ESTUDIO DEL MOVIMIENTO PERIODICO DEL SISTEMA MASA-RESORTE

Experimento de Física Fundamenta IVIván Albeyro Tunubalá Ulluné 0934707

Miguel Armando Bermúdez Serrato. 0642833

Santiago de Cali, Lunes 17 de marzo de 2014UNIVERSIDAD DEL VALLE

RESUMENMediante esta práctica calcularemos experimentalmente el valor de la constante de elasticidad (k), y el periodo (T) haciendo uso de la ley de Hooke y la ecuación del movimiento armónico simple de un resorte sometido a una fuerza de deformación y así lograr aclarar los conceptos teóricos vistos dentro de la materia.

Palabras Clave: Periodo, Elasticidad, Ley de Hooke, movimiento armónico simple. _________________________________________________________________________

INTRODUCCIÓN

El movimiento vibratorio u oscilatorio de los sistemas mecánicos, constituye uno de los campos de estudio más importante de toda la física. Uno de estos sistemas que en muchas ocasiones ha sido objeto de nuestro estudio, es el sistema masa-resor-te, debido a las diferentes facetas que este presenta.

Es muy importante analizar los efectos tanto estáticos como dinámicos origina-dos por la masa del resorte. En este caso nos centramos en el efecto dinámico que la masa del resorte tiene sobre las oscila-ciones verticales del sistema, el cual está constituido por un resorte uniforme de masa ms y constante de elasticidad k, con una masa m sujeta en su extremo inferior.

Este experimento se realizó con el fin de determinar mediante dos procedimientos la constante elástica K, de un resorte.

La primera parte del desarrollo de este ex-perimento utilizó la Ley de Hooke, que es la relación entre la fuerza estacionaria aplicada al resorte y la magnitud del esti-ramiento. Luego se realizó un cálculo es-tadístico con los datos que se consiguie-ron gracias a las masas y la elongación que se presentaban en el resorte.

En el segundo procedimiento se trató de determinar dinámicamente la constante elástica K de un resorte. Esto pudo ser po-sible al estudiar la dependencia entre el período de las oscilaciones y la masa sus-pendida en el sistema masa-resorte. Este experimento reforzó la observación, el manejo de datos y la obtención de resulta-dos aproximados mediante cálculos.

En el desarrollo de esta práctica, podemos observar la propiedad que tienen algunos materiales de cambiar de forma al ser afectados por una fuerza de deformación y volver a su estado normal que depende

de un máximo esfuerzo que un material puede soportar.Conociendo la propiedad anteriormente mencionada podemos percatarnos de la existencia de diversos materiales que nos servirán para la implementación de siste-mas mecánicos útiles en el campo profe-sional.

MARCO TEÓRICO

Un cuerpo se denomina elástico si al actuar una fuerza sobre él sufre una deformación de tal manera que al cesar de actuar la fuerza recupera su forma original. El prototipo de un cuerpo elástico lo constituye un resorte o muelle en un rango de deformaciones no demasiado grandes (rango de elasticidad). Si la deformación supera un cierto umbral el resorte queda permanentemente deformado. [3]

El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento en ausencia de todo rozamiento.

La elasticidad es la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.

La Ley de Hooke dice que la cantidad de estiramiento o de compresión es directamente proporcional a la fuerza aplicada.

F=−kX (1)

X: Elongación o alargamiento producidok: Constante de Elasticidad (N/m)

Donde el signo negativo se debe a la fuerza restitutiva.

Como la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración tenemos que:

F=ma (La segunda ley de Newton) (2)

−kX=ma (3)

−kX=md2 xd t 2 (4)

X=OPEl péndulo recorre el arco DQ → β=wtx=OQ Sen(β)= Asen(β)x=A Sen(wt)

Como:

w=2 πT

Ó ω2= k

m (5)

Xo=A cos (ωt+∅ ) (6)vx=−ωsin (ωt+∅ ¿)¿ (7)ax=−ω2 A cos (ωt+∅ ) (8)

La velocidad vx oscila entre vmáx=+wA

Entonces tenemos que: y –vmáx=-wA, y la aceleración ax oscila entre amáx =w2A y -amáx=-w2A.Comparado las ecuaciones (6) y (8), también teniendo en cuenta la ecuación (5), vemos que:

ax= -w2X=−km

X (9)

ω=√ km

(10)

Donde la masa total del sistema es igual a la masa del cuerpo (m), más la masa del resorte que es un tercio (1/3) de la masa real (m0).

Como:

T=2 πω

, entonces, T=2 π √ m+mef

k (11)

Si se llegara despreciar el rozamiento del aire, no habría ninguna fuerza contraria al movimiento, por lo tanto el sistema masa-resorte entraría en un movimiento infinito conocido como movimiento armónico simple.

MÉTODO EXPERIMENTAL

El equipo utilizado durante el experimen-to fue:

Resorte. Portapesas. Juego de pesas completo. Cronómetro graduado en 0.01s. Regla de 1m graduada en mm. Soporte universal. Balanza.

Medición de la constante elástica (mé-todo estático):

Masa del Resorte mr = 23,13 gr ± 0,01 grMasa portapesas mp = 20,0041 ± 0,01gr.

Masa total mt= m+ mpL0 =11.8X1 = 1.85 cm

.RESULTADOS Y ANÁLISISA continuación se presentan las tablas con los datos obtenidos en el laboratorio.Tabla Núm. 1

Ahora graficamos fuerza vs elongación de tal forma que nos permitirá hallar la constante k con ls datos obtenidos en la tabla Núm. 2.

Tabla Núm. 2

Núm. Xi

Masa (grs)

Elongación (cm)

Masa total (grs)

T en 20 ciclos (seg) T

1 20.41 1.85 43.54 8.16 0.4082 40.06 3.65 60.47 9.59 0.4793 60.07 5.5 80.48 10.96 0.5484 80.14 7.3 100.5 12.06 0.6035 100.04 9.0 120.45 13.80 0.6906 120.10 10.9 140.51 14.82 0.7417 140.18 12.9 160.59 15.51 0.7758 159.93 15 180.34 16.49 0.8249 179.93 16.8 200.34 17.46 0.873

10 200.17 18.6 220.58 18.08 0.90411 222.63 20.5 243.04 19.11 0.95512 242.70 22.5 286.24 19.99 0.999

Núm. (Xi)

Elongación (cm)

Fuerza (gr-f) k

1 1,85 438,5 237.052 3,65 592,6 162.363 5,5 788,7 143.404 7,3 984,9 134.925 9 1180,3 131.156 10,9 1376,9 126.337 12,9 1573,7 121.998 15 1767,3 117.829 16,8 1.963 116.86

10 18,6 2161,7 116.2211 20,5 2381,7 116.1812 22,5 2805,1 124.67

0 5 10 15 20 250

500

1000

1500

2000

2500

3000

f(x) = 108.94482739319 x + 189.33937014031R² = 0.993246158871791

Fuerza vs Elongación

Elongación

Fuer

za

Graf. (1) .Para hallar la contante de elasticidad k se puede emplear la ecuación de la ley de Hook F =k X o se puede utilizar la gráfica obtenida a partir de los datos.

Mediante la ley de Hook hallamos la constante de elasticidad para cada masa los resultados se muestran en la tabla1. Por lo tanto la constante k será la media de estos valore y se tendrá que:

k = 108.94 N/cm

Mediante la gráfica se debe realizar el siguiente procedimiento:

En la gráfica de masa contra elongación se observa claramente que la unión de los puntos experimentales no proporciona una recta. Sin embargo una aproximación lineal a este resultado experimental es asociarle a esa colección de puntos una recta que los represente mejor.

Una vez dibujada la mejor recta se procede a determinar los valores de la pendiente a y del término independiente b en la ecuación: Y = ay + b Para ello se toman dos puntos alejados de la recta dibujada que no tienen que corresponder a puntos experimentales y cuyas

coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) se miden cuidadosamente sobre la gráfica.

Se calcula la pendiente mediante:

a= Y 1−Y 2X 1−X 2

De donde se tiene que a = 8,95x10-3Como X= (1/2)F , la pendiente se

relaciona con la contante de elasticidad k tenemos que:

a=1k

, entonces, k=1a

Por lo tanto se tiene quek = 111.71 N/cmExiste una pequeña diferencia entre las constates de elasticidad encontradas por los diferentes métodos; sin embargo son bastante similares lo cual sugiere que ambos métodos funcionan y se llega a resultados bastante aproximados.

Tabla Núm. 3

Masa (gr)

(T) (seg)

(T2). (seg)2

20.41 0.407 0.166440.06 0.478 0.229460.07 0.547 0.300080.14 0.602 0.3636100.04 0.690 0.4761120.10 0.740 0.5490140.18 0.774 0.6006159.93 0.823 0.6789179,93 0.872 0.7621200.17 0.903 0.8172222,63 0.954 0.9120242,70 0.998 0.9980x̄ = 130.53

x̄ = 0.73

x̄ = 0.57

Grafica T vs Masa

Graf. (2) .Para hallar la contante de elasticidad k se puede emplear la ecuación o se puede utilizar la gráfica obtenida a partir de los datos.

En primera instancia consideremos la ecuación:

T=2 π √ M+M ef

k Pero como se considera la ecuación de la recta de la gráfica (2).

T2=0. 0037 M +0 . 0831

Tenemos que la ecuación anterior nos quedara.

T 2=4 π 2 MK

+4 π2 M ef

k . (3)

Como vimos a partir de la gráfica del periodo2 y masa, en donde la gráfica se aproxima a una línea recta, donde la pendiente nos da el significado de que es proporcional y nos representa la constante

de proporcionalidad del resorte m=4 π 2

K

con unidades sonN /m newton/metros. . La grafica de la figura 2, no pasa por el punto (0,0), se puede ver que el corte con

el eje T2 es el punto (0,

4 π2 M ef

k ). Esto se da porque 1/3 de la masa del resorte participa en la dinámica de la oscilación, considerando Mef a la fricción de la masa del resorte. Si tomamos como punto de referencia cuando el resorte se encuentra detenido es decir en equilibrio x=o,

partimos desde el punto (0,

4 π2 M ef

k ), porque de entrada se considera esta fricción.

Constante de elasticidad K

Para calcular este valor consideramos la ecuación:

T 2=4 π 2 MK

+4 π2 M ef

k (3)

Remplazamos los promedios de la Masa y periodo2, que corresponden a M= 130.53 gr = 0.13053kg y T2= 0.57seg respectivamente. Tenemos que el valor de

Mef =

M resorte

3 =

23,133 = 7,71 grs.

Mef =7,7x10-3

Entonces al despejar k de (3) y remplazando los valores se obtiene

K=4π 2 (0 .13053+7 . 7x10-3 )

0 .57 =9,57 N/m

CONCLUSIONES

Las deformaciones sufridas por un resorte y el periodo de oscilación del mismo son proporcionales a las masas.

La masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, varia en el tiempo, es decir se mueve periódica-

mente respecto a su posición de equili-brio.

Haciendo uso de los dos métodos estático y dinámico, se obtuvieron constantes de elasticidad relativamente similares, lo que nos permite elegir cualquiera de los dos métodos, dependiendo de las condiciones y los datos obtenidos en el laboratorio.

Los errores presentes en este laboratorio se presentaron debido a errores instru-mentales, debido a que la regla no se en-contraba totalmente paralela al resorte, errores personalesya que la reacción del sentido de la vista no es inmediato ante las oscilaciones del resorte.

Gracias a este experimento se pudo demostrar que cada resorte tiene su constante elástica característica, y esta se puede calcular mediante los métodos experimentales con ayuda de las relaciones teóricas. También se pudo mostrar que las relaciones lineales entre el periodo, la masa, el peso y la elongación permiten calcular las constantes elásticas de un resorte.

(Figura 1: Detalles del arreglo experi-mental del sistema masa-resorte)

Bibliografía

1. Documento “Ley de Hook: Constante de

recuperación de un cuerpo elástico: http://webpages.ull.es/users/fexposit/ife_b1.pdf

2. YOUNG, H. FREEDMAN, R. (2009) Física universitaria volumen . Décimo segunda edición. Pearson Educación. México D.F. 582-586 p. ISBN 978-607-442-288-7.

3. http://es.wikipedia.org/wiki/ Movimiento_arm%C3%B3nico_simple