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SBP Chapitre M7 (G2) /13

Géométrie 2

Chapitre M7 Géométrie 2

GEOMETRIE ET NOMBRES

Capacités Connaissances

Utiliser les théorèmes et les formules pour :

•calculer la longueur d’un segment, d’un cercle ; •calculer la mesure, en degré, d’un angle ; •calculer l’aire d’une surface ;

•calculer le volume d’un solide ; •déterminer les effets d’un agrandissement ou d’une réduction sur les longueurs, les aires et les volumes.

Somme des mesures, en degré, des angles d’un triangle.

Formule donnant la longueur d’un cercle à partir de celle de son rayon.

Le théorème de Pythagore.

Le théorème de Thalès dans le triangle.

Formule de l’aire d’un triangle, d’un carré, d'un rectangle, d’un disque.

Formule du volume d’un cube, d’un parallélépipède rectangle.

Contenu du dossier :

c Cours c Exercices Partie 1 : Pythagore (CH8 pages 101-114) c Correction exercices 1 (Pythagore) c Evaluation EM10 (Pythagore) c Correction évaluation EM10 c Correction exercices 2 (Thalès) c Evaluation EM11 (Thalès) c Correction évaluation EM11 c Exercices Partie 2 : Aires & volumes c Correction exercices aires & volumes c Exercices Partie 3 : Trigonométrie c Correction exercices Trigonométrie c Evaluation EM12 (Aires & volumes-Trigonométrie) c Correction évaluation EM12

SBP M7


Géométrie 2

PARTIE A : Théorème de Pythagore & Théorème de Thalès

I. Théorème de Pythagore

I.1 Théorème de Pythagore

Dire que le triangle ABC est rectangle en A revient à dire que BC² = AB² + AC²

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC on a BC² = AB² + AC² alors le triangle est rectangle en A.

(BC étant le plus grand côté, s’il est rectangle il est appelé hypoténuse)

Activité 1

Le triangle ABC ci-contre est rectangle en A.

1. En mesurant sur la figure, relier chaque longueur à sa valeur, en mm.

AB • • 21

AC • • 35

BC • • 28

2. Contrôler l'égalité BC2 = AB2 + AC2. Pour cela, calculez:

BC2= ;AB2 + AC2= + =

Activité 2 : Sur la figure suivante, BC = 4 cm.

1. a) Avec un compas, compléter la figure par un point A, placé au-dessus de [BC], tel que:

AB = 3,2 cm et AC = 2,4 cm.

b) Tracer le triangle ABC.

c) Calculer: BC2 = =

AB2 + AC2= + =

d) L'égalité BC2 = AB2 + AC2 est-elle vraie? c Oui c Non

2. Ce triangle apparaît-il rectangle en A? c Oui c Non

Vérifier avec une équerre.


Géométrie 2

I.2. Comment calculer la Longueur d'un côté d'un triangle rectangle, connaissant Les deux autres?

Méthode 1

Étape 1 Écrire l'égalité de Pythagore.

Étape 2 Dans cette égalité, remplacer les deux longueurs connues par leurs valeurs.

Étape 3 Calculer la valeur du carré de la longueur inconnue.

Étape 4 Calculer la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape précédente.

Le triangle ABC, rectangle en A, est tel que BC = 20 et AC = 5. Calculer AB. Donnez sa valeur arrondie à 0,01 près.

Étape 1 : BC2 = AB2+

Etape 2 : =AB2+

Étape 3 : On en déduit que AB2 = - =

Étape 4 : AB = ………. Donc, à 0,01 près, AB≈

I.3. Comment vérifier qu'un triangle est rectangle ou ne l'est pas?

Réciproque du théorème de Pythagore

Méthode 2

Pour un triangle dont les longueurs de côtés sont a, b et c.

Étape 1 Repérer la plus grande longueur, par exemple a.

Étape 2 Calculer, d'une part a2 d'autre part b2 + c2.

Étape 3 Comparer les deux résultats obtenus:

• Si a2 = b2 + c2, alors le triangle est rectangle. Son hypoténuse est le côté de longueur a.

• Si a2 ≠ b2 + c2, alors le triangle n'est pas rectangle.

Parmi les 2 triangles représentés ci-contre, lequel est rectangle et lequel ne l’est pas ? 5 28


Géométrie 2

a) Triangle BAC • On détermine le plus grand côté.

La plus grande côté est [ ]

• On l’élève au carré ………² = ……….² = ………..

• On additionne les carrés des deux autres côtés ………..² + ………..² = ………² + ……….² = ……………….

• On compare les résultats …………² = ou ≠ …………²+………..²

• On conclut Le triangle BAC est ou n’est pas rectangle, car la propriété de Pythagore est ou n’est pas vérifiée.

b) Triangle SOL

• On détermine le plus grand côté. Le plus grand côté est [ ]

• On l’élève au carré ………² = ……….² = ………..

• On additionne les carrés des deux autres côtés ………..² + ………..² = ………² + ……….² = ……………….

• On compare les résultats …………² = ou ≠ …………²+………..²

• On conclut Le triangle ABC est ou n’est pas rectangle, car la propriété de Pythagore est ou n’est pas vérifiée.

I.4. Calcul de longueur a. Calcul de la longueur de l’hypoténuse

B

2

A 3,5 C

E

1,5

D 2,5 F


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b. Calcul de la longueur d’un côté autre que l’hypoténuse

Exercices :o 1 page 101 o 6 page 102 o 12 page 102

Problème :o 69 page 110.

II. Théorème de Thalès

Soient un triangle ABC et [MN] une parallèle au côté [BC] coupant [AB] en M et [AC] en N. Si (BC)//(MN) alors 𝑨𝑴

𝑨𝑩 = 𝑨𝑵

𝑨𝑪 = 𝑴𝑵

𝑩𝑪

Comment utiliser le théorème de Thalès ?

II.1. Pour calculer une longueur.

Sur la figure, les droites (BC) et (DE) sont parallèles,

AB = 4, AC = 3, AD = 2,4 et DE = 1,2.

Calculer les longueurs AE et BC.

• En considérant les triangles ABC et ADE, les droites (…….) et (………) sont ……………………………………………… . On se trouve donc dans un cas de figure de …………………………… .

• D’après Thalès : ………….………….

= ………….………….

= ………….………….

• Remplacer les longueurs connues par leurs valeurs : ………….………….

= ………….………….

= ………….………….

• Pour la longueur AE, l’égalité permettant son calcul est :

……..………..…

= 𝑨𝑬…………

Déduire que AE = …………𝐗…………….…………..

=

K

I 4 ?

3,2 J

7

P R ?

Q

5


Géométrie 2

• Pour la longueur BC, l’égalité permettant son calcul est : ……..………..…

=….𝑩𝑪

Déduire que BC = …………𝐗…………….…………..

= ……………..

II.2. Pour vérifier que deux droites sont parallèles. Sur la figure, OM = 3 ; ON = 2,5 ; OP = 1,8 ; OQ = 1,5 ; OR = 1,2 ; OS = 0 ,9. a) Les droites (MN) et (PQ) sont-elles parallèles ? b) Les droites (MN) et (RS) sont-elles parallèles ?

Cas des droites (MN) et (PQ)

• Il faut trouver des triangles placés dans le cas d’une figure de Thalès. Les triangles ……………… et ……………. sont placés dans un cas de figure de Thalès.

• Calculer les rapports :

-.-/

= …………………………

= …………………. et

-0-1

= …………………………

= ………………..

• Comparer les deux résultats obtenus :

On constate que -.-/

= ou ≠ -0-1

• Conclure: les droites (MN) et (PQ) sont ou ne sont pas parallèles.

Cas des droites (MN) et (RS)

• Il faut trouver des triangles placés dans le cas d’une figure de Thalès. Les triangles ……………… et ……………. sont placés dans un cas de figure de Thalès.

• Calculer les rapports : ……………

……………. = ……………

…………… = ………………….

et …………….

…………… = ……………

…………… = ………………..

• Comparer les deux résultats obtenus :

On constate que ……………………………………..

= ou ≠ ………………..………………

• Conclure: les droites (MN) et (RS) sont ou ne sont pas parallèles.

Exercices : c Ex 13 p 102 c Ex 14 p 103 c Ex 17 p 103

c Ex 18 p 103 c Ex 20 p 103 c Ex 21 p 103

c Ex 22 p 103 c Ex 23 p 103

Problèmes : c Ex 59 p 109 c Ex 68 p 110


Géométrie 2

PARTIE B : Périmètres- Aires- Volumes

III. Longueurs-Aires-Volumes

III.1. Unités a) Unités de longueurs

Unité : Symbole : Multiples et sous multiples : compléter le tableau ci-dessous :

Noms Symboles Coefficient multiplicateur

103

100

décamètre

mètre m 1 100

dm

0,01

10-3

micromètre

nanomètre

Applications Conversion en mètre Notation scientifique

0,35 km = 350 m = 3,5 × 102 m

2 km 7 dam = m = m

3 150 cm = m = m

0,41 dm = m = m

0,5 cm = m = m

Conversion en centimètre Notation scientifique

26 km = cm = m

7,3 m = cm = m

198 m = cm = m

26,5 dam = cm = m

47,03 dam = cm = m


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b) Unités d’aire

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

Application

3,2 m² = dm² 34 cm² = 3 400

0.3 dm² = cm² 452 mm² = 4,52

10 300 cm² = m² 13 000 cm² = 130

0,045 mm² = cm² 0,007 m² = 70

0,13 cm² = mm² 4 500 000 mm² = 4,5

c) Unités de volume

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

hL L dL cL mL

Applications

0,045 m3 = dm3 4 500 m3 = 4,5 . 1012 .

2,3 dm3 = mm3 75,4 L = 0,0754

4 . 10-9 m3= mm3 4,75 cm3 = 4 750

4,8 dm3 = cm3 2650 cm3 = 0,00265

50 m3 = L 0,124 m3= 124 000

4,7 mL = mm3 415 mm3= 0,00415 .


Géométrie 2

III.2. Périmètre et aires

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Géométrie 2

III.3. Volumes

Exercices : c Ex 24 p 104 c Ex 25 p 104 c Ex 27 p 104 c Ex 30 p 104 c Ex 32 p 105 c Ex 34 p 105

Problèmes : c Ex 63 p 109 c Ex 66 p 110

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Géométrie 2

IV. Effet d’un agrandissement ou d’une réduction

Lorsque les longueurs d’une figure F sont multipliés par un même nombre k, on obtient une figure F’ proportionnelle à F qui est :

- Une réduction de la figure F si k < 1 - Un agrandissement de la figure de la figure F si k >1

k est le facteur (ou coefficient) d’agrandissement ou de réduction.

- L’aire de F’ obtenue est égale au produit de l’aire de F par un facteur k². - Le volume de F’ obtenu est égal au produit du volume de F par le facteur k3.

Application

Pour une exposition, on veut construire une maquette de l’Arche de la Défense en carton, fidèle aux dimensions réelles de l’Arche mais 100 fois plus petite.

Le facteur de réduction est donc k =

Ainsi, pour connaître l’aire du carton qui représentera le toit de l’Arche de la Défense, on doit multiplier l’aire réelle du toit par :

Aire réelle du toit : A = 1 hectare = m².

Aire du toit de la maquette se calcule par :

A =

Donc l’aire du toit de la maquette est m².

Exercices : c Ex 37 p 105 c Ex 43 p 106

Problème :c Ex 59 p 109


Géométrie 2

PARTIE C : Trigonométrie dans le triangle rectangle

V. Angles et triangle V.1 Angles d’un triangle

La somme des angles d’un triangle est égale à 180° : c’est la valeur qui correspond à l’angle plat.

Application :

Dans le triangle ci-contre, donnez la valeur de l’angle 𝐴 .

V.2 Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, on peut utiliser les relations trigonométriques pour déterminer soit une longueur, soit un angle.

𝑠𝑖𝑛𝛼 = 9ô;é=>>=?é@A>=;éBC?D

𝑐𝑜𝑠𝛼 = 9ô;éGHIG9DB;@A>=;éBC?D

𝑡𝑎𝑛𝛼 = 9ô;é=>>=?é9ô;éGHIG9DB;

Calculer un angle

Calculer la mesure de l’angle 𝐵 (au dixième près) du triangle ABC rectangle en A lorsque :

a) AB = 5 cm et AC = 4cm - Faire un schéma à main levée du triangle avec ses mesures.

- Choisir la relation à utiliser en fonction des données du triangle que l’on connaît.


Géométrie 2

- Calculer la valeur du sinus, cosinus ou tangente puis utiliser la calculatrice pour connaître la valeur de l’angle.

Méthode Etape 1: véri • Modèle Casio : MENU → RUN → EXE Vérifier que vous êtes en mode « degré « → SHIFT→ MENU ( SET UP) →avec les flêches,

descendre jusqu’à « angle » →F1 (DEG) → EXE Calculer le sinus, cosinus ou tangente en utilisant les relations trigonométriques ; → SHIFT → SIN

(ou COS ou TAN)(affichage : sin-1) → EXE

Soit 𝐵 = ………..

b) AB = 5 cm et BC = 7 cm

Calculer une longueur

Calculer la longueur AC du triangle ABC rectangle en A lorsque BC = 8 cm et 𝐵=30°

- Faire un schéma à main levée du triangle avec ses mesures.

- Choisir la relation à utiliser en fonction des données du triangle que l’on connaît.

- Transformer la formule pour isoler BC.

Exercices : c Ex 45 p 106 c Ex 48 (1 ;3 ;5 ; 7) p 107 c Ex 54 p 107

c Ex 55 p 108

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