MANUAL ELEMENTAL DE ALGEBRAFundamentación Pedagógica y Didáctica

En la preparación del presente texto se ha hecho un gran esfuerzo en escoger y arreglar los contenidos del Algebra elemental de tal manera que satisfaga las necesidades de los que estudian el Algebra como introducción a las matemáticas superiores, o como parte de los contenidos a cubrir dentro del Algebra de la enseñanza media básica. De tal manera que se ha creado un texto sencillo cuyo estudio sirva de base a áreas más elevadas de la Matemática.

Por muchos años la enseñanza de las Matemáticas en la escuela secundaria ha sido considerada una asignatura de gran dificultad y de manera particular la enseñanza del Algebra se ha constituido en un gran dolor de cabeza tanto para Maestros como para alumnos de tal manera que uno de los niveles más altos en reprobación se encuetra precisamente en las Matemáticas; la presentación de ese material viene a constiuir una nueva opción para la enseñanza del Algebra . El hecho de presentarlo como un Manual de Autoaprendizaje de Algebra elemental, significa que es un texto que ha sido elaborado de tal manera que permita a cualquier alumno con unos conocimietos elementales de Arimética el poder asimilar de una manera sencilla y gradual todos aquellos conocimientos que se consideran son básicos en cuanto al conocimiento del Algebra.

En la elaboración de este texto partimos de lo siguiente:

El Algebra no es sino una continuación de la Aritmética y como tal debe ser enseñada. Hay indudablemente un cambio metodológico que significa un gran avance en el terreno de la generalidad y la abstracción al pasar del cálculo numérico de la Aritmética al literal del Algebra. Para conservar el nexo entre ambas disciplinas, es necesario que el alumno tenga siempre presente, que el simbolismo algebraico es únicamente una forma representativa general, pero de contenido aritmético.

Cuando relacionamos la Aritmética con el Algebra se consigue al mismo tiempo que el Algebra no sea considerada por el alumno como un formulismo vacío.

El texto que presento tiene como objetivo el proporcionar a los alumnos de la escuela secundaria un nuevo recurso para introducirse al mundo del Algebra.

En la primera parte se tratan las generalidades del Algebra así como las operaciones elementales con expresiones literales. La segunda parte tiene como punto principal la resolución de ecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas y la aplicación en la resolución de problemas. La tercera parte está constituida por la parte avanzada de Algebra, en donde se estudian las ecuaciones de segundo grado.

La primera parte, que podríamos llamar técnica operatoria, tiene por objeto inmediato familiarizar al alumno con el manejo del lenguaje algebraico y las operaciones con expresiones literales enteras y fraccionarias, además de otros recursos operatorios como manejo de signos y paréntesis, operaciones con igualdades , factorización, etc.

Convenientemente enseñada, esta parte del álgebra proporciona valores formativos y de preparación para otros estudios. * En primer lugar debemos destacar el carácter de máxima generalidad y abstracción de las fórmulas que se manejan y que hacen que el razonamiento utilizado en las teorías algebraicas sea el prototipo del razonamiento formal, es decir, ese conjunto de relaciones lógico-matemáticas que constituyen los esquemas del pensamiento deductivo.

En lo que a generalidad de los procedimientos algebraicos se refiere, basta decir que en cualquiera de las ramas de la Matemática, en la Física, Astronomía, Economía, en las disciplinas técnicas y cualquier otra rama del saber en que se utilizan fórmulas es necesario enseñar el mecanismo algebraico. De tal manera que se puede afirmar que la abstracción y generalidad son las característica de esta parte del álgebra que le dan importancia formativa.

El presente texto pretende que el alumno en su aprendizaje del álgebra logre el dominio conceptual de los procedimientos operatorios del álgebra, dejando de lado procedimientos particulares artificiosos. Se tendrá así la seguridad de que el alumno se está preparando para el manejo conveniente de las fórmulas que se le presentarán en otras partes del álgebra, en la Geometría y demás ramas de la Matemática y en otras aplicaciones y campos del saber.

*En la segunda parte del Algebra, es decir, el estudio de las ecuaciones y sus aplicaciones, tiene mucha importancia desde el punto de vista didáctico.Pocos temas de la Matemática presentan tanta riqueza de motivos educativos y de aplicación como este tema de álgebra. El texto presenta además una serie de expresiones verbales y algebraicas que permiten al alumno una ampliación en su lenguaje algebraico que le permitan resolver de una manera más clara y sencilla cualquier clase de ecuación. En la resolución de problemas se ponen en práctica los procedimientos adquiridos a través de su aprendizaje, ejercitando el poder de raciocinio del alumno en la solución de problemas.En esta parte, la abstracción, que es la característica del álgebra en su primera etapa, deja en ésta su pedestal de formulismo puro para servir de camino de interpretación y resolución de gran cantidad de problemas reales que por la variedad y riqueza de sus motivos, que si logran despertar en alto grado el interés de los alumnos permitirán obtener un magnífico rendimiento educativo.

*La tercera parte esta formada por las ecuaciones de segundo grado ; viene a constituir y afinar el rigor lógico y matemático. Adquiere también gran importancia y es necesario destacar el uso de procedimientos gráficos como medio para representar e interpretar los resultados del Algebra.

NOCIONES GENERALES DE ALGEBRAAlgebra es la rama de las matemáticas que estudia de manera más amplia o general las operaciones aritméticas. En Aritmética las cantidades se representan por medio de números y estos expresan valores determinados. A diferencia de la Aritmética, en el Algebra, la resolución de los problemas es más amplia, más general; en tanto que en Aritmética, las soluciones son muy particulares, ya que solamente se da solución al problema planteado, al trabajar estrictamente con números no es posible establecer reglas generales de solución.(Aunque a partir de la Aritmética es como podemos conceptualizar y dar sentido a una regla algebraica)

En Algebra para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras o literales, las cuales pueden representar todos los valores. Los símbolos usados en Algebra para representar las cantidaes son los números y las letras. Letras o literales.- Se llaman así a las letras del abecedario que se utilizan para represenrar valores. Se puede utilizar cualquiera de ellas aunque las más usadas son las primeras: ”a” , “b” ; “c” y las últimas “x” , “y” , “z”

SIGNOS DEL ALGEBRALos signos empleados en Algebra son de tres clases: De operación, de relación y de agrupación

a)Signos de operación. Al igual que en Aritmética, en algebra se emplean las mismas operaciones; sólo que en Algebra las operaciones pueden indicarse de diversas formas.

.Para la suma o adición: signo “+” que se lee más. a + b se lee: “a” más “be” x + y se lee: “equis” más “ye”

.Para la resta o sustracción: signo “ - “ que se lee menos. m - n se lee: “eme” menos “ene” a - b se lee: “a” menos “ be”

.La multiplicación se puede indicar de diversas formas: .Por paréntesis juntos: ( )( ) ; (a)(b) se lee: “a” por “be” .Letras juntas: a b c se lee: “a” por “be” por “ce” .Un número junto a una letra: 3a se lee: “tres” por “a” .Un número o una letra junto a un paréntesis: 4(a) se lee: “cuatro” por “a” a(x) se lee : “a” por “equis” .Un punto entre letras o entre números y letras: 5 . a se lee: “cinco” por “a” a . b . c se lee: “a” por “be” por “ce” *En Algebra se elimina o se omite el signo “x” para evitar confusiones con la letra “x” equis.

La potenciación se indica con el exponente colocado en la parte superior derecha de la letra o del paréntesis que encierra al término o cantidad que se desea elevar a la potencia indicada por el exponente. .Si el exponente es dos, se lee: “cuadrada” b2 “be cuadrada” . si el exponente es tres, se lee: “cúbica o cubo” ; x3 “equis cúbica “ o “cubo de equis” .Cuando la expresión se encuentra entre paréntesis, se emplea la preposición : “al ” (b)2 “be al cuadrado” (x)3 “equis al cubo” .Si el exponente es cuatro, se lee a la cuarta; si es cinco, a la quinta, etc.

En la división podemos emplear los siguientes símbolos:

__ sobre o entre a “a” entre “be” b: entre a : b “a” entre “be”

entre b a “a” entre “be”

: entre a : b “a” entre “be”

La radicación se indica con el símbolo llamado radical ; bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz.*El índice es el número que indica la raíz a extraer .Si el índice es dos, se lee: raíz cuadrada 2 a raíz cuadrada de “a” * Cuando es raíz cuadrada generalmente se omite el índice

. Si el índice es tres, se lee: raíz cúbica 3 a raíz cúbica de “a” .Si el índice es cuatro, se lee: raíz cuarta 4 x ; si es cinco, raíz quinta 5 yb) Signos de relación. Estos signos se emplean para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: = igual 6 + 1 = 5 + 2Ä > mayor que 12 > 7 < menor que -3 < 1 = diferente o desigual 4 + 3 = 7 + 4 = idéntico 12 = 12

c) Signos de agrupación. Los principales signos de agrupación son:

( ) los paréntesis ordinarios{ } las llaves corchetes__ barra o vínculo

TERMINOS USADOS EN ALGEBRA

Expresión algebraica. Es la representación de uno o varios símbolos que pueden indicar una o varias operaciones algebraicas.Así , son expresiones algebraicas.6a2 Indica: multiplicación y potenciación *multiplicación: número junto a una letra ; potenciación por el exponente.

x + 2ab - 7 Indica: suma, resta y multiplicación

3a 2 b + 4w Indica: suma, multiplicación, potenciación y división 2bTérmino. Es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos, no separados entre sí por el signo más “+” o por el signo menos “-”. 3ab es una expresión con un sólo término 3a + 2b3 es una expresión algebraica con 2 términos a + b + c - x es una expresión algebraica con 4 términos x2 + 4bx - 8 es una expresión algebraica de tres términos

Elementos de un término. Los elementos de un término son: El signo, el coeficiente, la parte literal y el exponente.

El signo. Por el signo, los terminos pueden ser positivos o negativos.

Son positivos todos aquellos términos que llevan antes el signo más “+”; o bien todos aquellos términos que no tienen signo indicado. +3a , +8 , +4x2 , 7w , 6a2b todos son términos positivos. Son negativos todos los términos que llevan antes el signo menos “-” - 4xz , - 6m , - 8x2y , - 5ab

El coeficiente. Es el número que va a la izquierda de la parte literal y que indica las veces que esa parte literal se ha tomado como sumando. Término Coeficiente Significa 3x 3 x + x + x 2xyz 2 xyz + xyz -4y - 4 (-y) + (-y) + (-y) + (-y) 3x2 3 x2 + x2 + x2 a 1 a * Cuando la literal no tiene coeficiente, se considera como coeficiente, la unidad “1” “a” sus coeficiente es uno “mn” su coeficiente es uno

* En algunos casos el coeficiente se indica con una letra para hacer una generalización. La letra que más se emplea es la “n” ; así tenemos que : nx significa: x + x + x + x + ...x o sea “n” veces “equis”

La parte literal. Está formada por las letras que haya en el término.

El exponente. Es el número que va en la parte superior derecha de la literal o del paréntesis y que indica las veces que dicha letra o letras se multiplican por sí mismas. Termino Exponente Significa x3 3 x . x . x (2ab)4 4 (2ab)(2ab)(2ab)(2ab) x2y2 2,2 (x)(x)(y)(y) ab3c2 1,3,2 a.b.b.b.c.c* Cuando las literales no tienen exponente, se considera como exponente “1”; generalmente se omite.

También el exponente puede estar indicado por una literal (para generalizar) y significa que se multiplica por sí mismo “n” veces.

xn significa: (x)(x)(x)(x)...(x)

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS De acuerdo al número de términos que tiene una expresión algebraica, estas se clasifican en monomios y polinomios.

Monomios.Son todas aquellas expresiones algebraicas formadas por un sólo término. 3a , 4bx , 5b2w , -8x2bz , 3a 2 b 5xPolinomios. Son todas aquellas expresiones algebraicas formadas por dos o más términos; cuando etá formada por dos términos se les llama binomios; cuando está formada por tres términos se les llama trinomios, si está formada por cuatro términos o más, simplemente se les llama polinomios.

Binomios Trinomios Polinomios 3x + 2y a + b + c 2x + 3y3 + 4z - 3 3x2 - 6x 4x2 - 3x + 8 3xz + 3x + 6z + 3 x - y a + b + c a + b - c + w

GRADO DE UN MONOMIO Y DE UN POLINOMIO

El grado de un término o monomio puede ser de dos clases: Absoluto y con respecto a una letra..El grado con respecto a una letra queda determinado por el exponente de dicha letra..El grado absoluto queda determinado por la suma de los exponentes de las literales que haya en el monomio. 3x2y3 Grado de “x”: 2º ; Grado de “y” : 3º ;Grado absoluto: 5º

-5ab2c3 Grado de “a”: 1º ; Grado de “b” : 2º ; Grado de “c” : 3º ; Grado absoluto : 6º

5xy4 Grado de “x” : 1º ; Grado de “y” : 4º ; Grado absoluto: 5º

Grado de un polinomio.El grado de un polinomio también puede ser de dos clases: con respecto a una letra y absoluto.El grado con respecto a una letra queda determinado por el mayor exponente que tenga dicha letra en el polinomio.El grado absoluto lo determina el mayor exponente que haya en el polinomio, sin importar la letra que lo tenga. 6x3y + 4x2y5 + 7xyGrado de “x”: 3º Grado de “y”: 5º ; Grado absoluto : 5º

5a2b - 3abc2 + 2a3b2c - 6abcGrado de “a” : 3º : Grado de “b” : 2º ; Grado de “c” : 2º ; Grado absoluto : 3º

4x2 + 5a5 - 7b4

Grado de “a” : 5º ; Grado de “x” : 2º ; Grado de “b” : 4º ; Grado absoluto : 5º

ORDENAMIENTO DE POLINOMIOSOrdenar un polinomio es escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra escogida vayan aumentando o disminuyendo. Si el ordenamiento del polinomio se hace a partir del término que tiene el menor exponente, se dice que está ordenado en forma creciente o ascendente. Si el ordenamiento de un polinomio se hace a partir del término que tiene el mayor exponente con respecto a una literal, se dice que el ordenamiento es decreciente o descendente.Término independiente. Es el término que no tiene parte literal. *En el orden creciente, el término independiente se escribe al principio. *En el orden decreciente, el término independiente se escribe al final

Ejemplo: 5a3 - 8 + 3a - 4a2

Orden creciente : -8 + 3a - 4a2 + 5a3 Los exponentes de “a” van de menor a mayor

Orden decreciente: 5a3 - 4a2 + 3a - 8 Los exponentes de “a” van de mayor a menor

El término no debe de cambiar ninguna de sus literales, exponentes o signo; sólo cambia el orden de sus términos .

Cuando en el polinomio en cada término hay dos o más literales, se determina sobre que literal se va a realizar el ordenamiento.

5x4y3 + 6x2y4 - 5 + 4xy2 - 6x3yOrdenando en forma creciente con respecto a “x” tenemos:-5 + 4xy2 + 6x2y4 - 6x3y + 5x4y3 Los exponentes de “x” van creciendo

Si ordenamos en forma decreciente con respecto a “y” tenemos:6x2y4 + 5x4y3 + 4xy2 - 6x3y - 5

Cuando en el polinomio las letras en cada término son diferentes, el polinomio se ordena alfabeticamente.

8 + 3c - 5b + 4aordenando: 4a - 5b + 3c + 8

Términos semejantes. Son aquellos términos que tienen las mismas literales y los mismos exponentes, aunque tengan diferentes los signos y los coeficientes.

2ab términos semejantes: -4ab , 5ab , ab , 32ab , -9ab5x2y términos semejantes: 8x2y , 4x2y , -9x2y - 4.5 x2y5(a+x) términos semejentes: 3(a + x) , -6(a + x) , 15(a + x) 7x3 términos semejantes: 12x3 , 7x3 , -5x3 , x3

VALOR NUMERICO DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA

El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene al sustituir las literales que haya en la expresión por el valor numérico que se establece para cada una de las letras. Después se hacen las operaciones que quedan indicadas. Así se calcula el valor numérico de cada expresión.Ejemplo:

Si : a = 3 ; b= -2 ; c = 5

1) 2a - 3b + 5c = Sustituimos las literales por los valores que se determinaron.

2(3) - 3(-2) + 5(5) = 6 + 6 + 25 = 372) 5a2 = Primero se hace la potencia y luego la multiplicación

5(3)2 = 5(9) = 453) 3ab2 = 3(3)(-2)2 = 3(3)(4) = 364) 3a + 2ab - 5ac = 3(3) + 2(3)(-2) - 5(3)(5) = 9 - 12 - 75 = -785) 8a = 8(3) = 246) a3 + b2 - 4c = (3)3 + (-2)2 - 4(5) = 27 + 4 - 20 = 11 Si se cambia el valor numérico de las literales o variables, entonces cambia el valor numérico de la expresión algebraica.

Si : a = 4 , b = 1 ; c = -3

Empleamos la misma expresión algebraica de los ejercicios anteriores.2a - 3b + 5c = sustituimos las variables por los valores que se les asignaron

2(4) - 3(1) + 5(-3) =8 - 3 - 15 = -10 Podemos observar que el resultados es diferente.

El valor numérico de una expresión algebraica también puede presentarse en forma de tabla.

Para completar una tabla se hace lo siguiente:

1.- Se observa la expresión algebraica y las variables que esta contiene2.- Se observan los valores que tienen las variables en cada columna3.- Se resuelven las operaciones indicadas en cada expresión algebraica sustituyendo las variables por los valores que se establece en cada columna4.- En el cuadro correspondiente al resultado se llena con el valor numérico encontrado para cada columna.Ejemplos.

3a + 2b . . a 3 5 -10 . b 5 6 11 .

Resolvemos las operaciones indicadas por la expresión algebraica y tomamos los valores que determinan las variables en cada columna. 3a + 2b Primera columna: 3(3) + 2(5) = 9 + 10 = 19 Segunda columna: 3(5) + 2(6) = 15 + 12 = 27 Tercera columna: 3(-10) + 2(11) = -30 + 22 = -8

Al llenar la tabla de valores obtenemos lo siguiente:

Llenar la tabla: a 3 . a 3 7 2 8

Se sustituye la variable por el valor que le corresponde en cada columna.

(3)3 = 27 (7)3 = 343 (2)3 = 8 (8)3 = 512

Llenamos la tabla devalores con los resultados que se obtuvieron después de cada sustitución. a 3 27 343 8 512 . a 3 7 2 8

OPERACIONES ALGEBRAICAS

Al igual que en Aritmética, en el Algebra también se manejan todas las operaciones elementales (suma o adición , resta o sustracción , multiplicación , potenciación, división y radicación ). Para poder tener un buen conocimiento de las operaciones algebraicas, es necesario tener conocimiento y dominio de las operaciones con números racionales (números enteros, fracciones comúnes, fracciones decimales). Suma o adición algebraica.La suma algebraica consiste básicamente en lo que se llama reducción de términos semejantes, es decir, que si se tienen varios términos que son semejantes entre sí, se puede reducir a uno sólo. En la suma algebraica tendremos los siguientes casos: a) suma de monomios b) suma de polinomios

Suma de monomios.Para la suma de monomios debemos tener en cuenta lo siguiente:1.- Las reglas de los signos para la suma: * Números con el mismo signo se suman y en el resultado se conserva el mismo signo. * Números con signos diferentes se restan y en el resultado se escribe el signo del número de mayor valor absoluto.2.- Observar todos los términos que sean semejantes entre sí.3.- Hacer la reducción de los términos semejantes. Ejemplos:3a + 5a + 4a = (3 + 5 + 4 )a = 12a se suman los coeficientes y el resultado se indica con su parte literal6x - 4x + 5x = (6 - 4 + 5)x = 7x5a + 3a + a = 9a6xy + 4xy + 4xy = 14xy6b + 8b - 16b + b = -b

5a + 3b + 2a + 5b = Se suman los términos de “a” y aparte los términos de “b” (5 + 2)a = 7a o 5a + 2a = 7a (3 + 5)b = 8b o 3b + 5b = 8b Por lo tanto: 5a + 3b + 2a + 5b = 7a + 8b

5z + 4y + 2z + 9y = 7z + 13y8a + 6a + 7w - 9w = 14a - 2w5b + 3x + 8 + 5x - 9b - 11 = -4b + 8x - 3a + b + x2 + 7x2 - 7a + 6b = -6a + 7b + 8x2

*En el resultado habrá tantos términos como términos diferentes haya en la suma5x2 - 3y + 6 - 4y + 3x2 - 10 = 5x2 + 3x2 - 3y - 4y + 6 - 10 = 8x2 - 7y - 42(a+b) - 5(a+b) + 11(a+b) = 8(a+b)

Cuando se trabaja con fracciones comunes o con fracciones decimales, se procede de la misma manera:1.5 ab + 4.2 ab - 0.23 ab = (1.5 + 4.2 - 0.23) ab = 5.47 ab

3 ab + 2 ab - 1 ab = 12ab + 10 ab - 10 ab = 12 ab = 6ab = 3ab5 4 2 20 20 10 5

Suma de polinomios. Para sumar polinomios se hace lo siguiente: 1.- Se ordenan los polinomios ( en el orden que se quiera). * No es indispensable cubrir esta regla

2.- Se acomodan los términos de cada polinomio, de tal manera que queden encolumnados términos que sean semejantes entre sí.3.- Se hace la reducción de términos semejantes por columnas. Ejemplos:(3x - 8x2 + 6) + (2x - 5x2 + 10) + (2x + 8)= ordenamos los polinomios y los acomodamos. - 8x2 + 3x + 6 - 5x2 + 2x + 10 + 2x + 8 -13x2 + 7x + 24

(4x - 8z + 6y) + (2y - 4x + 10z) = 4x + 6y - 8z -4x + 2y + 10z +8y + 2z

* si no se ordenan los polinomios , el resultado también es correcto, aunque se sugiere que los polinomios se ordenen.

(5x - 9 + 10x2) + (9x2 - 8x + 3) + (4x2 + 12 - 6x) = 5x - 9 + 10x2

-8x + 3 + 9x2

-6x + 12 + 4x 2 -9x + 6 + 23x2

* cuando un término no tiene columna , se pasará a la derecha a formar su columna.(3x + 2y) + (-8y + 5x - 4z) + (3x + 4y) =

3x + 2y 5x - 8y - 4z 3x + 4y_____ 11x - 2y - 4z

Resta o sustracción algebraica.

En la resta algebraica tendremos tendremos los siguientes casos:a)Resta de monomiosb) Resta de polinomios Resta de monomios. Para la resta o sustracción algebraica debemos tener en cuenta lo siguiente:1.- Al minuendo se le suma el simétrico del sustraendo.

el simétrico o inverso aditivo de un número es el mismo número pero con signo contrario. 8 su simétrico -8 3ax su simétrico -3ax -9 su simétrico +9 -9x2 su simétrico 9x2

Por lo tanto aplicando la regla anterior tenemos: (6a) - (-3a) = 6a + (+3a) = 9a minuendo se le suma simétrico sustraendo resultado

(4a2b) - (8a2b )= 4a2b + (-8a2b) = -4a2b minuendo se le suma simétrico sustraendo resultado

Hay una reglas generales para suprimir paréntesis que nos dicen que:

Si antes de un paréntesis se encuentra un signo más “+”, o bien, no hay un signo, el paréntesis se elimina y el término que se encuentra dentro del paréntesis se escribe tal y como está. (3a) se escribe 3a ; +(3x) se escribe 3x ; +(-2ay) se escribe -2ay

Si antes de un paréntesis se encuentra un signo menos “-”, el paréntesis se elimina y el término se escribirá con el *signo contrario al que se tenía dentro del paréntesis. *simétrico

-(-5a) se escribirá 5a -(+4bx) se escribirá -4bx -(8) se escribirá -8 -( +12c) se escribirá - 12c -(-a) se escribirá +a -(+9) se escribirá -9 * recordar que cuando un número no tiene signo indicado es positivo.

Por todo lo anterior podemos resolver de manera más directa la resta algebraica. (6a) - (+3a) = 6a - 3a = 3a (3a) - (-6a) = 3a + 6a = 9a (-7m) -(+3m) = -7m - 3m = -10m (4x2) - (-11x2) = 4x2 + 11x2 = 15x2

(4a2bx) - (+8a2bx) = 4a2bx - 8a2bx = -4a2bx (6mn) - (4mn) = 6mn - 4mn = 2mn (-5ax) - (-3ax) = -5ax + 3ax = -2ax

b) Resta de polinomios.

Para restar polinomios se hace lo siguiente:1.- Se ordena el minuendo2.- Se escribe el sustraendo. *cuidando que todos sus términos se escriban en su respectiva columna de términos semejantes y pasen con el signo contrario.

3.- Se hacen las sumas-restas indicadas en cada columna. ejemplos:(3x + 6z - 8y) - (-3y + 8z + 4x) =

3x - 8y + 6z

-4x + 3y - 8z * se escribe el sustraendo. “cada término con sus simétrico”

-x - 5y - 2z

(4x2 + 6 - 8x) - (11x+ 6x2 -3) - (15x - 2) = 4x2 - 8x + 6 -6x2 - 11x + 3 - 15x + 2 -2x2 - 34x + 11

(6a + 5z + 8x) - (-5x + 4a + 9z) = 6a + 5z + 8x -4a - 9z + 5x 2a - 4z + 13x

Sumas y restas combinadas con monomios y polinomios.

(2a) +(-6a) - (-8a) - (+11a) = 2a - 6a + 8a - 11a = -7a

(6ab) + (-7ab) - (-5ab) = 6ab - 7ab + 5ab = 4ab

(-8ax) + (6b) - (-9b) - (+5ax) + (-8b) = -8ax + 6b + 9b - 5ax - 8b = -13ax + 7b

(3a + 5b) + (-9a + 2b) - (-9a + 7b) = Se pueden encolumnar o eliminar paréntesis y reducir

3a + 5b - 9a + 2b + 9a - 7b = 3a * Se eliminaron los términos de “b”

(5x + 8m - 6r) + ( 2r - 5x + 9m) - ( -8x + 4r - 6m) = 8m - 6r + 5x 9m + 2r - 5x 6m - 4r + 8x * los términos cambiaron de signo porque es una sustracción y se escriben

23m - 8r + 8x con su simétrico

Cuando se trabaja con fracciones se procede de la misma manera:

( 2 a + 1 b + 1 c) + (1 a - 2 b + 2 c) = 11 a + b + c 3 2 6 4 5 6 12 10 2 con respecto a “a”:

2 + 1 = 8 + 3 = 11 por lo tanto: 11 a3 4 12 12 12 con respecto a “b” :

1 - 2 = 5 - 4 = 1 por lo tanto : b 2 5 10 10 10 con respecto a “c” :

1 + 2 = 3 por lo tanto: 3c simplificando c 6 6 6 6 2

Multiplicación algebraica

Para la multiplicación algebraica debemos tener en cuenta lo siguiente:1.- Signos: ( + )( + ) = + ( + )( - ) = - ( - )( + ) = - ( - )( - ) = +

2.- Coeficientes. Se hace la multiplicación de los coeficientes de manera ordinaria (enteros, fracciones comunes, fracciones decimales).

(-3)(-2)(4) = +24 (-9)(2) = -18 (4)(-3)(2)(-3) = 72

(-0.3)(0.4) = - 0.12 (0.3)(-0.5)(0.4) = - 0. 060 4 . 5 . 2 = 40 = 20 3 2 3 18 93.- Exponentes y literales. En la multiplicación los exponentes de las literales semejantes se suman.

a3 . a2 = a.a.a.a.a = a3+2 = a5 x3 . x . x2 = x.x.x.x.x.x = x3+1+2 = x6

b4 . b = b.b.b.b.b = b5 (a2) ( a )( a3 ) = (a)(a)(a)(a)(a)(a) = a6

(2a2)(3a) = 6a2+1 = 6a3 (-4a)(-3a2)(5a3) = + 60a6 * aplicado en forma directa

x3y2 . xy3 . x2 = x3+1+2 y2+3 = x6y5 (m2n5)(mn2) = m2+1 n5+2 = m3n7

xa . x m = xa+m xa+1. x 2a+3 = xa+1+2a+3 = x3a+4

Cuando multiplicamos literales diferentes, estas se pasan directas al resultado.

(a)(b)(c) = abc x2.y.m = x2ym

(3a2)(2ab)(-5bc) = -30a3b2c a2x . axy = a3x2y

En la multiplicación tenemos los siguientes casos: a) multiplicación de monomios

b) multiplicación de monomio por polinomio

c) multiplicación de polinomiosMultiplicación de monomios:Consiste basicamente en la aplicación de las normas establecidas anteriormente, de preferencia aplicarlas de manera directa..Se multiplican los signos..Se multiplican los coeficientes.Se aplican las reglas establecidas para las literales. Ejemplos: (3x2)(-4x3) = -12x5 (6a2b)(5abc) (-3a2b2) = - 90a5b4c

(-5a)(4a)(2a) = - 40a3 (-7a2b3)(-8a3b3) = + 56a5b6

(-2zn)(-4z2n)(3z2n2) = 24z5n4 (-4a)(5bc)(2a2) = -40a3bc

(.003xy)(.05y2) = 0.00015xy3 2a . 5a 2 . 3 = 30a 3 = 5a 3 3 2 4x 24x 4x

Multiplicación de monomio por polinomio.Para multiplicar un monomio por un polinomio se hace lo siguiente:1.- Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.(Aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación).

Ejemplos: a(x+ y+ z) = ax + ay + az

5a2(4ab + 6a2b2 - 5a2x) = 20a3b + 30a4b2 - 25a4x

(5x2 + 3x - 2)2x = 2x(5x2) + 2x(3x) - 2x(2) = 10x3 + 6x2 - 4 *Se recomienda resolverlos directamente

(3my)( 4m2y - 5my2 + m) = 12m3y2 - 15m2y3 + 3m2y

3x( 4a + 5y + 6b) = 12ax + 15xy + 18bx

Multiplicación de polinomios.

Para multiplicar polinomios se hace lo siguiente:1.- Se ordenan el polinomio multiplicando y el multiplicador de acuerdo a una de sus letras.

* (generalmente se hace en sentido decreciente).

2.- Se multiplica cada uno de los términos del multiplicador por todos los términos del multiplicando. Los productos parciales que se vayan obteniendo se colocan unos debajo de otros, de tal forma que queden en la misma columna términos semejantes.3.- Se resuelven las sumas-restas indicadas en cada columna. Así obtenemos el resultado. Ejemplos:

(3a + 2b)(4a - 5b) =

* disponemos en forma de multiplicación ordinaria 3a + 2b *multiplicamos cada término del multiplicando por el multiplicador

por 4a - 5b 4a(3a + 2b) = 12a 2 + 8ab ; -5b(3a + 2b) = -15ab -10b 2

12a2 + 8ab productos parciales obtenidos _____- 15ab - 10b 2 12a2 - 7ab - 10b2

(5x2 - 6x - 3)(4x + 5) = * Generalmente se comienza a multiplicar por la izquierda del multiplicador. *acomodamos para multiplicar

5x2 - 6x - 3 por 4x + 5 20x3 - 24x2 - 12x ______ + 25x 2 - 30x - 15 20x3 + 1x2 - 42x - 15 o 20x3 + x2 - 42x - 15 *no se escribe el coeficiente “1”

También se puede comenzar a multiplicar por el término de la derecha del multiplicador y el resultado no se altera, sólo cambia el orden. (3x + 4)(2x -5) = 3x + 4 por 2x - 5 -15x - 20 + 8x + 6x 2 - 7x - 20 + 6x2 ordenando 6x2 - 7x - 20

(x + 4)(x + 5) = x + 4 por x + 5 x2 + 4x + 5x + 20 x2 + 9x + 20

Potenciacion algebraica

Para la potenciación debemos tener en cuenta lo siguiente:

1.- Signos: Estas reglas pueden aplicarse de manera directa en la potenciación.

a) Base positiva elevada a cualquier exponente, resultado siempre positivo. (+)n = +

(+)3 = (+)(+)(+) = + (+)2 = (+)(+) = + (+)5 = (+)(+)(+)(+)(+) = + (+)3 = (+)(+)(+) =+ b) Base negativa elevada a exponente par, resultado positivo . (-)par = +

(-)2 = (-)(-) = + (-)6= (-)(-)(-)(-)(-)(-) = + (-)4 = (-)(-)(-)(-) = +

c) Base negativa elevada a exponente impar, resultado negativo. (-)impar = -

(-)3 = (-)(-)(-) = - (-)5 = (-)(-)(-)(-)(-) = - (-)7= (-)(-)(-)(-)(-)(-)(-) = -

2.- Coeficientes. Se multiplica la base por sí misma tantas veces como lo indica el exponente. (-3)2 = (-3)(-3) = +9 (5)4 = (5)(5)(5)(5) = +625 (-2)3 = (-2)(-2)(-2) = -8 (4)3 = 64 (3)5 = 243 (-2)6 = 64

3.- Literales y exponentes. Al ser la potenciación una multiplicación abreviada, *los exponentes en la potenciación se multiplican. para llegar a esta generalización, es necesario hacer la descomposición en factores y después aplicar la regla de manera directa. Expresión Descomponiendo en factores Aplicando regla general (x2)3 = x2 . x2 . x2 = x6 x(2)(3) = x6 (a3b2)2 = (a3b2)(a3b2) = a6b4 a(3)(2) b(2)(2) = a6b4

(a3)4 = a3 . a3 . a3 . a3 a(3)(4) = a12

Resolviendo de manera directa :(a3b2)4 = a12b8 ; (x2)5 = x10 ; (a2b)3 = a6b3 ; (abc2)2 = a2b2c4

POTENCIACION DE MONOMIOS.

En la potenciación de un monomio basta con aplicar las reglas indicadas anteriormente. * Lo más práctico es aplicar todas las reglas de manera directa:

(-2x2)2 = 4x4 (-5a3b2)4 = 625a12 b8 (0.2x)3 = 0.008 x3

(11x2y)2 = 121x4y2 (-6a2b)3 = -216a6b3 (c2m4n2)5=c10m20n10

POTENCIACION DE POLINOMIOS.

Para elevar un polinomio a una potencia indicada basta con multiplicar por sí mismo el polinomio tantas veces como lo indica el exponente. (2a + 3)2 = (2a + 3)(2a + 3) = (3x - 2y)3 = (3x - 2y)(3x - 2y)(3x - 2y) =

Al multiplicar: (3x- 2y)(3x - 2y) = 9x2 - 12xy + 4y2

* se multiplica: (9x2 - 12xy + 4y2) ( 3x - 2y) porque es al cubo

2a + 3 3x - 2y 9x 2 - 12xy + 4y2 por 2a + 3 por 3x - 2y por 3x - 2y__ 4a2 + 6a 9x2 - 6xy 27x3 - 36x2y + 12xy2 ____ + 6a + 9 - 6xy + 4y 2 - 18x 2 y + 24xy 2 - 8y 3

4a2 + 12a + 9 * 9x2 - 12xy + 4y2 27x3 - 48x2y + 36xy2 - 8y3

Por lo tanto:

(2a + 3)2 = 4a2 + 12a + 9 (3x - 2y)3 = 27x3 - 48x2y + 36xy2 - 8y3

Otro ejemplo:

(x + 2)3 = (x +2)(x + 2) (x + 2)

Al multiplicar (x+2)(x+2 ) obtenemos: x2 + 4x + 4

Por lo tanto multiplicamos (x2 + 4x + 4)(x +2)El resultado obtenido de la multiplicación anterior es : x 3 + 6x 2 + 12x + 8

x + 2 por x + 2 x2 + 2x x2 + 4x + 4 + 2x + 4 por x + 2 x2 + 4x + 4 x3 + 4x2 + 4x 2x 2 + 8x + 8 x3 + 6x2 + 12x + 8

Por lo tanto : (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

PRODUCTOS NOTABLES Se les llama productos notables a una serie de multiplicaciones y potencias que aceptan ciertas reglas que han sido verificadas debidamente lo que les permite ser resueltos directamente sin tener que efectuar la multiplicación o la potencia. *La característica principal de un producto notable es el poder resolverse directamente mediante la aplicación de una regla.

Así estudiaremos como productos notables:

Binomio al cuadrado: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

Producto de 2 Binomios conjugados: ( a + b )( a - b ) = a2 - b2

Producto de 2 Binomios con un término común: ( x + a )( x + b) = x2 + x (a + b) + ab

Binomio al cubo: ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Producto de un Binomio por un trinomio : ( a + b)( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3

( a - b )( a2 + ab + b2) = a3 - b3

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

En un binomio al cuadrado su producto es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Para el caso de binomio al cuadrado este podrá presentarse como suma o como diferencia. Si es una suma de dos términos al cuadrado todos los términos del reultado son positivos. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Si es una diferencia de dos términos al cuadrado , el segundo término debe ser negativo. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

El resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre de: “trinomio cuadrado perfecto “La solución a un binomio al cuadrado se obtiene aplicando paso por paso la regla que da solución al mismo. Así, tenemos los siguientes ejemplos:(2x + 3 )2= “2x” primer término “3” segundo término comprobando 2x + 3 (2x)2 = 4x2 Cuadrado del primer término por 2x+ 3

2 (2x)(3) = 12x Doble del primer término por el segundo 4x2 + 6x

(3)2 = 9 Cuadrado del segundo término ____+ 6x + 9 4x 2 + 12x + 9 Por lo tanto: (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 *Todos los términos son positivos por ser una suma de dos términos al cuadrado

(5a2 - 3ab)2 = comprobando “5a2” primer término “3ab” segundo término 5a 2 - 3ab por 5a 2 - 3ab (5a2)2 = 25a4 Cuadrado del primer término 25a 4 - 15a3b

2(5a2)(3ab) = 30a3b Doble del primer término por el segundo _ __ - 15a 3 b + 9a 2 b 2

(3ab)2 = 9a2b2 Cuadrado del segundo término 25a4 - 30a3b + 9a2b2

Por lo tanto: (5a2 - 3ab)2 = 25a4 - 30a3b + 9a2b2

*El segundo término debe ser negativo por ser una diferencia de dos términos al cuadrado(3x + 5y)2 = (3x)2 + 2(3x)(5y) +(5y)2 = 9x2 + 30xy + 25y2

(5x- 2)2 = (5x)2 - 2(5x)(2) + (2)2 = 25x2 - 20x + 4

(a + 6)2 = (a)2 + 2(a)(6) + (6)2 = a2 + 12a + 36 ( 2 a + 3)2 = ( 2 a)2 + 2(2a)(3) + (3)2 = 4a 2 + 12a + 9 *En el doble producto el coeficiente 5 5 5 25 5 sólo afecta a los numeradores.

Lo más recomendable es resolver de manera directa

(3xm + 7y)2 = 9x 2 m 2 + 42xmy + 49y 2

(5a3b - 6a2b2)2 = 25a 6 b 2 - 60a 5 b 3 + 36a 4 b 4 .

(3a + 1)2 = 9a 2 + 6a + 1

(6x2 - 3m)2 = 36x 4 - 36x 2 m + 9m 2

(h + 4n)2 = h 2 + 8hn + 16n 2

Producto de dos binomios conjugados.Producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos.( a + b )( a - b ) = a2 - b2

A los binomios que tienen un término común y otro que difiere en el signo se les llama binomios conjugados.*El término común es aquél que es igual en signo, coeficiente y parte literal. *El segundo término que aparece en los binomios es igual en los dos binomios pero tienen signo diferente.(términos opuestos) Ejemplos:binomio binomio conjugado término común términos opuestos3x + 2 3x - 2 3x +2 y -25ab - 3y 5ab + 3y 5ab -3y y +3y4a - 9b2 4a + 9b2 4a -9b2 y +9b2

El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del término común, menos el cuadrado del término opuesto en signo.

(3x + 2y)(3x - 2y) =“3x” término común (3x)2 = 9x2 cuadrado del término común

“2y” término opuesto (2y)2 = 4y2 cuadrado del término opuesto

(3x + 2y)(3x - 2y) = 9x 2 - 4y 2

El resultado de multiplicar binomios conjugados recibe el nombre de : “diferencia de cuadrados”.

*Si efectuamos la multiplicación obtenemos: 3x + 2y 3x - 2y 9x2 + 6xy ___ __ - 6xy - 4y 2 9x2 - 4y2

La regla general se establece a partir de saber que siempre que se multiplican unos binomios conjugados hay eliminación de términos y se obtiene el cuadrado del término común menos, el cuadrado del término opuesto. ejemplos: 4a + 3 a - 5 3a + 2b 4a - 3 a + 5 3a - 2b16a2 + 12a a2 - 5a 9a2 + 6ab. - 12a - 9 + 5a - 25 - 6ab - 4b 2 16a2 - 9 a2 - 25 9a2 - 4b2

Aplicando la regla de manera directa tenemos:(a + 4)(a - 4) = a 2 - 16

(3x2 - 8y3)(3x2 + 8y3) = 9x 4 - 64y 6

(5abx + 3bz)(5abx - 3bz) = 25a 2 b 2 x 2 - 9b 2 z 2

( -x + 3)(x + 3) = (3 - x)(3 + x) = 9 - x 2

Producto de dos binomios con término común.(x + a)(x + b) = x2 + x(a +b) + ab

* Se caracteriza porque en los dos binomios el primer término es igual .”término común”.* Los segundos términos son términos semejantes. *Es necesario que estas dos condiciones se cumplan para que realmente sea un caso de productos notables.

La regla de solución dice: Es igual al cuadrado del término común, más la suma algebraica de los términos no comúnes por el término común , más el producto algebraico de los términos no comúnes.

(x + 8)(x + 3) = “x” término común

“8 y 3” términos no comúnes , pero semejantes

Aplicando la regla tenemos: (x)2 = x2 Cuadrado del término común

(8 + 3)x = (11)x = 11x La suma de los términos no comúnes por el término común

(8)(3) = 24 El producto de los términos no comúnes

Por lo tanto: (x + 8)(x + 3) = x2 + 11x + 24 Otro ejemplo:( 5a - 6b)(5a + 3b) = “5a” es el término común “ -6b y +3b” son los términos no comúnes ; pero sí semejantes

Aplicando la regla tenemos:(5a)2 = 25a2 Cuadrado del término común

5a( -6b + 3b) = 5a (-3b) = -15ab La suma de los términos no comúnes por el término común.

(-6b)(3b) = -18b2 Producto de los términos no comúnes

por lo tanto: (5a - 6b)(5a + 3b) = 25a 2 - 15ab - 18b 2

(4a + 5)(4a + 3) = (4a)2 + 4a(5 + 3) + (5)(3) = 16a2 + 4a(8) + 15 = 16a 2 + 32a + 15

(5x - 6b)(5x - 2b) = (5x)2 + 5x(-6b-2b) + (-6b)(-2b) =25x2 + 5x(-8b) + 12b2 = 25x 2 - 40bx + 12b 2

(4x2 - 5y3)(4x2 + 3y3) = 16x4 + 4x2(-2y3) - 15y6 = 16x 4 - 8x 2 y 3 - 15y 6

Se recomienda resolverlos directamente:

(5x + 9)(5x - 4) = 25x 2 + 25x - 36

(3z + 4b)(3z + 6b) = 9z 2 + 30bz + 24b 2

(5bc + 8t)(5bc - 11t) = 25b 2 c 2 - 15bct - 88t 2 Si multiplicamos de manera ordinaria obtenemos los mismos resultados:(5x + 9)(5x - 4) = (3z + 4b)(3z + 6b) = 5x + 9 3z + 4b 5x - 4___ ___ 3z + 6b____ 25x2 + 45x 9z2 + 12bz _____- 20x - 36 _____ + 18bz + 24b 2 25x2 + 25 x - 36 9z2 + 30bz + 24b2

Binomio al cubo: (a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3

El binomio al cubo también se presenta como una suma o como una diferencia.Así tenemos lo siguiente: *Suma de dos cantidades al cubo (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

*Diferencia de dos cantidades al cubo (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Un binomio al cubo significa que el binomio se multiplica por sí mismo tres veces.(x + y)3 significa (x + y)(x + y)(x + y) donde primero se multiplica (x + y)(x + y) y el producto abtenido se multiplica por (x + y).

Esto es :(x + y)(x + y) = x2 + 2xy + y2 y después multiplicamos por (x + y)(x2 + 2xy + y2)(x + y) = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3

Suma de dos cantidades al cubo: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Si elevamos (3x + 2) al cubo tenemos: (3x + 2)3 = (3x + 2)(3x + 2)(3x + 2) = (3x + 2)(3x + 2) y el producto obtenido por (3x + 2)

3x + 2 9x2 + 12x + 4 3x + 2 por___ __ 3x + 2 9x2 + 6x 27x3 + 36x2 + 12x _____+ 6x + 4 _______ + 18x 2 + 24x + 8 9x2 + 12x + 4 27x3 + 54x2 + 36x + 8

(3x + 2)3 = 27x3 + 54x2 + 36x + 8 *La solución de una suma de dos términos al cubo se reduce a la siguiente regla:

Es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo , más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término.

(3x + 2)3 = “3x” Primer término , “2” Segundo término

(3x)3 = 27x3 Cubo del primer término

3(3x)2(2) = 3(9x2)(2) = 54x2 Triple del cuadrado del primer término por el segundo 3(3x)(2)2 = 3(3x)(4) = 36x Triple del primer término por el cuadrado del segundo

(2)3 = 8 Cubo del segundo término (3x + 2)3 = 27x 3 + 54x 2 + 36x + 8 *Cuando tenemos una suma de dos cantidades al cubo todos los términos en el resultado son positivos.

Diferencia de dos cantidades al cubo: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Si resolvemos:(2a - b)3 = (2a-b)(2a- b)(2a- b) = 2a - b 4a2 - 4ab + b2

__ 2a - b__ ______ __2a - b_ 4a2 - 2ab 8a3 - 8a2b + 2ab2

_______- 2ab + b 2 ___ ______ _- 4a 2 b + 4ab 2 - b 3 4a2 - 4ab + b2 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3

(2a - b)3 = 8a 3 - 12a 2 b + 6ab 2 - b 3

Cuando tenemos uns diferencia de dos términos al cubo el segundo y el cuarto términos tienen signo negativo.

(2a - b)3 = “2a” primer término , “-b” segundo término

(2a)3 = 8a3 Cubo del primer término

3(2a)2(-b) = 3(4a2)(-b) = -12a2b Triple del cuadrado del primer término por el segundo

3(2a)(-b)2 = 3(2a)(b2) = 6ab2 Triple del primer término por el cuadrado del segundo

(-b)3 = - b3 Cubo del segundo término

(2a - b)3 = 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3

Podemos resolver aplicando la regla general de binomio al cubo paso por paso. (x + 2)3 = x3 + 3(x2)(2) + 3(x)(4) + 8 = x 3 + 6x 2 + 12x + 8

(b - 1)3 = b3 - 3(b2) + 3(b)(1) - 1 = b 3 - 3b 2 + 3b - 1

(4a2 + 5b)3 = 64a6 + 3(16a4)(5b) + 3(4a2)(25b2) + 125b3 = 64a 6 + 240a 4 b + 300a 2 b 2 + 125b 3

(2x2 - 3x)3 = 8x6 - 3(4x4)(3x) + 3(2x2)(9x2) - 27x3 = 8x 6 - 36x 5 + 54x 4 - 27x 3

*Cuando se va teniendo dominio del caso se pueden resolver directamente.

(a + 4)3 = a3 + 12a2 + 48a + 64

(3x - 1)3 = 27x3 - 27x2 + 9x - 1

(2ab + 3c)3 = 8a3b3 + 36a2b2c + 54abc2 + 27c3

El resultado de elevar un binomio al cubo recibe el nombre de : “Polinomio cubo perfecto”.

Binomio por trinomio.Para el producto notable de binomio por trinomio tenemos los siguientes casos:

Primer caso: (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

“a” primer término “b” segundo término La suma de dos términos por el cuadrado del primer término menos el producto del primer término por el segundo , más el cuadrado del segundo término. Su producto es igual : al cubo del primer término más el cubo del segundo término. *Si el binomio es una suma ,el segundo término del trinomio es negativo * Si el binomio es una suma , el resultado también lo será

Segundo caso: (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

La diferencia de dos términos por el cuadrado del primer término más el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Su producto es igual : al cubo del primer término, menos el cubo del segundo término. *Si el binomio es una diferencia , en el trinomio todos los términos son positivos *Si el binomio es una diferencia , el resultado también será diferencia

*Es muy importante que se observen las características sobre todo del trinomio ya que para que sea un producto notable debe de cubrir las indicaciones que se establecen ; si no cumplen con estas condiciones no pasa de ser una simple multiplicación y no un producto notable.

(3x + 5 )(9x2 - 15x + 25) = (3x)3 + (5)3 = 27x 3 + 125

(2a - b)(4a2 + ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a 3 - b 3

Multiplicando: 9x2 - 15x + 25 a2 + ab + b2

______ 3x + 5___ _____a - b ___ 27x3 - 45x2 + 75x a3 + a2b + ab2

______+ 45x 2 - 75x + 125 _____- a 2 b - ab 2 - b 3 27x3 + 125 a3 - b3

*Observar el siguiente ejemplo(4a + 5)(16a2 - 12a + 20) =* Es una multiplicación de un binomio por un trinomio, pero no es un producto notable, ya que no cumple el trinomio con las condiciones que se establecieron para ser producto notable, por lo tanto es una simple multiplicación y como tal deberá resolverse. *No cumplen el segundo y tercer términos con las condiciones de producto notable.Multiplicando: 16a2 - 12a + 20 _______4a + 5___ 64a3 - 48a2 + 80a _______ + 80a 2 - 60a + 100__ 64a3 + 32a2 + 20a + 100

(4a + 5)(16a2 - 12a + 20) = 64a3 + 32a2 + 20a + 100

Es muy importante que observemos bien todos los términos de una multiplicación cuando tenemos un binomio que multiplica a un trinomio ya que si cumple con las condiciones de producto notable su resultado es muy sencillo de obtener. Así tenemos los siguientes ejemplos:(2x + 6)(4x2 - 12x + 36) = 8x 3 + 216 (2x)3 = 8x3 cubo del primer término

(6)3 = 216 cubo del segundo término

(x2 + a )(x4 - ax2 + a2) = x 6 + a 3 (x2)3 = x6 cubo del primer término

(a)3 = a3 cubo del segundo término

Resolviendo directamente tenemos:

(3x2y + 4z)(9x4y2 - 12x2yz + 16z2) = 27x 6 y 3 + 64z 3

(3a - 2)(9a2 + 6a + 4) = 27a 3 - 8

(xy - 3m)(x2y2 + 3xym + 9m2) = x 3 y 3 - 27m 3

(10m + 4)(100m2 - 40m + 16) = 1000m 3 + 64

DIVISION ALGEBRAICAPara la división algebraica debemos tener en cuenta lo siguiente:1.- Signos: (+) : (+) = + (+) : (-) = - (-) : (+) = - (-) : (-) = +

2.- Coeficientes. Se hace la división indicada en forma ordinaria. (-8) : (-2) = +4 ; 2.4 : -0.8 = -3 ; 2 : 3 = 10 3 5 9

3 4 = 3 . 3 . 3 . 3 = 1. 1 . 3 . .3 = 3 2 = 9 = 932 3 . 3 1. 1 1 1 * 3 : 3 = 1 y el “uno” como factor es neutro; entonces se dice que cancelamos y trabajamos con lo que no se cancela y de ahí se obtiene la regla general para los exponentes y las literales.

* Cuando se tienen literales, la división de estas cuando son iguales da “uno” y como el “1” es neutro en la multiplicación, simplemente cancelaremos.

a = 1 ; b 2 = b.b = b = b cancelamos una “b” en el numerador y en el denominador a b b 1

3.-Exponentes y literales. Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se escribe como exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. Ejemplos:a4 : a = a .a.a.a. = a3 o bien : a4 : a = a4-1 = a3

a

a5b2 : a2b = a.a. a.a.a. b .b = a3b o bien : a5b2 : a2b = a5-2b2-1 = a3b a.a.b x 3 = _ x . x . x = 1 o bien : x3 : x5 = x3-5 = x -2

x5 x . x . x . x . x x2

l _ = x -2

x2 * Cuando se tiene un exponente en el denominador se puede escribir en el numerador pero se escribira negativo, y

viceversa. x -3 = l_ ; _1 = b-4

x3 b4 * Cuando en el dividendo y en el divisor hay literales diferentes , estas se pasan al resultado.

ab = ab ; ab x = x ; a 2 bm = a.a.b .m__ = m _ x x abw w a3bx a.a.a.b.x ax

* Cuando el dividendo y el divisor son iguales, el cociente es la unidad.

3ab: 3ab = 1 ; 5x = 1 ; 5x2y3 : 5x2y3 = 1 ; 3a 2 b = 1 5x 3a2b

* Todo valor dividido entre “uno” nos dá el mismo valor. 5a : 1 = 5a ; 3x2 : 1 = 3x2 ; 6mn = 6mn 1

En la división tenemos los siguientes casos:a) División de monomiosb) División de polinomio entre monomioc) División de polinomio entre polinomio

a) División de monomios. Para la división de monomios se hace lo siguiente:1.- Se hace la división de los signos2.- Se dividen los coeficientes. * Si la división no es exacta se simplifica

3.- Se aplican las reglas establecidas para los exponentes y las literales -6x2y3 : -2xy2 = +3xy 42x4: -6x = -7x3 120xy : -30x = -4y

8 x 3 y = 4y 10 x mn 2 = _ 5m = - 1.25 m 2x3 -8xn 4n nDivisión de polinomio entre monomio:Se hace lo siguiente:1.- Se divide cada término del polinomio entre el monomio divisor * cuando la división no es exacta, se simplifica si se puede o se indica en forma de fracción.

(8a3 + 6a - 10a2) : (2a) = 8a 3 + 6a - 10a 2 = 4a2 + 3 - 5a 2a 2a 2a * Se recomienda hacer las divisiones de manera directa

12a 3 b 4 + 15a 2 b 2 - 9a 2 b 3 = 4ab2 + 5 - 3b 3a2b2

(20x3y + 10x2y2):(-4xy) = -5x2 - 10xy simplificando: -5x2 _ 5xy 4 2 * se simplifica de manera directa20x 2 y 4 - 18x 3 y 3 + 24x 5 yz - 10x 2 y 2 = _ 5y 2 + 9y _ 6x 2 z + _5_ -4x3y2 x 2 y 2x

División de polinomio entre polinomio.Para la división de polinomios se hace lo siguiente:1.- Se verifica que esten ordenados tanto el dividendo como el divisor (el orden puede ser creciente o decreciente). * De preferencia en orden decreciente.2.- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor; así obtenemos el primer término del cociente. 3.- Se multiplica el término que se obtuvo como cociente por cada uno de los términos del divisor y los productos obtenidos se restan al dividendo, acomodando los términos con su respectiva columna de términos semejantes. * Los productos obtenidos se escriben con signo contrario al obtenido ya que por ser sustracción se escriben los simétricos.4.- Se hacen las sumas restas indicadas.5.- Con el resultado obtenido de la suma-resta se vuelve a iniciar el proceso de la división hasta terminarla. Ejemplo: (3x + 6x3 - 18 + 19x2) : (2x + 3) = *Ordenamos el dividendo y el divisor en forma decreciente ______________________ 2x + 3 6x3 + 19x2 + 3x - 18

* Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. 6x 3 : 2x= 3x2

__3x 2 _+ 5x - 6 * Multiplicamos el cociente por cada término del divisor

2x + 3 6x 3 + 19x2 + 3x - 18 3x2 (2x + 3) = 6x3 + 9x2 como se va a restar , cambia el signo

-6x 3 - 9x 2 ________ - (6x3 + 9x2) se escribirá : -6x3 - 9x2 y se hace la suma-resta

+ 10x 2 + 3x - 18 * Se vuelve a iniciar el proceso :dividir el primer término

- 10x 2 - 15x del dividendo entre el primer término del divisor, etc.

-12x - 18 +12x + 18 0 *Para comprobar que el resultado es correcto basta con multiplicar el cociente por el divisor y si hay residuo se suma . Para este caso : (3x2 + 5x - 6)(2x + 3) = 6x3 + 19x2 + 3x - 18Otro ejemplo:

(4x2 + 16x + 9) : (2x + 3) =

_2x + 5______ 2x + 3 4x 2 + 16x + 9 *dividimos primer término del dividendo entre primer término del divisor -4x 2 - 6x _____ *multiplicamos primer término del cociente por el divisor y restamos + 10x + 9 *se vuelve a iniciar el proceso de la división - 10x - 15 - 6* Comprobamos: (2x + 5)(2x + 3) = 4x2 + 16x + 15 ; le sumamos el residuo -6 y obtenemos : 4x2 + 16x + 9 cociente divisor

RADICACION ALGEBRAICARadicación es la operación que tiene por objeto dados dos números, uno llamado radicando y otro índice, hallar un tércero llamado raíz. Raíz es el número que elevado al índice nos da el radicando.La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado nos dá el número dado (radicando).La raíz cúbica de un número es otro número que, elevado al cubo, nos da el primero.

Para la radicación algebraica debemos tener en cuenta lo siguiente:1.- Signos. a) La raíz “par” de todo número positivo, siempre tendrá como resultado dos respuestas, una positiva y una negativa . par + = + + = + ; ya que : (+)(+) = + y (-)(-) = +

4 16x4 = + 2x ; ya que : (2x)(2x)(2x)(2x) = +16x4 y (-2x)(-2x)(-2x)(-2x) = +16x4

b) La raíz cuadrada de un número negativo, no tiene respuesta dentro del campo de los números reales. Su resultado corresponde a los números “ imaginarios ”.

- 1 = i “i” *Emplearemos este símbolo para indicar que la respuesta corresponde a un número imaginario. c) La raíz “impar” de un número positivo, tendrá resultado positivo. impar + = +

3 +8x3 = +2x porque (2x)(2x)(2x) = +8x3 (2x)3 = 8x3

5 +b10 = +b2 porque b2 . b2 . b2 . b2 . b2 = +b10 (b2)5 = b10

d) La raíz “impar” de un número negativo, tendrá resultado negativo. impar - = -

3 -8x3 = -2x porque (-2x)(-2x)(-2x) = -8x3 o bien : (-2x)3 = -8x3

5 -b10 = -b2 porque (-b2)(-b2)(-b2)(-b2)(-b2) = -b10 o bien : (-b2)5 = - b10

2.- Coeficientes. Se extrae la raíz señalada por el índice, tomando en cuenta las reglas señaladas con respecto a los signos. *Se recomienda aprenderse de memoria las siguientes raices:

Raíces cuadradas 1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4

25 = 5 36 = 6

49 = 7 64 = 8 Raíces cúbicas

81 = 9 100 = 10 3 1 = 1 3 8 = 2

121 = 11 144 = 12 3 27 = 3 3 64 = 4

169 = 13 196 = 14 3 125 = 5 3 216 = 6

225 = 15 256 = 16 3 343 = 7 3 512 = 8

289 = 17 324 = 18 3 729 = 9 3 1000 = 10

361 = 19 400 = 20

625 = 25

3.- Literales y exponentes. Basta con dividir el exponente de cada literal que se encuentra en el radicando entre el índice del radical. * si el radical no tiene índice o si este es “dos” , se dividira entre dos.

2 a2 = a porque a2:2 = 1

2 b6 = b3 porque b6:2 = 3 x2y4 = xy2 a2b2 = ab ; x10 = x5 ; x4y4c6 = x2y2c3

* si el índice es “tres”, se dividira entre tres.

3 a3b6 = ab2 porque a3/3b6/3 = ab2

3 x6y9 = x2y3

3 -8x3y3 = -2xy

* si el índice es cuatro, entre cuatro, etc.

4 x4y12 = xy3

5 x10y5c5 = x2yc *Si el índice es cinco , entre cinco

6 x12y18 = x2y3 *Si el índice es seis, entre seis

Raíz de un monomio.Para extraer raíz de un monomio basta con aplicar las indicaciones anteriores al monomio. Ejemplos:

3 512a3 = 8a 256a2b2 = 16ab 3 -1000x6 = -10x2

5 x10y5c5 = x2yc -121x4 = i * 3 125x3y6c3 = 5xy2c *por ser raíz cuadrada de un número negativo

* Cuando el exponente en la literal es menor que el índice, este se deja dentro del radical o bien se deja como exponente fraccionario.

3 x2 = 3 x2 o bien x2/3 *porque en la radicacion los exponentes se dividen x2:3 = x2/3

Cuando tenemos una expresión con exponente fraccionario este se puede indicar en forma de radical, para ello se hace lo siguiente:

a2/5 = 5 a2 x3/4 = 4 x3 m1/2 = m

* El numerador se toma como exponente del radicando *El denominador se toma como índice del radical

4 x4y = x 4 y o bien xy1/4

3 x = x1/3

abc = a1/2b1/2c1/2

* Cuando el exponente del radicando es mayor que el índice, pero la división no es exacta, se hace lo siguiente: .Se divide el exponente entre el índice y el cociente se escribirá como exponente fuera del radical y el residuo continuará como exponente dentro del radical. 3 x7 = x2 3 x porque 7: 3= 2 y sobra 1 ; “2” se escribira como exponente fuera del radical y el

residuo “1” dentro del radical. x2 3 x .

x3 = x x 3:2= 1 y sobra 1 por ello se escribe: x x * el “1” como exponente no se escribe

3 a5b7 = ab2 3 a2b

4 x9 = x2 4 x

5 a6b7 = ab 5 ab2 * Cuando el coeficiente no acepta la raiz en forma exacta, se descompone en factores de tal manera que uno de dichos factores acepte la raíz indicada .

Se extrae la raíz al factor que la acepta y el resultado se escribe fuera del radical; el factor que no acepto la raíz exacta continúa dentro del radical.

Ejemplos: opciones: Se buscan dos números que multiplicados den “20” y uno de ellos acepte raíz cuadrada. 20 = (4)(5) = 2 5 10 x 2 = 20 se descartan porque ningún factor acepta raíz cuadrada

se extrae raíz a “4” 4 x 5 = 20 estos factores cumplen con la condición

el “5” continúa dentro del radical

3 40 = 3 (8)(5) = 2 3 5 Se buscan dos números que multiplicados den “40 “y uno de ellos se extrae raíz cúbica a “8” acepte raíz cúbica. el “5” continúa dentro del radical 10 x 4 = 40 se descartan 20 x 2 = 40 se descartan 8 x 5 = 40 cumplen con las condiciones También se pueden encontrar los factores por descomposición de factores primos:Se hace lo siguiente: 1.- Se descompone el radicando en factores primos.2.-Para una raíz cuadrada se busca que número aparece como factor primo dos, cuatro,seis veces, etc.se indica como potencia y se le extrae la raíz indicada. Los otros números se multiplican y forman el otro factor.3.- Para la raíz cúbica se busca que un número aparezca como factor tres veces, seis veces, etc.4.- Se extrae la raíz al factor que la acepta y su resultado queda fuera del radical; el otro factor se queda dentro del radical. * se sigue trabajando con el mismo índice.

24 2 24= (2)(2)(2)(3) = 24 20 2 20 = (2)(2)(5) 40 2 40 = (2)(2)(2)(5) 12 2 10 2 20 2 6 2 5 5 10 2 3 3 1 5 5 1 1

Para una raíz cudrada tomariamos como factores:

24 =( 2)2(6) = (4)(6) 20 = (2)2(5) = (4)(5) 40= (2)2(10)= (4)(10) (2)(2)(2)(3) (2)(2)(5) (2)(2)(2)(5)

48 = (2)4(3) = (16)(3) 27 = (3)2(3) = (9)(3) (2)(2)(2)(2)(3) (3)(3)(3)

Para una raíz cúbica tomariamos como factores:24 = (2)3(3) =(8)(3) 20 * No acepta raíz cúbica 40 = (2)3(5) = (8)(5) (2)(2)(2)(3) (2)(2)(5) (2)(2)(2)(5)

No hay un mismo factor tres veces

250 = (5)3(2) = (125)(2) 16 = (2)3(2) = (8)(2) (5)(5)(5)(2) (2)(2)(2)(2)

* Para simplificar un monomio se aplica todo lo anterior . 20a3b5 = (4)(5)a3b5 = 2ab2 5ab 3 16a3b8 = 3 (8)(2)a3b8 = 2ab2 3 2b2

Radicales semejantes.Son los que tienen el mismo radicando y el mismo índice. 3 3b , -4 3b , 10 3b

2 3 2 , 9 3 2 , 5 3 2

4a 3b , 5a 3b , -2a 3b , 8a 3b

* No son radicales semejantes: 2 3 , 6 2 , -3 5 *porque no tienen el mismo radicando

4 3 2a , 9 4 2a , 6 2a *porque no tienen el mismo índice

Cuando se presentan radicales sin simplificar es necesario simplificarlos para saber si son semejantes con otros términos. Indicar si son semejantes los siguientes términos.

4 12 , 5 3 , -2 27 *No se comparán hasta haberse simplificado

4 (4)(3) , 5 3 , -2 (9)(3) *Descomponemos el radicando para simplificar

4(2) 3 , 5 3 ; -2(3) 3 *La raíz se multiplica por el coeficiente

8 3 , 5 3 , -6 3 *Si son semejantes tienen el mismo índice y el mismo radicando

2 20 , 5 12 , 2 5 *Se comparan hasta haberse simplificado

2 (4)(5) , 5 (4)(3) , 2 5 *Simplificamos

2(2) 5 , 5(2) 3 , 2 5 *Se multiplica la raíz por el coeficiente

4 5 , 10 3 , 2 5 *No son semejantes porque no todos tienen el mismo radicando

Reducción de radicales a un índice común.Para reducir o convertir radicales a un índice común se hace lo siguiente:1.- Se halla el m.c.m. de los índices , lo tomaremos como el índice común.2.- Se divide el m.c.m. entre el índice de cada radical; el cociente obtenido se escribirá como exponente del radicando. *El cociente es el número al que debemos elevar el radicando. *Convertir a un indice comun los siguientes términos

3 2 , 3 , 3 5x

3 2 , 3 , 3 5x *Calculamos el m.c.m. de los índices “ 2 y 3” en este caso “6”

3 2 = 6 (2)2 = 6 4 *Se divide el común índice entre el índice de cada radical 6:3 =2 y el 2 se escribirá como exponente del radicando.

3 = 6 (3 )3 = 6 27 * 6.2 = 3 “3” será el exponente del radicando 3

3 5x = 6 (5x)2 = 6 25x2 * 6:3 = 2 “2” será el exponente del radicando 5x

por lo tanto:

3 2 , 3 , 3 5x es lo mismo que : 6 4 , 6 27 , 6 25x2

Otro ejemplo:4 xy , 3 2a2 , abx *El m.c.m. de los índices : 4,3,2 es 12; será el común índice

4 xy = 12 (xy)3 = 12 x3y3 12:4 = 3 “3” será el exponente del radicando xy

3 2a2 = 12 (2a2)4 = 12 16a8 12.3 = 4 “4” será el exponente del radicando 2a2

abx = 12 (abx)6 = 12 a6b6x6 12:2 = 6 “6” será el exponente del radicando abx

Operaciones con radicales.Suma y resta de radicales.Para sumar radicales basta con realizar la reducción de radicales semejantes. *Se suman los coeficientes de los radicales semejantes y se conserva la misma parte radical.

2 5 - 8 5 + 9 5 = 3 5 5 2a + 3 2a + 11 2a = 19 2a

3 2 + 5 3 - 8 2 + 9 3 = -5 2 + 14 3

2 3 5 + 5 3 - 8 3 5 + 7 3 = -6 3 5 + 12 3

3 a+b - 8 a+b + 2 a+b = -3 a+b

*Cuando no se puede reducir directamente se simplifica para saber si son términos semejantes

3 12 - 5 20 + 18 + 7 27 =

3 (4)(3) - 5 (4)(5) + (9)(2) + 7 (9)(3) =3(2) 3 - 5(2) 5 + 3 2 + 7(3) 3 =6 3 - 10 5 + 3 2 + 21 3 = 27 3 - 10 5 + 3 2

*cuando los radicales no son semejantes , se pasan al resultado

2 3 + 5 2 - 7 = 2 3 + 5 2 - 7

*cuando son polinomios se eliminan los paréntesis y se hace la reducción de radicales semejantes

(2 a + 3 b + 5 c) + ( a - 2 b - 3 c) = 3 a + b + 2 c

(5 2b + 7 3x ) - (3 2b - 2 3x ) = 2 2b + 9 3x *El sustraendo cambia de signo

Multiplicación de radicales.Para la multiplicación de radicales tendremos los siguientes casos:1.- Multiplicación de radicales del mismo índice. Basta con multiplicar los radicandos de los factores y se sigue conservando el mísmo índice. ( 3 3a )( 3 3b ) = 3 9ab * Se multiplican los radicandos ; se conserva el mismo índice

( 7 )( 5 )( 2 ) = 70

( 3b )( 4b ) = 12b2 = (4)(3)b2 = 2b 3 *El resultado siempre se simplifica

2.- Multiplicación de radicales de diferente índice. Se convierten todos los factores a un índice común y después se hace la multiplicación de radicales con el mismo índice.

Ejemplos: ( 3 3x )( 5y ) = *Se convierte cada factor a un índice común; en este caso “3 y 2” m.c.m. es 6.

3 3x = 6 (3x)2 = 6 9x2

5y = 6 (5y)3 = 6 125y3

*Los factores ya convertidos a común indice se multiplican:

( 6 9x2 )( 6 125y3 ) = 6 1125x2y3

Otro ejemplo:

( a )( 3 ab)( 4 bx ) = *Se convierte cada factor a un índice común. m.c.m. 2,3 y 4 es 12

a = 12 (a)6 = 12 a6

3 ab = 12 (ab)4 = 12 a4b4

4 bx = 12 (bx)3 = 12 b3x3 ( 12 a6 )( 12 a4b4 )( 12 b3x3 ) = 12 a10b7x3

División de radicales. Para la división de radicales tendremos los siguientes casos:1.-División de radicales del mismo índice.

Basta con dividir el radicando del dividendo entre el radicando del divisor. Se sigue conservando el mismo índice. 27 : 3 = 27:3 = 9 = 3 *Se conserva el mismo índice y se dividen los radicandos

3 a : 3 b = 3 a:b ó 3 a b 20x3 : 5x = 20x 3 = 4x2 = 2x *Por ser raíz exacta se resuelve

5x2.-División de radicales con diferente índice. Se convierten los radicales a un mismo índice y se procede a la división de estos. 6 x2y2 : 4 xy3 = *Se calcula el m.c.m. de los índices “6 y 4” en este caso 12 y convertimos a un mismo índice los radicales.

6 x2y2 = 12 (x2y2)2 = 12 x4y4 ; 4 xy3 = 12 (xy3)3 = 12 x3y9

12 x 4 y 4 = 12 x x3y9 y5

Otro ejemplo: 3 2 : 5 = *El m.c.m. de los índices es 6 3 2 : 5 = 6 (2)2 : (5)3 = 6 4:125 = 6 4_ 125

Potencia de un radical.La potencia de un radical se obtiene elevando el radicando a dicha potencia. *Haciendo la descomposición en factores tenemos:

( a )4 = a . a . a . a = a4 = a2

( 3 2 )6 = 3 2 . 3 2 . 3 2 . 3 2 . 3 2 . 3 2 = 3 (2)6 = (2)2 = 4 Si observamos detenidamente los ejemplos anteriores podemos observar que, el exponente al que esta elevada la potencia , al final del procedimiento aparece como exponente del radicando. De esta manera se puede resolver de manera más directa la potencia de un radical. ( 3 x )9 = 3 (x)9 = (x)3 = x3

( 5x2y )4 = (5x2y)4 = (5x2y)2 = 25x4y2

( 4 a3bc2 )4 = 4 (a3bc2)4 = a3bc2

( 3 a + b )2 = 3 (a + b)2 = 3 a2 + 2ab + b2

Raíz de un radical.Para extraer la raíz de un radical se hace lo siguiente:1.- Se multiplican los índices de los radicales y el producto es el índice del nuevo radical.2.- Se simplifica el radical si se puede. 3 a2 = 2x3 a2 = 6 a2

3 5 3 = 3x5 3 = 15 3

5 2 3 2x2y = 5x2x3 2x2y = 30 2x2y Esto se deduce de :

4 3 a = a1/3 : 4 = a1/12 Recordar que para extraer raíz se dividen el exponente de la literal entre el índice del radical 3 a = a1/3 y luego se extraería raíz cuarta 4 a1/3 a1/3:4 1/3 : 4/1 = 1/12

En a1/12 El numerador es el exponente de la base dentro del radical

El denominador es el índice de radical 12 a

FACTORIZACIONFactorizar un número es descomponerlo en dos o más números que multiplicados den dicho número. Ejemplo: 24 se puede factorizar como: 12 x 2 = 24 6 x 4 = 24 8 x 3 = 24 , etc *Cada uno de los números que se multiplican son los factoresFactorizar una expresión algebraica es encontrar que expresiónes se multiplicaron para obtener dicha expresión.Así , en : 3ax los factores son: “3”, “a” y “x” ya que multiplicados dan : 3ax

(3a2)(5m) = 15a2m ; 3a2 y 5m son los factores 15a2m es el producto

(x + 7)(x - 4) = x2 + 3x - 28 ; (x + 7) y (x - 4) son los factores x2 + 3x - 28 es el producto

Descomponer una expresión algebraica en factores es convertirla en la multiplicación indicada de sus factores.

Para factorizar un monomio basta con buscar que factores dan dicho monomio y descomponerlo ya sea de una o más formas: 30a2b2c podría factorizarse de muchas maneras.

(10abc)(3ab) = 30a2b2c ; (6a)(5ab2c) = 30a2b2c ; (15a)(2ab2)(c) = 30a2b2c , etc.

Para poder factorizar una expresión algebraica con dos o más términos es necesario observar la cantidad de estos y las características que cada término presenta, ya que de acuerdo a las características que éstos presenten podrá determinarse a que caso de los siguientes corresponde su factorización. Después de analizar una expresión algebraica podemos clasificarla dentro de los siguientes casos: *Algunos casos se relacionan directamente con los productos notables, ya que son operaciones reversibles

Factor común: ax + bx + cx

Diferencia de cuadrados: x2 - y2

Trinomio cuadrado perfecto: x2 +2xy + y2

Trinomio de la forma : x2 + bx + c

Trinomio de la forma : ax2 + bx + c

Suma de cubos: x3 + y3

Diferencia de cubos: x3 - y3

Polinomio cubo perfecto: x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Factor común.El caso de factor común se presenta cuando en un polinomio hay un número o una letra que aparece como factor en cada uno de los términos del polinomio. Para factorizar un polinomio por factor común se hace lo siguiente:1.- Se busca el M.C.D. de los coeficientes .(El mayor de los números que pueda dividir a todos los coeficientes)2.- Se busca la letra o letras que aparecen en todos los términos y se toma esta o estas con el menor exponente con el que aparezcan.

* La expresión formada por el coeficiente y la parte literal lo llamaremos factor común * En algunos casos el factor común puede estar formado sólo por el coeficiente o sólo por la parte literal. *Cuando no hay ni coeficiente ni literal , se toma como factor común “1”3.- Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el factor común.

Ejemplos:

8a5 + 6a2- 10a3 = *Se busca el mayor número que divida a todos los coeficientes , en este caso “2”

*Se busca la letra o letras que aparezcan en todos los términos y se toma con su menor exponente , en este caso “a2” ; por lo tanto : El factor común es 2a 2 * Se divide cada término del polinomio entre el factor comun.

8a5 + 6a2 - 10a3 = 8a 5 + 6a 2 - 10a 3 = 4a 3 + 3 - 5a *Este será el otro factor

2a2 2a2 2a2 * Se indica como solución el factor común por el polinomio obtenido de la división del polinomio entre el factor común. Por lo tanto :8a5 + 6a2 - 10a3 = 2a 2 (4a 3 + 3 - 5a) Para comprobar que la factorización es correcta se multiplica el factor comun por el factor polinomio

20a3b + 30a2b3 + 10a2b2 = * Se busca el mayor de los números que divida a 20,30,10 , en este caso “10” * Se busca al letra o letras que aparezcan en todos los términos y se toma cada una con sus menor exponente para este caso “a2”, “b” por lo cual tomamos “a2b” * Por lo tanto el factor común es : 10a2b * Se divide el polinomio entre el factor común.20a3b: 10a2b = 2a30a2b3 : 10a2b = 3b2

10a2b2 : 10a2b = bPor lo tanto: 20a3b + 6a2 - 10a3 = 10a 2 b(2a + 3b 2 + b)

6a + 4b = *El factor común es “2” no hay parte literal

2(3a + 2b)

a2b3c + a3b4c2 + ab2x = *El factor común es “ab2” ; no hay coeficiente

ab2(abc + a2b2c2 + x)

a2 + a3 = *El factor común es “a2” ; al dividir a2: a2 = 1 a2( 1 + a)

Binomio factor común. El factor común como ya se dijo es una expresión que aparece como factor en cada uno de los términos del polinomio.En algunas ocasiones el factor común puede ser una expresión dentro de un paréntesis, tal es el caso del binomio factor común.

Ejemplos:

1) x(m + n) + a(m + n) = *El factor que aparece en todos los términos es (m + n) *El binomio tiene que ser totalmente igual (signos, coeficientes, parte literal)

*Dividimos cada término del polinomio entre el factor común.x(m + n) = x a(m + n) = a * Al dividir obtenemos como factor (x + a) (m + n) (m + n)

Por lo tanto al factorizar obtenemos: x(m + n) + a (m + n) = (m + n)(x + a)

2) ab(a + 1) + x2(a + 1) - 2y( a + 1) = * El factor común es (a + 1)

*Dividimos cada término del polinomio entre el factor común.ab(a + 1) = ab x2(a + 1) = x2 -2y(a + 1) = -2y *El factor obtenido es (ab + x2 - 2y) (a + 1) (a + 1) (a + 1)

Al factorizar obtenemos: ab(a + 1) + x2(a + 1) - 2y(a + 1) = (a + 1)(ab + x 2 - 2y)

3) x(2a + 3) - y(2a + 3) = *El factor común es (2a + 3)

x(2a + 3) = x -y(2a + 3) = -y *El factor obtenido es (x - y) (2a + 3) (2a + 3)

Por lo tanto al factorizar:x(2a + 3) - y(2a + 3) = (2a + 3)(x - y)

También podemos resolver de manera directa.*Indicamos el factor común y dividimos cada término del polinomio entre el factor común

a(m + 3) - 2b(m + 3) = (m + 3)(a - 2b)4x2(x - y) + 3r(x - y) = (x - y)(4x2 + 3r)

a(b + x) - 2b(b + x) + y(b + x) = (b + x)(a - 2b + y)

Agrupación o asociación de términos

*Se caracteriza por estar formado por lo general por cuatro términos

Para factorizar un polinomio por este caso se hace lo siguiente:1.- Se agrupan los términos de dos en dos de izquierda a derecha2.- Se saca factor común de los primeros dos términos y después de los otros dos * Se verifica que lo que este dentro de los paréntesis sea igual . Obtenemos un caso de binomio factor común.3.- Se factoriza el polinomio por el caso de binomio factor común. Ejemplos: 1) Factorizar: ax + bx - ay - by

ax + bx - ay - by = *Agrupamos términos de dos en dos y sacamos factor común

ax + bx - ay - by = *Verificamos que lo que quede dentro de los paréntesis sea igual

x(a + b) - y(a + b) * Factorizamos por binomio factor común , en este caso (a + b) x(a + b) - y(a + b) = x - y (a + b) (a + b)

Por lo tanto: ax + bx - ay - by = (a + b)(x - y)

2) 2xy + y - 6x - 3 =

2xy + y - 6x - 3 = *Agrupamos de dos en dos y sacamos factor común

y(2x + 1) - 3(2x + 1) *El signo el tércer término se queda fijo para el segundo factor común.

(2x + 1)(y - 3) *Aplicando binomio factor común queda factorizado

Por lo tanto: 2xy + y - 6x - 3 = (2x + 1)(y - 3)

3) 3mx + 3my2 + x + y2 =

3mx + 3my 2 + x + y 2 = *Agrupamos de dos en dos y sacamos factor común

3m(x + y2) + 1(x + y2) *Cuando no hay factor común se toma la unidad como factor

(x + y2)(3m + 1) *Aplicando binomio factor común

Por lo tanto: 3mx - 3my2 + x + y2 = (x + y 2 )(3m + 1)

4) 15xy + 5x + 12y + 4 = 15xy + 5x + 12y + 4 = *Agrupamos de dos en dos y sacamos factor común

5x(3y + 1) + 4(3y + 1) *Se factoriza el polinomio por binomio factor común

(3y + 1)(5x + 4) Por lo tanto: 15xy + 5x + 12y + 4 = (3y + 1)(5x + 4)

5) 4b + 10 + 6ab + 15a =

4b + 10 + 6ab + 15a = *Agrupamos de dos en dos y sacamos factor común

2(2b + 5) + 3a(2b + 5) *Se factoriza el polinomio por binomio factor común

(2b + 5)(2 + 3a) Por lo tanto: 4b + 10 + 6ab + 15a = (2b + 5)(2 + 3a)

*En algunos caso el polinomio ya puede estar iniciado y sólo es necesario completarlo y factorizarlo. 6) 3a(x - y) - 5x + 5y =

3a(x - y) - 5x + 5y = *Se saca factor común en los dos últimos términos

3a(x - y) - 5(x - y) *Se factoriza por binomio factor común

(x - y)(3a - 5)Por lo tanto: 3a(x - y) - 5x + 5y = (x - y)(3a - 5)

7) ax + a + b(x + 1) =

ax + a + b(x + 1) = *Se saca factor común de los primeros dos términos

a(x + 1) + b(x + 1) *Se factoriza por binomio factor común

(x + 1)(a + b)

Por lo tanto: ax + a + b(x + 1) = (x + 1)(a + b)

Diferencia de cuadrados

Este caso se caracteriza porque está formado por dos términos, que aceptan raíz cuadrada y estan separados por el signo menos. Para factorizar se hace lo siguiente:1.- Se extrae la raíz cuadrada del minuendo y del sustraendo y las raíces se escriben dentro de dos paréntesis, separándolos por un signo más y por un signo menos respectivamente.

El resultado de factorizar una diferencia de cuadrados es la multiplicación de unos binomios conjugados. a2 - b2 = (a + b)(a - b) Ejemplos:

1) x2 - 4 =

x2 - 4 = Raíz cuadrada de x2 = x ; Raíz cuadrada de 4 = 2 ( + )( - ) *Se escriben dos paréntesis uno con el signo “+” y otro con el signo “-” y (x + 2 )(x - 2) dentro de estos se escriben las raíces del minuendo y del sustraendo.

Por lo tanto : x2 - 4 = (x + 2 )(x - 2)

2) 9y2 - 25x2y4 =

9y2 - 25x2y4 = Raíz cuadrada 9y2 = 3y ; Raíz cuadrada 25x2y4 = 5xy2

( + )( - ) *Se escriben dos paréntesis uno con el signo “+” y otro con el signo “-” ( 3y + 5xy2)(3y - 5xy2) *Se escriben las raíces del minuendo y del sustraendo en los dos paréntesis

Por lo tanto: 9y2 - 25x2y4 = (3y + 5xy2)(3y - 5xy2) Podemos resolver de manera directa:

a4 - 16x2 = (a2 + 4x)(a2 - 4x).

9b2 - 36 = (3b - 6)(3b + 6)

121a2b2 - 400y4 = (11ab + 20y2)(11ab - 20y2)

x10 - a6b8 = (x5 + a3b4)(x5 - a3b4) *Cuando se trabaja con fracciones se saca raíz cuadrada tanto al numerador como al denominador.a 2 _ 4b 4 = a + 2b 2 a _ 2b 2

y2 9 y 3 y 3

m4 - 25 = m2 + 5 m2 - 5 9 3 3

Trinomio cuadrado perfecto.

Cuando está ordenado se caracteriza por lo siguiente:1.- Todos los términos son positivos , o bién el segundo término es negativo2.- El primero y tercer términos aceptan raíz cuadrada3.- El segundo término es igual al doble de la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del tercer término. Para factorizar un t.c.p. , se hace lo siguiente:

1.- Se saca raíz cuadrada del primer y tercer términos2.- Se escribe un paréntesis indicando potencia al cuadrado y dentro se escriben las raíces del primero y tercer términos de trinomio , se emplea como signo de enlace el signo del segundo término del trinomio. * Su factorización corresponde a un binomio al cuadrado.Ejemplos:1) 9y2 - 24y + 16 =

9y2 - 24y + 16 = *Se verifica que esté ordenado (ya sea creciente o decreciente) *Raíz cuadrada primer término: 9y2 = 3y *Raíz cuadrada tercer término : 16 = 4 *Se verifica que el doble producto de las raíces de el segundo término: 2(3y)(4) = 24y *Se escriben en un paréntesis las raíces, con el signo del segundo término y elevado al cuadrado ( 3y - 4)2 Por lo tanto: 9y2 - 24y + 16 = (3y - 4) 2

2) 4x2 + 20xz2 + 25z4 =

4x2 + 20xz2 + 25z4 = *Se verifica que esté ordenado

*Se extrae raíz cuadrada al primer y tercer términos 4x2 = 2x ; 25z4 = 5z2

*Se verifica que el doble producto de las raíces dé el segundo término: 2(2x)(5z2) = 20xz2

*Se esciben las raíces en un paréntesis elevado al cuadrado con el signo del segundo término(2x + 5z2)2

Por lo tanto: 4x2 + 20xz2 + 25z4 = (2x + 5z 2 ) 2

3) 49 + 16a2 + 56a =

*Se ordena el trinomio y se observa que cumpla con las características de t.c.p.49 + 56a + 16a2 = *Esta ordenado en forma creciente

*Raíces cuadradas del primer y tercer términos 49 = 7 ; 16a2 = 4a

*Se verifica que el doble producto de las raíces de el segundo término: 2(7)(4a)= 56a*Se escriben las raíces en un paréntesis elevado al cuadrado, con el signo del segundo término.(7 + 4a)2

Por lo tanto: 49 + 16a2 + 56a = (7 + 4a)2

4) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 *Resolviendo de manera más directa x 1 2(x)(1) = 2x ; signo del segundo término “+”

4x2 - 32x + 64 = (2x - 8)2

2x 8 2(2x)(8) = 32x ; signo del segundo término “-”

100a2b4 + 81c2 + 180ab2c= *Ordenamos en forma decreciente con respecto a “a”

100a2b4 + 180ab2c + 81c2 = (10ab2 + 9c)2

10ab2 9c 2(10ab2)(9c) = 180ab2c ; signo del segundo término “+”

*Cuando se trabaja con fracciones se procede de la misma manera. a 2 + 4a + 4 = a + 2 2

9 3 3 *Raíz cuadrada de primer y tercer términos a 2 = a ; 4 = 2 *Doble producto de las raíces: 2 a 2 = 4a 9 3 1 3 1 3 *Cuando no hay denominador se emplea “1” la unidad *Empleamos el signo del segundo término

4b 2 - 3a 2 b + 9a 4 = 2b - 3a 2 2 *Raíz cuadrada de términos: 4b 2 = 2b ; 9a 4 = 3a 2

25 10 64 5 8 25 5 64 8

*Doble producto de las raíces: 2 2b 3a 2 = 12a 2 b = 3a 2 b 5 8 40 10 *El doble producto sólo afecta a los numeradores

Trinomio de la forma : x2 + bx + c

Cuando está ordenado se caracteriza por lo siguiente:1.- El primer término acepta raíz cuadrada y no tiene coeficiente.2.- El segundo término en su parte literal es raíz cuadrada del primer término del trinomio3.-El tercer término por lo general es un término independiente *Su factorización corresponde a la multiplicación de dos binomios con término común.

x2 + 6x + 8 Para factorizar se hace lo siguiente:1.- Se escriben dos paréntesis y como primer término de éstos se escribe la raíz cuadrada del primer término del trinomio. (x )(x )

2.- En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término del trinomio

3.- En el segundo paréntesis se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del sergundo término por el signo del tercer término(x + )(x + )

Observaciones:

* Si en los paréntesis los signos son iguales, se buscan dos números que sumados den el coeficiente del segundo término y multiplicados den el tercer término.* Si los signos en los paréntesis son diferentes, se buscan dos números que restados den el coeficiente del segundo término y multiplicados el tercer término

4 x 2 ; 8 x 1 sumados 6 y multiplicados 8

4.- Se verifica que los números encontrados cumplan con las condiciones señaladas (x + 4)(x + 2)

*Para encontrar los números se factoriza el tercer término.Ejemplos:

1) x2 - 2x - 24 =

x2 - 2x - 24 = *Se escriben dos paréntesis y como primer término de estos la raíz cuadrada

del primer término x2 = x

(x - )(x + ) * Se toma el signo del segundo término para el primer paréntesis * Se toma para el segundo paréntesis el signo que resulta al multiplicar los signos del segundo y tercer términos

* Como los signos son diferentes, se buscan dos números que restados den el segundo término y multiplicados el tercero. *Buscamos dos números que restados den “2” y multiplicados “24”

*Para encontrar los números factorizamos el tercer término “24” y buscamos los factores que restados den “2” Analizamos las posibilidades: 24 x 1 Restados dan “23” 12 x 2 Restados dan “10” 8 x 3 Restados dan “5” 6 x 4 Restados dan “2” * 6 y 4 son los números que satisfacen la condición establecida. *El mayor de los números se escribe en el primer paréntesis

Por lo tanto la factorización de : x2 - 2x - 24 = (x - 6)(x + 4)

2) a2 + 7a + 12 =

a2 + 7a + 12 = *Se escriben dos parentesis y como primer término de estos la raíz cuadrada de primer término del trinomio

* Se toma el signo del segundo término para el primer paréntesis

* Se escribe en el segundo paréntesis el signo que resulta de multiplicar el segundo y tercer términos(a + )(a + )

*Como los signos son iguales se buscan dos números que sumados den “7” y multiplicados “12”*Factorizamos 12 y analizamos los factores de tal manera que cumplan que sumados den “7”

12 x 1 Sumados dan 13 6 x 2 Sumados dan 8 4 x 3 Sumados dan 7 Estos números cumplen con las condiciones establecidas

Por lo tanto: a2 + 7a + 12 = (a + 4)(a + 3)

3) a2 + 2a + 1 = a2 + 2a + 1= Se escriben dos paréntesis y como primer término la raíz cuadrada de a2

(a + )(a + ) Se buscan dos números que sumados den “2” y multiplicados “1”

(a + 1) (a + 1) Son los números que cumplen con las condiciones establecidas