FIZIKA

TEMA: MAKSVELOVE JEDNAČINE

Uvod:

Tema mog maturskog rada su matematički izrazi koji predstavljaju vezu između električnog i magnetnog polja, za čije je formulisanje najveći doprinos dao škotski fizičar Džejms Klerk Maksvel. Maksvel je radio dalje na osnovu radova Gausa, Faradeja, Ampera, proširio ih i uokvirio svoja dostignuća u ovom segmentu fizike. Prije nego što se susretnemo sa Maksvelovim jednačinama, neophodno je da se upoznamo sa osnovnim osobinama električnog i magnetnog polja i sa određenim pojavama karakteristične za iste. Nadam se da ću čitaocu približiti ovaj predmet, jer iako mnogi bježe od njega, oni koji su se barem malo pozabavili i potrudili, shvatili su da fizika daje odgovore na mnoga pitanja, i da je puna analogija i univerzalnih zakona. Dokaz za to je dao i Maksvel, kroz svoj teorijski doprinos elektromagnetizmu.

Električno polje

Količina naelektrisanja:

Prilikom skidanja odjeće sintetičkog materijala preko glave, približavanja TV ekranu i češljanju kose, kažemo da se naša kosa „naelektrisala“. To ustvari znači da smo mi elektrone putem dodira i trenja prenijeli na češalj, koji privlači našu kosu. Znamo iz iskustva još da se tijela neće uvijek privlačiti; dva tijela se također mogu odbijati. Ova 2 primjera iz svakodnevnog života nas navode na zaključak da postoje 2 tipa naelektrisanja, i to:-Pozitivno (prouzrokovano manjkom elektrona)

1

-Negativno (prouzrokovano viškom elektrona), a veličina koja je kvantitativna mjera naelektrisanja tijela naziva se količina naelektrisanja. Oznaka je q, i ona je skalarna i diskretna veličina. Jedinica je 1 C (kulon). Pošto je to diskretna veličina, znači da ona ne može imati proizvoljnu vrijednost, već samo vrijednost koja je data relacijom:

Gdje je a e je elementarno naelektrisanje, odnosno naelektrisanje elektrona, koje

iznosi . Za količinu naelektrisanja važi zakon održanja, odnosno da se

naelektrisanje ne može stvoriti iz ničega ili uništiti, nego samo prenositi sa jednog tijela na drugo.

Međudjelovanje naelektrisanih čestica:

Proučavajući međudjelovanje naelektrisanih čestica, Šarl Kulon je ustanovio da je sila međudjelovanja između 2 naelektrisana tijela koja miruju srazmjerna njihovim količinama naelektrisanja, a obrnuto srazmjerna kvadratu rastojanja, što se izražava preko relacije

gdje je - jedinični vektor, i - količine naelektrisanja, r – udaljenost između ta 2

naelektrisanja, , veličina koja se naziva dielektrična propustljivost sredine. je

dielektrična propustljivost vakuuma, i ona iznosi , dok je relativna

dielektrična propustljivost, broj koji nam govori koliko je puta sila elektrostatičkog međudjelovanja u vakuumu veća nego u nekoj sredini. Ova sila se naziva elektrostatička sila ili Kulonova sila. Ova sila ima pravac spojnice, i ona će biti odbojna za istoimena naelektrisanja, a privlačna za raznoimena naelektrisanja.

Slika 1 – Prikaz Kulonove sile između naelektrisanja Q1 i Q2 na udaljenosti R12

Intenzitet Kulonove sile je dat izrazom:

Električno polje:Električno polje je posrednik međudjelovanja između naelektrisanja, odnosno to je prostor oko naelektrisanog tijela u kome se osjeća elektrostatička sila. Zato je potrebno uvesti veličinu koja će karakterisati ovo polje. Ta veličina se naziva jačina električnog polja i ona je jednaka sili koja

2

bi u posmatranoj tački djelovala na jedinično pozitivno naelektrisanje. Jedinica za jačinu

električnog polja je . To je vektorska veličina, i ima isti pravac i smjer kao i Kulonova sila:

Odavde je kulonovska sila jednaka:

Pošto znamo da sila uzrokuje ubrzano kretanje, vidimo da se slobodno naelektrisanje, kada se nađe u elektrostatičkom polju, može kretati ubrzano, usporeno (u zavisnosti od smjera kretanja u odnosu na vektor jačine elektrostatičkog polja) ili krivolinijski (ako se naelektrisanje kreće pod nekim uglom u odnosu na linije elektrostatičkog polja). Za elektrostatičko polje važi princip superpozicije, odnosno, rezultujuća jačina elektrostatičkog polja u nekoj tački gdje se osjeća djelovanje više elektrostatičkih polja biće jednaka sumi jačina tih elektrostatičkih polja:

=

Fluks električnog polja:

Preglednija predstava o elektrostatičkom polju se dobija pomoću skupa orijentisanih linija koje se nazivaju linije polja ili silnice. Silnice, kao što vidimo, izviru iz pozitivnog, a uviru u negativno naelektrisanje (Slika 2)

Veličinu koja karakteriše broj linija polja, odnosno silnica koje prolaze kroz određenu površinu nazivamo fluksom elektrostatičkog/električnog polja. Fluks možemo definisati na ovaj način;Uzmemo li u elektrostatičkom polju jednu proizvoljnu površinu S i posmatramo element te površine, dS, za koji možemo konstatovati da je jačina električnog polja u svim tačkama jednaka. Njega ćemo definisati kao vektor, čiji će intenzitet biti jednak njegovoj površini, pravac mu je pravac normale na taj element površine i usmjeren je od te oblasti prema spoljašnjem dijelu

prostora. Fluks je jednak skalarnom proizvodu jačine polja i vektoru elementarne površine

gdje je ugao između vektora i . Vidimo da, ako je , onda je vektor paralelan

površini, pa je broj linija koje prolaze kroz tu površinu 0. Fluks će biti pozitivan ako vektor

3

Slika 2

električnog polja i vektor elementa površine grade oštar ugao (linije će „izlaziti“), a

negativan (linije će tada „ulaziti“) ako je ugao veći od

Ukupan fluks u nekoj zatvorenoj površini ćemo dobiti kao zbir svih elementarnih flukseva

Ako je polje homogeno (odnosno, kada je jačina električnog polja u svim tačkama jednaka) onda je fluks električnog polja dat izrazom:

Električni potencijal i naponTijelo koje se nalazi u polju u kojem djeluje neka sila ima i određenu količinu potencijalne energije. U našem slučaju ćemo posmatrati probno naelektrisanje koje se nalazi u električnom polju. Tada će se na njega djelovati Kulonova sila pa će probno naelektrisanje imati elektrostatičku potencijalnu energiju. Potencijalna energija probnog naelektrisanja u elektrostatičkom polju naelektrisanja Q data je izrazom:

Veličina koja definiše potencijalnu energiju koju bi jedinično probno naelektrisanje imalo u datoj tački prostora naziva se potencijal.

Jedinica za potencijal je odnosno 1 V (volt). Odavde je

4

Slika 3: Fluks električnog polja

Pošto se rad definiše mjera transformacije energije, odnosno kao razlika potencijalne energije u početnom i krajnjem trenutku, on će biti dat relacijom:

gdje je

Ova veličina se naziva napon ili razlika potencijala, i definiše se kao rad koji treba izvršiti da se probno jedinično naelektrisanje premjesti iz jedne tačke polja u drugu tačku nasuprot djelovanju sile električnog polja. Pošto se rad definiše i kao djelovanje sile pri premještanju tijela iz jedne tačke u drugu, prethodni izraz možemo napisati kao:

Pa napon možemo definisati kao proizvod jačine električnog polja i pomjeraja koje izvrši jedinično probno naelektrisanje pod djelovanjem neelektrične sile.

Magnetno poljeOsnovne karakteristike i veličine Magnetno polje je prostor u kome se zapaža djelovanje magneta, tijela koja imaju sposobnost privlačenja ili odbijanja željeznih predmeta. Svaki magnet se sastoji od 2 pola; sjevernog (N) i južnog (S), te slično kao kod naelektrisanih čestica, istoimeni polovi će se odbijati, a raznoimeni privlačiti. Također se i magnetno polje prikazuje silnicama, odnosno linijama polja. Linije magnetnog polja su uvijek kružne, zatvorene linije.

Magnetne pojave su na početku proučavane posebno i nezavisno od pojava vezanih za električno polje. No, 1820. godine je danski naučnik Ersted otkrio određenu vezu između ove 2 pojave; prilikom proticanja električne struje kroz provodnik magnetna igla se počela okretati. Pošto je

5

Slika 4: Linije magnetnog polja

Slika 6: Pravilo desne šake. Ako nam palac pokazuje smjer kretanja naelektrisane čestice, savijeni prsti nam

pokazuju smjer vektora

električna struja usmjereno kretanje elektrona (naelektrisanih čestica), nije postojalo drugo objašnjenje nego da su naelektrisane čestice koje se kreću uzročnici nastajanja magnetnog polja.Suštinsko objašnjenje veze između ova 2 polja dobije se na osnovu Ajnštajnove Specijalne teorije relativnosti i Lorencovih transformacija, čime se ja ovdje neću baviti. Osnovna veličina koja opisuje magnetno polje je magnetna indukcija. Magnetna indukcija je vektorska veličina, i data je izrazom:

gdje je - magnetna permeabilnost sredine; je magnetna permeabilnost vakuuma, i

iznosi (njutna po amperu na kvadrat), - relativna magnetna permeabilnost, - količina naelektrisanja tijela koje stvara magnetno polje, - njegova brzina, - udaljenost

tijela i posmatrane tačke. Intenzitet magnetne indukcije će biti:

gdje je ugao između pravca kretanja naelektrisanja i vektora položaja posmatrane tačke.

Vektor magnetne indukcije je normalan na pravac kretanja naelektrisanja, smjer se određuje pravilom desne šake ili desnog zavrtnja. I za magnetno polje također važi princip superpozicije.

Kao i električno polje, i magnetno polje djeluje na naelektrisanu česticu nekom silom. Ta sila se naziva Lorencova sila, i data je izrazom:

Pravac i smjer Lorencove sile se također mogu odrediti pomoću pravila desne šake; ispružimo desnu ruku tako da nam palac pokazuje pravac kretanja naelektrisanja, a prsti pravac magnetne indukcije, onda će Lorencova sila imati takav pravac i smjer da izvire iz našeg dlana. Intenzitet Lorencove sile je dat relacijom:

gdje je ugao između vektora brzine kretanja čestice i vektora

magnetne indukcije.Osim magnetne indukcije, veličine koje opisuju magnetno polje su magnetni fluks i jačina magnetnog polja. Magnetni fluks se definiše na sličan način kao i fluks električnog polja; u ovom slučaju magnetni fluks je broj linija magnetnog polja koje prolaze kroz

određenu površinu. Matematički izraz za magnetni fluks je:

6

Jedinica za magnetni fluks je 1 Wb (veber). Jačina magnetnog polja se definiše kao količnik magnetne indukcije i magnetne permeabilnosti

sredine, i ova veličina ne zavisi od osobina prostora. Oznaka je H, a jedinica je 1 (amper po

metru), to je vektorska veličina, ima isti pravac i smjer kao vektor magnetne indukcije, a njen intenzitet je dat relacijom:

Bio-Savar-Laplasov zakon i Amperova teorema:

Relacija (2,1) predstavlja magnetnu indukciju koje stvara naelektrisanje koje se kreće brzinom

. Pošto je pojava pokretnih naelektrisanih čestica najviše izražena u provodnicima, potrebno je

analizirati i magnetno polje koje se pojavljuje oko takvih tijela. Veličina koja izražava količinu naelektrisanja koja prođe u jedinici vremena kroz poprečni presjek provodnika naziva se jačina električne struje, i data je izrazom:

Ovo je skalarna veličina, i jedinica za jačinu struje je 1 A (amper). U provodniku se kreću

elektroni, pa je . U elementu zapremine imat ćemo elektrona,

gdje n predstavlja koncentraciju provodnih elektrona (broj elektrona po jedinici zapremine)

Odavde je broj provodnih elektrona jednak

Magnetna indukcija svih elektrona iz elementa provodnika dV u proizvoljnoj tački P će biti jednaka zbiru magnetnih indukcija pojedinačnih elektrona, odnosno

Količinu naelektrisanja možemo napisati kao broj elektrona koji se nalaze u elementu zapremine

7

Da bi elektroni koji se kreću brzinom v prešli dužinu dl, potrebno im je vrijeme , pa gornji

izraz možemo napisati kao

Jačina struje će onda biti

Ako to uvrstimo u izraz (2.10), dobit ćemo

Izraz (2.14) predstavlja Bio-Savar-Laplasov zakon, gdje je I jačina struje u dijelu strujnog

provodnika dužine dl, a ugao između strujnog elementa dl i vektora položaja posmatrane

tačke. Za beskonačno dugi i pravi provodnik intenzitet magnetne indukcije u proizvoljnoj tački P ćemo odrediti pomoću primjera (Slika 6)Sa R ćemo označiti najkraću udaljenost između provodnika i posmatrane tačke, a sa r ćemo označiti udaljenost elementa

provodnika od posmatrane tačke.Provodnik ćemo označiti

isprekidanom linijom. U ovom slučaju ugao na slici je ugao između

strujnog elementa i vektora položaja.

Svaki element provodnika daje svoj doprinos magnetnoj indukciji u

toj tački prostora. Sa slike vidimo da je

Zamjenom u izraz (2.14) dobit ćemo da je:

Ako ovaj izraz integralimo po uglu u granicama od 0 do , dobit ćemo da je:

8

Slika 6

Konačan izraz predstavlja intenzitet magnetne indukcije beskonačno dugog pravolinijskog

provodnika. je obim kružne linije magnetnog polja, koju možemo označiti sa l. Naš izraz

možemo onda napisati kao

odnosno

Intenzitet magnetne indukcije jednak je u svakoj tački na kružnici poluprečnika R oko pravolinijskog provodnika, i u svakom trenutku su vektori magnetne indukcije i dijela pravolinijskog provodnika paralelni. Stoga se posljednja jednačina može da predstavi kao

integral po kružnici od proizvoda magnetne indukcije i elementa kružnice .

Postavlja se pitanje da li će ovaj izraz važiti za bilo koju drugu zatvorenu liniju oko provodnika sa strujom? Da bismo to dokazali, uzet ćemo neku proizvoljnu zatvorenu krivu liniju. U ovom slučaju sada intenzitet magnetne indukcije neće biti u svakoj tački te krive linije jednak, jer, kao što smo vidjeli,intenzitet magnetne indukcije pravolinijskog provodnika je obrnuto srazmjeran

od udaljenosti posmatrane tačke. Posmatrajmo sliku 7.

Na slici vidimo da vektori i d nemaju isti pravac, kao

što je to slučaj kada posmatramo kružnu liniju; u ovom slučaju vektor magnetne indukcije ima pravac i smjer

određen pravilom desne šake, a d ima pravac tangente na

krivolinijsku putanju, pa će ta 2 vektora zaklapati neki ugao

. Element ove krive linije d možemo u aproksimaciji,

kao što vidimo na slici, napisati kao r . Gornji izraz, ako

ga transformišemo, dobija oblik:

Pošto je naš ugao veoma mali, kosinus ugla je približno jednak 1, pa pišemo:

I kao što vidimo, ova teorema važi za bilo koju zatvorenu liniju oko provodnika sa strujom. Ova

teorema se naziva Amperova teorema, i govori da cirkulacija magnetne indukcije duž

proizvoljne zatvorene linije je jednaka proizvodu magnetne permeabilnosti i ukupne struje koju

9

Slika 7

obuhvata zatvorena linija. Ako linija obuhvata više provodnika, onda će, po principu

superpozicije biti:

U obzir moramo uzeti i smjer proticanja struje; struje čiji smjer i smjer obilaska konture l zadovoljavaju pravilo desne šake, uzimaju se sa predznakom +, a u suprotnom sa predznakom minus.

Elektromagnetna indukcijaFaradejev zakon indukcijeU dosadašnjem izlaganju smo zaključili da prilikom kretanja naelektrisanih čestica, pored stacionarnog električnog polja (ili elektrostatičkog) javlja se i stacionarno magnetno polje. Odmah se nameće pitanje da li je moguć proces u drugom smjeru, odnosno, da li je moguće da od magnetnog polja nastane električno polje, odnosno električna struja? Faradej je 1831. godine došao do zaključka da je to moguće, te se pojava nastanka električne struje posredstvom magnetnog polja naziva elektromagnetna indukcija, a električno polje i električna struja dobijene na taj način; indukovano (ili vrtložno) električno polje i indukovana električna struja. Faradej je izveo eksperiment sa kalemom i jednim magnetom. Galvanometar je samo pri pomjeranju magneta pokazivao protok električne struje. Tako je zaključio da će se indukovana

struja javiti samo kada se provodnik nađe u promjenljivom magnetnom polju, ili kada se provodnik pomjera u magnetnom polju. Da bismo vidjeli kako promjena magnetnog polja uslovljava proticanje električne struje, poći ćemo od ranije zaključenih činjenica; Uslov za proticanje električne struje je razlika potencijala, između raznoimenih naelektrisanja djeluje privlačna Kulonova sila, i na pokretna naelektrisanja djeluje Lorencova sila. Ako sada zamislimo jedan provodnik u magnetnom polju koji se kreće brzinom v, znamo da će na naelektrisanja djelovati Lorencova sila, i njen pravac i smjer su određeni pravilom desne šake, tako da će se pokretni elektroni nagomilati na jedan kraj provodnika, i tu će biti negativan potencijal, dok će na drugom kraju provodnika, zbog nedostatka elektrona, biti

pozitivan potencijal. Između krajeva provodnika sada imamo napon, a u provodniku postoji i električno polje. Ovaj napon je indukovani, i on će biti:

Odavde je jačina električnog polja jednaka

10

Slika 8: Faradejev eksperiment

Sada će električne sile djelovati u suprotnom smjeru od Lorencove sile, ali će biti istog intenziteta (po trećem Njutnovom zakonu):

Uzet ćemo da je .

Električna sila je data relacijom:

Kada izjednačimo ovde dvije sile i podijelimo sa q, dobit ćemo:

Znak minus je potreban zbog toga što su te 2 sile suprotnih smjerova.

Ako v napišemo kao i uvrstimo u gornju jednačinu, imat ćemo da je napon jednak:

gdje je dS – element površine koju provodnik „prebriše“ krećući se brzinom v.

Prema relaciji (sada neki znak gdje je ona jednačina za magnetni fluks ), i ako

uzmemo da je B = const, mi gornji izraz možemo napisati

Izraz se naziva Faradejev zakon indukcije. Indukovani napon koji nastaje kao rezultat djelovanja

neke strane, neelektrične sile naziva se elektromotorna sila, i označava se sa , pa se Faradejev

zakon najčešće izražava kao

Znak minus možemo objasniti Lencovim pravilom; ako se fluks povećava, eksperimentalnim putem ćemo zaključiti da elektromotorna sila postaje manja, a ako se fluks vremenom smanjuje, elektromotorna sila se povećava. To je razlog pojavljivanja znaka minus u ovoj relaciji.

Indukovano električno polje:

Već smo rekli da će promjenom magnetnog polja nastati indukovano električno polje. Ako bismo

imali probno naelektrisanje , rad koji bi izvršilo ovo indukovano električno polje bi bilo:

11

Ili, pošto bi na to naelektrisanje djelovala sila intenziteta , taj bi rad bio

gdje je l dužina provodnika koji se nalazi u magnetnom polju. Izjednačimo li ova dva izraza, dobijemo da je

Provodnik dužine l može biti proizvoljnog oblika, a jačina električnog polja ne mora biti konstantna, te ovaj izraz se najčešće piše u integralnom obliku:

Ovakvo indukovano polje se razlikuje od stacionarnog električnog, odnosno elektrostatičkog polja; kod indukovanog polja linije su zatvorene, te to polje nazivamo i vrtložno, i ono nastaje zbog promjene fluksa magnetnog polja, a ne kao stacionarno, gdje je uzrok nastanka polja naelektrisanje čestice. Ono je normalno na linije magnetnog polja.

Maksvelove jednačine

Prva Maksvelova jednačina

U prvom poglavlju smo vidjeli da je fluks jedna od veličina koja opisuje elektrostatičko polje. Sada ćemo razmatrati fluks u zatvorenoj površini jedne sfere, u čijem se centru nalazi

naelektrisanje (Slika 9)

Vektor jačine električnog polja je normalan na površinu sfere, a pošto je , onda će

intenzitet vektora u svakoj tački na površini sfere biti jednak. Površinu sfere ćemo podijeliti na beskonačno male dijelove, i njih ćemo označiti kao vektore, kao i u našem razmatranju za električni fluks.

Fluks električnog polja je

12

Slika 9: Gausova površina

Pošto vektor električnog polja zaklapa ugao od sa vektorom površine dS, kosinus ugla između

ova dva vektora je 1. Površina sfere data je izrazom , pa će fluks ovog polja biti dat

izrazom:

Odavde vidimo da fluks ne zavisi od poluprečnika sfere. No, površina u našem slučaju ne mora biti sferno-simetrična. U slučaju da je površina u kojoj računamo fluks neka proizvoljna, uvijek

možemo zamisliti dvije koncentrične sfere sa centrom u naelektrisanju , a da se između njih

nalazi naša posmatrana površina proizvoljnog oblika. (slika 10)

Prema zaključku da je fluks električnog polja u sfernim površinama proporcionalan količini naelektrisanja, a obrnuto proporcionalan dielektričnim osobinama sredine, vidimo da će fluks u našim koncentričnim sferama (1) i (3) biti jednak. Pošto smo fluks definisali kao broj linija električnog polja, znači da je broj linija koje prolaze kroz koncentrične sfere (1) i (3) jednak, odnosno, zaključujemo da sve linije koje prođu kroz sfernu površinu (1) prolaze i kroz sfernu površinu (3), a samim tim će isti broj linija proći kroz našu proizvoljnu površinu, što znači da su fluksevi ovih površina jednaki. Odavde možemo zaključiti da fluks kroz zatvorenu površinu ne zavisi od oblika te zatvorene površine, o čemu nam i govori prva Maksvelova jednačina. Ako površina obuhvata više naelektrisanja, po principu superpozicije rezultujući fluks će biti jednak.

Ova teorema (jednačina 4.3) je poznatija kao Gausova teorema za električno polje ili kao jedna od Maksvelovih jednačina. Ova jednačina se može napisati i u nešto drugačijem obliku;

Ako relaciju (4.2) pomnožimo sa , dobit ćemo da je:

13

Slika 10

Proizvod predstavlja veličinu koja se naziva električna indukcija, i ona je veličina koja

također opisuje električno polje, ali ne zavisi od sredine u kojoj se naelektrisanje nalazi.

Označava se sa D njena jedinica je pa prvu Maksvelovu jednačinu susrećemo i u obliku

Prva Maksvelova jednačina važi samo za Gausove površine (površine zatvorenih tijela koje omeđuju određen prostor)

Druga Maksvelova jednačina

Druga Maksvelova jednačina (ili Gausov zakon za magnetno polje) je data relacijom:

Drugačije rečeno, magnetni fluks kroz bilo kakvu zatvorenu površinu jednak je nuli.Ova relacija je posljedica činjenice da su linije magnetnog polja zatvorene, odnosno vrtložne. Ako uporedimo prvu Maksvelovu jednačinu, u kojoj vidimo da je jedinični naboj uzrok postojanja elektrostatičkog polja sa ovom jednačinom, onda zaključujemo da ne postoje jedinični magnetni naboji, odnosno da ne postoje magnetni monopoli. Magnet u prirodi je uvijek dipolan, a linije magnetnog polja su zatvorene, odnosno, nemaju svoj izvor, ni ponor. Neki fizičari (kao što je Dirak) u svojim radovima su postavili teorije o postojanju magnetnih monopola, no njihovo postojanje još uvijek nije eksperimentalno dokazano. Ako bude, ovu jednačinu će biti potrebno transformisati u odgovarajući oblik.

Treća Maksvelova jednačina

Treća Maksvelova jednačina je poznata i kao Faradejev zakon indukcije, koji smo mi pominjali u prošlom poglavlju. Ona je data izrazom

I govori nam da je cirkulacija vektora jačine indukovanog električnog polja duž proizvoljne zatvorene linije jednaka negativnoj brzini promjene magnetnog fluksa. Dokaz da ovaj zakon vrijedi za svaku zatvorenu liniju može da se vrši na način sličan kao i pri dokazivanju Amperove

teoreme, jer su linije indukovanog električnog polja zatvorene i jer vektor ima pravac tangente

na te linije, što se poklapa sa osobinama magnetnog polja. Ako izraz (taj gore) transformišemo,

tako što umjesto napišemo , onda dobijamo

14

odakle možemo uočiti još jasniju vezu između veličina električnog i magnetnog polja.

Četvrta Maksvelova jednačina:Da bismo došli do četvrte Maksvelove jednačine, krenut ćemo od Amperove teoreme i analize treće Maksvelove jednačine. Amperova teorema, kao što smo vidjeli, data je relacijom

I nije teško zaključiti da će magnetno polje nastati tamo gdje protiče električna struja, odnosno, da tamo gdje nema protoka struje, ne postoji ni magnetno polje. Treća Maksvelova jednačina, kao što smo vidjeli, ukazuje na to da će promjenljivo magnetno polje stvoriti indukovano električno polje. Maksvel je pošao od simetričnosti u prirodi koja je više nego očita (Treći Njutnov zakon, Faradejevo otkriće elektromagnetne indukcije i slično). Maksvel je postavio hipotezu da će promjenljivo električno polje proizvesti indukovano magnetno polje. Ova je hipoteza i eksperimentalno dokazana, a dokazati se može pomoću kola naizmjenične struje u kojem su spojeni kondenzator i sijalica kao indikator protoka struje.

Kada se kolo zatvori, sijalica će svijetliti, pri čemu se vlakno naizmjenično grije i hladi, što ljudsko oko ne može razlučiti jer se taj proces dešava veoma brzo. Između kondenzatora ne postoji nikakav provodnik, što bi nas navelo na zaključak da kolo naizmjenične struje ne mora biti zatvoreno da bi struja tekla kroz kolo, no ovaj zaključak ne bi bio u saglasnosti sa prvim Kirhofovim pravilom. Prvo Kirhofovo pravilo je u suštini zakon o održanju količine naelektrisanja; U svakom čvoru električnog kola zbir električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbiru struja koje izlaze iz čvora, što ne bi onda važilo za kondenzator. Kažemo zbog toga da između obloga kondenzatora teče fiktivna struja, odnosno, struja pomaka ili struja pomjeranja. To u stvarnosti nije pravo kretanje naelektrisanih čestica, već promjena količine naelektrisanja na oblogama kondenzatora, koja za rezultat daje promjenu električnog polja između obloga. To promjenljivo električno polje će stvoriti i magnetno polje oko kondenzatora, što je dokaz Maksvelove hipoteze. Da bi onda i Amperova teorema važila u našem slučaju, potrebno je napisati

15

Slika 11: Kolo naizmjenične struje – R je termogeni otpornik, odnosno sijalica, a C je kondenzator

Gdje je struja pomjeranja. U nekom trenutku kada je napon između obloga kondenzatora U,

onda će količina naelektrisanja na oblogama biti

gdje je kapacitet kondenzatora (dat u faradima). Pošto je , a kao što smo vidjeli u

pređašnjim razmatranjima, je pomak koje izvrši naelektrisanje pod djelovanjem neelektrične

sile (u našem slučaju djelovanja magnetnog polja, tj. Lorencove sile) onda će kod nas napon biti

dat izrazom , gdje je udaljenost između obloga kondenzatora. Kapacitet pločastog

kondenzatora dat je izrazom

gdje je S površina poprečnog presjeka kondenzatora. Tada će količina naelektrisanja na oblogama kondenzatora biti jednaka

Deriviramo li ovaj izraz po vremenu, i imajući na umu da su i konstante, imat ćemo

Izraz je brzina nagomilavanja elektrona na obloge kondenzatora, odnosno, to je naša

provodna struja . Izraz sa desne strane je struja pomjeranja, . One su po prvom Kirhofovom

pravilu jednake. Pošto je fluks električnog polja dat izrazom

(ugao između ova dva vektora je 0, pa je kosinus 1), onda izraz (4.14) možemo napisati kao

Ako ovo uvrstimo u naš izraz (onaj na početku), dobit ćemo

16

I ovaj izraz predstavlja četvrtu Maksvelovu jednačinu, ili Amper-Maksvelov zakon. Odavde vidimo da je Maksvel obuhvatio postojanje magnetnog polja pri proticanju električne struje, ali i pri promjenljivom električnom polju. Ovakvo magnetno polje koje nastaje kao posljedica promjene električnog polja naziva se indukovano magnetno polje. Zaključujemo da će se magnetno polje javiti čak i tamo gdje ne postoji provodnik. Sada, kada uporedimo III i IV Maksvelovu jednačinu, uočavamo simetričnost, od koje je Maksvel i pošao. Ovim jednačinama Maksvel je dao potpun opis električnih i magnetnih pojava, i vodi nas do novih zaključaka, a jedan od njih je postojanje elektromagnetnih talasa, čije će objašnjenje biti dato u sljedećem poglavlju.

Elektromagnetni talasiMaksvelove jednačine su dale potpuno novi uvid u sve pojave vezane za magnetno i električno polje. Njgove jednačine su povezale magnetne i električne fenomene, koji su nekoliko godina prije njega proučavane posebno. Osim toga, vidjeli smo da promjenljivo električno polje stvara indukovano magnetno polje, ali i obrnuto. Pitanje koje se postavlja je da li se taj proces dešava u nedogled?Svojom teorijom Maksvel je predvidio postojanje takvog procesa, a taj proces je širenje niza promjenljivog električnog i magnetnog polja, koja su međusobno spregnuta i koja se šire kroz prostor tako što se međusobno indukuju. On je taj proces nazvao proces širenja elektromagnetnih talasa. Ova polja se šire u međusobno normalnim ravnima, a oba su normalna i na pravac prostiranja, što znači da su elektromagnetni talasi transverzalni. Razlikuju se od mehaničkih talasa po tome što za njihovo širenje nije potrebna neka materijalna sredina, kao što je slučaj sa zvukom, koji se ne bi mogao širiti u vakuumu. Izvor elektromagnetnih talasa su čestice koje se kreću ubrzano, što nije teško dokazati; vidjeli smo da stacionarno magnetno polje zavisi od brzine kretanja naelektrisane čestice. Ako se brzina čestice mijenja, mijenja se i magnetno polje, a promjenljivo magnetno polje će proizvesti indukovano električno polje, koje će proizvesti indukovano magnetno polje i tako dalje. Intenzitet vektora vrtložnog električnog polja dat je izrazom

gdje je ugao između vektora položaja i brzine kretanja tijela.

Intenzitet vrtložnog magnetnog polja dat je izrazom

Odavde se uočava veza između ova 2 polja

Širenje elektromagnetnih talasa najbolje možemo predočiti pomoću otvorenog oscilatornog kola, odnosno dipol-antene.

17

Slika 13: Faze u stvaranju indukovanih polja; ovdje je prikazano samo širenje indukovanog električnog polja radi jednostavnosti.

Električno i magnetno polje će obuhvatiti čitavu žicu, te ta polja neće više biti prostorno odvojena. Sada se u prostoru mogu širiti elektromagnetni talasi. Krajevi ovog dipola su naelektrisani (Slika 13 b). Zbog toga se javlja razlika potencijala. Elektroni će se početi kretati naviše, pa će se zbog toga javiti magnetno polje u ravni normalnoj na dipol (Slika 13 c) U sljedećem trenutku razlika potencijala se smanjila, veći broj elektrona kreće prema pozitivnom

polu antene, što znači da je jačina struja veća, a znajući iz Amperove teoreme da je ,

zaključujemo i da je magnetno polje postalo jače. Električno polje se smanjilo (jer je , i

nakon određenog vremena štap postaje elektroneutralan (Slika 13 d); tada je jačina magnetnog polja najveća, a električnog polja 0. Tada se linije električnog polja zatvaraju i udaljavaju od dipola. Smanjivanjem magnetnog polja indukuje se električno polje, te se elektroni sada nagomilavaju na drugom kraju dipola. Ponovo postoji razlika potencijala, pa se tad linije magnetnog polja zatvaraju, a jačina električnog polja je maksimalna (Slika 13 e).

Iz ovog primjera vidimo da oscilacije električnog i magnetnog polja nisu u fazi; ipak, pošto se oscilacije vrše brzinom svjetlosti, možemo ih tretirati kao da jesu. U blizini provodnika također postoje statička polja, pa je razmatranje pojava u blizini dipola veoma komplikovana. Zbog toga se elektromagnetni talasi proučavaju u talasnoj zoni; znamo da statička polja opadaju sa kvadratom rastojanja, dok vrtložna polja (koja čine elektromagnetni talas), opadaju sa prvim

18

Slika 12: Zatvoreno oscilatorno kolo čiji kondenzator razdvajamo, proširujući tako prostor u kome djeluju električno i magnetno polje

stepenom. Iz toga zaključujemo da statička polja mnogo brže iščezavaju, pa se na nekoj određenoj udaljenosti može smatrati da su ona potpuno iščezla; ta udaljenost je talasna zona. Ona je data izrazom

gdje je brzina svjetlosti, a ubrzanje elektrona. Kao što smo vidjeli na primjeru sa dipolom,

naelektrisanja su se kretala periodično, što je rezultiralo periodičnim promjenama magnetnog i električnog polja, za koje možemo reći da su u fazi. Zbog toga su polja data sinusnim funkcijama:

Energija, intenzitet i brzina elektromagnetnih talasaElektromagnetni talasi nose energiju, koja je sadržana u električnom i magnetnom polju. Gustine energija (odnosno energija po jedinici zapremine) ova 2 polja data su izrazima

Ukupna gustina energije jednaka je algebarskom zbiru ovih gustina:

19

Slika 14: Širenje elektromagnetnih talasa

Prema zakonu održanja energije, ako ne postoje gubici u drugim oblicima energije, možemo napisati:

Slijedi da je , odnosno

Pa će ukupna gustina energije talasa biti

Intenzitet talasa se definiše kao protok energije na jedinicu površine i u jedinici vremena, pa će prema toj definiciji intenzitet elektromagnetnih talasa biti:

Energija elektromagnetnih talasa je:

gdje je put koji pređe elektromagnetni talas, a S površina poprečnog presjeka kroz koju prođe

elektromagnetni talas.Ako jednačinu tu uvrstimo u jednačinu za intenzitet, dobit ćemo da je:

Odnosno

Ako ovaj izraz dimenziono analiziramo, vidjet ćemo da je faktor bezdimenzionalan.

Jedinica za jačinu električnog polja je dok je jedinica za jačinu magnetnog polja .

Pomnožimo li ova dva izraza, dobit ćemo (gdje je W – vat), što već predstavlja jedinicu za

intenzitet talasa. Slijedi da je , a odavde da je

izraz (5.17) predstavlja izraz za brzinu širenja elektromagnetnih talasa, do kojeg je Maksvel

došao. Ako uvrstimo konstante i , dobit ćemo da je c . Pošto se brzina širenja

elektromagnetnih talasa podudara sa brzinom širenja svjetlosti, nije postojalo drugo objašnjenje nego da je svjetlost elektromagnetni talas.

20

Vektorski produkt izraza (sad izraz ovo I = c..EH) se naziva Pointingov vektor:

x

Eksperimentalni dokaz postojanja elektromagnetnih talasa i ispravnosti Maksvelovih jednačina:

Jedan od eksperimentalnih dokaza za postojanje elektromagnetnih talasa je Hercov eksperiment. Šema tog eksperimenta prikazana je na slici

Herc je sastavio oscilator od 2 metalna štapa koji se završavaju malim kuglicama, razdvojene na malo rastojanje (nalaze se na RLC kolu). Na štapove se dovodi visoki istosmjerni napon od induktora, i pri određenom naponu i razmaku kuglica dolazi do pražnjenja kroz vazduh, odnosno između tih kuglica protiče struja. Naelektrisanja će oscilovati, i za vrijeme dok postoji varnica, elektroni se kreću s jednog kraja na drugi, sve dok se energija oscilatora ne utroši. Tada se kroz prostor šire nekoliko elektromagnetnih talasa. Da bi ih otkrio, Herc je koristio kružno savijen provodnik sa malim varničnim razmakom između krajeva (koji je igrao ulogu indikatora elektromagnetnih talasa), koji su oscilovali frekvencijom oscilatora, koji je emitovao elektromagnetne talase. Taj kružni provodnik je ustvari rezonator. Kada se on postavi u prostor u kome se šire elektromagnetni talasi, i ako je frekvencija elektromagnetnih talasa jednaka frekvenciji oscilovanja tog rezonatora, u njemu se onda indukuje elektromotorna sila i između krajeva se javlja visok napon, pa dolazi do varničenja između kuglica na rezonatoru. Postavljajući jedan zaklon, dobio je i stojeće elektromagnetne talase. Pomičući rezonator između izvora i zaklona, on je mogao odrediti gdje su trbusi, a gdje čvorovi talasa. Uslov za dobijanje stojećeg talasa je da udaljenost između trbuha ili čvorova bude jednaka cjelobrojnom umnošku polovini talasne dužine. Ako označimo da je udaljenost između izvora i zaklona d, onda je

talasna dužina stojećeg elektromagnetnog talasa . Znajući frekvenciju , iz relacije

dobio je da je brzina elektromagnetnih talasa približno jednaka što se slagalo

sa Maksvelovim rezultatima. Herc je također dokazao i da se elektromagnetni talasi reflektuju, prelamaju po istim zakonima kao i svjetlosni talasi, dokazao je difrakciju i polarizaciju, što je bio potpun dokaz tačnosti Maksvelove elektromagnetne teorije.

21

Slika 15: Shema Hercovog eksperimenta

Spektar elektromagnetnih talasa i njihova primjena

Elektromagnetni talasi obuhvataju različite vrste zračenja. Među njima spadaju radiotalasi, radarski talasi, infracrveni zraci, vidljiva svjelost, ultraljubičasta svjetlost i mnoge druge, pa će o svakoj biti ponešto rečeno.Radiotalasi su talasi koji najčešće nastaju oscilovanjem elektrona u metalnim antenama. Obuhvataju talasne dužine od 0,1 mm pa sve do desetina kilometara. Koriste se u telekomunikacionim uređajima i bez njihove primjene moderan život bio bi nezamisliv. Dijele se na mikrotalase (među kojima spada i KMPR – kosmička mikrotalasna pozadinska radijacija), srednje radiotalase i na duge radiotalase.Radarski talasi obuhvataju opseg od 10-2 m do 100 metara. Koriste se za lociranje predmeta u prostoru na osnovu refleksije dijela talasa.Infracrveno zračenje obuhvata talasne dužine od 10-7 do 10-4 metara. Emitovanje elektromagnetnih talasa u ovom domenu potiče od zagrijanih tijela. Veoma velika količina energija od Sunca dolazi do Zemlje u domenu ovog zračenja.Vidljiva svjetlost predstavlja oblast spektra elektromagnetnih talasa čije su talasne dužine u intervalu od 400 do 760 nm, koje čovjek može da registruje čulom vida. Nastaju uglavnom pri atomskom i molekulskom preuređenju energetskih nivoa.

Ultraljubičasto zračenje prekriva domen dužine od 5 10-9 m do 10-7m. Primjenjuju se u optici.

Rendgenski ili X zraci prekrivaju domen talasne dužine od 10-12 do 10-9 metara. Oni nastaju kočenjem elektrona na anodi u rendgenskim cijevima ili pri prelazu elektrona sa višeg na niži energetski nivo. Koriste se u medicini i u forenzici.

zraci su zraci veoma malih talasnih dužina (manjih od 10-10 m). Prekrivaju dio domena i

rendgenskih zraka, ali razlika naziva je zadržana jer oni nastaju pri radioaktivnim reakcijama, i pri reakcijama u jezgru atoma.

ZaključakČetiri Maksvelove jednačine, u integralnom obliku su:

22

Svojim teorijskim radom Maksvel je još jednom dokazao simetričnost u prirodi, učvrstio vezu između električnih i magnetnih fenomena te povezao optiku i elektromagnetizam. Iako većina ljudi misli da fizičari samo komplikuju stvari, ipak nisu u pravu; kao što vidimo, Maksvel je dao potpun opis električnog i magnetnog polja ovim jednačinama, koje opisuju jednu tako široku oblast fizike, pojednostavivši stvari koliko god je bilo moguće. Nakon izrade ovog rada, shvatio sam i ciljeve mnogih fizičara; shvatiti prirodu i objediniti pojave nekim univerzalnim zakonima, ne komplikovati stvari i zadovoljiti svoju znatiželju.

SadržajUvod:...............................................................................................................................................1

Električno polje................................................................................................................................2

Količina naelektrisanja................................................................................................................2

Međudjelovanje naelektrisanih čestica:.......................................................................................2

Električno polje:...........................................................................................................................3

Fluks električnog polja................................................................................................................3

Električni potencijal i napon........................................................................................................4

Magnetno polje................................................................................................................................5

Osnovne karakteristike i veličine.................................................................................................5

Bio-Savar-Laplasov zakon i Amperova teorema.........................................................................7

Elektromagnetna indukcija............................................................................................................10

Faradejev zakon indukcije.........................................................................................................10

Indukovano električno polje:.....................................................................................................11

Maksvelove jednačine...................................................................................................................12

Prva Maksvelova jednačina.......................................................................................................12

23

Druga Maksvelova jednačina....................................................................................................13

Treća Maksvelova jednačina.....................................................................................................14

Četvrta Maksvelova jednačina...................................................................................................14

Elektromagnetni talasi...................................................................................................................16

Energija, intenzitet i brzina elektromagnetnih talasa.................................................................19

Eksperimentalni dokaz postojanja elektromagnetnih talasa i ispravnosti Maksvelovih jednačina:...................................................................................................................................20

Spektar elektromagnetnih talasa i njihova primjena......................................................................21

Zaključak:......................................................................................................................................22

24

25