manual do professor

M12Matrizes

Matemática3

TERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M1

TERCEIRÃO FTDGeometria Métrica Plana1 (Faap-SP) O proprietário de uma área quer dividi-laem três lotes, conforme a figura.

Rua A

20 24 36

a

b

cRua B

Sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e quea 0 b 0 c = 120 m, os valores de a, b e c, em metros, são,respectivamente:a) 40, 40 e 40 c) 36, 64 e 20 e) 30, 46 e 44b) 30, 30 e 60 d) 30, 36 e 54Devemos ter:

a b c20 24 36

= =

a 0 b 0 c = 120

14

24

3

1

2

Daí, obtemos: a = 30 m, b = 36 m e c = 54 m.

De e , obtemos:1 2

a b c a b c a b c0 0

0 0= = = Θ = = =

20 24 36 20 24 3612080 20 24 36

4 (UFSC) Na figura abaixo, o é paralelo a 3. Nessascondições, determine o valor de x 0 y.

ACDE

ABDB

yy= Θ =

0Θ =

1510

18

189

ACDE

CBEB

xx

x= Θ =0

Θ =1510

1020

A y D 18B

x

E

10

1015

C

Os triângulos ACB e DEB são semelhantes. Logo:

Assim: x 0 y = 20 0 9 = 29

X

2 (MACK-SP)

D AB

E

C

60)

Na figura acima, os ângulos assinalados são iguais, AC = 2e AB = 6. A medida de 2 é:

a)

65

b)

74

c)

95

d)

32

e)

54

Os triângulos AEB e DCB são semelhantes.

Do enunciado, temos a figura:

60) 60)

2

D 2

2

CE

A 6B

60)

60)

60)

Então:

AEAE

268

32

= Θ = .

X

3 (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m dealtura mede 60 cm. No mesmo momento, ao seu lado, asombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tar-de, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pes-soa passou a medir:a) 30 cm c) 50 cm e) 90 cmb) 45 cm d) 80 cm

60 cm = 0,6 m

Antes

0,62,0

1,8

Po

Depois

s1,5

1,8

Po

PPo

o2 0180 6

2 0 180 6

6 0,

,,

, ,,

,= =9

=→

6 015

18 15 186 0

0 45 0 45 45,,

, , ,,

, ,= =9

= Θ =s

s s m ou cm→

X

Caderno de

Atividades

001_011_CA_Matem_1 11.08.06, 12:323

Geometria Métrica PlanaM1

Matemática 4

5 (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros parale-los em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abala-dos. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os mu-ros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figuraabaixo. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m,respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barrasse interceptam? Despreze a espessura das barras.a) 1,50 mb) 1,75 mc) 2,00 md) 2,25 me) 2,50 m

9 m

3 m

Da figura, temos:

De , vem:1

a b

bx

0 =9

3

Substituindo em , vem:3 2

39

39

3x

bxa

a xbx

a b= Θ = 9 Θ =

De , vem:1

9 3 94 2 25

xb b

b xx m=

0Θ = Θ = ,

7 (Fuvest-SP) Um lateral L faz um lançamento para umatacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha para-lela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, se-gue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral, equando passa pela linha de meio-de-campo, está a umadistância de 12 m da linha que une o lateral ao atacante.Sabendo-se que a linha de meio-de-campo está à mesmadistância dos dois jogadores, a distância mínima que oatacante terá de percorrer para encontrar a trajetória dabola será de:a) 18,8 mb) 19,2 mc) 19,6 md) 20 me) 20,4 m

x 3

EC

9

A Da b F

B

• #EFA Κ #CDA

3x

a ba

=0 2

• #ABF Κ #CDF

9x

a bb

=0

1

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:

x2 = 92 0 122

x2 = 81 0 144x2 = 225x = 15 m

4 m

h = 16 m16 − 4 = 12 m

B C

x

A

9 m

9

Fazendo a figura, vem:

6 (UFSM-RS) Um fio de antena está preso no topo de umprédio de 16 metros de altura e na cumeeira de uma casa aolado, a 4 metros de altura. Considerando o terreno plano(horizontal) e sabendo que a distância entre a casa e o pré-dio é 9 metros, o comprimento do fio é, em metros:

a) 12 b) 15 c) 337 d) 20 e) 25X

8 (MACK-SP) As bases de um trapézio isósceles medem7 e 13. Se a altura do trapézio é 4, o seu perímetro é:

a) 27 b) 25 c)20 d) 30 e) 40

4

3 ED CF 3

5 54

7 BA

7

13

X

Os triângulos ADE e BCF da figura são retângulos, congruentes e de catetosmedindo 3 e 4.

Dessa forma, AD BC= = 0 =3 4 52 2 .

O perímetro do trapézio ABCD, isósceles, é:

AB 0 BC 0 CD 0 DA = 7 0 5 0 13 0 5 = 30

X

A menor distância do atacante à trajetória da bola está na perpendicular àtrajetória que contém a posição do atacante. Na figura é a medida dosegmento d. Assim, considerando os dados da figura em metros, temos:1) No triângulo LMB, retângulo em M:

(LM)2 0 (MB)2 = (LB)2 Θ 162 0 122 = (LB)2 Θ LB = 20 m

2) Da semelhança dos triângulos LPA e LMB:

APBM

ALBL

AP12

3220

AP965

AP 19,2 m

= =

=

=

→

X

L

A

32 m

12 m

L

BM

A

16

16

12P

001_011_CA_Matem_1 11.08.06, 12:334

M1Geometria Métrica Plana

Matemática5

Observando o gráfico, temos que os triângulos ACD e ABE são semelhan-tes; logo:

A gratificação y que um funcionário recebe quando obtém 100 pontos é amesma que a recebida quando obtém 90 pontos.

300

A

B

C

DE

110

310

y

50 90 no de pontos

gratificação (em reais)

CDBE

DEEA

y

=

−

−=

−

−

110310 110

90 3050 30

y −=

110200

6020

y −=

110200

3

y = 710 reais

10 (UFBA) A figura mostra aposição de um avião observado apartir de dois pontos, A e B, loca-lizados no solo e distantes 1 kmum do outro. Sabe-se que, nesseinstante, o avião dista, respecti-

vamente, 88 km e 9 km dos

pontos A e B. Nessas condições,determine a altura do avião, emrelação ao solo, no instante con-siderado.

Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da grati-ficação é proporcional à variação do número de pontos,determine a gratificação que um funcionário receberá nomês em que obtiver 100 pontos.

9 (UFF-RJ) A Cerâmica Marajó concede uma gratifica-ção mensal a seus funcionários em função da produtivi-dade de cada um convertida em pontos; a relação entre agratificação e o número de pontos está representada nográfico a seguir.

0 30

110

310

50 90 100 no de pontos

gratificação (em reais)

Representando, temos:

Usando o teorema de Pitágoras, temos:#CBD Θ 92 = h2 0 x2

#ACD Θ ( 88 )2 = (x 0 1)2 0 h2

De , vem:h2 = 92 − x2 Θ h2 = 81 − x2

Substituindo em , vem:88 = (x 0 1)2 0 81 − x2

88 = x2 0 2x 0 1 0 81 − x2

88 = 2x 0 82x = 3 kmPortanto:h2 = 81 − 32 Θ h2 = 81 − 9h2 = 72 Θ h = 72 Θ h Λ 8,5 km

21

1

2

9 h88

A B1 x C

D

9 km

88 m

1 kmA B

001_011_CA_Matem_1 11.08.06, 12:335


Matemática 6

11 (EEM-SP) Um cabo deverá ligar o ponto A, situadona margem esquerda do rio, ao ponto D, situado na mar-gem direita do mesmo rio, 240 metros rio abaixo (confor-me a figura). Suponha que as margens do rio sejam para-lelas e que sua largura seja de 70 metros. Esse cabo deveráser esticado pela margem esquerda do rio, de A até B, 100metros rio abaixo. Do ponto B atravessará perpendicular-mente a margem do rio para o ponto C. De C seguirá aolongo da margem direita até D.

70 m

C D

BA 100 m240 m

Seja x o comprimento total do cabo. Assim:x = AB 0 BC 0 CDx = 100 0 70 0 140x = 310 mSeja y o comprimento do cabo esticado de A até D. Logo:(AD)2 = (240)2 0 (70)2

(AD)2 = 62 500

( )AD 2 62 500=

AD = 250 m

13 (PUC-SP) Uma estação de tratamento de água (ETA)localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação derádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1 000 m da ETA.Pretende-se construir um restaurante, na estrada, quefique à mesma distância das duas estações. A distânciado restaurante a cada uma das estações deverá ser de:a) 575 m c) 625 m e) 750 mb) 600 m d) 700 m

Sendo AB = 1 000 m, AC = 600 m e AR = BR = x, temos:

I) teorema de Pitágoras no #ABC:BC2 0 6002 = 1 0002 → BC = 800

II) teorema de Pitágoras no #ARC:AR2 − RC2 0 6002 → x2 = (800 − x)2 0 6002 → x = 625 m

Seja R a posição do restaurante, situado na estrada e eqüidistante dasduas estações. A partir do enunciado, podemos construir a seguinte figura:

x

x

B

rádio

estrada

CR

600 m

A (ETA)

1 000 m

X

12 (UFC) Calcule o comprimento do raio r . 0 de umaesfera inscrita num cone circular reto cujo raio da basemede a = 5 e a geratriz mede b = 7. (Utilize cm comounidade de comprimento.) 8

9

B

C

E

D

915

F

A

27a) Mostre que os triângu-los ABC e BEC são se-melhantes e, em segui-da, calcule AB e EC.

b) Calcule AD e FD.

14 (Unifesp-SP) No triângulo ABC da figura, que nãoestá desenhada em escala, temos:

BhC ≅ CjE, AlF ≅ BlF,AC = 27, BC = 9,BE = 8, BD = 15e DE = 9.

b) Na figura, temos que: AD = AC − DC, ou seja, AD = 27 − 12 Ι AD = 15.No triângulo ADB, sendo AD = BD e AlF = BlF, podemos concluir queDF é a altura relativa à base AB do triângulo isósceles ADB.Logo, AF = BF = 12 e AzB = 90).Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ADF,temos que:(FD)2 0 122 = 152 Ι FD = 9

a) Os triângulos ABC e BEC são semelhantes, pois têm dois ângulos res-pectivamente congruentes:h = j e k = kDa semelhança dos triângulos, temos que:

ABBE

BCEC

ACBC

= = , ou seja,

ABEC

= =8

9 279

Ι AB = 24 e EC = 3

Calcule o comprimento total do cabo e determine qualseria seu comprimento se ele fosse esticado diretamentede A até D.

O problema reduz-se a calcular o raio da circunferência inscrita num triân-gulo isósceles com base 2a . 0 e lados congruentes de medida b. Porsemelhança de triângulos, obtemos a igualdade:

�ADB Κ �AEO Θ

xr

ba

= Θ

xr

75

= Θ x

75

r=

Usando o teorema de Pitágoras, temos:

b2 = (x 0 r)2 0 a2 Θ 72 =

7r5

r2

0

0 52

144r2 = 25 9 24

r = 5 6

6 cm

A

C B

E

D a

r

r

x

O b

001_011_CA_Matem_1 11.08.06, 12:336

M1Geometria Métrica Plana

Matemática7

16 (UFRN) Considere a po-sição da escada na figura aolado.

Sabendo que h = 200 cm, e queo comprimento da escada é

H cm, calcule

H

17.

20 cm

h

h4

D E

x

x

A

BC

x 20

H − xh = 200

= 50h4

Os triângulos ABC e ADE são semelhantes.

ACAE

ABAD

xH x

= Θ−

=20200

xH x−

=1

10

10x = H − x

x

H=

111

No #ADE, temos:(H − x)2 = 2002 0 502 Θ (H − x)2 = 42 500 2

De e , vem:1 2

HH

HH H

− =

− 0 =

1142 500

211 121

42 500

2

22 2

100H2 = 5 142 500

H = 55 17

Portanto:

H

17

55 17

1755= =

17 (Vunesp-SP) O comprimento c de uma circunferên-cia é dado pela fórmula c = 2πr. Um ciclista, cuja bicicletatem pneus de 20 cm de raio, deu 7 500 pedaladas.Usando a aproximação π = 3 e supondo que cada pedaladacorresponde a uma volta completa do pneu, a distânciapercorrida pelo ciclista foi de:a) 4,5 km c) 45 km e) 900 kmb) 9 km d) 150 kmX

De acordo com os dados, em cada volta o ciclista andou:C = 2 9 π 9 r Θ C = 2 9 3 9 0,2 Θ C = 1,2 mComo ele deu 7 500 voltas, temos:7 500 9 1,2 = 9 000 m = 9 km

a) Do enunciado, temos a figura, cotada em km:

15 (Unicamp-SP) Dois navios partiram ao mesmo tem-po, de um mesmo porto, em direções perpendiculares e avelocidades constantes. Trinta minutos após a partida, adistância entre os dois navios era de 15 km e, após mais15 minutos, um dos navios estava 4,5 km mais longe doporto que o outro.a) Quais as velocidades dos dois navios, em km/h?b) Qual a distância de cada um dos navios até o porto de

saída, 270 minutos após a partida?

P: portoN1: posição de um dos navios 30 minutos após a partidaN2: posição do outro navio no mesmo instante

Sejam x e y as velocidades, em km/h, dos navios que se deslocam

sobre as retas PN1 e PN 2 , respectivamente.

Do enunciado, temos: PN1 = x 9 3060

Θ PN1 = x2

PN2 = y 9 3060

Θ PN2 = y2

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo PN1N2, temos:(PN1)

2 0 (PN2)2 = (N1N2)

2

x2

y2

2 2

0 = 152 Θ x2 0 y2 = 900

Ainda, do enunciado, temos:

x 4560

y 4560

9=

9 0 4,5 Θ x = y 0 6

De e , vem:(y 0 6)2 0 y2 = 900

y2 0 6y − 432 = 0 yδ = 18y φ = −24 (não convém)

Em , temos:x = y 0 6 Θ x = 18 0 6 Θ x = 24As velocidades são 18 km/h e 24 km/h.

b) As distâncias são iguais a:

d1 = 18 9 27060

Θ d1 = 81 km

d2 = 24 9 27060

Θ d2 = 108 km

2

1

1 2

2

P

15

N1

N2

001_011_CA_Matem_1 11.08.06, 12:347


Matemática 8

A primeira parte da espiral é uma semicircunferência de raio 1 m. Seu com-primento é:C

1 = π 9 R

1 Θ C

1 = 3 9 1 = 3 Θ 3 m

A segunda parte da espiral (R2 = 2 m) tem comprimento:C

2 = π 9 R

2 Θ C

2 = 3 9 2 = 6 Θ 6 m

A terceira parte da espiral (R3 = 3 m) tem comprimento:C

3 = π 9 R

3 Θ C

3 = 3 9 3 = 9 Θ 9 m

A quarta parte da espiral (R4 = 4 m) tem comprimento:C

4 = π 9 R

4 Θ C

4 = 3 9 4 = 12 Θ 12 m

O comprimento total da espiral é:C = C

1 0 C

2 0 C

3 0 C

4 Θ C = 3 0 6 0 9 0 12 = 30 Θ 30 m

O número de tijolos de comprimento 30 cm = 0,3 m é:

Para construir essa espiral, escolheu dois pontos que dis-tam 1 m um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cadatijolo mede 30 cm de comprimento.Considerando π = 3, o número de tijolos necessários parafazer a espiral é:a) 100 b) 110 c) 120 d) 130

18 (UERJ) José desejaconstruir, com tijolos, ummuro de jardim com a for-ma de uma espiral de doiscentros, como mostra a fi-gura ao lado.

1 m

n n= Θ = =

300 3

3003

100,

19 (UESPI) Dado um quadrado de lado 5 cm, a razãoentre os raios dos círculos circunscrito e inscrito ao qua-drado, nessa ordem, é:

a)

22

b) 2 c) 1 d)

52

e)

52

2X

Fazendo as figuras:

55

5

R

R

5

r

rr =

52

r =52

5

5

Aplicando o teorema de Pitágoras, vem:

552

2 2 2

22

= 0

=

R R

R

R =9

9

5 2

2 2

R =

5 22

LogoRr

: = =

5 2252

2

X

20 (UFG) Os diâmetros das rodas dianteira e traseirade uma bicicleta medem 54 cm e 70 cm, respectivamente.Em determinado momento, marca-se, em cada roda, oponto de contato com o solo. Ao deslocar-se em linha reta,calcule a menor distância a ser percorrida pela bicicleta,para que os pontos marcados nas rodas toquem novamenteo solo, ao mesmo tempo.

As distâncias percorridas pelas rodas traseira e dianteira são, respectiva-mente:C

1 = 2πR

1

C1 = 2π 9 70

2C

1 = 70π

C2 = 2πR2

C2 = 2π 9 542

C2 = 54π

A menor distância a ser percorrida pela bicicleta, para que os pontos mar-cados nas rodas toquem novamente o solo, ao mesmo tempo, pela pri-meira vez, é dada pelo menor múltiplo comum de 70π e 24π. Logo:

mmc (70π, 54π) = 1 890π cm

70, 54 235, 27 335, 9 335, 3 335, 1 5

7, 1 71, 1 1 890

001_011_CA_Matem_1 11.08.06, 12:348

M2Trigonometria nos Triângulos

Matemática23


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M2

TERCEIRÃO FTDTrigonometria nosTriângulos1 (UEPB) Duas avenidas retilíneas A e B se cruzam se-gundo um ângulo de 30∞. Um posto de gasolina C situadona avenida B a 400 m do ponto de encontro das avenidasse encontra a que distância da avenida A?a) 300 m c) 150 m e) 200 mb) 250 m d) 250 m

2 (EEM-SP) Quantos degraus de 19 cm de altura sãonecessários para substituir uma rampa de 9,5 m de exten-são com inclinação de 30)?


30)

h9,5 m

senh

h

309 5

12 9 5

) =

= =

,

,Æ h 4,75 m

Logo, o número de degraus é:

N = =4 750 19

25,,

N = 25 degraus

3 (UEM-PR) Um balão parado nocéu é observado sob um ângulo de 60).Afastando-se 3 metros, o observadorpassa a vê-lo sob um ângulo ε tal que

tg ε =

12

. Determine a altura do

balão. Multiplique o resultado

por 11 6 3−( ). 3 m

h

60)ε

A

BD C

h

x3

Substituindo em , vem:12

h h

h h

= −

= −

3 2 3

2 3 3 3

( )

2 3 3 3h h− =

h 2 3 1 3 3− =( )

h =−

90

0=

03 3

2 3 1

2 3 1

2 3 1

3 6 311

( )

tg

hx

h x60 3 3) = = Θ =

No triângulo ABC, temos:

No triângulo ABD, temos:

tgh

xx

ε =0

=

= 0

312

32h

1

22h − 3 = x

Portanto, 11 6 3

11 6 3 3 6 3

113 36 3 99− =

− 9 9 0= − =( ) ( ) ( )

h m( )

4 (UFMG) No triângulo ABC, o ângulo AjC é reto,

BC e B C= =5 6

3

15cos ( ) .h

Considerando esses dados, calcule o comprimento do

cateto AB.

Portanto:

Representando o triângulo ABC, temos:

B

x y

C

A

y

yy y2

22

9

15150 375 5 15= 0 Θ = Θ =

x x=9

Θ =3 5 15

1515

5 6

Substituindo em , temos:12

cos ( )B C

xy

xy

xy

h = Θ = Θ =3

15

3

152

y x y x2 2

22 25 6 150= 0 Θ = 0( ) 1

Caderno de

Atividades

sen 30∞ = x400

Θ 12

= x400

Θ x = 200 m

X

400 m

D x

A

B

C

30�

Trigonometria nos TriângulosM2

Matemática 24

6 (UFAC) Se a medida do ân-gulo BhC é igual a 60), AB = ACe BC = 10, então a área do triân-gulo ABC da figura vale:

a) 10 d) 10 3

b) 3 e) 5 3

c) 25 3

A

B 10 C

60)

X

Usando a figura, temos:

hx x

5 5

30) 30)

sen

x xx30

5 12

510) = Θ = Θ =

Assimhx

hh

:

cos 3032 10

5 3) = Θ = Θ =

A área do triângulo é:

S

b hS=

9Θ =

9=

210 5 3

225 3

5 (UFJF-MG) Na preparação de um show de música po-pular, os técnicos escolheram o melhor ponto P, do palco,onde, em caso de emergência, o cantor deveria ficar. Paralocalizar a linha L onde se colocariam os seguranças docantor, foram feitas as seguintes medidas (ver figura abai-xo): AB = 20 m, BM = 30 m e o ângulo BhP = 60°.

(Use 3 = 1,7.)

Portanto, a altura da torre era aproximadamente 17 m.

A partir do conhecimento de relações trigonométricas e sa-bendo que sen ε = 0,6428 e cos ε = 0,7660, ela podia en-contrar que x, em metros, era aproximadamente igual a:a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

7 (UCSal-BA) A autora alegrava-se em conseguir esti-mar o comprimento de objetos inacessíveis como, porexemplo, a altura x da torre mostrada na figura abaixo.

ε

20 m

x

X

Observando a figura, temos:

tg ε =

x20

1

tg tgε =ε

εΘ ε =

sencos

,,

0 64280 7660

Λ 0,84 2

xx m

200 84 16 8= Θ =, ,

Substituindo em , vem:12

Do triângulo ABP, temos:

tg 60° =

x 30200

3 =

x 30200

1,7 =

x 30200

x = 4 m

Do enunciado, temos:

Na emergência, a distância aproximada dos segurançassituados em M ao ponto P será:a) 2 m c) 8 m e) 4 mb) 10 m d) 6 m

X

Mas:

M

área de segurançaL

P

BA

M

x

30 m

60�

área de segurançaL

P

BA 20 m

023_032_CA_Matem_1 11.08.06, 12:4024


Matemática25

Da figura, temos:

30)

A B x

y

C

P

1 000 m60)

Logo:

A menor distância é y.

tgy

xe tg

y

x30

1 00060) =

0) =

33 1 000

=0

y

x 3 =

y

x1 e 2

De , vem:2 y x= 3 .

De , vem:1

33

31 000

500=0

Θ =x

xx m

y y m= 9 Θ =3 500 500 3

8 (UFMT) Um rebite é produzido com as dimensõesindicadas na figura. Calcule o valor, em cm, da dimensão C.

C

12 cm

13 cm

90) 2 cm

C

45)

12

13

21

1B

E

F

D

A

1

1

1

1

1 1

1

Logo:C = 2AB = 2 9 2 = 4 cm

No #DEF, temos:

tg

EFED ED

ED cm45 11

1) = Θ = Θ =

Portanto:

BD = BE 0 ED Θ BD = 1 0 1 = 2 cm

No #ABD, temos:

tg

ABBD

ABAB cm45 1

22) = Θ = Θ =

9 (EEM-SP) Pelas extremidades A e B de um segmentoi, traçam-se perpendiculares, e sobre elas tomam-se ossegmentos AC = 2 cm e BD = 3 cm. Em i toma-se oponto E tal que os ângulos AzC e BzD sejam congruen-tes. Calcule os comprimentos dos segmentos 2 e &, sa-bendo-se que AB = 10 cm.

Pelos dados do problema, temos:

C

2

A B

D

3

E

x10

10 − xε ε

No triângulo CEA, temos .tg

xε =

2

No triângulo DEB, temos .tgx

ε =−

310 1

44

24

43

Logo:

2 310

4x x

x=−

Θ =

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embar-cação ao farol, forma um ângulo de 30) com a direção AB.Após a embarcação percorrer 1 000 m, no ponto B, o na-vegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol,forma um ângulo de 60) com a mesma direção AB.Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre aembarcação e o farol será equivalente, em metros, a:

a) 500 b) 500 3 c) 1 000 d) 1 000 3

10 (UERJ) Um barco navega nadireção AB, próximo a um farol P,conforme a figura abaixo.

30)

A B

P

60)

1 000 m

X

Portanto, AE = 4 cm e BE = 6 cm.

(Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alii. Matemática e Vida.São Paulo: Ática, 1990.)

023_032_CA_Matem_1 11.08.06, 12:4025


Matemática 26

Em questões como a 11, a resposta é dada pela soma dosnúmeros que identificam as alternativas corretas.

11 (UFPR) Uma pessoa de 2 m de altura, passeando pelacidade, caminha em linha reta em uma rua horizontal, nadireção da portaria de um edifício. A pessoa pára para ver otopo desse edifício, o que a obriga a olhar para cima numângulo de 30° com a horizontal. Após caminhar 49 m, párauma segunda vez para ver o topo do edifício e tem de olharpara cima num ângulo de 45° com a horizontal. Suponhaque cada andar do edifício tenha 3 m de altura.

Utilize 3 Λ 1,7. Nessa situação, é correto afirmar:

(01) O edifício tem menos de 30 andares.(02) No momento em que a pessoa pára pela primeira vez,

ela está a 160 m da portaria do edifício.(04) Quando a pessoa pára pela segunda vez, a distância

em que ela se encontra da portaria é igual à altura doedifício.

(08) Se, depois da segunda vez em que pára, a pessoa ca-minhar mais 35 m em direção à portaria, para ver otopo do edifício será necessário erguer os olhos numângulo maior do que 60° com a horizontal.

12 (MACK-SP) Uma estação E, de produção de energiaelétrica, e uma fábrica F estão situadas nas margens opos-

tas de um rio de largura

1

3 km. Para fornecer energia a

F, dois fios elétricos a ligam a E, um por terra e outro porágua, conforme a figura.

O triângulo BCD é isósceles. Logo, x = h.

tg 30° =

h49 h0

Θ

33

h49 h

=0

Θ

1,73

h49 h

=0

Θ h Λ 64 m

Logo, a altura do edifício é 64 0 2 = 66 m.O número de andares é:66 : 3 = 22 andares

02. IncorretoEla está a (66 0 49) = 115 m da portaria do edifício.

04. IncorretoNa segunda vez ela está a 64 m da portaria do edifício, portanto essadistância é diferente da altura do edifício (66 m).

08. Correto

01. Correto

tg ε = 6429

Λ 2,2ε . 60°

tg 60° = 3 = 1,7

ε é maior que 60°, pois 2,2 . 1,7.Portanto: 1 0 8 = 9

14

24

3

No triângulo retângulo EGF, temos:

tg ε = FGEG

Ι tg ε =

1

31

Ι ε = 30°

No triângulo EHF, temos:

ε 0 120° 0 ψ = 180°De e , vem que 30° 0 120° 0 ψ = 180°, ou seja, ψ = 30°.

Sendo ε = ψ, então o triângulo EHF é isósceles e, portanto, EH = HF.

No triângulo retângulo GHF, temos:

sen 60° = GFHF

Θ

32

1

3HF

= Θ HF = 23

Logo, EH = 23

.

Do enunciado, o custo C, em reais, dos fios utilizados é tal que:

C = 23

9 103 9 12 0 23

9 103 9 30 Θ C = R$ 28 000,00

Supondo-se que o preço do metro do fio de ligação porterra é R$ 12,00 e que o metro do fio de ligação pela águaé R$ 30,00, o custo total, em reais, dos fios utilizados é:a) 28 000 c) 15 800 e) 25 000b) 24 000 d) 18 600

X


2

1

1 2

29 m

64 m

α

1 km

fio 1

F

E 60�

fio 2

1

fio 1H G

F

E α

β

60�120�

fio 2 1

3A

B

E

2 m

49 m

D

2 m

h

C

45�

45�30�x � h

cotada em km

023_032_CA_Matem_1 11.08.06, 12:4126


Matemática27

Sobre os dados, julgue os itens:1. A altura da rampa, representada por h, no desenho, é

de

8 33

m.

2. O comprimento da rampa inclinada, por onde sobemos carros, é o dobro da altura h.

3. Na mesma rampa, se o ângulo formado com o solo fos-se de 60), ou seja, o dobro de ε, então a altura h tam-bém seria o dobro.

13 (Unemat-MT) A rampa de acesso a um estaciona-mento de automóveis faz um ângulo de 30) com o solo e,ao subi-la, um carro desloca-se horizontalmente 8 m dedistância, conforme o desenho.

ε = 30)

h

8 m

Dados:

sen 30

12

) =

cos 30

32

) =


ε = 30)

C 8 A

B

x h

1. VerdadeiroNo triângulo retângulo ABC, temos:

tgh

sen h

308

3030 8

) =

)

)=

cos

1232

8=

h

1

3 8=

h

h m=

8 33

2. VerdadeiroNo triângulo retângulo ABC, temos:

sen

hx

hx

3012

) = Θ =

x = 2h

3. Falso

60)

Cδ 8 Aδ

Bδ

xδhδ

14 (FGV-SP) Na figura estão representados dois qua-drados de lado d e dois setores circulares de 90° e raio d:

xδ = 16 m

No triângulo retângulo AδBδCδ, te-mos:

tgh

h

608

38

) =δ

=δ

h mδ = 8 3

senhx

x

60

32

8 3

) =δ

δ

=δ

No #ABE, retângulo em B, tem-se:

sen ε =

BEAE

d2d

12

= = Θ ε = 30°

Assim:

CFEF

= tg ε Θ

CFd

33

= Θ CF = d 33

e

5

AE30360

=°°

9 2π Θ 5 = π6

9 d

Portanto:

CF 0 5 =

d 33

d6

2 36

0 =0π π

9 d

Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a somados comprimentos do segmento CF e do arco de circunfe-rência 5, em função de d, é igual a:

a)

(2 3 )

6d

0 πd)

(12 )

24d

0 π

b)

(3 )

6d

0 πe)

(2 3 )

12d

0 π

c)

(4 3 )

12d

0 π

X

d

d

F

C

D

A

B

E d2

d d

d

d

F

C

D

A B

Eα

α

αd2

d d

023_032_CA_Matem_1 11.08.06, 12:4127


Matemática 28

15 (Cesupa-PA) A água utilizada em um sítio é captadade um igarapé para a casa, que está distante dele 70 metros.Deseja-se construir uma piscina a 50 metros da casa e pre-tende-se captar a água do mesmo ponto do igarapé até apiscina. Sabendo que o ângulo formado pelas direçõescasa–piscina e igarapé–piscina é de 60°, a quantidade deencanamento necessária será, em metros, igual a:a) 30 b) 45 c) 60 d) 80

16 (UEMA) Em um triângulo de vértices A, B e C,AB = 6 cm, BC = 10 m e o ângulo interno formado peloslados i e p mede 60). A medida do cosseno do ângulointerno formado pelos lados o e p é:

a)

1

19c)

7

2 19e)

1

5 19

b)

3

19d)

5

3 19

X


60) ε

B 10 C

A

6 x

x x

x x

2 2 2 2

2

6 10 2 6 1012

36 100 60

76 2 19

= 0 − 9 9 9 = 0 −

= =

→

→

Aplicando a lei dos cossenos, temos:(AC)2 = (AB)2 0 (BC)2 − 2(AB) 9 (BC) 9 cos 60)

6 10 2 19 2 10 2 19 36 100 76 40 192 2

2

= 0 − 9 9 = 0 − 9 ε( ) → cos

Aplicando novamente a lei dos cossenos, vem:(AB)2 = (BC)2 0 (AC)2 − 2(BC) 9 (AC) 9 cos ε

40 19 140140

40 19

7

2 19cos cos cosε = ε = ε =→ →

17 (Vunesp-SP) Dois terrenos, T1 e T2, têm frentes paraa rua R e fundos para a rua S, como mostra a figura. Olado p do terreno T1 mede 30 m e é paralelo ao lado 1do terreno T2. A frente o do terreno T1 mede 50 m e ofundo 7 do terreno T2 mede 35 m. Ao lado do terreno T2

há um outro terreno, T3, com frente para a rua Z, na for-ma de um setor circular de centros E e raio I.

Usando a lei dos cossenos, temos:702 = x2 0 502 − 2 9 x 9 50 9 cos 60°

4 900 = x2 0 2 500 − 100x 9 12

x2 − 50x − 2 400 = 0xδ = 80xφ = −30 (não serve)

Logo, x = 80 m.

X

a) Aplicando o teorema dos cossenos ao triângulo ACB, temos:(AB)2 = (BC)2 0 (AC)2 − 2 9 BC 9 AC 9 cos 120°

(AB)2 = (30)2 0 (50)2 − 2 9 30 9 50 9

−

12

Θ AB = 70 e AD = 105 m

Pelo teorema de Tales, temos:

CEBD

ACAB

= Θ

CE35

5070

= Θ CE = 25 m

b) Do item anterior, temos AB = 70 e AD = 105. Os triângulos ADE e ABCsão semelhantes. Logo:

DEBC

ADAB

= Θ

DE30

10570

= Θ DE = 45 e EF = 45

O comprimento do arco DGF, em m, é igual a 60360

°°

9 2 9 π 9 45, ou

seja, 15π.Portanto, o perímetro do terreno T3, em m, é igual a 45 0 45 0 15π, ouseja, 15 9 (6 0 π).

Determine:a) as medidas do fundo i do terreno T1 e da frente CE

do terreno T2;b) a medida do lado 1 do terreno T2 e o perímetro do

terreno T3.

Do enunciado, temos a figura, cotada em m:

70 m

I

C

50 m

60�x

P

Rua R

120 5030

Rua SRua Z

C

T3 T2 T1

D

F E A

B35

Rua R

50

30

Rua SRua Z

C

GT3 T2 T1

D

F E A

B35

60� 60� 120�

023_032_CA_Matem_1 11.08.06, 12:4228


Matemática29

18 (UFPR) Em um triângulo ABE, a medida do lado 2é 3, a do ângulo Ê é 75), e a do ângulo Â é 45). Dois pon-tos, C e D, pertencem ao lado i. Sabe-se que a dis-

tância o é 2 e que o segmento I é perpendicular ai. Nessas condições, é correto afirmar:

(01) A medida do ângulo B̂ é igual a 60).

(02) AD . ED

(04) EB = 6

(08) EC = 5

01. Corretoh 0 z 0 j = 180) Θ 45) 0 75) 0 j = 180) Θ j = 60)

02. Incorreto

sen

EDAE

EDED45

22 3

3 22

) = Θ = Θ =

cos 45

22 3

3 22

) = Θ = Θ =ADAE

ADAD

14

42

44

3

AD = ED

04. CorretoNo triângulo retângulo ADB, temos:

sen

EDEB EB

EB6032

3 22 6) = Θ = Θ =

Portanto: 1 0 4 0 8 = 13

08. CorretoUsando a lei dos cossenos no triângulo AEC, temos:(EC)2 = (AE)2 0 (AC)2 − 2 9 AE 9 AC 9 cos 45)

( )EC 2 2

23 2 2 3 2

22

= 0 − 9 9 9( )

(EC)2 = 9 0 2 − 6(EC)2 = 5

EC = 5

21 (UEMA) Considere um triângulo ABC inscrito nu-ma circunferência de raio unitário cujos lados medem

a = 3 , b = 1 e c = 2. Determine a soma 2h 0 3j 0 k,em que h, j e k são ângulos internos desse triângulo.

Desenhando o triângulo ABC, vem:

Aplicando a lei dos senos, temos:

a

sen

b

sen

c

senR

sen sen senh j k h j k= = = Θ = = = 9 =2

3 1 22 1 0

Portanto: 2h 0 3j 0 k = 2 9 60) 0 3 9 30) 0 90) = 300)

Logo:

32

32

60sen

senh

h h= Θ = Θ = )

12

12

30sen

senj

j j= Θ = Θ = )

22 1 90

sensen

kk k= Θ = Θ = )

3

A C

E

75)

45) 60)

D B2

A partir desses dados, calcule, em metros:a) o comprimento dos segmentos MS e SP ;b) quanto o arame deveria medir para que tenha o mes-

mo tamanho do segmento MP.

20 (UFRN) Ao se tentar fixar as extremidades de umpedaço de arame reto, de 30 m de comprimento, entre ospontos M e P de um plano, o arame, por ser maior do queo esperado, entortou, como mostra a figura abaixo.

M R

N

20

10

30)

60)

P

S

a) Cálculo de MS

MR:

MRcos cos30

1010 30 10

32

5 3) = = ) = =MR

RS

NTNT: cos cos60

2020 60 20

12

10) = = ) = =

• NT = RS• RS = 10

b) Observando que h é a hipotenusa do triângulo retângulo MPS, pode-se usar:(MP)2 = (MN)2 0 (NP)2 − 2 9 (MN) 9 (NP) 9 cos (MNP)(MP)2 = 102 0 202 − 2 9 10 9 20 9 cos 150)

Cálculo de SP

PT: sen

PTPT sen60

2020 60 20

32

10 3) = = ) = =

TS sen

NRNR sen: 30

1010 30 10

12

5) = = ) = =

• NR = TS• TS = 5

Ι = 0 = 0 = 0SP PT TS 10 3 5 5 10 3 m

MP = 0 = 0500 200 3 10 5 2 3 m

( )MP 2 100 400 400

32

= 0 − 9 −

MS MS MR RS: m= 0 = 0 = 05 3 10 10 5 3

19 (UFPI) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60°e os lados adjacentes a esse ângulo mede em 1 cm e 2 cm.O valor do perímetro desse triângulo, em centímetros, é:

a) 3 50 d) 3 70

b) 5 30 e) 5 70

c) 3 30X

Fazendo a figura, temos:

B

O

C

r = 1

b = 1c

= 2

A

a = 3

Aplicando a lei dos cossenos, vem:x2 = 12 0 22 − 2 9 1 9 2 cos 60°

x 1 4 4

12

2 = 0 − 9

x2 = 3

x 3 cm=

O valor do perímetro do triângulo é:

1 2 3 3 3 cm0 0 = 0

C

B

A

2

1

x

60°

023_032_CA_Matem_1 11.08.06, 12:4329

M3Conjuntos

Matemática33

MATEMÁTICA CAD ATV — 1 BIM — 2a PROVA — SETUP


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M3

TERCEIRÃO FTDConjuntos1 (Unicruz-RS) Dados:A = {1, 3, 4, 5, 7, 8}, B = {1, 3, 5, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9},temos que A 5 (B 5 C) resulta:a) {5, 6, 9} c) {1, 3} e) {7, 8}b) {5} d) {1, 3, 4, 7, 8}X

A 5 B 5 C = {5}

2 (ECM-AL) Sendo A = {x 7 Μ, x = 2n 0 1},B = {x 7 Μ, x é divisor de 18} e C = {x 7 Μ, x é múltiplode 3}, então (B − A) 5 C é:a) {6, 9, 18} c) {6, 9} e) %

b) {6, 18} d) {6}X

Determinando os conjuntos, vem:A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...}B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}Logo, B − A = {2, 6, 18} e (B − A) 5 C = {6, 18}

3 (Unifor-CE) Sejam os conjuntos A, B e C tais queB 3 A, B 5 C = %, A 5 C = {3}, C − A = {1, 4},B − C = {2, 6} e A 6 C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Nessascondições, é verdade que:a) A − C = {2, 5, 6, 7}b) B 6 C = {1, 2, 4, 6}c) A 5 B = {2, 3, 6}d) C − B = {1, 4}e) ! =A

B { , }5 7


A − C = {2, 5, 6, 7}

A CB

36

5

7

1

4

2

4 (UESC-BA) Dados os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2, 3, 4} eB = {x; x = n2, n 7 A}, pode-se afirmar:a) 4 7 A − B d) A 6 B = Ab) 1 7 B − A e) A 5 B = {0, 1, 4}c) 25 7 A 6 B

a) Falso. A − B = {−1, 2, 3} Θ 4 8 (A − B)b) Falso. B − A = {9, 16} Θ 1 8 (B − A)c) Falso. A 6 B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 9, 16} Θ 25 8 (A 6 B)d) Falso. A 6 B ϑ Ae) Verdadeiro. A 5 B = {0, 1, 4}

Sendo x = n2, temos:

n = −1 Θ x = (−1)2 Θ x = 1n = 0 Θ x = 02 Θ x = 0n = 1 Θ x = 12 Θ x = 1n = 2 Θ x = 22 Θ x = 4n = 3 Θ x = 32 Θ x = 9n = 4 Θ x = 42 Θ x = 16 1

44

42

44

43

B = {0, 1, 4, 9, 16}

X

5 (ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre oconjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:

I. % 7 U e n (U) = 10II. % 3 U e n (U) = 10

III. 5 7 U e {5} 3 UIV. {0, 1, 2, 5} 5 {5} = 5Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s):a) apenas I e III d) apenas IVb) apenas II e IV e) todas as afirmaçõesc) apenas II e III

6 (Esam-RN) Considerando-se os conjuntosA = {x 7 Μ, x é divisor de 30}, B = { x 7 Μ, x é par} eC = {x 7 Μ, x é múltiplo de 4}, é correto afirmar:01) B 3 C e B 5 C = %02) B 3 C e C 3 B03) B 3 C ou B 6 C = Μ04) A 3 C ou A 5 C ϑ %05) A Φ B ou C 3 B

X

Caderno de

Atividades

Observe que:I. % 3 U, mas % 8 U

II. n (U) = 10III. 5 7 U Θ {5} 3 UIV. {0, 1, 2, 5} 5 {5} = {5}Assim sendo, I e IV são falsas e II e III são verdadeiras.

X

A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ..., 30, ...}C = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...}Logo, A Φ B e C 3 B.

X

033_036_CA_Matem_1 11.08.06, 12:4533

ConjuntosM3

Matemática 34

8 (UFPel-RS) Um levantamento epidemiológico foi rea-lizado em cinco praias paulistas freqüentadas por grandenúmero de famílias com crianças menores de 10 anos. Osprincipais aspectos do estudo foram relacionar a incidên-cia de doenças gastrintestinais em banhistas com os índi-ces de contaminação fecal das praias do litoral paulista.A pesquisa, feita com 2 100 pessoas, teve por objetivo de-tectar o número de pessoas com sintomas de vômitos (V),diarréia (D) e febre (F), conforme o quadro abaixo.

7 (MACK-SP) Numa pesquisa de mercado, verificou-seque 15 pessoas utilizam os produtos A ou B, sendo quealgumas delas utilizam A e B. O produto A é usado por 12dessas pessoas e o produto B, por 10 delas.O número de pessoas que utilizam ambos os produtos é:a) 5 b) 3 c) 6 d) 8 e) 7

(12 − x) 0 x 0 (10 − x) = 15 → x = 7

X

Se x for o número de pessoas que utilizam os produtos A e B, então:

x12 − x 10 − x

A B

De acordo com as informações acima, decida se cada umadas afirmativas abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F).1. Nessa pesquisa foram entrevistadas 600 pessoas.2. Nessa pesquisa 55 entrevistados aprovaram os dois pro-

dutos.3. Em Uberaba, 100 entrevistados aprovaram somente o

produto B.4. Em Uberlândia, 270 entrevistados aprovaram somente

o produto A ou somente o produto B.

10 (UFOP-MG) Num concurso público para Técnicodo Tesouro Nacional, foram inscritos 2 500 candidatos. Oúnico critério de eliminação era nota inferior a 3,0 na provade Matemática ou na prova de Português. Após a apura-ção dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330candidatos, sendo 236 em Matemática e 210 em Portu-guês. Pergunta-se:a) Quantos candidatos foram eliminados nas duas provas

simultaneamente?b) Quantos candidatos foram eliminados apenas na prova

de Matemática?c) Quantos candidatos não foram eliminados?

Logo:a) 236 − x 0 x 0 210 − x = 330 Θ x = 116b) 236 − 116 = 120c) 2 500 − 120 − 116 − (210 − 116) = 2 170

Fazendo o diagrama, vem:

236 − x 210 − xx

Matemática Português

Logo, o número de pessoas que não apresentaram sintomas é:2 100 − (62 0 29 0 22 0 24 0 30 0 51 0 55) = 1 827

Fonte: Adaptado da revista Discutindo Ciência, ano 1, no 1.

Com base no texto e em seus conhecimentos, é corretoafirmar que o número de pessoas entrevistadas que nãoapresentaram nenhum dos sintomas pesquisados é:a) 1 529 c) 1 827 e) 1 929b) 2 078 d) 1 951 f) I.R.

D F V D e V D e F F e V D, V e F

127 136 137 46 52 51 22

X

Em Uberlândia, temos:n

1 = 95 0 25 0 125 0 30 Θ n

1 = 275 pessoas

Em Uberaba, temos:n2 = 275 − 50 Θ n2 = 225 pessoasLogo:105 − x 0 x 0 130 − x 0 20 = 225 Θ x = 301. Falsa

275 0 225 = 500 pessoas2. Verdadeira

25 0 30 = 55 pessoas3. Verdadeira

130 − 30 = 100 pessoas4. Falsa

95 0 125 = 220 pessoas

9 (UFU-MG) Numa pesquisa realizada em Uberlândia eUberaba, para avaliar dois novos produtos, foram consul-tadas 50 pessoas a mais em Uberlândia. Verificou-se que,das pessoas consultadas em Uberlândia, 120 delas aprova-ram o produto A, 150 aprovaram o produto B, 25 aprova-ram os produtos A e B e 30 não aprovaram nenhum dosdois produtos. Em Uberaba, verificou-se que, das pessoasconsultadas, 130 aprovaram o produto B, 105 aprovaram oproduto A e 20 não aprovaram nenhum dos dois produtos.

Uberlândia Uberaba

105 � x 130 � x

A B

20

(75) (30) (100)

x95 125

A B

30

25

62

V D

F

24 51

29

22

30

55

F

V

V

F

033_036_CA_Matem_1 11.08.06, 12:4634

M3Conjuntos

Matemática35

11 (UFES) Uma empresa tem 180 funcionários. Den-tre os funcionários que torcem pelo Flamengo, 25% tam-bém torcem pelo Cruzeiro. Dentre os funcionários que

torcem pelo Cruzeiro,

18

também torce, simultaneamen-

te, pelo Flamengo e pelo Rio Branco. Nessas condições:

a) mostre que, no máximo, 16 funcionários da empresatorcem, simultaneamente, pelo Flamengo, pelo Cru-zeiro e pelo Rio Branco;

b) admitindo que, dentre os funcionários da empresa,� 80 torcem pelo Flamengo,� 20 torcem pelo Rio Branco e não torcem nem pelo

Flamengo nem pelo Cruzeiro,� 60 não torcem nem pelo Flamengo, nem pelo Cru-

zeiro nem pelo Rio Branco,calcule o número de funcionários que torcem, simul-taneamente, pelo Flamengo, pelo Cruzeiro e pelo RioBranco.

12 (UFAL) As alternativas verdadeiras devem sermarcadas na coluna V e as falsas, na coluna F.O resultado de uma pesquisa mostrou que, em um grupode 77 jovens, há:– um total de 32 moças– 4 moças que trabalham e estudam– 15 rapazes que trabalham e não estudam– 13 moças que não estudam nem trabalham– 10 rapazes que estudam e não trabalham– 25 jovens que não trabalham nem estudam– 15 jovens que estudam e não trabalhamNesse grupo, o número de:

V – F0 – 0 rapazes é 50.1 – 1 rapazes que não trabalham nem estudam é 12.2 – 2 moças que trabalham e não estudam é 9.3 – 3 rapazes que trabalham e estudam é 9.4 – 4 moças que estudam e não trabalham é 4.

0 0. Falsa. R = 12 0 10 0 15 = 371 1. Verdadeira. Veja a figura.2 2. Falsa. São 10.3 3. Falsa. São 8.4 4. Falsa. São 5.

Portanto:

Temos:

E10

15

12

13

8 10

4 5T

M

R

V F0 01 12 23 34 4

13 (UFF-RJ) O número π − 2 pertence ao intervalo:

a)

132

,

c)

32

2,

e)

−32

0,

b)

12

1,

d) (−1, 1)

X

Substituindo 3,14 e 1,41, vem:π = =2

π − = − =2 23,14 1,41 1,73, que pertence ao intervalo

32

.,

a) Sejam:a: número de funcionários que torcem pelo Flamengo e não torcem nem

pelo Cruzeiro nem pelo Rio Brancob: número de funcionários que torcem pelo Cruzeiro e não torcem nem

pelo Flamengo nem pelo Rio Brancoc: número de funcionários que torcem pelo Rio Branco e não torcem

nem pelo Flamengo nem pelo Cruzeirod: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Flamengo

e Rio Branco e não torcem pelo Cruzeiroe: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Flamengo

e Cruzeiro e não torcem pelo Rio Brancof: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Cruzeiro

e Rio Branco e não torcem pelo Flamengog: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Flamengo,

Cruzeiro e Rio Brancoh: número de funcionários que não torcem nem pelo Flamengo, nem

pelo Cruzeiro nem pelo Rio Branco

Então, tem-se que a 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 g 0 h = 180,

25100

(a 0 d 0 e 0 g) = e 0 g, isto é, a 0 d = 3(e 0 g), e

18

(b 0 e 0 f 0 g) = g, isto é, b 0 e 0 f = 7g.

Substituindo a 0 d = 3(e 0 g) e b 0 e 0 f = 7g ema 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 g 0 h = 180, obtém-sec 0 3e 0 11g 0 h = 180 e, portanto, 11g < 180. Logo, g < 16.

b) Como h = 60, c = 20 e a 0 d 0 e 0 g = 80, então b 0 f = 20, já quea 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 g 0 h = 180. Substituindo b 0 f = 20 emb 0 e 0 f = 7g, obtém-se 7g − e = 20.Substituindo a 0 d = 3(e 0 g) em a 0 d 0 e 0 g = 80, obtém-see = 20 − g. Substituindo e = 20 − g em 7g − e = 20, obtém-se g = 5.

033_036_CA_Matem_1 11.08.06, 12:4635

ConjuntosM3

Matemática 36

15 (UEMA) Dados os conjuntosA = {x 7 ς\−1 < x < 3} e B = {x 7 ς\2 , x < 4}, ondeς é o conjunto dos números reais, podemos afirmar queA − B é o conjunto:a) {x 7 ς\−1 < x < 2} d) {x 7 ς\2 < x < 3}b) {x 7 ς\−1 < x , 3} e) {x 7 ς\−1 , x , 2}c) {x 7 ς\2 , x , 4}

Representando os conjuntos, vem:

X

A diferença A − B é:A − B = {x 7 ς\−1 < x < 2}

−1

−1

A

B

A − B

2

2

3 4

16 (Cefet-MA) A um aluno foi proposto que ele resol-vesse o seguinte exercício: “Obtenha A 5 B e A 6 B paraA = {x 7 ς � x < −2 ou x > 2} e B = {x 7 ς � −5 , x < 4}”.O aluno encontrou a seguinte solução:

14 (Acafe-SC) Analise os conjuntos apresentados e asproposições abaixo.A = {x 7 Β � (2x 0 6)(x − 2)(x − 1) = 0}B = {x 7 ς � x2 − 3x 0 2 < 0}

I. A 5 B = {1, 2}II. A 6 B = {−3, 1, 2}

III. B 3 AIV. B − A = ]1, 2[São corretas as proposições:a) I e IV c) II e III e) I, III e IVb) I, II e III d) II e IV

Se:(2x 06)(x − 2)(x − 1) = 0 Θ x = −3 ou x = 2 ou x = 1A = {−3, 2, 1}Se x2 − 3x 0 2 < 0, vem:

xδ = 2x2 − 3x 0 2 = 0 ou

xφ = 1B = {x 7 ς � 1 , x , 2}

I. CorretaA 5 B = {1, 2}

II. IncorretaA 6 B = {−3} 6 [1, 2]

III. IncorretaB Φ A

IV. CorretaB − A = ]1, 2[

O aluno errou ao calcular A 5 B:A 5 B = ]−5, −2] 6 [2, 4]

a) O aluno errou ao determinar o conjunto A 6 B.b) O aluno acertou o exercício.c) O aluno errou ao determinar o conjunto A 5 B.d) Somente o cálculo do conjunto A 5 B está correto.e) O aluno errou o cálculo da determinação dos dois con-

juntos.

21−

−2

−5

−5 −2

A

B

A ∩ B = [−5, −2] ∪ [2, 4]

A ∪ B = ς

2

4

2 4

X

X

033_036_CA_Matem_1 11.08.06, 12:4636

M4Funções

Matemática37


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M4

TERCEIRÃO FTDFunções1 (UFMA) Considere as seguintes afirmações:

I. Uma função é uma relação que associa a cada elemen-to do seu domínio um único elemento no seu contra-domínio.

II. Toda relação é uma função.III. Dada uma função sobrejetora, então seu contra-

domínio é diferente de sua imagem.IV. Uma função será injetora se, e somente se, elementos

distintos do domínio possuírem imagens distintas.Assinale a alternativa correta:a) I, II e III estão corretas.b) I e II estão corretas.c) III e I estão corretasd) II, III e IV estão corretas.e) I e IV estão corretas.

2 (UFSM-RS) Considere a função f: ς Θ ς definida por

f(x) =2x, se x 7 Χx2 − 1, se x 8 Χ

12

3

O valor de f( )π 0 −f f é2 1( ) ( ) :

a) π 0 π −2 2 2 d) 2π 0 1

b) 2 2 2 2π 0 − e) 2 2 1− π 0

c) π2 − 2X

f 2 2 1 2 1 1

2( ) ( )= − = − =

f(1) = 2 9 1 = 2

Logo

f

:

f( ) f(1)π 0 − = π − 0 − = π −2 1 1 2 22 2( )

3 (Fuvest-SP) Uma função f satisfaz a identidadef(ax) = af(x) para todos os números reais a e x. Alémdisso, sabe-se que f(4) = 2. Considere ainda a funçãog(x) = f(x − 1) 0 1 para todo número real x.a) Calcule g(3).b) Determine f(x), para todo x real.c) Resolva a equação g(x) = 8.

Caderno de

Atividades

I. CorretaPara que uma relação seja função, ela deverá associar a cada ele-mento do seu domínio um único elemento do seu contradomínio.

II. IncorretaUma relação não será função se um elemento do seu domínio asso-ciar mais de um elemento do seu contradomínio.

III. IncorretaUma função é sobrejetora quando sua imagem é igual ao seucontradomínio.

IV. CorretaElementos distintos devem corresponder a imagens distintas.

X

f(ax) = af(x), ? a 7 ς, ? x 7 ς

f(4) = 2

g(x) = f(x − 1) 0 1, ? x 7 ς

a) De e , temos:

a = 2 e x = 2 Θ f(2 9 2) = 2 9 f(2) Θ f(4) = 2f(2) = 2 Θ f(2) = 1

Em , x = 3 Θ g(3) = f(2) 0 1 Θ g(3) = 2.

b) Em , se x = 4 Θ f(4 9 a) = a 9 f(4) Θ f(4a) = 2a.

Então: f(x) = x2

.

c) Em , g(x) =

x 12− 0 1 = 8 Θ x = 15.

1

2

3

1 2

3

1

3

Pelos dados, temos:f(π) � π2 � 1

FunçõesM4

Matemática 38

4 (UEM-PR) Sejam Μ = {1, 2, 3, ...} e B = {0, 1, 2}.Considere a função f : Μ Θ B, dada por f(x) = y, em que yé o resto da divisão de x por 3. É incorreto afirmar que:a) f é uma função sobrejetora.b) f(73) = 1c) f é uma função injetora.d) f(1) = 1e) f(102) = 0

5 (EEM-SP) Uma função satisfaz a relaçãof(2x) = 2f(x) 0 f(2), para qualquer valor real de x.Sabendo-se que f(4) = 6, calcule f(16).

6 (Acafe-SC) Dadas as funções reais f(x) = 2x − 6 eg(x) = ax 0 b, se f[g(x)] = 12x 0 8, o valor de a 0 b é:a) 10 b) 13 c) 12 d) 20 e) 8

Numa divisão de um número natural por 3 o resto pode ser: 0, 1 ou 2(valores de y).Para que y seja:0 Θ x deve ser múltiplo de 3, isto é, 3, 6, 9, ...1 Θ x deve ser 1, 4, 7, 10, ...2 Θ x deve ser 2, 5, 8, 11, ...

X

a) CorretoA função f(x) é sobrejetora, pois o contradomínio é igual à imagem.CD = Im = {0, 1, 2}

b) Correto

73 313 24 Θ f(73) = 1

1

c) IncorretoNão é injetora, pois f(1) = 1 e f(3) = 1.Elementos diferentes do domínio levam a imagens iguais.

d) Correto

1 31 0 Θ f(1) = 1

e) Correto

102 312 34 Θ f(102) = 0

0

Fazendo x = 2, vem:f(2 9 2) = 2f(2) 0 f(2)f(4) = 3f(2)6 = 3f(2)f(2) = 2

Fazendo x = 4, vem:f(8) = 2f(4) 0 f(2)f(8) = 2 9 6 0 2f(8) = 14

Fazendo x = 8, vem:f(16) = 2f(8) 0 f(2)f(16) = 28 0 2f(16) = 30

f[g(x)] = f(ax 0 b) = 2(ax 0 b) − 6 = 2ax 0 2b − 6Daí, vem:f[g(x)] = 12x 0 8 Θ 12x 0 8 = 2ax 0 2b − 6Igualando os coeficientes, temos:2a = 12 Θ a = 62b − 6 = 8 Θ b = 7Logo:a 0 b = 6 0 7 = 13

X

40 8 12 16

1

2

y

x

037_042_CA_Matem_1 11.08.06, 13:4738

M4Funções

Matemática39

7 (UFRN) Embora o Brasil tenha uma das maiores jazi-das de sal do mundo, sua produção anual em milhões detoneladas ainda é inferior à da Alemanha, da Austrália, doCanadá, da China, dos EUA, da França, da Índia e do Méxi-co. O gráfico abaixo mostra a produção de sal nesses paí-ses, no ano 2000.

8 (UFES) O banco Mutreta & Cambalacho cobra umaTarifa para Manutenção de Conta (TMC) da seguinte for-ma: uma taxa de R$ 10,00 mensais mais uma taxa deR$ 0,15 por cheque emitido. O banco Dakah Tom Malahcobra de TMC uma taxa de R$ 20,00 mensais mais umataxa de R$ 0,12 por cheque emitido. O senhor Zé Doular écorrentista dos dois bancos e emite, mensalmente, 20 che-ques de cada banco.A soma das TMCs, em reais, pagas mensalmente por eleaos bancos é:a) 10,15 b) 20,12 c) 30,27 d) 35,40 e) 50,27

Considerando esses principais países produtores, a me-lhor aproximação do percentual de participação do Brasilna produção mundial de sal em 2000 foi de:a) 4% b) 5% c) 6% d) 11%

A produção mundial é igual a6 0 16 0 9 0 13 0 30 0 43 0 7 0 15 0 9 = 148 milhões.

Logo, a participação do Brasil é 6148

Λ 0,04 ou 4%.

X

Sendo x o número de cheques emitidos, temos:

yMC = 10 0 0,15x

yDTM = 20 0 0,12x

Se x = 20, vem:

yMC = 10 0 0,15 9 20 Θ yMC = 13 reais

yDTM = 20 0 0,12 9 20 Θ yDTM = 22,40 reais

Logo:

13 0 22,40 = 35,40 reais

X

Produção mundial de sal em 2000

Milh

ões

de to

nela

das

50

40

30

20

10

Bra

9

30

43

7 9

Ale Aus Can Chi EUA Fra Índ Méx0

151316

6

037_042_CA_Matem_1 11.08.06, 13:4739

FunçõesM4

Matemática 40

9 (UFMA) Considere as funções f: ς Θ ς e g: ς Θ ς,definidas por f(x) = Ax2 0 3x − 5 e g(x) = Bx2 0 5x − 2,com A ϑ 0 e B ϑ 0. Sabendo-se que f(3) = g(3), é corretoafirmar que o valor de B − A é igual a:a) −2 b) −1 c) 0 d) 1 e) 2

10 (Unifor-CE) Sobre os preços dos ingressos para certoespetáculo, foi estabelecido que, na compra de:� até um máximo de 20 ingressos, o preço unitário de

venda seria R$ 18,00;� mais de 20 unidades, cada ingresso que excedesse os 20

seria vendido por R$ 15,00.Nessas condições, a expressão que permite calcular, emreais, o gasto de uma pessoa que compra x ingressos,x . 20, é:a) 15x c) 15x 0 90 e) 18x − 90b) 15x 0 60 d) 18x − 60

11 (UFPel-RS) O exaustivo empreendimento que é or-ganizar uma festa de casamento vem ganhando acrésci-mos constantes: bufê, música e ainda um mar delembrancinhas.Bem-casados, incrementados com crepom e fitas de ce-tim, é o doce que não pode faltar em uma cerimônia decasamento. O preço de venda dessa iguaria é de R$ 1,60,do qual R$ 0,72 é o preço de custo.

Fonte: revista Veja, no 22, 1o jun. 2005.

De acordo com o texto e seus conhecimentos, é corretoafirmar que uma doceira, para obter um lucro deR$ 1 320,00, deverá fabricar _________ bem-casados.Assinale a alternativa que completa corretamente a lacu-na da sentença acima.a) 1 833 c) 1 692 e) 568b) 825 d) 1 500 f) I.R.

f(3) = A 9 32 0 3 9 3 − 5 Θ f(3) = 9A 0 4g(3) = B 9 32 0 5 9 3 − 2 Θ g(3) = 9B 0 13Fazendo = , vem:g(3) = f(3)9B 0 13 = 9A 0 49B − 9A = 4 − 139(B − A) = −9B − A = −1

X

21

2 1

f(x) = 20 9 18 0 15(x − 20)f(x) = 360 0 15x − 300f(x) = 15x 0 60

X

Preço de venda = 1,60xPreço de custo = 0,72xLucro = 1,60x − 0,72x Θ lucro = 0,88xPara ter lucro de 1 320 reais, temos:1 320 = 0,88x Θ x = 1 500 bem-casados

X

037_042_CA_Matem_1 11.08.06, 13:4740

M4Funções

Matemática41

13 (Faap-SP) Tabela de Conversão para tamanhos deChapéus Masculinos.

O quadro acima fornece uma tabela para conversão de ta-manho de chapéus masculinos para três países. A funçãog(x) = 8x 0 1 converte os tamanhos ingleses para os fran-

ceses, e a função f(x) =

18

x converte os tamanhos fran-

ceses para os tamanhos americanos.

Com base no exposto, assinale a afirmativa correta:

a) A função h(x) = g[f(x)] = x2 0 1 fornece a conversão detamanhos ingleses para americanos.

b) A função h(x) = f[g(x)] = x 0

18

fornece a conversão

de tamanhos ingleses para americanos.c) A função h(x) = f[g(x)] = x2 0 1 fornece a conversão de

tamanhos ingleses para americanos.d) A função h(x) = f[g(x)] = 8x 0 1 fornece a conversão

de tamanhos ingleses para americanos.

e) A função h(x) = f[g(x)] =

18

x fornece a conversão de

tamanhos americanos para ingleses.

Pelos dados, temos:

Ingleses Franceses

h(x)

g(x) f(x)

Americanos

(que fornece a conversão de tamanhos ingleses para americanos). h(x) f[g(x)] f(8x 1) (8x= = 0 = 9 0 = 0

18

118

) x

53 54 55

7

58 59 60

Inglaterra

França

EUA

6

12

7

57

6

58

634

678

718

714

738

56

6

58

634

678

718

714

738

712

X

12 (UFSC) Seja f uma função polinomial do 1o grau,decrescente, tal que f(3) = 2 e f[f(1)] = 1. Determine aabscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x.

Sendo f(x) = ax 0 b, temos:f(3) = 2 Θ 3a 0 b = 2f[f(1)] = 1f(a 0 b) = 1a(a 0 b) 0 b = 1a2 0 ab 0 b = 1De e , vem:3a 0 b = 2 Θ b = 2 − 3aa2 0 a(2 − 3a) 0 2 − 3a = 1−2a2 − a 0 1 = 0

2a2 0 a − 1 = 0

O valor a = 12

não serve, pois a função f é decrescente.

Se a = −1, vem:b = 2 − 3a Θ b = 2 − 3 9 (−1) Θ b = 5Logo, f(x) = −1x 0 5.A função f corta o eixo x quando y = 0. Logo: 0 = −1x 0 5 Θ x = 5

2

1

1 2

aδ = 12

aφ = −1

037_042_CA_Matem_1 11.08.06, 13:4841

FunçõesM4

Matemática 42

Fazendo x − 5 = a, temos x = 5 0 a.Logo: f(x − 5) = 3x − 8 Θ f(a) = 3(5 0 a) − 8 ou f(x) = 3(5 0 x) − 8Daí, temos:

I. Falso. f(x − 6) = 3(5 0 x − 6) − 8 = 3(x − 1) − 8 = 3x − 11II. Falso. g(x) = 2x 0 1 Θ y = 2x 0 1 Θ x = 2y 0 1

16 (UFSM-RS) Sendo as funções f: ς Θ ς, definida porf(x − 5) = 3x − 8 e g: ς Θ ς definida por g(x) = 2x 0 1,assinale verdadeiro (V) ou falso (F) em cada uma das afir-mações a seguir.

I. f(x − 6) = 3x 0 11

II. g x− = 01 1

212

(x)

III. f(2) − g−1(7) = 10

A seqüência correta é:a) F – V – F d) V – V – Fb) F – V – V e) V – F – Vc) F – F – V

y

x=

− 12

g x−

= −1 1

212

(x)

15 (UFU-MG) Considere a função f(x) = 2x2 0 1 parax > 0. Sendo g a função inversa de f, então, pode-se afir-mar que o número real g[f(6)] 0 f[g(6)] pertence ao inter-valo:a) [0, 4) b) [4, 13] c) [20, 36) d) [36, 73]X

y

x2 12

=−

y

x=

− 12

Logo

fx

:

g(x) (x)= =−−1 12

f(6) = 2 9 62 0 1 Θ f(6) = 73

g(6) = 9 =5

2

2

2

102

f(6) f[g(6)]0 = 0 =

073

102

146 102

x = 2y2 0 12y2 = x − 1

Cálculo da função g, inversa de f :y = 2x2 0 1

Portanto:

g

146 102

146 1022

146 104

6 110

=

0

=0

Λ

,

X

14 (UFPR) Considere as seguintes afirmativas a res-

peito da função f: D Θ ς definida por f(x) =

x1 x−

:

I. O ponto x = 1 não pertence ao conjunto D.

II. f

1x

1x 1

=

−.

III. f(x) ϑ −1, qualquer que seja x 7 ς.

IV. A função inversa de f é f−1(x) =

x 1

x

0.

Assinale a alternativa correta:a) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.b) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.d) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.e) Todas as afirmativas são verdadeiras.I. Correta

Se x = 1, teremos divisão por zero. Logo, 1 7 D.

II. Correta

f1x

=

1x

1 −1x

Θ f1x

=

1x

x 1x−

Θ f1x

=

1x 1−

III. Correta

f(x) = −1 Θ

x1 x−

= −1 Θ x = −1 0 x Θ 0 = −1

Logo, f(x) ϑ −1, ? x 7 ς.

IV. Incorreta

y =

x1 x−

Θ x =

y1 y−

x − xy = yx = xy 0 yx = y(x 0 1)

y =

xx 10

f−1(x) =

xx 10

X

g(6)

g(6)

=−

=

6 12

52

III. Verdadeiro. f(2) g (7) 3 21 11 101

− = 0 − − − = − =− ( )5 2 8

72

12

037_042_CA_Matem_1 11.08.06, 13:4942

M5Função Polinomial

Matemática43


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M5

TERCEIRÃO FTDFunção Polinomial1 (Furg-RS) Seja g uma função do tipo g(x) = ax 0 b,com x 7 ς. Se g(−2) = −4 e 2g(3) = 12, os valores de a eb são, respectivamente:

a) −

12

0e c) 0 e 2 e) 2 e 0

b) 0

12

e d)

12

0e

2 (UFMS) Para custear seus estudos, um estudante ofe-rece serviços de digitação de textos. O preço a ser pago peladigitação de um texto inclui uma parcela fixa e outra parce-la que depende do número de páginas digitadas. Se a parce-la fixa for de R$ 4,00 e cada página digitada custar R$ 1,60,então a quantidade de páginas digitadas de um texto, cujoserviço de digitação custou R$ 39,20, será igual a:a) 29 b) 24 c) 25 d) 20 e) 22

3 (UEPA) O empregado de uma empresa ganha mensal-mente x reais. Sabe-se que ele paga de aluguel R$ 120,00

e gasta

34

de seu salário em sua manutenção, poupando

o restante. Então:a) encontre uma expressão matemática que defina a pou-

pança P em função do seu salário x;b) para poupar R$ 240,00, qual deverá ser o seu salário

mensal?

4 (UCSal-BA) Um restaurante cobra de seus clientes umpreço fixo por pessoa: R$ 15,00 no almoço e R$ 12,00 nojantar. Certo dia, dos 120 clientes que compareceram aesse restaurante, x foram atendidos no jantar. Se foramgastos R$ 6,00 no preparo de cada refeição, a expressãoque define o lucro L, em reais, obtido nesse dia, em fun-ção de x, é:a) L(x) = 120x − 720 d) L(x) = −4x 0 720b) L(x) = 1 440x − 720 e) L(x) = −3x 0 1 080c) L(x) = −6x 0 1 440

Sendo ganho mensal x; manutenção

3x= = =aluguel temos120

4; , :

5 (UENF-RJ) Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge atemperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem tempera-tura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes donariz. Através de medições realizadas em um laboratóriofoi obtida a função TE = 8,5 0 0,75 9 TA, 12∞ < TA < 30∞,em que TE e TA representam, respectivamente, a tempera-tura do ar exalado e a do ambiente.Calcule:a) a temperatura do ambiente quando TE = 25 ∞C;b) o maior valor que pode ser obtido para TE.

X

g(−2) = −4 Θ −4 = −2a 0 bg(3) = 6 Θ 6 = 3a 0 bResolvendo o sistema, obtemos:a = 2 e b = 0

Poupança P x P

xΘ = − 0 Θ = −120

4 4120

3xÊË

ˆ¯a)

Sendo P R$ 1 440,00= Θ = − Θ =240 240

4120

xxb)

X

Lucro = venda − custoL = P

A 0 P

J − custo

L = 15(120 − x) 0 12x − 720L = 1 800 − 15x 0 12x − 720L = −3x 0 1 080

PA Θ preço do almoço; PJ Θ preço do jantar

Preço unitário(em reais)

Número depessoas Venda

120 9 6 = 720

Almoço

Jantar

Custo

15

12

120 − x

x

PA = 15(120 − x)

PJ = 12x

Caderno de

Atividades

P = 4 0 1,60xLogo:4 0 1,60x = 39,201,60x = 35,20x = 22

X

a) 25 = 8,5 0 0,75 9 TA Θ TA = 22 ∞Cb) TE = 8,5 0 0,75 9 30 Θ TE = 31 ∞C

Função PolinomialM5

Matemática 44

6 (UERJ) Uma panela, contendo um bloco de gelo a−40 )C, é colocada sobre a chama de um fogão.A evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo dotempo x, em minutos, é descrita pela seguinte função real:

Pelos dados, vem:10x − 100 = 5010x = 150x = 15 min

7 (ENEM) Para convencer a população local da inefi-ciência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão daoferta de linhas, um político publicou no jornal local ográfico I, abaixo representado.

Ambos os gráficos apresentam, no eixo das ordenadas (y), o número totalde linhas telefônicas e, no eixo das abscissas (x), o tempo. Podemos con-

cluir que as taxas de crescimento

∆

∆

y

x, tomadas em qualquer intervalo, são

iguais nos dois gráficos.A aparente diferença de crescimento nos gráficos decorre somente da es-colha de escalas diferentes.

8 (Vunesp-SP) Apresentamos a seguir o gráfico do vo-lume do álcool em função de sua massa, a uma tempera-tura fixa de 0 )C.

a) Como o gráfico da função é uma semi-reta com origem no ponto (0, 0),podemos representá-la por uma igualdade de forma V = k 9 m, em queV representa o volume (em cm3) correspondente a uma massa m (emgramas) de álcool, e k é uma constante.

Temos que 50 = k 9 40, ou seja: k =

54

, pois o gráfico passa peloponto (40, 50).Portanto, uma lei da função apresentada no gráfico é

V m=

54

.

b) Com V = 30, temos:

30

54

= 9 m , portanto, m = 24 g.

O tempo necessário para que a temperatura da água atin-ja 50 )C, em minutos, equivale a:a) 4,5 b) 9,0 c) 15,0 d) 30,0

Analisando os gráficos, pode-se concluir que:a) o gráfico II representa um crescimento real maior do

que o do gráfico I.b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II in-

correto.c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfi-

co I incorreto.d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos

decorre da escolha das diferentes escalas.e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas

diferentes.

Jan. Abr. Ago. Dez.

2 2002 1502 1002 0502 000

no total delinhas telefônicas

Gráfico I

Jan. Abr. Ago. Dez.

no total delinhas telefônicas

2 200

2 150

2 100

2 050

2 000

Gráfico II

Baseado nos dados do gráfico, determine:a) a lei da função apresentada no gráfico;b) qual é a massa (em gramas) de 30 cm3 de álcool.

(0, 0)

50

volume (cm3)

massa (g)40

(40, 50)

T(x) =

20x − 40 se 0 < x , 20 se 2 < x < 1010x − 100 se 10 , x < 20100 se 20 , x < 40

14

24

3

X

X

A companhia Vilatel respondeu publicando dias depois ográfico II, onde pretende justificar um grande aumentona oferta de linhas. O fato é que, no período considera-do, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas te-lefônicas.

043_049_CA_Matem_1 11.08.06, 13:5044


Matemática45

Observando o gráfico, temos que a função f(x) é crescente para x > 1.

Construindo o gráfico da função f(x), temos:

0 1−3−4−5 −2 −1

1

3

2

4

5

6

2 3 4 5 x

y

10 (UERN) Um botânico mede o crescimento de umaplanta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos,colocados por ele, num gráfico, resulta a figura abaixo.

11 (ESPM-SP) Do centro de uma cidade até o aeropor-to são 40 km por uma grande avenida. Os táxis que saemdo aeroporto cobram R$ 3,60 pela bandeirada e R$ 0,80por quilômetro rodado. Os que saem do centro cobramR$ 2,00 pela bandeirada e R$ 0,60 por quilômetro rodado.Dois amigos se encontraram num restaurante que ficanessa avenida, sendo que um tomou o táxi que sai do ae-roporto e o outro tomou o que parte do centro e, parasurpresa dos dois, os seus gastos foram exatamente iguais.A distância do restaurante ao aeroporto é:a) 10 km c) 14 km e) 18 kmb) 12 km d) 16 km

12 (UFMT) Num acidente no litoral brasileiro, o navioVirgínia II sofreu uma fissura no casco atingindo um dostanques que continha óleo cru. Considere que a manchaprovocada pelo vazamento tenha a forma de um disco cir-cular de raio R e que o raio cresce em função do tempo tobedecendo à relação R(t) = 16t 0 1. Sendo A a área ocu-pada pela mancha após 5 minutos do início do vazamen-

to, calcule

A81π

.

Quando t = 5 min, temos:R(5) = 16 9 5 0 1 Θ R = 81

A área da mancha é:A = πR2 Θ A = π 9 812 Θ A = 812 π

Se mantida sempre essa relação entre tempo e altura, aplanta terá, no trigésimo dia, uma altura igual a:a) 5 b) 150 c) 15 d) 30 e) 6

05

altura (em cm)

tempo (em dias)

1

2

10

Se a temos b b b= = 9 0 Θ = 0 Θ =

15

1 515

1 1 0, : .

Portanto: y x

y x

= 0

=

15

0

15

.

y = 9

15

30

y = 6 cm

Portanto:A

818181

812

π=

π

π=

para que valores de x f(x) é crescente?a) {x 7 ς; 0 < x < 1} d) {x 7 ς; x < 0}b) ς e) {x 7 ς; 0 , x , 1}c) {x 7 ς; x > 1}

9 (UA-AM) Dada a função f(x) =x 0 2, se x > 13, se 0 , x , 1−x 0 3, se x < 0

142

43

X

X

A função é do 1o grau. Logo, y = ax 0 b.

x = 5 e y =1 Θ 1 = 5a 0 b

x = 10 e y = 2 Θ 2 = 10a 0 b 2

1

Daí, vem:

a =

15

10a 0 b = 2−5a − b = −1

5a = 1

0

Daí, vem:

x1 0 x2 = 40

3,60 0 0,8x1 = 2 0 0,60x2

De , temos:

x2 = 40 − x1

Substituindo em , obtemos:

3,60 0 0,8x1 = 2 0 0,60(40 − x1)

3,60 0 0,8x1 = 2 0 24 − 0,60x1

x1 = 16 km


X

2

1

123

1

2

aeroporto restaurante centro

x1 x2

C1 = 3,60 0 0,8x

1C

2 = 2 0 0,60x

2

043_049_CA_Matem_1 11.08.06, 14:5945


Matemática 46

13 (UFPel-RS) O sistema de telefonia móvel no Brasilvem crescendo a cada ano. Dados mostrados na Folha deS.Paulo, em 25 de abril de 2004, apontam a empresa Xcomo uma das maiores prestadoras desse serviço. O gráfi-co abaixo, publicado nesse jornal, mostra o preço de cadacelular, em função da quantidade vendida.Considerando-se a venda de 3 650 aparelhos telefônicos,determine o preço de cada unidade.

14 (UFJF-MG) Para desencorajar o consumo excessi-vo de água, o Departamento de Água de certo municípioaumentou o preço desse líquido. O valor mensal pago emreais por uma residência, em função da quantidade demetros cúbicos consumida, é uma função cujo gráfico é apoligonal representada abaixo.

De acordo com o gráfico, quanto ao pagamento relativoao consumo mensal de água de uma residência, é corretoafirmar que, se o consumo:a) for nulo, a residência estará isenta do pagamento.b) for igual a 5 m3, o valor pago será menor do que se o

consumo for igual a 10 m3.c) for igual a 20 m3, o valor pago será o dobro do que se o

consumo for igual a 10 m3.d) exceder 25 m3, o valor pago será R$ 16,70 acrescido de

R$ 3,60 por m3 excedente.e) for igual a 22 m3, o valor pago será R$ 15,00.

R$

m310

4,70

11,70

16,70

34,70

20 25 30

d) Correto. A taxa por metro cúbico para o volume que exceder 25 m3 é:

e) Incorreto. Entre 20 m3 e 25 m3, temos:

taxa =−

−= =

34 70 16 7030 25

185

3 60, ,

,

Preço 11,7016,70 11,70

V Preço 11,70 1V= 0−

−Θ = 0

25 5

Para V = 2 m3, vem: Preço = 11,70 0 1 9 2 = 13,70

15 (UEL-PR) Uma turma de torcedores de um time defutebol quer encomendar camisetas com o emblema dotime para a torcida.Contataram um fabricante que deu o seguinte orçamento:

� Arte-final mais serigrafia: R$ 90,00, independentemen-te do número de camisetas.

� Camiseta costurada, fio 30, de algodão: R$ 6,50 por ca-miseta.

Quantas camisetas devem ser encomendadas com o fabri-cante para que o custo por camiseta seja R$ 7,00?a) 18 b) 36 c) 60 d) 180

A função é:f(x) = 90 0 6,50x

O custo a R$ 7,00 é: 7x.

Portanto:7x = 90 0 6,50x0,5x = 90x = 180

c) Incorreto.

a) Incorreto. Se o consumo for nulo (V = 0), o valor mensal será R$ 4,70.

b) Incorreto. Se o consumo for de 5 m3, o valor pago será igual ao doconsumo de 10 m3, isto é, R$ 4,70.

R$ 11,70 não é o dobro de R$ 4,70.

10 m3 R$ 14,70

20 m3 R$ 11,70

X

X

Daí, obtemos: Preço = 16,70 0 3,60V

A função é do tipo y = ax 0 b.

x = 2 000Θ 600 = 2 000a 0 b

y = 600

x = 5 000Θ 400 = 5 000a 0 b

y = 400

Daí, vem:600 = 2 000a 0 b400 = 5 000a 0 b }––––––––––––––––200 = −3 000a

a = −1

15e

600 = 2 000 9

−

115

0 b Θ b = 2 2003

Portanto:

y = −1

15x 0 2 200

3

Se x = 3 650, vem:

y = −1

15 9 3 650 0 2 200

3 Θ y = R$ 490,00

0 1 000 3 000 4 000 5 000 6 0002 000

700

B

A600

500

400

300

200

100

preço em R$

nº de aparelhos

043_049_CA_Matem_1 11.08.06, 13:5146


Matemática47

16 (Fuvest-SP) Seja f a função que associa, a cada nú-mero real x, o menor dos números x 0 3 e −x 0 5. Assim,o valor máximo de f(x) é:a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 7

O valor máximo da função f é 4, que se obtém para x = 1, pois:

17 (FGV-SP) A receita mensal de vendas de uma em-presa (y) relaciona-se com os gastos mensais com propa-ganda (x) por meio de uma função do 1o grau. Quando aempresa gasta R$ 10 000,00 por mês de propaganda, suareceita naquele mês é de R$ 80 000,00; se o gasto mensalcom propaganda for o dobro daquele, a receita mensalcrescerá 50% em relação àquela.a) Qual a receita mensal se o gasto mensal com propa-

ganda for de R$ 30 000,00?b) Obtenha a expressão de y em função de x.

18 (Unimep-SP) Certo professor tem a opção de esco-lher entre duas formas de receber seu salário:Opção A: um fixo de R$ 300,00 mais R$ 20,00 por auladada, ouOpção B: R$ 30,00 por aula dada, sem remuneração fixa.Quantas aulas mensais, no mínimo, o professor deve mi-nistrar para que a opção B seja mais vantajosa?a) 20 b) 30 c) 31 d) 32 e) 29

Seja a função definida por f(x) = mínimo {x 0 3, −x 0 5}.Esboçando-se os gráficos das funções g e h tais que g(x) = x 0 3 eh(x) = −x 0 5, tem-se:

y

x1

0

3

g(x) = x 0 3

h(x) = −x 0 5

4

5

−3 5

y = x 0 3y = −x 0 5

12

3

x = 1y = 4

12

3→

a) A receita mensal (g) relaciona-se com o gasto mensal segundo a equa-ção y = mx 0 n. Assim:Se x = 10 000, temos y = 80 000.Se x = 2 9 10 000 = 20 000, temos:y = 80 000 0 50% de 80 000y = 80 000 0 0,50 9 80 000y = 80 000 0 40 000y = 120 000

Resolvendo o sistema, obtemos: m = 4 e n = 40 000.Portanto, y = 4x 0 40 000.Se a receita mensal for x = 30 000, teremos:y = 4 9 30 000 0 40 000 Θ y = 160 000 Θ R$ 160 000,00

b) y = 4x 0 40 000

Logo:80 000 = 10 000m 0 n120 000 = 20 000m 0 n

12

3y = mx 0 n Θ

X

Sendo x o número de aulas dadas, temos:

A Θ yA = 300 0 20x

B Θ yB = 30x

Daí, vem:

yB . yA Θ 30x . 300 0 20x Θ 10x . 300 Θ x . 30

O professor deverá ministrar, no mínimo, 31 aulas.

X

043_049_CA_Matem_1 11.08.06, 13:5147


Matemática 48

19 (UFSM-RS) Na figura, é indicado o preço pago poruma corrida de táxi, em função da distância percorrida.

Nessas condições, o valor a ser pago num trajeto de 5 kmé, em reais:a) 8,00 b) 8,13 c) 8,50 d) 8,75 e) 9,00

reais

km3

6,25

10

6

X

Como o gráfico é uma função do 1o grau, é do tipo f(x) = ax 0 b.

Se x = 3, então f(x) = 6,25. Logo, 6,25 = 3x 0 b.

Se x = 6, então f(x) = 10. Logo, 10 = 6x 0 b.

1

2

Multiplicando por −2, vem:1

−12,5 = −6x − 2b10 = 6x 0 b

−2,5 = −b Θ b = 2,5

12

3 {

Substituindo b = 2,5 em , vem:

10 = 6a 0 2,5 Θ 6a = 7,5 Θ a = 1,25Logo: f(x) = 1,25x 0 2,5.Portanto, se x = 5, vem:f(5) = 1,25 9 5 0 2,5 = 8,75 Θ R$ 8,75

2

21 (UFF-RJ) O gráfico da função f está representadona figura a seguir.

Sobre a função f é falso afirmar que:a) f(1) 0 f(2) = f(3) d) f(4) − f(3) = f(1)b) f(2) = f(7) e) f(2) 0 f(3) = f(5)c) f(3) = 3f(1)

Pelo gráfico, temos:Se 0 < x < 4 Θ f(x) = 1xSe 4 , x < 6 Θ f(x) = 4Se 6 , x < 8 Θ f(x) = −2x 0 16

Logo:a) Verdadeiro

f(1) = 1 9 1 = 1f(2) = 1 9 2 = 2f(3) = 1 9 3 = 3Portanto: f(1) 0 f(2) = f(3).

b) Verdadeirof(7) = −2 9 7 0 16 = 2Portanto: f(2) = f(7).

c) Verdadeiro3f(1) = 3 9 1 = 3Portanto: f(3) = 3f(1).

d) Verdadeirof(4) = 1 9 4 = 4Portanto: f(4) − f(3) = f(1).

e) Falsof(5) = 4Portanto: f(2) 0 f(3) = 2 0 3 = 5 ϑ f(5).

4

4

y

x06 8

X

20 (UFRJ) Um motorista de táxi cobra, em cada corri-da, o valor fixo de R$ 3,20 mais R$ 0,80 por quilômetrorodado.a) Indicando por x o número de quilômetros rodados e

por P o preço a pagar pela corrida, escreva a expressãoque relaciona P com x.

b) Determine o número máximo de quilômetros rodadospara que, em uma corrida, o preço a ser pago não ultra-passe R$ 120,00.

a) P = 3,20 0 0,80xb) P < 120 Θ 3,20 0 0,80x < 120 Θ 0,80x < 116,80

x < 146 Θ 146 kmO número máximo é 146 quilômetros.

22 (Unicruz-RS) Se resolvermos a inequação2(4x − 9) − 2(x 0 2) . −4, obtemos para x o valor:a) x . 1 c) x ϑ 0 e) x , 3b) x , 1 d) x . 3

2(4x − a) − 2(x 0 2) . −48x − 18 − 2x − 4 . −4 Θ 6x . 18 Θ x . 3

X

23 (UFSC) A soma dos dígitos do número inteiro m tal

que 5m 0 24 . 5 500 e − 0 . −

85

700 42m m é:

Devemos ter:5m 0 24 . 5 500 Θ 5m . 5 476 Θ m . 1 095,2

− 0 . − Θ ,

85

700 42 1m m m 096,66...

Logo, m = 1 096.A soma dos dígitos é: 1 0 0 0 9 0 6 = 16.

043_049_CA_Matem_1 11.08.06, 13:5148

M6Função Modular

Matemática63


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

FTD

M6

TERCEIRÃO FTDFunção Modular1 (UERJ) O volume de água em um tanque varia com otempo de acordo com a seguinte equação:

V t= − − − − 7 ς0

10 2t 2t4 6 ,

Nela, V é o volume medido, em m3, após t horas, contadasa partir de 8 h de uma manhã. Determine os horários ini-cial e final dessa manhã em que o volume permanece cons-tante.

Se:• 0 , t , 2 Θ V = 10 − (4 − 2t) 0 (2t − 6) = 10 − 4 0 2t 0 2t − 6 = 4t• 2 < t , 3 Θ V = 10 0 (4 − 2t) 0 (2t − 6) = 10 0 4 − 2t 0 2t − 6 = 8• t > 3 Θ V = 10 0 (4 − 2t) − (2t − 6) = 10 0 4 − 2t − 2t 0 6 = −4t 0 20Portanto, o volume é constante (V = 8 m3) no intervalo 2 , t , 3. Como ashoras são contadas a partir de 8 h, temos:2 0 8 , t , 3 0 8 Θ 10 , t , 11Então, o volume permanece constante entre 10 h e 11 h.

Representando na reta numerada, temos:4 − 2t = 0 Θ 2t = 4 Θ t = 22t − 6 = 0 Θ 2t = 6 Θ t = 3

0 2 2 < t , 3 t > 33

x

2 (UFSC) Sejam as funções f(x) = −x 1 eg(x) = (x2 0 4x − 4).a) Calcule as raízes de f[g(x)] = 0.b) Esboce o gráfico de f[g(x)], indicando os pontos em que

o gráfico intercepta o eixo cartesiano.

a)

Portanto, as raízes são −5 e 1.

b) O gráfico de f[g(x)] é:

x

f[g(x)]

9

−2

−5

(0, 5)

(1, 0)(−5, 0)

0

f[g(x)] (x 4x 4) 4x2

= 0 − − = 0 −1 52xxδ = −5 ouxφ = 1

f[g(x)] 4x 4x= Θ 0 − = Θ 0 − =0 5 0 5 02 2x x

Caderno de

Atividades

Em questões como a 3, as alternativas verdadeiras devemser marcadas na coluna I e as falsas, na coluna II.

3 (Unicap-PE) Se x é um número real, representamos ovalor absoluto de x por x .I – II0 – 0 x x 2=

1 – 1 x 10 = 2 Θ x = 1 ou x = −32 – 2 x , 4 Π x , −4 ou x . 43 – 3 x . 2 Π −2 , x , 24 – 4 Não existe x real tal que x . −3.

00. Verdadeira

x2 = x se x > 0 e x2 = −x se x , 0, temos que �x� = x2 .

11. Verdadeira

�x 0 1� = 2x 0 1 = 2 Θ x = 1 ou x 0 1 = −2 Θ x = −3

22. Falsa

�x� , 4 Θ −4 , x , 4

33. Falsa

�x� . 2 Θ x , −2 ou x . 2

44. Falsa

�x� . −3 Θ ? x 7 ς

Portanto: I II0 01 12 23 34 4

063_066_CA_Matem_1 11.08.06, 14:0163

Função ModularM6

Matemática 64

7 (UESPI) A soma dos valores reais de x que satisfazema igualdade 3 1 1x x0 = − é igual a:

a) −

52

b) −

32

c) −5 d) −3 e) −2

Então, o gráfico dafunção g(x) será:

x

y

2

2−2−1

x

y

1

2−2

−2

x

y

1

2−2

x

y

1

2−2

A função g(x) f(x)= − 1 terá o seguinte gráfico:

4 (Unifesp-SP) Considere a função

f(x) = 1, se 0 < x < 2−2, se −2 < x , 0

12

3

a) d)

b)

c)

e)

X

f(x) =1, se 0 < x < 2−2, se −2 < x , 0

12

3

1, se 0 < x < 22, se −2 < x , 0

12

3 f(x) =

0, se 0 < x < 21, se −2 < x , 0

12

3 g(x) (x)= − =f 1

x

y

1

20−2

5 (Furg-RS) O produto de todas as raízes da equação

x é2 8 4 0− − = :a) 4 b) −4 c) −8 d) −48 e) 48X

O produto das raízes é:

x x2 28 4 0 8 4− − = Θ − =

x ou x= = −12 12

x ou x= = −2 3 2 3

2 2 2 3 2 3 489 − 9 9 − =( ) ( ) ( )

Daí, vem:• x2 − 8 = 4

x2 = 4 0 8x2 = 12

• x2 − 8 = −4x2 = 8 −4x2 = 4x = 2 ou x = −2

Portanto: x = −

12

− − =

− −= −2

12

4 12

52

Devemos ter:3(x 0 1) = (x − 1) ou 3(x 0 1) = −(x − 1)

Daí, vem:• 3(x 0 1) = (x − 1)

3x 0 3 = x − 12x = −4x = −2

• 3(x 0 1) = −(x − 1)3x 0 3 = −x 0 14x = −2

X

x

y

2

1

2−2

6 (UFV-MG) A soma das soluções reais da equação�x2 0 3x 0 2� − �6x� = 0 é igual a:a) 3 b) −6 c) −3 d) 6

�x2 0 3x 0 2� − �6x� = 0 Θ �x2 0 3x 0 2� = �6x�

Daí, vem:x2 0 3x 0 2 = 6xx2 − 3x 0 2 = 0∆ = 9 − 8 = 1

xδ = 2xφ = 1

Logo:

2 19 73

29 73

24 2 9 73 9 73

212

6

0 0− 0

0− −

=

=0 − 0 − −

=

=−

= −

2

ou x2 0 3x 0 2 = −6xx2 0 9x 0 2 = 0∆ = 81 − 8 = 73

x

9 732

=− Σ

x

3 12

3 12

=Σ

=Σ

X

063_066_CA_Matem_1 11.08.06, 14:0164

M6Função Modular

Matemática65

9 (UFPI) A soma das raízes da equação

x x é2

2 15 00 − = :

a) 0 b) −2 c) −4 d) 6 e) 2X

Fazendo

x y= , vem:

y2 0 2y − 15 = 0y1 = 3y2 = −5

x ou x= = −3 5

x = 3 ou x = −3 Ξ x

Daí, vem:

A soma das raízes é:−3 0 3 = 0

10 (UFAC) Qualquer solução real da inequação

x 0 ,1 3 tem uma propriedade geométrica interessan-te, que é:a) A sua distância a 1 é maior que 3.b) A sua distância a −1 é maior que 3.c) A sua distância a −1 é menor que 3.d) A sua distância a 1 é menor que 3.e) A sua distância a 3 é menor que 1.

Devemos ter −3 , x 0 1 , 3. Logo:x 0 1 , 3 Θ x , 2 e x 0 1 . −3 Θ x . −4

Logo:

Qualquer solução real tem a distância a −1 menor que 3.

0−1−2−3−4 1 2 3

11 (Faap-SP) A produção diária estimada x de uma re-finaria é dada por x − <200 000 125 000, em que x émedida em barris de petróleo. Os níveis de produção má-ximo e mínimo são:a) 175 000 < x < 225 000b) 75 000 < x < 125 000c) 75 000 < x < 325 000d) 125 000 < x < 200 000e) x < 125 000 ou x > 200 000

x

x

− <

− <

200 000 125 000

200 000 125 000

X

Devemos ter:

1ou

x − 200 000 > −125 000 2

De , vem:

x − 200 000 < 125 000 Θ x < 325 000

De , vem:

x − 200 000 > −125 000 Θ x > 75 000

Portanto: 75 000 < x < 325 000.

1

2

8 (FGV-SP) A e B são subconjuntos do conjunto dosnúmeros reais (ς), definidos por:A = {x 7 ς � 2x 0 1 = �x 0 1� − �x�};B = {x 7 ς � 2 < ��x 0 1� − 2�}Determine o intervalo real que representa A 5 B , sendo A e B os complementares de A e B, respectivamente, emrelação a ς.

I. Seja o conjunto A = {x 7 ς � 2x 0 1 = �x 0 1� − �x�}:

1o para x > 0, temos: 2x 0 1 = x 0 1 − x Θ x = 0, portanto V1 = {0}.

2o para −1 < x < 0, temos: 2x 0 1 = x 0 1 − (−x) Θ

? x 7 ς, portanto V2 = {x 7 ς � −1 < x < 0}.

3o para x < −1, temos: 2x 0 1 = (−x − 1) − (−x) Θ x = −1,portanto V3 = {−1}.

Dessa forma, o conjuntoA = V1 6 V2 6 V3 = {x 7 ς � −1 < x < 0} e A = {x 7 ς � x , −1 ou x . 0}.

II. Seja o conjuntoB = {x 7 ς � �x 0 1� −2 � > 2}, então:�x 0 1� − 2 < −2 ou �x 0 1� −2 > 2 Θ

Θ �x 0 1� < 0 ou �x 0 1� > 4 Θ x 0 1 = 0 oux 0 1 < −4 ou x 0 1 > 4Θ x = −1 ou x < −5 ou x > 3

Dessa forma, o conjuntoB = {x 7 ς � x = −1 ou x < −5 ou x > 3} eB = {x 7 ς � −5 , x , 3 e x ϑ −1}.

III. A intersecção A 5 B resulta:

−5 −1 0 3x

A ∩ B

B

A

A 5 B = {x 7 ς � −5 , x , −1 ou 0 , x , 3}.

X

063_066_CA_Matem_1 11.08.06, 14:0265

Função ModularM6

Matemática 66

12 (UFBA) Considere as funções reais f e g, tais que:� f(x) = ax2 0 bx 0 c, a ϑ 0, tem apenas uma raiz real,

seu gráfico tem por eixo de simetria a reta x = 1 epassa pelo ponto (2, 1).

� g(x) = mx 0 n e g[f(x)] = −x2 0 2xNessas condições, pode-se afirmar:

(02) g−1(x) = g(x)(04) A equação f x tem( ) = 0 4 raízes distintas.(08) O conjunto solução da inequação f(x) g(x)− > 0

é ]−∃, 0] 6 [2, 0∃[.(16) A função r(x) = f[g(x)] é crescente para x < 0.

x

y

1

1

0

(01) O gráfico da função

h(x) f(x)= é

h(x) = −( )x 1 2

h(x) = −x 1

O gráfico é:

x

y

1

1

20

(02) Correta g(x) = −x 0 1 Θ y = −x 0 1x = −y 0 1y = −x 0 1g−1(x) = g(x)

f(x) g(x) 2x− > Θ − 0 − − 0 >0 1 1 02x x

− 0 < − 0x x1 12 2x

{ {

}x0 1

Θ x < 0 ou x > 1]−∃, 0] 6 [1, ∃]

(16) Incorreta r(x) = f[g(x)] Θ r(x) = f(−x 0 1)r(x) = (−x 0 1)2 − 2(−x 0 1) 0 1r(x) = x2 − 2x 0 1 0 2x − 2 0 1r(x) = x2

O gráfico é:

x

f(x) = x2

y

0

1 2De e , vem:

(−2a)2 − 4ac = 0 Θ 4a2 − 4ac = 0 Θ 4a(a − c) = 0

Daí, 4a = 0 Θ a = 0 (não serve)

a − c = 0 Θ a = c 4

Substituindo e em , temos:

4a 0 2 9 (−2a) 0 c = 1 Θ c = 1

Logo, a = c Θ a = 1.

De b = −2a, temos: b = −2 9 1 Θ b = −2

Portanto, f(x) = x2 − 2x 0 1.

Sendo g[f(x)] = −x2 0 2x, temos:g(x2 − 2x 0 1) = −x2 0 2x Θ m(x2 − 2x 0 1) 0 n = −x2 0 2xmx2 − 2mx 0 m 0 n = −x2 0 2x

Comparando os coeficientes, temos:

1 4 3

Logo, g(x) = −x 0 1.

m = −1m 0 n = 0 Θ −1 0 n = 0 Θ n = 1

12

3

(01) Correta h(x) f(x) h(x) 2x = Θ = − 0x2 1

A equação tem duas raízes distintas.

f x x x( ) = Θ − 0 =0 2 1 0

2

Logo x x ou x: = Θ = − =1 1 1

(04) Incorreta

y2 − 2y 0 1 = 0 Θ y =1

(08) Incorreta

Como x2 − 2x 0 1 > 0, para qualquer x real, temos:−x 0 1 < x2 − 2x 0 1 Θ x2 − x > 0

Raízes: x2 − x = 0 Θ x(x − 1) = 0x1 = 0x2 = 1


xx = 1

f(x) = ax2 0 bx 0 cf(x)

V 10

x

b bb

V= − Θ = − Θ = −

2a 2a2a1 1

∆ = 0 Θ b2 − 4ac = 0 2

(2, 1) Θ 4a 0 2b 0 c = 1 3

14

42

44

3

13 (Uneb-BA) O conjunto solução da inequação

6 3 3 1− , −x x é :

a) % d) ]0, 0∃[b) −∃ −, 1 e) ς

c)

32

, 0∃

Devemos ter:−3(x − 1) , 6 − 3x , 3(x −1)

De , vem:

6 − 3x , 3(x −1)6 − 3x , 3x − 3−6x , −9

x .

96

x .

32

S x x ou S= 7 ς . = 0∃\

32

32

,

X

12

1

De , vem:

6 − 3x . −3(x − 1)6 − 3x . −3x 0 36 . 3+ x 7 ς

Fazendo 5 , obtemos:

2

1 2

Essa função é crescente para x > 0.

Portanto: 1 0 2 = 3


063_066_CA_Matem_1 11.08.06, 14:0266

Matemática3


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M7

TERCEIRÃO FTDFunção Exponencial Caderno de

Atividades

1 (Uniderp-MS) Se n, y 7 ς são tais que

y3 7 3 3

2 3

n 2 n n 1

n 1=

− 9 0

9

0 0

0, então y é igual a:

a)

52 3n9

c)

56

e) 3

6

n 10

b)

52 3n 19 0

d)

73

y3 7 3 3

2 3

n 2 n n 1

n 1=

− 9 0

9

0 0

0

y9 3 7 3 3 3

6 3

n n n

n=

9 − 9 0 9

9

y3 9 7 3

6 3

n

n=

− 0

9

( )

y56

=

2 (FGV-SP) Num concurso que consta de duas fases, oscandidatos fizeram uma prova de múltipla escolha, com30 questões de 4 alternativas cada uma. Na segunda fase,outra prova continha 30 questões do tipo falso ou verda-deiro. Chamando de n1 o número dos diferentes modos deresponder à prova da 1a fase e de n2, o número dos diferen-tes modos de responder à prova da 2a fase, tem-se que:a) n1 = 2n2 c) n1 = 4n2 e) n1 = 430 9 n2

b) n1 = 30n2 d) n1 = 230 9 n2

X

X

Se, na 1a fase, o candidato deve escolher apenas uma das quatro alterna-tivas de cada questão, então:n1 = 4 9 4 9 4 9 ... 9 4 = 430 = 260

30 fatoresNa 2a fase, o número de maneiras de responder é:

n2 = 2 9 2 9 2 9 ... 9 2 = 230

30 fatores

Então, n

n22

n

n 2 n 2 n1

2

60

30

1

2

301

302= = = 9→ → .

144424443

144424443

3 (MACK-SP) Se x e y são números reais positivos, tais

que

x y 81x y 729

4 2

2 4

9 =

9 =

−

−

, então o produto x 9 y é igual a:

a) 3 c) 3 3 e) 3

b)

13

d)

19

x y 81x y 729

x y

x y81

729 x y

19

xy13

4 2

2 4

4 2

2 42 29 =

9 =

9

9= = =

−

−

−

−

→ → →

4 (UESPI) A equação exponencial dada por

3 1

x x 1

( )

0

=

admite duas soluções, x1 e x2. O valor da soma (x1 0 x2) é:a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

3 1 3 3 x x 0

x x 1 x x 02

2( )[ ] → ( ) ( ) →0

0

= = 0 =

x(x 0 1) = 0

Logo:x1 0 x2 = 0 − 1 = −1

X

X

x1 = 0ou

x2 = −1

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:053

Matemática 4

Função ExponencialM7

23

113 2

323

113 2 2

3 3

2

2

1

1

1

x

x

x

x

x

x

0 =9

0 =9 9

9

−

0

−

2x

23

12

132

3 3

2

x

x

x0 =

9

9

23

123

132

13

2

x x

0 = 9 9

23

1136

23

2

x x

0 = 9

Substituindo y, temos:

23

x

=

y y

y y2

2

1136

6 66

13

60 = 9 Θ

0=

Portanto: S = {1, −1}

Logo:

Se y x

x

= = Θ =23

23

23

1, . temos:

Se y x

x

temos: = = = Θ = −

−32

23

32

23

11

, .

7 (UESPI) O conjunto verdade da equação2x − 2−x = 5(1 − 2−x) é igual a:a) {1, 4} c) {0, 1} e) { }b) {1, 2} d) {0, 2}X

2 2 5 1 2 2

12

5 11

2x x x x

x x− = − Θ − = −− −( )

yy y

− = −1

55

2x = 4 ou 2x = 12x = 22 2x = 20

x = 2 x = 0Portanto: S = {0, 2}

y2 − 1 = 5y −5y2 − 5y 0 4 = 0

y1 = 4y2 = 1

Substituindo 2x � y, temos:

5 (UEPG-PR) A equação 52x 0 125 = 6 9 5x 0 1 admitecomo soluções os números a e b, com a . b. Então, assi-nale o que for correto:

(01) ba 1=

(02) a 9 b é um número par.(04) a . 0 e b , 0(08) a 0 b , 5

(16)

ab

é um número natural.


y1 = 25

y2 = 5

6y2 − 13y 0 6 = 0 y

1

23

=

y

2

32

=

6 (UCDB-MS) O conjunto verdade da equação

exponencial

23

113 2

3

2

2

1

1

x

x

x

x0 =

9 −

0 é:

a)

23

32

,

c)

−23

32

,

e) {1, −1}

b)

− −23

32

,

d) {1, 0}

X

01. Incorreto52x 0 125 = 6 9 5x 0 1

52x 0 125 = 6 9 5x 9 5Substituindo 5x = y, temos:y2 0 125 = 30yy2 − 30y 0 125 = 0

Logo:5x = 25 Θ 5x = 52 Θ x = 2 = a5x = 5 Θ x = 1 = b

ba

12

=

02. Corretoab = 2 9 1 = 2

04. Incorretoa = 2 . 0 e b = 1 . 0

08. Corretoa 0 b = 2 0 1 = 3 , 5

16. Correto

ab

21

2= =

Portanto: 2 0 8 0 16 = 26

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:054

Matemática5

M7Função Exponencial

L(t) = T(t)8 9 10t = 1 000 9 2t

10t = 125 9 2t

102

125t

t=

5t = 1255t = 53

t = 3 anos

8 (UFSM-RS) Um piscicultor construiu uma represa paracriar traíras. Inicialmente, colocou 1 000 traíras na represae, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que oaumento das populações de lambaris e traíras ocorra,respectivamente, segundo as leis L(t) = L010t e T(t) = T02

t,em que L0 é a população inicial de lambaris, T0, a populaçãoinicial de traíras, e t, o número de anos que se contam apartir do ano inicial.Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris seráigual ao de traíras depois de quantos anos?a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3X

X

3−1 = 3−2t

−2t = −1

Devemos ter M(t)

M

3. Logo:0

=

M(t)

M

2t

2t

= 9

= 9

−

−

M

M

0

00

3

33

13

3 2= − t

t ou t= =

12

0,5 s

9 (UFPB) Sendo a e k constantes reais e sabendo-se queo gráfico da função f(x) = a2kx passa pelos pontos A(0, 5) eB(1, 10), o valor da expressão 2a 0 k é:a) 15 b) 13 c) 11 d) 10 e) 12X

f(x) = 32x 0 1 0 m 9 3x 0 1f(x) = 32x 9 3 0 m 9 3x 0 1f(x) = 3 9 (3x)2 0 m 9 (3x) 0 1a) m = −4 Θ f(x) = 0 Θ 3 9 (3x)2 – 4 9 (3x) 0 1 = 0

11 (Vunesp-SP) Considere a função dada porf(x) = 32x 0 1 0 m 9 3x 0 1.a) Quando m = −4, determine os valores de x para os

quais f(x) = 0.b) Determine todos os valores reais de m para os quais a

equação f(x) = m 0 1 não tem solução real x.

10 (UCDB-MS) Certa substância radioativa de massaM0, no instante t = 0, tende a se transformar em outrasubstância não radioativa.Para cada instante t > 0, dado em segundos, a massa dasubstância radioativa restante obedece à lei M(t) = M0 3

−2t.Nessas condições, o tempo necessário, em segundos, paraque a massa da substância radioativa seja reduzida a umterço da massa inicial, é igual a:a) 3 b) 2,5 c) 1,5 d) 1 e) 0,5

b) f(x) = m 0 1 Θ 3 9 (3x)2 0 m 9 (3x) 0 1 = m 0 13 9 (3x)2 0 m 9 (3x) − m = 0Fazendo 3x = y, resulta a equação: 3y2 0 m 9 y − m = 0.Essa equação não tem soluções reais se, e somente se, suas raízes y

1e y2 não forem reais ou se ambas forem reais negativas.• As raízes y

1 e y

2 não são reais Θ ∆ = m2 0 12m , 0 Θ −12 , m , 0.

• Para que as raízes y1 e y2 sejam ambas reais e negativas, devemos

ter ∆ > 0, y1 0 y2 =

−m3

< 0

e y1 . y2 =

−m3

> 0, que se verifica apenas para m = 0.

Concluímos, então, que –12 , m < 0.

3

4 26

3 1 ou 313

x 0 ou x 1x x x=±

= = = = −→ →

Como o gráfico passa pelos pontos A e B, temos:A(0, 5) Θ a 9 2k 9 0 = 5 Θ a 9 20 = 5 Θ a = 5 �B(1, 10) Θ a 9 2k 9 1 = 10 Θ a 9 2k = 10 �Substituindo a = 5 em �, vem:5 9 2k = 102k = 2k = 1Logo:2a 0 k = 2 9 5 0 1 = 11

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:065

Matemática 6


15 (UFSM-RS) A solução da equação exponencial5x(5x − 1) = 20:a) pertence ao intervalo (−∞, −3[.b) pertence ao intervalo ]4, +∞).c) pertence ao intervalo ]0, 2[.d) é um número par.e) é um número irracional.

Se y = 5 Θ 5x = 5 Θ x = 1Se y = −4 Θ 5x = −4 Θ Ξ x 7 ς

Como x = 1, pertence ao intervalo ]0, 2[.

y1 = 5y2 = −4

Substituindo 5x = y, vem:y(y − 1) = 20 Θ y2 − y − 20 = 0

X

12 (UFPel-RS) A função exponencial serve de modelomatemático para resolver várias situações do cotidiano.Um exemplo é o de uma cultura de bactérias inicialmentecom 1 000 elementos, contados a partir do instante zero,na qual a população dobra a cada hora.Essa situação é representada pela função f(x) = 1 000 9 2x,em que x é o tempo decorrido.Com base na função acima, em seus conhecimentos, con-siderando ς o conjunto dos números reais, analise as afir-mativas abaixo.

I. O domínio da função é o conjunto dos números reais.II. O domínio da função é D = {x 7 ς \ x > 1 000}.

III. O domínio da função é D = {x 7 ς \ x > 0}.IV. A imagem da função é Im = {y 7 ς \ y > 1 000}.V. A imagem da função é Im = {y 7 ς \ y > 0}.

Estão corretas somente as afirmativas:a) I e IV c) II e IV e) III e IVb) III e V d) I e V f) I.R.

13 (MACK-SP) O número de indivíduos de um certo

grupo é dado por f(x) 10

110 x

= −

9 1 000, sendo x o

tempo medido em dias.Desse modo, entre o 2o e 3o dia, o número de indivíduosdo grupo:a) aumentará em exatamente 10 unidades.b) aumentará em exatamente 90 unidades.c) diminuirá em exatamente 9 unidades.d) aumentará em exatamente 9 unidades.e) diminuirá em exatamente 90 unidades.

X

Sendo y = 1 000 9 2x, temos:I. Incorreta

O domínio é D = {x 7 ς \ x > 0}, pois a população dobra a cada hora.II. Incorreta

III. CorretaIV. Correta

O gráfico de y = 1 000 9 2x é:

Im = {y 7 ς \ y > 1 000}

0

y

x1

1 000

2 000

V. Incorreta

X

Se

f(x) 10 1

10 x= −

9 1 000, sendo x o tempo medido em dias e f(x)

o número de indivíduos do grupo, então:

•

f(2) 10 1

10 1 000 10

1100

1 000 =2

= − 9 = − 9

= 10 000 − 10 = 9 990

•

f(3) 10 1

10 1 000 10

11 000

1 000 =3

= − 9 = − 9

= 10 000 − 1 = 9 999

• f(3) − f(2) = 9 999 − 9 990 = 9

• Entre o 2o e o 3o dia, o número de indivíduos do grupo aumentará emexatamente 9 unidades.

14 (UFMA) Se a curva da figura abaixo representa ográfico da função y = 2x, o valor da área sombreada é:a) 4 b) 2 c) 8 d) 6 e) 10X

Se: x = 0 Θ y = 20 Θ y = 1x = 2 Θ y = 22 Θ y = 4

A área sombreada é igual a:A = 2 9 1 0 1 9 4 Θ A = 2 0 4 = 6

y

20

y = 2x

3 x

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:066

Matemática7

M7Função Exponencial

17 (UFF-RJ) Em um meio de cultura especial, a quan-tidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q defi-nida, para t > 0, por Q(t) = k5kt, sendo t o tempo, emminuto, e k uma constante.A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com ocálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25Q(0).Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactériasestão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto:a) 12,5 b) 25 c) 312,5 d) 625 e) 1 000X

Portanto: Q(8)

Q(8) 54

= 9

= 9

912

5

12

12

8

Q(8) = 312,5

Pelos dados, temos:se t = 0 Θ Q(0) = k 9 5k 90 = kse t = 4 Θ Q(4) = k 9 54k

Como Q(4) = 25 9 Q(0), vem:k 9 54k = 25 9 k54k = 2554k = 52

4k = 2

k =

12

16 (MACK-SP) O menor valor assumido pela função

g(x)

12

(2 x )2

=

−

é:

a) 8 b) 4 c)

12

d)

14

e)

18

X

A função exponencial g de base 12

é estritamente decrescente. O míni-

mo valor de g, portanto, corresponde ao máximo valor do expoente.O gráfico da função f: ς Θ ς definida por f(x) = −x2 0 2 é:

e o máximo valor de f é 2.

O mínimo valor de g é

12

2

=

14

.

f(x)

2

x− 2 2

a) Sendo x = 30 e y = 20, temos:

a) Determine o valor de k.b) Obtenha as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (va-

lor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.

19 (UNI-RIO/Ence-RJ) Conforme dados obtidos peloIBGE, relativos às taxas de analfabetismo da populaçãobrasileira de 15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possívelajustar uma curva de equação y = 30kx 0 10, em quek . 0, representada a seguir:

y y

y

= 9 0 Θ = 9 0 Θ

= Λ

3013

10 3013

10

403

13 33

130

2

60

, %

O ano de 2020 corresponde a 2020 − 1960 = 60. Logo:

y y y= 9 0 Θ = 9 0 Θ =30

13

10 30 1 10 40

130

0

%

b) O ano de 1960 corresponde a x = 0. Logo:

20 30 10

13

13

13

30 30

130

30= 9 0 Θ = Θ = =k k k

010

20

20 30 40 50 tempo (anos)

taxa (%)

18 (MACK-SP) Dadas as funções f(x) = 2x2 − 4 eg(x) = 4x2 − 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é:

a)

14

b) 1 c) 8 d) 4 e)

12

X

Se f(x) = 2x2 − 4 e g(x) = 4x2 − 2x, com f(x) = g(x), temos:2x2 − 4 = 4x2 − 2x Θ 2x2 − 4 = 22x2 − 4x Θ 2x2 − 4x = x2 − 4x2 − 4x 0 4 = 0 Θ x = 2Portanto: 2x = 22 = 4.

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:067

Matemática 8


Temos

f [g(x)]g(x)

=0

172 1

. Assim, quanto maior for o valor de 2g(x) 0 1, menor

será o valor de f [g(x)]. Logo, f [g(x)] assumirá um valor mínimo quando2g(x) 0 1 assumir um valor máximo, o que ocorrerá quando g(x) assumirum valor máximo. Como g(x) = 3 0 2x − x2, trata-se de uma funçãoquadrática e, como o coeficiente de x2 é negativo, seu gráfico é uma pará-bola com concavidade para baixo e, portanto, ela assumirá um valor máxi-mo, o qual ocorrerá quando o valor de x for igual à abscissa do vértice, isto

é, quando

x2

1.=−

9 −=

2 1( ) Assim g(1) é o valor máximo assumido pela

função g e, portanto, o valor mínimo da composta será:

22 (UFCE) Sejam f e g funções reais de variável real

definidas por f(x) =

0

172 1x

e g(x) = 3 0 2x − x2. O valor

mínimo de f [g(x)] é:

a)

14

b)

13

c)

12

d) 1 e) 2

f [g(1)]g(1)

=0

=0

= =17

2 117

2 11717

14

X

20 (UEPG-PR) Dadas as funções definidas por

f(x) e g(x)= =

45

54

x x

, é correto afirmar:

(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.(04) g(−2) 9 f(−1) = f(1)(08) f [g(0)] = f(1)

(16) f( 1) g(1)− 0 =

52

Fazendo o gráfico dasfunções, temos:

45

54

45

45

1

x x x x

= Θ =

−

Substituindo: y, vem:

45

x

=

y y yy

= Θ =−1 1

Se y

x

= − Θ = −145

1

01. Incorreto, pois os gráficos se interceptam em:

y2 = 1y = Σ1

Se y = Θ =1

45

1

x

45

45

0

x

=

Ξ x 7 ς

x = 0

Portanto: 4 + 8 + 16 = 28

0 x

y

g(x)

1

f(x)

Os gráficos se interceptam em (0, 1).

02. Incorreto, pois f(x) é decrescente e g(x) é crescente.

04. Correto

g( )− = = =254

1

54

1625

2

2

−

f( )− = = =

−

145

145

54

1

f(1) = =

45

45

1

Logo: g( 2) f( 1) f(1)− 9 − = 9 = =

1625

54

45

08. Correto

g(0) = =

54

10

f(1) = =

45

45

1

16. Correto

g(1) = =

54

54

1

Logo:

f( 1) g(1)− 0 = 0 = =

54

54

104

52

21 (EEM-SP) A curva abaixo mostra a evolução donúmero de peças montadas em uma linha de produçãopor um operário recém-contratado.Admitindo que a curva seja descrita pela funçãoQ(t) = 500 − A 9 2−k 9 t, determine o número de peças queo operário montará em sua segunda semana de trabalho.

Se:t = 0 Θ 200 = 500 − A 9 20 Θ 200 = 500 − A Θ A = 300t = 1 Θ 350 = 500 − A 9 2−k 9 1

350 = 500 − 300 9 2−k

300 9 2−k = 150

2−k = 12

2−k = 2−1

k = 1A função é:Q(t) = 500 − 300 . 2−t

Se t = 2 semanas, temos:Q(2) = 500 − 300 9 2−2

Q(2) = 500 − 75Q(2) = 425 peças

Q

1 2 3 t (semanas)

350

200

0

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:078

M8Função Logarítmica

Matemática11


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M8

TERCEIRÃO FTDFunção Logarítmica

3 (UFG) Suponha que o total de sapatos produzidos poruma pequena indústria é dado, aproximadamente, pelafunção S(t) = 1 000 log2 (1 0 t), em que t é o número deanos e S o número de sapatos produzidos, contados a par-tir do início de atividade da indústria. Determine:

a) o número de sapatos produzidos no primeiro ano deatividades da indústria;

b) o tempo necessário para que a produção total seja otriplo da produção do primeiro ano.

a) Após o primeiro ano de atividade, temos que t = 1; então:S(1) = 1 000 log

2 (1 0 1) Θ S(1) = log

2 2 Θ S(1) = 1 000; portanto,

foram produzidos 1 000 pares de sapatos no primeiro ano.

b) Se no primeiro ano a produção é de 1 000 pares de sapatos, o triploserá 3 000 pares, ou seja:S(t) = 3 000 = 1 000 log2

(1 0 t) Θ log2 (1 0 t) = 3 Θ 1 0 t = 23 Θ

Θ 1 0 t = 8 Θ t = 7; então, depois de 7 anos, a produção total será otriplo da produção do primeiro ano.

1 (UEPG-PR) Sendo:

(25)

1125

p 2− =

q = log16 8

r

log 4

log 272

3

=

É correto afirmar que:(01) p , r , q(02) q . p(04) r , q(08) p . r(16) r , p , q


01. Correto

25

1125

p 2− = → 52p − 4 = 5−3 → 2p − 4 = −3 → p

12

=

rlog 4

log 27 r

23

2

3

= =→

q = log16 8 → 16q = 8 → 24q = 23 → 4q = 3 → q

34

=

Logo:

12

23

34

, , → p , r , q.

02. Correto

34

12

. → q . p

04. Correto

23

34

, → r , q

08. Incorreto

12

23

, → p , r

16. Incorreto

23

12

, → r , p

Portanto: 1 0 2 0 4 = 7

2 (Vunesp-SP) O valor de x na equação log x

133 3

= é:

a)

13

3 3

c)

33

e) 3

log x

13

x 3 33 3

13= =→ ( )

x 3 x 3313

32

13

= =( ) →

x 3 x 3

12= =→

X

Caderno de

Atividades

b)

33

3d) 33

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 20:5811

Função LogarítmicaM8

Matemática 12

4 (MACK-SP) Se

23

logb 27 0 2 logb 2 − logb 3 = −1,

0 , b ϑ 1, o valor de b é:

a) 2 c)

19

e)

18

b)

112

d) 3

8 (MACK-SP) Se a e b são números reais não-nulos, tais

que a2 + b2 = 28ab, então, adotando-se log 3

1225

= , o valor

de log

(a b)ab3

20 é:

a)

3712

b) 3 c)

2513

d)

175

e) 7

23

9 logb 27 0 2 9 log

b 2 − log

b 3 = −1

log ( )b 3323 0 logb 2

2 − logb 3 = −1

log

3 2

31

b

2 29= − Ι logb 12 = −1

b−1 = 12 Ι b

112

=

5 (Furg-RS) Sendo x a solução da equação

2

12

3 2log log ,x = o valor de x3 é:

a)

12

b) 1 c) 2 d) 4 e) 8

2 2 1

13

23 2 13 2 2

13log log log log logx x x x= Θ = − Θ = Θ =−

Assim:

x3 = = =2 2 213

3 33( )

6 (UFOP-MG) Resolva o sistema:

2x 9 8y = 32 Θ 2x 9 23y = 25 Θ x 0 3y = 5

log

8

13

13

8 2xy xy xy= Θ = Θ =

Resolvendo o sistema, obtemos:1

23

x 0 3y = 5xy = 2

x = 2 e y = 1ouΘ

x e y= =3

23

2x 9 8y = 32

142

43

log8

13

xy =

7 (MACK-SP) Se a . 0 e b . 0, considere as afirma-ções:

I. log (ab) = log a 0 log bII. log (a 0 b) = (log a) 9 (log b)

III. log 1 = 0

Então:

a) I, II e III são corretas.b) I, II e III são incorretas.c) apenas I e II são corretas.d) apenas II e III são corretas.e) apenas I e III são corretas.I. Correta. log (a 9 b) = log a 0 log b

II. Incorreta. log (a 0 b) = (log a) 9 (log b)Para a = b = 1, por exemplo, temos:log 2 = (log 1) 9 (log 1)

III. Correta. log10

1 = 0, pois 100 = 1.

Sendo dados a2 0 b2 = 28ab e log 3

1225

= , temos:

• (a 0 b)2 = a2 0 b2 0 2ab = 28ab 0 2ab = 30ab

•

log(a b)

ablog

30abab

log 303

2

3 3

0= =

log3 3 0 log

3 10 = 1 0

2512

3712

=

X

X

X

X

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 20:5912


Matemática13

9 (EEM-SP) Sendo log10 3 = a, calcule:

log log .10 1018

320

0

log10 (9 9 2) 0 log10 3 − log10 (10 9 2)

log10

9 0 log10

2 0 log10

3 − (log10

10 0 log10

2)

2 log10 3 0 log10 2 0 log10 3 − log10 10 − log10 2

3 log10 3 − log10 10

3a − 1

Usando as propriedades, temos:

log log log log log

10 10 10 10 1018

320

18 3 200 = 0 −

10 (UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, atemperatura T de um corpo colocado num ambiente cujatemperatura é T0 obedece à seguinte relação:

T = T0 0 ke−ct

Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempomedido em horas, a partir do instante em que o corpo foicolocado no ambiente, e k e c são constantes a serem de-terminadas.Considere uma xícara contendo café, inicialmente a100 )C, colocada numa sala de temperatura 20 )C. Vinteminutos depois, a temperatura do café passa a ser de40 )C.a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara

ter sido colocada na sala.b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o

tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sidocolocada na sala, a temperatura do café se reduziu àmetade.

11 (Vunesp-SP) Numa plantação de certa espécie deárvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetrodo tronco, desde o instante em que as árvores são planta-das até completarem 10 anos, são dadas respectivamentepelas funções:altura: H(t) = 1 0 (0,8) 9 log2 (t 0 1)

diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) 9 2t

7

com H(t) e D(t) em metros e t em anos.a) Determine as medidas aproximadas da altura, em

metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, dasárvores no momento em que são plantadas.

b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetroaproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.

a) Substituindo os dados:

a) No momento em que elas são plantadas, t = 0. Assim:H(0) = 1 0 (0,8) 9 log2 (0 0 1)H(0) = 1 0 0,8 9 log

2 1

H(0) = 1 0 0,8 9 0H(0) = 1 m

D(0) = (0,1) 9 20

7

D(0) = (0,1) 9 20

D(0) = 0,1 mouD(0) = 10 cm

b) Se H(t) = 3,4 m, temos:1 0 0,8 9 log2 (t 0 1) = 3,40,8 9 log2 (t 0 1) = 2,4log

2 (t 0 1) = 3

t 0 1 = 8t = 7 anos

Portanto:

D(7) = 0,1 9 27

7 → D(7) = 0,1 9 2 = 0,2 m ou 20 cm

12 (Unifesp-SP) Uma droga na corrente sangüínea éeliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, par-tindo de uma quantidade inicial de Q0 miligramas, após thoras a quantidade da droga no sangue fique reduzida aQ(t) = Q0(0,64)t miligramas. Determine:a) a porcentagem da droga que é eliminada pelos rins em

1 hora;b) o tempo necessário para que a quantidade inicial da

droga fique reduzida à metade. Utilize log10 2 = 0,30.

a) Q(1) = Q0 9 0,641

Após 1 hora, há 64% da quantidade inicial da droga no sangue; portan-to, em 1 hora, 36% da droga é eliminada pelos rins.

b) De Q(t)

12

Q0= , temos:

Q 0,64

12

Q0t

09 = 9

log 0,64t = log 2−1

t log

210

log 26

2= −

t(6 log 2 − 2 log 10) = −log 2t(1,8 − 2) = −0,3 Ι t = 1,5 hora ou 1h 30min

T0 = 20 )C, T(0) = 100 )C e T13

= 40 )C na relação T = T0 0 ke−ct,

encontraremos:

e

14

c3

−

= → e

c3 = 4

Desenvolvendo, temos: e

164

.C− =

Como queremos T56

, basta observarmos que

56

13

52

= 9 .

T56

= 20 0 80

ec

3

5

2−

= 20 0 8014

52

= 20 0 80 9 1

32= 22,5 )C

b) Pela lei do resfriamento, teremos 50 = 20 0 80e−ct, ou seja, e−ct = 38

.

Como e

164

c− = , teremos

164

38

t

= .

Usando logaritmos:

t3 ln 2 ln 3

6 ln 212

1,14,2

12

1142

21 11

421042

521

h

521

60 min 15 min

=−

= − = − =−

= = =

= 9 Λ

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0013


Matemática 14

14 (UERJ) Em uma cidade, a população que vive nossubúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira,porém, cresce 2% a.a., enquanto a segunda cresce15% a.a.Admita que essas taxas de crescimento permaneçam cons-tantes nos próximos anos.a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios

hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule onúmero de habitantes das favelas daqui a um ano.

b) Essas duas populações serão iguais após determinadotempo t, medido em anos.

Se t

1log x

= , determine o valor de x.

15 (UFPel-RS) Um dos motivos que levam as pessoas aenfrentar o problema do desemprego é a busca, por partedas empresas, de mão-de-obra qualificada, dispensandofuncionários não habilitados e pagando a indenização aque têm direito.Um funcionário que vivenciou tal problema recebeu umaindenização de R$ 57 000,00 em três parcelas, em que a

razão da primeira para a segunda é

45

e a razão da segun-

da para a terceira,

612

.

Dados:log 1,06 = 0,0253log 1,01 = 0,0043

Com base no texto e em seus conhecimentos, determine:a) o valor de cada parcela;b) o tempo necessário para que o funcionário aplique

o valor da primeira parcela, a juro composto, a umataxa de 1% a.m., para acumular um montante deR$ 12 738,00;

c) a taxa mensal que deve ser aplicada, a juro simples, àsegunda parcela, para que o funcionário, no final de2 anos, obtenha o montante de R$ 25 800,00.

a) Primeira parcela: p1

Segunda parcela: p2

Terceira parcela: p3

p1 0 p

2 0 p

3 = 57 000 �

a) x 0 10x = 12 100 00011x = 12 100 000x = 1 100 000Logo:1 100 000 9 1,15 = 1 265 000 habitantes

b) Em t anos as populações serão:• subúrbios = 10x 9 1,02t

• favelas = x 9 1,15t

10x 9 1,02t = x 9 1,15t

10 9 1,02t = 1,15t

log (10 9 1,02t) = log (1,15t)1 0 t 9 log 1,02 = t 9 log 1,15

1 = t 9 log 1,151,02

t1

log 1,127=

x = 1,127 ano

13 (UFES) Um pesquisador constata que, em um dadoinstante, existem 400 tartarugas da espécie A e 200 tarta-rugas da espécie B em uma reserva marinha. Nessa reser-va, a população de tartarugas da espécie A diminui a umataxa de 20% a.a., enquanto a população da espécie B au-menta a uma taxa de 10% a.a.Determine, usando duas casas decimais, quanto tempo énecessário, a partir desse instante, para que as populaçõessejam iguais. (Considere: log 11 = 1,04 e log 2 = 0,30.)

Pelos dados, vem:400(0,8)t = 200(1,1)t → 2(0,8)t = (1,1)t

Aplicando logaritmo decimal em ambos os membros, vem:log 2(0,8)t = log (1,1)t

log 2 0 log (0,8)t = t 9 log 1,1log 2 0 t 9 log (0,8) = t 9 log 1,1

log 2 t log

810

t log 1110

0 9 = 9

log 2 0 t(log 8 − log 10) = t(log 11 − log 10)log 2 0 t(3 log 2 − log 10) = t(log 11 − log 10)Substituindo os valores dos logaritmos, vem:0,30 0 t(3 9 0,3 − 1) = t(1,04 − 1)0,30 − t 9 0,1 = t 9 0,04t(0,04 0 0,1) = 0,30

t0, 300,14

=

t

157

anos=

ou seja, 2 anos e 17

ano ou 2 anos, 1 mês e 21 dias aproximadamente.

De �: p

4p

51

2=

De �: p3 = 2p2

Substituindo � e � em �, temos:

4p

52

0 p2 0 2p2 = 57 000

4p2 0 5p

2 0 10p

2 = 285 000

19p2 = 285 000p

2 = 15 000

Logo: p1 = R$ 12 000,00p2 = R$ 15 000,00p

3 = R$ 30 000,00

b) M = C(1 0 i)t

12 738 = 12 000(1 0 0,01)t

1,06 = 1,01t

log 1,06 = log 1,01t

log 1,06 = t 9 log 1,010,0253 = t 9 0,0043t Λ 5,88 mesesPortanto, aproximadamente 6 meses.

c) J = M − CJ = 25 800 − 15 000J = 10 800 ou R$ 10 800,00Daí, temos:

J

C i t

100=

9 9

10 800

15 000 i 24100

=9 9

i = 3% a.m.

p

p45

1

2

=

p

p6

122

3

=� e �

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0014


Matemática15

16 (UFAL) Resolva, no universo ς, a equaçãolog3 x 0 log3 (x 0 2) = 1.

x1 = 1x

2 = −3 (não serve)

Ι x . −2

Resolvendo a equação, temos:log3 x(x 0 2) = 1x(x 0 2) = 31

x2 0 2x = 3

x2 0 2x − 3 = 0

Da equação, devemos ter:

x . 0x 0 2 . 0 Θ x . −2

a) Com x − 2 . 0 e x 0 2 . 0, isto é, com x . 2, temos:log (x − 2) 0 log (x 0 2) = 2log [(x − 2)(x 0 2)] = log 100log (x2 − 4) = log 100x2 − 4 = 100x2 = 104

x ou x= = −2 26 2 26Com a condição x . 2, temos

x = 2 26 .

b) Com x . 0 e log x = t(10t = x), temos:xlog x = 100x Θ (10t)t = 102 9 10t

10 102 2t t= 0

t2 = 2 0 tt2 − t − 2 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:t = 2 ou t = −1t = 2 Θ x = 102 Θ x = 100

t = −1 Θ x = 10−1 Θ x = 1

10

18 (FGV-SP)a) Resolva a equação log (x − 2) 0 log (x 0 2) = 2.b) Quais as raízes da equação xlog x = 100x?

12

3

17 (IBMEC-SP) Zé Munheca e João Gastão são dois ir-mãos que têm hábitos bem diferentes quando se trata dedinheiro. Zé Munheca, sempre muito econômico e atentoaos melhores investimentos, consegue duplicar, num prazode 2 anos, qualquer capital que lhe seja disponibilizado.Já João Gastão, muito esbanjador, não consegue contro-lar seus gastos, vendo seu dinheiro se reduzir à metade acada 3 anos.Ciente disso, seu pai, antes de morrer, não dividiu igual-mente sua fortuna entre os dois filhos: reservou a JoãoGastão uma quantia igual a 1 024 vezes à quantia dada aZé Munheca.Considere em seus cálculos apenas o dinheiro que os ir-mãos herdaram de seu pai.a) Quanto tempo depois de receberem suas partes na he-

rança os dois irmãos terão a mesma quantia em di-nheiro?

b) Quanto tempo depois de receber sua parte na herança,aproximadamente, Zé Munheca terá uma quantia iguala 5 vezes à quantia de João Gastão? Se necessário, uti-lize log 2 = 0,30.

a) Sendo t o tempo em anos (t = 0 hoje, t = 1 daqui a um ano etc.),podemos escrever:

Para Zé: at = x 9 2

t2

Para João: bt = 1 024 9 x 9

12

t3

at = bt Θ x 9 2t2 = 1 024 9 x 9

12

t3

Θ 2 2 2

t2

t3 109 = Θ 2

5t6 = 210

t = 12 anos

b) at = 5b

t

x 9 2t2 = 5 9 1 024 9 x 9

12

t3

25t6 = 10 9 512

log 25

6

t = log 10 0 log 29

56t

9 log 2 = 1 0 9 log 2

56t

9 0,30 = 1 0 9 9 0,30

t = 14,8 anos

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0115


Matemática 16

colog3 [log5 (log2 2125)]

−log3 [log

5 (log

2 2125)]

−log3 [log5 (125 9 log2 2)]−log3 [log5 125]−log

3 [3 log

5 5]

−log3 3 = −1

20 (Fafi-BH) O valor de colog3 [log5 (log2 2125)] é:

a) 0 b) −1 c) 2 d) 3 e) 1X

19 (UEM-PR) Sobre logaritmos e exponenciais, assi-nale o que for correto.

(01) Se

110

1

10

x y

. , então x . y.

(02) Se log4 3 = a e log3 7 = b, então log2 21 = 2a(1 0 b).

(04) Se log15 3 = c, então log 15

11 c5 =

−.

(08) Se (2x)x 0 1 = 64, então a soma dos valores de x quesatisfazem essa equação é igual a 5.

(16) A função f definida por f(x) 2

x

= ( ) , x 7 ς, é cres-

cente.(32) Para analisar fraturas em construções, usam-se

raios X. Quando os raios penetram no concreto, a suaintensidade é reduzida em 10% a cada 20 cm percorri-dos no concreto. A profundidade d em que a intensi-dade dos raios será de 0,09% da intensidade inicial é

d 20

log (0, 0009)

log (0, 9)= .

21 (UFRJ) Sendo x e y números reais e y ϑ 0, expresseo logaritmo de 3x na base 2y em função de x, y e log2 3.

log 3log 3

log 2

x log 3

y log 2

x log 3

y2x 2

x

2y

2

2

2y = = =

01. Incorreto

110

1

10

x y

. Θ x , y

02. Correto

log 3 log 3

log 4 a

log 3

2 log 3 2a4

2

2

22= = =→ →

log 7 log 7

log 3 b

log 7

2a log 7 2ab3

2

2

22= = =→ →

Portanto:log2 21 = log2 (7 9 3) = log2 7 0 log2 3 = 2ab 0 2a = 2a(b 0 1)

04. Correto

log 3 c log 3

log 15 c

log 3

log 5 log 3 c15

5

5

5

5 5

= =0

=→ →

log 3

1 log 35

50= c Θ log5 3 − c log5 3 = c Θ log5 3 9 (1 − c) = c

log 3

c1 c5 =

−Daí, vem:

log5 15 = log

5 (5 9 3) = log

5 5 0 log

5 3 = 1 0

c1 c

1

1 c−=

−

08. Incorreto

(2x)x 0 1 = 64 Θ 2x2 0 x = 26

x2 0 x = 6

x2 0 x − 6 = 0

A soma é igual a:S = 2 − 3 = −1

16. Correto

Como a base 2 é maior que 1, a função f(x) 2

x= ( ) é crescente.

32. CorretoA intensidade I em função da profundidade d é dada por:

I I (1 0,1) I I (0, 9)

0

d20

0

d20= − =→

Fazendo I = 0,09% I0, vem:

0,09% I I (0, 9)

0 0

d20=

0 0009, = 0, 9

d20

log 0,0009 log(0,9)

d20=

log 0,0009

d20

log 0,9= 9

d 20 log 0,0009

log 0,9= 9

x’ = 2

x” = −3

Portanto: 2 0 4 0 16 0 32 = 54

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0216

M9Noções de Matemática Financeira

23 Matemática

Caderno de

AtividadesTERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M9

TERCEIRÃO FTDNoções de MatemáticaFinanceira

O faturamento será de 0,9 9 1,20 = 1,08 do faturamento anterior. Logo,aumentou em 8%.

2 (UFPE) Quando o preço da unidade de determinadoproduto diminuiu 10%, o consumo aumentou 20% du-rante certo período. No mesmo período, de que percentualaumentou o faturamento da venda deste produto?a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 30%X

90% do lucro obtido em 2002 é 0,9 9 350 000 = 315 000 (reais).Logo, o lucro em 2003 foi 90% do lucro obtido no ano anterior.

3 (ENEM) As “margarinas” e os chamados “cremes ve-getais” são produtos diferentes, comercializados em em-balagens quase idênticas. O consumidor, para diferenciarum produto do outro, deve ler com atenção os dizeres dorótulo, geralmente em letras muito pequenas. As figurasque seguem representam rótulos desses dois produtos.

As quantidades de lipídios em 200 g de creme vegetal e 200 g de marga-rina são, respectivamente, 35% 9 200 g = 70 g e 65% 9 200 g = 130 g.Uma pessoa que, inadvertidamente, utiliza creme vegetal em vez de mar-

garina estará usando

70 g

130 g7

13 0, 54% 54%= Λ = da quantidade ne-

cessária de lipídios. A melhor aproximação desse resultado é “a metade”.

X

Podemos afirmar que:a) o lucro da empresa em 2003 foi 15% superior ao lucro

de 2001.b) o lucro da empresa em 2005 foi 30% superior ao lucro

de 2001.c) o lucro da empresa em 2004 foi 10% inferior ao de 2002.d) o lucro em 2003 foi 90% do lucro obtido pela empresa

no ano anterior.d) o lucro obtido em 2005 superou em 17% o do ano an-

terior.

X

Uma função dos lipídios no preparo das massas alimentí-cias é torná-las mais macias. Uma pessoa que, pordesatenção, use 200 g de creme vegetal para preparar umamassa cuja receita pede 200 g de margarina, não obterá aconsistência desejada, pois estará utilizando uma quanti-dade de lipídios que é, em relação à recomendada, aproxi-madamente:a) o triplo d) um terçob) o dobro e) um quartoc) a metade

Peso líquido 500 gMARGARINA

65% de lipídios

valor energético por porção de 10 g: 59 kcal

Peso líquido 500 gCREME VEGETAL

35% de lipídios

valor energético por porção de 10 g: 32 kcalNão recomendado para uso culinário

0

500 000reais

300 000 300 000350 000

315 000 340 000405 000

100 000

200 000

400 000

2001 2002 2003 2004 2005ano

1 (FGV-SP) O gráfico abaixo representa os lucros anuais,em reais, de uma empresa ao longo do tempo.

023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:4923

Noções de Matemática FinanceiraM9

24Matemática

Seja x o valor de lançamento.O valor atual é de x 0 4x = 5x, que representa um aumento de 400% emrelação a x.

7 (PUC-RS) O valor de um produto foi acrescido de qua-tro vezes o da época de seu lançamento no mercado. Aporcentagem que o valor atual representa, em relação aopreço inicial, é de:a) 500% b) 450% c) 400% d) 5% e) 4%X


4 (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):(01) Se uma pessoa A pode fazer uma peça em 9 dias de

trabalho e outra pessoa B trabalha com velocidade50% maior do que A, então B faz a mesma peça em 6dias de trabalho.

(02) Uma empresa dispunha de 144 brindes para distri-buir igualmente entre sua equipe de vendedores, mascomo no dia da distribuição faltaram 12 vendedores,a empresa distribuiu os 144 brindes igualmente en-tre os presentes, cabendo a cada vendedor um brindea mais. Logo, estavam presentes 36 vendedores nodia da distribuição.

(04) Se reduzindo o preço x em 20% se obtém y, então ydeve sofrer um acréscimo de 20% para se obter nova-mente x.

(08) A soma de dois números naturais é 29. Então o valormínimo da soma de seus quadrados é 533.

5 (UFPE/UFRPE) A população de pobres de um certo país,em 1981, era de 4 400 000, correspondendo a 22% da popu-lação total. Em 2001, esse número aumentou para5 400 000, correspondendo a 20% da população total. Indi-que a variação percentual da população do país no período.

6 (UFG) Um cliente encomendou 12 centos de quibe e5 centos de empadinha de camarão, cujo custo total erade R$ 305,00. Quando foi pagar a mercadoria, o clientepediu um desconto e o comerciante deu 10% de descontono preço do cento do quibe, mas não deu desconto nocento da empadinha de camarão. Com o desconto dado, ocliente pagou R$ 287,00 pela mercadoria. Calcule:a) o desconto obtido pelo cliente no valor da conta, em

porcentagem;b) o preço pago pelo cliente nos centos do quibe e da

empadinha de camarão.

01. CorretaDias Velocidade

9 vx 1,5v

02. Correta

144x 12

144x

1−

= 0

144x(x 12)

144(x 12) x(x 12)

x(x 12)−=

− 0 −

−

x2 − 12x − 1 728 = 0

Θ

9x

=1, 5v

v Θ x = 6 dias

A população de pobres era igual a:

1981 Θ 4400000

0,22

= 20 000 000

2001 Θ 5 000

0,20400

= 27 000 000

A variação percentual é:

(27000 000

20000 000

20000 000)−= 0,35 ou 35%

a) O desconto d é igual a:305 − d 9 305 = 287305d = 18d Λ 0,06oud Λ 6%

b) Os preços dos centos de quibe q e da empadinha de camarão c satisfa-zem o sistema:

123 , cuja solução é q = 15 e c = 25.12q 0 5c = 30512(0,9)q 0 5c = 287

x1 = 48

x2 = −36 (não serve)

Estavam presentes: 48 − 12 = 36 vendedores.

04. IncorretaSendo x o preço, temos:y = x − 20%x Θ y = x − 0,2x Θ y = 0,8xEstabelecendo uma regra de três, temos:0,8x − 100%

x − aO acréscimo deverá ser de 25%.

08. IncorretaSe x e y são números naturais tais que x 0 y = 29, temos:

x y 72 0 222 = 49 0 484 = 5330 29 82 0 212 = 64 0 441 = 5051 28 92 0 202 = 81 0 400 = 4812 27 102 0 192 = 100 0 361 = 461. . 112 0 182 = 121 0 324 = 445. . 122 0 172 = 144 0 289 = 433. . 132 0 162 = 169 0 256 = 4257 22 142 0 152 = 196 0 225 = 4218 219 20. .. .. .

O valor mínimo de x2 0 y2 não é 533 e sim 421.Portanto: 1 0 2 = 3

→ →

0, 8xx

100a

a 125%= =

Sendo 10% de 15,00 = 0,1 9 15,00 = 1,50, o cliente pagou pelo centodo quibe: 15,00 − 1,50 = R$ 13,50 e R$ 25,00 pelo cento da empadinhade camarão.

023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:4924


25 Matemática

80% da causa: 0,8 9 200 000 = 160 000100% − 15% = 85%: 0,85 9 160 000 = 136 000Ele receberá R$ 136 000,00.

8 (Unesp-SP) Um advogado, contratado por Marcos, con-segue receber 80% de uma causa avaliada em R$ 200 000,00e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. Aquantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a partedo advogado, será de:a) 24 000,00 c) 136 000,00 e) 184 000,00b) 30 000,00 d) 160 000,00

X

9 (MACK-SP) Numa loja, uma caixa com 5 barras dechocolate está à venda com a inscrição “Leve 5, pague 4”.O desconto aplicado ao preço de cada barra corresponde,em porcentagem, a:a) 8 d) 20b) 10 e) 25c) 12,5

10 (UFRJ) No gráfico abaixo, x representa a quantida-de de batatas, em quilogramas, vendidas na barraca de seuCustódio, em um dia de feira, e y representa o valor, emreais, arrecadado com essa venda. A partir das 12 horas, omovimento diminui e o preço do quilograma de batatastambém diminui.

X

Suponhamos que, sem desconto algum, o preço de uma barra seja x reais.Assim, sem desconto, o preço de 5 barras seria 5x reais.Com o desconto, o preço de 5 barras passa para 4x reais.Há, portanto, um desconto de x reais em cada 5x reais.

O desconto é dado por

x5x

15

= , o que corresponde a 20%.

a) Antes das 12 h, a redução é de:

7260

= 1,20 reais/kg

A partir das 12 h, a redução é de:

90 7280 60

1820

−

−= = 0,90 real/kg

a) Calcule a redução percentual do preço do quilogramade batatas a partir das 12 horas.

b) Se o preço não diminuísse, teria sido arrecadado umvalor V na venda de 80 kg.Determine o percentual de V que corresponde à perdacausada pela redução do preço.

x (kg)

y (R$)

60 80

72

90

0

11 (UFSC) Um quadro cujo preço de custo eraR$ 1 200,00 foi vendido por R$ 1 380,00. Justifique se olucro obtido na venda, sobre o preço de custo, foi de 18%.O lucro é de:1 380,00 − 1 200,00 = 180,00A porcentagem do lucro sobre o preço de custo é de:

180 001 200 00

,,

= 0,15 = 15%

A redução percentual é igual a:

1,20 0, 901,20

0, 301,20

−= = 0,25 = 25%

b) A arrecadação com preço inicial de R$ 1,20 é:80 9 1,20 = R$ 96,00Se o valor arrecadado é R$ 90,00, o percentual de perda é:

96 9096

696

−= = 0,0625 = 6,25%

Seja x o preço inicial:x(1 0 0,10)(1 0 0,20) = x 9 1,1 9 1,2 = 1,32x = x(1 0 0,32)Sofreu um aumento total de 32%.

12 (UFOP-MG) O preço de uma mercadoria sofreu doisaumentos sucessivos, de 10% e 20%. De quantos por cen-to foi o aumento total dessa mercadoria?a) 30% b) 32% c) 25% d) 22% e) 12%X

13 (PUC-SP) Em uma indústria é fabricado certo pro-duto ao custo de R$ 9,00 a unidade. O proprietário anun-cia a venda desse produto ao preço unitário de x reais,para que possa, ainda que dando ao comprador um des-conto de 10% sobre o preço anunciado, obter um lucro de40% sobre o preço unitário de custo. Nessas condições, ovalor de x é:a) 24 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12Do enunciado, o preço de venda é 0,9 9 x, e o lucro é de 0,4 9 9.Logo:0,9x = 9 0 0,4 9 90,9x = 12,6

x = 14

X

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26Matemática

14 (Fatec-SP) Em certo aparelho eletrônico, 20% docusto total corresponde a componentes importados.Se o preço desses componentes sofrer um acréscimo de20%, e o preço dos demais sofrer um acréscimo de 10%, ocusto total do aparelho será acrescido de:a) 30% b) 20% c) 12% d) 10% e) 8%

15 (UFES) Em uma safra, um produtor de morangostem um custo de R$ 0,50 por caixa produzida, relativo asementes, defensivos agrícolas, embalagens etc., além deuma despesa fixa de R$ 1 500,00, relativa ao aluguel doterreno onde produz, ao maquinário e aos salários deempregados. Nessa safra:a) quantas caixas de morangos poderiam ser produzidas

aplicando-se R$ 15 000,00?b) se forem produzidas 50 000 caixas, qual deverá ser o

preço de venda de cada caixa para se obter um lucrototal de R$ 10 000,00?

16 (FGV-SP)a) Um televisor, cujo preço à vista é R$ 1 000,00, está sen-

do vendido, a prazo, em 3 parcelas mensais, sucessivase iguais a R$ 350,00, sem entrada.João Augusto tem R$ 1 000,00 aplicados à taxa de2% a.m., pelo critério de juro composto, mas preferiucomprar o televisor a prazo. “Levo o televisor sem gas-tar nada agora e, ainda, mantenho o dinheiro aplicado.Pagarei as parcelas com retiradas mensais da aplica-ção”, pensou ele.João Augusto raciocinou corretamente? Haverá dinhei-ro suficiente na aplicação para saldar a última parcelado financiamento?

b) Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir,como entrada, 20% do valor à vista da mercadoria e orestante a ser liquidado no final de 3 meses. Nesse caso,o saldo devedor é acrescido de 10% do valor à vista damercadoria, a título de “despesas administrativas”.Qual é a taxa anual de juros simples cobrada por essaloja?

17 (UESPI) Um investidor aplicou 30% do seu capitala juro simples de 1,5% a.m., durante um ano. O restantefoi aplicado a juro simples, durante um ano, à taxa de2% a.m. Se o total de juros recebidos foi R$ 1 776,00, qualera o capital do investidor?a) R$ 5 000,00 d) R$ 8 000,00b) R$ 6 000,00 e) R$ 9 000,00c) R$ 7 000,00

X

Seja c o custo total do aparelho. A tabela seguinte mostra os custos doscomponentes importados e nacionais antes e depois do acréscimo.

Antes do acréscimo Depois do acréscimo

importados 20%c 1,20 9 20%c

nacionais 80%c 1,10 9 80%c

custo total 100%c 1,20 9 20%c 0 1,10 9 80%c

O custo total, após o acréscimo, passou a ser1,20 9 20%c 0 1,10 9 80%c = 0,24c 0 0,88c = 1,12c.Portanto, houve um acréscimo de 12%.

a) A função que representa o custo é:c(x) = 1 500 0 0,50n (sendo n = número de caixas)Aplicando-se R$ 15 000,00, temos:15 000 = 1 500 0 0,50n0,50n = 13 500n = 27 000 caixas

b) Se forem produzidas 50 000 caixas, o custo total de produção será0,50 9 50 000 0 1 500 = R$ 26 500,00. Para obter R$ 10 000,00 delucro, será necessário arrecadar 26 500 0 10 000 = R$ 36 500,00 e,nesse caso, o preço de venda de cada caixa deverá ser36 500 : 50 000 = R$ 0,73.

a) Mês Montante – parcela (em R$)

0 1 000,00

1 1 000,00 9 1,02 − 350,00 = 670,00

2 670,00 9 1,02 − 350,00 = 333,40

3 333,40 9 1,02 − 350,00 = −9,93

Consideramos que a primeira parcela deverá ser paga exatamente ummês após a data da compra, condição que não foi mencionada no enun-ciado.Portanto, João Augusto não raciocinou corretamente, pois não haverádinheiro suficiente na aplicação para saldar a última parcela.

b) Sendo x o valor à vista da mercadoria, o acréscimo sobre o saldo deve-dor 0,8x será igual a 0,1x.

A taxa trimestral de juros é, portanto,

0,1x0, 8x

12, 5%.=

A taxa anual de juro simples é 4 9 12,5% = 50%.

J1 = C1i1t1 Θ J1 = 0,30C 9 0,015 9 12 Θ J1 = 0,054CJ2 = C2i2t2 Θ J2 = 0,70C 9 0,02 9 12 Θ J2 = 0,168CLogo:J1 0 J2 = 1 7760,054C 0 0,168C = 1 7760,222C = 1 776C = R$ 8 000,00

X

023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:5026


27 Matemática

18 (UFLA-MG) João fez um empréstimo de R$ 2 000,00a juro de 5% a.m., incorporado mensalmente ao montan-te da dívida. Um mês depois João pagou R$ 500,00 e, doismeses após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual ovalor do último pagamento?Após 1 mês João devia:2 000 9 1,05 = R$ 2 100,00Pagou R$ 500,00, logo ficou devendo:2 100 − 500 = R$ 1 600,00Após 1 mês:1 600 9 1,05 = R$ 1 680,00Após 2 meses:1 680 9 1,05 = R$ 1 764,00Para liquidar o débito, João pagou R$ 1 764,00.

19 (UEM-PR) A taxa de juros de uma aplicação finan-ceira é de 2% a.m.; aplicando-se R$ 100,00 a essa taxa, éincorreto afirmar que:a) após 5 meses, haverá R$ 110,00.b) após 3 meses, haverá mais que R$ 106,00.c) depois de um mês, haverá R$ 102,00.d) se, no final de cada mês, forem retirados R$ 2,00, após

6 meses o máximo que poderá ser sacado será R$ 102,00.e) após 4 meses, o capital inicial terá sofrido um acrésci-

mo de mais de 8%.

X

a) IncorretoM = C(1 0 i)t

M = 100 9 (1 0 0,02)5

M = 100 9 1,025

M = R$ 110,40b) Correto

M = C(1 0 i)t Θ M = 100 9 (1 0 0,02)3 Θ M = R$ 106,12c) Correto

M = 100(1,02)1 Θ M = R$ 102,00d) Correto

Mês Montante (R$) Saldo (−R$ 2,00)

1 102,00 100,00

2 102,00 100,00

3 102,00 100,00

4 102,00 100,00

5 102,00 100,00

6 102,00

e) CorretoM = 100 9 1,024 Θ M = 108,24O acréscimo é de:

108 24100

,= 1,0824 Θ 8,24%

Investindo um capital x, a 7% de juros mensais, após t (meses) teremos:x 9 (1,07)t

O tempo para que o capital dobre é igual a:

20 (IBMEC) Investindo-se um capital a uma taxa dejuros mensais de 7%, em regime de capitalização com-posta, em quanto tempo o capital inicial dobrará?Considere: log 2 = 0,3; log 1,07 = 0,03.a) 10 meses c) 12 meses e) 14 mesesb) 11 meses d) 13 meses

X

x 2x9 = = = =( , ) loglog

log ,,,,

1 07 22

1 070 30 031 07

t t→

t = 10 meses

21 (UFMT) O senhor Silva planejou passar, com suafamília, as festas natalinas no Pantanal de Mato Grossoem uma pousada que cobra uma diária de R$ 450,00, in-clusos as refeições e os passeios turísticos. Fez uma reser-va por 7 dias, devendo efetuar o pagamento antecipado nodia 4/12/2003. Visando não sobrecarregar o orçamento domês de dezembro, decidiu poupar de duas maneiras:1. depositar R$ 2 000,00 no dia 3/1/2003, em uma aplica-

ção especial com taxa de juro composto de 1,5% a.m., aserem resgatados somente em 3/12/2003;

2. acumular bônus pelas compras efetuadas no cartão decrédito, podendo resgatá-los, em 3/12/2003, na formade duas diárias.

A partir dessas informações, é possível afirmar que o mon-tante reservado pelo senhor Silva com essas maneiras depoupar será:

Admita: (1,015)11 = 1,18.

a) suficiente para pagar a reserva mas não lhe sobrará paragastos extras.

b) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarãoR$ 225,00 para gastos extras.

c) insuficiente e lhe faltarão R$ 110,00.d) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão

R$ 110,00 para gastos extras.e) insuficiente e lhe faltarão R$ 225,00.

X

Pelos dados, temos:1. aplicação de R$ 2 000,00 em 11 meses a juro composto de 1,5% a.m.

M = 2 000 9 (1,015)11

M = 2 000 9 1,18M = R$ 2 360,00

2. 2 diárias Θ 2 9 450,00 = R$ 900,00Valor da viagem: 7 9 450,00 = R$ 3 150,00Valor obtido pela poupança: 2 360,00 0 900,00 = R$ 3 260,00Logo, sobrarão:3 260,00 − 3 150,00 = R$ 110,00

023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:5027


28Matemática

25 (UFV-MG) Uma pessoa deposita uma quantia em di-nheiro na caderneta de poupança. Sabendo-se que o mon-tante na conta, após t meses, é dado por M(t) = C 9 20,01t, emque C é uma constante positiva, o tempo mínimo para dupli-car a quantia depositada é:a) 6 anos e 8 meses d) 9 anos e 3 mesesb) 7 anos e 6 meses e) 10 anos e 2 mesesc) 8 anos e 4 meses

Para duplicar a quantia depositada devemos ter:

C 9 20,01 9 t = 2 9 C Θ 0,01 9 t = 1 Θ t = 100 meses = 8 anos e 4 meses

22 (FGV-SP) Uma aplicação financeira rende juro de10% a.a., composto anualmente. Utilizando para os cál-culos as aproximações fornecidas na tabela, pode-se esti-mar que uma aplicação de R$ 1 000,00 seria resgatada nomontante de R$ 1 000 000,00 após:

23 (UFRJ) O senhor Feliciano contraiu, em um banco,um empréstimo de R$ 10 000,00 com juro de 3% a.m., ouseja, o saldo devedor é recalculado, a cada mês, acrescen-tando-se 3% ao antigo. Começou a pagar a dívida exata-mente um mês após tê-la contraído. Pagou, religiosamen-te, R$ 250,00 por mês, durante 10 anos.a) Calcule o saldo devedor após o primeiro pagamento.b) Indique, das opções a seguir, a que representa a situa-

ção do senhor Feliciano decorridos os 10 anos.I. A dívida foi quitada.

II. O senhor Feliciano deve ao banco menos deR$ 10 000,00.

III. O senhor Feliciano deve ao banco algo entreR$ 10 000,00 e R$ 16 000,00.

IV. O senhor Feliciano deve ao banco mais deR$ 16 000,00.

V. O banco deve dinheiro ao senhor Feliciano.

24 (Fuvest-SP) João, Maria e Antônia tinham, juntos,R$ 100 000,00. Cada um deles investiu sua parte por umano, com juro de 10% a.a. Depois de creditados seus jurosno final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11 000,00 maiso dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os trêsreinvestiram seus capitais, ainda com juro de 10% a.a.Depois de creditados os juros de cada um no final dessesegundo ano, o novo capital de Antônia era igual à somados novos capitais de Maria e João. Qual era o capital ini-cial de João?a) R$ 20 000,00 d) R$ 26 000,00b) R$ 22 000,00 e) R$ 28 000,00c) R$ 24 000,00

X

O montante resultante de uma aplicação de R$ 1 000,00 a juro de 10% a.a.,composto anualmente, durante t anos, é dado por:M = 1 000 9 (1 0 10%)t

Dessa forma:1 000 9 (1 0 0,10)t = 1 000 000 Θ 1,10t = 1 000

log 1,10t = log 1 000 Θ t 9 log 1110

= 3

t 9 (log 11 − log 10) = 3 Θ t 9 (1,04 − 1) = 3

t 3

0, 0434

100= = 9 anos

Portanto, t

34

= de século.

a) mais de 1 século d)

23

de século

b) 1 século e)

34

de século

c)

45

de século

x log x

2 0,30

5 0,70

11 1,04

a) O saldo devedor após o pagamento da primeira parcela é:S = 10 000 9 1,03 − 250 Θ S = R$ 10 050,00

b) O saldo devedor do senhor Feliciano crescerá mais do que R$ 50,00, acada mês. Em 10 anos, a dívida será superior a10 000 0 50 9 120 = R$ 16 000,00.Portanto, a opção IV é a correta. O senhor Feliciano deve ao bancomais de R$ 16 000,00.

X

Sejam j, m e a os capitais iniciais, em reais, de João, Maria e Antônia,respectivamente.Inicialmente, de acordo com o enunciado, tem-se:j 0 m 0 a = 100 000Após um ano, tem-se:1,1a = 11 000 0 2,2jE após dois anos, tem-se:1,21a = 1,21j 0 1,21m Θ a = j 0 mAssim:a 0 a = 100 000 Θ a = 50 000Portanto:1,1 9 50 000 = 11 000 0 2,2j Θ j = 20 000

X

X

023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:5028

Progressões

29 Matemática

M10TERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M10

TERCEIRÃO FTDProgressões

a) an = n − 3a

1 = 1 − 3 = −2

a2 = 2 − 3 = −1 (não satisfaz)

b) an = 2n2 − 4na

1 = 2 9 12 − 4 9 1 = −2

a2 = 2 9 22 − 4 9 2 = 0 (não satisfaz)

c) an = 4n − 6a

1 = 4 9 1 − 6 = −2

a2 = 4 9 2 − 6 = 2a3 = 4 9 3 − 6 = 6 (não satisfaz)

d) an = 3n2 − 5n

a1 = 3 9 12 − 5 9 1 = −2a2 = 3 9 22 − 5 9 2 = 2a

3 = 3 9 32 − 5 9 3 = 12

a4 = 3 9 42 − 5 9 4 = 28

e) an = 5n2 − 6 (não satisfaz)Logo, o termo geral é a

n = 3n2 − 5n.

1 (Unifor-CE) Considere a seqüência (an), na qualn 7 Μ − {0} e a1 = −2, a2 = 2, a3 = 12, a4 = 28 etc. Otermo geral dessa seqüência é um dos que estão dadosabaixo. Qual deles?a) an = n − 3 d) an = 3n2 − 5nb) an = 2n2 − 4n e) an = 5n2 − 6c) an = 4n − 6

X

• Os termos da seqüência an = 3n 0 2, 1 < n < 5 (n 7 Μ) são:a1 = 3 9 1 0 2 = 5a

2 = 3 9 2 0 2 = 8

a3 = 3 9 3 0 2 = 11a4 = 3 9 4 0 2 = 14a

5 = 3 9 5 0 2 = 17

• A soma dos termos que são primos é:a1 0 a3 0 a5 = 5 0 11 0 17 = 33

2 (Unifesp-SP) A soma dos termos que são números pri-mos da seqüência cujo termo geral é dado por an = 3n 0 2,para n natural, variando de 1 a 5, é:a) 10 b) 16 c) 28 d) 33 e) 36X

3 (UERN) A seqüência de números positivos(x, x 0 10, x2, ...) é uma PA, cujo 10o termo é:a) 94 b) 95 c) 101 d) 104 e) 105

PA: (5, 15, 25, ...)a1 = 5; r = 10a10 = a1 0 9r = 5 0 9 9 10 Ι a10 = 95

x’ = 5x” = −4 (não convém)

(x, x 0 10, x2, ...) Θ PA de números positivos

( )x

x xx x0 =

0− − =10

220 0

22→

x =

±1 92

a) 597 b) 600 c) 601 d) 604 e) 607

f(0) = 1f(n 0 1) = f(n) 0 3, então f(200) é:

4 (MACK-SP) Se f(n), n 7 Μ, é uma seqüência defini-da por:

12

3

X

Como a1 = f(0); a2 = f(1); a3 = f(2), temos:f(200) = a

201 Θ a

201 = a

1 0 200r

a201 = 1 0 200 9 3 = 601f(200) = 601

f(0) = 1n = 0 Θ f(1) = f(0) 0 3 = 1 0 3 = 4n = 1 Θ f(2) = f(1) 0 3 = 4 0 3 = 7n = 2 Θ f(3) = 7 0 3 = 10

(1, 4, 7, 10, ...) PAa1 = 1r = 3

X

Caderno de

Atividades

029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3729

ProgressõesM10

30Matemática

a3 − a1 = −8a4 0 a2 = −12

X

O 1o termo dessa progressão é:a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

a3 − a1 = −8a4 0 a2 = −12

5 (UFRN) Numa PA de termo geral an, tem-se que

12

31

23 Θ

a1 0 2r − a1 = −8a1 0 3r 0 a1 0 r = −12

12

3 Θ2r = −82r1 0 4r = −12

12

3

2r = −8 Θ r = −4 e 2a1 0 4(−4) = −122a1 = 4a

1 = 2

6 (PUC-SP) Considere as seqüências (1, 4, 7, 10, ..., 67)e (8, 12, 16, 20, ..., 104). O número de termos comuns aessas duas progressões é:a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9X

Admitindo que as duas seqüências são progressões aritméticas, temos:• (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58,

61, 64, 67)e• (8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, ..., 104)

Os termos comuns são: 16, 28, 40, 52 e 64.Assim, o número de termos comuns a essas duas progressões é 5.

7 (UFPE/UFRPE) Nos quilômetros 31 e 229 de uma ro-dovia estão instalados telefones de emergência. Ao longoda mesma rodovia e entre esses quilômetros, pretende-seinstalar 10 outros telefones de emergência. Se os pontosadjacentes de instalação dos telefones estão situados a umamesma distância, qual é essa distância, em quilômetros?

Devemos ter:an = a1 0 (n − 1)r229 = 31 0 (12 − 1)rr = 18Portanto, a distância é igual a 18 km.

8 (Vunesp-SP) Em 5 de junho de 2004, foi inauguradauma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inaugura-ção, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o núme-ro de fregueses que passaram a freqüentar a pizzaria cres-ceu em PA de razão 6, até que atingiu a cota máxima de136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábadosque se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração,para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pelaprimeira vez, foi:a) 15 d) 18b) 16 e) 26c) 17Do enunciado, temos a PA (40, 46, ..., 136), de razão 6.Assim o número n de sábados que se passaram desde a inauguração atéatingir a cota máxima pela primeira vez pode ser obtido por:an = a1 0 (n − 1)r136 = 40 0 (n − 1) 9 6n = 17Excluindo-se o sábado da inauguração, o número de sábados que se pas-saram para que a cota máxima fosse atingida pela primeira vez foi 16.

X

9 (UEL-PR) Interpolando-se sete termos aritméticosentre os números 10 e 98, obtém-se uma PA cujo termocentral é:a) 45 b) 52 c) 54 d) 55 e) 57X

Termo central: a5

a5 = a1 0 4r = 10 0 4 9 11 Ι a5 = 54

7 termos

(10, , 98)

a1 = 10 a1 0 8r = a9

a9 = 98 10 0 8r = 98

n = 9 8r = 88r = ? r = 11

14

24

3

029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3730

Progressões

31 Matemática

M1010 (UFRJ) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinhouma mesada de R$ 300,00 por mês. Riquinho, que é mui-to esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada deR$ 300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia:R$ 1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$ 1,00a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, aofinal do primeiro mês, logo percebeu que havia saído noprejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias,Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesadade R$ 300,00.

Em 30 dias Riquinho receberá:1 0 2 0 3 0 4 0 ... 0 30 (PA de razão 1)A soma desses termos é:

S

a a n

2n

1 n=

0( )

S

(1 30) 30

230=

0 9

S30 = 465ouS

30 = R$ 465,00

Portanto, Riquinho receberá a mais:465 − 300 = R$ 165,00

11 (Fatec-SP) Dois viajantes partem juntos, a pé, deuma cidade A para uma cidade B, por uma mesma estra-da. O primeiro anda 12 quilômetros por dia. O segundoanda 10 quilômetros no 1o dia e daí acelera o passo, emmeio quilômetro a cada dia que segue.Nessas condições, é verdade que o segundo:a) alcançará o primeiro no 9o dia.b) alcançará o primeiro no 5o dia.c) nunca alcançará o primeiro.d) alcançará o primeiro antes de 8 dias.e) alcançará o primeiro no 11o dia.• O primeiro viajante anda 12 km por dia. Ao final de n dias, terá andado

(12n) km.• O segundo viajante anda, por dia, distâncias que, em km, são termos

da PA (10; 10,5; 11; ...; an; ...), em quea

n = 10 0 (n − 1) 9 0,5 Θ a

n = 0,5n 0 9,5

Ao final de n dias, terá andado:

(10 0, 5n 9, 5)n

219, 5n 0, 5n

2

20 0=

0

• O segundo alcançará o primeiro quando

19, 5n 0, 5n2

20= 12n Θ 0,5n2 − 4,5n = 0 Θ n = 9, pois n . 0.

X

12 (UFMA) Chicão, professor do DEMAT/UFMA, com-prou um computador e contraiu uma dívida no valor deR$ 4 200,00, que deverá ser paga em 24 prestações men-sais em PA. Após o pagamento de 18 prestações, há umsaldo devedor de R$ 1 590,00. Qual o valor da primeiraprestação?

S

a a 24

224

1 24=

0 9( ) Θ 4 200 = 12(a

1 0 a

24) Θ a

1 0 a

24 = 350

S

a a 18

218

1 18=

0 9( )Θ 4 200 − 1 590 = 9(a1 0 a18) Θ a1 0 a18 = 290

Daí, vem:

a

a

1

1

a 23r 350 2a 23r 350

a 17r 290 2a 17r 290

6r 60r = 10

1 1

1

1

0 0 = 0 =

0 0 =0 =

=

→

Logo:2a

1 0 23r = 350 Θ 2a

1 0 230 = 350 Θ a

1 = 60

A primeira prestação é igual a R$ 60,00.

13 (Vunesp-SP) Uma pessoa resolve caminhar todos osfinais de tarde. No 1o dia de caminhada, ela percorre umadistância de x metros. No 2o dia, ela caminha o dobro doque caminhou no 1o dia; no 3o dia, caminha o triplo doque caminhou no 1o dia, e assim por diante. Consideran-do o período do 1o ao 25o dia, ininterruptos, ela caminhouum total de 243 750 metros.a) Encontre a distância x percorrida no 1o dia.b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30o dia.

Do enunciado, temos a PA: (x, 2x, 3x, ...)a) a

1 = x, a

25 = 25x e S

25 = 243 750

S

a a

2

(x 25x)25

2243 75025

1 25 =

0 0=

( )→

25 Θ x = 750 m

b) No 30o dia, ela terá percorrido:a30 = 30x Θ a30 = 30(750) = 22 500 m

−

029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3831

ProgressõesM10

32Matemática

14 (Unemat-MT) Um condomínio residencial, recém-inaugurado, apresentou um consumo de água de 2 500 L(litros) em seu primeiro dia. No primeiro mês de funcio-namento, ocorreu um aumento diário de 115 L. Podemosafirmar:1 O consumo de água no 23o dia foi de 5 100 L.2 O consumo total desse mês, com 31 dias, foi de 130 975 L.3 O consumo médio diário foi de 4 275 L.4 No 10o dia do mês o consumo foi de 3 535 L.

1. FalsoA PA é: (2 500, 2 615, 2 730, ...)a23 = a1 0 22r Θ a23 = 2 500 0 22 9 115 Θ a23 = 5 030 L

2. Verdadeiroa31 = a1 0 30r Θ a31 = 2 500 0 30 9 115 Θ a31 = 5 950 L

S

a a n

2 S

(2 500 5 950) 31

231

1 31

31

=

0=

0 9( )→ Θ

S31 = 130 975 L

3. FalsoO consumo médio foi de:130 975 : 31 = 4 225 L

4. Verdadeiroa

10 = a

1 0 9r Θ a

10 = 2 500 0 9 9 115 Θ a

10 = 3 535 L

15 (UFG) Deseja-se pintar com tintas de cores preta eamarela, alternadamente, um disco no qual estão marca-dos círculos concêntricos, cujos raios estão em PA de ra-zão 1 m. Pinta-se no primeiro dia o círculo central do dis-co, de raio 1 m, usando 0,5 L de tinta preta. Nos dias se-guintes, pinta-se a região delimitada pela circunferênciaseguinte ao círculo pintado no dia anterior. Se a tinta usa-da, não importando a cor, tem sempre o mesmo rendi-mento, a quantidade total de tinta amarela gasta até o21o dia, em litros, será de:a) 100,0 d) 199,5b) 105,0 e) 220,5c) 115,5

O círculo central pintado de preto tem área igual a:P1 = πR2 Θ P1 = π 9 12 Θ P1 = π m2

Para pintar π m2 gasta-se 0,5 L de tinta.

X

1 1 1 1

A2

A1

P

P

A primeira coroa circular pintada de amarelo tem área igual a:A1 = π 9 22 − π 9 12 Θ A1 = 3π m2

Para pintar 3π m2 gasta-se 3 9 0,5 = 1,5 L de tinta.A segunda coroa circular pintada de amarelo tem área igual a:A2 = π 9 42 − π 9 32 Θ A2 = 7π m2

Para pintar 7π m2 gastam-se 7 9 0,5 = 3,5 L de tinta.Para a terceira coroa circular pintada de amarelo, temos:A3 = π 9 62 − π 9 52 Θ A3 = 11π m2

Gastam-se 11 9 0,5 = 5,5 L de tinta.Assim, temos a PA:

1,5; 3,5; 5,5; ...; ––––↓ ↓ ↓ ↓

2o dia 4o dia 6o dia 20o diaDurante 10 dias ele usou tinta amarela.Assim, temos:a

10 = a

1 0 (n − 1)r Θ a

10 = 1,5 0 (10 − 1) 9 2 Θ a

10 = 19,5 L

A quantidade total de tinta amarela gasta é igual a:

S

a a n

2 S

(1, 5 19, 5) 10

2 S 105 Ln

1 n

10 10=

0=

0 9=

( )→ →

16 (UENF-RJ) Dois corredores vão se preparar para par-ticipar de uma maratona. Um deles começará correndo8 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distân-cia em 2 km; o outro correrá 17 km no primeiro dia eaumentará, a cada dia, essa distância em 1 km. A prepara-ção será encerrada no dia em que eles percorrerem, emquilômetros, a mesma distância.Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serãopercorridas pelos dois corredores durante todos os diasdo período de preparação.

an

1442443

8 0 (n − 1) 9 2 = 17 0 (n − 1) 9 1 → n = 10Portanto, no 10o dia.

• Distância percorrida pelo corredor 1:

S km

10

8 26 10

2170=

0 9=

( )

• Distância percorrida pelo corredor 2:

S km'

( )10

17 26 10

2215=

0 9=

Logo, a soma das distâncias será:S10 0 Sδ10 = 170 0 215 = 385 km

• Corredor 1: (8 km, 10 km, 12 km, ...) PA de razão 2 e a1 = 8Corredor 2: (17 km, 18 km, 19 km, ...) PA de razão 1 e b

1 = 17

Para que a preparação seja encerrada, devemos ter:bn

144424443

029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3832

Progressões

33 Matemática

M10

21 (PUC-SP) Numa PG, a diferença entre o 2o e o 1o

termo é 9 e a diferença entre o 5o e o 4o termo é 576.O 1o termo da progressão é:a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9X

� : � Θ q3 = 64 Ι q = 4Substituindo em �, vem: a

1(4 − 1) = 9 Ι a

1 = 3.

a2 − a1 = 9a5 − a4 = 576

12

3

a1q − a1 = 9a

1q4 − a

1q3 = 576

12

3 Θa1(q − 1) = 9 �

a1q3(q − 1) = 576 �

12

3

a) A quantidade de tábuas na pilha, em função do número de vezes em quese repetiu a operação descrita, é dada pela seqüência (a

n) = (1, 2, 4, 8, ...),

uma PG de razão 2.Após a nona operação, a quantidade de tábuas na pilha é a

9 = 1 9 28 = 256.

b) A altura da pilha será de 256 9 0,5 = 128 cm = 1,28 m.

Determine, ao final de 9 dessas operações:a) quantas tábuas terá a pilha;b) a altura, em metros, da pilha.

18 (Unesp-SP) Várias tábuas iguais estão em uma ma-deireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-seuma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeiravez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas jáhouveram sido colocadas anteriormente.

Pilha na 1a vez Pilha na 2a vez Pilha na 3a vez

19 (Unicap-PE) Os números que representam, emgraus, os ângulos internos de um quadrilátero estão emPG de razão 2. Qual o valor, em graus, do menor dos ân-gulos internos?

Sejam ε, ψ, υ e τ os ângulos internos do quadrilátero. Portanto:ε 0 ψ 0 υ 0 τ = 360)

Como (ε, ψ, υ, τ) é PG de razão 2, temos:ε 0 2ε 0 4ε 0 8ε = 360)

15ε = 360) Θ ε = 24)

17 (UFPI) Os números 2, x e (12 0 x) formam nessaordem uma PG. Sendo x um número positivo, podemosafirmar que:a) x = 6 d) x = 24b) x = 10 e) x = 36c) x = 12

Devemos ter:

x2

12 xx

=0

x2 = 24 0 2xx2 − 2x − 24 = 0

X

xδ = 6ouxφ = −4 (não serve)

20 (UDESC) Numa PG, o 3o termo é igual a −4, o

5o termo igual a −1 e o 8o termo é igual a −

18

.

Encontre o 1o e o 2o termos dessa PG. Caso não for possí-vel, justifique.

Do enunciado, temos:a3 = −4 Θ a1q

2 = −4 �a

5 = −1 Θ a

1q4 = −1 �

a8 = −

18

Θ a1q7 =

−

18

�

De � e �, vem:

a q

a q41

1

q4 q

14

q 12

ou q12

12

14 2

2=−

−= = = = −→ → →

Substituindo em �, vem:

q =

12

Θ a1q2 = −4 Θ a

1 9

14

= −4 Θ a1

= −16

q

12

a 141

= − 9→ = −4 Θ a1 = −16

Se q

12

= e a1 = −16, de �, vem:

− 9 = − − = −16

1128

18

18

18

→ (Verdadeiro)

Se q

12

= − e a1 = −16, vem:

− 9 − = −−

−= − = −16

12

18

16128

18

18

18

7

→ → (Falso)

Portanto, na PG

− − − − − − − −16, 4, 2, 1, 12

14

18

...8, , , ,

a1

= −16 e a2

= −8.

029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3833

Trigonometria no Ciclo

37 Matemática

M11TERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M11

TERCEIRÃO FTDTrigonometria no Ciclo1 (EEM-SP) Quantos radianos percorre o ponteiro dashoras de um relógio de 1h 5min até 2h 45min?

Θ x = 2) 30δ Θ y = 22) 30δ

de 1 h p/ 2 h (ponteiro pequeno) = 30)

ε = 30) − x 0 y = 30) − 2) 30δ 0 22) 30δ = 50)

30) 60 minx 5 min

30) 60 miny 45 min

1211 1

10 2

9 3

8 4

76

x

y

5

180) π

50) z → z rad=

π518

2 (UFG) O mostrador do relógio de uma torre é dividi-do em 12 partes iguais (horas), cada uma das quais é sub-dividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o pontei-

ro das horas ( )OB mede 70 cm e o ponteiro dos minutos

( )OA mede 1 m, qual será a distância AB, em função doângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 horae 12 minutos?

3 (UFPA) Aristarco de Samos, matemático que viveu porvolta de 300 a.C., querendo calcular as distâncias relativasda Terra ao Sol e da Terra à Lua, utilizou o seguinte racio-cínio: “No momento em que a Lua se encontra exatamen-te à meia-lua, os três astros formam um triângulo retân-gulo, com a Lua ocupando o vértice do ângulo reto. Sa-bendo a medida do ângulo que a visão da Lua forma com avisão do Sol, será possível determinar a relação entre asdistâncias da Terra à Lua e da Terra ao Sol”.Sabe-se que o ângulo formado pelas direções Terra–Lua eTerra–Sol, na situação de meia-lua, é de, aproximadamen-te, 89,85° e que a distância da Terra à Lua é de, aproxima-damente, 384 000 km. Para ângulos de medidas inferioresa 1° (um grau), uma boa aproximação para o seno doângulo é a medida do mesmo ângulo em radianos.

60 min 30°12 min x

Θ x = 6°

Portanto, med (AÔB) = 36°.

B

AO

B

AO

Aplicando a lei dos cossenos no #AOB:AB2 = OA2 0 OB2 − 2 9 OA 9 OB 9 cos (AÔB)AB2 = 12 0 (0,7)2 − 2 9 1 9 (0,7) 9 cos 36°AB2 = 1,49 − 1,4 cos 36°

AB 1, 49 1, 4 cos 36 m= − °

1 m

36°0,7 m

B

O A

Utilizando esses dados e o raciocínio de Aristarco, pode-seconcluir que a distância da Terra ao Sol é de, aproximada-mente:a) 2 500 000 km d) 147 000 000 kmb) 3 800 000 km e) 7 000 000 000 kmc) 34 600 000 km

Lua Sol

Terra

90°

89,85°

X

180 —— rad0,15 ——

°°

π

ε

• ε =

9 π0,15 180

rad

• sen 0,15

384 000x ° =

0,15 180

384 000x 9 π

=

x180 384 000

0,15

=9

9 π

x Λ 147 000 000 km

384 000km

89,85°

Terra

x

LuaSol

0,15°

Caderno de

Atividades

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3337

Trigonometria no CicloM11

38Matemática

6 (Unesp-SP) Uma máquina produz diariamente x de-zenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de pro-dução c(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximada-mente, em milhares de reais, respectivamente, pelas fun-

ções c (x) 2 cos

x6

e V(x) 3 2 sen= −π

=π

x12

,

0 < x < 6.

O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas depeças é:a) 500 c) 1 000 e) 3 000b) 750 d) 2 000Para x dezenas de certo produto, o lucro em milhares de reais é obtido por:L(x) = V(x) − c(x)

Para x = 3, resulta:

X

L sen( ) cos3 3 2312

23

6= 9 9

9 π− −

9 π

3 24

22

3 222

2 0 3 29 9π

− 0π

= 9 9 − 0 = − =sen

cos 1

Portanto, o lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas dessas pe-ças é 1 000.

7 (IBMEC) Valor monetário de uma ação é dado porV(t) = 120 0 80 cos (t), em que t é um número real positi-vo.De acordo com esse modelo, o valor monetário máximoque essa ação pode assumir é:a) 120 b) 200 c) 80 d) 40 e) 240V(t) = 120 0 80 9 cos (t)Para que o valor monetário seja máximo devemos ter cos (t) = 1, portanto:

Vmáx.

= 120 0 80 9 1 Θ Vmáx.

= 200

X

4 (UFSC) Qualquer que seja o número real x, ele obedeceà relação n < x , n 0 1, sendo n um número inteiro. Diz-seque n é a parte inteira de x e é denotada por E(x) = n.A partir dessa definição de E, calcular y na expressão:

y4E 299 2E log 127 E(sen 233 )

E78

E 2

5=

0 −

0

( ) ( ) °

( )

5 (PUC-SP) Na seqüência do termo geral

an = 5n 0 sen

n 2

9π

, com n 7 Μ*, a soma dos 20

primeiros termos de ordem ímpar é igual a:a) 1 800 d) 2 000b) 1 874 e) 2 024c) 1 896

Sendo:

•

289 299 324 17 299 18 E 299 17, , , , =→ → ( )• log

5 125 , log

5 127 , log

5 625 Θ 3 , log

5 127 , 4 Θ E(log

5 127) = 3

• −1 , sen 233° , 0 Θ E(sen 233°) = −1

•

0 78

1 E78

0, , =→

•

1 2 4 1 2 2 E 2 1, , , , =→ → ( )Então:

y4E 299 2E log 127 E(sen 233 )

E78

E 2

5=

0 −

0

( ) ( ) °

( )

y = 4 9 17 0 2 9 3 − (−1) = 75

X

Os 20 primeiros termos de ordem ímpar da seqüência são:

a1 = 5 9 1 0 sen

1 2

9π

= 5 0 sen

π

2 = 5 0 1

a3 = 5 9 3 0 sen

3 2

9π

= 15 0 sen

3π

2 = 15 − 1

a5 = 5 9 5 0 sen

5 2

9π

= 25 0 sen

5π

2 = 25 0 1

a7 = 5 9 7 0 sen

7 2

9π

= 35 0 sen

7π

2 = 35 − 1

a39

= 5 9 39 0 sen

39 2

9π

= 195 0 sen

39π

2 = 195 − 1

a1 0 a3 0 a5 0 a7 0 ... 0 a39 =

= (5 0 1) 0 (15 − 1) 0 (25 0 1) 0 (35 − 1) 0 ... 0 (195 − 1) =

=0 0 0 0

=0 9

=5 15 25 35 ... 195

Soma dos 20 termosde uma PA finita

(5 195) 20

22 0001 2444444 3444444

M M M M M M

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3338


39 Matemática

M1110 (UEL-PR) O gráfico que representa a função

y: ς Θ ς, y 2 cos 2x 1= 0 é:

X a)

1

2 6−2−40 x

y

2

3

−1−6 4

b)

1

2 6−2−40 x

y

2

3

−1−6 4

c)

1

2 6−2−40 x

y

2

3

−1−6 4

d)

1

26−2

−40 x

y

2

3

−1−6

4

e)

1

π−π 0 x

y

−1

• Gráfico de cos (2x)

• Gráfico de cos (2x)

1

2

π−π 0 x

y

1

π−π 0 x

y

• Gráfico de cos (2x)2

•

1

2

π−π 0 x

y

3

1

2 6−2−40 x

y

2

3

−1−6 4

8 (UEL-PR) Uma bomba-d’água aspira e expira água acada 3 segundos. O volume de água da bomba varia entreum mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre asalternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para ovolume y de água na bomba, em função do tempo t.

a) y = 2 0 2 sen

π

3t

d) y = 3 0 sen

2π

3t

b) y = 2 0 2 sen

23

tπ

e) y = −3 0 2 sen

π

3t

c) y = 3 0 sen

π

3t

9 (FGV-SP) Um supermercado, que fica aberto 24 horaspor dia, faz a contagem do número de clientes na loja acada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-seque o número de clientes possa ser calculado pela função

trigonométrica f(x) = 900 − 800 sen

x12

π

, em que f(x)

é o número de clientes e x, a hora da observação (x é uminteiro tal que 0 < x < 24).Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre onúmero máximo e o número mínimo de clientes dentrodo supermercado, em um dia completo, é igual a:a) 600 d) 1 500b) 800 e) 1 600c) 900

X

Seja V(t) = a 0 sen (bt) o volume de água na bomba, em função do tempo t.• Como −1 < sen a < 1 Θ 2 < 3 0 sen ε < 4.

Como 2 L < V(t) < 4 L Θ a = 3.• Como a bomba aspira e expira água a cada 3 segundos:

Período = 3 Θ

2bπ

= 3 Θ b =

23π

E V(t) = y = 3 0 sen

23

tπ

X

• Número máximo de clientes:

sen x12

1π

= −

sen x12

1x12

32

π= −

π=

π

→ 0 2kp Θ x = 18 0 24k Θ

Θ x = 18 h (0 < x < 24)

f(18) = 900 − 800 sen

1128π

= 900 0 800 = 1 700 clientes

• Número mínimo de clientes: sen

xπ

12

= 1

sen

xπ

12

= 1 Θ

x12 2

π=

π 0 2kπ Θ x = 6 0 24k Θ

Θ x = 6 h (0 < x < 24)

f(6) = 900 − 800 sen

612

π

= 900 − 800 = 100 clientes

Nmáx − Nmín = 1 700 − 100 = 1 600 clientes

Gráfico de cos (2x)y = 02 1

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3439


40Matemática

11 (PUCPR) A figura a seguir mostra parte de uma ondasenoidal que foi isolada para uma pesquisa:

12 (UFPR) Na figura abaixo está representado um pe-

ríodo completo do gráfico da função f(x) 3 sen

x4

=π

.

Para cada ponto B sobre o gráfico de f, fica determinadoum triângulo de vértices O, A e B, como na figura abaixo.Qual é a maior área que um triângulo obtido dessa formapode ter?

X

Seja y = a 0 b sen (cx 0 d) a função pedida.• Pelo gráfico: Im = [−1, 3]

−1 < sen ε < 1 Θ −2 < 2 sen ε < 2 Θ −1 < 1 0 2 sen ε < 3Logo, a = 1 e b = 2.

• O período da função (pelo gráfico) é:

133 3

4π

−π

= π .

2c

4 c12

π= π =→

• y = a 0 b sen (cx 0 d) = 1 0 2 sen

x2

d0

Pelo gráfico, quando x

3=

π, y = 1.

1 0 2 sen

π

0 =32

d 1

Θ 2 sen

π0

6 d

= 0

sen

π0

6 d

= 0 Θ

π

6 0 d = 0 Θ d =

−

π

6

Portanto, y = 1 0 2 sen

x2

6

−π

.

Qual das alternativas melhor representa a equação da ondapara o período apresentado?

a) y = 1 0 2 sen

x2 6

−π

d) y = 1 0 2 sen

x3

b) y = 1 0 2 sen

x2

e) y = 1 0 2 sen

x6

c) y = 1 0 2 sen

x2 3

0π

x

y

π

3

1

−1

3

0 4π

37π

3

10π

3

13π

3

X

• −1 < sen

x4

π< 1 Θ −3 < 3

sen

x4

π< 3

Logo, Im = [−3, 3].

• Período de f(x) =

2

4

π

π = 8

Logo, OA = 8.• A área do triângulo OAB será máxima quando y

B, ordenada do ponto B,

atingir seu maior valor. Portanto:

área máxima =

(OA) (y )

28 3

212B

9=

9=

a) 3π b) 6π c) 8 d) 9 e) 12

0

B

A

13 (Unifesp-SP) Considere as funções dadas por

f(x) sen

x2

=π

e g(x) = ax 0 b, sendo o gráfico de g for-

necido na figura.

O valor de f[g−1(2)] é:

a)

24

b)

12

c)

22

d)

32

e) 1

0

1

gy

x12

−

X

O gráfico da função inversa g−1(x) será uma reta simétrica à reta que re-presenta g(x), em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

1

1

g(x)

y = x

g−1(x)

y

x

12

−

12

−

A função g−1(x) pode ser escrita na forma y = ax 0 b.

Como os pontos (1, 0) e

0, 12

−

pertencem ao gráfico de g−1(x), temos:

(1, 0) Θ 0 = a 9 1 0 b Θ a = −b

0, 12

12

− −

→ = a 9 0 0 b Θ b =

−

12

e a

12

=

Portanto, g−1(x) =

12

x 12

x 12

− =−

g−1(2) =

2 12

12

−=

f

12

sen 4

22

=

π=

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3540


41 Matemática

M1116 (UnB-DF) Estudando-se o fluxo de água em um pon-to do estuário de um rio, determinou-se que a água fluipara o oceano na vazão v, em milhões de litros por hora, emfunção do tempo t, em horas, de acordo com a equação

v(t) = A 0 B sen (wt),

em que A, B e w são constantes reais positivas, e t > 0. Avazão na qual a água do rio flui para o oceano varia porcausa das marés. Na maré baixa, a água flui mais rapida-mente, com vazão máxima de 20 milhões de litros porhora, e, na maré alta, ela flui mais lentamente, com vazãomínima de 4 milhões de litros por hora. Nessa região, otempo entre duas marés altas é igual a 12 horas e 24 mi-nutos. Com base nessas informações, escolha apenas umadas opções a seguir e faça o que se pede.a) Calcule o valor do coeficiente A.b) Calcule o período, em minutos, da função v.c) Determine o valor de t, em minutos, quando

10h < t < 22h, para o qual v(t) é máxima.

14 (Unesp-SP) No hemocentro de um certo hospital, onúmero de doações de sangue tem variado periodicamen-te. Admita que, nesse hospital, no ano de 2001, esse nú-mero, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado,aproximadamente, pela expressão:

S(t) = ι −

− πcos

( )t 1

6

com ι uma constante positiva, S(t) em milhares e t emmeses, 0 < t < 11. Determine:a) a constante ι, sabendo que no mês de fevereiro houve

2 mil doações de sangue;b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue.

15 (ITA-SP) Sejam f e g duas funções definidas por

f(x) e g(x)

= =−

−

212

3 13 12

( )

sen xsen x

, x 7 ς.

A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g éigual a:

a) 0 b) 2 c)

14

d)

12

e) 1X

b) Houve 3 mil doações de sangue quando:

a) Em fevereiro, tem-se t = 1 e

S(1) 1 2 3.= ι −− π

= ι − = ι − = ι =cos( )

cos1 1

60

→

t − 1 = 3 0 6n Θ t = 4 0 6n Θ t = 4 ou t = 10, pois 0 < t < 11

cos( ) ( )

,t t

n n− π

=− π

=π

0 π 7 Β1

60

16 2

→

S(t) = ι −− π

= −− π

=cos( )

cos( )t t1

63

16

3

•

g(x) =

−

12

3 12

sen x

g(x) é mínimo para sen2 x = 1; assim:

• f(x) = =

− −

2 23 1 3 1

2( ) sen x sen x

f(x) é mínimo para sen x = −1; assim:

fmín.

= = =

9 − −

−2 214

3 1 1

2 2( )

gmín.

= = =

9 −12

12

14

3 1 1 2

• A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é: 14

14

12

0 = .

• k = 0 Θ t = 3,1 horas (não convém, pois 10 h < t < 22 h)• k = 1 Θ t = 15,5 horas Θ t = 930 min

a) De acordo com a equação v(t) = A 0 B sen (wt), verifica-se que:

−1 < sen (wt) < 1 Θ A − B < A 0 B sen (wt) < A 0 B4 < A 0 B sen (wt) < 20

A − B = 4A 0 B = 20

Θ A = 12 e B = 8

12

3 Θ

Θ

12

3

b) O período p da função v(t) é o tempo entre duas marés altas, isto é,p = 12 horas e 24 minutos Θ p = 744 min.

c) O período p da função v(t) = 12 0 8 sen (wt) é dado por:

p

w ww=

π π= =

π2 212 4

531

→ →,

Portanto, v(t)

v(t) será máximo quando

= 0π

12 8531

sen t

.

531

t2

2k , k tπ

=π

0 π 7 Β = 0 7 Β→ 3110

625

k k, .

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3641


42Matemática

I. Verdadeira. sen 40) , sen 50)

No 1o quadrante, a função seno éestritamente crescente, portanto40) , 50) Θ sen 40) , sen 50)

17 (Fatec-SP) Sobre as sentenças

I. sen 40) , sen 50)

II. cos 190) . cos 200)

III. tg 60) = tg 240)

é correto afirmar que somente:a) I é verdadeira. d) I e II são verdadeiras.b) II é verdadeira. e) I e III são verdadeiras.c) III é verdadeira.

II. Falsa. cos 190) . cos 200)

No 3o quadrante, a função cossenoé estritamente crescente, portanto190) , 200) Θ cos 190) , cos 200).

X

sen

50)40)

cos190)

200)

III. Verdadeira. tg 60) = tg 240)

tg tg tg240 60 180 60 3) = ) 0 ) = ) =( ) →

60)

tg

240)

18 (Unicamp-SP) Sejam ε, ψ e υ os ângulos internosde um triângulo.a) Mostre que as tangentes desses três ângulos não po-

dem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2.b) Supondo que as tangentes dos três ângulos sejam nú-

meros inteiros positivos, calcule essas tangentes.

b) ε 0 ψ = 180) − υ Θ tg (ε 0 ψ) = −tg υ

Sendo ε, ψ e υ ângulos internos de um triângulo, então:

a) tem-se ε 0 ψ 0 υ = 180) �

E = (sec x − cos x) 9 (cossec x − sen x) 9 (tg x 0 cotg x)

19 (UCDB-MS) Simplificando a expressãoE = (sec x − cos x) 9 (cossec x − sen x) 9 (tg x 0 cotg x),obtém-se:a) E = sen x c) E = tg x e) E = 1b) E = cos x d) E = 0

X

tg ε > 2 Θ ε . 60)

tg ψ > 2 Θ ψ . 60) Θ ε 0 ψ 0 υ . 180)

tg υ > 2 Θ υ . 60)

se

14

24

3

o que contradiz a equação �. Logo, as tangentes dos três ângulos nãopodem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2.

Ex

xsen x

sen xsen x

xx

sen x= − 9 − 9 0

1 1cos

coscos

cos

Ex

xsen x

sen xsen x x

sen x x=

−9

−9

01 12 2 2 2coscos

coscos

Esen x

xx

sen x sen x x= 9 9

9=

2 2 11

coscos

cos

tg ε 0 tg ψ 0 tg υ = tg ε 9 tg ψ 9 tg υ

Supondo as tangentes dos três ângulos números inteiros e positivos eque não podem ser simultaneamente maiores ou iguais a 2, então ne-cessariamente uma delas deve ser igual a 1.Assim sendo, fazendo tg ε = a, tg ψ = b e tg υ = 1,tem-se a 0 b 0 1 = ab Θ ab − a − b = 1a(b − 1) − (b − 1) = 2 Θ (a − 1) 9 (b − 1) = 2(a − 1 = 1 e b − 1 = 2) ou (a − 1 = 2 e b − 1 = 1)(a = 2 e b = 3) ou (a = 3 e b = 2), pois a,

b 7 Β ∗

0.

tg tg

tg tgtg

ε 0 ψ

− ε 9 ψ= − υ

1

20 (UFAM) Sabendo que a seqüência

cos x sen x

22

tg x9 9

é uma PG, nessa ordem, então

todos os valores de x no intervalo [0, 2π] são:

a)

π π

3 ou

23

d) −

π π

6 ou

56

b)

π π

6 ou

36

e)

π π

4 ou

34

c)

43

ou 76

π π

X

Se a seqüência (cos x, sen x, 22

tg x) é uma PG, temos:

sen2 x = cos x 9 22

9 tg x Θ sen2 x = 22

9 sen x Θ sen x = 22

,

supondo sen x ϑ 0.

Para x 7 [0, 2π], x

4 ou x

34

=π

=π

.

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3642

M12Matrizes

Matemática3


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M12

TERCEIRÃO FTDMatrizes Caderno de

Atividades

1 (Unifor-CE) Indica-se por At a transposta de uma ma-triz A. Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se, esomente se, At = −A. Nessas condições, qual das matrizesseguintes é anti-simétrica?

a)

−2 0

0 2

c)

0 2

2 0−

e)

1 1

1 1

−

b)

1 0

0 1

d)

0 1

1 0

X

Examinando cada alternativa:

a)

A At=

−= Ι

2 0

0 2

A não é anti-simétrica.

b)

A At= = Ι

1 0

0 1


c)

A At=

−= − Ι

0 2

2 0

A é anti-simétrica.

d)

A At= = Ι

0 1

1 0


e)

A At=

−ϑ − Ι

1 1

1 1


2 (ESPM-SP) Considere as seguintes matrizes:A = (aij) 5 Ο 3\aij = 2i − j

B = (bij) 3 Ο 7\bij = i 0 j

C = (cij) 5 Ο 7\C = A 9 B

O elemento C23 da matriz C vale:

a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28X

Como C = A 9 B, temos:C23 = a21 9 b13 0 a22 9 b23 0 a23 9 b33

C23 = 3 9 4 0 2 9 5 0 1 9 6

C23

= 28

3 (PUC-RS) Dadas as matrizes

A e= −

− −

4 5 6

1 2 1

3 2 6

B =

−

− −

1 2 5

0 1 1

1 3 0

, a 2a linha da matriz 2AB é:

a) −1 3 2b) 0 4 2c) 0 2 1d) 0 −3 −3e) 0 −6 −6

Seja C = A 9 BOs elementos da 2a linha da matriz C serão:C

21 = (−1) 9 (−1) 0 2 9 0 0 1 9 (−1) = 0

C22 = (−1) 9 2 0 2 9 1 0 1 9 (−3) = −3C23 = (−1) 9 5 0 2 9 1 0 1 9 0 = −3Portanto, a 2a linha da matriz 2AB será:

2 9 0 2 9 (−3) 2 9 (−3) Θ 0 −6 −6123 14243 14243

0 −6 −6

a) M = (mij)2 Ο 3

= =−

m m m

m m m11 12 13

21 22 23

0 3 8

3 0 5

b)

M Mt9 =9 0 9 0 9 9 − 0 9 0 9

− 9 0 9 0 9 − 9 − 0 9 0 9

0 0 3 3 8 8 0 3 3 0 8 53 0 0 3 5 8 3 3 0 0 5 5

( )( ) ( ) ( )

M Mt9 =

73 40

40 34

4 (UFSCar-SP) Seja a matriz M = (mij)2 Ο 3, tal quemij = j2 − i2.a) Escreva M na forma matricial.b) Sendo Mt a matriz transposta de M, calcule o produto

M 9 Mt.

X

001_006_CA_Matem_3 26.09.06, 14:413

MatrizesM12

Matemática 4

6 (UFMT) Uma empresa fabrica três produtos. Suas des-pesas de produção estão divididas em três categorias(Tabela I). Em cada uma dessas categorias, faz-se uma esti-mativa do custo de produção de um único exemplar de cadaproduto. Faz-se, também, uma estimativa da quantidadede cada produto a ser fabricado por estação (Tabela II).

Tabela I

Custo de produção por item (em dólares)

Matéria-prima

Pessoal

Despesas gerais

0,10

0,30

0,10

CategoriasProduto

A B C

0,30

0,40

0,20

0,15

0,25

0,15

As tabelas I e II podem ser representadas, respectivamen-te, pelas matrizes

M e=

0 10 0 30 0 150 30 0 40 0 250 10 0 20 0 15

, , ,, , ,, , ,

P =

4 000 4 500 4 500 4 0002 000 2 600 2 400 2 2005 800 6 200 6 000 6 000

a) Verdadeirob) Verdadeiroc) Falso

O custo com despesas gerais para o outono é representado pelo pro-duto da 3a linha de M pela 2a coluna de P, isto é, o elemento a32 de MP,cujo valor é 1 900 dólares.

A empresa apresenta a seus acionistas uma única tabelamostrando o custo total por estação de cada uma das trêscategorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais.A partir das informações dadas, julgue os itens:a) A tabela apresentada pela empresa a seus acionistas é

representada pela matriz MP de ordem 3 Ο 4.b) Os elementos na 1a linha de MP representam o custo

total de matéria-prima para cada uma das quatroestações.

c) O custo com despesas gerais para o outono será 2 160dólares.

MP = 9

0 10 0 30 0 15

0 30 0 40 0 25

0 10 0 20 0 15

4 000 4 500 4 500 4 000

2 000 2 600 2 400 2 200

5 800 6 200 6 000 6 000

, , ,

, , ,

, , ,

MP =

1 870 2 160 2 070 1 9603 450 3 940 3 810 3 5801 670 1 900 1 830 1 740

A matriz produto M 9 N representa o custo da produção de:a) 1 dia c) 3 dias e) 5 diasb) 2 dias d) 4 dias

5 (Unifesp-SP) Uma indústria farmacêutica produz,diariamente, p unidades do medicamento X e q unidadesdo medicamento Y, ao custo unitário de r e s reais, respec-tivamente. Considere as matrizes M, 1 Ο 2, e N, 2 Ο 1:

M p q e N r

s= =2

2[ ]

X

M N p q rs

pr qs pr qs9 = 9 = 0 9 022

2 2 2[ ]

[ ] = [ ]

Portanto, 2pr 0 2qs = custo da produção de dois dias dessa indústria.

Mas pr 0 qs = custo diário da produção de p unidades de Xe q unidades de Y

custo diáriode p

unidades de X

123 123

custo diáriode q

unidades de Y

Tabela II

Quantidade produzida por estação

A

B

C

4 500

2 600

6 200

ProdutoEstação

Outono Inverno Primavera

4 500

2 400

6 000

4 000

2 200

6 000

4 000

2 000

5 800

Verão

001_006_CA_Matem_3 26.09.06, 14:414

M12Matrizes

Matemática5

•

M2= 9 = 9 = =

9

9 9M M

1 2

2 4

1 2

2 4

5 10

10 20

5 2 5

2 5 4 5

•

M4 = 9 =9

9 99

9

9 9M M2 2 5 2 5

2 5 4 55 2 5

2 5 4 5( ) ( ) ( ) ( )

M4=

9

9 9

5 2 5

2 5 4 5

3 3

3 3

( )

( ) ( )

•

M8= 9 =

9

9 99

9

9 9M M4 4

3 3

3 3

3 3

3 3

5 2 5

2 5 4 5

5 2 5

2 5 4 5

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

M8=

9

9 9

5 2 5

2 5 4 5

7 7

7 7

( )

( ) ( )

•

M10= 9 =

9

9 99

9

9 9M M8 2

7 7

7 7

5 2 5

2 5 4 5

5 2 5

2 5 4 5

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

M10=

9

9 9

5 2 5

2 5 4 5

9 9

9 9

( )

( ) ( )

9 (IBMEC) Seja a matriz M =

1 2

2 4

. Então M10 é

a matriz:

a)

1 2

2 4

d)

5 2 52 5 4 5

10 10

10 10

9

9 9

( )( ) ( )

b)

1 22 4

10

10 10

e)

1 0

0 1

c)

5 2 52 5 4 5

9 9

9 9

9

9 9

( )( ) ( )

X

Sendo M =1 2

2 4

, :temos

10 (UniSantos-SP) A matriz

4 1

7 2

−

−

tem inversa.

Então o elemento a21 da matriz inversa será:a) −7 b) 7 c) −1 d) 1X

Sejam A e Aa b

c d=

−

−=

−4 1

7 21

.

Entãoa b

c d:

−

−9 =

4 1

7 2

1 0

0 1

.

A a− = Ι =121

2 1

7 47

4a − c = 1−7a 0 2c = 0

a = 2c = 7

12

3

4b − d = 0−7b 0 2d = 1

b = 1d = 4

12

3

7 (MACK-SP) No produto de matrizes

0 2

5 1

1 0

0 1−9 =

a b

c d, o valor de bc − ad é:

a) 0 c) −

120

e)

110

b)

150

d) −

15

0 2

5 1

1 0

0 1

2 2

5 5

1 0

0 1−9 =

− −=

→

a b

c d

c d

a c b d

Então:

bc − = 9 − 9 =ad15

12

110

01

10

a) Incorreta(A 0 B)2 = (A 0 B) 9 (A 0 B) = A2 0 AB 0 BA 0 B2 e, em geral, AB ϑ BA.

b) IncorretaEm geral, BC ϑ CB.

c) Incorreta(A 0 B) 9 (A − B) = A2 − AB 0 BA − B2 e, em geral, AB ϑ BA, portanto,−AB 0 BA ϑ 0.

d) CorretaC 9 I = I 9 C = C

e) IncorretaI 9 A = A 9 I = A

8 (FGV-SP) A, B e C são matrizes quadradas de ordem3, e I é a matriz identidade de mesma ordem. Assinale aalternativa correta:a) (A 0 B)2 = A2 0 2AB 0 B2

b) B 9 C = C 9 Bc) (A 0 B) 9 (A − B) = A2 − B2

d) C 9 I = Ce) I 9 A = I

X

X

2c = 1 Θ

c =

12

2d = 0 Θ d = 0

5a − c = 0 Θ 5a = c Θ

a

c= =

51

10

5b − d = 1 Θ 5b = 1 Θ

b =

15

14

44

44

24

44

44

3

Θ Θ

001_006_CA_Matem_3 26.09.06, 14:425

MatrizesM12

Matemática 6

A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gra-mas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pelaingestão daqueles alimentos é:

a)

18 20

36 30

454 20

,

,

,

c)

48 30

36 00

432 40

,

,

,

e)

75 90

21 50

411 00

,

,

,

b)

29 70

16 20

460 20

,

,

,

d)

51 90

48 30

405 60

,

,

,

11 (UEL-PR) Uma nutricionista recomendou aos atle-tas de um time de futebol a ingestão de uma quantidademínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) neces-sária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece aquantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimen-tos. A matriz M fornece a quantidade (em gramas) de pro-teínas, gorduras e carboidratos fornecida por grama inge-rido dos alimentos citados.

X

A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteí-nas, gorduras e carboidratos é dada pelo produto:

M D9 =

0 0

0 0

0 0

=

12 9 9 64 8

0 2 10 5 10 8

16 8 15 6 378 6

75 90

2150

41100

, , ,

, , ,

, , ,

,

,

,

D =

200

300

600

fruta

leite

cereais

M =

0 006 0 033 0 108

0 001 0 035 0 018

0 084 0 052 0 631

, , ,

, , ,

, , ,

proteínas

gorduras

carboidratos

fruta leite cereais

Analisando a matriz, podemos afirmar que a loja L1 vendeu 30 produtos P1

e 15 produtos P2. A soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2

vendidos pela loja L1 é, portanto, 30 0 15 = 45.

Analisando a matriz, podemos afirmar que:a) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja

L2 é 11.b) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja

L3 é 30.c) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendi-

dos pelas três lojas é 40.d) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendi-

dos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3 é 52.e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2

vendidos pela loja L1 é 45.

12 (Unesp-SP) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e trêstipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve aquantidade de cada produto vendido por cada loja na pri-meira semana de dezembro. Cada elemento aij da matrizindica a quantidade do produto Pi vendido pela lojaLj, i, j = 1, 2, 3.

30 19 20

15 10 8

12 16 11

L1 L2 L3

P1

P2

P3

X

001_006_CA_Matem_3 26.09.06, 14:436

M13Determinantes

Matemática7


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M13

TERCEIRÃO FTDDeterminantes Caderno de

Atividades

1 (ITA-SP) Seja a matriz

cos

cos.

25 65

120 390

) )

) )

sen

sen

O valor de seu determinante é:

a)

2 23

c)

32

e) 0

b)

3 32

d) 1

Como:

• sen 65) = cos (90) − 65)) = cos 25)

• sen 120) = sen 60

32

) =

• cos 390) = cos 30

32

) =

temos:

Asen

sen=

) )

) )

coscos

25 65120 390

det cos cosA = 9 ) − ) =

32

2532

25 0

Calcule:a) o determinante da matriz (B − A);b) a matriz inversa da matriz (B − A).

2 (UFSCar-SP) Sejam as matrizes

A e B= =

−

3 2

0 1 5

0 01 0

4 3log ,

log ,.

a)

A = =−

3 20 1 5

3 21 5log ,

B =−

=−

−

log ,0 01 04 3

2 04 3

Então:

B A− =− −

0 −

5 2

5 8

Θ det (B − A) = 40 0 10 = 50

b)

Seja B Ax y

z w( )− =−1

Entãox y

z we obtemos os sistemas: , :

− −

0 −9 =

5 2

5 8

1 0

0 1

−5x − 2z = 1 5x − 8z = 0

x e z= − = −4

251

10

12

3

−5y − 2w = 0 5y − 8w = 1

y e w= = −1

251

10

12

3

Como a, b, c, d estão em PA, temos:b = a 0 r; c = a 0 2r e d = a 0 3rEntão:ea 0 d − eb 0 c = ea 0 a 0 3r − ea 0 r 0 a 0 2r = e2a 0 3r − e2a 0 3r = 0

3 (UFRJ) Os números reais a, b, c e d formam, nessaordem, uma PA. Calcule o determinante da matriz

A

e e

e e

a b

c d=

.

det Ae e

e ee e e e e e

a b

c da d b c a d b c= = 9 − 9 = −0 0

4 (UFC) Considere a matriz A a ij=

Ο3 2 tal que aij = i − j.

Calcule det (A 9 At).

Daí, (A A ) ,t9 =

−

−

1 0 1

0 1 2

1 2 5

e então,

De acordo com a definição, temos:

A =

−

=−

0 1

1 0

2 1

0 1 2

1 0 1

e, portanto, A t

X

=

) )cos cos25 25

32

32

Logo:−

− −

425

125

110

110

det (A 9 At) = 5 0 0 0 0 − 1 − 0 − 4 = 0.

Θ

Θ

007_010_CA_Matem_3 12.09.06, 15:197

DeterminantesM13

Matemática 8

6 (Unifesp-SP) Considere a matriz

A sen x

x

em que=

1 0 2

2 0

0 2 cos

,

x varia no conjunto

dos números reais. Calcule:a) o determinante da matriz A;b) o valor máximo e o valor mínimo desse determinante.

a)

det

cos

cosA sen x

x

sen x x= = 9 0

1 0 2

2 0

0 2

8

b) det cos

cos ( )A sen x x

sen x x sen x= 9 0 =

9 90 = 08

22

82

28

Como −1 < sen 2x < 1, temos:

(det ) ,A

máx= 0 =

12

8 8 5

(det ) ,A

mín= − 0 =

12

8 7 5

Logo, −3 , x , 2.

a) x , −3 ou x . 2 d) para todo x 7 ςb) −3 , x , 2 e) n.d.a.c) Não existe x 7 ς.

7 (Fatec-SP) Determine x, de modo que

1 1 1

2 3

4 9

02

− .x

x

.

X

−3x2 0 4x 0 18 0 12 − 9x − 2x2 . 0−x2 − x 0 6 . 0

1 1 1

2 3

4 9

02

− .x

x

−x2 − x 0 6 = 0xδ = 2xφ = −3

I. VerdadeiraII. Verdadeira

III. Falsa, pois det (K 9 A) = Kn 9 det (A).IV. Falsa, pois det (At) = det (A).

8 (PUC-PR) Para uma matriz quadrada A, do tipo n Ο n,considere as seguintes afirmações:

I. Se a matriz B, do tipo n Ο n, é obtida a partir de A, per-mutando-se duas colunas, então det (B) = −det (A).

II. Se duas linhas da matriz A são idênticas, entãodet (A) = 0.

III. Det (K 9 A) = K 9 det (A), em que K é um número real.IV. Sendo At a matriz transposta de A, então

det (At) = −det (A).Podemos afirmar:a) Todas as afirmações são falsas.b) Somente uma afirmação é verdadeira.c) Somente uma afirmação é falsa.d) Somente duas afirmações são verdadeiras.e) Todas as afirmações são verdadeiras.

X

5 (Unicap-PE) Encontre o valor absoluto do menor valorde x que torna a igualdade abaixo verdadeira, em que o pri-meiro membro é o determinante associado a uma matriz.

2 1 34 1 1

012− − =x

x x

2 1 3

4 1 1

0

12− − =x

x x Θ −2x 0 x(x − 1) 0 3x − 4x = 12

Logo, o menor valor de x que torna a igualdade verdadeira é −2, cujovalor absoluto

− =2 2.

2 x} −3 }

{

Θ

x2 − 4x − 12 = 0xδ = −2xφ = 6

007_010_CA_Matem_3 12.09.06, 15:208

M13Determinantes

Matemática9

det (A 9 2B) = det A 9 det (2B) = det A 9 23 det B = 3 9 23 9 4 = 96

11 (UFC) Sejam A e B matrizes 3 Ο 3 tais que det A = 3e det B = 4. Então det (A 9 2B) é igual a:a) 32 b) 48 c) 64 d) 80 e) 96X

12 (Unesp-SP) Sejam A e B matrizes quadradas de or-dem 3.

Se

A = −

1 2 3

0 1 1

1 0 2

e B é tal que B−1 = 2A, o determi-

nante de B será:

a) 24 b) 6 c) 3 d)

16

e)

124

matriz deordem 3

det B−1 = det (2A) = 23 9 det A =

8

1 2 3

0 1 1

1 0 2

9 − = 8 9 (−2 0 2 0 3) =

= 8 9 3 = 24

Como BB

BB

detdet

detdet

.−

−= = =1

1

1 1 124

→

•

Sendo M então M=

−

= − − = −

35

45

45

35

925

1625

1

, det .

• det (M2) = det (M 9 M) = det M 9 det M = (−1) 9 (−1)det (M2) = 1

10 (PUC-RS)

Se M =

−35

45

45

35

, então det (M2) é

igual a:

a) 0 b) 1 c) −1 d) −7 e) −

725

9 (UFV-MG) Uma matriz quadrada A é denominada ma-triz ortogonal se AAt = AtA = I, em que At denota a trans-posta da matriz A e I é a matriz identidade de ordem n.a) Mostre que os possíveis valores do determinante de uma

matriz ortogonal A são 1 e −1.

b) Verifique se B é ortogonal=

2 5

1 3

.

X

b)

B B It9 = 9 = ϑ2 5

1 3

2 1

5 3

29 17

17 10

Portanto, B não é ortogonal.

a) Se A é ortogonal, temos:A 9 At = I Θ det (A 9 At) = det I Θ det A 9 det At = 1

(det A)2 = 1 Θ det A = 1 ou det A = −1

123

det A

X

007_010_CA_Matem_3 12.09.06, 15:209

DeterminantesM13

Matemática 10

(16) Considere a função f definida em {aij, 1 < i, j < 4}cuja lei de formação é f(aij) = aij. Se A = I (identidade),a função f é a função nula.

(32) Se todos os alunos acertarem todas as questões daprova, então det A ϑ 0.

Determine a soma dos números associados à(s) propo-sição(ões) verdadeira(s).

(08) Se A = [aij]4 Ο 4 em que aij = , então um

aluno acertou todas as questões.

13 (UFG) Após uma prova de 4 questões aplicada a 4alunos, o professor construiu uma matriz (A) em que cadalinha corresponde a um aluno e cada coluna às questões daprova, colocou 0 (zero) se o aluno errou a questão e 1 (um)se acertou. Com base nesse enunciado podemos afirmar:(01) Se cada aluno acertou apenas 1 questão, a matriz pode

ser a matriz identidade se as questões acertadas sãodistintas.

(02) Se um aluno tirou zero na prova, o determinante damatriz é zero.

(04) A única situação em que A2 = 0 é se todos os alunostirarem zero na prova.

1 se i > j0 se i , j

12

3

32. É incorreta. A seria uma matriz com pelo menos duas linhas iguais.Então, det A = 0.

Portanto: 1 0 2 0 8 = 11

f(a11) = 1; f(a12) = 0; f(a13) = 0; f(a14) = 0

f(a21

) = 0; f(a22

) = 1; f(a23

) = 0; f(a24

) = 0

f(a31) = 0; f(a32) = 0; f(a33) = 1; f(a34) = 0

f(a41) = 0; f(a42) = 0; f(a43) = 0; f(a44) = 1

01. É correta, pois se

A =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

, os alunos acertaram apenas

uma questão, e as questões acertadas são distintas.

02. É correta, pois como uma das linhas da matriz A só tem elementosnulos, seu determinante necessariamente é igual a zero.

04. É incorreta. Tome, por exemplo,

A =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

.

Então, A2 = 0 e o 4o aluno não tirou zero na prova (acertou a 1a questão).

08. É correta. Temos

A =

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

, o que significa que o 4o aluno

acertou todas as questões.

16. É incorreta. Se A = I, temos:

14

42

44

3

14 (UFBA) Sabendo-se que o determinante da matriz

inversa de

1 1 1

1 1 2

1 1 3

14

x

x

é igual a0

−

−

, calcule x.

det M xx

= 0

−

1 1 11 1 21 1 3

det M = (x 0 1)(x − 3) 0 2 0 1 − (x 0 1) − 2 − (x − 3) = x2 − 4x

detdet

MM x

x− = − =−

− 0 =12

21 14

14 0→ →

4x4x

Seja M x

x

= 0

−

1 1 1

1 1 2

1 1 3

e M−1 sua inversa.

x = 2

Como det

A1

det A− =1 , então a matriz A admite inversa se, e somente

se, det A ϑ 0.

15 (FGV-SP) A matriz

A x

x

=

1 1 1

2 5

4 252

admite in-

versa, se e somente se:a) x ϑ 5 d) x ϑ 4 e x ϑ 25b) x ϑ 2 e) x ϑ 4c) x ϑ 2 e x ϑ 5

Assim xx

x x x e x, ( )( )( ) .1 1 1

2 54 25

0 2 5 5 2 0 2 52

ϑ − − − ϑ ϑ ϑ→ →

X


007_010_CA_Matem_3 12.09.06, 15:2110

M14Sistemas Lineares

Matemática11


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M14

TERCEIRÃO FTDSistemas Lineares Caderno de

Atividades

1 (IBMEC) Sendo M

Ke P=

−=

3 2

4 1

1

1

, a

equação matricial M 9 X = P terá solução única se tomar-mos valores de K tais que:a) K ϑ 2 d) K ϑ 0b) K = −2 e) não existe K para obter a asserção.c) K ϑ −2X

M X P

K xy

9 =

−9 =

3 24 1

11

K x y

x y

3 2

4

1

1

0

− 0=

Solução única: K3 0 8 ϑ 0 Θ K3 ϑ −8 Θ K ϑ −2

K3x 0 2y = 1−4x 0 y = 1

12

3

K3x 0 2y = 18x − 2y = −2

(K3 0 8)x = −1

2 (ENEM) Uma companhia de seguros levantou dadossobre os carros de determinada cidade e constatou quesão roubados, em média, 150 carros por ano.O número de carros roubados da marca X é o dobro donúmero de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Yjuntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados.O número esperado de carros roubados da marca Y é:a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60X

Substituindo � em �, obtemos:2y 0 y = 90 Θ 3y = 90 Θ y = 30


x = 2y �

x 0 y = 0,6 9 150 Θ x 0 y = 90 �

12

3

3 (Unesp-SP) A agência Vivatur vendeu a um turista umapassagem que foi paga, à vista, com cédulas de 10, 50 e100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passa-gem foi 1 950 dólares e a quantidade de cédulas recebidasde 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em dólares,recebido em notas de 100 pela agência na venda dessa pas-sagem foi:a) 1 800 b) 1 500 c) 1 400 d) 1 000 e) 800

O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência, na venda dapassagem, foi 10 9 100 = 1 000.

Se x for o número de notas de 50 dólares e y o número de notas de 100dólares, então 2y será o número de notas de 10; portanto:

2y 0 x 0 y = 4510 9 2y 0 50x 0 100y = 1 950

12

3

3y 0 x = 45120y 0 50x = 1 950

12

3

y = 10x = 15

4 (UFC) Se um comerciante misturar 2 kg de café empó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, ele obteráum tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas,se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de cafédo tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma.Os preços do quilograma do café do tipo I e do quilogramado café do tipo II são, respectivamente:a) R$ 5,00 e R$ 3,00 d) R$ 5,30 e R$ 4,50b) R$ 6,40 e R$ 4,30 e) R$ 6,00 e R$ 4,00c) R$ 5,50 e R$ 4,00

X

X

Os preços são: (I) R$ 6,00 e (II) R$ 4,00.

Sejam x o preço do quilograma do café tipo I e y o preço do quilograma docafé tipo II.Pelo problema, temos:

2x 0 3y = 5 9 (4,80) = 243x 0 2y = 5 9 (5,20) = 26

12

3 x = 6 e y = 4

Θ

Θ Θ

Θ

011_016_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3011

Sistemas LinearesM14

Matemática 12

5 (Fuvest-SP) Um senhor feudal construiu um fosso,circundado por muros, em volta de seu castelo, conformea planta abaixo, com uma ponte para atravessá-lo.

5x 9 5y 9 5z = 1253x 9 3z = 39 9 9y

128 9 2x = 2z6 (UniFEI-SP) Resolver o sistema S: .

142

43

5x 9 5y 9 5z = 1253x 9 3z = 39 9 9y

128 9 2x = 2z

S:

14

24

35x 0 y 0 z = 53

3x 0 z = 39 0 2y

27 0 x = 2z

14

24

3

Substituindo � em �:(9 0 2y) 0 y = 3 Θ y = −2

Substituindo � em �:x 0 (7 0 x) = 9 0 2 9 (−2) Θ x = −1Em �: 7 0 (−1) = z Θ z = 6.

Obtemos o sistema:

x 0 y 0 z = 3 �

x 0 z = 9 0 2y �

7 0 x = z �

14

24

3

3x − 2y = 0x 0 y = 0


7 (UFSC) Marque a soma dos números associados à(s)proposição(ões) correta(s).(01) O número de elementos de uma matriz quadrada de

ordem 12 é 48.(02) Somente podemos multiplicar matrizes de mesma

ordem.

(04) A soma das raízes da

equação

x x x

x x

x

é4

4 4

0 8= .

(08) Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizesinversas.

(16) O sistema é indeterminado.

12

301. Incorreta

Como são 12 linhas e 12 colunas, o número de elementos é 12 Ο 12 = 144.02. Incorreta

Para multiplicar duas matrizes, a quantidade de colunas da primeiradeve ser igual à quantidade de linhas da segunda.

04. Correta

x x x

x x

x

4

4 4

0= x3 0 4x2 0 16x − 4x2 − 4x2 − 4x2 = 0

x3 − 8x2 0 16x = 0

x(x2 − 8x 0 16) = 0x’ = 0

x2 − 8x 0 16 = 0x” = 4

08. IncorretaSe uma matriz é inversível, sua inversa é única.

16. Incorreta

Portanto: 4

Θ x = 0 e y = 0 (sistema possível e determinado)3x − 2y = 0

x 0 y = 0

12

3

8 (FGV-SP) Resolvendo o sistema

obtém-se para z o valor:

a) −3 b) −2 c) 0 d) 2 e) 3

x 0 y 0 z = 02x − y − 2z = 1,6y 0 3z = −12

14

24

3

X

Resolvendo o sistema por escalonamento:

x 0 y 0 z = 02x − y − 2z = 16y 0 3z = −12

14

24

3

x 0 y 0 z = 0−3y − 4z = 16y 0 3z = −12

14

24

3

muro interno

muro externo

σσ

σ

σ

fosso

pontemuro interno

σσ

σ

σ σ σ σ

σa

b

Em um certo dia, ele deu uma volta completa no muroexterno, atravessou a ponte e deu uma volta completano muro interno. Esse trajeto foi completado em 5 320passos. No dia seguinte, ele deu duas voltas completasno muro externo, atravessou a ponte e deu uma voltacompleta no muro interno, completando esse novo tra-jeto em 8 120 passos. Pode-se concluir que a largura σ

do fosso, em passo, é:a) 36 b) 40 c) 44 d) 48 e) 50

Θ

Θ

X

Θ

2(a 0 2σ) 0 2(b 0 2σ) 0 2a 0 2b 0 σ = 5 320 Θ 1o dia4(a 0 2σ) 0 4(b 0 2σ) 0 2a 0 2b 0 σ = 8 120 Θ 2o dia


4a 0 4b 0 9σ = 5 3206a 0 6b 0 17σ = 8 120

12

3

12(a 0 b) 0 27σ = 15 96012(a 0 b) 0 34σ = 16 240

12

3 Θ 7σ = 280 Θ σ = 40

4(a 0 b) 0 9σ = 5 3206(a 0 b) 0 17σ = 8 120

12

3Θ

12

3

x 0 y 0 z = 0−3y − 4z = 1−5z = −10

14

24

3

x = 1y = −3z = 2

Θ

011_016_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3012


Matemática13

O conjunto solução S = {(x, y, z)} forma uma:a) PA de razão 1.b) PG de razão 1.c) PA de razão 2 cuja soma dos termos é 12.d) PA de razão 2 cuja soma dos termos é 3.e) PA de razão nula.

9 (IBMEC) Considere o sistema linear:

2x 0 y 0 z = 2x 0 2y 0 z = 4x 0 y 0 2z = 6

14

24

3

X

10 (UERJ) Um negociante de carros dispõe de certaquantia, em reais, para comprar dois modelos de carro,A e B. Analisando as várias possibilidades de compra, con-cluiu, em relação a essa quantia, que:

I. faltaria R$ 10 000,00 para comprar cinco unidades domodelo A e duas do modelo B;

II. sobraria R$ 29 000,00 se comprasse três unidades decada modelo;

III. gastaria exatamente a quantia disponível se comprasseoito unidades do modelo B.

Estabeleça a quantia de que o negociante dispõe.

Fazendo: x = valor do modelo A; y = valor do modelo B ; z = quantia dispo-nível, podemos representar as afirmações I, II e III da seguinte maneira:

I. 5x 0 2y = z 0 10

II. 3x 0 3y = z − 29

III. 8y = z

5x 0 2y − z = 10

3x 0 3y − z = −29

8y = z

14

24

3

Substituindo z = 8y nas duas primeiras equações:

z = 8y = 8 9 25 = 200

Quantia disponível: R$ 200 000,00

5x 0 2y − 8y = 103x 0 3y − 8y = −29

12

3

5x − 6y =103x − 5y = −29

x = 32 e y = 25

11 (Fuvest-SP) Um caminhão transporta maçãs, perase laranjas, num total de 10 000 frutas. As frutas estão acon-dicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo defruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjastem, respectivamente, 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas ecusta, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga docaminhão tem 140 caixas e custa 3 300 reais, calculequantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas.

Sendo m, p e σ, respectivamente, a quantidade de maçãs, peras e laran-jas transportadas, tem-se:

m 0 p 0 σ = 10 000 (quantidade de frutas)

m p

50 60 1001400 0

σ= ( )quantidade de caixas

20

5040

6010

1003 3009 0 9 0 9

σ=

m pcusto total( )

14

42

44

3

Assim, tem-se:

m 0 p 0 σ = 10 0006m 0 5p 0 3σ = 42 00012m 0 20p 0 3σ = 99 000

14

24

3

m 0 p 0 σ = 10 0003m 0 2p = 12 0009m 0 17p = 69 000

14

24

3

m 0 p 0 σ = 10 0003m 0 2p = 12 00011p = 33 000

14

24

3

σ = 5 000m = 2 000p = 3 000

12 (UFBA) Um teatro colocou à venda ingressos paraum espetáculo, com três preços diferenciados de acordocom a localização da poltrona. Esses ingressos, a depen-der do preço, apresentavam cores distintas: azul, branco evermelho. Observando-se quatro pessoas na fila da bilhe-teria, constatou-se o seguinte: a primeira comprou 2 in-gressos azuis, 2 brancos e 1 vermelho e gastou R$ 160,00;a segunda comprou 2 ingressos brancos e 3 vermelhos egastou R$ 184,00 e a terceira pessoa comprou 3 ingressosbrancos e 2 vermelhos, gastando R$ 176,00.Sabendo-se que a quarta pessoa comprou apenas 3 ingres-sos azuis, calcule, em reais, quanto ela gastou.

Portanto, a quarta pessoa gastou:3 9 a = 3 9 R$ 28,00 = R$ 84,00

De � 0 �: 5v = 200 Θ v = R$ 40,00.Em �: 6b 0 9 9 40 = 552 Θ b = R$ 32,00.

Em �: 2a 0 2 9 32 0 40 = 160 Θ a = R$ 28,00.

x 0 y 0 2z = 6x 0 2y 0 z = 42x 0 y 0 z = 2

−1 0 2 = 1; 1 0 2 = 3 Θ (−1, 1, 3) PA de razão 2, cuja soma dos termos é 3.

14

24

3

x 0 y 0 2z = 6y − z = −2−y − 3z = −10

14

24

3

x 0 y 0 2z = 6y − z = −2−4z = −12

14

24

3

z = 3y = 1x = −1

S = {(−1, 1, 3)}

Θ Θ

Θ

12

3 Θ

Θ

Θ

Θ

2a 0 2b 0 v = 1602b 0 3v =1843b 0 2v =176

Sejam a, b e v os preços, em reais, dos ingressos azuis, brancos e verme-lhos, respectivamente. Do enunciado temos que:

14

24

3

2a 0 2b 0 v= 1606b 0 9v = 552−6b − 4v = −352

14

24

3

�

�

�

Θ

011_016_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3113


Matemática 14

14 (UFBA) Num livro muito velho e em péssimo esta-do de conservação, Maria notou que existia, em um exercí-

cio, uma matriz 3 Ο 3 rasurada,

M na=

. .

. .

. .

,

1

5

3

qual

se podiam ler apenas os três elementos indicados em M.No enunciado do exercício, constava que a matriz M eraigual à sua transposta e que a soma dos elementos de cadalinha era igual à soma dos elementos da diagonal principal.O valor dessa soma era:a) 9 b) 8 c) 6 d) 4 e) 3X

Seja M

a b

c d

e f

=

1

5

3

a 0 d 0 f = 5 0 3 01 = 9

Ainda pelos dados:a 0 d 0 f = a 0 1 0 b Θ a 0 d 0 f = a 0 4 Θ d 0 f = 4a 0 d 0 f = c 0 d 0 5 Θ a 0 f = 6a 0 d 0 f = 3 0 e 0 f Θ a 0 d = 8

a = 5d = 3f = 1

Pelos dados:

M M

a b

c d

e f

a c

d e

b f

t= =→

1

5

3

3

1

5

Θ

c = 1b = 3e = 5

d 0 f = 4a 0 f = 6a 0 d = 8

14

24

3

15 (Fuvest-SP) O sistema , em que

c ϑ 0, admite uma solução (x, y), com x = 1. Então, o

valor de c é:

a) −3 b) −2 c) −1 d) 1 e) 2

12

3

x 0 (c 0 1)y = 0cx 0 y = −1

X

Substituindo a 2a equação na 1a equação:1 0 (c 0 1)(−c − 1) = 0 Θ −c2 − 2c = 0 Θ −c(c 0 2) = 0c = 0 Θ não serve, pois pelo enunciado c ϑ 0 e c = −2.Note que para c = −2 o sistema em x e y é possível e determinado, comsolução (1, 1).

1 0 (c 0 1)y = 0c 0 y = −1

Para x = 1:

12

3

1 0 (c 0 1)y = 0y = −c − 1

12

3

X

I. os elementos de cada linha de A correspondem àsquantidades dos três tipos de camisas compradas porAlfeu (1a linha), Bento (2a linha) e Cíntia (3a linha).

II. os elementos de cada coluna de A correspondem àsquantidades de um mesmo tipo de camisa.

III. os elementos de X correspondem aos preços unitá-rios, em reais, de cada tipo de camisa.

Nessas condições, o total a ser pago pela compra de umaunidade de cada tipo de camisa é:a) R$ 53,00 d) R$ 62,00b) R$ 55,00 e) R$ 65,00c) R$ 57,00

13 (PUC-SP) Alfeu, Bento e Cíntia foram a certa loja ecada qual comprou camisas escolhidas entre três tipos,gastando nessa compra os totais de R$ 134,00,R$ 115,00 e R$ 48,00, respectivamente.Sejam as matrizes

A e X

x

y

z

tais que= =

0 3 4

1 0 5

2 1 0

, :

Nas condições dadas, temos:

0 3 4

1 0 5

2 1 0

134

115

48

9 =

x

y

z

3y 0 4z = 134x 0 5z = 1152x 0 y = 48

3y 0 4z = 134y − 10z = −1822x 0 y = 48

14

24

3

3y 0 4z = 13434z = 6802x 0 y = 48

14

24

3

3y 0 4z = 134z = 202x 0 y = 48

14

24

3

y = 18z = 202x 0 y = 48

y = 18z = 20x = 15

Θ x 0 y 0 z = 53

Θ

Θ

Θ

Θ

Θ

14

24

3

Θ

011_016_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3114


Matemática15

a) Substituindo os valores dados para x, y e z no sistema de equações,obtém-se:� a 0 1 0 2a − a = 1, ou seja, a = 0� a 0 1 − 2a 0 a = 1, ou seja, 1 = 1� −a − 1 0 2a 0 a = 1, ou seja, a = 1Logo, não existe solução desse tipo.

b) Somando membro a membro as duas primeiras equações, obtém-se x = 1.Somando membro a membro a primeira e a terceira, obtém-se y = 1.Somando membro a membro a segunda e a terceira, obtém-se z = 1.Logo, a única solução é x = 1, y = 1 e z = 1.

a) Existe uma solução do tipo x = a 0 1, y = 2a e z = a?b) Ache todas as soluções do sistema.

x 0 y − z = 1x − y 0 z = 1−x 0 y 0 z = 1

18 (PUC-RJ) Dado o sistema .

14

24

3

x 0 3y − 4z = 03x 0 y = a4x 0 bz = 0

19 (UFPR) A respeito do sistema de equações

, em que a e b são números reais,

é correto afirmar:a) Se a = 0, existe algum valor de b para o qual o sistema

é impossível.b) Se o valor de b for tal que o determinante da matriz

1 3 4

3 1 0

4 0

−

b

não

seja nulo, o sistema terá uma

única solução, qualquer que seja o valor de a.c) Se a = 1 e b = 2, o sistema tem mais de uma solução.d) Se a = b = 0, o sistema possui somente a solução nula.

142

43

a) CorretoSe a = 0, temos o sistema: , que é um sistema

homogêneo, admitindo portanto a solução (0, 0, 0), independentemen-te do valor de b.

b) CorretoA matriz considerada é a dos coeficientes das incógnitas. Se essedeterminante não for nulo, o sistema será possível e determinado, ten-do uma única solução.

c) Incorreto

Se a = 1 e b = 2:

x 0 3y − 4z = 03x 0 y = 04x 0 bz = 0

14

24

3

x 0 3y − 4z = 03x 0 y = 1 Θ y = 1 − 3x4x 0 2z = 0 Θ z = −2x

14

24

3

Substituindo na 1a equação:x 0 3(1 − 3x) − 4(−2x) = 0x 0 3 − 9x 0 8x = 0 Θ 0x = −3 Θ Ξ xSegue que o sistema não tem solução.(Outra resolução seria pelo determinante da matriz dos conjuntos dasincógnitas do sistema.)

d) Correto

Se a = b = 0:

a) Para que valores de m o sistema é determinado?b) Resolva o sistema para m = 0.

16 (FGV-SP) Considere o sistema linear nas incógni-tas x, y e z:

x 0 y 0 m 9 z = 32x 0 3y − 5z = −73x − y 0 z = 4

14

24

3

a) O sistema é determinado se, e somente se,x 0 y 0 m 9 z = 32x 0 3y − 5z = −73x − y 0 z = 4

14

24

3

1 1

2 3 5

3 1 1

0 3 15 2 9 5 2 01911

m

m m m−

−

ϑ − − − − − ϑ ϑ −→ →

b) Para m = 0, temos:

x 0 y = 32x 0 3y − 5z = −73x − y 0 z = 4

14

24

3

Θ

x 0 y = 3y − 5z = −13−4y 0 z = −5

14

24

3

x 0 y = 3y − 5z = −13−19z = −57

14

24

3

x = 1y = 2z = 3

a) Mostre que para a = 1 o sistema é impossível.b) Encontre os valores do parâmetro a para os quais o sis-

tema tem solução única.

17 (Unicamp-SP) Considere o sistema linear abaixo,no qual a é um parâmetro real:

ax 0 y 0 z = 1x 0 ay 0 z = 2x 0 y 0 az = −3

14

24

3

a3 − 3a 0 2 ϑ 0 Θ (a − 1)(a2 0 a − 2) ϑ 0a ϑ 1 e a ϑ −2

D

a

a

a

= ϑ

1 1

1 1

1 1

0

b) Para que o sistema linear tenha solução única, pelo teorema de Cramer:

a) Para a = 1 o sistema linear é impossível, pois se reduz a um sistemade três equações incompatíveis:

x 0 y 0 z = 1x 0 y 0 z = 2x 0 y 0 z = −3

14

24

3

e segue-se que x = y = z = 0.x 0 3y − 4z = 03x 0 y = 04x = 0

14

24

3

Θ

011_016_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3115


Matemática 16

b)

20 (FGV-SP) Considere o sistema linear nas incógni-tas x, y e z:

14

24

3

a) Encontre o valor de a que torna o sistema impossívelou indeterminado.

b) Utilize o valor de a encontrado no item anterior paraverificar se o sistema dado é impossível ou indetermi-nado.

x − 2y − z = 85y 0 5z = −18 Ο(−3)3y 0 3z = 0 Ο5

14

24

3

x − 2y − z = 83y 0 3z = 0

0 = −18

14

24

3

22 (Vunesp-SP) Considere a matriz

A

6 3 0

3 6 0

1 1 2

=

−

−

−

a) Determine todos os números reais ι para os quais setem det (A − ιI) = 0, em que I é a matriz identidade deordem 3.

b) Tomando ι = −2, dê todas as soluções do sistema

14

24

3

Θ

te solução se, e somente se, o número real b for igual a:a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) −2X

−x 0 y 0 0z = 1 Ο1−y 0 z = 1

x 0 0y − z = 1

14

24

3

Θ Θ

x − 2y − z = 82x 0 y 0 3z = −2ax 0 y 0 2z = 8

a)

1 2 12 1 3a 1 2

− −

= 0 → 2 − 6a − 2 0 a 0 8 − 3 = 0a = 1

O sistema é impossível.

x − 2y − z = 8 Ο(−1)5x 0 5z = −18

x 0 2y 0 z = 8

14

24

3

Θ

x − 2y − z = 8 Ο(−2)2x 0 y 0 3z = −2

x 0 y 0 2z = 8

14

24

3

0

0

0

21 (ITA-SP) O sistema linear não admi-

14

24

3

bx 0 y =1by 0 z = 1x 0 bz = 1

b 1 00 b 11 0 b

= 0 Θ b3 0 1 = 0 Θ b = −1

Escalonando para b = −1:

O sistema é impossível, isto é, não admite solução.Assim: b = −1.

0

−x 0 y 0 0z = 1−y 0 z = 1 Ο1

y − z = 2

14

24

3 0

−x 0 y 0 0z = 1−y 0 z = 1

0 = 3

14

24

3

(6 − λ)x − 3y = 0−3x 0 (6 − λ)y = 0x − y 0 (2 − λ)z = 0

a) Se

A6 3 03 6 01 1 2

=

−

−

−

e

ι =

ι

ι

ι

I0 0

0 00 0

,

então

A I6 3 0

3 6 01 1 2

− ι =

ι −

− − ι

− − ι

−

.

Portanto:

det

A I 06 3 0

3 6 01 1 2

0− ι =

ι −

− − ι

− − ι

=( ) →−

(2 − ι) 9 [(6 − ι)2 − 9] = 0 Θ 2 − ι = 0 ou (6 − ι)2 = 9ι = 2 ou 6 − ι = Σ3 Θ ι = 2 ou ι = 3 ou ι = 9

b) Se det (A − ιI) = 0 Θ ι = 2 ou ι = 3 ou ι = 9, então para ι = −2temos:

6 3 03 6 01 1 2

0− ι −

− − ι

− − ι

ϑ

Assim sendo, o sistema homogêneo

(6 − ι)x − 3y = 0−3x 0 (6 − ι)y = 0

x − y 0 (2 − ι)z = 0

14

24

3

Θ é determina-(6 − ι)x − 3y 0 0z = 0

−3x 0 (6 − ι)y 0 0z = 0x − y 0 (2 − ι)z = 0

14

24

3

do e a única solução é x = 0, y = 0, z = 0.

011_016_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3116

M15Análise Combinatória

Matemática17


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M15

TERCEIRÃO FTDAnálise Combinatória Caderno de

Atividades

Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita,irá ler: 01011010111010110001.Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda,irá ler: 10001101011101011010.No sistema de código de barras, para se organizar o pro-cesso de leitura óptica de cada código, deve-se levar emconsideração que alguns códigos podem ter leitura da es-querda para a direita igual à da direita para a esquerda,como o código 00000000111100000000, no sistema des-crito acima.Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco bar-ras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda paraa direita igual à da direita para a esquerda, desconsi-derando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é:a) 14 b) 12 c) 8 d) 6 e) 4

1 (ENEM) O código de barras, contido na maior partedos produtos industrializados, consiste num conjunto devárias barras que podem estar preenchidas com cor escu-ra ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas bar-ras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0e a de uma barra escura, no número 1. Observe abaixo umexemplo simplificado de um código em um sistema decódigo com 20 barras.

X

• As barras A, B, C, D, E podem estar preenchidas com cor escura ou não,ou seja, 2 possibilidades cada uma.

• A e E devem estar preenchidas com a mesma cor: 2 possibilidades.B e D devem estar preenchidas com a mesma cor: 2 possibilidades.C tem 2 possibilidades de preenchimento.

• Assim, existem 2 9 2 9 2 = 8 códigos com leitura da esquerda para adireita igual à da direita para a esquerda, das quais 2 têm todas as bar-ras claras ou todas escuras.Logo, a resposta é 8 − 2 = 6.

Utilizando barras, vamos considerar os casos:

A B C D E

a) Se P e S forem coloridos com cores distintas, existirão:• 4 maneiras de escolher a cor de P,• 3 maneiras de escolher a cor de S,• 2 maneiras de escolher a cor de Q e• 2 maneiras de escolher a cor de R,Portanto, 4 9 3 9 2 9 2 = 48 maneiras de colorir o mapa.

b) Se P e S forem coloridos com a mesma cor, existirão:• 4 maneiras de escolher a cor de P e S,• 3 maneiras de escolher a cor de Q e• 3 maneiras de escolher a cor de R,Portanto, 4 9 3 9 3 = 36 maneiras de colorir o mapa.

Responda, justificando sua resposta, de quantas maneirasé possível colorir o mapa, se:a) os países P e S forem coloridos com cores distintas;b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor.

2 (Unesp-SP) Dispomos de 4 cores distintas e temos decolorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R eS, de modo que países cuja fronteira é uma linha não po-dem ser coloridos com a mesma cor.

P Q

R S

• Para que o número seja ímpar, existem 5 possibilidades para o algaris-mo das unidades.

• Como os três algarismos devem ser distintos, temos 8 possibilidadespara o algarismo das centenas (o zero não pode ser escolhido).

Portanto, 8 9 8 9 5 = 320 números inteiros, positivos e ímpares.

3 (UFC) A quantidade de números inteiros, positivos eímpares, formados por três algarismos distintos, esco-lhidos dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, éigual a:a) 320 b) 332 c) 348 d) 360 e) 384X

017_022_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3217

Análise CombinatóriaM15

Matemática 18

• Para a distribuição de sabonetes temos 3 9 2 9 1 = 3! maneiras distintas.• Para a distribuição de xampus temos 3 9 2 9 1 = 3! maneiras distintas.• Para a distribuição de condicionadores temos 3 9 2 9 1 = 3! maneiras

distintas.Portanto, as possibilidades de distribuição dos pedidos entre os três fre-gueses é (3!) 9 (3!) 9 (3!) = (3!)3.

5 (UEL-PR) Uma distribuidora de sabonetes, xampus econdicionadores tem três marcas diferentes de cada umdesses produtos. Ao receber as encomendas de três fre-gueses, um funcionário da distribuidora anotou apenasos nomes dos fregueses e os produtos solicitados: cadaum pediu uma caixa de sabonete, uma caixa de xampu euma caixa de condicionador. Quanto às marcas, o funcio-nário lembra-se que cada um solicitou marcas diferentesdaquelas solicitadas pelos outros. Quando percebeu a suafalha, o funcionário imaginou que a falta da informaçãosobre as marcas não teria sérias conseqüências, pois bas-taria fazer algumas tentativas até conseguir entregar osprodutos de acordo com os pedidos. Quantas possibilidadesexistem de distribuição dos pedidos entre os três fregueses?

a) (3!)3 c)

3 33

! !9e)

93 3

!! !9

b) 3 9 3! d) 39

X

• Existem 4 9 3 9 2 9 1 = 24 matrizes distintas, obtidas com a permutaçãode todos os elementos de M. Portanto, x = 24.

• De todas essas 24 novas matrizes, os seus determinantes só poderãoser obtidos por meio dos seguintes cálculos possíveis:1 9 2 − 3 9 4 ou 3 9 4 − 1 9 2 ou 1 9 3 − 2 9 4 ou 2 9 4 − 1 9 3 ou1 9 4 − 2 9 3 ou 2 9 3 − 1 9 4 e, portanto, y = 6Logo: x 0 y = 30.

7 (ESPM-SP) Permutando-se de todas as maneiras os

elementos da matriz M obtém=

1 2

3 4

, -se x matri-

zes diferentes e y determinantes diferentes. O valor dex 0 y é:a) 24 b) 25 c) 27 d) 30 e) 36X

• Existem 5 0 3 0 2 = 10 maneiras de pedir uma casquinha com1 bola.

• Existem 5 9 3 0 5 9 2 0 3 9 2 = 31 maneiras de pedir uma casquinha com2 bolas (não contendo 2 bolas de um mesmo grupo).

• Existem 5 9 3 9 2 = 30 maneiras de pedir uma casquinha com 3 bolas (nãocontendo 2 bolas e não contendo 3 bolas de um mesmo grupo).

Portanto, existem 10 0 31 0 30 = 71 maneiras de pedir uma casquinhacom 1, 2 ou 3 bolas.

4 (UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são dividi-dos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amare-lo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pediruma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinhanão pode conter 2 bolas de um mesmo grupo.O número de maneiras distintas de pedir uma casquinha é:a) 71 b) 86 c) 131 d) 61X


6 (UFMS) Sobre análise combinatória, é correto afirmar:(01) Se A é o conjunto de números de dois algarismos

distintos formados a partir dos dígitos 1, 2 e 3, entãoo número de elementos de A é 9.

(02) Lançando-se uma moeda 3 vezes, o número de se-qüências possíveis de cara e/ou coroa é 8.

(04) Com relação à palavra VESTIBULAR temos 9 9 4! ana-gramas que começam com vogal.

(08) Se Am, 3 = 30m, então m = 10.

01. Incorreto

A A A= =

3, 2→ 3

1!!

A = 6

02. CorretoPelo princípio multiplicativo, o número de seqüências possíveis é2 9 2 9 2 = 8.

04. IncorretoO número de anagramas que começam com vogal é dado por4 9 P9 = 4 9 9!.

08. Incorreto

A mm

mm

m, 3=

−=30

330→ !

( )!

m m m mm

m9 − 9 − 9 −

−=

1 2 33

30( ) ( ) ( )!

( )!

m = 7

Portanto: 2

m2 − 3m − 28 = 0mδ = 7mφ = −4 (não serve, pois m 7 Μ)

017_022_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3318


Matemática19

Existem 3 possibilidades:• A comissão é formada por 1 especialista e 2 outros profissionais.

Assim, tem-se:C3, 1 9 C9, 2 = 3 9 36 = 108

• A comissão é formada por 2 especialistas e 1 outro profissional.Assim, tem-se:C

3, 2 9 C

9, 1 = 3 9 9 = 27

• A comissão é formada por 3 especialistas. Assim, tem-se:C3, 3 = 1

O total de comissões possíveis é:108 0 27 0 1 = 136

11 (Unifesp-SP) O corpo clínico da pediatria de certohospital é composto de 12 profissionais, dos quais 3 sãocapacitados para atuação sobre crianças que apresentamnecessidades educacionais especiais. Para fins de assesso-ria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, detal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitaçãoreferida. Quantas comissões distintas podem ser forma-das nessas condições?a) 792 b) 494 c) 369 d) 136 e) 108

Se a chapa governador/vice-governador é formada por duas pessoas desexos opostos, então ela pode ser formada:• por um dos dois homens candidatos a governador e uma das duas mu-

lheres candidatas a vice-governador Θ C2, 1 9 C2, 1

ou• pela mulher candidata a governador e por um dos quatro homens candi-

datos a vice-governador Θ C1, 1

9 C4, 1

Assim, o número de maneiras de formar a chapa é:C2, 1 9 C2, 1 0 C1, 1 9 C4, 1 = 2 9 2 + 1 9 4 = 8

12 (Unesp-SP) Na convenção de um partido para lan-çamento da candidatura de uma chapa ao governo de cer-to estado havia 3 possíveis candidatos a governador, sen-do dois homens e uma mulher, e 6 possíveis candidatos avice-governador, sendo quatro homens e duas mulheres.Ficou estabelecido que a chapa governador/vice-governa-dor seria formada por duas pessoas de sexos opostos. Sa-bendo que os nove candidatos são distintos, o número demaneiras possíveis de formar a chapa é:a) 18 b) 12 c) 8 d) 6 e) 4

X

X

Número de maneiras distintas de acender:

• 4 lâmpadas: L10, 4 =

10210

!4!6!

=

• 5 lâmpadas: L10, 5

=

10252

!5!5!

=


10210

!6!4!

=


10120

!7!3!

=

210 0 252 0 210 0 120 = 792 maneiras distintas de acender 4, 5, 6 ou 7das 10 lâmpadas.

8 (PUC-SP) No saguão de um teatro, há um lustre com10 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como me-dida de economia de energia elétrica, o gerente desse tea-tro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultanea-mente, de 4 a 7 lâmpadas, de acordo com a necessidade.Nessas condições, de quantos modos distintos podem seracesas as lâmpadas desse lustre?a) 664 b) 792 c) 852 d) 912 e) 1 044X

9 (ITA-SP) Listando-se em ordem crescente todos osnúmeros de cinco algarismos distintos, formados com oselementos do conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, o número 62 417ocupa o n-ésimo lugar. Então n é igual a:a) 74o b) 75o c) 79o d) 81o e) 92oX

Colocando os números em ordem crescente:

Θ P4 = 4! = 24

Θ P4 = 4! = 24

Θ P4 = 4! = 24

Θ P3 = 3! = 6

Θ P2 = 2! = 2

Θ 81o

1

2

4

6 1

6 2 1

6 2 4 1 7

10 (FGV-SP) A soma dos coeficientes do desenvolvi-mento de (2x 0 y)5 é igual a:a) 81 b) 128 c) 243 d) 512 e) 729

1 9 32x5 9 1 0 5 9 16x4 9 y 0 10 9 8 9 x3 9 y2 0 10 9 4 9 x2 9 y3 0

0 5 9 2 9 x 9 y4 0 1 9 y5 = 32x5 0 80x4y 0 80 x3y2 0 40x2y3 0 10 xy4 0 1y5

Soma dos coeficientes: 32 0 80 0 80 0 40 0 10 0 1 = 243

(2x y) (2x) (2x) (2x)50 = 9 0 9 0 9 05

0

5

1

5

25 0 4 1 3 2

y y y

(2x) (2x) (2x)0 9 0 9 0 95

3

5

4

5

52 3 1 4 0 5

y y y

X

017_022_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3319

Análise CombinatóriaM15

Matemática 20

14 (FGV-SP)a) Uma senha de um banco é constituída de três letras

escolhidas entre as 26 do alfabeto, seguidas de três al-garismos, escolhidos entre os dez algarismos de 0 a 9.Quantas senhas podem ser formadas usando-se três vo-gais e três algarismos pares?

b) Um professor precisa elaborar uma prova de Matemáti-ca com cinco questões, sendo uma de trigonometria,duas de álgebra e duas de geometria. Ele dispõe de trêsquestões de trigonometria, seis de álgebra e cinco degeometria. De quantas formas a prova pode ser elabo-rada, não se levando em conta a ordem das questões?

5 9 5 9 5 9 5 9 5 9 5 = 56 = 15 625 senhas possíveis.b) Possibilidades de escolha para:

• trigonometria: C3, 1 = 3

• álgebra: C6, 2 = 15

• geometria: C5, 2

= 10

Então, temos 3 9 15 9 10 = 450 formas diferentes de elaborar a prova.

a) Vogais: a, e, i, o, u Θ 5 possibilidadesAlgarismos pares: 0, 2, 4, 6, 8 Θ 5 possibilidadesDe acordo com o enunciado, temos:

Existem:• 5 respostas possíveis para o primeiro questionamento;• A

6, 3 = 6 9 5 9 4 = 120 respostas possíveis para o segundo questionamento;

• C

7, 2respostas possíveis para o terceiro.=

9=

7 62

21

Portanto, existem 5 9 120 9 21 = 12 600 respostas diferentes.

13 (UEL-PR) Quando os deputados estaduais assumi-ram as suas funções na Câmara Legislativa, tiveram deresponder a três questionamentos cada um. No primeiro,cada deputado teria de escolher um colega para presidiros trabalhos, dentre cinco previamente indicados. No se-gundo, deveria escolher, com ordem de preferência, trêsde seis prioridades previamente definidas para o primeiroano de mandato. No último, deveria escolher dois dentresete colegas indicados para uma reunião com o governa-dor. Considerando que todos responderam a todos osquestionamentos, conforme solicitado, qual o número derespostas diferentes que cada deputado poderia dar?a) 167 d) 10 500b) 810 e) 12 600c) 8 400

X

16 (UFMG) Um baralho é composto de 52 cartas divi-didas em quatro naipes distintos. Cada naipe é constituí-do por 13 cartas — 9 cartas numeradas de 2 a 10, maisvalete, dama, rei e ás, representadas, respectivamente, pelasletras J, Q, K e A.Um par e uma trinca consistem, respectivamente, de duase de três cartas de mesmo número ou letra. Um full handé uma combinação de cinco cartas, formada por um par euma trinca.Considerando essas informações, calcule:

I. de quantas maneiras distintas se pode formar um fullhand com um par de reis e uma trinca de dois;

II. de quantas maneiras distintas se pode formar um fullhand com um par de reis;

III. de quantas maneiras distintas se pode formar um full hand.

I. Existem:

a) C maneiras

4, 2=

9=

4 32

6 distintas de formar-se um par de reis;

b) C4, 3 = 4 maneiras distintas de formar uma trinca de dois.Portanto, 6 9 4 = 24 maneiras distintas de formar um full hand com umpar de reis e uma trinca de dois.

II. Existem:a) C4, 2 = 6 maneiras distintas de formar um par de reis;b) 12 9 C4, 3 = 12 9 4 = 48 maneiras distintas de formar uma trinca com

as demais cartas restantes (excluindo-se os “reis”).Portanto, 6 9 48 = 288 maneiras distintas de formar um full hand comum par de reis.

III. Existem:a) 13 9 C

4, 2 = 13 9 6 = 78 maneiras distintas de formar um par;

b) 12 9 C4, 3 = 12 9 4 = 48 maneiras distintas de formar uma trinca comas demais cartas restantes.

Portanto, 78 9 48 = 3 744 maneiras distintas de formar um full hand.

• O número total de tipos de sacolas distintas, cada uma com 4 itens, quepodem ser feitos com 8 produtos de limpeza e 5 produtos alimentícios

é:

C13, 4 4!9!

= =13

715!

.

• O número total de tipos de sacolas distintas, com 4 itens de limpeza,

escolhidos entre os 8 disponíveis, é:

C8, 4 4!4!

= =8

70!

.

• O número total de tipos de sacolas distintas, com 4 itens de alimenta-ção, escolhidos entre os 5 disponíveis, é C

5, 4 = 5.

• O número total de tipos de sacolas distintas com pelo menos um item delimpeza e um de alimentação é 715 − 70 − 5 = 640.

15 (Fuvest-SP) Uma ONG decidiu preparar sacolas, con-tendo 4 itens distintos cada uma, para distribuir entre apopulação carente. Esses 4 itens devem ser escolhidos en-tre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentosnão perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos umitem que seja alimento não perecível e pelo menos um itemque seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas dis-tintas podem ser feitos?a) 360 b) 420 c) 540 d) 600 e) 640X

1442443 1442443vogais pares

017_022_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3320


Matemática21

21 (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s)proposição(ões) correta(s).

(01) A solução da equação (x 0 3)! 0 (x 0 2)! = 8 9 (x 0 1)!é 0 (zero).

(02) A solução da equação Ax, 3 = 4 9 Ax, 2 é 6.

(04) No desenvolvimento do binômio (2x − 1)6, o termoindependente de x é 1.

(08) O número de anagramas que podemos formar comas letras da palavra BRASIL, que começam com B eterminam com L, é 24.

(16) Um time de futebol de salão é formado por 5 jogado-res. Dispondo de 8 jogadores, podemos formar 64 ti-mes de futebol de salão.

01. Correta(x 0 3)! 0 (x 0 2)! = 8 9 (x 0 1)!(x 0 3)(x 0 2)(x 0 1)! 0 (x 0 2) 9 (x 0 1)! = 8 9 (x 0 1)!(x 0 3)(x 0 2) 0 (x 0 2) = 8x2 0 6x = 0

x xx

x x(x 3)! (x 2)(x 3)!−

=− −

=−

− = =4 14

22 4 6→ → →! !

A Ax x

x, 3 x, 2 (x 3)! (x 2)!= 9

−=

−4 4→ ! !

02. Correta

x’ = 0

x” = −6 (não serve)x(x 0 6) = 0

Tp

xp

p p p0

− −= 9 − 9 91

6 66

1 2

( )

Tp

xp

p p0

−= 9 − 91

66

1 2

( ) ( )

04. CorretaTermo geral do desenvolvimento de (2x − 1)6:

T x7

6 06

61 2 1= 9 − 9 =

( ) ( )

Fazendo 6 − p = 0 Θ p = 6 (7o termo):

16. Incorreta

Podemos formar:

C times8, 5 3!5!

= =9 9

9=

8 8 7 63 2

56!

.

Portanto: 1 0 2 0 4 0 8 = 15

Θ P4 = 4! = 24 anagramas

08. CorretaB L

14444244443

P4

Interpretando “2 das letras a, b e c ” como “apenas 2 das letras a, b e c ”,temos:• O número de maneiras de escolher 2 das letras a, b e c é C3, 2 = 3.• O número de maneiras de escolher as outras 2 letras entre as 7 restan-

tes é C7, 2 = 21.• Permutando, para cada caso, as 4 letras escolhidas, resulta:

C3, 2 9 C7, 2 9 P4 = 3 9 21 9 24 = 1 512

17 (ITA-SP) Quantos anagramas com 4 letras distin-tas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabe-to e que contenham 2 das letras a, b e c?a) 1 692 b) 1 572 c) 1 520 d) 1 512 e) 1 392

18 (PUC-RJ) Se

nn n

!( )! ( )!

,0 0 0

=2 1

148

então:

a) n = 2 d) n = 7b) n = 12 e) n = 10c) n = 5

n2 0 4n 0 3 = 48 Θ n2 0 4n − 45 = 0 Θ nδ = 5 ou nφ = −9 (não serve)

(n 0 2)! = (n 0 2) 9 (n 0 1) 9 n!(n 0 1)! = (n 0 1) 9 n!

Entãon n

:! !

(n 2)! (n 1)! (n 2)(n 1)n! (n 1)n!0 0 0=

0 0 0 0

nn

!) ]n! [(n 2)(n 1 (n 1)(n 3)0 0 0 0

=0 0

=1

1 148

X

X

19 (UFC) O coeficiente de x3 no polinômiop(x) = (x − 1) 9 (x 0 3)5 é:a) 30 b) 50 c) 100 d) 120 e) 180X

• Cálculo do coeficiente de x2 no binômio (x 0 3)5:

Tk

xk

k k0

−= 9 91

55

3

5 − k = 2 Θ k = 3 14

24

3

T x x4

2 3 25

33 270= 9 9 = 9

• Cálculo do coeficiente de x3 no binômio (x 0 3)5:

Tk

xk

k k0

−= 9 91

55

3

5 − k = 3 Θ k = 2 14

24

3

T x x3

3 2 35

23 90= 9 9 = 9

• O coeficiente de x3 no polinômio p(x) = (x − 1) 9 (x 0 3)5 é provenientede x 9 (270x2) − 1 9 (90x3) = 180 9 x3, portanto vale 180.

(x 0 1)! = x2 0 x(x 0 1) 9 x 9 (x − 1)! = x 9 (x 0 1)(x − 1)! = 1Logo, x − 1 = 0 e x = 1 ou x − 1 = 1 e x = 2, cuja soma das raízes é1 0 2 = 3.

20 (PUC-RS) A soma das raízes da equação(x 0 1)! = x2 0 x é:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4X

Θ

Θ

017_022_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3421

M16Probabilidade

Matemática23


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M16

TERCEIRÃO FTDProbabilidade Caderno de

Atividades

2 (Unesp-SP) Num curso de Inglês, a distribuição dasidades dos alunos é dada pelo gráfico seguinte:

Com base nos dados do gráfico, determine:a) o número total de alunos do curso e o número de

alunos com no mínimo 19 anos;b) escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de

sua idade ser no mínimo 19 anos ou ser exatamente16 anos.

a) O número de alunos do curso é 4 0 5 0 3 0 1 0 2 0 5 = 20.O número de alunos com no mínimo 19 anos é 1 0 2 0 5 = 8.

b) no de alunos com no mínimo 19 anos: 8no de alunos com exatamente 16 anos: 4A probabilidade P da idade de um aluno, escolhido ao acaso, ter nomínimo 19 ou exatamente 16 anos é tal que:

P =

0= = =

8 420

1220

0 60 60, %

1 (FGV-SP) A área da superfície da Terra é aproximada-mente 510 milhões de km2. Um satélite artificial dirige-sealeatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade de elecair numa cidade cuja superfície tem área igual a 102 km2?a) 2 9 10−9 c) 2 9 10−7 e) 2 9 10−5

b) 2 9 10−8 d) 2 9 10−6

A probabilidade, no caso, é igual a:

X

102510 000 000

102510 10

15 10

0 2 10 2 102

2 6 66 7km

km=

9=

9= 9 = 9− −,


3 (UFPR) Um experimento consiste em imprimir asletras A, B, C, em ordem aleatória e sem repetição dequalquer uma das letras. Desse experimento, é corretoafirmar:

(01) O espaço amostral do experimento possui 3 elementos.(02) A probabilidade de que pelo menos uma das letras

ocupe o seu lugar próprio do alfabeto é

23

.

(04) A probabilidade de que nenhuma das letras ocupe oseu lugar próprio do alfabeto é 0,25.

(08) A probabilidade de que todas as letras ocupem o seu

lugar próprio do alfabeto é

16

.

(16) A probabilidade de a letra A não ocupar o seu lugar

próprio do alfabeto é

23

.

01. IncorretaU = {(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A)}n(U) = 6

02. CorretaE

1 = {(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (C, B, A)} Θ n(E

1) = 4

P En E

n UP E( )

( )

( )( )

1

1

1

46

23

= = =→

04. IncorretaE2 = {(B, C, A), (C, A, B)} Θ n(E2) = 2

P En E

n UP E( )

( )

( )( ) ,

2

2

2

26

0 33= = Λ→

08. CorretaE3 = {(A, B, C)} Θ n(E3) = 1

16. CorretaE4 = {(B, A, C), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A)} Θ n(E4) = 4

P En E

n UP E( )

( )

( )( )

3

3

3

16

= =→

P En E

n UP E( )

( )

( )( )

4

4

4

46

23

= = =→

Portanto: 2 0 8 0 16 = 26

0

1

2

3

4

5

16 17 18 19 20 21

Idade dos alunos

Número dealunos

023_030_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3623

ProbabilidadeM16

Matemática 24

6 (UFBA) Uma pessoa esqueceu a senha de seu cartãode crédito que é composta de seis algarismos distintos.Lembrou-se de quais eram os três primeiros algarismos eos três últimos, mas não da ordem em que eles apareciam.Sendo P a probabilidade de que ela acerte a senha na pri-

meira tentativa, calcule

P1

.

• Para os três primeiros algarismos, temos: 3 9 2 9 1 = 6 possibilidades.• Para os três últimos algarismos, temos: 3 9 2 9 1 = 6 possibilidades.

A probabilidade para acertar a senha na primeira tentativa é:

P =9

=1

6 61

36

Logo

P, .

136=

7 (MACK-SP) Considere a seqüência (2, 3, ..., 37), denúmeros primos maiores que 1 e menores que 40. Esco-lhidos ao acaso dois deles, a probabilidade de serem ímpa-res consecutivos é:

a)

112

b)

566

c)

233

d)

133

e)

433

A seqüência dos números primos, entre 1 e 40, é:B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}Existem 5 pares de dois primos, entre ímpares consecutivos em B :(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) e (29, 31)Existem C12, 2 = 66 duplas de elementos de B.

Então, a probabilidade procurada é P =

566

.

X

O quadro abaixo refere-se às questões 4 e 5.

4 (ENEM) A probabilidade de o participante não ganharqualquer prêmio é igual a:

a) 0 b)

13

c)

14

d)

12

e)

16

Espaço amostral EEvento A: não ganhar qualquer prêmioP(A) = probabilidade de ocorrer AE = {TVE, VET, ETV, VTE, TEV, EVT} Θ n(E) = 6A = {VET, ETV} Θ n(A) = 2

P An A

n E( )

( )

( )= = =

26

13

5 (ENEM) A probabilidade de o concorrente ganhar exa-tamente o valor de R$ 400,00 é igual a:

a) 0 b)

13

c)

12

d)

23

e)

16

X

X

Evento B: ganhar exatamente o valor de R$ 400,00P(B) = probabilidade de ocorrer BPara ocorrer o evento B o concorrente deverá acertar duas e apenas duasletras na posição correta, o que é impossível. Se duas letras estiverem naposição correta, a terceira letra também estará.Assim, n(B) = 0.

P Bn B

n E( )

( )

( )= = =

06

0

Em um concurso de televisão, apresentam-se ao parti-cipante 3 fichas voltadas para baixo, estando represen-tada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichasencontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. Oparticipante deve ordenar as fichas ao seu gosto, man-tendo as letras voltadas para baixo, tentando obter asigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja naposição correta ganhará um prêmio de R$ 200,00.

023_030_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3624

M16Probabilidade

Matemática25

9 (Unicamp-SP) Em Matemática, um número natural aé chamado palíndromo se seus algarismos, escritos emordem inversa, produzem o mesmo número. Por exem-plo, 8, 22 e 373 são palíndromos. Pergunta-se:a) Quantos números naturais palíndromos existem entre

1 e 9 999?b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e

9 999, qual é a probabilidade de que esse número sejapalíndromo? Tal probabilidade é maior ou menor que2%? Justifique sua resposta.

a) Considerando a frase “existem entre 1 e 9 999” como “existem entre 1 e9 999, inclusive 1 e 9 999”, tem-se:• 9 “palíndromos” com um algarismo;• 9 9 1 = 9 “palíndromos” com dois algarismos;• 9 9 10 9 1 = 90 “palíndromos” com três algarismos;• 9 9 10 9 1 9 1 = 90 “palíndromos” com quatro algarismos; portanto,

existem (9 0 9 0 90 0 90) = 198 “palíndromos” entre 1 e 9 999.b) A probabilidade de um número natural escolhido entre 1 e 9 999, inclu-

sive 1 e 9 999, ser “palíndromo” é

1989 999

2101

2100

2= , = %.

10 (PUC-SP) Serão sorteados 4 prêmios iguais entreos 20 melhores alunos de um colégio, dentre os quais es-tão Tales e Euler. Se cada aluno pode receber apenas umprêmio, a probabilidade de que Tales ou Euler façam partedo grupo sorteado é:

a)

395

b)

119

c)

319

d)

719

e)

3895

X

O número de grupos possíveis de 4 alunos premiados e que podem serescolhidos dentre os 20 é C20, 4.Desse total, Euler e Tales não fazem parte do grupo sorteado em C

18, 4deles.A probabilidade pedida é, portanto, igual a:

PC

C= −1

18, 4

20, 4

C e C

18, 4 20, 4 4!16!= = = =

184 14

1220

19!

! !!

8 (ENEM) Em determinado bairro há duas empresasde ônibus, ANDABEM e BOMPASSEIO, que fazem o tra-jeto levando e trazendo passageiros do subúrbio ao cen-tro da cidade. Um ônibus de cada uma dessas empresasparte do terminal a cada 30 minutos, nos horários indi-cados na tabela.

Horários dos ônibus

ANDABEM BOMPASSEIO

...

6h 00min

6h 30min

7h 00min

7h 30min

...

...

6h 10min

6h 40min

7h 10min

7h 40min

...

Carlos mora próximo ao terminal de ônibus e trabalha nacidade. Como não tem hora certa para chegar ao trabalhonem preferência por qualquer das empresas, toma sem-pre o primeiro ônibus que sai do terminal. Nessa situa-ção, pode-se afirmar que a probabilidade de Carlos viajarnum ônibus da empresa ANDABEM é:a) um quarto da probabilidade de ele viajar num ônibus

da empresa BOMPASSEIO.b) um terço da probabilidade de ele viajar num ônibus da

empresa BOMPASSEIO.c) metade da probabilidade de ele viajar num ônibus da

empresa BOMPASSEIO.d) duas vezes maior do que a probabilidade de ele viajar

num ônibus da empresa BOMPASSEIO.e) três vezes maior do que a probabilidade de ele viajar

num ônibus da empresa BOMPASSEIO.

X

Carlos tomará o ônibus da empresa BOMPASSEIO se ele chegar ao ter-minal depois das 6 h e antes das 6h 10min ou depois das 6h 30min eantes das 6h 40min, ou seja, isso pode ocorrer num intervalo de 10 minu-tos a cada período de 30 minutos. Então, a probabilidade correspondente

Mas, se Carlos chegar ao terminal depois das 6h 10min e antes das6h 30min ou depois das 6h 40min e antes das 7 h, ele tomará o ônibus daempresa ANDABEM, o que pode ocorrer num intervalo de 20 minutos acada período de 30 minutos. Então, a probabilidade correspondente é

de ou2030

23

.

Logo, a probabilidade de Carlos viajar num ônibus da empresa ANDABEMé duas vezes a probabilidade de ele viajar num ônibus da empresaBOMPASSEIO.

Então:

P = − =11219

719

é ou1030

13

.

023_030_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3725

ProbabilidadeM16

Matemática 26

13 (UFC) Duas equipes disputam entre si uma série dejogos em que não pode ocorrer empate e as duas equipestêm as mesmas chances de vitória. A primeira equipe queconseguir duas vitórias seguidas ou três vitórias alterna-das vencerá a série de jogos. Qual a probabilidade de umaequipe vencer a série de jogos com duas vitórias seguidas?

Sejam A e B as equipes envolvidas na disputa. Como as chances devitória das equipes são iguais, a probabilidade de uma equipe vencer um

jogo é12

.

Construindo a árvore de possibilidades:

A

BB Θ (2)

A

AB Θ (3)

A Θ (3)B B Θ (4)

A A Θ (5)B Θ (5)

BA Θ (4)

A Θ (5)B Θ (5)

Observando a árvore, concluímos que existem 10 possibilidades de en-cerramento da série de jogos:

1) Com dois jogos:

AA e BB Θ P(AA) = P(BB) =

12

12

14

9 =

2) Com três jogos:

ABB e BAA Θ P(ABB) = P(BAA) =

12

12

12

18

9 9 =

3) Com quatro jogos:ABAA e BABB Θ P(ABAA) = P(BABB)

12

12

12

12

12

132

9 9 9 9 =

Portanto, a probabilidade de uma equipe vencer a série de jogos comduas vitórias seguidas é:

P = 9 0 9 0 9 0 9 =2

14

218

21

162

132

1516

4) Com cinco jogos: ABABB, BABAA, ABABA e BABAB, em que apenasABABB e BABAA têm duas vitórias seguidas

12

12

12

12

116

9 9 9 =

14 (UERJ) Numa cidade, 20% dos carros são da mar-ca W, 25% dos carros são táxis e 60% dos táxis não são damarca W.Determine a probabilidade de que um carro escolhido aoacaso, nessa cidade, não seja táxi nem seja da marca W.

Porcentagem de táxis que não são da marca W : 0,60 9 0,25 = 0,15 = 15%.Se 20% dos carros são da marca W, 80% são de outras marcas.Desses 80%, 15% são táxis, portanto, 80% − 15% = 65% não são táxisnem da marca W.

11 (ENEM) Um município de 628 km2 é atendido porduas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam umraio de 10 km do município, conforme mostra a figura.

Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisaavaliar a probabilidade que um morador tem de, circulan-do livremente pelo município, encontrar-se na área de al-cance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabili-dade é de, aproximadamente:a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40%

Na figura, os ângulos de vértices A e B são ângulos suplementares, isto é,a soma de suas medidas é 180). Logo, a superfície coberta por uma dasemissoras corresponde a um semicírculo de raio 10 km cuja área é dada

por km

π102

22, ou seja, aproximadamente 157 km2.

A probabilidade de um morador encontrar-se na área de alcance de pelo

menos uma das emissoras é

157628

25= %.

12 (UFV-MG) Os bilhetes de uma rifa são numeradosde 1 a 100. A probabilidade de o bilhete sorteado ser umnúmero maior que 40 ou um número par é:a) 60% b) 70% c) 80% d) 90% e) 50%X

X

Nas condições do problema:• existem 60 números maiores que 40;• existem 50 números pares;• existem 30 números pares, maiores que 40.Logo, a probabilidade de o bilhete sorteado ser um número maior que 40ou par é:P = P (maior que 40) 0 P (par) − P (maior que 40 e par)

P = 0 −

40100

50100

30100

P =

0 −=

60 50 30

10080%

B

A Θ (2)

município

A10 km

10 kmB

10 km

10 km

P(ABABB) = P(BABAA) =

023_030_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3726

M16Probabilidade

Matemática27

16 (UFSCar-SP) Um jogo para duas pessoas consisteem uma urna com 2 bolas vermelhas e 1 azul. Ganha ojogo quem retirar da urna a bola azul. Caso um jogadorretire uma bola vermelha, essa volta para a urna, e o ou-tro jogador faz sua retirada. Os jogadores vão alternandosuas retiradas até que saia a bola azul. Todas as bolas têma mesma probabilidade de ser retiradas. A probabilidadede o primeiro a jogar ganhar o jogo, isto é, em uma desuas retiradas pegar a bola azul, vale:

a)

13

b)

25

c)

12

d)

35

e)

23

X

O primeiro jogador ganhará o jogo se retirar a bola azul na primeira jogadaou na terceira ou na quinta, e assim por diante.Sendo P a probabilidade de o primeiro jogador ganhar o jogo, temos:

P = 0 9 9 0 9 9 9 9 0

13

23

23

13

23

23

23

23

13

...

1a rodada

1442443 14444244443

Θ Soma de uma PGinfinita, em que:

a e q1

213

23

= =

Pa

q=

−=

−

= =1

21

13

123

1359

35

15 (UFMT) Uma indústria farmacêutica fez uma esti-mativa da eficiência de um medicamento para tratamentode determinada doença, ministrando-o a um grande nú-mero de pessoas portadoras dessa doença. Os resultadosobtidos, classificados em três categorias: Cura, Melhora(mas não cura total) e Nenhuma alteração, são mostra-dos na tabela abaixo.

Resultado Probabilidade

Cura

Melhora

Nenhuma alteração

0,7

0,2

0,1

%

70

20

10

Considere a experiência aleatória que consiste em selecio-nar 4 pessoas portadoras da doença, ministrar-lhes o me-dicamento e determinar em que categoria o resultado seenquadra. Sendo P a probabilidade de a 1a pessoa apresen-tar melhora, a 2a e a 3a não terem qualquer alteração e a 4a

ser curada, calcule p 9 104.

P = 0,2 9 0,1 9 0,1 9 0,7 = 2 9 7 9 10−4

1a 2a 3a 4a

P 9 104 = 14 9 10−4 9 104 = 14

17 (UEL-PR) Uma máquina caça-níqueis possui três dis-cos. Cada disco contém um conjunto de símbolos que, nafigura abaixo, estão representados nas três colunas à direita:

Ao se inserir R$ 1,00 e pressionar um botão, os três discoscomeçam a rodar. O jogador deve, então, pressionar ou-tros três botões, ao acaso, para parar cada disco. Os trêssímbolos que aparecem na linha horizontal marcada serãoiluminados e determinarão o quanto o jogador ganhará:

Combinação Prêmio (em R$)

3 bandeiras

2 bandeiras

3 bolas

3 camisas

3 chuteiras

1 500,00

750,00

250,00

250,00

250,00

Qual a probabilidade de uma pessoa, em apenas uma jo-gada, ganhar R$ 1 500,00?

a)

18 000

b)

14 000

c)

1400

d)

180

e)

14

A probabilidade de que, em apenas uma jogada, se ganhe R$ 1 500,00 é:

P = 9 9 =1

201

20220

14 000

1o disco

123123 123

2o disco 3o disco

X2a rodada 3a rodada

023_030_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3727

ProbabilidadeM16

Matemática 28

18 (Fuvest-SP) Dois triângulos congruentes, com la-dos coloridos, são indistinguíveis se podem ser sobrepos-tos de tal modo que as cores dos lados coincidentes sejamas mesmas. Dados dois triângulos eqüiláteros congruentes,cada um de seus lados é pintado com uma cor escolhidadentre duas possíveis, com igual probabilidade. A proba-bilidade de que esses triângulos sejam indistinguíveis é de:

a)

12

b)

34

c)

916

d)

516

e)

1532

X

Supondo que as cores disponíveis para pintar os lados dos triângulos se-jam A e B e observando que os triângulos

são indistinguíveis pela definição dada, como também são indistinguíveisos triângulos

tem-se:• A tabela apresenta as possibilidades de pintura de cada triângulo e sua

respectiva probabilidade:

• A probabilidade de que esses dois triângulos sejam indistinguíveis é:

P = 9 0 9 0 9 0 9 = =

18

18

38

38

38

38

18

18

2064

516

Pintura

3 lados de cor A

2 lados de cor A e um de cor B

1 lado de cor A e 2 de cor B

3 lados de cor B

Probabilidade

12

12

12

18

9 9 =

3

12

12

12

38

9 9 9 =

3

12

12

12

38

9 9 9 =

12

12

12

18

9 9 =

19 (ESPM-SP) Uma urna contém cinco bolas idênti-cas, numeradas de 1 a 5. Uma bola é retirada da urna alea-toriamente e seu número é observado. Se for um númeroímpar, essa bola será deixada fora da urna, mas, se for par,ela retornará à urna. Em ambos os casos uma segundabola é retirada. A probabilidade de que ela apresente umnúmero par é:a) 32% b) 46% c) 48% d) 52% e) 64%X

Seja P1 a probabilidade de que a 1a bola seja ímpar e a 2a bola seja par e

P2 a probabilidade de que a 1a bola seja par e a 2a seja par.

Temos

P e P

:

% %1 2

35

24

310

3025

25

425

16= 9 = = = 9 = =

A probabilidade pedida é:P = P

1 0 P

2 = 30% 0 16% = 46%

20 (FGV-SP) Uma escola comprou computadores detrês fabricantes: A, B, C. Trinta por cento foram com-prados de A, trinta por cento de B, e o restante de C. Aprobabilidade de um computador fabricado por A apre-sentar algum tipo de problema, nos próximos 30 meses, é0,1. As mesmas probabilidades dos fabricantes B e C são,respectivamente, 0,15 e 0,2.a) Qual a probabilidade de que um computador escolhido

ao acaso seja fabricado por A e represente algum pro-blema nos próximos 30 meses?

b) Se um computador apresentar algum problema nospróximos 30 meses, qual a probabilidade de que tenhasido fabricado por A?

a) Probabilidade de:

Então, a probabilidade de que um computador seja fabricado por A eapresente algum problema é dada por:P = 0,3 9 0,1 = 0,03

ser fabricado por A: 30% = 0,3apresentar algum problema: 0,1

b) Se um computador apresentar algum problema, então a probabilidadede que ele tenha sido fabricado por A será:

P =9

9 0 9 0 9

0 3 0 10 3 0 1 0 3 0 15 0 4 0 2

, ,, , , , , ,

P =0 0

= =0 03

0 03 0 045 0 0830

155631

,, , ,

A A

B

B A

A

A B

A

B B

A

A B

B

B A

B

023_030_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3828

M17Sólidos Geométricos

Matemática31


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M17

TERCEIRÃO FTDSólidos Geométricos Caderno de

Atividades

Em questões como a 1, as alternativas verdadeiras de-vem ser marcadas na coluna I e as falsas, na II.

1 (Unicap-PE) As proposições desta questão estão rela-cionadas a poliedros.I – II0 – 0 Em um poliedro convexo, se o número de vértices

é 8 e o de arestas é 12, então o número de faces éigual a 4.

1 – 1 Existem seis, e somente seis, classes de poliedrosde Platão.

2 – 2 Um poliedro convexo pode ter duas faces em ummesmo plano.

3 – 3 A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexoé dada por 360) 9 V, em que V é o número de vértices.

4 – 4 Em um poliedro de Platão, em cada vértice concor-re o mesmo número de arestas.

0 0 FalsaPela relação de Euler: A 0 2 = V 0 F Θ 12 0 2 = 8 0 F Θ F = 6.

1 1 FalsaSão cinco as classes de poliedros de Platão: tetraedro regular, he-xaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro re-gular.

2 2 Falsa3 3 Falsa

A fórmula correta é 360) 9 (V − 2).4 4 Verdadeira

2 (UFRJ) Uma pedra de massa 25 kg tem a forma de umparalelepípedo com 2 cm de espessura. Sua base é um qua-drado com 1 m de lado. Qual a massa de uma outra pedra,do mesmo material, que tem a forma de um paralelepípe-do com 2 m de comprimento, 80 cm de largura e 3 cm deespessura?

Massa da pedra 2 = 2,4 9 massa da pedra 1 = 2,4 9 25 = 60 kg

Pedra 1: V1 = 1 9 1 9 0,02 = 0,02 m3 Θ massa = 25 kg

Pedra 2: V2 = 2 9 0,80 9 0,03 = 0,048 m3

V

V2

1

2

2

0 0480 02

4 8 102 10

2 4= =9

9=

,,

,,

3 (UERJ) Para construir um poliedro convexo, um meni-no dispõe de folhas retangulares de papel de seda, cada umacom 56 cm de comprimento por 32 cm de largura, e de 9varetas de madeira, cada uma com 40 cm de comprimento.Na construção da estrutura desse poliedro todas as facesserão triangulares e cada aresta corresponderá a uma vareta.Admita que o menino usará as 9 varetas e que todas asfaces serão revestidas com o papel de seda.Determine o número mínimo de folhas do papel de sedanecessárias para revestir o poliedro.

A cm

faces= 9 = Λ 9 =6

40 34

2 400 3 2 400 17 4 0802

2,

• Cálculo da área de cada folha de papel retangular:A

folha = 56 9 32 = 1 792 cm2

Número mínimo de folhas:

4 080

1 7922 28Λ , → 3 folhas

A: número de arestas e F: número de faces triangularesPelos dados do problema:A = 9 9 2 = 18 lados para os triângulosF = 18 : 3 = 6 faces triangulares• Cálculo da área total das faces (6 triângulos eqüiláteros)

O volume do tanque é: 30 9 60 9 50 = 90 000 cm3 = 90 σ.

Em cada minuto, entram no tanque:

9010

9σ

= σ.

Em cada minuto, saem do tanque:

9018

5σ

= σ.

Em cada minuto, restam no tanque: 9 σ − 5 σ = 4 σ.Portanto, 90 : 4 = 22,5 min.

4 (UENF-RJ) Para uma demonstração prática, um pro-fessor utiliza um tanque com a forma de um paralelepípe-do retângulo, cujas dimensões internas correspondem a30 cm de largura, 60 cm de comprimento e 50 cm de altu-ra. Esse tanque possui uma torneira que pode enchê-lo,estando ele completamente vazio, em 10 minutos, e umralo que pode esvaziá-lo, estando ele completamente cheio,em 18 minutos. O professor abre a torneira, deixando oralo aberto, e solicita que um aluno registre o tempo de-corrido até que o tanque fique totalmente cheio.Estabeleça o tempo que deve ser registrado pelo aluno.

I II0 01 12 23 34 4

031_037_CA_Matem_3 09.10.06, 15:2431

Sólidos GeométricosM17

Matemática 32

Cálculo das áreas das faces:Fig. 1: S1 = 1 m2

Fig. 2:

S m2

2

2113

119

89

= − = − =

Fig. 3:

S m3

2

289

819

89

881

6481

= − 9 = − =

Fig. 4:

S m4

2

26481

641

276481

64729

512729

= − 9 = − =

A seqüência das áreas: 189

6481

512729

, , , , ...

é uma PG

em que a e q

11

89

= = .

Portanto, temos: a30 =

a q1

29

29 29

189

89

9 = 9 =

.

5 (UEL-PR) A figura construída segundo a seqüênciaabaixo é denominada Esponja de Sierpinski ou Esponjade Menger. Representa um fractal gerado a partir de umcubo. Partindo-se do cubo inicial, obtêm-se outros cubos

menores, com arestas iguais a

13

da aresta deste. O cubo

central e os cubos do centro de cada face são removidos.O procedimento se repete em cada um dos cubos meno-res restantes. O processo é interado infinitas vezes, ge-rando a Esponja.

X

7 (UnB-DF) Considere o sólido obtido de um paralele-pípedo retângulo, retirando-se um prisma, conforme in-dica a figura abaixo.Calcule, em centímetros cúbicos, a metade do volume des-se sólido.

V S V cm

B b H B= =

99 = =

9

3 32

4 18 18 3→

A metade do volume

Vcm é .

287 3=

V = 192 − 18 = 174 Θ V = 174 cm3

Sejam A o paralelepípedo de dimensões 8 cm Ο 4 cm Ο 6 cm e B o prismaretirado.O prisma retirado B tem altura H = 4 cm e a base é um triângulo em queum dos lados mede 3 cm e a respectiva altura, 3 cm.V = VA − VB

VA = 8 9 4 9 6 = 192 → VA = 192 cm3

1 cm

4 cm3 cm 1

cm

4 cm

3 cm

3 cm

2,5 cm

4 cm

6 (MACK-SP) Um poliedro convexo tem 3 faces trian-gulares, 4 quadrangulares e 5 pentagonais. O número devértices desse poliedro é:a) 25 b) 12 c) 15 d) 9 e) 13

V − A 0 F = 2 Θ V − 25 0 12 = 2 → V = 15

F = 3 0 4 0 5 → F = 12

A A=

9 0 9 0 9=

3 3 4 4 5 52

25→

X

Supondo que a medida da aresta do cubo inicial seja iguala 1 m, qual é a área, em m2, de uma face da figura 30?

a)

89

30

c)

98

30

e)

2720

19

b)

89

29

d)

2027

19

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3 Fig. 4

031_037_CA_Matem_3 09.10.06, 15:2532


Matemática33

8 (MACK-SP) O recipiente da figura, que contém água,é um prisma reto cujas bases são triângulos eqüiláterosde altura 2. A superfície da água é paralela à face ABCD. Seo volume ocupado pela água é metade do volume do pris-ma, o valor de h é:

a)

65

b) 3

c) 2

d)

12

e)

34

O volume ocupado pela água é metade do volume do prisma, quando aárea do triângulo EFG é metade da área do triângulo ADE (pois o prismarecipiente e o prisma ocupado pela água possuem a mesma altura).

A

Ah

ADE

#

#

= =EFG

212

2

h = 2

X

9 (Vunesp-SP) O prefeito de uma cidade pretende colo-car em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira,que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadradafeita de concreto maciço, como mostra a figura.

V

A hB

=9

3

Pelos dados, temos:

hh= =

412

22

2→

11 (Unicamp-SP) Considere um cubo cuja aresta mede10 cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces docubo é um octaedro regular, cujas faces são triânguloseqüiláteros congruentes.a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular.b) Calcule o volume do mesmo octaedro.

Assim, cm.σ = 5 2

b) Como o volume do octaedro corresponde aos volumes de duas pirâmi-des de base quadrada com aresta da base σ e altura h = 5 cm:

a) σ é a diagonal de um quadrado de lado 5 cm.

V = 9 9 σ 92

13

52

Assim:

cm2V V= 9 =23

5 2 55003

2( ) →

Sejam:• σ o comprimento, em centíme-

tros, de cada aresta desseoctaedro regular;

• V o volume, em cm3, desseoctaedro.

h

A

F

E

G

D

B C

10

10

10

10

10

105

5

55

σσ σ

σ

σ

σ

σ

σ

Começando pelo topo, o número de latas por pilha obedece à seqüência:(1, 2, 3, 4, ..., 20), que é uma PA em que a1 = 1, a20 = 20 e r = 1.

1 0 2 0 3 0 4 0 ... 0 20

Vlata = 0,10 9 0,10 9 0,18 = 0,0018 m3

Volume da pilha: 210 9 0,0018 = 0,378 m3

10 (UFV-MG) Em um supermercado, as latas de óleode determinada marca foram empilhadas de tal forma quecada nível tem uma lata a menos que o nível anterior e ovigésimo nível tem apenas uma lata. A visão frontal departe dessa pilha está ilustrada na figura abaixo.

Sabendo-se que a lata de óleo tem a forma de um paralele-pípedo retângulo de dimensões 0,10 m Ο 0,10 m Ο 0,18 m,o volume da pilha de latas é, em m3:a) 0,342 b) 0,036 c) 0,756 d) 0,378 e) 0,360X

V =

93

3

2 4

V = 12 m3

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m eque a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto(em m3) necessário para a construção da pirâmide será:

a) 36 b) 27 c) 18 d) 12 e) 4X

031_037_CA_Matem_3 09.10.06, 15:2533


Matemática 34

A’

A

C

10 cm

5 cm

12 (UFJF-MG) Um paralelepípedo retângulo tem 22 m2

de área total e arestas iguais a x, x 0 1 e x 0 2 metros.Calcule o volume desse sólido.

a) O volume V pedido, em cm3, é tal que:

V

5 34

0 V 375 32

= =6 1 399

9

→ cm

b) Do enunciado, temos a figura, cotada em centímetros:

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos:(AC)2 = (AB)2 0 (BC)2 − 2 9 (AB) 9 (BC) 9 cos (ABC)ˆ

( )AC 2 25

12

= 0 − 9 9 9 −5 2 5 52

AC = 5 3 cm

A área S pedida, em cm2, é a área do retângulo ACC’A’. Logo:

S = (AC) 9 (AA’) → S = =5 3 10 S 50 3 cm29 →

A’

C�

A

5

B

120�

5

10

C

Considere a figura, na qual EP é a altura da pirâmide ABCDE:

D

A

E

C

B

Vamos tomar o plano (EFG), que contém EP e é perpendicular a AB em Fe a CD em G. Nessas condições, EF e EG são alturas dos triângulos ABEe CDE, respectivamente, e FG = 3.


12

9 9 Θ 9 9 ΘAB EF = 4 1012

4 EF = 4 10 EF = 2 10

e

12

9 9 Θ 9 9 ΘCD EG = 2 3712

4 EG = 2 37 EG = 37

Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos EFP e EGP,temos:

EP2

20 = Θ 0 = Θ = −PF EF EP PF 2 10 EP 40 PF2 2 2 2 2 2( ) �

D

A

E

G

P

C

BF

Seja ST a área total do paralelepípedo retângulo.

Temos:

ST = 2[x(x 0 1) 0 x(x 0 2) 0 (x 0 1)(x 0 2)] = 22

3x2 0 6x − 9 = 0 Θ x2 0 2x − 3 = 0

Resolvendo esta última equação, obtemos x = 1 ou x = −3.

Logo, x = 1 e as arestas do paralelepípedo medem 1, 2 e 3 m.

Portanto, o volume V do paralelepípedo é: V = 1 9 2 9 3 = 6 m3.

13 (Unicamp-SP) A figura aolado apresenta um prisma retocujas bases são hexágonos regula-res. Os lados dos hexágonos me-dem 5 cm cada um e a altura doprisma mede 10 cm.a) Calcule o volume do prisma.b) Encontre a área da secção desse

prisma pelo plano que passa pe-los pontos A, C e A’.

14 (Fuvest-SP) A base ABCD da pirâmide ABCDE é umretângulo de lados AB = 4 e BC = 3.As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente,

4 10 e 2 37 . Calcule o volume da pirâmide.

AB = 4BC = 3

EP22

2

0 = Θ 0 − =

= − −

PG EG EP 3 PF 37

EP 37 3 PF

2 2 2 2

2

( ) ( )( )

De � e �, temos que 40 − PF2 = 37 − (3 − PF)2, ou seja, PF = 2.Substituindo em �, temos que EP = 6.

O volume pedido é igual a

13

4 3 69 9 9 , ou seja, 24 unidades de volume.

�

031_037_CA_Matem_3 09.10.06, 15:2634


Matemática35

X

O: centro do hexágono regular ABCDEFσ: medida de cada lado do hexágono re-

gular ABCDEF

DF = 3 3

Aplicando o teorema dos cossenos ao triângulo DEF, temos:(DF)2 = (DE)2 0 (EF)2 − 2 9 DE 9 EF 9 cos 120°

3 3 2 1

232 2( )

→2

= σ 0 σ − 9 σ 9 σ 9 − σ =

Sendo OM uma altura do triângulo eqüilátero OAB, temos que

OM =

3 32

.

No triângulo retângulo VOM, temos:

cos 60

OMVM

12

3 32

VMVM 3 3� = = =→ →

Logo, a área S pedida é tal que:

S = 9 0 9

9=6

3 34

63 3 3

S81 3

2cm

22

2→

V

EB

Aº2

ºF

D C

O

M

60�120� º2

No triângulo retângulo VOM, temos:

(VM)2 = (VO)2 0 (OM)2

(VM)2 = 32 0 42 → VM = 5 m

D

3

4O

4

4

C

V

BA 8

M

A área S da superfície lateral dessa pirâmide é

S =

4 1

2BC VM9 9 9 9

Portanto,

S =

4 1

28 59 9 9 , ou seja, S = 80 m2.

Sabendo-se que as telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotesque cobrem 1 m2 e supondo-se que possa haver 10 lotes desperdiçados,o número mínimo de lotes de telhas a serem comprados é 80 0 10, ouseja, 90.

17 (UFJF-MG) Uma pirâmide quadrangular regulartem 36 dm2 de área da base e 4 dm de altura. Encontre aárea total dessa pirâmide.

Do enunciado temos a figura, cotada em centímetros, em que está repre-sentada a pirâmide regular hexagonal VABCDEF, de vértice V:

15 (ITA-SP) Uma pirâmide regular tem por base um

hexágono cuja diagonal menor mede 3 3 cm. As faceslaterais dessa pirâmide formam diedros de 60° com o pla-no da base. A área total da pirâmide, em cm2, é:

a)

81 32

c)

812

e) 27 2

b)

81 22

d) 27 3

16 (Fuvest-SP) Um telhado tem a forma da superfícielateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O ladoda base mede 8 m e a altura da pirâmide, 3 m. As telhaspara cobrir esse telhado são vendidas em lotes que co-brem 1 m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhasdesperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo delotes de telhas a ser comprado é:a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130X


Como a pirâmide é quadrangular regular, temos que sua base é um qua-drado e suas faces laterais são triângulos isósceles congruentes.Seja b a medida do lado da base.

Assim, b2 = 36 dm2, b = 6 dm e o apótema b2

da base vale 3 dm.

Seja a a altura do triângulo que caracteriza cada face da pirâmide.Temos:

a 4 b2

a 16 9 a 25 a 5 dm2 2 2 2= 0 Θ = 0 Θ = Θ =

2

A área total AT da pirâmide é dada por: AT = Ab = 4Af, em que Ab é a áreada base e Af é a área do triângulo que compõe cada face da pirâmide.

Portanto,

A

T= 0 9

9= 0 9 = 0 =36 4

6 52

36 4 15 36 60 96 dm2 .

031_037_CA_Matem_3 09.10.06, 15:2635


Matemática 36

Sendo V1 o volume da pirâmide de altura d e V o volume da pirâmide de

altura h = 10 m, tem-se:

18 (ITA-SP) Seja uma pirâmide regular de base hexa-gonal e altura 10 m. A que distância do vértice devemoscortá-la por um plano paralelo à base de forma que o vo-

lume da pirâmide obtida seja do

18

volume da pirâmideoriginal?

a) 2 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m e) 8 m

V

Ve

V

Vdh

1 1

318

=

Assim:

d dd m

1018 10

12

53

→ →= = =

X

b) Qual a distância mínima que uma pessoa de 1,70 mdeve caminhar, saindo do ponto mais raso da piscina,para que fique totalmente submersa?Sugestão: Use semelhança de triângulos.

S m=

0 9=

( )3 1 202

40 2

a) A seção transversal da piscina é um trapézio, com bases medindo 3 me 1 m e altura 20 m.

A piscina tem a forma de um prisma reto com um trapézio como base ealtura igual a 10 m (largura da piscina).V = SB 9 h = 40 9 10 = 400 m3 = 400 000 dm3 = 400 000 σ

1011

101170

101 170 101 0 70 101=0

0 = =x

x x m,

, ,→ →

Como

101 Λ 10, ele teria de caminhar um pouco mais de 7 m.

No #ABG: 102 0 12 = b2 Θ #ABG Κ #ACF

a aa a a m

120

33 20 10=

0= 0 =→ →

Na figura acima, temos: #ABG Κ #ADE

a) Cada embalagem cilíndrica terá 0,8 : 4 = 0,6 : 3 = 0,2 m de diâmetro,portanto 0,1 m = 10 cm de raio.

b) Vcil = π 9 r2 9 h = π 9 102 9 30 = 3 000π cm3 = 0,003π m3

19 (UEPA) Um empresário paraense, querendo apro-veitar o estoque de caixas de papelão existente noalmoxarifado, contratou uma empresa para produzir em-balagens cilíndricas de tal forma que cada caixa contives-se 12 unidades do produto, conforme secção reta abaixo.Sabendo-se que a altura das caixas de papelão é de 30 cme que a altura das embalagens deve coincidir com a alturadessas caixas, pergunta-se:a) Qual o raio da embalagem cilíndrica a ser produzida?b) Qual o volume da embalagem cilíndrica a ser produzida?

b) B D20

E

A

3

a

b 11,70

Fx

C

G

εh = 10 m

d

V

0,8 m

0,6 m

SECÇÃO RETA

20 (UFV-MG) A figura abaixo exibe a seção transver-sal de uma piscina de 20 m de comprimento por 10 mde largura, com profundidade variando uniformemen-te de 1 m a 3 m.

20 m

3 m

1 m

a) Determine o volume de água necessário para encher apiscina até a borda.Sugestão: Calcule a área da seção transversal da pisci-na ilustrada pela figura.

031_037_CA_Matem_3 09.10.06, 15:2736

M18Noções de Estatística

Matemática45


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M18

TERCEIRÃO FTDNoções de Estatística Caderno de

Atividades

INÍCIO DA EPIDEMIA(janeiro)

DUAS SEMANASDE EPIDEMIA

UM MÊSDE EPIDEMIA

MARÇO

RITMO DE CONTÁGIO

Umcontágio

a cada

20 minutos 7 minutos

Umcontágio

a cada

3 minutos

Umcontágio

a cada

minuto

Umcontágio

a cada

1 (UENF-RJ) Observe os gráficos I, II, III e IV, reprodu-zidos abaixo, que demonstram o ritmo de contágio da epi-demia de dengue no Rio de Janeiro, entre os meses dejaneiro e março de 2002.

I. 20 min — 1 contágio60 min (1 h) — 3 contágios

II. 7 min — 1 contágio24 9 60 = 1 440 minutos por dia1 440 : 7 = 205,7 Λ 206 contágios por dia

III. 3 min — 1 contágio1 440 : 3 = 480 contágios por dia

IV. 1 min — 1 contágio24 9 60 = 1 440 contágios por dia

Aumento percentual verificado:

1 44072

20= → 1 900% de aumento

Θ 24 horas: 24 9 3 = 72 contágiospor dia1

23

Baseando-se nos dados fornecidos pelos gráficos I e IV,determine o número de pessoas contagiadas em um dia,em cada situação, e calcule o percentual de aumento veri-ficado entre essas duas situações.

Adaptado de Veja, 13/3/2002.

2 (UFC) A média aritmética das notas dos alunos de umaturma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. Sea média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, amédia aritmética das notas das meninas é igual a:a) 6,5 b) 7,2 c) 7,4 d) 7,8 e) 8,0X

Como a média aritmética dos meninos é 6 e o número de meninos é 5, asoma das notas dos meninos é 5 9 6 = 30. Como a média da turma é 7 eo número de alunos da turma é 30 (25 meninas e 5 meninos), a soma dasnotas da turma é 30 9 7 = 210. Portanto, a soma das notas das meninas é210 − 30 = 180. Conseqüentemente, a média das notas das meninas é

3 (ENEM) O consumo total de energia nas residênciasbrasileiras envolve diversas fontes, como eletricidade, gásde cozinha, lenha etc. O gráfico mostra a evolução do con-sumo de energia elétrica residencial, comparada com oconsumo total de energia residencial, de 1970 a 1995.

Verifica-se que a participação percentual da energia elétri-ca no total de energia gasto nas residências brasileiras cres-ceu entre 1970 e 1995, passando, aproximadamente, de:a) 10% para 40% d) 25% para 35%b) 10% para 60% e) 40% para 80%c) 20% para 60%

Verifica-se, no gráfico, que em 1970 o consumo de energia elétrica eraaproximadamente 2,5 9 106 tep, em um total de 25 9 106 tep, o que implica

uma participação percentual

deteptep

2 5 1025 10

0 1 106

6

,, %.

9

9= =

Em 1995, o consumo de energia elétrica era 20 9 106 tep, em um total de34 9 106 tep, aproximadamente, o que implica uma participação percentual

Fonte: valores calculados por meio dos dados obtidos de:http://infoener.iee.usp.br/1999

X

50

40

30

20

10

01970 1975 1980 1985 1990 1995

Con

sum

o de

ene

rgia

(Ο10

6 te

p*)

energia total energia elétrica

* tep = toneladas equivalentes de petróleo

18025

= 7,2 .

I II III IV

deteptep

20 1034 10

0 59 606

6

9

9Λ Λ, %.

045_052_CA_Matem_3 09.10.06, 15:3745

Noções de EstatísticaM18

Matemática 46

6 (ENEM) O quadro apresenta a produção de algodãode uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999.

Produção(em mil toneladas)

Produtividade(em kg/hectare)

Safra

1995 1996

30

1 500

40

2 500

1997

50

2 500

1998

60

2 500

1999

80

4 000

O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) noperíodo considerado é:

b)

c)

e)

produtividadeprodução

área plantada=

área plantadaprodução

produtividade=

Calculando a área plantada (AP) para cada ano, temos:

199530 10

1 50020 000

6

: AP hectares=9

=

199640 102 500

16 0006

: AP hectares=9

=

199750 102 500

20 0006

: AP hectares=9

=

199860 102 500

24 0006

: AP hectares=9

=

199980 104 000

20 0006

: AP hectares=9

=

Portanto, o gráfico que melhor representa a área plantada (AP), no perío-do, é:

d)a)X

4 (UFSCar-SP) O gráfico de setores do círculo de cen-tro O representa a distribuição das idades entre os eleito-res de uma cidade. O diâmetro i mede 10 cm e o com-

primento do menor arco f é cm

53π

.

O setor x representa todos os8 000 eleitores com menosde 18 anos, e o setor yrepresenta os eleitores comidade entre 18 e 30 anos,cujo número é:a) 12 000 d) 18 000b) 14 800 e) 20 800c) 16 000X

O arco d (semicircunferência)

mede cm

2 52

59 π 9

= π .

Como f mede cm temos

53π

, :

med (g) = med (d) − med(f)

5

53

103

π −π

=π

cm.

Como med (g) = 2 9 med (f) e a área do setor y é o dobro da área dosetor x, então o número de eleitores representados por y é o dobro donúmero de eleitores do setor x, ou seja, 16 000 eleitores.

5 (Unicamp-SP) O gráfico abaixo fornece a concentra-ção de CO2 na atmosfera, em “partes por milhão” (ppm),ao longo dos anos.

a) Qual foi a porcentagem de crescimento da concentra-ção de CO2 no período de 1870 a 1930?

b) Considerando o crescimento da concentração de CO2

nas últimas décadas, é possível estimar uma taxa decrescimento de 8,6% para o período 1990-2010. Comessa taxa, qual será a concentração de CO2 em 2010?

a) 1870: 289 ppm e 1930: 300 ppm300 : 289 = 1,038 = 103,8%Portanto, a porcentagem de crescimento foi aproximadamente 3,8%.

b) Em 1990: 350 ppm.Em 2010: 350 9 1,086 = 380,1 ppm.

yx

C

A

z

BO

y

xA

z

B 5 5

C

95 96 97 98 99

AP

95 96 97 98 99

AP

95 96 97 98 99

AP

95 96 97 98 99

AP

95 96 97 98 99

AP

24 000

20 000

16 000

AP(hectares)

1995 1996 1997 1998 1999

340

320

289 291295

300

310

350

327

ppm

300

280

2601870 1890 1910 1930 1950 1970 1990

360

045_052_CA_Matem_3 09.10.06, 15:3846


Matemática47

8 (ENEM) Para convencer a população local da inefi-ciência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão daoferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfi-co I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeupublicando dias depois o gráfico II, em que pretendeu jus-tificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato éque, no período considerado, foram instaladas, efetiva-mente, 200 novas linhas telefônicas.

Os dois gráficos representam o mesmo crescimento, mas como foram uti-lizadas diferentes escalas, há uma aparente diferença de crescimento en-tre eles.

Analisando os gráficos, pode-se concluir que:a) o gráfico II representa um crescimento real maior do

que o do gráfico I.b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II in-

correto.c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfi-

co I incorreto.d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos

decorre da escolha das diferentes escalas.e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas

diferentes.

2 200

No total delinhas telefônicas

Jan. Abr. Ago. Dez.

2 1502 1002 0502 000

Gráfico I

2 200

2 150

2 100

2 050

2 000Jan. Abr. Ago. Dez.

No total delinhas telefônicas

7 (UFMG) Fez-se uma pesquisa com um certo númerode casais de uma comunidade. Esses casais foram dividi-dos em quatro grupos, de acordo com a quantidade defilhos de cada um. Os resultados dessa pesquisa estãorepresentados nestes gráficos:

Com base nas informações contidas nesses gráficos, éincorreto afirmar que:a) o total de filhos dos casais do Grupo B é maior do que o

total de filhos dos casais dos grupos A e C.b) pelo menos 40% do total de filhos dos casais dos gru-

pos A, B e C é constituído de meninos.c) pelo menos a metade do total de filhos dos casais

pesquisados é constituída de meninas.d) mais da metade do total de filhos dos casais dos grupos

A e B é constituída de meninas.

As alternativas a, b e d estão corretas. Uma sugestão para verificar isso éconsiderar que foram entrevistados 100 casais, e calcular os totais indica-dos nos gráficos.No item c, a afirmação nem sempre é verdadeira, pois os casais do GrupoD podem ter 4 ou mais filhos. Quanto mais filhos tiverem os casais dessegrupo, menor será a porcentagem de meninas em relação ao total.

Casais por grupo

Grupo A: Casais com somente um filho

Grupo B: Casais com somente dois filhos

Grupo C: Casais com somente três filhos

Grupo D: Casais com quatro ou mais filhos

Grupo C10%

Grupo D10%

Grupo B40%

Grupo A40%

40%60%

Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D

50% 50% 50% 50% 60%40%

Meninos Meninas

Meninos e meninas por grupo

X

Gráfico II

X

045_052_CA_Matem_3 09.10.06, 15:3847


Matemática 48

10 (ENEM) Em março de 2001, o presidente dos Esta-dos Unidos da América, George W. Bush, causou polêmicaao contestar o pacto de Kyoto, dizendo que o acordo éprejudicial à economia norte-americana em um momen-to em que o país passa por uma crise de energia [...] Oprotocolo de Kyoto prevê que os países industrializadosreduzam suas emissões de CO2 até 2012 em 5,2%, em re-lação aos níveis de 1990.

Adaptado da Folha de S.Paulo, 11/4/2001.

No gráfico, observa-se que a diferença entre o total de CO2 emitido pelosEUA e pelo Brasil é cerca de 180 bilhões de toneladas.Se o Brasil mantiver constante a sua população e seu índice anual máxi-mo de emissão de CO2, o tempo necessário para o Brasil atingir o acumu-lado atual dos EUA é aproximadamente 460 anos, pois:• Emissão de CO2 por ano:

2,5 toneladas/habitante 9 160 milhões de habitantes = 0,4 bilhão de to-neladas

• Tempo necessário em anos é cerca de:

O gráfico mostra o total de CO2 emitido nos últimos 50anos por alguns países, juntamente com os valores de emis-são máxima de CO2 por habitante no ano de 1999.Dados populacionais aproximados (no de habitantes):— EUA: 240 milhões— Brasil: 160 milhõesSe o Brasil mantivesse constante a sua população e o seuíndice anual máximo de emissão de CO2, o tempo neces-sário para o Brasil atingir o acumulado atual dos EUA se-ria, aproximadamente, igual a:a) 60 anos c) 460 anos e) 1 340 anosb) 230 anos d) 850 anos

X

1800 4

450bilhões

, bilhãoanos=

Adaptado de Veja, 18/4/2001.

9 (FGV-SP) O gráfico abaixo fornece o número de uni-dades vendidas de um produto em função do tempo (da-dos trimestrais).

a) Qual o aumento percentual de unidades vendidas doquarto trimestre de 1998 (IV/98) em relação ao mesmoperíodo do ano anterior (IV/97)?

b) Qual o aumento percentual de unidades vendidas noano de 1998 em relação às do ano de 1997?

36

7

2,5

Emissão anual máxima porhabitante (tonelada)

EUA China Austrália Brasil

20

0

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Tota

l de

emis

sões

de

CO

2 de

sde

1950

/bilh

ões

de t

100

200

300

400

500

600

I/97 II/97 III/97 IV/97 I/98 II/98 III/98 IV/98

Trimestre

Ven

das

aumento percentual 0 333... 33,33%=

−= Λ

400 300300

,

b) Produção anual98 Θ 100 0 300 0 500 0 400 = 1 30097 Θ 100 0 200 0 400 0 300 = 1 000

a) IV/98 400 unidadesIV/97 300 unidades

aumento percentual1 300 1 000

1 0000,30 30%=

−= =

045_052_CA_Matem_3 09.10.06, 15:3848


Matemática49

12 (Unicamp-SP) O Índice de Desenvolvimento Huma-no [IDH], divulgado pela ONU, é um número entre 0 e 1usado para comparar o nível de desenvolvimento dos paí-ses e resulta da média aritmética de três outros índices: oíndice de expectativa de vida [IEV], o índice de escolarida-de [IES] e o índice do produto interno bruto per capita[IPIB]. Os últimos relatórios fornecem os seguintes dadosa respeito do Brasil:

IEV

0,700

0,712

IPIB

0,700

0,723

IDH

0,747

0,757

Posição

74

73

Ano

1998

2000

IES

0,843

0,835

a) O índice de expectativa de vida [IEV] é calculado pela

fórmula: IEV

(E 25)=

−

60, em que E representa a expec-

tativa de vida, em anos. Calcule a expectativa de vida[E] no Brasil, em 2000.

b) Supondo que os outros dois índices [IES e IPIB] não fos-sem alterados, qual deveria ter sido o IEV do Brasil, em2000, para que o IDH brasileiro naquele ano tivesse sidoigual ao IDH médio da América Latina, que foi de 0,767?

a) Em 2000, IEV = 0,712.

b) Admitindo-se que o IDH brasileiro, em 2000, tivesse sido 0,767, tería-mos:

IEV = 0,743Obs.: Se o IDH brasileiro, em 2000, tivesse sido 0,767, o IDH médio daAmérica Latina teria sido outro.

IEV

EE E anos=

−= − = =

2560

0 712 25 42 72 67 72, , ,→ →

IDH

IEVIEV=

0 0= 0 =

0 835 0 7233

0 767 1558 2 301, ,

, , ,→

Em questões como a 11, as alternativas verdadeiras de-vem ser marcadas na coluna I e as falsas, na II.

11 (Unicap-PE) O consumo de energia de uma resi-dência, em kWh, nos meses de janeiro a junho de um cer-to ano, encontra-se no quadro a seguir:

Por conta de um racionamento, o consumidor foi obri-gado a gastar, em cada um dos meses de julho a dezem-bro do mesmo ano, no máximo, 80% da média dos con-sumos dos 6 meses indicados no quadro. Dessa forma,tem-se:I – II0 – 0 A cota mensal do consumidor será de 121 kWh.1 – 1 A cota mensal será de 112 kWh.2 – 2 A cota mensal será de 128 kWh.3 – 3 No mês de agosto, o consumidor ultrapassou em

25% a sua cota mensal, sendo o seu consumo, na-quele mês, de 160 kWh.

4 – 4 Na situação da proposição acima (3 – 3), o consu-midor tem de pagar uma multa de R$ 2,50 por kWhque excedeu a sua cota mensal. Assim, a multa apagar será de R$ 80,00.

0 0 Falsa

l =

0 0 0 0 0= =

140 160 180 130 200 1506

9606

160 kWh

80% de l = 0,8 9 l = 0,8 9 160 = 128 kWh Θ máximo que o consu-midor poderia gastar

1 1 Falsa2 2 Verdadeira (ver resolução acima)3 3 Verdadeira

Consumo de 125% da cota: 1,25 9 128 = 160 kWh4 4 Verdadeira

160 − 128 = 32 kWh de excesso2,50 9 32 = R$ 80,00

I II0 01 12 23 34 4

Resposta:

Maio

200

Jun.

150

Abr.

130

Mar.

180

Fev.

160

Jan.

140

Mês

kWh

045_052_CA_Matem_3 09.10.06, 15:3849


Matemática 50

13 (UFBA) De acordo com o Boletim do Serviço deMeteorologia de 7 de junho de 2000, o quadro abaixo apre-senta a temperatura máxima, em graus Celsius, registra-da em Fernando de Noronha e nas capitais da região Nor-deste do Brasil.

Fernandode Noronha

30 )C

JoãoPessoa

30 )C

Maceió

27 )C

Aracaju

27 )C

Fortaleza

31 )C

Recife

30 )C

São Luís

32 )C

Teresina

32 )C

Natal

30 )C

Salvador

26 )C

Com base nessas informações, pode-se afirmar:(01) O gráfico abaixo representa a distribuição de freqüên-

cia das temperaturas.

(02) A freqüência relativa da temperatura de 31 )C é iguala 10%.

(04) Representando-se a freqüência relativa por meio deum gráfico de setores, a região correspondente à tem-peratura de 27 )C tem ângulo de 36).

(08) A média aritmética das temperaturas indicadas noquadro corresponde a 29,5 )C.

(16) A mediana das temperaturas registradas é igual à tem-peratura modal.

(32) A amplitude das temperaturas é de 32 )C.

01. Correta02. Correta

31 )C aparece uma vez em 10 soluções, portanto a freqüência relativa

16. CorretaMo = 30 )CA mediana será a média entre o 5o e 6o termos: Md = 30).

32. IncorretaAmplitude = 32) − 26) = 6 )C

Portanto: 1 0 2 0 8 0 16 = 27

l =

) 0 9 ) 0 9 ) 0 ) 0 9 )=

)= )

26 2 27 4 30 31 2 3210

29510

29 5, C

04. Incorreta

27 )C aparece duas vezes, com freqüência

relativa

210

20= % .

20% de 360) = 72)

08. Correta

é

110

10= %.


14 (UnB-DF) Utilizando dois instrumentos distintos, A eB, foi feita, com cada um deles, uma série de vinte mediçõesde um mesmo ângulo, e os resultados obtidos estão listadosna tabela abaixo, em que a freqüência A e a freqüência Bindicam a quantidade de vezes que o resultado foi encontra-do com os instrumentos A e B, respectivamente.

Resultado das medições

67)

30δ

15φ

4

6

67)

30δ

17φ

2

2

67)

30δ

18φ

3

3

67)

30δ

14φ

4

3

67)

30δ

13φ

2

2

67)

30δ

16φ

3

2

67)

30δ

12φ

1

1

67)

30δ

10φ

1

1

Freq.

A

B

Com base nessas informações, julgue os itens que seseguem:a) A média da série dos resultados das medições feitas com

o instrumento A é menor que 67)30δ14φ.b) As séries dos resultados das medições feitas com os ins-

trumentos A e B têm o mesmo desvio padrão.c) A moda e a média da série dos resultados das medições

feitas com o instrumento B são iguais.d) A mediana da série dos resultados das medições feitas

com o instrumento B é maior que a da série dos resul-tados das medições feitas com o instrumento A.

a) FalsoComo todas as medidas apresentam 67)30δ, variando nos segundos,vamos calcular a média desses segundos:

lA

= 67)30δ15φ

b) FalsoOs desvios são diferentes, pois a série B tem maior concentração em67)30δ15φ e a série A apresenta uma dispersão maior com as freqüên-cias dos valores 67)30δ14φ e 67)30δ16φ maiores do que as respectivasfreqüências da série B.

c) VerdadeiroMo = 67)30δ15φ

A mediana será a média entre o 10o e o 11o termos, que são iguais a67)30δ15φ → Md = 67)30δ15φ

d) FalsoEm A: Md = 67)30δ15φ, que é igual à mediana em B.

10 12 2 13 4 14 4 15 3 16 2 17 3 1820

φ 0 φ 0 9 φ 0 9 φ 0 9 φ 0 9 φ 0 9 φ 0 9 φ

30020

15φ

= φ

Freq

üênc

ia

26 27 28

Temperatura em )C

29 30 31 32

1

2

3

4

045_052_CA_Matem_3 09.10.06, 15:3950


Matemática51

a) O número de possibilidades distintas de se formar a comissão de dois

jogadores escolhidos entre os 12

é C12, 2

=9

9=

12 112 1

66.

b) A idade média dos jogadores é:

17 (FGV-SP) Numa pequena ilha, há 100 pessoas quetrabalham na única empresa ali existente. Seus salários (emmoeda local) têm a seguinte distribuição de freqüências:

Salários Freqüência

50,00

100,00

150,00

30

60

10

a) Qual a média dos salários das 100 pessoas?b) Qual a variância dos salários? Qual o desvio padrão dos

salários?

a) A média dos salários das 100 pessoas que trabalham nessa empresa,em moeda local, é:

b) Os salários, as freqüências, os desvios e os quadrados dos desviosestão apresentados na tabela abaixo:

l =9 0 9 0 9

0 0=

50 00 30 100 00 60 150 00 1030 60 10

90 00, , ,

,

Salários

50,00

100,00

150,00

Freqüências

30

60

10

Desvios

−40,00

10,00

60,00

Quadrados dos desvios

1 600,00

100,00

3 600,00

A variância (média dos quadrados dos desvios) dos salários é:

O desvio padrão (raiz quadrada da variância) dos salários é, em moeda

local, igual a s = =900 00 30 00, , .

16 (Fuvest-SP) Em uma equipe de basquete, a distri-buição de idades dos seus jogadores é a seguinte:

Idade No de jogadores

22

25

26

29

31

32

1

3

4

1

2

1

a) Quantas possibilidades distintas existem para formaressa comissão?

b) Qual a probabilidade de a média de idade dos dois joga-dores da comissão sorteada ser estritamente menor quea média de idade de todos os jogadores?

22 1 25 3 26 4 29 1 31 2 32 11 3 4 1 2 1

279 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9

0 0 0 0 0=

Para que a idade média dos dois jogadores da comissão sorteada sejaestritamente menor que a média de idade de todos os jogadores (27),devem-se escolher duplas com idades: (22 e 25) ou (22 e 26) ou (22 e29) ou (22 e 31) ou (25 e 25) ou (25 e 26) ou (26 e 26) anos.O número de possibilidades dessa escolha é1 9 C

3, 1 0 1 9 C

4, 1 0 1 9 1 0 1 9 C

2, 1 0 C

3, 2 0 C

3, 1 9 C

4, 1 0 C

4, 2

3 0 4 0 1 0 2 0 3 0 12 0 6 = 31A probabilidade de a média de idade dos dois jogadores da comissãosorteada ser estritamente menor que a média de idade de todos os

jogadores é3166

.

Va =9 0 9 0 9

0 0=

1 600 00 30 100 00 60 3 600 00 1030 60 10

900 00, , ,

,

15 (Fuvest-SP) Para que fosse feito um levantamentosobre o número de infrações de trânsito, foram escolhi-dos 50 motoristas. O número de infrações cometidas poresses motoristas, nos últimos cinco anos, produziu a se-guinte tabela:

No de infrações No de motoristas

de 1 a 3

de 4 a 6

de 7 a 9

de 10 a 12

de 13 a 15

maior ou igual a 16

7

10

15

13

5

0

Pode-se então afirmar que a média do número de infra-ções, por motorista, nos últimos cinco anos, para esse gru-po, está entre:a) 6,9 e 9,0 c) 7,5 e 9,6 e) 8,1 e 10,2b) 7,2 e 9,3 d) 7,8 e 9,9

O mínimo valor da média é:

O máximo valor da média é:

O valor da média do número de infrações, por motorista, nos últimos cincoanos, para esse grupo, está entre 6,9 e 9.

1 7 4 10 7 15 10 13 13 550

6 949 0 9 0 9 0 9 0 9

= ,

3 7 6 10 9 15 12 13 15 550

8 949 0 9 0 9 0 9 0 9

= ,

X

Será sorteada, aleatoriamente, uma comissão de dois jo-gadores que representará a equipe diante dos dirigentes.

045_052_CA_Matem_3 09.10.06, 15:3951


Matemática 52

População abaixo de 15 anos

População entre 15 e 65 anos

População acima de 65 anos

42,1

54,8

3,1

31,8

63,3

4,9

21,5

69,7

8,817,2

64,4

18,4

1970 1995 2000 2050

18 (ENEM) Em reportagem sobre crescimento da po-pulação brasileira, uma revista de divulgação científica pu-blicou tabela com a participação relativa de grupos etáriosna população brasileira, no período de 1970 a 2050 (pro-jeção), em três faixas de idade: abaixo de 15 anos, entre 15e 65 anos e acima de 65 anos.Admitindo-se que o título da reportagem se refira ao gru-po etário cuja população cresceu sempre, ao longo do pe-ríodo registrado, um título adequado poderia ser:a) “O Brasil de fraldas”b) “Brasil: ainda um país de adolescentes”c) “O Brasil chega à idade adulta”d) “O Brasil troca a escola pela fábrica”e) “O Brasil de cabelos brancos”X

Houve no período de 1970-2000 um aumento contínuo da população comidade entre 15 e 65 anos e acima de 65 anos. A projeção para 2050 indicauma redução percentual no número de adultos e o contínuo aumento donúmero de idosos.

19 (ENEM) Um sistema de radar é programado para re-gistrar automaticamente a velocidade de todos os veículostrafegando por uma avenida, onde passam em média 300veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade per-mitida. Um levantamento estatístico dos registros do radarpermitiu a elaboração da distribuição percentual de veícu-los de acordo com sua velocidade aproximada.

A velocidade média dos veículos que trafegam nessa ave-nida é:a) 35 km/h d) 76 km/hb) 44 km/h e) 85 km/hc) 55 km/h

X

A velocidade média é dada por:

V

m=

9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 920 5 30 15 40 30 50 40 60 6 70 3 80 1100

Portanto, Vm = 44 km/h.

=4 400100

44

05

1015202530354045

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

5

15

30

40

63 1

Velocidade (km/h)

Ve í

culo

s (%

)

045_052_CA_Matem_3 09.10.06, 15:3952

M19Geometria Analítica: Pontos e Retas

Matemática3


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M19

TERCEIRÃO FTDGeometria Analítica:Pontos e Retas

Caderno de

Atividades

1 (Unesp-SP) O triângulo PQR, no plano cartesiano, devértices P(0, 0), Q(6, 0) e R(3, 5), é:a) eqüilátero.b) isósceles, mas não eqüilátero.c) escaleno.d) retângulo.e) obtusângulo.

Pelo enunciado, temos:

P(0, 0) Q(6, 0)

R(3, 5)y

xM

Portanto, o triângulo PRQ é isósceles e não eqüilátero.

No #PMR (retângulo em M), temos:

(PR)2 = (PM)2 0 (MR)2 → (PR)2 = 32 0 52 → PR = 34

No #RMQ (retângulo em M), temos:(QR)2 = (MQ)2 0 (MR)2 → (QR)2 = 32 0 52 →

QR = 34

Então:

PQ = 6 PR QR= = 34

123 PR = QR ϑ PQ

M T N9 = 9 = =

0 0

1 0

1 1

0 1

1 0

1 1

0 0

1 0

2 1

1 1

y

x

D C

A B

D C

A B

y

x

y

xA B

D C

y

x

D C

A B

C D

B A x

y

a) d)

b) e)

c)

Sendo as linhas da matriz N as co-ordenadas de A, B, C e D, respecti-vamente, temos: A(0, 1), B(1, 0),C(2, 1) e D(1, 1), que correspondemà figura:

y

x0

1

A1 2B

D C

X

X

D C

A B

y

x

2 (ESPM-SP) A figura mostra um quadrado ABCD re-presentado no plano cartesiano. As linhas da matriz M sãoas coordenadas dos vértices do quadrado. Multiplicando-se a matriz M pela matriz de transformação T dada, ob-tém-se uma matriz N. Assinale a alternativa que mostra afigura representada pela matriz N.

M T= =

0 0

1 0

1 1

0 1

1 0

1 1

001_006_CAD_Mat_4.p65 16.10.06, 11:043

Geometria Analítica: Pontos e RetasM19

Matemática 4

y

A(1, 2)B(−1, 2)

D(−1, −2) E(1, −2)

xO

2

1−1 H

5 (Unifesp-SP) A figura representa, em um sistema or-togonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas emrelação ao eixo Oy, uma circunferência com centro naorigem do sistema, e os pontos A(1, 2), B, C, D, E e F,correspondentes às intersecções das retas e do eixo Oxcom a circunferência.

y

A(1, 2)

rs

B

C F

D E

xO

Nessas condições, determine:a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do

hexágono ABCDEF;b) o valor do cosseno do ângulo AOB.

4 (Fatec-SP) Seja r a reta que passa pelos pontos (3, 2) e(5, 1). A reta s é a simétrica de r em relação à reta de equa-ção y = 3. A equação de s é:a) x 0 2y − 7 = 0 d) x − 2y − 11 = 0b) x 0 2y − 5 = 0 e) 2x − y 0 5 = 0c) x − 2y 0 5 = 0

A equação da reta s é:

A reta s, simétrica de r em relação à reta de equação y = 3, passa pelospontos (3, 4) e (5, 5), conforme a figura:

y

x

y = 3

(3, 2)

(3, 4)

(5, 1)

(5, 5) s

r

X

x y

x

1

5 5 1

3 4 1

0 5 0= − 0 =→ 2y

3 (PUC-RJ) Os pontos (−1, 6), (0, 0) e (3, 1) são trêsvértices consecutivos de um paralelogramo. Assinale aopção que apresenta o ponto correspondente ao quartovértice:a) (2, 7) c) (1, −6) e) (6, 3)b) (4, −5) d) (−4, 5)

Sabendo que A(−1, 6), B(0, 0), C(3, 1) e D(xD, yD) são os vértices conse-cutivos do paralelogramo, que M é o ponto médio de suas diagonais e que asdiagonais de um paralelogramo se cruzam no seu ponto médio, temos M:

• ponto médio de AC :

Portanto, o vértice D tem coordenadas (2, 7).

• ponto médio de BD :

x

M=

− 0=

1 32

1

y

M=

0=

6 12

72

14

42

443

x

xx

M

D

D=

0= =

0

21 2→

y

yy

M

D

D=

0= =

0

272

7→

14

42

443

C − 5 0,( ) F 5 0,( )

X

a) O ponto B é simétrico de A em relação ao eixo Oy.Os pontos D e E são, respectivamente, simétricos de A e B em relaçãoà origem.Os pontos C e F pertencem à circunferência e ao eixo Ox.

O raio R = OA , da circunferência, é tal que:

R OA OF= = − 0 − = =( ) ( )1 0 2 0 52 2

Dessa forma, os pontos B, C, D, E e F têm coordenadas, respectiva-

mente, iguais a (−1, 2),

− 5 , 0 ,( ) (−1, −2), (1, −2) e 5 , 0 .( )Os triângulos OFA, OBC, OCD e OEF têm áreas iguais a:

S

OF AH1 2

5 22

5=9

=9

=

Os triângulos OAB e ODE têm áreas iguais a:

S

AB AH2 2

2 22

2=9

=9

=

Então, a área do hexágono ABCDEF é:

S S S= 0 = 9 0 9 = 04 2 4 5 2 2 4 5 1

1 2( ) u.a.

2 5 5 2 5 522 2

= 0 − 9( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )A BO

b) No #AOB:AB2 = OA2 0 OB2 − 2OA 9 OB 9 cos (AOB)

10 cos (AOB) = 6 → cos (AOB) = 0,6

001_006_CAD_Mat_4.p65 16.10.06, 11:044


Matemática5

7 (UFMG) Os pontos A(2, 6) e B(3, 7) são vértices dotriângulo ABC, retângulo em A. O vértice C está sobre oeixo Ox. A abscissa do ponto C é:a) 8,5 b) 9 c) 9,5 d) 8

y

76

2 3xC(c, 0)

A

B

Como o triângulo ABC é retângulo emA, temos:M

AC 9 M

AB = −1

−

−9 = − =

62

11

1 8C

C

→

X

8 (MACK-SP)

Desempregados(mil)

t (meses)2

1A

B

C

D

2

40

O gráfico acima mostra a evolução da quantidade de pes-soas desempregadas (em mil), a partir de determinadomomento, em certa região. Se i // a, o número depessoas desempregadas, 5 meses após o início das obser-vações, é:a) 4 000 c) 3 500 e) 2 000b) 3 000 d) 2 500

d

t2

1 A

BC

D

2

4 50

O coeficiente angular da reta q é

mAB

=−

−=

2 12 0

12

.

O coeficiente angular da reta & // q também é 12

e & passa porC(4, 2).A equação da reta &, sendo t a abscissa e d a ordenada, é:

d t t d

t− = − − = − = =2

12

4 42

(t 4) 2d 2d→ → →

Portanto, o número de desempregados, após 5 meses do início daobservação, é 2 500.

Para t = 5:

d = =

52

2,5 (em mil)

X

6 (UFV-MG) A figura abaixo ilustra um quadrado delado 8 com vértices situados sobre os eixos coordenados.

y

x

A

B

a) Se a e b são as coordenadasdo ponto B, ou seja, B(a, b),determine a soma a 0 b.

b) Determine a equação dareta que passa pelos pontosA e B.

Seja r a reta suporte do lado doquadrado que passa por A, B e C :

A

B

rO C

a) O ponto B(a, b) 7 r: x y0 = 4 2 .

Logo, a 0 =b 4 2 .

b) A equação da reta que passa por A e B é a equação de r: x 0 =y 4 2 .

Como o quadrado tem lado 8, 8 e Q representam metade da diagonal do

quadrado, ou seja, OA OC e C= = 4 2 0 4 2 4 2 0, portanto A , , .( ) ( )

A

x y

x y

equação da reta será:

0

r

1

0 4 2 14 2 0 1

0 4 2 4 2 32= 0 − =→ → x y0 − =4 2 0

001_006_CAD_Mat_4.p65 16.10.06, 11:055


Matemática 6

11 (UFRJ) Um avião taxia (prepara-se para decolar) apartir de um ponto que a torre de controle do aeroportoconsidera a origem do eixos coordenados, com escala emquilômetros. Ele segue em linha reta até o ponto (3, −1),onde realiza uma curva de 90) no sentido anti-horário,seguindo, a partir daí, em linha reta. Após algum tempo,o piloto acusa defeito no avião, relatando a necessidade deabortar a decolagem. Se, após a mudança de direção, oavião anda 1 (um) quilômetro até parar, para que pontodo plano a torre deve encaminhar a equipe de resgate?

y

x

r

s

A

3

−1

O

x y

x x mr

1

3 1 1

0 0 1

0 013

13

− = − − = = − = −→ →

3y y

Equação da reta r que passa por O(0, 0) e A(3, −1):

Equação da reta s que passa por A(3, −1) e é perpendicular a r , sendoms = 3:y 0 1 = 3(x − 3) → y = 3x − 10 �

O avião deve passar por um ponto P(x, y) tal que P 7 s e PA = 1.

Substituindo � em �:(x − 3)2 0 (3x − 10 0 1)2 = 110x2 − 60x 0 89 = 0∆ = 40

x =

Σ=

Σ60 4020

60 2 1020

xδ =

030 1010

xφ =

−30 1010

Para x , em temos:

y

=0

=0

−

30 1010

330 10

1010

�

y =

−3 10 1010

E

P ou

o ponto procurado é:

30 10

10

3 10 10

10

0 −,

3 1010

3 10

101

0−,

(não convém)

3x − 2y − 5 = 0mx − y 0 2 = 0

12

3

x − y − 1 = 04x − y − 10 = 02x 0 y − 8 = 0

14

24

3

b) Discuta, em função do parâmetro m, a posição relativadas retas de equações

concorrem num mesmo ponto e obtenha esse ponto.

9 (FGV-SP)a) No plano cartesiano, mostre que as retas de equações

a) Vamos tomar inicialmente duas das retas e fazer sua intersecção:

12

3

x − y − 1 = 04x − y − 10 = 0

→

12

3

x − y = 1−4x 0 y = −10

−3x = −9x = 3 e y = 2

As retas x − y − 1 = 0 e 4x − y − 10 = 0 concorrem no ponto (3, 2).Esse ponto também pertence à reta 2x 0 y − 8 = 0,pois 2 9 3 0 2 − 8 = 0.Portanto, as três retas concorrem no ponto (3, 2).

b) Calculando os coeficientes angulares das retas:

r y x mr1

32

52

321

: 3x 2y 5 0− − = = − =→ →

r m mr2 2

: mx y 2 0 y mx 2− 0 = = 0 =→ →

Se m =

32

, as retas são paralelas.

Se m oncorrentesϑ

32

, .as retas são c

10 (FGV-SP) No plano cartesiano, o ponto da reta r:3x − 4y = 5 mais próximo da origem tem coordenadascuja soma vale:a)

−

25

b) −

15

c) 0 d)

15

e)

25

y

xO

s

P

r

Como m m

r s a equação da reta é:= =−3

44

3→ , s

Seja s a reta que passa pela origem e é perpendicular à reta r .

Portanto, o ponto de r mais próximo da origem é

P35

45

, ,−

cuja soma

das coordenadas é −

15

.

O ponto da reta r mais próximo da origem é o ponto de intersecção entreas retas r e s, obtido pela solução do sistema:

3x − 4y = 5 y x= −

43

→ x e y= = −

35

45

14243

X

y y− = − − = −0

43

43

(x 0) x→

PA (x 3) (y 1) (x 3) (y 1)2 2 2 2= − 0 0 = − 0 0 =1 1→ �

001_006_CAD_Mat_4.p65 16.10.06, 11:056


Matemática7

14 (Fuvest-SP) Sejam A(0, 0), B(8, 0) e C(−1, 3) osvértices de um triângulo e D(u, v) um ponto do segmen-to p. Sejam E o ponto de intersecção de i com a retaque passa por D e é paralela ao eixo y e F o ponto deintersecção de o com a reta que passa por D e é parale-la ao eixo x.a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero

AEDF.b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilá-

tero AEDF é máxima.

Pelo enunciado, temos a figura abaixo, em que 0 , u , 8.

y

xA(0, 0)

C(−1, 3)

D(u, v)

E(u, 0)

F(t, v)

B(8, 0)

a) Calculando as medidas de AEDF, em função de u:

Reta 3yt:

x y

x yx

1

1 3 1

8 0 1

0 8 08

3− = 0 − = =

−→ →

vu

e D uu

=− −83

83

,

Como D(u, v) pertence à reta t:

Reta 3x 3x ou xw:

x y

y y y

1

1 3 1

0 0 1

0 013

− = 0 = = − = −→ →

t vu u

= − = −−

=−1

313

83

89

Como F(t, v) pertence à reta w:

e Fu u− −8

98

3,

b) Como S( ) ,u u u= − 0 0

1754

12854

6454

2 então o valor de u para o qual

a área é máxima é o valor da abscissa do vértice da parábola represen-tada pela função acima.

No trapézio AEDF, temos:

AE u ED v

u= = =

−;

83

DF u t u t= 0 = − (pois t , 0 e está no semi-eixo negativo das abscis-sas)

Área do trapézio:

S(DF AE) ED

8u

=0 9

=

00 9

−

2

89

83

2

uu

S

(17u 8) (8 u) 17u 128u2

=0 9 −

=− 0 0

5464

54

ubav = − =

−

−

= − 9 − =2

12854

21754

5434

6417

12854

DF u

u u= −

−=

089

8 89

12 (UEL-PR) No gráfico abaixo, cada divisão dos eixoscorresponde a uma unidade. A equação da reta que passapor P e é perpendicular à reta r dada é:

a) y x= − 0

43

383

b) y x= 0

34

12

c) y x= − 0

43

393

d) y x= 0

34

94

e) y x= 0

94

383

Sendo s a reta que passa por P(5, 6) e é perpendicular à reta r, então

m s =

34

. A equação de s é:

A reta r corta os eixos coordenados em (3, 0) e (0, 4), sendo sua equação:

y

P

r

0

= 1 unidade

x

x y

ou y x

1

3 0 1

0 4 1

0 12 043

= 0 − = = − 0→ 4x 3y 4, cujo coeficiente

angular é m

r= −

43

.

y y x− = − = 06

34

34

94

(x 5) →

a) A reta que passa pelos pontos M(8, 6) e P(−8, −2) tem equação:

Logo, a altura do #MNP, relativa ao lado MP , é a distância do ponto

N(−4, 10) à reta MP .

Logo, a mediana do #MNP, relativa ao vértice M, é a distância entre ospontos M e Q.

b) Seja Q o ponto médio do segmento NP .14

42

44

3

13 (IBMEC) Considerando o triângulo MNP, sendoM(8, 6), N(−4, 10) e P(−8, −2), determine:

a) o valor da altura relativa ao lado MP;b) o tamanho da mediana relativa ao vértice M.

x yx

18 6 1

8 2 10 4 0

− −

= − 0 =→ 2y

dN MP, ( )

=− − 9 0

0 −= =

4 2 10 4

1 2

20

54 5

2 2

x

Q=

− 0 −= −

4

26

( 8)

y

Q=

0 −=

10

24

( 2)

d

MQ= − − 0 − = 0 =(8 6)) (6 4) ( 2 2 196 4 10 2

X

007_012_CAD_Mat_4.p65 16.10.06, 11:077


Matemática 8

15 (MACK-SP) A melhor representação gráfica dos pon-tos (x, y) do plano, tais que (x − y) 9 (x 0 y) , 0, é a partecolorida da alternativa:

y

x

y

x

y

x

a)

b)

c)

y

x

y

x

d)

e)

X

x − y . 0 e x 0 y , 0 �

oux − y , 0 e x 0 y . 0 �

(x − y) 9 (x 0 y) , 0 Θ

14

24

3

As soluções do sistema � são representadas por:

y

x 0 y = 0

x0

x − y = 0

Então, as soluções da inequação dada são representadas por:

As soluções do sistema � são representadas por:

y

x − y = 0x

0

x 0 y = 0

x 0 y = 0 x − y = 0

y

x0

16 (FGV-SP)a) Represente os pontos do plano cartesiano que satisfa-

zem simultaneamente as relações x − y > 0 e x 0 y < 0.

b) Uma empresa fabrica uma peça de precisão em doismodelos, A e B. O custo de produção de uma unidadede A é R$ 200,00 e o de B é R$ 150,00. Por restrições deorçamento, a empresa pode gastar por mês no máximoR$ 45 000,00. A mão-de-obra disponível permite fabri-car por mês no máximo 250 peças. Seja x a quantidadeproduzida por mês de A e y a de B.Represente graficamente os possíveis valores de x e y.(Admita, para simplificar, que x e y assumam valoresreais não negativos.)

x − y

> 0

x − y = 0

45)

y

x x 0 y <

0

x 0 y = 0

45)

y

x

A região do plano cartesiano que satisfaz simultaneamente as relaçõesx − y > 0 e x 0 y < 0 é dada por:

x 0 y = 0 x − y = 0

45) 45)

y

x

b) A partir do enunciado, com x > 0 e y > 0, temos:

x 0 y < 2504x 0 3y < 900

x 0 y < 250 total de peças200x 0 150y < 45 000 custo

12

3

12

3→

Então:

y

250

250x

x 0 y = 250

x 0 y <

250

y

300

225

4x 0 3y = 900

4x 0 3y <

900

x

y

x

250

250

300

225

(150, 100)

A região do plano cartesiano que satisfaz simultaneamente as relaçõesx 0 y < 250, 4x 0 3y < 900, x > 0 e y > 0 é dada por:

a)

007_012_CAD_Mat_4.p65 16.10.06, 11:078


Matemática9

17 (PUC-RJ) Qual a área do triângulo delimitado pelospontos (0, 0), (2, 2) e (1, 3)?

S = = − =12

0 0 1

2 2 1

1 3 1

12

6 2 2 u.a.

X

Para que as retas ABuur

e BPuur

sejam perpendiculares, devemos ter:mAB . mBP = −1

1 00 2

10

1 1−

−9

−

−= − = 0

→n

mn 2m �

Para que o triângulo de vértices A, B e P tenha área igual a 10, devemos ter:

S

m nm m

#= = − − = 0 = −

2 0 1

0 1 1

1

210 2 20 18→ →2n 2n �

De � e �, vem:

n = 2m 0 1m 0 2n = −18

12

3 →m = −4n = −7

12

3 → P(−4, −7)

18 (UFU-MG) Considere, no plano cartesiano com ori-gem O, um triângulo cujos vértices A, B e C têm coorde-nadas (−1, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se M e Nsão os pontos médios de i e p, respectivamente, a áreado triângulo OMN será igual a:

a)

53

u.a. b)

85

u.a. c) 1 u.a. d)

32

u.a.X

Se M é ponto médio de i, temos:

x

M=

− 0= −

1 02

12

y

M=

0=

0 42

2

14

42

443

A área do #OMN é dada por:

Se N é ponto médio de p, temos:

x

N=

0=

0 22

1

y

N=

0=

4 02

2

Área =

−

= =12

0 0 11 2 112

2 1

12

332

u.a.

19 (PUC-RS) A representação que segue é das funçõesf, g, definidas por f(x) = x2 e g(x) = x 0 2. A área do triân-gulo cujos vértices são os pontos de intersecção das duascurvas e o ponto (0, 0) é:a) 1b) 3c) 4d) 6e) 8

y

x0−2 2 4 6 8 10

−2

2

4

6

8

10

−4

−6

−8

−10

−4−6−8−10

Logo, a área do triângulo com vértices nos pontos (−1, 1), (2, 4) e (0, 0) é:

Os pontos de intersecção das curvas f(x) = x2 e g(x) = x 0 2 são obtidospor meio da resolução do sistema:

y = x2

y = x 0 2

12

3 →y = x2

x2 = x 0 2

12

3

x = −1 e y = 1oux = 2 e y = 4

14

24

3

→

S S=

−

= =

0 0 1

1 1 1

2 4 1

2

6

23→

20 (UFPB) Considere os pontos A(2, 0) e B(0, 1). De-termine o ponto P(m, n), com m e n negativos, de modoque as retas r e BP

uursejam perpendiculares e o triângulo

de vértices A, B e P tenha área igual a 10.

007_012_CAD_Mat_4.p65 16.10.06, 11:089

M20Geometria Analítica: Circunferência

Matemática13


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M20

TERCEIRÃO FTDGeometria Analítica:Circunferência Caderno de

Atividades

4 (Unesp-SP) Considere a circunferência ι, de equação(x − 3)2 0 y2 = 5.a) Determine o ponto P(x, y) pertencente a ι, tal que

y = 2 e x . 3.b) Se r é a reta que passa pelo centro (3, 0) de ι e por P, dê

a equação e o coeficiente angular de r.

O coeficiente angular de r é mr = 2.

a) Se P 7 ι e y = 2, temos:(x − 3)2 0 22 = 5 → (x − 3)2 = 1 → x − 3 = Σ1Se x − 3 = −1 → x = 2 (não serve, pois x . 3).Se x − 3 = 1 → x = 4 → P(4, 2).

b) A reta r que passa pelos pontos P(4, 2) e C(3, 0) tem equação:

x y

y y

1

4 2 1

3 0 1

0 6 0 6= − − = = −→ →2x 2x

3 (UFSCar-SP) O raio da circunferência inscrita em umtriângulo de lados a, b e c pode ser calculado pela fórmula

r

p=

− 9 − 9 −(p a) (p b) (p c),

y

0 x

3

4

Determine nesse triângulo:a) o raio da circunferência

inscrita;b) a equação da circunfe-

rência inscrita.

c e p= 0 = =

0 0=3 4 5

3 4 52

62 2

Sendo a = 3, b = 4 e c a hipotenusa do triângulo, temos:

c2 = a2 0 b2 →

Assim:

b) A circunferência inscrita nesse triângulo tem centro C(1, 1) e raio r = 1.Assim, a equação dessa circunferência é:(x − 1)2 0 (y − 1)2 = 12 → x2 0 y2 − 2x − 2y 0 1 = 0

a)

r r r=− 9 − 9 −

=9 9

=(6 3) (6 4) (6 5)

63 2 1

61→ →

em que p é o semipe-

rímetro do triângulo. Os catetos de um triângulo retângulomedem 3 e 4 e estão sobre os eixos cartesianos, conformea figura.

1 (UFC) O segmento que une os pontos de intersecçãoda reta 2x 0 y − 4 = 0 com os eixos coordenados deter-mina um diâmetro de uma circunferência. A equação des-sa circunferência é:a) (x − 1)2 0 (y − 2)2 = 5b) (x − 1)2 0 (y − 2)2 = 20c) (x − 1)2 0 (y − 2)2 = 25d) (x 0 1)2 0 (y 0 2)2 = 5e) (x 0 1)2 0 (y 0 2)2 = 20

X

C =0 0

=0 2

2(1, 2),

4 02

Intersecção da reta 2x 0 y − 4 = 0 com os eixos coordenados:x = 0 → y = 4 Ι A(0, 4)y = 0 → x = 2 Ι B(2, 0)

O centro da circunferência é o ponto médio de i:

O raio da circunferência é

AB2

(2 0) (0 4)2 2

r = =− 0 −

=2

5 .

Portanto, a equação da circunferência é:

(x 1) (y 2)2 2− 0 − = =5 52( )

2 (PUC-RS) Uma circunferência tem centro na intersec-ção da reta x = −2 com o eixo das abscissas e passa peloponto de intersecção das retas y = −2x 0 8 e y = x 0 2.A equação dessa circunferência é:a) x2 0 y2 = 20 d) (x − 2)2 0 y2 = 32b) x2 0 (y 0 2)2 = 32 e) (x − 2)2 0 (y − 2)2 = 32c) (x 0 2)2 0 y2 = 32X

Seja P o ponto de intersecção das retas y = −2x 0 8 e y = x 0 2. Ascoordenadas de P são dadas por:

y = −2x 0 8y = x 0 2

12

3 →x = 2y = 4

O raio da circunferência com centro C(−2, 0) e que passa por P(2, 4) é:

raio d 2) (0 4)

PC2 2= = − − 0 − =( 2 32

(x 0 2)2 0 y2 = 32

Logo, a equação dessa circunferência será:

(x 2) (y 0)2 20 0 − = 32

2( )

013_018_CAD_Mat_4 12.09.06, 16:4013

Geometria Analítica: CircunferênciaM20

Matemática 14

Transformando a equação x2 0 y2 0 2x − 6y − 90 = 0:

x2 0 2x 0 1 0 y2 − 6y 0 9 = 90 0 1 0 9 → (x 0 1)2 0 (y − 3)2 = 100 erepresenta uma circunferência com centro no ponto (−1, 3) e raio 10.

Logo, o seu diâmetro será: 2r = 20.

5 (Unicap-PE) Qual o valor do diâmetro de uma circun-ferência cuja equação cartesiana éx2 0 y2 0 2x − 6y − 90 = 0?

8 (Fuvest-SP) Os pontos A(0, 0) e B(3, 0) são vérticesconsecutivos de um paralelogramo ABCD situado no primeiroquadrante. O lado # é perpendicular à reta y = −2x e oponto D pertence à circunferência de centro na origem e

raio 5 . Então as coordenadas de C são:a) (6, 2) b) (6, 1) c) (5, 3) d) (5, 2) e) (5, 1)

Como a reta % é perpendicular à reta y = −2x, então m

AD=

12

.

A reta % passa pela origem, então sua equação é:

y − = −0

12

(x 0)

O ponto D pertence à circunferência de equação x2 0 y2 = 5:

y

x=

2x2 0 y2 = 5

14

24

3

→x = 2y = 1

→ D(2, 1)

Como ABCD é um paralelogramo:

AB = CD →

X

y

xA B(3, 0)

CD

y = −2x

ou y x=

12

xC = xD 0 3 = 5yC = yD = 1

12

3 → C(5, 1)

7 (UFSCar-SP) Dados os pontos A(2, 0), B(2, 3) e C(1, 3),vértices de um triângulo, o raio da circunferência circuns-crita a esse triângulo é:

a)

103

b)

103

c)

22

d)

102

e) 10

Como o triângulo ABC é retângulo em B, então a circunferência circunscri-ta ao triângulo tem o segmento o como diâmetro. (CjA é ângulo inscritoem uma semicircunferência.)Portanto, a medida do raio é:

A(2, 0) x

yC(1, 3) B(2, 3)

AC (2 1) (0 3)2 2

2 2102

=− 0 −

=

X

6 (PUC-SP) Seja x2 0 y2 0 4x = 0 a equação da circunfe-rência de centro Q representada no plano cartesiano abaixo.

y

OMQ

NP

x

X

Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o eixodas abscissas e o vértice N pertence à circunferência, oponto N é dado por:

a) 2 2 2− ,( ) d) − − −2 2 2 2,( )b) − 02 2 2,( ) e) − −2 2 2,( )c) 2 2 2− ,( )A circunferência de equação x2 0 y2 0 4x = 0 → (x 0 2)2 0 y2 = 4 temcentro Q(−2, 0) e raio r = 2.Sendo PQMN um quadrado com diagonal QN = r = 2:

QM QN2 =

y

0MQ(−2, 0)

NP

2

x

QM = = =2

2

2 22

2

QM 2 2=

Então x

M, .= − 02 2

(lado doquadrado)

Dessa forma, temos: x x e y

N M N= = − 0 =2 2 2 .

Portanto: N 2 2 2− , .( )

2

2

013_018_CAD_Mat_4 12.09.06, 16:4114


Matemática15

9 (UERJ) Um dado triângulo é formado pelas retas r, s et, abaixo descritas.

t: 2x 0 3y 0 9 = 0

s: 3x − 2y − 6 = 0r: 2x − 3y 0 21 = 0

Calcule, em relação a esse triângulo:a) sua área;b) a equação da circunferência circunscrita a ele.

Vamos determinar os vértices A, B e C do triângulo:

A2x − 3y 0 21 = 03x − 2y − 6 = 0

12

3 →x = 12y = 15

A(12, 15)

B2x − 3y 0 21 = 02x 0 3y 0 9 = 0

12

3 → x = −

152

y = 2

B −152

2,

C3x − 2y − 6 = 02x 0 3y 0 9 = 0

12

3 →x = 0y = −3

C(0, −3)

S D em D#

= = −

−

=12

12 15 1152

2 1

0 3 1

195, quea)

b) O centro O da circunferência circunscrita é tal que OB4

= Q = 8.

Fazendo O(a, b), temos:

S

#= =

1952

97,5

(a 12) (b 15) (b (b 3)2 2 2− 0 − = 0 0 − = 0 0a a

152

22

2 2

)

Resolvendo o sistema, obtemos:

a e b= =

94

172

Logo,

Portanto, r

O

OA OB OC

94

172

, .

= = =

r = 0 0 =

94

172

313 13

4

2 2

Equação da circunferência: x y− 0 − =94

172

13 134

2 2 2

10 (UFC) Encontre uma equação da reta tangente àcurva x2 − 2x 0 y2 = 0 no ponto (1, 1).

A equação x2 − 2x 0 y2 = 0 pode ser escrita na forma:x2 − 2x 0 y2 = 0 → x2 − 2x 0 1 0 y2 = 1 → (x − 1)2 0 y2 = 1,que representa uma circunferência de centro C(1, 0) e raio r = 1.

x

y

1

1

(1, 1) r

Como a reta tangente deve serperpendicular ao raio no ponto detangência (1, 1), observando afigura concluímos que a reta r pro-curada deve ter equação y = 1.


(01) x2 0 y2 − 2x 0 6y 0 1 = 0 é a equação da circunfe-rência de raio r = 3, que é concêntrica com a circun-ferência x2 0 y2 0 2x − 6y 0 9 = 0.

(02) O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos

A(3, 2) e B(−3, −1) é

12

.

(04) O ponto P(3, 4) é um ponto da circunferência de equa-ção x2 0 y2 − x 0 4y − 3 = 0.

(08) As retas r: 2x − 3y 0 5 = 0 e s: 4x − 6y − 1 = 0 sãoperpendiculares.

(16) Sabe-se que o ponto P(p, 2) é eqüidistante dos pon-tos A(3, 1) e B(2, 4). A abscissa do ponto P é 1.

01. IncorretaA circunferência de equaçãox2 0 y2 − 2x 0 6y 0 1 = 0 → (x − 1)2 0 (y 0 3)2 = 9 possui centro(1, −3) e raio 3, mas não é concêntrica à circunferência de equaçãox2 0 y2 0 2x − 6y 0 9 = 0 → (x 0 1)2 0 (y − 3)2 = 1, que possuicentro (−1, 3) e raio 1.

02. Correta

mAB

=− −

− −= =

23

36

12

((

1)3)

(p2 − 6p 0 9) 0 1 = (p2 − 4p 0 4) 0 42p = 2 → p = 1

Portanto: 2 0 16 = 18

04. Incorreta32 0 42 − 3 0 4 9 4 − 3 ϑ 0

08. Incorretar : 2x − 3y 0 5 = 0 →

y x e= 0

23

53

possui coeficiente angular

mr =

23

.

s: 4x − 6y − 1 = 0 → y x e= −

23

16

possui coeficiente

angular m s =

23

.

Logo, r é paralela a s.

16. CorretaSe P(p, 2) é eqüidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4), devemos ter:

(p 3) (2 1) (p 2) (2 4)2 2 2 2− 0 − = − 0 −


013_018_CAD_Mat_4 12.09.06, 16:4115


Matemática 16

13 (MACK-SP) Uma reta tangente à curva x2 0 y2 = 10,no ponto de abscissa 3, encontra o eixo das ordenadas numponto P. A distância da origem a esse ponto é:

a) 9 b) 6 c) 10 d) 10 e) 8

Sendo OP1 = OP2, pode-se considerar,para efeito de cálculos, qualquer umadas tangentes (t1 ou t2).Vamos considerar a reta tangente (t

1),

que passa pelo ponto A(3, 1) e temcoeficiente angular

A curva de equação x2 0 y2 = 10 é uma circunferência de centro C(0, 0) e

raio r = 10 .

Para x = 3, a partir da equação 32 0 y2 = 10 → y = Σ1, temos os pontosA(3, 1) e B(3, −1) como sendo os pontos de tangência para as retas pro-curadas.

x

y

P1

A(3, 1)

B(3, −1)

O

P2

t2

t1

A equação da reta t1 é: y − 1 = −3(x − 3) → y = −3x 0 10.

Fazendo x = 0 → y = 10 e P1(0, 10) é o ponto onde t1 encontra o eixo dasordenadas.A distância da origem a esse ponto é 10.Caso tivéssemos escolhido a reta tangente t2, obteríamos P2(0, −10), cujadistância à origem é 10.

mm

OA

=−

=−

= −1 1

13

3.

14 (UFPR) Considere as seguintes informações: C éuma circunferência de raio igual a 1 e centro na origemde um sistema de coordenadas cartesianas retangulares;um ponto estará no interior da circunferência C se a dis-tância do ponto à origem do sistema for menor do que 1.Assim, é correto afirmar:

I. A equação da circunferência C é x2 0 y2 0 1 = 0.II. O ponto P(cos ω, sen ω) pertence à circunferência C,

qualquer que seja o número real ω.III. A reta y = x 0 1 intercepta a circunferência C em dois

pontos.IV. A reta y 0 1 = 0 é tangente à circunferência C.V. O ponto (1, 1) está no interior da circunferência C.

VI. O gráfico da função y = sen 2x intercepta o eixo xapenas uma vez no interior da circunferência C.

I. IncorretoA circunferência de raio 1 e centro na origem tem equaçãox2 0 y2 = 1 ou x2 0 y2 − 1 = 0.

II. Corretocos2 ω 0 sen2 ω = 1, qualquer que seja o número real ω.

III. CorretoA reta y = x 0 1 intercepta a circunferência nos pontos (0, 1)

e (−1, 0), que é o resultado do sistemax2 0 y2 = 1y = x 0 1

12

3

V. Incorreto

A distância do ponto (1, 1) à origem é

d = − 0 − = .( ) ( )1 0 1 0 2 12 2 .

VI. CorretoA única intersecção do gráfico da função y = sen 2x com o eixo x, nointerior da circunferência, é a origem (ver figura).

em dois pontos.

IV. CorretoA reta horizontal y 0 1 = 0 tangencia a circunferência no ponto

(0, −1), que é o resultado do sistemax2 0 y2 = 1

.y 0 1 = 0

12

3

0 x

y

1

sen 2x

−1 1

−1

π

2π−π π

2−

12 (UniFEI-SP) Dadas a circunferênciax2 0 y2 − 2x − 4y 0 1 = 0 e a reta y = k, com k 7 ς, paraque valores de k essa reta intercepta a circunferência emdois pontos distintos?

Para que a reta horizontal y = k intercepte a circunferência em dois pon-tos distintos, devemos ter: 0 , k , 4.

x

y

0 1

2C

4

Transformando a equação x2 0 y2 − 2x − 4y 0 1 = 0 para sua formareduzida:x2 − 2x 0 1 0 y2 − 4y 0 4 = −1 0 1 0 4(x − 1)2 0 (y − 2)2 = 4A circunferência de equação (x − 1)2 0 (y − 2)2 = 4 possui centro noponto (1, 2) e raio 2.

X

, portanto

013_018_CAD_Mat_4 12.09.06, 16:4216


Matemática17

16 (PUC-PR) Se a equação da corda do círculox2 0 y2 = 49, que tem por ponto médio o ponto (1, 2), é daforma ax 0 by 0 c = 0, então a 0 b − c vale:a) −2 b) 5 c) 2 d) 10 e) 8X

A equação x2 0 y2 = 49 representa um círculo com centro na origem e raio 7.A reta r, suporte da corda do círculo, e que tem por ponto médio o ponto(1, 2), é perpendicular à reta s, que passa pelo centro do círculo e poresse ponto médio.

(0, 0)

M(1, 2)

r

s

y x− = − − 0 − =2

12

5 0(x 1) 2y→

Se a equação da corda é do tipo ax 0 by 0 c = 0, temos:

Como o coeficiente angular de s é

mS

=−

−=

2 01 0

2, o coeficiente de

r é −

12

e a equação de r será:

15 (IBMEC) Num sistema de coordenadas cartesianasxOy considere a seguinte região:

R:x > 0, y > 0x2 0 y2 < 4x 0 y − 2 > 0

142

43

Logo, a área da região R, em unidades de área, é igual a:a) π 0 2 c) π e) π − 2b) π 0 1 d) π − 1

X

x−2

−2

2

2

B

O

Ax2 0 y2 = 4

x 0 y − 2 = 0

y

A região R do plano que satisfaz as condições do exercício é a colorida,cuja área é obtida por:

SR = S

setor 90) − S

#OAB

S

R=

π 9−

9= π −

24

22 2 2

2

17 (UFBA) Considerando-se, no sistema de coordena-das cartesianas, os pontos A(1, 2), B(2, 1) e C(0, 1), pode-se afirmar:

(01) Se Cδ é o ponto simétrico de C em relação à retax = 2, então a reta que passa por Cδ e pela origemtem equação 4x − y = 0.

(02) O triângulo de vértices nos pontos A, B e C é retângu-lo em A.

(04) A reta ACsur

faz ângulo de 45) com o eixo Ox.(08) Aplicando-se ao ponto A uma rotação de 45) em tor-

no do ponto C, obtém-se o ponto 0 1 2, .0( )(16) A área do triângulo de vértices nos pontos A, B e C

mede 2 u.a.(32) A equação da circunferência circunscrita ao triângu-

lo de vértices nos pontos A, B e C éx2 0 2x 0 y2 0 2y − 1 = 0.

(64) O raio da circunferência com centro na origem e tan-

gente à reta ABsur

mede

3 22

u.c.

01. IncorretoSe Cδ(4, 1) é o simétrico de Cem relação à reta x = 2, a retaque passa por Cδ e pelaorigem tem equação

02. Correto

04. Corretom

w = 1 → tg (AkB) = 45)

08. Correto

AC e= 0 =1 1 22 2

Aδ 00 1 2,( )

16. IncorretoA área do #ABC é:

32. IncorretoA circunferência circunscrita ao #ABC tem centro (1, 1) e raio 1,portanto de equação:(x − 1)2 0 (y − 1)2 = 1x2 0 y2 − 2x − 2y 0 1 = 0

x y

x y

1

1 2 1

2 1 1

0 3= 0 − =→ 0, temos:

raio u c= =0 −

0=d

0, AB

0 0 3

1 1

3 222 2

. .

Portanto: 2 0 4 0 8 0 64 = 78

S#

= = − =12

1 2 1

2 1 1

0 1 1

12

2 1 u.a.

x

y

45)

45)

45)

01 2

1

2

C B

A

x = 2

2 2

x y

x

1

4 1 1

0 0 1

0 0= − =→ 4y

a = 1b = 2c = −5

14

24

3

, portanto: a 0 b − c = 8

64. Correto

perpendiculares, temos:

m e m

m m

w q

w q

=−

−= =

−

−= −

9 = −

2 11 0

12 11 2

1.

1

E como as retas são

x

y

45)

0

1

AδA

C

2

2

O raio da circunferência com centro na origem e tangente à reta ABsur

é igual à distância da origem à reta ABsur

.

Logo, como a equação da reta ABsur

é dada por

013_018_CAD_Mat_4 12.09.06, 16:4217


Matemática 18

18 (Unicamp-SP) As equações(x 0 1)2 0 y2 = 1 e (x − 2)2 0 y2 = 4 representam duascircunferências cujos centros estão sobre o eixo dasabscissas.a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção das

duas circunferências.b) Encontre o valor de a 7 ς, a ϑ 0, de modo que duas

retas que passam pelo ponto (a, 0), sejam tangentes àsduas circunferências.

A circunferência (x 0 1)2 0 y2 = 1 tem centro C1(−1, 0) e raio r1 = 1.A circunferência (x − 2)2 0 y2 = 4 tem centro C2(2, 0) e raio r2 = 2.a) As circunferências se interceptam num único ponto: a origem do siste-

ma de coordenadas cartesianas.

x

y

r1 = 1r2 = 2

C2(2, 0)

C1(−1, 0)

O mesmo resultado seria obtido resolvendo-se o sistema

(x 0 1)2 0 y2 = 1(x − 2)2 0 y2 = 4

12

3 , que tem por solução única o par (0, 0).

b) As tangentes às duas circunferências, passando pelo ponto (a, 0), nográfico abaixo, são tais que:

x

y

r1 = 1

C2

A(a, 0)

C1

T1

t1

t2

T2

r2 = 2

Como A(a, 0) está no semi-eixo negativo do eixo das abscissas, temosa = −4.

#AT1C

1 Κ #AT

2C

2

AC

AC

T C a

a2

1

2 22

1

21

=0

−=

T C1 1

→

2 2 2 4 4a a a a− = 0 = = Σ→ →

19 (Unicamp-SP)a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem

coeficiente angular m . 0. A circunferência C passapelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem centro no eixo x. Paraqual valor de m a reta r é tangente a C?

b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aqueledeterminado no item anterior. Calcule a área do triân-gulo determinado pelo centro de C e pelos pontos deintersecção de r com C.

a) Se a circunferência passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem centro C no

eixo x, então C

1 32

00

=,

(2, 0) e o raio é r = 1.

A reta r, que passa pela origem (0, 0) e tem coeficiente angular m . 0,tem equação: y − 0 = m(x − 0) → y = mx, em que m = tg θ.

x

y

O θ

(1, 0) C(2, 0) (3, 0)

1

T

No #OTC:

• (OT)2 0 (TC)2 = (OC)2

(OT)2 0 12 = 22 → OT = 3

tg mOT

θ = = = =1 1

3

33

•

Portanto, m =

33

b) Se 0

33

, ,m , a reta r é secante à circunferência, e temos o #ABC.

x

y

0C(2, 0)

A

Bd

11

M

dm

m

m

m=

9 −

0=

0

2 0

1

2

12 2

Para calcular a área do #ABC obtemos d, que é a distância do centroC(2, 0) à reta mx − y = 0:

A área do #ABC é:

No #AMC:

AAB d

m

m

m

m m mmABC#

=9

=

9−

09

0=

−

02

21 3

1

2

12

2 1 31

2

2 2 2

2

AMm

mAM m

m2

2

2

22

2

2

11 1 3

10

0= =

−

0

→

Então:

AB AMm

m= 9 = 9

−

02 2

1 3

1

2

2

.

.

013_018_CAD_Mat_4 12.09.06, 16:4318

M21Geometria Analítica: Cônicas

Matemática19


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M21

TERCEIRÃO FTDGeometria Analítica:Cônicas

Caderno de

Atividades

1 (UFC) O número de pontos de intersecção das curvas

x2 0 y2 = 4 e

x y2 2

15 210 = é igual a:

a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6X

x2 0 y2 = 4 representa uma circunferência de centro C(0, 0) e raio r = 2.

x y2 2

15 210 = representa uma elipse com semi-eixo maior igual a 15

e semi-eixo menor igual a 2 .Fazendo um esboço das duas curvas no mesmo sistema cartesiano:

x

y

01

1

2

A

D

B

x2 0 y2 = 4

C−1

−2

−1−2−3−4 2 3 4

0 = 1x2

15y2

2

Teremos, portanto, quatro pontos (A, B, C e D) de intersecção entre asduas curvas.

Obs.: Podemos também resolver o sistemax2 0 y2 = 4

x y2 2

15 210 =

14

24

3

, obtendo

como resultado os pares

3013

2213

3013

2213

, , , ,

−

− − −3013

2213

3013

2213

, , , ,

que representam os quatro

pontos de intersecção.

3 (Unicap-PE) A figura abaixo representa uma elipse.São dadas as seguintes informações:

I – II

0 – 0 a2 = b2 0 c2

1 – 1 A excentricidade é dada pela razão entre c e a.

2 – 2 A equação da elipse acima é b2 0 c2 = 1.

3 – 3 A distância focal é 2c.

4 – 4 A medida do eixo menor é 2a.

B1

B2

F1

A1 A2

a ab

c c

a a

O

b

F2

X

A equação em questão representa uma elipse.

2 (FGV-SP) No plano cartesiano, a curva de equaçõesparamétricas x = 2 cos t e y = 5 sen t com t 7 ς é:a) uma senóide d) uma circunferênciab) uma cossenóide e) uma elipsec) uma hipérbole

x t t

x= =2

2cos cos→

y sen t sen t

y= =5

5→

14

42

44

3

cos2 t 0 sen2 t = 1

x y2 2

4 2510 =

Em questões como a 3, as alternativas verdadeiras devemser marcadas na coluna I e as falsas, na II.

0 – 0 VerdadeiraO #OB2F2 é retângulo, portanto: a2 = b2 0 c2.

1 – 1 Verdadeira

A excentricidade é e

ca

= .

2 – 2 Falsa

A equação da elipse é:

xa

y

b

2

2

2

210 = .

3 – 3 Verdadeira

A distância focal é F1F

2 = 2c.

4 – 4 FalsaO eixo menor é B1B2 = 2b.

I II0 01 12 23 34 4

019_022_CAD_Mat_4 16.10.06, 11:1319

Geometria Analítica: CônicasM21

Matemática 20

4 (UERJ) O logotipo de uma empresa é formado por duascircunferências concêntricas tangentes a uma elipse, comomostra a figura ao lado.A elipse tem excentricidade 0,6e seu eixo menor mede 8 uni-dades. A área da região por elalimitada é dada por a 9 b 9 π,em que a e b são as medidasdos seus semi-eixos.Calcule a área da região definidapela cor verde.

y

x0 5

4

Sendo:a = medida do semi-eixo maiorb = medida do semi-eixo menorc = metade da distância focale = excentricidade


e

ca

c= = = =0,63a3

5 5→

a b c a a a2 2 2 2

2

2165

25 5= 0 = 0 = =→

→ →3a

• Área da elipse: SE = a 9 b 9 π = 5 9 4 9 π = 20π

• Área do círculo maior, cujo raio é a = 5: S1 = π52 = 25π

• Área do círculo menor, cujo raio é b = 4: S2 = π42 = 16π

• Área da região definida pela cor verde:S = S1 − SE 0 S2 = 25π − 20π 0 16π = 21π

2b = 8 → b = 4

Na elipse sempre temos:

5 (ITA-SP) Sabe-se que uma elipse de equação

xa

2

210 =

y

b

2

2 tangencia internamente a circunferência

de equação x2 0 y2 = 5 e que a reta de equação 3x 0 2y = 6é tangente à elipse no ponto P. Determine as coordenadasde P.

Equação x2 0 y2 = 5 representa uma circunferência de centro (0, 0) e

raio r = 5 .

Se a reta 3x 0 2y = 6 tangencia a elipse num ponto P(x0, y0), temos oseguinte esboço do problema:

y

x0

P(x0, y0)

3

2

a−a

r: 3x 0 2y − 6 = 0

x2 0 y2 = 50 = 1

x2

a2

y2

5

Na

xa

y

b elipse 1,

2

2

2

20 =

temos b b: .= =5 52→

A reta 3x 0 2y = 6 e a elipse

xa

2

20 =

y2

51 são tangentes:

y =

− 03x 62

xa

y2

2

2

510 =

xa

xa

2

2

2

2

2

625

120

10

− 0

= 0−

=

3x(6 3x)2

→

14

42

44

3

(20 0 9a2)x2 − 36a2x 0 16a2 = 0

Como esse sistema terá uma solução única P(x0, y0), temos:

∆ = (36a2)2 − 4(20 0 9a2) 9 16a2 = 720a4 − 1 280a2 = 0

720a4 − 1 280a2 = 80a2(9a2 − 16) = 0 → 9a2 = 16 (pois a ϑ 0) e a 2 16

9=

Para determinar o ponto P, resolvemos o sistema

cuja solução é x e y= =

89

53

, que são as coordenadas de P.

b = 5

5 − 5

− 5

9x2

16 51

2

0 =y

3x 0 2y = 6

14

24

3

,

019_022_CAD_Mat_4 16.10.06, 11:1320

M21Geometria Analítica: Cônicas

Matemática21

7 (ESPM-SP) Na figura abaixo estão representadas umaparábola de equação y = x2 − 4x 0 6 e uma reta que passapela origem e pelo vértice da parábola. A razão OV : VA é:a) 2 : 3b) 2 : 1c) 2 : 5d) 3 : 2e) 3 : 5

y

xO

V

A

Vb

−−∆

=2a 4a

(2, 2),

A parábola de equação y = x2 − 4x 0 6 possui vértice

A reta que passa pela origem e pelo vértice da parábola tem equação:

x y

x y y

1

2 2 1

0 0 1

= − = =0 0 ou ainda x→

OV e VA= 0 = = 0 =2 2 2 2 2 1 1 22 2 2

Resolvendo o sistemay = x2 − 4x 0 6y = x

12

3 , obtemos os pontos V(2, 2) e

A(3, 3).

Portanto, a razãoOVVA

= = = :2 2

2

21

2 1.

y (m)

x (m)canal

O

Representando por D o comprimento real de um possível canal retilíneoligando os dois rios, paralelamente ao eixo Oy, temos:

D(x) = 50(yP − y

R) → D(x) = 50[x2 − (2x − 5)]

D(x) = 50(x2 − 2x 0 5) = 50x2 − 100x 0 250 (função do 2o grau)

As coordenadas do vértice da parábola da função

D(x) = 50x2 − 100x 0 250 são:

x

V= − = =

b2a

100100

1 e D(1) = 50 − 100 0 250 = 200

V(1, 200)

Portanto, o menor comprimento real dos possíveis canais é 200 m.

y (m)

D

yP = x2

yR = 2x − 5

x (m)O

X

X

6 (UFMG) Considere a parábola de equação y = 8x − 2x2

e a reta que contém os pontos (4, 0) e (0, 8). Sejam A e Bos pontos da intersecção entre a reta e a parábola.

Determine a equação da mediatriz do segmento AB.A reta que contém os pontos (4, 0) e (0, 8) tem equação:

x y

y

1

4 0 1

0 8 1

0 32 0 8 0= − − = 0 − =→ →8x 4y 2x

Os pontos A e B, intersecção entre a reta e a parábola, têm coordenadas:

y = 8x − 2x2

2x 0 y − 8 = 0

12

3 →y = 8x − 2x2

y = −2x 0 8

12

3 → 8x − 2x2 = −2x 0 8x2 − 5x 0 4 = 0x = 4 ou x = 1

Coeficiente angular da reta q: m

q=

−

−=

−= −

6 01 4

63

2

Ponto médio de i:

MAB

=0 0

=4 1

20 6

252

3, ,

A equação da mediatriz do segmento i passa pelo ponto médio de

i e é perpendicular a i:

m

m= − =

−

−=

1 12

12

i

y x− = − − 0 =352

7 012

2x 4y

→

Equação da mediatriz:

y − 1 = m(x − 1) Θ retay = x2 Θ parábola

Obtenção dos pontos comuns à reta e à parábola:x2 − 1 = m(x − 1) → x2 − mx 0 (m − 1) = 0

A reta deve ser tangente à parábola; logo, ∆ = 0.m2 − 4 9 1(m − 1) = 0 → m2 − 4m 0 4 = 0mδ = mφ = 2

9 (UFJF-MG) O valor de m 7 ς para o qual a retay − 1 = m(x − 1) seja tangente à parábola y = x2 é:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5X

Para x = 4 Θ y = 0: A(4, 0)Para x = 1 Θ y = 6: B(1, 6)

8 (Unifesp-SP) A figura re-presenta, na escala 1 : 50, ostrechos de dois rios: um des-crito pela parábola y = x2 e ooutro pela reta y = 2x − 5.De todos os possíveis canaisretilíneos ligando os dois riose construídos paralelamenteao eixo Oy, o de menor com-primento real, considerando a escala da figura, mede:a) 200 m c) 300 m e) 400 mb) 250 m d) 350 m

019_022_CAD_Mat_4 16.10.06, 11:1421

Geometria Analítica: CônicasM21

Matemática 22

10 (ITA-SP) Os focos de uma elipse são F1(0, −6) eF2(0, 6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x . 0 estão na elipse.A área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a:

a) 22 10

b) 1 108

c) 15 10

d) 12 10

e) 6 10

11 (ITA-SP) Sabendo que9y2 − 16x2 − 144y 0 224x − 352 = 0 é a equação de umahipérbole, calcule sua distância focal.

12 (UFRJ) Determine o comprimento do segmento cujasextremidades são os pontos de intersecção da reta y = x 0 1com a parábola y = x2.

X


• semi-eixo maior: a = 9 • semi-eixo menor: b • semidistância focal: c = 6

Temos que:

b2 0 c2 = a2

b2 0 62 = 92 → b2 = 45

Assim, uma equação da elipse é

y

81

x45

1.2 2

0 =

Como B(x, 3) pertence à elipse, temos:

381

x45

1 x 2 102 2

0 = =→

Logo, a área do #BF1F

2 é igual a

12

1 2 109 92 , ou seja, 1 10 .2

x

A (0, 9)

B (x, 3)

12 0

a

x

c 6

6

F1

F2

b

y

Os pontos de intersecção das duas curvas são tais que x2 = x 0 1, ou

seja, x

11

=− 5

2 e

x

1.

2=

0 5

2

Assim, o segmento m assinalado na figura mede:

x2 − x

1 1 5

25

1=

0−

−=

5

2

Como ε = 45�, temos que 5 d= cos 45�.

Logo, d 5 2 10 .= 9 =

9y2 − 16x2 − 144y 0 224x − 352 = 09y2 − 144y − 16x2 0 224x = 3529(y2 − 16y 0 64) − 16(x2 − 14x 0 49) = 352 0 9 9 64 − 16 9 499(y − 8)2 − 16(x − 7)2 = 144

9(y 8)

144

16(x 7) 144144

2 2−−

−=

144

(y 8)

16

(x 7)1

2 2−−

−=

9

Assim, a2 = 16 e b2 = 9. Temos que: c2 = a2 0 b2 → c2 = 16 0 9 → c = 5.Portanto, a distância focal é 2 9 5, ou seja, 10.

x1 x2 x

mε

y

d

019_022_CAD_Mat_4 16.10.06, 11:1422

M22Números Complexos

Matemática23


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M22

TERCEIRÃO FTDNúmeros Complexos Caderno de

Atividades

z = (2 0 i) 9 (1 0 i)i = (2 0 2i 0 i 0 i2)i(1 0 3i)i = i 0 3 9 i2 = −3 0 iPortanto, x = −3 − i.

1 (Unesp-SP) Se z = (2 0 i) 9 (1 0 i) 9 i, então x, oconjugado de z, será dado por:a) −3 − i c) 3 − i e) 3 0 ib) 1 − 3i d) −3 0 i

X

4 (UFU-MG) Sejam z1 e z2 os dois números complexosde parte imaginária não-nula que são soluções da equa-ção z2 = x. Determine z1 0 z2.

Seja z = x 0 yi, (y ϑ 0). Se z2 = x, então:(x 0 yi)2 = x − yi → x2 − y2 0 2xyi = x − yi

x2 − y2 = x2xy = −y

12

3

x pois y= − ϑ

12

0, �

y2 = x2 − x �

14

24

3

→

Substituindo em :� � y y2

14

12

34

32

= 0 = = Σ→ .

Logo z i e z i, .

1 2

12

32

12

32

= − 0 = − −

z z

1 2

12

12

0 = − − = −1

Seja z = x 0 yi.Para que a parte real de z2 seja igual a 2, devemos ter:z2 = (x 0 yi)2 = x2 − y2 0 2xyi

5 (UFV-MG) A representação no plano complexo dosnúmeros z tais que a parte real de z2 é igual a 2 é uma:a) hipérbole c) circunferência e) parábolab) elipse d) reta

X

Logo: x 1, que é a equação de uma hipérbole.2 − = − =y

x y2

2 2

22 2

→Seja W = a 0 bi. Pelo enunciado, temos que: a . 0 e b . 0.O número complexo 3 9 i 9 W = 3i(a 0 bi) = −3b 0 3ai possui parte realestritamente negativa e parte imaginária estritamente positiva.A única alternativa que satisfaz tais condições é Z2.

2 (IBMEC) Seja Ν o conjunto dos números complexos ei a unidade imaginária tal que i2 = −1. Na figura estãorepresentados, no plano de Gauss, as imagens de seis nú-meros complexos: W, Z1, Z2, Z3, Z4 e Z5.Qual o número complexo que pode ser igual a 3iW?

a) Z1

b) Z2

c) Z3

d) Z4

e) Z5

Z1

Z4

W

Z5

Z3

Z2

X

3 (UFPA) Numa PG de quatro termos, a soma dos termosde ordem ímpar é 1 − i e a soma dos termos de ordem paré 2i, em que i é a unidade imaginária. Determine o númerocomplexo a 0 bi, que representa a razão dessa progressão.

PG: (a1, a2, a3, a4), em que a1 = x, a2 = x 9 q, a3 = x 9 q2 e a4 = x 9 q3

Pelos dados do problema:

x 0 xq2 = 1 − ixq 0 xq3 = 2i

12

3 →x(1 0 q2) = 1 − i �

xq(1 0 q2) = 2i �

12

3

Fazendo � : �, temos:

1 11

22

1q

iq

i ii=

−=

−−

0

0=

− 0= − 0

2i2i (1 i)

(12i→

)

6 (FGV-SP) No conjunto dos números complexos:a) resolva a equação z4 = 1;b) obtenha o número z, tal que z(1 0 i) = 3 − i, em que i

é a unidade imaginária.

a) z4 = 1 → z4 − 1 = 0 → (z2)2 − 1 = 0 → (z2 − 1) 9 (z2 0 1) = 0(z − 1) 9 (z 0 1) 9 (z2 0 1) = 0 → z − 1 = 0 ou z 0 1 = 0 ouz2 0 1 = 0 → z = 1 ou z = −1 ou z = i ou z = −i.O conjunto verdade da equação é V = {1, −1, i, −i}

zii

ii

i ii

=−

09

−

−=

− − 0

−=

−= −

31

11

31

22

12

2

3i 4i2i

z i zii

(1 i)0 = − =−

03

31

→b)

023_026_CAD_Mat_4 12.09.06, 16:5523

Números ComplexosM22

Matemática 24

8 (UFRJ) Seja z o número complexo

3i2 0

ε 0 i.

Determine o valor de ε para que z seja um imaginário puro.

Seja ε = a 0 bi.

Então zi a

: =0

ε 0=

0

0 09

− 0

− 0

2 23i 3i(b 1)i

[a (b 1)i]

[a (b 1)i]

z2 2bi 2i 3a 3bi 3i

[(b 1)i]

2 2

2=

− − 0 − −

− 0

a ia 2

Como ε 0 i ϑ 0, temos:

Para que z seja um imaginário puro, devemos ter:

2a 3b 3 02a

0 0 = = −0→

b

33

ε = 0 = −0

ϑa a i abi2a 3

30

,

z i=0 0 0 − −

0 0=

0 0

0 00

− −

0 0

2a 3b (3a 2b 2)i

a (b 1)

2a 3b

a (b 1)

(3a 2b 2)

a (b 1)2 2 2 2 2 2

3 3

9 (UniFEI-SP) Uma PG possui (8n 0 2) termos, suarazão é q = i, em que i é a unidade imaginária e o seuúltimo termo é (i 0 1). Encontre o seu primeiro termo.

1

11 1

0 = 9 =0

i a i ai

i→

Em uma PG com (8n 0 2) termos, razão q = i e último termo (1 0 i),temos:a

n = a

1 9 qn − 1

1 0 i = a1(i)8n 0 1 = a1 9 i8n 9 i1

1 0 i = a1(i4)2n 9 (i)

ai

iii

ii

1

1 11

1=0

9 =− 0

−= −

11 (UEL-PR) Na figura abaixo, o ponto P representaum número complexo z no plano de Argand-Gauss. Qual

dos números abaixo é z, sabendo-se que OP = 13 ?

a) −9 0 4i

b) 2 0 3i

c) 2 − 3i

d) 13

e) − 13 i

y

xO

P

a b e a b. , 0 =0 0 132 2,

A única alternativa que satisfaz tais condições é:

z = 2 − 3i, pois 2 . 0,

−3 . 0 e

2 3 132 20 − =( )

Seja z = a 0 bi. Pelo enunciado, temos que:

X

10 (PUC-SP) Geometricamente, o módulo de um nú-mero complexo z é dado pela distância da origem O doplano complexo ao ponto imagem de z. Assim, dado o com-plexo z = 3 0 2i, considere o #ABO, cujos vértices A e Bsão os respectivos pontos imagem de z e z 9 i. É verdadeque esse triângulo é:a) eqüilátero d) retângulo e não isóscelesb) escaleno e) isósceles e não retânguloc) retângulo e isóscelesX

Como OA = OB , o #ABO é isósceles.

Aplicando o teorema de Pitágoras no #ABO, temos:

13 13 26

2 2 2( ) ( ) ( )0 =

OA2 0 OB2 = AB2

Portanto, o #ABO é isósceles e retângulo.

Seja z = 3 0 2i e z 9 i = (3 0 2i) 9 i = −2 0 3i. Os pontos que representamz e z 9 i são respectivamente A(3, 2) e B(−2, 3).

OA OB= 0 = = − 0 =3 2 13 2 3 132 2 2 2 , ( ) ,

AB = 0 0 − =( ) ( )3 2 2 3 262 2

7 (PUC-RS) Se as imagens geométricas dos númeroscomplexos 0, z e x no plano de Argand-Gauss são os vérti-ces de um triângulo eqüilátero, então a medida do seg-mento que une as imagens de z e x é:

a)

z

2c) z e) Im(z)

b)

x

2d) 2 Re(z)

X

Logo, a medida do segmento queune as imagens de z e x é um doslados do triângulo eqüilátero, por-tanto de medida z .

Seja z = a 0 bi. Se 0, z e x são vértices de um triângulo eqüilátero, temos:

Im

Re0

z

x

a

b

−b

z

023_026_CAD_Mat_4 12.09.06, 16:5524

M22Números Complexos

Matemática25

Para

quez i0

01 iz seja um número real, é preciso que

14 (Fuvest-SP) Nos itens abaixo, z denota um númerocomplexo e i a unidade imaginária (i2 = −1). Suponha z ϑ i.

a) Para quais valores de z tem-se

z iiz

0

0=

12?

b) Determine o conjunto de todos os valores de z para os

quais

z iiz

é0

01 um número real.

z iz i i z

i0

0= 0 = 0 − = − =

−

−12 2 2

21iz

2iz z(1 2i)2i

→ → →a)

zi i

z i=−

−9

0

0=

0 − −

−=

0= 0

21

21

45

45

352i

(1 2i)(1 2i)

4i 2i4i

3i2

2→

b) Sendo z = a 0 bi, a, b 7 ς, temos:

z i a i a0

0=

0 0

0 0=

0 0

− 09

− −

− −1 1izbi

i(a bi)

(b 1) i

(1 b) ai

(1 b) ai

(1 b) ai

a ab a i i b i a b

a− − 0 − 0 0

− −=

− 0 −

− 0

2 2 2

2

ab(1 b) (ai)

2a (a 1) i

(1 b)2 2

2

2

a2 0 b2 − 1 = 0 → a2 0 b2 = 1 ou ainda

z z2

1 1= =→ .

12 (MACK-SP) Se i2 = −1, o complexo z

i ii

=−

−

2 003

1é:

a) da forma a 0 bi, com a 0 b = 1

b) um número de módulo 2

c) um imaginário puro

d) um número real

e) um número de módulo 1

i2 003 = i2 000 9 i3 = (i4)500 9 i3 = 1 9 i3 = i3

zi i

ii ii

i ii i

=−

−=

−

−=

− −

−=

−

−

2 003 3

1 1 1 12i

z2i(i 1)

(i 1)(i 1)

2i(i 1) 2i(i 1)=

− 0

− 0=

− 0

−=

− 0

−= 0 = − 0

ii i z i

22

1 21→

z = − 0 =( )1 1 22 2

X

No triângulo colorido, temos:

Se x é o complexo conjugado de z, então:

a) z i= − 02 2 3 d) x = − 02

2 33

i

b) x = − 02 2 3 i e) z i= − 02

33

c) z i= − 02 3

Im(z)

−2

P

Re(z)30)

13 (Fatec-SP) Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixodo número complexo z, no plano de Argand-Gauss.

X

Im(z)

−2 2

bP

Re(z)30)

tg

bb b30

233

2 33

2 33

) = = = = −→ →

Então:

z i e i= − − = − 022 3

32

2 33

x

b

Temos, então, o sistema:

, determine o valor de a de forma que

15 (ITA-SP) Sejam a e b dois números complexos não-nulos, tais que a2 0 b2 = 0. Se z, w 7 Ν satisfazem a

xw 0 zz = 6axw − zz = 8b

12

3

zw = 1.

x 9 w 0 z 9 z = 6ax 9 w − z 9 z = 8b

2x 9 w = 6a 0 8bx 9 w = 3a 0 4b → z 9 z = 3a − 4b

12

3

Fazendo (x 9 w) 9 (z 9 z) = (3a 0 4b) 9 (3a − 4b), temos:(z 9 x) 9 (w 9 z) = 9a2 − 16b2

z z z w zw9 = : 9 = − = −x

2 2 2 29a 16b 9a 16b2 2 2 2→

zw zw e= = − =1 1 1

22 2→ 9a 16b

9a2 − 16b2 = 1a2 0 b2 = 0

12

3 →9a2 − 16b2 = 116a2 0 16b2 = 0

12

3

a a2

125

15

= = Σ→

25a2 = 1

Portanto, a =

15

.

023_026_CAD_Mat_4 12.09.06, 16:5625

Números ComplexosM22

Matemática 26

18 (ITA-SP) Seja a equação em Ν: z4 − z2 0 1 = 0.

Qual dentre as alternativas abaixo é igual à soma de duasdas raízes dessa equação?

a) 2 3 b) −

32

c) 0

32

d) −i e) 0

i2

X

z4 − z2 0 1 = 0

z

i2 1 1 42

1 32

1 32

=Σ −

=Σ −

=Σ

z i z i2 2

12

32

12

32

= 0 = −� �ou

De � vem:

z i2 1

232

= 0

z2 = cos 60) 0 i sen 60)

z i z i= ) 0 ) = 0cos 30 sen 30 → 3

212

z i z i= ) 0 ) = − −cos 210 sen 210 → 3

212

O conjunto solução da equação z4 − z2 0 1 = 0 é:

De � vem:

z i2 1

232

= −

z2 = cos 300) 0 i sen 300)

z i z i= ) 0 ) = − 0cos 150 sen 150 → 3

212

z i z i= ) 0 ) = −cos 330 sen 330 → 3

212

E a soma de duas das raízes da equação pode ser 0 ou Σ Σ3 i.ou

32

12

32

12

32

12

32

12

0 − − − 0 −i, i, i, i

16 (UFBA) Determine a soma das soluções daequação x i4 8 8 3= − 0 .

x i x i4 48 8 3 8 8 3= − 0 = − 0→

� = 16

cos θ = −

12

sen θ =

32 1

44

24

43

θ =

π23

xk

i senk

=

π0 π

0

π0 π

16

23

2

4

23

2

44

cos

k x i sen i i= =

π

0π

= 0 = 00 2

26

12 62

32

12

31

→

cos

k x i sen i= =π

0π

= − 01 223

23

1 32

→

cos

k x i sen= =π

0π

= − −2 276

76

33

→

cos 1i

k x i sen i= =π

0π

= −3 253

53

1 34

→

cos

3 1 3 3 1 3 00 − 0 − − 0 − =i i i i

Soma das soluções:

17 (UFMG) Sejam n um número inteiro positivo e z

um número complexo tal que z = 1 e 1 0 z2n ϑ 0. Cal-

cule a parte imaginária de

zz

n

2n1 0.

Seja z = �(cos θ 0 i sen θ). Como

z = 1, temos:z = cos θ 0 i sen θ

• zn = cos (nθ) 0 i sen (nθ)

• z2n = cos (2nθ) 0 i sen (2nθ)

z i

i

i

i

n

1 1

1

10=

θ 0 θ

0 θ 0 θ9

0 θ − θ

0 θ − θz

cos (n sen(n

cos (2n sen(2n

cos (2n sen(2n

cos (2n sen(2n2n

) )

) )

) )

) )•

cuja

n

parte real é:

cos (n (1 cos (2n )) sen(n sen(2n

(1 sen (2n2

[ ) ) )]

cos ( )) ( )),

θ 9 0 θ 0 θ 9 θ

0 θ 0 θ2 2

e cuja parte imaginária é:

en(n cos (2n cos (n sen(2n

1 cos (2n ) sen (2n2

s θ 9 0 θ − θ 9 θ

0 θ 0 θ

) [ )] ) )

( ) )

12

sen(n sen(n cos (2n cos (n sen(2n

cos (2n cos (2n sen (2n2 2

θ 0 θ 9 θ − θ 9 θ

0 θ 0 θ 0 θ

) ) ) ) )

) ) )1 2

sen(n sen (2n ) (n

cos (2n

sen(n sen n ]

2 cos (2n

θ 0 θ 9 θ

0 θ=

θ 0 θ

0 θ

) [ )]

)

) [

)2 2 2

2

2 1 1

sen(n

cos (2n

sen(n

cos (2n

θ

0 θ=

θ

0 θ

)

( ))

)

)

sen(n

cos (n

sen(n )

cos (n2 2

θ

0 θ −=

θ

θ

)

) )1 2 1 2

023_026_CAD_Mat_4 12.09.06, 16:5726

M23Polinômios

Matemática27


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M23

TERCEIRÃO FTDPolinômios Caderno de

Atividades

(08) O determinante

1 1 11 1 11 1 00 −i i

define um número

complexo. O módulo desse número complexo é 1 (um).

(16) Dadas as funções f(x) = x2 − 2x 0 1 e g(x) = x2 0 x, o

valor do quociente

f i

g ié

i( )

( ).

2

135 5

0

−− 0


(01) O valor numérico do polinômio p(x) = x2 − 4x 0 5para x = i é p(i) = 4 − 4i.

(02) O conjugado do número complexo z

ii

=2 0

é 1 0 2i.

(04) A forma trigonométrica do número complexo

z i é z i sen= =1 3 2

53

53

−π

0π

cos .

01. CorretaSe p(x) = x2 − 4x 0 5, então p(i) = i2 − 4i 0 5 = 4 − 4i.

02. Correta

zi

ii

iii

=0

=0

9 =− 0

−

2 2 11

2i

Se z = 1 − 2i, então x = 1 0 2i.

04. Correta

z i i sen= − =π

0π

1 3 253

53

cos

z = 0 =1 3 22 2

θ =

π53

08. Incorreta

Portanto: 1 0 2 0 4 0 16 = 23

16. Correta

2i3i

3i3i

2i1

11

610

35 5−

90

0=

− 0= − 0

i

Im

1

2

z

0 Re

5π

3

− 3

1 1 1

1 1 1

1 1 0

1 1 1 1 0

0 −

= 0 0 − − − − 0 =

i i

i i i i

f(2 i)

g(1 i)

(2 i) (2 i)

(1 i) (1 i)

2

2

0

−=

0 − 0 0

− 0 −

2 1


2 (ESPM-SP) As retas r, s e t do plano cartesiano represen-tam as variações do comprimento, largura e altura de umparalelepípedo reto-retângulo em função da variávelx (0 , x , 6). Assinale o polinômio que representa a variaçãodo volume desse paralelepípedo em função de x:

a) V(x) = x3 − 18x2 0 6

b) V(x) = x3 − 12x

c) V(x) = −x3 0 36x

d) V(x) = −x3 0 12x − 6

e) V(x) = x3 − 9x2 0 18x

y

x0

3

6

6

rt

s

X

Equação da reta r, que passa pelos pontos (6, 6) e (0, 3):

x y

x

1

6 6 1

0 3 1

0 6 0= − 0 =→ 2y

Equação da reta s, que passa pelos pontos (6, 0) e (0, 6):

x y

x

1

6 0 1

0 6 1

0 6 0= 0 − =→ y

Intersecção entre as retas r e s:

Sendo r, s e t as retas que representam as variações do comprimento,largura e altura de um paralelepípedo reto-retângulo em função de x, opolinômio que representa a variação do seu volume é dado por:

Equação da reta t, que passa pelos pontos (0, 0) e (2, 4):

x y 1

2 4 1

0 0 1

0= =→ y 2x

V(x) = x(6 0 x) 9 (6 − x)V(x) = x(36 − x2)V(x) = −x3 0 36x

V(x) 2x 6)= 0 9 − 012

3x x

(

x − 2y = −6x 0 y = 6

12

3 →x = 2y = 4

→ P(2, 4) é o ponto de intersecçãodas retas r, s e t.

027_030_CAD_Mat_4 12.09.06, 17:0027

PolinômiosM23

Matemática 28

3 (PUC-RJ) Dado que as raízes do polinômiop(x) = x3 0 ax2 0 bx 0 c são 0, 1 e −1, calcule p(2).

Assim: p(x) = x3 − x e p(2) = 23 − 2 = 6.

Como 0, 1 e −1 são as raízes do polinômio, temos:p(0) = p(1) = p(−1) = 0p(0) = 03 0 a 9 02 0 b 9 0 0 c = 0 → c = 0p(1) = 13 0 a 9 12 0 b 9 1 0 c = 0 → a 0 b = −1p(−1) = (−1)3 0 a(−1)2 0 b(−1) 0 c = 0 → a − b = 1

a 0 b = −1a − b = 1

12

3 → a = 0 e b = −1

4 (MACK-SP) Se

axx

2xx2 2−

0−

=−

−1 111

bx

para

todo x, x ϑ Σ1, então a − b vale:a) 4 b) −2 c) 3 d) 0 e) −1

Portanto: a − b = 3 − (−1) = 4.

X

axx

2x1, 1}

2 −0

−=

−

−? 7 ς − −

1 1112

bx x

x, {

ax bx 2x0 0

−=

−

−

bx x2 21

11

(a b)x 2x0 0

−=

−

−

b

x x2 2111

→ a 0 b = 2b = −1

→a = 3b = −1

Se P(x) dividido por (x2 0 3x − 1) deixa resto (x − 3) com quociente (x 0 1),então:P(x) = (x2 0 3x − 1) 9 (x 0 1) 0 x − 3. Logo:P(1) = (12 0 3 9 1 − 1) 9 (1 0 1) 0 1 − 3 = 3 9 2 − 2 = 4 → P(1) = 4

5 (Unicap-PE) Considere o polinômio P(x) com coeficien-tes reais, que, dividido pelo polinômio (x2 0 3x − 1), deixaresto (x − 3), com quociente (x 0 1). Determine P(1).

a) Determine o valor de B.b) Resolva a inequação

x3 − 3x2 − x 0 3 . 0.

6 (UENF-RJ) O gráfico abaixo é a representação carte-siana do polinômio y = x3 − 3x2 − x 0 3.

y

x

3

B

2

S = {x 7 ς | −1 , x , 1 ou x . 3}

a) (2, B) é ponto do gráfico, portanto:B = 23 − 3 9 22 − 2 0 3 = −3 → B = −3

b) x3 − 3x2 − x 0 3 . 0x2(x − 3) − (x − 3) . 0(x − 3) 9 (x2 − 1) . 0S = {x 7 ς | −1 , x , 1 ou x . 3}

x2 − 1 = 0 → x = Σ1x − 3 = 0 → x = 3

3}

{ { {

}−1 1

−1

−1

1

1

3

3

−− 0−

−0 00

{− {−

Se p(x) é divisível por (x 0 1)2, então ele é divisível por (x 0 1).

Logo, p(−1) = 0 → (−1)5 0 2a(−1)4 0 2b = 0 → 2a 0 2b = 1, portanto

7 (PUC-RJ) Se o polinômio p(x) = x5 0 2ax4 0 2b édivisível por (x 0 1)2, então a soma a 0 b vale:

a) 1 b) −1 c) 2 d) −

12

e)

12

X

a b0 = 1

2.

027_030_CAD_Mat_4 12.09.06, 17:0028

M23Polinômios

Matemática29

12 (UFV-MG) Considere os polinômiosP(x) = x(x2 − 2x) − (x − 2) 9 (3x 0 4) e Q(x) = x2 − 1.a) Decomponha P(x) em um produto de fatores lineares.b) Determine o resto da divisão de P(x) por Q(x).

a) P(x) = x(x2 − 2x) − (x − 2) 9 (3x 0 4)P(x) = x2(x − 2) − (x − 2) 9 (3x 0 4)P(x) = (x − 2) 9 (x2 − 3x − 4)P(x) = (x − 2) 9 (x − 4) 9 (x 0 1)

b) P(x) = x(x2 − 2x) − (x − 2) 9 (3x 0 4) = x3 − 2x2 − 3x2 − 4x 0 6x 0 8P = x3 − 5x2 0 2x 0 8Q(x) = x2 − 1Uma das maneiras de determinar o resto da divisão de P(x) por Q(x) édividir os polinômios pelo método da chave:

E o resto da divisão de P(x) por Q(x) é 3x 0 3.

x3 − 5x2 0 2x 0 8 x2 − 1

−x3 0 x x − 5

−5x2 0 3x 0 8

5x2 − 5

3x 0 3

11 (PUC-PR) Dado o polinômio x4 0 x3 − mx2 − nx 0 2,determinar m e n para que ele seja divisível porx2 − x − 2. A soma m 0 n é igual a:a) 6 b) 7 c) 10 d) 9 e) 8X

Logo, a soma m 0 n = 8.

Seja p(x) = x4 0 x3 − mx2 − nx 0 2 e q(x) = x2 − x − 2 = (x − 2) 9 (x 0 1).

Para que p(x) seja divisível por q(x) ele deve ser divisível por (x − 2) e por(x 0 1), ou seja:

p(2) = 0p(−1) = 0

12

3 →24 0 23 − m 9 22 − n 9 2 0 2 = 0(−1)4 0 (−1)3 − m(−1)2 − n(−1) 0 2 = 0

12

3

04m 0 2n = 026m − n = 02

12

3 →m = 5n = 3

Da primeira divisão, para x = 0, temos:R = p(0) = k(0) 9 (5) 0 7 → r = 2 9 5 0 7 = 17

10 (Unifesp-SP) A divisão de um polinômio p(x) por umpolinômio k(x) tem Q(x) = x3 0 3x2 0 5 como quociente eR(x) = x2 0 x 0 7 como resto. Sabendo-se que o resto dadivisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:a) 10 b) 12 c) 17 d) 25 e) 70X

p(x) k(x)

x2 0 x 0 7 x3 0 3x2 0 5→ p(x) = k(x) 9 (x3 0 3x2 0 5) 0 (x2 0 x 0 7)

→ k(0) = 2k(x) x2 q

1(x)

→ p(0) = Rp(x) xR q2(x)

8 (ITA-SP) Considere o polinômioP(x) = 2x 0 a2x

2 0 ... 0 anxn, cujos coeficientes 2, a2, ..., an

formam, nessa ordem, uma PG de razão q . 0. Sabendo

que −

12

é uma raiz de P e que P(2) = 5 460, tem-se que

o valor de

n qq

é2 3

4

− igual a:

a)

54

b)

32

c)

74

d)

116

e)

158

X

Se 2, a2, a3, ..., an formam, nessa ordem, uma PG de razão q . 0, entãoa2 = 2q, a3 = 2q2, ..., an = 2qn − 1 eP(x) = 2x 0 a

2x2 0 a

3x3 0 ... 0 a

nxn = 2x 0 2qx2 0 2q2x3 0 ... 0 2qn − 1 9 xn

P(x) é a soma dos termos de uma PG em que a1 = 2x e a razão é (qx):

P(x)2x[(qx) 1]

qx

n

=−

− 1�

Como é P− − =12

12

0

raiz, tem-se .

Substituindo em �:

212 2

1

21

0 12

0

− 9 − −

− −

= − − =

→

q

qq

n

n

− = − =q

n

21

→ ( q) 2n n

Temos, pelo enunciado, que P(2) = 5 460.Substituindo em �:

Se q . 0, n é obrigatoriamente par, pois 2n . 0 e, dessa forma,(−q)n = qn = 2n → q = 2.

2

2 1

9 9 −

9 −=

2[(q 2) 1]5 460

n

q

4[(2 2)n9 −

9 −= = =

1

2 2 15 460 4 4 096 6

]→ →n n

n q

q

2 3

4

2 3

4

6 22

36 816

74

−=

−=

−=

9 (UEL-PR) Qual é o resto da divisão de p(x) = x110 − xpelo polinômio q(x) = x2 0 x?a) −2x b) −2 c) x d) −x e) 0X

Logo, R(x) = −2x.

Seja Q(x) e R(x) = ax 0 b o quociente e o resto da divisão de p(x) pelopolinômio q(x) = x(x 0 1), respectivamente.

p(x) _ q(x) 9 Q(x) 0 R(x)

p(x) _ (x2 0 x) 9 Q(x) 0 ax 0 b

p(0) = a 9 0 0 bp(−1) = a 9 (−1) 0 b

12

3 →0 = b(−1)110 − (−1) = −a

12

3 →b = 0a = −2

027_030_CAD_Mat_4 12.09.06, 17:0129

PolinômiosM23

Matemática 30

13 (Fatec-SP) O polinômio

p x

ax

a= 0 − −3 2

2 27x , a 7 ς, é divisível por (x − 2).

Se o polinômio q = 2ax3 0 3ax2 0 bx 0 1 é um cuboperfeito, então o valor de b é:a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1X

Assim sendo, o polinômio q(x) = 2ax3 0 3ax2 0 bx 0 1 = 2 9 4x3 0 3 9 4x2 00 bx 0 1 = 8x3 0 12x2 0 bx 0 1 = (2x 0 1)3, pois q é um cubo perfeito,mas (2x 0 1)3 = 8x3 0 12x2 0 6x 0 1.Comparando as duas formas do polinômio, temos:bx = 6x → b = 6

Se o polinômio p(x) 7x= 0 − −x

ax

a3 2

2 2 é divisível por x − 2, então

p(2) = 0, portanto:

2

22 7 2

20

26

263 20 9 − 9 − = − = = =

a a aa→ → →2a

3a4

15 (Fuvest-SP) Dado o polinômiop(x) = x2(x − 1) 9 (x2 − 4), o gráfico da função y = p(x − 2)é mais bem representado por:

a)

1 2 3 4x

y

0

1 2−1−2 x

y

0

d)

b)

1 2 3 4x

y

0

1 2 3 4x

y

0

e)

c)

X

pois para todo x , 0 tem-se p(x − 2) , 0 e para todo x . 4 tem-sep(x − 2) . 0.

p(x) = x2(x − 1) 9 (x2 − 4) → p(x) = x2(x − 1) 9 (x 0 2) 9 (x − 2)

p(x − 2) = (x − 2)2 9 (x − 2 − 1) 9 (x − 2 0 2) 9 (x − 2 − 2)p(x − 2) = x(x − 2)2 9 (x − 3) 9 (x − 4)Assim sendo, 0, 3 e 4 são raízes simples e 2 é raiz dupla de p(x − 2). Ográfico de p(x − 2) é do tipo

2 3 4x

p(x − 2)

0

−1−2−3−4x

y

0

14 (ITA-SP) Dividindo-se o polinômioP(x) = x5 0 ax4 0 bx2 0 cx 0 1 por (x − 1), obtém-se restoigual a 2. Dividindo-se P(x) por (x 0 1), obtém-se resto iguala 3. Sabendo que P(x) é divisível por (x − 2), tem-se que o

valor de

abc

é igual a:

a) −6 b) −4 c) 4 d) 7 e) 9X

→ P(1) = 2 → 15 0 a 9 14 0 b 9 12 0 c 9 1 0 1 = 2P(1) = a 0 b 0 c = 0

P(x) x − 1

2


→ P(−1) = 3 → (−1)5 0 a(−1)4 0 b(−1)2 0 c(−1) 00 1 = 3 → a 0 b − c = 3

P(x) x 0 1

3

→ P(2) = 0 → 25 0 a 9 24 0 b 9 22 0 c 9 2 0 1 = 0P(2) = 16a 0 4b 0 2c = −33

P(x) x − 2

0

a 0 b 0 c = 0a 0 b − c = 316a 0 4b 0 2c = −33

14

24

3

→

a 0 b 0 c = 0−2c = 3

16a 0 4b 0 2c = −33

14

24

3

→

a 0 b 0 c = 016a 0 4b 0 2c = −33

c = −

32

14

24

3→ → 16a 0 4b = −30

c = −

32

14

42

44

3

a b0 =

32

→

a = −3

b =

92

c = −

32

Então:

a bc9

=

− 9

−

=

−

−

=

392

32

27232

9

027_030_CAD_Mat_4 12.09.06, 17:0130

M24Equações Polinomiais

Matemática31


TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M24

TERCEIRÃO FTDEquações Polinomiais Caderno de

Atividades

2 (UFSCar-SP) Considerando que 2i é raiz do polinômioP(x) = 5x5 − 5x4 − 80x 0 80, a soma das raízes reais dessepolinômio vale:a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

P(x) = 5x5 − 5x4 − 80x 0 80 = 5x4(x − 1) − 80(x − 1)P(x) = (x − 1) 9 (5x4 − 80) = 5(x − 1) 9 (x4 − 16)

As raízes de P(x) são 1, 2, −2, 2i e −2i.Portanto, a soma das raízes reais vale 1 0 2 − 2 = 1.

Fazendo P(x) = 0x − 1 = 0 → x = 1oux4 − 16 = 0 → x4 = 16 → x = Σ2 ou x = Σ2i

X

1 (UEL-PR) Sobre a equação x3 − x2 0 x − 1 = 0, écorreto afirmar que:a) possui três raízes imaginárias puras.b) possui três raízes reais cuja soma é 1.c) possui três raízes reais cuja soma é 3.d) possui duas raízes reais e uma imaginária pura.e) possui uma raiz real e duas imaginárias puras.

Portanto, as raízes são 1, −i e i.

x3 − x2 0 x − 1 = 0 → x2(x − 1) 0 (x − 1) = 0

(x − 1) 9 (x2 0 1) = 0x − 1 = 0 → x = 1oux2 0 1 = 0 → x2 = −1 → x = Σi

X

Um polinômio de grau 8 tem oito raízes.Se 1 0 i e 1 − 2i são raízes e os coeficientes do polinômio são reais,então 1 − i e 1 0 2i também são raízes.Assim sendo, se o polinômio possui pelo menos quatro raízes complexas,possui no máximo quatro raízes reais.

3 (Unifesp-SP) Os números complexos 1 0 i e 1 − 2i sãoraízes de um polinômio com coeficientes reais, de grau 8.O número de raízes reais desse polinômio, no máximo, é:a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6X

a) Se o polinômio P tem 2 0 3i e −2 − 3i como raízes, temos que osconjugados 2 − 3i e −2 0 3i também são raízes. Portanto, o seu graué no mínimo 4.

b) x3 − x2 − 7x 0 15 = 0Essa equação possui três raízes: 2 0 i, 2 − i e m.Pelas relações de Girard:(2 0 i) 0 (2 − i) 0 m = 1 → 4 0 m = 1 → m = −3As outras raízes são 2 − i e −3.

4 (FGV-SP)a) Um polinômio P, de coeficientes reais, apresenta 2 0 3i

e −2 − 3i, como suas raízes (i é a unidade imaginária).Qual o menor grau possível para P? Justifique.

b) A equação polinomial x3 − x2 − 7x 0 15 = 0 apresentauma raiz igual a 2 0 i. Obtenha as outras raízes.

031_038_CAD_Mat_4 12.09.06, 17:0331

Equações PolinomiaisM24

Matemática 32

5 (PUC-RJ) Considere o polinômio p(x) = x3 0 2x2 − 1.a) Calcule o valor de p(x) para x = 0, Σ1, Σ2.b) Ache as três soluções da equação x3 0 2x2 = 1.

Como p(−1) = 0, −1 é uma das raízes de p(x), portanto raiz da equação.Dividindo p(x) por (x 0 1):

a) p(x) = x3 0 2x2 − 1

p(0) = 03 0 2 9 02 − 1 = −1; p(−1) = (−1)3 0 2(−1)2 − 1 = 0;

p(1) = 13 0 2 9 12 − 1 = 2; p(−2) = (−2)3 0 2(−2)2 − 1 = −1 e

p(2) = 23 0 2 9 22 − 1 = 15

p(x)1442443

b) x3 0 2x2 = 1 → x3 0 2x2 − 1 = 0

→ x3 0 2x2 − 1 = (x 0 1) 9 (x2 0 x − 1) = 0−1 1 2 0 −1

1 1 −1 0

As soluções são −

− − − 01,

1 52

1 52

e .

x 0 1 = 0 → x = −1

x2 0 x − 1 = 0

x

x

�

��

=− −

=− 0

1 52

1 52

01. CorretoA única raiz racional de P(x) é 0.

02. IncorretoO resto da divisão de P(x) por x 0 1 éP(−1) = ((−1)4 − 4) 9 ((−1)3 − 2(−1)2 0 5(−1)) = 024

04. CorretoP(x) = (x2 − 2) 9 (x2 0 2) 9 x(x2 − 2x 0 5)P(x) = (x2 − 2x) 9 (x2 0 2) 9 (x2 − 2x 0 5) e o quociente deP(x) = (x3 − 2x) 9 (x2 0 2) 9 (x2 − 2x 0 5) por Q(x) = x3 − 2x é iguala (x2 0 2) 9 (x2 − 2x 0 5) = x4 − 2x3 0 7x2 − 4x 0 10.

08. Incorreto

(z )

16 = − = − 9 = = −2 2 8 8

6 66 2i i i( ) ( )

16. Correto

5i 5i2i

2i2i

5iz

i2

111

105

2=0

9−

−=

0= 0

Portanto: 1 0 4 0 16 0 32 = 53

32. CorretoSe z2 = 1 0 2i → x2 = 1 − 2iSendo θ o argumento de x2, temos:

x

21 4 5= 0 = e

cos θ = =ax 2

1

5

Logo, cos 2 2 cos 2θ = θ − = − = −1 21

51

35

2

.

6 (Fatec-SP) Uma das raízes da equaçãox3 0 3x2 0 2x − 120 = 0 é um número inteiro positivomenor do que 5. Outra das raízes é:

a)

7113

c) −

7i13

e)

− −7 712i

b)

7113

d)

− −7 712

X

Portanto, as outras raízes da equação são

− − − 07 712

7 712

ie

i.

(x − 4) 9 (x2 0 7x 0 30) = 0

Testando para os valores 1, 2, 3 e 4, verificamos que 4 é raiz da equação.Fazendo a divisão de (x3 0 3x2 0 2x − 120) por (x − 4) pelo dispositivo deBriot-Ruffini, temos:

x3 0 3x2 0 2x − 120 = (x − 4) 9 (x2 0 7x 0 30)4 1 3 2 −120

1 7 30 0

x − 4 = 0 → x = 4

x x

i2 30 0

7 712

0 0 = =− Σ

7x →

P(x) = (x4 − 4) 9 (x3 − 2x2 0 5x) → P(x) = (x2 − 2) 9 (x2 0 2) 9 x 9 (x2 − 2x 0 5)

cujas raízes são: 2 2 2 2, ,− 9 − 9i, i , 0, 1 0 2i, 1 − 2i. Como

z1 = a 0 bi e z2 = c 0 di, em que a = 0, b , 0, c . 0 e d . 0, temos:

z i e z

1 22 1= − 9 = 0 2i

7 (UFBA) Considere o polinômioP(x) = (x4 − 4) 9 (x3 − 2x2 0 5x), sendo z1 = a 0 bi ez2 = c 0 di duas de suas raízes, em que a = 0, b , 0,c . 0 e d . 0.Nessas condições, é correto afirmar:

(01) P(x) tem apenas uma raiz racional.

(02) O resto da divisão de P(x) por x 0 1 é igual a 72.

(04) O quociente da divisão de P(x) por Q(x) = x3 − 2x éigual a x4 − 2x3 0 7x2 − 4x 0 10.

(08) (z1)6 = 8i

(16)

5iz2

= 02 i

(32) Se o argumento de x2 é θ, então cos .2

35

θ = −


031_038_CAD_Mat_4 12.09.06, 17:0332


Matemática33

10 (UFC) Seja P(x) um polinômio de grau n > 1, comcoeficientes reais. Sabendo que P(3 0 i) = 2 − 4i, em quei2 = −1, calcule P(3 − i).

Sendo P(x) = anxn 0 an − 1x

n − 1 0 ... 0 a1x 0 a0, com an ϑ 0, podemosescrever:

P(3 − i) = an(3 − i)n 0 a

n − 1(3 − i)n − 1 0 ... 0 a

1(3 − i) 0 a

0

P(3 − i) = an(3 0 i)n 0 a

n − 1(3 0 i)n − 1 0 ... 0 a

1(3 0 i) 0 a

0 Θ

Θ pois 3 0 i = 3 − i

Sejam Z1 = a 0 bi e Z

2 = a − bi, com a, b 7 ς.

Z1 0 Z2 = (a 0 bi) 0 (a − bi) = 2a �

Z1 9 Z2 = (a 0 bi) 9 (a − bi) = a2 0 b2 �

Logo, P(x) = (x − Z1) 9 (x − Z

2) = x2 − (Z

1 0 Z

2)x 0 Z

1 9 Z

2

Substituindo os valores de � e �:P(x) = x2 − 2ax 0 a2 0 b2, que é um polinômio do 2o grau com coeficientesreais.

11 (UFRJ) Sendo Z1 e Z2 números complexos conjuga-dos (Z1 = *2), considere P(x) = (x − Z1) 9 (x − Z2) e mos-tre que P(x) é um polinômio de grau 2 com coeficientesreais.

9 (UFC) A área do polígono cujos vértices são asrepresentações geométricas das raízes do polinômiop(x) = x6 − 1 é:

a)

3 32

c)

3 22

e)

3 34

b)

2 33

d)

2 23

Im

Re1

1 1

R2 R3

R4

R5 R6

R1

1O

S

#= =

OR R

2

1 2

1 34

34

S S

hex= 9 = =

#6

6 34

3 32

As raízes do polinômio p(x) = x6 − 1 são as raízes sextas de 1(x6 − 1 = 0 → x6 = 1).As raízes sextas da unidade são números complexos cujo módulo é iguala 1 e suas representações geométricas são pontos eqüidistantes sobreuma circunferência com centro na origem e de raio 1. Como 1 é uma des-sas raízes, a representação geométrica dessas raízes são os vértices deum hexágono regular inscrito na circunferência, conforme a figura abaixo.

X

8 (Unesp-SP) Considere a função polinomial do 3o graup(x) = x3 − 3x 0 1.a) Calcule p(−2), p(0), p(1), p(2) e esboce o gráfico.b) Com base no item (a), responda, justificando sua res-

posta, quantas raízes reais e quantas raízes complexas(não reais) têm p(x).

b) A equação p(x) = 0 de grau 3 tem três raízes reais: uma entre −2 e 0,pois p(−2) 9 p(0); , 0; outra entre 0 e 1, pois p(0) 9 p(1) , 0; outra entre1 e 2, pois p(1) 9 p(2) , 0, e nenhuma raiz complexa.

a) p(x) = x3 − 3x 0 1p(−2) = −8 0 6 0 1 → p(−2) = −1p(0) = 0 − 0 0 1 → p(0) = 1p(1) = 1 − 3 0 1 → p(1) = −1p(2) = 8 − 6 0 1 → p(2) = 3

−1

1

2

−1

3

1

P

−2

x

y

0

P(3 − i) = an(3 0 i)n 0 an − 1(3 0 i)n − 1 0 ... 0 a1(3 0 i) 0 a 0

u Θ pois a k

u = ak,

sendo ak 7 ς

P(3 − i) = an(3 0 i)n 0 a

n − 1(3 0 i)n − 1 0 ... 0 a

1(3 0 i) 0 a

0

P(3 − i) = P(3 0 i)

P(3 − i) = 2 − 4i

P(3 − i) = 2 0 4i

031_038_CAD_Mat_4 12.09.06, 17:0433


Matemática 34

a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.b) Encontre os valores de a para os quais a equação

p(x) = 0 tenha uma única raiz real.

12 (Unicamp-SP) Seja a um número real e seja:

p(x) =

− −

− −

−

det3 1 20 1

0 4 1

xa x

x

Portanto, as raízes são 3, 1 − 2i e 1 0 2i.

a) Para a = 1:

p(x)

(3 x) (1 x) 4(3 x)2

=

− −

− −

−

− 9 − 0 − =

3 1 20 1 1

0 4 1

0

xx

x

(3 − x) 9 [(1 − x)2 0 4] = 03 − x = 0 → x = 3ou(1 − x)2 0 4 = 0 → (1 − x)2 = −41 − x = Σ2ix = 1 − 2i ou x = 1 0 2i

(3 − x) 9 [(a − x) 9 (1 − x) 0 4] = 0(3 − x) 9 [x2 − (a 0 1)x 0 (a 0 4)] = 0Essa equação tem uma única raiz real (x = 3) quandox2 − (a 0 1)x 0 (a 0 4) = 0 não admite raízes reais.Devemos ter, então:∆ = [−(a 0 1)]2 − 4 9 1(a 0 4) , 0a2 − 2a − 15 , 0.Resolvendo a inequação:

b)

p(x) =

− −

− −

−

=0

3 1 2

0 1

0 4 1

0→x

a x

x

Observação: Para a = 5, a equação (3 − x) 9 [x2 − (1 0 a)x 0 (a 0 4)] = 0transforma-se em (3 − x) 9 (x2 − 6x 0 9) = 0 → (3 − x)3 = 0 → x = 3.Assim sendo, para a = 5, a equação p(x) = 0 terá também uma únicaraiz real, de multiplicidade 3.

−3 , a , 5{ {

}−3 5

Analisando o gráfico e a equação e = t3 0 at2 0 bt 0 c, concluímos queexistem três raízes reais: 0 é raiz simples e 3 é raiz dupla.

Então a equação que representa a posição do ciclista pode ser escrita naforma:e = k(t − 0) 9 (t − 3)2 = kt(t2 − 6t 0 9) = kt3 − 6kt2 0 9kt

Comparando com a equação dada:kt3 − 6kt2 0 9kt = t3 0 at2 0 bt 0 c → k = 1, −6k = a ou a = −6, 9k = bou b = 9 e c = 0

Portanto, a equação da posição do ciclista é:e = t3 − 6t2 0 9t

Para determinar os instantes dos encontros fazemos:t3 − 6t2 0 9t = 4t → t3 − 6t2 0 5t = 0 → t(t2 − 6t 0 5) = 0 → t = 0 out2 − 6t 0 5 = 0 → t = 0 ou t = 1 ou t = 5

Para t = 0 s → e = 0; para t = 1 s → e = 4 m e para t = 5 s → e = 20 m.

A posição mais afastada da origem será 20 m.

No instante em que o ciclista parte da posição zero, o cor-redor inicia um movimento, descrito pela equação e = 4t,na mesma pista e no mesmo sentido.Determine a posição mais afastada da origem na qual ociclista e o corredor voltam a se encontrar.

13 (UERJ) Um ciclista e um corredor começam, jun-tos, uma competição.A curva abaixo, cuja equação é:

e = t3 0 at2 0 bt 0 c,

representa a posição e, em metros, do ciclista, em funçãodo tempo t, em segundos, em que a, b e c são númerosreais fixos.

3 t (s)

e (m)

0

031_038_CAD_Mat_4 12.09.06, 17:0434


Matemática35

Como 0 < θ < π, então θ = 3.

Se 3 é raiz da equação polinomial, temos:2 9 33 − 3 9 32 − 3 0 m = 0 → m = −24

O produto das raízes de sua equação é:

15 (UFSM-RS) Sabendo que uma das raízes da equa-

ção 2x3 − 3x2 − x 0 m = 0 é solução de sen

πθ=

61,

com 0 < θ < π, então o produto das raízes da equaçãopolinomial é:

a) −

12

b)

32

c) 12 d) 16 e) 24

sen

πθ=

πθ=

π0 π θ = 0

61

6 23→ →2k 12k

a b c

ma b c9 9 = − 9 9 = =

2242

12→

X

14 (MACK-SP) Se p(x) = 4x3 − 16x2 − x 0 m, m real,admite duas raízes opostas, o valor de m é:a) 3 b) −2 c) 2 d) −4 e) 4

Portanto, p(4) = 4 9 43 − 16 9 42 − 4 0 m = 0 → m = 4.

Sejam a, −a e b as raízes de 4x3 − 16x2 − x 0 m = 0.Pelas relações de Girard:

a b b0 − 0 =

− −= =(

(a)

16)4

4 4→

X

16 (FGV-SP)a) Sejam r1, r2 e r3 as raízes da equação:

x3 − 4x2 0 6x − 1 = 0

Calcule o valor da expressão:

1 1 1

1 2 1 3 2 3r r r r r r90

90

9

b) Resolva a equação x3 − 2x2 − 5x 0 6 = 0, sabendo quea soma de duas raízes vale 4.

S = {−2, 1, 3}

a)

1 1 1

1 2 1 3 2 3

3 2 1

1 2 3r r r r r r

r r r

r r r0 0 =

0 0

Das relações de Girard, temos:r

1 0 r

2 0 r

3 = 4 e r

1r

2r

3 = 1

Logo:

1 1 1 41

41 2 1 3 2 3

r r r r r r0 0 = =

b) Sejam r1, r2 e r3 as raízes da equação.Do enunciado e das relações de Girard, temos:

→ 4 0 r3 = 2 → r

3 = −2

r1 0 r2 0 r3 = 2r1 0 r2 = 4

12

3

Como −2 é uma das raízes, temos:

−2 1 −2 −5 6

1 −4 3 0

x 0 2 = 0 → x = −2oux2 − 4x 0 3 = 0 → x� = 1 ou x�� = 3

x3 − 2x2 − 5x 0 6 = 0(x 0 2)(x2 − 4x 0 3) = 0

031_038_CAD_Mat_4 12.09.06, 17:0435


Matemática 36

Em relação a esse paralelepípedo, determine:a) a razão entre a sua área total e o seu volume;b) suas dimensões.

17 (UERJ) As dimensões de um paralelepípedo retân-gulo são dadas pelas raízes do polinômio a seguir.

3x3 − 13x2 0 7x − 1

a) Sendo a, b e c as raízes do polinômio, pelas relações de Girard, temos:

a b c0 0 =

133

ab ac bc0 0 =

73

abc =

13

14

44

24

44

3

V abc= =

13

S

VT

= =

14313

14

ST = 2(ab 0 ac 0 bc) = 2

73

143

9 =

b) Raízes racionais possíveis: Σ1 e Σ

13

. É fácil verificar que 01 e −1 não

são raízes do polinômio. Usando o dispositivo de Briot-Ruffini para 13

:

Logo, a =

13

.

As outras são raízes de 3x2 − 12x 0 3 = 0 →

x2 − 4x 0 1 = 0.

→ Uma das dimensões é 13

.−2 3 −13 7 −1

3 −12 3 0

13

x =

Σ −=

Σ= Σ

4 16 42

4 122

2 3

Dimensões: .

13

2 3 2 3, 0 −e

18 (UFMG) Sabendo-se que p(1 0 2i) = 0, calcule to-das as raízes do polinômio p(x) = x5 0 x4 0 13x2 0 5x.

p(x) = x5 0 x4 0 13x2 0 5x = x(x4 0 x3 0 13x 0 5)Nesse polinômio, 0 é uma das raízes.Como p(1 0 2i) = 0, então p(1 − 2i) = 0, e 1 0 2i e 1 − 2i são raízes dep(x).Sejam ε, ψ, 1 0 2i e 1 − 2i as raízes de x4 0 x3 0 13x 0 5. Pelas relaçõesde Girard, temos:

Portanto, as raízes de p(x) são: 0, 1 2i, 1 2i,0 −

− 0 − −3 52

3 52

, .

ε 0 ψ 0 (1 0 2i) 0 (1 − 2i) = −1ε 9 ψ(1 0 2i) 9 (1 − 2i) = 5

12

3

ε 0 ψ = −3ε 9 ψ = 1

12

3 → ε =

− 03 52

ψ =

− −3 52

14

42

44

3

19 (Fuvest-SP) As raízes do polinômiop(x) = x3 − 3x2 0 m, em que m é um número real, estãoem PA. Determine:a) o valor de m;b) as raízes desse polinômio.

a) Sejam a − r, a e a 0 r as raízes da equação, em PA de razão r.Das relações de Girard, temos:a − r 0 a 0 a 0 r = 3 → 3a = 3 → a = 1a = 1 é raiz do polinômio p(x) → p(1) = 0, ou ainda:13 − 3 9 12 0 m = 0 → m = 2

b) p(x) = x3 − 3x2 0 2 = (x − 1) 9 Q(x) → Q(x) = (x3 − 3x2 0 2) : (x − 1)

→ Q(x) = x2 − 2x − 21 1 −3 0 2

1 −2 −2 0

x2 − 2x − 21442443

As raízes de p(x) são 1 1 3 1 3, .− 0e

Portanto, p(x) = (x − 1) 9 (x2 − 2x − 2).

x x2 2 0

2 2 32

1 3− − = =Σ

= Σ2x →

20 (PUC-SP) Sabe-se que a equaçãox4 0 3x3 − 13x2 − 27x 0 36 = 0 admite as raízes reaisa, b, c, d, com a , b , c , d e tais que a 0 b = −7 e

cd = 3. Se z é o módulo do número complexo z = a 0 bi,

então log 25 z é igual a:

a)

15

b)

14

c)

12

d) 2 e) 5

Como a, b, c e d são as raízes da equação, pelas relações de Girard, temos:abcd = 36 �

Dados:a 0 b = −7 �

cd = 3 �

12

3

De � e �: a 9 b 9 3 = 36 → a 9 b = 12 �

Se a = −4 e b = −3, temos:

z = −4 − 3i e z = − 0 − =( (4) 3)2 2 5

De � e �:a 0 b = −7ab = 12

12

3

a = −4 → b = −3oua = −3 → b = −4 (não serve,pois a , b)

a(−7 − a) = 12 → a2 0 7a 0 12 = 0

Logo, log 5

25=

12

.

X

031_038_CAD_Mat_4 12.09.06, 17:0536

manual do professor

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