120 1400

50

100

150

Osetljivi S0=20

Osetljivi S0=40

Osetljivi S0=50



Dakle, bolest ima svojstvo periodicnosti. Iako na pocetku dolazi do smirivanja bolesti,nakon nekog vremena ponovo se javlja, dolazi do epidemije, nakon cega odgovarajucimmedicinskim tretmanom dolazi do sprecavanja daljeg sirenja i bolest se ponovo smirujeitd. (periodicna resenja).

Zakljucak

Svi teorijski rezultati kao i numericka simulacija pokazuju da medicinski resursi i efika-snost snabdevanja njima imaju veliki uticaj na dinamiku DS (3.6) i na kontrolu sirenjainfektivnih bolesti. Ako u modelu nije ukljucen medicinski tretman (α = 0), globalnadinamika DS (3.6) je u potpunosti odredena osnovnim reprodukcionim brojem R∗ (javljase samo bifurkacija unapred). Ako postoji medicinski tretman dinamika DS (3.3) je znatnobogatija (pojavljuje se bifurkacija unapred, bifurkacija unazad, sedlo-cvor bifurkacija iHopf bifurkacija). Da bi infektivna bolest nestala kada (ω, α) ∈ Ω1 ∪ Ω2 dovoljno jeodabrati vrednosti parametra tako da R0 < 1. Kada (ω, α) ∈ Ω3 treba odabrati vrednostiparametra tako da ili R∗ < 1 (tada je uvek R0 1 a (ω, α) ∈ Ω1

3 (tada jeR0 < P ∗).

Osim toga videli smo da stopa opreznosti osetljivih k utice na ozbiljnost bolesti. Dakle,edukacijom i propagandom treba uticati na ponasanje ljudi i njihovu opreznost prilikompojave infektivnih bolesti.

Literatura

[1] L. J. S. Allen, An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology,PEARSON EDUCATION, INC. Upper Saddle River, New Jersev 0745

[2] M. S. Bartlett, Some evolutionary stochastic processes, J. Roy. Statist. Soc. B, 11(1949) 211-229.

[3] B. Buonomo, D. Lacitignola, On the backward bifurcation of a vaccination model withnonlinear incidence, Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 2011, Vol. 16, No.1, 3046

[4] V. Capasso, G. Serio, A generalization of the Kermack-Mckendrick deterministicepidemic model, Math. Biosci. 42 (1978) 43-61.

[5] O. Diekmann, J. A. P. Heesterbeek, J.A.J. Metz, On the definition and the compu-tation of the basic reproduction ratio R0 in models for infectious diseases in hetero-geneous populations, J. Math. Biol. 28 (1990) 365-382.

[6] P. van den Driessche, J. Watmough, Reproduction numbers and sub-threshold en-demic equilibria for compartmental models of disease transmission, MathematicalBiosciences 180 (2002) 2948

[7] A. B. Gumel, Causes of backward bifurcations in some epidemiological models, J.Math. Anal. Appl. 395 (2012) 355-365.

[8] H. W. Hethcote, The Mathematics of Infectious Diseases, Siam Review, Vol. 42, No.4, pp. 599-653.

[9] S. Jankovic, Diferencijalne jednacine, Prirodno-matematicki fakultet, Nis, 2004.

[10] A. Korobeinikov, P.K. Maini, Nonlinear incidence and stability of infectious diseasemodels, Math. Med. Biol. 22 (2005) 113-128.

[11] X. Z. Li, W. S. Li, M. Ghosh, Stability and bifurcation of an SIR epidemic modelwith nonlinear incidence and treatment, Applied Mathematics and Computation 210(2009) 141-150.

[12] E. M. Lungu, M. Kgosimore and F. Nyabadza, Lecture notes: Mathematical epi-demiology, 2007.

[13] J. D. Murray, Mathematical Biology-An Introduction, Third Edition, Springer 2002.

[14] C. Sum, W. Yang, Global results for an SIRS model with vaccination and isolation,Nonlinear Analysis: Real World Applications 11 (2010) 4223-4237.

[15] W. Wang, S. Ruan, Bifurcation in an epidemic with constant removal rate of theinfectives, J. Math. Anal. Appl. 291 (2004) 775-793.

77

78 LITERATURA

[16] X. Zhang, X.N. Liu, Backward bifurcation of an epidemic model with saturated tret-man function, J. Math. Anal. Appl. 348 (2008) 433-443.

[17] X. Zhang, X. Liu, Backward bifurcation and global dynamics of an SIS epidemicmodel with general incidence rate and treatment, Nonlinear Analysis: Real WorldApplications 10 (2009) 565575

[18] L. Zhoua, M. Fan, Dynamics of an SIR epidemic model with limited medical resourcesrevisited, Nonlinear Analysis: Real World Applications 11 (2012) 312-324.

Biografija

Milica Milunovic je rodena 06.10.1994. godine u Nisu.Zavrsila je osnovnu skolu ,,Cegar” u Nisu od prvog do sestog razreda, dok je sedmi

i osmi razred zavrsila u gimnaziji ,,Svetozar Markovic”, odeljenje obdarenih ucenika umatematickoj gimnaziji, kao nosilac Vukove diplome. Ucestvovala je i osvajala nagradena takmicenjima iz matematike, fizike, hemije i srpskog jezika. Dobila je pohvalu gradaNisa za postignute rezultate na takmicenjima, kao i pohvale opstine Pantelej i Drustvafizicara Srbije.

Gimnaziju ,,Svetozar Markovic” u Nisu, odeljenje obdarenih ucenika u matematickojgimnaziji, zavrsila je sa Vukovom diplomom i pohvalom gimnazije ,,Svetozar Markovic”za dosledan i uzoran odnos prema ucenju, skoli i zivotnim vrednostima, pri cemu je tokomskolovanja ucestvovala i osvajala nagrade na takmicenjima iz matematike i fizike.

Osnovne akademske studije na Departmanu za matematiku Prirodno-matematickogfakulteta u Nisu upisala je skolske 2013/14. godine i zavrsila ih 2016. godine sa prosecnomocenom 10.00 tokom studija i ostvarenih 194 ESPB (od mogucih 180).

Master akademske studije upisala je skolske 2016/17. godine na Departmanu zamatematiku Prirodno-matematickog fakulteta Univerziteta u Nisu, smer Verovatnoca,statistika i finansijska matematika i sve ispite je polozila sa prosecnom ocenom 10.00 (de-set). Januara 2018. godine dobila je nagradu grada Nisa za najboljeg studenta Prirodno-matematickog fakulteta Univerziteta u Nisu u 2017. godini.

Tokom studija bila je korisnik sledecih stipendija: skolske 2014/15. i 2016/17. re-publicke stipendije Ministarstva prosvete, nauke i tehnoloskog razvoja, skolske 2015/16.kao i 2017/18. stipendije Fonda za mlade talente Republike Srbije - Dositeja.

U toku skolske 2017/18. Milica Milunovic je na Masinskom fakultetu u Nisu ucestvovalau drzanju vezbi iz sledecih predmeta: Matematika 1 i Matematika 2 (na OAS Masinskoinzenjerstvo), Matematika u inzenjerskom menadzmentu i Poslovna statistika (na OASInzenjerski menadzment).

79

master rad globalna dinamika sir epidemiolo skog modela sa … · 2018-10-11 · tema ovog master...

Documents