master 2 recherche systèmes dynamiques et signaux...
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Estimation de la fiabilité par les essais dans un contexte de
faible taille d’ échantillon et de forte censure
Soutenance de stage
Master 2 Recherche Systèmes Dynamiques et Signaux (SDS)
Par :
Rodrigue SOHOIN
Encadrement :
M. Fabrice GUERIN
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PlanPlan
Présentation des apports
Problématique
Rappel bibliographique
Conclusion & Perspectives
Les essais accélérés
Analyse des méthodes (essais classiques)
3
Rappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
Contexte : les essais classiques
Les prototypes très couteux en
phase de de développement
Peu de produits à tester
Les produits de plus en plus
fiables et délais de
développement sont réduits
Censure importante
Quelles méthodes d’estimation ?
Les essais
accélérésProblématique
Matériel 1
Matériel 2
Matériel i
Matériel n
Début de
l’essai
Fin de
l’essai
t
R(t)
(a) Réalisation d’un essai
(b) Analyse des
Résultats de l’essai
+x
x
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Rappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
Contexte : les essais accélérés
Quelles méthodes d’estimation ?
Les essais
accélérésProblématique
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ProblématiqueRappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apportsLes essais
accélérés
Rappel de notions de fiabilité
R(t)=prob (que le dispositif soit non défaillant sur l’intervalle de
temps [0, t], en supposant qu’il n’est pas défaillant à l’instant t=0).
Fiabilité :
Fonction de répartition :
Fonction de densité :
MTTF (Mean Time To Faillure) :
Le taux de défaillance instantané :
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ProblématiqueRappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apportsLes essais
accélérés
Rappel de notions de fiabilité
Loi Exponentielle :
Loi de Weibull :
Loi Lognormale :
Modèles statistiques de fiabilité:
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ProblématiqueRappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apportsLes essais
accélérés
Méthodes d’estimation de fiabilité
Connaissance subjective : retour d’expérience de faits observés ou prouvés,
La fréquence des événements est assimilée à leur probabilité d’occurrence.
Limites
nécessite un échantillon d’observations suffisamment grand,
suppose le choix d’un modèle statistique représentatif des observations,
le calcul d’estimateurs est fortement biaisé si le nombre relatif de données censurées
est important,
elle néglige une information importante : l’expertise,
Démarche fréquentielle
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ProblématiqueRappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apportsLes essais
accélérés
Méthodes d’estimation de fiabilité
Réduire la taille des essais
d’estimation
Améliorer l’estimation des
paramètres de la fiabilité du
produit par l’intégration du passé
Traiter le cas « zéro »
défaillance observée
Démarche bayésienne
Limites: La difficulté à résoudre dans le cadre des techniques bayésiennes
reste la modélisation de la connaissance a priori.
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ProblématiqueRappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apportsLes essais
accélérés
Méthodes d’estimation de fiabilité
La méthode du maximum de vraisemblance
Lorsqu’on observe à l’issu d’un essai sur un ensemble de n matériels identiques, k
défaillances aux temps aléatoires ti (i=1…k) et n-k survies aux temps tj (j=k+1…n),
La fonction de vraisemblance s’écrit :
L’estimation ponctuelle est obtenue en résolvant l’équation :
Les variances sur les estimateurs sont obtenues à partir d’une matrice de Fisher
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ProblématiqueRappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apportsLes essais
accélérés
Méthodes d’estimation de fiabilité
1ere phase : on procède à un tirage aléatoire avec remise sur l’échantillon initial de
données t .On obtient ainsi un nouvel échantillon de même taille n :
2eme phase : dans cette étape on calcul des estimateurs intermédiaires (i=1…M) par la
méthode du maximum de vraisemblance sur le nouvel échantillon,
Soit le vecteur des paramètres de la loi de distribution,
Après M itérations
La méthode du Bootstrap (une méthode de reéchantillonnage)
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ProblématiqueRappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apportsLes essais
accélérés
Méthodes d’estimation de fiabilité
La méthode Stochastic Expectation Maximization(SEM)
1ere phase : simulations des défaillances manquantes au-delà des censures selon leur loi
conditionnelle sachant les données et les paramètres (valeur initiale définie par
l’analyste). On obtient ainsi un échantillon pseudo-complet.
2eme phase : calcul des par la méthode du maximum de vraisemblance sur l’échantillon
Soit le vecteur des paramètres de loi de la loi de distribution,
Soit M le nombre d’itérations et prenons les L dernières itérations, on obtient :
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ProblématiqueRappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apportsLes essais
accélérés
Méthodes d’estimation de fiabilité
La méthode Bayesian Restoration Maximization (BRM)
1ere phase : tirage aléatoire des paramètres sur une loi a priori
3eme phase : calcul des par la méthode du maximum de vraisemblance sur l’échantillon
Après M d’itérations :
2eme phase : simulations des défaillances manquantes au-delà des censures selon leur loi
conditionnelle sachant les données et les paramètres obtenus précédemment. On obtient
ainsi un échantillon pseudo-complet à chaque niveau de contrainte sevérisée.
Soit le vecteur des paramètres de loi de la loi de distribution,
Rappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
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Méthodologie d’analyse
Les essais
accélérésProblématique
Rappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
14
Les essais
accélérésProblématique
Méthodologie d’analyse : Résultats de simulation
Cas d’une loi de distribution exponentielle
Rappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
15
Les essais
accélérésProblématique
Méthodologie d’analyse : Résultats de simulation
Cas d’une loi de distribution exponentielle(λ)
Les méthodes (BRM) et bayésienne sont les plus efficaces dans le contexte de
faible taille d’échantillon et de forte censure.
La méthode BRM présente l’avantage d’être la plus robuste au choix de la
connaissance a priori.
Seuil de décision :
Rappel
bibliographique
Analyse des
méthodes
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
16
Les essais
accélérésProblématique
Conclusion: Résultats de simulation
Mise en place une méthodologie d’analyse des méthodes,
Un plan de simulation,
Trois lois : Exponentielle(presentée), Weibull, Lognormale(en annexe),
Cinq méthodes d’estimation de fiabilité,
Résultats : méthode BRM(Bayseian Restoration Maximisation) et la méthode
bayésienne donnent de meilleures estimations,
Il est difficile de faire une discrimination de ces deux méthodes,
La méthode BRM est moins sensible(plus robuste) au choix de l’apriori.
Réduire les durées tout en précipitant les défaillancesEssais accélérés
Rappel
bibliographique
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
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Introduction
ProblématiqueAnalyse des
méthodes
Les essais
accélérés
Exemple : Pour une durée de vie distribuée selon une loi Weibull
Rappel
bibliographique
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
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1ere phase : tirage aléatoire des paramètres θ suivant leurs différentes distribution a priori g(θ)
2eme phase : simulations des défaillances manquantes au-delà des censures selon leur loi
conditionnelle sachant les données et les paramètres obtenus précédemment. On obtient ainsi
un échantillon pseudo-complet à chaque niveau de stress.
3eme phase : Calcul de θ maximisant la vraisemblance de l’échantillon complété.
En répétant ces étapes M fois, on obtient (θ1, θ2, …, θM), dont on tire une densité
instrumentale ρ de type noyau gaussien. On obtient les estimateurs de θ par:
Modèle BRM accéléré : Principe
ProblématiqueAnalyse des
méthodes
Les essais
accélérés
Notons θ vecteur des paramètres du modèle que l’on cherche à déterminer
Rappel
bibliographique
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
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Modèle BRM accéléré :
Application roulements à billes
ProblématiqueAnalyse des
méthodes
Les essais
accélérés
Paramètres de simulation
Charge P en daN Paramètre d’échelle en h Paramètre de forme
Conditions nominales 125 1635.86 1.5
Essai niveau 1 150 946.68 1.5
Essai niveau 2 175 596.16 1.5
Les connaissances a priori : Distribution normale
-Le paramètre C : N(400,5)
-Le paramètre v : N(1.5, 0.05)
Rappel
bibliographique
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
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Modèle BRM accéléré :
Application sur roulements à billes
ProblématiqueAnalyse des
méthodes
Les essais
accélérés
Résultat de simulation BRM accéléré, censure 50%, n=10 par niveau de stress
Rappel
bibliographique
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
21
Modèle BRM accéléré :
Application sur roulements à billes
ProblématiqueAnalyse des
méthodes
Les essais
accélérés
Résultat de simulation BRM accéléré, censure 25%, n=10 par niveau de stress
Rappel
bibliographique
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
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Modèle BRM accéléré :
Application sur roulements à billes
ProblématiqueAnalyse des
méthodes
Les essais
accélérés
Résultat de simulation BRM accéléré, censure 50%, n=5 par niveau de stress
Rappel
bibliographique
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
23
ProblématiqueAnalyse des
méthodes
Les essais
accélérés
Essais accélérés avec réparation : Principe
Observation des temps de défaillance successive sur un système caractérisé par une
intensité de défaillance λ (t). Il est immédiatement réparé à l’occurrence d’une défaillance.
Processus de poisson homogène :
λ (t) constant;
Processus de poisson non homogène :
λ (t) fonction de t;
La vraisemblance :
Rappel
bibliographique
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
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ProblématiqueAnalyse des
méthodes
Les essais
accélérés
Essais accélérés avec réparation : Application au roulement à billes
Indice du
matériel
Les temps de défaillance (Ti) et les censures en gras Nombre de
défaillances
1 427. 0 1000 1
2 1000 0
3 518.9 590.8 1000 2
4 525.9 1000 1
5 224.8 1000 1
Indice du
matériel
Les temps de défaillance (Ti) et les censures en gras Nombre de
défaillances
1 244.5 648.1 1000 2
2 397.6 405.9 465.7 1000 3
3 481.1 1000 1
4 803.1 1000 1
5 356.4 372.9 763.2 914.1 930.3 1000 5
-Paramètre de forme estimé : v1= 1.1995 (au lieu de 1.5),
-Paramètre d’échelle estimé : η1= 1.0000e+003 (au lieu de 946.68).
-Paramètre de forme estimé : v2 = 1.5322 (au lieu de 1.5),
-Paramètre d’échelle estimé : η1 = 564.7446 (au lieu de 596.16).
Rappel
bibliographique
Conclusion &
Perspectives
Présentation
des apports
25
ProblématiqueAnalyse des
méthodes
Les essais
accélérés
Essais accélérés avec réparation : Application au roulement à billes
Valeurs asymptotiques obtenus avec 20 matériels et temps de censure
1000h par un modèle paramétrique de durée de vie accélérée :
(β1 = -2.8224 ; β0 = 20.9797 ; v =1.4861 ; η = 1.5743e+003) ,
β1 = -3.7066 ; β0 = 25.4804 ; η = 1.9656e+003.
En moyenne sur 50 simulations pour un échantillon de n=5 matériels à
chaque niveau de stress, date de censure de 1000h nous obtenons :
- β1 = -2.6882 ; β0 = 20.3416 ; η = 1.5753e+003.
une estimation satisfaisante
Estimateurs des paramètres du modèle :
IntroductionNotions de
fiabilité
Les essais en
fiabilité
Méthodologie
d’analyse
Conclusions &
perspectives
Présentation
des apports
26
Limite des méthodes du type fréquentiel les plus fréquemment utilisées
(Maximum de vraisemblance, Bootstrap),
La méthode Stochastic Expectation Maximisation (SEM) permet de remplacer les
censures par des temps de défaillance ce qui améliore l’estimation,
Les méthodes Bayesian Restoration Maximisation (BRM) et la méthode
bayésienne classique donnent de meilleures estimations,
Etude d’un modèle BRM accéléré : une estimation beaucoup plus centrée sur la
valeur théorique; une réponse à la censure,
Etude d’un modèle d’essais accélérés sur matériel réparable: permet d’approcher
de manière satisfaisante les valeurs théoriques avec peu de matériels (ou
prototypes) mis en essai; une réponse au problème de taille d’échantillon.
Conclusion
IntroductionNotions de
fiabilité
Les essais en
fiabilité
Méthodologie
d’analyse
Conclusions &
perspectives
Présentation
des apports
27
Mettre au point un critère d’acceptation dans les différents cas de
distribution des durées de vie prenant en compte un risque qui sera défini
a priori par l’analyste pour une meilleure prise de décision quant à
l’efficacité de chacune des méthodes d’estimation étudiées.
Une étude plus théorique sur les méthodes BRM et bayésienne afin
d’évaluer les avantages et les inconvénients de l’une par rapport à l’autre.
L’étude des deux modèles de durée de vie accélérée présentée en
dernier lieu qui est basé sur un modèle paramétrique peut être étendue à
des modèles à hasard proportionnel et semi-paramétrique.
Perspectives
IntroductionNotions de
fiabilité
Les essais en
fiabilité
Analyse de
l’existant
Analyse par
Simulation
Présentation
des apports
Par rapport à l’existant
L’estimation de la fiabilité dans le cas d’échantillons(n>50) fortement censurés a été
étudiée dans la thèse de Alin Gabriel MIHALACHE, « Modélisation et évaluation de la
fiabilité des systèmes mécatroniques : Application sur système embarqué, 2007 »
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Notre apport à consister à une étude conjointe de cinq différentes méthodes(
fréquentielles, bayésiennes) sur trois lois de fiabilité (les plus usuelles) et ceci dans des
cas de très faible taille d’échantillon (jusqu’à n=3) et fortement censuré.
Des travaux ont été effectués sur des modèles de durée de vie fortement
censurées à l’instar des travaux de Mostafa BACHA, Gilles CELEUX, André LANNOY
(méthode BRM, EM, bayesienne, etc..)
Ce travail a tout d’abord permis de montrer la pertinence de la difficulté d’estimation
de fiabilité dans le contexte de très petits échantillons fortement censurés.
IntroductionNotions de
fiabilité
Les essais en
fiabilité
Analyse de
l’existant
Présentation
des apports
Publication envisagée
Le modèle BRM( Bayesian Restoration Maximisation) de durée de vie
accéléré proposé dans notre travail relève d’une originalité.
Elle pourra faire objet de publication.
29
Analyse par
Simulation
Références
bibliographiques
[1] Fabrice GUERIN, Estimation de la fiabilité par les essais, 2004, HDR, Université d’Angers.
[2] Sorin VOICULESCU, Fiabilité des systèmes embarqués, 2009, Thèse, Université d’Angers.
[3] Ouahiba, TEBBI Estimation des lois de fiabilité en mécanique par les essais accélérés, 2005,
Thèse, Université d’Angers.
[4] Rodrigue SOHOIN, Rapport Bibliographique, Master SDS 2013-2014, Université d’Angers
[5] Bryan Dodson ,Weibull Analysis, Amer Society for Quality, Pap/Dsk edition (December 1994). [6]
Fabrice GUERIN, M. Barreau, A. Charki, A. Todoskoff and S. Cloupet, Reliability of mechanical
components estimation using ALT models, June 2008, Article.
[7] Fabrice Guérin, Bernard Dumon, Pascal Lantieri ; Accelerated Life Testing on Reparaible Systems,
2004, Reliability and Maintainability, 2004 Annual Symposium - RAMS.
[8] Henri procaccia, Eric Ferton, Marc, Fiabilité et maintenance des matériels industriels réparables et
non réparables, Lavoisier, 2011.
[9] Efron, B.(1979). Bootstrap Methods: Another Look At the Jackknife, The Annals of Statistics 7.
[10] J.Diebolt, A Stochastic EM algorithm for approximating the maximum likelihood estimate, 1994,
Technical Report No 301, September 1994, Stanford University.
[11] G.Rouzet, Essais de conformité en fiabilité, les essais tronqués-censurés, RSA 1972.
[12] Alin Gabriel MIHALACHE, Modélisation et évaluation de la fiabilité des systèmes mécatroniques :
Application sur système embarqué, 2007, Thèse, Université d’Angers.
[13] Maurice SCHWOB et Guy PEYRACHE, Traité de fiabilité, 1969, Edition Masson.
[14] Mostafa BACHA, Gilles CELEUX, Bayesian Estimation of Weibull distribution in a highly censored
and small sample setting, Rapport de recherche No 2993, Octobre1996, INRIA.
[15] Henri Procaccia, Introduction à l’analyse probabiliste des risques industriels, Tec & Doc Lavoisier
(17 février 2009)
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Estimation de la fiabilité par les essais dans un contexte de faible taille
d’ échantillon
Soutenance de stage
Master 2 Recherche Systèmes Dynamiques et Signaux (SDS)
Par :
Rodrigue SOHOIN
Encadrement :
M. Fabrice GUERIN
32
Méthodologie
d’analyse :
Paramètres de
simulation
Annexes
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Etude de
l’ a priori
Méthodologie
d’analyse :
Paramètres de
simulation
Annexes
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Méthodologie d’analyse : Méthode de comparaison Weibull(η,β) et Lognormalel(µ,σ)
Affectation de valeurs nulles aux estimateurs (MV) dans ces cas indéfinis.
Comparaisons sur base d’écarts observés sur les représentations graphiques des
estimateurs obtenus sur 100 répétitions de simulation.
Les résultats classent par ordre d’efficacité les méthodes d’estimation dans chacune
des configurations de taux de censure et de taille d’échantillons.
Les deux premiers rangs correspondent aux méthodes les plus recommandés.
Exemple : taille
d’échantillon
n=30 et taux de
censure=50%
Annexes
35
Méthodologie d’analyse : Résultats de simulation
Cas d’une loi de distribution Weibull(η,β)
Paramètre
d’échelle
Annexes
36
Méthodologie d’analyse : Résultats de simulation
Cas d’une loi de distribution Weibull(η,β)
Paramètre
de forme
Annexes
37
Méthodologie d’analyse : Résultats de simulation
Cas d’une loi de distribution Lognormalel(µ,σ)
Moyenne
Annexes
38
Méthodologie d’analyse : Résultats de simulation
Cas d’une loi de distribution Lognormalel(µ,σ)
Ecart-type
Annexes