makalah garis lurus dan bidang datar
TRANSCRIPT
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Bidang dangaris merupakan dua dari tiga istilah-istilah dasar. Sebagaimana kita
ketahui bahwa istilah dasar adalah suatu istilah yanh hanya dapat dideskripsikan atau
dipaparkan. Dengan demikian, garis dan bidang (sebagai istilah dasar) dapat
dideskripsikan sebagai berikut :
1. Garis (dimaksudkan adalah garis lurus)
Dapat diperpanjang ke arah mana saja. Namun mengingat terbatasnya bidang tempat
gambar, sebuh garis hanya dituliskan sebagian saja. Garis hanya mempunyai ukuran
panjang, tetapi tidak mempunyai ukuranlebar.
2. Bidang (dimaksudkan adalah bidang rata)
Dapat diperluas seluas-luasnya. Pada umunya, sebuah bidang hanya dilukiskan
sebagian saja yang disebut wakil bidang.
1.2. Masalah
1) Jelaskan kedudukan garis lurus dan bidang rata ?
2) Bagaimana menentukan persamaan garis lurus yang memotong dua garis lurus
lain ?
3) Bagaimana menentukan jarak antara dua garis lurus g dan g ?
4) Bagaimana menentukan jarak sebuah titik ke sebuah garis lurus ?
5) Bagaimana menentukan perpotongan tiga bidang rata ?
1.3. Tujuan
Untuk mengetahuai dan menentukan cara mencari kedudukan garis lurus dan
bidang rata, garis lurus memotong dua garis lurus lain, jarak antara dua garis lurus g
dan g , jarak sebuah titik ke sebuah garis lurus serta perpotongan tiga bidang rata.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1. Kedudukan Garis Lurus dan Bidang Rata
Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = dan bidang rata V dengan
vektor normal, n = maka:
1. Garis lurus g sejajar bidang rata V vektor arah garis tegak lurus normal bidang
atau a.n = 0 atau :
.............................................. (34)
Gambar 37
2. Garis lurus g tegak lurus bidang rata V vektor arah garis lurus = vektor normal
bidang rata (atau kelipatanya) atau ........................ (35)
3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata V, terpenuhi a n atau a.n = 0
....................................................................... (36)
dan sembarang P pada garis g harus terletak pula pada bidang V.
sejajar denga bidang V
terletak pada bidang V
tegal lurus bidang V
Contoh 2.1 :
Garis lurus g : sejajar bidang rata V = x + y + z + 7 = 0 karena
= 0, tetapi g tidak terletak pada V. Karena suatu titik pada g
tidak memenuhi persamaan V .
Sedangkan garis terletak pada V1 = x + y + z -1 = 0
Karena = 0 dan titik pada memenuhi persamaan V
Sedangakan tegak lurus bidan V
Karena vektor arah sama dengan vektor normal .
2.2. Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain
Jika : V V dan g :1 U1 = 0 = U maka persamaan umum dari garis lurus g
yang memotong dan adalah + =0= + .......................... (37)
Contoh 2.2 :
Tentukan pesamaan garus lurus yang melalui titik dan memotong garis-garis
lurus : serta :
Penyelesaian :
Garis lurus ..................... (*)
memotong dan untuk setiap dan
Karena melalui : (*) dan atau yang bila kita
subsitusikan ke (*) menghasilkan merupakan persamaan yang
diminta.
2.3. Jarak Antar Dua Garis Lurus G1 Dan G2
1. Bila g1 dan g2 sejajar , untuk menghitung jaraknya dapat dilakukan sebagai berikut:
Pilihlah sembarang titik p pada g1
Buatlah bidang rata W melalui P dan tegak lurus g1, yang dengan
sendirinya juga tegak lurus g2
Tentukan Q titik tembus g2 pada W
Panjang PQ adalah jarak g1 dan g2
Gambar 38
2. Bila g1 da g2 bersilangan, dapat dilakukan sebagai berikut:
Buat bidang rata W yang melalui g1 dan sejajar g2
Pilih sembarang titik P pada g1
Tentukan jarak P ke bidang W, merupakan jarak g1 dan g2.
Contoh 2.3 :
1. Tentukan jarak garis lurus g1 , dan g2 :
Penyelesaian :
g1 // g2
Pilihlah P (2,0,2) pada g1
Persamaan bidan W melalui P dan tegak lurus g1
W =2 + 3 + = 0 2x + 3y + z – 6 = 0…………………………(*)
Mencari titik Q, yaitu titik tembus g1 pada W :
g2 dapat ditulis dalam persamaan parameter :
x = 2 , y = 4 + 3 , z = 8 + …………………(**)
dan subtitusinya ke (*) : 2(2 ) + 3(4 + 3 )+(8 + )–6 = 0 14 + 14 = 0
Jadi Q(-2,1,7) berarti jarak g1 dan g2 adalah : =
2. Tentukan jarak dan persamaan garis hubungan terpendek dari sumbu z kegaris lurus
g2 : x = -y + 1 = -z
Penyelesaian :
Sumbu Z mempunyai persamaan g1 : x = 0, y = 0, dan garis g2 : x + z = 0, x + y – 1 = 0
bidang W melalui titik g1 berbentuk x + y = 0 dan sejajar g2 yang arahnya :
:
Berarti [ 1, ] .
Jadi W = x + y = 0
Kita pilih sembarang titik P pada g2, ambil x = 0 , dan y = 1 atau P
Jarak P(0,1,0) ke W = 0 adalah :
d =
=
g3 adalah garis hubung terpendek g1 dan g2, yang dapat dicari sebagai berikut :
Bidang U melalui g2 dan tegak lurus W :
Gambar 39
serta :
berarti U= = 0 atau x – y + 2z + 1 = 0
Titik tembus sumbu Z pada U : x = 0, y = 0, z =
g1 melalui R dan vektor arahnya =normal dari W berati g3 :
atau x = y, z =
2.4. Jarak Sebuah Titik ke Sebuah Garis Lurus
Jarak P ke garis g dapat kita cari sebagai berikut :
Buat bidang W melalui p tegak lurus g
Cari titk Q, titik tembus g pada W.
Garis PQ dalah suatu garis yang tegak lurus g dan melalui titik P sehingga
panjang PQ adalah jarak titik P ke garis g
Gambar 40
Contoh 2.4 :
Tentukan jarak titik ke garis x = y = z
Penyelesaian:
Bidang W yang melalui (1,0,2) dan tegak lurus x = y = z adalah :
1 + 1 ………………(*)
Ttik tembus garis g pada W dpiperoleh dengan mensubsitusikan
x = y = z = ke (*) maka atau titik tembus Q .
Jadi PQ = = adalah jarak yang diminta.
Catatan (8)
Mencari persamaan garis h yang melalui titik P serta memotong tegak
lurus g dengan persamaan = + .
Misalkan Q pada garis g berarti kordinat Q .
Vetor PQ = merupakan arah garis h
Gambar 41
Sebagai contoh, kita hendak memecahkan contoh 2.4 diatas, ambil Q pada g.
Vektor PQ=
PQ tegak lurus arah g, yaitu berarti : atau
Titik Q ( ) dan jarak P ke garis g = PQ = =
2.5. Perpotongan Tiga Bidang Rata
Pandang tiga bidang rata :
V1 = A1x + B1y + C1z + D1
V2 = A2x + B2y + C2z + D2
V3 = A3x + B3y + C3z + D3
V1, V2 dan V3 tidak ada yang sejajar, terdapat tiga kemungkinan kedudukan ketiga
bidang tersebut :
1. Hanya mempunyai satu titik persekutuan ( membentuk jaringan bidang ),
2. Mempunyai satu garis lurus persekutuan ( membentuk berkas bidang ),
3. Membentuk satu prima segitiga.
Gambar 42
pandang bahwa V1 danV2 tidak sejajar. Garis potong V1 dan V2 yaitu g mempunyai arah
n1 n2 = dan melalui titik : P
maka V1 = 0. V2 = 0. V3 = 0 membentuk prisma sisi tiga jika
g // V3 (g tidak terletak pada V3).
Berarti : atau bila :
…………………(38)
dan misalkan titik P terletak pada V3 = 0, berarti tidak terpenuhi hubungan :
A =
atau tak memenuhi : = 0 ……………………….(39)
Jadi :
o Ketiga bidang rata membentuk suatu berkas bidang rata, jika terpenuhi
persamaan (38) dan (39)
o Ketiga bidang rata membentuk suatu prisma sisi tiga jika terpenuhi persamaan
(38) dan (39)
o Dalam hal lain, membentuk jaringan.
Contoh 2.5 :
Tentukan bahwa bidang dan
membentuk prisma segitga.
Penyelesaian :
Persamaan (38) terpenuhi, yaitu :
Sedangkan persamaan (39), yaitu :
Tidak terprnuhi.
BAB III
PENUTUP
Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = dan bidang rata V dengan
vektor normal, n = maka:
1. Garis lurus g sejajar bidang rata V vektor arah garis tegak lurus normal bidang
atau a.n = 0 atau :
2. Garis lurus g tegak lurus bidang rata V vektor arah garis lurus = vektor normal
bidang rata (atau kelipatanya) atau
3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata V, terpenuhi a n atau a.n = 0
dan sembarang P pada garis g harus terletak pula pada bidang V.
Jika : V V dan g :1 U1 = 0 = U maka persamaan umum dari garis lurus
g yang memotong dan adalah + =0= + . Untuk menghitung jarak
antara dua garis lurus g1 dan g2 dapat dilakukan dengan dua cara yaitu bila g1 dan g2
sejajar dan bila g1 dan g2 bersilangan.Untuk menentukan jarak sebuh titik ke sebuah
garis lurus maka jarak P ke garis g yaitu PQ.
3.2. Saran
Sebagai guru kita sebaiknya bisa menjelaskan materi kedudukan garis lurus dan
bidang rata, garis lurus memotong dua garis lurus lain, jarak antara dua garis lurus g
dan g , jarak sebuh titik ke sebuh garis lurus serta perpotongan tiga bidang rata dengan
baik dan benar sehingga siswa bisa memahami materi ini dengan baik.