Univerzitet u Sarajevu Odsjek za fiziku, Prirodno-matematički fakultet

Male oscilacije

Zadatak 1 Naći položaj stabilne ravnoteže i vlastite frekvencije oscilatornog sistema prikazanogna slici 1. Mase opruga zanemarljivo male u odnosu na masu tijela m dok su normalne dužineopruga međusobno jednake i iznose l.

k1 k2m

3l

Slika 1

Zadatak 2 Dvostruko klatno prikazano na slici 2 sastoji se od homogenog štapa mase m i dužine li tanke homogene ploče u obliku kvadrata stranice a i mase M . Odrediti vlastite frekvencije malihoscilacija datog klatna za slučaj kada je M = m. Smatrati da klatno osciluje u vertikalnoj ravni.

θ

x

y

φ m, l

a

M

Slika 2

Zadatak 3 Sistem koji se sastoji od niti zanemarljive mase i dužine L i homognenog diska po-luprečnika r = L/2 i mase m vrši male oscilacije u vertikalnoj ravni (pogledati sliku). Odreditevlastite frekvencije malih oscilacija.

1

Univerzitet u Sarajevu Odsjek za fiziku, Prirodno-matematički fakultet

φ

θL

r

m

x

y

Slika 3

Zadatak 4 Dvostruko klatano prikazano na slici 4 sastoji se dvije metalne šipke zanemarljivihmasa i tijela masa m1 i m2. Naći frekvencije malih oscilacija klatna. Smatrati da klatno osciluje uvertikalnoj ravni.

x

y

0

y1

y2

x1 x2

θ2

θ1

m1

m2

l

l

Slika 4

Zadatak 5 Odrediti položaj stabilne ravnoteže i naći vlastite frekvencije sistema prikazanog na

2

Univerzitet u Sarajevu Odsjek za fiziku, Prirodno-matematički fakultet

slici 5. Smatrati da opruge imaju jednake konstante krutosti i da su jednakih normalnih dužina.

m

m

x1

x2

x

g

0

Slika 5

Hamiltonov formalizam i varijacioni principi

Zadatak 6 Primjenom Maupertuisovog principa

δ

∫ B

A

√2m [E − V (z)]ds = 0

pokazati da je u opštem slučaju putanja čestice mase m u polju Zemljine teže parabola. Uzeti dasila Zemljine teže ima suprotan smjer z−ose.

Zadatak 7 Rastvor šećera ima indeks prelamanja svjetlosti koji zavisi od dubine x i dat je formulom

n(x) = n0

√1 +

x

a,

gdje su n0 i a konstante. Na osnovu Fermatovog principa naći oblik putanje svjetlosti prilikomprostiranja kroz dati rastvor.

Zadatak 8 Kretanje čestice mase m i naboja q u elektromagnetnom polju može se opisati Lagran-geovom funkcijom:

L =1

2m~v 2 + q~v · ~A(~r, t)− qΦ(~r, t) ,

gdje je Φ(~r, t) skalarni potencijal, a ~A(~r, t) vektorski potencijal koji se su povezani sa vektorom

električnog polja i vektorom magnetne indukcije preko izraza ~E = −~∇Φ− ∂ ~A

∂ti ~B = ~∇× ~A.

3

Univerzitet u Sarajevu Odsjek za fiziku, Prirodno-matematički fakultet

a) Na osnovu Lagrangeove funkcije naći Hamiltonovu funkciju koja opisuje kretanje date čestice uelektromagnetnom polju. Napisati kanonske jednačine i naći njihova opšta rješenja za kretanječestice u homogenom električnom polju ~E = E~i.

b) Napisati kanonske jednačine i naći njihova opšta rješenja za kretanje čestice u homogenom mag-netnom polju ~B = B~k. Uzeti da je vektorski potencijal jednak ~A = (0, Bx, 0).

Zadatak 9 Čestica mase m kreće se po x−osi pod djelovanjem sile konstantnog intenziteta uvremenskom intervalu [0, τ ] između tačaka x = 0 i x = a.

a) Koristeći se Hamiltonovim principom izvesti diferencijalne jednačine kretanja.

b) Odrediti funkciju položaja tijela x(t) koristeći se Hamiltonovim principom ako je poznato da jex(t) kvadratna funkcija.

Zadatak 10 Data je Lagrangeova funkcija sa dva stepena slobode:

L =m

2

(x2

1 + αy+ y2

)− 1

2ky2 ,

gdje su α i k konstante. Naći Hamiltonovu funkciju, kanonske jednačine i njihova opšta rješenja.

Zadatak 11 Čestica mase m kreće se po cilindru x2 + y2 = a2 pod uticajem privlačne sile

~F = −k~r ,

gdje je k konstanta, a ~r = x~i+ y~j + z~k vektor položaja čestice.

a) Naći Lagrangeovu funkciju koja opisuje kretanje date čestice.

b) Naći Hamiltonovu funkciju.

c) Naći opšta rješenja kanonskih jednačina.

Zadatak 12 Štap postavljen pod uglom θ u odnosu na vertikalu rotira stalnom kružnom frekven-cijom ω oko z−ose (pogledati sliku 6). Niz štap klizi tijelo malih dimenzija i mase m bez trenja.

a) Pogodnim odabirom generalisanih koordinata naći Lagrangeovu funkciju koja opisuje kretanjedatog tijela.

b) Naći Hamiltonovu funkciju i odgovarajuće kanonske jednačine.

c) Naći vremensku zavisnost koordinate r = r(t) ako se tijelo počelo kretati iz stanja mirovanja inalazilo na visini z = h iznad horizontalne ravan u početnom trenutku.

4

Univerzitet u Sarajevu Odsjek za fiziku, Prirodno-matematički fakultet

r

y

x

z

ω

θ

Slika 6

Zadatak 13 Čestica mase m kreće se po cilindru x2 + y2 = a2 pod uticajem privlačne sile

~F = −k~r ,

gdje je k konstanta, a ~r = x~i+ y~j + z~k vektor položaja čestice.

a) Naći Lagrangeovu funkciju koja opisuje kretanje date čestice.

b) Naći Hamiltonovu funkciju.

c) Naći opšta rješenja kanonskih jednačina.

5