macroeconomía dinámica
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APLICACIÓN DE CÁLCULO DE VARIACIONES Y CONTROL ÓPTIMOTRANSCRIPT
UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO
CHICLAYO
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
ESCUELA DE ECONOMÍA
MACROECONOMÍA DINÁMICA
“APLICACIÓN DE CÁLCULO DE VARIACIONES Y CONTROL ÓPTIMO”
ALUMNOS :
Mellany Geraldine Pintado Vásquez.
Cynthia Gissela Gamarra Mundaca.
Manuel Antonio Rodríguez Peralta.
PROFESOR :
Dr. (C) Ciro Eduardo Bazán Navarro
Chiclayo, Noviembre del 2008
Encontrar el valor de C (t) que maximiza V:
T
T
tSttSF
t
STS
SoS
tCtrStSas
dttCe
)(
)0(
)()()(':.
)(lnVMax
0 )(,),(
Cálculo de Variaciones:
T
Tt
STS
SoS
as
dttStrSe
)(
)0(
:.
)(')(lnVMax
0
1) Calculando la Ecuación de Euler:
Sd
dF
dt
d
dS
dF
ItceF
U
t )........(..........ln
Hallando cada una de las derivadas que conforman la ecuación de Euler:
UeF
C
eF
UeF
Sd
dC
dC
dUeF
C
reF
rUreF
dS
dC
dC
dUeF
tS
t
S
tS
tS
t
S
tS
ts
*
*
2
2
11
*
C
CCetF
CCC
etF
CUUetF
eCUUetF
edt
dC
dC
UdUetF
tS
tS
tS
ttS
ttS
Una vez calculadas las derivadas que conforman la Ecuación de Euler,
procedemos a reemplazar cada uno de los valores hallados:
K
eC
Ce
e
ee
C
dCdtr
dt
dCCrC
dt
dCCrc
CCrC
C
CC
C
r
Sd
CCe
C
re
Sd
dF
dT
d
dS
dF
tr
K
tr
CKtr
tt
*
ln
2
1
1
Luego de encontrar el valor óptimo del consumo, reemplazamos dicho valor en
la ecuación de movimiento:
K
etrStS
tCtrStS
tr
Resolvemos la ecuación diferencial por medio del Polinomio Característico:
rb
rb
0
Solución Complementaria:
rt
rtc
etS
AetS
1*
*
Construimos el Wronsquiano para poder calcular la solución particular:
K
e
K
etW
eetW
trtr
rtrt
)(*
)(*
1
Solución Particular:
K
etS
e
K
etS
dteK
etS
dtK
eetS
dtKe
eetS
dttW
tWtStS
tr
P
trt
P
trt
P
trt
P
rt
trrt
P
P
1
1
Solución total:
K
eAetS
tStStS
trrt
pc
*
*
Utilizamos las condiciones de borde, para de esta forma encontrar las constantes
“A” y “K”:
KSA
SK
AS
1
10*
0
0
T
TrT
TrT
T
TrTrT
T
TrTrT
T
TrrT
T
T
TrrT
S
eKSeK
K
eKSeS
K
eee
K
KSS
K
eee
K
KSS
K
ee
KSS
SK
eAeTS
1
1
1
1
1
*
0
0
0
0
0
Reemplazando K en A:
TrT
T
TrT
T
eKSe
SSA
eKSe
SSA
1
1
0
0
0
0
Una vez encontradas las constantes las reemplazamos en tS total:
K
eAetS
trrt
*
TrT
Ttr
rt
TrT
TTrT
TrT
Ttr
rt
TrT
T
TrT
Ttr
rt
TrT
T
eKSe
See
eKSe
SeKSeStS
eKSe
See
eKSe
SStS
eKSe
See
eKSe
SStS
11
1
11
11
00
00*
00
0*
00
0*
Calcular el Consumo Óptimo:
rTT
Ttr
tr
eeKS
SeC
K
eC
10
*
*
Optimizar la funcional:
T
rTT
T
Tt
T
rTT
TT
t
T
rTT
TT
t
T
rTT
Ttrt
T
rTT
Ttr
t
t
eeKS
SterV
dteeKS
SdtterV
dteeKS
SdttreV
dteeKS
SeeV
dteeKS
SeeV
000
2
*
000
*
0 00
*
0 0
*
0 0
*
1ln
)1(
1ln
1ln
1lnln
1ln
TeeKS
STerV
rTT
TT
1ln
1)1(
02
*
Condiciones de segundo orden:
Se calcularan las respectivas derivadas que conforman la matriz Hessiana, para
de esta forma saber si la “F” es un máximo o un mínimo global.
2
22
1
)(,),(*
)(,),(*
)(,),(
,),(
,),(*
SrSreSStCF
SrSreSStCF
eSrSrSStCF
SrS
reSStCF
tC
reSStCF
tSS
tSS
tS
tS
tS
2
2
1
)(,),(*
)(,),(*
)(,),(
,),(
1,),(*
SrSeSStCF
SrSreSStCF
SrSeSStCF
SrS
eSStCF
tCeSStCF
tSS
tSS
tS
t
S
tS
Hessiano:
SSSS
SSSSF
FF
FFH
22
222
)()(
)(
SrSeSrSre
SrSreSrSreH
tt
tt
F
1
22
r
rrSrSeH t
F
01*
0*
01
0
0
011
:
22
1
2
22
2222
22
r
rP
rP
rrrP
rrrr
rrP
ticocaracterísPolinomio
La matriz Hessiana está semidefinida negativa ya que tiene un autovalor nulo y
el otro negativo. Por lo que la función intermedia “F” es cóncava.
Control Óptimo:
T
T
t
STS
SS
tCtrStS
as
dttCe
)(
)0(
)()()(
:.
)(lnVMax
0
0 U(C(t))
La función Hamiltoniana del problema es la siguiente:
)()()()(),(, 0 tCtrStCUetStStMaxH tt
0 puede tomar valores de 1 ó 0, pero para simplificar el análisis se supone que
para este caso 0 vale 1.
Cálculo de las derivadas de primer y segundo orden, de “U” respecto a “C”:
01
01
))(ln())((
22
2
CU
dC
Ud
CU
dC
dU
tCtCU
Se puede verificar fácilmente que:
Tt ,0)0,0(),( 0
Debido al supuesto que se hizo con relación al valor 0 , si este vale 1,
independientemente del valor que adopte t , el vector ya mostrado no podrá ser
igual al vector 0.
Principio de Pontryagin:
UeUe
tC
H
UeUetC
H
tt
tt
tt
02
2
0
)(*
)(*
)1
3) Se verifica que : 0)(
tC
H, pues la variable de control no está restringida, es
decir , .
0
0
0)(
rtt
tt
KeC
e
Ue
tC
H
rtt
rtt
rtK
t
t
t
t
t
tt
tt
Ke
eK
ee
rtK
rdtd
rdtd
rdt
d
rtS
H
dt
d
t
*
ln
ln
)(
)2
K
eC
Ke
eC
KeC
e
tr
rt
t
rtt
*
*
Luego de encontrar el valor óptimo del consumo, reemplazamos dicho valor en
la ecuación de movimiento:
K
etrStS
tCtrStS
tr
Resolvemos la ecuación diferencial por medio del Polinomio Característico:
rb
rb
0
Solución Complementaria:
rt
rtc
etS
AetS
1*
*
Construimos el Wronsquiano para poder calcular la solución particular:
K
e
K
etW
eetW
trtr
rtrt
)(*
)(*
1
Solución Particular:
dttW
tWtStSP
11
K
etS
e
K
etS
dteK
etS
dtK
eetS
dtKe
eetS
tr
P
trt
P
trt
P
trt
P
rt
trrt
P
Solución total:
K
eAetS
tStStS
trrt
pc
*
*
Utilizamos las condiciones de borde, para de esta forma encontrar las constantes
“A” y “K”:
KSA
SK
AS
1
10*
0
0
T
TrT
TrT
T
TrTrT
T
S
eKSeK
K
eKSeS
K
eee
K
KSS
1
1
1
0
0
0
Reemplazando K en A:
TrT
T
TrT
T
eKSe
SSA
eKSe
SSA
1
1
0
0
0
0
Una vez encontradas las constantes las reemplazamos en tS total:
TrT
Ttr
rt
TrT
TTrT
TrT
Ttr
rt
TrT
T
TrT
Ttr
rt
TrT
T
trrt
eKSe
See
eKSe
SeKSeStS
eKSe
See
eKSe
SStS
eKSe
See
eKSe
SStS
K
eAetS
11
1
11
11
00
00*
00
0*
00
0*
*
Calcular el Consumo Óptimo:
rTT
Ttr
tr
eeKS
SeC
K
eC
10
*
*
Optimizar la funcional:
dteeKS
SeeV
dteeKS
SeeV
T
rTT
Ttrt
T
rTT
Ttr
t
0 0
*
0 0
*
1lnln
1ln
T
rTT
T
Tt
T
rTT
TT
t
T
rTT
TT
t
t
eeKS
SterV
dteeKS
SdtterV
dteeKS
SdttreV
000
2
*
000
*
0 00
*
1ln
)1(
1ln
1ln
TeeKS
STerV
rTT
TT
1ln
1)1(
02
*
Condiciones de Manganasarian:
)()()()(),(, 0 tCtrSCLnetStStH tt
La matriz Hessiana del Hamiltoniano es la siguiente:
00
01
2
teC
Los menores principales son iguales a:
0
00
01
011
22
221
t
tt
eC
eC
eC
La matriz Hessiana es semidefinida negativa, por lo tanto, la función
Hamiltoniana es cóncava. De esta manera, la condición de suficiencia se
satisface, y se comprueba que las sendas óptimas halladas maximizan el
funcional objetivo.
Diagrama de Fase:
Ahora realizamos un análisis cualitativo del problema y representaremos sus
sendas de fase en el plano de fase:
S
C
r
r
S
C
S
C
S
CC
rSCS
SCrC
A
1
0
0
0
0
0
00
Hallando el determinante de “A”, la traza de A y el discriminante del sistema
son:
El Polinomio Característico de la matriz “A”:
2
1
20
1
0)(
r
r
rr
rP
Los autovectores asociados a cada autovalor son:
Para r1
0
44
02
0
22
2
rr
rATra
rA
0
0
0
0000
0
0
01
000
1
11
b
aV
b
aba
b
aVIA
Para r2
Ya que 0 VIA con un r , se escoge arbitrariamente cualquier par de
vectores linealmente independientes para los autovalores r 21
rVy
rV
0
021
La solución general será:
t
ttt
erAtS
erAtCr
eAr
eAX
2
121
0
00
Reemplazando las condiciones iníciales, obtenemos la solución particular:
r
SASeAS
r
CACeAC
C0
200
2
010
01
20
20
1
10
Reemplazando 21 cyc en la solución general tenemos:
tt
tt
eSer
SrtS
eCer
CrtC
0
0
0
0
0
0
0
0000
0
0
01
000
1
22
h
gV
b
ahg
h
gVIA
Vamos a encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase ),( SC vamos a
utilizar:
0
C
C
S
dtdc
dtds
dc
ds
1ln1
KrC
CS
Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas son:
"":0,
"":0,
xejerSCSCgS
yejeCrSCfC
Las gradientes vienen dados por:
rscg
rscf
1),(
0),(
En consecuencia a la derecha del eje “y” las líneas de fuerza horizontales
apuntarían hacia la derecha, y a la izquierda del eje “y” apuntaran hacia la
izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntaran hacia abajo por
debajo del eje “x”, y por encima del eje “x”. En la figura se mostrará que el
punto de equilibrio de este sistema es una estrella divergente e inestable.
CcrSCrSrSC
dCrSdCrdS
rC
rS
dC
dS
Cr
rSC
dC
dS
ln1ln
1
0 y '
y
x
1
-1
y , x f
y , x g
0 x '
0 F
0 X