magistère de mathématiques (l'ens de lyon), …panchish/mag2015.pdf · programme : certi cat...
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Magistre de mathmatiques (l'ENS de Lyon), 2006/2007
2e semestre "Algbre 2" Mardi de 10h15 12h15,
partir du 23 janvier 2007
A. A. Pantchichkine
Institut Fourier, B.P.74, 38402 St.Martin d'Hres, FRANCEe-mail : [email protected], FAX : 33 (0) 4 76 51 44 78
Rsum
Le prsent cours est centr sur les notions de l'algbre tensorielle, polynmeset fractions rationnelles, exemples et constructions de corps, exemples de groupes,groupes classiques, gomtrie projective. Ce sont les outils algbriques pour la go-mtrie (en particulier la gomtrie direntielle et la gomtrie algbrique), pourl'arithmtique (equations diophantiennes, reprsentations galoisiennes), pour l'ana-lyse (fonctions spciales de variables matricielles, quations direntielles et groupesde monodromie), pour la physique mathmatique (en particulier, la mcanique quan-tique), ainsi que pour beaucoup d'applications (codes gomtriques etc.)
Les corps nis donnent des exemples importants d'extensions de corps, et ontudie en dtail les polynmes irrductibles sur les corps nis.
Le cours est considr comme la suite du cours "Algbre 1", et on utilise commeprrequis les notions de thorie des ensembles, groupes, anneaux et corps, les notionsd'algbre linaire, y compris les formes quadratiques, gomtrie ane (euclidienne).
panchishText Box
Alexei PANTCHICHKINE (Institut Fourier)
PROGRAMME BREF 1. Algbre tensorielle. 2. Exemples et constructions de corps. Extensions algbriques, degr, polynme minimal, caractristique. Corps de rupture d'un polynme. 3. Corps finis. Applications aux codes correcteurs. 4. Exemples de groupes, groupes classiques. 5. Applications physiques*: Espace-temps de Minkowski. Groupe de Lorentz. 6. Gomtrie projective. Coniques, quadriques. 7. Varits affines (exemples). Courbes planes, points singuliers ---------------------*Si le temps le permet
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The 4th largest tree in the Mathematical Genealogy Project. Total 2130 mathematicians. Arrows point from a mathematician to his/her supervisor. Top 100 mathematicians with the most "off-springs" are circled. Data aquired in March 2008. Produced by Yifan Hu, AT&T Shannon Laboratory.
Markov
Somov
Seif
Burns
Krol
Friedel
Rearick
Sklar
Lu
Skarda
Gordon
Rumsey
Imamoglu
Goetze
Allen
Haverl
Selvavel
Cheng
Guerzhoy
McMIllanBasavaraj
McGlinn
Shoaff
Sarker
EubanksPark
Li
Edie
Helfman
LamDaVault
Tzanetopoulos
Jaroma
Kuruklis
Farrell Schultz
Qian
Rodrigues
Vlahos
Partheniadis
Sidani
Sedgewick
Jonah
Lehmer
Krall
Morsund
Smith
VehseGurney
Randels
Sedgewick
Rosskopf
Astrachan
Comfort
Dunford
Kales
Quade
Bernstein
O
Torrance
Royall
Forsythe
McFadden
Hedge
Eberhart
Tolsted
LiemanGupta
She
Ladas
Tamarkin
PesekHorowitz
Loan
Frazier
Leeman
Strube
Kammler
Cline
Crawford
Schryer
Groening
McLaughlin
Caughran
Sussmann
Tang
DarkenFerreyra Lafferriere
Schttler
Graham
Hurlbert
Liu
Tang Yang
Chitour
Rohatgi
Tsao
Unal
Ortland
Horstmann
Overholt
Keum
Andreev
Kim
Stanoyevitch
Cunningham
Kim
Goh
Elnitsky
Vukotic
Headley
IIIBrown
Leung
Borisov
Ciucu
Greiner
Huggins
Dolgachev
Duren
Rota
Moler
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Gurevich
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Apostol
Fullerton
Braunschweiger
Neubauer
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YoonDillon
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Kottmeyer
Sengupta
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Miller
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Bailey
Gumustop
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Peterson
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Bizhanova
Smirnov
Wolf
Weck
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Treskunov
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Andreev
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Kalantarov
Lin
Gunter
Korkin
Korepin
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Iskenderov
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Zarhin
Chipchakov
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Nguyen
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Weir
Warren
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Dong
Drozd
Bekkert
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Ku
Chen
Kang
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Ladyzhenskii
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Lifshits
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Kibenko
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Guseinov
Zadorozhnii
Katsaran
Berkolaiko
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Puthenpurakal
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Ishwaran
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TereschenkoClaesson
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Fridman
Fridman
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Lezhenina
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Sviridyuk
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Fetisov
Zilberberg
Morozova
Kozhaev
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Bulatov
Cioaba
Mocanasu
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Yanin
Kotenko
Bogatyrev
Sirunyan
Karpenko
Feldmann
Riauba
Korpaev
Goudy
Semenov
Evdokimov
Gritsenko
ZharkovskayaKalininStrelkov
Jenkins
Butler
Schepakina
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Zharikova
Ozersky
Sirochenko
Kurganov
Kitaeva
Gorelov
Pendyukhova
SchetininaAndreev
Pogrebyssky
Panda
Abramovich
Zhilinsky
Har
Bentkus
Rudzkis
Saulis
Griniuviene
Kaminskiene
Kryziene
Naudziuniene
Svetuleviciene
Kazbaras
Maliukevicius
Statulevicius
Susinskas
GarbaliauskieneGenys
KalinauskasKrikstolaitis
Avdejenkova
Deltuviene
Aksomaitis
Aleskevicius
Antoszewski
Banys
Gudynas
Gylys
Jakimavicius
Jokimaitis
Kalinauskaite Katkauskait
Liutikas
Padvelskis
Pipiras
Plikusas
Raudeliunas
Seputis
Sunklodas
Survila
Vilkauskas
Zalys
Kolosov
Rabotnikov
Naumov
Woo
Tchirina
Lindstrom
Paraska
Kano
Delgado
Pinkse
Lobato
Iacone
Markstein
Liu
Gil
Hualde
Arteche
Busarkin
Busarkina
Leonov
Burkin
Likhtarnikov
Lee
Hellinger
Hidalgo
Xu
Zaffaroni
Tzanaki
Rudolph
Velasco
Risch
Zhukov
Semenova
Gagrande
Marcus
Nesterov
Skachek
Allen
Starostin
Ghebremeskel
Plotkin
Movshits
Ditsman
Prasolov
Pai
Whistler
Nishiyama
Silveira
Shah
Gawron
Drozd
Feitelson
Gibou
Cheng
Chou
Qiu
Yuan
Marksaitis
TurkinKolyankovskii
Prokofiev
Petropavlovskaya
Fuks Grushko
Papkov
Samko
Assaf
Mochulskii
Melik
Kaschenko
Kaim
Lazarova
Frisk
Getz
Ahiezer
Garthwaite
Martin
Kal
Kostenko
Obraztsov
Buslaev
Pozin
Harrelson
Pelley
Quinn
Stipins
Tarasenko
Rozado
Chen
Korovkin
Rouse
Winkler
Sifakis
Dezin
Irving
Kondrashov
Petterson
Aleksandryan
Weinstein
Krause
Roberts
Bucur
Kazanci
Speight
Webster
Martin
Kadioglu
Click
Grosul
Wienskoski
Lu
Schielke
Simpson
He
Cai
Bebu
Lichtenstein
Myers
Fodden
Chavez
Castillo
Navarro
Cane
Myers
Fomin
Petrov
Xiang
Dasgupta
Waterman
Xu
Zuniga Wildstrom
Christian
Park
Averick Vaughn
McKinley
Barczy
Young
Lusnikov
Ovcharenko
Yavryan
Spitkovsky
Mkhitaryan
Orlov
Popov
Gubreev
Kostyukov Sizov
Iskenderov
Qasam
PyrkovaSkrynnikov
Eletskikh
Semiletov
Hobbs
Okamoto
Portnov
Vernik
Ibragimova
Beloglazova
Perlovskaya
Shabrov
Sergeant
Yurgelas
Li
Guy
Evchenko
Penkov
Karaman
Serbest
Pan
Lasak
Beck
Tenenbaum
Schwell
Dimitrov
Burlachko
Fedorov
Manakova
SagadaevaShafranov
Vinokur
Kazak
Shemetova
Uskova
Zagorsky
Garkavenko
Gulykina
Plyuta
Kirillova
Johnson
Filikhin
Kopytin
Roudnev
Garshin
CitronFrachtenberg
Talby
Tsafrir
Plet
Grobova
Pavlova
Kubekova
Sergeeva
Escanciano
Vincent
Kokoreva
Kostenko
Ladchenko
Pilyavskaya
Tsupiy
Kovaleva
Polyakova
Kostic
Araiza
Kim
Maxwell
Taskin
Azarnova
Shelkovoi
Ul
Oseledets
Chertkov
Vavilov
Koibaev
KrupetskiiPashchevskii
DenisovaHamdan
Holubowski
Khatib
MitrofanovNesterov
PetrovSemenovStepanov
Schmidt
Bondarenko
Dybkova
Kolotilina
Mysovskikh
Panin
Plotkin
Roloff
Rosenbaum
Vostokov
Kopeiko
Tulenbaev
Stakhov
Yablonski
Kovalchuk
Kashnikova
LepeyevNavakhrost
Rozin
StashulionakKarimova
Zvereva
Grischeko
Sirota
Glotov
Khyong
DaiRay
Karlovich
Azhorkin
Chernykh
Gusev
Karpov
Valikova
Volotov
Zobov
Pokornaya
Zui
Gudovich
Souza
Piontkovski
Livne
Dyk
Tkhan
Amburg
Andrianov
Suvorov
Besedina
Vidilina
Walthoe
Cozzi
Vizitei
Chebotaru
Hambartsumyan Leiterer
Brodskii
Eni
Frolov
Zolotarevskii
Lerer
Soltan
Prigorskii
Barkari
Sigal
Shpigel
Levchenko
Sementsul
Zambitskii
Benartzi
Rodman
Shalomi
Perelson
Rubinshtein
Zuker
Wicks
Williams
Mao
Tovbin
Chong
Prabhu
Wilson
Lashuk
Chen
Shakin
Liskevich
Berger
Clare
Borisov
Fields
Gani
Bauman
Dorn
Makarenkov
Pop
Lezama
Tzafriri
Shlapak
Kaur
Norkuniene
Beecher
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ProfesseurInstitut Fourier, UMR 5582 du CNRS
Universit de Grenoble IBP 74, 38402 Saint-Martin d'Hres, France
Bureau 33 CTl. : 04 76 51 43 16Fax : 04 76 51 44 78
E-mail : [email protected]
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Domaine de recherches : thorie des nombres, algbre
Janvier 2008 : Expos au Sminaire de thorie des nombres de Jrusalem"L-Functions of Modular Forms, Their Families and Holomorphic Lifting Conjectures"Octobre 2007 : Expos au Colloque International de Oberwolfach"L-Functions of Siegel Modular Forms, Their Families and Lifting ConjecturesJanvier 2007 : Expos l' Institut Weizmann (Rehovot, Isral)On p-adic families of L-functionsFvrier 2007 : Expos en assemble plnire au Colloque International "Diophantine and AnalyticalProblems in Number Theory" Moscou l'occasion du centenaire de A.O. GelfondZeta Functions of Siegel Modular forms and Rankin's Lemma of Higher Genus(a joint work with Kirill Vankov).Novembre 2006 Expos pour le Sminaire de thorie des nombres de ChevaleretLemme de Rankin de genre suprieur et le calcul symbolique dans les algbres de Hecke locales (un travail avec Kirill Vankov);Septembre 2006 : Confrence au Colloque International Zeta functions en septembre 2006, l'Universit Indpendente de Moscou.Janvier 2006 Prsentation du groupe de travailCarrs symtriques, formes modulaires arithmtiques et fonctions L p-adiques{Bertrand GORSSE, Fabienne JORY-HUGUE, Alexei PANTCHICHKINE, Julien PUYDT,Gilles ROBERT)Novembre 2005"Produits triples de familles de Coleman"(en russe)Confrence en assemble plnire du Colloque international Moscou``International Workshop on Computer Algebra and Informatics'' (November 9-11, 2005)Septembre 2005``Produits triples de familles de Coleman" Expos auColloque Intrnational Hakuba, Japon (``Periods and related topics from automorphic forms'')Septembre 2005 Expos au Colloque Intrnational Kyoto, Japon
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``Problme de Coleman-Mazur''Problem of Coleman-Mazur on p-adic families of L-functionsDecember 2004 Colloque Intrnational Soul, Core du Sud``KIAS-POSTECH-SNU International Number Theory Workshop(Modular forms and related topics)'',
On the numerator of the symplectic Hecke series of degree three avec Kirill Vankov (math.NT/0604602) p-adic Banach modules of arithmetical modular forms and triple products of Coleman's families,math.NT/0607204 [pdf] :Triple products of Coleman's families(en russe, To dear Kostya BEIDAR in memoriam), math.NT/0607161 [pdf]On Zeta Functions and Families of Siegel Modular FormsarXiv:0709.1645 [pdf]Modular forms and $p$-adic numbers (in Russian)arXiv:0709.1611 [pdf]Local and global methods in arithmetic (in Russian)arXiv:0709.1606 [pdf]
2007/20081e semestreTD de Cours MAT 237, Licence de lUJF, 2007/2008)Cours Mathmatiques des codes correcteurs d'erreurs(Master-2 de mathmatiques, "Cryptologie, Scurit et Codage d'Information", 2007/2008)2e semestreMaster 2 Professionnalisant International"Security and Cryptology of Information Systems"("Securit et Cryptologie de Systmes d'Information").
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"Courbes algbriques et cryptologie avance""Mathmatiques des codes correcteurs d'erreurs".
Cours Introduction aux systmes dynamiques et la modlisation(MAT 127, Mathmatiques pour les biologistes, Licence de lUJF, 2007/2008)
Annes prcdentesMathmatiques des codes correcteurs d'erreurs(Master-2 de mathmatiques (M2P, 506a), "Cryptologie, Scurit et Codage d'Information", 2005/2006)Cours Malg1(MASTER-1,MAT 401i) (lInstitut Fouruer, 2004/2005)Modules de Drinfeld et Cryptologie lENS Lyon, 2003/2004Codes gomtriques (lInstitut Fouruer, 2004/2005)Familles de formes modulaires et thorme de Fermat (cours de DEA l'IF , 2001-2002)Familles de formes modulaires et thorme de Fermat (programme du cours de DEA l'ENS de Lyon, 2000-2001) Formes modulaires et courbes elliptiques (cours de DEA l'Institut Fourier 1993/94)Thorie gomtrique des formes modulaires (cours de Magistre l'ENS (rue d'Ulm) 1994/95)
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panchishText Box De quoi s'agit-il? Les plus connus groupes classiques (sur les complexes) sont GL(n), SL(n), O(n), SO(n), U(n), SU(n), Sp(2n).De point de vue de la gomtrie, ce sont certaines groupes de transformations du C-espace vectoriel V=C^n ( savoir, soit les transformations linares inversibles, soit les transformations linaires spciales, orthogonales, ainsi que les transformations unitaires ou symplectiques), donnes par X->AX (A une matrice, X un vecteur colonne de V).
En gros, on dfinie ces sous-groupes de GL(n) (ou de GL(2n)) par une condition d'invariance de sorte B(AX, AY)=B(X,Y), o B soit une forme bilinaire (symtrique ou alterne), soit une forme ssquilinaire (hermitienne) connue des cours d'algbre linaire comme des transformations orthogonales, unitaires etc. B(X,Y) et X->AX sont des examples de la notion de tenseur. De plus, au lieu du corps k=C on considre un corps quelconque, y compris k=R, Q, un corps fini F_q (ou une extension de tels corps).
panchishText Box Algbre (cours de Magistre du second semestre 2014/15,bas sur mes cours Algbre-2 l'ENSL en 2007 et Groupes classiques, algbre gomtrique et applications l'Institut Fourier 2010 et 2014).
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Programme : certicat "Algbre 2"
1. Algbre tensorielle
2. Polynmes et fractions rationnelles
3. Exemples et constructions de corps
4. Exemples de groupes. Groupes classiques
5. Gomtrie projective. Coniques, quadriques
Programme bref
Algbre tensorielle. Polynmes et fractions rationnelles, Exemples et constructions decorps. Extensions algbriques, transcendance, degr, polynme minimal, caractristique.Corps de rupture d'un polynme. Corps nis. Exemples de groupes, groupes classiques.Gomtrie projective. Coniques, quadriques. Varits anes (exemples). Courbes planes,points singuliers
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panchishText Box
panchishText Box Sommaire Cours N1. Lundi 19 janvier 2015 p.6 Cours N 2. Lundi 26 janvier 2015 p.13 Cours N 3. Lundi 2 fvrier 2015 p.19 Cours N 4. Lundi 9 fvrier 2015 p.44 Cours N 5. Lundi 23 fvrier 2015 p.51 Cours N 6. Lundi 2 mars 2015 p.58 Cours N 7. Lundi 9 mars 2015 p.70 Cours N 8 L undi 16 mars 2015 p.84 Cours N 9 Lundi 23 mars 2015 p.90 Cours N 10 Lundi 30 mars 2015 p.95 Cours N 11 Lundi 20 avril 2015 p.107 Cours N 12 Lundi 27 avril 2015 p.115 Examen 4 mai 2015 (?) Exercices p.122
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panchishInserted TextCalendrier de l'anne universitaire
Dbut du second semestre : partir du 26 janvier 2015
Interruptions pdagogiquesHiver : du samedi 14 fvrier 2015 au lundi 23 fvrier 2015 matinPrintemps : du samedi 11 avril 2015 au lundi 20 avril 2015 matint : partir du samedi 11 juillet 2015
Jours frisLundi de Pques : lundi 6 avril 2015Fte du travail : vendredi 1er mai 2015Anniversaire 1945 : vendredi 8 mai 2015Ascension : jeudi 14 mai 2015Lundi de Pentecte : lundi 25 mai 2015
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Table des matires
I Algbre tensorielle 40.1 Formalisme d'applications polylinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Rappels sur la notion d'anneau, exemples 61.1 Structure d'anneau et idaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Anneau quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Idaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Modules et espaces vectoriels 102.1 Rappels sur les modules et espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Exemlples de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Sous-A-modules, sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Produit tensoriel de modules 113.1 Existence et l'unicit du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Exemples et proprits du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Algbre symtrique d'un module 144.1 Applications multilinaires symtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Dnition et proprits de l'algbre symtrique d'un module . . . . . . . . 164.3 Exemples de l'algbre symtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Algbre extrieure d'un module 185.1 Application multilinaires alternes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Dnition et proprits de l'algbre extrieure d'un module . . . . . . . . 19
II Polynmes et fractions rationnelles 21
6 Polynmes une variable 216.1 Anneau de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Division euclidienne sur les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3 Valeurs et racines d'un polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.4 Formule d'interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.5 Polynmes irrductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7 Fractions rationnelles 297.1 Corps des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Rappel : caractristique d'un corps, sous-corps premier . . . . . . . . . . . 307.3 Dcomposition des fractions rationelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
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8 Polynmes plusieurs variables 348.1 Anneau de polynmes plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2 Polynmes symtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.3 Calculs avec des polynmes symtriques. Rsultant et discriminant . . . . 37
III Extensions des corps commutatifs 42
9 Extensions et algbricit. Exemples et constructions de corps 429.1 Extensions, degr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.2 lments algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.3 Corps de rupture, corps de dcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10 Clture algbrique (voir [Lang], Ch.VII, 2) 4710.1 Prolongement d'isomorphismes sur les extensions algbriques . . . . . . . 4710.2 Extensions algbriquement clses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11 Morphisme de Frobenius, structure des corps nis 4911.1 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911.2 Polynmes sur les corps nis. Nombre de polynmes irrductibles . . . . . 51
IV Exemples de groupes. Groupes classiques 56
12 Structure de groupe 5612.1 Complments sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.2 Rappels sur l'action d'un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . 5712.3 Groupes rsolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5812.4 Groupes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5812.5 Groupe orthogonal G = SO(3) et les angles de Euler . . . . . . . . . . . . 5912.6 Homomorphisme remarquable de SU(2) dans SO(3) . . . . . . . . . . . . 6112.7 Groupes nis des rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.8 Groupes de polydres rguliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.9 Groupes classiques (dnition prliminaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6912.10Simplicit du groupe SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7612.11Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7612.12Espace d'Euclide et mcanique quantique* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7912.13Espace-temps de Minkowski* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8212.14Rotations euclidiennes et boosts* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
13 Algbre gomtrique 8813.1 tude gomtrique du groupe GL(n) et de ses sous-groupes . . . . . . . . 8813.2 Formes bilinaires et formes hermitiennes, groupes classiques. . . . . . . . 9313.3 Thorme de Witt et l'extension d'isomtries . . . . . . . . . . . . . . . . 101
V Gomtrie projective. Coniques, quadriques 105
4
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14 Gomtrie projective 10514.1 Espace projectif Pn, varits algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10514.2 Courbes planes projectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10514.3 Fonctions anes et quadratiques, et quadriques anes . . . . . . . . . . . 10614.4 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
15 Applications projectives et leurs utilisations 10915.1 Groupes projectifs et projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10915.2 Congurations de Pappus et de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11015.3 Thorme fondamental de la gomtrie projective* . . . . . . . . . . . . . 113
16 Courbes planes* 11516.1 Points singuliers des courbes projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11516.2 Equations cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
VI Annexes 122
A Exercices 122A.1 Examen du mardi 15 mai 2007, 9h12h, AMPHI A . . . . . . . . . . . . . 122A.2 Corrig de l'examen du mardi 15 mai 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124A.3 Contrle continu du mardi 13 mars 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128A.4 Corrig du partiel du mardi 13 mars 2007* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129A.5 Contrle continu du mardi 14 mars 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
J'ai signal avec une * ce qui peut tre saut en premre lecture.
5
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Cours N1. Mardi 23 janvier 2007
(disponible sur : http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr /panchish)
Motivations et contenu du cours
Le prsent cours est centr sur les notions de l'algbre tensorielle, polynmes et frac-tions rationnelles, exemples et constructions de corps, exemples de groupes, groupesclassiques, gomtrie projective. Ce sont les outils algbriques pour la gomtrie (en par-ticulier la gomtrie direntielle et la gomtrie algbrique), pour l'arithmtique (equa-tions diophantiennes, reprsentations galoisiennes), pour l'analyse (fonctions spciales devariables matricielles, quations direntielles et groupes de monodromie), pour la phy-sique mathmatique (en particulier, la mcanique quantique, voir [Coq02], Partie IV de[KosMan]), ainsi que pour beaucoup d'applications (codes gomtriques etc.)
Les corps nis donnent des exemples importants d'extensions de corps, et on tudieen dtail les polynmes irrductibles sur les corps nis.
Le cours est considr comme la suite du cours "Algbre 1", et on utilise commeprrequis les notions de thorie des ensembles, groupes, anneaux et corps, les notionsd'algbre linaire, y compris les formes quadratiques, gomtrie ane (euclidienne).
Premire partie
Algbre tensorielle
Motivation : algbre polylinaire
0.1 Formalisme d'applications polylinaires
Cette partie est consacre l'tude systmatique des constructions polylinaires pourles espaces vectoriels V sur un corps commutatif K, et pour les modules M sur unanneau commutatif A. Ici on introduit la notion du produit tensoriel qui sert de base auxconstructions algbriques ; on l'tudie en dtails.
Cependant, les applications principales de ce formalisme se trouve l'extrieure del'algbre linaire, notammement, dans la gomtrie direntielle, thorie des reprsenta-tions de groupes et dans la mcanique quantique, voir Partie IV de [KosMan] et [Coq02].
Soit V1, . . ., Vr une famille nie de K-espaces vectoriels, et soit V1 Vr leurproduit cartesien.
Dfinition 0.1.1 Une application
f : V1 Vr V
du produit cartesien V1 Vr dans un autre K-espace vectoriel V est dite polylinaire,si elle est linaire pour tous les arguments vi Vi, i = 1, r. Notation :
f L(V1 Vr, V ).
6
panchishText BoxCours N1. Lundi 19 janvier 2015
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panchishSticky NotePLAN du 19/1/15:-Algbre tensorielle Motivation : algbre polylinaire -Formalisme d'applications polylinaires, proprit universelle, exemples-Rappels sur les anneaux, Modules et espaces vectoriels-Sous-modules, sous-espaces vectoriels, exemples
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On va constrire une application polylinaire universelle
g : V1 Vr V1 Vr,
dont l'image T = V1 Vr est dit le produit tensoriel de V1, . . ., Vr.
Dfinition 0.1.2 (Proprit universelle) il existe une application K-polylinaireg : V1 Vr T , telle que toute application K-polylinaire f : V1 Vr V sefactorise par g : f = f g pour une unique application K-linaire f : T V :
V1 Vrg //
f))RR
RRRRRR
RRRRRR
R T
f
V
C'est--dire, que L(V1 Vr;V ) = L(V1 Vr, V )(l'identication canonique).
Notation : v1 vr = g(v1, . . . , vr)tenseur dcomposable
On appelle les vecteurs v1 vr lments dcomposables de l'espace vectorieldes tenseurs gnrales V1 Vr. Le produit tensoriel T est engendr par les tenseursdcomposables, et on le construire sur les corps et sur les anneaux commutatifs.
Ides de base du calcul tensoriel
Dualit : on considre les vecteurs v V comme des applications K-linaires surl'espace V des formes K-linaires ` : V K
v : ` 7 `(v) K, de plus, V = (V ) si dimV
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Notation classique
Soit V = e1, . . . , en unK-espace vectoriel d'une base {e1, . . . , en}, donc dim(V ) = n.On note e1, . . . , en la base duale de V , c'est--dire, ej(ei) = ij . Alors tout tenseur
F Tpq(V ) = V p V q = L(V p V q;K)
est dtrmin par ces composantes F j1 ,jqi1 ,ip = F (ei1 , , eip , ej1 , ejq). De plus
F =i1 ,ipj1 ,jq
Fj1, ,jqi1 ,ip e
i1 eip ej1 ejq = Fj1, ,jqi1 ,ip e
i1 eip ej1 ejq ,
(selon la convention d'Einstein, on omet le symbole de sommation d'indices rptants).
1 Rappels sur la notion d'anneau, exemples
1.1 Structure d'anneau et idaux
Dfinition 1.1.1 Un anneau est un groupe ablien A muni d'une loi interne
AA A, (x, y) 7 xy = x y
appel produit ou multiplication, qui est associativeAn1 x, y, z A, x(yz) = (xy)z,
et distributive droite et gauche pour l'addition :An2 x, y, z A, x(y + z) = xy + xz,
An3 x, y, z A, (y + z)x = yx+ zx,On prendra galement la convention que tout anneau est unifre, c'est--dire que la mul-tiplication est munie d'un lment neutre 1 :
An4 x A, 1x = x1 = x.L'anneau est dit commutatif si la loi de multiplication est commutative :Comm. x, y A, xy = yx.
Dfinition 1.1.2 Un morphisme d'anneau : A B est une application telle queMorAn x, y, z A,(xy + z) = (x)(y) + (z) A,(1A) = 1B
SAn Une partie A B est dit un sous-anneau, si l'inclusion A B est un morphismed'anneau.
Exemple On pose B = ZZ = {(x1, x2) | x1, x2 Z}, alors A = {0}Z est un anneau,mais non un sous-anneau de B.
Dfinition 1.1.3 Soit A un anneau commutatif. Une partie I A est dit un idal sic'est un sous-groupe additif pour l'addition, stable par la multiplication externe (par unlment quelconque a A).
Idal x I,a A, ax I.
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-
Oprations sur les idaux
Dfinition 1.1.4 (a) Soient I, J deux idaux de A. Leur somme
I + J = {x+ y | x I, y J}
est le plus petit idal de A contenant I et J .La somme d'une famille d'idaux (I) est forme par toutes les sommes nies
I =
{
x, x I
}
o x = 0 sauf un nombre ni de .(b) L'intersection ensembliste
I
d'une famille d'idaux (I) est toujours un idal de A.(c) Soit X une partie d'un anneau A. L'intersection de tous les idaux de A, conte-
nants X, est dit l'idal engendr par X(d) Le produit
I1 I2. . .Ind'un nombre ni d'idaux est l'idal engendr par
{x1 x2. . .xn | x1 I1, x2 I1, , xn In}
En particulier, l'idal In est engendr par
{x1 x2. . .xn | x1, x2 I1, , xn I}
Exemple
a) Si A = Z, I = (m), J = (n), alors
I + J = (pgcd(m,n)), I J = (ppcm(m,n)), I J = (mn).
Remarque
L'idal, engendr par une famille x, concide avec la somme
(x)
de tous les idaux principaux (x) = xA.
Remarque Montrer en exercice que l'union d'une famille d'idaux (I) n'est pas unidal en gnral, mais c'est le cas si les idaux I sont totalement ordonns par l'inclusion :
, , soit I I , soit I I.
9
-
1.2 Anneau quotient
Dfinition 1.2.1 Soit A un anneau commutatif, I A un idal de A. Alors il existesur le groupe quotient additif A/I une unique structure d'anneau telle que la projectioncanonique : A A/I est un morphisme d'anneaux.
Proposition 1.2.2 (a) Soit A un anneau commutatif, I A un idal de A. Alors ilexiste une bijection entre l'ensemble
{J A | J I}
d'idaux contenants I, et l'ensemble {J A/I
}d'idaux de A/I, donne par J = 1(J), o : A A/I est la projection canonique.
(b) Soit : A B un morphisme d'anneaux, alors I = Ker := 1(0) est un idalde A, (A) = C est un sous-anneau de B, et il y a un isomorphisme d'anneaux
: A/I C.
On critx y mod I x y I.
Exercice Soit A = Z[X], I = 5A = (5). Trouver tous les idaux de A contenant I.
Diviseurs de zro, lments nilpotents et units
Dfinition 1.2.3
(a) Un x A\{0} est dit diviseur de zro, s'il existe un y A\{0} tel que xy = 0. Unanneau A 6= {0} sans diviseurs de zro est dit intgre.
(b) Un lment x A\{0} est dit nilpotent, si xn = 0 pour un n 1.(c) Un lment x A esi dit inversible (ou une unit) de A s'il existe y A, xy = 1.
On notera x A.
Dfinition 1.2.4 Un corps est un anneau commutatif A, non rduit {0} dans lequeltout lment non-nul est inversible :
Corps x A, x 6= 0,y A, xy = 1
Proposition 1.2.5 (a) Soit A un corps, alors A est un anneau intgre.(b) Soit A un corps, I un idal de A. Alors soit I = {0} soit I = A.
10
-
1.3 Idaux premiers
Dfinition 1.3.1
(a) Un idal I 6= A est dit premier, si
x, y A, x y I x I ou y I,
i.e. l'anneau quotient A/I est intgre.(b) Un idal I 6= A est dit maximal, si
idal J A, I J I = J, ou J = A
Proposition 1.3.2
(a) Un idal I 6= A est dit maximal, si et seulement si A/I est un corps(b) Tout idal maximal est premier.
Preuve (a) On suppose I maximal. Si x 6 I, on considre l'idal (x, I) engendr par x etI. Alors (x, I) 6= I donc (x, I) = A ; ceci dit, il existe a A et b I tels que ax+ b = 1 ;ceci dit, ax = 1 dans A/I.
Rciproquement, si A/I est un corps, les seuls idaux de A/I sont {0} et A/I. Parla proposition 1.2.2, a), il existe une bijection entre l'ensemble
{J A | J I}
d'idaux contenants I, et l'ensemble {J A/I
}d'idaux de A/I. Donc il n'y a pas d'idaux stricts intermdiaires entre I et A, i.e. I estmaximal.
(b) Un corps est toujours un anneau intgre, donc I est premier.
Exemple
Dans l'anneau A = C[X,Y ] l'idal I = (X,Y ) est maxmal, A/I C.L'idal J = (X) n'est pas maxmal, mais premier :A/J C[Y ].
Exercice ( faire en TD) Montrer que tous les idaux maximaux M de l'anneau A =Z[X] sont de la forme :M = (p, f), o f Z[X] est un polynme tel que f mod p Fp[X]est irrductible. Ici Fp = Z/pZ est le corps de p lments.
L'idal J = (p) n'est pas maxmal, mais premier :A/J Fp[X].
Exercices
1.1 Trouver tous les diviseurs de zro dans les anneaux
Z/100Z,Z/72Z,Z/pnZ.
1.2 Trouver tous les lments nilpotents dans les anneaux
Z/100Z,Z/72Z,Z/pnZ.
1.3 Trouver tous les lments inversibles dans les anneau
Z/100Z,Z/72Z,Z/pnZ.
1.4 Montrer qu'un anneau ni A est intgre si et seulement s'il est un corps.
1.5 Trouver tous les lments inversibles dans les anneau Z[i] et Z[j].
11
-
2 Modules et espaces vectoriels
2.1 Rappels sur les modules et espaces vectoriels
Dfinition 2.1.1 Si A est un anneau commutatif. Un A-module est la donne d'ungroupe ablien M , muni d'une loi externe
: AM M, (a,m) 7 am M (multiplication externe)
satisfaisant les proprits suivantes :Mo1 a A, x, y M , a(x+ y) = ax+ ay,Mo2 a, b A, x M , (a+ b)x = ax+ bx,Mo3 a, b A, x M , a(bx) = (ab)x.Si A = K est un corps, un espace vectoriel sur K est un K-module.
Dfinition 2.1.2 Soit A un anneau commutatif, et soient M , N deux A-modules. Uneapplication : M N est dit un morphisme de A-modules (ou une application A-linaire)si c'est un morphisme de groupe abliens, et si elle vrie la condition suivante :
Mor. A,m M,(m) = (m)
Un isomorphisme de A-modules est un morphisme A-modules qui est bijectif. Soninverse est alors un morphisme A-modules.
2.2 Exemlples de modules
Exemple La notion de Z-module concide avec celle de groupe ablien :
: ZM M, (a,m) 7 am M
Exemple 2.2.1 Si A est un anneau commutatif, et n N, An est un A-module pour lalois externe
: AAn An, (a, (a1, , an)) 7 (aa1, , aan) An
Exemple 2.2.2 Soit A un anneau commutatif, et soit M un A-module. Si X est unensemble, alors pour tout a A et pour toute application f : X M on pose
x X, (af)(x) = a(f(x)) M.
L'ensembleMX de toutes les applications f : X M est un A-module avec la loi externe
: AMX MX , (a, f) 7 af MX
12
-
2.3 Sous-A-modules, sous-espaces vectoriels
Dfinition 2.3.1 Soit A un anneau commutatif, et soit M un A-module. Un sous-groupe ablien N M est dit un sous-A-module si il vrie la condition suivante :
Sousmodule A,x N,x N.
Si K est un corps, un sous-K-module d'un espace vectoriel sur K est dit un sous-espace vectoriel sur K.
Exemple 2.3.2 Soit A un anneau commutatif, et soient M , N deux A-modules. L'en-semble L(M,N) des applications A-linaires : M N est un sous-A-module du moduleNM de toutes les applications de M vers N . En particulier, si K est un corps, et E unK-espace vectoriel, le dual de E, not E est l'espace vectoriel L(E,K).
Cours N2. Mardi 6 fvrier 2007
(disponible sur : http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr /panchish)
3 Produit tensoriel de modules
3.1 Existence et l'unicit du produit tensoriel
Soient M,N,P trois A-modules.
Dfinition 3.1.1 a) Une application f : M N P est dite A-bilinaire, si pour toutx M , l'application y 7 f(x, y) de N P, et pour tout y N , l'application x 7 f(x, y)de M P, sont des homomorphismes de A-modules.
b) Un A-module T est dit le produit tensoriel M A N s'il satisfait la proprituniverselle suivante : il existe une application A-bilinaire g : M N T , telle quetoute application A-bilinaire f : M N P se factorise par g : f = f g pour ununique homomorphisme f : T P de A-modules.
M Ng //
f((PP
PPPPPP
PPPPPP
T
f
P
Remarque 3.1.2 En gnral, g n'est pas surjective ! Mais Im(g) engendre T .
Proposition 3.1.3 (l'existence et l'unicit du produit tensoriel) a) Pour tousles A-modules M et N il existe un couple (T, g), o g : M N T une applicationA-bilinaire avec la proprit universelle de Denition 3.1.1, b).
b) Le A-module T fourni avec l'application g : M N T est unique un isomor-phisme prs : pour tout autre tel couple (T , g) on a g = j g, pour un isomorphismej : T T de A-modules.
13
panchishInserted TextCours N 2 du 26/1/2015 pp.16-> -Rappel:l'existence et l'unicit du produit tensoriel, exemples-l'algbre symtrique d'un module-l'algbre exterieure d'un module-Proprits, exemples-Polynmes de n variables et l'algbre symetrique
panchishText Box
-
Preuve : Existence. Soit C = A(MN) le A-module libre de base
{ex,y | (x, y) M N} , i.e. les lments de C sont
C =
{ni=1
iexi,yi |i A, xi,M,yi N},
(toutes les combinaisons A-linaires nies formelles ; on remarque que e0,0 6= 0).On identie C avec l'ensemble des vecteurs innis (x,y)(x,y)MN tels que x,y A
sont prsque tous nuls (sauf un nombre ni),
ex,y ( , 0, 1(x,y)place
, 0 ).
On considre le sous-A-module D de C engendr par tous les lments de type
ex+x,y ex,y ex,y, ex,y+y ex,y ex,y ,eax,y aex,y, ex,ay aex,y.
Puis on pose T = C/D et on note x y la classe ex,y +D dans T .Le module T est engendr par
x y = ex,y +D,
de plus
(x+ x) y = x y + x y, x (y + y) = x y + x y,(ax) y = a(x y), x (ay) = a(x y).
On pose g(x, y) = x y, alors f (x y) = f(x, y) est bien dnie comme une uniqueapplication A-linaire avec la proprit f = f g.
Remarque a) On a e0,0 0e0,0 D, donc 0 0 = 0 dans T .b) Le produit x y dpend de choix de modules M 3 x, N 3 y.Il se peut que x M M , y N N , x y = 0 dans M N mais
x y 6= 0 dans M N .
Exemple Soient A = Z, M = Z, M = 2Z, N = N = Z/2Z = y, alors 2 y = 1 2y
dans M N mais 2 y 6= 0 dans M N , puisque {2} est une base du Z-module libre,M = Z, donc ZN = N par la proprit universelle.
Exercice Montrer que An M = Mn pour tout n N.Preuve de b) (l'unicit de T ). Par la proprit universelle 3.1.1, b), il existe j, j, j :T T , j : T T tels que j j = idT , j j = idT :
T j //_______hh
g PPPPPP
PPPPPP
PP TOOg
j //_______ T 66
gnnnnnn
nnnnnn
nn
M N
, Tj //_______gg
g PPPPPP
PPPPPP
PP T OO
g
j //_______ T77
gnnn
nnnnnn
nnnnn
M N
14
-
puisque j et j sont dtrmines par la proprit universelle 3.1.1, b).Dans notre construction de T = M A N on pose g(x, y) = x y T , mais en
pratique on n'utilise que l'existence de M A N , et non la construction ci-dessus.De plus, pour les espaces vectoriels de dimension nie sur un corps k = A il existe
une autre construction deM kN comme Bil(MN, k) = kmn oM = km, N = kn.
Remarque
a) On dnit le produitM1AM2A AMn partir d'applications A-multilinaireavec une proprit universelle analogue 3.1.1, b) (formuler en exercice).
b) Si M = M , N = N , alors M A N = M A N ,
3.2 Exemples et proprits du produit tensoriel
Exemple 3.2.1 Soit A = Z, M = Z/mZ, N = Z/nZ. Alors (Z/mZ) (Z/nZ) = Z/dZavec d = pgcd(m,n).
En eet, il sut de vrier la proprit universelle pour l'application
(Z/mZ) (Z/nZ) Z/dZ, g(a, b) = ab mod d.
pour toute application Z-bilinaire f : (Z/mZ) (Z/nZ) P . On pose f(1, 1) = p P ,alors f(a, b) = abp.
De plus f(m, 1) = f(1, n) = 0 = mp = np. Ceci dit, dp = 0 puisque d = mu + nv(u, v Z), et f se factorise par
(Z/mZ) (Z/nZ) g //
f**TTT
TTTTTTTT
TTTTTTT
Z/dZ
f
P
, (1, 1) 7 1 mod d
1(modd) 7 p est unique
Proposition 3.2.2 (proprits du produit tensoriel)
Soient M,N,P trois A-modules. Il existe les isomorphismes canoniquesa)
M A N = N AM, x y 7 y x,b)
(M A N)A P = M A (N A P )A PM A N A P ,
(x y) z 7 x (y z) 7 x y zc)
(M N)A P = (M A P ) (N A P ),(x y) z 7 (x z) (y z),
d)AAM = M,a x 7 ax,
Preuve. Dans tous les cas on vrie que les applications existent (elles sont bien dnies),et qu'elles sont dtrmines.
15
panchishCross-Out
panchishReplacement Text-
-
Remarque . Le produit tensoriel T = MANAP est donn par la proprit universelled'applications A-trilinaires f : M N P Q de A-modules.
a) On construit d'abord les A-homomorphismesf : M A N = N AM, x y 7 y x,g : N AM = M A N, y x 7 x x.
En eet, l'application : (x, y) 7 yx est A-bilinaire puisque (ax, y) = (x, ay) =a(y x) donc il existe un seul A-homomorphisme f(x y) = y x ; la mme chose pourg.
La compose f g : N AM N AM , x y 7 x y est donc IdNAM .Puis, g f : M A N M A N est IdMAN .
On construit les A-homomorphismesh : (M A N)A P M A N A P , k : M A N A P A P (M A N)A P ,
en utilisant de nouveaux les proprits universelles : l'application A-bilinaire : (x, y) 7x y z (pour tout z P , induit
hz : (M A N M A N A P, hz(x y) = x y z.
Puis : (t, z) 7 hz(t), (M A N)A P M A N A P est A-linaire.A partir de : (M AN)AP M AN AP on obtient une application cherche
h : (M A N)A P M A N A P.
Pour construire k : M A N A P (M A N) A P , on considre l'application A-trilinaire
: M A N A P (M A N)A P,(x, y, z) = (x y) z,
qui induit k : MANAP AP (MAN)AP ci-dessus La construction implique :h k = IdMANAP , k h = Id(MAN)AP (sur les gnrateurs !).
Ceci dit, h et k sont des isomorphismes de A-modules.Preuve de c) et d) de Proposition 3.2.2 est en exercice faire.
4 Algbre symtrique d'un module
4.1 Applications multilinaires symtriques
Dfinition 4.1.1 (Application multilinaire symtrique) Une application r-multilinaire
: M M N est dit symtrique, si pour toute permutation =(
1 2 ri1 i2 ir
)et pour tous x1, , xr M on a
(x1, , xr) = (xi1 , , xir)
16
panchishText BoxCours N 2. Lundi 26 janvier 2015
panchishCross-Out
panchishReplacement Text-
panchishCross-Out
panchishReplacement Text-
panchishInserted Text(b)
panchishHighlight
panchishCross-Out
panchishReplacement Text-
-
Exemple .a) Soit M = N = A, on pose
(x1, , xr) = x1. . .xr
(le produit dans l'anneau A). Alors est multilinaire et symtrique puisque A estsuppos commutatif.
b) Soit M = A[X,Y ], N = A[X], xi = fi(X,Y ) M . On pose
(f1, , fr) = (f1. . .fr)(X, 0) N.
c) Soient l1, l2, , lr : M A,N = A. On pose
(x1, , xr) =
=
(1 2 ri1 i2 ir
)Sr
l1(xi1). . .lr(xir)
Alors l'application est r-multilinaire et symtrique
Proposition 4.1.2 (l'existence et l'unicit du produit symtrique multiple)
a) Il existe un A-module T = Sr(M) et un A-homomorphisme symtrique : M M T telle que toute application r-multilinaire symtrique : M M N sefactorise de faon unique par : il existe une unique application A-linaire f : T Ntelle que = f :
M M //
))RRR
RRRRRRRR
RRRRR T
fxxq q
q qq q
q
N
(4.1)
b) L'unicit de T = Sr(M) ( un A-isomorphisme prs).Preuve de b) dcoule directement de la proprit universelle (4.2) comme dans Propo-sition 3.1.3 (en exercice faire).Preuve de a) L'existence de (Sr(M), ) : on pose d'abord
Mr = M A AM (r fois), m(x1, , xr) = x1 xr,
et on dnit
Sr(M) = Mr/
x1 xr xi1 xir | =
(1 2 ri1 i2 ir
) Sr, xi M
,
(on factorise pas le sous-A-module Rsym engendr par les relations de symtrie). Puis onpose
(x1, , xr) = la classe (x1 xr +Rsym) Sr(M).
17
-
Vrication de la proprit universelle (4.2) : pour toute application A-multilinairesymtrique : M M N il existe g : Mr N (un unique homomorphisme deA-modules) tel que (x1, , xr) = g(x1 xr), = g m.
Par la symtrie de , Ker g Rsym puisque g(x1 xr xi1 xir) =(x1, , xr)(xi1 , , xir) = 0, alors il existe un seul homomorphisme de A-modulesf : Sr(M) = Mr/Rsym N tel que g = f , o : Mr Sr(M) la projectionnaturelle.
Mr55pr
kkkkkk
kkkkkk
kkk
))RRRRR
RRRRRR
RRR
g
M M //
))SSSSSSS
SSSSSSSS
SST = Sr(M)
fuul l
l ll l
l l
N
(4.2)
De plus, = m, donc
f = f m = g m = ,
puisque g = f . Ceci dit, f est un unique homomorphisme de A-modules tel quef =
4.2 Dnition et proprits de l'algbre symtrique d'un module
Notation
S(M) =r0
Sr(M), S0(M) = A, (4.3)
T (M) =r0
T r(M), o T r(M) = Mr =r fois
M A AM . (4.4)
On montre que S(M) est une A-algbre commutative et que T (M) est une A-algbrenon-commutative.
Rappels
Dfinition 4.2.1 Soit A un anneau commutatif. Une A-algbre B est un anneau fournid'un homomorphisme d'anneau : A B tel que pour tout a A et pour tout b B ona (a)b = b(a)(= ab).
Exemple
a) Soit A = R, B = C, : R C l'inclusion d'anneau. Alors C est une R-algbre.
18
panchishCross-Out
panchishReplacement Textm
panchishHighlight
-
b) L'algbre des quaternions (de Cayley)
H ={a+ bi+ cj + dk
a, b, c, d R, ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j,i2 = j2 = k2 = 1
}Alors : a 7 a+ 0i+ 0j + 0k est un homomorphisme, H est une R.
Attention :
H n'est pas une C-algbre (pour : C H, a+ bi 7 a+ bi+ 0j + 0k).
Proposition 4.2.2 (description du produit) Pour tout r1, r2 N, il existe uneunique application A-bilinaire
t : T (M)r1 T r2(M) T r1+r2 ,
telle que
t(x1 xr1 , y1 yr2) = x1 xr1 y1 yr2 ,
et il existe un unique application A-bilinaire
s : S(M)r1 Sr2(M) Sr1+r2 ,
telle ques(x1. . .xr1 , y1. . .yr2) = x1. . .xr1 y1. . .yr2 ,
o x1. . .xr = (x1, , xr).b) Les applications t = tr1,r2 , s = sr1,r2 fournissent
T (M) =r0
T r(M), S(M) =r0
Sr(M)
des structures de A-algbres telles que T 0(M) = S0(M) = A donnent les morphismes destructure
A T (M), A S(M).
Cours N3. Mardi 13 fvrier 2007
(disponible sur : http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr /panchish)
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panchishText Box
panchishInserted Text-algbre
panchishInserted Text(M)
panchishCross-Out
panchishReplacement Texta corriger!
-
4.3 Exemples de l'algbre symtrique
Proposition 4.3.1 (structure de l'algbre symtrique) Soit M = x unA-module engendr par une famille d'lments x M , avec un ensemble totalementordonn, par exemple = {1, 2, , n}, alors
Sr(M) = x1 . . .xr | (1, , r) r
(avec un systme de gnrateurs redondant), de plus
Sr(M) = xn11 . . .xnss| , n1 + + ns = r, 1, , s distincts avec 1 < < s
(un systme rduit de gnrateurs).b) Si M = A() est libre alors S(M) =
r0
Sr(M) est une A-algbre commutative
isomorphe l'anneau des polynmes (commutatifs) sur A :
S(M) = A[X].
Exercice Montrer que si M = Am est libre de rang m, alors
Sr(M) = A(m+r1
r ).
5 Algbre extrieure d'un module
5.1 Application multilinaires alternes
Dfinition 5.1.1 (Application multilinaire alternes) Une application r-multilinaire : M M N est dite alterne, si (x1, , xr) = 0 pour tous les xi M avecla proprit qu'un lment parat plus qu'une fois : dans ce cas
(x1, , xi1, xi + xj , xi+1, , xj1, xi + xj , xj+1, ) = 0
donc
(x1, , xi1, xi, xi+1, , xj1, xj , xj+1, )+(x1, , xi1, xj , xi+1, , xj1, xi, xj+1, ) = 0.
Ceci implique que pour toute permutation =
(1 2 ri1 i2 ir
)et pour tous x1, , xr
M on a(x1, , xr) = ()(xi1 , , xir),
c'est--dire, que est antisymtrique.
Remarque Si A = F2, M = N , alors (x1, , xr) = x1 + + xr n'est pas alterne,mais est antisymtrique !
20
panchishCross-Out
panchishReplacement Textproduit symtrique
panchishHighlight
panchishCross-Out
panchishReplacement Text-
-
Proposition 5.1.2 (l'existence et l'unicit du produit alterne multiple)
a) Il existe un A-module T = r(M) et un A-homomorphisme altern r : M M T tel que toute application r-multilinaire alterne : M M N se factorisede faon unique par : il existe une unique application A-linaire f : T N telle que = f :
M M r //
))RRR
RRRRRRRR
RRRRR T
fxxq q
q qq q
q
N
(5.1)
b) L'unicit de T = r(M) ( un A-isomorphisme prs).
Preuve de a) L'existence de (r(M), r) : on utilise de nouveaux
Mr = M A AM (r fois), m(x1, , xr) = x1 xr,
et on dnit
r(M) = Mr/ x1 xi1 x xi+1 xj1 x xj+1 ) | xl, x M ,
(on factorise pas le sous-A-module Ralt engendr par les relations d'alternance). Puis onpose
r(x1, , xr) = la classe (x1 xr +Ralt) r(M).Vrication de la proprit universelle (4.2) : pour toute application A-multilinairealterne : M M N il existe g : Mr N (un unique homomorphisme deA-modules) tel que (x1, , xr) = g(x1 xr), = g m.
5.2 Dnition et proprits de l'algbre extrieure d'un module
Pour dnir l'algbre extrieure, on pose
(M) =r0r(M), o 0 (M) = A,1(M) = M. (5.2)
On montre que (M) est une A-algbre non-commutative (en gnral). On dnit pourtout r, s N, une unique application A-bilinaire
r,s : (M)r s(M) r+s,
telle quer,s(x1 xr, y1 ys) = x1 xr y1 ys,
b) Les applications = r,s fournissent
(M) =r0r(M)
de structure d'une A-algbre telles que 0(M) = A donnent les morphismes de structure
A (M).
Notation . Pour x r(M) et y s(M) on pose x y = r+s(x, y) r+s(M).
21
panchishCross-Out
panchishReplacement Text,
panchishSticky NotePLAN du 3/2/14:-algbre extrieure d'un module p.21-Morphisme de Frobenius -structure des corps finis p.51-Polynmes sur les corps finis. Nombre de polynmes irrductibles. Exemples p.53-Applications aux codes-correcteurs.Gnralits sur les codes. Distance de Hamming. p.56-Codes linaires. Codes de Hamming. p.61-Codes cycliques. Codes de Golay. p.66
panchishHighlight
-
Proposition 5.2.1 (proprit d'algbre extrieure) Soit x r(M), y s(M),z t(M). Alors
a) x y = (1)rsy x (la symtrie gauche du produit extrieure)b) (x y) z = x (y z) (l'associativit du produit extrieure)
Proposition 5.2.2 (puissance extrieure) Soit M = Ar libre de base e1, , er M .
Alors r(M) = ei1 eir | 1 i1 < < ir n est libre de rang(nr
).
Exercice Soit A = k[x, y], k un corps, I = (x, y) = Ax+ Ay. Alors 2I 6= 0 : il existeune application : I I A/I alterne non nulle : (x, y) = (f,g)(x,y) =
fx
gy
fy
gx .
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panchishReplacement Textn
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panchishReplacement Textn
panchishSticky Note=> p.44 => p.51 => p.57
panchishSticky Notef=xu_1+yv_1, g=xu_2+yv_2 =>phi(f,g)=det(u_1, v_1;u_2,v_2) mod I
panchishCross-Out
panchishReplacement Textphi(f,g)
panchishSticky NotePLAN du 2/2/2015-Algbre extrieure d'un module (fin) p.22-Corps fini comme extensions algbriques de F_p p.51-Polynmes irrductibles, polynmes primitifs, leurs nombres.-Applications aux codes-correcteurs, Distance de Hamming et capacit de correction d'un code, [n,k,d ]_q-codes. Decodage optimal-Codes linaires, code de Hamming-Codes cycliques, codes de Golay de type [23, 12, 7]_2, [11, 6, 5]_3
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Cours N4. Mardi 27 fvrier 2007
Rappels : 5 Algbre extrieure d'un module
Deuxime partie
Polynmes et fractions rationnelles
6 Polynmes une variable
6.1 Anneau de polynmes
Sur un corps ni, il convient de distinguer les polynmes et les fonctions polynmes.Nous revenons donc sur la dnition des polynmes.
Dfinition 6.1.1 Si A un anneau commutatif, l'anneau des polynmes une variableX sur A est l'anneau A[X] form des suites (ai)iN d'lment de A telles que ai = 0 saufun nombre ni d'entiers i. Cet ensemble est muni de la somme
(ai)iN + (bi)iN = (ai + bi)iN
et du produit
(ai)iN (bi)iN =
i=j+k
ajbk
iN
On a une application injective A A[X] qui envoie a sur (a, 0, ), et on identie Aavec son image. Tout lment de A[X] s'crit de faon unique
iN aiX
i, o on note parX la suite :
(0, 1, 0, 0, ).
Soit A un anneau. Il est commode de voir un polynme f(X) coecients dans Aune expression formelle du type
f(X) = anXn + an1Xn1 + + a0
qui est donne par la suite de ces coecients a0, a1, . . . , an A, n N telle que presquetout an (sauf un nombre ni) est nul.
Si tous les coecients ai sont nuls on appelle f(X) un polynme nul : f = 0. Si f(X)est non-nul, alors an 6= 0 pour un n.
Dfinition 6.1.2 Le plus grand indice n avec cette proprit est appele le degr def(X) et il est not deg f . Le degr du polynme nul n'est pas dni, mais parfois on posedeg 0 = .
L'anneau A[X] est dni donc comme l'ensemble des expressions f(X) ci-dessus avecdes oprations donnes par les rgles suivantes : si
f(X) = anXn + an1Xn1 + + a0, an 6= 0
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-
g(X) = bsXs + bs1Xs1 + + b0, bs 6= 0
deux polynmes et si par exemple n s, on appelle leur somme le polynme
(f + g)(X) = f(X) + g(X) = cnXn + cn1Xn1 + + c0,
dont les coecients sont obtenus par l'addition des coecients correspondants de X dansf et dans g, c'est dire ci = ai + bi, i = 0, 1, . . . , n, o pour i > s les coecients bi sontconsidrs comme nuls.
Le produit des polynmes f(X) et g(X) est le polynme
(fg)(X) = f(X) g(X) = dn+sXn+s + dn+s1Xn+s1 + + d0,
odi =
k+l=i
akbl,
et les coecients ai, bj sont considrs comme zros pour i > n, et j > s, d0 = a0b0,d1 = a0b1 + a1b0, . . . , dn+s = anbs.
Thorme 6.1.3 Si l'anneau A n'a pas de diviseurs de zro, l'anneau des polynmesA[X] aussi n'a pas de diviseurs de zro. Le degr du produit des polynmes non nuls estgal la somme de ces degrs.
La dmonstration est directement implique par les formules ci-dessus, en particulirdn+s = anbs , o n = deg f , s = deg g.
L'anneau A peut tre identi un sous-anneau de A[X] form par des constantes(polynmes de degr nul et polynme nul). Ceci implique que la multiplication des lmetsa A par f(X) A[X] est aussi dnie. En particulier, si A = K est un corps,l'anneau K[X] est aussi un space vectoriel. Du point de vue de la structure algbrique,l'anneau K[X] devient un algbre de dimension innie sur K, c'est dire un anneauet un espace vectoriel en mme temps dans lequel la multiplication d'lments commuteavec la multiplication par des constantes.
6.2 Division euclidienne sur les anneaux
Division des polynmes avec reste
Proposition 6.2.1 Soit A un anneau commutatif intgre. On se donne un polynme
P (X) =di=0
aiXi
coecients dans A tel que ad soit un lment inversible de A. Alors pour tout polynmef(X) de A[X] il existe une unique paire (Q,R) A[X]2 telle que
f = PQ+R avec R = 0 ou degR < degP
24
-
Preuve de l'existence. Nous allons procder par rcurrence sur le degr de f . Si deg f 1 alors 1 2 2N < 2. On a ni 212 1
1ni< 1, donc k doit
tre gale 2 ou 3.Consirons deux cas :Cas 1. k = 2.On a
2 2N
=(
1 1n1
)+(
1 1n2
)o
2 =N
n1+N
n2= m1 +m2.
Ceci implique m1 = m2 = 1, n1 = n2 = N , c'est dire il y un seul axe de rotation etG = CN est le groupe cyclique d'ordre N .
Cas 2. k = 3. On peut supposer que n1 n2 n3. Si n1 3 on aura3i=1
(1 1
ni
)(
1 13
)= 2,
ce qui est impossible. Alors n1 = 2 et l'quation (1) s'crit sous la forme
12
+2N
=1n2
+1n3.
Il est clair que n2 1n2 +1n3 12 . Alors n2 = 2 ou 3.
Si n2 = 2 alors n3 = N2 = m (N doit tre impair) et m1 = m2 = m, m3 = 2. Cesdonnes correspondent au groupe du dydre Dm.
Si n2 = 3 on a16
+2N
=1n3,
et il y a les trois possibilits suivantes :
2) n3 = 3, N = 12, m1 = 6, m2 = 4, m3 = 4;2) n3 = 4, N = 24, m1 = 12, m2 = 8, m3 = 6;2) n3 = 5, N = 60, m1 = 30, m2 = 20, m3 = 12;
On a donc
Thorme 12.7.1 Soit G un sous-groupe ni de SO(3) qui n'est pas cyclique ou dydral.Alors |G| = 12, 24 ou 60.
65
panchishInserted Text3
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panchishHighlight
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Fig. 1 Polydres reguliers
12.8 Groupes de polydres rguliers.
L'existence de groupes d'ordre 12, 24, ou 60 dans SO(3) est facile de voir : il est connudepuis longtemps qu'il existe exactement cinq polydres rguliers convexes dans R3 :
1) thtradre 442) cube 63) octadre 484) dodecadre ?125) icosadre 420Si l'on pose le centre d'un polydre rgulier l'origine de R3, alors les rotations de
ce polydre vont former un sous-groupe ni de SO(3).De telle manire on obtient tout de mme que trois groupes nis non-isomorphes,
car les groupes correspondants du cube et du octadre, et aussi ceux du octadre et dudodecadre sont les mmes.
Exercices
12.1 (Classes de conjugaison du groupe Sn)
(a) Deux cycles = (j1, , jk) et = (j1, , jk) ont dit indpendants si
{j1, , jk} {j1, , jk} = .
Montrer que toute permutation Sn se dcompose en produit 1 2 . . . r des cyclesindpendants de longueur k1 k2 kr > 1 . On dit que est de type cyclique(k1, k2, , kr, 1, , 1) avec une partition k1 + k2 + + kr + 1 + + 1 = n.
(b) Soit =(
1, , ni1, , in
), = (j1, , jk) un cycle d'ordre k dans le groupe Sn des
permutations de l'ensemble Xn = {1, , n}. Montrer que la permutation 1 coincideavec le cycle (ij1 , , ijk) d'ordre k.
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panchishInserted Text (corriger sur la figure: cube et thtradre sont inverss!)
panchishSticky NoteS_4
panchishSticky NoteA_4
panchishSticky NoteS_4
panchishSticky NoteA_5
panchishSticky NoteA_5
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(c) Soit = (12)(345), = (16)(234) deux lments de S6 de type cyclique (3, 2, 1).Trouver toutes les S6 telles que
1 = .
(d) Montrer que deux lments et de Sn sont conjugs si et seulement si ils ont lemme type cyclique.
(e) En dduire que le nombre de classes de conjugaison de Sn est gal au nombre p(n) despartitions de n. Trouver p(3), p(4), p(5), p(6).(f) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe Sn. Pour n = 3, 4, 5, 6 dterminerle nombre d'lments dans chaque classe.
(g) Dmontrer l'identit de Euler : on pose p(0) = 1, alorsn0
p(n)xn =m1
(1 xm)1.
12.2 On considre le groupe de didre Dn d'ordre 2n present par deux gnrateurs a, b et parles relations suivantes
Dn = a, b | an = b2 = baba = e.
(a) Montrer queDn =
{blak | k = 0, 1, , n 1, l = 0, 1
}.
(b) Trouver toutes les classes de conjugaison de Dn (il faut traiter sparement le cas den = 2m pair et de n = 2m+ 1 impair).
12.3 Soit An le sous-groupe des permutations paires de Sn.
(a) Trouver toutes les classes de conjugaison des groupes A4 et A5.
(b) En dduire tous les sous-groupes distingues de A4 et de A5.
12.4 (a) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe GLn(C).(b) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe SLn(C).(c) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe GL2(F3).
12.5 (a) Pour tout nombre complexe C on pose
Jn() =
1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 10 0 0 0
= In +Nn, Nn = Jn(0).
Montrer une condition ncessaire et susante pour qu'une matrice complexe A Matn(C)soit conjuge la matrice Jn() (c'est--dire, il existe une matrice C GLn(C) telle queC1AC = Jn()) est que A n'a qu'un seul vecteur colonne propre ( proportionnalitprs), de valeur propre gale .
(b) On admet que toute matrice complexe A Matn(C) est conjuge une matrice
B = diag{B1, , Br}
diagonale bloc par bloc avec tout bloc donne par une matrice Jnj (j) (c'est--dire, onadmet qu'il existe une matrice C GLn(C) telle que C1AC = B). Montrer que
C1AmC = Bm = diag{Bm1 , , Bmr }.
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(c) Montrer que
rk(Jn())k =
n, si 6= 0n k, si = 0 et k < n0, si = 0 et k n(d) On suppose qu'il existe une matrice C GLn(C) telle que C1AC = B est une matricediagonale bloc par bloc
B = diag{B1, , Br}avec tout bloc donn par une matrice Jnj (j). On note par Nm(j , B) le nombre de blocsde B de type Jm(j), puis on dnit
rm(j , A) = rm(j , B) = rk(B jIn)m = rk(A jIn)m, et on pose r0(j , A) = n.
Montrer que pour tous les m = 1, 2, on a
rm(j , A) rm+1(j , A) = Nm+1(j , B) +Nm+2(j , B) + ,rm1(j , A) rm(j , A) = Nm(j , B) +Nm+1(j , B) + ,
doncNm(j , B) = rm1(j , A) 2rm(j , A) + rm+1(j , A).
(c) Soient A et A deux matrices telles qu'il existe C, C GLn(C),
C1AC = B,C 1AC = B
sont deux matrices diagonales bloc-par-bloc
B = diag{B1, , Br}, B = diag{B1, , Br}.
Montrer que A et A sont conjugues si et seulement si pour tous les m et j,
Nm(j , B) = Nm(j , B) rm(j , A) = rm(j , A).
En utilisant la forme normale B d'une matrice complexe A trouver toutes les classes deconjugaison du groupe GLn(C).(d) En utilisant la forme canonique d'une matrice orthogonale A trouver toutes les classesde conjugaison du groupe SOn(R).(e)En utilisant la forme normale d'une matrice complexe A trouver toutes les classes deconjugaison du groupe SLn(C).(f) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe GL2(F3).
12.6 Classes de conjugaison du groupe des quaternions de Cayley
Q8 = {1,i,j,k | ij = k = ji, jk = i = kj, ki = j = ik, i2 = j2 = k2 = 1}.
(a) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe Q8.
(b) Trouver le centre du groupe Q8.
(c) Montrer que les groupes Q8 et D4 d'ordre 8 ne sont pas isomorphes.
(d) Montrer que le groupe Q8 est isomorphe au groupe form par les matrices
(
1 00 1
),(i 00 i
),(
0 11 0
),(
0 ii 0
),
(comparer avec les matrices de Pauli) :
1 =(
01
10
), 2 =
(0i
i0
), 3 =
(10
01
)).
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-
12.7 Soit K E une extension de corps. Montrer que KE = {x E, x est algbrique sur K}est un sous-corps de E.
12.8 Montrer qu'il existe des polynmes irrductibles sur Q de tout degr n 1, par exempleXn p, o p est un nombre premier.
12.9 Soit K un corps. En considrant l'ordre des lments d'un groupe cyclique, montrer quen =
d|n (d). En dduire une autre preuve que tout sous-groupe d'ordre n de K
estcyclique.
12.10 Soit K un corps q lments, q 4. Montrer que
xK x2 = 0. Plus gnralement,
calculer, pour s 1, la somme
xK xs.
12.11 Si H est un sous-groupe de C tel que C/H est ni, monter que H = C.12.12 Soit G un groupe ablien. Montrer que Hom(G,K) est un groupe ablien avec la multi-
plication 12(g) = 1(g)2(g)
12.13 Si |G|
-
Cours N9. Mardi 17 avril 2007
12.8.1 Simplicit du groupe projectif spcial PSL(2, F ) = SL(2, F )/{I2}
Thorme 12.8.1 Le groupe projectif spcial PSL(2, F ) = SL(2, F )/{I2} sur toutcorps de cardinal |F | > 3 est simple.
Preuve. On considre les sous-groupes et les lments suivants :
U ={u() =
(10
1
) F} ,U =
{u() =
(1
01
) F} ,D =
{d() =
(
001
) F } ,B = DU = UD =
{(
0
1
)}(le sous-groupe de Borel). On remarque que
d() = u( 1)u(1)u(1 1)u(),
donc le sous-groupe de Borel est engendr par les sous-groupes unipotents U et U . Onconsidre aussi l'lment
w = u(1)u(1)u(1) =(
01
10
).
2) Le groupe G = SL(2, F ) possde la dcomposition (dite dcomposition de Bruhat)suivante :
G = B BwB, B BwB = . (12.1)
3) Le sous-groupe de Borel B est maximal dans G.En eet, soit H B un sous-groupe, alors la dcomposition (12.1) implique que tout
lment h H, n'est pas contenu dans B, se trouve dans BwB, c'est--dire, h = b1wb2,d'o w H, et donc H = G.4) Si |F | 4, alors G = SL(2, F ) = G. On prend 0 6= F , 2 6= 1, ce qui est possiblepour |F | > 3. Puis, on utilise la relation de commutation
d()u()d()1u()1 = u((2 1)),
pour voir que B = U et G U . Puisque G / G, on a G wUw1 = U On a vu par1) et 2) que U et U engendrent G, donc G = G.5) Si |F | 4, alors PSL(2, F ) = SL(2, F )/Z est simple (o Z = {I2} est le centre).
On utilise l'galit (facile vrier)xG
xBx1 = Z.
70
panchishText Box Cours N 6. Lundi 2 mars 2015
panchishSticky NotePLAN du 23/2-Simplicit du groupe projectif spcial PSL(2, F), p.70-Groupes classiques sur un corps arbitraire, p.71. Exemples-Formes quadratiques et espaces quadratiques, p.78. Vecteurs isotropes et orthogonalisation.Suite:-Application physiques (mcanique quantique et relativit restreinte)-Structure des espaces quadratiques.-Plans hyperbiliques-Bases orthogonales. La signature-Mcanique quantique et espace euclidien-Espace-temps de Minkowski. Relativit restreinte-Ingalit de Cauchy-Schwarz inverse. Paradoxe des jumeaux-Coefficient de Lorentz-Quatre orientations de l'espace-temps -Groupe de Lorentz et boosts
-
Il faut montrer que si H / G = SL(2, F ), alors soit H Z, soit H G. La maximalitde B implique HB = B ou HB = G. Si HB = B, alors H B. Puisque H / G,H = xHx1 xBx1 pour tout x G, on a H Z.
D'autre part,HB = G = w = hb, h H, b B.
Dans ce casU = wUw1 = hbUb1h1 = hUh1 HU,
puisque H / G. L'inclusion U HU implique HU = G, puisque U et U engendrent G.Ceci implique que le groupe quotient
G/H = HU/H = U/(U H)
est ablien, d'o H G. Maintenant la simplicit du groupe PSL(2, F ) est vidente.
12.9 Groupes classiques (dnition