�· 118

carga de presión (pies). �1 área a se debe establecer en lu ll-1111 mrtllnnll' rotación y la carg� h por la traslación d<; la leva. �1 desplazamiento o etevnci<'>n del seguidor determ�na Q. (a) Calcular un JUego de Cifras de elevación Q en que a vorla de 1.0 a 1.5 en Incrementos de déc imas y h = l, 4, 9, 16, 25, 36, 49. (b) Empleando una es­cala_ de 1 �ulgada

_ = 0.20 pies3/seg para Q y 1 pulg = 8 pies para h, cons truir una

secc16n ax1�l vertical a través de la leva. Hacer que la posición de a = 1.0 en la parte supenor de la leva. (e) construir una sección transversaJ a través de la leva en h = 25 pies y en h = 49 pies.

4

Engranajes cilíndricos de dientes rectos

4.1 Introducción a engranajes cilindricos de dientes de involuta. Al tener en cuenta dos superficies curvas en contacto directo, se ha demos­trado que la relación de las velocidades angulares es inversamente propor­cional a los segmentos en que se corta la línea de los centros por la línea de acción o normal común a las dos superficies en contacto. Si la llnea de ac­ción siempre intersecta la línea de los centros en un punto fijo, entonces la relación de la veloci11ad angular permanece constante. Esta es la condición deseable cuando dos dientes de engranaje se acoplan: la relación de ve­locidades angulares debe ser constante. Es posible suponer la forma del diente en un engranaje y aplicando el principio enunciado (la normal común intersecta la línea de los centros en un punto fijo) determinar el perímetro del diente opuesto. Estos dientes se consideran dientes conju­gados y sus posibilidades solamente están limitadas por la habilidad per­sonal para formar los dientes. De las muchas formas posibles, solamente se han estandarizado la cicloide y la involuta. La cicloide se empleó ini­cialmente, aunque ahora se ha remplazado con la involuta para todas las aplicaciones excepto en relojes de pulso y de pared. La involuta tiene varias ventajas, entre las que se destacan su facilidad de fabricación y el hecho que la distancia de los centros entre dos engranajes de involula puede variar sin cambiar la relación de las velocidades. En los siguientes párrafos se estudia el sistema de engranajes de involuta. La figura 3.1 muestra un par de engranajes cilíndricos de dientes de involuta.

Suponga dos poleas conectadas por un alambre cruzado como se muestra en la figura 5.2. Es evidente que las dos poleas giran en direc­ciones opuestas y que la relación de la velocidad angular es constante si es que el alambre no resbala y solamente depende de la relación inversa de los diámetros. También se puede ver que la relación de la velocidad an­gular no cambia cuando se cambia la distancia de los centros. Por con­veniencia, suponga que se quita un lado del alambre. y que se fija un pedazo de cartoncillo a la rueda 1 (fig. 4.3a). Coloque un lápiz en el punto

119

l

120

Figura 4.1 Engranajes cilíndricos. (Cortesla de Phi/adelphia Gear Works.)

Q en el alambre y gire la rueda 2 en sentido contrario al de las manel:illas del reloj. El punto Q traza una línea recta con respecto a tierra, en tanto que con respecto a la rueda 1, Q traza una in voluta en el cartoncillo. Se puede generar la misma involuta cortando el alambre en Q y desenrollan­do el alambre de la rueda 1, mientras se le mantiene tenso. Si ahora se fija el cartoncillo a la rueda 2 (fig. 4.3b) y se repite el proceso, se genera una in voluta en el cartoncillo de la rueda 2. Si ahora se cortan los cartoncillos a lo largo de la involuta, se forma un lado de un diente en las ruedas 1.2. Ahora se puede emplear la involuta en la rueda 1 para mover la involuta en la rueda 2. La relación de la velocidad angular se mantiene constante debido a que la línea de acción, que es normal a las involutas en el punto de contacto Q debido al método de construcción de la involuta, corta la línea de los centros en un punto fijo. Como sucede en el caso de las poleas con el alambre cru zado, la relación de la velocidad angular es inversamen­te proporcional a los diámetros de las ruedas. Si se cambia la distancia de los centros, la involuta 1 sigue moviendo a la involuta 2, aunque ahora será una porción diferente de las dos involutas la que esté en contacto, comparada con la original. En tanto no se cambien los diámetros de las ruedas, la relación de las velocidades sigue siendo la misma. tlgura 4.3

121

Figura 4.2

1 1 l

Mrnoulsmets

1 '" darnlos c.:napkados como b<1�C' para gener:u las iltv .. lnta:. 'l' co­non·n ,·onao drcrtiO.\' base y son el corazón del sistema de cnga ;majes de involntas. El ángulo comprendido entre una línea perpendicular a la de :l<Ti(m que pasa por el centro del círculo base y una linea desde 01 aQ(u02 a (J) de la figura 4.4 se c onoce como el ángulo de presión de la involuta y t'' u11a dimensión del punto en la involuta en que está ocurriendo el con­tado. Si en la figura 4.4 e stá marcado como P el punto de intersecc'ón de l:1 línt·a de acción y la línea de los centros, la relación de la velocidad an­gular <'S inversamente proporcional a los segmentos en que este punto

divide la línea de los centros.

Es posible dibujar círculos por el punto P usando primero el punto 01 mano un centro y luego el punto 02• La figura 4.5 muestra esta situación. /\1 punto P se le llama el punto de paso y los circulos que pasan por este punto se llaman círculos de paso o primitivos. Se puede demostrar qt:e cuando la involuta 1 mueve la involuta 2, los dos círculos ele paso se mueven juntos con movimiento rotatorio puro. Debido a que los segmen­tos en que el pun to P divide la linea de Jos centros son ahora los radios de los drculos de paso, la relación de la velocidad angular es inversamente proporcional a los radios de los dos círculos de paso. Si el diámetro del círculo de paso 1 es D1 y el del círculo 2 es D2, entonces w,jw2 = D2/D¡. t·:n una sección posterior se demuestra que el número de dientes en un en­granaje es di rec tam ent e proporcional al diámetro de paso. En consecucn­<·ia, w1/w2 = D2/D1 = Nz!Nt·

Figura 4.4

Angulo do preslOn de

involuta

i t !

l �1

1 '

1 ¡ ¡ 1

. : '·'

l·:n¡�rnnujt•s dllndrlt•us tlt� dlcnCt•s r�t·tos

Figura 4.5

Circulo base

Angulode presión de

lnvoluta

Círculo de paso

123

1.2 lnvolutometria. Al tener en cuenta la involuta para una forma de diente, es necesario poder calcular determinadas propiedades de la in­voluta.

La figura 4.6 muestra una in voluta que se generó a partir de u n círculo base de radio Rb. La involuta contiene dos puntos, A y B c on radios correspondientes R,.. y R8 y ángulos de presión 1/1 .e y 1/18• Es fácil es­tablecer una relación para los factores anteriores debido a que el radio del círculo base pe1 manece constante sin importar el punto que se esté con­siderando. En consecuencia,

ó

y

M<·<·unismus

Figura 4.6

Es posible determinar el ángulo de presión de la involuta a partir de la

ecuación 4.2 en cualquier punto de radio conocido en la involuta. La figura 4.7 muestra la ilustración de la figura 4.6 ampliada para in­

cluir todo el diente del engranaje. A partir de esta ilustración es posible desarrollar una ecuación para encontrar el espesor del diente en cualquier punto B, dado el espesor en el punto A.

A partir del principio de la generación de una involuta, el arco DO es igual a la longitud BG. En consecuencia,

Por tanto

También

LDOG = arcoDG = BG OG OG

BG tan rPs = OG

LDOG = tan </>8

LDOB = LDOG - rPn = tan </>8 - </>8

También se puede demostrar que

LDOA =tan 4>A - rPA La expresión (tan <P - r/1) se llama función in voluta y a veces se es­

cribe como inv </>. Es fácil calcular la función involuta cuando el ángulo es

l'.n�trnnuj<'S <'ilhulrkus d1• <lh•nh·� r<'<'tcos 125

rotu><:ido; </> se expresa l'll radianes. Sin embargo, es muy difícil converti1•

d,· ínv </1 a ,P, por lo que se han publicado tablas extensas de funciones de ntvolnlas. (Ver el apéndice 1.)

Nuevamente volviendo a la figura 4.7,

rambién

LDOE = LDOB + !ts Rn

• A. ls = mv'l'8 + -2R8

.l..¡ LDOE = LDOA + � RA . lA = mv4>A + --2RA

1 >e las relaciones anteriores,

18 = 2R{2�A

+ inv rPA - inv 4>11] (4.3)

Es posible calcular el espesor del diente por medio de la ecuación 4.3 en .:ualquier punto de la involuta, a partir del espesor en cualquier otro pun­to. Una aplicación interesante de esta ecuación es determinar el radio en que el diente toma la forma de pico.

o Figura 4.7

12ii 1\t ,.,.,mismos

4.3 Detalles de los engranajes cilíndricos. Para p<Hkt �c·¡•.uir el es· tudio de los engranajes de dientes de involuta, es necesario dcrinir los elementos básicos de un engranaje como se muestra en las figuras 4.8a y 4.8b. También se debe señalar que se llama piñón al menor de dos en­granajes encastrados; generalmente, el piñón es el motor. Si el radio de paso R de un engranaje se hace infinito, entonces se obtiene una cre­mallera como la mostrada en las figuras 4.8c y 4.9. El lado del diente de la cremallera es una línea recta, que es la forma que toma una in voluta cuan­do se genera sobre un círculo base de radio infinito. De la figura 4.8a, el paso base h es la distancia desde un punto en un diente al punto corres­pondiente en el siguiente diente medido en el círculo base. El paso circular P se define en la misma forma excepto que se mide en el círculo de paso. El adendo a y el dedendo b son distancias radiales medidas como se mues­tra. La porción del flanco por debajo del círculo base es aproximadamente una linea radial. La curva del diente es la línea de intersección de la super­ficie del diente y la superficie de paso.

Aunque es imposible mostrarlo en las ilustraciones de la figura 4.8, el juego de engranajes es un concepto importante en los engranajes. El juego de engranajes es la cantidad por la que el ancho del espacio de un diente excede el grosor del diente que se encastra en los círculos de paso. En teoría, el juego entre cn¡u anajes debería ser cero, aunque en la práctica se debe permitir determinada tolerancia para permitir la dilalación térmica y el error e11 los dientes. A menos que se exprese en otra forma, en este texto �e supone que el juego es cero. En una sección posterior se proporciona un

Adendo

o Surerflcle de paso

}'igura 4.8

1 1 l 1 J ! '1

· t

127

l•lr,ura 4.9 Emgranaje cilíndrico y cremallera. (Modelos por cortesía de 11/inois Bear & Machine Company.)

111étodo para calcular el juego de engranajes para un cambio en la distan­c"ia de los centros.

4.1 Características de la acción de la in voluta. En el estudio de la generación de la involuta se vió que la normal común.a las dos superficies involutas es tangente a los dos círculos base. A esta normal común tam­hién se le llama la línea de acción. El inicio de contacto ocurre en donde la

linea de acción intersecta el chculo de adeudo del engranaje movido y el lindel contacto en donde la línea de acción intersecta el círculo de adendo del motor. En la figura 4.10 se puede apreciar que esto ocurre, como se muestr;¡ con el par de dientes que se aproximan al contacto y el mismo par que posteriormente abandona el contacto (señalado con líneas punteadas). 1�1 punto A es el incio de contacto y el punto B el final del contaco. Con­•;ecuentemente, la trayectoria del punto de contacto está a lo largo de la línea recta A PB. El punto Ces donde el perfil del cliente (engranaje l) cor­ta el círculo de paso al inicio del contaco. El punto C' es donde el perfil corta el círculo de paso en el final del contacto. Los puntos D Y D' son puntos semejantes en el engranaje 2. Se llaman arcos de acción a los arcos

CC' y DD' y deben ser iguales para que ocurra acción pura de rotación de Jos círculos de paso, como se mencionó anteriormente. Generalmente los !mgulos de movimiento se de:;componen en dos partes corno se muestra en la figura 4.10, en que a es el ángulo de aproximación y P es el ángulo de

receso. F.n general, el ángulo de aproximación no es igual al ángulo de receso. Para que ocurra el movimiento continuo, el arco de acción debe ser igual o mayor que el paso circular. Si sucede en esa forma, entonces un nuevo par de dientes comienza a interrelacionarse antes que el anterior el eje de actuar.

Se conoce como razón o relación de contacto a la relación del arco de acción al paso circular. Como se verá más adelante, la rclat.:ión de contac­

to pua los engranajes de dientes de involutas también es igual a la relación de la longitud de acción (o sea la distancia desde el inicio al final del con­tacto medida sobre la línea de acción) al paso base y generalmente se cal-

Figura 4.10

cula en esta forma. Considerado físicamente, la relación de contacto es el número promedio de dientes que están en contacto. Por ejemplo, si la relación es de 1.60, no quiere decir que hay 1.60 dientes en contacto, sino que alternadamente hay un par y dos pares de dientes en contacto y que en el tiempo el número promedia 1 .60. El valor mínimo de relación de con­tacto es 1.00. Desde luego, se debe aumentar este valor para las condi­ciones efectivas de operación. Aunque es difícil señalar valores específicos debido a las muchas condiciones involucradas, se ha establecido 1 .40 como un mínimo práctico y en algunos casos extremos como 1.20. Sin em­bargo, se debe notar que a menor relación de contacto, mayor grado de exactitud necesaria para maquinar los perfiles para asegurar un funcio­namiento silencioso.

La figura 4.10 también muestra un ángulo 1/1, formado por la linea de acción y una línea perpendicular a la linea de los centros en el punto P de paso. Este ángulo se conoce como el ángulo de presión de los dos en­

granajes encastrados o engranados y se debe distinguir del ángulo de presión de involuta de un punto en una involuta. Cuando dos engranajes

J•:n¡.:rnnnjt·s dllnllrh'o� lit' llll'nh·s n•t·tu� 12!1

1·st[ut <'11 �outa�to en o.:l punto tic paso, el ángulo de presión de los etl­granaj.:s cncast rados y los ángulos de presión de involuta de las dos in­volutas en contacto en el punto de paso son iguales. La figura 4.11 mues­! ra estos ángulos.

1\ partir de la figura 4.11 se puede obtener una ecuación que dé la lon­gitud Z de acción, en que

A = inicio del contacto 8 final del contacto

E1 y E2 culos base

Ro = son los puntos de tangencia de la línea de acción y Jos cír-

Rb ifi=

C=

radio exterior radio base ángulo de presión distancia de los centros.

De acuerdo con la figura,

Z = AB = E1B + E2A - E1E2 En consecuencia,

Z = j(R0.)' - (R&,)2 + j(Ro,)2 - (Rb,)2.- C sen rf¡ (4.4)

El paso Pb base está dado por

(4.5)

Engranaje 1 (motor)

e

Engranaje 2 Figura 4.11

>,r. .1 1

t 11 1 :¡ J '� t. u 1

M··;'IIIIÍSII10�

<:11 qttt•

Rb = radio base N = número de dientes

De acuerdo con lo anterior, la relación mP de contacto es

z m =- (4.6}

P Pb

Si patct:e extraño calcular la relación de contacto dividiendo una medición de línea recta entre una medición circular, observe los dibujos de la figura 4.12. En la figura 4.12a se muestlan dos dientes adyacentes de engranajes apareados. El paso hase fJb está dimensionado en el círculo base de acuerdo con su definición. También se llamó Ph a un segmento recto sobre la línea de acción. De la formo como se generan dos involutas adyacentes, se puede ver que las dos distancias marcados Pb deben ser iguales. En consecuencia, también se puede considct ar el cín:uk> base

como la distancia normal entre los lados co1 respondientes de dientes ad­yacentes. La figura 4.12b ilustra la forma como se mide el paso base en una cremallera.

Ejemplo 4.1

Un piñón dt: 24 dientes mueve una corona de 60 dientes con un ilngnlo de presión de 20°. El radio de paso del piñón es de 1.5000 pulg. y el radio exterior es de 1.6250 pulg. El radio de paso de la corona es de 3.7500 puJg. y el radio mayor es de 3.R750 pulg .. Empleando las ilustraciones de las figuras 4.10 y 4.11, calcular la longitud ele acción, la relación de contacto y los ángulos de aproximación y receso para el piñón y engranaje.

Solución. De acuet do con la figura 4.11,

z = AB = E¡B + E2A - EIE2

Z = ../[R;J2 - (Rd: + j(R(d - (Rb,)2 - C sen t/J R0, = 1.6250 pulg.

Rb, = R1 cos l/1 = 1.5000 cos 20° = J .4095 pulg.

R0, = 3.8750 pulg.

Rb, = R1 cos tb = 3.75 cos 20° = 3.5238 pulg.

e sen f/1 = (1.50 + 3.75} sen 20° = 1.7956 pulg.

z = j1.'62W - 1.40952 + j3.87W - 3.52382 - 1.7956

= J2.6406- 1.9867 + )15.0156- 12.4172- 1.7956 = 0.8099 + 1.6115 - 1.7956 = 0.6258 pulg.

(a) (b) l'igura 4.12

En consecuencia,

Z = AB = 0.6258 pulg.

z 111 = -

• Pb y

_ 2nRb, _ 2n x 1.4095 _ 0 3689 1 Pb - -- - - . pu g.

N1 24 l'or tanto,

= �.6258 = 64

'"• 0.3689 1.69

Usando los cákulos anteriores,

E1B = j(R0i ..:.. (Rby = 0.8099 pulg.

E1A = E1B - AB = 0.8099 - 0.6258 = 0.1841 pulg.

E1P = R1 sen cp = 1.5000 sen20° = 0.5130 pulg. AP = E1P -- E1A = 0.5130- 0.1841 = 0.3289 pulg.

PB = AB -- AP = 0.6258 - 0.3289 = 0.2969 pulg.

131

La relación m de contacto también es igual al arco de acción CC' tli\•idido entre el paso circular p.

arcoCC

'"• =

-p-En con�ecuencia,

y 2nR 1 2n x 1.5000

p = --¡:¡: = 24 = 0.3927 pulg.

arco CC' = p x mP = 0.3987 x 1.6964 = 0.6662 pulg.

De acuerdo con la figurll 4.10 se sabe que el arco DD' debe ser igual al nnco CC' de manera que arco DP = arco CP y arco PD' = arco PC'. Se p10edc encontrar el arco de aproximación CP del engrane 1 usando la si¡guicntc relación:

AP arco CP AB =arcoCC'

132 MI'I'IIIIISUI()S

1 '.ll c'\llhCCIICilCÍa, e AP x arcoéC'

arco P = -----­AB 0.3289 X 0.6662

0.6258 = 0.3501 pulg.

Ta!llhién, PB arcoPC' AB

=;��CC' 1 >e manera que

Pe' PB x arcoCC'

arco . = AB

0.2969 X 0.6662 _ Q 3 61 l

0.6258 - · 1 pu g.

De acuerdo con lo anterior, arco CP 0.3501

ct¡ = ----¡¡;--

= 1.5000

= 0.2334 rad = 13.373°

arco DP 0.3501 a.2 = R-;- =

3.7500 = 0.0934 rad = 5.349°

arcoPC' 0.3161 {J1 =

--¡¡;-= l.Sooo = 0.2107 rad = 12.074"

arcoPD' 0.3161 {12 = ---¡¡:;--- =

3.7500 = 0.0843 rad = 4.829°

A manera de comprobación, arco CC' 0.6662

o cx1 + p1 = --- = -- = 0.4441 rad = 25.447 R1 1.5000

arcoDD' 0.6662 o ct2 + Pz = -- = 7500

= 0.1777 rad = 10.179 R2 3.

Por tanto, CX¡ + {J1 = 13.373° + 12.074° = 25.447"

<X2 + /32 = 5.349° + 4.829° = 10.178°

También es posible calcular los ángulos de aproximación y de receso empleando la involutometría. La ecuación para el á,ngulo de aproximación cx2 tlel engranaje 2 se obtiene como sigue empleando el dibujo de la figura 4.13.

en que Ctz = (} + iflD- 1/J

(} = (if¡A + inv iflA)- (cjJ0 + inv 1/Ji>) = (1/JA + tan ¡J¡,. - 1/J,.)- (I/J0 + tan rPo- 1/JD) = tan if¡,. - tan 1/Jo

Sustituyendo el valor de (} •

a2 = tan 1/JA - tan 1/Jo + if>D - 4>

l>:nJ.(nnllljts dllndrlcos dr dknh·s n•t'll>s 133

F1gura 4.13

Del hecho que el punto Des un punto en ia involuta en el círculo de paso,

Por tanto, a.2 = tan ¡J¡2 - tan ¡J¡

Se pueden obtener ecuaciones para a.1, {J1, y /32 en forma análoga em­pleando dibujos adecuados.

4.5 Interferencia en engranajes de dientes de lnvoluta. Anterior­mente se mecionó que una involuta comienza en el circulo base y se ge­nera hacia afuera. En consecuencia, es imposible tener una involuta dentro del círculo base. La línea de acción es tangente a los dos círculos base de un par de engranajes encastrados y estos dos puntos representan los límites extremos de la longitud de acción. Se dice que estos dos puntos son puntos de interferencia. Si los dientes tienen tal proporción que el inicio de con-

l

',l h � ·''

1!

¡

¡•

1 '

1111

tacto ocurre antes que se cucucntrc el punto de interl'c1curia, t·utonccs la porción involuta del engranaje movido se acopla con tJna porción n o in·· voluta del engranaje motor y se dice que ocurre una interferencia de in­voluta. La figura 4.14 muestra este caso. E1 y. E2 muestran los puntos de interferencia que deben limitar la longitud de acción. A muestra el inicio de contacto y B el final. Se ve que el inicio del contacto ocurre antes que se encuentre el punto E1 de interferencia; en consecuencia, hay interferencia. La punta del diente movido penetra o recorta el flanco del diente motor tal como muestra la línea punteada. Hay varias formas de eliminar la inter­ferencia, una de las cuales es limitar el adendo del engranaje movido de manera que pase por el punto de interferencia E1, con lo que se da un nuevo inicio de contacto. Si esto se hace en este caso, se elimina la inter­ferencia.

La interferencia de involuta es indeseable por varias raz.oncs. La inter­ferencia y el rebaje resultante no solamente debilitan el diente del piñón

sino que también pueden quitar una pequeña porció•J de la involuta próxima al círculo base, lo que puede reducir seriamente la longitud de ac­ción.

Ahora se estudian las condiciones para que haya interferencia entre un

cremal!era y un piñón. En la figura 4. J 5 aparece un piñón y una cre­mallera cnl:astrados. El punto de tangencia de la línea de acción y del cír­culo base del piñón está señalado como el punto E de interferencia, igual que como en el caso del piñón y la corona. Consecuentemente, el puuto de

interl'erericia fija el adeudo mínimo para la crcmallcrn para el ángulo mos-

Engranaje 1 (motor)

Figura 4.14

' 1

l 1 1 1 ..1

135

Engranaje 1 (motor)

Linea de paso

Linea de dedendo

Figura 4.15

1 rado de presión. Con el adendo de cremallera mostrado en la figura 4.15, el contacto comienza a A y hay rebaje en la forma mostrada por la línea punteada. Si el adendo de la cremallera solamente se ·extiende a la línea

que pasa por el punto E de interferencia, entonces el punto de interferen­cia se convierte en el inicio de contacto y se elimina la interferencia.

En la figura 4.15 se puede ver también que si se encastra la cremallera con el piñón (el adcndo de la cremallera ahora pasa por el punto de inter­fere-ncia), el inicio del contacto ocurre en la linea de acción en algún punto entre el punto P de paso y el punto E de interferencia. En consecuencia, no habría probabilidad de que ocurriera interferencia entre el pil1ón y el engranaje. Por tanto, se puede llegar a la conclusión que si se tiene un número tal de dientes en el piñón que encastre con la cremallera sin inter­ferencia. entonces encastra sin interferencia con cualquier otro engranaje que tenga el mismo o mayor número de dientes .

Auuque se deben evitar la interferencia de involuta y su rebaje resul­tantes, se puede tolerar una pequeña cantidad si no reduce la relación de contacto para un par de engranajes acoplados por debajo de un valor adt'cuado. Sin ambargo, es dificil el problema de determinar la longitud de acción cuando ha o<.:urrido el rebaje y no se puede calcular a partir de la ecuación 4.4. Spotts desarrolló un método, mismo que se sugiere al lector consultar. 1 En las figuras 4.11 y 3.4 se puede ver que si el valor de cual­quier radical es mayor que C sen rj¡, entonces hay interferencia.

4.6 Engranajes intercambiables. Hasta ahora no se ha intentado tratar los engranajes intercambiables; lo que se vió antes solamente se aplica a Jos engranajes cillndrit.:os en general. Sin embargo, ligado a la cuestión de intercambiabilidad está la forma como se deben cortar los en­granajes. Hay vari<ls formas de generar engranajes cilíndricos; los dos

1 M.F.Spolts, "How to Predict Effects of Undcrcutting Hobbed Spur Gcar Teeth," Machine Désign, 19 de abril, 1956.

1!16

_ f' EJe del ij tejo

Figuru 4.16 Generación de un engranaje cilíndrico con una fresa.

I\I•••'IUJismns

métodos más comunes son el de fresado y el de Fellows. Las figuras 4.16 y 4.17 muestran el principio del fresado y el del método Fellows respecti­vamente. Al tiempo de desarrollar estos métodos de formación de engranajes, se buscaba un método de clasificar las cortadoras y los engra­najes resultantes. La clasificación adoptada fué especificar la razón del número de dientes al diámetro de paso, 1'. la que se le dió el nombre de paso diametral, que se puede expresar matemáticamente en la forma si­guiente:

p = !!. D (4.7)

l•:ul\runnjt•s dlhulrklls 11<• tllt•nh·s n•t'lns

\'11 qtll' N número de dientes D diámetro de paso

1!17

. \

Para cspcci ficar las herramientas de corte se tomaron los valores del paso diametral como números enteros con determinadas excepciones. Los �iguicntes son pasos diametrales usados frecuentemente:

1, !l:, It, lt, 2, 2t, 2!, 2t, 3, 3t, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10, 12, 14, 16, 18,20, 22,24,26,28,30,

48,64, 72,80, 96,120

Se pueden especificar pasos más finos mediante incrementos pares hasta de 200. Los pasos usados con frecuencia para los engranajes de precisión para los instrumentos son los de 48, 64, 72, 80, 96 y 120. Por cuestiones de economía de herramientas, generalmente se cortan los engranaJes usan­do alguno de los pasos comunes listados arriba. Es posible cortar en­granajes de manera que el paso diametral no sea ninguno de los números anteriores, lo que puede requerir un cortador especial, aunque general-

EngranaJe

recto extemo Circulo de

Figura 4.17 Método Fellows de generación de engranajes. (Cortcsia de Fellows Gear Shaper Company.)

M ,.,.,111 ismos

llll'llle se puede hacer con una de las hcnamientas amc1 ilHTs 111nliante un aju�te especial. Esto se estudia en el capítulo 5.

Cuando se estandarizaron las cortadoras, se adoptó un ángulo de prcs iún de 14!", como consecuencia del proceso de fundido de eng1 anajes que empleaba 141• debido a que se n l4t• se aproxima a i, lo que es un valor conveniente para el diagrama de patrones. Posteriormente también

se adoptó un ángulo de presión de 20°. Durante años se han empleado tanto los 14! como los 20°, aunque la tendenc ia de años recientes ha s ido de usar los 20° en preferencia sobre los 14t•. En una sección posterior se muestra que es posible tener un piñón con menos dientes y sin rebaje cuundo sr usa 20° en vez de 14t•. Como resultado de l.a tendencia hacia mayores ángulos de presión, la AGMA (Ame rican Gear Manufacturers /\ssociat ion) ha adoptado los ángulos de 20'' a 25" para engranajes de paso grueso (P 1-19.99) y 20° para paso fino (P 20-200).

Tahla 4.1 Prop01 dones de dientes- Engranajes cilíndricos de dient�s de in voluta

Adendu {a)

Dcdcndo (/;)

Claro {e) {dedcndo - aclendo)

Profundidad de trabajo (h.) (doble del atiendo)

Profundidad total (11,)

(a<lendo + dedendo)

Pa�o grueso

(1'1 1 9.99)

AGMA 201.02 agosto. 196R

2rr' ó 25".

Profundid3cl total

1.000

p

1.2�0 ¡>

0.250

p 2.000

p 2.250

p

Radi,, de filete de cremallera básica (r 1) 0.300

1'

hpc�or (1) del dienic 1 .5708

p

Pa�o fino

(?20·200) AG�IA 207.06

noviembre, 1974 20" Profundidad total

1.000 1'

1.200 ,-- 4 0.002 (min)

0.200 p 4 0.002 (m in)•

2.000 p

2.200 -E' - + 0.002 (min)

No esta dado

1 .5708

p

•Paro dientes rccorladO<> o esmerilados, e � 0.350/1' + 0.002 (mio).

Aun�ne la labia 4.1 muestra los estándares AGMA más rrcienfes, hay disponibles muchos

t·nRranaje• Y cortadores que se confo rman al estándar más antiguo {y ahora oh•>oleto) ASA

13: 6-t 9J2. Por esta razón se propon.:ionan las principnlc� propor-:iones de los dientes de es­

tm. sistemas en la tabla 4.2.

' 1

,f ; í !

¡ ¡ 1 -i l 1 1 t ' ; d *''

l•:nl(rllnnj(•s dllndrkos tl1' dh·oitt'S rt'l'lns 139

Tabla 4.2

¡�o 20°. 20°. Profundidad total Profundidad total Escotado ------

1.000 l.OOO 0.800 i\dcndo (a) p , p

1.157 1 . 157 J .000 l>cdcndo (h)

p p p

0.157 0.157 0.200 Claro (e) p p 1'

0.209 0.239 0.304 Radio de filete (r 1) ¡> p 1'

1.5708 1.5708 1 .5708 Espesor del dicutc (1)

p p p

Si los engranajes se cortan con wrtadoras estándar, es posible cor­

tarlos de manera que sean intercambiables. Para que esto sea posible, se requiere cumplir de term inadas condiciones:

l. Los pasos diametrales deben ser los mismos. 2. Los ángulos de presión deben ser iguales. 3. Los engranajes deben tener Jos mismos adendos y los mismos de­

clendos. 4. El espesor del diente debe ser igual a la mitad del paso circular.

Se ha definido el paso circular o módulo como la distancia medida a lo

largo del drculo de paso desde un punto en un diente al punto correspon­diente en t>l siguiente diente. Lo anterior se puede esiribir matemáticamen­

te como sigue:

nD P = - también pP = n

N (4.8)

Con frecuencia se emplea el término engranaje estándar para indicar que la relación del número de dientes al diámetro de paso es uno de los valores estándar del paso diametral y que el espesor del diente debe ser

igual al espacio del diente, lo que es igual a la mitad del paso circular. Los engranajes estándar son intercambiables. Se puede defin ir los engranajes intercmnbiables como los que tienen el mismo ángulo de presión, el mismo paso y atiendo. dedendo, espesor de diente y espacio de diente compati­bles. Los engranajes cilíndricos que se ofrecen a la venta en los catálogos de los fabricante� son estándar. Sin embargo, es muy grande el número de engranajes no estándar que se emplean , especialmente en los automóviles y

b------- ---------------- ------------------------��-------------------------------------------------

Mt•c•tmlsnws

avioiiL'S. l .a t abla 4 . 1 lllllcstra las propon;ioncs de cngrauak. <'stándar cilintlrkos de dientes de i nvoluta e igual adendo (ver la figura 4.X).

4. 7 Número mínimo de dientes para evitar la interferencia. An­lt'rionnente se consideró la cuestión de la interferencia para el engranar el piiión y el engranaje y para el piñón y cremallera. De lo que se mencionó con relación a la figura 4.15 se vió que si no hay interferencia entre un piñón y cremallera, entonces no habría interferencia entre el piñón y un engranaje del mismo tamaño o mayor que el piñón. Naturalmente, esto supone que en ambos casos se tienen las mismas proporciones de dientes. Cuando se considera un engranaje estándar en que las proporciones de los dientes son las dadas en las tablas, es posible calcular el número mínimo de dientes en un piñón que encastre con una cremallera sin interferencia de in voluta. Para obtener el resultado para este caso límite, se pasa la línea de adencio de la cremallera por el punto de interferencia del piñón_

La figura 4 . 1 8 muestra las características esenciales de un piñón Y cremallera para este caso . El punto de paso está denotado por P Y el de in­terferencia por E. En consecuencia,

También,

PE sen rf> = R

a k/P sen rf> = - = -PE PE

en que k es una constante que da el adendo (a = k/P) cuando se divide entre el paso diametral. Para el sistema de profundidad total, k = 1.00 y para el sistema escotado k = 0.80. Multiplicando las dos ecuaciones por sen 4> da

t'igun 4.18

k sen2 <J¡ = ­RP

Engranaje 1 (molor)

N P = -2R 1 ��� �.:onsccuencia,

2k sen2 rf> = ­

N

en que N = número de dientes

N = l!:__ sen2 1/J

y

111

(4.9)

Usando esta ecuación se puede calcular el menor número de dientes para un piñón que encastre con una cremallera sin interferencia, para cualquier sistema estándar de dientes. La tabla 4.3 los muestra para los sistemas comunes.

Tabla 4.3

14!0 20". 20". 25". Profundidad total Profundidad total Escotac:o Profundidad total

N 32 lll 14 .12

Debido a que estos valores se calcularon para un piñón que encastra con una cremallera, también se pueden usar como mínimos para un piñón que encastra con un engranaje sin peligro de tener interferencia. Debido a que la acción del diente de una fresa que corta un engranaje cilíndrico es semejante a la de un piñón que encastra con una cremallera, los números de los dientes tabulados arriba también son los mínimos que se pueden ..:ortar con una fresa sin rebajos.

Si se deben producir los engranajes por un método diferente al de fresado, por ejemplo por el método de formación de Fellows, entonces se puede determinar el número mínimo de dientes que pueden tener dos en­granajes del mismo tamaño y ·todavía engranar sin interferencia de in­voluta a partir de la figura 4.!9. En este caso el círcu lo de adendo de cada engranaje pasa por el punto de interferencia del otro engranaje.

R0 = R + a en que N

R = 2P En consecuencia

N k N + 2k Ro = 2P + p = -:¡¡-

N eos <J¡ Rb = R cos ¡fJ = --:¡¡;-

Z = EtEl = JRa - R�

y

1 . = ZP j(N + 2k)2 - (N cos rW

k a = -p

(4.10)

Figura 4.19

También

Ennmnajo 1 (motor)

1 1

' 1 </>1 1 /

¡ /��0 �Engranaje 2 02

Z = 2R sen</1 2N

= 2p senrf>

Igualando las ecuaciones 4 . 10 y 4. J I ,

Por tanto,

2N 1 fi1:1: - sentjl = - -y(N + 2k)2 - (N eos 1W 2P 2P

M•·t·smlsmos

(4.11)

(4.12) /\ partir de esta ecuación se puede encontrar el número más pequeño de

dientes para dos engranajes iguales que encastren sin interferencia de in­voluta para cualquier sistema estándar de dientes. La tabla 4.4 muestra es­tos valores para Jos sistemas comunes. También se muestran las relaciones de contacto (mp) .

Cuando se usa un cortador Fellows para cortar engranajes de tamaños iguales con los números de dientes dados en la tabla 4.4, encastran entre sí sin intt·rferencia de in voluta. Si se mantiene constante el número de dientes de 1 1 1 1 engranaje en uno de estos valores dados, es interesante determinar el nl.l lll\'1 o mitxinio que puede tener el segundo engranaje sin provocar inter­l'c�<· lwi : l . ( 'n1npai ando tos valores tabulados en la tabla 4.4 con el número 1 1 1 1 1 1 1 1 1 " 1 dr · di(•n fcs que encastra con una cTemallcra sin interferencia (tabla

i �1 1

i

Tabla 4.4 20". 20". 25". 14�"

l' 1ol'undidad total Profundidad total Escotado Profundidad total

N 23 13 JO 9 (m, � 1 .84) (m, = 1.44} (m, "' 1.15) (m, = t .26)

1 . 1), es obvio que el segundo engranaje n o se puede aproximar a una , . ,.cmallera.

De la figura 4.20 se pueden obtener relaciones para este problema, en q 1 1 c el círculo de adendo del engranaje 2 pasa por el punto de interferencia del eng1 anaje l .

•;ubstituyendo N2 k N2 + 2k

R0 = R2 + a = - + - = ----1 2P P 2P N2 Rb, = R2 cos </> = 2p cos </>

: ¡ 1 1

IH MI•\ IIIIINIIIOS

Tabla 4.5

20" 20' 25" 14t" Profundidad total Profundidad total Escotado Profundidad total

y

23 26

13 16

e = R, + R - N¡ + Nz 2 - 2P

10 l l

9 l3

N2 + 2k (N2)2 2 (N1 + N2)2 2 2P 2P

cos cf> + 2P

sen cf>

(N2 + 2k)2 = A1 cos2 cf> + (N1 + N2)2 sen2 cf> Desarrollando los paréntisis y empleando la relación

sen2 cf> + cos2 cf> = 1 , 4/c2 - N� sen2 tP N z = ::-:-::---.....:..,---:., 2N1 sen2 eh - 4k (4.13)

A partir de esta ccuadón se puede determinar el mayor engranaje (N 2) que se puede engranar con un engranaje dado (N1) sin interferencia. La tabla 4.5 muestra estos valores usando como N1 los valores encontrados anteriormente para los engranajes iguales.

Si se escribe nuevamente la ecuación 4. 1 3 como

4k2 - N2 sen2 <f¡ 2N1 sen2 <f¡ - 4k =

2 Nz

(4.13a)

y N2 se aproxima a una cremallera para ser infinita, el lado de la derecha de la ecuación se aproxima a cero y se obtiene la ecuación 4.9 para dar el número de dientes N1 que engranan con una cremallera sin interferencia. También es interesante notar que si en la ecuación 4. 13 se sustituye un valor de N1 mayor que los dados en la tabla 4.3 para encastrar con una cremallera sin interferencia, se obtiene un valor negativo e imposible de N2 .

4.8 Determinación del j11ego entre engranajes. En la figura 4.2la se muestra el perfil de dos engranajes estándar que están engranados a la dis­tancia estándar de centros

e = N, 1- N2 2P

sin juego libre entre ellos Uuego cero). Los círculos de paso en que operan estos engranajes son los círculos de paso en que se cortaron y sus radios están dados por R = N/2P.

(a) (b)

Q rcu lo de paso

;¡

. ·1 ·"

ti (e)

Figura 4.21

Hli

Los círculos de paso de corte también se llaman círculos e/(' fl<l·'" nttindar. El ángulo 4> de presión a que óperan estos engranajes e� el i111gulo de presión a que fueron cortados, o sea 14-!0, 20° 6 25°. Dicho en otra for­ma, los círculos de corte y de operación de paso son idénticos, Jo mismo que los ángulo� de presión de corte y de operación.

La figura 3.2lb muestra el caso en que los dos engranajes se han se­parado una distancia ó.e para dar una nueva distancia C' de centros. La línea de acción ahora cruza la línea de los centros en un nuevo punto de paso P'. Se puede ver que los círculos de paso estándar o de corte (radios R1 y R2) ya no son tangentes entre sí. Adicionalmente, el punto de paso P' divide la distancia C' de los centros en segmentos que son inversamente proporcionales a la relación de las velocidades angulares. Estos segmentos se convierten en los radios R'1 y Rí de los nuevos círculos de paso que son tangentes entre sí en el punto P'. Esto� círculos reciben el nombre de círculos de paso de operación y las ecuaciones de sns radios se pueden determinar a partir de

y R'1 + R'¡ = e·

para dar

y

Ri = (N1; NJC'

Además del cambio a los círculos de paso, también aumenta el ángulo de presión. Se llama ángulo de presión de operación al ángulo 4>' y es mayor que el ángulo 4> de presión de corte. A partir de la figura 4.21 b se puede obtener una ecuación para determinar el ángulo t/1' de presión de operación en la forma siguiente:

6

También

C' = Rb, + Rh

= (R1 R cos 4> _ e cos 4> cos cf¡' + 2) cos 4>' - cos c/1'

e cos 4>' = e· cos cp

ó.e = C' - e

= e cos cJ¡ - e cos cp·

(4.14)

� .. ¡ 1

! 1 · 1 1

En¡.:nuut.ics dllntlrko� dl• dimlt·�. n·dus 147

= C -- - 1 ·(cos tf¡ )

cos 4>' (4.15) < 'nnndo se operan los engranajes bajo la condición de la figura 4.2lb,

�L· licnc.: juego entre ellos como se muestra en la figura 4.2Jc. La relación de las velocidades angulares no se afecta en tanto los engranajes sigan en­<:astrados. Sin embargo, si se invierte la dirección de rotación. se encuentra i 1 1ego perdido. Se puede obtener una ecuación para determinar el juego perdido a partir del hecho que la suma del grosor del diente más el juego perdido debe ser igual al paso circular medidos en el circulo de paso de operación. Se puede escribir la siguiente ecuación a partir de l a figura 4.2lc:

en que

1, , B 2nR� 21tR2 1 + lz + = -- = --N1 Nz

t' = espesor del diente en el círculo de paso de operación B = juego perdido R' = radio del círculo de paso de operación N = número de dientes.

(4.16)

De la ecuación 4.3 desarrollada en la sección relativa a la involutometría,

er. .... . -

t� = 2R{2�1 + inv <P - inv 4>']

R' = __!_ t1 - 2R'1(inv t/1' - inv ¡f>) R¡

t� = 2R{ 2�2 + inv 4> - inv 4>'] R' = R

2 t2 - 2R�(inv 4>' - inv cJ¡) 2

(4.17)

(4.18)

t = espesor del diente en un círculo de paso estándar o de corte (r = p/2 = 1t/2P)

R = radio del círculo de paso estándar o de corte (R = NI2P) c/1 = ángulo de presión de corte (14}0, 20°, 25°) cj¡' = ángulo de presión de operación También

(4.19)

148

y C' = R'1 + R� (4.20)

Sustituyendo Las ecuaciones 4.17, 4.18, 4.19 y 4.20 en la 4.16 y recordando que

21tR 1t -¡¡- = P = -p •

B = �'[¡ - (11 + 12) + 2C(inv t/J' - inv rf¡)J

Para los engranajes estándar,

y la ecuación 4.21 se reduce a B = 2C'(inv rf¡' - inv t/J)

(4.21)

(4.22)

Se debe emplear la ecuación 4.21 si los engranajes no son estándar, o sea que si ¡1 .¡, t2• En el capítulo 5 se presentan los engranajes no estándar.

, .¡ En el manual de engranajes AGMA Gea r Handbook, volumen 1 , 390.03 (enero de 1972) se pueden encontrar los valores recomendados para el juego entre engranajes.

4.9 Engranajes internos (anulares). En muchas aplicaciones se f acopla un engranaje de involuta interno con un pinón en vez de emplear 1 dos engranajes externos con el fin de obtener determinadas ventajas. Quizás la ventaja más importante es la de la transmisión más compacta. Adicionalmente, para las mismas proporciones de dientes, los engranajes

Figura 4.22

En�erunnj('ll dllndrlcos de dlt-nlr�� rr<·t11s 119

t1gura 4.23

internos tienen mayor longitud de contacto, mayor fuerza de diente y menor deslizamiento relativo entre los dientes que engranan comparado <:on los engranajes externos.

En un engranaje interno, los perfiles de dientes son cóncavos en vez de t:onvexos como ocurre en un engranaje externo. Debido a esta forma, puede ocurrir un tipo de interferencia que no es posible que ocurra en un ,·ngranaje externo o en una cremallera. Esta interferencia recibe el nombre de choque (fouling), que ocurre entre los perfiles inactivos conforme los dientes se engranan y desengranan. El choque ocurre cuando no hay ,u ficiente diferencia entre los números de dientes en la corona interna y el piil6n. La figura 4.22 muestra un piñón engranado con una corona inter­na. Son de tamaño tan aproximado que hay choque en los puntos a, b, e, d y e. Cuando se corta un engranaje interno, se usa un cortodador Fellows con dos dientes menos que el engranaje que se está cortando, lo que au­t.omáticamente libera las puntas de los dientes de engranaje interno para t:vitar los choques en los puntos mencionados. También puede haber inter­ferencia de involuta entre los perfiles activos al igual como con los en­�ra'lajes externos. En el siguiente párrafo se estudia esta interferencia.

La figura 4.23 muestra dos dientes en contacto de la figura 4.22 con la línea de acción tangente al círculo base del engranaje en el punto f y tan­gente al círculo base del piñón en el punto g. Un perfil de involuta para el engranaje puede comenzar en el punto j, aunque la involuta para el piñón no puede comenzar sino hasta el punto g. En consecuencia, el punto g es el primer punto posible de contacto sin interferencia de involuta y determina d máximo adendo del engranaj e. El punto 11, la intersección del círculo de adendo del piilón y la línea de acción, es el final del contacto y la longitud

1\J.onmi�IIIIIS

Cicloide lnvoluta Figura 4.24

de acción es ?Ph. Se debe señalar que la relación p = NID es válida para el engranaJe m terno al igual que para el engran aje externo . 4.10 Enxrmzajes cicloides. Aunque el engranaje cicluidl' se ha rem-plazado en su · ¡ d . mayona por os e involuta, el perfil cicloide tiene ciertas ventaJaS que se deben señalar. A continuación se señalan brevemente. Se sug1ere al lector consultar una de la muchas referencias excelentes 2 doud aparecen estudios más detallados de Jos engranajes cicloides . e

Los eng�anajes.

cic�oides no.

tienen interferencia, además que general­n.H�nte un dJcnte ctclotde es mas fuerte que el de involuta debido a que � tene flacos �x�endidos en constrastc con los flacos radiales del d iente de mvoluta. Adtcwnal

�nente, los dientes cicloides tienen menor dcsliz.amien­to, Y en

.co�src�cncta menor desgaste. La figura 4.24 muestra un diente de

engrana]� c�clotdc y uno de involuta para comparación. Sin embargo, una desventaja tmp�rtante de los engranajes cicloides es que para un par de engranajes Ciclotdes solamente hay una distancia de centros teóricamente corre�ta para la que tran smiten movimiento a una rcl<Jción ronstante de velocida� a.ng�lar. Otra desventaja es que aunque es posible fresar un engranaJe �iclOtde , la fresa no se fabrica con la facilidad que para una in­voluta debido a q�e los dientes de cremallera cicloide no tienen lado� rec­tos como en l�s dientes de cremalle ra de involuta. Debido a esta razón es posible pr.oduclr los engranajes de dientes de involuta con mayor exactitud Y econom 1a que los engranajes cicloides . Los engra�aje� de

. dientes de involuta han remplazado completamente a los engra�ajes c1clotdes pa

.ra la transmisión de energía. Empero, se usan los engranajes de dientes de mvoluta ampliamente en los relojes de mufleca � de pared .Y en determinados i nstrument os en casos en que la cuestión de mterf:rencm Y fuerza es de interés primoridal . Bn los relojes, el f ren de en­g�ana¡es desde la fuente de poder al escape aumenta la n'lación de velo­cicla� _angular Y el engranaje mueve al piil.ón. En un reloj de mano esta relac:t?n puede llegar a ser hasta de 5 000: 1 3 • En consecuencia los en­granaJ�s son tan r:queños que para evitar usar dientes exces{vamente p�quenos es necesano usar piñones (los engranajes movidos en este caso)

: C;IJ Al he' .' Y .� · S. Roge�s, Kinematics of Mnchinery, Jolm Wiley and Sons, 1 93 i . \\ · O. DavJ(" < :""',.sfor Sma/1 Meclwnisms, N.A.G. Prcss, J9;3.

.. , ·¡ 1 ' 1 1 i

1

.1 1 i l

� \

l'.n¡:num.il'S dlintlrkns dt• tlil·nh•s rcdus 1!>1

q111' tl'''�'"' apenas ú ó 7 dientes . 1\dicionalmcnle, el perfil del diente de es- , tos pi ííoncs de he poder actuar en 60° de rotación. Para este propósito se <'In pican engranajes cicloides preferiblemente sobre los engranajes de dien­lcs tic invnluta. El problema de la distancia de centros y de la relación de Ydoridades angulares no es importante en este caso debido a que todo el ln:n gobernado por el escape cae en reposo y vuelve a entrar en movimien­to varias veces por segundo. En consecuencia, la operación del tren in­volucra tales grandes cambios del momentum que el efecto de la forma del cliente en el cambio del mismo es despreciable. Consecuentemente, el efec­to de la forma del diente en la consistencia de la relación de velocidad no es importante.

Se usan trenes de engranajes cicloides o de dientes de involuta para enrollar la cuerda, posicionar las m anecilla y para los trenes de la reduc­ción de m inutos a horas , casos en los que el piñón mueve la corona. Sin

ctuhargo, lo� relojes fabricados en los Estados Unidos usan engranajes d1 dientes de involuta para este tren.

Problcmus *

4 . 1 Se genera una in voluta en un circulo base que tiene un radio R, de 4 pul­gadas. Al generar la involuta, el ángulo que corresponde a inv <!> varía desde O a 1 5 ° . Para incrementos ele 3° para este ángulo, calcular el ángulo correspondiente de presión 4> y el radio R para puntos en la involuta. Graficar esta serie de ountos

rn coordenada• polares y conectarlos con una curva continua para dar la involuta.

4.2 Escribir un programa de computador para el problema 4.1 haciendo R. =

3, 4. y 5 pu\g. Determ inar los valores correspondientes del angulo de presión tp y radio R para cada valor de R •.

4.3 El espesor de un diente de involuta de engranaje llene 0.314 en un radi o de 3 . 5 pulg y un ángulo de presión de 14!0• Calcular el espesor del diente y el radio en un punto en la involuta que tiene un ángulo de presión de 25°.

4.4 Si se extienden las involutas que forman el perímetro de un diente de en­

g.ranaje, se intcrsccta n y el diente se aguza. Octcrminar el radio en que ocurre esto

para un diente que 1iene un espesor de 0.262 pulg en u n radio de 4 pulg y un án-

gulo de presión de 20°. 4.5 El e•pcsor de un diente de engranaje de involuta es 0. 196 pulg en un radio

de 2.0 pulg y un ángulo de presión de 20" . Calcular el espesor del diente en el dr-cuh.'l b��e.

4.6 Los radios de paso de dos engranJjes cilíndricos engranados son 2.00 y 2.50 pulg y los radios exteriores son 2.25 y 2.75 pulg respectivamente. El ángulo de prc>ión es de 20°. Hacer un dibujo a escala natural de estos engranajes como se muestra en la figura 4 . 1 0 y sei'lalar el inicio y el final del contacto. El pii\ón es el motor y gira con las manecillas del reloj . Determinar y señalar los ángulos de aiJIOXimación y receso para ambos engranajes. Dibujar las involutas necesarias para enconlrar a y {3 por el método aproximado da

.do en el apéndice. '

'Debido a que no se han desarrollado est�ndari!S AOM"- para rngranajes con unidades SI, no hay problemas en los capltutos 4, 5, 6 y 7 que empleen dichas unidades.

¡r.z

4.7 U11 piñón de 2.00 pulg. gira hacia las manecillas del reloj y '""'·ve una cremallera. El ángulo de presión es de 20° y el adendo del piñón y de la cremallera es de 0.20 pulg. Hacer un dibujo a escala natural de estos engranajes y sena lar el inicio y final del contacto. Determinar y señalar el ángulo de aproximación y receso para el piñón. Dibujar las involutas necesarias para encontrar <r y fJ por el método aproximado dado en el apéndice.

4.8 Dos engranajes cilindricos iguales de 48 dientes están encastrados con radios de paso de 4.000 pulg y adendos de 0. 1 67 pulg. Si el ángulo de presión es de 141•, calcular la IOP6itud de acción Z y la relación m. de contacto.

4.9 La relación de contacto se define ya sea como el arco de acción dividido entre el paso circular o como la relación de la longitud de acción al paso base. Demostrar que

Arco de acción Paso circular

Longitud de acción paso base

4.10 Obtener una ecuación para la longitud de acción Z para un pillón que mueve una cremallera en función del radio R de paso, del radio base J<b, del aden· do a y del ángulo de presión <f>.

4 . 1 1 Un piñón con un radio de paso de 1 . 50 pulg mueve una cremallera. El án­gulo de presión es de 14!•. Calcular el máximo adendo posible para una cremallera sin tener interferencia de involuta en el piñón

4.12 Un piñón de paso 1 2 y ángulo de presión de 20° a profundidad total, de 24 dientes mueve una corona de 40 dientes. Calcular los radios de paso, Jos radios ba�c, el adcndo, el dedendo y el espesor del diente en el círculo de paso.

4.13 Un pi11ón de paso 8. ángulo de presión de 25° a profundidad total, de 18 dientes mueve una corona de 45 dientes. Calcular los radios de paso, los radios ba�c. el adendo, el dedendo y el espesor del diente en el círculo base.

4.14 Un piñón de paso 1 20, ángulo de presión de 20" a profundidad total, de 42 dientes mueve una corona de 90 dientes. Calcular la relación de contacto.

4.15 Si se aumentan los radios de un pillón y una corona de manera que cada uno se convierta en cremallera, teóricamente la longitud de acción se hace máxima. Determinar la ecuación para la longitud de acción bajo estas condiciones y calcular la relación de contacto máximo para sistemas de 14t•, 20° y 25°, de profundidad total.

¡4.16 Un piñón corto de paso 4 y ángulo de presión de 20°, de 20 dientes mueve una cremallera. Calcular el radio de paso, radio base, profundidad de trabajo, prufundidad total y espesor del diente de la cremallera en la línea de paso

4.17 Una cremallera de ángulo de presión de 20° de profundidad total tiene un adeudo de 0.25 pulg. Calcular el paso base y demostrar que tiene una dimensión en un dibujo a escala natural de una porción de la cremallera.

4.18 Determinar el número de dientes que hay en un engranaje cilíndrico de dientes de involuta de l4i• de profundidad total de manera que el diámetro del círculo base sea igual al diámetro del círculo de dedendo.

4.19 Determinar lo siguiente para un par de engranajes cilíndricos estándar en­castrados: (a) una ecuación para la distancia C de los centros en [unción de los números de dientes y paso diametral. (b) Las distintas combinaciones de engra­najes de 20° de profundidad total que se pueden emplear para operar a una distan­cia de centros de 5.00 pulg con una relación de velocidades angulares de 3 : 1 . El

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1'""' diametral no debe ser mayor que 12 y los cngranaics no deben sufrir rebaj�. 1 ·'" cn¡!ranajes se deben fresar.

4.20 Un piñón de paso 6, ángulo de presión de 25° de profundidad total con .10 diL•ntcs mueve una cremallera. Calcular la longitud de acción y la relación de contacto.

4.21 Un piñón de paso 2 y ángulo de presión de 20° de profundidad total con 24 dientes mueve una cremallera. Si el piñón gira contra el reloj a 360 rpm, deter­minar gráficamente la velocidad de deslizamiento entre el diente del piñón y el diente de la cremallera al inicio del contacto, en el punto de paso y al final del con­tacto. Emplear una escala de 1 pulg. = 10 pies por segundo.

4.22 se desea acoplar dos f lechas cuyos ejes estan a 8.5 pulg. de distancia por medio de engranajes cilíndricos estándar con una reladón de velocidad angular de 1 . 5:1. Usando un paso diametral de 6, seleccionar dos pares de engranajes que ajusten mejor los requerimientos anteriores. ¿Qué cambio se debe hacer en los datos para poder utilizar cada juego?

4.23 Se usa una fresa de paso l! y ángulo de presión de 14!• de profundidad total para cortar un engranaje cilíndrico. La fresa es derecha y tiene un ángulo adelantado de 2• 40', longitud de 3.00 pulg y diámetro exterior de 3.00 pulg. Hacer un dibujo a escala natural de la fresa cortando un engranaje recto de 48 dientes. El tejo del engranaje es de 1 .5 pulg de espesor. Mostrar el cilindro de pa�o de la fresa en la parte superior del tejo del engranaje con la hélice de paso de la fresa en relación correcta con el centro de paso del diente del engranaje. Mostrar tres generatrices del d1ente en el engranaje y 11 vueltas de la cuerda en la fresa; señalar las posiciones de estas generatrices por medio del paso normal circular. Señalar el eje de la fresa y del tejo, el ángulo de avance de la fresa y la dirección de rotación de la fresa y del tejo.

4.24 Para u n ángulo de presión de 22.5° en el sistema de profundidad total, calcular el número mínimo de dientes en un piñón para que engrane con una crema­llera sin interferencia de involuta. Calcular también el número de dientes en un pi­ñón para que engrane con una corona del mismo tamaño sin interferencia de involuta.

4.25 Un piñón de paso 8 y ángulo de presión de 20° con 24 dientes mueve una corona de 56 dientes. Delerminar los radios exteriores de manera que el circulo de adendo de cada engranaje pase por el punto de interferencia del otro. Calcular el valor de k para cada engranaje.

4.26 Dos engranajes iguales de paso 5 y ángulo de presión de 20° engranan en­tre si de manera que el círculo de adendo de cada engranaje pasa por el punto de interrercncia del otro. Si la relación de contacto es de 1 .622, calcular el número de dientes y el radio exterior de cada engranaje.

4.27 Dos engranajes de dientes de involuta de ángulo de presión de 20° están engranados en la distancia estándar de los centros. El circulo de adendo de cada engranaje pasa por el punto de interferencia del otro. Obtener una ecuación para k en fundón de N, en que N es el número de dientes y k es una constante que da el adendo cuando se divide entre el paso diametral.

4.28 En el dibujo de un engranaje estándar mostrado en la figura 4.25, los dientes son de ángulo de presión de 20" a profundidad total. Si el diámetro de paso es de 4.80 pulg y el paso diametral es de 5 , caJcular el radio del perno que conecta el perfil en el punto de paso. Calcular el diámetro m medio en dos pernos opues­tos.

4.29 Un piñón de paso 10 y ángulo de presión de 14!" de prorundidad total

1!.-1

o con 40 dientes engrana con una cremallera sin juego perdido. Si la cremal lera se

sac� 0.07 pul¡>., calcular el juego perdido que se obtiene.

4.;10 Un piñón de paso 1 2 y ángulo de presión de 20• de profundidad total con 18 dientes mueve una corona de 54 clientes. Si la distancia de centros a que operan los engranajes es de 3.05 pulg, calcular el ángulo de presión de opcradon.

3.31 Un piñón de paso 10, ángulo ele presión de 11}" de profnnd1<lad toiRI y ]li dientes mueve una corona con 60 dientes. Si la distancia de los centro< se au­menta en 0.025 pulg, calcular (a) los radios de los drculos de paso de operación ,

(/1) el ángulo ele presión de operación y (e) el juego perdido que resulta. 4.32 Un piñón corto de paso 4. ángulo de presión de zo• y 24 dientes mueve

un engranaje de 40 dientes. Calcular (a) la di<tancia teórica mínima a que se pueden separar estos engr anajes y todavía engrana r con transmisión continua y (b) el juego perdido en los nu�vos círculos de paso cuando lo� engranes se separan la distancia calculada en el inciso (o) anterior.

4.33 Un piñón co11 24 dientes tiene un espesor de dientes de 0.255 pulg. a u n radio rl e paso de rorte d e 1 . 50 pulg y un angulo de presi0n de 20°. 1 In engnmaje que tiene 40 dientes tiene un espesor de diente de 0.230 pulg. a un radio de paso de �orle de 2.50 pulg y un ángulo de presión de 20°. Calcular el ángulo de pre�ión y la distancia de los centros si estos engranes estan acoplados sin juego perdido.

4.34 Un piñón de paso lO. ángulo de presión de 25° y 15 dientes mueve una corona de 45 dientes. Empicando un C<'mputador, calcular el juego que se produce cuando la distancia de los centros se aumenta de 3.000 a 3 .030 pulg. en incremen­tos tic 0.001 oulg.

4.35 Un piñón de paso 96 de 34 dientes mueve un engranaje con 60 die11tes. Si la distancia de centros se aumenta en 0.005 pul¡¡;, c�lcul!!r el juego que resulta con á11gulos de presión de 14t. 20 y 25°.

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5

Engranajes cilíndricos no estándar

5.1 Teoría de los en¡:ranajes cilíndricos no estándar. El defecto más �erio del sistema de engranajes de involuta es la posibilidad de interferen­

cia entre la punta del diente del engranaje y el flanco del piñón cuando se reduce el número de dientes en el piilón por debajo del mínimo para ese sistema de engranajes.

Cuando ocurre la interferencia, el metal que interfiere se elimina del naneo del diente del piñón por medio del cortador cuando se genera el diente. Esta eliminación del metal por medio del cortador se conoce como fresado o destalonamiento y normalmente ocurre, a menos que se tomen precauciones para impedirlo. Si la cortadora no remueve este metal, los dos engranajes no giran cuando se engranan debido a que el engranaje que provoca la interferencia se atasca contra el flanco del piñón. Sin embargo,

Lo que sucede en la práctica es que los engranajes pueden girar con libertad

debido a que se ha fresado el flanco en el piñón. En todo caso, este fre­i'ado no sólo debilita el dicmc del piñón sino que también elimina una pequeña porción de la involuta adyacente al círculo base, lo que puede

reducir seriamente la longitud de acción.

El intento de eliminar la interferencia con su fresado ha conducido al desarrollo de varios sistemas no estándar de engranajes, algunos de los cuales requieren de cortadoras especiales. Empero, se ha encontrado que dos de estos sistemas son prácticos, por lo que se emplean ampliamente

debido a que se usan cortadores estándar para generar los dientes. En el primer método, cuando se está cortando el piñón, se retira el cortador a

determinada distancia del tejo, de manera que el adenuo de la cremallera básica pase por el punto de interferencia del piñón. Con esto se elimina el

fresado, aunque se aumenta el ancho del diente a la vez que se diminuye el

espacio del mismo, como se muestra en la figura 5.1 en que (a) muestra

que los dientes rebajados y (b) los dientes que resultan cuando se retira la wrtadora. Cuando se empareja este piñón (fig. 5 . 1b) con su engranaje, se encuentra que la distancia de los centros ha aumentado debido al menor

155

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