maquinas de fluxo - antonio kozlik junior

7/15/2019 Maquinas de Fluxo - Antonio Kozlik Junior

http://slidepdf.com/reader/full/maquinas-de-fluxo-antonio-kozlik-junior 1/110

MÁQUINAS DE FLUXO

Antônio Kozlik J únior

2010



Índice

1. Equações fundamentais e triângulos 32. Alturas de queda e elevação, potências e rotação 22

3. Grandezas de funcionamento 354. Labirintos 525. Caixas espirais 596. Cavitação 667. Semelhança 82



3

1. Conceito

Toda máquina que transforma energia hidráulica (Eh) em trabalho mecânico (Tm)ou Tm em Eh

Essas máquinas trabalham com fluidos incompressíveis como a água, óleos, etce dependendo da transformação de energia elas são chamadas de TURBINA eBOMBA.

, com variação pouco sensível do peso específico (volume específico) dofluido em escoamento, denominados de MÁQUINA HIDRÁULICA.

No caso particular de fluido que pode variar o volume específico como gás (ar),até o limite inferior a 1000 mm de coluna de água, de diferença de pressãodesenvolvida pela máquina, denominamos VENTILADOR, e neste caso é consideradocomo máquina hidráulica. No entanto, se a compressão é grande, não se podedesprezar a variação do volume específico do gás, e assim a máquina (compressor)deve ser denominada como máquina térmica.

2. Classificação

As máquinas hidráulicas se apresentam em grupos de máquinas constituídos deMOTORES GERADORES.

No primeiro grupo a transformação ocorre da energia hidráulica (Eh) paratrabalho mecânico (Tm) e nele se enquadram as TURBINAS. O segundo, ao contrário,transforma o trabalho mecânico (Tm) em energia hidráulica (Eh

Como exemplo apresentamos um grupo de máquinas de uma instalação debombeamento.

) e neste grupo estão asBOMBAS e VENTILADORES.

Figura 2.1 – Grupo de máquinas.

Neste grupo o motor elétrico é o MOTOR que transforma a energia elétrica emtrabalho mecânico e a bomba é o GERADOR que transforma o trabalho mecânico emenergia hidráulica.

Segundo a equação de Bernoulli as máquinas hidráulicas se classificam em:

-MÁQUINAS DE DESLOCAMENTO-TURBOMÁQUINAS

T

M G

(Motor elétrico) (Bomba)

Ee Eh



4

As máquinas de deslocamento, de acordo com o movimento do órgãoresponsável pela transformação de energias, subdividem-se em:

- ALTERNATIVAS- ROTATIVAS

-MISTAS A esta classe de máquinas pertencem tipos importantes utilizados em

transmissões e controles hidropneumáticos. As turbomáquinas subdividem-se, de acordo com a direção principal do

escoamento em:- RADIAIS- AXIAIS- DIAGONAIS- TANGENCIAIS

Os quatro rotores a seguir exemplificam os tipos segundo a direção principal doescoamento:

Rotor radial

Rotor diagonal

Rotor axial

Rotor tangencial



5

Outra maneira, freqüentemente usada, para classificar as turbomáquinas é deacordo com a transformação de energias, em:

- REAÇÃO- AÇÃO

Nas turbomáquinas de AÇÃO toda energia do fluido é transformada em energiacinética, antes da transformação em trabalho mecânico processado pela máquina. Nasde REAÇÃO tanto a energia cinética como a de pressão são transformadas emtrabalho mecânico e vice-versa.

As turbomáquinas de Ação do grupo MOTORA largamente utilizadas são asturbinas Pelton (tangencial) e Michell (duplo efeito radial). Não existe aplicação práticade turbomáquinas de Ação do grupo GERADORA.

As de Reação do grupo MOTORA mais empregadas atualmente, são as turbinasFrancis (radial ou diagonal), Kaplan e Hélice (axiais) e do grupo GERADORA asbombas e ventiladores (radiais, diagonais e axiais).

3. Equações Fundamentais

3.1. Equação Geral

A equação de EULER desempenha um papel fundamental no estudo dasmáquinas de fluxo. Constitui, pois, a equação básica para o desenvolvimento dasbombas, ventiladores e turbinas. Ela expressa intercâmbio de energia entre o rotor efluido (fluido e rotor).

Consideraremos um rotor de bomba centrífuga de infinitas pás de espessura

infinitesimal, no qual escoa um fluido incompressível, sem atrito, e de forma isenta dechoque na entrada.

Figura 3.1 Rotor radial de bomba

Aplicando o princípio das quantidades de movimentos a linha de corrente “LL”devazão dQ, escoando pelo rotor com uma mudança de direção das velocidades de C 4 eC5

= (5 − 4)

, teremos:

E considerando os momentos em relação ao eixo do rotor.



6

= (55 − 44)

Sendo

dM – momento resultante em relação ao eixo da máquina de todas as forças as

atuantes no motor L4 L5 – braços de momentos das velocidades C4 e C5

= (55 − 44)

resultam integrando aexpressão acima o momento de EULER.

Retirando da figura 3.2 os braços em função dos raios, obtemos:

4 = 4 cos 4 e 5 = 5 cos 5

Figura 3.2 Rotor radial de bomba

e substituindo, vem:

= (555 − 444)

Como P = M:

= = (555 − 444)

Onde = (2n)/60 velocidade angular do rotor



7

Chamando ∞ altura teórica infinita que o rotor com infinitas pás (linhas decorrente iguais), transfere ao fluido e “Q”a vazão por unidade de peso que escoa pelabomba, esta transmitirá ao fluido uma potência:

= ∞

Como as expressões anteriores representam a mesma potência trasmitida aofluido, podemos iguala-las:

∞ = (555 − 444)

e considerando que: =

4 = 4 5 = 5

4 = 44

5 = 55

Resulta substituindo e simplificando:

∞ =1

(55 − 44)

Finalmente, como o escoamento através de um rotor de turbina tem sentidocontrário ao da bomba, resulta:

∞ = ±1

(55 − 44) (E.F.G.)

Sendo o sinal “+”para máquinas geradoras e o sinal “-“ para motoras. Esta últimaexpressão é chamada de equação de EULER ou Equação Fundamental Geral válidapara máquinas radiais e axiais.

A equação fundamental para máquinas axiais é um caso particular da E.F.G.:

Para axiais: 4 = 5 =

Resulta: ∞ = (5 − 4)

3.2. Equação em função das velocidades U, W e C

Do triângulo de velocidade de entrada de um rotor de turbina, deduz-se datrigonometria que:

42 = 4

2 + 42 − 2444

Como: 4 = 44



8

Vem: 42 = 4

2 − 244

Figura 3.3 Triângulo

Ou 44 =1

2(4

2 + 42 − 4

2)

Da mesma maneira para saída:

55 = 12

(52 + 5

2 − 52)

Substituindo na equação de EULER, teremos:

∞ =1

2 (52 + 5

2 − 52 − 4

2 − 42 + 4

2)

E finalmente a Equação de EULER ou Equação Fundamental Geral em funçãodas velocidades dos triângulos de entrada e saída do rotor:

∞ = ±(52− 42

2 + 52− 42

2 + 42− 52

2 ) (1.4)

Valendo o sinal “+”para geradores e p “-“para motores. A altura teórica infinita também pode ser definida pela equação de Bernoulli:

∞ = ±(5 − 4

+5

2 − 42

2 + 5 − 4)

Supondo que 5 − 4 = 0, resulta:

∞ = ±(5−4

+ 52− 42

2 ) (1.5)

Comparando as equações 1.4 e 1.5 resulta:a ALTURA DE PRESSÃO desenvolvida pelo rotor:

∆ = ± 5 − 4

= ±(5

2 − 42

2 +4

2 − 52

2 )



9

e ALTURA DINÂMICA:

∆ = ±(5

2 − 42

2 )

4. Conceitos de ação e reação

É possível a interpretação dos conceitos de AÇÃO e REAÇÃO, em função daexpressão da altura de pressão:

a – motores:∆ =

4− 5

= 0 a máquina é de ação ou pressão constante

∆ =4− 5

> 0 a máquina é de reação

b – geradores:∆ =5− 4

= 0 a máquina é de ação, sem aplicação prática

∆ =5− 4

> 0 a máquina é de reação abrangendo, todas as aplicações

práticas existentes.

5. Equações simplificadas

No dimensionamento das turbomáquinas o projetista procura sempre obter amáxima transformação de energias, e para isto é necessário considerar:

a-motores:5 = 0 (condição imposta pelo projetista)

Esta condição representa que o escoamento na saída da máquina não temcomponente transversal, mas somente na direção do eixo. Com esta condição, resultaa equação simplificada:

∞ =1

44

b-geradores:

4 = 0 (condição devida ao próprio contorno da máquina)

Neste caso o escoamento entra no rotor sempre na direção radial e estasituação só se modificará com a adição de um sistema de aletas na entrada do rotor que causará a alteração na direção da velocidade absoluta na entrada. Desta formafica reduzida a:



10

∞ =1

55

6. Equações para condições reais de escoamento

6.1. Introdução

Das condições impostas para a determinação das Equações FundamentaisGerais no item 1 deste capítulo, é considerado através do rendimento hidráulico quepermite avaliar a perda de pressão na troca de energias pelo rotor. Além do atrito, oefeito produzido pelo número finito de pás, também, deve ser levado em conta nacorreção das equações.

O escoamento para um número infinito de pás conduziu as igualdades

3 = 4 na entrada do rotor, e5 = 6 na saída do rotor

O fluxo ao passar pelo canal é desviado pela pá, esse desvio está representadona figura 6.1 pela curvatura da pá ou pela variação da direção das velocidades relativasdos triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor.

Na fig 6.1 o desvio “∆”é a diferença entre as componentes das velocidadesabsolutas na direção tangencial na entrada e saída do rotor

∆ = (4 = 5)

Como é função da variação entre as componentes 4 e 5, concluímos queo desvio é diretamente proporcional a altura teórica infinita desenvolvida pelo rotor,conforme a E.F.G.



11

Figura 6.1 – Representação do desvio do fluxo

Assim analisaremos as alterações produzidas pelo número finito de pás sobre odesvio do fluxo “∆” considerando, separadamente um escoamento ideal (sem atrito) ecom atrito.

6.2. Escoamento ideal

Esta análise será feita apenas para o fluxo em um rotor axial figura 6.2 por serem os efeitos idênticos aos dos radiais.

O escoamento ao passar pelo rotor axial provoca uma diferença de pressõesentre os lados da pá. Na entrada, devido a essa diferença de pressões, o resultado é amudança de direção de 3 para 4 (3< 4), não ocasionando choque no bordo deataque da pá. Na saída, devido à diferença de pressão e as conseqüentes diferençasde velocidades, aparece o movimento relativo dentro do canal, resultando a mudançade direção das velocidades 5 para 6 (5 < 6).

Desta forma, o desvio provocado pela mudança de direções 3 6 é menor que o desvio entre as velocidades 4 e 5

∆36< ∆45

(ed) = extra dorso da pá (lado de maior pressão)(d) = dorso da pá (lado de menor pressão)

Assim, o número finito de pás com um escoamento ideal causará uma reduçãodo desvio da corrente e, portanto, uma redução na altura teórica

< ∞

Esta conclusão vale tanto para turbinas como para bombas, pois ocomportamento do fluxo é o mesmo nos dois casos.



12

6.3. Influência da viscosidade

Como a direção do escoamento na entrada é rigidamente predeterminada e,portanto, a altura teórica de acordo com a Equação Fundamental, depende somente davelocidade do fluxo de saída, um ângulo de entrada não adequado alterará somente as

condições de entrada do fluxo sem choque. Assim, o efeito da viscosidade não modificará sensivelmente o fluxo de entrada

em turbinas e bombas, com exceção dos rotores com pás bem distanciadas. A análise do escoamento na saída do rotor indica a formação de espaços mortos

devidos ao deslocamento da camada limite na parte convexa da pá. Estes espaçosmortos e a espessura finita das pás provocam um estrangulamento da seção no canaldo rotor, conforme figura 6.3.1

Figura 6.3.1 – Fluxo com atrito em rotor axial de turbina.

Devido ao estrangulamento da seção, a velocidade 5 sofrerá um acréscimopassando para 5′ com conseqüente aumento das componentes 5 e 5. Após asaída cessa a influência do fluido sobre o rotor, permanecendo constante acomponente 5′ igual a 6 e a componente 5′ é diminuída em função doalargamento da seção “6”, passando para 6.

Desta forma, o ângulo do fluxo na saída se reduz, resultando um desvio maior e,portanto, um aumento da altura teórica para turbinas.

> ∞

E para bombas o efeito do deslocamento da camada limite é mais acentuado,devido ao fluxo desacelerado nos canais do rotor, figura 6.3.2, o que produz espaçosmortos mais extensos, resultando alterações idênticas ao rotor de turbina.



13

Fig. 6.3.2 – Fluxo com atrito em rotor axial de bomba.

O desvio para bombas fica reduzido e, portanto, resulta uma diminuição daaltura teórica

6.4. Efeito Final

Para um escoamento real deveremos considerar essas alterações dos desviossimultaneamente. No caso das turbinas essas alterações são praticamente iguais e deefeitos contrários, o que tornam aproximadamente iguais as alturas

= ∞ =1

44

Em rotores com pás distanciadas deve-se considerar no projeto um

sobreângulo, que corrige a falta de orientação do fluxo. Nas bombas os dois desviosdiminuem a altura teórica, provocando uma dupla redução na altura teórica

≪ ∞

sendo

=1

65 e ∞ =1

55

Na prática, para geradores, a obtenção de é feita em função de um fator “a”(a>1) que leva em consideração as alterações citadas. Assim, as alturas teóricas, estãoligadas pela relação

∞ =



14

6.5. Correção de ∞ para

O processo empregado na prática para o cálculo da influência do número finitode pás é o método de Pfleider. Este método calcula o fator “a” através da seguinteequação

= 1 + 2 ′

1

1(45

)2

Onde

4 raio de entrada do rotor 5 raio de saída do rotor Z número de pás′ coeficiente empírico, experimental, variável com 5.

Esse coeficiente pode ser obtido na tabela seguinte:

Valores de ϕ'

β5 20em graus3 5 0 5 0

Bombas c/aletas 0,76,80 ,81 ,85 ,90 ,94

Bombas s/aletas 0,86,90 ,91 ,95 ,00 ,04

Observa-se na tabela que o valor de ′ depende da existência ou não dosistema de aletas ajustáveis. Para bombas com pás radiais, adota-se 5 = 24,transformando a equação em

= 1 +8

3 ′

equação válida para as pás radiais com 4 5 ≥ 0,5.

7. Triângulos para número finito de pás.

Como a redução da altura teórica somente ocorre nas bombas, apresentaremosos triângulos para este caso.



15

7.1. Aresta de sucção.

Uma eventual alteração na entrada é praticamente desprezível, e considerandoque geralmente 4 = 0. A influência na entrada não afeta a altura teórica. O triângulona figura 7.6.1 considera apenas a espessura das pás

Figura 7.6.1 – Triângulo de velocidade de bombas para n° finito de pás

7.2. Aresta de pressão.

O triângulo de velocidades resultante de um escoamento congruente com pá AB5 da figura 7.6.2, se transforma no triângulo de velocidades AB5’. Os vértices “5” e“5’” dos triângulos situam-se em uma paralela a 5, porque, a componente meridiana5 permanece igual. A redução na altura teórica em bombas aparece devido à

redução da componente da velocidade absoluta na direção tangencial, expressa por:

∆ = 5 − 6

Ainda deve ser considerado que os canais, devido a espessura das pás, sofremum estreitamento provocando um aumento da velocidade meridiana dentro do canal dorotor, portanto, logo após o rotor esta velocidade sofrerá uma diminuição, função denão mais existir a influência da espessura das pás, resultando 6 < 5.



16

Figura 7.6.2 – Triângulos para bombas com número finito e infinito de pás.

8. Equação fundamental adimensional.

Conforme analisamos anteriormente, para motores o número “finito” de pás nãoinfluem diretamente sobre a energia por unidade de massa aproveitada pelo rotor, jápara geradores existe essa influência, portanto:

Para motores: ∞ = Para geradores: ∞ =

Sendo a altura teórica transmitida ou absorvida pelo rotor com um númerofinito de pás.

Assim podemos escrever:

= 1 44 (motores)

Para transformarmos a Equação Fundamental Simplificada em EquaçãoFundamental Adimensional substituiremos as velocidades e suas componentes por coeficientes de velocidades conforme definimos em outro capítulo:

=

2 e � =

2

Com este conceito de coeficiente de velocidade e sabendo-se que:

⊾ = (motores) ou = ⊾

4 = 4� 2 4 = 4

� 2 Resulta:

⊾ =

1

4� 4

� 2

Finalmente obtemos a equação fundamental adimensional:



17

⊾

= 4� 42 (motores)

para geradores do mesmo modo, obtemos:

⊾ = 2 ̅55� (geradores)

9. Grau de reação

Como as turbomáquinas são classificadas como de AÇÃO e REAÇÃO éimportante o estabelecimento de um número adimensional representativo do tipo demáquina segundo esta classificação.

Este número é chamado de Grau de Reação e representa a maneira como asenergias são transformadas pelo rotor.

Por definição:

=∆

(motores)

∞ =∆∞

(geradores)

Impondo as hipóteses para motores:

- Canais do rotor de seção constante (4 = 5)- Máxima transformação de energia (5 = 0)

Teremos os triângulos de entrada e saída do rotor:

(entrada) (saída)Figura 9.1 Triângulo de velocidades de turbina.

Como a Altura Teórica pode ser escrita da forma abaixo:

= ∆ + ∆

e substituindo a Altura Teórica na expressão do Grau de Reação, obtemos:



18

=∆

= − ∆

= 1 −

∆

sendo:

∆ = 42

− 52

2 = 42

+ 42

− 52

2 = 42

2

=1

44

Resulta para motores:

= 1 − 4

24ou = 1 −

4�2 4�

da mesma forma chegaríamos para bombas a:

∞ = 1 − 5

25ou ∞ = 1 −

5��2 5�

Através da relação que define o grau de reação também podemos concluir.1-Se ∆ = 0 o grau de reação é zero e a máquina é de ação.2-Se 0 < ∆ ≤ o grau de reação esta compreendido entre 0 e 1 a máquina

é de reação.

10. Tipos de pás de geradores radiais

As pás com simples curvatura de geradores radiais em função do ângulo desaída podem ser:

a- Pás curvadas para trás, quando 5 < 90° b- Pás radiais, quando 5 = 90° c- Pás curvadas para frente, quando 5 > 90°

Na figura 10.1 representamos quatro pás enquadradas nos três casosmencionados:



19

Figura 10.1 Tipos de pás

Notamos nos triângulos de saída da figura 10.1 que a velocidade absoluta “5”cresce da pá “a” para a pá “c”, aumento que produz como conseqüência umadiminuição do rendimento total do gerador:

> >

11. Exercícios

1-A fim de se estudar a viabilidade da utilização de uma turbina em outra queda,pede-se a determinação da altura de queda e da vazão da mesma, conhecendo-seapenas os seguintes dados:

-potência eficaz 889CV-rendimento total: 0,90-rendimento hidráulico:0,94

-altura do rotor na entrada: 0,112 m-rotação:300 rpm-ângulo formado pelas vel. Tangencial e absoluta na linha de corrente média na

entrada: 45° -coef. De estrangulamento na entrada: 0,90Com a fórmula da potência obtemos a relação entre a vazão e a altura:



20

889 =1000

750,90

Resultando = 74,08

A equação fundamental para turbinas é: = (1 )44⁄

Substituindo = ⊾, teremos:

⊾

= (1 )44⁄

No triângulo de entrada, obtemos a relação:

4 = 44

Como 4 = 4 5° 45° = 1, resulta: 4 = 4 4 pode ser obtido pela equação da continuidade:

= 4444

Como: 4 = 4 = /(444) e 4 = (4)/60

Substituindo em ⊾ = (1 )44⁄ , resulta:

=

1

⊾

6044

= 5,38

Resolvendo o sistema de equações: = 74,08 = 5,38

Resulta:5,38 = 74,08

= 3,71 3/ e =74,08

3,71= 19,97 mca

2- O cálculo do rotor de uma bomba para ser completado, depende apenas dadeterminação da altura da pá na saída do mesmo.

Os valores já conhecidos são:

-vazão: 0,23 3/ - diâmetro do rotor na entrada: 190 mm- diâmetro do rotor na saída: 380 mm



21

- ângulos construtivos da pá na linha corrente média, respectivamente naentrada e na saída: 24° 32°

- altura da pá na entrada do rotor: 56 mm- coef. De estrangulação na entrada e saída do rotor: 0,90- altura teórica infinita desenvolvida pelo rotor: 22 mca

Pede-se calcular o valor faltante.Resp. 5 = 0,01 m

3- Conhecendo- se os dados do rotor, abaixo relacionados, de uma turbinaFrancis, pede-se determinar a vazão e a altura de queda.

- rendimento total e hidráulico: 0,79 e 0,81- potência eficaz: 26CV- diâmetro do rotor na entrada:0,40 m- altura do rotor na entrada: 0,07m- coef. De estrangulamento na entrada e saída 1- dados na linha de corrente média:

- relação na entrada, entre as velocidades tangencial e meridiana: 2,5- ângulo construtivo da pá na entrada: 90°

Resp. = 0,29 3/ e = 8,52 mca



22

12. Introdução

É de fundamental importância para o dimensionamento e estudo docomportamento das Máquinas Hidráulicas o conhecimento das grandezas

que intervém no seu funcionamento. Assim, podemos dizer que essas máquinas têm seu funcionamentodefinido através de três grandezas distintas, consideradas comocaracterísticas fundamentais das Máquinas Hidráulicas:

H – Altura de queda ou elevação [m.c.a.]Q – Vazão [m3/s]N – Rotação da máquina [rpm]

As duas primeiras tem uma conceituação, toda ela, calçada nosprincípios da Mecânica dos Fluidos, e a última é decorrente dos princípios da

Física aplicados ao estudo das M.H.. Além das grandezas fundamentais, são importantes as grandezas

derivadas, como a potência hidráulica, potência eficaz e os coeficientesadimensionais básicos para os dimensionamentos.

Em decorrência do exposto, procuraremos conceituar analiticamenteas grandezas citadas, menos os coeficientes adimensionais que serãoestudados em outros capítulos do programa.

13. Altura de queda

A conceituação da altura de queda de um aproveitamentohidroelétrico, figura 13.1, composto de turbina de reação e demaisequipamentos complementares, é feita através do balanço de energias(Bernoulli) entre as seções de entrada e saída da máquina. Convém notar que a seção de saída “s” foi considerada no canal de fuga, ficando o tubo desucção como parte integrante da máquina, por se tratar de elemento queparticipa da transformação de energia.

Assim, a altura de queda é definida como a diferença de energias, por unidade de massa, entre as seções de entrada “e” e saída “s” da máquina.

Aplicando Bernoulli para ambas as seções “e” e “s”, e adotando comoreferência o nível de jusante, obtém-se:

Seção “e”: H e =pe

γ ± ae +

V e2

2g+ Z e

Seção “s”: H s =ps

γ +

V s2

2g+ Z s



23

Figura 13.1 – Aproveitamento hidroelétrico de uma turbina de reação.

Onde:

H e, H s - energias por unidade de massa na entrada e saída damáquina;

peγ

- altura de pressão obtida no manômetro de mola, na seção “e”;

psγ

- altura de pressão na superfície livre do canal de fuga, na seção

“s”;

V e2

2g- altura de velocidade na seção “e”;

V s22g

- altura de velocidade na seção “s”;

ae - correção da leitura do manômetro, relativa a distância do

instrumento ao centro da seção “e”. O sinal da correção depende da posiçãodo manômetro.

Z e, Z s - altura de posição das seções “e” e “s” relativas ao nível dereferência.

Efetuando o balanço de energias, obtém-se:



24

H e − H s =pe − ps( )

γ +

V e2 −V s

2( )2g

+ Z e ± ae − Z s

Como na seção “s” a pressão atuante é igual à pressão atmosférica,

ps γ = pa γ e, como as pressões consideradas são relativas, a altura depressão na saída é igual a zero. Nesta mesma seção, Z s = 0 , poisconsideramos o ponto da seção no nível jusante.

Resulta, então: H e − H s =pe

γ +

V e2 −V s

2( )2g

+ Z e ± ae

A diferença “

H e − H s” é conhecida como altura de queda para turbinasde reação, sob a qual a máquina trabalha:

H = pe

γ + V e

2

−V s2

( )2g

+ Z e± a

e (2.1)

ou

H =pe

γ +

V e2 −V s

2( )2g

+ y (2.2)

y = Z e ± ae é a altura medida desde o nível de jusante até o eixo domanômetro.

Convém ressaltar que a Eq. 2.2 permite a obtenção da altura de quedade instalações em funcionamento.

Na Fig. 13.1, representamos graficamente a altura de queda (Eq. 2.1ou Eq. 2.2) com todas as suas parcelas. Essa maneira de determinação de“H”, é chamada de processo “manométrico” por alguns autores.

Por outro lado, é necessário o conhecimento da altura de queda paraprojetarmos a turbina, e neste caso, é feito em função da altura bruta e dasperdas de carga contínuas e localizadas na tubulação forçada:

H = H b − h pe −V

s

2

2g

(2.3)

onde:

H b - altura bruta ou desnível geométrico entre os níveis de montante(na barragem) e jusante (no canal de fuga) obtida no local da queda;

h pe - perda de carga (contínua e localizada) até a seção de entrada da

turbina, determinada por equação de perda em função do comprimento,diâmetro e velocidade (adequada) na tubulação forçada.



25

V s

2

2g- altura de velocidade no canal de fuga.

Como, às vezes, não se conhece a priori o valor de V s22g e, como ele

é pequeno relativamente à altura bruta, é considerado igual a zero. Assim, aEq. 2.3 passa à forma:

H = H b − h pe (2.4)

Este processo de cálculo de “H” é denominado de “Analítico” e suarepresentação gráfica consta na Figura 13.1.

Da mesma maneira que obtivemos a altura de queda para a máquinade reação, vamos determinar “H” para uma usina de alta queda equipadacom turbina de ação, Figura 13.2.

Figura 13.2 – Usina hidroelétrica com turbina de ação .

Aplicando Bernoulli nas seções de entrada “e” e saída “s”, obtemos asalturas correspondentes:

H e =pe

γ ± ae +

V e2

2g+ Z e

e

H s=

ps

γ

+V s

2

2g

+ Z s



26

Neste caso a seção de saída “s” é considerada no ponto em que o jato(bipartido) – após transferir sua energia para o rotor – é desviado e, por gravidade, chega ao canal de fuga.

A diferença entre as energias nas seções “e” e “s” fornece a altura dequeda:

H e − H s =pe − ps( )

γ +

V e2 −V s

2( )2g

+ Z e ± ae − Z s

Analisando a equação acima e a Figura 13.2, podemos dizer que:

ps

γ =

pa

γ = 0 (o jato está em contato com a atmosfera)

V s

2

2g = 0 (altura de velocidade pequena relativamente à altura depressão na entrada da turbina).

Z e = Z s (caso particular em que as duas seções se situam na mesmaposição)

Desta forma, resulta a altura de queda para a usina da Figura 13.2:

H =p

e

γ +

V e

2

2g± ae (2.5)

14. Altura de elevação

Para estabelecermos o conceito de altura de elevação,consideraremos uma instalação de bombeamento com bomba “não afogada”,isto é, ela estará instalada em um ponto acima do nível de montante(aspiração), Figura 14.1.

Nessas instalações, a seção de saída está localizada na flange desaída e, a de entrada, na flange de entrada da bomba, deixando o tubo desucção de pertencer à máquina. Desta forma as perdas de carga datubulação de sucção não são consideradas como perdas internas da bomba,contrariamente ao que ocorre com as turbinas. Assim, a bomba somente teráa responsabilidade de fornecer energia para vencer essas perdas.

Uma vez definidas as posições da entrada e saída, a altura deelevação vale a diferença entre as alturas nestas seções:

H = H e − H s

Aplicando Bernoulli na entrada e saída, obtemos:

H e = pe

γ ± ae + V e

2

2g + Z e



27

H s =ps

γ ± as +

V s2

2g+ Z s

Figura 14.1 – Instalação de bombeamento com bomba “não afogada”.

teremos:

H = pe − ps( )

γ +

V e2 −V s

2( )2g

+ Z e± a

e( )− Z s± a

s( (3.1)

onde:

H - altura de elevação da bomba [m.c.a.]

p γ - altura de pressão manométrica [m.c.a.]

V 2 2g - altura de velocidade [m.c.a.]

Z - altura geométrica [m]

a – altura de instalação do instrumento [m]

“s” – índice representativo da entrada

“e” – índice representativo da saída



28

Os sinais (

± ) da correção “a” da leitura de altura de pressãodependem da posição do instrumento de medida, relativamente ao centro daseção.

Quando, nas instalações de bombeamento, o tubo de ligação dovacuômetro contiver apenas “ar”, a correção “as

” do vacuômetro será igual a

zero. Isto pode ser conseguido através da abertura da torneira de três viasinstalada no medidor, que deixará entrar ar neste tubo. Assim, a Eq. 3.1 podeser escrita:

H =pe − ps( )

γ +

V e2 −V s

2( )2g

+ y (3.2)

sendo y = Z e ± ae( )− Z s, para as = 0, a distância entre o centro do

manômetro e o centro da seção de entrada da bomba. Como foi consideradopara turbinas, este processo de obtenção da altura é chamado de

“manométrico”.Pelo exposto, vimos que essas grandezas são determinadas através

da medição na instalação em operação, porém na escolha da máquina ouprojeto, não dispomos da instalação e a altura de elevação é obtida emfunção da altura estática ou bruta mais as perdas de carga nas tubulações desucção e recalque:

H = H est

+ h ps

+ h pe

(3.3)

onde:

H est - altura estática de sucção, é a distância entre os reservatórios desucção (NM) e elevação (NJ);

h p - perda de carga contínua e localizada na tubulação de

sucção/recalque, obtida pela equação universal de perdas em função davazão e comprimento das tubulações.

As vezes, é necessária a determinação da altura do centro da seçãode entrada da bomba até o nível de aspiração. Da figura 14.1 retiramos essaaltura:

hs = H s − h ps (3.4)

onde:

hs - altura estática de sucção [m]

H s - altura manométrica de sucção [m.c.a.]

h ps

- perda de carga na tubulação de sucção [m.c.a.]



29

As equações Eq. 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 estão graficamente representadasna figura 14.1.

Veremos agora a altura de elevação para uma instalação debombeamento com bomba “afogada”, figura 14.2.

Aplicando Bernoulli nas seções de saída e entrada da bomba,

obtemos por diferença a altura de elevação:

H = pe − ps( )

γ +

V e2 −V s

2( )2g

+ Z e± a

e( )− Z s± a

s( )

Figura 14.2 – Instalação de bombeamento com bomba “afogada”

Convém frisar que, neste caso, apresentamos uma instalação cujapressão na entrada é positiva, no entanto, ela poderá ser tanto positiva comonegativa, dependendo da contrapressão sobre a bomba e a perda de cargana tubulação de sucção.

Considerando que a pressão na entrada é positiva, conforme mostra a

figura 14.2, a correção “as

Levando em conta essa correção, o nível de referência passando pelocentro da seção de entrada (

” será diferente de zero.

Z s = 0), e a figura 14.2, escrevemos:

H =pe − ps( )

γ +

V e2 −V s

2( )2g

+ y

sendo y = Z e ± ae( )− ±as( ), valor que dependerá da posição dos

instrumentos de medida de pressão. No caso os dois são manômetros. Os

dois procedimentos utilizados para a definição da altura de elevação são



30

chamados de “manométrico” para as Eqs. 3.1 e 3.2, e “analítico” para as Eqs.3.3 e 3.4.

15. Vazão

A altura de queda ou elevação e a “vazão” são as principais grandezasfundamentais no processo de transformação de energias das MáquinasHidráulicas. A Mecânica dos Fluidos define a vazão como o volume de fluido,na unidade de tempo, que passa através de uma seção transversal damáquina:

Q =V e

t (4.1)

onde:

Q - vazão [m3

/s]

V e - volume escoado [m3

]

t – tempo [s]

A vazão é determinada com base no princípio da conservação demassa:

dQ =V ⋅ dA = K (4.2)

Considerando que o movimento através da máquina é permanente e aincompressibilidade do fluido, resulta a fórmula prática da Equação daContinuidade:

Q =V ⋅ A = K (4.3)

Onde:

A - área da seção transversal ao escoamento

V – velocidade média normal à seção considerada

A Eq. 4.3 é aplicável à seções com superfícies planas na entrada esaída das máquinas e também para não planas no seu interior.

16. Potências

Sabemos da física que potência é o trabalho realizado por uma força,na unidade de tempo, sendo as mais importantes para as Máquinas

Hidráulicas a:



31

• Potência hidráulica e• Potência eficaz

Aplicando o conceito físico, definimos que a potência hidráulica é oproduto do peso do fluido que escoa pela máquina, na unidade de tempo (

Q⋅ γ ), pela altura de queda ou elevação. Assim, podemos escrever:

Ph = Q⋅ γ ⋅ H [Kgm/s] (5.1)

Usualmente, obtemos essa potência em cv ou KW, dividindo a Eq. 5.1respectivamente por 75 ou 102.

É natural que ocorram perdas hidráulicas no interior das M.H. e perdasmecânicas originadas pelo atrito mecânico que ocorrem externamente entreas suas partes fixas e girantes.

Assim, nem toda a energia cedida ou recebida pelo fluido pode ser transformada em trabalho mecânico no eixo da máquina.

Desta forma a potência eficaz é assim escrita:

Pef = Ph ± P (5.2)

onde:

Pef

- potência eficaz no eixo da máquina

Ph - potência hidráulica

P - potência perdida

O sinal “+” é válido para geradores e “-“ para motores.Sendo a determinação destas perdas bastante difícil, é usual adotar-se

uma outra grandeza denominada rendimento total, a qual permite avaliar essas perdas:

Ph = Pef ⋅ η t

±1 (5.3)

Onde:

η t - rendimento total

O duplo sinal do expoente, nesta expressão, tem o mesmo significado,refere-se à aplicação do rendimento para máquinas motoras (-) e parageradoras (+), o que adoraremos em toda a matéria.

Essas perdas e rendimentos serão objeto de estudo mais detalhadoem outro capítulo do programa.



32

17. Rotação

Para máquinas geradoras (bombas e ventiladores), a rotação éfornecida pelo motor de acionamento, o qual, se for elétrico, opera sempre

com rotações pré-estabelecidas (assíncronas). No caso das máquinasmotoras (turbinas), correntemente são acopladas a alternadores que devemtrabalhar com rotações síncronas.

Essa rotação síncrona é determinada pela equação:

f =n⋅ n p( )60

n p →número de PARES de pólos do alternador (5.4)

Onde:

f - freqüência da rede

]

n p - número de pares de pólos do alternador

n - rotação

Em geral para os nossos sistemas interligados de energia elétrica, afreqüência é de 60c/s, resultando:

n =3600

n p

(5.5)

Por outro lado, a potência pode ser expressa em função da rotação:

P =1

9,55

⋅ M t ⋅ n

onde:

M t - momento torçor no eixo da máquina

1

9,55- constante de conversão da rotação de rad/s para rpm

como: M t = F ⋅ b

resulta: P =1

9,55

⋅ F ⋅ b⋅ n

sendo:

F - força aplicada ao rotor



33

b - braço de alavanca do momento torçor

Considerando que para uma determinada queda, a potência e,conseqüentemente, a força aplicada ao rotor são constantes, resultando oseguinte:

b⋅ n = K

Analisando essa constância, concluímos que a rotação é inversamenteproporcional ao tamanho da máquina, definindo-a como grandezafundamental para a escolha da máquina. Tendo em vista essa dependência,a máquina de alta rotação exige alternador, ou motor acionador, menores emais econômicos. Porém, com o aumento da rotação poderão surgir problemas mecânicos no funcionamento das turbomáquinas.

18. Exercício

Solicita-se a determinação do desnível entre o nível de aspiração e odo reservatório elevado, e o afogamento necessário da bomba para vazão de0,020 m3

/s, conhecendo-se os seguintes dados:

1. Altura de pressão na saída da bomba: +40 m.c.a.2. Altura de pressão na entrada da bomba: +2 m.c.a.3. Diâmetro na sucção: 0,1 m4. Diâmetro do recalque: 0,075 m5. Perda de carga na sucção: 1,22 m.c.a.6. Perda de carga no recalque: 4,00 m.c.a.

H est = 39,22 − 4,00 −1,22 = 34 m

A determinação do afogamento é feita em função da altura estática desucção hs

(Eq. 3.4):

hs= H

s− h

ps

Como a altura manométrica de sucção é obtida pela soma da altura de

pressão mais a altura de velocidade na entrada da bomba, obtemos:

H s =p

s

γ +

V s

2

2g+ Z s + as = 2,00 +0,33+ 0,3 = 2,63 m.c.a.

e

hs = 2,63+1,22 = 3,85 m.c.a.

7. Croqui da instalação:



34

Aplicando Bernoulli ou a Eq. 3.2:

H = pe − ps( )

γ +

V e

2 −V s

2( )2g

+ y

Calculamos as várias parcelas da equação:

V s =

0,020

As

= 2,55 m s → V s

2

2g= 0,33 m.c.a.

V e =0,020

Ae

= 4,54 m s → V

e

2

2g=1,05 m.c.a.

y = Z e ± ae( )− Z s ± as( )

y = 0,50 ± 0,30( )− 0 ± 0,30( )= 0,50 m

Substituindo os valores obtidos na Eq. 3.2, resulta:

H = 40 − 2 +1,05 − 0,33+ 0,50 = 39,22 m.c.a.

Em função de H e das perdas de carga na sucção e recalquecalculamos pela Eq. 3.3 a altura estática pedida:

H = H est + h pe + h ps

H = 34 +1,22 + 4,00 = 39,22 m



35

19 – Grandezas de funcionamento

= 3,50 e = 2,253/ 20 – TIPO DE INSTALAÇÃO

A adoção da instalação de turbine depende do estudo de viabilidade entre acaixa espiral ou caixa aberta

. Até 4,0 m, para pequenas turbinas é viável ainstalação com caixa aberta.

21 – POTÊNCIAS

21.1 – POTÊNCIAS HIDRAULICA

ℎ =(. .)

75=

(2,25.1000.3,50)

75= 105

21.2 – POTÊNCIA NO EIXO

O rendimento total, para turbinas pequenas, deve ser adotado entre osvalores de 0,75 e 0,85, e o rendimento mecânico entre 0,87 e 0,96.

Adotaremos: = 0,81 e = 0,90

ℎ = =

0,81

0,90= 0,90

= .ℎ



36

Assim resulta: = 0,81.105 = 85,05

22 – ESCOLHA DO TIPO

Altitude de instalação: 750 m

Temperatura da água: 25 ᵒ C

Altura barométrica

hb = 10

−0,0012. HL

hb = 10 − 0,0012.750 = 9,1 mca

hv

Com base na expressão acima organizamos a tabela que permitirá a escolha daturbina:

obtido do gráfico de altura de vaporização e peso específico da água

hv = 0,28

=1/25/4

. = 4,768. 10−12 .4 − 9,46. 10−9.3 + 7,593. 10−6.2 − 1,555. 10−3. + 0,165

hsm áx = hb − hv − σlim . H = 8,82− σlim .3,5

n H

P n

ef

s ⋅=45

21

= 4,768. 10−12 .4 − 9,46. 10−9.3 + 7,593. 10−6.2 − 1,555. 10−3. + 0,165

n n σs hlim rpm

smax - - m

400 770 0,827 5,9360 693 0,685 6,4300 577 0,507 7,0240 462 0,352 7,5

Segundo G. Hutarew a faixa de melhor rendimento está entre ns de 500 a 600 paraturbinas axiais.



37

Escolhemos então a de ns

Em função do gráfico de Meerwarth intitulado “Alturas máximas de quedas nominaisde turbinas Kaplan (Hélice) e número de pás” do F.G.T. obtemos:

= 577 com rotação de n = 300 rpm, uma vez que asalturas de sucção resultaram maiores que a altura de queda, portanto semproblemas de cavitação.

Z=6

23 – ROTAÇÃO UNITÁRIA1 =√ =

300 3,5= 160,36

24 – VAZÃO UNITÁRIA

1 = √ =2,25 3,5

= 1,20

25 – COEFICIENTES DE VELOCIDADES

Com o ns = 577 no gráfico de Quantz/Meerwarth intitulado “Elementos para pré-

dimensionamento de turbinas Francis e Kaplan” do F.G.T obtemos:

= 1,719;

= 0,690

4 = 0,530;

2 = 0,304;



38

26 – DIÂMETRO EXTERNO

= 84,6.

1

= 84,6.1,719

160,36

= 0,906

27 – DIÂMETRO INTERNO

= . = 0,690

1,719 . 0,906 = 0,364

28 – ALTURA DO SISTEMA DIRETOR

2 =0,072.12. = 0,072.

1,2

0,304.0,906= 0,314

29 – DIÂMETROS E COEFICIENTES DE VELOCIDADESINTERMEDIÁRIOS

Para a determinação dos diâmetros intermediários adotamos quatro turbinasparciais, resultando a vazão:

=4

=2,25

4= 0,563/

A velocidade meridional sem considerar as espessuras das pás será:

4 = 4.

.(

2

− 2)

= 4.2,25

.(0,906

2

− 0,364

2)= 4,15

/

4 = 4 2.. = 4,15 2.9,81.3,50= 0,501

Para o cálculo dos diâmetros intermediários, utilizamos a equação da continuidade:

+1 = 2 − 4. . 4

Aplicando a equação, resulta:



39

1 = 0,906 = 0,691 2 = 0,552

Com diâmetros e a equação abaixo, são calculados os coeficientes de velocidades:

= ..60. 2.. 1(1) = 1,527 () = 1,309 2(2) = 1,046



40

30 – TRIANGULOS DE VELOCIDADES

Considerando Cm4 = 0,531 e ηh

η h = 2⋅ u⋅ ∆cu

=0,90 obtemos os elementos do triângulos develocidades:

u =π ⋅ D⋅ n

60

=

10° =

5° =

0° =

∆ ̅ =ℎ

2.� ∞ = 4� − ∆ ̅

2− (4, ()

∞ = 4

(∞)

e 1 m 2 iD (m) 0,907 0,806 0,691 0,552 0,364U (-) 1,719 1,527 1,309 1,046 0,690 ΔCu (-)/2 0,131 0,147 0,172 0,215 0,326β∞ (º) 19,6 21,7 25,0 31,2 47,8W (-)∞ 1,584 1,435 1,254 1,025 0,700



41



42

31 – ELEMENTOS DA PÁ

Hipótese de cálculo:Essas hipóteses permitem obter um formato de pá mais adequado e elementos dapá variando de forma contínua da secção “e” até “i”.

a – li = 0,56.le (adotar no intervalo 0,50 a 0,65)

b- (te/le) = 0,95 (obtido no gráfico abaixo em função do ns=577)



43

− á = 0,039 e á = 0,019

Essas espessuras podem ser obtidas de três maneiras:

c.1 – Por cálculo através da Resistência dos Materiais

c.2 – Através de bibliografia especializada

c.3 – Por comparação com outros projetos

d – Adotar variação exponencial de ymáx

e – Adotar a variação linear de “l”: = 1 + 2.

:

á = 3.4.

Obtenção das constantes das equações adotadas:

=

.

= 0,475

= /0,95 = 0,500 2 = ( − )/( − ) = 0,4052

1 = − 2. = 0,1325 4 = ( ln (á )− ln (á ))/( − ) = −1,3243

3 = ( ln (á )−4 .) = 0,0651



44

Seções e 1 m 2 i

D (m) 0,907 0,806 0,691 0,552 0,364

′

= ℎ/(�.�∞) ( - ) 0,331 0,411 0,548 0,839 1,863 = ./ ( - ) 0,475 0,422 0,362 0,289 0,191 = 1 + 2. (m) 0,500 0,459 0,412 0,356 0,280

t/l ( - ) 0,950 0,920 0,877 0,812 0,681 = ′ . / ( - ) 0,314 0,378 0,481 0,682 1,270

Perfil (escolhido) 587 587 587 624 624

á

=

3.

4. (m) 0,019 0,022 0,025 0,030 0,039

á/ 0,038 0,048 0,061 0,084 0,139 = (á/)/(á/) 0,580 0,733 0,947 0,563 0,881 = − (á ⁄ )

/0,092 1,4 1,6 2,0 3,7 7,7

= ∞ − 18,1 20,1 23,0 27,5 41,5′ = .cos () 0,475 0,431 0,380 0,316 0,210 2⁄ = 114,591. ′ /2. 30,0 30,6 31,5 32,8 33,0



45

32 – GRÁFICO DE VERIFICAÇÃOO objetivo deste gráfico é verificar se os valores calculados da pá variam de formacontínua relativamente às seções.

33 – ANGULOS DAS ALETAS AJUSTAVEIS

33.1 – Entrada

O ângulo de entrada pode assumir valores diferentes dependendo do tipo deinstalação e forma da aleta.

a – Instalação com caixa espiral:

αe é função dos dados da caixa espiral



46

b – Instalação com caixa aberta:

b.1 – αe

b.2 – α

é igual a 90ᵒ (escoamento sem perda).

e

Neste dimensionamento adotaremos a solução b.2 α

depende do ângulo de saída da aleta e seu eixo é retilíneo (escoamento

com perda).

e

33.2 – Saída

será determinado no desenhodo sistema diretor.

O ângulo de saída depende do momento de velocidade do rotor:

=

60... ℎ(2.

.

)

= 0,984

2/

() = (2.. 2. . 0,95)= 1,16 ∴ = 50°

34 – DIMENSOES DAS SEÇÕES DA PÁ

á =

.

á

á. (

⁄)

Exemplo para o ponto x = 30 na seção “e”: = 0,30.0,500 = 0,150 = 0,580.0,500.6,55/100 = 0,019

Seção “e” GO 587:

x (mm) 0 50 150 250 350 450 500y (mm) 2 12 19 18 13 7 3

Seção “1” GO 587:

x (mm) 0 46 138 229 321 413 459y (mm) 2 14 22 20 15 8 3

Seção “m” GO 587:

x (mm) 0 41 124 206 289 371 412

y (mm) 2 16 25 24 17 9 4



47

Seção “2” GO 587:

x (mm) 0 36 107 178 249 320 356y (mm) 8 24 30 27 18 7 1

Seção “i” GO 587:

x (mm) 0 28 84 140 196 252 280y (mm) 10 31 39 34 23 9 1



48

35 – GABARITOS DOS PERFIS DAS PÁSEscala 1:x



49

36 – PROJEÇÃO E VISTA LATERAL DO ROTOR

Escala 1:x

37 – SISTEMA DIRETOR – ALETAS AJUSTÁVEIS

37.1 – Aletas Ajustáveis

Para máquinas pequenas (Hélice ou Kaplan) adotar preliminarmente:

1 ⁄ = 0,75 0,85



50

Em função do recobrimento das aletas, resultou 22ᵒ30’ entre aletas e:

= 360 22⁄ ° 30′ = 16

37.2 – Perfil da aleta



51

38 – PLANO MERIDIANO ESQUEMÁTICO DA TURBINA

As dimensões com foram obtidas através da comparação com outros projetossemelhantes.



52

39. LABIRINTOS

39.1. INTRODUÇÃO

No capítulo referente a perdas vimos que existe na máquina hidráulicauma fuga de fluido, devida a diferença de pressões entre a entrada e saída dorotor. Essa fuga ocorre através dos labirintos, que são os espaços mínimosentre o rotor e as pastes fixas da máquina. A função dos labirintos é minimizar a fuga de fluido e impedir o atrito sólido entre as partes fixas e rotor.

O escoamento na entrada (3) ou na saída (6) do rotor, conforme sejaturbina ou bomba, perde uma parcela de vazão que divide-se em duas partes e . A parcela passa pelo labirinto “ ” para fora da máquina. Essaparcela poderá ser muito pequena, dependendo do tipo de labirinto situadoentre o eixo e a caixa da máquina (engaxetamento e selo mecânico). A outra

parcela , para turbinas, passa pelo labirinto “ ” escoando para o tubo desucção, sem participar da troca de energias. Para bombas recircula entre asaída e entrada do rotor, passando pelo labirinto “ ”. Na figura 39.1mostramos os labirintos e as direções das parcelas de fuga de fluido.

Figura 39.1 – Labirintos

39.2. FORMAS DE LABIRINTOS

Existem várias formas de labirintos, dependendo da pressão e naturezado líquido com que a máquina vai trabalhar.

Os labirintos são formados por anéis de desgaste renováveis, alojadosna parte fixa da máquina ou no rotor ou em ambos. Esses anéis permitemdiminuir a folga e substituição deles quando gastos, sem que esse desgasteafete diretamente as partes fixas e móveis (rotor) da máquina. Os anéis dedesgaste são, normalmente, de materiais menos resistentes que o da máquina.

Na figura 39.2 apresentamos alguns labirintos com os anéis de desgaste



53

Figura 39.2 – Formas de labirintos com anéis de desgaste.



54

39.3. CÁLCULO DA FUGA

Como a parcela da vazão de fuga é muito pequena ou nula, a fuga de

fluido será determinada através de expressão semelhante a dos medidores devazão.

= . . . . � 2 . . ∆ (3.1)

Onde, - vazão que recircula na bomba ou a vazão perdida na turbina;

- coeficiente empírico função do número de Reynolds e da forma dolabirinto;

D - diâmetro do labirinto

e - vão do labirinto;

∆ - diferença de altura de pressão atuante sobre o labirinto

O valor de pode ser obtido, para labirintos lisos, pela expressão

=1

� 0,02 . ⁄ + 1,5(3.2)

Onde é o comprimento do labirinto.

O valor do vão “e” deve ser menor possível, a fim de permitir umaestanqueidade, e maior que os possíveis deslocamentos do eixo, segundodados experimentais, podemos adotar

= (0,5 1,5). 1000⁄

Onde D deve ser considerado em mm.

Na figura 39.3 mostramos o vão e o comprimento do labirinto

Figura 39.3 – Vão e comprimento do labirinto



55

A diferença de altura de pressão atuante sobre o labirinto depende daaltura de pressão entre a entrada e saída da máquina

∆ = ±5

2 − 42 + 4

2 − 52

2 .

Valendo o sinal (+) para bombas e (-) para turbinas, menos a altura deenergia, provocada pela rotação do fluido contido entre o rotor e a parte fixa damáquina. Neste local o fluido tem junto ao rotor e a parte fixa da máquin. Nestelocal o fluido tem junto ao rotor a mesma velocidade tangencial, e junto a partefixa a velocidade tangencial é nula. Assim, para efeito de cálculo o fluido temem termos médios, a velocidade tangencial 2⁄ , resultando

∆ℎ = ±(ℎ 5 − ℎ 4) = ±[(5 2⁄ )2 − (5 2⁄ )2] 2⁄ = ±(52 − 4

2)/8

A diferença entre as alturas de pressão

∆e

∆ℎ é que atuará sobre o

labirinto

∆ = ∆ ± (ℎ 5 − ℎ 4)

Valendo (-) para bombas e (+) para turbinas.

Uma vez conhecidos todos os elementos da Eq. 3.1, podemosdeterminar a vazão de fuga .



56

40. EXERCÍCIOS

4.1 – Determinar a vazão de fuga e o rendimento volumétrico de uma

turbina que opera com 12 m.c.a de queda e vazão de 0,665 3/, conhecendo-

se os seguintes dados:

- velocidade tangencial na entrada do rotor: 11,95 m/s;

- velocidade tangencial na saída do rotor: 9,05 m/s;

- velocidade relativa na entrada do rotor: 4,46 m/s;

- velocidade relativa na saída do rotor: 10,20 m/s

O vão é obtido em função dos dados experimentais:

= (0,5 1,5). 1000⁄

Adotaremos para o diâmetro médio de 370 mm

= 1,5 . 370/1000 = 0,555 mm

O comprimento do labirinto é a soma dos comprimentos parciais:

= 10 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35

Com os calores de “e” e “ ” obtemos através da Eq. 3.2 o coeficienteempírico:

=1

� 0,02 . 35 0,555⁄ + 1,5= 0,602

A altura de pressão remanescente atuante sobre o labirinto é obtida pelaexpressão:

∆ = ∆ ± (ℎ 5 − ℎ 4) (1)

Onde



57

∆ =(11,952 − 9,052)

19,62+

10,22 − 4,462

19,62= 7,393 . . .

E (ℎ 4 − ℎ 5) =11,952− 9,052

78,48= 0,776 . . .

Substituindo os valores calculados na equação (1) obtemos:

∆ = 7,393 − 0,776 = 6,617 . . .

A vazão de fuga é determinada pela Eq.3.1:

= 0,602 . .0,37 .0,555 . 10−3 . � 2 .6.617 = 0,0034 3/

Com a vazão de fuga o rendimento volumétrico pode ser obtido

= −

=

0,665 − 0,0034

0,665= 0,99



58

4.2 – Determinar para a bomba, com os dados abaixo relacionados avazão de fuga e o rendimento volumétrico.

- rotação: 3.450;

-diâmetro de entrada do rotor: 110 mm;

-diâmetro de saída do rotor: 220 mm;

-altura do rotor na saída: 8,5 mm;

-vazão: 0,025 3/;

-rendimento hidráulico: 0,8;

-adotar para o vão o valor médio;

-desprezar a espessura das pás do rotor;

-canais do rotor de seção constante;

-croqui do labirinto;



59

41. INTRODUÇÃO

A condição básica do escoamento é a distribuição uniforme da vazão emtoda a circunferência de entrada e saída do sistema diretor. Esta distribuição é

obtida através da caixa espiral. O cálculo da caixa espiral devido as forçascentrífugas e Bernoulli, deve ser feito com base numa velocidade média nãoconstante para todas as seções da espiral. Assim, a velocidade médiadiminuirá com o aumento da seção da caixa espiral, desde que a condiçãobásica seja mantida.

Como existe, simetria do fluxo em relação ao eixo na entrada ou saídado rotor, também na caixa espiral esta condição deverá permanecer. Esteraciocínio conduz, para cada ponto da caixa espiral, que a equação do vórticevale:

Vu . r = K (1.1)

Ou seja, que o produto da componente tangencial da velocidade peloraio é constante.

A caixa é utilizada na maioria das máquinas hidráulicas, com exceçãodas turbinas de baixa queda em que é possível sua instalação em caixa abertae em bombas e ventiladores axiais.

O procedimento a seguir vale para bombas, turbinas e ventiladores.

42. EQUAÇÃO GERAL

Consideraremos o corte segundo um plano meridiano localizado sob um

ângulo qualquer θ em relação ao início da caixa espiral de uma bomba,conforme figura 42.1a.

Figura 42.1 - Planos de bomba

No plano meridiano, figura 42.1b, consideraremos a área elementar = ∙

Onde:bes

dr – altura da área elementar correspondente a uma pequena variação

do raio r

– largura da caixa espiral



60

Nesta área elementar a velocidade perpendicular é de acordo comaEquação 1.1.

=

E assim poderemos escrever a vazão elementar que passa pela área

elementar considerada:

= ∙ ∙ �

A vazão parcial correspondente ao ângulo θ passar á entre os limites r’’ eR e será obtida pela integração entre esses limites.

= ∫ "

= ∫ "

∙ (/) (2.1)

Como existe uma proporcionalidade entra a vazão qualquer e seuângulo θ definidor da posição da seção, podemos escrever:

= (

360° ) ∙ (2.2)

Onde Q é a vazão total que passa pela caixa espiral eθ oângulomedido em graus. Igualando-se as equações 2.1 e 2.2, obtemos

= 360° ∫

"

∙ (2.3)

A equação 2.3 define a variação deθ em função de r, ou seja, a formada caixa espiral, uma vez escolhida a variação de bes em função de r. Para asmáquinas sem aletas, caso comum dos bombas, a determinação do vórtice K,considerando α4 e α5 = 90o

= 5 ∙ 6

, é feita pela expressão:

E substituindo Cu6

= (1/) ∙ 6 ∙ 5

, obtido pela equação fundamental

Resulta = 9,55 ∙ /

Para o caso em que existe o sistema diretor com aletas entre a caixaespiral de seção circular e o rotor, o cálculo de K é feito em função davelocidade na entrada ou saída da caixa espiral. Esta velocidade paramáquinas de um estágio vale aproximadamente:

= 0,10 0,20 . (2)1/2 para bombas centrífugas,

= 0,15 0,25. (2)1/2 Para turbinas,

Valores que crescem com a vazão Q. Com esta velocidade econsiderando que na maior seção da caixa espiral (θ = 360 o), podemos



61

escrever 2.ρe360 = DE’, sendo ρe o raio da seção nesta posição e DE’ o seudiâmetro, figura 42.2, impondo valores para DE’, através de cálculo iterativoobteremos o valor de DE

’ que permitirá o cálculo de K.

Figura 42.2 – Caixa espiral de bomba no plano normal

Supondo a velocidade CE atuante no ponto 4 da caixa espiral da figura42.2, e impondo um valor de DE’ entre r” e DE, como primeira tentativa, pode-se comprovar a condição 2.ρe360 = DE

’, através da equação que será deduzidano item a seguir.

43. CAIXA ESPIRAL COM SEÇÃO CIRCULAR

Este formato der seção é muito utilizado para turbinas e bombas. Para aaplicação da equação 2.3 é necessário o estabelecimento da variação de bes

em função de r. Através da figura 43.1.1 definimos esta variação.

Figura 43.1.1 – Caixa espiral com seção circular



62

ρe

2 = (bes

2)

2

+ (r − x)2

Ou

bes = 2 ∙ [ρe

2 − (r − x)2]1/2

Considerando que o limite inferior da caixa espiral é o ponto maispróximo do eixo e substituindo-se a expressão de bes

θ = 360° �K

Q . 2 [re

2 − (r − x)2]12.

dr

r

x+r

x−r

na equação 2.3,obtemos:

Resolvendo a integral, resulta:

θ = 720°

K

Q. π[x

−(x2

−ρ

e2) (2.4)

Como x = r” + ρe

a equação 2.4 passa a ser escrita da seguinte forma:

θ = 720° K

Q . π{r" + ρ

e− [r"(r" + 2ρ

e)]

1/2} (2.5)

No dimensionamento é preferível a determinação do raio ρe. Assim, éconveniente isolar da equação 2.5 ρe

ρe

= θ°

B + [2. r"(θ°/B)].1/2 (2.6)

, passando a equação para a seguinteforma:

Sendo

B = 720°. π.K/Q (turbinas)

O valor de B é obtido em função de Q = 2.π.r 5.b5.Cm5 e K = r 5.Cu5

B = 360°.Cu5

b5. Cm5

parabombas:

A equação 2.6 para θ = 360º permite obter o raio da seção máxima dacaixa espiral:

ρe360

= Q

2.π.K + [r". Q/(π. K)]

1/2(2.7)

44. CAIXA ESPIRAL COM SEÇÃO RETANGULAR

Este formato de seção é largamente utilizado em caixas espirais de

ventiladores, onde a largura bes é constante. Esta constância pouco influi norendimento da máquina, devido a acomodação do fluido, no caso ar ou gás, na



63

seção retangular. Normalmente para redução de tamanho da máquina (rotor +caixa espiral) usa-se bes = 3 a 5.b5

. Apresentaremos na figura 44.2.1 os tiposcomuns de seções de caixa espiral.

Figura 44.2.1 – Diferentes tipos de seções de caixa espiral

O tipo “c” é uma caixa espiral denominada de interna, ocupando menor espaço possível, o seu dimensionamento além das equações que serádesenvolvida a seguir, necessita de outras condições que não serãoapresentadas aqui.

Considerando bes = constante, Q = 2.π.r 5.b5.Cm5 e K = r 5.Cu6

° =2. . 5. .6

2. . 5. 5. 5

"

a equação2.3 é escrita da seguinte forma:

Simplificando, e integrando, obtemos

° = .6

5. 5

. ln /"

Ou

5 .5 .6.°

= /"

Fazendo: ° = 2..

Sendo “N” o número adotado de seções da caixa espiral e “i” um númeroque varia de 0 a N. Determinando a velocidade Cm5 em função da vazão, Cu6

através da Equação Fundamental e adotando um número “N” de seções,podemos obter o contorno externo da caixa espiral pela equação:

= ". 5

.

5

6 .(2.

.

)

(2.8)



64

45. EXERCÍCIOS

Determinar os raios das seções da caixa espiral de uma turbina Franciscom as seguintes características:

- altura de queda: 6,0 mca;- raio inicial da caixa espiral: 0,155m;- vazão: 0,070 m3

Inicialmente calcularemos a velocidade na entrada do injetor da caixaespiral, adotando um coeficiente da velocidade teórica de 0,205.

/s.

= 0,205(2..)1/2 = 0,205(2.9,81.6)1/2 = 2,22 /

Com a velocidade CE

= (

4. .)

1/2

= �4 × 0,07

× 2,22 = 0,20

determinamos o diâmetro de entrada do injetor.

Para o cálculo do diâmetro de entrada da caixa espiral impomos asseguintes condições:

- a velocidade no ponto 4 da figura 2.2 é igual a CE

- o valor inicial de D;

E’ deve ser adotado entre valores de r” e DE

Utilizando a Equação 2.6 e as expressões B = 720º.π.K/Q e K = (r”+D

.

E’), obtemos por cálculo iterativo o valor de DE

D

’:

E K’ B (1) (2) ρ 2ρe e

0,16 0,6993 22,596 0,0159 0,0702 0,0861 0,172

0,17 0,7215 23,314 0,0154 0,0691 0,0845 0,169

0,169 0,7193 23,242 0,0155 0,0693 0,0848 0,169

- (1)= θo

- (2)= (2.π. θ/B

o/B)Obtido a condição D

1/2

E’= 2. ρe

θ

= 0,169 m, podemos calcular os raiosda caixa espiral para qualquer valor de θ.

θo o (2.r”. θ /23,242 o /23,242) ρe

90 0,0039 0,0346 0,0385180 0,0077 0,0490 0,0567270 0,0116 0,0600 0,0716360 0,0155 0,0693 0,0848

Determinar o contorno da caixa espiral de seção retangular para umrotor de ventilador com as seguintes características:

- altura do rotor na saída (b5

- componente da velocidade absoluta na direção tangencial logo após asaída do rotor (C

): 18 mm;

u6

- largura da caixa espiral (b): 82,7 m/s ;

es

- raio inicial da caixa espiral: 340 mm;

): 100 mm (valor adotado);

- velocidade meridional na saída do rotor (Cm5): 35,0 m/s.



65

Aplicando a equação 2.8 e considerando N = 8, resulta:

= ". 2 5(

56)

Substituindo os valores dados na equação acima, obtemos:

/" = 0,0598 = 1,0616

Com esta expressão determinamos os raios que definem o contorno dacaixa espiral:

Pontos (i) θo R/r”(graus) R (mm)0 0 1,000 3402 90 1,127 3834 180 1,270 431

6 270 1,432 4868 360 1,614 549



66

46. INTRODUÇÃO

O funcionamento das bombas e turbinas, de acordo com asespecificações de projeto ou exigências da instalação, depende principalmente

das condições de sucção. Essas condições podem provocar o fenômenodenominado cavitação. Segundo Bernoulli, a ocorrência do fenômeno éfreqüente em locais de alta velocidade. Portanto, pode ocorrer cavitação empontos localizados, independentemente das condições de sucção.

Este fenômeno consiste na formação de bolhas de vapor e gases, emregiões de mínima pressão no interior de uma máquina hidráulica. As bolhasaparecem no escoamento quando é atingida a pressão de vaporização dolíquido na temperatura do escoamento, o decréscimo desta “pressão mínima”favorece o aumento do volume das bolhas, provocando a diminuição daeficiência hidráulica. Quando essas bolhas alcançam regiões de mais elevadapressão elas condensam violentamente, liberando o espaço ocupado pelas

bolhas onde o líquido é impelido por sua pressão, produzindo exageradoschoques.

47. ALTURA DE SUCÇÃO

Nas instalações de bombas e turbinas duas alturas de sucção podemser definidas: altura estática de sucção válida para bombas e turbinas. Elarepresenta a diferença entre um ponto do rotor (normatizado pela ABNT, fig.47.1) e o nível de aspiração, para bombas ou de jusante para turbinas. A outraé a altura manométrica de sucção, somente para bombas, definida como a

energia total relativa que atua na entrada da bomba, medida em metros decoluna líquida.

A ABNT, a fim de evitar questionamentos entre compradores efabricantes de máquinas hidráulicas, estabeleceu através de normas comodeve ser medida essa altura estática de sucção.

A figura 47.1 apresenta varias posições de máquinas e a respectivaaltura estática de sucção.



67

Figura 47.1 – Alturas estáticas de sucção

Aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2 da figura 47.2, obtemos:

p2/ ϒ + V2/2g + Z2 = p1/ ϒ + V2/2g + Z1 – h

ps

E considerando:

Figura 47.2 – Bomba não afogada

Z1 = - hs

h(altura estática de sucção)

ps = perda de carga na sucção



68

Z2

V

= 0;

12/2g = 0 e p1

Resulta p

/ϒ = 0.

2/ϒ + V22/2g = -hs – h

Conforme definição anterior, podemos escrever a altura manométrica desucção:

ps

Hs = p2/ϒ + Vs2

/2g (processo manométrico)

Ou Hs = - (hs + hps

) (processo analítico)

Para instalação com bomba afogada:

Figura 47.3 – Bomba afogada

p2/ϒ + V22/2g + Z2 = p1/ϒ + V1

2/2g + Z1 - h

ps

Considerando:

Z2 = 0; p1/ϒ = 0; V12/2g = 0 e Z1 = h

s

resulta

p2/ϒ + Vs2/2g = - hs - h

ps

ficando definida a altura manométrica de sucção pelos dois processos:

Hs = p2/ ϒ + V22

H

/2g (manométrico)

s = hs-hps

Nas duas instalações das figuras 47.2 e 47.3 ficou bem evidenciado aimportância da altura estática de sucção (h

(analítico)

s), a qual permite a determinação deHs pelo processo analítico, e define a posição de instalação da bomba,

relativamente ao nível de aspiração (montante). Tanto para bombas como para



69

turbinas o hs

define a posição de instalação das máquinas, o que resulta aimportância desta grandeza.

48. COEFICIENTE DE CAVITAÇÃO E NPSH

Considerando a instalação da figura 47.1 para estabelecermos a energiadisponível absoluta. Essa energia é representada pela energia total absolutaacima da pressão de vaporização na entrada da bomba. Com o objetivo do nãoatendimento da pressão mínima, é necessário que a energia disponível sejamaior do que a correspondente a de energia de vaporização hv = pv

/ ϒ:

Hsd > h

v

Pela definição a energia relativa na entrada será, então:

Hsd = p2/ ϒ + V22/2g - pv

/ ϒ (3.1)

Aplicando Bernoulli entre os pontos (1) e (2) da figura 47.1 resulta:

p2/ ϒ + V22/2g + Z2 = p1/ ϒ + V1

2/2g + Z1 - hps

(3.2)

Para que as alturas de energias sejam absolutas é necessário que:

p1/ ϒ = pb/ ϒ = h

b

Combinando as equações (3.1) e (3.2) e considerando que:

V12

Z

/2g = 0;

2

Z

= 0;

1 = - hResulta:

ps

Hsd = hb – hv – hs – hps

(3.3)

Onde:

Hsd

h

– energia disponível absoluta na entrada da bomba acima dapressão de vaporização;

b

- altura barométrica local;

hg

H

– altura medida no barômetro em mm de Hg;

L – altitude local no nível de jusante/montante;



70

hv

h

– altura de vaporização obtida em função da temperatura do líquidobombeado;

s

h

– altura estática de sucção;

ps – perda de carga na tubulação de sucção.

Definindo σlim = Hsd / H como coeficiente de cavitação de THOMA, eainda considerando que para a mínima energia disponível acima de hv

, a alturamanométrica deverá assumir um valor limite, a equação para bombas, será:

Hslim = hb – hV – σ lim

.H (3.4)

É de uso corrente o NPSH (Net Positive Suction Head), ele representa aenergia disponível absoluta na entrada da bomba acima da pressão de

vaporização.Como Hsd e o NPSH definem a mesma energia disponível acima de h v

,podemos escrever:

Hsd = NPSH e σlim

A expressão para bombas se transforma em:= NPSH/H

Hslim = hb – hv

– NPSH (3.5)

A condição para que a bomba funcione livre de cavitação é necessárioque, para uma determinada vazão:

NPSHd ≥ NPSH

Sendo:

NPSH = energia disponível absoluta requerida pela bomba;NPSHd

NPSH= energia disponível absoluta fornecida pela instalação.

d = hb – hv – hs – hps (3.6)

No cálculo do NPSHd

Considerando que H

deve-se considerar o sinal correspondente daaltura de sucção, como positivo (+) abaixo e como negativo (-) acima do nívelde aspiração.

s = hs + hps

a equação (3.5) passa a ser escrita soba forma:

Hslim = hb – hv – hps

– NPSH (3.7)

Para turbinas a altura manométrica máxima de sucção é igual a alturaestática máxima de sucção, porque as perdas de carga na sucção são dainteira responsabilidade da turbina, resultando a equação para este tipo demáquina:

hslim = hb – hV –σ lim

.H (3.8)



71

A determinação do coeficienteσ e do NPSH, teoricamente não éprecisa, porque depende de vários fatores de difícil obtenção, isto fez com quepesquisadores e fabricantes obtivessem σ e NPSH através de experimentos etestes em modelos reduzidos. Adota-se normalmente σ lim

Para turbinas o aspecto da curva obtida, é:

e NPSH de 15 a 30%maior do que o correspondente a queda pré-fixada nas grandezas

consideradas nos testes.

Figura 48.1 – Curva de η t

= f ( σ )

σ i

σ

= Coeficiente início de cavitação

c

= Coeficiente crítico de cavitação

Os valores de σlim

recomendados para turbinas FRANCIS e HÉLICE(KPLAN) podem ser obtidos de gráficos ou fórmulas, apresentaremos apenas afórmula de MEERWARTH, válida para ns

σ

de 160 a 800:

lim = 4,678E-12.ns4 – 9,460E-9.ns

3 + 7,593E-6.ns2 – 1,555E-3.ns

+0,165

Para bombas a curva resultante do teste tem o mesmo aspecto da curvapara turbinas:

Figura 48.2 – Curva de H = f (NPSH)



72

Os valores do NPSH são obtidos nas curvas características da bombafornecidas pelo fabricante da turbomáquina, conforme curva da figura 49.4.

Como NPSH é igual a σ lim

a) Bombas radiais e axiais:

.H, pode-se também obter o seu valor atravésde fórmulas empíricas em função da rotação específica referida a potência:

STEPANOFF : NPSH = 2,20.E-4.ns4/3

ESCHER-WISS: NPSH = 2,16.E-4.n

.H

s4/3

b) Bombas axiais:

.H

STANDARDS OF HIDRAULIC INSTITUTE

NPSH = 2,05.E-4. ns4/3

.H

As equações 3.7 e 3.8 permitem a determinação da posição daturbomáquina, relativamente ao nível de aspiração (montante) para bomba e ao jusante para turbina.

Analisando a Eq. 3.7 é possível concluir:hslim = hb – (hV + hps

Quando h+ NPSH)

b> (hV + hps

Resulta h+ NPSH)

slim

> 0

O que indica que a bomba poderá produzir uma depressão equivalente adiferença entre hb e (hV + hps

h

+ NPSH). Neste caso a bomba deverá ser instalada, com uma altura máxima, acima do nível do reservatório de aspiraçãoe, quando:

b< (hV + hps

resulta: h+ NPSH)

slim

isto indica que a bomba somente poderá operar com uma determinadacontrapressão equivalente a diferença entre (h

< 0

V + hps + NPSH) e hb

Da mesma forma a Eq. 3.8 determina a posição da turbina em relação

ao nível de jusante, sua analise definirá as duas posições possíveis:

. Nestasituação a bomba deverá ser instalada, com uma altura mínima, abaixo donível do reservatório de aspiração.

hslim = hb – (hV +σ lim

.H)

quando hb> (hV + σ lim

resulta h.H)

slim

> 0

o que significa que a turbina devera ser instalada, com uma alturamáxima, acima do nível de de jusante e quando

hb< (hV + σ lim

resulta h.H)

slim

< 0



73

Indicando que a turbina deverá ser instalada, com uma altura mínima,abaixo do nível de jusante, provocando na saída da turbina uma contrapressãoque elevará a pressão neste local.

49. EFEITOS DA CAVITAÇÃO

A implosão das bolhas poderá causar sérias erosões no metal(EROSÃO CAVITAL), ruído, vibrações e a queda brusca das grandezascaracterísticas de funcionamento da máquina. Com a diminuição da pressão nointerior da máquina o coeficiente de cavitação “σ” ten de a zero, fazendo comque as bolhas de vapor cresçam formando eventualmente nuvens de bolhas.Isto afeta o desempenho hidráulico, o rendimento cai e quando a extensão dacavitação é grande a queda é violenta, esse ponto é freqüentemente chamadode “COLAPSO”, conforme figura 49.1.

Figura 49.1 – Curva de η t

= f ( σ )

Funcionando a máquina sob tais condições (abaixo deσ I

Uma das maneiras de se avaliar a extensão da cavitação nas máquinas,é medindo os pesos perdidos por erosão cavital.

), próximo daszonas de implosão o metal é submetido a grandes choques, provocando aerosão no rotor. Esta erosão é agravada simultaneamente por efeitoseletroquímicos.

O gráfico a seguir mostra a evolução dos pesos perdidos em função dotempo em que a máquina foi submetida à cavitação:



74

Figura 49.2 – Evolução de pesos perdidos na cavitação

No tempo de incubação a perda de peso é pequena, acentuandorapidamente com o desprendimento de pedaços de metal.

Para um desempenho econômico das bombas e turbinas, elas devem

operar o mais próximo possível do ponto de cavitação, mais sem correr o riscode queda do rendimento ou erosão cavital.Eventualmente, as máquinas podem ser forçadas a operar com

cavitação, neste caso é usual construir o rotor com materiais resistentes comoaço puro ou ligas de alumínio e bronze.

A erosão poderá ocorrer também em máquinas hidráulicas que operamcom óleo, sistemas de força e válvulas, porém não com tão graves efeitoscomo na água.

Na temperatura e pressão normal a água contém 2% de ar e o óleo10%. A presença de ar nas bolhas tende a amortecer os choques provocadospela cavitação, razão pela qual no óleo os efeitos são amortecidos.

O efeito da cavitação nas características de funcionamento das bombaspode ser visualizado através da curva do rotor de uma bomba centrífuga, comrotação constante, figura 49.3.

Figura 49.3 – Curva característica H = f (Q)

Na curva observa-se que, com a abertura progressiva do registro norecalque, e a bomba funcionando com valores não adequados de hs ou h ps ouhv

Finalmente, apresentamos na figura abaixo as curvas características deuma bomba, na qual podemos ver que ela requer “X” metros de energiaabsoluta NPSH acima de h

, a altura de elevação nos pontos críticos A ou B ou C, começa a diminuir eem seguida cai bruscamente. Neste ponto a vazão deixaria de aumentar, nem

com maior abertura do registro. Nas bombas diagonais e axiais a queda dealtura de elevação não é tão brusca como nas bombas radiais. Além da quedabrusca da altura de elevação e diminuição da vazão, o rendimento tambémsofre uma queda.

v

a fim de operar livre de cavitação, com umadeterminada vazão “Q”.



75

Figura 49.4 – Característica de bomba

50. CASOS TÍPICOS DE INSTALAÇÕES

A. Turbina não afogada hslim

> 0

Figura 50.1 – Turbina instalada acima do nível de jusante

B. Turbina afogada hslim< 0



76

Figura 50.2 – Turbina instalada abaixo do nível de jusante

C. Bomba não afogada (reservatório aberto) hslim

> 0

Figura 50.3 – Bomba instalada acima do nível de aspiração

D. Bomba afogada (reservatório aberto) hslim< 0



77

Figura 50.4 – Bomba instalada abaixo do nível de aspiração

E. Bomba não afogada (reservatório fechado) hslim

> 0

Figura 50.5 – Bomba instalada acima do nível de aspiração

F. Bomba afogada (reservatório fechado) hslim< 0



78

Figura 50.6 – Bomba instalada abaixo do nível de aspiração

Observamos que as bombas e turbinas não precisam, necessariamenteserem instaladas na máxima ou mínima altura de sucção calculada, masobservar estes valores máximos e mínimos é necessário conforme as

condições locais e tipo de instalação da turbomáquina.Para as turbinas devemos considerar que com a instalação na h slim

aaltura de pressão na entrada da máquina fica diminuída. Desta forma a turbinadeverá recuperar mais energia na saída do rotor, o que levaria a umaproveitamento um pouco menor da energia disponível, devido ao rendimentode recuperação do tubo de sucção.

51. EXERCÍCIOS

1) A Usina Hidroelétrica do Salto Hidra, tendo em vista a grande variação

do nível jusante, é dotada de uma comporta basculante em seu canal defuga, com o fim de manter em qualquer época do ano as condiçõesótimas de sucção. Com o funcionamento da referida usina, em umadada época do ano, constatou-se que a turbina, para a vazão nominalde 300 m3

• Altura nominal de queda: 12 m.c.a.;

/s e altura estática de sucção negativa de 0,50m , somenteproduzia a potência de 35.000 C.V., muito aquém da nominal. Face apotência produzida, pergunta-se a causa, conhecendo-se os seguinteselementos:

•

Rotação nominal: 80 rpm;• Temperatura da água: 20o

• Altitude local: 1000m;

C;

• Rendimento total: 90%.

Como a turbina está produzindo menos potência é possível queas condições de sucção não estejam atendidas, portanto devemoscalcular a altura estática limite de sucção no ponto nominal e comparar com a altura estática de funcionamento.

Com a equação 3.8 calculamos:h

slim= h

b– h

V–σ

limh.H

b= 10 – 0,0012 x 1.000 = 8,8 m.c.a.



79

hV

Para a obtenção o σ

= 0,24 m.c.a. (obtido no F.G.T. pág. 21 em função datemperatura)

lim é necessário o cálculo de n s

n

:

s = Pefn

1/2

/Hn

5/4

Pef = 1.000.Qn.Hn...../75 = 1.000 x 300 x 12 x 0,90 / 75 = 43.200 CV).n

Comparando-se a altura estática de sucção de funcionamento e a limitemínima admitida pela turbina obtemos a causa:

hSfunc = - 0,50m <hslim

o afogamento da turbina é insuficiente, portanto ela está cavitando.= - 0,80m

2) Uma bomba centrífuga deve trabalhar em uma instalação que exige:

• A altura de elevação nominal: 20 m.c.a.;

• Vazão nominal: 100 m3

• Rotação da/h;

• Rendimento total : 0,65;

• Temperatura da água: 20o

• Altitude local: 900m;C;

• Perdas de carga na sucção: 1,0 m.c.a.

Pede-se a altura estática limite de sucção, para o bomfuncionamento da bomba.

Calculamos inicialmente a altura manométrica de sucção:Usando a Eq. 3.7:hslim = hb –hv – hps

Em função da altitude local, obtemos: – NPSH

hb = 10 – 0,0012.HL

em função da temperatura, retiramos do gráfico do F.G.T. na pág.21 a altura de vaporização:

= 10 – 0,0012 x 900 = 8,92 m.c.a.

hv

a potência eficaz:

= 0,24m.c.a.

Pef = 1.000 x 20 x 0,028/(75 x 0,65) = 10,0 CV.Para o cálculo de NPSH, determinamos o ns

n

, considerando asgrandezas nominais da máquina:

s = (Pef 1/2/H5/4).n = (101/2/205/4

Com base no n) x 3.450 = 258

s

NPSH = 2,16.E-4. ne na equação da Escher-Wiss, obtemos:

s4/3

Então,.H = 2,16 x 10-4 x 2584/3 = 7,09 m.c.a.

hslim = 8,92 – 0,24 – 1,0 - 7,09 = 0,59 m



80

A bomba poderá, no máximo, ser instalada 0,59 m acima do nívelde aspiração.

3) Uma bomba instalada em uma indústria, trabalha bombeando águalimpa a 15oC e viscosidade cinemática de 1.E-6 m2

Caso ela ocorra, pede-se para verificar se a alteração do diâmetroda tubulaçãode sucção de 4” para 5” solucionará o problema, já queexiste em quantidade suficiente no estoque de tubos de ferro fundido,bem como cotovelos de 90º raio lngo na entrada da bomba e uma

válvula de pé na extremidade mergulhada no reservatório de aspiração.

/s, desde um

reservatório cujo nível dinâmico encontra-se a 1,40m abaixo do eixo dabomba, até outro que distribue o líquido a váriso pontos da fábrica. Paraa vazão de 25 L/s o NPSH requerido pela bomba é de 3,56 m.c.a. Apressão barométrica do local onde está instalada a indústria é de 698mm Hg. Por motivo de reforma das instalações, haverá necessidade dealterar a altura estática de sucção de 1,40m para 3,00m, devendo ser verificado se nesta situação mais desfavorável, não ocorrerá cavitação.

• Rugosidade do tubo de ferro fundido de 4”: 0,000610 m;• Rugosidade do tubo de ferro fundido de 5”: 0,000122 m.

Para verificar se épossível a alteração de hs, deve-se comparar oNPSHd

No cálculo do NPSHda nova situação com o NPSH requerido pela bomba.

d

NPSHusamos a Eq. 3.6:

d=hb – hv – hs – hEm função da leitura do barômetro, determinasmos:

ps

hb = (10,33/760).hg

em função da temperatura do líquido bombeado obtemos na pág.21 do F.G.T.:

= (10,33/760) x 698 = 9,49 m.c.a.

hv

o cálculo da perda de carga é feito pela equação:

= 0,17 m.c.a.

hps = L (Lv/Ds).Vs2

cálculo do número de Reynolds:

/2g

Rey = (Vs/Ds)/10-6

= (3,18 x 0,1)/10-6

= 3,2 x 10

5

A rugosidade relativa será:

Ds

/K =0,1/0,000610 = 163

Com o número de reynolds e a rugosidade relativa obtemos, napág. 28 do F.G.T o coeficiente de atrito:

f = 0,033

o comprimento virtual (Lv) será a soma do comprimento da

tubulação com o equivalente do cotovelo raio longo e com ocomprimento equivalente da válvula de pé.



81

comprimento da tubulação: 4,0 mcomprimento equivalente do cotovelo raio longo: 2,1 mcomprimento equivalente da válvula de pé: 23,0 m

Portanto,

Lv

= 4,0 + 2,1 + 23,0 = 29,1 m

Entrando com os valores acima na equação de perda, obtemos:

hps

= 0,033 x (29,1/0,1) x 0,52 = 4,99 m.c.a

O valor do NPSHd para hs

= 3,0 m, será:

NPSHd

= 9,49 – 0,17 – 3,0 – 4,99 = 1,33 m.c.a.

Comparando o NPSHd

com o NPSH:

NPSHd

= 1,33 mca < NPSH = 3,56 mca

Concluimos que a bomba cavitará para esta nova altura estáticade sucção.

Como o resultado não atende as necessidades, deveremosrecalcular o NPSHd

para a tubulação de 5”, da mesma forma acima:

hb

h= 9,49mca;

v

h= 0,17mca;

s

V= 3,0 m;

s

R= 2,04 m/s;

ey= 2,6 x 105

D;

s

H/K = 1024 => f=0,021;

ps

= 1,31 mca.

NPSHd = 9,49 – 0,17 – 3,0 – 1,31 = 5,01 mca

Comparando NPSHd

Concluimos que a substituição da tubulação de 4” para 5”resolverá o problema da instalação.

= 5,01 mca > NPSH = 3,56 mca



82

52. Modelos reduzidos de Máquinas Hidráulicas

Para determinar o comportamento de um protótipo de máquinahidráulica a partir de resultados obtidos experimentalmente em um modelo

reduzido construído em uma escala geométrica qualquer, há que se fazer inicialmente as seguintes considerações:

a) O modelo há de ser geometricamente semelhante ao protótipo.E evidente que, se esta condição não for cumprida, a comparação de

resultados entre modelo e protótipo é impossível.

b) O modelo há de ser dinamicamente semelhante ao protótipo.

Para que seja possível uma comparação de resultados entre modelo eprotótipo, os fluxos ou linhas de corrente, em ambos, também devem ser

semelhantes, o que implica em se determinar a relação das demaisgrandezas envolvidas no fenômeno, como, por exemplo, velocidades,acelerações, forças, etc.

53. Teoria das Máquinas HidráulicasGeometricamente Semelhantes

53.1. Semelhança Geométrica

Consideremos duas máquinas hidráulicas geometricamentesemelhantes MH`` e MH`, trabalhando sob alturas de queda ou elevação H``e H` respectivamente, e com diâmetros D`` e D`. A relação entre osdiâmetros será λ = ′′ D ′ D , o que implica em λ

2 = ′′ A ′ A . A relação chama-serazão de semelhança Cinemática.

53.2. Semelhança Cinemática

Considerando semelhantes os triângulos de velocidades traçados apartir dos pontos homólogos M`` e M`, situados sobre as pás de duas

máquinas hidráulicas MH`` e MH` geometricamente semelhantes, tem-se:

K =′′U

′U =

′′W

′W =

′′C

′C



83

FIGURA 53.2.1 – Máquinas geometricamente semelhantes

A relação K chama-se razão de semelhança cinemática e é constantepara qualquer posição homologa dos pontos M`` e M`. Aplicando a equaçãode EULER (ou Equação Fundamental das Máquinas Hidráulicas) às duas

máquinas hidráulicas, consideradas, por exemplo, como motoras, tem-se:

2 g ′ H − ′φ 1( )= ′C 42 − ′W 4

2 − ′U 42( )− ′C 5

2 − ′W 52 − ′U 5

2(

2 g ′′ H − ′′φ 1( )= ′′C 42 − ′′W 4

2 − ′′U 42( )− ′′C 5

2 − ′′W 52 − ′′U 5

2(

′′ H − ′′φ 1( )= K 2 ′ H − ′φ 1( )

Por ser, genericamente, H t =η h ⋅ H ou H t = H −φ 1( ) e, lembrando que:

1) H`` e H` são as alturas de queda;2) φ`1 e φ``1

são as perdas internas, de origem puramente hidráulica,podendo ser consideradas proporcionais ao quadrado dasvelocidades.

′′φ 1 = const . ′′C 2 e ′φ 1 = const . ′C 2

′′φ 1 = K 2 ⋅ ′φ 1 por ser K =′′C

′C

substituindo, resulta:

′′ H − ′′φ 1 = K 2 ⋅ ′ H − K 2 ⋅ φ 1, ′′ H − K 2 ⋅ ′ H = − K 2 ⋅ φ 1 + K 2 ⋅ φ 1

′′ H − K 2⋅ ′ H = 0 e, K =

′′ H

′ H

1 2

53.3. Igualdades dos Rendimentos

Retornando ao teorema de Euler, tem-se:

′′ H t =1

2 g ′′C 42 − ′′W 4

2 + ′′U 42( )− ′′C 5

2 − ′′W 52 + ′′U 5

2( )[ ]

′ H t =1

2 g ′C 42 − ′W 4

2 + ′U 42( )− ′C 5

2 − ′W 52 + ′U 5

2( )[ ]

Sendo H t =η h ⋅ H , resulta:

′′η h

=1

2 g ⋅ ′′ H ′′C 4

2 − ′′W 4

2 + ′′U 4

2

( )− ′′C

5

2 − ′′W 5

2 + ′′U 5

2

( )[ ]



84

′η h =1

2 g ⋅ ′ H ′C 42 − ′W 4

2 + ′U 42( )− ′C 5

2 − ′W 52 + ′U 5

2( )[ ]

A relação entre os numeradores é K 2, que é a mesma que a dosdenominadores, concluindo-se então que:

′η h = ′′η h

Este resultado pode ser extendido aos rendimentos totais ′η h e ′′η h dasduas máquinas hidráulicas, porque eles são obtidos multiplicando-se osrendimentos hidráulicos pelos rendimentos mecânicos ′η m e ′′η m, os quais sãomuito próximos da unidade. Em conseqüência, praticamente, tem-se:

′η t = ′′η t

54. Escalas de semelhança

A semelhança de duas máquinas hidráulicas MH` e MH`` é finalmentecaracterizada por dois coeficientes e por uma igualdade entre osrendimentos:

λ − razão de semelhança geométrica

K − razão de semelhança cinemática

′η t = ′′η t

O coeficiente λ pode ser fixado arbitrariamente e o coeficiente Kdepende das alturas de queda ou elevação sob as quais irão funcionar asduas máquinas. Como a queda do modelo, a ser construído, vai ser fixada deconformidade com as disponibilidades técnicas do laboratório, fica implícitoque o coeficiente K também pode ser fixado arbitrariamente.

Este tipo de semelhança em que o projetista tem dois graus deliberdade – fixação dos coeficientes λ e K – recebe o nome particular desemelhança de Combe-Rateau e permite a obtenção das seguintes escalas:

1. De velocidades:

′′U = ′′w ⋅ ′′ R com ′′w =π ⋅ ′′n

30

′U = ′w ⋅ ′ R com ′w =π ⋅ ′n

30

Dividindo membro a membro, resulta:

′′U

′U = ′′n

′n⋅ ′′ R

′ R, ou K = ′′n

′n⋅ λ



85

′′n = ′n ⋅ K

λ (3.1)

2. De vazões:

Genericamente, tem-se: ′′Q = ′′C ⋅ ′′ A e ′Q = ′C ⋅ ′ A . Dividindo membro amembro, tem-se:

′′Q

′Q=

′′C

′C ⋅

′′ A

′ A

′′Q = ′Q ⋅ K ⋅ λ 2 (3.2)

3. De potências:

Genericamente, tem-se ′′ P = ′′Q ⋅ ′′ H e ′ P = ′Q ⋅ ′ H . Dividindo membro amembro, tem-se:

′′ P

′ P =

′′Q

′Q⋅

′′ H

′ H ou ′′ P = ′ P ⋅ K ⋅ λ 2 ⋅ K 2

′′ P = ′ P ⋅ K 3 ⋅ λ 2 (3.3)

4. De momentos:

Genericamente, tem-se: ′′ P = ′′ M ⋅ ′′w e ′ P = ′ M ⋅ ′w . Dividindo membro a

membro, tem-se:

′′ P

′ P =

′′ M

′ M ⋅

′′w

′wou K 3 ⋅ λ 2 =

′′ M

′ M ⋅ K ⋅

1

λ

′′ M = ′ M ⋅ K 2 ⋅ λ 3 (3.4)

5. De rendimentos:

′′η t = ′η t (3.5)

55. Restrições ao emprego da Teoria

A teoria das máquinas hidráulicas geometricamente semelhantespermite determinar, com excelente aproximação, as principais característicasde uma grande turbina protótipo, por exemplo, partindo de resultados deensaios efetuados sobre uma pequena turbina padrão ou modelo. Mas estateoria não é de um rigor absoluto e certamente haverá pequenos desviosentre o protótipo e o modelo. Estes desvios podem ser favoráveis – como é ocaso dos rendimentos – ou muito inquietantes – como nos fenômenos de

cavitação.



86

56. Teoria dos escoamentos mecanicamente

semelhantes

A teoria dos escoamentos mecanicamente – geometricamente,cinematicamente e dinamicamente – semelhantes elimina estes desvios quesão devidos ao fato de que a teoria das máquinas hidráulicasgeometricamente semelhantes não levou em conta a viscosidade do fluido ea rugosidade interna dos componentes da máquina, através dos quais seprocessa o escoamento.

Quando um fluido escoa através de duas máquinas hidráulicasgeometricamente semelhantes obedece as leis da mecânica dos fluidospesados, incompreensíveis e viscosos, que permitem afirmar:

Dois escoamentos E`` e E` são mecanicamente semelhantes quando

se efetuam, segundo trajetórias geometricamente semelhantes e, existe empontos homólogos, entre cada grandeza, uma relação constante ou escala:

l * − para comprimento

C * − para velocidade

p* − para pressão

ρ * − para massa específica

ν * − para viscosidade cinemática

t * − para tempo

A equação que rege ambos os escoamentos é a de NAVIER-STOKES,e para que eles sejam mecanicamente semelhantes é necessário que severifique a seguinte igualdade:

p*

ρ * ⋅ l *=1 =

C *2

l *=ν * ⋅ C *

l *2

(5.1)

Desta igualdade resultam, três condições particularidades:

1. Condição de MACH:

C *2

l *=

p*

ρ * ⋅ l *;

′′C

′C =

′′ p ⋅ ′′ g

′′τ

1 2

′ p ⋅ ′ g

′′τ

1 2 ;

′′C

′C = ′′ H

′ H

1 2

(5.2)

2. Condição de FROUDE:

C *2

l *=1;

′′C

′C =

′′ D

′ D

1 2

(5.3)



87

3. Condição de REYNOLDS:

C *2

l *=ν * ⋅ C *

l *2

;′′C

′C = ′′ν

′ν ⋅ ′ D

′′ D(5.4)

A teoria dos escoamentos mecanicamente semelhantes obriga que astrês condições sejam verificadas simultaneamente.

Verifica-se facilmente que a combinação da condição de FROUDE ede REYNOLDS conduz a:

′′ν

′ν =

′′ D

′ D

3 2

Para obedecer esta igualdade, muitos laboratórios usam ar nosmodelos reduzidos, o qual é cerca de treze vezes menos viscoso que a água,

o que implica em uma relação ′′ D ′ D no máximo igual a aproximadamente5,5. Se, por exemplo, ′′ D ′ D =10 , seria necessário usar um fluido 33 vezesmenos viscoso que a água. Tal fluido, além de volátil, é de preço muitoelevado.

57. Eliminação das condições de

FROUDE/REYNOLDS

O escoamento, na maioria das máquinas hidráulicas, é realizado sobaltas pressões (escoamento em carga) e é extremamente turbulento.

Assim sendo, a condição de FROUDE, bem como a de REYNOLDS,podem deixar de ser consideradas, porque neste caso, da Eq. 5.1desaparece o termo unitário e, porque as perdas de carga h p = ξ ⋅ C 2 com

ξ = f ( ρ ,µ ,l ,...) não são influenciadas por ν , passando-se a ter h p = K ⋅ C 2.

Relacionando as perdas do protótipo e do modelo, tem-se:

′′h p

′h p

=′′C 2

′C 2

Sendo hp

uma grandeza da mesma natureza que H, conclui-se queambas obedecem apenas a condição de MACH:

′′C

′C =

′′ H

′ H

1 2

(6.1)

que já havia aparecido na teoria das máquinas hidráulicasgeometricamente semelhantes.

Nestas condições, portanto, as teorias conduzem as mesmasconclusões: o projetista tem dois graus de liberdade e os rendimentos sãoiguais.



88

58. Fórmulas de transposição de rendimentos

Quando as condições estabelecidas procedentemente não sãorigorosamente observadas (regime não totalmente turbulento), deve-se fazer

a correção dos rendimentos, principalmente nas turbinas FRANCIS, pois asperdas passam a ser influenciadas pela viscosidade e pela rugosidade, que jamais obedecerá a escala λ . Há diversas fórmulas experimentais, entre asquais:

1. Fórmula V de CAMMERER:

1− ′n

1− ′′n=

1,4 +1

′ D( )1 2

1,4 +1

′′ D( )1 2

(7.1)

2. Fórmula II de MOODY:

1− ′n

1− ′′n= ′′ D

′ D

1 4

⋅ ′′ H

′ H

110

= λ 1 4 ⋅ K 1 20 (7.2)

59. Rotação específica e rotação específica referida à

vazão

Considerando-se duas máquinas hidráulicas geometricamentesemelhantes cujos escoamentos obedecem aos critérios de semelhança deCombe-Rateau, tem-se:

′′n = ′n ⋅ K ⋅1

λ (8.1) e ′′ P = ′ P ⋅ K 3 ⋅ λ 2 (8.2)

Se uma destas máquinas, por exemplo MH`, trabalhar sob uma alturade 1.0 m.c.a. e produzir a potência de 1,0cv com o mesmo rendimento da

MH``, tem-se:′ H =1,0m.c.a. ′ P =1,0cv e sua rotação será :

λ = ′′ P 1 2 ⋅ K −3 2; ′′n = ′n ⋅ K ⋅ K 3 2 ⋅ ′′ P

−1 2 e

′n = ′′n ⋅ ′′ P 1 2 ⋅ ′′ H −5 4 (8.3)

À velocidade de rotação n`, deu-se a designação de rotação específicada máquina hidráulica protótipo ou MH``.

Se houver uma comparação entre as máquinas hidráulicas MH` eMH``, ou MH` e MHn, e resultar para n` sempre o mesmo valor, pode-seconcluir que duas máquinas hidráulicas em semelhança de Combe-Rateau



89

possuem a mesma rotação específica, cujo símbolo é ns

rpm C V 1 2 m−5 4[ ]

. Suas dimensões,no sistema métrico são . Alguns autores consideram ns

em rpm, porque a potência e a altura unitária possuem módulo unitário, masdimensão tal que torna ns e n com a mesma dimensão. Outros autoresutilizam o quociente ns

Analogamente à obtenção de n

/n e chamam-no de coeficiente de rotação específica,sem dimensão.

s, pode-se obter nq

Assim, se uma das máquinas hidráulicas anteriormente referidastrabalhar nas condições de H`=1,0m.c.a. e Q`=1,0m

, chamadocorrentemente de rotação específica referida à vazão.

3

/s, tem-se:

′′n = ′n ⋅ ′′Q −1 2⋅ K 3 2 ou ′n = ′′n ⋅ ′′Q

1 2 ⋅ K −3 4

Suprimindo os índices, resulta:

nq = n⋅ Q1 2

⋅ H −3 4

Para condições particulares de τ =1.000kgf m3 e η t =100%, tem-se aseguinte relação entre as duas rotações específicas:

n s = n⋅τ ⋅ Q⋅ H

75⋅ 1,0

12

⋅ H −5

4 = 3,65⋅ n⋅ Q12 ⋅ H

34

ou seja:

n s = 3,65⋅ nq

A rotação específica referida à vazão é muito utilizada no estudo dasbombas hidráulicas e ventiladores, enquanto que a rotação específica n s

émais utilizada no estudo das turbinas hidráulicas.

60. Coeficientes Adimensionais

Além da rotação específica ns de grande importância no estudo das

máquinas hidráulicas, há outros coeficientes que desempenham papelsemelhante, relacionando outras grandezas que interferem no funcionamentodas máquinas hidráulicas. São definidos os seguintes coeficientes:

60.1. Coeficiente de pressão ψ ( )

De uso corrente no estudo das bombas hidráulicas e ventiladores.Da equação fundamental ou de EULER, tem-se:



90

H t ∞ =1

g C u5 ⋅ u5 H t ∞ = a⋅ H t H t =

H

η h

H =2η h

2 g ⋅ aC u5 ⋅ u5 (9.1.1)

Fazendo C u5 = ξ ⋅ u5, pode-se escrever H =ψ u5

2 2 g ( e:

u5 =2 g ⋅ H

ψ

12

(9.1.2)

com: ψ =2⋅ η h ⋅ ξ

a

Para o caso de bombas hidráulicas, o coeficiente de pressão éapresentado sob a forma:

ψ =2 g ⋅ H

u5

2(9.1.3)

e, para ventiladores:

ψ =2⋅ ∆ p ρ ⋅ u5

2(9.1.4)

por ser ∆ p = τ ⋅ H e τ = ρ ⋅ g , com ∆ p em Kgf m2 e ρ em Kgf ⋅ s2 ⋅ m−4 e variável com a altitude e temperatura. Os gráficos I e II no final do capítulofornecem os valores de em função de ns e nq

para bombas radiais eventiladores.

60.2. Coeficiente de velocidade tangencial u5( )

Coeficiente de uso corrente no estudo das turbinas hidráulicas.Resulta da aplicação da teoria da semelhança a duas turbinas, uma das

quais trabalha sob queda de 1,0m.c.a.. Sendo K = ′′U ′U = ′′ H H ′( )1 2

, pode-se

fazer ′′U ′U = 2 g ⋅ ′′ H 2 g ⋅ H ′( )1 2

. Se H`=1,0m.c.a., ′′U 2 g ⋅ ′′ H ( )1 2= ′U 2 g ⋅ 1( )1 2

.

Fazendo ′′U 2 g ⋅ ′′ H ( )1 2= u e particularizando para a saída, resulta:

U 5 =U 5

2 g ⋅ H ( )12

(9.1.5)

O gráfico III no final do capítulo fornece os valores de U 5 em função de

ns

para turbinas de reação.



91

60.3. Relação entre os coeficientes de pressão ψ ( ) e de

velocidade tangencial U 5( )

Substituindo na equação 9.1.5 o valor da velocidade tangencial dadoem 9.1.2, obtém-se:

U 5 =

2 g ⋅ H

ψ

12

2 g ⋅ H ( )12

resultando:

U 5 = 1ψ

12

(9.3.1)

60.4. Ceoeficiente de vazão ϕ ( )

Utilizado no estudo as bombas e ventiladores, sob a forma:

ϕ =4Q

π ⋅ D5

2 ⋅ u5

Sua obtenção resulta da aplicação da equação da continuidade a umcontorno de estudo especial, conforme se mostra a seguir:

Q = π ⋅ D5 ⋅ b5 ⋅ C m5 ou Q =ϕ ⋅π ⋅ D5

2

4

⋅ u5

Igualando as duas equações, resulta:

ϕ = 4⋅C m5

u5

⋅b5

D5

com C m5

u5

= ′ϕ e 4⋅b5

D5

= ′′ϕ

Para que o coeficiente de vazão obedeça a igualdade apresentada,deve ser escrito sob a forma:

ϕ =4Q

π ⋅ D5

2 ⋅ u5

(9.4.1)

Alguns autores eliminam a constante π , outros, como B. Eck,

eliminam a constante 4⋅b5

D5

. Assim, resulta ′ϕ = ′′ϕ . Os gráficos I e II no final

do capítulo apresentam os valores de em função de ns e nq para bombasradiais e ventiladores.



92

60.5. Coeficiente de velocidade meridional (coef. de

gasto ou passagem) C m5( )

No caso das turbinas é bastante utilizado o coeficiente de velocidademeridional, cuja origem teórica é a mesma apresentada para o coeficiente develocidade tangencial:

C m5 =

C m5

2 gh( )12

(9.5.1)

O gráfico III no final do capítulo fornece os valores de C m5 em funçãode ns para turbinas de reação.

60.6. Relação entre os coeficientes de pressão, vazão e

velocidade meridional.

De 9.4, vem: ϕ =C m5

u5

=

C m5

2 g ⋅ H ( )12

u5

2 g ⋅ H ( )12

=C m5

u5

=C m5

1ψ

12

, de onde:

C m5 = ϕ

ψ 12

(9.6.1)

60.7. Coeficientes de diâmetro e ligeireza

De uso corrente no estudo de ventiladores, os coeficientes de diâmetroe ligeireza são obtidos pela comparação de um ventilador qualquer com outroque trabalha sob ϕ e unitários, admitidas algumas hipótesessimplificadoras.

Sejam os dois ventiladores, tais como apresentados abaixo:

Fig. 60.7.1 – Ventiladores axiais



93

Conforme já visto, tem-se ′′ψ = 2 g ⋅ ′′ H ′′u5

2 , que pode ser escrito sob a

forma ′′ H = ′′ψ ⋅ ′′u5

2

2 g , ou, já que representa uma altura de velocidade, como

segue: ′′ H = ′′C 2 2 g . Igualando as duas expressões de H``, tem-se:

′′C 2 = ′′ψ ⋅ ′′u5

2 (9.7.1)

Do esquema dos dois ventiladores, resulta: ′′C = ′C

Do coeficiente de vazão, obtém-se: ′′Q = ′′ϕ ⋅ ′′u5 ⋅π ⋅ ′′ D5

2

4

Da equação da continuidade, tem-se: ′′Q = ′′C ⋅π ⋅ ′′ D 2

4

(9.7.2)

Igualando as duas expressões de Q``, resulta:

π ⋅ ′ D5

2

4=π ⋅ ′′ D5

2

4⋅

′′ϕ ⋅ ′′u5

2

′′C ou

′′ D5

′ D5

2

=′′C

′′ϕ ⋅ ′′u5

De 9.7.1, vem: ′′C 2 = ′′ψ ⋅ ′′u5

2. Substituindo, finalmente, resulta

′′ D5 ′ D5( )= ′′ψ 1 4 ′′ϕ

1 2. Eliminando os índices e estendendo a quaisquer dois

ventiladores semelhantes, tem-se:

δ =′′ D

′ D

=ψ

14

ϕ 1

2

(9.7.3)

forma clássica de apresentação do coeficiente de diâmetro e queindica quantas vezes um protótipo é maior que um modelo que tem ϕ e

unitários. Analogamente a equação 9.7.1, pode-se escrever:

′C = ′ψ ⋅ ′u5

Para um modelo em que ψ =1, resulta ′C = ′u5. Sendo C``=C`,

conforme se observa no esquema dos dois ventiladores, e ′′C = ′′ψ

1

2 ⋅ ′′u5 ,conforme a Eq. 9.7.1, resulta:

′C = ′u5 = ′′C = ′′ψ 12 ⋅ ′′u5 (9.7.4)

Sendo ′′u5 =π ⋅ ′′ D5

2⋅ ′′n60

e ′u5 =π ⋅ ′ D5

2⋅ ′n60

e, dividindo, membro a membro,

as duas expressões, resulta:

′′u

′u=

′′ D5 ⋅ ′′n

′ D5 ⋅ ′n



94

Substituindo o valor de ′u5dado em 9.7.3, tem-se:

′′u5

ψ 12 ⋅ ′′u5

=′′ D5 ⋅ ′′n

′ D5 ⋅ ′n

Substituindo ′′ D5 ′ D5 pelo coeficiente de diâmetro, obtém-se:

′′n

′n=ϕ

1 2

ψ 1 4

⋅1

ψ 1 2

ou ′′n

′n=ϕ

1 2

ψ 3 4

Finalmente, fazendo ′′n ′n =σ , obtém-se um coeficiente que indicaquantas vezes um protótipo é mais rápido que um modelo unitário e quecorrentemente é apresentado sob a forma:

σ =ϕ

1 2

ψ 3 4 (9.7.5)

A vinculação destes coeficientes com diversas máquinas hidráulicasfoi realizada por CORDIER através de pesquisas recentes (1955) quedemonstraram que existe uma faixa contínua em que estão agrupadosmáquinas hidráulicas de alto rendimento, segundo as coordenadas.

O gráfico II, no final do capítulo, apresenta os valores de σ e δ emfunção de nq

para ventiladores e, o gráfico IV, as curvas de CORDIER,válidas para qualquer tipo de máquina.

61. Igualdade dos coeficientes adimensionais entre

máquinas hidráulicas

Como já se viu anteriormente, obedecidas as condições de Combe-Rateau, pode-se afirmar que duas máquinas hidráulicas semelhantesapresentam o mesmo valor de ns

. O mesmo deve valer para os coeficientesadimensionais. Se não, vejamos:

K = ′′U

′U = ′′ H

′ H

12

ou ′′U

′′ H

12

= ′U

′ H

12

e ′′U

2 g ⋅ ′′ H ( )12 = ′

U

2 g ⋅ ′ H ( )12, de onde ′′U = ′U

Ora, se ′′U = ′U também será ′′ψ = ′ψ e assim por diante.



95

62. Escolha do tipo de máquina hidráulica

62.1. Turbinas

As grandezas características Q e H sempre devem ser conhecidas.Deve-se, a seguir, arbitrar uma rotação para a turbina. Entretanto, esteprocedimento requer uma certa experiência do projetista. Para auxiliá-lonesta tarefa os construtores apresentam gráficos relacionando “limites” deemprego de determinado tipo de turbina em função da altura de queda erespectivo valor de ns. Conhecido então este valor limite de ns

O rendimento também é influenciado pela rotação específica econseqüentemente pela rotação escolhida, conforme apresentado no gráficoV no final do capítulo.

, pode-sedeterminar a rotação máxima da turbina. Convém lembrar que geralmente asturbinas são acopladas diretamente aos alternadores, os quais, por razões deordem econômica terão rotações síncronas compreendidas entre 60 e 720rpm. Quanto mais próxima a velocidade estiver do limite superior, tanto mais

econômicas, turbina e alternador e tanto mais leves. Entretanto, cuidadosespeciais devem ser tomados, relativamente a influência da força centrífugaque cresce com o quadrado da velocidade e que tende a desintegrar aturbina e o alternador.

Outro fator a influenciar o valor da maior velocidade de rotação dizrespeito à cavitação. E evidente que a velocidade escolhida deve conduzir auma altura de sucção menor do que o valor máximo admissível.

O gráfico VI no final do capítulo relaciona os limites de emprego de

determinado tipo de turbina, com a máxima altura de queda e respectivo valor de ns

.

62.2. Bombas

Da mesma forma que nas turbinas, devem ser conhecidas asgrandezas características Q e H. O gráfico VII apresentado no final docapítulo relaciona os diversos tipos de bombas com as grandezascaracterísticas Q e H.

Escolhido o tipo, a rotação máxima admissível pode ser fixada

segundo o Instituto de Hidráulica dos EUA que fornece os limites da rotaçãoespecífica referida a azão para diversos valores da altura de elevação,conforme o gráfico VIII apresentado no final deste capítulo.

Para fixar a rotação deve-se ter em conta, partindo do valor limite dens

1. Tipo do motor acionador :

2. Velocidades elevadas conduzem a bombas pequenas e motores maisbaratos

3. O rendimento da bomba varia com a rotação específica, conforme ográfico IX apresentado no final do capítulo



96

62.3. Ventiladores

Como nas demais máquinas hidráulicas, devem ser conhecidospreliminarmente a vazão e a pressão, mas não existem ainda curvas

relacionando a pressão com o valor da rotação específica, sendo necessárioutilizar-se outras indicações para determinação do tipo mais adequado.Sabe-se, por exemplo, que os ventiladores, segundo acordo entre

construtores admitem, incrementos de pressão de até 0,250 kg/cm2

Assim, o valor da pressão desejada é um indicador do tipo deventilador a ser utilizado:

ou2500mm de coluna d’água, ou seja, 1,25, a relação de pressão entre a seçãode entrada e a de saída. Além deste limite, a compressibilidade do fluido (ar ou gás), deve ser levada em conta e a máquina passa a ser tratada como umturbocompressor.

• Ventiladores de baixa pressão (axiais – grandes vazões) de 0,02 a

0,08 kgf/cm2

• Ventiladores de alta pressão (radiais – médias e pequenas vazões) de0,08 a 0,250 Kgf/cm

– 200 a 800 mm.c.a.2

Entre os valores extremos destas indicações, desenvolvem-se osventiladores de ação hélico-cintrífuga ou mista.

– 800 a 2500 mm.c.a.

Outro elemento auxiliar na determinação do tipo diz respeito ao serviçoque o ventilador vai realizar, conforme se observa abaixo:

62.3.1. Ventiladores axiais:

Insulflam ar ou gás62.3.2. Ventiladores radiais:

Baixa pressão

ar condicionado

renovação de ar

refrigeração por ar

Média pressãoaspiração de poeiras e cavacos

transporte pneumático− pequenas alturas e trechos curtos

Alta pressão

fornos Cubilot

queimadores de óleo

transporte pneumático− grandes alturas e trechos longos

A estes diversos tipos de ventiladores, correspondem faixas de valoressuperiores da velocidade específica referida a vazão, estabelecidas pelosfabricantes e constantes no gráfico II, no final do capítulo.

A partir destas indicações – pressão e faixa de valor superior de nq –pode-se determinar a rotação a ser adotada. Sendo, entretanto, a faixa de



97

valores superiores ou limites de nq

Se o acoplamento motor elétrico e ventilador é direto, as rotações sãolimitadas apenas às assíncronas, mas nos casos de acionamento indireto,um número ilimitado de rotações pode ser adotado.

bastante ampla, mais de uma rotaçãonormalmente pode ser utilizada.

Há necessidade, então, de se estudar outros fatores que influenciamna escolha da rotação definitiva de trabalho.Estes fatores são inerentes ao tipo de ventilador e as características

operacionais.

Relativamente ao tipo de ventilador, deve-se considerar:1. Valor do ângulo β 4 de entrada da pá. Segundo Stepanoff – Turbo

Blowers - β 4 deve estar compreendido entre 32° e 35° para que sejammínimas as perdas por choque na entrada.

2. Valor do ângulo β 5 de saída da pá. Segundo o mesmo autor β 5 pode

variar de 25° a 90°, sendo que na prática adoram-se valorescompreendidos entre 40° e 52° para evitar o descolamento e umdesenvolvimento muito longo da pá.

3. O valor do rendimento é influenciado diretamente pela rotaçãoadotada, conforme se verifica no gráfico X no final do capítulo.

Relativamente às características operacionais, considera-se:1. O custo do motor acionador.2. O nível de ruído desejado. Sabe-se que o ruído aumenta

progressivamente com o valor da velocidade u5

3. O espaço disponível para a instalação do ventilador, o que é função do

valor de D

, a partir de 30m/s.

5 .

Conforme se observa da explanação feita, muitos fatores influenciamna escolha do tipo e na determinação da rotação de trabalho de umventilador. Além dos conhecimentos teóricos, a experiência do projetistadesempenha um fator decisivo na fixação destas variáveis.

63. Predimensionamento

63.1. Turbinas

1. Através da classificação de Cayere, na qual são relacionados modelosde turbinas que, funcionando sob 1,0 m.c.a. de queda, produzem 1,0cv, de diâmetro conhecido e com rotação específica ns

. É possível,então, determinar o diâmetro do protótipo sabendo que:

λ =′′ D

′ De λ = ′′ P

12 ⋅ H

−34

2. Através de procedimentos mais modernos que fornecem os valores

dos coeficientes adimensionais em função de ns para máquinas queapresentam elevados valores de rendimento. O predimensionamento é



98

feito como segue, sabendo-se que os coeficientes Cm4 e u4 sãotabelados em função de ns

:

U =π ⋅

′′ D ⋅

′′n

60 ou ′′ D =60⋅

′′U

π ⋅ ′′n e ′′ D =

60⋅ ′′U

2 g ⋅ ′′ H

( )

12

π ⋅′′n

2 g ⋅ ′′ H ( )12

=60⋅

′′U

π

2 g ( )12

⋅ ′′n1

por ser ′′n1 = ′′n ′′ H ( )1 2. Sendo ′′U = ′U , resulta:

′′ D =88,4⋅ ′U

′′n1

′C m4 =Q

π ⋅ ′′ D4 ⋅ ′′b4= ′′

Q1⋅

′′ H

( )

12

π ⋅ ′′ D4 ⋅ ′′b

′′b4 =

′′Q1⋅ ′′ H ( )12

2 g ⋅ ′′ H ( )12

2 g ( )12 ⋅ π ⋅ ′′ D4 ⋅ ′′C m4

2 g ⋅ ′′ H ( )12

=′′Q1

2 g ( )12 ⋅ π ⋅ ′′ D4 ⋅ ′′C m4

sendo ′′C m4 = ′C m4 , resulta:

′′b4 =0,072⋅ ′′Q1

′′ D4 ⋅ ′C m4

O gráfico XI apresenta a classificação de Cayère, e o gráfico IIIrelaciona os coeficientes adimensionais U e C m com ns

. Ambos sãoapresentados no final do capítulo.

63.2. Bombas

Em função de ns

ϕ e podem ser obtidos os coeficientes e atravésde suas expressões matemáticas determinando o valor do diâmetro e darotação.

Os coeficientes ϕ e são encontrados no gráfico I no final docapítulo, em função de ns

.

63.3. Ventiladores

O procedimento é idêntico ao das bombas, evidentemente com a

utilização do gráfico II, especial para ventiladores, o qual é apresentado nofinal do capítulo, relacionando ϕ e com nq.



99

64. Determinação do número de unidades e da

rotação dos grupos

Se determinada instalação hidroelétrica estiver equipada com mais deuma unidade motriz, é válido escrever:

n sinst = n⋅ P inst

12 ⋅ H

−54

Sendo a potência repartida igualmente entre as máquinas, ou entre os jatos de uma turbina de ação, tem-se:

n s1máq= n⋅ P inst

12 ⋅ H

−54 ⋅ i ou j( )

12

Dividindo ambas as expressões, membro a membro, resulta:

i ou j( )12 =

n sinst

n s1máq

O desenvolvimento desta expressão é feito obedecendo aos critériosabaixo:

1. Obtém-se n s1máq

em função da altura, para uma máquina.

2. Arbitra-se um rendimento e calcula-se P inst

3. Arbitra-se rotações correspondentes a um número de pares de poloscompreendidos entre 5 e 60, ou seja, de 720 a 60rpm.

.

4. Calcula-se tantos “i” quantas forem as rotações arbitradas.5. Aproxima-se “i” para o inteiro mais próximo.6. Recalcula-se n sinst

, P inst e nt .

7. Dentre as soluções encontradas, seleciona-se aquelas comrendimentos satisfatórios.

8. Determina-se o custo das soluções selecionadas.9. Calcula-se a produção devida a estas soluções.

10. Determina-se o tempo de amortização.11. Dentre as soluções de menor tempo de amortização, verifica-se o

valor da altura de sucção.12. Somente agora estará fixado o nº de unidades e a rotação.



100



101



102



103



104



105



106



107



108



109

maquinas de fluxo - antonio kozlik junior

Documents