ma3231 pengantar analisis real · sebuah fungsi dari himpunan a ke himpunan b ... definisi fungsi...
TRANSCRIPT
![Page 1: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/1.jpg)
MA3231 Pengantar Analisis Real
Semester II, Tahun 2016-2017
Hendra Gunawan, Ph.D.
![Page 2: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/2.jpg)
Bab 6 Fungsi
2
![Page 3: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/3.jpg)
Rene Descartes (1596-1650)
Rene Descartes adalahseorang filsuf & matematikawan Perancis, penemu sistem koordinatCartesius, yang terkenaldengan ucapannya “Cogito ergo sum.” Karya utamanyaadalah “Discours de la méthode” (1637) dan “La geometrie” (1637).
![Page 4: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/4.jpg)
6.1 Fungsi dan Grafiknya
Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan Badalah suatu aturan yang mengaitkan setiap 𝑥 ∈ 𝐴dengan sebuah elemen tunggal 𝑦 ∈ 𝐵, ditulis
𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵𝑥 ↦ 𝑦.
Elemen y yang terkait dengan x disebut peta dari x(di bawah f), ditulis 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Bila 𝑓 𝑥 mempunyai rumus yang eksplisit, fungsif sering di-nyatakan sebagai persamaan 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
4
![Page 5: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/5.jpg)
Grafik Fungsi
Dalam kuliah ini, kita membatasi pembahasan padafungsi dari 𝐴 ⊆ ℝ ke 𝐵 ⊆ ℝ, yakni fungsi bernilaireal dengan peubah real.
Dalam hal ini, kita dapat menggambar grafik fungsi𝑓: 𝐴 → 𝐵 sebagai grafik persamaan 𝑦 = 𝑓 𝑥 padasistem koordinat Cartesius.
Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikalyang memotong A akan memotong grafik tepat padasatu titik (tidak boleh lebih).
Himpunan A biasanya merupakan himpunan ter-besar pada mana f terdefinisi, yang disebut sebagaidaerah asal f.
2/26/2017 5(c) Hendra Gunawan
![Page 6: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/6.jpg)
Grafik Fungsi y = x2
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 6
![Page 7: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/7.jpg)
Daerah Asal, Peta, dan Daerah Nilai
Jika f adalah sebuah fungsi dari A ke B dan 𝐻 ⊆ 𝐴, maka kita katakan bahwa f terdefinisi pada H.
Jika f terdefinisi pada H, maka kita definisikan peta dariH di bawah f sebagai
𝑓 𝐻 ∶= {𝑓 𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐻}.
Dalam hal 𝐻 = 𝐴, himpunan 𝑓(𝐴) disebut sebagaidaerah nilai f.
Catatan. 𝑓(𝐴) tidak harus sama dengan B.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 7
![Page 8: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/8.jpg)
Ilustrasi: Peta dari H di bawah f
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 8
![Page 9: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/9.jpg)
SOAL
Gambar grafik himpunan semua titik (𝑥, 𝑦) sedemikiansehingga
𝑦 = 5, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 1,2, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 1.
Jelaskan mengapa grafik tersebut merupakan grafiksebuah fungsi R ke R.
Tentukan daerah nilainya.
Tentukan pula peta dari [1, 2] di bawah fungsi tersebut.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 9
![Page 10: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/10.jpg)
6.2 Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional
Misalkan 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}. Fungsi 𝑝 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 dengan koefisien 𝑎𝑛 ≠ 0 disebut fungsipolinom berderajat n. Daerah asal polinom apapunadalah R.
Fungsi 𝑓 𝑥 =𝑃 𝑥
𝑄 𝑥dengan P dan Q polinom
disebut fungsi rasional. Daerah asalnya adalah𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑄 𝑥 ≠ 0 .
Sebagai contoh, fungsi 𝑓 𝑥 =𝑥−1
𝑥2+1adalah fungsi
rasional, dengan daerah asal R.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 10
![Page 11: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/11.jpg)
6.3 Operasi pada Fungsi; Funsi Invers
Misalkan 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐴 → ℝ. Kita definisikan
- jumlah:𝑓 + 𝑔 𝑥 ≔ 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.
- hasil kali dengan skalar:𝜆𝑓 𝑥 ≔ 𝜆 ⋅ 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.
- hasil kali:𝑓𝑔 𝑥 ≔ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.
- hasil bagi:𝑓
𝑔𝑥 ≔
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑔 𝑥 ≠ 0.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 11
![Page 12: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/12.jpg)
Fungsi Komposisi
Misalkan 𝐴, 𝐵 ⊆ ℝ, 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵, dan 𝑓: 𝐵 → ℝ. Kita definisikan fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 ∶ 𝐴 → ℝ sebagai
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ≔ 𝑓 𝑔 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.
Perhatikan bahwa utk setiap 𝑥 ∈ 𝐴, kita mempunyai
𝑥 ↦ 𝑔 𝑥 ↦ 𝑓(𝑔(𝑥)).
Di sini fungsi 𝑔 beroperasi terlebih dahulu terhadap𝑥, dan setelah itu fungsi 𝑓 beroperasi terhadap 𝑔(𝑥).
12
![Page 13: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/13.jpg)
Fungsi Invers (1)
Misalkan A dan B adalah himpunan dan f adalahfungsi dari A ke B. Ini berarti bahwa bahwa setiapanggota 𝑎 ∈ 𝐴 mempunyai sebuah peta tunggal𝑏 = 𝑓 𝑎 ∈ 𝐵.
Kita sebut 𝑓−1fungsi invers dari f apabila 𝑓−1
merupakan fungsi dari B ke A dengan sifat
𝑥 = 𝑓−1(𝑦) jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Tidak semua fungsi mempunyai fungsi invers.
13
![Page 14: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/14.jpg)
Fungsi Invers (2)
Dari definisi tadi jelas bahwa 𝑓: 𝐴 → 𝐵 mempunyaifungsi invers 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 jika dan hanya jika setiap𝑏 ∈ 𝐵 merupakan peta dari sebuah anggota tunggal𝑎 ∈ 𝐴. Fungsi dengan sifat ini disebut sebagai suatukorespondensi 1-1 antara A dan B.
Dari grafiknya, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 merupakan korespondensi1-1 antara A dan B jika dan hanya jika setiap garisvertikal yang memotong A juga memotong grafik ftepat pada sebuah titik dan setiap garis horisontalyang memotong B juga akan memotong grafik f tepatpada sebuah titik.
14
![Page 15: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/15.jpg)
SOAL
Misalkan 𝑓 ∶ 0,1 → [0,1] didefinisikan sebagai
𝑓 𝑥 =1 − 𝑥
1 + 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,
dan 𝑔: 0,1 → [0,1] didefinisikan sebagai
𝑔 𝑥 = 4𝑥 − 4𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Tentukan aturan untuk 𝑓 ∘ 𝑔 dan 𝑔 ∘ 𝑓.
Apakah mereka sama?
15
![Page 16: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/16.jpg)
6.4 Fungsi Terbatas
Misalkan f terdefinisi pada H. Kita katakan bahwa fterbatas di atas pada H oleh suatu batas atas Mapabila untuk tiap 𝑥 ∈ 𝐻 berlaku
𝑓 𝑥 ≤ 𝑀.
Ini setara dengan mengatakan bahwa himpunan
𝑓 𝐻 = {𝑓 𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐻}
terbatas di atas oleh M.
16
![Page 17: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/17.jpg)
Nilai Maksimum Fungsi
Jika f terbatas di atas pada H, maka menurut SifatKelengkapan 𝑓(𝐻) mempunyai supremum. Misalkan
𝑀 ≔ sup𝑥∈𝐻
𝑓(𝑥) = sup 𝑓(𝐻).
Secara umum, belum tentu terdapat 𝑐 ∈ 𝐻 sehingga𝑓(𝑐) = 𝑀. Jika terdapat 𝑐 ∈ 𝐻 sehingga 𝑓(𝑐) = 𝑀, maka M disebut sebagai nilai maksimum f pada Hdan nilai maksimum ini tercapai di c.
Fungsi terbatas di bawah dan nilai minimumdidefinisikan secara analog.
17
![Page 18: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/18.jpg)
Fungsi Terbatas
Fungsi yang terbatas di atas dan terbatas di bawahdisebut fungsi terbatas (pada daerah asalnya).
Menurut proposisi, f terbatas pada A jika dan hanyajika terdapat K > 0 sedemikian sehingga
𝑓 𝑥 ≤ 𝐾, 𝑥 ∈ 𝐴.
18
![Page 19: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c79da3009d3f2bd0e8bc4c6/html5/thumbnails/19.jpg)
SOAL
Selidiki apakah fungsi 𝑓: 0,1 → [0,1] yang didefinisikan sebagai
𝑓 𝑥 =1 − 𝑥
1 + 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,
terbatas serta mencapai nilai maksimum danminimumnya.
19