Jorge MiguiélezMario RevillaTecnología 4º B eso

NÚMEROS RACIONALES: Todas las fracciones equivalentes a una dada determinan un mismo número, que se llama numero racional conjunto de los números racionales se representa por Q.

Son ejemplos de números racionales: 3 , 6/13 , -12 , 8/5 , 0 , -4/7.

Podemos expresar un número racional tanto en notación fraccionaria como entero decimal.

NUMEROS IRRACIONALES: Los números como raíz de √2 reciben el nombre de números irracionales.

El número decimal es ilimitado y no podemos identificar un periodo que se repita indefinidamente . Se trata de un número decimal no periódico ilimitado. No es un numero racional puesto que los racionales ,o bien son decimales exactos, o bien decimales periódicos.

Los números irracionales son números con una cantidad ilimitada de cifras decimales y sin ningún periodo que se repita se representa por l.

Son números irracionales todas las raíces de números naturales que no son potencias perfectas: √2 ,√ 9 y √45.

NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS: En este conjunto la suma y el producto son operaciones internas es decir ,dados los números naturales , a y b , suma , a + b, es otro numero natural y su producto ,a · b, también lo es . N(1, 2, 3, 4, 5….)

Es el conjunto de números naturales se pueden realizar otras dos operaciones , la resta y la división , pero ninguna de las dos es una operación interna , ya que el resultado de restar o dividir dos números naturales no siempre es un número natural . Esta es precisamente una de las razones por la que este conjunto numérico resulta insuficiente a la hora de resolver ciertos problemas .

LA RECTA REAL: Los números reales se pueden representar en la recta numérica.

Podemos asociar cualquier numero real a un único punto de una recta, y al revés, a cualquier punto de una recta le podemos hacer corresponder un único numero real. A esta recta la llamamos recta real.

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA:

El teorema de Pitágoras permite representar números reales irracionales en una rectas.

PASOS:

1º -Trazando en una recta un triangulo rectángulo cuya medida sea una unidad, la hipotenusa que obtenemos

vale √2. Con un compás, trasladamos el segmento sobre la recta.

2º - Trazando un triangulo rectángulo de cateto 1 y √2, obtenemos una hipotenusa de √3 que también trasladamos sobre la recta.

√2

ERROR ABSOLUTO: EA= Ve-Va Denominamos error absoluto para la diferencia ,

el valor absoluto , entre el valor real y la aproximación. Consideramos que: 3,14 15 92 65 4… si tomamos como aproximación 3, 14 el error absoluto es : 3,14 15 92 65 4 -3,14 =0,001592652

El error absoluto ,por si mismo, no es significativo. No es lo mismo un error de un centímetro de la medida de una mesa de dos metros de ancho que en la medida de un edificio de 25 m de ancho. Lo que nos interesa es la comparación entre el error absoluto y su valor real. A esta relación la denominamos error relativo.

ERROR RELATIVO: El error relativo es el cociente entre error absoluto y valor real. Error relativo= Error absoluto: Valor real.

CALCULO CON ERRORES: cuando operamos con números irracionales , lo podemos hacer de dos maneras : utilizando el valor exacto de los números o bien utilizamos aproximaciones. El error máximo de la diferencia entre la aproximación por exceso y la aproximación por defecto.

Las operaciones con potencias siguen las reglas siguientes:

(An · Am = A n+m) (An : Am = A n-m) ( (An)m = A n·m) (A º=1) (A1=A) ( An· Bn= ( A·B)n ) ( An:Bn= ( A:B)n ).

Cuando una potencia es de exponente negativo expresa el inverso de la correspondiente potencia con exponente positivo: A-n= 1/An

Potencia de exponente entero

Vamos a calcular 4 elevado a 3 : 4 elevado a 8

-Utilizando las propiedades de las potencias tenemos:

4 elevado a 3 : 4 elevado a 8 = 4 (3-8) = 4 elevado a la -5

-Haciendo la división tenemos:

4 elevado a 3 : 4 elevado a 8= (4·4·4) dividido entre (4·4·4·4·4·4·4·4)=

¼ elevado a la 5

Notación científica: La notación científica se usa para expresar cantidades muy pequeñas, como la longitud de un virus , o muy grandes, como un año luz.

Un numero escrito en notación científica esta formado por un numero decimal a comprendido entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de base 10 y exponente entero:

a · 10 elevado a la n n indica el orden de la magnitud.

0,000045= 4,5 · 10 elevado a la -5 982.000.000 = 9,82· 10 elevado a la 8

Operaciones en notación científica: Para sumar o restar números en notación científica , expresamos todos los sumandos en el mismo orden de magnitud y sumamos o restamos la parte decimal: 1,2 · 10 elevado 12+ 3,45· 10 elevado 13 = 1,2 · 10 elevado 12 + 3,45 · 10 elevado 12= (1,2 + 34,5) · 10 elevado 12 = 35,7 · 10 elevado 12 = 3,57 · 10 elevado 13.

Para multiplicar, dividir u obtener potencias de números en notación científica operamos la parte decimal por un lado y las potencias por otro.

Raíz enésima : La raíz enésima de un numero A es un numero B que elevado a N da A : √A = B---B elevado a N= A

Raíces de un número : el número de raíces de un valor depende de un signo del radicando y del valor par o impar del índice .

Raíz de índice par

-si el radicando es positivo, tiene dos raíces, una positiva y la otra negativa. +√81 = 9 -√81= -9

-si el radicando es negativo, no existe la raíz real. √-49 = no existe

Raíz de índice impar: tiene siempre una raíz , tanto si el radicando es positivo como si es negativo. Exponente 5 √243 = 3

Operaciones con raíces

La raíz enésima de un producto es igual al producto de las raíces enésimas de los factores

Exponente n √ a · b =exp. n √ a · exp. n √ b

La raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces enésimas de sus términos. exp. n √ a/b= exp. n √ a / √ b

La potencia de una raíz enésima es igual a la raíz enésima del radicando elevado al exponente de la potencia ( exp. n √ a )elevado p = exp. n √ a elevado p

La raíz de una raíz es otra raíz que tiene como índice el producto de los índices. exp. p √ exp. n · √ a = exp. n · p √ a

Radicales semejantes: dos radicales son semejantes si, una vez simplificados, tiene el mismo índice y radicando. √32= √ 2 exp. 2 · 2 exp. 2= 4√2

√18= √3 exp. 2 · 2= 3 √2

Simplificación elemental de raíces : Para simplificar raíces exactas, expresamos el radicando como producto de factores, de forma que obtengamos potencias de exponente igual al índice.

exp. 3 √1250 = exp. 3 √5 exp. 4 · 2=

exp. 3 √5 exp. 3 · 5 · 2=

exp. 3 √5 exp. 3· exp. 3 √5 · exp. 3 √2 = 5 · exp. 3 √ 10

Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice e igual cantidad subradical difieren únicamente en el coeficiente. Por lo tanto para reducir dos o mas radicales semejantes basta con :

1. Realizar la suma algebraica de los coeficientes

2. Se escribe el total obtenido en el paso anterior anteponiéndolo a la parte radical común.

Exponente fraccionario: un radical se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario, de acuerdo con esta regla de correspondencia:a m/n = exp. n√a exp. m.Podemos utilizar esta correspondencia entre raíz y potencia de exponente fraccionario en los dos sentidos:5 exp. √7 exp. 2 = 7 exp. 2/5 Observa que cuando el numerador del exponente fraccionario es 1, el radicando de la raíz no lleva exponente, o lo que es lo mismo, el exponente es 1: 3 exp. ½ = √3

Simplificación de radicales : la expresión de un radical como potencia de exponente fraccionario nos ayuda a simplificar las raíces. Consideramos m el exponente del radicando, y n el índice de la raíz. exp. n √ a exp. m.

Podemos obtener una raíz mas sencilla en los siguientes casos: -Si m es menor que n y el cociente m/n se pude simplificar: exp. 4 √7 exp. 2 = √ 7, puesto que 2/4 = ½-Si m es igual que n, obtenemos una raíz exacta:exp. 3 √2 exp. 3 = 2 3/3= 2-Si m es mayor que n, podemos extraer factores. Para hacerlo, dividimos m/n. el cociente es el exponente del termino que extraemos de la raíz , y el resto es el exponente del numero que dejamos en la raíz:exp. 4 √5 exp. 10 = 5 10/4= 5 8/4 +2/4 5 8/4 · 5 2/4= 5 exp. 2 · 5 ½ = 5 exp. 2 · √5

Intervalos de números reales: los intervalos son conjuntos de números reales que se corresponden con un segmento.Quedan determinados por dos números, llamados extremos.Para identificar un intervalo, indicamos los valores extremos.Pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos, dependiendo si están incluidos o no los extremos.EJEMPLOS:El intervalo abierto (-3,2) es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre -3 y 2 . También podemos expresarlo algebraicamente o con desigualdades de la forma {x E R / -3 < x > 2}.Incluso podemos representar dicho conjunto formado por infinitos números de la forma desde -3 abierto a 2 abierto.

Semirrectas: las semirrectas son conjuntos de números reales determinados por un numero real , llamado extremo. Pueden ser cerradas o abiertas.

EJEMPLOS

-Semirrecta abierta por la izquierda (a, +∞) x > a A abierto hasta + ∞

-Semirrecta cerrada por la izquierda [a,+ ∞) x ≥ a A cerrado hasta + ∞

-Semirrecta abierta por la derecha (- ∞,b) x < b B abierto hasta - ∞

-Semirrecta cerrada por la derecha (- ∞,b] x ≤ b B cerrado hasta - ∞

APROXIMACIONES : cuando un numero tiene muchas cifras decimales no es posible escribir su valor exacto y es muy difícil operar con él. Es conveniente utilizar una aproximación.

Aproximar un numero es sustituirlo por otro, próximo a le, que tenga un numero finito de cifras decimales. La aproximación puede ser por defecto o por exceso si esta es respectivamente, menor o mayor que el numero. El orden de una aproximación indica cual es la ultima cifra.

Podemos aproximar un numero de dos maneras diferentes: redondeo y por truncamiento

-Para redondear un numero a un orden de unidades determinadas, observamos la cifra situada a su derecha: si es inferior a 5 no la variamos, y si es 5 o superior, la aumentamos en una unidad.

2,86339---------2,863 ( redondear a las milésimas )

-Para truncar un numero a un orden de unidades determinadas, sustituimos todas las cifras que quedan a su derecha por cero. 2,86339--------- 2,863 ( truncamiento a las milésimas )

SUMA Y RECTA DE RADICALES: para poder sumar radicales, estos tienen Que ser semejantes. La suma y resta de radicales semejantes es otro radical semejante cuyo coeficiente es la suma o resta de los coeficientes de los radicales. En ciertos casos, tenemos que simplificar algunas raíces para poder sumarlas:√27 + 5 √3 - √300= 3 √3 + 5 √3 – 10 √3= -2 √3√32 + √392 - √200 =4 √2 + 14 √2 -10 √2= 8 √2 PRODUCTO DEL COCIENTE DE RADICALES: si los radicales tienen el mismo índice: exp. n √ a · exp. n √ b =exp. n √ a · b Si los radicales no tienen el mismo índice, reduciremos a índice común para poder efectuar la operación: √2 · exp. 3 √2 exp. 2 · exp. 6 √ 2 exp. 5= exp. 6 √2 exp. 3 · exp. 6 √2 exp. 4 · exp. 6 √2 exp. 5= exp. 6 √2 exp. 3 · 2 exp. 4 · 2 exp. 5= exp. 6 √2 exp. 12= 2 exp. 2= 4