maschinendynamikjoensson.f2.htw-berlin.de/ps/joen-skript_mdyn.pdfmaschinendynamik seite 3 joensson...

Vorlesungs-Skript

Maschinendynamik

für das 2. Fachsemester

des Masterstudienganges Maschinenbau

mit 4 Stunden Vorlesung pro Woche

© Prof. Dr. Dieter Joensson

HTW Berlin 2016 Fachbereich Ingenieurwissenschaften

Technik und Leben

Inhaltsverzeichnis Maschinendynamik

1. Einleitung 1

Refreshing zur Berechnung von Schwingungssystemen mit 1 Freiheitsgrad:

Skript TM 3 Seite 63 bis 95, mit gesonderten Übungsaufgaben 1

2. Schwingungssysteme mit n Freiheitsgraden 3

2.1 Eigenfrequenz-Berechnung 3

2.2 Abschätzung der untersten Eigenfrequenz 9

2.3 Eigenschwingformen 11

2.4 Erzwungene Schwingungen mit n Freiheitsgraden 17

2.5 Komplexe Berechnung harmonisch erregter Schwingungen 19

2.5.1 Warum komplex? 19

2.5.2 Komplexe Berechnung - Grundlagen 23

2.5.3 Komplexe Beschreibung harmonisch erregter 1-Freiheitsgrad- Schwinger 26

2.5.4 Harmonisch erregte Schwingungen mit n Freiheitsgraden 31

2.5.5 Erregerkräfte mit Phasenverschiebung β 34

3. Modellierung schwingender Maschinen als MKS 39

3.1 Einleitung 39

3.2 MKS-Modellierung von Punktmassen in Maschinen 40

3.3 MKS-Modellierung von Federelementen 43

3.2.1 Echte Federelemente 43

3.2.2 Konstruktiv bedingte Federwirkungen 45

3.4 MKS-Modellierung von Dämpferelementen 49

3.4.1 Echte Dämpferelemente 49

3.4.2 Dämpfung als Nebenwirkung 50

4. Biegeschwingungen elastischer Achsen und Wellen 51

4.1 Biegekritische Drehzahl 51

4.2 Biegekritische Drehzahl ohne Rotormasse 54

4.3 Biegekritische Drehzahl für mehrere Einzelmassen 55

Inhaltsverzeichnis Maschinendynamik

5. Torsionsschwingungen elastischer Achsen und Wellen 56

5.1 Die Torsions-Federkonstante 56

5.2 Torsionskritische Drehzahl 58

5.3 Mehrere Wellenabschnitte 58

5.4 Wenn mehrere Rotormassen tordieren 59

5.5 Torsionsschwingungen in Getrieben 61

6. Dynamische Berechnungen mit Ansys Workbench 63

6.1 Übersicht 63

6.2 Mehrkörperdynamik 64

6.3 Transiente Strukturmechanik 67

6.4 Export MKS zu FEM statisch 68

Mathcad-Übungen ab Seite 72

der vorliegenden Datei Skript_MDyn.pdf

FEM-Übungen ab

Seite 114

Literatur-Emfehlungen zur Maschinendynamik Seite 134

Maschinendynamik Seite 1

Joensson HTW Berlin

© Prof. Dr. Joensson HTW Berlin 2015

M a s c h i n e n d y n a m i k

1. Einleitung

Maschinendynamik bedeutet Anwendung der Dynamik auf Maschinen und

Fahrzeuge. Dabei sind Bewegungsvorgänge mit n Freiheitsgraden typisch.

Im Modul Technische Mechanik des Bachelor-Grundlagenstudiums werden

üblicherweise nur Bewegungsvorgänge mit 1 Freiheitsgrad behandelt.

Typisch für Maschinen und Fahrzeuge ist außerdem, dass bei den meisten

Bewegungsvorgängen Schwingungen auftreten.

Lernziel dieses Moduls:

Berechnung von schwingend beanspruchten Maschinen mit n Freiheits-

graden.

Zum Auftakt:

Refreshing zur Berechnung von Schwingungssystemen mit 1 Freiheitsgrad

als notwendige Voraussetzung für n Freiheitsgrade:

D. Joensson: Vorlesung Technische Mechanik 3. HTW Berlin 2015,

Fachbereich Ingenieurwissenschaften 2. S. 63 – 95


Joensson HTW Berlin Maschinen und Fahrzeuge schwingen oft regellos.

Beispiel: Spannungs-Zeitverlauf der maximalen Biegespannung eines Bauteils

Derartige Schwingungen können mittels Fourieranalyse in harmonische

Anteile zerlegt werden - als Summe sinusförmiger („harmonischer“) Schwin-

gungen:

Null Hertz „Frequenz" = Statische Ruhelage

Grundschwingung mit Frequenz f 1

1. Oberschwingung mit Frequenz f 2

usw.

bzw. rationell zusammengefasst im „Amplituden-Frequenzgang“

Jede regellose Schwingung kann demzufolge als Summe harmonischer

Schwingungen interpretiert werden.

f [Hz]

ˆ

1ˆ

f1 f2 f3 f4

t

m

t

1

t

ˆ 2ˆ

+ +

t

m

(t)


Joensson HTW Berlin

2. Schwingungssysteme mit n Freiheitsgraden

2.1 Eigenfrequenz-Berechnung

n Freiheitsgrade n Eigenfrequenzen

Die 1 Schwingungs-Differenzialgleichung 0m q k q

des 1-Freiheitsgrad-Systems

mit q als generalisierter Koordinate

wird jetzt

zu einem Differenzialgleichungs-System mit n Gleichungen:

0M q K q z.B. für

mit M Massenmatrix, K Steifigkeitsmatrix,

q Vektor der Beschleunigungen für n generalisierte Koordinaten

1q bis nq q Vektor der Auslenkungen

0 Nullvektor als rechte Seite

d.h.

q1

q2

q3

m

k

q

=M + K

Dieses Gleichungssystem enthält n Differenzialgleichungen.


Joensson HTW Berlin Um die 1 Eigenfrequenz des 1-Freiheitsgrad-Systems zu berechnen, kann

der Euler-Ansatz verwendet werden:

( ) tq t K e

Im Sonderfall einer statischen Anfangsauslenkung (ohne Anfangs-

Geschwindigkeit)

genügt statt dessen der Ansatz

ˆ( ) cos ( )q t q t

mit Amplitude q = statische

Anfangsauslenkung oq

Dieser Ansatz wird nach t abgeleitet:

ˆ( ) sin ( )q t q t

2 ˆ( ) cos ( )q t q t

und in die Differenzialgleichung 0m q k q eingesetzt:

2 ˆ ˆ[ cos ( )] cos ( ) 0m q t k q t

ˆ cos ( )q t kann ausgeklammert werden,

also 2 0m k

bzw. k

m

Daraus folgt die gesuchte Eigenfrequenz 1

2

kf

m

Nur der positive Wert der Eigenfrequenz ist physikalisch sinnvoll.

oq

t

q

( )q t


Joensson HTW Berlin

Bei n Freiheitsgraden und statischer Anfangsauslenkung wird der Cosinus-

Ansatz auf alle generalisierten Koordinaten angewendet:

1 1( ) cos ( )q t q t

2 2ˆ( ) cos ( )q t q t

ˆ( ) cos ( )n nq t q t

d.h. alle Freiheitsgrade schwingen jeweils mit der gleichen Frequenz (z.B.

mit I ), aber mit unterschiedlichen Amplituden 1q bis ˆnq .

Jede Zeile wird zweimal nach t abgeleitet. Ergebnis:

21 1( ) cos ( )q t q t

22 2ˆ( ) cos ( )q t q t

2 ˆ( ) cos ( )n nq t q t

Der Ansatz und seine 2. Ableitung lauten in Matrix-Schreibweise:

ˆ( ) cos ( )q t q t

bzw. ausführlicher geschrieben

1 1

2 2

ˆ( )

ˆ( )cos ( )

ˆ( )n n

q t q

q t qt

q t q

und

2 ˆ( ) cos ( )q t q t bzw.

1 1

2 22

ˆ( )

ˆ( )cos ( )

ˆ( )n n

q t q

q t qt

q t q


Joensson HTW Berlin Einsetzen von q und q in das Diff.gleichungssystem 0M q K q

liefert 2 ˆ ˆ[ cos ( )] cos ( ) 0 M q t K q t

Hier kann nur cos ( )t ausgeklammert werden.

Damit entsteht:

2 ˆ 0K M q

„Spektralmatrix“ S Vektor der Amplituden

1 2ˆ ˆ ˆ ˆ( )Tnq q q q

sowie Nullvektor 0 als rechte Seite,

also ein algebraisches Gleichungssystem ohne Differenziale

Die gesuchten Eigenkreisfrequenzen 1 bis n sind aus der Determinante

der Koeffizienten-Matrix berechenbar, indem det S zu Null gesetzt wird:

det 0S jetzt mit „skalarer“ Null

Aus dieser Bedingung folgt ein Polynom n-ten Grades für den so genannten

Eigenwert 2 („Spezielles Eigenwertproblem“ der Mathematik):

1 2 0n n na b

Die Nullstellen dieses Polynoms sind die Quadrate der gesuchten Eigenkreis-

frequenzen: 21 1 , 2

2 2 …. 2n n

und daraus wiederum folgen die Eigenfrequenzen mit / 2i if in Hz.

=S

mit n Gleichungen.


Joensson HTW Berlin Beispiel Aufgabe M4 ( n = 2 Freiheitsgrade )

Gleichung (1) 2 2 2 2 2 1m x k x k x = 0

(2) 1 1 1 2 1 2 2m x (k k ) x k x = 0

Umformung in Matrix-Schreibweise:

1.) Jede Zeile so schreiben, dass alle Unbekannten (hier 1x bis 2x ) enthal-

ten sind. Die Reihenfolge ist dabei frei wählbar! z. B. 1 2 1 2x x x x

Zuerst Gl. (2), weil hier der Faktor vor 1x ungleich Null ist:

1 1 12 2 1 2 2m x (k k ) x k x = 00 x (2a)

1 2 2 2 1 2 20 x m x k x k x = 0 (1a)

2.) Koeffizienten-Matrizen mal Unbekannten-Vektoren 1

2

x

x

und 1

2

x

x

:

1 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2

m 0 x k k k x

0 m x k k x

0

0

M x + K x = 0

Diese Umformung der Gleichungen 2a und 1a in Matrix-Schreibweise

entspricht dem Falkschen Schema (nach Sigurd Falk 1951):

x

y

Zeile mal Spalte

a x b ya b x a b

c x d yc d y c d

z.B. 1 1

2 2

m 0 x

0 m x

1 1 2m x 0 x

1 2 20 x m x


Joensson HTW Berlin Weiter mit M4:

Die Matrix-Schreibweise zeigt, dass auch hier wie auf S. 2 gilt:

0M q K q

Die beiden Eigenfrequenzen folgen somit aus

det S = 0

mit S = K M 1 2 2

22

1

2

m 0

0 m

k k k

k k

als Überlagerung der beiden Matrizen K und M mit 2 :

det S = 1 12

22 2 2k mk kk m = 0

…


Joensson HTW Berlin

2.2 Abschätzung der untersten Eigenfrequenz

Ohne großen Aufwand kann diese Frequenz (der Grundschwingung) für n

Freiheitsgrade nach der Formel von Dunkerley abgeschätzt werden:

2

1 2

1

1

1

n

ii

= 2D

Mit 1 : tatsächlich vorhandene unterste Eigenkreisfrequenz

D : nach Dunkerley geschätzte unterste Eigenkreisfrequenz

i : simulierte Eigenkreisfrequenz eines Freiheitsgrades i , bei dem

nur jeweils 1 Masse bzw. nur 1 Massenträgheitsmoment

gelten soll.

Alle anderen Massen werden künstlich zu Null gesetzt.

Beispiel:

1 : 1m = 0 setzen

Reihenschaltung 1k und 3k

sowie Rotationsträgheit AJ

des Stabes der Masse 2m

2 :

2m = 0 setzen

Der Stab ist masselos mit

AJ = 0, wirkt aber als starrer

Hebel.

1m 2k

1k

3k

2k

1k

3k

1m

2k

2m 1k

3k


Joensson HTW Berlin Abschätzung nach Neuber

Ähnlich Werte entstehen für i , wenn jeweils nur 1 Feder elastisch an-

genommen wird und alle anderen Federn starr idealisiert werden.

Dann i in die gleiche Formel wie bei Dunkerley einsetzen.

Beispiel:

nach Dunkerley:

1 2/ gesk m

mit 1 2

1 2

gesk k

kk k

(in Reihe)

2 1 1/ k m

nach Neuber: 1 1 1 2/ ( ) k m m

Feder 1k elastisch

2 2 2/ k m starre Feder 1k

Sowohl für Dunkerley als auch für Neuber

gilt dann die gleiche Formel für 1 : 2

1

2 21 2

11 1

Vorteil der Dunkerley- (und Neuber-) Formel:

Mit geringem Aufwand kann geprüft werden,

ob Computerergebnisse plausibel sind, falls Modellierungsfehler ver-

mutet werden

ob die unterste Eigenkreisfrequenz u deutlich größer ist als die obers-

te Erreger-Kreisfrequenz o (wenn ja, sind erzwungene Schwingun-

gen unkritisch „starre Maschine“ (Richtwert dafür: 3 u o ).

1m 2k 2m

1k 1m 2m

1k 1m

1k 2k 2m

1k 1m

2k 2m


Joensson HTW Berlin

2.3 Eigenschwingformen

Bei 1 Freiheitsgrad gibt es nur 1 „Schwingform“

z.B.

oder

Bei n Freiheitsgraden gehört zu jeder Eigenfrequenz 1 spezielle Schwing-

form, z.B.

für 2 Freiheitsgrade

für 3 Freiheitsgrade

Grundschwingung

mit Frequenz 1f

1. Oberschwingung

mit Frequenz 2f

2. Oberschwingung

mit Frequenz 3f

Bei jeder nächst höheren Eigenfrequenz entsteht 1 weiterer Schwingungs-

knoten als Nulldurchgang.

xx


Joensson HTW Berlin

Beispiel: Balken als Kontinuum mit ∞ vielen Freiheitsgraden

z.B. mit

1f = 83,4 Hz

2f = 139,3 Hz

3f = 192,1 Hz

4f = 248,7 Hz

Bei ∞ vielen Freiheitsgraden gibt es ∞ viele Schwingungsknoten:

Höchste Eigenfrequenz

f = ∞ Hz

Für technische Belange sind vorrangig die untersten (niedrigsten) Eigen-

frequenzen von Interesse.

Sie haben

die größten Auslenkungen

und Frequenzwerte, die von technischen Apparaten in Resonanz

dauerhaft angeregt werden können.


Joensson HTW Berlin Aussagewert der Eigenschwingformen:

Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche sind erkennbar.

1.) Wenn Erregerkräfte auf Schwingungsknoten einwirken, haben sie

keine Resonanzwirkung (auch nicht bei Resonanz).

2.) Konstruktive Veränderungen durch Masse-Zugabe oder Versteifung

der Struktur durch zusätzliche Federn sind an Schwingungsbäuchen

am wirkungsvollsten.

Allgemein gilt: Masse-Zugabe an 1 Stelle führt zur Absenkung aller

Eigenfrequenzen,

Feder-Zugabe zur Anhebung aller Eigenfrequenzen.

Trotzdem ist eine gezielte Einflussnahme auf einzelne Eigenfrequenzen

möglich, z.B.:

Grundschwingung

mit 1f

1. Oberschwingung

mit 2f

Masse-Zugabe am Punkt C führt hier zur Absenkung der Grundschwingung.

Die 1. Oberschwingung wird davon deutlich weniger beeinflusst.

Masse-Zugabe am Punkt D jedoch senkt gleichermaßen beide Eigen-

frequenzen ab.

DB

C

A

C


Joensson HTW Berlin Berechnung der Eigenschwingform Nr. i :

Zuerst die i - te Eigenkreisfrequenz ii berechnen ( aus det S = 0 ).

Dann diesen Wert i in das algebraische Gleichungssystem von S. 5

einsetzen:

2 ˆ 0K M q

Damit sind die Amplitudenwerte ˆ iiq der i - ten Eigenfrequenz ermittelbar:

2 ˆ 0 ii iiK M q

Die Werte ˆ iiq beschreiben die gesuchte Schwingform Nr. i.

Beispiel Aufgabe M4

Für die 1. Eigenfrequenz gilt: 1i = 21i

Damit lautet das zugehörige Gleichungssystem mit der Spektralmatrix S von S. 7:

i1 2 1 1 2 11

2 212 1 2i

k k m k x 0

k x 0k m

21 iK M 1ˆ iq = 0

↑ Frequenz Nr. 1 ↑

Oder kürzer geschrieben:

11 12 11

21 22 21

a a x 0

a a x 0

bzw. ausmultipliziert

11 11 12 21a x a x 0

21 11 22 21a x a x 0

(1)

(2)

Der zweite Index bei 11x und 21x kennzeichnet nur die Frequenz-Nummer.


Joensson HTW Berlin (1) und (2) sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten 11x und 21x .

! Aber:

Trotzdem NICHT lösbar, weil das Gleichungssystem „homogen“ ist

(rechte Seite = 0).

Zum Beispiel folgt hier aus Gleichung (1):

11 11 12 21a x a x

1211 21

11

ax x

a (1a)

Einsetzen in (2) liefert:

1221 21 22 21

11

aa x a x 0

a

also 21 1222 21

11

a aa x 0

a

bzw. 21x 0

und einsetzen in (1a): 11x 0

Fazit:

Die Amplituden ˆ iiq von Eigenschwingformen in mm oder in Winkel-

grad sind prinzipiell NICHT berechenbar !

Berechenbar sind nur Schwingformen als dimensionslose Zahlenwerte

(NORMIERTE Amplitudenwerte iq ),

z.B. 11

max

ˆˆ

ˆ

xx

x bezogen auf irgendeine Amplitude maxx .


Joensson HTW Berlin Zum Beispiel:

Gleichung (1) und (2) auf S. 13 jeweils durch 11x dividiert liefert:

11 2111 12

11 11

x xa a 0

x x

11 2121 22

11 11

x xa a 0

x x

bzw.

11 12 21a a x 0 (1b)

21 22 21a a x 0 (2b)

Der normierte Amplitudenwert 21x (auf 11x bezogen) kann jetzt z.B. aus

(1b) ermittelt werden:

1121

12

ax

a

Ergebnis ist eine dimensionslose Zahl, z.B. 0.5631.

Exakt dieselbe Zahl entsteht, wenn 21x aus Gleichung (2b) berechnet wird:

2121

22

ax

a

Im Unterschied dazu hat die „Amplitude“ 11x den Wert 1,0 : 1111

11

xx

x

Zusammenfassung Schwingformen:

Die „Amplituden“ jeglicher Schwingformen sind nur dimensionslose Zahlen!

Es handelt sich stets nur um normierte Werte.

Dies sind keine wirklichen Auslenkungen (in Millimeter oder in Winkelgrad

bei Verdrehungen), sondern nur mögliche Auslenkungsformen, wenn das

Schwingungssystem zu Schwingungen angeregt werden würde.


Joensson HTW Berlin

2.4 Erzwungene Schwingungen mit n Freiheitsgraden

Je Eigenfrequenz entsteht 1 Resonanz

Vergrößerungsfunktion mit n Gipfeln.

Zum Beispiel entsteht bei harmonischer Krafterregung:

mit o1 : Eigenkreisfrequenz der Grundschwingung ohne Dämpfung.

V ist die so genannte Resonanzkurve.

Daraus wird der „Amplituden-Frequenzgang“ errx f , wenn als Ordinate

die Amplitude statx x V und als Abszisse die Erregerfrequenz

err o1f f verwendet wird.

Bei n Freiheitsgraden entsteht ein solcher Amplituden-Frequenzgang für

jeden Freiheitsgrad als „Schwingungsantwort“.

Jeder Freiheitsgrad hat seine eigene n-gipflige Resonanzkurve!

Beispiel:

i iˆF t F sin t

Harmonische Kraft-

erregung am Punkt i

Ges::

Schwingungsantwort

am Punkt j

j

i z

y

x

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

mit Dämpfung D > 0

Vk

0 0

err

o1 o1

2 f

2 f

ohne Dämpfung D = 0

D = 0

D = 0


Joensson HTW Berlin An jedem Punkt der Struktur (auch bei j ) gibt es für die Verschiebungen 3

verschiedene Resonanzkurven entsprechend den Freiheitsgraden x , y ,v v zv .

z.B.

Schwingungsantwort y jv ( horizontale Verschiebung des Punktes j )

Der Anfangswert der Schwingungsantwort bei errf 0 Hz (hier etwa

8 mm) ist die statische Auslenkung y j statv infolge der Amplitude iF als

statischer Last.

Für die x-Auslenkung am Punkt j entsteht eine Resonanzkurve mit anderen

Gipfelwerten bei den gleichen (Eigen-) Frequenzwerten:

usw.

Weiteres Beispiel: Mcad-M4-St

(Aufgabe M4 mit harmonischer Stützenerregung).

Die kürzeste Lösung wird mit komplexer Matrizenberechnung erreicht.

5 10 15 20

10

20

30

25 ferr [Hz]

x jv [mm]

x j errv f

0 0

5 10 15 20

10

20

30

25

y jv [mm]

ferr [Hz] 0

0

Amplituden-Frequenzgang y j errv f


Joensson HTW Berlin

2.5 Komplexe Berechnung harmonisch erregter Schwingungen

2.5.1 Warum komplex?

Jede harmonische Erregung

ˆQ t Q sin t

mit Q = Amplitude der Erregerfunktion Q t

= Erregerkreisfrequenz = err2 f und errf = 1 / T

erzeugt je Freiheitsgrad im stationären (eingeschwungenen) Zustand stets

eine phasenverschobene Schwingungsantwort mit gleicher Frequenz :

Nˆq t q sin t

mit q = Amplitude der Schwingungsantwort q t

N = Nacheilwinkel

der Schwingungsantwort in Relation zur Erregung.

Die Nacheilzeit beträgt: N Nt /

In Abhängigkeit von der Erregerfrequenz errf sind somit zwei Größen der

Schwingungsantwort zu berechnen:

errq f Amplituden-Frequenzgang

und N errf Phasen-Frequenzgang

Beide Größen sind gleichzeitig berechenbar, wenn eine komplexe Herleitung

verwendet wird kürzester Lösungsweg für derartige Aufgaben.

q

t T

q(t) q

tn

Q

t T

Q(t)Q


Joensson HTW Berlin Der Phasen-Frequenzgang bei 1 Freiheitsgrad

Bisher wurde nur der Amplituden-Frequenzgang für 1 Freiheitsgrad in

folgender Form behandelt:

statq ,D q V ,D

Daraus wird der „echte“ Amplituden-Frequenzgang, wenn die Achsen neu

beschriftet werden: Ordinate: statx x V an Stelle von V

Abzisse: err of f an Stelle von

Also

Für den Nacheilwinkel gilt z.B. bei Krafterregung mit 1 Freiheitsgrad:

N 2

2D,D arctan

1

bzw. N errf ,D als Phasen-Frequenzgang

geschrieben wegen err of / f

Der Nacheilwinkel wird auch Phasenwinkel genannt. Er hat den Wert Null

bei 0 und kann bei 1 Freiheitsgrad maximal 180 ° betragen.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1x

5 4 3 2 1

x(ferr)

1ferr

0 0

1 2 3

1

2

kV

kV ( ,D 0.2)

0 0

Beispiel für harmonische Krafterregung mit D = 20% d

Amplituden-Frequenzgang

für D = 20 %

err

o1 o1

2 f

2 f

err of in Hz f

x mm


Joensson HTW Berlin Wie der Nacheilwinkel vom Tempo der Erregung abhängig ist, soll im

Folgenden demonstriert werden.

Allgemein gilt: errf = 1 / T bzw. err2 f 2 / T

Langsame Erregung o : ( 1 )

N Nt

N 0

oN 0

Resonanz-Erregung o : ( 1 )

N Nt

N2

T 2

T

4

oN 90

Sehr schnelle Erregung o : ( 1 )

N Nt

N2

T

T

2

oN 180

t

Q , q

NT

t2

Q(t) q(t)

t

Q , q

NT

t4

Q(t)

q(t)

T

t

Q , q

Nt 0

Q(t)q(t)


Joensson HTW Berlin bzw. für alle möglichen -Werte dargestellt als Phasen-Frequenzgang:

Wird ein bestimmtes Erregertempo vorgegeben, z.B. err 1f 2 Hz wie auf

S. 20, dann schwingt das System mit einer bestimmten Amplitude 1x und

einem bestimmten Nacheilwinkel N 1 .

Wird das Abstimmungsverhältnis bzw. die Frequenz errf geändert, ändern

sich gleichzeitig beide Werte.

Siehe auch H-St1an Harmonische Stützenerregung mit 1 Freiheitsgrad

animiert, als pdf-Datei

oder

als AVI-Datei

Weitere Beispiele zu Frequenz- und Phasengängen sind in der pdf-Datei

Harm-Err-1

enthalten, sowohl reell als auch komplex berechnet.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,5 0°

90°

180°

1,5 2,5 1 2

f0

0

N D = 0

D = 0,5

D = 0,2

0

o

err

o

f in Hz

f


Joensson HTW Berlin 2.5.2 Komplexe Berechnung - Grundlagen

Für komplexe Größen sind verschiedene Schreibweisen üblich: x x x x

.

In den vorliegenden Mathcad-Übungen wird ein seitlicher Unterstrich

für komplexe Größen verwendet.

Jede komplexe Größe hat zwei Bestandteile

und ist in der Gaußschen Zahlenebene als Punkt darstellbar:

oder

xr = Re (x_ ) Realteil

xi = Im (x_ ) Imaginärteil

xr und xi sind beides relle Größen (Koordinaten des Punktes im Koordinatensystem Im-Re)

xb = Betrag von x_

(Abstand zwischen Nullpunkt und x_ )

α = Winkel

(von Re nach Im drehend positiv definiert)

x _ xr i xi

x _ xb cos i sin

kartesische Schreibweise für x_ trigonometrische Schreibweise („Polarform“)

jeweils mit i = 1

Fazit:

Jede komplexe Größe kann entweder

mit Realteil und Imaginärteil oder

mit Betrag und Winkel eindeutig beschrieben werden.

00

Im

Re

xi x

xb

0 0

Im

Re xr

xi x


Joensson HTW Berlin Betrag und Winkel sind auch aus xr und xi berechenbar:

2 2xb xr xi

xi Gegenkathete

arctanxr Ankathete

Insbesondere die Polarform kann kürzer geschrieben werden mit der Euler-schen Formel: icos i sin e

Damit entsteht ix _ xb e in exponentieller Schreibweise

Diese Schreibweise der Polarform von x_ ist für harmonische Schwingun-

gen bestens geeignet.

Damit kann die Lage von x_ in der Gaußschen Zahlenebene als Kreisbahn-

Funktion von α interpretiert werden (mit Radius = Betrag): 2

Die Projektion der Kreisbahn x_( α)

auf die Im-Achse liefert eine perfekte

Sinusfunktion,

die Projektion auf die Re-Achse liefert

eine perfekte Cosinusfunktion,

siehe Mcad-e-Funktionen Seite 2ff.

Re

in Radiant

0

2

2

( )xr

3

2

Im

Re

_( )x

Im

in Radiant

00 2

( )xi


Joensson HTW Berlin Auf S.3 der pdf-Datei Mcad-e-Funktionen wird eine Phasenverschiebung

demonstriert,

d.h. der Anfangswert der Sinus- und Cosinusfunktion beginnt bei einem

Winkel .

Dieser Winkel ist im Unterschied zum variablen Winkel α fest stehend.

S.4 der pdf-Datei:

Bei harmonischen Zeitfunktionen tritt an die Stelle des Winkels α das

Produkt t

mit konstanter Kreisfrequenz und variabler Zeit t.

Des Weiteren wude hier der Anfangswinkel negativ gesetzt – im Sinne

der erzwungenen Schwingungen ein „Nacheilwinkel“.

Damit entsteht

Ni tx _ t b e

mit Amplitude b der harmon. Schwingung xi(t) oder xr(t)

und Phasenwinkel N als Nacheilwinkel

(Winkel-Anfangswert bei t = 0)

Die „Nacheilzeit“ am Anfang folgt aus N Nt


Joensson HTW Berlin 2.5.3 Komplexe Beschreibung harmonisch erregter 1-Freiheitsgrad-

Schwinger

Die phasenverschobene Schwingungsantwort von S. 19

Nˆq t q sin t

kann als imaginärer Anteil einer übergeordneten komplexen Schwingungs-

antwort q_(t) interpretiert werden:

q t Im q _ t

mit Ni tˆq _ t q e

bzw. als Produkt geschrieben:

Ni i tˆq _ t q e e

↑ zeitabhängig (Sinus-Cosinus)

zeitunabhängige komplexe Amplitude q _ d.h.

diese „Amplitude“ enthält genau die beiden interessanten reellen Größen q und N :

Niˆ ˆq _ q e

Wenn q _ bekannt ist, kann daraus sofort berechnet werden:

q = q _ Betrag der komplexen Größe

N = - arg q _ Argument

Lösungsweg für q _ :

Ni i tˆq _ t q e e einsetzen in die Schwingungs-Differenzial-

gleichung, dann i te kürzen und q _ ermitteln.


Joensson HTW Berlin Beispiel: Harmonische Krafterregung

↑ : m x b x k x F t 0

Weil jetzt nicht nur die Amplitude x der stationären Schwingungsantwort

ermittelt werden soll, sondern gleichermaßen auch der Nacheilwinkel N ,

wird eine komplexe Auslenkung x _ t als partikuläre Lösung angesetzt, die

beide gesuchten Größen enthält:

Lösungsansatz i tˆx _ t x _ e für den eingeschwungenen

Zustand

Die Zeitableitungen dazu lauten:

i tˆx _ t x _ ei

2 t2 iˆx _ t x ei_

= -1

Die oben ermittelte Bewegungsgleichung wird komplex erweitert geschrie-

ben:

m x _ b x _ k x _ F_ t

mit i tˆF_ t F e

ohne ! Phasenverschiebung, siehe S. 19

und F : Amplitude der Krafterregung [in N]

F(t)

x

k xb x

m x

F(t)

m

k b


Joensson HTW Berlin

Einsetzen x _ t bis x _ t in die komplexe Differenzialgleichung liefert:

i t i t i t i t2 ˆˆ ˆ ˆm x _ b i x _ k x _ Fe e e e

Der Faktor i te kann gekürzt werden:

2 ˆˆ ˆ ˆm x _ i b x _ k x _ F

bzw. 2 ˆˆk m i b x _ F

dynk _ : dynamische Federkonstante (komplex)

Oder kürzer geschrieben:

dynˆˆk _ x _ F (1)

analog zu ˆˆk x F mit der statischen (reellen) Federkonstante k .

Umstellen nach x _ liefert: dyn

1 ˆx _ Fk _

bzw. ˆx _ n _ F (2)

mit 2

1n _ n _

k m i b

(3)

komplexe Nachgiebigkeit in m/N

als Kehrwert

der dynamischen Federsteifigkeit in N/m

Weil n_ von abhängt, ist auch x _ eine Funktion der Erregerfrequenz

errf / 2 .


Joensson HTW Berlin

Aus x _ folgt mit err2 f :

errˆ ˆx f x _ Amplituden-Frequenzgang reell

N err ˆf arg x _ Phasen- Frequenzgang reell, siehe S.26

Umrechnung des Produktes ˆn _ F der Gleichung (2) von Seite 29 in

„Vergrößerungsfunktion mal statx “ :

Mit statF k x für die Krafterregung entsteht aus ˆx _ n _ F :

stat2

kx _ x

k m i b

komplexe Vergrößerungsfunktion V_

Also entspricht ˆx _ n _ F der Gleichung statx _ V _ x

mit 2

1V _

m b1 i

k k

Dabei gilt

2o

m

k

1

und o

2D k m m 12D 2D

k

b

k k

siehe b im Refreshing TM 3 Seite 76.

o ist die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz.

Damit kann der Quotient o/ genutzt werden und führt dann auf

2

1V _ ,D

1 i 2D

Siehe pdf-Datei Harm-Err-1, HK-1, S.2. (Dort mit j statt mit i geschrieben).


Joensson HTW Berlin Mit dieser komplexen Funktion V_ sind nun die reellen Funktionen ermit-

telbar:

V ,D V _ ,D

N ,D arg V _ ,D negativ wegen Nacheilung

Analytische Berechnung der reellen Werte:

Zunächst Realteil und Imaginärteil von V_ berechnen:

Vi = Im (V_)

Vr = Re (V_)

Daraus Betrag und Winkel ermitteln:

2 2V Vr Vi

NVi

arctanVr

Damit Vi und Vr berechnet werden können, ist die kartesische Schreibweise

für V_ anzuwenden:

V _ Vr i Vi

Dazu muss allerdings der vorliegende Formelausdruck für V _ ,D

konjugiert komplex erweitert werden:

2

2

2

1 i 2D

1 i

1V _ ,D

1 i 2D 2D

usw.


Joensson HTW Berlin 2.5.4 Harmonisch erregte Schwingungen mit n Freiheitsgraden

Für 1 Freiheitsgrad gilt

12 ˆx _ k m i b F_

↑ ↑ Antwort- komplexe Amplitude der Amplitude, Nachgiebigkeit dynamischen Last komplex n_ (komplex, mit des Schwingungs- Sonderfall reell) systems Daraus wird für n Freiheitsgrade:

12 ˆx _ K M i D f _

↑ ↑ Vektor komplexe Vektor der

der Antwort- Amplitude, komplex

Nachgiebigkeits- matrix

N _

Last-Amplituden, komplex („Kraftvektor“)

mit

K Steifigkeitsmatrix

M Massenmatrix jeweils reell

D Dämpfungsmatrix

Die Matrix N_ heißt mitunter auch „Frequenzgangmatrix“ H (z.B. bei Irretier, Band 2, S. 96).

Die Matrix-Formel kürzer geschrieben lautet:

ˆx _ N _ f _

Daraus folgen je Freiheitsgrad k = 1, 2, … n die reellen Einzelwerte:


Joensson HTW Berlin

k kˆ ˆx x _ Betrag des k-ten Wertes des Vektors x _

N k kˆarg x _ Nacheilwinkel

Je Freiheitsgrad k entsteht so jeweils 1 Funktion k errx f als Amplitu-

den-Frequenzgang und 1 Funktion N k errf als Phasen-Frequenzgang.

Siehe z.B. Mcad-M4-St, S. 3 (dort sind nur die Amplituden-

Frequenzgänge dargestellt).

Die Matrix N_ ist für alle Erregungsarten gleich bleibend!

(auch für transiente Erregung).

Nur der Kraftvektor f _ der Erreger-Amplituden ist abhängig von der Erre-

gerart:

Krafterregung: 1

2

n

F

Ff _

F

nur reelle Werte, d.h. f _ = f

Alle Kräfte wirken mit gleichem

Erregertempo

Unwuchterregung: Wie Krafterregung.

Je Freiheitsgrad k gilt 2k u u k

F m r

mit Unwucht u um r und gleiche Drehzahl

kn / 2 für alle Unwuchten

Stützenerregung:

1F _

0f _

0

mit 1 1 1 1ˆ ˆF _ s k i b

d.h. an 1 Freiheitsgrad wird eine

Weg-Amplitude 1s eingeleitet,

die wegen des Dämpfers zu einer phasenverschobenen Dämpferkraft führt.


Joensson HTW Berlin Nacheilwinkel N aus arctan-Formel

erfordert 4 Fallunterscheidungen.

Die Formel für die Handrechnung lautet:

N kIm

arctanRe

mit Im = Im (x_ )

und Re = Re (x_ )

Der Arkustangens ist nur definiert für = - 90° bis + 90°, also für den

1. und 4. Quadranten:

xi = Im ( x_ )

xr = Re ( x_ )

1.Q: Im

Re

2.Q: Im

Re

3.Q: Im

Re

4.Q: Im

Re

jeweils 180° addieren!

Beispiel: 1x _ 21 20 i

liefert N 120

arctan21

3. Quadrant 20

21

43,6 180 = - 223,6 °

Weil hier der Nacheilwinkel negativ ist, gilt auch

N 1 136,4 Grad ( - 223,6 ° + 360 ° )

Weiteres Beispiel:

2x _ 13 400 i liefert N 2 88,1 bzw.

1. Quadrant 20

21

N 2 271,9 Grad

Fazit: Nur wenn der Realteil Re negativ ist, müssen 180 ° addiert werden.

Im

Re

xi

xr

1.Quartal 2.Q

3.Q 4.Q

_x

1. Quadrant


Joensson HTW Berlin 2.5.5 Erregerkräfte mit Phasenverschiebung

2.5.5.1 Kraftgleichung für die Erreger-Amplitude In Aufgabe N4 Nr. 3 wird ein einfacher Sonderfall behandelt:

2 180 vorauseilend

1 0

Für beliebige Winkel gilt:

err errˆF t F sin t

mit errF Erregerkraft-Amplitude

und „Vorauseilwinkel“

z.B. für

bzw. in komplexer Schreibweise wie auf S. 26:

i terr err

ˆF _ t F e

= i i terrF e e

komplexe Erregerkraft- Amplitude, zeit-unabhängig

kennzeichnet die sinusförmige Zeitabhängigkeit

↓

err errˆ ˆF _ F cos i sin

2 = 40°

n

n

2um

1um

Start- position


Joensson HTW Berlin 2.5.5.2 Kraft- und Unwuchterregung In Erweiterung zu S. 32 gilt für 0 :

1

2

n

F _

F _f _

F _

Jetzt sind auch die Einzelwerte komplex

mit k kˆ ˆF _ F cos i sin für k = 1 … n Freiheits-

grade

wobei speziell für Unwucht gilt:

2k u k u u k

ˆ ˆF F m r

Beispiel: Aufgabe N4, Nr. 3

mit Unwucht-Kraft-Amplitude uF (444 N)

Zunächst u 1F ohne Phasenverschiebung ( 1 0 ):

u1 uˆ ˆF _ F cos0 i sin 0

1 0

uF reell

Dann u 2F mit 2 180 :

u2 uˆ ˆF _ F cos 180 i sin 180

- 1 0

uF ebenfalls reell


Joensson HTW Berlin 2.5.5.3 Stützenerregung a) Zunächst ohne Erreger-Phasenwinkel

Bei Stützenerregung s(t) mit Feder-Dämpfer-Einleitung besteht die Erreger-

kraft aus zwei Kräften:

errF t k s b s

Federkraft Dämpferkraft

mit ˆs t s sin t

Also

err ˆ ˆF t k s sin t b s cos t

s t

bzw. wegen

cos t sin t2

↑ „vorauseilend“

entsteht

err ˆF t s k sin t b sin t2

d.h. die Dämpferkraft ist gegenüber der Federkraft um 90 ° vorauseilend

phasenverschoben.

Komplex geschrieben:

i t i t i /2err ˆF _ t s k e b e e

bzw. i /2 i terr ˆF _ t s k b e e

komplexe Amplitude errF _

m

k b

s(t)


Joensson HTW Berlin

Mit dem speziellen Wert i /2e i siehe z.B. Papula Formel-

sammlung 6. Auflage, S. 219

entsteht

errˆ ˆF _ s k i b siehe S. 32 unten.

Das heißt, die Erregerkraft-Amplitude bei Stützenerregung ist bereits kom-

plex ohne zusätzlichen Nacheilwinkel - wegen der um 90 ° phasenver-

schobenen Dämpferkraft.

b) Phasenverschobene Stützenerregung 0

Bei Fahrzeugen typisch:

Vorderachse mit 0 und Hinterachse mit 0 .

Auch hier gilt wie auf S. 34:

err errˆ ˆF _ F cos i sin

jetzt aber mit komplexem Anteil errF _ , also

err errˆ ˆF _ F _ cos i sin

bzw. errˆ ˆF _ s k i b cos i sin

oder nur kürzer geschrieben:

ierr

ˆ ˆF _ s k i b e


Joensson HTW Berlin Damit entsteht in Erweiterung zu S. 32 für mehrachsige Stützenerregung:

1

2

n

F _

F _f _

F _

für 0

0

Beispiel:

Ein Pkw mit Achsabstand ℓ fährt mit

Geschwindigkeit v über Bodenwellen

der Wellenlänge w.

Ges.: Phasenwinkel der Hinterachsen-

Stützenerregung

Lösung:

Die Hinterachse erhält ihre Anregung um eine Zeitspanne Nt später als die

Vorderachse: Nt / v (Nacheilzeit)

Daraus folgt der Nacheilwinkel N Nt gemäß S. 19

mit der Erregerkreisfrequenz err2 f

Bei rollenden Fahrzeugen gilt speziell errf v / w

Der Phasenwinkel der Hinterachse ist demzufolge:

N v

2w v

ist vorauseilend definiert, deshalb negativ zu N .

Also 2w

in Radiant

Zahlenbeispiel:

v = 50 km/h w = 1,2 m Radstand ℓ = 2,7 m.

Ges.: errf in Hz und Phasenwinkel der Hinterachse in Grad

w

v


Joensson HTW Berlin

3. Modellierung schwingender Maschinen als MKS

3.1 Einleitung

Für erste Berechnungen möglichst wenige Freiheitsgrade modellieren.

Beispiel: Starre Maschine auf elastischem Fundament mit 6 Freiheitsgraden

3 mögliche Verschiebun-

gen in x, y, z-Richtung

und

3 mögliche Verdrehungen

um x, y, z

Zunächst sollten nur die größten Schwingungen im Berechnungsmodell

berücksichtigt werden.

Z.B. könnte hier die Vertikalschwingung in z-Richtung dominieren:

Einfachstes Berechnungsmodell mit 1 Freiheitsgrad liefert

die Eigenfrequenz

f = vk1

2 m

mit vk Federkonstante vertikal und m Gesamtmasse der Maschine

Soll aber zusätzlich die seitliche Schwingung in x-Richtung und das Kippen

um y mit berücksichtigt werden, ist bereits ein Berechnungsmodell mit 3

Freiheitsgraden erforderlich:

Ohne größeren Aufwand kann hier

nur die niedrigste Eigenfrequenz ab-

geschätzt werden.

z

x y

m z

S m x y yJ

vk / 2vk / 2

y

m

vk

z

y

x

z


Joensson HTW Berlin Modellbildung der Maschinendynamik als Mehrkörpersystem (MKS):

Nur Punktmassen idealisieren in den Schwerpunkten iS der beteilig-

ten Körper i und Massenträgheitsmomente um iS für Rotationen der

Körper

Masselose Federn und Dämpfer

Idealisierte Lagerungen

3.2 MKS-Modellierung von Punktmassen in Maschinen

Massenträgheit = „Widerstand gegen Beschleunigung“,

d.h. gegen Geschwindigkeitsänderung.

Bei Translation:

Masse = Schubträgheit → Gesamtgewicht in den Schwerpunkt legen.

Bei Rotationen

(einschließlich Pendel- und Kippschwingungen):

Zusätzlich Massenträgheitsmomente J als Drehträgheiten berücksich-

tigen.

Im Unterschied zur Masse m ist J abhängig von der jeweiligen

Drehachse:

Je nach Drehachse a, b oder c

entstehen hier bei gleicher Masse

m drei verschiedene Werte aJ ,

bJ oder cJ

→ zu jedem Massenträgheitsmoment gehört 1 bestimmte Drehachse!

Drehachse a

c

b


Joensson HTW Berlin Ermittlung von Massenträgheitsmomenten:

a) rechnerisch

Zerlegung in einfache Teilkörper:

Eigenrotation plus Steiner-Anteil

für jeden Teilkörper

b) experimentell

Messgerät: Eine Uhr

Messvorgang: Pendeln des Körpers

→

↓

Refreshing: Für die Eigenrotation starrer Körper (d.h. Drehung um eine

beliebige Drehachse bS durch den Schwerpunkt S des Kör-

pers) gilt allgemein:

2bS

m

J r dm

Aus diesem Integral folgen für konkrete Körperformen spezielle Formeln, z.B.:

Kreiszylinder

xSJ = ySJ = 2 21 3

12m R

zSJ = 21

2m R

Sonderfall: Dünner Stab mit R << ℓ

xSJ = ySJ ≈ 21

12m

zSJ = 21

2m R

Quader

xSJ = 2 21

12m b c

ySJ = 2 21

12m a c

zSJ = 2 21

12m a b

c

y

z x

a

b S

y

z x ℓ

S

y

z x

ℓ

S R


Joensson HTW Berlin Zu b) Experimentelle Ermittlung von J mittels Pendelversuch

Beispiel:

Aufhängen bei A,

Schwingungsdauer AT messen.

Geg.: AT

Masse m, Erdbeschleunigung g

Abstand a zwischen A und S

Ges.: SJ

Lösung: Berechnungsmodell „Physikalisches Pendel“

A : sin 0 AJ mg a

Für kleine Winkel gilt: sin

Also 0 AJ mg a

bzw.

0

A

mg a

J

2A

mit A : Eigenkreisfrequenz der Pendelschwingung um A

Zugehörige Eigenfrequenz: A AA

1 1 mg af

2 2 J

Af ist der Kehrwert der Schwingungsdauer: AA

1f

T

also A A

1 1 mg a

T 2 J

Bestimmungsgleichung für AJ

g A

S

a

m g

sina

AJ

g

A

S

a

Lot unter A


Joensson HTW Berlin

bzw. 2

A A

2 mg a

T J

und damit

2A

A 2

mg a TJ

4

Gesucht ist aber SJ .

Aus 2A SJ J m a mit Steiner-Anteil folgt schließlich

2

2AS 2

mg a TJ m a

4

aus einer Zeitmessung für AT

3.3 MKS-Modellierung von Federelementen

3.3.1 Echte Federelemente

z.B.

Schraubenfedern

Zugfedern - mit Ösen

Druckfedern - ohne Ösen

Tellerfedern

Spiralfedern

Drehfedern

Lineare Federkennlinie:

a) bei Translation infolge Federkraft

Federweg x

F x k x

mit Federkonstante

Fk

x in N/m

für Zug/Druck

F

x

F(x)

F

x Dreha

Dreha


Joensson HTW Berlin b) bei Verdrehung der Feder infolge Torsionsmoment tM

Verdrehwinkel

mit t

TM

k

Drehfederkonstante in N m

wegen in Bogenmaß.

Bei Schwingungen entstehen für 1 Freiheitsgrad-Systeme mit 1 Masse und

linearer Federkennlinie folgende Eigenfrequenzen:

T

p

1 kf

2 J

1 kf

2 m mit pJ Massenträgheitsmoment um die „polare“

Torsionsachse p

Mögliche Probleme bei den „echten“ Federelementen:

1.) Die Federkennlinie ist nicht linear.

2.) Die Federkonstante bleibt nicht konstant bei steigender Frequenz.

3.) Die Lagerbedingungen der Feder sind nicht ideal.

4.) Die Federkennlinie ist für Be- und Entlastung verschieden,

z.B.

infolge Reibungsdämpfung bei

Tellerfederpaketen.

F

x

Dämpfung

m p

kT x m

k

tM

tM

t TM k


Joensson HTW Berlin 3.3.2 Konstruktiv bedingte Federwirkungen

(infolge elastischer Verformungen kompakter Bauteile)

Einfachster Fall: Balkenbiegung

Beispiel:

Geg.:

Balken der Länge ℓ masselos idealisiert,

Punkmasse m

Rechteck-Querschnitt des Balkens mit

Höhe h und Breite b

Ges.: Eigenfrequenzen des Systems

Lösung:

Die Masse kann hier in 3 Richtungen schwingen: Horizontal (Zug-Druck)

sowie biegeschwingend, vertikal in der Zeichenebene und senkrecht dazu.

a) Biege-Schwingung in Richtung x:

Entspricht näherungsweise einem translatorischen Schwingungsmodell mit 1

Freiheitsgrad wie auf S. 44 :

1 k

f2 m

Eigenfrequenz der Vertikalschwingung

Noch unbekannt ist die Federkonstante k des idealisierten Balkens.

Zur Ermittlung von k wird eine statische Verformung am Ort der Masse m

infolge einer fiktiven Kraft F simuliert:

x m

k x

m h


Joensson HTW Berlin

Infolge F entsteht eine statische Biegelinie

v(z) mit einer Durchbiegung Fv unter F

Der Ansatz für die Biegelinie lautet:

bEI v M z

Integrieren

Randbedingungen einsetzen

Ergebnis v(z)

siehe Festigkeitslehre

Speziell für z = 0 entsteht die Verformung 3

F1 F

v3 E I

D.h. die Kraft F erzeugt hier den „Federweg“ Fx v

Daraus folgt die Federkonstante 3

F Fk

x 1 F3 E I

Also

3

3 E Ik

Speziell für die Schwingung in x-Richtung gilt hier:

3

yyb h

I I12

bzw. b)

in y-Richtung

3

xxh b

I I12

h

b x

y

z

F

z

v

vF v(z)


Joensson HTW Berlin c) Horizontale Schwingung (Zug-Druck)

Statisches Ersatzmodell:

Infolge F entsteht im Balken die Zug-Normalspannung F

A

mit A : Querschnittsfläche des Balkens

sowie wegen der Längenänderung die Dehnung

Weil der Balken elastisch ist, gilt das Hookesche Gesetz: E

und damit F

EA

bzw. E A

F

Lk z

interpretiert als Federkraft LF z k z

Daraus folgt L

E Ak

Längs-Federkonstante in N/m

Für die Eigenfrequenz der Zug-Druck-Schwingung des Balkens gilt hier

demzufolge:

L1 kf

2 m =

1 E A

2 m

F

z

F

z


Joensson HTW Berlin Je nach Lagerungsart entstehen außerdem spezielle Biege-Federkonstanten:

Beispiel Federkonstante k

1)

3F

3 EI F

v

2)

2 21 2

3 EI

symmetrischer Sonderfall 1 = 2 = / 2 : 348 EI /

3)

3

3 21 2 2

12 EI

3

symmetrischer Sonderfall 1 = 2 = / 2 : 3768 EI / (7 )

4)

3

12 EI

5)

3

3 31 2

3 EI

symmetrischer Sonderfall 1 = 2 = / 2 : 3192 EI /

6)

21 1

3 EI

7)

21 1

12 EI

4 3

F

Fv

1

F

Fv

1

F

Fv

1 2

F

Fv

F

Fv

1 2

F

Fv

1 2

F

Fv


Joensson HTW Berlin Das gemeinsame einheitliche Ersatzmodell für diese Tabelle entspricht dem

translatorischen 1-Freiheitsgrad-Schwinger von S. 44 und 45:

Die Federkonstante k für die elastische Biegeverformung eines komplizier-

teren Bauteils kann auch alternativ mit dem Satz von Castigliano berechnet

werden oder auch mit Finiten Elementen.

Dabei wird die Auslenkung Fv in Richtung einer frei wählbaren statischen

Last F ermittelt.

Der Quotient Fk F / v ist dann die Ersatz-Federkonstante.

3.4 MKS-Modellierung von Dämpferelementen

3.4.1 Echte Dämpferelemente

z.B. Schwingungsdämpfer in Fahrzeugen

oder Viskose Drehschwingungsdämpfer in Textilmaschinen

Die Dämpfung ist wesentlich abhängig vom Lagerspiel und von der Ölzähig-

keit. Beides verändert sich im Laufe der Zeit.

Mt

Ölschichten

xm

kk


Joensson HTW Berlin 3.4.2 Dämpfung als Nebenwirkung

z.B. Reibungen in Führungen und Lagern

Luft- und Flüssigkeitswiderstände

Fugenreibung an beweglichen Trennfugen

Materialdämpfung (Verformungswiderstände durch innere Reibung im

Innern federnder Bauteile)

Beispiele dazu mit Lehrschem Dämpfungsmaß:

Federelemente aus hochfestem Stahl D ≈ 0,15 %

Bauelemente aus Baustahl ≈ 1 bis 1,5 %

Bauelemente aus Gusseisen ≈ 2 %

Bei Schwingungen sind Dämpfungen im allgemeinen erwünscht, lassen sich

aber oft nur für die einfachsten Sonderfälle rationell auswerten.

Insbesondere frequenzabhängige und weg-proportionale Dämpfungen mit

und ohne Richtungsumkehr erfordern umfangreiche numerische Berechnun-

gen.

Das gilt auch bei „globaler“ Dämpfung des gesamten Schwingungssystems,

wenn die Dämpfung also nur schlecht lokalisierbar ist.

Zusätzlich verändern sich die erwähnten Dämpfungen allmählich mit der Zeit

- wie die echten Dämpferelemente.


Joensson HTW Berlin

4. Biegeschwingungen elastischer Achsen und Wellen

4.1 Biegekritische Drehzahl

Diese Drehzahl tritt bei allen gleichmäßig rotierenden Achsen und Wellen

durch Unwuchten (exzentrische Rotormassen) auf:

Rotormasse m mit Schwerpunkt

außerhalb der Drehachse im Ab-

stand e

Drehzahl n → Erregerkreis-

frequenz 2 n

Die Unwucht des Rotors erzeugt die Fliehkraft

2u u uF m r

mit um : Unwuchtmasse = Rotormasse m

sowie u rr e v Unwuchtradius mit Exzentrizität e (statisch),

rv : radiale elastische Verformung (dynamisch)

Der Fliehkraft entgegen wirkt die elastische Feder-Rückstellkraft

k rF k v

Kräftegleichgewicht radial: ↑ : u kF F 0

bzw. 2u u rm r k v 0

2u r rm e v k v 0

n

e

UF

kF vr

m


Joensson HTW Berlin

Daraus folgt: 2

ur 2

u

m ev

k m

=

2

2

u

e

km

Der Quotient uk / m kann als Eigenfrequenz einer Biegeschwingung

interpretiert werden:

u

k

m

für das Schwingungsmodell

Damit entsteht 2

r 2 2

ev

Erweitert mit 21 / :

22

r2 2

2

1e

v1

und mit 2

22

folgt schließlich 2

r 2

ev

1

bzw.

2

r 2v e

1

als Antwort-Amplitude mit

statx uV Vergrößerungsfunktion

der harmonischen Unwuchterregung

ohne Dämpfung

d.h. die radiale Auslenkung wird im Resonanzfall 1 unendlich groß!

Biegekritische Drehzahl b kn bei u

k

m

Mit 2 n entsteht daraus:

b ku

1 kn

2 m

60 in U / min

vr mu

k


Joensson HTW Berlin Betriebsdrehzahlen sollten möglichst ± 30 % über oder unter dieser Drehzahl

bleiben:

Kritischer Drehzahlbereich: kritn = ( 0,7 … 1,3 ) b kn

b kn ist nur abhängig von der Rotormasse um und von der Biege-Feder-

konstante k der Welle gemäß der Tabelle auf S. 48.

b kn ist nicht abhängig von e !

Bei hohen Drehzahlen n > b k3 n zentriert sich die Welle sogar von

selbst auf rv e bzw. auf ur 0 .

Begründung:

Die Amplitude der Unwuchterregung

lautet allgemein: stat ux x V

Für 3 konvergiert uV auf den Wert 1,0 .

Mit statx e gilt hier:

x e 1,0 e

1

1 2 3 4

-1

-2

0

uV


Joensson HTW Berlin

4.2 Biegekritische Drehzahl ohne Rotormasse

Biegeschwingung des „kontinuier-

lichen“ Balkens

1. Schwingform

→ 1. biegekritische Drehzahl

2. Schwingform

→ 2. biegekritische Drehzahl

usw. bis zur ∞. Schwingform.

Exakte analytische Lösung für diese Lagerungsart Festlager-Loslager:

2i 4

E Ii

A

mit i : Schwingform Nr.

E : Elastizitätsmodul des Wellen-Werkstoffes

I : Flächenträgheitsmoment des Wellen-Querschnittes

: Dichte des Wellen-Werkstoffes

A : Querschnittsfläche der Welle

ℓ : Länge der Welle zwischen den beiden Lagern

Speziell für i = 1 gilt: 21 4

E I

A

Daraus folgt die 1. biegekritische Drehzahl b k1 1n / 2 für Wellen

mit Vollkreisquerschnitten 4 2I r und A r4

:

b k1 2

r En

4

60 in U / min

n


Joensson HTW Berlin

4.3 Biegekritische Drehzahlen für mehrere Einzelmassen

Mehrere Freiheitsgrade!

Je Rotor 1 Freiheitsgrad.

Grundschwingung → b k1n

1. Oberschwingung → b k2n

Die analytische Berechnung dafür ist aufwendig, siehe Kapitel 2.

Numerische Berechnung z.B. mit FEM:

Die unterste vom Programm berechnete Biege-Eigenfrequenz 1f liefert die

1. biegekritische Drehzahl:

b k1 1n f 60 in U/min usw.

Analytische Abschätzung

der untersten biegekritischen Drehzahl, z.B. nach Dunkerley

(für eine durchgehend gleiche Welle)

Jeweils nur 1 Masse annehmen:

→ 1 → 2 → 3

Daraus 1 abschätzen

und b k1 11

n 602

in U/min

n

n


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5. Torsionsschwingungen elastischer Achsen und

Wellen

5.1 Die Torsions-Federkonstante

Die elastische Welle wirkt bei Torsion als Torsionsfeder:

Trägheits-Rückstellmoment nach d’Alembert

Feder-Rückstellmoment k TM k

mit Torsions-Federkonstante Tk

und Verdrehwinkel

Aus der Momentenbilanz um S

S : 0 p TJ k

folgt die Schwingungs-Differenzialgleichung der Torsionsschwingung:

0 T

p

k

J

(1)

Auch hier kann die Federkonstante vorab statisch ermittelt werden:

Siehe Festigkeitslehre, Kapitel Torsion kreis-

zylindrischer Stäbe.

tM

z

S

pJ

kM

S

Rotor der Masse m

Drehachse p als „polare“ Achse

elastische Welle


Joensson HTW Berlin Für den Verdrehwinkel gilt demzufolge:

t

p

Mz

G I

(2)

mit tM : Torsionsmoment, statisch aufgebracht

ℓ : Länge der Welle

G : Gleitmodul in 2N / mm

pI : polares Flächenträgheitsmoment des Wellen-Querschnittes

x x y yI I

pI ist speziell beim Vollkreis-Querschnitt: 4

2

pI r

und beim Rohr-Querschnitt mit ar und ir : 4 4

2

p a iI r r

Aus Gleichung (2) folgt:

p

t

G IM

Tk

Der Faktor vor kann als Torsions-Federkonstante (Drehfeder-Konstante)

wie auf S. 44 interpretiert werden.

Daraus folgt

p

T

G Ik

in N m

für 1 elastischen Wellenabschnitt der Länge .

Speziell für Vollkreis-Querschnitte gilt:

4

2

T

G rk


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5.2 Torsionskritische Drehzahl

Gemäß Gleichung (1) auf S. 56 lautet die Eigenkreisfrequenz der Torsions-schwingung:

T

p

k

J

Analog zur biegekritischen Drehzahl folgt daraus die torsions-kritische Dreh-

zahl für 2 n :

T

t kp

1 kn

2 J

60 in U / min

mit dem Massenträgheitsmoment pJ des Rotors um die Längsachse p der

Welle.

5.3 Mehrere Wellenabschnitte

Parallelschaltung

T T 1 T 2k k k

Reihenschaltung

(Feder an Feder gekoppelt!)

n

T T ii 1

1 1

k k

für n Wellenabschnitte

Sonderfall 2 Wellenabschnitte: T 1 T 2T

T 1 T 2

k kk

k k

1 2

1d 2d

1 2

1d 2d


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5.4 Wenn mehrere Rotormassen tordieren

Einfachster Fall: Zwei-Scheiben-Drehschwinger

Berechnungsmodell:

1. Schwingform:

Beide Winkel drehen in die gleiche Richtung.

Damit aber entsteht nur eine Starrkörperdrehung mit 1f 0 Hz als

1. Eigenfrequenz.

2. Schwingform:

1 und 2 drehen entgegen gesetzt.

Damit entsteht eine Winkeldifferenz 1 2 .

Nur dadurch wird die Torsionsfederwirkung aktiviert.

Aus der Momentenbilanz z.B. nach d’Alembert mit diesen Differenzwinkeln folgt:

1 2

0

T Tk k

J J

2

also T T

1 2

1 k kf

2 J J =

T 1 22

1 2

k J J1f

2 J J

Erst die 2. Eigenfrequenz 2f führt also zur 1. torsionskritischen Drehzahl:

t k 1 2n f 60 in U / min

1 2

1 1J

2 2J

1J 2J Tk

2 1


Joensson HTW Berlin Erst bei mehr als 2 Rotormassen kommt es zu mehreren torsionskritischen

Drehzahlen, z.B.

n Rotoren → n 1 torsionskritische Drehzahlen.

Die 1. Eigenfrequenz ist stets f = 0 Hz.

Die analytische Berechnung der Eigenfrequenzen ist aufwendig (Kapitel 2).

Die unterste torsionskritische Drehzahl kann mit der Dunkerley-Formel abge-

schätzt werden bzw. mit der Neuber-Formel.

Ansonsten sind torsionskritische Drehzahlen auch numerisch ermittelbar, z.B.

mit FEM.

Die niedrigste ermittelte Torsionseigenfrequenz entspricht der 1. torsions-

kritischen Drehzahl t k 1n .

1Tk 2Tk

1J 2J

3J 4J

Reihenschaltung T 3k


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5.5 Torsionsschwingungen in Getrieben

Standardfall: Mehrere Wellenstränge

Zur Berechnung des Getriebes ist eine Transformation auf eine unverzweigte

Bildwelle von Vorteil, z.B. auf die Welle Nr. 1:

Dazu müssen alle Federn Tk und alle Rotor- Drehträgheiten J der Welle

Nr. 2 auf die Welle Nr. 1 transformiert werden:

2* 1

T 2 T 22

zk k

z

z wohin

z woher

2* 1

2 22

zJ J

z

Hier also: 2

* 11 1 2

2

zJ J J

z

und

2* 1

4 42

zJ J

z

1Tk 2 *Tk

3J4 *J

Ersatz-Rotor *1J

1Tk

2Tk

1J

2J

3J 4J

Zahnrad 1 mit Zähnezahl 1z

Zahnrad 2


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sowie 2

* 1T 2 T 2

2

zk k

z

Erst dann sind die torsionskritischen Drehzahlen berechenbar. Aus der Bild-

welle ist auch ersichtlich, dass hier nur zwei Drehzahlen vorhanden sind.

Bei Getrieben mit Zahnrädern ist zusätzlich noch die Zahneingriffs-Frequenz

Zf zu beachten:

Z D Anf f z

mit Df : Drehfrequenz in Hz Drehzahl n der Welle in U/s

Anz : Zähnezahl des Zahnrades auf der Antriebswelle

Mit der Frequenz Z Df f wird das Zahnrad

zusätzlich tangential harmonisch krafterregt.

Damit wird die Drehzahl n zur Erregerdrehzahl:

Z err Anf f z

bzw. Z err Ann n z

Kritisch ist, wenn Z t kn n (torsionskritische Drehzahl),

also t k err Ann n z

bzw. t k it k z i

An

nn

z

mit t k z in : torsionskritische Zahneingriffs-Drehzahl Nr. i = 1, 2, …

als Erregerdrehzahl der Krafterregung

t k in : torsionskritische Drehzahl Nr. i = 1, 2, … nach Kapitel 5.4

Bei langsamer Drehung n < t k in können also bereits die kritischen Dreh-

zahlen t k in angeregt werden.


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6. Dynamische Berechnungen mit Ansys Workbench

6.1 Übersicht

In Workbench können auf der Projektseite

verschiedene Analyse-Systeme ausgewählt

werden.

Speziell zur Dynamik gehören:

Antwortspektrum: z.B. zur Erdbebenanalyse

Explizite Dynamik: Bauteilverhalten infolge kurzzeitig einwirkender

Belastungen (bei Aufprall- und Stoßbelastung)

Harmonische Analyse: Berechnung von Bauteilen unter harmonisch

erzwungenen Schwingungen Übung W30

Mehrkörperdynamik: Dynamische Berechnung von Mechanismen starrer

Körper Übung W23, W24

Modalanalyse: Eigenfrequenzen und Schwingformen frei ausschwingen-

der Strukturen Übung W17

PSD-Analyse: Schwingungsverhalten infolge stochastischer Anregung

Transiente Strukturmechanik:

Berechnung flexibler Strukturen unter Einwirkung zeitlich

beliebiger (transienter) Belastungen Übung W23, W24

Im Folgenden werden hier nur die Mehrkörperdynamik und die Transiente

Strukturmechanik näher beschrieben.


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6.2 Mehrkörperdynamik (MKS)

Die Mehrkörperdynamik in Ansys Workbench handelt von starren Körpern,

die durch Gelenke und / oder masselose Federn und Dämpfer miteinander

verbunden sind.

Ein solches System heißt auch Mehrkörpersystem (MKS).

Damit können komplette Bewegungsvorgänge des MKS berechnet wer-

den, inklusive Geschwindigkeits- und Beschleunigungsverläufe sowie

die inneren dynamischen Kräfte und Momente zwischen den beteiligten

Körpern sowie an allen Lagerstellen.

Beispiele:

http://www.ansys.com/Products/Simulation+Technology/Structural+Analysis/ANSYS+Rigid+Body+Dynamics

Links Examples

usw. oder in Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=BYc1ADTTm4o

In Workbench werden zu jedem beteiligten Körper des MKS automatisch der

Schwerpunkt, die Masse und die drei Hauptträgheitsmomente mit ihren

Hauptachsen verwendet.

Die Körper werden dabei als starr idealisiert.

Dadurch hat jeder Körper nur maximal 6 Freiheitsgrade: 3 Verschiebungen

des Schwerpunktes und drei Drehungen um die Hauptachsen des Körpers.


Joensson HTW Berlin Beispiel:

Ein Bauteil, das im Schwerkraftfeld als Pendel drehbar gelagert schwingt:

Im Schwerpunkt sind hier die drei Haupt-

achsenrichtungen sichtbar.

An Stelle des Körpers wird von Ansys im Schwerpunkt ein punktförmiges

Masse-Element verwendet mit Masse des Körpers sowie den drei Hauptträg-

heitsmomenten für dessen Drehträgheit.

Die Masse-Punkte werden dann in Ansys mit Lagerpunkten masselos starr

oder elastisch (mit Federn / Dämpfern) verbunden bzw. mit Gelenkpunkten

weiterer beteiligter Körper.

Durch frei wählbare Lagerungen und/oder Gelenke werden die Freiheitsgrade

des MKS eingeschränkt, so dass z.B. nur eine Drehung als Freiheitsgrad üb-

rig bleibt siehe z.B. Übung W23 Pendel MKS.

Die Berechnung der Bewegung erfolgt schrittweise in kleinen Zeitschritten,

indem die allgemein gültigen Bewegungs-Differenzialgleichungen

( )M q D q K q f t

mit Massenmatrix M , Dämpfungsmatrix D , Steifigkeitsmatrix K und

Kraftvektor ( )f t der äußeren Kräfte als spezielle Differenzengleichungen für

das konkrete Modell aufgestellt und je Zeitschritt numerisch integriert

werden.

Das geschieht in Ansys mit dem Runge-Kutta-Verfahren.

Bei genügend kleinen Zeitintervallen t wird so die komplette Bewegungs-

bahn s = s(t) im Raum xyz für den gewünschten Zeitraum T berechnet.


Joensson HTW Berlin Des Weiteren sind verfügbar:

Geschwindigkeits-Zeitverläufe v(t), Beschleunigungs-Zeitverläufe a(t) sowie

die zeitlich veränderlichen Lager- und Gelenkkräfte für jeden beteiligten

Körper des MKS.

z.B. Ergebnisse des Pendels von Übung W23, gestartet in vertikaler Stellung

bei Gravitation g in y-Richtung:

Drehbar gelagert im unteren Teil, Drehung um z

Ergebnis: Drehwinkel in Grad, Zeitraum 10 Sekunden

Lagerkraft


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6.3 Transiente Strukturmechanik

Transient bedeutet: Beliebig zeitabhängig.

Damit können insbesondere instationäre (Einschwingvorgänge) und sonstige

nicht-harmonisch zeitliche Veränderungen simuliert werden.

Das kann bereits auch das Ansys-Modul Mehrkörperdynamik.

Mit dem Ansys Modul Transiente Strukturmechanik sind jedoch komplette

nicht-starre FEM-Strukturen in Zeitschritten berechenbar (nicht nur elastisch,

sondern auch elastisch-plastisch, viskoelastisch usw.)

Dabei werden je Zeitschritt die nichtlinearen Veränderungen der gesamten

FEM-Struktur mit n Freiheitsgraden ermittelt.

Das geschieht in Ansys mit dem Newmark-Verfahren in Kombination

mit dem Newton-Raphson-Algorithmus.

Nachteil im Vergleich zur MKS-Berechnung: Deutlich längere Rechenzeiten!

(auch wegen der größeren Freiheitsgrad-Anzahl) Vorteile:

- Im Unterschied zur MKS-Berechnung sind Spannungen berechenbar.

- Des Weiteren werden auch gegenseitige Nachgiebigkeiten der beteiligten

Körper je Zeitschritt mit berücksichtigt.

Oft interessiert in einem MKS das zeitabhängige Festigkeitsverhalten nur

eines oder weniger Bauteile und nicht das aller Bauteile.

In Workbench kann dafür MKS

mit Transienter Strukturmecha-

nik kombiniert werden,

z.B. Übung W24


Joensson HTW Berlin Weitere Beispiele in

http://www.ansys.com/Products/Simulation+Technology/Structural+Analysis/ANSYS+Rigid+Body+Dynamics

Links: Examples

usw.

6.4 Export MKS zu FEM statisch

Um den Berechnungsaufwand für transiente Analysen zu verringern, kann

alternativ in Ansys-Workbench auch eine "Momentaufnahme" der MKS-

Berechnung als statische Analyse durchgerechnet werden.

siehe z.B. Mehrkörperdynamik im "Praxisbuch FEM" von C. Gebhardt.

Dazu wird nach erfolgter MKS-Analyse ein bestimmter Zeitpunkt ausgewählt

(z.B. der Zeitpunkt einer maximalen Lagerkraft).

Für diesen Zeitpunkt werden dann die momentanen Belastungen des ausge-

wählten Körpers in eine Datei gespeichert und anschließend für eine statische

Analyse dieses Körpers verwendet.

Vorteile:

- Das betreffende Bauteil kann feiner vernetzt werden, so dass für diesen

Zeitpunkt eine genauere Festigkeits-Berechnung möglich wird.

- Die Rechenzeit ist für diesen einen Zeitpunkt deutlich niedriger als für

die transiente Analyse des kompletten Zeitbereiches.

Maschinendynamik

Mcad-Übungen

Joensson Mathcad Prime 3.0 Mcad-1 Beginn

HTW Berlin Erste Schritte Blatt 1 von 3 + 1 Seite Mcad 1


Vorbereitung: Zuerst Arbeitsverzeichnis für Mathcad erstellen (z.B. als Ordner mcad ) in Ihrem eigenen Verzeichnis. Ein erstes Arbeitsblatt erstellen Mathcad starten. Als „Arbeitsblatt“ wird zunächst eine Datei Unbenannt angezeigt. Schreiben Sie mit der Tastatur: 15-11/8.3= Enter Abspeichern als Datei M1:

Oben: > Speichern > z.B. in …\mcad Dateiname: M1 Damit ist dieses Arbeitsblatt als Mathcad-Datei im Ordner [mcad] gespeichert. Dieses Verzeichnis wird nun in allen nachfolgenden Speicherungen automatisch aufgerufen.

Weiter im Arbeitsblatt: Setzen Sie mit der Maus den Cursor unter die Formel.

Zur Texteingabe oben: anklicken, dann erst Text schreiben:

Variable Werte: ohne Enter! Dann mit der Maus den Cursor links darunter setzen. Schreiben Sie: g:9.81 und als Text daneben (!Textfeld) Erdbeschleunigung Dann x(t):1/2 Leertaste zweimal *g*t^2 und als Text daneben x(t) beim freien Fall Dann mit der Maus den Cursor links darunter setzen. Schreiben Sie:

t:5.5 Enter

x(t)= Enter Ergebnis: := kennzeichnet in Mathcad Eingabe und = kennzeichnet die Ausgabe.

Falls bei Ihnen die Zeilen zu dicht untereinander liegen, klicken Sie bitte einen Rasterpunkt an und Enter. So können die Zeilenabstände verändert werden.


HTW Berlin Erste Schritte

Blatt 2 von 3

Und jetzt mit Maßeinheiten:

Dazu soll der Abschnitt kopiert werden:

Ziehen Sie mit der linken Maustaste von links oben beginnend bis zur Formel x(t) rechts unten

und markieren Sie damit diesen Bereich (wird gestrichelt angezeigt).

Dann Rechte Maustaste: Kopieren.

Setzen Sie den Cursor mit der Maus unter die letzte Zeile > Einfügen.

Der markierte Abschnitt kann auch frei verschoben werden: Wenn Sie die Maus auf dem

markierten Feld bewegen und dabei ein Kreuz erscheint.

Klicken Sie nun in den neuen Textteil Variable Werte und schreiben Sie statt dessen

Mit Maßeinheiten

Gehen Sie mit der Maus ans Ende der Zahl von g. Schreiben Sie dort m/s^2

Im Ergebnis von x(t) ist jetzt eine Maßeinheit sichtbar, die aber noch nicht einem Weg

entspricht. Dazu muss noch die Maßeinheit von t eingegeben werden.

Änderung der Zahlenwerte:

z.B. für t:=15.5 s entsteht ein Ergebnis mit 10er Potenzangabe.

Diese Darstellung kann verändert werden, indem die Zahl neu formatiert wird.

Auf die Zahl klicken, dann oben: Formatierung > 5000 (Dezimal)

> eventuell auch die Anzahl der Stellen nach dem Komma ändern mit .

Grafische Darstellung der Funktion x(t)

Dazu ist eine Bereichsvariable festzulegen.

Schreiben Sie t:0,1 15 und als Text daneben Bereichsvariable, Eingabe t:0,1 15

Das bedeutet: t von 0 beginnend in Schritten von 1 bis 15.

! Um den Text zu schreiben: Zuerst wieder oben: Rechnen anklicken.

Den Cursor links darunter setzen, dann oben Diagramme > links oben: Diagramm x-y einfügen >

Im Diagramm rechts in den Platzhalter der Ordinaten-Achse schreiben (nicht in das Feld

Maßeinheiten) x(t)

und in den Platzhalter der Abzissen-Achse: t

Die Maßeinheit des Weges x ist jetzt falsch.

Die Bereichsvariable muss die Maßeinheit Sekunde haben:


HTW Berlin Erste Schritte

Blatt 3 von 3

Das Bild kann verschoben und in der Größe verändert werden, nachdem es angeklickt wurde.

Ändern Sie nun probeweise die Schrittweite auf 5 s, 0.1 s und dann wieder 1 s.

Auch die Linienstärke und Linienfarbe kann geändert werden: Klicken Sie dazu auf das Diagramm,

dann sind oben Spurdicke, Spurfarbe, Linienstil und Symbol veränderbar.

Skalierung der Achsen:

Klicken Sie auf eine Achsenbezeichnung > rechts oben: Diagrammwerte formatieren > z.B.

(5000) dezimal erzeugt ganzzahlige Achsenbeschriftung.

Sie können die Achsenbeschriftung auch auf die andere Seite ziehen, z.B. x(t) anklicken und nach

links ziehen oder auf einen anderen Platzhalter.

Datei speichern.

Datei drucken, z.B. als PDF-Datei: Links oben: Drucken …

Eine Vorlage für das Layout verwenden

Die Datei M1.xmcd enthält im Druckbild keine Kopf- und Fußzeilen. Diese können in Mathcad zur

übersichtlichen Gestaltung genutzt werden:

Oben: Dokument > Kopfzeile … Fußzeile mit Eingabe von Seitenzahlen, Datum usw.

Hier könnte z.B. in der Kopfzeile rechts der Dateiname und das Datum stehen sowie in der Fußzeile

links Ihr Name und rechts die Seitenzahl.

Die Vorlage 1-Muster ist so gestaltet.

Kopieren Sie diese Vorlage in Ihren Ordner [mcad].

Für die nachfolgenden Übungen können Sie diese Musterdatei als Vorlage verwenden.

Doppelklicken Sie diese Datei in Ihrem Ordner. Tragen Sie links unten Ihren Namen ein > Speichern.

Speichern Sie nun 1-Muster als neue Datei Mcad-1 in Ihrem Ordner [mcad]:

Links oben: Speichern unter …

Das Datum wird automatisch dem aktuellen Stand angepasst.

Nach dem nächsten Start dieser Datei mit Mathcad wird auch der Dateiname automatisch aktualisiert.

Thema ändern: Doppelklicken auf Thema > Beginn

Klicken Sie in Mathcad links den Arbeitsblatt-Reiter M1 an >

Markieren Sie alles > Rechte Maustaste: Kopieren.

Arbeitsblatt-Reiter Mcad-1 > Rechte Maustaste: Einfügen. Oben: Speichern.

Mcad-1.mcdxMathcadPrime 3.0

Beginn

=−15 ――11

8.313.675

Variable Werte:

≔g 9.81 Erdbeschleunigung

≔x ((t)) ⋅⋅―1

2g t

2 x(t) beim freien Fall

≔t 5.5 zur Zeit t = 5.5

=x ((t)) 148.376 Ergebnis

Mit Maßeinheiten:

≔g 9.81 ―2

Erdbeschleunigung

≔x ((t)) ⋅⋅―1

2g t

2 x(t) beim freien Fall

≔t 15.5 zur Zeit t

=x ((t)) 1178.4 Ergebnis

≔t , ‥0 1 15 Bereichsvariable, Eingabe t:0,1s 15s

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

0

100

1200

3 5 6 8 9 11 12 140 2 15

x ((t)) (( ))

t (( ))

Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter www.mathcad.com.

D. Joensson HTW BerlinSeite 1 von 1

Joensson Mathcad Prime 3.0 Mcad-2 Schwingungen

HTW Berlin Gedämpfte Schwingungen

Blatt 1 von 2

+ 3 Seiten Mcad 2


Erläuterungen zur Datei Mcad-2.mcdx: Seite 1

Formelzeichen xA mit Index: oben

Griechische Buchstaben, z.B. Eigenkreisfrequenz : oben Seite 2

Umrechnung in Grad: o 1 Cursor nach 1, dann deg schreiben.

Für 12 s sollte im unteren Bild die Funktion x(t) nicht mehr durchschwingen.

Seite 3

Einfügen von Bildern oder Fotos: Siehe Mathcad Hilfe

oder Snapshot vom Bildschirm in Paint öffnen > Ausschnitt markieren und kopieren >

Einfügen in Mathcad.

! Das Bild kann nicht skaliert werden und auch nicht wie üblich gelöscht werden.

Löschen des Bildes:

Bild anklicken > Links oben: Bereich löschen.

Voraussetzung dafür: Oben Reiter Rechnen ist eingestellt.

Ausgabe der Dämpfung in Prozent:

Zahl anklicken > oben: Formatierung > Prozent.

Abschnitt einfügen:

Zwischen dem Bild rechts oben auf Seite 3 der Datei Mcad-2 und der Zeile

wurde hier ein so genannter Abschnitt eingefügt:

Oben: Dokument > Links oben: Abschnitt

Alles , was in diesen Abschnitt geschrieben wird, kann anschließend zusammengeklappt werden,

indem auf das + Zeichen links neben dem Abschnittsbeginn geklickt wird.

Damit kann die Wirkung der Eingabewerte elegant untersucht werden.

Zum Beispiel, wenn die Masse vergrößert wird, entsteht eine geringere Dämpfung des Systems:

Joensson Mathcad Prime 3.0 Mcad-2 Schwingungen

HTW Berlin Gedämpfte Schwingungen

Blatt 2 von 2

Hier wurde nur die Masse m verdoppelt im Vergleich zu Seite 3 der Datei Mcad-2.mcdx

- und die Berechnung zusammengeklappt.

Probieren Sie andere Änderungen aus, auch für die Anfangswerte. Hinweis zu den Anfangswerten φo und der Anfangswert xA der Abklingfunktion hängen von der statischen Anfangsauslenkung xo und der Anfangsgeschwindigkeit (dem „Anfangsschwung“) vo ab.

! xo ist nicht identisch mit xA für vo ≠ 0 .

Die Formeln für xA und φo lauten:

φo = arcsin (xo / xA ) ( In Mathcad gilt: arcsin = asin )

z.B. nach Fischer, U., Stephan,W.: Mechanische Schwingungen. Fachbuchverlag Leipzig 1993, S. 77.

xA xo2 vo

g

g

xo

2


Gedämpfte Schwingungen

Zunächst ohne Dämpfung:

≔x ((t)) sin ((t)) ≔t , ‥0 1 20

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1

-0.8

1

4 6 8 10 12 14 16 180 2 20

t

x ((t))

≔t , ‥0 0.01 20

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1

-0.8

1

4 6 8 10 12 14 16 180 2 20

t

x ((t))

Mit Amplitude und Eigenkreisfrequenz:

≔xA 1.2 ≔ω 2−1

≔x ((t)) ⋅xA sin (( ⋅ω t))

≔t , ‥0 0.01 20

-0.8

-0.5

-0.3

0

0.3

0.5

0.8

1

-1.3

-1

1.3

4 6 8 10 12 14 16 180 2 20

t (( ))

x ((t)) (( ))





Gedämpft: z.B. viskos mit ≔δ 2−1 und =xA 1.2 =ω 2 ―

1

≔x ((t)) ⋅⋅xA⋅−δ t

sin (( ⋅ω t))

≔t , ‥0 0.01 20

4.5⋅10⁻²

9⋅10⁻²

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

-4.5⋅10⁻²

0

0.4

2 3 4 5 6 7 8 90 1 10

t (( ))

x ((t)) (( ))

Im aperodischen Grenzfall δ = ω darf x(t) NICHT durchschwingen!

Hier fehlt noch die gedämpfte Eigenkreisfrequenz ωg

und der Phasenwinkel φo

≔δ 0.2−1 neu

≔D ―δ

ω≔ωg ⋅ω ‾‾‾‾‾‾−1 D

2=D 0.1 =ωg 2 ―

1

z.B. ≔φo 1 =φo 57.3 Umrechnung in Grad

≔x ((t)) ⋅⋅xA⋅−δ t

sin ⎛⎝ +⋅ωg t φo⎞⎠ korrekte Formel

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

1.2

2 3 4 5 6 7 8 90 1 10

t (( ))

x ((t)) (( ))

≔t , ‥0 0.01 20

G dä ft S h i it k k t K t





Gedämpfte Schwingung mit konkreten Kennwerten:

≔k 100 ― ≔b 5 ― ≔m 10

und konkreten Anfangswerten:

≔xo 10 ≔vo 20 ――

≔ω‾‾‾―k

m≔δ ――

b

⋅2 m≔D ―

δ

ω≔ωg ⋅ω ‾‾‾‾‾‾−1 D

2

=ω 3.162 ―1

=δ 0.25 ―1

=D 0.079 =ωg 3.152 ―1

≔xA

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

+xo2 ⎛

⎜⎝―――

+vo ⋅δ xo

ωg

⎞⎟⎠

2

=xA 12.3 ≔φo asin⎛⎜⎝―xo

xA

⎞⎟⎠

=φo 1

≔x ((t)) ⋅⋅xA⋅−δ t

sin ⎛⎝ +⋅ωg t φo⎞⎠ ≔z ((t)) ⋅xA⋅−δ t

≔zu ((t)) −z ((t))

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10

-12.5

-10

12.5

4 6 8 10 12 14 16 180 2 20

x ((t)) (( ))

z ((t)) (( ))

zu ((t)) (( ))

t (( ))

≔t , ‥0 0.01 20 =D %7.9



Joensson Mathcad Prime 3.0 Mcad-3 Aufg D 61

HTW Berlin Illustration der Dynamik-Aufgabe D 61

Blatt 1 von 1

+ 4 Seiten Mcad 3 und

1 Seite Mcad 3a


Erläuterungen zur Datei Mcad-3.mcdx: Seite 1

Der eine Punkt im Diagramm für u1 1V ( ) erfordert eine zusätzliche Spur. Dazu im Diagramm mit

dem Maus-Cursor hinter den letzten Wert der Achsbezeichnung gehen > oben: Diagramme > links oben: Spur hinzufügen. Dann oben: Stile > Symbol (für den einen Punkt) usw. Seite 4

Die Zeitfunktion x(t) auf Seite 3 ist noch nicht korrekt. Das fällt erst auf, wenn als Anfangsbedingung sowohl xo = 0 mm als auch vo = 0 mm/s gesetzt wird. Dann ist dafür die homogene Lösung gleich Null und demzufolge ersetzt die partikuläre Lösung von Anfang an die Gesamtlösung, ohne Einschwingen. Die bisher angegebenen Formeln für die beiden Konstanten xA und φo gelten nur für den Sonderfall, dass die angestoßene Schwingung sich sofort selbst überlassen bleibt. Im Fall der harmonischen Anregung findet aber während des Einschwingens eine Kopplung von freier und erzwungener Schwingung statt. Deshalb müssen die erwähnten Konstanten aus der Gesamtlösung x(t) = xh(t) + xp(t) ermittelt werden und nicht nur aus dem homogenen Anteil. Die homogene Funktion xh(t) für die freie, gedämpfte Schwingung kann alternativ als Überlagerung einer Sinus- und Cosinus-Funktion geschrieben werden, indem an Stelle der beiden Konstanten xA und φo die Konstanten A und B verwendet werden:

xh(t) = e-δt · [ A · cos (ωgt) + B · sin (ωgt) ]

Die Gesamtlösung lautet dann unter Einbeziehung der partikulären Lösung xp(t) = xdyn · sin ( Ωt – φN):

x(t) = e-δt · [ A · cos (ωgt) + B · sin (ωgt) ] + xdyn · sin ( Ωt – φN)

mit xdyn : Amplitude der stationären Schwingungsantwort und φN : Nacheilwinkel der Schwingungsantwort im Vergleich zur Erregung.

Um die Konstanten A und B zu ermitteln, sind die beiden Anfangsbedingungen x ( t = 0 ) = xo und xPunkt ( t = 0 ) = vo in die Gesamtlösung x(t) und deren 1. Zeit-Ableitung xPunkt(t) einzusetzen. Erst dadurch werden die Konstanten A und B korrekt abhängig von xdyn und φN beschrieben.

Das Ergebnis dieser speziellen Herleitung ist für A und B auf Seite 4 oben zu sehen.

Erläuterungen zur Datei Mcad-3a:

Erzeugen Sie die eine Seite der Datei Mcad-3a aus der Datei Mcad-3, indem Sie nahezu alle Berechnungsformeln in zwei Abschnitte einfügen (vor dem Resonanzdiagramm und danach) und beide Abschnitte dann „zuklappen“. Anschließend können Sie sofort sehen, wie sich beide Funktionen ändern, wenn Sie irgendeinen Eingabewert ändern (Masse oder Federkonstante, Unwucht, Dämpfung, Drehzahl, Anfangswerte).

zu TM 3 Kapitel 4.5: Erzwungene Schwingungen

Aufgabe D 61

Eine Unwuchtmasse um = 1 kg rotiert mit einem Radius ur = 15 cm auf einer Masse 1m = 100 kg.

Geg: k = 5 /N mm

b = 100 /kg s

g = 9,81 2/m s

Ges.:

1.) Schwingungs-Differenzialgleichung sowie die Kennwerte o , und D

2.) Zunächst ohne Dämpfung ( b = 0 /kg s )

a) Bei welcher Unwucht-Drehzahl tritt hier Resonanz auf?

b) Amplitude x der stationären Schwingungsantwort x t in mm bei dieserResonanzdrehzahl

c) Amplitude x bei 1n = 90 U/min, 2n = 100 U/min und 3n = 300 U/min

3.) Mit Dämpfung

a) bis c): Gleiche Fragen wie bei 2.)

4.) Skizzieren Sie die Vergrößerungsfunktionen ,uV D für 2.) und 3.) in einem gemeinsamen Diagramm und kennzeichnen Sie die berechneten 6 Einsatzfälle a)

bis c).

5.) Berechnen Sie näherungsweise, wie groß die Unwuchtmasse sein könnte, um im gedämpften Resonanzfall gerade noch eine harmonische Schwingung mit stx x

zu ermöglichen. ( stx ist die statische Auslenkung der beiden Federn infolge Eigengewicht.)

m 1

x

mu

b kk

g

Refreshing zu 1 Freiheitsgrad

Ergebnisse D 61:

1.) o = 9,95 1s = 0,495 1s D 5 %

2.) a) Resn = 95,0 U/min b) Resx = mm

c) 1x = 13,0 mm 2x = 15,2 mm 3x = 1,65 mm

3.) a) Resn = 95,2 U/min b) Resx = 14,94 mm

c) 1x = 9,55 mm 2x = 10,9 mm 3x = 1,65 mm

5.) um 7,1 kg wegen stx = 99,1 mm

Hinweis zum Vorspann:

Erreger-Koordinaten sind keine freien Koordinaten!

Sie werden demzufolge bei der Anzahl der Freiheitsgrade NICHT mitgezählt.


Thema

≔m1 100 ≔k 5 ―― ≔b 100 ―

≔mu 1 ≔ru 15 ≔m +m1 mu

≔δ ――b

2 m≔ωo

‾‾‾‾‾――

+k k

m≔D ―

δ

ωo

=δ 0.495 ―1

=ωo 9.95 ―1

=D %4.975

≔xstat ―――⋅mu ru

m=xstat 1.485

≔nR ⋅――1

⋅2ωo =nR 95.019 ――

1 Resonanz-Drehzahl ungedämpft ≔no nR

Erreger-Drehzahl ≔n1 ⋅90 ――1

≔η1 ―n1

no

=η1 0.947

≔Vu (( ,η D)) ――――――――η

2

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾+⎛⎝ −1 η

2 ⎞⎠2

⋅⋅4 D2

η2

speziell ≔Vu1 Vu ⎛⎝ ,η1 D⎞⎠

=Vu1 6.431 bei =η1 0.947

Daraus folgt: ≔xdyn ⋅xstat Vu ⎛⎝ ,η1 D⎞⎠ =xdyn 9.551

≔η , ‥0 0.01 2.5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

1

12

0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.250 0.25 2.5

Vu

(( ,η D))

Vu

(( ,η 0))

Vu1

η

η

η1

für diese Drehzahl n1

=D %5




Thema

Darstellung der Zeitfunktion x(t) für diesen konkreten Wert η1

z.B. für die Anfangswerte ≔xo 0 ≔vo 200 ――

Zunächst die homogene Lösung:

≔ωg ⋅ωo‾‾‾‾‾‾−1 D

2

≔xA

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

+xo2 ⎛

⎜⎝―――

+vo ⋅δ xo

ωg

⎞⎟⎠

2

=xA 20.125 ≔φo asin⎛⎜⎝―xo

xA

⎞⎟⎠

=φo 0

≔xh ((t)) ⋅⋅xA⋅−δ t

sin ⎛⎝ +⋅ωg t φo⎞⎠ ≔z ((t)) ⋅xA⋅−δ t

≔zu ((t)) −z ((t))

≔t , ‥0 0.01 15

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

-24

-20

24

3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.50 1.5 15

xh

((t)) (( ))

z ((t)) (( ))

zu ((t)) (( ))

t (( ))

=D %5




Thema

Partikuläre Lösung : xp

((t)) für eine konkrete Abstimmung η1

folgt aus =xdyn 9.551

und dem "Nacheilwinkel"

≔φN atan⎛⎜⎝―――

⋅⋅2 D η1

−1 η12

⎞⎟⎠

Nacheilwinkelfür Kraft- und UnwuchterregungFischer/Stephan S.90

=φN 42.5

Erregerkreisfrequenz: ≔Ω1 ⋅⋅2 n1 =Ω1 9.425 ―1

≔xp ((t)) ⋅xdyn sin ⎛⎝ −⋅Ω1 t φN⎞⎠ ≔xh ((t)) ⋅⋅xA⋅−δ t

sin ⎛⎝ +⋅ωg t φo⎞⎠

Gesamtlösung: ≔x ((t)) +xh ((t)) xp ((t))

≔t , ‥0 0.01 15

! Dieses Ergebnis ist noch NICHT korrekt !

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-25

-20

30

3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.50 1.5 15

x ((t)) (( ))

z ((t)) (( ))

zu ((t)) (( ))

t (( ))

Di h Lö fü d Ei h i l t t k kt




Thema

Die homogene Lösung für den Einschwingvorgang lautet korrekt:

≔A +xo ⋅xdyn sin ⎛⎝φN⎞⎠ ≔B ⋅―1

ωg

⎛⎝ −+vo ⋅δ A ⋅⋅xdyn Ω1 cos ⎛⎝−φN⎞⎠⎞⎠

≔xhE ((t)) ⋅⋅−δ t

⎛⎝ +⋅A cos ⎛⎝ ⋅ωg t⎞⎠ ⋅B sin ⎛⎝ ⋅ωg t⎞⎠⎞⎠

Gesamtlösung: ≔x ((t)) +xhE ((t)) xp ((t))

≔t , ‥0 0.01 15 Erst damit entsteht die richtige Zeitfunktion

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

-24

-20

24

3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.50 1.5 15

x ((t)) (( ))

z ((t)) (( ))

zu ((t)) (( ))

t (( ))



Mcad-3a.mcdxMathcadPrime 3.0

Thema

≔m1 100 ≔k 5 ―― ≔b 100 ―

≔mu 1 ≔ru 15 ≔m +m1 mu

Erreger-Drehzahl ≔n1 ⋅90 ――1

≔η , ‥0 0.01 2.5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

1

12

0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.250 0.25 2.5

Vu

(( ,η D))

Vu

(( ,η 0))

Vu1

η

η

η1

=D %5 =Vu1 6.431

bei =η1 0.947

Darstellung der Zeitfunktion x(t) für diesen konkreten Wert η1

z.B. Anfangswerte ≔xo 20 ≔vo 150 ――

≔t , ‥0 0.01 15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20

-15

25

3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.50 1.5 15x ((t)) (( ))

t (( ))

=xstat 1.485 =xdyn 9.551



Mcad-M4.mcdxMathcadPrime 2.0

Aufgabe M4

Alle Feldelemente sollen mit dem Index 1 beginnen

oben Matrizen/Tabellen > Matrix einfügen

Eigenwerte:

! ohne Maßeinheiten

Vektor der Eigenfrequenzen fo1, fo2

Der Größe nach aufsteigend sortiert:

Eigenvektoren

Modalmatrix:

daraus p-ter Eigenvektor:

oben Matrizen/Tabellen > Vektor-/Matrixoperatoren > Matrixspalte

... Matrixzeile

Mit Mathcad Express erstellt. Siehe www.mathcad.com für weitere Informationen.

D. Joensson HTW Berlin Seite 1 von 1

Mathcad 14 Aufgabe M4Mcad-M4Seite 1 von 2

k1m1

k2

m2m1 10kg m2 20kg k1 50Nmm

k2 30Nmm

2 Schwingformen. Darstellung der Schwingform-Nr. p 1

Region: Berechnung

ORIGIN 1 ! Alle Feldelemente sollen mit dem Index 1 beginnen

Mm1

0

0

m2! Matrix: oben Symbolleiste "Matrix"

M10

0

0

20kg

Kk1 k2

k2

k2

k2K

80000

30000

30000

30000kg

s2

_________________________________________________________________

Eigenwerte:

genwerte K M( )8631.044

868.9561

s2

o

fo12

fo14.786

4.692Hz

Der Größe nach aufsteigendsortiert:

fs sort fo( ) fs4.692

14.786Hz

_________________________________________________________________

Eigenvektoren:

Mo genvektoren K M( )Mo

1

0.21

0.421

1dimensionslos !Modalmatrix

Mo

pE Mo p p-ter Eigenvektor = p-te Spalte der Modalmatrix pE1

0.21! Exponent <p> : Symbolleiste Matrix,

dort M anklicken

die zugehörige Eigenfrequenz:

fp fop fp 14.786 Hz

! geschrieben f.p:fodann Index p des Vektors fo:Symbolleiste Matrix, dort Xn anklicken

Joensson HTW Berlin 2012

Mathcad 14 Aufgabe M4Mcad-M4Seite 2 von 2

Simulation einer einzelnen Schwingform in Bewegung

z.B. Animation einer Schwingungsperiode T = 1 / fp in k 10

Schritten:t

FRAMEk fp2 fp

FRAME: siehe Mathcad-HilfeKoordinaten der beiden Körper in Matrix-Schreibweise:

z.B. Masse 1unten

Masse 2 oben

Ko1

0

4

4

0

0

3

3

4

4

3

x1 Ko1 1 Ko2

0

4

4

0

0

8

8

10

10

8

x2 Ko2 1

1. Spalte von Ko1:x-Koordinaten

Boden:

xb0

4yb

1

1

Auslenkung der p-tenEigenform:

z1 pE1 z1 1 z2 pE2 z2 0.21

Sinusförmige-Verschiebung der beiden Körper: v1 z1 cos t( ) v2 z2 cos t( )

y1 Ko1 2 v1 y2 Ko2 2 v2

elastische Verbindungen:

oben: xo2

2yo

y22

y13unten: xu

2

2yu

y11

1

Anzeige der Unterkanten in Ruhestellung: m1 3 m2 8Region: Berechnung

p-terEigenvektor:

unten <== normierte Auslenkung pE

1

0.21 oben

fp 14.786 Hz zugehörige Frequenz

1 2 5

6

12

m2

m1

y2

y1

yo

yu

yb

x2 x1 xo xu xb

Animation: Oben > Extras > Animation >Aufzeichnen >

Das Bild mit der Maus einrahmen.

Im Fenster Animation aufzeichnen:Animieren anklicken für FRAME von 0 bis 9 ( mit 9 = k -1 )

Die Achsen und die Argumente der Spuren können auchausgeblendet werden.

m1 und m2 im Bild eintragen:Bild doppelklicken > Primäre Y-Achse Markierung anzeigen > eintragen.


Mcad-M4-St.mcdxMathcadPrime 2.0

Aufgabe M4mit Dämpfung und Stützenerregung

Stützenerregung

Alles dimensionslos:

Lösung in Matrix-Schreibweise:

Alle Feldelemente sollen mit dem Index 1 beginnen

komplexe Nachgiebigkeits-Matrix Nmitimaginärer Einheit j, geschrieben als 1j

Komplexe Vergrößerungsfunktion für Stützenerregungan der Feder k1 und dem Dämpfer b1

Daraus folgen:

reelle Antwort-Amplitude der der unteren Masse m1infolge Stützenerregung mit Erreger-Amplitude s1

Betrag: oben Rechnen > Operatoren > Algebra > Absoluter WertIndex 1,1: oben Matrizen/Tabellen > Vektor-/Matrixoperatoren > M

Antwort-Amplitude der oberen Masse m2



Mcad-M4-St.mcdxMathcadPrime 2.0

Aufgabe M4mit Dämpfung und Stützenerregung

Frequenz-Darstellung bis maximal

--- Masse m2 oben--- Masse m1 unten



Mathcad 14 Aufgabe M4 mit Dämpfung u. Stütz.erreg.

Mcad-M4-StSeite 1 von 4

m1 10kg k1 50Nmm

b1 100kgs

m2 20kg k2 30Nmm

b2 200kgs

Stützenerregung s(t) = s1 cos t( )

mit Amplitude s1 2mm

______________________________________________________________________

Allesdimensionslos:

m0 1kg k0 1Nm

b0 1kgs

s0 1m

m1m1m0

m2m2m0

k1k1k0

k2k2k0

b1b1b0

b2b2b0

s1s1s0

___________________________________

Aufbereitung der komplexen Übertragungsfunktionen H1_ und H2_ in Abhängigkeit von :

01b1 b22 m1 02

b22 m2 12

b22 m1 21

b22 m2

01k1 k2m1 02

k2m2 12

k2m1 21

k2m2

(Herleitung dazu siehe Irretier, Band 2, ab S. 39)

a( ) 022

01 b( ) 2 02 01

c( ) 401 02 4 01 02 4 12 21

201 02 12 21

d( ) 2 01 023

12 21 21 12 01 02 02 01

e 21 01 f ( ) 2 21 01

w( )k1

k1 k21 4

b1 k1 k2( )k1 b1 b2( )

2 012

01

2

01Faktor w = gk1 01 k

Komplexe Übertragungsfunktionen H1_ und H2_ :

H1_( )a( ) j b( )c( ) j d( )

w( ) H2_( )e j f ( )c( ) j d( )

w( )

! Eingabe für imaginäre Einheit j in Mathcad: 1j




Daraus reelle Vergrößerungsfunktionen berechnen:

V1( ) H1_( ) V2( ) H2_( )

! Betrags-Eingabe in Mathcad: Taste Alt Gr und |

Amplituden in Meter:

xai = xstat Vi für xi t( ) mit xstat = s1 wegen Stützenerregung

xa1( ) s1 V1( ) xa2( ) s1 V2( )

Frequenz-Darstellung bismax.

fm 50Hz

m fm 21Hz

0 0.01 m ferr( ) 2

0 12.5 25 37.5 500

4

8

12

16

20m1 untenm2 oben

Amplituden-Frequenzgang in mm über ferr in Hz

xa1( )

mm

xa2( )

mm

ferr( )

! Im Bild rechts unten fmeintragen

ungedämpfte Eigenfrequenzen (Irretier Band 2, S. 12)

fo112

12 01 02

14 01 02

212 21 Hz fo1 4.692 Hz

fo212

12 01 02

14 01 02

212 21 Hz fo2 14.786 Hz




Alternative Berechnung: In Matrix-Schreibweise

Mm1

0

0

m2K

k1 k2

k2

k2

k2D

b1 b2

b2

b2

b2

N_( ) K j D 2 M1

komplexe Nachgiebigkeits-Matrix ("Frequenzgang-Matrix", Irretier Band 2, S. 96)

V_( ) N_( ) k1 j b1( ) komplexe Vergröß.funktion für Stützenerregungan der Feder k1 und dem Dämpfer b1

ORIGIN 1 ( Die Indizierung der Matrizen soll mit 1 beginnen )

xa1( ) s1 V_( )1 1 reelle Antwort-Amplitudeninfolge Stützenerr. mit Erreger-Ampl.s1

! Matrix-Indizes: Symbolleiste"Matrix", dort xnanklicken

xa2( ) s1 V_( )1 2

0 12.5 25 37.5 500

4

8

12

16

20m1 untenm2 oben


xa1( )

mm

xa2( )

mm

ferr( )

ungedämpfteEigenfrequenzen

genwerte K M( ) fo12

Hz fo sort fo( ) fo4.692

14.786Hz

Der Größe nach aufsteigend sortiert.

Mo genvektoren K M( ) Mo1

0.21

0.421

1




Zum Vergleich: 1 Freiheitsgrad

z.B. wenn es nur die untere Masse m1 sowie k1 und b1 gäbe:

m1 10kg k1 50Nmm

b1 100kgs

s1 2mm

ok1m1 o 70.711

1s

fo12 o fo 11.254 Hz

b12 m1 5

1s

Do

D 7.1 %

xstat s1 xstat 2 mm

Vst D( )1 4 2 D2

1 22

4 D2 2VRes

12 D

152D2

für D < 0.2VRes 7.159

Amplitude in m: xa1( ) xstat Vst D( )

Frequenz-Darstellung bis max. fm 50 Hz mfmfo

0 0.01 m ferr( ) fo

0 12.5 25 37.5 500

4

8

12

16

20m1 unten


xa1( )

mm

ferr( )

Koordinaten ablesen: Rechte Maustatste


Mathcad 14Harmon. Krafterregung

mit1 Freiheitsgrad

H-K1Seite 1 von 3

Reell-wertige Beschreibung der stationären Schwingungsantwortx(t) = xa sin t( )

V D( )1

1 2 2 4 D2 2Vergrößerungsfunktion dimensionslosfür Krafterregungzur Berechnung der Antwort-Amplitude xa = xstat V

0 1 2 3 40

2

4

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

V 0.1( )

V 0.2( )

V 0.3( )

V 0.4( )

V 0.7( )

Phasenverschiebung ( Nacheilwinkel ) D( ) in Radiantder Schwingungsantwortin Relation zur Erregung

D( ) atan2 D

1 2

! siehe Nachtrag auf Seite 3

0 1 2 3 42

0

2

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

20.1( )

0.2( )

0.3( )

0.4( )

0.7( )

1


mit1 Freiheitsgrad

H-K1Seite 2 von 3

Komplex geschriebene Schwingungsantwort:

V_ D( )1

1 2 j 2 Dkomplexe Vergrößerungsfunktion fürKrafterregung

reelle Vergrößerungsfunktion V D( ) V_ D( )

0 1 2 3 40

2

4

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

V 0.1( )

V 0.2( )

V 0.3( )

V 0.4( )

V 0.7( )

Nacheilwinkel: D( ) arg V_ D( )

0 1 2 3 40

1

2

3

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

2

0.1( )

0.2( )

0.3( )

0.4( )

0.7( )

1


mit1 Freiheitsgrad

H-K1Seite 3 von 3

Nachtrag zur reell-wertigen Darstellung der Phasenverschiebung:

Weil der Arcustangens nur zwischen -2

und +2

definiert ist, muss bei der Darstellung

eine Fallunterscheidung berücksichtigt werden:

f D( ) atan2 D

1 2g D( ) atan

2 D

1 2

D( ) wenn 1 f D( ) g D( )( ) ! wenn-Anweisung, siehe Mathcad-Hilfe

d.h. wenn 1 , dann gilt f D( ) , ansonsten g D( )

Erst damit entsteht:

0 1 2 3 40

1

2

3

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

2

0.1( )

0.2( )

0.3( )

0.4( )

0.7( )

1

Mathcad 14Harmon. Unwuchterregung

mit1 Freiheitsgrad

H-U1Seite 1 von 2


V D( )2

1 2 2 4 D2 2Vergrößerungsfunktionfür Unwuchterregungzur Berechnung der Antwort-Amplitude xa = xstat V

0 1 2 3 40

2

4

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

V 0.1( )

V 0.2( )

V 0.3( )

V 0.4( )

V 0.7( )

Phasenverschiebung ( Nacheilwinkel ) D( )der Schwingungsantwortin Relation zur Erregung

D( ) atan2 D

1 2

Wie in H-K1, Nachtrag Seite 3

0 1 2 3 42

0

2

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

20.1( )

0.2( )

0.3( )

0.4( )

0.7( )

1

Mathcad 14Harmon. Unwuchterregung

mit1 Freiheitsgrad

H-U1Seite 2 von 2


V_ D( )2

1 2 j 2 Dkomplexe Vergrößerungsfunktion fürUnwuchterregung


0 1 2 3 40

2

4

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

V 0.1( )

V 0.2( )

V 0.3( )

V 0.4( )

V 0.7( )

Nacheilwinkel: D( ) arg V_ D( )( )

0 1 2 3 40

1

2

3

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

2

0.1( )

0.2( )

0.3( )

0.4( )

0.7( )

1

Mathcad 14Harmon. Stützenerregung

mit1 Freiheitsgrad

H-St1Seite 1 von 3


V D( )1 4 D2 2

1 2 2 4 D2 2Vergrößerungsfunktionfür Stützenerregungzur Berechnung der Antwort-Amplitude xa = xstat V

0 1 2 3 40

2

4

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

V 0.1( )

V 0.2( )

V 0.3( )

V 0.4( )

V 0.7( )

Phasenverschiebung ( Nacheilwinkel ) D( )der Schwingungsantwortin Relation zur Erregung

D( ) atan2 D 3

1 2 4 D2 2

Siehe Nachtrag Seite 3

0 1 2 3 42

1

0

1

2

3

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

20.1( )

0.2( )

0.3( )

0.4( )

0.7( )

1


mit1 Freiheitsgrad

H-St1Seite 2 von 3


V_ D( )1 j 2 D

1 2 j 2 Dkomplexe Vergrößerungsfunktion fürStützenerregung


0 1 2 3 40

2

4

D = 0.15D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70V 0.1( )

V 0.2( )

V 0.3( )

V 0.4( )

V 0.7( )

Nacheilwinkel: D( ) arg V_ D( )

0 1 2 3 40

1

2

3

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

2

0.1( )

0.2( )

0.3( )

0.4( )

0.7( )

1


mit1 Freiheitsgrad

H-St1Seite 3 von 3

Nachtrag zur reell-wertigen Darstellung der Phasenverschiebung:

Die Fallunterscheidung für den Arcustangens zwischen -2

und +2

betrifft hier nicht die

Grenze für = 1 wie bei Harm-K1 und -U1, sondern den Winkel selbst.

Deshalb

N D( ) atan2 D 3

1 2 4 D2 2

D( ) N D( )

N D( ) 0if

oben: Symbolleiste "Programmierung"+1 Zeile

Erst damit entsteht:

0 1 2 3 40

1

2

3

D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70

2

0.1( )

0.2( )

0.3( )

0.4( )

0.7( )

1

Mathcad 14 e-Funktion komplexMcad-ek

Seite 1 von 5

z.B. für: b 8

x_( ) b ei x Unterstrich statt x bzw. x~ für komplexe Größe

! imaginäre Einheit in Mathcad: 1i schreiben

Eine direkte Darstellung dieser Funktion ist nicht möglich:

1 0.5 0 0.5 17.99

7.995

8

8.005

8.01

x_ ( )

Darstellbar ist jedoch eine Auftragung des Imaginärteils über dem Realteil:

Real-Teil: xr( ) Re x_( )( ) Imaginär-Teil: xi( ) Im x_( )( )

10 5 0 5 1010

5

0

5

10

Im x_ ( )( )

Re x_ ( )( )

"Gaußsche Zahlenebene"

bzw. etwas schöner, wenn beide Skalen gleich groß sind:

10 5 0 5 1010

5

0

5

10

Im x_ ( )( )

Re x_ ( )( )

So also sieht x_( ) b ei

aus.

b ist hier offenbar der Radius des Kreises.

Aber wo ist ?


Seite 2 von 5

Anzeige eines konkreten Wertes für : z.B: 1 0.9 xr1 xr 1 xi1 xi 1

10 5 0 5 10

10

5

5

10

xi( )

xi 1

xr( ) xr 1

(Radiant)

<== Komplexer Einzelwert x_ 1 :

Koordinaten der Linie 0 bis x_1

i10

xi1r1

0

xr1

10 5 0 5 10

10

5

5

10

xi( )

xi1

i1

xr( ) xr1 r1

x_ 1 1 51.566Grad

1 mit Betrag = Länge der braunen Linie

und Imaginäranteil ("Stamm", hier blau)

1 ist hier der Winkel bei 0 indiesem Dreieck.

Die Projektion auf die Imaginärachse Im(x_) = xi liefert eine perfekte Sinusfunktion für variabel:

0 5 10 15

10

5

5

101

xi( )

==> Winkel in Radiant

Die Projektion auf die Real-Achse Re(x_) = xr liefert eine perfekte Cosinusfunktion:

0 5 10 15

10

5

5

101

xr( )

in Radiant


Seite 3 von 5

10 5 0 5 10

10

5

5

10

xi( )

xi1

i1

xis

Lis

xr( ) xr1 r1 xrs Lrs

Mit Phasenverschiebung: z.B.: 0.4

22.918Gradx_( ) b ei ( )

xi( ) Im x_( )( ) xr( ) Re x_( )( )

Der Startpunkt bei = 0 hat die komplexen Koordinaten: xis Im x_ 0( )( ) xrs Re x_ 0( )( )

Koordinaten der Linie 0 bis x_s : Lis0

xisLrs

0

xrs

x_1 bei = 1x_s = fester Startpunkt bei = 0

( Winkel )

Sinusfunktion, nach links verschoben um : Startwert xis bei =0

0 5 10 15

10

5

5

101

xi( )

Verschobene Cosinusfunktion:

0 5 10 15

10

5

5

101

Startwert xrs bei = 0

xr( )


Seite 4 von 5

Zeitabhängige Schwingungen

An Stelle von : Kreisfrequenz mal Zeit t. z.B. 1.5 N 0.5

N 28.648Grad

Nacheilwinkelx_ t( ) b e

i t N

xi t( ) Im x_ t( )( ) xr t( ) Re x_ t( )( )

Anzeige eines konkreten Wertes für t : z.B: t1 0.9 xr1 xr t1 xi1 xi t1

Der Startpunkt bei t = 0 hat die komplexen Koordinaten: xis Im x_ 0( )( ) xrs Re x_ 0( )( )

Koordinaten der Linie 0 bis x_s : Lis0

xisLrs

0

xrs

Koordinaten der Linie 0 bis x_1 i10

xi1r1

0

xr1

t 0 0.01 20

10 5 0 5 10

10

5

5

10

xi t( )

xi1

i1

xis

Lis

xr t( ) xr1 r1 xrs Lrs

x_1 bei t = t1

x_s = fester Startpunkt bei t =0 ( Winkel N )

1 t1 1 77.349Grad Winkel zw. Startwert und x_s und x_1


Seite 5 von 5

Die reellen Anteile der komplexen Zeitfunktion x_ t( ) b ei t N sind:

mit tNN Nacheilzeit

0 2 4 6 8 10

10

5

5

10

Im x_ t( )( )

xi1

t1tN

t t1

xi t( ) b sin t N (Projektion auf die imaginäre Achse)

xi t( ) Zeit t

0 2 4 6 8 10

10

5

5

10

Re x_ t( )( )

xr1

t1tN

t t1

xr t( ) b cos t N (Projektion auf die reelle Achse)

Zeit t

Mathcad 14 e-Funktionen reellMcad-er

Seite 1 von 2

z.B. für: r 8 0.2

Abklingfunktion a t( ) r e t Sättigungsfunktion s t( ) r 1 e t

t 0 0.01 50

0 10 20 300

2

4

6

8

10

a t( )

s t( )

t

Wachstumsfunktion w t( ) r e t Dazu die Inverse : iw t( )1lntr

Gespiegelt an: sp t( ) tt 20 19.99 150

0 50 100

0

50

100

w t( )

iw t( )

0

sp t( )

0

t

Mathcad 14 e-Funktionen reellMcad-er

Seite 2 von 2

Summe zweier e-Funktionen:

z.B.: e1 t( ) r e t e2 t( ) r e 2 t se t( ) e1 t( ) e2 t( )

t 0 0.01 50

0 10 20 30 40

0

2

4

se t( )

e1 t( )

e2 t( )

t

Gaußsche Glockenkurve:

z.B.: g t( ) r e t2 to 4 gv t( ) r et to

2

Verschiebung nach rechts um tot 10 9.99 10

10 5 0 5 100

2

4

6

8

g t( )

gv t( )

t

Maschinendynamik

FEM-Übungen

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS

HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 1 von 11


1.) Einfaches Pendel als Starrkörper Zunächst soll das dynamische Verhalten eines Starrkörper-Pendels im Schwerkraftfeld g untersucht werden:

Ordner [ W23 Pendel ] erstellen > dort hinein die Datei Pendel WB-13.agdb kopieren. Geometrie einlesen:

Workbench extra starten (wenn Sie die agdb-Datei doppelklicken, würde nur die Version 13 starten)

> Speichern unter … Ordner W23 Pendel … Projekt-Name W-23 >

Links im Strukturbaum: Komponentensysteme > Geometrie doppelklicken > Umbenennen:

Pendel > 2 Geometrie > Rechte Maustaste > Geometrie importieren > Durchsuchen >

im Ordner [ W23 Pendel ] Datei Pendel WB-13.agb doppelklicken.

Links im Strukturbaum: Mehrkörperdynamik in die Mitte ziehen … Bezeichnung des Blocks B:

Einfaches Pendel > Von Block A Nr. 2 Geometrie mit der Maus auf Block B ziehen.

Block B Nr. 4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Modell > Geometrie >

Volumenkörper.

Lins unten: Eigenschaften.

Angezeigt werden die Masse des Körpers, die Schwerpunktlage sowie die drei Hauptträgheits-

momente Ip1 bis Ip3, wobei diese nicht der Größe nach geordnet sind, sondern den in der Mitte

angezeigten Hauptachsen x, y und z am Körper zugeordnet sind.

g


HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 2 von 11 Lagerung:

Das Pendel soll in der oberen Bohrung drehbar gelagert werden.

Dazu Links im Strukturbaum: Modell (B4) > Kontakte/Verbindungen > oben: Körper-Lagerung >

Umdrehung > Links unten: Bereich Keine Auswahl anklicken > Mitte: Die zylindrische Fläche der

Bohrung anklicken > links unten: Anwenden Die Drehung um die z-Achse ist damit

voreingestellt.

Schwerkraftfeld:

Links im Strukturbaum: Transient > oben: Trägheitslasten > Erdanziehungskraft > links unten

Richtung -Y-Richtung einstellen.

Was soll berechnet werden?

z.B. der zeitabhängige Winkel der Auslenkung und die Lagerkraft.

Ergebnisvorbereitung für den Winkel:

Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper mit der linken Maustaste auf

Lösung ziehen Flächenverbindungsstichprobe anklicken > links unten: Ergebnistyp >

Relative Rotation > Ergebnisauswahl: Z-Achse.

Dann Flächenverbindungsstichprobe umbenennen zu Winkel Phi (t).

Ergebnisvorbereitung für die Lagerkraft:

Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper mit der linken Maustaste auf

Lösung ziehen Flächenverbindungsstichprobe anklicken > links unten: Ergebnistyp >

Gesamtkraft > bleibt so > Ergebnisauswahl: Gesamt.

Dann Flächenverbindungsstichprobe umbenennen zu Lagerkraft (t).

Oben

Winkel Phi und Lagerkraft schwanken so geringfügig, dass keine Bewegung erkennbar ist.

Das Pendel benötigt eine Startposition!

z.B. um 90 Grad angehoben.

Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper > oben: Konfigurieren >

Oben: = 90 (mit Enter-Taste) eintragen >

oben: > ganz oben: Lösung.

Unten: Graph (Diagramm) > Animation jetzt schwingt das Pendel sichtbar.

Beim Winkel fällt auf, dass keine vollständige Schwingung erfolgt.


HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 3 von 11 Deshalb sollte der Zeitbereich vergrößert werden:

Links im Strukturbaum: Analyseeinstellungen > links unten Zeit nach Schritt z.B. 10 eingeben.

Oben: Lösung.

Bei der Animation entstehen jetzt ruckartige Bewegungen.

Mitte unten: Links neben der Glühbirne Ergebnissätze anklicken und statt 2 Sek. besser 10 Sek. :

Wie schnell sollte das Pendel eigentlich schwingen?

Gebraucht wird dazu das Massenträgkeitsmoment um die Drehachse z des Lagers sowie

zusätzlich die Masse des Körpers.

Tipp dazu: In Ansys wird unter Volumen nur das Hauptmassenträgheitsmoment erwähnt und

die Schwerpunktlage als Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt.

Daraus kann für den einfachen Pendelschwinger (als physikalisches Pendel) die Eigen-

frequenz bzw. die Schwingungsdauer von Hand berechnet werden.

Die richtige Formel dazu lautet (Selbststudium!): 22 ( ) / ( )T Js m mg

Die Schwingungsdauer in Ansys wiederum lässt sich ermitteln aus:

Animation: Stopp-Taste drücken > einen Gipfel der Zeitfunktion anklicken und mit der

linken Maustaste nach rechts bis zum nächsten Gipfel ziehen. In der Tabelle rechts unten sind

genauere Werte für die Gipfel-Zeiten ablesbar.

im blauen Bereich Rechte Maustaste > In Bereich zoomen

Die Differenz-Zeit vom linken zum rechten Gipfel ist die Schwingungsdauer.

Ergibt sich eine Abweichung zwischen Ihrer Handrechnung und dem Ergebnis von Ansys?

Ansys rechnet anders, es berechnet numerisch nichtlineare Differenzengleichungen, während

in der Handrechnung nur linearisierte Lösungen für kleine Winkel verwendet werden!

Geben Sie nun in Ansys bitte nur einen Anfangswinkel von 5 Grad vor:

Dazu Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper > oben:

… 5 (Enter) Grad … Wie ist jetzt die Übereinstimmung?

Starten Sie schließlich das Pendel mit einem Winkel von 180° wie im Vorlesungs-Beispiel T = ?



2.) Doppelpendel

Geometrie:

Auf der Projektseite (unten ) : Block A duplizieren > Block C umbenennen zu Doppelpendel >

C2 Geometrie doppelklicken.

Oben: Extras > Frieren > (sonst würden die folgenden Körper miteinander verschmelzen)

Ganz oben: Erstellen > Muster > Links unten: Geometrie > Mitte: Volumenkörper anklicken >

Links unten: Anwenden > Links unten: Richtung > Mitte: Kante in z-Richtung anklicken > Links

unten: Anwenden > Links unten: FD1 Versatz 30 mm >

Ergebnis 2 Bauteile:

Den zweiten Körper verschieben:

Ganz oben: Erstellen > Körpertransformation > Verschieben (Translation) > Mitte: Den zweiten

Körper anklicken > Links unten: Geometrie, Anwenden > Mitte: Eine Körperkante der

Längsrichtung y anklicken … FD2 400 mm …

Ergebnis:

MKS-Berechnung:

Auf der Projektseite: Links Mehrkörperdynamik auf C2 Geometrie ziehen > Block D umbenennen zu

Doppelpendel MKS > D4 Modell doppelklicken >

Links im Strukturbaum: Kontakte/Verbindungen > Kontakte löschen !

Lagerung einfügen:

Links im Strukturbaum: Kontakte/Verbindungen > oben: Körper-Lagerung > Umdrehung > Links

unten: Bereich Keine Auswahl > Mitte: Die zylindrische Bohrungsfläche der oberen Bohrung

anklicken > links unten: Anwenden.

Gelenkverbindung einfügen:

Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper > oben: >

Umdrehung > Links unten: Bereich Keine Auswahl > Mitte: Die zylindrische Bohrungsfläche der

unteren Bohrung des oberen Körpers anklicken > links unten: Anwenden >


HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 5 von 11 Links unten: Mobil > Bereich Keine Auswahl > Mitte: Die zylindrische Bohrungsfläche der oberen

Bohrung des unteren Körpers anklicken > links unten: Anwenden >

jetzt sollten die beiden Körper bei Körperansichten mit ihren Koordinatensystemen sichtbar sein.

Schwerkraftfeld:

Links im Strukturbaum: Transient > oben: Trägheitslasten > Erdanziehungskraft > links unten

Richtung -Y-Richtung einstellen.

Was soll berechnet werden?

z.B. der zeitabhängige Winkel der Auslenkung Winkel Phi_1 (t) und die Lagerkraft für den

oberen Körper sowie Winkel Phi_2 (t) des unteren Körpers sowie die Gelenkkraft zwischen

beiden Körpern.

Dazu Phi_1(t) und Lagerkraft wie beim einfachen Pendel vorbereiten, siehe Blatt 2 dieser Übung.

Winkel Phi_2(t):

Links im Strukturbaum: Umdrehung - Volumenkörper bis Volumenkörper mit der linken

Maustaste auf Lösung ziehen … Relative Rotation > Ergebnisauswahl: Z-Achse …

umbenennen zu Winkel Phi_2 (t).

Gelenk-Kraft (t):

ähnlich wie Lagerkraft, aber alles mit Volumenkörper bis Volumenkörper

Dann Start-Position vorgeben

z.B. 150 Grad für Umdrehung Erde bis Volumenkörper

und zusätzlich

minus 60 Grad für Umdrehung Körper zu Körper

Links im Strukturbaum: Analyseeinstellungen > z.B. 12 Sekunden.

Oben: Lösung.

Ergebnisse siehe Blatt 6:


HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 6 von 11 Winkel Phi_1:

Winkel Phi_2:

Lagerkraft (t):

Gelenk-Kraft (t):



3.) Doppelpendel MKS flexibel Das Mehrköpersystem Doppelpendel soll nun teilweise flexibel

berechnet werden. Dazu wird die Transiente Strukturmechanik von

Ansys Workbench genutzt.:

Auf der Projektseite (unten ) Block D duplizieren >

E1 Mehrkörperdynamik > Rechte Maustaste > Ersetzen: Transiente Strukturmechanik > Block E

umbenennen zu Doppelpendel MKS flexibel >

E4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Geometrie > den ersten Volumenkörper

anklicken > links unten: Steifigkeitsverhalten Starr Flexibel

Spannungsberechnung:

Links im Strukturbaum: Lösung > Alle bisherigen Lösungen (Winkel Phi_1 bis Gelenk-Kraft)

unterdrücken > Vergleichsspannung einfügen …

Zeitschritte vorgeben: (die können etwas größer sein als bei reiner Starrkörper-Berechnung)

Links im Strukturbaum: Transient (E5) > Analyseeinstellungen >

Links unten: Anfänglicher Zeitschritt z.B. 0,01

Min. Zeitschritt 0,01

Max. Zeitschritt 0,1

Berechnung starten: Oben Lösung.

Die Berechnung dauert jetzt deutlich länger als

bei reiner Starrkörperanalyse.

Ergebnisse, z.B.:



4.) Doppelpendel MKS - Export zu FEM statisch Das Mehrköpersystem Doppelpendel soll nun teilweise flexibel

berechnet werden, indem für ausgewählte Zeitpunkte und ausgewählte

Körper des MKS statische FEM-Lösungen erstellt werden als

"Momentaufnahmen".

Dazu wird die Statisch-mechanische Ananyse von Ansys Workbench

genutzt.:

Auf der Projektseite (unten ) Block D nochmals duplizieren >

F1 Mehrkörperdynamik > Rechte Maustaste > Ersetzen: Statisch-mechanische Analyse >

Umbenennen: Hebel 1 für Zeitpunkt t1 (max. Lagerkraft)

Zeitpunkt auswählen:

Block D > D4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Lagerkraft > Mitte: Graph > die

Stelle mit der größten Lagerkraft suchen > Mit der linken Maustaste hellblau markieren > Rechte

Maustaste: In Bereich zoomen > den Ort der höchsten Lagerkraft anklicken:

Für diese Zeit soll nun die statische Berechnung erfolgen:

Links im Strukturbaum: Lagerkraft > Rechte

Maustaste: Dieses Ergebnis abrufen >

Jetzt ist die Stellung der beiden Hebel zu

sehen, die zur maximalen Lagerkraft gehört:

Links im Strukturbaum: Lagerkraft >

Rechte Maustaste: > am besten in den Ordner [W23 Pendel]:

MotionLoads.txt > Speichern.

Diese Text-Datei enthält die momentanen dynamischen Belastungen der starren Körper des

MKS für den ausgewählten Augenblick.


HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 9 von 11 Statische Berechnung:

Auf der Projektseite: F4 Modell doppelklicken >

Gezeigt wird das MKS in der Anfangs-Lage:

Links im Strukturbaum: Den ersten Volumenkörper anklicken > Links unten: Starr Flexibel >

den anderen Volumenkörper unterdrücken.

Links im Strukturbaum: Kontakte/Verbindungen > Verbindungen unterdrücken >

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Erdanziehungskraft unterdrücken >

Statt dessen werden jetzt die "Bewegungslasten" für den gewählten Zeitpunkt eingelesen:

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Rechte Maustaste > Einfügen >

Bewegungslasten … > im Ordner W23 Pendel: MotionLoads.txt doppelklicken:

Ergebnis:

An Stelle der Lagerkraft gibt es jetzt eine

externe Kraft gleicher Größe, an Stelle

der Gelenk-Kraft eine zweite externe

Kraft in E.

Des Weiteren sind zwei Momente

vorhanden.

Links im Strukturbaum: Lösung > Die bisherigen Ergebnisse löschen.

Statt dessen einfügen: Verformung Gesamt und Vergleichsspannung (von Mises)

Oben: Lösung.

Die max. Vergleichsspannung ist so ähnlich wie die

der transienten Analyse auf Blatt 7,

allerdings kommt jetzt eine braun markierte

Warnmeldung.


HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 10 von 11 Mit Doppelklick auf die Warnmeldung ist der komplette Text sichtbar:

Die Angriffsflächen der beiden externen Kräfte werden hier jeweils noch von einem Moment

beansprucht.

Um dies zu vermeiden, werden die Bewegungslasten mit "externen Punkten" verbunden. Dann sollte

dieser Konflikt nicht mehr auftreten.

Die erste Fläche:

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Externe Kraft > Rechte Maustaste >

An externen Punkt anbinden > Jetzt gibt es im Strukturbaum eine neue Rubrik Externe

Punkte.

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Moment > Unten links:

Auswahlmethode > Externer Punkt > Externe Punkte: Externe Kraft - Externer Punkt

Die zweite Fläche:

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Externe Kraft 2 > Rechte Maustaste >

An externen Punkt anbinden > Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Moment

2 > Unten links: Auswahlmethode > Externer Punkt > Externe Punkte: Externe Kraft 2 -

Externer Punkt

Oben: Lösung Die braune Warnmeldung ist nicht mehr vorhanden. Das Netz könnte feiner sein … z.B. mit Elementgröße 3 mm für alles:

Allerdings ist dieser Hebel nicht unbedingt der maximal beanspruchte bei diesem Doppelpendel. Deshalb sollen jetzt die beiden Hebel ausgetauscht werden: Auf der Projektseite: Block F duplizieren > Block G umbenennen zu Hebel 2 > G4 Modell doppelklicken >


HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 11 von 11 Links im Strukturbaum: Geometrie > Den ersten Volumenkörper anklicken > Rechte Maustaste >

Unterdrückten Körpersatz umkehren >

Den zweiten Volumenkörper anklicken Flexibel.

Links im Strukturbaum: : Statisch-mechanisch (G5) > Alle Belastungen löschen > …

Bewegungslasten einlesen (MotionLoads.txt im Ordner W23 Pendel).

Links im Strukturbaum: Netz > Relevanz 0 > Oben: Lösung.

Wieder gibt es die braune Warnmeldung.

Also Externe Punkte verwenden wie auf Blatt 10 dieser Übung …

Ergebnis Vergleichsspannung in MPa , Netz mit 1715 Knoten

Feiner vernetzt, z.B. 3 mm Elementgröße für alles (222505 Knoten):

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W24 Workshop MKS

HTW Berlin Blatt 1 von 1


Zwei von Ansys bereit gestellte Workshop-Anleitungen mit Geometrie-Dateien sollen in dieser Übung nachvollzogen werden.

1.) Actuator Dieser Mechanismus (drehbar gelagert in A, gleitend in B und federnd in C) wird durch ein konstantes Moment um A angetrieben.

Die Anleitung dazu befindet sich in der Workbench-Hilfe der Version 16 unter dem Stichwort actuator. Die Geometrie-Datei ist im zip-Ordner [ W24 Workshop MKS ] enthalten.

2.) Kolbenmotor (Slider-Crank) inklusive transient flexibel gerechnet:

Die Anleitung und die Geometrie-Datei sind im zip-Ordner [ W24 Workshop MKS ] enthalten.

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W30 Harm-K-Err

HTW Berlin Harmonisch erzwungene Schwingung mit Krafterregung

Blatt 1 von 7

© Prof. Dr. Dieter Joensson HTW Berlin 2015

Vorbemerkung

Die Berechnung erzwungener gedämpfter Schwingung mit n Freiheitsgraden erfordert die detaillierte Vorgabe der (n x n)-Matrizen K , M und D , um daraus die komplexe Nachgiebigkeitsmatrix N_ ermitteln zu können. Für derartige Berechnungen sind auch FEM-Programme oder MKS-Programme einsetzbar, in denen die erforderlichen Matrizen programmintern aufgestellt werden. FEM-Programme: Z.B. Nastran, Altair, Ansys, Patran, Femgen ….. MKS (Mehrkörpersystem)-Programme: Z.B. Neweul, Adams, Simpack ….

MKS ist ein spezielles Berechnungsmodell , bei dem die kompakte Struktur folgendermaßen idealisiert wird: Die kompakte Struktur wird durch einzelne starre Körper als Punktmassen mit Rotations-trägheit idealisiert. Diese idealisierten Körper werden durch masselose Koppel-Elemente miteinander verbunden (masselose Federn und Dämpfer sowie Gelenke). Dabei entstehen relativ wenige Gleichungen (im Vergleich zu FEM). Demzufolge können Berechnungen extrem schnell ausgeführt werden. Dies ist vor allem für nichtlineare Bewegungsvorgänge von Vorteil.

Bei FEM dagegen wird die kompakte Struktur in nicht-starre finite Elemente zerlegt, die gleichzeitig Feder-, Dämpfer- und Trägheitseigenschaften haben.

Dabei entstehen je Elementknoten exakt so viele Gleichungen wie dieser Knoten Freiheits-grade hat. Bei feiner Vernetzung entstehen dadurch sehr viele Gleichungen. Speziell für erzwungene gedämpfte Schwingungen werden bei FEM die erforderlichen (n x n)-Matrizen K , M , D vollautomatisch aufgestellt.

Daraus wird rechnerintern die Matrix N_ erstellt.

An ausgewählten Freiheitsgraden (die vom Programmnutzer ausgewählt werden) kann nun wahlweise für harmonische Erregung die stationäre Schwingungsantwort als Amplituden-Frequenzgang und/oder als Phasen-Frequenzgang aus N_ berechnet und grafisch dargestellt werden.

Zum Beispiel: Eine Platte aus Baustahl, die einseitig fest eingespannt ist, soll krafterregt mit 100 N sinusförmig zu Dauerschwingungen angeregt werden.

Ges.: 1.) Max. Amplitude der Schwingungsantwort für 100 N Kraft-Amplitude

2.) Dauerfestigkeitsnachweis für Resonanz



Blatt 2 von 7

Zunächst nur Geometrie:

Workbench starten Projektseite: Links unten: Geometrie doppelklicken > Block A: Geometrie doppelklicken > Oben: Einheiten > Millimeter Ganz oben: Erstellen > Grundelemente > Quader > links unten: Diagonale x 50 y 5 z 200 Oben: Erstellen.

Zurück zur Projektseite (unten ) > Links oben: Datei > Speichern unter > Neuen Ordner erstellen, z.B. [ W30 Harm-K-Err ] > diesen Ordner doppelklicken > Dateiname (für das Projekt), z.B. W30

Modalanalyse

Zu jeder harmonischen Analyse erzwungener Schwingungen sollte vorab eine Modalanalyse

durchgeführt werden, um die in Frage kommenden Eigenfrequenzen kennen zu lernen.

Auf der Projektseite : Links: Modalanalyse mit linker Maustaste auf Block A Geometrie ziehen

Block B wird erstellt mit gleicher Geometrie wie A:

Block B: Modell doppelklicken

Mechanical startet.

Links im Strukturbaum: Modalanalyse > oben: Lagerungen:

Fixierte Lagerung an der rechten Seite der Platte wie im Bild auf Blatt 1. Oben: Lösung.

Links im Strukturbaum: Lösung > rechts unten: Tabellarische Daten > Frequenz [Hz] anklicken > Rechte Maustaste: Ergebnisse generieren > oben: Lösung. Jetzt sind die Schwingformen der 6 Eigenfrequenzen der Reihe nach sichtbar. Die Auslenkungen in mm sind irreführend! Siehe Übung W17.



Blatt 3 von 7

3.) Erzwungene Schwingung mit harmonischer Errgegung

(in Ansys "Harmonische Analyse" genannt)

Auf der Projektseite : Links: Harmonische Analyse mit linker Maustaste auf Block B6 Lösung

ziehen Block C wird erstellt mit gleichem Material und gleicher Geometrie und Lagerung wie B:

Oben: Berechnung aktualisieren.

Block C: Setup doppelklicken Mechanical startet.

Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > oben: Lasten > Kraft > Links oben: Eckpunkt > Mitte: Den Eckpunkt der Platte vorn links anklicken (siehe das Bild in Blatt 1) > … 100 N.

Die Lagerung ist schon aus der Modalanalyse vorhanden.

Weg-Amplituden-Frequenzgang

Berechnet werden soll der Amplituden-Frequenzgang der y-Verformung an einem ausgewählten Punkt des Bauteils.

Links im Strukturbaum: Analyseeinstellungen: Max. Wert des Bereiches (gemeint ist der zu berech-nende Frequenzbereich): z.B. 100 Hz Berechnet werden somit Amplituden und Nacheilwinkel der Schwingungsantwort zwischen 0 und 100 Hz.

Welche Amplituden?

z.B. Verformung in y-Richtung (vertikal) am Punkt vorn rechts. Dazu Links im Strukturbaum: Lösung > oben: Frequenzgang > Verformung > Mitte: Punkt auswählen > links unten: Geometrie > Anwenden.

Links unten: Ausrichtung Y-Achse >

Oben: Lösung > Links im Strukturbaum: Frequenzgang

Der Amplitudenverlauf (Amplitude über Frequenz) zeigt einen Anstieg, aber keine Gipfel, die an-steigen und absteigen. Zwischen 0 und 100 Hz gibt es hier offenbar noch keine Eigenfrequenz, die Resonanzgipfel erzeugt.



Blatt 4 von 7

Um einen Überblick zu erhalten, welche Eigenfrequenzen vorhanden sind, sollte die Modalanalyse beachtet werden: Die ersten 4 Eigenfrequenzen liegen hier zwischen 0 und 977 Hz.

Also wäre ein Frequenzbereich von 0 bis 1000 Hz oder 1200 Hz sinnvoll für die harmonische Ana-

lyse.

Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > Analyseeinstellungen > Max. Wert des Bereiches

1200 Hz.

Oben: Lösung.

Links im Strukturbaum: Frequenzgang Ergebnis: unbefriedigend.

Der Frequenzgang wurde vermutlich zu grob berechnet.

Deshalb Lösungsintervalle verfeinern:

Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > Analyseeinstellungen >

links unten: Lösungsintervalle 100

Oben: Lösung. Ergebnis Frequenzgang:

Gezeigt werden die Amplitude in logarithmischer Auftragung (Bode-Diagramm) und der Nacheilwin-

kel, hier als Phasenwinkel bezeichnet.

Links unten: Ergebnisse.

Die größte Amplitude tritt angeblich bei der 2. Eigenfrequenz auf.

! Außerdem wurde bisher keine Dämpfung vorgegeben, so dass theoretisch exakt unendlich große

Amplituden entstehen müssten!



Blatt 5 von 7

Eine genauere Berechnung wird ohnehin erst möglich, wenn die Eigenfrequenzen als Stützstellen der

Berechnung verwendet werden.

Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > Analyseeinstellungen > Ergebnisse bündeln Ja

(damit werden die Eigenfrequenzen als Stützstellen verwendet)

Die Frequenzbündelung 4 kann z.B. auch auf 10 oder mehr erhöht werden.

Oben: Lösung Fehlermeldung. Dämpfung ist erforderlich.

Links unten: Dämpfungssteuerung > Konstantes Dämpfungsverhältnis: z.B. 0,01 ( Lehrsche Dämpfung 1 %)

Oben: Lösung. Ergebnis Frequenzgang für Frequenzbündelung 10:

Die größte Antwort-Amplitude tritt jetzt bei der 1. Eigenfrequenz auf, siehe links unten +Ergebnisse. Sie ist deutlich größer als die anderen beiden Gipfelwerte, siehe links unten: Anzeige > Amplitude. lineare Ordinate statt logarithmisch.

Für diese Frequenz 103,8 Hz und diesen Phasenwinkel 90,572 ° (!) soll nun die Verformung und

die Vergleichsspannung im gesamten Bauteil berechnet werden.

Links im Strukturbaum: Lösung anklicken unter Harmonische Analyse > Oben: Verformung > Gesamt (bedeutet: resultierende Verformung im betreffenden Punkt)

Links unten: Statt Letzte genau die Frequenz angeben, die für die Maximale Amplitude bei der har-monischen Analyse (links unten: Ergebnisse) ermittelt wurde: 103,8 Hz



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Ebenso den entsprechenden Phasenwinkel angeben: 90,572°

Das alles ebenso für die Vergleichsspannung nach Mises.

Oben: Lösung. Links oben: Ergebnis 1,0 (Maßstabsgerecht) einstellen.

Die größte Verformung ist.:

vy-max = …………. mm Die max. (dynamische) Vergleichsspannung ist: σVmax = …………. MPa

Umbenennen der drei Ergebnisse links im Strukturbaum:

Frequenzgang Bezeichnung ergänzen: Frequenzgang vy am Punkt B

(Frequenzgang der Verschiebungsamplitude in y-Richtung an einem konkreten Punkt des Bauteils)

Gesamtverformung ergänzen: Gesamtverformung bei 1. Resonanz

Vergleichsspannung ergänzen: Vergleichsspannung bei 1. Resonanz

Im Vergleich dazu die statische Verformung (bei 0 Hz) infolge 100 N :

Gesamtverformung bei 1. Resonanz > Duplizikat ohne Ergebnisse > Umbenennen zu Gesamtver-

formung statisch

Links unten: Phasenwinkel 0°

Frequenz 0 Hz Fehler > 0,01 Hz > oben: Lösung.

Wie groß ist die statische Auslenkung? ……………… mm

Wie groß ist demzufolge der dynamische Vergrößerungsfaktor für Resonanz? ………..

Wie groß ist die max. statische Vergleichsspannung? …………. MPa

Wie groß darf hier die Kraft-Amplitude sein, damit der Dauerfestigkeitsnachweis erfüllt wird?

(Die Dauerfestigkeit von Baustahl beträgt nach der FKM-Richtlinie für reine Wechselbeanspru-

chung σw = 160 MPa für 97,5 % Überlebenswahrscheinlichkeit)

Fzul = ………………. N

Berechnen Sie mit dieser Kraft die harmonische Analyse erneut und prüfen Sie, ob damit 160 MPa als

max. dynamische Vergleichsspannung entsteht.



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Phasenwinkel ignorieren

Welchen Einfluss der Phasenwinkel hat, kann am besten gezeigt werden, indem dieser ignoriert

wird ( ! Resonanz bedeutet: Resonanzfrequenz + Nacheilwinkel)

Links im Strukturbaum: Vergleichsspannung bei 1. Resonanz > Rechte Maustaste: Duplikat oh-

ne Ergebnisse > Umbenennen Vergleichsspannung bei 1. Resonanz OHNE phi

Links unten: Phasenwinkel 0° eintragen > Oben: Lösung.

Ergebnisse: vy-max = …………. mm σVmax = …………. MPa Andere Resonanzen

Berechnen Sie nun die Verformung und die Vergleichsspannung für die 2. und 3. Resonanz.

Dazu Links im Strukturbaum: Lösung > Frequenzgang Duplikat ohne Ergebnisse >

Umbenennen zu Frequenzgang vy am Punkt B für die 2. Resonanz > links unten: Optionen

> Frequenzbereich: Angegeben > Minimale Frequenz: 500 Hz > Maximale Frequenz: 750

Hz > Oben: Lösung.

Dann kann links unten die Resonanz-Frequenz und der Phasenwinkel abgelesen werden …

Ergebnisse: vy-max = …………. mm σVmax = …………. MPa

Dann alles für die 3. Resonanz wiederholen … Ergebnisse: vy-max = …………. mm σVmax = …………. MPa Andere Dämpfung: Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > Analyseeinstellungen > Links unten: Dämpfungs-steuerungen > Konstantes Dämpfungsverhältnis 0,02 Oben: Lösung. Welche Ergebnisse entstehen jetzt für die 1. Resonanz im Vergleich zu 1 % Dämpfung?

σVmax = …………. MPa

vmax = ………….. mm Wie groß darf nun die Kraft-Amplitude sein, damit der Dauerfestigkeitsnachweis erfüllt wäre?

Fzul = ………………. N

Abschließend alles speichern: Links oben: Speichern > Projekt speichern.

Literatur-Empfehlung zur Maschinendynamik

Dresig, H., Holzweißig, F.: Maschinendynamik. Springer Vieweg Verlag, 11. Auflage 2012

Dresig, H., Fidlin, A.: Schwingungen mechanischer Antriebssysteme. Springer Vieweg Verlag, 3. Auflage 2014

Irretier, H.: Grundlagen der Schwingungstechnik. 2 Bände. Vieweg-Verlag 2001

Beitelschmidt, M., Dresig, H.: Maschinendynamik - Aufgaben und Beispiele. Springer Vieweg Verlag, 2015

Gasch, R., Knothe, K., Liebig, R.: Strukturdynamik. Springer Vieweg Verlag, 2.Auflage 2012

Brommundt, E., Sachau, D.: Schwingungslehre mit Maschinendynamik. Springer Vieweg Verlag, 2. Auflage 2014

Hollburg, U.: Maschinendynamik. Oldenbourg Verlag, 2. Auflage 2013

Jürgler, R.: Maschinendynamik. Springer Verlag, 3. Auflage 2003

maschinendynamikjoensson.f2.htw-berlin.de/ps/joen-skript_mdyn.pdfmaschinendynamik seite 3 joensson...

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