maple avancado

8/18/2019 Maple Avancado

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE S ANTA M ARIA CENTRO DE CIÊNCIAS N ATURAIS E EXATAS DEPARTAMENTO DE M ATEMÁTICA

TÓPICOS DE Á LGEBRA LINEAR, EDO'S E PROGRAMAÇÃO NO MAPLE

ALISSON D ARÓS S ANTOS D ANIELA DE ROSSO TOLFO

LEONEL GIACOMINI DELATORRE


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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 4

C APÍTULO 1. UTILITÁRIOS .................................................................................................... 5

1.1 A JUDA NO MAPLE: HELP............................................................................................ 5

1.2 P ACOTES .................................................................................................................. 6

1.3 INSTRUÇÕES B ÁSICAS ................................................................................................. 6

1.4 FUNÇÕES .................................................................................................................. 7

1.5 SOMATÓRIOS ............................................................................................................ 9

1.6 PRODUTÓRIO ........................................................................................................... 9

1.7 LIMITES ..................................................................................................................... 9

1.8 DERIVADAS ............................................................................................................... 9

1.9 INTEGRAIS INDEFINIDAS .............................................................................................. 9

1.10 INTEGRAIS DEFINIDAS ............................................................................................... 9

C APÍTULO 2. ÁLGEBRA LINEAR ............................................................................................ 10

2.1 COMANDOS E OPERAÇÕES B ÁSICAS COM M ATRIZES ..................................................... 10

2.2 M ATRIZES CUJAS ENTRADAS SÃO FUNÇÕES................................................................... 14

2.3 POSTO DE UMA MATRIZ, PRODUTO ESCALAR, PRODUTO VETORIAL E NORMA DE VETORES ... 15

2.4 AUTOVALORES E AUTOVETORES ................................................................................. 16

2.5 NULLSPACE DE UMA MATRIZ A ................................................................................... 18

2.6 PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHIMIDT ............................................... 19

2.7 FORMA C ANÔNICA DE JORDAN .................................................................................. 20

2.8 ELIMINAÇÃO G AUSSIANA .......................................................................................... 23

2.9 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS .......................................................................................... 23

C APÍTULO 3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS .............................................................. 28


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3.1 COMANDOS B ÁSICOS ............................................................................................... 28

3.2 COMANDOS ESPECÍFICOS DE EDO’S DE PRIMEIRA ORDEM ............................................ 29

3.3 C AMPO DE DIREÇÕES PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ...................... 31

3.3 PLANOS DE F ASE ...................................................................................................... 34

3.4 EQUAÇÃO DO PÊNDULO .......................................................................................... 36

C APÍTULO 4. PROGRAMAÇÃO ............................................................................................. 42

4.1 COMANDOS B ÁSICOS ............................................................................................... 42

4.2 PROCEDIMENTOS NO MAPLE ................................................................................... 45

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................... 49


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Introdução

Esta apostila foi desenvolvida como material de apoio ao Minicurso MAPLE

Avançado, organizado pelo Grupo PET Matemática – Programa de Educação Tutorial. Os

minicursos, bem como o material didático desenvolvido, surgem como uma proposta de

qualificar a formação de bolsistas e acadêmicos na utilização de novas tecnologias

aplicadas ao ensino e à pesquisa.

Neste material serão revistos alguns comandos básicos do MAPLE que podem ser

utilizados no cálculo de limites, derivadas e integrais, porém o enfoque principal está nouso do MAPLE como ferramenta auxiliar em disciplinas como Álgebra Linear, Equações

Diferenciais Ordinárias, além de disciplinas que envolvam programação.

Pretendemos fazer uma abordagem sobre os comandos que, em nossa experiência

de utilização do software, foram mais relevantes. Isso não quer dizer que outros

comandos ou tópicos sejam menos importantes, mas sim que o material desenvolvido

baseia-se, principalmente, nas necessidades de utilização do MAPLE até o presente

momento. Além disso, nossos conhecimentos são restritos quando comparados à

amplitude e às abrangentes possibilidades de utilização do mesmo.


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C APÍTULO 1. UTILITÁRIOS

1.1 A JUDA NO MAPLE: HELP

O help é uma maneira de conseguir ajuda caso você saiba exatamente o tópico arespeito do qual você necessita de informações. Existem pelo menos duas formas deacessá-lo:1ª Na aba Help

2ª Solicitando a abertura do help a partir docomando “?” seguido do tópico a serpesquisado.

Exemplo:>?matrix;

Que conduzirá a seguinte janela:


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1.2 P ACOTES

Alguns comandos do MAPLE são de uso específico, por isso são agrupados empacotes ( packages). Para ativar um pacote do MAPLE, utiliza-se o comando: with(nomedo pacote), veja

> with(LinearAlgebra):

Alguns pacotes disponíveis ao usuário são: plots, linalg, DEtools, LinearAlgebra, Students.

1.3 INSTRUÇÕES B ÁSICAS

O comando restart permite limpar a memória armazenada no MAPLE emqualquer parte do documento. É aconselhável seu uso sempre no início de um novoarquivo.>restart:

O MAPLE aceita a troca de linhas dentro de um mesmo comando, para issoutiliza-se as teclas SHIFT e ENTER simultaneamente na hora em que deseja-se a troca delinha.

Ao final de cada comando pode-se utilizar ponto e vírgula (;) ou dois pontos (:). Autilização do ponto e vírgula tornará visível ao usuário o resultado do comando utilizado,no caso de utilizar dois pontos a visualização será ocultada. Ex.:> A:=Matrix([[1,2],[4,5]]);

> A:=Matrix([[1,2],[4,5]]):

Para declarar uma variável inteira utilizamos o seguinte comando.

>restart: >assume(n,integer);

>cos(n*Pi);

>cos((2*n-1)*Pi);

>cos(2*n*Pi);

Dado um número complexo, podemos encontrar sua parte real e imaginária da

seguinte forma:

:= A

1 2

4 5

( )-1 n~

-1

1


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>Re(4+I);;

>Im(1+3*I);

Um comando bastante utilizado é o solve, com o qual podemos encontrar tantosoluções de equações quanto sistemas de equações:>solve(2*x+y=0,x);

>solve( {2*a + b = 1, a+2*b=0}, [a,b]);

Exercício:1. Aplique o comando solve ao sistema de equações e comente a solução encontrada.

2 + + = 1 + 2 + = 05 + 4 + 3 = 2

1.4 FUNÇÕES

Uma maneira para definirmos uma função no MAPLE é usarmos o operador seta (->, isto é, sinal de menos seguido do sinal de maior). Por exemplo:

>g:= x ->x^2 + 1;

>g(4);

Devemos definir a função desta maneira porque da forma como atribuímos

anteriormente o MAPLE apenas nos daria o valor de f(x), vejamos:>f(x):=x^2+1*x+1=0;

>solve (f(x));

Nesta forma o MAPLE apenas sabe encontrar valores para a função x é

+ + = . Mas se pedirmos algum outro ele não sabe. Por exemplo, o valor de f noponto f(2).

4

3

y

2

,a

2

3 b

-1

3

:= g x x2 1

17

:=( )f x x2 x 1 0

, 1

2

1

2 I 3

1

2

1

2 I 3


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>f(2);

>g:= piecewise(x=-1 and x plot(g,x=-1.5..1.5,thickness=2,scaling=constrained);

Abaixo apresentamos uma pequena lista da sintaxe de algumas funções

matemáticas no MAPLE (lembre-se que o MAPLE é escrito em inglês):

funções trigonométricas: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x);

funções trigonométricas inversas: arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x),

arcsec(x), arccsc(x);

função exponencial de base e: exp(x);

função logarítmica de base e: ln(x);

função logarítmica de base a, sendo a>0 qualquer: log[a](x);

funções hiperbólicas: sinh(x), cosh(x), tanh(x), sech(x), csch(x), coth(x);

funções hiperbólicas inversas: arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x), arcsech(x),

arccsch(x), arccotgh(x).

Para acessar informações sobre essas e outras funções no MAPLE, utiliza-se o comando:

( )f 2

:= g

x 2 x -1 x2 and-1 x x 1

x3 otherwise


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>?inifcn

que irá redirecionar ao help do MAPLE.

1.5 SOMATÓRIOS >Sum(1/n^2, n=1..infinity)=sum(1/n^2, n=1..infinity);

1.6 PRODUTÓRIO >Product(1/n, n=1..30)=product(1/n, n=1..30);

1.7 LIMITES >Limit(x^2*sin(1/x), x=0)=limit(x^2*sin(1/x), x=0);

1.8 DERIVADAS >Diff(x^2*sin(1/x),x$1)=diff(x^2*sin(1/x),x$1);

1.9 INTEGRAIS INDEFINIDAS >Int(x^2, x)=int(x^2, x);

1.10 INTEGRAIS DEFINIDAS >Int(x^2, x=1..3)=int(x^2, x=1..3);

n 1

1

n2

2

6

n 1

301

n

1

265252859812191058636308480000000

lim x 0

x2

sin

1

x0

d

d

x

x

2

sin

1

x 2 x

sin

1

x

cos

1

x

d x

2 x x3

3

d

1

3

x2 x26

3


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C APÍTULO 2. ÁLGEBRA LINEAR

2.1 COMANDOS E OPERAÇÕES B ÁSICAS COM M ATRIZES

Os pacotes utilizados neste capítulo serão essencialmente: LinearAlgebra e linalg.Estes, embora relativos à Álgebra Linear, diferem em alguns comandos. Pensando nisso,na medida do possível, será trabalhado paralelamente com os dois pacotes.

Para dar início ao trabalho com matrizes, serão apresentados alguns comandosbásicos relativos a este tópico.

2.1.1 Declarando matrizes e vetores

Existem várias formas de declarar matrizes e vetores no MAPLE, destacamos as seguintes:Utilizando o pacote LinearAlgebra>restart:


> A:=Matrix(2,3,[a,b,c,d,e,f]);

>B:=Matrix(3,2,[[1,7],[5,6]]);

>C:=Matrix([[1,2],[4,5]]);

>v:=Vector(3,[a,b,c]);

Utilizando o pacote linalg>restart:

> with(linalg):

> A:=matrix(2,3,[a,b,c,d,e,f]);

:= A

a b c

d e f

:= B

1 75 6

0 0

:=C

1 2

4 5

:=v

ab

c

:= A

a b c

d e f


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>v:=vector(3,[a,b,c]);

2.1.2 Matriz Nula e Matrizes Identidade

A matriz identidade e a matriz nula podem ser obtidas da seguinte forma:>restart:


>Iden:=IdentityMatrix(3);

> N:=Matrix(2,3);

>ZeroMatrix(2);

>ZeroVector(2);

ou>restart:

> with(linalg):

> N:=matrix(2,2,0);

> M:=Matrix(3,3,shape=identity);

2.1.3 Operações básicas

Sejam as matrizes> with(LinearAlgebra):

> A:=Matrix(2,2,[[4,6],[0,5]]);

:=v

a

b

c

:= Iden

1 0 0

0 1 0

0 0 1

:= N

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

0

0

:= N

0 0

0 0

:= M

1 0 0

0 1 0

0 0 1

:= A 4 60 5


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>B:=Matrix(2,2,[[1,4],[9,-1]]);

e os vetores

>v:=Vector(2,[[1],[-1]]);

>u:=Vector(2,[[2],[-3]]);

ADIÇÃO DE MATRIZES E VETORES > A+B;

> A+(-B);

>v+u;

>v+(-u);

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES E VETORES > Multiply(A,B);

> Multiply(A,u);

DETERMINANTE >Determinant(A);

T RAÇO DA MATRIZ

Soma dos elementos da diagonal>Trace(A);

:= B

1 4

9 -1

:=v

1

-1

:=u

2

-3

5 10

9 4

3 2

-9 6

3

-4

-1

2

58 10

45 -5

-10

-15

20


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T RANSPOSTA DE UMA M ATRIZ >Transpose(A);

M ATRIZ INVERSA > MatrixInverse(A);

Vamos verificar se esta realmente é a matriz inversa

> Multiply(A,MatrixInverse(A));

> Multiply(MatrixInverse(A),A);

Consideremos a matriz>C:=Matrix(2,2,[[3,1],[3,1]]);

utilizando o comando para obter a matriz inversa resulta> MatrixInverse(C); Error, (in LinearAlgebra:-LA_Main:-MatrixInverse) singular matrix

O MAPLE neste caso acusa que a matriz Cé singular ou seja seu determinante é zero, o que leva a matriz a não ser inversível.>Determinant(C);

ELIMINAÇÃO DE LINHAS E COLUNAS DA MATRIZ >restart:


>G:=Matrix(3,3,[[2,-1,3],[4,7,8],[9,0,4]]);

>DeleteColumn(G,3);

9

4 0

6 5

1

4

-3

10

01

5

1 0

0 1

1 0

0 1

:=C

3 1

3 1

0

:=G

2 -1 3

4 7 8

9 0 4

2 -1

4 79 0


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>DeleteRow(G,[1,3]);

2.2 M ATRIZES CUJAS ENTRADAS SÃO FUNÇÕES

Vamos agora trabalhar com matrizes cujas entradas são funções de uma variável>F:=Matrix(2,2,[[x,1],[x^2-1,0]]);

Caso se queira calcular o valor de cada coordenada quando = 0podemos usar ocomando

>subs(x=0,F);

Comando este que também é válido para funções>f:=x^2+1;

>subs(x=1,f);

O comando Mappercorre cada coordenada da matriz realizando nessa a operaçãodesejada. Vejamos algumas aplicações deste comando:Neste exemplo estamos somando 2 a cada coordenada da matriz em questão.> Map(x->x+2,F);

Pode-se dessa forma obter também a derivada das entradas da matriz> Map(diff,F,x);

e também sua integral> Map(int,F,x);

:= F

x 1

x2 1 0

0 1

-1 0

:= f x 1

2

x 2 3

x2 1 2

1 0

2 x 0

x2

2 x

1

3 x3 x 0

[ ]4 7 8


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2.3 POSTO DE UMA MATRIZ, PRODUTO ESCALAR, PRODUTO VETORIAL E NORMA DEVETORES

Dada uma matriz A o posto da matriz pode ser calculado utilizando o comando

Rank(A), no pacote LinearAlgebra. Vejamos alguns exemplos:>restart:


> A:=Matrix(3,3,[1,3,2,4,7,1,6,13,5]);

>Rank(A);

>B:=Matrix(2,2,[1,4,9,5]);

>Rank(B);

>C:=Matrix(2,3,[1,3,5,4,3,7]);

>Rank(C);

Vamos agora apresentar comandos que forneçam produto escalar, produto vetorialnorma e ângulo entre dois vetores. Dados dois vetores, , vejamos os comandosrelativos a estas operações.> with(LinearAlgebra):

>v:=Vector(3,[1,2,2]);

> w:=Vector(3,[1,2,-1]);

2.3.1 PRODUTO ESCALAR >DotProduct(v,w);

2.3.2 PRODUTO V ETORIAL >CrossProduct(v,w);

:= A

1 3 2

4 7 1

6 13 5

2

:= B

1 4

9 5

2

:=C

1 3 5

4 3 7

2

:=v

1

2

2

:=w

1

2

-1

3


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2.3.3 NORMA DE UM VETOR

> VectorNorm(v,2);

> VectorNorm(w,2);

2.3.4 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES O ângulo entre dois vetores pode ser encontrado a partir do produto interno como:

= ∙ || O MAPLE possui um comando específico para calcular o ângulo dado por:>theta:=VectorAngle(v,w);

Resultado que confere com a fórmula para dada acima.

2.4 AUTOVALORES E AUTOVETORES

Definição: (autovalor e autovetor)Seja uma matriz quadrada. Um escalar é chamado de autovalor de se existe

um vetor não nulo tal que = qualquer vetor satisfazendo esta relação é chamado de autovetor de associado aoautovalor .Os autovalores e autovetores da matriz podem ser calculados através do sistema − = 0 O qual tem solução se

− = 0 já que ≠ 0por definição. O polinômio = det ( − ) é chamado característicoque será um polinômio de grau em .Cálculo do polinômio característico>restart: with(LinearAlgebra):

> A:=Matrix(2,2,[[4,2],[3,-1]]);

-6

3

0

3

6

:=

arccos

6

6

:= A

4 2

3 -1


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>Determinant(A-lambda*IdentityMatrix(2));

Ou simplesmente

> p(lambda):=CharacteristicPolynomial(A,lambda);

Para encontrarmos os autovalores através do polinômio característico resolvemos>solve(p(lambda)=0);

No MAPLE existem comandos específicos para calcular os autovalores eautovetores de uma matriz

sem utilizarmos explicitamente o polinômio característico.

2.4.1 AUTOVALORES

Abaixo temos um comando para encontrar os autovalores de >Eigenvalues(A);

Caso queira o primeiro ou o segundo autovalor separadamente, podemos usar ocomando a seguir

>Eigenvalues(A)[1];

>Eigenvalues(A)[2];

Utilizar o comando Eigenvalues é equivalente a encontrarmos as raízes dopolinômio característico de

.

2.4.2 AUTOVETORES

Agora vamos encontrar os autovetores de>(v,e):=Eigenvectors(A);

10 3 2

:=( ) p 10 3

,5 -2

5

-2

5

-2

P

:=,v e ,

5

-2

2-1

3

1 1


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Aqui o vetor nos fornece os autovalores de e a matriz os autovetores de deforma que a i-ésima coluna de é autovetor associado i-ésimo elemento de . Ou seja,para este exemplo, 1=− 13

1é autovetor associado ao autovalor -2, e 2 =21 é

autovetor associado ao autovalor 5.O uso do comando Eigenvectors é equivalente a resolvermos o sistema − = 0,

no qual é autovalor e autovetor.Exercício:1. Verifique se as soluções encontradas satisfazem = .Solução: >v1:=DeleteColumn(e,2);

> Multiply(A,v1);

>v2:=DeleteColumn(e,1);

> Multiply(A,v2);

2.5 NULLSPACE DE UMA MATRIZ A

Por definição é o subepaço gerado pelos vetores que são solução de = 0, umvetor.

>restart:


> A:=Matrix(2,2,[[1,2],[3,6]]);

> NullSpace(A);

Nullspace de

é o núcleo de

, e o comando Nullspace(A) nos dá uma base para

o núcleo de .Outro exemplo:

:=v1

2

1

10

5

:=v2

-1

3

1

23

-2

:= A

1 2

3 6

{ }

-2

1


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>B:=Matrix(3,3,[[1,1,2],[2,2,4],[3,3,6]]);

> NullSpace(B);

2.6 PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHIMIDT

Dado um conjunto LI de vetores a aplicação do processo de ortogonalização deGram-Schimidt fornece um conjunto LI de vetores ortogonais. No MAPLE o comandoGramSchmidt realiza este processo.

>restart:


>vv:=Vector(4,a);

Declaramos os vetores

>v[1]:=Vector(4,[[1],[1],[1],[1]]):

>v[2]:=Vector(4,[[1],[2],[4],[5]]):

>v[3]:=Vector(4,[[1],[-3],[-4],[-2]]):

>ord:=GramSchmidt([v[1],v[2],v[3]]);

Caso seja necessário obter um conjunto de vetores ortonormais, procede-se:

:= B

1 1 2

2 2 4

3 3 6

:=vv

( )a 1

( )a 2

( )a 3

( )a 4

:=ord

, ,

1

1

1

1

-2

-1

1

2

85

-17

10

-13

10

7

5

,

-2

0

1

-1

1

0


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>GramSchmidt({v[1],v[2],v[3]},normalized);

Exercício:

1. Aplique os comandos para calcular norma de um vetor e produto escalar para verificar

se no exemplo anterior os vetores encontrados são unitários e ortogonais entre si.Solução:

>DotProduct(s[1],s[1]);



Daí concluímos que os vetores obtidos são unitários.>DotProduct(s[1],s[2]);



E então que são dois a dois ortogonais.

2.7 FORMA C ANÔNICA DE JORDAN

Dado um operador linear podemos escrever a Forma de Canônica de Jordandeste operador. A Forma Canônica de Jordan é descrita pelo seguinte teorema:

, ,

30

30

30

10

2 30

15

30

15

61 12570

12570

11 12570

4190

2 12570

6285

44 12570

6285

303 38129

76258

207 38129

76258

38129

5866

19 38129

10894

1

1

1

0

0

0


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Teorema:Seja : → um operador linear cujos polinômio mínimo e opolinômio característico são, respectivamente,

= − 11 ∙ − 22 ∙ ⋯ ∙ − e = − 11 ∙ − 22 ∙ ⋯ ∙ − Onde os são escalares distintos. Então possui uma representação matricial

diagonal por blocos, onde cada elemento diagonal é um bloco de Jordan = (). Paracada , o bloco correspondente possui as seguintes propriedades:

(i) Existe ao menos um de ordem ; todos os outros são de ordem

≤ .

(ii)

A soma das ordens dos é .(iii) A quantidade dos é a multiplicidade geométrica de .(iv) A quantidade dos blocos de uma ordem qualquer possível é unicamente

determinada por .Exemplo 1:

> restart:


> T:=Matrix(2,2,[3,1,2,2]);

> p(x):=factor(CharacteristicPolynomial(T,x));

> m(x):=factor(MinimalPolynomial(T,x));

>J:=JordanForm(T);

Exercício: Verifique que no exemplo anterior os autovalores da matriz T, utilizando o

comando Eigenvalues.

Observação:

Cabe aqui lembrar que uma matriz é diagonalizável se o polinômio minimal é mônico.

:=T

3 1

2 2

:=( ) p x ( ) x 1 ( ) x 4

:=( )m x ( ) x 1 ( ) x 4

:= J

1 0

0 4


22/49

>Eigenvectors(T);

Exercício: Verifique se a matriz é diagonalizável, calculando os

polinômios minimal e característico da matriz do operador. Em seguida calcule a formacanônica de Jordan.>restart:


>T:=Matrix(3,3,[3,1,-1,2,2,-1,2,2,0]);



>J:=JordanForm(T);

Exercício: Dada a matriz calcule o polinômio característico e minimal,

conclua se a matriz é diagonalizável. E então calcule a Forma Canônica de Jordan. >restart:


>T:=Matrix(3,3,[1,1,0,-1,3,0,-1,1,2]);



,

4

1

1-1

2

1 1

:=T

3 1 -12 2 -1

2 2 0

:=T

3 1 -1

2 2 -1

2 2 0

:=( ) p x ( ) x 1 ( ) x 2 2

:=( )m x ( ) x 1 ( ) x 2

:= J

1 0 00 2 1

0 0 2

:=T

1 1 0

-1 3 0

-1 1 2

:=T

1 1 0

-1 3 0

-1 1 2

:=( ) p x ( ) x 2 3

:=( )m x ( ) x 22


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>J:=JordanForm(T);

2.8 ELIMINAÇÃO G AUSSIANA

Dada uma matriz de ordem qualquer o comando GaussianElimination:

> restart:with(LinearAlgebra):

> B:=Matrix(2,3,[1,2,3,1,3,2]);

> GaussianElimination(B);

> C:=Matrix(2,2,[1,2,5,2]);

> GaussianElimination(C);

2.9 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS

Modelando situações reais podemos nos deparar com diferentes tipos de sistemas.

Aqui serão abordados alguns métodos para resolução de sistemas lineares.

Exemplo:(Fuvest 2008) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o deum suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00,calcule o preço de cada um desses itens.

Para resolver esse problema escrevemos cada afirmação como uma equação

matemática. Assim se chamarmos de 1 o preço do hambúrguer, 2 o preço do suco delaranja e

3o preço da cocada temos o seguinte sistema de equações.

:= J

2 1 0

0 2 0

0 0 2

:= B

1 2 3

1 3 2

1 2 3

0 1 -1

:=C

1 2

5 2

1 2

0 -8


24/49

31 + 2 + 23 = 21,5081 + 32 + 53 = 571 + 2 + 3 = 10

Matricialmente pode-se escrever

= ⇒ 3 1 28 3 51 1 1

× 123 = 21,55710

sendo

= 3 1 28 3 51 1 1

, = 21,55710

e = 12

3

Sabemos que o sistema tem uma única solução se o determinante da matriz fordiferente de zero. Vejamos:

>restart:


> A:=Matrix([[3,1,2],[8,3,5],[1,1,1]]);

> b:=Vector([[21.5],[57],[10]]);

>Determinant(A);

Como det ≠ 0 sabe-se que a matriz é inversível, desta forma podemos calcular:>x:=Multiply(MatrixInverse(A),b);

:= A

3 1 2

8 3 5

1 1 1

:=b

21.5

5710

1


25/49

Assim obtemos os seguintes valores das mercadorias:

1 = 4, 2 = 2,5 e 3 = 3,5 Pode-se resolver esse sistema utilizando o comando:

>LinearSolve(A,b);

Existem vários tipos de decomposição de matrizes que permitem resolver sistemas

lineares, como Fatoração LU, Fatoração de Cholesky, Fatoração LDU, Decomposição

QR, Decomposição em valores singulares (SVD). Abordaremos aqui apenas a Fatoração

LU e Fatoração de Cholesky.

2.9.1 Fatoração LU

Dado o sistema = , matriz quadrada e não singular, a fatoração LU permiteescrever a matriz como o produto de duas matrizes e , sendo uma matriztriangular inferior (Low) e

uma matriz triangular superior (Upper).

Se pudermos realizar a fatoração = , o sistema linear pode ser escrito como: = =

Para calcularmos o vetor resolveremos dois sistemas lineares:

=

e posteriormente

:= x

4.

2.50000000000000

3.50000000000000

4.

2.50000000000000

3.50000000000000


26/49

= . O camandoLUDecomposition(A) do MAPLE nos fornece, dada uma matriz , os

fatores , e a matriz de permutação.>(p,L,U):=LUDecomposition(A,method='GaussianElimination');

A matriz p, chamada matriz de permutação, determina o pivoteamento realizado. Agora vamos resolver os sistemas determinados pela fatoração:

>Pb:=Multiply(p,b);

>y:=LinearSolve(L,Pb);

>x:=LinearSolve(U,y);

Como a matriz permutação altera as linhas do sistema, a mesma deve ser

multiplicada pelo vetor a fim de realizar a mesma permutação neste vetor. Como noexemplo anterior a matriz de permutação é a identidade as linhas do vetor não serãoalteradas, mas é importante prestar atenção a este detalhe, pois = não é um casogeral.

:=, , p L U , ,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

8

31 0

1

32 1

3 1 2

01

3

-1

3

0 0 1

:= Pb

21.5

57.

10.

:= y

21.50000000000000

-0.333333333333330

3.499999999999994

:= x

4.00000000000000

2.50000000000000

3.49999999999999


27/49

2.9.2 Fatoração de Cholesky

Esta fatoração propõe decompor a matriz simétrica e definida positiva dosistema

=

, como produto de uma matriz por sua transposta, ou seja,

= Sendo uma matriz triangular inferior com os elementos da diagonal estritamentepositivos.

> A:=Matrix(4,4,[16,-4,12,-4,-4,2,-1,1,12,-1,14,-2,-4,1,-2,83]);

>G:=LUDecomposition(A,method='Cholesky');

>Gt:=Transpose(G);

Onde verificamos que

> Multiply(G,Gt);

:= A

16 -4 12 -4

-4 2 -1 1

12 -1 14 -2

-4 1 -2 83

:=G

4 0 0 0

-1 1 0 0

3 2 1 0

-1 0 1 9

:=Gt

4 -1 3 -1

0 1 2 0

0 0 1 10 0 0 9

16 -4 12 -4

-4 2 -1 1

12 -1 14 -2

-4 1 -2 83


28/49

C APÍTULO 3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Para obter resultados relacionados a equações diferenciais ordinárias no MAPLE

utilizamos o pacote DEtools. Esse pacote permite encontrar a solução de algumasequações, resolver problemas de valor inicial, plotar o gráfico de suas soluções e plotar o

campo de direções.

3.1 COMANDOS B ÁSICOS

Para declarar uma EDO precisamos identificar a ordem de cada derivada presente

na equação. Por exemplo, se quisermos declarar a derivada de ordem de umafunçãono MAPLE, escrevemos:

>diff(y(t),t$n);

Dessa forma, para declararmos uma equação diferencial no MAPLE escrevemos:

> edo:=diff(y(t),t$2)-5*y(t)=2*cos(t);

Para resolvermos um PVI devemos declarar, além da equação diferencial, ascondições iniciais do problema, procedemos da seguinte maneira:

> ics := y(0)=1,(D@@(1))(y)(1)=(0);

Em geral, o comando para resolver uma EDO é o dsolve. Agora resolvendo o

Problema de Valor Inicial acima citado:

> with(DEtools):

> edo:=diff(y(t),t$2)-5*y(t)=2*cos(t):

> ics:=y(0)=1,(D@@(1))(y)(1)=(0):

> dsolve({edo,ics},y(t));

d

d n

t n ( )y t

:=edo

d

d 2

t

2( )y t 5 ( )y t 2 ( )cos t

:=ics ,( )y 0 1 ( )( )D y 1 0

( )y t 1

15

e( )5 t

5 ( ) 4 5 ( )sin 1 e( )5

( )e( )5

2

1

1

15

e( ) 5 t

e( )5

( )20 e( )5

5 ( )sin 1

( )e( )5

2

1

1

3( )cos t


29/49

Utilizando o comando dsolve obtemos uma solução para a equação diferencial,

porém este comando não identifica o método utilizado. Para isso utiliza-se o comando

infolevel. O valor identificado no comando infolevel varia nos níveis:

- Nível 2,3: informações gerais, incluindo a técnica ou algoritmo usado.- Nível 4,5: informações mais detalhadas sobre como o problema está sendo resolvido.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Utilizando a Equação Diferencial + 5 = 2 cos. > with(DEtools):

> edo:=diff(y(t),t$1)-5*y(t)=2*cos(t):

> infolevel[dsolve]:=4: > dsolve(edo,y(t));

Methods for first order ODEs:

--- Trying classification methods ---trying a quadrature

trying 1st order linear with(DEtools):

> edo:=diff(y(x),x$1)=(3*x^2+4*x+2)/(2*(1-y(x))):

> infolevel[dsolve]:=4:

> dsolve(edo,y(x));

Methods for first order ODEs:

--- Trying classification methods ---trying a quadraturetrying 1st order lineartrying Bernoullitrying separable


30/49

Para resolvermos as equações por fator integrante usamos o comando dsolve, mas se

desejarmos saber qual é o fator integrante na Equação Diferencial, usamos o comando

intfactor .

Exemplo: + + 1 = .

> with(DEtools): > edo:=t*diff(y(t),t)+(t+1)*y(t)=t;

>

> dsolve(edo,y(t));

> intfactor(edo);

3.2.2 Equações Separáveis

Para resolvermos Equações Diferenciais Separáveis utilizamos o comando

separablesol.

Exemplo: = 1−2() .

> with(DEtools):

> edo:=diff(y(t),t)=(1-2*t)/y(t);

> separablesol(edo,y(t));

3.2.3 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS

Para resolvermos Equações Diferenciais Homogêneas utilizamos o comando

genhomosol.

Exemplo: = ²+²² .

> with(DEtools):

> edo:= diff(y(x),x$1)=(x^2+x*y(x)+y(x)^2)/x^2;

:=edo t

d

d

t ( )y t ( )t 1 ( )y t t

( )y t 11

t

e( )t

_C1

t

e t

:=edo d

d

t ( )y t

1 2 t ( )y t

{ },( )y t 2 t 2 t 2 2 _C1 ( )y t 2 t 2 t 2 2 _C1


31/49

> genhomosol(edo,y(x));

3.2.4 Equações Exatas

Para resolvermos Equações Diferenciais por Bernoulli utilizamos o comando

bernoulliosol.

Exemplo: ² + 2 = . resolvermos Equações Diferenciais Exatas utilizamos o comando exactsol.Exemplo:

= (2x) + − 1.

> with(DEtools):

> edo:=diff(y(x),x$1)= exp(2*x)+y(x)-1;

> exactsol(edo,y(x));

3.2.5 Método de Bernoulli

> with(DEtools):

> edo:=x^2* diff(y(x),x$1)+y(x)^2=x*y(x);

> bernoullisol(edo,y(x));

3.3 C AMPO DE DIREÇÕES PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

Para plotar o campo de direções de Edo utilizamos o comando dfieldplot. Vamos

através de um exemplo construir o campo de direções.

Exemplo (Boice 2006): Seja uma população de presas dada pela equaçãodiferencial

:=edo d

d

x( )y x

x2 x ( )y x ( )y x 2

x2

{ }( )y x ( )tan ( )ln x _C1 x

:=edo d

d

x( )y x e

( )2 x( )y x 1

{ }( )y x ( )e x2

1 _C1 e x

:=edo

d

d

x( )y x x2 ( )y x 2 x ( )y x

{ }( )y x x

( )ln x _C1


32/49

= 0.5 − 450 sendo 0.5 a taxa de crescimento da população de presas por mês na ausência de

predadores e 450 o número de presas mortas pelos predadores por mês.

Podemos observar que para valores de temos: > 900 temos > 0, para < 900 temos < 0 e para = 900 temos = 0, o quepode ser observado também no campo de direções.

> restart: with(DEtools):edo:=diff(p(t),t)=0.5*p(t)-450:

dfieldplot(edo,{p(t)},t=-3..3,p=800..1000,color=green,title=`Campo de direções daequação diferencial`);

Vejamos outros exemplos:> restart: with(DEtools):edo:=diff(y(t),t)-(2*y(t))=3*(exp(t)):dfieldplot(edo,{y(t)},t=-3..3,y=-3..3,color=green,title=`Campode direções da equação diferencial dy/dt-2*y(t)=3*(exp(t))`);


33/49

Caso deseja-se plotar no campo de direções uma solução da equação, dadas ascondições iniciais podemos utilizar o comando DEplot. Exemplo:

> DEplot(edo,y(t),t=-3..3,[[y(0)=1]],y=-3..3);

Exercício: Plote o campo de direções da

= −4 + 32 + utilizando o comando dfieldplot, e também utilizando o comando DEplot com a

condição inicial 0 = 1.

> restart: > with(DEtools):


34/49

> edo:=diff(y(x),x)=(-((4*x)+(3*y(x)))/((2*x)+(y(x))));

> dfieldplot(edo,{y(x)},x=-3..3,y=-

3..3,color=green,dirgrid=[50,50],title=`Campo de direções daequação diferencial`);

> DEplot(edo,y(x),x=-7..7,[[y(0)=1]],linecolor=[blue],y=-5..5);

3.3 PLANOS DE F ASE

O plano de fase será construído com a utilização do comando phaseportrait, no

qual são explicitadas as condições iniciais que desejamos plotar as soluções, como segue:

:=edo d

d

x( )y x

4 x 3 ( )y x 2 x ( )y x


35/49

> phaseportrait(diff(y(x),x)=-y(x)+x,y(x),x=-1..2.5,[[y(0)=0],[y(0)=1],[y(0)=-1]],colour=magenta,linecolor=[gold,yellow,wheat]);

> restart:

> with(DEtools): > phaseportrait(Pi*diff(y(x),x)=y(x)-x,y(x),x=-2.5..1.4,[[y(0)=1]],y=-4..5,stepsize=.05);

Exercício: Plote o plano de fase do EDO:

= − − 2


36/49

com as condições iniciais: 0 = 0, 0 = 1,0 = −1. Utilize o Título “Plano deFAse”, como cor das soluções defina, azul, preto e vermelho, e como cor do campo de

direções defina verde:

> restart: with(DEtools):edo:=diff(y(x),x)=-y(x)-x^2:

> phaseportrait(D(y)(x)=-y(x)-x^2,y(x),x=-1..2.5,[[y(0)=0],[y(0)=1],[y(0)=-1]],title=`Plano defase`,colour=green,linecolor=[blue,black,red]);

3.4 EQUAÇÃO DO PÊNDULO

Nesta seção vamos obter os planos de fase da equação do pêndulo. Para isso

consideraremos as seguintes situações: pêndulo não amortecido, com pequenas

oscilações e com oscilações maiores e o pêndulo amortecidos. Para cada caso será

construído o plano de fase com uma animação em relação ao tempo.

3.4.1 Pêndulo não amortecido

A equação que modela o movimento do pêndulo simples não amortecido é

+ () = 0 (1)

Para o caso com pequenas oscilações, podemos considerar

(

)

≈ , assim a

equação (1) pode ser escrita como


37/49

+ = 0 (2)E tomando = e = = temos o seguinte sistema associado a (2)

=

= − Vejamos agora como obter o plano de fase,

>restart:

> with(DEtools):

> with(plots):

>sistema1:=[diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=-x(t)];

>g1:=DEplot(sistema1,{x(t),y(t)},t=-2..2,x=-6..6,[[x(0)=k,y(0)=2] $ k=-5..5],y=-6..6,color=brown,dirgrid=[20,20],linecolour=blue):

>g2:=DEplot(sistema1,{x(t),y(t)},t=-2..2,x=-6..6,[[x(0)=k,y(0)=-2] $ k=-5..5],y=-6..6,color=brown,dirgrid=[20,20],linecolour=blue):

>display([g1,g2]);

O plano de fase dado acima pode ser dado também por:

>restart:

> with(DEtools):

> with(plots):

>sistema1:=[diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=-x(t)];

:= sistema1

,d

d

t ( )x t ( )y t

d

d

t ( )y t ( )x t


38/49

DEplot(sistema1,{x(t),y(t)},t=-2..2,x=-6..6,[[x(0)=k,y(0)=k] $k=-10..10],y=-6..6,color=brown,dirgrid=[20,20],linecolour=blue);

O plano de fase animado para a equação (2) é obtido como segue

>DEplot([diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=-x(t)],[x(t),y(t)],t=0..10,[[x(0)=0,y(0)=.5],[x(0)=0,y(0)=1],[x(0)=0,y(0)=1.8],[x(0)=5,y(0)=1],[x(0)=-4,y(0)=1],[x(0)=-Pi,y(0)=1],[x(0)=Pi,y(0)=1], [x(0)=-2*Pi,y(0)=1],[x(0)=2*Pi,y(0)=.5],[x(0)=-2*Pi,y(0)=2.1],[x(0)=2*Pi,y(0)=-2.1]],title=`Plano defase`,dirfield=300,color=magnitude,linecolor=blue,animate=true);

:= sistema1

,d

d

t ( )x t ( )y t

d

d

t ( )y t ( )x t


39/49

Para o caso com oscilações maiores temos a equação (1) que pode serrepresentada como o sistema de equações de primeira ordem,

= = −sin () >restart:

> with(DEtools):

> with(plots):

>sistema1:=[diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=-sin(x(t))];

>g1:=DEplot(sistema1,{x(t),y(t)},t=-10..10,x=-12..12,[[x(0)=k/1,y(0)=0] $ k=-20..20],y=-5..5,color=gray,dirgrid=[20,20],linecolour=blue):

>g2:=DEplot(sistema1,{x(t),y(t)},t=-10..10,x=-

12..12,[[x(0)=2*k,y(0)=-2] $ k=-10..10],y=-5..5,color=gray,dirgrid=[20,20],linecolour=blue):

>g3:=DEplot(sistema1,{x(t),y(t)},t=-10..10,x=-12..12,[[x(0)=2*k,y(0)=2] $ k=-10..10],y=-5..5,color=gray,dirgrid=[20,20],linecolour=blue):

>display([g1,g2,g3],thickness=4,title=`Plano de fase`);

O plano de fase animado para este sistema é dado

>DEplot([diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=-sin(x(t))],[x(t),y(t)],t=0..10,[[x(0)=0,y(0)=.5],[x(0)=0,y(0)=1],[x(0)=0,y(0)=1.8],[x(0)=-2*Pi,y(0)=1],[x(0)=2*Pi,y(0)=.5],[x(0)=-2*Pi,y(0)=2.1],[x(0)=2*Pi,y(0)=-2.1]],title=`plano defase`,dirfield=300,color=magnitude,linecolor=blue,animate=true);

:= sistema1

,d

d

t ( )x t ( )y t

d

d

t ( )y t ( )sin ( )x t


40/49

3.4.2 Pêndulo com amortecimento

A equação que modela o movimento do pêndulo simples não amortecido é

+ + () = 0 (3)E tomando = e = = temos o seguinte sistema associado a (2)

= = −− ()

Vejamos agora como obter o plano de fase,

>restart:

> with(DEtools):

> with(plots):

> mu:=1:gl:=4:

>sistema1:=[diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=-mu*y(t)-gl*sin(x(t))];

>g1:=DEplot(sistema1,{x(t),y(t)},t=-5..5,x=-10..10,[[x(0)=k,y(0)=0] $ k=-10..10],y=-

10..10,color=gray,dirgrid=[20,20],linecolour=blue): >g2:=DEplot(sistema1,{x(t),y(t)},t=-5..5,x=-10..10,[[x(0)=k,y(0)=-2] $ k=-10..10],y=-10..10,color=gray,dirgrid=[20,20],linecolour=blue):

>g3:=DEplot(sistema1,{x(t),y(t)},t=-5..5,x=-10..10,[[x(0)=k,y(0)=2] $ k=-10..10],y=-10..10,color=gray,dirgrid=[20,20],linecolour=blue):

>display([g1,g2,g3],thickness=4);

:= sistema1

,d

d

t ( )x t ( )y t

d

d

t ( )y t ( )y t 4 ( )sin ( )x t


41/49

O plano de fase animado é dado por>DEplot([diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=-mu*y(t)-4*sin(x(t))],[x(t),y(t)],t=0..10,[[x(0)=0,y(0)=.5],[x(0)=0,y(0)=1],[x(0)=0,y(0)=1.8],[x(0)=-2*Pi,y(0)=1],[x(0)=2*Pi,y(0)=.5],[x(0)=-2*Pi,y(0)=2.1],[x(0)=2*Pi,y(0)=-2.1]], title=`Vibraçãodo Pêndulo`,dirfield=300,color=magnitude,linecolor=blue,animate=true);


42/49

C APÍTULO 4. PROGRAMAÇÃO

Neste capítulo procura-se apresentar alguns dos comandos básicos paraprogramação, e alguns exemplos de programas simples.

4.1 COMANDOS B ÁSICOS

4.1.1 Comando: for

O comando for é uma estrutura de programação que permite realizar iterações,“loop”. Este comando é dado da seguinte forma:

for i from a to b do

comando a ser realizadood ;

Sendo:i: variável do loop;a: valor inicial;b: valor final.Observação: O comando for sempre deve ser encerrado com od .Exemplo: Somar à 10 uma variável que assuma valores de 1 até 3.

> for i from 1 to 3 do

10+iod;

Se no exemplo anterior fosse necessário armazenarmos os valores obtidospoderíamos proceder da seguinte forma:> for i from 1 to 3 dos[i]:=10+iod;

Exemplo: Utilize o comando for para escrever os números pares ( = 2) para = 1,… ,10:> for k from 1 to 10 do

n[k]:=2*kod;

11

12

13

:= s1

11

:= s2

12

:= s3

13


43/49

Exercício: Utilizando o comando para obter os alguns números pares, obtenhaagora os números ímpares com = 1… 5:> for k from 1 to 5 do

n[k]:=2*k+1od;

Exercício: Calcule as integrais das funções = para variando de 1 até 3.> for i from 1 to 3 doInt(x^i,x=0..2)=int(x^i,x=0..2)od;

Exemplo: Dada uma matriz

, queremos somar 1 em cada uma de suas

coordenadas utilizando o comando for.

:=n1

2

:=n2

4

:=n3

6

:=n4 8

:=n5

10

:=n6

12

:=n7

14

:=n8

16

:=n9

18

:=n10 20

:=n1

3

:=n2

5

:=n3 7

:=n4

9

:=n5

11

d

0

2

x x 2

d 0

2

x2 x8

3

d 0

x3 x 4


44/49

Observação: Essa operação já foi realizada utilizando o comando Map. > restart:

> A:=Matrix(2,2,[a,b,c,d]);

> for i from 1 to 2 dofor j from 1 to 2 do A[i,j]:=A[i,j]+1

od;od; print(A);

4.1.2 Comando: if

A estrutura if permite que executemos um determinado comando sob certascondições. De maneira geral é executado da seguinte forma:if condição then comando1 else comando2 fi;

Observação: Quando utilizamos a estrutura if sempre encerramos com fi.Exemplo:> x[1]:=1;

> if x[1] x:=3;

:= x 3

> if x 00, , ≤ 0

> restart:with(LinearAlgebra): > A:=Matrix(2,2,[2,4,-1,9]):

:= A

a b

c d

a 1 b 1

c 1 d 1

:= x1

1

:=n 1

:= f 3

:= A

2 4

-1 9


45/49

> B:=Matrix(2,2,a):

> for i from 1 to 2 dofor j from 1 to 2 doif A[i,j] s:=0:

> while s


46/49

posteriormente possamos acioná-lo. Vamos através de um exemplo ilustrar asobservações realizadas acima.Exemplo 1: Calcular o módulo de um número ℝ.

Neste exemplo temos como dado de entrada , podemos chamar o procedimentode modulo, vejamos:> restart: > modulo:=proc(x)

if x modulo(2);

> modulo(-2);

Exemplo 2: Calcular a média aritmética para três valores dados:> restart:aritmetica:=proc(v1,v2,v3)(v1+v2+v3)/3

end:

> aritmetica(7,8,9);

Exemplo 3: Calcular a média geométrica para 4 valores dados.> restart:geometrica:=proc(v1,v2,v3,v4)

evalf(v1*v2*v3*v4)^(1/4)end:

> geometrica(6,5,7,8);

Exemplo 4: Somar os primeiros números naturais.> restart:

> soma:=proc(n)local s,i;s:=0;

for i from 1 to n dos:=s+i

od;end:

2

2

8

6.4021717


47/49

Neste caso o comando local declara as variáveis que serão utilizadas no interior doprograma.> soma(100);

Exemplo 5: Declarar a função = , < −2 + 1, − 2 ≤ < 02 , ≥ 0 > restart:

> f:=proc(x)if x SeqFibonacci:=proc(n,integer)

if n=0 then 0elseif n=1 then 1else SeqFibonacci(n-1)+SeqFibonacci(n-2)

fi;fi;

end:

> SeqFibonacci(11);

Exemplo 7: Calcular as matriz transposta conjugada de uma matriz de ordem × .> restart:

> transpostaconjugada:=proc(A,m,n)local At, i,j; with(LinearAlgebra): At:=matrix(n,m,a);

for i from 1 to n dofor j from 1 to m do At[i,j]:=conjugate(A[j,i])od;od;

505

4

89


48/49

print(At);end:

Vamos agora aplicar o procedimento acima a uma matriz em particular.

> m:=2:n:=3:

> A:=Matrix(m,n,[[I,2,-2*I],[4,0,2]]);

> transpostaconjugada(A,m,n);

Exemplo 8: Dadas duas matrizes e de ordem × , criar um procedimento querealize a soma destas matrizes.> restart:Soma:=proc(A,B,m,n)

local M, i,j; with(LinearAlgebra): M:=Matrix(m,n,a);

for i from 1 to m dofor j from 1 to n do

M[i,j]:=A[i,j]+B[i,j]od;od;

print(M);end:

Aplicando o procedimento para matrizes em particular:> m:=2:n:=3:

> A:=Matrix(m,n,[[1,2,0],[0,2,1]]):

> B:=Matrix(m,n,[[1,1,1],[5,2,0]]): > Soma(A,B,m,n);

:= A

I 2 -2 I

4 0 2

I 4

2 0

2 I 2

2 3 1

5 4 1


49/49

BIBLIOGRAFIA

- NEVES, J. C. Programação em MAPLE. Disponível em. Acesso em 28set. 2010.

- ANDRADE, L. N.; Introdução à computação algébrica com o MAPLE. Rio de Janeiro:Sociedade Brasileira de Matemática, 2004.

- PORTUGAL, R.; Introdução ao MAPLE. Petrópolis - RJ, 2002.

- RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos ecomputacionais. 2.ed. São Paulo, Makron, 1997.

- LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. 3.ed. COLEÇAO SCHAUM. Porto Alegre, bookman,2008.

- BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de

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