ma23 - unidade 18-2moodle.profmat-sbm.org.br/ma23/2014-2/u18-2.pdf · 2014. 10. 8. · ma23 -...

MA23 - Unidade 18-2Equacao Cartesiana do Plano

Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira:Livro Texto

J. Delgado, K. Frensel e L. Crissaff. Geometria Analıtica. ColPROFMAT

PROFMAT - SBM

Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. Delgado, K. Frensel e L. Crissaff. Geometria Analıtica. Col PROFMAT (PROFMAT - SBM)MA23 - Unidade 18-2 1 / 12

Equacao cartesiana do plano no espacoConsidere o plano

π : A + s ~w1 + t ~w2; s, t ∈ R

Sabemos que

P ∈ π ⇐⇒[−→AP, ~w1, ~w2

]= 0⇔

⟨−→AP, ~w1 × ~w2

⟩= 0

Seja ~n = ~w1 × ~w2 (vetor normal ao plano). Entao

P ∈ π ⇐⇒⟨−→AP, ~n

⟩= 0

π : 〈P, ~n〉 = 〈A, ~n〉 ou 〈P, ~n〉 = cte.


Equacao cartesiana do plano no espaco

π : 〈P, ~n〉 = 〈A, ~n〉

Em coordenadas, se ~n = (a, b, c) 6= ~0, A = (x0, y0, z0) e P = (x , y , z):

π : ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0

π : ax + by + cz = d


Exemplos

1. Determine o plano que passa por A (−1, 1, 2), B (1, 2, 2) e C (1, 3, 3)2. Encontre o conjunto dos pontos equidistantes de A (2, 2, 3) eB (4, 0,−3).


Exemplo 1Determine o plano que passa por A (−1, 1, 2), B (1, 2, 2) e C (1, 3, 3)

Fazemos

~w1 =−→AB = (2, 1, 0) e ~w2 =

−→AC = (2, 2, 1)

Entao~n = ~w1 × ~w2 = (1,−2, 2)

O plano ex − 2y + 2z = d

onded = xA − 2yA + 2zA = −1− 2 + 4 = 1

Resposta:x − 2y + 2z = 1


Exemplo 2Encontre o conjunto dos pontos equidistantes de A (2, 2, 3) e B (4, 0,−3).

E um plano passando pelo medio M (3, 1, 0) e normal ao vetor−→AB = (2,−2,−6).Equacao cartesiana

2x − 2y − 6z = 2 · 3− 2 · 1− 6 · 02x − 2y − 6z = 4

x − y − 3z = 2


Posicao Relativa: Ponto e PlanoConsidere o ponto P (xP , yP , zP) e o plano

π : ax + by + cz = d

EntaoP ∈ π ⇔ axP + byP + czP = d

Basta substituir!!!


Posicao Relativa: Reta e PlanoConsidere a reta r e o plano π (com vetor normal ~n = (a, b, c)):

r : A + t~v ; t ∈ Rπ : ax + by + cz = d

1 Se 〈~v , ~n〉 6= 0, entao r e π se intersectam em um ponto;2 Se 〈~v , ~n〉 = 0, entao

1 Se A ∈ π entao r ⊂ π;2 Se A /∈ π entao r ‖ π.


Posicao Relativa: Dois PlanosConsidere os vetores ~n1 = (a1, b1, c1) e ~n2 = (a2, b2, c2) e os planos

π1 : a1x + b1y + c1z = d1

π2 : a2x + b2y + c2z = d2

1 Se ~n1 e ~n2 forem LI, entao a intersecao e uma reta de direcao ~n1× ~n2;2 Se ~n2 = λ~n1 para algum λ ∈ R

1 Se d2 6= λd1, entao π1 ‖ π2.2 Se d2 = λd1, entao π1 = π2.


ExemploDetermine a intersecao dos planos

π1 : x + y − z = 2

π2 : −x + y + 2z = 0



π1 : x + y − z = 2

π2 : −x + y + 2z = 0

Procuremos um ponto comum. Tomando por exemplo z = 0 ficamos como sistema

x + y = 2

−x + y = 0

cuja solucao e x = y = 1. Assim, o ponto (1, 1, 0) esta na intersecao dosplanos.



π1 : x + y − z = 2

π2 : −x + y + 2z = 0

Agora procuremos um vetor paralelo a π1 e π2, isto e, ortogonal a ambos~n1 = (1, 1,−1) e ~n2 = (−1, 1, 2). Uma opcao e

~n1 × ~n2 = (3,−1, 2)

Enfim, a reta pedida e

r : (1, 1, 0) + λ (3,−1, 2)


ma23 - unidade 18-2moodle.profmat-sbm.org.br/ma23/2014-2/u18-2.pdf · 2014. 10. 8. · ma23 -...

Documents