markowitz porteføljeteori gennem finanskrisen -...

HA Almen, 6. Semester Gruppe nr. S10-13.55

Bachelor afhandling

Erhvervsøkonomisk Institut Opgaveskriver:

Brian Schrøder Hansen

Vejleder:

Nicolai Borcher Hansen

Markowitz porteføljeteori

gennem finanskrisen

Handelshøjskolen, Aarhus Universitet

Forår 2010

Abstract

Markowitz is called the fader of modern portfolio theory. For decades he’s theory has been accepted

for one of the most important portfolio theories. The question is how his portfolio theory manage

throw the crisis in 2008, is he’s theory still useful after the bear marked.

The thesis is divided into two parts, the first is a theoretical review of the theory, and the second

part is an empirical analysis of the theory performance throw the crisis in 2008.

The aim of the theoretical part is to make a review of the parts of Markowitz mean-variance portfo-

lio theory and how to make an efficient portfolio. The theory consists of the expected yield and risk

for an asset, correlation between them and how it effects the portfolio decisions. An important as-

pect of portfolio decisions is how to use diversification to reduce risk.

Before the empirical analysis can be made, it’s important to test the data material, since Markowitz

portfolio theory is based on the condition of normal distribution. The test shows that the subsequent

constructions should be based on weekly return, since it’s better normal distributed than the daily

based return, but still not perfectly normal distributed.

Under the constructions of portfolios with mean-variance, it appeared that the fall in the stock mar-

ket didn’t have much influence on the data material, because of its size. The biggest change was the

correlation between the asset rises throws the period. This led to the stocks represented a smaller

proportion of the portfolios in the late 2008. It’s not possible with statistic certainty to conclude that

the minimum variance portfolio and the most efficient portfolio performs better than the bench-

mark, but it’s possible with statistic certainty to conclude that efficient portfolios with short sales

allowed generated significant negative alpha values.

The idea behind EWMA is the resent data is weighted higher, which should led to a data material

that is more accurate, and follows the markets trends. That influenced the standard deviations rose

even more than with the mean-variance, so that the deviations between the calculated values and the

actual values were less. The trend with increasing correlation became even more evident with this

approach. That the data material was better adapted to the market increased the expectations that

EWMA could generate a better return than the mean-variance approach. The portfolios constructed

with this approach decreased the shareholdings more that the mean-variance, and that there were

sold short in a larger scale than earlier with the mean-variance. All this resulted with statistic cer-

tainty were generated positive alphas in the minimum variance portfolio, it was not possible to ge-

nerates such positive alphas in the most efficient portfolios.

The Sharpe index turned out to be the best measurement for a portfolios performance, since this had

pointed out all the significant alphas. So from this performance measurement it turns out that almost

every portfolio constructions with the EWMA approach performed best, however with the excep-

tions of the minimum variance portfolio with short sales allowed. So from this it can be concluded

that the EWMA approach creates the best portfolios in a bear market, since it is better to adapt the

marked conditions.

Based on the analysis it seems that Markowitz portfolio theory still is valid after the crisis in 2008,

based on not all alphas were negative or different from zero, and that the theory showed that an in-

vestor should decrease the shareholdings.

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse

1. INDLEDNING ............................................................................................................................ 1

1.1. Problemformulering ........................................................................................................................ 2

1.2. Afgrænsning ..................................................................................................................................... 3

1.3. Metodevalg ....................................................................................................................................... 4

2. MARKOWITZ MEAN-VARIANCE PORTEFØLJE TEORI ............................................. 5

2.1. Forventet afkast og standardafvigelse for et aktiv ....................................................................... 5

2.2. Kovarians og korrelation ................................................................................................................ 6

2.2.1. Kovarians ................................................................................................................................................. 6

2.2.2. Korrelation koefficienter .......................................................................................................................... 7

2.3. Forventet afkast og standard afvigelse for en portefølje ........................................................... 10

2.4. Diversifikation ................................................................................................................................ 11

2.4.1. Systematisk risiko ................................................................................................................................... 11

2.4.2. Usystematisk risiko ................................................................................................................................. 12

2.5. Den efficiente Rand ....................................................................................................................... 12

2.5.1. Den efficiente rand uden kortsalgsmuligheder ....................................................................................... 13

2.5.2. Minimums varians porteføljen ................................................................................................................ 13

2.5.3. Den efficiente rand kombineret med et risikofrit aktiv ........................................................................... 14

2.5.4. Den efficiente rand med kortsalgsmuligheder ........................................................................................ 15

2.6. Delkonklusion ................................................................................................................................ 15

3. DATAANALYSE ..................................................................................................................... 17

3.1. Datagrundlag ................................................................................................................................. 17

3.1.1. Datamateriale til porteføljekonstruktion ................................................................................................ 17

3.1.2. Den risikofrie rente ................................................................................................................................. 18

3.1.3. Benchmark .............................................................................................................................................. 19

3.2. Test af normalfordeling................................................................................................................. 19

3.2.1. Skewness ................................................................................................................................................. 19

3.2.2. Kurtosis .................................................................................................................................................. 19

3.2.3. Jarque-Bara test ..................................................................................................................................... 20

3.2.4. Test af datamateriale for normalfordeling ............................................................................................. 20

4. PORTEFØLJESAMMENSÆTNING MED MEAN-VARIANCE ..................................... 23

4.1. Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver .................................................................... 23

4.1.1. Udvikling i afkastserien .......................................................................................................................... 23

4.1.2. Udviklingen af standart afvigelserne ...................................................................................................... 24

Indholdsfortegnelse

4.1.3. Udviklingen af korrelationen mellem aktiverne ...................................................................................... 26

4.2. Porteføljer uden kort salg ............................................................................................................. 29

4.2.1. Sammensætning af MVP ......................................................................................................................... 29

4.2.2. Sammensætning af tangentporteføljerne ................................................................................................ 32

4.3. Porteføljer med kort salg .............................................................................................................. 34


4.3.2. Sammensætning af tangentporteføljerne ................................................................................................ 37

4.4. Performansevaluering ................................................................................................................... 38

4.4.1. Teoretisk gennemgang af performance .................................................................................................. 39

4.4.2. Performance for MVP ............................................................................................................................ 40

4.4.3. Performance for tangentporteføljerne .................................................................................................... 43

4.5. Evaluering af Markowitz porteføljeteori med mean-variance .................................................. 45

5. PORTEFØLJESAMMENSÆTNING MED EWMA ........................................................... 48

5.1. Teoretisk gennemgang af EWMA ................................................................................................ 48

5.2. Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver .................................................................... 49

5.2.1. Udvikling af std. afvigelserne ................................................................................................................. 49

5.2.2. Udvikling af korrelationen mellem aktiverne ......................................................................................... 50

5.3. Sammensætning af porteføljer uden kortsalg ............................................................................. 52


5.3.2. Sammensætning af tangentporteføljer porteføljerne .............................................................................. 54

5.4. Sammensætning af porteføljer med kortsalg .............................................................................. 56


5.4.2. Sammensætning af tangentporteføljer .................................................................................................... 58

5.5. Performansevaluering ................................................................................................................... 60

5.5.1. Performance for MVP ............................................................................................................................ 60

5.5.2. Performance for tangentporteføljerne .................................................................................................... 62

5.6. Evaluering af Markowitz porteføljeteori med udgangspunkt i EWMA .................................. 63

5.6.1. Performance forskelle mellem mean-variance og EWMA ...................................................................... 64

6. KONKLUSION ........................................................................................................................ 65

7. BIBLIOGRAFI ........................................................................................................................ 68

8. BILAGSOVERSIGT ............................................................................................................... 69

Indledning

1

1. Indledning

At der i dag både bliver set på afkast i forhold til den dertilhørende risiko for en portefølje, virker

meget indlysende, men da Markowitz i 1952 skrev hans doktor disputats om porteføljeteori var det-

te ikke normalt. Dengang var det kun afkastet der var i fokus, dvs. at ud fra den tankegang ville en

investor vælge at investere i det aktiv med det højeste afkast. Ud fra datidens synspunkter er det

måske heller ikke så sært at Markowitz fik meget hårde ord med på vejen da han skulle forsvare sin

disputats, hvor han bl.a. fik at vide det intet havde med økonomi at gøre, og derved ikke burde tilde-

les en Ph.d. i økonomi. Markowitz har dog senere i 1991 indrømmet at portefølje teori ikke var en

del af økonomi, da han forsvarede sin disputats, men dette er det i dag.1 Spørgsmålet er således,

hvorvidt Markowitz porteføljeteori stadig har sit værd efter den seneste krise.

Investeringer i aktier har altid været forbundet med en hvis risiko, men at risikoen ville være så stor

som gennem finanskrisen i 2008, kom bag på mange investorer. I tiden optil var mange blevet for-

gyldt med høje afkast på deres investeringer. Det var ikke kun professionelle der investerede, der

var også en meget stor stigning af privatpersoner der hoppede ud som investorer, for at få del af de

høje afkast der var at hente på markedet.

En investor har muligheden for at sprede sine investeringer ud på flere aktiver for at nedsætte risi-

koen. En sådan sammensætning kunne ske ud fra Markowitz (1952), der senere modtog en nobel-

pris for teorien og er blevet kaldt ”fader” af moderne porteføljeteori. Teorien tager højde for den

indbyrdes korrelation mellem aktiver, dette betyder at risikofyldte aktiver kan sammensættes, såle-

des at den samlede risiko for porteføljen er laver end de individuelle aktivers risiko. Altså sker der

en diversifikation, hvilket er grundelementet i Markowitz teori.

Der er dog det forbehold at ingen har kendskab til fremtiden og at historien sjældent gentager sig i

fremtiden. Dette kan skabe nogle udfordringer, da alle værdierne der bliver brugt til sammensæt-

ningen af en portefølje ud fra Markowitz er baseret på historiske tal, der er forsøgt tilpasset til frem-

tiden.

1 (Varian 1993)

Problemformulering

2

1.1. Problemformulering

Hovedformålet med denne opgave er at analysere hvordan Markowitz porteføljeteori klarede sig

igennem den seneste finanskrise, med udgangspunkt i C20 indekset samt et par udvalgte danske

statsobligationer. Selv om det ikke er muligt at se ud i fremtiden, ville det så ved hjælp af Marko-

witz teori have været muligt at forudsige, at de risikofyldte aktiver skulle have udgjort en faldende

andel af den samlede portefølje.

Den første del af opgaven vil gennemgå Markowitz porteføljeteori, ved at redegøre for beregningen

af afkast, risiko samt den indbyrdes korrelation mellem de enkelte aktiver. Disse værdier vil jf.

Markowitz (1952) blive brugt til at sammensætte den efficiente rand, minimumsvarians porteføljen

samt en udledning af kapitalmarkeds linien. Der vil blive set på hvordan det med denne teori er mu-

ligt at bortdiversificere den usystematiske risiko, hvilket samtidig betyder at en investor kun vil

kunne påregne at modtage afkast for den systematiske risiko.

Inden den empiriske analyse af Markowitz teori kan foretages, skal der undersøges hvorvidt forud-

sætningerne om afkastet er normalfordelt, således at den empiriske analyse vil blive så retvisende

som muligt.

Udgangspunktet for den empiriske del af opgaven vil være at benytte Markowitz porteføljeteori til

at se hvordan de enkelte porteføljers afkast samt risiko, ændres i løbet af finanskrisen. Men ikke

mindst den afgørende korrelation, da det formodes at korrelationen aktier imellem vil stige, hvilket

går ud over risikoreduktionen. Det vil samtidig blive interessant at se hvordan minimumsvarians-

porteføljen udvikler sig, om den kommer til at ligge tættere op af den risikofrie rente, og om inve-

storerne vil modtage betaling for den ekstra risiko de har påtaget sig ved investeringen af de risiko-

fyldte aktiver.

I den oprindelige teori Markowitz (1952) udviklede, blev der brugt en gennemsnitlig varians. Pro-

blemet i finansielle tidsserier er at disse varianser ikke er stationære, så derfor inddrages EWMA

der er en tidsvægted varians, der gør at den seneste varians vægtes højere end de foregående. Disse

varianser benyttes til at sammensætte nye korrelations matricer, og dermed sammensætning af nye

porteføljer. Det vil dermed blive undersøgt hvorvidt disse sammensætninger, performer bedre end

benchmarket, men ikke mindst om det vil være en fordel at benytte sig af denne fremgangsmåde i

stedet for de oprindelige gennemsnitlige varianser.

Ved at inddrage kortsalg, vil der blive analyseret hvorvidt denne mulighed vil være fordelagtigt i et

nedadgående marked. Så det på den måde vil være muligt at udnytte at aktiernes afkast er negative,

Problemformulering

3

men er det overhovedet muligt at finde ud af hvilke aktiver der skal købes og hvilke der skal sælges,

således at en investor ikke påtager sig unødigt risiko. Denne mulighed vil både blive brugt under

mean-variance samt EWMA sammensætning af porteføljer.

Er Markowitz teori brugbar i krisetider, eller er den kun blevet benyttet på baggrund af at den har

fået tildelt en Nobelpris. Det vil derfor blive nødvendigt at forholde sig til hvorvidt de konstruktio-

ner der bliver lavet undervejs performer bedre end benchmarket. Dette sker for at finde ud af om

hvorvidt de enkelte konstruktioner har givet et bedre resultat end den passive strategi benchmarket

vil følge.

Efter endt analyse, skulle der gerne tegne sig et billede af teoriens anvendelighed i praksis.

Ud fra overstående gennemgang af teori samt den efterfølgende empiriske analyse har opgaven til

formål at besvare følgende hovedspørgsmål.

Hvordan sammensættes en efficient portefølje ud fra Markowitzs porteføljeteori?

Hvilken indflydelse har variansen samt kovarianserne?

Hvordan udledes den efficiente rand?

Skal analyserne bygge på dags- eller ugedata for at få en så efficient sammensætning som

muligt?

Hvordan ændres det bagvedliggende datamateriale undervejs i en krise, bliver det tilpasset?

Stiger kovarianserne når aktiemarkedet går ned, og i givet fald hvilken betydning får

dette?

Er det muligt ved hjælp af kortsalg af aktier at udnytte et kriseramt marked?

Er en portefølje sammensætninger med tidsvægtede varianser bedre end gennemsnitsvarian-

serne til at klare krisetider?

Er Markowitz porteføljeteori stadig brugbar efter den seneste krise?

1.2. Afgrænsning

Selve den finansielle krise vil blive afgrænset til at udgøre 2008 for denne opgave, men der vil blive

brugt datamateriale tilbage fra 2000 til at beregne de forventede afkast, risiko samt korrelation mel-

lem de enkelte aktiver.

Ved beregning af de enkelte investeringsmuligheders afkast, vil der ikke blive taget højde for han-

delsomkostninger, samt skattemæssige forhold for den opnåede gevinst eller tab.

Problemformulering

4

Der vil ikke være nogle forudbestemte hvor mange aktier og obligationer der skal være i den samle-

de portefølje, da det er et af hovedformålene at finde ud af om denne sammensætning ændres gen-

nem krisen.

1.3. Metodevalg

For at besvare spørgsmålet omkring sammensætningen af en portefølje vil der blive taget udgangs-

punkt i Markowitz oprindelige teori fra 1952.

Til at teste datamaterialet for om det følger en normalfordeling, vil der blive foretaget test i Eviews

omkring skævhed, topstejlhed, hvorefter disse værdier vil blive fuldt op af en Jarque-Bara test, for

at kunne konkludere hvorvidt efterfølgende sammensætninger skal baseres på dags- eller ugedata.

Udregningerne af de enkelte porteføljers sammensætning vil ske i Excel vha. solveren. For at skabe

en model der foretager alle beregninger på en gang, således at solveren ikke skal ændres for at finde

de enkelte elementer i porteføljen, vil der blive lavet en VBA2 makro der kan beregne de enkelte

porteføljekarakteristika. Hvorefter der ligeledes vil blive undersøgt hvordan disse nøgletal har ud-

viklet sig gennem tiden og hvilken indvirkning det har på porteføljesammensætningerne.

For at undersøge hvordan Markowitz portefølje teori klarede sig gennem finanskrisen, vil der blive

sammensat en ny portefølje primo hver måned gennem 2008. Disse konstruktioner bliver lavet for

både minimumvarians porteføljerne og tangentporteføljerne, med og uden kortsalg. Der vil derefter

blive udført en performancetest, for at se hvordan de enkelte sammensætninger har klaret sig. Til

denne performancetest vil der blive brugt Sharps ratio, Treynor og Jensens indeks, for ud fra disse

værdier at konkluderer hvorvidt porteføljerne har klaret sig bedre end benchmarket. For at kunne

skabe en statistisk sikkerhed vil Jensen alpha også blive estimeret i Eviews.

Fremgangsmåden for de tidsvægtede varianser, vil følge samme struktur som ved mean-variance,

for at skabe mest muligt struktur og gennemskuelighed gennem opgaven.

Efter ovennævnt analyse skulle der gerne tegne sig et billede af hvorvidt Markowitz porteføljeteori

har sit værd i fremtiden.

2 VBA er et programmeringssprog der anvendes til at automatisere ofte anvendte fremgangsmåder og processer.

Markowitz mean-variance portefølje teori

5

2. Markowitz mean-variance portefølje teori

Dette afsnit har til formål at gennemgå de enkelte elementer i Markowitz porteføljeteori, for at ska-

be forståelse for de bagvedliggende elementer i den efterfølgende analyse af teorien.

2.1. Forventet afkast og standardafvigelse for et aktiv

En portefølje er en sammensætning af flere aktiver, sammensætningen sker bl.a. på baggrund af de

enkelte aktivers gennemsnitlige afkast samt risiko.

I finansiel litteratur bliver der skelnet mellem to måder hvorpå afkastet kan beregnes, den geometri-

ske- og den aritmetiske metode, også kendt som kontinuert og diskret. Den mest intuitive er den

aritmetiske metode, der beregnes ved blot at finde den procentvise forskel mellem to aktiekurser.

Da portefølje teorien er opbygget ud fra en analyse over flere tidsperioder vil det være mest fordel-

agtigt at benytte den geometriske metode hertil. Der er dog små afvigelser i resultaterne, det geome-

triske afkast resultere i mindre afkast, men disse afvigelser er som regel ikke så store.3 Ligeledes

tager den geometriske højde for rentes rente således at det er muligt at ligge en række logaritmiske

afkast sammen og på den måde se hvordan udviklingen har været gennem en given periode.

Det geometriske afkast beregnes som følgende:4

𝑅𝐴 = ln 1 +𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1

𝑌𝑡−1 = ln

Yt

Yt−1 [2.1]

Såfremt der ønskes at tages højde for udbetaling af dividender i løbet af perioden, tilføjes disse på

følgende måde, således det samlede afkast kan beregnes som følgende:5

𝑅𝐴 = ln 𝑌𝑡 + 𝐷𝑖𝑣𝑡𝑌𝑡−1

[2.2]

3 (Benninga, Czaczkes 2000, s. 149)

4 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997)

5 (Benninga, Czaczkes 2000, s. 132)


6

Den risiko der er forbundet med det enkelte aktiv, er de udsving der har været i forhold til middel-

værdien for det givne aktiv. Sådanne udsving beregnes ved hjælp af enten varians eller standard

afvigelsen. Variansen kan dog være svær at fortolke på, så derfor kan standartafvigelsen med fordel

udregnes, der er den kvadrerede værdi af variansen. Standart afvigelsen kan beregnes på følgende

må:6

𝜎 𝑟𝑖 =1

𝑀 𝑟𝑖𝑡 − 𝐸 𝑟𝑖

2𝑀

𝑡=1

[2.3]

Hvor 𝐸(𝑟𝑖) angiver middelværdien for aktiv i gennem hele perioden og rit angiver afkastet for aktiv

i gennem periode t.

Problemet ved at udregne risiko på baggrund af standart afvigelser er at der implicit antages at inve-

stor er ligeså interesseret i tab som gevinst, hvilket modsiger alt fornuft, da det vides at en investor

er glad for uventet ekstraafkast, men derimod bliver betænkelig efter uventet tab7

2.2. Kovarians og korrelation

Ud over det enkelte aktivs risiko, tager Markowitz porteføljeteori også højde for de enkelte aktivers

indbyrdes korrelation. Netop inddragelsen af denne dimension betyder, at en portefølje kan have en

lavere risiko end aktivet med den laveste risiko. Dette kan lade sig gøre ved at sammensætte en por-

teføljen af aktiver der ikke svinger sammen, således at der udnyttes at nogle aktiver har modsatvir-

kende afkast, så det på denne måde er muligt at eliminere dele af risikoen.

2.2.1. Kovarians

Den samlede porteføljes risiko bliver bl.a. beregnet på baggrund af kovariansen mellem de enkelte

aktiver. Kovariansen mellem de enkelte aktiver er et udtryk for hvordan afkastet for aktiverne svin-

ger med hinanden, det er f.eks. ikke utænkeligt at går det godt for en aktie i en given branche, vil

dette påvirke de øvrige aktier i samme branche.

6 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997 s. 22)

7 (Sumnicht 2009)


7

Kovariansen mellem to aktiver kan udregnes på følgende måde:8

𝜎 𝑟𝑖𝑘 =1

𝑀 𝑟𝑖𝑡 − 𝜇𝑖 ∗ (𝑟𝑘𝑡 − 𝜇𝑘)

𝑀

𝑡=1

[2.4]

Ud fra ovenstående ses der at kovariansen kan antage en værdi mellem -∞ og ∞. Hvis begge aktiver

afviger enten positivt eller negativt fra middelværdien er det muligt at opnå en positiv kovarians,

men hvis den ene afviger negativt fra middelværdien vil kovariansen være negativ.

2.2.2. Korrelation koefficienter

Kovarianserne har dog deres svagheder, da de kan være svære at fortolke, det kan f.eks. være svært

at bedømme hvorvidt en kovarians på 40 mellem aktiv i og k er ensbetydende med at de svinger

sammen i høj grad, eller kun i et vist omfang. Det er derfor rent fortolkningsmæssigt en fordel at

omregne kovariansen til korrelation koefficienter, da disse antager en værdi mellem -1 og 1.

Korrelation koefficienterne mellem to aktiver udregnes som følgende:9

𝜌𝑖𝑘 =𝜎𝑖𝑘𝜎𝑖𝜎𝑘

[2.5]

Som det ses i [2.5] er korrelations koefficienterne, kovariansen delt med produktet af de to aktivers

standart afvigelser.

Der kan opstilles følgende sammenhæng mellem korrelations koefficienterne:

0 < ik < 1 = Aktiverne korrelerer positivt med hinanden

ik = 0 = Aktiverne korrelerer ikke med hinanden

-1 < ik < 0 = Aktiverne korrelerer negativt med hinanden

Med udgangspunkt i to aktiver vil det blive udledt matematisk hvordan graden af overstående korre-

lationer vil påvirke porteføljens risiko.

Korrelation 𝜌𝑖𝑘 = 1

Hvis to aktiver har en korrelations koefficient på +1 siges der at, de to aktiver korrelere perfekt med

hinanden, således at hvis aktiv 1 stiger vil aktiv stige ligeså meget. Det vil medføre at en porteføljes

risiko, bestående af 2 aktiver, kan beregnes på følgende måde:

8 (Benninga, Czaczkes 2000 s. 133)

9 (Elton 2003, s. 54)


8

1. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖

2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘

2 ∗ 𝜎𝑘2 + 2 ∗ 𝑥𝑖 ∗ 𝑥𝑘 ∗ 𝜌𝑖𝑘 ∗ 𝜎𝑖 ∗ 𝜎𝑘

2. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖

2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘

2 ∗ 𝜎𝑘2 + 2 ∗ 𝑥𝑖 ∗ 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑖 ∗ 𝜎𝑘

3. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 + 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘

2

4. 𝜎𝑃 = 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 + 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘

Det ses således at hvis aktiverne korrelere perfekt, vil porteføljens risiko være en vægtning af de

enkelte aktivers risiko, dette vil også samtidig medføre at, det ikke er muligt at reducere den samle-

de risiko på porteføljen ved inddragelse af flere aktiver, forudsat de også er perfekt korreleret. Der

er dog den undtagelse at der ved brug af kortsalg er muligt at nedbringe risikoen, såfremt to aktiver

korrelere perfekt og den ene købes mens den anden kortsælges i lige store andele.

Korrelation 𝜌𝑖𝑘 = 0

I den efterfølgende matematisk udledning tages der udgangspunkt i en porteføljes risiko med to

aktiver, der efterfølgende udvides til M antal aktiver. Det antages at de enkelte vægte og risiko er

ens for aktiverne.

1. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖

2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘

2 ∗ 𝜎𝑘2 + 2 ∗ 𝑥𝑖 ∗ 𝑥𝑘 ∗ 𝜌𝑖𝑘 ∗ 𝜎𝑖 ∗ 𝜎𝑘

2. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖

2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘

2 ∗ 𝜎𝑘2 + ⋯……+ 𝑥𝑚

2 ∗ 𝜎𝑚2

3. 𝜎𝑝2 =

1

𝑀

2

∗ 𝜎𝑖2 +

1

𝑀

2

∗ 𝜎𝑘2 + ⋯……+

1

𝑀

2

∗ 𝜎𝑚2

4. 𝜎𝑝2 = 𝑀 ∗

1

𝑀

2

∗ 𝜎2

5. 𝜎𝑝2 =

𝑀

𝑀2 ∗ 𝜎2 =

𝜎2

𝑀

6. 𝜎𝑝 =𝜎

𝑀

Det ses herved at ved en korrelation lig nul, vil det være muligt at nedbringe risikoen ved at øge

antallet af aktiver i porteføljen. Denne effekt er dog aftagende, således at effekten er størst ved ind-

dragelsen af de første aktiver.


9

Korrelation 𝜌𝑖𝑘 = −1

Såfremt korrelations koefficienten skulle være -1, siges det at aktiverne er perfekt negativ korrele-

ret. Dette betyder at risikoen kan elimineres på følgende måde:

1. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖

2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘

2 ∗ 𝜎𝑘2 + 2 ∗ 𝑥𝑖 ∗ 𝑥𝑘 ∗ 𝜌𝑖𝑘 ∗ 𝜎𝑖 ∗ 𝜎𝑘

2. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖

2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘

2 ∗ 𝜎𝑘2 − 2 ∗ 𝑥𝑖 ∗ 𝑥𝑘 ∗ 𝜎 𝑟𝑖 ∗ 𝜎 𝑟𝑘

3. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘

2

4. 𝜎𝑝 = (𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘)

Det ses således at det er muligt at bortdiversificere porteføljens risiko, såfremt følgende op opfyldt:

5. 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘 = 0

6. 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 = 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘

7. 𝑥𝑖

𝑥𝑘=

𝜎𝑘

𝜎𝑖

8. 𝑥𝑖 =𝜎𝑘∗𝑥𝑘

𝜎𝑖 𝑥𝑘 =

𝜎𝑖∗𝑥𝑖

𝜎𝑘

Hvis ovenstående porteføljevægte indsættes i sætning 5, fremkommer følgende:

9a. 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑗 =𝜎𝑘∗𝑥𝑘

𝜎𝑖∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘 = 0

9b. 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘 = 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 −𝜎𝑖∗𝑥𝑖

𝜎𝑘∗ 𝜎𝑘 = 0

Det ses således ved perfekt negativ korrelation er det muligt at eliminere risikoen, såfremt at sæt-

ning 7 er opfyldt. Skulle dette ikke være tilfældet vil der stadig være opnået en væsentlig risikore-

duktion.

For at anskueliggøre sammenhængen mellem risiko og korrelation ses det nedenfor i figur 2.1, tyde-

ligt at des højere korrelationskoefficienten er jo ringere er muligheden for at nedbringe den samlede

risiko.


10

Figur 2.1, Forhold mellem afkast og risiko ved forskellige korrelationer

Kilde: egen tilvirkning

Det ses derfor tydelige hvordan risikoreduktionen er størst jo mere korrelationen afviger fra perfekt

korrelation.

2.3. Forventet afkast og standard afvigelse for en portefølje

Det samlede afkast for en portefølje bestående af flere aktiver, kan beregnes på følgende måde, ud

fra de individuelle afkast på aktiverne:10

𝐸 𝑟𝑝 = 𝑥𝑖 ∗ 𝐸 𝑟𝑖

𝑀

𝑖=1

[2.6]

Hvor E(rp) angiver porteføljens samlede afkast og M antallet af aktiver i porteføljen. Det ses at en

porteføljes afkast, er det vægtede gennemsnit af de forventede afkast for de enkelte aktiver. Hvis de

enkelte aktiver er fordelt med samme vægt i porteføljen kan xi med fordel erstattes med 1/M.

Hvor porteføljens afkast var et vægtet gennemsnit, er variansen dog mere kompleks en det vægtede

gennemsnit af de enkelte aktivers varians. Dette skyldes at der skal tages højde for korrelationen

mellem de enkelte aktiver. Således at porteføljens varians kan udregnes som følgende:11

𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖

2𝜎𝑖2 +

𝑀

𝑖=1

(𝑥𝑖𝑥𝑘𝜎𝑗𝑘 )

𝑀

𝑘=1𝑘≠𝑗

𝑀

𝑖=1

[2.7]

10 (Haugen 1997, s. 70)

11 (Elton 2003, s. 57)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Afkast

Risiko

Korrelation = 1 Korrelation = -1 Korrelation = 0


11

2.4. Diversifikation

Når der tales om diversifikation betyder det blot at der bliver investeret i flere aktiver, således at

risikoen nedsættes. Det er i den forbindelse vigtigt at skelne mellem to former for risiko, den usy-

stematiske og den systematiske risiko, da det kun er muligt at bortdiversificere den usystematiske

risiko, se figur 2.2 nedenfor.

Figur 2.2, Illustration af usystematisk og systematisk risiko

Kilde: Egen tilvirkning

2.4.1. Systematisk risiko

Den systematiske risiko opstår som følge af den generelle usikkerhed der er i økonomien, denne

risiko kaldes også for markedsrisiko.12

I og med denne risiko ikke kun dækker over et enkelt aktiv,

men hele markedet, er det ikke muligt at bortdiversificere denne risiko ved inddragelse af flere akti-

ver. Der er dog den mulighed for at mindske den ved at investere globalt i stedet for nationalt. Dette

skyldes at hvad der er systematisk risiko i det ene land, påvirker ikke nødvendigvis et andet land,

således at det på den måde er muligt at bortdiversificerer yderligere risiko.13

Det er også under denne kategori finanskrisen tilhører, da den er udslaget af den generelle usikker-

hed der forefindes i verdensøkonomien. Denne risiko har senere vist sig ikke være mulig at bortdi-

versificere da krisen har haft mærkbar effekt verden over, således den ikke ville kunne nedsættes

vha. en international portefølje. Netop at krisen indgår i den systematiske del af risikoen gør også

det ikke er muligt at sikre sig mod finanskrisens risiko ved at have en veldiversificeret portefølje af

aktier. Det der derimod er muligt vha. Markowitz er at den gerne skulle give aktierne en mindre


13 (Moffett, Eiteman & Stonehill 2009 s. 455)

Systematisk

risiko

Usystematisk

risiko

Antal aktiver

𝜎2(𝑟𝑝)


12

andel af porteføljen således at f.eks. statsobligationer udgør langt størstedelen, da disse ikke er udsat

for samme markedsrisiko som aktierne.

2.4.2. Usystematisk risiko

Den usystematiske risiko opstår som følge af den risiko der er ved investering i det enkelte aktiv.

Det er vigtigt at huske på at en investor ikke modtager nogen belønning for den usystematiske risi-

ko. Denne form for risiko er derved specifik for det enkelte aktiv, og afhænger bl.a. af branchen

aktiven befinder sig i.

Det at den usystematiske risiko kan nedsættes kan illustreres ud fra porteføljens samlede risiko med

den antagelse at korrelationen mellem aktiverne er lig nul.

1. 𝜎𝑝 =𝜎

𝑀

Det ses således at ved inddragelsen af flere aktiver at den samlede porteføljes risiko nedsættes, dog

er effekten af inddragelsen af flere aktiver størst ved de første, grundet kvadratroden.

2.5. Den efficiente Rand

Den efficiente rand er sammensat således at den dækker over de kombinationsmuligheder, der fore-

ligger ud fra de mulige aktiver, der ved et givet afkast giver den laveste risikoen. I den efficiente

rands vendepunkt findes minimums varians porteføljen (MVP), det er den kombinations mulighed

hvor den laveste risiko forefindes. Alle de kombinationsmuligheder der findes der har et lavere af-

kast end MVP vil ikke indgå i den efficiente rand da der findes en kombinationsmulighed der giver

et højere afkast med den samme risiko, se figur 2.3.

Figur 2.3, Illustration af den efficiente og kritiske rand samt MVP


0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Afkast

RisikoEfficiente rand Kritiske rand MVP


13

2.5.1. Den efficiente rand uden kortsalgsmuligheder

Rent praktisk udregnes en masse porteføljer der ligger på den efficiente rand, for at kunne illustrere

randen. Ved sammensætning af den efficiente rand uden at tage højde for muligheden for at kort-

salg, foregå på følgende måde ved at minimere variansen:

𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖

2𝜎𝑖2 +

𝑀

𝑖=1

(𝑥𝑖𝑥𝑘𝜎𝑗𝑘 )

𝑀

𝑘=1𝑘≠𝑗

𝑀

𝑖=1

Under følgende betingelser:

1. 𝑥𝑖 = 1

𝑁

𝑖=1

2. 𝑥𝑖 ∗ 𝑟𝑖 = 𝑟𝑝

𝑁

𝑖=1

3. 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,… .𝑁

Betingelse 1 sørger for at summen af de enkelte vægte for aktiverne i porteføljen giver 1, sammen

med betingelse 3 der gør at vægtene af de enkelte aktiver ikke er negative, og derved gør at det ikke

er muligt at foretage kortsalg. Betingelse 2 har til formål at minimere variansen for porteføljen ud

fra et givet konstantafkast. Konstantafkastet ændres i takt med de forskellige porteføljer udregnes så

den efficiente rand dannes.

Dette kan nemt løses i Excel vha. af solveren ved at indtaste de ovenstående betingelser, for at mi-

nimere variansen.

2.5.2. Minimums varians porteføljen

Grunden til at MVP netop er så interessant, er at det er den kombinationsmulighed hvorved den

laveste risiko forefindes. Intuitivt ville et sådan punkt udgøre det aktiv med den laveste risiko, men

dette er ikke tilfældet, da de enkelte aktiers korrelation imellem kan give en mulighed for at sam-

mensætte en portefølje, der har en lavere varians end aktivet med den laveste varians.

Ved beregningen af MVP vil der ikke blive taget højde for de enkelte aktivers afkast, da denne

kombination kun har for øje at skulle have den mindste varians ved at minimere [2.7]


14

2.5.3. Den efficiente rand kombineret med et risikofrit aktiv

I det foregående blev den efficiente rand bestemt ud fra den antagelse, at det kun er muligt at inve-

stere i risikofyldte aktiver, såsom aktier. Da det ikke er sikkert at en investor udelukkende vælger at

placere alle sine midler i risikofyldte aktiver, må modellen naturligvis også tage højde for dette.

Kombinationsmulighederne mellem det risikofrie aktiv og den risikofyldte portefølje vil danne en

lineær sammenhæng kaldet kapitalmarkedslinien, se figur 2.4.

Figur 2.4, Den efficiente rand med kapitalmarkedslinien


Det forventede afkast for en sådan kombination kan udregnes på følgende måde:14

𝐸 𝑟𝑐 = 1 − 𝑥𝑝 𝑟𝑅𝐹 + 𝑥𝑝 ∗ 𝑟𝑝 [2.8]

Hvor xp angiver andelen der investeres i den risikofyldte portefølje, samt rp er det afkast den risiko-

fyldte portefølje kan genererer.

Ligeledes kan risikoen udregnes på følgende måde

𝜎 𝑟𝑐 = 1 − 𝑥𝑝 2∗ 𝜎𝑅𝐹

2 + 𝑥𝑝2 ∗ 𝜎𝑝2 + 2 ∗ 𝑥𝑝 ∗ 1 − 𝑥𝑝 ∗ 𝜎𝑅𝐹 ∗ 𝜎𝑝 ∗ 𝜌𝑅𝐹𝑃 [2.9]

= 𝑥𝑝 ∗ 𝜎𝑝

14 (Elton 2003 s. 85)

0

2

4

6

8

10

12

2 3 4 5 6 7 8 9


15

Det ses at udregningen af risikoen kan forkortes ned, således at det bliver andelen af den risikofyld-

te portefølje gange dennes risiko. Dette skyldes at der udnyttes at det risikofrie aktiv har en risiko på

nul, samt at kovariansen mellem de to aktiver er lig nul.

2.5.3.1. Kapitalmarkedslinien

Den lineære sammenhæng mellem de to muligheder kan beskrives ved at substituere [2.8] ind i

[2.9] således følgende udtryk fremkommer:15

𝐸 𝑟𝑐 = 𝑟𝑅𝐹 +𝑟𝑝 − 𝑟𝑅𝐹

𝜎𝑃∗ 𝜎𝐶 [2.10]

Det ses at kapitalmarkedslinien [2.10] består af to dele, en konstant, den risikofrie rente, samt en

hældningskoefficient der er udtryk for risikopræmien per risikoenhed multipliceret med den kombi-

nerede risiko, også kaldet Reward-to-Variability ratioen (RtV). Hældningskoefficienten er også

kendt som Sharpes ratio, dette performancemål vil blive benyttet senere under performance da den

forklare risikopræmien pr risikoenhed en investor modtager. Hældningskoefficienten findes ved den

kombinationsmulighed på den efficiente rand med den højeste Sharpe ratio.

Såfremt at investoren skulle have mulighed for at låne til den risikofrie rente, og placere de lånte

midler i den risikofrie portefølje, ville denne have mulighed for at geare sin investering.

2.5.4. Den efficiente rand med kortsalgsmuligheder

Kortsalg går i al sin enkelthed ud på at en investor låner et aktivt af en anden, med den overbevis-

ning om at aktivets værdi vil falde i den kommende periode, hvor aktivet er lånt. Investoren sælger

aktivet for så senere at købe det tilbage igen, for at overdrage det tilbage igen. Hvis der udbetales

dividender i perioden aktivet er lånt, skal der ske betaling til vedkommende det er lån fra.16

Rent praktisk foregår sammensætningen af porteføljer på samme måde som ved sammensætninger

uden kortsalg, dog fjernes restriktionen om at de enkelte vægte skal være positive.

2.6. Delkonklusion

Der er i dette afsnit gennemgået hvorledes det er muligt at sammensætte den mest efficiente porte-

følje ud fra Markowitz porteføljeteori. Det grundlæggende er at finde de enkelte aktivers gennem-

snitlige afkast, hvor det geometriske var det bedste samt mest praktiske til at beskrive afkastet. Ud

15 (Elton 2003 s. 86)

16 (Haugen 1997 s. 69)


16

fra dette kunne de enkelte aktivers risiko, samt korrelation udregnes. Således at der ud fra disse tre

nøgletal er muligt at maksimere en sammensætnings afkast for en given risiko.

Dataanalyse

17

3. Dataanalyse

Dette kapitel har til formål at præsentere de enkelte elementer der indgår i datamaterialet der vil

blive brugt til at fremstille de enkelte porteføljer. Derudover vil data sættet blive testet for om hvor-

vidt efterfølgende konstruktioner skal sammensættes på baggrund af dags eller ugedata, alt afhæn-

gig af hvilken serie der opfylder betingelsen om normalfordeling bedst.

3.1. Datagrundlag

Dette afsnit vil både omhandle det bagvedliggende valg af datamateriale til sammensætning af de

enkelte porteføljer, samt en beskrivelse af det benchmark der vil blive benyttet i performance afsnit-

tet.

3.1.1. Datamateriale til porteføljekonstruktion

Selve datamaterialet vil indeholde to former for aktiver, aktier og obligationer. De aktier der indgår,

er de aktier der har været med i C20-indekset gennem perioden 1.1.2000 til 31.12.2008. Aktier der

har været en del af indekset, men ikke har været med gennem hele perioden er blevet fravalgt. Det

er således blevet til 16 aktier der overholder kravet, se tabel 3.1. Derudover indgår der 3 obligatio-

ner, valget er faldet på danske statsobligationer for at eliminere kreditrisikoen.

Tabel 3.1 Oversigt over datamaterialet

Aktier Obligationer

Carlsberg

Danisco

Danske Bank

DSV

FLSmidth

Lundbeck

Jyske Bank

Maersk A

Maersk B

NKT

Norden

Novo Nordisk

Sydbank

Topdanmark

Vestas

William Demant

2 års statsobligation indeks




Grunden til at dataperioden er så lang, er for at sikre markedet har gennemgået mindst en cyklus

gennem perioden, således at materialet både indeholder op samt nedture i markedet, jf. figur 3.1.

Dataanalyse

18

Figur 3.1, Afkast serie for C20 indekset


Ved at benytte historiske data der strækker sig så langt tilbage er det muligt at sikre en efficient por-

teføljekonstruktion, jf. (Elton 2003 s. 90). Der er dog den forudsætning at dataet ikke ændres væ-

sentlig over tid, således at der benyttes stationært data. Dette kan måske vise sig at være et problem,

der er derfor der bliver testet for hvorvidt datamaterialet er normalfordelt i de efterfølgende afsnit.

3.1.1.1. Afkastserie for aktier

Afkastet for aktierne er beregnet ud fra et ”return index” fra Datastream der tager højde for dividen-

de udbetalinger i løbet af perioden. For at tage højde for dividende udbetalinger er der den forud-

sætning at dividende udbetalingerne geninvesteres i samme aktiv. Således at indekset kan beregnes

på følgende måde:17

𝑅𝐼𝑡 = 𝑅𝐼𝑡−1 ∗𝑃𝐼𝑡𝑃𝐼𝑡−1

∗ 1 +𝐷𝑌𝑡100

∗1

𝑁 [3.1]

Hvor 𝑅𝐼𝑡 er return indekset dag t, 𝑃𝐼𝑡 pris indekset for dag t, 𝐷𝑌𝑡 er dividenden i % dag t og N er

antal handelsdage i løbet af året, hvilket er sat til 260 dage. Herefter beregnes afkastet ved hjælp af

[2.1], der giver den logaritmiske ændring i indekset.

3.1.2. Den risikofrie rente

Da den risikofrie rente er af ren teoretisk karakter, hvor der er et sikkert og forudsigeligt afkast.18

Hertil benyttes renten på 10 års statsobligation. Renten vil blive omregnet således at den passer til

17 Datastream

18 (Bodie, Merton 2000 s. 323)

0

100

200

300

400

500

600

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Dataanalyse

19

selve porteføljekonstruktionen. Således at hvis der benyttes ugedata, vil renten også blive beregnet

ud fra et ugentligt afkast.

3.1.3. Benchmark

Til de senere performance test vil der blive konstrueret et benchmark bestående af 40 % aktier og

60 % obligationer. For at simplificere benchmarket så meget som muligt, vil C20-indekset udgøre

aktierne og indekset for den 10 årige statsobligation udgøre obligationsdelen.

3.2. Test af normalfordeling

Følgende test har dels til formål at finde ud af om hvorvidt porteføljekonstruktionen skal konstrue-

res ud fra afkastet af dags- eller ugedata. Da Markowitz porteføljeteori bygger på forudsætningen

om normalfordeling vil der blive set på både skævheden samt kurtosis der undersøge topstejlheden.

Disse to test vil blive opfuldt af Jarque-Bera test, hvor både skævhed samt kurtosis indgår i vurde-

ringen om hvorvidt afkastene følger en normalfordeling

3.2.1. Skewness

Skævhed er et udtryk for om hvorvidt middelværdien afviger fra medianen, hvilket vil sige om for-

delingen kan betragtes som symmetrisk. Ved eksempelvis en højreskæv fordeling vil middelværdi-

en være større end medianen, dette vil resultere i en positiv testværdi, og omvendt ved en venstre-

skæv fordeling.

Skævheden han beregnes på følgende måde:19

𝑆 =1

𝑁

𝜇 − 𝜇

𝜎

3𝑁

𝑖=1

[3.2]

3.2.2. Kurtosis

Ved at teste for kurtosis testes der for om afkastet centrere sig om middelværdien eller om fordelin-

gen har flade haler. Ved en forholdsvis høj kurtosis fremkommer der fede haler, hvilket vil sige der

er flere ekstreme værdier i forhold til en normalfordeling.

19 Eviews User Guide

Dataanalyse

20

Kurtosis beregnes på følgende måde:20

𝐾 =1

𝑁

𝜇 − 𝜇

𝜎

4𝑁

𝑖=1

[3.3]

Hvis afkastserien har en kurtosis der ligger over 3, kaldes denne fordeling for leptokurtisk, hvilket

gør at fordelingen netop har større sandsynlighed for fede haler.21

3.2.3. Jarque-Bara test

Til at samle de to test om skævhed samt kurtosis benyttes Jarque-Bara testen, der samler de to test i

en, for at kunne konkludere hvorvidt afkastserien følger en normalfordeling.

Jarque-Bara testen kan udregnes på følgende måde:22

𝐽𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒 − 𝐵𝑎𝑟𝑎 =𝑁

6 𝑆2 +

(𝐾 − 3)2

4 [3.4]

Hvor S er skævheden og K kurtosis. Jarque-Bara værdien skal vurderes ud fra en χ2 fordeling med 2

frihedsgrader. Det giver følgende hypotese ved testen:

H0: Afkastet følger en normalfordeling

H1: Afkastet følger ikke en normalfordeling

Nul-hupotesen forkastes såfremt at Jarque-Bara værdien er højere end 5,99 ved et konfidensniveau

på 5 %.

3.2.4. Test af datamateriale for normalfordeling

For at finde ud af hvorvidt det datamateriale der skal ligge til grund for fremtidige porteføljekon-

struktioner skal baseres på dags eller uge data, er de to datamaterialers logaritmiske afkast blevet

analyseret ud fra de tre føromtalte test og samlet i tabel 3.2.

Det ses tydeligt ud fra tabellen at der er problemer ved begge afkastserier, et af de tydeligste pro-

blemer er at der ikke er en eneste afkastserie, hverken på dags eller ugebassis, der lever op til den

føromtalte kritiske værdi på 5,99 for en 𝜒2 fordeling, H0 hypotesen om normalfordeling kan derfor

forkastes.


21 (Verbeek 2004 s. 400)


Dataanalyse

21

Tabel 3.2 Oversigt over normalfordelingstesten

Dagsdata Ugedata

1.1.2000 til 31.12.2004 1.1.2004 til 31.12.2008 1.1.2000 til 31.12.2008

Skævhed Kurtosis JB Skævhed Kurtosis JB Skævhed Kurtosis JB

Carlsberg -0,615 11,93 4.426,1 -0,468 13,95 5.252,8 -0,834 10,92 1.280,4

Danisco -0,372 10,57 3.143,4 0,180 8,07 1.121,1 -0,699 10,07 1.010,7

Danske Bank 0,034 7,31 1.010,2 -0,734 14,33 5.671,8 -2,463 24,96 9.896,7

DSV -0,297 6,90 846,9 0,606 10,54 2.534,2 -0,227 6,68 268,6

FLSmidth 0,165 9,96 2.643,6 -0,089 7,71 963,6 -0,489 6,48 255,6

Lundbeck -1,068 14,27 7.152,7 -0,332 13,95 5.233,1 -0,785 8,70 683,7

Jyske Bank 0,298 8,14 1.454,2 -0,797 9,17 1.765,9 -1,453 10,99 1.413,9

Maersk A 0,081 10,75 3.265,8 -0,289 9,19 1.677,9 -0,021 5,79 152,3

Maersk B 0,879 14,53 7.394,8 -0,349 9,52 1.866,5 0,004 4,76 60,6

NKT 0,952 11,44 4.067,1 -0,638 9,84 2.102,7 0,867 11,35 1.420,8

Norden 1,558 14,86 8.170,5 -0,679 8,78 1.530,6 0,326 9,96 955,0

Novo Nordisk -0,637 16,67 10.242,9 0,034 8,11 1.136,8 -0,873 8,32 611,8

Sydbank 1.323 13,55 6.436,9 -1,291 19,04 11.465,3 -3,689 36,03 22.378,1

Topdanmark -0,217 7,30 1.014,4 0,303 9,56 1.886,1 0,057 7,12 332,5

Vestas 0,132 20,52 16.697,2 -0,285 11,89 3.448,4 -0,699 8,58 646,9

William Demant -0,047 11,79 4.199,9 -0,554 14,40 5.704,1 0,227 7,84 461,9

2 års stats obl. -0,648 6,48 749,6 -0,378 13,83 5.125,7 -0,085 6,29 242,6

5 års stat obl. -0,554 4,99 283,7 0,829 21,58 15.126,9 -0,168 4,86 79,9

10 års stat obl. -0,631 4,39 191,5 0,236 7,59 924,2 -0,211 4,36 44,9

Anm.: Da der i studenterudgaven af Eviews er lagt begrænsninger på hvor mange observationer der må in d-

gå i en serie er analysen for dagsdata opdelt i to perioder.

Kilde: Egen tilvirkning, beregningen er foretaget i Eviews , vedlagt i bilag 1

Selv om der ikke er nogle af ovenstående afkastserier der kan betragtes som normalfordelt, er der

ingen tvivl om at ugedata er bedre end dagsdata. Dette ses ved at så godt som alle Jarque-Bara vær-

dier er lavere end tilsvarende værdier for dagsdata.

Problemerne med normalfordeling skyldes til dels at afkastserierne har meget høje kurtosis værdier,

der betyder at der er en tendens til fede haler, altså ekstreme værdier forekommer. Dette sammen-

holdt med at langt de fleste afkast serier har problemer med skævhed, gør at de ikke følger en nor-

malfordeling.

Tages der f.eks. udgangspunkt i Sydbank, der har problemer med at afkast serien er yderst skævt

fordel, hvilket føre til at også kurtosis bliver meget høj, pga. der er nogle ekstrem negative afkast.

Dataanalyse

22

Dette bevirker også at når det gennemsnitlige afkast udregnes vil denne værdi være højere end me-

dianen. Intuitivt vil en investor foretrække en højreskæv aktie frem for en venstreskæv, da der fore-

kommer færre værdier der afviger negativt i forhold til middelværdien. Dette er der dog ikke i Mar-

kowitz model mulighed for at tage hensyn til fordelingens skævhed.

Ud fra ovenstående analyse konkluderes der at der er store problemer med normalfordelingen, men

afkastserier baseret på ugedata har en fordeling der er mere normalfordelt end dagsdata. Der vil

derfor blive benyttet ugedata til at konstruere de fremtidige porteføljer, samt performance analyse.

Da der er en klar forudsætningsbrud på normalfordelingen, kan der stilles spørgsmålstegn ved hvor-

vidt de efterfølgende porteføljekonstruktioner er retvisende.

Porteføljesammensætning – mean-variance

23

4. Porteføljesammensætning med mean-variance

Efter at have gennemgået den teoretiske del, samt analyseret datagrundlaget der ligger til grund for

porteføljesammensætning, vil der i dette afsnit blive konstrueret porteføljer ud fra Markowitz klas-

siske teori med mean-variance.

Det vil indledningsvist blive undersøgt hvordan de enkelte værdier der ligger til grund for porteføl-

jesammensætningen, afkast, risiko samt kovarians, har udviklet sig gennem 2008. Hvorefter der vil

blive sammensat porteføljer for hver måned gennem 2008, for at se hvordan sammensætningen har

udviklet sig gennem finanskrisen. Dette vil ske både med restriktion om kortsalg, men også uden

for at se om det har været muligt at udnytte kortsalg gennem krisen til at skabe et merafkast. Til slut

vil de enkelte porteføljers performance blive evalueret ud fra det sammensatte benchmark. Selve

performance analysen har til formål at undersøge hvorvidt Markowitz porteføljeteori har kunne ge-

nererer et bedre afkast end et simpelt benchmark.

4.1. Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver

Overordnet set var 2008 et meget dårligt aktieår, grundet de voldsomme fald finanskrisen medførte

i den sidste del af året, jf. figur 4.1. I det efterfølgende vil der blive analyseret hvordan dette fald har

påvirket de bagvedliggende værdier, til beregning af porteføljesammensætning.

Figur 4.1, Graf over afkast-index for C20 indekset, år 2008

Kilde: engen tilvirkning

4.1.1. Udvikling i afkastserien

Spørgsmålet er hvordan udsvingene i aktiekurserne kommer til udtryk i porteføljekonstruktionen,

her tænkes specielt på de meget ekstreme fald der skete i det sidste kvartal af 2008. Derfor er de

200

250

300

350

400

450

500

januar april juli oktober


24

værdier der indgår til porteføljesammensætning samt de reelle værdier blevet samlet i bilag 2, hvor

de efterfølgende konklusioner er truffet på baggrund af disse beregninger. Ud fra bilaget ses det at

de beregnede afkast, som porteføljekonstruktioner er blivet sammensat på baggrund af, er faldet i

takt med at indekset også har tabt værdi. Men forskellen på de beregnede og reelle værdier stiger

markant hen over det sidste kvartal i 2008. Derfor er det blevet en kendsgerning at de voldsomme

kursfald har forplantet sig i det store datamateriale, således at de benyttede afkast ligger væsentlig

over det reelle afkast, og dermed ikke er retvisende. Dette er også i forlængelse af at der jf. (Elton

2003) skulle benyttes historisk data lang tid tilbage for at sikre at porteføljesammensætningen blev

så efficient som muligt. Dette var netop for at sikre at dataene var stationære, og at ekstreme udfald

ikke ville påvirke billedet i det lange løb. Det er også ifølge (Elton 2003) muligt at der bliver juste-

ret på afkastene så de bedre matcher investors forventninger til fremtiden. Dette ville også være

muligt at gøre her, men da det ikke er en del af Markowitz teori, vil det ikke blive forsøgt at ændre

datamaterialet således at det er stemmer bedre overens med de reelle værdier. Dette sker til dels

pga. det kan være svært at spå om hvordan de fremtidige afkast vil se ud, men vigtigst af alt at det

ikke var en del af den oprindelige teori. Et af problemerne med at de voldsomme kursfald har for-

plantet sig i datamaterialet er at det på det på kort sigt kan komme til at koste investoren dyrt, da

afkastene ligger langt fra de realiserede afkast.

Det gennemsnitlige afkast for samtlige aktier er positivt i starten af 2008, men de ekstreme udsving

der har været i afkastet har gjort at Maersk og Carlsberg levere et negativt afkast i november og

december måned. Men det er samtidigt opsigtsvækkende at det gennemsnitlige afkast for Maersk

har ligget på niveau med de 3 statsobligationer, således at aktien ikke har kunnet generere et mera-

fakst svarende til den ekstra risiko en investor har ved en Maersk aktie.

Den aktie der performer bedst på afkastsiden er uden tvivl Norden, den ligger gennemsnitlig med et

afkast der er dobbelt så højt som den nærmeste, NKT uden at tage hensyn til den medfølgende risi-

ko. Det skal dog også bemærkes at det har været de to aktier, der har været de største afvigelser på

gennem perioden, mellem de anvendte værdier og de reelle værdier.

4.1.2. Udviklingen af standart afvigelserne

Nu er det ikke kun afkastet der har betydning for porteføljesammensætningen, men i stor grad også

hvordan risikoen er for de enkelte aktiver og imellem. Det blev i foregående afsnit konkluderet at

det store kursfald ikke blev voldsomt synligt i datamaterialet, grundet dets omfang. Det samme er


25

gældende for standart afvigelserne, de ligger mere eller mindre stabilt gennem hele perioden.23

De

stiger dog en smule mod slutningen af 2008, dette skyldes naturligvis de voldsomme udsving der

har været i afkastet mod slutningen af 2008.

Ved sammenligning af standart afvigelserne mellem aktier og obligationer ses det meget tydeligt at

der ikke er samme risiko ved at investere i obligationer, frem for aktier. Dette forhold skal ses i ly-

set af det laver afkast obligationerne generere i forhold til aktierne. Således at der er meget god

sammenhæng mellem risiko og afkast.

Vestas ligger med den klart højeste standart afvigelse gennem hele perioden, denne høje standart

afvigelse skylde de ekstreme udsving der er i afkastserien gennem hele perioden for datamaterialet,

dette ses specielt i 2008, jf. figur 4.2.

Figur 4.2, Afkast serie for Vestas

Kilde: egen tilvirkning i Eviews

Disse ekstreme udsving kan medføre at der forekommer heteroskedasticitet, hvilket bevirker at de

udregnede standart afvigelserne ikke giver et retvisende billede for de reelle standart afvigelser. At

standart afvigelserne ikke giver er retvisende billede, får også betydning for udregningen af den

efficiente rand, hvilket gør at de beregnede MVP og tangentporteføljer måske ikke er de korrekte.

Således at en investor i givet fald vil påtage sig en højere eller lavere risiko, end det forventede ved

sammensætningen af disse porteføljer.

23 Se bilag 2

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

00 01 02 03 04 05 06 07 08

VESTAS


26

De tre bankaktier i C20 indekset, Danske Bank, Jyske Bank samt Sydbank har været nogle af de

aktier der har været hårdest ramt af krisen i slutningen af 2008. De oplevede alle meget store kurs-

fald, hvilket giver anledning til en stigende standart afvigelser, men som alle de andre aktier er de

beregnede standart afvigelserne ikke retvisende, således at det kan se ud som om at en investor ikke

vil løbe en så stor risiko ved investeringen af disse aktier, som der reelt set er.

4.1.3. Udviklingen af korrelationen mellem aktiverne

Korrelationenen mellem de enkelte aktiver er i samspil med de enkelte standart afvigelser med til at

give det overordnede billede af den risiko en investor løber ved investeringen i en given portefølje,

da den rette kovarians mellem aktiver kan være med til at nedsætte den samlede risiko, vha. diversi-

fikation. For at bortdiversificerer så meget risiko som muligt, skal korrelationskoefficienterne være

tætte på nul eller negative. For simplificeringens skyld vil der i dette afsnit kun blive set på korrela-

tionskoefficienterne, da kovarianserne som tidligere nævnt kan være svære at fortolke.

4.1.3.1. Korrelation for obligationerne

Overordnet ses der at korrelationen obligationerne imellem er meget stor, der forekommer næsten

perfekt positiv korrelation, jf. tabel 4.1. Dette gør at det ikke er muligt at nedsætte porteføljens risi-

ko synderligt ved inddragelse af flere obligationer, men dette gælder kun for porteføljekonstruktio-

ner uden kortsalg. Det vil derimod være muligt at fjerne risikoen ved at kortsælge den ene og købe

den anden i det rette omfang.

Tabel 4.1, Oversigt over korrelationskoefficienter mellem obligationer og aktier, jan 2008

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

2 års obl 0,09 0,09 0,03 0,05 0,21 0,02 0,20 0,22 0,05 0,04 0,19 0,14 0,12 0,12 0,11 0,21 1,00 5 års obl 0,07 0,08 0,01 0,02 0,20 0,02 0,17 0,18 0,06 0,08 0,15 0,16 0,11 0,12 0,15 0,23 0,85 1,00

10 års obl 0,03 0,06 0,05 0,02 0,16 0,04 0,15 0,12 0,04 0,10 0,12 0,15 0,08 0,06 0,12 0,21 0,72 0,90 1,00

Anm.: Røde korrelationskoefficienter angiver at de er negative.

Kilde: Egen tilvirkning, Excelfilen porteføljesammensætning jan.

Ligeså interessant en observation er at korrelationen imellem obligationerne og aktierne er negativ,

hvilket gør at muligheden for risikonedsættelse er til stede, ved at kombinere aktier og obligationer i

porteføljerne. Gennem 2008 er disse korrelationskoefficienter faldet yderligere således det er muligt

at nedsætte risikoen ydermere, jf. tabel 4.2. Dette skyldes at obligationerne ikke har haft samme

nedgang som aktierne gennem krisen samt genereret et positivt afkast i perioden.24

At korrelationen

24 Bilag 2


27

er faldet yderligere gennem året, åbner op for at det er muligt at nedsætte risikoen yderligere, hvis

der ses isoleret set ud fra kovarianserne, men det skal huskes på at standart afvigelserne også steg

gennem året, således at denne mulighed er begrænset.

Tabel 4.2, Ændring af korrelationskoefficienter gennem 2008 mellem obligationer og aktier

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

2 års obl 0,06 0,06 0,00 0,06 0,03 0,05 0,06 0,01 0,03 0,01 0,01 0,04 0,05 0,05 0,02 0,04 0,00 5 års obl 0,06 0,06 0,03 0,06 0,01 0,07 0,04 0,03 0,10 0,02 0,01 0,03 0,05 0,00 0,02 0,07 0,08 0,00

10 års obl 0,08 0,08 0,05 0,05 0,05 0,03 0,00 0,05 0,05 0,01 0,05 0,02 0,04 0,03 0,00 0,02 0,02 0,05 0,00

Anm.: Røde korrelationskoefficienter angiver negativ udvikling i korrelationskoefficienterne


Samtidig med at korrelationen overfor aktierne blev mere negativ, faldt den indbyrdes korrelation

mellem obligationerne en smule, hvilket giver en øget mulighed for yderligere diversifikations ef-

fekt ved at sprede investeringen ud på flere obligationer. Det skal dog bemærkes at de stadig er

stærkt positivt korreleret, således af effekten er begrænset ude kortsalg.

4.1.3.2. Korrelation for aktierne

For aktiernes vedkommen ses det at den indbyrdes korrelation er højest mellem de to Maersk aktier,

jf. tabel 4.3, hvilket ikke er så besynderligt da det er samme selskab der er bagvedliggende, dette

bevirker ligesom det var gældende for obligationerne imellem, en begrænset diversifikations effekt

uden kortsalg.

Korrelationen mellem aktierne er alle positive i begyndelsen af 2008, dog alle langt fra at være per-

fekt korreleret, således der vil kunne være en begrænset risikoreduktion tilstede ved porteføljer ude-

lukkende bestående af aktier. Så for at opnår den bedst mulige diversifikationseffekt skal aktierne

kombineres med obligationer, da disse som føromtalt korrelerede negativt med aktierne.


28

Tabel 4.3, Oversigt over korrelationskoefficienter mellem aktier, jan. 2008

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

Maersk A 1,00

Maersk B 0,89 1,00 Carlsberg B 0,15 0,18 1,00

Norden 0,16 0,16 0,02 1,00 DSV B 0,33 0,37 0,17 0,08 1,00

Danisco 0,14 0,18 0,21 0,06 0,28 1,00 Danske Bank 0,23 0,21 0,18 0,02 0,29 0,20 1,00

Flsmidth 0,26 0,25 0,21 0,08 0,37 0,18 0,26 1,00 Jyske Bank 0,20 0,20 0,23 0,10 0,25 0,21 0,24 0,22 1,00

H Lundbeck 0,16 0,17 0,12 0,09 0,20 0,10 0,16 0,12 0,08 1,00 NKT 0,28 0,27 0,14 0,14 0,25 0,20 0,19 0,38 0,17 0,13 1,00

Novo Nordisk 0,20 0,21 0,19 0,07 0,31 0,17 0,24 0,16 0,08 0,22 0,17 1,00 Sydbank 0,20 0,18 0,10 0,11 0,27 0,20 0,34 0,22 0,36 0,07 0,18 0,15 1,00

Topdanmark 0,24 0,22 0,14 0,06 0,30 0,20 0,30 0,29 0,25 0,14 0,20 0,13 0,25 1,00 Vestas 0,18 0,16 0,17 0,14 0,31 0,14 0,25 0,29 0,19 0,15 0,26 0,24 0,18 0,15 1,00

William Demant 0,17 0,14 0,10 0,01 0,30 0,19 0,23 0,17 0,10 0,14 0,23 0,25 0,16 0,19 0,29 1,00

Kilde: Excelarket ”porteføljesammensætning jan”

Det ses at Norden har forholdsvise lave korrelations koefficienter set i forhold til de øvrige aktier,

dog er korrelationen med Maersk aktierne højst, hvilket er meget naturligt, da de begge er indenfor

den samme branche, på trods af at Maersk også opererer indenfor mange andre brancher. At bran-

cherne indbyrdes korrelerer med hinanden ses også inden for de tre bankaktier, Sydbank, Danske

Bank og Jyske Bank. Det at brancherne korrelere med hinanden kan være med til at åbne op for en

mulighed for bortdiversifikation ved inddragelsen af kortsalg, men det betyder samtidig også der vil

være en forhøjet risiko ved at placere store andele af porteføljen indenfor samme branche. De høje-

ste korrelationer skal dog findes inden for DSV aktien, der kun har en korrelationskoefficient under

0,2 overfor Carlsberg, hvilket gør at den umiddelbart ikke virker så interessant set ud fra korrelatio-

nen.

Der har gennem starten af 2009 været en del debat omkring porteføljeteori gennem krisetiden i ma-

gasinet ”Journal of Financial Planning”, en af konklusionerne i denne debat har været at det eneste

der går op i krisetider er kovariansen.25

Denne tendens ses også for aktierne i C20-indekset, jf. tabel

4.4, dog med to små undtagelser der er uden den store betydning grundet ændringens størrelse. Det

er dog stadig en kritisk udvikling da det er med til at nedsætte muligheden for diversifikation yder-

25 (Holton 2009)


29

ligere, det må dermed også formodes at den samlede risiko på porteføljerne vil stige gennem 2008

sammenholdt med de stigende standart afvigelser.

Tabel 4.4, Ændring af korrelationskoefficienter gennem 2008 mellem aktierne

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

Maersk A 0,00


Norden 0,17 0,17 0,18 0,00 DSV B 0,11 0,09 0,15 0,16 0,00



H Lundbeck 0,03 0,03 0,02 0,07 0,01 0,05 0,08 0,04 0,06 0,00 NKT 0,07 0,07 0,12 0,10 0,08 0,03 0,09 0,06 0,07 0,04 0,00



William Demant 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,02 0,02 0,08 0,00 0,01 0,04 0,02 0,02 0,05 0,01 0,00


De korrelationskoefficienter der har haft den mest markante stigning er Sydbank, Norden samt Dan-

ske bank. Korrelationen mellem de tre bankaktier er gennem 2008 steget meget kraftigt, således at

den indbyrdes korrelationskoefficient mellem Danske bank og Sydbank kom op på 0,64 i decem-

ber.26

4.2. Porteføljer uden kort salg

Der vil i det efterfølgende blive sammensat en portefølje primo hver måned gennem 2008, af disse

konstruktioner vil der blive gennemgået hvordan udviklingen har været inde for MVP samt tan-

gentporteføljerne.27

4.2.1. Sammensætning af MVP

Udviklingen i MVP gennem 2008 har været rimelig stabil for vægtningen mellem aktier og obliga-

tioner, hvor der gennem hele perioden har været en klar overvægtning af obligationer i forhold til

aktier. Denne overvægtning af obligationer, er dog ikke overraskende. Det skyldes til dels den lave

26 Excelarket ”Porteføljemodel dec”

27 Alle konstruktioner i excel ark kan findes på den vedlagt CD i mappen ”porteføljeoptimering”


30

standart afvigelse for obligationerne, men også den negative korrelation obligationer og aktier imel-

lem. Den negative korrelation mellem aktierne gør at den kan bruges til at nedsætte risikoen, såle-

des at porteføljerne kan få en lavere risiko end hvis der kun var investeret i obligationer. Netop på

denne baggrund er det også lykkedes at skabe porteføljer der har en lavere risiko end den 2 årige

statsobligation.28

Tabel 4.5, Porteføljekarakteristika for MVP uden kortsalg

Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV

Januar 2,2 % 97,8 % 0,081 0,141 -0,003

Februar 2,9 % 97,1 % 0,086 0,151 0,049 Marts 2,4 % 97,6 % 0,083 0,142 0,042 April 2,5 % 97,5 % 0,082 0,143 0,044 Maj 2,5 % 97,5 % 0,082 0,144 0,009 Juni 2,7 % 97,3 % 0,080 0,152 -0,020 Juli 2,6 % 97,4 % 0,078 0,158 -0,081 August 2,5 % 97,5 % 0,077 0,158 -0,078 September 2,5 % 97,5 % 0,079 0,159 -0,031 Oktober 2,7 % 97,3 % 0,080 0,159 -0,012 November 1,7 % 98,3 % 0,077 0,168 -0,034

December 1,6 % 98,4 % 0,079 0,170 0,013

Gennemsnit 2,4 % 97,6 % 0,080 0,154 -0,009 Kilde: Egen tilvirkning, excelarket ”realiseret afkast mean -variance uden kortsalg”

Det ses af ovenstående tabel 4.5 at Markowitz model forudsiger at aktierne skal indgå i en mindre

andel gennem det sidste kvartal af 2008. Dette sker på trods af at aktierne aldrig har udgjort nogen

væsentlig andel af de samlede porteføljer. De stigende standart afvigelser påvirker også sammen-

sætningerne i sidste par måneder af 2008, hvor det samlede porteføljes risiko stiger, men stigningen

skyldes også at det ikke udnyttes i samme omfang at aktierne har en negativ korrelation til obligati-

onerne. At porteføljerne indeholder så store andele af obligationer er ikke nogen overraskelse, da de

har en væsentlig lavere standart afvigelse end aktierne, for ved MVP bliver der kun fokuseret på at

nedsætte risikoen uden at tage højde for det dertilhørende afkast..

Det sidste element i tabel 4.5 er RtV også kaldet sharpe-indekset, viser som tidligere nævnt den

risikopræmie en investor modtager pr ekstra risiko i forhold til den risikofrie rente. Dette indeks har

gennemsnitlig været negativ gennem perioden, men der har også været enkelte måneder gennem

2008 hvor denne har været positiv. Det ville derfor have været mere fordelagtigt at placere investe-

ringerne i 10 års statsobligation, da denne er brugt som den risikofrie rent, i de perioder hvor RtV

har været negativ, taget risikoen i betragtning.

28 Bilag 2


31

Ses der på allokeringen af den store andel af obligationer, viser det sig at der er en klar overvægt-

ning af den 2 årige statsobligation gennem hele 2008. Denne obligation tegner sig stort set som den

eneste obligation, dog er der i februar og marts investeret mindre andele i den 5 årige statsobligati-

on. Den 10 årige statsobligation indgår ikke på noget tidspunkt i MVP, dette skyldes at den gennem

hele perioden har en højere standart afvigelse end de to andre obligationer.29

Det kan dog ud fra

samme tankegang omkring standart afvigelser syntes besynderligt at den 5 årige statsobligation ind-

går i de to måneder nu hvor dens standart afvigelse er højere end den 2 årige statsobligation. Forkla-

ringen på dette skal findes i korrelationen til aktierne, da denne har nogle korrelationer der er mere

negative end den 2 årige statsobligation

Tabel 4.6, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP

Aktier Obligationer

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

---------------------------------------------------------------- % ---------------------------------------------------------------- --------- % ---------

Jan. 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,0 0,6 0,3 0,0 0,0 0,2 0,2 0,2 0,0 0,0 0,4 97,8 0,0 0,0

Feb. 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,0 0,7 0,4 0,1 0,0 0,2 0,3 0,5 0,0 0,0 0,4 91,2 5,9 0,0

Mar. 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,0 0,6 0,3 0,0 0,0 0,2 0,2 0,3 0,0 0,0 0,4 97,6 0,0 0,0

Apr. 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,0 0,6 0,3 0,0 0,0 0,2 0,2 0,4 0,0 0,0 0,4 97,5 0,0 0,0

Maj. 0,0 0,0 0,0 0,2 0,2 0,0 0,6 0,3 0,1 0,0 0,2 0,2 0,3 0,0 0,0 0,4 97,5 0,0 0,0

Jun. 0,0 0,2 0,0 0,2 0,1 0,0 0,6 0,3 0,0 0,0 0,1 0,2 0,5 0,0 0,0 0,4 97,3 0,0 0,0

Jul. 0,0 0,2 0,0 0,1 0,2 0,0 0,6 0,3 0,0 0,0 0,2 0,2 0,4 0,0 0,0 0,4 97,4 0,0 0,0

Aug. 0,0 0,2 0,0 0,1 0,2 0,1 0,5 0,4 0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,0 0,0 0,4 97,5 0,0 0,0

Sep. 0,0 0,2 0,0 0,2 0,1 0,0 0,5 0,4 0,0 0,0 0,1 0,2 0,4 0,0 0,0 0,4 97,5 0,0 0,0

Okt. 0,1 0,2 0,0 0,2 0,1 0,1 0,4 0,4 0,1 0,1 0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,4 97,2 0,1 0,0

Nov. 0,0 0,1 0,0 0,1 0,2 0,0 0,1 0,4 0,0 0,0 0,1 0,2 0,0 0,0 0,0 0,3 98,3 0,0 0,0

Dec. 0,0 0,1 0,0 0,1 0,1 0,0 0,2 0,4 0,0 0,0 0,2 0,1 0,0 0,0 0,0 0,4 98,4 0,0 0,0

Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil ”realiseret afkast mean -variance uden kortsalg”

Gennem 2008 har der grundlæggende været 7 aktier der har været med i alle porteføljer, dog med

en meget begrænset andel. De aktier der har været med hele vejen er Norden, DSV, Danske Bank,

FLSmidth, NKT, Novo Nordisk og William Demant. Det er måske overraskende at Danske Bank

aktien har været med hele vejen, da bank aktier har været meget hårdt ramt gennem krisen, men det

skal dog bemærkes at andelen af denne aktie er faldet meget i de sidste to måneder. Dette ses også

ved Sydbank aktien udgik i slutningen af 2008 hvor krisen var værst i 2008.

Ud fra ovenstående sammensætning af MVP porteføljerne vil det forventes at afkastet vil ligge om-

kring de 3 %30

, da det ca. er hvad den 2 årig statsobligation har givet af afkast gennem 2008, på

29 Bilag 2

30 Bilag 2


32

trods af at der jf. tabel 4.5 vil være et mindre afkast, dette skyldes naturligvis at det er ud fra histori-

ske data og ikke de reelle data, som der vil blive brugt ved performance vurdering.

4.2.2. Sammensætning af tangentporteføljerne

Tangentporteføljerne har fuldt samme udvikling som MVP porteføljerne dog noget mere markant

forskel på andelene af aktier og obligationer. Som det ses nedenfor i tabel 4.6 er andelene af aktier

væsentlig større end i MVP porteføljerne. Dette skyldes naturligvis at der ved disse sammensætnin-

ger har været fokus på at maksimere RtV.

Tabel 4.7, Porteføljekarakteristika for tangentporteføljerne uden kortsalg


Januar 46,8 % 53,2 % 0,388 1,098 0,279 Februar 38,1 % 61,9 % 0,327 0,943 0,264 Marts 39,5 % 60,5 % 0,336 0,975 0,266

April 39,6 % 60,4 % 0,333 0,998 0,258 Maj 43,2 % 56,8 % 0,355 1,081 0,253 Juni 46,0 % 54,0 % 0,383 1,176 0,255 Juli 50,9 % 49,1 % 0,405 1,352 0,233 August 52,0 % 48,0 % 0,402 1,379 0,227

September 42,5 % 57,5 % 0,345 1,147 0,227 Oktober 41,7 % 58,3 % 0,302 1,077 0,204 November 30,6 % 69,4 % 0,256 1,149 0,151

December 23,1 % 76,9 % 0,223 0,959 0,152

Gennemsnit 41,2 % 58,8 % 0,338 1,111 0,231 Kilde: Egen tilvirkning, excelarket ”realiseret afkast mean -variance uden kortsalg”

En meget interessant observation i tabel 4.7 er andelen af aktier fra august og fremad bliver reduce-

ret til det halve i december, men hvis Markowitz porteføljemodel skal kunne bruges gennem krisen

må aktiernes andel også ses i lyset af kursudviklingen. Det ses i figur 4.3 at aktieandelen i tangent-

porteføljen følger kursudviklingen for C20-indekset meget godt, det syntes dog at se ud som om at

aktieandelen først følger kursen en måned efter.


33

Figur 4.3, Oversigt over C20 indekset og aktiernes andel i tangentporteføljen i 2008

Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil ”realiseret afkast mean -variance uden kortsalg

Ud fra figur 4.3 ser det umiddelbart ud som om, at Markowitzs porteføljeteori ville kunne spare en

investors portefølje for at gå ned med markedet, ved at bruge de ændrede forhold som en slags

guide-line, for hvor meget aktierne skal udgøre i en portefølje. For at dette skal kunne få en gavnlig

effekt bør en portefølje derfor omstruktureres ofte gennem en sådan krise.

Nu hvor det ser ud som Markowitz tilpasser sig sine omgivelser bliver det spændende at se ved en

senere performance analyse om det også er muligt at skabe en signifikant bedre alpha.31

Modsat MVP porteføljerne er den 10 årige statsobligation omdrejningspunkt for obligationer i tan-

gentporteføljerne, der sker dog en mindre spredning af obligationer i de første tre måneder hvor den

5 årige statsobligation indgår i et beskedent omfang. Grunden til at det netop er blevet den 10 årige

statsobligation der har fået den dominerende rolle for obligationer, og ikke den 2 årige som i MVP,

skal til dels findes i at der er en højere risikopræmie pr risikoenhed for den 10 årige statsobligation,

altså RtV. At den har fået denne overvægtning er altså sket på trods af at den 2 årige statsobligation

i langt de fleste tilfælde har en bedre negativ korrelation til aktierne, men i dette tilfælde er det mere

fordelagtigt at udnytte den højere RtV end den 2 årige statsobligations mulighed for risikoreduktion

gennem diversifikation.

31 Jensens indeks, mere om denne senere i afsnittet omkring performance

200

250

300

350

400

450

500

20,0%

25,0%

30,0%

35,0%

40,0%

45,0%

50,0%

55,0%

januar april juli oktober

Aktieandel (venstre akse) C20 indekset (højre akse)


34

Tabel 4.8, Allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne uden kortsalg

Aktier Obligationer

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Jysk

e B

ank

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

--------------------------------------------------------- % --------------------------------------------------------- ------------------ % ------------------

Jan. 0,0 14,1 3,1 5,8 1,5 1,8 18,5 1,3 0,6 0,0 13,4 39,8

Feb. 0,0 12,0 2,9 2,1 1,2 1,7 15,6 2,5 0,0 0,0 19,9 42,0

Mar. 0,3 12,5 2,7 2,8 1,0 2,5 15,1 2,5 0,0 0,0 6,2 54,4

Apr. 0,5 12,8 3,1 1,6 0,8 2,4 14,8 3,6 0,0 0,0 0,0 60,4

Maj. 0,6 14,1 3,4 1,5 1,1 2,3 16,2 3,9 0,0 0,0 0,0 56,8

Jun. 0,2 15,4 4,0 0,5 1,1 1,9 19,4 3,6 0,0 0,0 0,0 54,0

Jul. 0,0 18,3 4,7 0,1 1,4 2,2 20,6 3,6 0,0 0,0 0,0 49,1

Aug. 0,0 18,4 3,7 0,0 0,6 2,3 23,3 3,7 0,0 0,0 0,0 48,0

Sep. 0,0 15,5 3,4 0,0 0,4 2,2 17,0 4,1 0,0 0,0 0,0 57,5

Okt. 0,0 12,9 1,8 0,1 0,5 2,9 18,2 5,3 0,0 0,0 0,0 58,3

Nov. 0,0 14,7 4,7 0,0 1,2 4,5 1,0 4,5 0,0 0,0 0,0 69,4

Dec. 0,0 11,3 2,9 0,0 0,2 3,6 0,0 5,1 0,0 0,0 0,0 76,9

Anm.: de aktier der ikke indgår i de forskellige konstruktioner er blevet udeladt

Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil ”realiseret afkast mean -variance uden kortsalg”

Det ses jf. tabel 4.8 at der grundlæggende er to aktier, Norden og Sydbank der har været de to mest

dominerende aktier gennem året i tangentporteføljerne, dog er Sydbank blevet udeladt de to sidste

måneder, ligesom det var tilfældet i MVP.

Der kan stilles spørgsmålstegn ved hvorvidt tangentporteføljernes sammensætning er fuldt ud diver-

sificeret, da de mere eller mindre grundlæggende består af tre store andele, heraf en obligation og to

aktier, samt et par mindre andele af andre aktier. Det problematiske kan opstå ved at der i bund og

grund bliver sammensæt en meget snæver portefølje, der afhænger meget af de tre aktivers perfor-

mance. Den 10 årige statsobligation har dog en meget lille risiko32

, men problemet opstår ved at op

mod en tredjedel af porteføljens afkast afhænger af hvordan disse to aktier klare sig. Dette kunne

have været løst ved at lave en begrænsning for hvor stor en andel de enkelte aktier må have i den

samlede portefølje, for at tvinge modellen til at øge diversificeringen.

4.3. Porteføljer med kort salg

I modsætningen til de foregående portefølje sammensætninger, er der nu blevet taget højde for mu-

ligheden med kortsalg, hvilket kort beskrevet går ud på, at der spekuleres i kursfald. Hvilket alt an-

32 Bilag 2


35

det lige ville kunne udnyttes i krisetider til at tjene penge på et faldende marked, hvis det er muligt

at forudsige hvilke aktier der skal kortsælges.

Der vil i det efterfølgende være to måder til at opgøre portefølje andelene på. Den første er brutto

metoden hvor det er forskellen mellem kortsolgte aktier og investerede aktier der udgør andelen.

Problemet med denne metode er at den ikke tage højde for hvor store andele der er blevet kortsolg-

te, således at den angiver en mindre værdi da kortsalg mindsker andelen. For at tage højde for dette

er de nominelle andele også blevet udregnet, denne metode omregner de enkelte porteføljevægte til

numeriske værdier og på den måde finder andelene.


Der har gennem 2008 ikke været de store udsving i hvorvidt de enkelte porteføljer er sammensat,

men det ses dog meget tydeligt at andelen af obligationer har været klart dominerende gennem hele

perioden., jf. tabel 4.9. Der syntes dog at være en tendens til jf. brutto andelene at aktierne nedprio-

riteres i november og december, men dette skyldes at udelukkende at der bliver kortsolgt aktier der

før blev købt, jf. tabel 4.10. Dette ses meget tydeligt hvis der i stedet fokuseres på de nominelle an-

dele, der har der rent faktisk været den modsatte tendens at aktierne udgjorde en større andel, hvil-

ket kan tilskrives graden af kortsalg, det ser således ud til at der forsøges at øge afkastet ved at kort-

sælge gennem krisetiden.

Tabel 4.9, Porteføljekarakteristika for MVP med kortsalg

Brutto andel Numerisk andel

Aktier Obligationer Aktier Obligationer Afkast Std. afv. RtV

Januar 2,0 % 98,0 % 2,5 % 97,5 % 0,079 0,129 -0,017 Februar 2,2 % 97,8 % 2,7 % 97,3 % 0,081 0,130 0,021 Marts 2,3 % 97,7 % 2,7 % 97,3 % 0,081 0,131 0,031

April 2,4 % 97,6 % 2,7 % 97,3 % 0,080 0,131 0,028 Maj 2,4 % 97,6 % 2,7 % 97,3 % 0,080 0,133 -0,007 Juni 2,6 % 97,4 % 2,6 % 97,4 % 0,077 0,140 -0,044 Juli 2,6 % 97,4 % 2,3 % 97,7 % 0,075 0,147 -0,108 August 2,6 % 97,4 % 2,4 % 97,6 % 0,075 0,147 -0,100 September 2,4 % 97,6 % 2,3 % 97,7 % 0,076 0,147 -0,060 Oktober 2,4 % 97,6 % 2,2 % 97,8 % 0,077 0,148 -0,034 November 1,6 % 98,4 % 2,4 % 97,6 % 0,074 0,156 -0,057

December 1,5 % 98,5 % 2,7 % 97,3 % 0,075 0,158 -0,012

Gennemsnit 2,2 % 97,8 % 2,5 % 97,5 % 0,077 0,141 -0,030 Anm.: brutto andelene angiver hvis der f.eks. har været kortsalg på -0,25 og køb på 0,25 en andel på 0

Kilde: Egen tilvirkning, excelarket ”realiserede afkast mean -variance med kortsalg”

Det vil ifølge teorien være muligt at sammensætte porteføljer med en lavere risiko ved at udnytte

kortsalg, således at den efficiente rand forskydes mod venstre. Dette er også tilfældet i de ovenstå-


36

ende konstruktioner af MVP, risikoen er rent faktisk blevet halveret i forhold til de konstruktioner

der er foretaget uden mulighed for kortsalg i samme periode. Hvilket har medført en bedre RtV,

men den er stadig negativ gennem langt det mest af 2008. Således at det vil være mere fordelagtigt

at placere midlerne til den risikofrie rente, da der er en negativ risikopræmie for at tage yderligere

risiko end den risikofrie rente indebære.

I tabel 4.10, ses det tydeligt, modsat de konstruktioner der blev foretaget uden kortsalg at der bliver

investeret i alle de mulige aktiver før eller siden gennem 2008. Der vil derfor forventes at der opstår

en bedre diversifikation af risikoen, på trods af det kun er forholdsvis små andele der er placeret i

aktier. Det udnyttes således at korrelationen mellem de enkelte aktier er positivt, således der på den

måde sker en risikoreduktion.

En anden væsentlig betragtning er at der gennem hele 2008 bliver investeres 100 % i de to årige

statsobligationer, samt en mindre andel i de 5 årige, hvorimod der bliver kortsolgt at den 10 årige.

Ligesom det var tilfældet med aktierne udnyttes det også at korrelationen mellem obligationerne er

positive, effekten er dog bedre i og med at der næsten er en perfekt positiv korrelation imellem ob-

ligationerne. At der ikke bliver allokeret mere til den 2 årige skyldes at der stadig er et loft på hvor

meget den enkelte aktiv må fylde i den samlede portefølje, pga. simplificering, denne begrænsning

er også sat på de resterende aktiver, da det har vist sig ved at fjerne denne restriktion at der bliver

købt og kortsolgt meget store mængder af de enkelte aktiver.

Tabel 4.10, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP med kortsalg

Aktier Obligationer

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

------------------------------------------------------------------ % ------------------------------------------------------------------ -------- % --------

Jan. -0,1 0,0 -0,1 0,2 0,3 -0,3 0,6 0,4 0,0 -0,1 0,2 0,2 0,4 0,1 -0,1 0,3 100 12,7 -14,7 Feb. -0,1 0,0 -0,1 0,1 0,3 -0,3 0,6 0,3 0,2 -0,1 0,2 0,2 0,4 0,1 -0,1 0,3 100 11,8 -14,0 Mar. -0,1 0,0 0,0 0,2 0,3 -0,2 0,6 0,3 0,2 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,1 -0,1 0,3 100 10,9 -13,2 Apr. 0,0 0,0 -0,1 0,1 0,3 -0,3 0,7 0,3 0,2 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,1 -0,1 0,3 100 11,3 -13,6 Maj. 0,0 0,0 0,0 0,2 0,3 -0,3 0,6 0,3 0,2 0,0 0,2 0,2 0,4 0,2 -0,1 0,3 100 11,2 -13,5 Jun. 0,1 0,1 -0,1 0,2 0,1 0,0 0,6 0,4 0,1 -0,1 0,1 0,2 0,6 0,1 -0,1 0,3 100 11,4 -14,0 Jul. 0,2 0,1 -0,1 0,1 0,1 0,1 0,6 0,3 0,1 -0,1 0,1 0,2 0,5 0,1 0,0 0,2 100 11,2 -13,8 Aug. 0,1 0,1 -0,1 0,1 0,1 0,1 0,5 0,4 0,1 -0,1 0,1 0,2 0,4 0,1 0,0 0,3 100 9,6 -12,2 Sep. 0,2 0,1 -0,2 0,1 0,1 0,1 0,5 0,4 0,1 -0,1 0,1 0,2 0,5 0,1 0,0 0,3 100 12,3 -14,7 Okt. 0,1 0,1 -0,1 0,2 0,1 0,1 0,5 0,4 0,0 -0,1 0,1 0,2 0,5 0,1 0,0 0,3 100 11,5 -13,9 Nov. 0,1 0,1 -0,5 0,1 0,2 0,1 0,3 0,5 0,3 0,0 0,1 0,2 -0,1 -0,1 -0,1 0,3 100 12,9 -14,4 Dec. 0,1 0,1 -0,4 0,1 0,2 0,1 0,4 0,5 0,4 0,0 0,1 0,2 -0,3 -0,1 -0,1 0,3 100 13,4 -14,9



37

Der er den væsentlig forskel mellem konstruktionerne med og uden kortsalg er at, der bliver kort-

solgt af de aktier der ikke indgår i MVP uden kortsalg. At der er den forskel kan skyldes at risikoen

ved at købe disse aktier er for høj.

Ud fra tabel 4.10 ses det at der er 3 aktier der skal kortsælges gennem hele perioden, Carlsberg, H

Lundbeck samt Vestas. Dette er på trods af at det afkast der ligger til grundlag for beregningerne

alle er positive gennem hele perioden, med den lille undtagelse af Carlsberg i november og decem-

ber. At Vestas vælges at kortsælges skyldes kombinationen mellem den høje standart afvigelse samt

at det er en af de aktier der korrelerer mest positivt med de andre aktier.

4.3.2. Sammensætning af tangentporteføljerne

Ligesom det var gældende for tangentporteføljerne uden kortsalg udgør aktierne en væsentlig højere

andel af porteføljerne end ved MVP. Ses der på de to måder andelene er opgjort på i tabel 4.11, vi-

ser det sig der er meget stor forskel på de to måder. Brutto metoden tegner et billede af at obligatio-

nerne har fået en mindre andel end tidligere set, men dette er dog ikke helt tilfældet, da der ses ud

fra de nominelle andele at dette skyldes at der bliver kortsolgt relativ store andele af obligationerne,

for at udnytte den positive korrelation imellem. Ligesom tidligere udgør aktier en mindre del i slut-

ningen hvor aktiemarkedet blev ramt af krisen, det ses dog at dette udnyttes ved at der bliver kort-

solgt store andele af aktier, da forskellen mellem brutto og de nominelle andele stiger kraftigt mod

slutningen af 2008.

Tabel 4.11 Porteføljekarakteristika for tangent porteføljerne med kortsalg

Brutto andel Numerisk andel

Aktier Obligationer Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV

Januar 72,6 % 27,4 % 40,9 % 59,1 % 0,737 2,105 0,311 Februar 58,4 % 41,6 % 36,5 % 63,5 % 0,637 1,884 0,297

Marts 58,3 % 41,7 % 36,0 % 64,0 % 0,624 1,843 0,297 April 56,2 % 43,8 % 35,4 % 64,6 % 0,600 1,828 0,287 Maj 60,2 % 39,8 % 39,9 % 60,1 % 0,649 1,988 0,286 Juni 70,1 % 29,9 % 40,9 % 59,1 % 0,728 2,276 0,283 Juli 79,9 % 20,1 % 50,0 % 50,0 % 0,880 2,939 0,268 August 80,5 % 19,5 % 50,1 % 49,9 % 0,859 2,955 0,260 September 63,2 % 36,8 % 41,9 % 58,1 % 0,661 2,268 0,254 Oktober 63,3 % 36,7 % 43,2 % 56,8 % 0,636 2,326 0,238 November 36,6 % 63,4 % 48,6 % 51,4 % 0,675 2,788 0,213

December 20,3 % 79,7 % 45,7 % 54,3 % 0,516 2,107 0,209

Gennemsnit 60,0 % 40,0 % 42,4 % 57,6 % 0,684 2,276 0,267 Kilde: Egen tilvirkning, excela rket ”realiserede afkast – mean-variance med kortsalg


38

Holdes nøgletallene op mod tangentporteføljerne uden kortsalg, ses det som forventet at afkastet er

blevet forbedret. Det forventede afkast er fordoblet i forhold til før, dog skal det bemærkes at risi-

koen er steget tilsvarende. At afkastet er steget mere end risikoen ses ved at RtV samtidig er blevet

forbedret. Dette tyder på et betragtelig merafkast ved at benytte sig af kortsalg, men det skal også

huskes på at risikoen er noget større ved at benytte sig af kortsalg.

Tabel 4.12, Allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne med kortsalg

Aktier Obligationer

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

------------------------------------------------------------ % ------------------------------------------------------------ --------- % ---------

Jan. -7,9 -9,6 4,1 26,7 12,9 -15,7 3,2 -3,9 14,0 -1,8 6,6 5,8 33,8 5,0 -3,6 3,0 -100 27,7 99,8 Feb. -7,5 -9,3 2,9 23,6 12,6 -14,2 2,1 -4,0 7,5 -2,2 6,1 5,3 30,0 7,5 -2,9 1,0 -100 44,5 97,1 Mar. -6,6 -9,6 3,7 23,5 11,7 -13,3 2,7 -3,9 8,2 -2,7 5,4 6,6 27,3 7,1 -2,8 0,9 -100 41,8 100 Apr. -7,1 -9,0 3,9 23,3 12,2 -13,1 2,0 -3,8 6,4 -3,2 4,9 6,2 26,1 8,4 -2,5 1,4 -100 43,5 100 Maj. -7,6 -10,4 4,6 25,7 13,6 -15,5 1,4 -3,7 6,9 -3,5 5,9 6,5 28,6 9,2 -2,9 1,4 -91 30,7 100 Jun. -6,7 -11,9 4,2 29,5 15,1 -14,2 -1,0 -3,7 5,3 -4,3 5,9 6,4 37,9 9,7 -2,4 0,3 -100 29,4 100 Jul. -7,9 -16,6 5,1 38,2 21,3 -24,2 -6,3 -5,5 7,5 -5,3 8,7 9,4 47,2 12,9 -2,5 -1,9 -100 20,1 100 Aug. -8,1 -17,1 2,3 37,8 19,7 -20,7 -7,4 -6,7 7,7 -4,9 7,4 10,0 52,2 13,2 -1,8 -3,1 -100 19,5 100 Sep. -5,3 -12,5 3,0 29,8 15,0 -13,9 -3,2 -6,2 4,6 -3,7 5,1 7,4 34,7 11,7 -0,3 -2,9 -92 29,2 100 Okt. -7,1 -13,2 2,3 27,2 14,8 -16,4 -3,9 -9,6 6,5 -4,1 6,7 9,3 39,4 15,4 -0,7 -3,3 -100 36,7 100 Nov. -5,0 -24,4 -8,4 32,9 26,5 -23,4 -17,5 -12,0 5,7 -4,9 11,5 17,4 24,6 20,6 -4,7 -2,3 -96 59,4 100 Dec. -5,4 -17,5 -9,1 24,5 19,0 -11,5 -14,7 -9,3 -0,3 -1,9 7,7 12,5 11,9 19,1 -1,9 -2,9 -61 40,4 100


I modsætningen til MVP er 6 aktier er der blevet kortsolgt gennem hele perioden, de to Maersk ak-

tier, Danisco, FLsmidth, H Lundbeck og Vestas. Der er dog den forskel at der i modsætning til

MVP bliver der ikke kortsolgt Carlsberg før de sidste to måneder. Ligesom det var tilfældet med

tangentporteføljerne uden kortsalg bliver der investeret i den 10 årig statsobligation og kortsolgt

store andele af den 2 årige statsobligation, mens der gennem perioden har været svingene andele af

den 5 årige statsobligation.

Det at de forskellige andele svinger meget gennem 2008, tyder på at der skal føres en aktiv investe-

rings strategi der tilpasser porteføljerne jævnligt, hvilket vil medføre øgede handelsomkostninger.

Det bliver derfor spændende at se i performance analysen hvorvidt der er en fordel i at omstrukture-

re porteføljerne aktivt, eller om en passiv strategi er bedre. Det forventes dog at den aktive vil klare

sig bedre, nu hvor andelene svinger meget.

4.4. Performansevaluering

Dette afsnit har til formål at undersøge hvorvidt de enkelte porteføljekonstruktioner har performet

bedre end det valgte benchmark. Der vil for simplificeringens skyld blive sammensat 4 forskellige


39

investeringsstrategier ud fra de føromtalte konstruktioner, for MVP og tangentporteføljerne, dette

vil ske med og uden kortsalg, de 4 strategier består som følgende:

MVik for MVP

RtVik for tangentporteføljerne

Hvor i angiver følgende konstruktioner:

1: Porteføljen konstrueret primo januar.

2: Portefølje der er tilpasset primo januar og juli.

3: Portefølje der er tilpasset i primo januar, april, juli og oktober.

4: Portefølje der er tilpasset hver primo måned.

Hvor k angiver om hvorvidt porteføljen er med eller uden kortsalg, henholdsvis m og u.

Der vil indledningsvist blive en teoretisk gennemgang af hvordan de enkelte strategier vil blive målt

i forhold til hinanden. Det er netop vigtigt ikke blot at sammenligne afkast, da dette ikke giver et

reelt udtryk for hvorvidt den ene strategi har klaret sig bedre end den anden. Det er derfor vigtigt at

få risikojusteret de enkelte performancemål.33

Dette gøres da et afkast der er dobbelt så stort ikke

nødvendigvis er dobbelt så godt, hvis det f.eks. har været tre gange så risikofyldt at gennemføre

denne strategi.

4.4.1. Teoretisk gennemgang af performance

Det første performancemål der vil blive brugt er Sharpes ratio, der blev gennemgået i forbindelse

med kapitalmarkedslinien i det teoretiske afsnit omkring Markowitz porteføljeteori. Her var Sharpes

ratio udtryk for hældningskoefficienten på kapitalmarkedslinien, der angiver risikopræmien en in-

vestor modtager for hver ekstra risikoenhed der bliver taget.

Treynor-indekset, er et performancemål, der er et udtryk for det merafkast i forhold til den risikofrie

rente, porteføljen genererer pr. enhed systematisk risiko. Treynor-indekset benyttes kun til porteføl-

jer der er fuldt diversificeret, da beta er et udtryk for den systematiske risiko, der forudsættes derfor

at den usystematiske risiko er helt eller delvist bortdiversificeret.

33 (Haugen 1997 s. 309)


40

Treynor-indekset kan udregnes som følgende:34

𝑇𝑝 =𝐸 𝑟𝑝 − 𝑟𝑓

𝛽𝑝 [4.1]

Hvor beta kan beregnes som følgende:35

𝛽𝑝 =𝐶𝑜𝑣 𝑟𝑖 𝑟𝑚

𝜎𝑖2 [4.2]

Hvor i angiver aktiv i og m benchmarket det holdes op mod.

Det sidste performancemål der benyttes er Jensen-indeks, denne bruger ”security market line”

(SML) som benchmark, således at alpha er et udtryk for om porteføljen har skabt et mindre eller

merafkast. Hvor en positiv alpha er udtryk for at der er skabt et merafkast

Jensens indeks kan beregnes som følgende:36

𝐽𝑝 = 𝐸 𝑟𝑝 − 𝑟𝑓 + 𝛽𝑝(𝐸 𝑟𝑚 − 𝐸(𝑟𝑝)) [4.3]

Jensens alpha kan også estimeres ud fra en liniær regressionsmodel som følgende:37

𝑟𝑝 − 𝑟𝑓 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖(𝑟𝑚 − 𝑟𝑓) + 𝑒 [4.4]

Hvor 𝑟𝑝 angiver afkastet for porteføljen og 𝑟𝑚 er således afkastet for benchmarket. Fordelen ved at

gennemføre en regression af alpha er at det er muligt at undersøge hvorvidt alpha er forskelligt fra

nul, og dermed hvor signifikant porteføljen har givet et mindre eller merafkast i forhold til bench-

market.

For at skabe en mere overskuelig og sammenlignelig performancemåling vil de to MVP med og

uden kortsalg, blive behandlet samlet, ligesom det er tilfældet med tangentporteføljerne.

4.4.2. Performance for MVP

Der vil i den efterfølgende gennemgang af performance for MVP blive taget udgangspunkt i de

foregående beskrevne performancemål. Treynor-indekset vil blive udeladt, da dette performancemål

34 (Haugen 1997 s. 315)

35 (Haugen 1997 s. 53)

36 (Haugen 1997 s. 311)



41

havde den forudsætning om at porteføljerne var fuldt diversificeret, hvilket ikke er tilfældet for

MVP, da disse stort set kun består af den 2 årige statsobligation.

Det ses at benchmarket gennem 2008 har leveret et gennemsnitlig negativt ugeafkast jf. tabel 4.13,

den dertilhørende standart afvigelse tyder på at, afkastet har været et meget ustabilt gennem 2008.

Dette skyldes at der i de sidste par måneder hvor markedet genererede negative afkast, har været

mange store udsving i afkastet hvilket har givet den høje standart afvigelse.38

Benchmarkets negati-

ve afkast tilskrives nedgangen i markedet, da den 10 årige statsobligation, som tidligere nævnt ge-

nererede et positivt afkast, dette har ikke været stort nok til at trække benchmarket op på et positivt

afkast. Samtidig ses det at alle MVP har genereret et positivt afkast gennem 2008, men dette skyl-

des naturligvis allokeringen af porteføljerne, der som udgangspunkt stort set kun består af den 2

årige statsobligation. Der tegner sig dermed et billede af at MVP har været bedre end benchmarket

gennem 2008, det skal huskes at denne sammenligning ikke tager højde for risikoen, således det

ikke er sikkert at MVP har været en bedre investering.

Tages der højde for risiko vha. Jensen-indekset, viser denne at samtlige MVP har performet bedre

end indekset da alpha er positiv og de dermed alle ligger over SML. Den strategi der har den bedste

alpha er MV3U, hvor porteføljen er blevet justeret hvert kvartal, hvorimod MV2M har været gene-

reret den højeste alpha vha. kortsalg. Generelt var der en forventning til, der ved brug af kortsalg

ville den aktive strategi med ofte tilpasset portefølje, være dem der klarede sig bedst. Dette er dog

ikke tilfældet ud fra Jensen, hvilket skyldes at der ikke var store forandringer i sammensætningen

gennem 2008. Dette skulle derimod gerne blive tydeligere for tangentporteføljerne.

Hvis de enkelte porteføljers performance bliver betragtet ud fra bredte og dybde, hvor dybde relate-

re sig til det ekstra afkast der er genereret, og bredte er antallet af forskellige aktiver hvorved porte-

føljen kan opnå dette ekstra afkast fra. Det betyder at Jensen-indekset ikke tager højde for antallet af

forskellige aktier dette ekstra afkast er genereret ud fra, men kun hvorvidt der er opnået et ekstra

afkast i forhold til benchmarket.39

38 Excelarket ”Performance mean-variance”

39 (Haugen 1997 s. 313)


42

Tabel 4.13, Performancemål for MVP

MVP uden kortsalg MVP med kortsalg Benchmark

MV1U MV2U MV3U MV4U MV1M MV2M MV3M MV4M

Afkast 0,085 0,080 0,081 0,085 0,070 0,066 0,068 0,072 -0,34

Std. afv 0,339 0,347 0,350 0,349 0,333 0,342 0,340 0,336 2,13

Sharpe 0,012 -0,002 0,000 0,012 -0,031 -0,042 -0,036 -0,027 -0,20

Jensen 1,082 1,165 1,167 1,090 1,035 1,167 1,144 1,069 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”performance mean -variance”

Således hvis der tages højde for bredden af porteføljerne vha. Sharpe ses det at de to performance-

mål ikke altid giver et entydigt svar på hvorvidt den ene portefølje er bedre end den anden. MV3U

var den portefølje der skabte det største ekstra afkast ud fra Jensen-indekset, men ifølge Sharpe har

denne sammensætning ikke performet bedre end benchmarket jf. tabel 4.13. Det er derimod MV1U

og MV4U der har klaret sig bedst, det ses således at ved sammensætning af MVP at der ikke opnås

et bedre afkast ved at omstrukturere porteføljen gennem perioden. Det eneste der taler for at der

skulle ske en oftere omstrukturering af porteføljerne, er at der jf. Jensen er muligt at skabe et større

ekstra afkast, men dette skal reelt set holdes op mod de øgede handelsomkostninger, hvilket det

dermed formodes at det vil være bedst med MV1U.

Teoretisk skulle det være muligt at sammensætte porteføljer med en mindre risiko vha. kortsalg,

dette bliver bekræftet da de enkelte MVP sammensat med kortsalg har en mindre risiko, end de til-

svarende MVP uden kortsalg. Det skal bemærkes at det kun er MV2M der jf. Jensen-indeks har

formået at skabe et større ekstra afkast end de tilsvarende MVP uden kortsalg. Dog ses der vha.

Sharpe at der har været en negativ risikopræmie pr risikoenhed, dette skyldes at de enkelte MVP har

genereret et lavere afkast samtidig med at risikoen ikke er faldet i samme omfang. Det ses således at

det er MV4M der har haft den bedste risikopræmie, det kunne derfor tyde på at hvis der benyttes

kortsalg skal porteføljen optimeres noget oftere. At risikopræmien har været negativ kan tilskrives

den lidt højere andel af aktier der er i porteføljen, men også at der forøget risiko for at have kort-

solgt aktier der stiger og omvendt.

Det kan således ud fra ovenstående performancemål se ud som om at MVP uden kortsalg sammen-

sat i januar måned er den konstruktion der klare sig bedst i forhold til benchmarket. Såfremt at Jen-

sen-indeks estimeres ud fra en liniær regression, kan denne påstand dog ikke bekræftes, jf. tabel

4.14, da dennes alpha værdi ikke er signifikant forskellige fra nul.


43

Tabel 4.14, Estimeret Jensens alpha for MVP

MVP uden kortsalg MVP med kortsalg


Alpha 0,031 (0,044)

0,030 (0,045)

0,031 (0,045)

0,033 (0,046)

0,015 (0,044)

0,016 (0,044)

0,017 (0,044)

0,018 (0,044)

Kilde: Egen tilvirkning, output fra Eviews vedlagt i bilag 3

Det ses samtidig også at der ikke er nogle af de otte ovenstående strategier der har genereret en sig-

nifikant alpha. Således kan det ikke påvises med statistisk sikkerhed at ovenstående MVP har været

bedre end benchmarket.

4.4.3. Performance for tangentporteføljerne

I modsætning til MVP består tangentporteføljerne af væsentlig flere aktier, hvilket således gør dem

endnu mere sårbar overfor nedgang på aktiemarkedet. Efterfølgende gennemgang vil følge samme

struktur som MVP dog er Treynor-indekset medtaget denne gang, da det forudsættes at tangentpor-

teføljerne er bedre diversificerede i forhold til MVP pga. andelen af aktier.

Det ses kort uden nogen form for risikojusteret performance at alle otte sammensætninger har haft

et negativt afkast, bedst syntes dog at være RtV3 med og uden kortsalg, dog har alle sammensæt-

ningen uden kortsalg genereret et bedre afkast i forhold til de tilsvarende med kortsalg. Ses der på

risikoen har alle porteføljer med kortsalg været mere eksponeret for risiko end dem uden, hvilket

modsiger teorien, men kan tilskrives udsvingene i aktiemarkedet. De høje standart afvigelser skyl-

des igen udsvingene i de sidste par måneder af 2008, standart afvigelserne har været væsentlig mere

stationære gennem den første del.40

Der er derfor meget der tyder på at benchmarket har performet

bedre end Markowitz..

Den portefølje der jf. Jensen-indeks har været bedst er også den der har leveret det bedste afkast,

nemlig RtV4U, det skal dog bemærkes at det har været et negativt ekstraafkast, således at denne

sammensætning har performet ringere end forventet. Det er ikke kun jf. Jensen-indeks at denne

sammensætning betragtes som den bedste, Treynor udpeget selvsamme portefølje til at være den

bedste mulighed. Det skal dog huskes at Treynor har de samme svagheder som Jensen, da denne

heller ikke tager højde for den føromtalte bredte i en portefølje. Således at beta ikke nødvendigvis

ændres ved inddragelsen af flere aktiver.41

Der kan desuden stilles spørgsmålstegn ved brugbarhe-

den af Treynor og Jensen for den sags skyld til evalueringen af tangentporteføljerne, da der som

tidligere omtalt er en begrænset diversifikationseffekt ved disse porteføljer uden kortsalg, da de

40 Excelarket: ”performance Mean-Variance”

41 (Haugen 1997 s. 315)


44

hovedsageligt består af den 10 årige statsobligation, Norden, Sydbank samt nogle mindre andele i

andre aktier.

Tabel 4.15, Performancemål for tangentporteføljerne

Tangent porteføljer uden kortsalg Tangent porteføljer med kortsalg Benchmark

RtV1U RtV2U RtV3U RtV4U RtV1M RtV2M RtV3M RtV4M

Afkast -0,86 -0,91 -0,77 -0,64 -1,64 -1,87 -1,59 -1,34 -0,34 Std. afv. 3,32 3,69 3,10 2,82 5,47 6,57 5,38 4,90 2,13

Sharpe -0,28 -0,27 -0,28 -0,26 -0,31 -0,30 -0,31 -0,29 -0,20 Treynor -1,63 -1,88 -1,37 -1,05 -5,23 -7,20 -5,19 -4,09

Jensen -0,69 -0,77 -0,59 -0,43 -1,58 -1,84 -1,54 -1,27 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”performance mean -variance”

Ved at inddrage den såkaldte bredte i en portefølje vha. Sharpe, ses at det igen er RtV4 der har den

bedste risikopræmie pr risikoenhed. Da der er et entydigt svar for alle tre performancemål, konklu-

deres at RtV4U er den bedst velegnede strategi gennem krisen, således at porteføljen jævnligt bliver

tilpasset dens omgivelser.

For tangentporteføljerne der tillader kortsalg ses samme tendenser som uden kortsalg, nemlig at de

genererer et negativt afkast til relative høj risiko. Det tyder igen på at der har været meget store ud-

sving i afkastene gennem 2008, grundet de høje standart afvigelser der jf. teorien burde havde været

mindre end de tilsvarende porteføljer uden kortsalg.

Der er dog en portefølje der skiller sig ud som den bedste blandt alle tre performancemål, det er

porteføljen der er tilpasset hver måned, RtV4U. Så der tegner sig et klart billede af at en portefølje

skal tilpasses ofte gennem krisetider, således den kan modstå udsvingene i markedet.

Ved at estimere Jensens alpha, ses det at der ikke er nogen statistisk sikkerhed for at de fire porte-

føljer uden kortsalg klare sig bedre eller dårligere end benchmarket. Dog tyder det på at RtV3U

klare sig bedst, men det skal understreges at der ikke er nogen statistisk sikkerhed for dette.

Tabel 4.16, Estimering af Jensens alpha for tangentporteføljerne

Tangentporteføljer uden kortsalg Tangentporteføljer med kortsalg


Alpha -0,267 (0,214)

-0,241 (0,219)

-0,214 (0,190)

-0,241 (0,219)

*-0,718 (0,424)

**-0,779 (0,520)

*-0,722 (0,451)

-0,561 (0,426)

Anm.: * angiver signifikant ved 10 % og ** ved 15%

Kilde: Egen tilvirkning, output fra Eviews vedlagt i bilag3

Derimod ses det, at ved brug af kortsalg er der en vis sikkerhed for at de tre første strategier klare

sig dårligere end benchmarket, således at det ud fra de estimerede værdier vil være mest hensigts-

mæssigt at følge en strategi der tilpasser porteføljen hver måned, såfremt muligheden for kortsalg


45

bliver benyttet. Det kan dog ikke konkluderes hvor hensigtsmæssigt denne strategi er i forhold til

benchmarket da der ikke er nogen signifikant estimat for hvorvidt den klare sig bedre eller dårligere

end benchmarket.

4.5. Evaluering af Markowitz porteføljeteori med mean-variance

Efter at have foretaget en performance vurdering af de sammensatte strategier, kunne der ved MVP

ikke påvises statistisk sikkerhed for hvorvidt de havde et afkast der var forskelligt fra benchmarket.

De havde dog alle genereret et positivt afkast gennem 2008, men dette skyldes at de stort set kun

indeholder obligationer. Ligeledes kunne det heller ikke påvises at tangentporteføljerne uden kort-

salg formåede at klare sig bedre end det valgt benchmark, hvorimod det kunne vises med en hvis

statistisk sikkerhed at vælges der at gøres brug af kortsalg skal porteføljen tilpasses hver måned for

at klare sig mindst ligeså godt som benchmarket.

At porteføljerne ikke formåede at performe bedre end benchmarket kan skyldes at de bagvedliggen-

de værdier ikke svarede til de reelle værdier. Så på trods af at afkastet faldt, risikoen steg sammen

med korrelationerne, var dette altså ikke nok. Det tyder således på at Markowitz porteføljemodel

ikke tilpasser sig så hurtig til omverdenen. Dette skyldes at de bagvedliggende værdier bliver be-

regnet på baggrund af gennemsnittet, således at Markowitz model ikke er så god til at tilpasse sig på

kort sigt. Der var også lyspunkter i modellen, da den forudså at aktiernes andel skulle mindskes,

men dette var ikke nok, eller i rettidigt, til ikke at gå ned med markedet.

Ud fra performanceanalysen kan der stilles spørgsmålstegn ved hvorvidt Markowitz model er brug-

bar til at sammensætte efficiente porteføljer, der klare sig bedre end benchmarket. Det vil være en

forkert at konkludere hvorvidt modellen er brugbar i almindelighed eller ej, alene ud fra ovenståen-

de analyse, da den kun bygger på et enkelt år, således at der ikke vides hvordan den har klaret sig i

årene op til krisen, samt de efterfølgende år. At der ikke kan påvises nogen statistisk sikkerhed for

hvorvidt teorien klarede sig bedre eller dårligere end benchmarket, kan tale til fordel for teorien.

Et af de generelle problemer ved denne analyse i et turbulent marked er at modellen tager udgangs-

punkt i fortiden, hvilket ikke nødvendigvis gentager sig i fremtiden. Selve modellen består af tre

grundelementer i teorien, gennemsnitlig afkast, standart afvigelserne og korrelation, dette sætter

Robert Brown, spørgsmålstegn ved om hvorvidt verden kan forudsiges ud fra blot disse tre parame-

ter.42

Det virker unægtelig som om at Markowitz model er en simplificering af virkeligheden, såe-

des at modellen skal benyttes med en hvis varsomhed, medens der ses på flere makroøkonomiske

42 (Holton 2009)


46

parameter såsom huspriser, løn og BNP. Det vil f.eks. være muligt som Elton beskrev at modificere

tallene i analysen på baggrund af disse makroøkonomiske variabler, således at modellen er bedre

tilpasset til det turbulente marked. Dette kan også være problematisk da disse makroøkonomiske tal

også er baseret på fortiden, men de kan være med til at give et indblik i hvordan fremtiden ser ud,

med en vis varsomhed, og dermed få flere parametre at forudsige fremtiden på baggrund af.

At modellen bygger på risikoen kan måles ved hjælp af standart afvigelserne gør også at afkastet

skal være normalfordelt, hvilket der var problemer med i datamaterialet. Dette problem opstod til

dels pga. problemer med kurtosis, men også skæve fordelinger. Der er i Markowitz model ingen

mulighed for tage hensyn til en investors præference overfor højreskæve fordelinger.

En mulighed kunne være at benytte sig af en alternativ tilgang, hvor Markowitz udelukkende bruges

til at forudsige andele af aktier i en portefølje. Så porteføljen vil bestå af den 10 årige statsobligation

samt indekset for C20, da det har vist sig gennem flere studier at indeks investeringer klare sig bed-

re end de fleste porteføljemanagers sammensætninger.43

Rent praktisk vil det foregå på den måde at

hvis Markowitz model kommer frem til at den mest efficiente portefølje på det givet tidspunkt skal

indeholde 25 % aktier, skal der sammensættes en portefølje af 25 % af indekset for C20 og de reste-

rende 75 % skal bestå af den 10 årige statsobligation. På denne måde ville det måske være muligt at

sammensætte en bedre portefølje, men denne opgave har ikke til hensigt at analyserer for hvorvidt

dette kunne være en mulighed, men da Markowitz ifølge de tidligere sammensætninger kom frem

til at en portefølje skal indeholder mindre aktier end der var i benchmarket, kunne det tyde på at det

ville have været et bedre alternativ, da det var aktiemarkedet der trak benchmarket ned.

Det er efter ovenstående analyse forfatterens synspunkt trods alle de negative ting der følger med

modellen at Markowitz stadig har en plads i moderne porteføljeteori. Dels på grund af at ikke alle

sammensætninger var signifikant dårligere end benchmarket. Men lige så meget fordi at den rent

faktisk forudså at aktier skulle udgøre en mindre andel. Så hvis denne teori f.eks. bruges sammen

med andre makroøkonomiske retningslinjer, ville det være et udmærket redskab til at sammensætte

en efficient portefølje.

Magasinet ”trends in Investing” har FPA research center lavet en analyse der viser at der ikke er

enighed i finansverdenen om hvorvidt moderne porteføljeteori fejlede i 2008, dog mener 43 % at

den overlevede hvorimod 19 % mener at den fejlede, resten ved ikke.44

Der er således stor uenighed

43 (Evensky 2009)

44 (Sumnicht 2009)


47

om hvorvidt moderne porteføljeteori overhovedet har sin værdighed i fremtiden. Det kan også være

et udtryk for menneskets natur at der skal være en grund til alt og at det i dette tilfælde er gået ud

over moderne porteføljeteori.

Porteføljesammensætning - EWMA

48

5. Porteføljesammensætning med EWMA

Dette afsnit har til formål at se om porteføljer konstrueret ved hjælp tidsvægtede standart afvigelser

og kovarianser er bedre, således at porteføljesammensætningen bliver bedre til at tilpasse sig, efter

hvordan markedet bevæger sig. Der er den forhåbning om at ved at vægte de seneste afkast højere

end de ældre, at det vil blive muligt at reagere hurtigere på markedet, for således at skabe et bedre

afkast en ved mean-variance.

5.1. Teoretisk gennemgang af EWMA

Grundideen bag exponential weighted moving average (EWMA) er at det nyeste data er det mest

relevante, således at disse data vægtes højere ved beregning af standart afvigelser samt kovarians.

Der er dog den ulempe at ved EWMA at pludselige udsving og støj kan have en afgørende betyd-

ning for sammensætningen af porteføljerne, hvorimod ved mean-variance forsvinder dette støj i det

store datamateriale. Så derfor antager EWMA at risikoen ikke er stationær, som der var forudsæt-

ningen for mean-variance. EWMA kan have sin fordel ved aktier som Vestas, da det tidligere blev

beskrevet hvordan denne aktie svingede meget, dette vil EWMA være bedre til at tilpasse sig efter.

Det er således muligt at bestemme variansen på følgende måde:45

𝜎2 = (1 − 𝜆) 𝜆𝑡−1 𝑟𝑖 − 𝜇𝑖 2

𝑀

𝑡=1

[5.1]

Under forudsætning af at (0 < 𝜆 < 1), hvor 𝜆 er en decay faktor, der bestemmer hvor meget fore-

gående datamateriale skal vægtes, således a hvis den sættes til tæt på 1 bliver de seneste observatio-

ner vægtet væsentlig stærkere end de foregående. Der vil i de kommende analyser blive benyttet en

decay factor på 0,94, denne er dog mest beregnet til dagsdata, hvorimod 0,97 benyttes til månedsda-

ta.46

Grunden til der er valgt en decay factor der svare til dagsdata, er for at nedsætte den støj der

kan findes i de voldsomme udsving markedet oplevede under finanskrisen.

Kovariansen kan udregnes på følgende måde:47

𝜎 𝑟𝑖𝑘 = (1 − 𝜆) 𝜆𝑡−1 𝑟𝑖𝑡 − 𝜇𝑖 ∗ (𝑟𝑘𝑡 − 𝜇𝑘)

𝑀

𝑡=1

[5.2]

45 (Horasanlı, Fidan 2007)




49

Efter at disse værdier er beregnet vil det være muligt at konstruere de enkelte porteføljer på samme

måde som det var gældende for mean-variance.

5.2. Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver

Da der er blevet brugt det samme datamateriale som tidligere vil der i det efterfølgende kun blive

gennemgået hvordan EWMA har påvirket risikoen samt kovarianserne for de enkelte aktiver, da

afkastet er det samme som der blev benyttet tidligere.

5.2.1. Udvikling af std. afvigelserne

Da grundideen med EWMA netop var at beregne en mere retvisende risiko på de enkelte aktiver,

forventes der at de vil stige meget i løbet af de sidste måneder pga. det voldsomme udsving krisen

har medført på aktiemarkedet. Nedenfor i tabel 5.1 er de enkelte standart afvigelser samlet for alle

aktiver gennem perioden. Her ses det netop at de stiger meget kraftigt i november og december, to

ud af de tre bankaktier, Danske Bank og Sydbank, stiger med omkring en faktor 3 på bare en enkelt

måned. De eneste standart afvigelser der har været mere eller mindre stabile gennem hele perioden

er for de 3 obligationer. Her ses det også at de har stort set samme standart afvigelserne som dem

der var beregnet under Markowitz oprindelig teori. Dette er med til at illustrere at obligationer har

en væsentlig mindre risiko end aktier gennem krisetider.

Tabel 5.1, Oversigt over de beregnede standart afvigelserne ud fra EWMA

Aktier Obligationer

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

Jan. 3,6 3,7 3,2 6,8 3,9 2,9 2,9 4,9 2,1 4,1 4,3 2,8 3,3 4,0 7,0 4,2 0,2 0,3 0,6 Feb. 4,0 4,1 3,9 7,8 4,2 3,6 3,3 5,7 3,6 4,6 5,1 3,7 3,6 3,6 7,2 5,2 0,2 0,4 0,7 Mar. 3,9 4,0 4,4 7,6 3,9 3,2 3,5 5,2 3,8 4,5 4,7 3,6 3,4 3,5 6,5 4,7 0,2 0,4 0,7 Apr. 4,7 4,6 4,1 7,8 4,6 3,1 3,5 5,1 4,1 4,8 5,0 3,3 3,7 4,7 6,0 4,4 0,2 0,4 0,7 Maj. 4,4 4,3 3,6 7,3 4,1 3,0 3,5 4,8 4,0 4,5 4,7 3,2 3,6 4,2 5,4 4,1 0,2 0,5 0,7 Jun. 5,3 5,4 3,7 7,3 4,5 4,2 3,4 4,5 3,7 4,6 4,7 3,0 3,6 4,4 5,4 4,0 0,3 0,6 1,0 Jul. 4,9 4,9 3,6 7,1 4,6 4,8 4,1 4,1 3,6 4,3 4,4 2,9 3,8 4,2 5,4 4,1 0,4 0,8 1,0 Aug. 4,6 4,6 3,9 6,7 4,9 5,3 4,4 4,3 4,0 4,2 5,6 2,9 4,4 3,9 4,9 4,3 0,3 0,7 0,9 Sep. 4,6 4,6 5,2 7,6 4,5 4,9 4,2 4,2 4,0 3,9 5,4 3,0 4,5 4,0 4,7 5,2 0,3 0,8 0,9 Okt. 5,1 5,0 4,9 10,1 4,9 5,4 4,4 7,1 3,9 3,7 5,3 2,9 4,2 3,8 6,5 6,5 0,3 0,7 0,8 Nov. 8,2 8,1 12,6 13,1 7,6 8,1 12,3 11,5 7,4 6,2 8,5 5,8 11,9 7,7 16,1 8,9 0,3 0,7 1,0 Dec. 8,7 8,5 12,9 13,7 9,5 7,7 13,1 12,3 9,4 5,7 8,9 6,6 13,6 8,2 15,5 9,8 0,3 0,8 1,0

Kilde: Egen tilvirkning, Excel arket ”Varians EWMA”

Den største forskel fra mean-variance og så EWMA er ved Vestas, denne aktie havde en standart

afvigelse på omring de 8 gennem hele året, dog steg denne i løbet af november og december. Ud-

regnes samme standart afvigelserne vha. EWMA tegner der sig et helt andet billede, her ses det at


50

der som udgangspunkt i januar er mere eller mindre den samme standart afvigelse, denne falder dog

helt ned til 4,9 i september måned. Sammenholdes de ovenstående standart afvigelser for Vestas

med de reelle værdier beregnet i bilag 2, ses at værdierne regnet ud vha. EWMA følger de samme

svingninger, dog stadig med afvigelser, men dog ikke så markante som ved mean-variance. Det ses

derfor at EWMA er bedre til at udregne værdier der ligger tættere op af de reelle værdier, men dette

medføre ikke nødvendigvis bedre sammensætning af porteføljer da der stadig er forskel i værdierne.

5.2.2. Udvikling af korrelationen mellem aktiverne

Ligesom det var gældende for standart afvigelserne er også korrelationskoefficienterne blevet meget

mere dynamiske, således de svinger mere end de gjorde under mean-variance. Dette gør også gen-

nemgangen af dem mere kompliceret, så derfor vil der i det efterfølgende blive brugt samme struk-

tur som under mean-variance. Hvor der blev set på hvordan korrelationskoefficienterne så ud januar

2008, samt hvordan disse havde ændret sig i december 2008. Der vil således være flere ”bevægel-

ser” gennem 2008, men det er tendenserne der vil blive kommenteret på i det efterfølgende.

5.2.2.1. Korrelation for obligationerne

Umiddelbart ses der ikke den store forskel på korrelationskoefficienterne mellem de to tilgange,

men det ses i tabel 5.2 at korrelationen mellem aktierne og obligationerne imellem er blevet mere

negative. Hvilket kan medføre til yderligere diversifikation ved korrekt sammensætning af porteføl-

jerne. Korrelationen mellem de tre obligationer og Novo Nordisk er derimod blevet positiv, ligesom

korrelationen mellem de to Maersk aktier og den 10 årige statsobligation.

Tabel 5.2, oversigt over korrelationskoefficienterne mellem obligationer og aktier, jan 2008

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

2 års obl 0,13 0,08 0,16 0,36 0,11 0,02 0,24 0,35 0,12 0,11 0,16 0,25 0,42 0,26 0,14 0,02 1,00

5 års obl 0,17 0,15 0,21 0,37 0,26 0,20 0,42 0,46 0,23 0,07 0,32 0,06 0,42 0,30 0,25 0,20 0,82 1,00

10 års obl 0,06 0,08 0,13 0,23 0,11 0,12 0,33 0,30 0,19 0,03 0,15 0,10 0,36 0,30 0,17 0,29 0,76 0,82 1,00

Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”Porteføljemodel EWMA jan”

Der er dog ikke den helt store udvikling i obligationerne imellem ved de to fremgangsmåder, de er

mere eller mindre stadig perfekt korreleret imellem, desuden falder de endnu mere i løbet af året, jf.

tabel 5.3, men de er stadig meget positivt korreleret. Det vil derfor ikke forventes at de efterfølgen-

de porteføljekonstruktioner vil bestå af alle 3 obligationer, da dette ikke bidrager til risikonedsættel-

se uden kortsalg.


51

Tabel 5.3, Oversigt over korrelationskoefficienterne mellem obligationer og aktier, dec. 2008 M

aers

k A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

2 års obl. 0,10 0,11 0,02 0,18 0,07 0,06 0,05 0,28 0,08 0,05 0,15 0,05 0,03 0,13 0,06 0,00 1,00 5 års obl. 0,23 0,24 0,14 0,27 0,27 0,22 0,34 0,31 0,46 0,09 0,14 0,11 0,29 0,09 0,11 0,20 0,57 1,00

10 års obl. 0,37 0,36 0,31 0,19 0,36 0,14 0,20 0,34 0,23 0,12 0,47 0,05 0,27 0,13 0,10 0,03 0,64 0,68 1,00

Kilde: egen tilvirkning, Excelarket ”Porteføljemodel EWMA dec”

Den føromtalte tendens til at korrelationen vil stige gennem krisetider afspejler sig mest for den 2

årige samt 5 årige statsobligationer, hvorimod den 10 årige statsobligation har en større tendens til

at blive mere negativ korreleret gennem året. At denne bliver mere negativ, kan få betydning ved

sammensætningen af tangentporteføljerne, men obligationens RtV skal selvfølgelig også tages i

betragtning.

5.2.2.2. Korrelation for aktierne

Den mest markante forskel på aktiernes indbyrdes korrelation i forhold til ved mean-variance er at

stort set alle aktier korrelerer mere positivt med hinanden, dog med enkelte undtagelser med negativ

korrelation. Dette vil som tidligere nævnt få den konsekvens at det bliver svære at skabe en diversi-

ficeret portefølje, udelukkende bestående af aktier, såfremt målet er at minimere risikoen uden hen-

synstagen til afkastet.

Tabel 5.4, Oversigt over korrelationskoefficienterne mellem aktierne, jan 2008

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

Maersk A 1,00


Norden 0,45 0,43 0,39 1,00 DSV B 0,41 0,40 0,46 0,41 1,00



H Lundbeck 0,21 0,17 0,19 0,36 0,27 0,04 0,08 0,20 0,24 1,00 NKT 0,68 0,67 0,54 0,37 0,69 0,51 0,58 0,73 0,53 0,24 1,00



William Demant 0,02 0,02 0,23 0,15 0,45 0,49 0,55 0,32 0,44 0,24 0,34 0,20 0,41 0,48 0,29 1,00

Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”porteføljemodel EWMA jan”


52

Det det foregående var de to Maersk aktier tæt på at have en perfekt positiv korrelation, dette ses i

ovenstående tabel at være endnu mere tydeligt nu, hvilket gør at den eneste måde at kombinere dem

sammen for at nedbringe risikoen vil være ved kortsalg.

Tabel 5.5, Ændringer i korrelationskoefficienter fra januar til december 2008

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

Maersk A 1,00


Norden 0,80 0,81 0,62 1,00 DSV B 0,88 0,86 0,75 0,72 1,00



H Lundbeck 0,42 0,43 0,23 0,55 0,26 0,71 0,66 0,42 0,37 1,00 NKT 0,74 0,74 0,75 0,58 0,67 0,46 0,62 0,68 0,45 0,42 1,00



William Demant 0,50 0,44 0,33 0,26 0,58 0,06 0,13 0,51 0,02 0,19 0,45 0,43 0,18 0,49 0,35 1,00

Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”porteføljemodel EWMA dec”

De samme effekter med at de enkelte brancher korrelere stærkt med hinanden er også gældende ved

denne fremgangsmåde, specielt i bankbranchen. Denne effekt tiltager yderligere gennem 2008, så-

ledes at de også nærmer sig perfekt positiv korrelation indbyrdes, jf. tabel 5.5. Samtidig ses det at

William Demant, går modsat bankbranchen, således at korrelationen næsten bliver neutral i forhold

til bankerne.

5.3. Sammensætning af porteføljer uden kortsalg

De efterfølgende porteføljekonstruktioner er blevet udregnet på samme hvis som tidligere, med af-

sæt i EWMA, så standart afvigelser og kovarianserne bliver beregnet som gennemgået i teoriafsnit-

tet.


Ved at konstruere MVP ud fra de gennemgåede data, ses det i tabel 5.6 at størstedelen af porteføljen

udgøres af obligationer, ligesom det var tilfældet med mean-variance, hvor aktierne udgjorde om-

kring 2 % gennem hele 2008. Dette er dog ikke tilfældet ved brug af EWMA, her ses det at andelen

af aktier er blevet mere dynamiske, således at de er bedre tilpasset med udviklingen i C20-indekset,

se figur 4.3. At andelen falder så drastisk hænger sammen med den stigende risiko samt den stigen-


53

de korrelation der var på de enkelte aktiver. Det vil derfor også forventes at MVP ud fra denne

sammensætning vil klare sig bedre end ved mean-variance.

At risikoen samt korrelationen har været stigende gennem de sidste måneder afspejles også i de

enkelte sammensætningers risiko, der stiger til det dobbelte gennem året. Det at der er brugt nye tal

til disse sammensætninger, gør at det ikke umiddelbart er muligt at sammenligne RtV på de to

fremgangsmåder. Det ses at det stadig gennem store dele af perioden ville være mere fordelagtigt at

placere midlerne til den risikofrie rente, ud fra en risikobetragtning.

Tabel 5.6, Porteføljekarakteristika for MVP uden kortsalg gennem 2008


Januar 2,6 % 97,4 % 0,086 0,145 0,027 Februar 4,6 % 95,4 % 0,089 0,142 0,075 Marts 5,6 % 94,4 % 0,091 0,145 0,098 April 5,4 % 94,6 % 0,086 0,150 0,069 Maj 5,1 % 94,9 % 0,082 0,158 0,011 Juni 6,4 % 93,6 % 0,081 0,206 -0,010 Juli 6,7 % 93,3 % 0,077 0,266 -0,050 August 6,4 % 93,6 % 0,078 0,244 -0,049

September 5,1 % 94,9 % 0,080 0,261 -0,017 Oktober 4,3 % 95,7 % 0,080 0,244 -0,010 November 0,9 % 99,1 % 0,074 0,323 -0,025

December 0,8 % 99,2 % 0,077 0,326 0,002

Gennemsnit 4,5 % 95,5 % 0,082 0,218 0,010 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”Realiseret afkast EWMA uden kortsalg”

Ses der på allokeringen af obligationerne er det igen den 2 årige statsobligation der indgår i sam-

mensætningerne, dog med en lille undtagelse i oktober hvor den 5 årige statsobligation også indgår,

jf. tabel 5.7. Grunden til at det netop er blevet denne der indgår, skal ses i lyset af den meget lille

risiko der er forbundet med den 2 årige statsobligation, ligesom det var tilfældet med mean-

variance.

Valget af aktier der indgår, syntes ikke at have den samme sammenhæng som ved mean-variance,

hvor der var næsten den samme andel hele vejen igennem året, eller de i det mindste indgår i en

længere periode af gangen. Da der ikke er dette ved brugen af EWMA, skyldes at de bagvedliggen-

de tal som risiko og korrelation er meget mere dynamiske og hele tiden ændre sig. Dette kan rent

praktisk betyde at det bliver svære at benytte sig af denne strategi, da det medføre øgede handels-

omkostninger for at omstrukturere porteføljen.


54

Tabel 5.7, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP

Aktier Obligationer

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

------------------------------------------------------------- % -------------------------------------------------------------- ----------- % -----------

Jan. 0,0 0,0 0,0 0,3 0,0 0,0 0,6 0,0 0,0 0,0 1,6 0,1 0,0 0,0 97,4 0,0 0,0

Feb. 0,0 0,0 0,4 0,0 0,0 0,0 0,2 1,0 0,5 0,5 1,9 0,0 0,0 0,0 95,4 0,0 0,0

Mar. 0,4 0,0 0,1 0,0 0,0 0,3 0,0 0,1 0,7 1,2 2,4 0,4 0,0 0,0 94,4 0,0 0,0

Apr. 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,2 0,0 0,4 1,0 0,3 1,5 0,9 0,0 0,2 94,6 0,0 0,0

Maj. 1,1 0,0 0,6 0,1 0,0 0,0 0,0 0,7 1,5 0,0 0,1 0,9 0,0 0,0 94,9 0,0 0,0

Jun. 3,6 0,0 0,0 0,0 0,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,7 1,2 0,3 0,0 93,6 0,0 0,0

Jul. 3,0 0,0 0,3 0,0 1,6 0,0 0,0 0,0 0,3 0,0 0,0 0,8 0,8 0,0 93,3 0,0 0,0

Aug. 2,6 0,0 1,1 0,0 1,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,7 0,8 0,0 93,6 0,0 0,0

Sep. 2,2 0,0 0,0 0,0 0,6 0,0 0,0 0,0 0,2 0,0 0,5 0,0 1,0 0,4 94,9 0,0 0,0

Okt. 0,0 2,2 0,0 0,0 0,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,8 0,0 0,5 0,5 88,7 7,0 0,0

Nov. 0,0 0,0 0,0 0,0 0,6 0,0 0,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 99,1 0,0 0,0

Dec. 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 99,2 0,0 0,0

Anm.: DSV og NKT er udeladt da disse ikke på noget tidspunkt indgår i MVP

Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil ”Realiseret afkast EWMA uden kortsalg”

5.3.2. Sammensætning af tangentporteføljer porteføljerne

Udviklingen af aktiernes andele i tangentporteføljerne, følger samme udvikling som det var tilfæl-

det ved MVP, dog i et større omfang, således at der i juli måned var 45,7 % aktier, da andelen af

aktier toppede. Selvom korrelationen mellem aktier og obligationer var negativ i december måned,

var det ikke nok til at opveje den stigende risiko der var forbundet med investeringer i aktier, såle-

des at andelen blev nedbragt til 9,3 % i december, jf. tabel 5.8. Den største forskel mellem de to

tilgangsmåder porteføljerne bliver konstrueret på, er at der ved brug af mean-variance bliver aktier-

ne ikke reduceret nær så kraftigt som er tilfældet her. Dette skyldes naturligvis at de store udsving

der var i markedet forsvandt i datamaterialet ved brug af mean-variance. Ligesom det var tilfældet

for MVP vil disse konstruktioner også forventes at klare sig bedre, alene på baggrund af at andelen

af aktier er blevet reduceret meget mere.


55

Tabel 5.8, Porteføljekarakteristika for tangentporteføljerne uden kortsalg


Januar 22,4 % 77,6 % 0,203 0,498 0,244 Februar 15,1 % 84,9 % 0,166 0,346 0,253 Marts 18,4 % 81,6 % 0,181 0,379 0,273 April 20,1 % 79,9 % 0,192 0,463 0,251 Maj 25,6 % 74,4 % 0,233 0,614 0,249 Juni 31,5 % 68,5 % 0,268 0,861 0,215 Juli 45,7 % 54,3 % 0,335 1,456 0,168 August 41,0 % 59,0 % 0,303 1,225 0,174

September 38,3 % 61,7 % 0,268 0,938 0,196 Oktober 32,5 % 67,5 % 0,209 0,792 0,160 November 14,3 % 85,7 % 0,197 1,680 0,068

December 9,3 % 90,7 % 0,164 1,118 0,079

Gennemsnit 26,2 % 73,8 % 0,227 0,864 0,194 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”Realiseret afkast EWMA uden kortsalg

Ses der på hvordan andelen af aktier bliver fordelt på de enkelte aktier, ses det at det stort set er de

samme aktier der indgår ved brug af EWMA, dog med den lille forskel at Carlsberg er blevet ude-

ladt denne gang, hvor den har givet plads til Vestas, jf. tabel 5.9. At Vestas har fået en plads fra juni

til september, skyldes til dels at risikoen faldt meget gennem denne periode, hvorimod den lå som

den aktie med højeste risiko ved mean-variance. For obligationernes vedkommende er billedet det

samme med at det er den 10 årige statsobligation der er dominerende, dog med den undtagelse i

starten af året, her har den 5 årige fået en væsentlig større andel end det var tilfældet med mean-

variance.

Norden har fået en væsentlig mindre dominerende rolle i denne sammensætning, den lå aldrig under

10 % ved mean-variance. Grunden til dette skal igen findes i standart afvigelserne denne var væ-

sentlig lavere før, hvorimod den nu er blevet væsentlig mere risikofyldt, således at den ved mean-

variance have en lille standart afvigelse samt et meget højt afkast, dette gjorde den meget lukrativt

at investerer i ud fra teorien.


56

Tabel 5.9, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne

Aktier Obligationer

No

rden

DSV

B

Jysk

e B

ank

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

--------------------------------------------------- % --------------------------------------------------- --------------- % ---------------

Jan. 4,4 0,0 8,7 0,7 4,4 4,2 0,0 0,0 0,0 0,0 71,6 6,0 Feb. 2,6 0,3 0,0 0,0 4,5 6,2 1,4 0,0 0,0 0,0 77,5 7,4 Mar. 2,7 0,5 0,0 0,0 5,3 6,7 3,3 0,0 0,0 0,0 53,4 28,1 Apr. 3,3 2,1 0,0 0,0 4,4 6,2 3,9 0,0 0,3 0,0 28,3 51,6 Maj. 6,3 1,3 0,0 1,3 4,9 4,8 6,2 0,0 0,9 0,0 0,0 74,4 Jun. 8,4 0,0 0,0 0,0 3,4 9,2 7,3 2,0 1,2 0,0 0,0 68,5 Jul. 13,7 0,0 0,0 0,0 8,7 9,4 8,9 5,0 0,0 0,0 0,0 54,3 Aug. 12,1 0,0 0,0 0,0 7,3 9,2 7,0 5,3 0,0 0,0 0,0 59,0 Sep. 7,4 0,0 0,0 0,0 5,0 11,8 7,1 6,9 0,0 0,0 0,0 61,7 Okt. 3,6 0,0 0,0 0,0 8,4 10,6 10,0 0,0 0,0 0,0 17,4 50,1 Nov. 9,9 1,9 0,0 2,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 85,7 Dec. 5,6 0,0 0,0 3,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 90,7

Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil ”Realiseret afkast EWMA uden kortsalg”

Efter ovenstående gennemgang, tegner der sig et meget godt billede af hvor fleksibel EWMA er, til

at tilpasse porteføljerne til de nuværende markedsforhold. Dette kan også vise sig at blive et pro-

blem at den er så fleksibel, dette kommer til udtryk ved f.eks. hvis der er en periode med høje stan-

dart afvigelser, hvilket ikke er sikkert at det vil forblive sådan fremover. Således at risikoen med at

spå om fremtiden baseret på fortiden stadig er problematisk.

5.4. Sammensætning af porteføljer med kortsalg

De efterfølgende porteføljekonstrueret er lavet på samme måde som ved mean-variance, med de

samme begrænsninger.


Ved at sammensætte MVP med kortsalg ud fra EWMA opnås der en væsentlig større andel at aktier

i porteføljen. At der er så stor forskel på brutto- og nominelle andele skyldes at der bliver kortsolgt i

et relativ stort omfang, allerede ved MVP, hvilket ikke var tilfældet ved mean-variance.

De generelle bevægelser af andele, følger de tidligere tendenser med at reducere andelen af aktier i

løbet af den sidste del af året, således at der faktisk bliver kortsolgt flere aktier end der er blevet

købt i december.


57

Tabel 5.10, Porteføljekarakteristika for MVP med kortsalg

Brutto andele Nominelle andele


Januar 0,3 % 99,7 % 17,9 % 82,1 % 0,069 0,092 -0,141 Februar 4,2 % 95,8 % 15,9 % 84,1 % 0,075 0,107 -0,028 Marts 6,8 % 93,2 % 12,1 % 87,9 % 0,076 0,126 -0,009 April 7,0 % 93,0 % 16,8 % 83,2 % 0,066 0,122 -0,083 Maj 5,3 % 94,7 % 19,5 % 80,5 % 0,075 0,134 -0,045 Juni 6,9 % 93,1 % 21,8 % 78,2 % 0,062 0,139 -0,152 Juli 7,2 % 92,8 % 23,8 % 76,2 % 0,041 0,157 -0,314

August 7,0 % 93,0 % 27,9 % 72,1 % 0,052 0,171 -0,220 September 6,2 % 93,8 % 16,0 % 84,0 % 0,059 0,208 -0,122 Oktober 4,7 % 95,3 % 24,4 % 75,6 % 0,058 0,201 -0,118 November 0,3 % 99,7 % 25,7 % 74,3 % 0,050 0,205 -0,159

December -0,6 % 100,6 % 15,4 % 84,6 % 0,058 0,221 -0,086

Gennemsnit 4,6 % 95,4 % 19,8 % 80,2 % 0,062 0,157 -0,123 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”realiseret afkast EWMA med kortsalg”

I modsætningen til de konstruktioner der blev foretaget uden kortsalg er RtV negativ gennem hele

2008. Dette sket som følge af at minimere risikoen så meget, således at det forventede afkast også

er kraftigt reduceret i forhold til uden kortsalg. Det ses således at det er muligt at udnytte de positive

korrelationer til at minimere risikoen vha. kortsalg. Dette ses meget tydeligt i tabel 5.11, hvor de to

Maersk aktier er henholdsvis blevet købt og kortsolgt. Disse to aktiers indbyrdes korrelation var

som føromtalt så godt som perfekt positiv korreleret. Det er på samme grundlag at der vælges at

kortsælge den 10 årige statsobligation, som det var tilfældet for de to Maersk aktier. Derudover ses

det at det igen er den 2 årige statsobligation der udgør størstedelen af obligationerne, hvilket det har

været til for samtlige MVP sammensætninger.


58

5.11, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP med kortsalg

Aktier Obligationer

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

----------------------------------------------------------------- % ----------------------------------------------------------------- --------- % --------

Jan 8,1 -7,5 -0,7 -0,2 -0,2 0,3 1,6 1,2 -2,8 0,5 -0,5 -0,6 1,4 1,6 0,6 -2,4 100 18,9 -19,2

Feb 6,8 -6,0 1,0 -0,3 -0,2 0,1 0,0 1,1 2,2 0,8 -1,7 0,2 2,0 -0,7 0,1 -1,1 100 12,7 -16,8

Mar 0,6 0,7 -0,4 -0,6 -0,1 1,1 1,3 0,8 0,2 1,6 -2,2 1,3 3,1 0,4 0,4 -1,3 100 4,5 -11,3

Apr 4,8 -2,1 -0,4 -1,2 -0,9 0,7 1,2 1,0 0,4 1,7 -2,6 0,8 2,7 1,3 0,6 -0,9 100 4,0 -11,0

Maj 8,3 -6,0 1,6 -0,2 -1,3 0,0 -1,6 0,4 0,8 1,4 -0,7 -0,4 0,6 1,8 0,3 0,3 100 0,4 -5,7

Jun 10,6 -6,1 1,3 -0,5 -2,8 1,0 -1,6 0,9 -0,6 1,3 -2,3 0,3 2,0 2,3 0,8 0,3 100 9,1 -16,0

Jul 13,0 -7,6 3,5 -1,9 -2,6 2,7 -3,9 0,5 0,7 2,0 -1,9 -0,5 -0,1 2,6 1,3 -0,7 100 19,1 -26,3

Aug 17,0 -11,4 3,0 -1,8 -1,5 1,1 -1,7 0,6 -1,4 0,8 -1,5 -0,4 0,7 2,7 1,0 -0,2 100 6,6 -13,6

Sep 3,4 -0,3 1,4 -0,7 -3,0 1,0 -2,7 3,6 -0,4 1,8 -2,0 0,5 2,3 0,8 0,0 0,6 100 11,2 -17,4

Okt -6,2 9,5 2,3 0,1 -2,5 1,0 -3,4 2,5 -0,8 2,0 -2,3 -0,4 2,4 -0,2 -0,8 1,6 100 6,6 -11,3

Nov -8,4 10,2 0,2 -0,1 -1,4 2,2 -1,3 3,4 -0,8 3,0 -1,4 -2,1 1,6 -2,2 -2,2 -0,5 100 8,9 -9,2

Dec 5,8 -4,3 -0,8 -0,2 -1,0 -0,1 0,6 4,0 0,7 0,7 -1,1 -1,1 0,1 -1,9 -1,6 -0,5 100 17,4 -16,7

Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”realiseret afkast EWMA med kortsalg”

I forhold til tidligere MVP med kortsalg bliver der kortsolgt betragtelig mere ved brugen af EWMA,

dette er sket ved kortsalget er spredt ud over flere aktiver end tidligere ved mean-variance. Grund-

laget for at der er blevet kortsolgt mere, er at der har været en væsentlig højere korrelation mellem

de enkelte aktier. Dette har dog også sat sine spor på det forventet afkast der er væsentlig lavere.

5.4.2. Sammensætning af tangentporteføljer

Efter at tangentporteføljerne med kortsalg er blevet sammensæt, tegner der sig et billede af at der

bliver kortsolgt aktier i væsentlig større omfang en der er set i de tidligere konstruktioner. Dette

betyder at der igennem hele 2008 har været en klar overvægtning af aktier, hvilket ikke er set tidli-

gere. Det har i starten af 2008 været så meget at obligationerne brutto udgjorde over 100 %, jf. tabel

5.12.

At der bliver kortsolgt i så stort et omfang påvirker også nøgletallene. Det forventede afkast ligger

højere end ved tidligere konstrueret porteføljer, men ved at kortsælge så meget som er tilfældet lig-

ger den gennemsnitlige risiko ikke over tilsvarende porteføljer konstrueret med mean-variance. Det

at der bliver kortsolgt så meget som er tilfældet her, gør også at porteføljerne er ekstra udsatte så-

fremt kurserne stiger på de kortsolgte aktier og tilsvarende falder for de der er købt.


59

Tabel 5.12, Porteføljekarakteristika for tangentporteføljerne med kortsalg

Brutto andele Nominelle andele


Januar 6,2 % 93,8 % 66,8 % 33,2 % 1,183 2,631 0,418 Februar -3,0 % 103,0 % 60,9 % 39,1 % 0,881 1,781 0,451 Marts 10,1 % 89,9 % 57,5 % 42,5 % 0,670 1,311 0,453 April -5,2 % 105,2 % 52,9 % 47,1 % 0,388 0,809 0,385 Maj 5,8 % 94,2 % 56,8 % 43,2 % 0,405 0,962 0,337 Juni 21,6 % 78,4 % 77,6 % 22,4 % 0,672 1,842 0,320 Juli 29,3 % 70,7 % 80,4 % 19,6 % 1,318 4,263 0,288

August 42,3 % 57,7 % 67,1 % 32,9 % 0,944 2,779 0,307 September 38,6 % 61,4 % 67,2 % 32,8 % 0,738 1,954 0,334 Oktober 50,9 % 49,1 % 79,5 % 20,5 % 0,890 2,329 0,347 November 19,3 % 80,7 % 72,0 % 28,0 % 0,910 3,621 0,228

December 10,3 % 89,7 % 81,0 % 19,0 % 0,956 3,717 0,237

Gennemsnit 18,8 % 81,2 % 68,3 % 31,7 % 0,830 2,333 0,342 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”realiseret afkast EWMA med kortsalg”

Det karakteristiske ved indholdet af de enkelte porteføljer er at stort set alle aktier indgår med store

andele, hvilket gør at den føromtalte risiko forstærkes yderligere, men hvis forudsigelserne er rigtig

kan det selvfølgelig også generere et tilsvarende stort afkast. På denne baggrund må det også for-

ventes at disse porteføljer er veldiversificeret, således at Treynor- og Jensen-indekset vil blive mere

pålideligt

Igen bliver de to Maersk aktier benyttet til at nedsætte risikoen, da den ene bliver købt hvor den

anden bliver kortsolgt, dog er der ikke samme sammenhæng mellem dem, da B aktien bliver kort-

solgt i maksimalt omfang gennem næsten hele året.

Ligesom det har været tilfælde for de andre tangentporteføljer bliver der investeret i den 10 årige

statsobligation, men der bliver dog kortsolgt af den 5 årige statsobligation hvilket ikke har været

tilfældet tidligere, hvor det derimod var den 2 årige statsobligation der blev kortsolgt.


60

Tabel 5.13, Allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne med kortsalg

Aktier Obligationer

Mae

rsk

A

Mae

rsk

B

Car

lsb

erg

B

No

rden

DSV

B

Dan

isco

Dan

ske

Ban

k

Flsm

idth

Jysk

e B

ank

H L

un

db

eck

NK

T

No

vo N

ord

isk

Syd

ban

k

Top

dan

mar

k

Ves

tas

Will

iam

Dem

ant

2 å

rs o

bl

5 å

rs o

bl

10

års

ob

l

------------------------------------------------------------------------- % ------------------------------------------------------------------------- ----------- % -----------

Jan. 39,4 -100 -23,3 38,6 13,4 -26,9 -43,9 -54,1 58,7 -28,5 90,7 24,6 29,4 -10,8 -5,5 4,3 -100 94,4 99,4

Feb. 46,7 -100 -15,8 25,0 19,1 -23,1 -17,6 -46,8 10,3 -18,2 62,6 27,6 24,3 9,9 4,4 -11,5 -97,0 100 100

Mar. 64,2 -100 1,1 20,5 12,3 -14,5 -8,8 -29,5 1,3 -16,9 37,8 22,6 17,4 6,7 1,7 -5,9 -88,4 78,3 100

Apr. 89,5 -100 3,5 12,3 12,9 -19,8 -11,2 -19,7 1,2 -17,3 15,0 6,1 5,5 7,3 3,1 6,4 99,9 -94,8 100

Maj. 40,3 -54,0 -8,1 14,1 13,9 -16,1 9,0 -11,7 8,0 -16,0 9,9 5,3 -2,3 8,2 -0,5 5,9 32,1 -37,9 100

Jun. 84,1 -99,7 -21,4 25,9 11,4 -26,6 23,0 -25,6 -0,8 -31,0 4,8 13,4 29,8 16,4 18,6 -0,7 -23,4 1,9 100

Jul. 60,1 -100 -22,1 49,2 47,7 -46,8 9,4 -100 36,4 -75,0 43,8 16,9 36,0 36,1 64,6 -26,9 29,5 -58,8 100

Aug. 53,5 -100 -31,8 39,5 16,1 -5,9 -0,7 -48,4 24,1 -31,6 16,4 38,3 32,4 22,6 41,2 -23,4 57,7 -100 100

Sep. 76,6 -100 -20,8 25,6 10,7 -8,0 -11,5 -60,3 11,4 -25,5 22,6 19,6 27,6 27,4 41,6 1,7 50,6 -89,1 100

Okt. 65,8 -100 -33,5 24,6 14,9 -16,6 3,6 -76,1 11,2 -39,5 28,5 35,1 39,5 38,3 57,3 -2,2 -21,4 -29,5 100

Nov. 38,3 -100 -21,5 42,9 16,2 7,0 -58,4 -27,0 6,6 -26,9 41,1 10,9 26,7 59,6 4,9 -1,1 35,7 -55,0 100

Dec. 17,4 -100 -14,8 49,3 20,1 18,4 -34,7 -32,2 11,3 -29,8 59,0 -5,8 -2,0 62,6 2,2 -10,8 -3,6 -6,7 100

Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”realiseret afkast EWMA med kortsalg”

5.5. Performansevaluering

For at skabe mest mulig overskuelighed vil der i den kommende performance analyse blive sam-

mensat porteføljer på samme måde som ved mean-variance. Hvor der blev sammensat fire porteføl-

jestrategier til henholdsvis MVP og tangentporteføljerne, med og ude kortsalg.

5.5.1. Performance for MVP

Det ses i tabel 5.14 at alle otte MVP har genereret et gennemsnitlig positivt afkast, de fire MVP

med kortsalg har dog genereret en noget bedre afkast, end de fire uden kortsalg. Således at de ses at

der med fordel kan anvendes kortsalg ved MVP, dette er dig uden at der er taget højde for risikoen

der er forbundet med de enkelte porteføljer. Risikoen er mere eller mindre den samme som de var

under mean-variance, dog en anelse højere specielt for de fire porteføljer med kortsalg.

For at tage højde for risikoen i evalueringen af porteføljerne er der blevet beregnet de samme nøgle-

tal som tidligere, men denne gang er Treynor medtaget med kortsalg, da det jf. tidligere gennem-

gang var en bedre diversificering blandt MVP med kortsalg en der tidligere har været.

Ses der udelukkende på de fire MVP uden kortsalg, ses det at de alle fire har genereret en positiv

alpha, således at de alle har givet et bedre afkast end der var forventet. Dog har MV3U skabt et

marginalt bedre alpha end de tre andre. Det er derimod MV4U jf. Sharpe været den portefølje der

har været bedst, dog har alle fire sammensætninger haft en negativ Sharpe, grundet det lavere afkast

end den risikofrie rente, men det er trods alt bedre end benchmarket. Ud fra dette må det antages


61

ved sammensætning af MVP uden kortsalg kan det bedst betale sig at gøre det ud fra mean-variance

teorien.

Tabel 5.14, Performancemål for MVP

MVP uden kortsalg MVP med kortsalg Benchmark


Afkast 0,072 0,051 0,064 0,072 0,131 0,120 0,141 0,098 -0,344 Std. afv. 0,373 0,476 0,414 0,407 0,423 0,598 0,489 0,481 2,132

Sharpe -0,024 -0,063 -0,040 -0,021 0,119 0,066 0,124 0,036 -0,199 Treynor -------- -------- -------- -------- 0,021 0,024 0,034 0,012

Jensen 1,214 1,358 1,360 1,215 1,075 0,746 0,805 0,649 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”performance EWMA”

I modsætningen til MVP uden kortsalg har det været muligt at skabe et afkast der er ca. dobbelt så

højt ved brug af EWMA, uden at standart afvigelserne er steget tilsvarende. Ud fra Jensen er det

MV1M der har skabt det bedste ekstra afkast, men de tre performancemål giver ikke et entydigt

svar denne gang. Sharpe og Treynor peger derimod begge på at MV3M skulle være et bedre alter-

nativ. Dette må også antages at være sandt, da netop Sharpe tager højde for både bredden og dybden

af porteføljen. Det ses således at ved at vægte de seneste standart afvigelser højere, giver en mere

efficient portefølje.

Ved at estimere alpha værdierne ses det at der ikke er nogen statistisk sikkerhed for at MVP uden

kortsalg klare sig bedre eller dårligere end benchmarket. Det vides således ikke om det blot var et

tilfælde at de genererede et bedre afkast end benchmarket.

Tabel 5.15, Estimerede alpha værdier



Alpha 0,029 (0,046)

0,039 (0,047)

0,036 (0,046)

0,036 (0,049)

*0,091 (0,054)

0,096 (0,076)

**0,099 (0,065)

0,050 (0,065)

Anm.: * angiver signifikant ved 10 % og ** signifikant ved 15 %


Det er derimod med en hvis sandsynlighed at det kan konkluderes at MV1M og MV3M har karet

sig bedre end benchmarket. Det skal dog bemærkes at MV3M kun er signifikant ved 15 %, dette

sammenholdt med værdierne fra tabel 5.14 tyder det således på at en investor med ovennævnte por-

teføljer har haft et bedre afkast end benchmarket. Havde der været taget handelsomkostninger med i

betragtning, var det ikke sikkert at MV3M ville have været så fordelagtig som det ses, da en oftere

omstrukturering af porteføljen ville have medført et ringere afkast efter handelsomkostningerne.


62

5.5.2. Performance for tangentporteføljerne

Det karakteristiske ved tangentporteføljerne er at de i teorien burde generere et bedre afkast i for-

hold til MVP, dog med en større risiko, men samlet set skulle risikopræmien være højere i tangent-

porteføljerne. Det ses i tabel 5.16, at tangentporteføljerne ikke lever op til kravet om bedre afkast,

det levere faktisk et ringere afkast end MVP. Årsagen til dette skal findes i den større andel af aktier

der indgår i disse porteføljer.

Det forholder sig sådan at den portefølje der har klaret sig bedst, uden at tage højde for risikoen er

RtV1U, altså den der er sammensat i januar 2008. Det skal også bemærkes at det er den portefølje

med den laveste risiko, men den genererer dog et afkast der er negativt i et omfang svarende til

benchmarket. Tages risikoen med ind i vurderingen af porteføljernes performance ses det igen at det

er RtV1U der jf. Jensen har været den portefølje der har genereret det bedste afkast end forventet,

således at taget dens risiko i mente burde den have haft et ringere afkast. Det er ligeledes tilfældet

med Treynor, dog skal det bemærkes at porteføljerne konstrueret uden kortsalg med EWMA kan

have problemer med at opfylde kravet om diversifikation, jf. Treynor. Således at det vil give et me-

re retvisende billede at se på Sharpe der peget på at RtV2U skulle have formået at generere det bed-

ste afkast i forhold til dennes risiko. At denne er bedre skyldes dens noget højere risiko i forhold til

de andre, dog har afkastet været ringere, men ikke i forhold til den forbundne risiko.

Tabel 5.16, Performancemål for tangentporteføljerne

Tangent porteføljer uden kortsalg Tangent porteføljer med kortsalg Benchmark


Afkast -0,313 -0,540 -0,404 -0,323 -1,535 -1,787 -1,092 -1,188 -0,344 Std. afv. 1,328 2,986 2,025 1,782 6,771 10,207 8,098 6,838 2,132

Sharpe -0,296 -0,208 -0,239 -0,226 -0,239 -0,183 -0,145 -0,186 -0,199 Treynor -0,288 -0,930 -0,506 -0,382 20,058 -15,852 -7,565 -7,533

Jensen 0,187 -0,337 -0,078 0,046 -1,650 -1,818 -1,107 -1,197 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”performance EWMA”

Tages kortsalg med i betragtningen ses der igen at det er nødvendig med en oftere omstrukturering

af porteføljen for at minimere tabet gennem 2008, dog igen uden at tage højde for risikoen således

at RtV3M er den portefølje der har genereret det bedste afkast, dog stadig negativt. Ligeledes ses

der igen modsat teorien at porteføljerne med kortsalg har en højere risiko end de tilsvarende porte-

føljer uden.

Det er således også det er den selvsamme porteføljer der jf. Jensen har formået at generere det bed-

ste ekstraafkast, dog stadig et negativt afkast. Dog findes der ikke noget entydigt svar blandt de tre

performancemål. Det ses bl.a. at RtV1M har en meget stor Treynor værdi, dette skyldes en negativ


63

betaværdi der fremkommer af den negative korrelation mellem afkastserien for RtV3M og bench-

market. Ifølge Sharpe er det også RtV3M der har klaret sig bedst i forhold til dens risiko, ligesom

det var tilfældet med Jensen, således at det må konkluderes at det er den af de 4 strategier der har

været bedst, også rent afkastmæssigt.

Modsat Treynor og Jensens indeks, viser det sig faktisk at RtV1U har genereret et negativt afkast

gennem 2008 ved at estimere alpha vha. liniær regression. Det er dog ikke muligt at konkludere

hvilken af de tre andre porteføljer der er det bedste alternativ, da ingen af dem har en signifikant

alpha værdi.

Tabel 5.17, Estimerede alpha værdier



Alpha **-0,168 (0,101)

-0,065 (0,153)

-0,118 (0,121)

-0,090 (0,120)

*-1,961 (0,944)

-0,721 (1,126)

-0,223 (0,944)

-0,533 (0,830)

Anm.: * angiver signifikant ved 5 % og ** signifikant ved 10 %


Tages kortsalg med i betragtningen ses det at porteføljen skal omstruktureres mere end en gang i

løbet af året, da RtV1M har genereret et meget dårligt signifikant afkast. Det kan dog ikke konklu-

deres hvorvidt de tre andre alternativer generere et bedre afkast end benchmarket da de ikke har en

signifikant alpha værdi.

Ud fra ovenstående gennemgang, ses det at Sharpe er det bedste performancemål til evalueringen af

porteføljerne, da denne påpegede at RtV1U og RtV1M havde den ringeste risikopræmie pr. risiko-

enhed, hvilket kan påvises at have en signifikant negativ alpha.

5.6. Evaluering af Markowitz porteføljeteori med udgangspunkt i EWMA

Efter gennemgangen af EWMA ses det at det var muligt at skabe et signifikant bedre afkast end

benchmarket i MVP med kortsalg, ved at omstrukturere porteføljen kvartalsvist. Det var ligeledes

muligt at påvise at tangentporteføljer sammensat januar 2008, både med og uden kortsalg skaber et

signifikant ringere afkast end benchmarket. For at skabe det bedst mulige afkast, ved hjælp af EW-

MA for tangentporteføljerne skulle der ikke benyttes en så aktiv strategi, da de bedste Sharpe ratios

blev opnået ved at omstrukturere porteføljen hvert halve år, dog uden at der var skabt et signifikant

merafkast end benchmarket.

Netop at EWMA er god til at tilpasse sig omgivelserne medførte en forventning om at det var bedst

at føre en aktiv strategi med hyppige omstruktureringer. Dette viste sig dog under performance ana-


64

lysen ikke at være tilfældet, det tyder således på at EWMA kan komme med forhastede konklusio-

ner.

Det kunne eventuelt være forsøgt at analyserer hvorvidt en anden decay factor kunne have genereret

et bedre signifikant afkast. Dette er dog ikke forsøgt da det viste sig at hyppige omstruktureringer af

porteføljerne ikke var nogen god løsning. Det antages derfor at en højere decay factor ville have

påvirket resultatet negativt, da en sådan model er mere eksponeret for støj i datamaterialet.

5.6.1. Performance forskelle mellem mean-variance og EWMA

Den største forskel mellem de to tilganges performance skal findes blandt MVP. Ud fra Markowitz

oprindelige tankegang, var det ikke muligt at genererer nogle signifikant positive alphaer, det var

det derimod med EWMA, hvor der var to porteføljer med kortsalg der skabte en positiv alpha. For

tangentporteføljernes vedkommende var det heller ikke muligt ud fra de to tilgange at sammensætte

en portefølje med en signifikant alpha, hverken ved brug af mean-variance eller EWMA.

Hvis der derimod tages afsæt i Sharpe, der viste sig at være en udmærket indikator for hvordan de

enkelte porteføljer klarede sig. Her viste det sig at MVP uden kortsalg klarede sig bedst med ud-

gangspunkt i mean-variance, hvorimod med kortsalg skulle der gøres brug af EWMA. For tangent-

porteføljerne var brugen af EWMA bedst for samtlige porteføljer på nær RtV1U. Så ud fra Sharpe

konkluderes det at det at det bedste resultat opnås vha. af EWMA, da denne tilgang er bedst til at

tilpasse de enkelte porteføljers sammensætning, efter hvordan markedet agerer.

Konklusion

65

6. Konklusion

Med udgangspunkt i Markowitz porteføljeteori, er det blevet undersøgt hvordan denne klarede sig

igennem finanskrisen i 2008, ved at sammensætte forskellige porteføljer på baggrund af mean-

variance og EWMA.

Markowitz porteføljeteori består af tre grundelementer, afkast, risiko samt korrelation imellem akti-

ver. Til at beregne afkastet blev der benyttet det geometriske afkast, da denne havde sine fordele

ved finansielle tidsserier. Ud fra disse afkast blev risikoen beregnet som variansen herpå, samt de

enkelte aktivers indbyrdes korrelation imellem. Ud fra disse tre parametre var det dermed muligt at

sammensætte den efficiente rand, der dækker over de kombinationsmuligheder for et givet afkast

ved at minimere risikoen. På denne rand er der to interessante punkter, MVP og tangentporteføljen.

MVP dækker over den kombinationsmulighed hvorved den laveste risiko findes, uden at tage højde

for afkastet. I MVP var det muligt at sammensætte en portefølje med mindre risiko end det aktiv

med den mindste risiko, ved at udnytte de indbyrdes korrelationer. Tangentporteføljen dækker over

den kombinationsmulighed hvor der opnås den største risikopræmie pr. risikoenhed, således den

bedste kombinationsmulighed på randen. Ved at sammensætte porteføljerne korrekt var det muligt

at bortdiversificere den usystematiske risiko, der er forbundet med at investere i et enkelt aktiv. Det

viste sig også at det ikke var muligt at bortdiversificere den systematiske risiko, som finanskrisen

hørte under. Der er ved sammensætningen af den efficiente rand to tilgangsmåder. Den ene er med

en restriktion om at det ikke er tilladt at kortsælge, altså låne en aktie af en anden investor og sælge

den, for senere at købe den tilbage igen billigere, og levere den tilbage til den oprinde investor igen.

Ved at benytte sig af kortsalg var det muligt at nedbringe risikoen yderligere, ved at udnytte at nog-

le aktiver korrelere meget med hinanden, således den ene kunne kortsælges og den anden købes.

Efter at have testet datamaterialet for hvorvidt afkastserien fulgte en normalfordeling, tegnede der

sig et klart billede af at samtlige afkastserier havde problemer med både skævhed samt kurtosis.

Dog viste det sig at afkastserier baseret på ugedata, var bedre normalfordelt end de tilsvarende af-

kastserier baseret på dagsafkast.

Ved Markowitz oprindelige teori bygget på mean-variance fik faldet på aktiemarkedet ikke den

store effekt, grundet det store datamateriale. Der viste sig dog nogle tendenser på at afkastet faldt,

samt at risikoen steg en smule. Der hvor det fik størst effekt var på korrealtionen, denne steg mod

slutningen af 2008, hvilket bevirkede at muligheden for risikoreduktion uden brug af kortsalg faldt.

Konklusion

66

Hvorimod ved brug af kortsalg at der kunne drages fordel af dette. Der viste sig nogle klare tenden-

ser gennem hele 2008 om at aktier og obligationer er negative korreleret, hvilket blev forstærket

gennem 2008. det viste sig samtidigt at de tre statsobligationer imellem var mere eller mindre per-

fekt korreleret. Bevægelserne i datamaterialet fik andelen af aktier der indgik i porteføljen til at fal-

de de sidste par måneder, hvorved Markowitz på sin vis beviste sit værd.

Ved den efterfølgende performance analyse, viste at det ikke var muligt at skabe en MVP med et

signifikant bedre afkast en benchmarket, hverken ved brug af kortsalg eller uden, ud fra de fire for-

skellige investeringsteorier. I modsætning til benchmarket formåede MVP dog at levere et gennem-

snitlig positivt afkast gennem 2008. Det viste sig også som teorien forudsagde at det var muligt at

sammensætte porteføljer med en lavere risiko vha. kortsalg. I modsætningen til MVP skabte alle

otte tangentporteføljer et gennemsnitlig negativt afkast, men det var kun muligt at påvise med stati-

stisk sikkerhed at de første tre investeringsstrategier med kortsalg, skabte et negativt afkast i forhold

til benchmarket. Derfor er det nødvendigt at omstrukturere tangentporteføljen hver måned hvis en

portefølje skal kunne klare sig mindst ligeså godt som benchmarket, både med og uden kortsalg.

Den føromtalte effekt med at kortsalg skulle kunne nedsætte risikoen var ikke tilfældet for de fire

strategier med kortsalg, de havde alle en væsentlig højere risiko end de tilsvarende strategier uden

kortsalg.

Ved at benytte sig af tidsvægtede varianser i stedet for de gennemsnitlige, blev forskellen mellem

de beregnede værdier samt de reelle værdier meget mindre, således at datamaterialet var mere retvi-

sende. Samtidig viste det sig at de tendenser med stigende risiko samt korrelation blev forstærket

yderligere. Ved at estimere Jensens alpha var det muligt at påvise MVP med kortsalg, sammensat

januar 2008 samt den der var tilpasset kvartalsvis, at estimerer en positiv alpha der var signifikant.

Det kunne derimod ikke med statistisk sikkerhed påvises en alpha forskellige fra nul ved MVP uden

kortsalg. Ved MVP uden kortsalg med udgangspunkt i mean-variance, var det muligt at skabe et

bedre afkast, hvorimod det forholdte sig omvendt for MVP med kortsalg. For tangentporteføljernes

vedkommende forholdte det sig sådan, at det kun var porteføljen sammensat i januar 2008 der gene-

rerede en signifikant negativ alpha, både med og uden kortsalg. Ud fra Sharpe der viste sig at være

et godt performancemål, ses det at risikopræmien pr. risikoenhed er bedre på de otte tangentporte-

føljer sammensat på baggrund af EWMA. Det blev derfor konkluderet at EWMA var bedre til at

tilpasse sig, således at de enkelte porteføljesammensætninger blev bedre end ved brug af mean-

variance.

Konklusion

67

Således tegnede der sig et billede af at Markowitz teori stadig er brugbar. Den har dog nogle pro-

blematiske sider, for det første er den baseret på historiske data, hvilket giver problemer da historien

sjældent gentager sig i fremtiden. Derudover virker modellen meget snæver i den forstand at en

portefølje bliver sammensat på baggrund af tre parameter. Det blev derfor foreslået at bruge model-

len sammen med andre makroøkonomiske variabler. Ydermere blev der foreslået en anden tilgang

til porteføljekonstruktion, da Markowitz model fandt frem til at aktiebeholdningen skulle nedsættes,

kunne den bruges som et måleinstrument til at sammensætte en portefølje lignende benchmarket.

Til slut er der blot at sige, for at citerer Lord Keynes:48

”Der er en fare forbundet med at forvente,

at fremtidens resultater kan forudsiges på baggrund af fortiden”

48 (Schroeder 2009)

Bibliografi

68

7. Bibliografi

Benninga, S. & Czaczkes, B. 2000, Financial modeling, 2. edition edn, MIT, Cambridge, Mass.

Bodie, Z. & Merton, R.C. 2000, Finance, International ed. edn, Prentice hall, Upper Saddle River,

N.J.

Elton, E.J. 2003, Modern portfolio theory and investment analysis, 6. ed.; International edition edn,

Wiley, Hoboken, N.J.

Evensky, H. 2009, "Is MPT Dead? Is Alpha Beta? And Other Interesting Questions", Journal of

Financial Planning, vol. 22, no. 6, pp. 30-33.

Farrell, J.L., Reinhart, W.J. & Farrell, J.L. 1997, Portfolio management: Theory and application,

2nd edition edn, McGraw-Hill, New York.

Haugen, R.A. 1997, Modern investment theory, 4. ed. edn, Prentice Hall International, London.

Holton, L. 2009, "Is Markowitz Wrong? Market Turmoil Fuels Nontraditional Approaches to Man-

aging Investment Risk", Journal of Financial Planning, vol. 22, no. 1, pp. 20-26.

Horasanlı, M. & Fidan, N. 2007, "Portfolio Selection by Using Time Varying Covariance Matric-

es", Journal of Economic & Social Research, vol. 9, no. 2, pp. 1-22.

Moffett, M.H., Eiteman, D.K. & Stonehill, A.I. 2009, Fundamentals of multinational finance, 3.

ed., internat. ed. edn, Pearson Prentice Hall, Boston, Mass. u.a.

Schroeder, A. 2009, Warren Buffett: et liv med milliarder, 1. udgave edn, Børsen, Kbh.

Sumnicht, V. 2009, "MPT Principles Valid After 5 Decades", Journal of Financial Planning, , pp.

16-18.

Varian, H. 1993, "A Portfolio of Nobel Laureates: Markowitz, Miller and Sharpe", Journal of Eco-

nomic Perspectives, vol. 7, no. 1, pp. 159-169.

Verbeek, M. 2004, A guide to modern econometrics, 2. ed. edn, John Wiley, Chichester.

Indholdsfortegnelse for bialg

69

8. Bilagsoversigt

Bilag 1– Normalitetstest fra Eviews .................................................................................................... 1

Bilag 2 – Sammenligning af de beregnede værdier med de reelle ..................................................... 17

Bilag 3 – Estimering af alpha – mean variance – Eviews .................................................................. 19

Bilag 4 - Estimering af alpha – EWMA – Eviews ............................................................................. 23

Bilag 1

1

Bilag 1– Normalitetstest fra Eviews

Dagsdata – Perioden – 01.01.2000 til 31.12.2004

0

40

80

120

160

200

240

280

320

360

-10 -5 0 5 10 15 20

Series: A_P_MOLLER___MAERSK

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.009630

Median 0.000000

Maximum 23.36849

Minimum -12.23379

Std. Dev. 2.285391

Skewness 0.879770

Kurtosis 14.52828

Jarque-Bera 7394.843

Probability 0.000000

0

100

200

300

400

500

-10 -5 0 5 10 15 20

Series: A_P_MOLLER___MAERSK__A_Sample 1/03/2000 12/31/2004Observations 1305

Mean 0.016343Median 0.000000Maximum 21.75204Minimum -11.59423Std. Dev. 2.373159Skewness 0.080787Kurtosis 10.74825

Jarque-Bera 3265.847Probability 0.000000

0

100

200

300

400

500

-15 -10 -5 0 5 10

Series: CARLSBERG

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.008062

Median 0.000000

Maximum 10.92964

Minimum -16.70532

Std. Dev. 1.981655

Skewness -0.614673

Kurtosis 11.93807



Bilag 1

2

0

100

200

300

400

500

600

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Series: DANISCO

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.019422

Median 0.000000

Maximum 9.309080

Minimum -12.57579

Std. Dev. 1.494018

Skewness -0.372366

Kurtosis 10.56673



0

100

200

300

400

500

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Series: DANSKE_BANK

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.070282

Median 0.000000

Maximum 10.79888

Minimum -11.83198

Std. Dev. 1.805959

Skewness 0.033847

Kurtosis 7.309768



0

100

200

300

400

500

600

700

-10 -5 0 5 10 15 20

Series: DMPKBT_NORDEN

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.272356

Median 0.000000

Maximum 21.62618

Minimum -13.73064

Std. Dev. 2.439524

Skewness 1.558407

Kurtosis 14.85530



0

100

200

300

400

500

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Series: DSV

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.075840

Median 0.000000

Maximum 8.960866

Minimum -13.35297

Std. Dev. 2.127363

Skewness -0.297080

Kurtosis 6.901502



Bilag 1

3

0

100

200

300

400

500

-15 -10 -5 0 5 10 15

Series: FLSMIDTH___COMPANY

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean -0.039145

Median 0.000000

Maximum 17.22995

Minimum -18.10944

Std. Dev. 2.612516

Skewness 0.164957

Kurtosis 9.964854



0

50

100

150

200

250

300

350

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

Series: H_LUNDBECK

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.041531

Median 0.000000

Maximum 11.71795

Minimum -25.86728

Std. Dev. 2.831172

Skewness -1.068391

Kurtosis 14.26842



0

50

100

150

200

250

300

350

400

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Series: JYSKE_BANK

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.079719

Median 0.000000

Maximum 8.894703

Minimum -8.004327

Std. Dev. 1.429594

Skewness 0.297665

Kurtosis 8.137096



0

100

200

300

400

500

600

-10 0 10 20

Series: NKT

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.103160

Median 0.000000

Maximum 23.87530

Minimum -17.06238

Std. Dev. 2.961447

Skewness 0.952212

Kurtosis 11.43623



Bilag 1

4

0

100

200

300

400

500

600

-20 -10 0 10

Series: NOVO_NORDISK

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.042680

Median 0.000000

Maximum 16.68328

Minimum -24.02253

Std. Dev. 2.284784

Skewness -0.637097

Kurtosis 16.66568



0

100

200

300

400

500

-4 -2 0 2 4 6 8 10

Series: SYDBANK

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.109703

Median 0.000000

Maximum 10.28408

Minimum -4.878322

Std. Dev. 1.105900

Skewness 1.323406

Kurtosis 13.55341



0

100

200

300

400

500

-10 -5 0 5 10

Series: TOPDANMARK

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.082951

Median 0.000000

Maximum 12.78391

Minimum -11.33017

Std. Dev. 2.086374

Skewness -0.216853

Kurtosis 7.297349



0

100

200

300

400

500

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Series: VESTAS_WINDSYSTEMS

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean -0.039887

Median 0.000000

Maximum 36.74876

Minimum -38.06437

Std. Dev. 3.840954

Skewness 0.132374

Kurtosis 20.52155



Bilag 1

5

0

100

200

300

400

500

600

-20 -10 0 10

Series: WILLIAM_DEMANT_HLDG_

Sample 1/03/2000 12/31/2004

Observations 1305

Mean 0.046730

Median 0.000000

Maximum 16.86947

Minimum -23.43983

Std. Dev. 2.609399

Skewness -0.046981

Kurtosis 11.78817



0

40

80

120

160

200

240

280

-0.50 -0.25 0.00 0.25

Series: DK_BENCHMARK_2_YEAR_DS_G

Sample 12/31/1999 12/30/2004

Observations 1305

Mean 0.017806

Median 0.020025

Maximum 0.320752

Minimum -0.567664

Std. Dev. 0.080176

Skewness -0.647685

Kurtosis 6.479725



0

40

80

120

160

200

-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50


Sample 12/31/1999 12/30/2004

Observations 1305

Mean 0.024747

Median 0.031830

Maximum 0.644961

Minimum -1.085797

Std. Dev. 0.182688

Skewness -0.553676

Kurtosis 4.997747



0

50

100

150

200

250

300

-1.0 -0.5 -0.0 0.5

Series: DK_BENCHMARK_10_YEAR_DS_

Sample 12/31/1999 12/30/2004

Observations 1305

Mean 0.029772

Median 0.042782

Maximum 0.899671

Minimum -1.244459

Std. Dev. 0.277132

Skewness -0.631213

Kurtosis 4.388684



Bilag 1

6

Dagsdata – Perioden – 01.01.2004 til 31.12.2008

0

40

80

120

160

200

240

280

320

-10 -5 0 5 10

Series: A_P_MOLLER___MAERSK

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean -0.041673

Median 0.000000

Maximum 12.29163

Minimum -13.91823

Std. Dev. 2.194501

Skewness -0.349442

Kurtosis 9.516245



0

40

80

120

160

200

240

280

320

-10 -5 0 5 10


Mean -0.039989Median 0.000000Maximum 11.29416Minimum -13.30375Std. Dev. 2.171675Skewness -0.289113Kurtosis 9.186657


0

50

100

150

200

250

300

350

-15 -10 -5 0 5 10 15

Series: CARLSBERG

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean -0.020792

Median 0.000000

Maximum 14.54655

Minimum -16.66129

Std. Dev. 2.307169

Skewness -0.468113

Kurtosis 13.95411



Bilag 1

7

0

50

100

150

200

250

-7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

Series: DANISCO

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean -0.035382

Median 0.000000

Maximum 10.41203

Minimum -7.745208

Std. Dev. 1.632775

Skewness 0.180154

Kurtosis 8.066183



0

40

80

120

160

200

240

280

320

360

-15 -10 -5 0 5 10

Series: DANSKE_BANK

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean -0.096379

Median 0.000000

Maximum 12.48622

Minimum -17.18509

Std. Dev. 1.996663

Skewness -0.734420

Kurtosis 14.32933



0

50

100

150

200

250

300

-20 -15 -10 -5 0 5 10


Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean 0.046290

Median 0.000000

Maximum 13.48556

Minimum -21.69067

Std. Dev. 3.063901

Skewness -0.679105

Kurtosis 8.777075



0

50

100

150

200

250

300

350

-10 -5 0 5 10 15

Series: DSV

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean 0.042588

Median 0.000000

Maximum 17.48863

Minimum -10.37968

Std. Dev. 2.252129

Skewness 0.605803

Kurtosis 10.53964



Bilag 1

8

0

40

80

120

160

200

240

280

320

-15 -10 -5 0 5 10

Series: FLSMIDTH___COMPANY

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean 0.066125

Median 0.000000

Maximum 13.18317

Minimum -14.94261

Std. Dev. 2.657958

Skewness -0.089770

Kurtosis 7.705345



0

50

100

150

200

250

300

350

-15 -10 -5 0 5 10 15

Series: H_LUNDBECK

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean -0.003624

Median 0.000000

Maximum 14.44642

Minimum -18.17003

Std. Dev. 2.091088

Skewness -0.332074

Kurtosis 13.95329



0

50

100

150

200

250

300

350

400

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Series: JYSKE_BANK

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean -0.049834

Median 0.000000

Maximum 8.152694

Minimum -12.52530

Std. Dev. 1.871136

Skewness -0.797316

Kurtosis 9.171857



0

50

100

150

200

250

300

-15 -10 -5 0 5 10

Series: NKT

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean -0.027465

Median 0.000000

Maximum 11.93321

Minimum -18.02369

Std. Dev. 2.343052

Skewness -0.637740

Kurtosis 9.837961



Bilag 1

9

0

50

100

150

200

250

300

350

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Series: NOVO_NORDISK

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean 0.062757

Median 0.000000

Maximum 9.266734

Minimum -10.98282

Std. Dev. 1.651823

Skewness 0.034022

Kurtosis 8.113999



0

100

200

300

400

500

-15 -10 -5 0 5 10 15

Series: SYDBANK

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean -0.043184

Median 0.000000

Maximum 16.30409

Minimum -15.62889

Std. Dev. 2.093058

Skewness -1.291350

Kurtosis 19.03595



0

50

100

150

200

250

300

350

-10 -5 0 5 10 15

Series: TOPDANMARK

Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean 0.044701

Median 0.000000

Maximum 14.06997

Minimum -9.961829

Std. Dev. 1.882687

Skewness 0.302584

Kurtosis 9.560008



0

100

200

300

400

500

-20 -10 0 10 20


Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean 0.143420

Median 0.000000

Maximum 20.21014

Minimum -25.27346

Std. Dev. 3.615243

Skewness -0.284771

Kurtosis 11.88964



Bilag 1

10

0

50

100

150

200

250

300

350

400

-15 -10 -5 0 5 10 15


Sample 1/03/2005 12/31/2008

Observations 1043

Mean -0.015560

Median 0.000000

Maximum 16.25178

Minimum -14.55649

Std. Dev. 2.075266

Skewness -0.553868

Kurtosis 14.40300



0

100

200

300

400

500

-0.6 -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6


Sample 1 1304

Observations 1043

Mean 0.013986

Median 0.011957

Maximum 0.699930

Minimum -0.698942

Std. Dev. 0.106505

Skewness -0.378328

Kurtosis 13.83383



0

100

200

300

400

500

-1.0 -0.5 -0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


Sample 1 1304

Observations 1043

Mean 0.012770

Median 0.014141

Maximum 2.170516

Minimum -1.274946

Std. Dev. 0.219355

Skewness 0.828798

Kurtosis 21.58308



0

50

100

150

200

250

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5


Sample 1 1304

Observations 1043

Mean 0.019421

Median 0.010911

Maximum 1.838488

Minimum -1.604653

Std. Dev. 0.299295

Skewness 0.235817

Kurtosis 7.587370



Bilag 1

11

Ugedata - Perioden – 01.01.2000 til 31.12.2008

0

20

40

60

80

100

120

140

-20 -10 0 10 20


Mean -0.049550Median 0.174656Maximum 25.19472Minimum -19.17840Std. Dev. 4.704045Skewness -0.021371Kurtosis 5.791209


0

20

40

60

80

100

120

140

-20 -10 0 10 20

Series: A_P_MOLLER___MAERSK_BSample 1/07/2000 1/01/2009Observations 469

Mean -0.068167Median 0.000000Maximum 22.10204Minimum -19.17834Std. Dev. 4.637044Skewness 0.003774Kurtosis 4.761137


0

20

40

60

80

100

120

140

160

-30 -20 -10 0 10 20

Series: CARLSBERG_B

Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean -0.031090

Median 0.182732

Maximum 24.51197

Minimum -28.87203

Std. Dev. 4.739356

Skewness -0.834301

Kurtosis 10.92075



Bilag 1

12

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

Series: DANISCO

Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean -0.024396

Median 0.000000

Maximum 14.93577

Minimum -21.22047

Std. Dev. 3.692574

Skewness -0.669088

Kurtosis 10.06598



0

40

80

120

160

200

-40 -30 -20 -10 0 10 20

Series: DANSKE_BANK

Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean -0.022916

Median 0.342237

Maximum 19.83369

Minimum -41.58578

Std. Dev. 4.323315

Skewness -2.462934

Kurtosis 24.95855



0

20

40

60

80

100

120

140

-30 -20 -10 0 10 20 30 40


Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean 0.846006

Median 0.039468

Maximum 38.04560

Minimum -35.11794

Std. Dev. 6.240567

Skewness 0.325846

Kurtosis 9.960397



0

20

40

60

80

100

120

140

160

-20 -10 0 10 20

Series: DSV_B

Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean 0.290081

Median 0.425234

Maximum 21.31950

Minimum -20.41569

Std. Dev. 4.777224

Skewness -0.226855

Kurtosis 6.680633



Bilag 1

13

0

20

40

60

80

100

120

-20 -10 0 10 20

Series: FLSMIDTH___COMPANY_B

Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean 0.014486

Median 0.000000

Maximum 20.94102

Minimum -26.51084

Std. Dev. 5.811661

Skewness -0.489040

Kurtosis 6.482004



0

20

40

60

80

100

120

140

-30 -20 -10 0 10 20

Series: H_LUNDBECK

Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean 0.105071

Median 0.185957

Maximum 20.22127

Minimum -35.61082

Std. Dev. 5.293751

Skewness -0.784674

Kurtosis 8.703032



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-20 -15 -10 -5 0 5 10

Series: JYSKE_BANK

Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean 0.111864

Median 0.136160

Maximum 12.67520

Minimum -22.03339

Std. Dev. 3.512617

Skewness -1.453074

Kurtosis 10.99428



0

20

40

60

80

100

120

140

-30 -20 -10 0 10 20 30 40

Series: NKT

Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean 0.215108

Median 0.366872

Maximum 39.22191

Minimum -30.49733

Std. Dev. 6.331097

Skewness 0.866857

Kurtosis 11.34872



Bilag 1

14

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

Series: NOVO_NORDISK_B

Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean 0.264908

Median 0.328360

Maximum 13.99994

Minimum -25.43129

Std. Dev. 4.308193

Skewness -0.873438

Kurtosis 8.315561



0

40

80

120

160

200

240

-30 -20 -10 0 10 20

Series: SYDBANK

Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean 0.210866

Median 0.257585

Maximum 18.34925

Minimum -34.31980

Std. Dev. 3.975963

Skewness -3.688627

Kurtosis 36.02613



0

40

80

120

160

200

-20 -10 0 10 20

Series: TOPDANMARK

Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean 0.334522

Median 0.412845

Maximum 20.82427

Minimum -20.29427

Std. Dev. 4.150168

Skewness 0.057437

Kurtosis 7.123151



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-37.5 -25.0 -12.5 0.0 12.5 25.0 37.5


Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean 0.203347

Median 0.402365

Maximum 38.67194

Minimum -47.38530

Std. Dev. 8.646629

Skewness -0.698802

Kurtosis 8.581493



Bilag 1

15

0

20

40

60

80

100

120

140

-20 -10 0 10 20 30


Sample 1/07/2000 1/01/2009

Observations 469

Mean 0.087219

Median 0.000000

Maximum 27.54129

Minimum -27.08778

Std. Dev. 5.530702

Skewness 0.227350

Kurtosis 7.840488



0

10

20

30

40

50

60

70

80

-0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75


Sample 1/07/2000 4/08/2010

Observations 535

Mean 0.079755

Median 0.073483

Maximum 0.855625

Minimum -0.830448

Std. Dev. 0.180469

Skewness -0.085082

Kurtosis 6.294824



Bilag 1

16

0

10

20

30

40

50

60

70

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5


Sample 1/07/2000 4/08/2010

Observations 535

Mean 0.101473

Median 0.102215

Maximum 1.854684

Minimum -1.969163

Std. Dev. 0.438467

Skewness -0.168115

Kurtosis 4.862835



0

20

40

60

80

100

-3 -2 -1 0 1 2 3


Sample 1/07/2000 4/08/2010

Observations 535

Mean 0.121990

Median 0.151116

Maximum 2.764144

Minimum -3.121234

Std. Dev. 0.689208

Skewness -0.210846

Kurtosis 4.355114



Bilag 2

17

Bilag 2 – Sammenligning af de beregnede værdier med de reelle

Benyttede afkastværdier til porteføljesammensætning

De reelle afkastværdier:

Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec

Maersk A 0,10 0,07 0,09 0,09 0,09 0,12 0,11 0,10 0,11 0,07 -0,01 -0,03

Maersk B 0,08 0,05 0,06 0,07 0,07 0,10 0,09 0,08 0,09 0,05 -0,03 -0,05

Carslber B 0,23 0,19 0,22 0,22 0,23 0,22 0,20 0,16 0,19 0,18 0,04 -0,02

Norden 1,22 1,17 1,19 1,16 1,17 1,19 1,15 1,11 1,11 0,97 0,87 0,83

DSV B 0,51 0,47 0,46 0,47 0,48 0,50 0,48 0,46 0,44 0,40 0,36 0,33

Danisco 0,09 0,07 0,08 0,08 0,06 0,09 0,05 0,06 0,08 0,06 0,01 0,02

Danske Bank 0,29 0,26 0,27 0,27 0,26 0,24 0,20 0,20 0,20 0,20 0,09 0,04

Flsmidth 0,29 0,26 0,26 0,26 0,28 0,30 0,28 0,24 0,22 0,15 0,08 0,05

Jyske Bank 0,41 0,35 0,36 0,35 0,34 0,34 0,32 0,32 0,30 0,29 0,19 0,13

H Lundbeck 0,17 0,14 0,13 0,12 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,11 0,10 0,11

NKT 0,60 0,55 0,53 0,51 0,54 0,55 0,53 0,49 0,46 0,43 0,38 0,30

Novo Nordisk 0,34 0,31 0,33 0,32 0,32 0,31 0,31 0,29 0,28 0,28 0,29 0,28

Sybbank 0,53 0,49 0,47 0,46 0,46 0,49 0,46 0,47 0,43 0,42 0,29 0,21

Topdanmark 0,39 0,39 0,38 0,39 0,40 0,39 0,37 0,36 0,36 0,37 0,32 0,34

Vestas 0,38 0,34 0,35 0,35 0,35 0,40 0,39 0,37 0,40 0,34 0,16 0,18

William Demant 0,29 0,22 0,22 0,23 0,24 0,22 0,18 0,16 0,13 0,12 0,10 0,07

2 års obl 0,07 0,08 0,08 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,08 0,07 0,08

5 års obl 0,09 0,10 0,10 0,09 0,09 0,08 0,08 0,08 0,09 0,09 0,09 0,09

10 års obl 0,11 0,12 0,12 0,12 0,11 0,11 0,10 0,10 0,11 0,11 0,11 0,12


Maersk A -3,31 1,50 0,87 -0,48 3,09 -1,46 -1,32 1,30 -4,39 -6,86 -3,13 -2,08

Maersk B -3,29 1,30 1,10 -0,57 3,06 -1,46 -1,27 1,23 -4,30 -7,13 -2,83 -1,90

Carslber B -3,57 2,75 0,25 0,96 -0,47 -2,13 -3,60 2,42 -1,48 -12,30 -6,65 -1,57

Norden -4,61 2,93 -1,32 1,61 3,06 -3,44 -3,32 1,07 -14,30 -8,68 -3,25 2,46

DSV B -3,03 -0,41 1,62 1,18 2,51 -1,63 -2,57 -1,04 -3,98 -3,65 -2,44 -4,76

Danisco -1,90 0,73 -0,44 -1,63 3,07 -5,36 1,84 1,49 -1,98 -4,42 1,25 -5,35

Danske Bank -3,06 1,34 -0,38 -0,86 -0,86 -4,39 0,23 0,57 -0,80 -9,57 -5,78 -7,28

Flsmidth -3,32 0,28 0,32 2,42 2,40 -2,04 -4,06 -1,93 -7,42 -6,74 -3,72 -3,59

Jyske Bank -6,02 1,52 -1,51 0,31 -0,28 -1,99 0,34 -1,06 -0,80 -9,31 -6,11 -2,42

H Lundbeck -3,34 -0,50 -0,48 0,88 0,09 0,53 0,00 -0,34 -1,75 -1,12 1,40 -0,28

NKT -4,14 -1,06 -1,94 3,77 1,01 -0,82 -4,57 -2,41 -2,35 -4,23 -9,56 -9,25

Novo Nordisk -3,05 2,56 -1,38 0,51 -0,57 0,00 -1,40 -0,58 -0,13 1,81 -0,98 -1,77

Sybbank -3,58 -0,83 -1,00 0,75 3,03 -3,19 1,82 -3,30 -0,19 -12,06 -8,14 -0,10

Topdanmark 0,77 -0,19 1,52 0,53 0,15 -2,63 -0,76 0,95 0,79 -4,14 2,60 0,07

Vestas -3,70 1,18 0,54 0,62 4,43 -1,12 -1,43 2,99 -6,67 -15,97 2,35 3,13

William Demant -7,10 -0,14 1,41 0,92 -1,55 -3,47 -2,17 -3,05 -0,67 -1,43 -4,14 2,66

2 års obl 0,33 0,05 -0,01 -0,01 -0,14 0,03 0,10 0,27 0,23 0,05 0,37 0,39

5 års obl 0,57 0,04 -0,25 -0,26 -0,32 -0,07 0,11 0,46 0,20 0,17 0,44 0,59

10 års obl 0,72 0,20 -0,18 -0,37 -0,27 -0,15 -0,02 0,79 -0,09 0,26 0,99 1,02

Bilag 2

18

Benyttede standart afvigelserne værdier til porteføljesammensætning

De reelle afkastværdier:


Maersk A 4,29 4,30 4,29 4,32 4,31 4,36 4,35 4,34 4,34 4,37 4,57 4,64

Maersk B 4,27 4,28 4,28 4,30 4,29 4,34 4,33 4,33 4,32 4,35 4,54 4,61

Carslber B 3,80 3,83 3,84 3,84 3,82 3,82 3,82 3,82 3,89 3,89 4,55 4,71

Norden 5,31 5,39 5,41 5,45 5,45 5,47 5,48 5,48 5,55 5,73 6,05 6,19

DSV B 4,34 4,36 4,34 4,36 4,35 4,36 4,37 4,39 4,38 4,39 4,54 4,71

Danisco 3,02 3,05 3,04 3,04 3,03 3,09 3,13 3,19 3,18 3,23 3,49 3,53

Danske Bank 3,12 3,14 3,15 3,16 3,16 3,16 3,19 3,23 3,23 3,25 4,03 4,26

Flsmidth 5,28 5,32 5,30 5,29 5,28 5,26 5,24 5,24 5,23 5,34 5,68 5,81

Jyske Bank 2,76 2,82 2,84 2,87 2,88 2,88 2,88 2,92 2,92 2,93 3,21 3,46

H Lundbeck 5,32 5,33 5,31 5,32 5,30 5,30 5,28 5,28 5,25 5,24 5,32 5,31

NKT 6,09 6,11 6,08 6,08 6,06 6,04 6,02 6,06 6,05 6,04 6,17 6,22

Novo Nordisk 4,23 4,25 4,23 4,22 4,21 4,19 4,18 4,17 4,16 4,15 4,26 4,32

Sybbank 2,60 2,62 2,62 2,65 2,65 2,67 2,69 2,72 2,77 2,77 3,59 3,96

Topdanmark 3,84 3,83 3,82 3,87 3,86 3,87 3,86 3,86 3,86 3,85 4,08 4,16

Vestas 8,30 8,31 8,27 8,24 8,20 8,17 8,15 8,12 8,08 8,11 8,63 8,68

William Demant 5,21 5,24 5,22 5,20 5,18 5,17 5,17 5,17 5,19 5,24 5,40 5,51

2 års obl 0,15 0,15 0,15 0,16 0,16 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,18 0,18

5 års obl 0,38 0,38 0,38 0,38 0,39 0,39 0,41 0,41 0,42 0,42 0,42 0,43

10 års obl 0,62 0,63 0,63 0,63 0,63 0,64 0,65 0,65 0,65 0,65 0,66 0,67


Maersk A 4,01 3,62 6,45 2,97 6,72 2,26 4,09 3,81 5,05 11,57 9,66 9,20

Maersk B 3,97 3,79 5,92 3,35 6,90 2,34 4,14 3,81 4,80 11,26 9,05 7,12

Carslber B 4,50 4,45 2,73 1,03 3,64 2,61 0,76 7,92 3,30 19,41 12,06 7,08

Norden 8,77 7,01 8,00 5,46 6,94 4,54 3,44 9,75 4,92 16,96 14,79 10,65

DSV B 4,58 1,88 6,21 1,85 5,40 4,17 5,42 2,80 4,25 11,19 13,77 8,62

Danisco 5,16 1,26 2,61 2,04 5,47 3,08 6,99 2,07 6,46 12,38 6,31 10,98

Danske Bank 2,71 4,12 3,44 3,33 2,74 3,86 6,02 3,16 4,71 20,98 14,39 4,96

Flsmidth 7,67 2,61 4,39 3,09 2,48 1,10 3,62 2,45 10,34 17,96 14,14 4,19

Jyske Bank 2,14 3,92 4,48 4,07 2,25 2,23 5,66 3,43 3,13 8,61 13,02 6,80

H Lundbeck 5,59 3,64 5,79 3,12 5,00 2,61 4,41 2,71 2,14 10,43 3,52 2,54

NKT 6,24 2,33 5,38 0,94 4,77 2,31 7,90 3,53 4,27 12,77 3,32 10,54

Novo Nordisk 5,00 2,07 1,35 2,67 2,46 2,28 1,84 3,38 2,53 9,92 8,76 2,14

Sybbank 1,10 2,72 4,35 3,21 2,65 2,91 4,92 4,01 3,02 18,28 16,18 5,68

Topdanmark 2,55 2,50 7,57 1,53 4,81 1,61 2,41 4,19 2,88 12,73 9,23 3,02

Vestas 7,52 3,16 3,69 1,63 4,09 4,63 2,71 2,49 8,17 24,64 12,60 1,93

William Demant 2,04 3,17 2,73 2,42 3,45 2,63 5,10 6,00 9,46 13,17 12,28 7,48

2 års obl 0,14 0,21 0,26 0,20 0,46 0,46 0,10 0,20 0,16 0,43 0,25 0,34

5 års obl 0,20 0,45 0,36 0,47 0,77 1,24 0,54 0,70 0,47 0,79 0,81 0,92

10 års obl 0,88 0,47 0,71 0,48 1,34 1,03 0,37 0,49 0,73 1,36 0,43 1,42

Bilag 3

19

Bilag 3 – Estimering af alpha – mean variance – Eviews

MVP- uden kortsalg

Dependent Variable: MV1U

Method: Least Squares

Date: 04/25/10 Time: 11:11

Sample: 1/04/2008 12/26/2008

Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.031286 0.044744 0.699218 0.4877

BENCHMARK 0.064195 0.020578 3.119569 0.0030 R-squared 0.162924 Mean dependent var 0.004012

Adjusted R-squared 0.146182 S.D. dependent var 0.342456

S.E. of regression 0.316437 Akaike info criterion 0.574318

Sum squared resid 5.006623 Schwarz criterion 0.649366

Log likelihood -12.93227 Hannan-Quinn criter. 0.603090

F-statistic 9.731712 Durbin-Watson stat 1.629877

Prob(F-statistic) 0.003004



Date: 04/25/10 Time: 11:14

Sample: 1/04/2008 12/26/2008


BENCHMARK 0.072599 0.020587 3.526455 0.0009 R-squared 0.199178 Mean dependent var -0.000644









Date: 04/25/10 Time: 11:15

Sample: 1/04/2008 12/26/2008


BENCHMARK 0.074042 0.020719 3.573643 0.0008 R-squared 0.203453 Mean dependent var -1.62E-05









Date: 04/25/10 Time: 11:16

Sample: 1/04/2008 12/26/2008









Bilag 3

20

MVP – med kortsalg

Dependent Variable: MV1M


Date: 04/25/10 Time: 11:21

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 11:21

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 11:21

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 11:21

Sample: 1/04/2008 12/26/2008









Bilag 3

21

RtV – uden kort salg

Dependent Variable: RTV1U


Date: 04/25/10 Time: 15:33

Sample: 1/04/2008 12/26/2008

Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.267745 0.214037 -1.250929 0.2168










Date: 04/25/10 Time: 15:33

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 15:33

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 15:33

Sample: 1/04/2008 12/26/2008









Bilag 4

22

RtV – med kortsalg

Dependent Variable: RTV1M


Date: 04/25/10 Time: 20:33

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 20:34

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 20:35

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 20:36

Sample: 1/04/2008 12/26/2008









Bilag 4

23

Bilag 4 - Estimering af alpha – EWMA – Eviews

MVP – uden kortsalg



Date: 04/25/10 Time: 23:03

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 23:03

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 23:03

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 23:03

Sample: 1/04/2008 12/26/2008









Bilag 4

24

MVP – med kortsalg



Date: 04/25/10 Time: 23:03

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 23:04

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 23:04

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/25/10 Time: 23:04

Sample: 1/04/2008 12/26/2008









Bilag 4

25

RtV uden kortsalg



Date: 04/27/10 Time: 11:19

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/27/10 Time: 11:20

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/27/10 Time: 11:21

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/27/10 Time: 11:21

Sample: 1/04/2008 12/26/2008









Bilag 4

26

RtV – med kortsalg



Date: 04/27/10 Time: 11:22

Sample: 1/04/2008 12/26/2008


BENCHMARK -0.812315 0.434105 -1.871243 0.0672 R-squared 0.065448 Mean dependent var -1.616092









Date: 04/27/10 Time: 11:23

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/27/10 Time: 11:23

Sample: 1/04/2008 12/26/2008











Date: 04/27/10 Time: 11:24

Sample: 1/04/2008 12/26/2008









markowitz porteføljeteori gennem finanskrisen -...

Documents