ma1201 matematika 2a - fmipa personal blogs /...
TRANSCRIPT
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
29 Januari 2014
Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu
7 3 Integral Trigonometrik7.3 Integral Trigonometrik
Menghitung beberapa integral trigonometrik
7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan
Menghitung integral dengan teknik substitusiMenghitung integral dengan teknik substitusiyang merasionalkan
1/29/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
7 5 Integral Fungsi Rasional7.5 Integral Fungsi Rasional
Menghitung integral fungsi rasional denganmenggunakan pecahan parsialmenggunakan pecahan parsial
7 6 Strategi Pengintegralan7.6 Strategi Pengintegralan
Mengetahui apa yang harus dilakukan biladihadapkan pada suatu bentuk integraldihadapkan pada suatu bentuk integral
1/29/2014 3(c) Hendra Gunawan
7.5 INTEGRAL FUNGSI RASIONALMA1201 MATEMATIKA 2A
7.5 INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Menghitung Integral Fungsi RasionalMenghitung Integral Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsipolinom. Secara umum, fungsi rasional dapatdituliskan sebagai
dengan P Q dan R polinom dan derajat R <,)()( )(
)(xQxRxPxf
dengan P, Q dan R polinom, dan derajat R < derajat Q. Integral dari P(x) dapat diperolehdengan mudah Karena itu untuk menghitungdengan mudah. Karena itu, untuk menghitungintegral dari f(x), kita perlu mengetahui bagai‐mana menghitung integral dari R(x)/Q(x)mana menghitung integral dari R(x)/Q(x).
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Contoh/LatihanContoh/Latihan
1. Tentukan dxx
11
2
Jawab: x 12
ddxdx 11
dx
xdx
xdx
x 111 222
tan)1ln( 121 Cxx .tan)1ln(2 Cxx
1/29/2014 6(c) Hendra Gunawan
2. Tentukan dxxx 1
2
2
Jawab: xx )1( 2
1/29/2014 7(c) Hendra Gunawan
Dekomposisi atas Faktor LinearDekomposisi atas Faktor Linear
3 Misalkan kita hendak menghitung 1 dx3. Misalkan kita hendak menghitung
Perhatikan bahwa
.12
dxx
.11)1)(1(
11
1 21
21
2
Jadi11)1)(1(12 xxxxx
111
dx
xdx
xdx
x 11
11
11
21
21
2
|1|ln|1|ln 11 Cxx 1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 8
.|1|ln|1|ln 22 Cxx
4. Tentukan dx)(
1
Petunjuk: Tuliskan dan
xx )1(1
BA
Petunjuk: Tuliskan dan
carilah nilai A dan B yang memenuhinya.1)1( xxxx
1/29/2014 9(c) Hendra Gunawan
5. Tentukan dxx 22
Jawab:
dxxxx )2)(1(
1/29/2014 10(c) Hendra Gunawan
6. Tentukan dx)(
12
Petunjuk: Tuliskan dan
xx )1( 2
122
CBxAPetunjuk: Tuliskan dan
carilah nilai A, B dan C yang memenuhinya.1)1( 22 xxxx
1/29/2014 11(c) Hendra Gunawan
7. Tentukan dx)(
12 xxx )52( 2
1/29/2014 12(c) Hendra Gunawan
8. Tentukan dx)(
12
Petunjuk: Tuliskan
xx )1(2
11)1(1
222
xC
xB
xA
xC
xBAx
xxcarilah nilai A, B dan C yang memenuhinya.
1/29/2014 13(c) Hendra Gunawan
9. Tentukan dx13
Petunjuk: Faktorkan dahulu x3 – 1.
x 13
1/29/2014 14(c) Hendra Gunawan
Persamaan Diferensial LogistikPersamaan Diferensial Logistik
Pada semester I kita membahas persamaanPada semester I, kita membahas persamaandiferensial y’ = ky yang terkait dgn pertumbuhansuatu populasi y = y(t) Di sini kita mengasumsi‐suatu populasi y = y(t). Di sini kita mengasumsikan bahwa ruang tidak terbatas, sehinggapopulasi dapat bertumbuh terus (tak terbatas)populasi dapat bertumbuh terus (tak terbatas).
Bila ruang terbatas, maka ada kapasitas maksi‐mum L dan persamaan diferensialnya menjadimum L, dan persamaan diferensialnya menjadi
y’ = ky(L – y), yang dikenal sebagai persamaandif i l l i ikdiferensial logistik.1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 15
10. Suatu populasi bertumbuh sesuai dgn per‐p p g psamaan logistik y’ = 0.01y(250 – y). Populasi awaldiketahui 100. Tentukan populasi pada saat t = 5.p p p
Jawab:
1/29/2014 16(c) Hendra Gunawan
7.6 STRATEGI PENGINTEGRALANMA1201 MATEMATIKA 2A
7.6 STRATEGI PENGINTEGRALAN
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Berbeda dengan turunan, tidak ada aturan pengintegralanyang berlaku secara umum.Bila kita dihadapkan pada suatu bentuk integral tak tentumaka yang dapat kita lakukan adalah:maka yang dapat kita lakukan adalah:1. Coba hitung integral tsb dgn teknik substitusi, bila ada
substitusi yg dpt mengubah integral tsb ke salah satubentuk baku yang kita kenal.
2. Bila teknik substitusi gagal, coba hitung integral tsbdengan pengintegralan parsialdengan pengintegralan parsial.
3. Bila integral mengandung bentuk akar, coba substitusiyang merasionalkan.y g
4. Jika integrannya merupakan fungsi rasional, hitunglahintegralnya dengan mendekomposisi integrannya atasf k f k li d / k d ikfaktor‐faktor linear dan/atau kuadratiknya.
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Contoh/LatihanContoh/Latihan
1. Tentukan dxxe x2
Jawab:
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 19
2. Tentukan dxxln
Jawab:
x
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 20
3. Tentukan dxxx .1
Jawab:
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 21
4. Tentukan dxx2
2sin
Jawab:
dxx2cos
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 22
5. Tentukan 2
dx
Jawab:
2169 x
1/29/2014 23(c) Hendra Gunawan
PR. Tentukan dxx4
dxx 115 4
1/29/2014 24(c) Hendra Gunawan