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Marketing quantitatif M2-MASS

[email protected]

UCBN

2 decembre 2012

[email protected] UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 decembre 2012 1 / 61

AnalyseConjointe

Introduction

Definitions

Metrique

Definitions

Exemple

Non metrique

Definition

Exemple

CBC

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Description

Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Premiere partie I

Analyse Conjointe

Introduction

Definitions

Analyse conjointe metrique

Analyse conjointe non metrique

Analyse conjointe des choix


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Mult. logit

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Chapitre

Introduction


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Mult. logit

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Exemple

Analyse conjointe

Objectifs I modeliser le choix d’une persone ou d’ungroupe de personne devant plusieursalternatives.

I marketing : choix d’un produit a acheterparmi plusieurs.

I psychometrie : modelisation ducomportement des consommateurs.

Outils I anovaI modeles lineairesI transformations monotones.I modele de regression logistique et

multinomial.


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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Exemple

Pour concevoir un cours, un professeur se pose les questionssuivantes :

1. Quel est la difficulte mathematiques des notionsenseignees : difficile, peu difficile, aucune.

2. Adequation du cours avec des demandes professionnelles :bonne, moyenne, aucune.

3. Quel doit etre l’investissement hebdomadaire moyen del’etudiant : plus de cinq heures ,entre une et cinq heures ,aucun.

On dit que trois questions sont des attributs ;difficulte,adequation, investissement.


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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Choix possibles

L’ensemble des modalites des variables qualitatives ou attributsest un ensemble ordonne. Quels sont les choix possibles quandon pose une seule question :

difficulte aucune ≤ peu difficile ≤ difficile

adequation aucune ≤ moyenne ≤ bonne

investissement aucun ≤ entre 1h et 5h ≤ plus de 5h

Le choix par attribut se fera en selectionnant les modalitesextremales. Par exemple sur la question de l’invetissement, onpourra avoir :

profil 1 aucun investissement.

profil 2 +5h.


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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Choix optimal

Un cours ideal pourrait etre

I mathematiquement difficile,

I ayant une bonne adequation avec le monde industriel

I ne demandant aucun investissement de la part del’etudiant.

Problemes :

I L’etudiant aura -il assimile les notions ?

I Quel va etre le cout horaire de conception du cours pour leprof ?

I Ce cours existe t-il ?

On cherche une solution optimale en cherchant a prendre lesmeilleurs alternatives sur plusieurs criteres : est ce possible ?


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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Difficulte et adequation

etu1 difficulteadequation difficile peu difficile facile

bonne 1 2 4

moyenne 3 5 6

aucune 7 8 9

Table: trade-off adequation et difficulte rang etu1

etu2 difficulteadequation difficile peu difficile facile

bonne 1 3 6

moyenne 2 5 8

aucune 4 7 9

Table: trade-off adequation et difficulte rang etu2


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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Etudes des classementsI les deux etudiants preferent la meme solution : notions

difficiles et une bonne adequation du cours vis a vis dumonde professionnel.

I Les deux etudiants sont aussi d’accord sur la solution qu’ilprefere le moins : notion facile et aucune adequation vis avis du monde professionnel.

I Le premier etudiant classe en premiere et deuxiemeposition de preference une bonne adequation du cours etdes notions difficiles ou peu difficile : il ne fait pas decompromis, (trade-off) sur l’adequation du cours quand ildoit la comparer a la difficulte des notions enseignees.

I Le deuxieme etudiant prefefere en premiere et deuxiemesolution un cours avec des notions difficiles, et uneadequation bonne ou moyenne. Il choisit en premier ladifficulte mathematique et en second l’adequation. Il nefait pas de compromis sur la difficulte quand elle estcomparee a l’adequation.


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Mult. logit

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Exemple

Modelisation du rangA chaque modalite, on associe un nombre ou utilite partielle.L’utilite totale d’une combinaison sera la somme des utilitespartielles des modalites utilites dans la combinaison.

etu1 difficulteadequation difficile/ 50 peu difficile/ 25 facile/ 0

bonne/ 100 1/150 2/125 4/100

moyenne/ 60 3/110 5/100 6/85

aucune/ 00 7/50 8/25 9/0

Table: trade-off adequation et difficulte

Pour cet etudiant on voit que l’attribut ayant une utilitepartielle maximale est la modalite bonne de l’attributadequation (coefficient 100), tandis que la deuxieme variable aune utilite partielle maximale de 50. Le rang des utilitescorrespond exactement aux rangs des preferences.


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Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Difficulte et investissement

On etudie ici les choix que l’etudiant fait quand il croiseinvestissement personnel et difficulte des notions. On voit quecet etudiant prefere apprendre des notions difficiles, puis apresdepenser le moins de temps possible en investissement.

etu1 difficulteinvestissement difficile/ 50 peu difficile/ 25 facile/ 0

aucun/20 1/70 4/45 7/20

1-5h/5 2/55 5/30 8/5

+5h/0 3/50 6/25 9/0

Table: trade-off adequation et difficulte


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Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Utilites partielles pour etu1

On degage l’ensemble des utilites partielles des modalites desattributs pour l’etudiant numero 1.

adequation u.p. difficulte u.p. investissement u.p.

bonne 100 difficile 50 aucun 20

moyenne 60 peu difficile 25 1-5h 5

aucune 0 facile 0 +5h 0

Table: Tableau des utilites partielles


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Mult. logit

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Exemple

Prediction de choix

Solution 1 Solution 2

adequation bonne 100 moyenne 60

difficulte aucune 0 difficile 50

investissement 1-5h 5 +5h 0

utilite totale 105 110

Table: Prediction des utilites

L’etudiant 1 devrait donc preferer la deuxieme soluion a lapremiere solution.


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Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Resume

Une etude d’analyse conjointe se decompose en

1. Determiner l’ensemble des attributs

2. Determiner le plan d’experiences

3. Pour chaque personne de l’echantillon, determiner lespreferences.

4. Estimer les utilites partielles.

5. Predire l’achat du consommateur ou du groupe deconsommateurs.


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Mult. logit

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Chapitre

Definitions


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Mult. logit

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Exemple

DefinitionsOn etudie les preferences des consommateurs sur des produits :

I Chaque produit est decrit par p attributs qualitatifsX i = {mi

1,mi2, · · · ,mi

ni}.

I Les elements de l’ensemble des attributs X = X 1 × · · · X p

sont appeles combinaisons d’attributs ou stimulis.I Le plan d’experience ou plan factoriel est une partie de

l’ensemble des attributs P ⊂ X . Seuls ces combinaisonsd’attributs seront evaluees par les consommateurs

I La preference Y d’un individu pour une combinaisond’attributs x ∈ P peut etre

note sur une echelle determinee (rating, metrique)rang du stimuli parmi les stimulis

presentes(ranking, non metrique) .choix du stimuli prefere parmi un ensemble de

combinaisons proposees (choice, binaires).I Predire Y (x) pour un individu, pour chaque combinaison

d’attributs x ∈ X [email protected] UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 decembre 2012 16 / 61

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Mult. logit

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Exemple

Questionnaire

Chaque enquete doit

trades-off classer par ordre de preference sans ex aequo(premier=prefere) les combinaisons d’attributs decouples d’attributs.

profils complets doit noter ou ordonner toutes les combinaisonsde l’ensemble des attributs.

profils partiels doit noter ou ordonner une selection decombinaisons d’attributs.

choix multiples doit selectionner pour plusieurs ensembles decombinaisons, sa combinaison preferee parensemble.

choix binaire doit choisir sa combinaison preferee parmiplusieurs ensemble de deux combinaisonsd’attributs.


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Mult. logit

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Exemple

Chapitre

Analyse conjointe metriqueDefinitionsExemple


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Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Paragraphe



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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Modele metrique

Pour chaque enquete, on modelise la note qu’il a donne a unecombinaison en fonction de cette combinaison d’attributs.

Attributs soit X = X 1 × · · · × X p l’ensemble des attributs.

Echantillon independant on observe pour un individu (Yx )x∈Ples notes donnees a chaque combinaisons du pland’experiences d’attributs x ∈ P.

DefinitionUn modele metrique de la note en fonction des attributs est unmodele lineaire gaussien de variance σ2.

aleas Yµ ∼ N (µ, σ2)

fixe un modele additif defini par le codagez : X →Mp,1(R)

lien ∃β ∈Mp,1(R),∀x ∈ X , µ(x) = z(x)′β


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Mult. logit

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Exemple

Vocabulaire

Utilite l’utilite d’une combinaison d’attributs est

U :

{X → Rx 7−→ z(x)′β

Utilite partielle Soit zi : X i →Mpi (R) un codage de l’attributX i et z un codage additif sans interactions

z = z1 + · · ·+ zp.

l’utilite partielle du i eme attribut X i est

Ui :

{X i → Rx 7−→ zi (x)βi

Importance L’importance du i-eme attribut est

Ii =Max(Ui )−Min(Ui )

Max(U)−Min(U)


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Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Paragraphe



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Mult. logit

Autres modeles

Exemple

ProblematiqueOn modelise l’utilite d’un cours par un etudiant, en luidemandant de noter entre 1 et 9 certaines propositions.

Attributs On definit trois attributsI Le premier attribut est la nature du cours :X 1 = {professionnel , theorique}

I Le deuxieme attribut caracterise les prerequisX 2 = {M1, sans}

I Le troisieme attribut caracterise le niveau ducours X 3 = {difficile, facile}

plan factoriel On choisit un plan factoriel complet

P = X = X 1 ×X 2×3

Modele On considere un modele additif sans interactionspour les utilites partielles : si zi est un codage deX i , alors on prend comme codage de X :

z = z1 + z2 + z3


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Mult. logit

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Exemple

Les donnees

nature prerequis niveau note

1 professionnel M1 difficile 72 professionnel M1 facile 63 professionnel sans difficile 64 professionnel sans facile 45 theorique M1 difficile 96 theorique M1 facile 87 theorique sans difficile 98 theorique sans facile 7

Table: La notation d’un etudiant


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Exemple

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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

La regression lineaire

On a choisit ici des contrastes a somme nulle, on a par exemplepour le contraste de l’attribut nature

z1(nature) = δprofessionnel (nature)− δtheorique(nature)

Le signe plus est pour la premiere modalite (ordrealphabethique).

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 7.0000 0.1768 39.60 0.0000

nature1 -1.2500 0.1768 -7.07 0.0021prerequis1 0.5000 0.1768 2.83 0.0474

niveau1 0.7500 0.1768 4.24 0.0132


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Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Utilites partiellesPour l’etudiant enquete, les utilites partielles sont

prerequis

U2(prerequis) = 0.5(δM1(prerequis)− δsans(prerequis))

=

{0.5 si prerequis = M1−0.5 si prerequis = sans

nature

U1(nature) = −1.25(δprofessionnel (nature)− δtheorique(nature))

=

{−1.25 si nature = professionnel

1.25 si nature = theorique

niveau

U2(niveau) = 0.75(δdifficile(niveau)− δfacile(niveau))

=

{0.75 si niveau = difficile−0.75 si niveau = facile


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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Utilite

L’utilite d’une combinaison d’attributs x ∈ X est la somme desutilites partielles et du terme constant.

U(x) = Cst + U1(x1) + U2(x2) + U3(x3)

Calculons l’utilite de la combinaison

x = (nature = theorique, prerequis = sans, niveau = difficile) ∈ X

Cette combinaison est appreciee puisque que son utilite estestimee a

U(x) = 7 + 1.25− 0.5 + 0.75 = 8.5


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Mult. logit

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Exemple

Importances

utilite les extrema de l’utilite sont

Min(U) = 7− 1.25− 0.5− 0.75

Max(U) = 7 + 1.25 + 0.5 + 0.75

Max(U)−Min(U) = 2(1.25 + 0.50 + 0.75)

= 5

nature L’importance de l’attribut nature est

Min(U1) = −1.25

Max(U1) = 1.25

I1 =Max(U1)−Min(U1)

Max(U)−Min(U)

=2.5

5= 50%


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Mult. logit

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Exemple

Graphiques

X.pred=X;X.pred$note=predict(m)

plot.design(note~.,data=X.pred)

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

Factors

mea

n of

not

e

professionnel

theorique

M1

sans

difficile

facile

nature prerequis niveau

Figure: Design


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Exemple

Conclusions

I L’attribut le plus important dans la preference de cetteetudiant est l’attribut nature il compte pour moitie dansl’appreciation du cours.

I L’attribut le moins important sont le prerequis.

I Le cours le plus apprecie serait un cours de naturetheorique, ayant des prerequis de M1 et difficile.


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Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Chapitre

Analyse conjointe non metriqueDefinitionExemple


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Mult. logit

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Paragraphe



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Exemple

Definition

DefinitionL’individu questionne ordonne les combinaisons d’attributsselon sa preference. Le modele n’est plus un modele lineaire,mais un modele dit d’analyse de la variance mononone. Soit nle nombre de combinaisons du plan factoriel Soit Tη : R→ Rcroissante on cherche Tη et β telque la fonction de liens’ecrive :

Tη(µx ) = z(x)′β

La procedure transreg permet de trouver cette tronsformationappelee MONANOVA. On analyse de la variance monotone.


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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Paragraphe



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Autres modeles

Exemple

Transformation monotoneVoici la transformation trouvee par SAS dans l’exempleprecedent.

A n a l y s e c o n j o i n t e n o n m e t r i q u e

f(no

te)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

n o t e

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figure: Transformation [email protected] UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 decembre 2012 36 / 61

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Description

Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Chapitre

Analyse conjointe des choixIntroductionDescriptionModele de choix discretsModele multinomial logitAutres modelesExemple


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Description

Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Paragraphe



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Description

Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Choix discrets

On desire modeliser le choix d’individus faces a un ensemblefinis d’alternatives en fonction de covariables dependant desalternatives et de variables dependant de l’individu.

Marketing Choix d’un produit, modeliser le choix, predire lechoix pour une population, etudes de l’impact deprix.

Trafic Choix d’un trajet d’un moyen de transport,probleme de routage.

Economique Modelisation du choix individuels de formation.

L’analyse conjointe traditionnelle estime d’abord les preferencesde chacun des alternatives possibles, puis les probabilites dechoisir une des alternatives. Les modeles de choix discretsmodelisent le choix de l’alternative directement.


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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Paragraphe



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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Description

L’abreviation CBC veut dire ”Choice Based Conjoint”

Attributs Soit X = X 1 × · · · X p l’ensemble des attributs(alternatives)

Ensemble de choix Soit (Cj )1≤j≤q une famille de partie de X(choice sets).

Reponse Parmi tous les ensembles de choix Cj l’enquetedoit choisir la combinaison d’attributs prefere. Lareponse est donc binaire par ensemble de choix.

Objectif Modeliser la probabilite de choisir un element ouune alternative d’un ensemble de choix enfonctions des combinaisons d’attributs.


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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Modele de decision discrete

Choice sets Soit Cj = {x1,j , · · · , xpi ,j} ⊂ X . Un ensemble dechoix.

individu A chaque individu i ∈ I de la populationenquetee, on associe le numero de la modalitepreferee du j-eme ensemble de choix nj

opt

Utilite L’individu i definit utilites Ui (x) pour chaquecombinaisons d’attributs. Ui : X → R.

choix L’individu i choisit l’alternative njopt de l’ensemble

de choix Cj si l’utilite de l’alternative xnj

opt ,jest

strictement plus grande que toutes les autresutilites de l’ensemble de choix Cj .

Ui (xnj

opt ,j) > Ui (xk,j ),∀k ∈ [1, pi ], k 6= c


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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Paragraphe



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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Modelisation de l’utilite

L’utilite d’une alternative x ∈ X pour l’individu i ∈ I va etre lasomme de deux termes :

1. d’un effet fixe qui depend l’individu et de l’alternative. Soitz : X →Mp,1(R) un codage caracterisant un modeleadditif.

2. d’un effet aleatoire qui depend l’individu et de l’alternative.

Ui (x) = z(x)′β + εi ,x

On ne peut pas mesurer precisement l’utilite ( analyse conjointemetrique ou non metrique). On recueille le choix fait pasl’individu.


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Exemple

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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Probabilite du choix

L’individu i choisit l’alternative j ∈ C = [1, J] si

Uj = z(xj )′β + εj

> z(xj′)′β + εj′∀j ′ ∈ C 6= j

Pj = Pr([Uj > (Uj′)j′∈C 6=j ])

= Pr([εj′ < z(xj )′β − z(xj′)

′β + εj ,∀j ′ ∈ C 6= j ])

=

∫ εj =+∞

εj =−∞

∫ ε2=z(xj )′β−z(x2)′β+εj

ε2=−∞...

∫ εJ =z(xj )′β−z(xJ )′β+εj

εJ =−∞f (ε)dε

ou l’on suppose que f (ε) est la densite du vecteur (ε1, · · · , εJ).


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Exemple

CBC

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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Independance

Si on suppose l’independance du vecteur ε alors

Pj = Pr(∩j ′∈C ,j 6=j [εj ′ < z(xj )′β − z(xj ′)

′β + εj ])


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Exemple

Non metrique

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Exemple

CBC

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Description

Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Modele multinomial

On suppose que

1. l’independance des composantes (ε1, · · · , εJ)

On a alorsf (ε) = Πk∈C fεj (εj )

Pj =

∫ εj =+∞

εj =−∞fεj (εj )Πk 6=j

(∫ εk =z(xj )′β−z(xk )′β+εj

εk =−∞fεk (εk)dεk

)dεj

=

∫ εj =+∞

εj =−∞fεj (εj )

(Πk 6=j Fεk (z(xj )

′β − z(xk)′β + εj ))

dεj


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Definitions

Metrique

Definitions

Exemple

Non metrique

Definition

Exemple

CBC

Introduction

Description

Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Paragraphe



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Definitions

Metrique

Definitions

Exemple

Non metrique

Definition

Exemple

CBC

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Description

Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Modele logitHypotheses :

independance L’independance du vecteur εloi la fonction de repartition est Fε = exp(−e−ε).

Ces lois doublement exponentielles sont dites deGumbel. La densite est fεj (εj ) = e−εj exp(−e−εj )

Pj =

∫ εj =+∞

εj =−∞e−εj exp(−e−εj )

∏k 6=j

exp(−ez(xj )′β−z(xk )′β+εj

dεj

=

∫ εj =+∞

εj =−∞e−εj

(∏k

exp(−ez(xj )′β−z(xk )′β+εj

)

=

∫ εj =+∞

εj =−∞e−εj exp(−

∑k

ez(xj )′β−z(xk )′β+εj )dεj

=

∫ εj =+∞

εj =−∞e−εj exp(−eεj

∑k

ez(xj )′β−z(xk )′β)dεj


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Metrique

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Non metrique

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Exemple

CBC

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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Modele logit

En faisant le changement de variable y = exp(−εj ).

Pj =

∫ y=∞

y=0exp(−y

∑k

ez(xj )′β−z(xk )′β)dy

=1

−∑

k ez(xj )′β−z(xk )′β

[exp(−y

∑k

ez(xj )′β−z(xk )′β)

]y=∞

y=0

=1

−∑

k ez(xj )′β−z(xk )′β

=ez(xj )

′β∑k ez(xk )′β

On trouve un modele ou les probabilites de choisir l’alternativej sont proportionnelles aux exponentielles des utilites.


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Mult. logit

Autres modeles

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Paragraphe



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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Autres modeles

logit Si l’ensemble des alternatives est constant et adeux elements, on peut choisir le modele lineairegeneralise binomial de fonction de lien logit.

multinomial Si l’ensemble des alternatives est toujours lememe, on peut alors modeliser la decision par unmodele lineaire generalise mutinomial.

probit Si pour la variable ε on prend une loi gaussienne,on obtient des modeles multinomiaux probits. Onpeut alors construire des modeles emboıtes ou lechoix est un arbre de decision.

mult. probit Sans l’hypothese d’independances, le choix al’interieur d’un ensemble d’alternatives sontdependants, on obtient des modeles mixtes.


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Mult. logit

Autres modeles

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Paragraphe



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Mult. logit

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Plan factoriel

noir texture noisette CHOICEID

1 lait elastique FALSE 12 lait elastique TRUE 23 lait tendre FALSE 34 lait tendre TRUE 45 noir elastique FALSE 56 noir elastique TRUE 67 noir tendre FALSE 78 noir tendre TRUE 8

Les alternatives sont codees par un nom ou un numero, ontrouve souvent le nom id.


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Modele

Mult. logit

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Exemple

Choice sets

SET CHOICE1 CHOICE2 CHOICE3 CHOICE4 CHOICE5 CHOICE6 CHOICE7 CHOICE81 1 1 2 3 4 5 6 7 8

Table: un ensemble de choix, 8 alternatives

SET CHOICE1 CHOICE2 CHOICE3 CHOICE41 1 1 2 3 42 2 5 6 7 8

Table: deux ensembles de choix a 4 alternatives

L’ensemble numero 2 contient les alternatives numero 5,6,7 et8.


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Mult. logit

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Exemple

Table resultats

ID SET CHOICE

1 1 1 52 2 1 63 3 1 74 4 1 55 5 1 26 6 1 67 7 1 28 8 1 69 9 1 6

10 10 1 6

L’indivu 2 a choisi dans l’ensemble de choix numero 1, la 6 emealternative.


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Mult. logit

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Exemple

Table avant analyse

noir texture noisette CHOICEID CHOICE ID SET1 lait elastique FALSE 1 0 1 12 lait elastique TRUE 2 0 1 13 lait tendre FALSE 3 0 1 14 lait tendre TRUE 4 0 1 15 noir elastique FALSE 5 1 1 16 noir elastique TRUE 6 0 1 17 noir tendre FALSE 7 0 1 18 noir tendre TRUE 8 0 1 1

Table: Choix du premier individu pour le premier ensemble


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Modele

Mult. logit

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Exemple

Resultats agreges

noir texture noisette

noir tendre TRUE 0

FALSE 1

elastique TRUE 5

FALSE 2

lait tendre TRUE 0

FALSE 0

elastique TRUE 2

FALSE 0


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Modele

Mult. logit

Autres modeles

Exemple

Identification R

> summary(m)

Call:

coxph(formula = Surv(2 - CHOICE, CHOICE == 1, type = "right") ~

noir + texture + noisette + strata(ID), data = X1, method = "breslow",

model = TRUE, x = TRUE)

n= 80

coef exp(coef) se(coef) z p

noirlait -1.386 0.250 0.79 -1.75 0.080

textureelastique 2.197 9.000 1.05 2.08 0.037

noisetteFALSE -0.847 0.429 0.69 -1.23 0.220


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Mult. logit

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Exemple

Resultats

noir noisette texture Utilite proba

1 lait FALSE elastique -0.04 0.052 lait TRUE elastique 0.81 0.133 lait FALSE tendre -2.23 0.014 lait TRUE tendre -1.39 0.015 noir FALSE elastique 1.35 0.226 noir TRUE elastique 2.20 0.507 noir FALSE tendre -0.85 0.028 noir TRUE tendre 0.00 0.06


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Exemple

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Modele

Mult. logit

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Importances

coefs importance

noirlait -1.39 31textureelastique 2.20 49noisetteFALSE -0.85 20


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