machten en logaritmen
DESCRIPTION
Een stukje geschiedenis. Machten en logaritmen. Eerst was er het bepalen van de som. Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil. Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam er het product. Dat vroeg om het principe van verdeel. Vervolgens ging het om de macht. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/1.jpg)
Machten en logaritmen
•Eerst was er het bepalen van de som.
•Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil.
•Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam er het product.
•Dat vroeg om het principe van verdeel.
•Vervolgens ging het om de macht.
•Die riep de wortel over zich uit.
•Maar moest ook zijn gelijke vinden in de logaritme. 38log
28
82
2
3
3
Een stukje geschiedenis
![Page 2: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/2.jpg)
Rekenregels voor machten en logaritmen
9.1
![Page 3: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/3.jpg)
Vergelijkingen van de vorm glog(A) = glog(B)
• glog(A) = B geeft A = gB
• gA = B geeft A = glog(B)• glog(A) = glog(B) geeft A = B• gA = gB geeft A = B
AB = AC geeft A = 0 ⋁ B = C of een substitutie.
Controleer bij logaritmische vergelijkingen of de logaritmen van de oorspronkelijke vergelijking gedefinieerd zijn voor de gevonden waarden.
9.1
![Page 4: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/4.jpg)
Voorbeeldopgaven
)27log(2)3log(3
)7log(2
)5log(4
34
2
1
3
)64
27log(
)4log()27log(
4)27log(
)9log(2)3log(3
)28
1log(
)7log()2
1log(
)405log(
)5log()81log(
)5log()3log(
4
444
4
34
2
1
2
12
2
1
3
33
343
![Page 5: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/5.jpg)
)log()log( ba gg
g)log(
)log(
b
a
g
g
g
g
)log(b
ag
g
b
a
Opgave 5
)log(bn g
g nbg
g )( )log(
nb
)log( ng bg
![Page 6: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/6.jpg)
opgave 9a
5log(x) = 2 + ½ · 5log(3)
5log(x) = 5log(52) + 5log(3½)
5log(x) = 5log(25) + 5log(√3)5log(x) = 5log(25√3)
x = 25√3
voldoet
![Page 7: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/7.jpg)
opgave 9b
3log(x + 4) + 1 = 2 · 3log(x - 2)
3log(x + 4) + 3log(3) = 3log((x – 2)2)
3log(3(x + 4)) = 3log((x – 2)2)3log(3x + 12) = 3log((x - 2)2)
3x + 12 = x2 – 4x + 4
x2 – 7x – 8 = 0
(x – 8)(x + 1) = 0
x = 8 ⋁ x = -1
voldoet voldoet niet
![Page 8: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/8.jpg)
Vergelijkingen met logaritmen
9.1
![Page 9: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/9.jpg)
opgave 14a
3x · 2log(x + 1) = ½log(x + 1)
3x · 2log(x + 1) = -2log(x + 1)
3x = -1 ⋁ 2log(x + 1)
x = -⅓ ⋁ x + 1 = 1
x = -⅓ ⋁ x = 0
voldoet voldoet
![Page 10: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/10.jpg)
opgave 19a
3x+2 + 3x = 600
32 · 3x + 3x = 600
9 · 3x + 3x = 600
10 · 3x = 600
3x = 60
x = 3log(60)
![Page 11: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/11.jpg)
De standaardgrafiek y = gx
Ox
y
Ox
yg > 1 0 < g < 1
11
domein ℝ
bereik 〈 0, 〉
de x-as is asymptoot
Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt.
9.2
![Page 12: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/12.jpg)
De standaardgrafiek y = glog(x)
Ox
y
Ox
yg > 1
1 1
1stijgend
dalend
1
0 < g < 1
domein 〈 0, 〉
bereik ℝ
de y-as is asymptoot
9.2
![Page 13: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/13.jpg)
Transformaties toepassen op exponentiele en logaritmische standaardfuncties.
9.2Opgave 23
![Page 14: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/14.jpg)
opgave 27
f(x) = 3x - 1 – 2 en g(x) = 4 – 3x
a f(x) = g(x)3x - 1 – 2 = 4 – 3x
3x · 3-1 – 2 = 4 – 3x
⅓ · 3x – 2 = 4 – 3x
1⅓ · 3x = 63x = 4½x = 3log(4½)
yA = g(3log(4½)) = 4 – 4½ = -½
Dus A(3log(4½)), -½).
b f(p) – g(p) = 63p - 1 – 2 – (4 – 3p) = 63p · 3-1 – 2 – 4 + 3p = 61⅓ · 3p = 123p = 9p = 2 9.2
![Page 15: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/15.jpg)
opgave 311
2( ) log(2 )f x x1
2( ) 2 log( 2)g x x 1
( ) ( 1 )8
f p g p q 1( ) ( 1 )
8g p f p q
1 1
2 21
log(2 ) 2 log( 1 2)8
p p 1 1
2 21
2 log( 2) log(2( 1 ))8
p p 1 1 1
2 2 21 1
log(2 ) log( ) log( 3 )4 8
p p 1 1
2 21 25
log(2 ) log( )4 32
p p
1 1 1
2 2 21 1
log( ) log( 2) log(2 2 )4 4
p p 1 1
2 21 1 1
log( ) log(2 2 )4 2 4
p p
1 1 12 2
4 2 4p p
1 252
4 32p p
64 8 25p p
56 25p 25
56p
2 8 9p p
7 7p
1p
25
56p
1
225 25
( ) ( ) log( )56 28
q f p f 1
2( ) ( 1) 2 log(1) 2q f p g 1p
en
⋁
⋁
⋁
⋁
⋁
⋁
⋁
⋁
geeft
geeft
voldoet voldoet
![Page 16: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/16.jpg)
opgave 37a
f(x) = 2log(x) en g(x) = 2log(x – 3)
Stel xB = p, dan is xC = 3p.
f(p) = g(3p) = q geeft2log(p) = 2log(3p – 3)p = 3p – 3-2p = -3p = 1½q = f(p) = f(1½) = 2log(1½)
![Page 17: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/17.jpg)
opgave 37b
yB = 2 · yE , dus f(r) = 2 · g(r)
f(r) = 2 · g(r) geeft
2log(r) = 2 · 2log(r – 3)
2log(r) = 2log((r – 3)2)
r = (r – 3)2
r = r2 – 6r + 9
r2 – 7r + 9 = 0
D = 49 – 4 · 1 · 9 = 13
7 13 7 135,303
2 2r r
voldoet niet voldoet
![Page 18: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/18.jpg)
De afgeleide van f(x) = ax
f(x) = ax geeft f’(x) = f’(0) · ax
Het getal e
In opgave 42 heb je gezien dat
dus voor a ≈ 2,718 geldt[ax]’ = 1 · ax. f(x) = ex geeft f’(x) = ex
1
0lim( 1) 2,718h
hh
Zo gelden voor e ook de rekenregels voor machten
9.3
![Page 19: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/19.jpg)
Functies met e-machten differentiëren
9.3
![Page 20: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/20.jpg)
opgave 51
f(x) = (x2 – 3)ex
a f(x) = 0 geeft(x2 – 3)ex = 0x2 – 3 = 0 e⋁ x = 0x2 = 3 geen opl.⋁x = √3 ⋁ x = -√3De nulpunten zijn √3 en -√3.
b f(x) = (x2 – 3)ex geeft f’(x) = 2xex + (x2 – 3)ex = (x2 + 2x – 3)ex
f’(x) = 0 geeft(x2 + 2x – 3)ex = 0x2 + 2x – 3 = 0 e⋁ x = 0(x + 3)(x – 1) = 0x = -3 ⋁ x = 1max. is f(-3) = 6e-3 =min. is f(1) = -2e
c Als x heel klein is, dan is ex ≈ 0, dus is de functiewaarde vrijwel 0,dus y = 0 is horizontale asymptoot.
d f(x) = p heeft precies twee oplossingen voorp = ⋁ -2e < p ≤ 0.
3
6
e
3
6
e
![Page 21: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/21.jpg)
opgave 56a
f(x) =
y = = eu met u = ¼x2 – 2x + 2
f’(x) = = eu · (½x – 2) = (½x – 2)
f’(x) = 0 geeft
(½x – 2) = 0½x – 2 = 0 = 0⋁x = 4 geen opl.
min. is f(4) = e4 – 8 + 2 = e-2 =
Bf =
212 2
4x x
e
212 2
4x x
e
212 2
4x x
e
212 2
4x x
e
212 2
4x x
e
2
1
e
2
1,
e
dy dy du
dx du dx
9.3
![Page 22: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/22.jpg)
opgave 56b
O = OP · PQ = p · f(p) =
½p2 – 2p + 1 = 0
D = 4 – 4 · ½ · 1 = 2
De oppervlakte is maximaal voor
212 2
4p p
pe
2 21 12 2 2 2
4 41
1 ( 2)2
p p p pdOe p p e
dp
212 22 4
1( 2 1)2
p pp p e
0dO
dp
212 22 4
1( 2 1) 02
p pp p e
2 2 2 2
1 1p p
2 2 2 2p p
2 2p
geeft
![Page 23: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/23.jpg)
Logaritmen met grondtal e
De natuurlijke logaritme van een getal a is de logaritme van a met grondtal e,dus ln(a) = elog(a)
Voor de natuurlijke logaritme gelden de rekenregels voor logaritmen.
9.4
![Page 24: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/24.jpg)
opgave 64
a 3x ln(x) = 2 ln(x)3x = 2 ln(⋁ x) = 0x = ⋁ x = 1vold. vold.
b ln2(x) – ln(x) = 0Stel ln(x) = pp2 – p = 0p(p – 1) = 0p = 0 ⋁ p = 1ln(x) = 0 ln(⋁ x) = 1x = 1 ⋁ x = e
c x2 ln(x + 1) = 4 ln(x + 1)x2 = 4 ln(⋁ x + 1) = 0 x = 2 ⋁ x = -2 ⋁ x + 1 = 1x = 2 ⋁ x = -2 ⋁ x = 0vold. vold.niet vold.
2
3
![Page 25: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/25.jpg)
Exponentiële en logaritmische functies differentiëren
9.4
![Page 26: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/26.jpg)
opgave 66a
f(x) = 22x – 2x
f’(x) = 2 · 22x · ln(2) – 2x · ln(2)= (2 · 22x – 2x)ln(2)= (22x + 1 – 2x)ln(2)
f’(x) = 0 geeft(22x + 1 – 2x)ln(2) = 022x + 1 – 2x = 022x + 1 = 2x
2x + 1 = xx = -1
f(-1) = 2-2 – 2-1 = ¼ - ½ = - ¼ Bf = [- ¼ , 〉
9.4
![Page 27: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/27.jpg)
opgave 66b
f’(0) = (20 + 1 – 20) · ln(2)= (2 – 1)ln(2)= ln(2)
Kijkend naar de grafiek wordt het antwoord
0 < a < ln(2) ⋁ a > ln(2)
![Page 28: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/28.jpg)
geeft
f(x) = 0 geeft
10 ln(x) = 0ln(x) = 0x = 1
Dus A(1, 0).
Stel k: y = ax + bmet a = f’(1) =
k: y = 10x + bdoor A(1, 0)
Dus k: y = 10x - 10
opgave 75a
10ln( )( )
xf x
x
2
1010ln( ) 1
'( )x x
xf xx
2
10 10ln( )x
x
10ln( )0
x
x
2
10 10 ln(1)10
1
0 = 10 + b-10 = b
9.4
![Page 29: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/29.jpg)
opgave 75b
f’(x) = 0 geeft
10 – 10ln(x) = 0ln(x) = 1x = e
max. is f(e) =
2
10 10ln( )0
x
x
10ln( ) 10e
e e
![Page 30: Machten en logaritmen](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033100/56813f3a550346895da9e66a/html5/thumbnails/30.jpg)
opgave 75c
Stel xB = p, dan is xC = 2p.
f(p) = f(2p) = q geeft
10ln(p) = 5ln(2p)2ln(p) = ln(2p)ln(p2) = ln(2p)p2 = 2pp2 – 2p = 0p(p – 2) = 0p = 0 ⋁ p = 2vold.niet vold.
q = f(p) = f(2) =
10ln( ) 10ln(2 )
2
p p
p p
10ln(2)5ln(2)
2