21

AC kontrol hacminin akışa dik kesit alanını gösterir.

ACx =∆z ∆y ACy =∆z ∆x ACz =∆x ∆y [=] m2

Denge bölgesinin hacmi ∆V= ∆x ∆y ∆z [=] m3

smmol][r

mmole][C 3A3A ==

Adım 3: Kontrol (diferensiyel) hacmi (∆x∆y∆z) üzerinde "A" maddesinin molar denge

eşitliğini yazalım.

{ } { }∆x∆y∆z

miktarı molmaddesiA biriken

hacminde∆x∆y∆z

∆x∆y∆z

miktarı molmaddesiA

harcananolusan/ hacminde ∆x∆y∆z

alandik Akisa

akisimolar deki ∆zz∆y,y

∆x,xmaddesininA

alandik Akisa

akisimolar deki zy,x,

maddesininA

=

+

+++

−

Adım 4: Molar denge eşitliğini matematiksel terimlerle ifade edelim;

)(

)()(

)()()()(

zxyCt

zxyrxyNxyN

zxNzxNzyNzyN

AAzzzAzzA

yyyAyyAxxxAxxA

∆∆∆∆∆

=∆∆∆−∆∆−∆∆

+∆∆−∆∆+∆∆−∆∆

∆+

∆+∆+

x ve y doğrultularındaki molar akı değişimlerinin z doğrultusundakiler kadar önemli

olmadığını ve ihmal edilebileceğini varsayalım. Bu takdirde,

( ) ( ) ( )zxyCt

)zxy(rxyNxyN AAzzzAzzA ∆∆∆∆∆

=∆∆∆−∆∆−∆∆∆+

Denklemin iki tarafı diferansiyel hacim (∆x∆y∆z) bölüp ∆x, ∆y ve ∆z i sıfıra yaklaştıralım.

Sonsuz küçük zaman adımının limiti alınıp, belirli zaman artışı (∆t) yerine diferensiyel zaman

elemanı konularak aşağıdaki kısmi diferansiyel denklem elde edilir:

( ) ( )AAzA Ct

rNz ∂

∂=−

∂∂

−

Molar akının tanımı:

AzA

AzA Cvz

CDN +∂

∂−=

Difüzyon akımından oluşan akı Yığın akımından

oluşan akı

Burada DA, A nın difüzyon katsayısı, vz z doğrultusundaki hızdır. Molar akı eşitliği molar

kütle dengesine yerleştirilirse, aşağıdaki ifade elde edilir:

tCr

zCv

zCD A

AA

zA

A ∂∂

=−∂

∂−

∂∂ 2

2

22

Bu eşitlik bir dilimdeki A nın eksenel doğrultudaki konsantrasyon dağılımını veren bir

kararsız hal tek boyutlu, ikinci mertebe kısmi diferansiyel denklemdir.

Yüksek akış hızlı sistemlerde difüzyon nitelikli akı ihmal edilebilir. Böylece,

AzzA CvN =

Durgun veya çok düşük akış hızlı sistemlerde yığın akısı ihmal edilebilir. Böylece A

nın z doğrultusundaki akısı aşağıdaki ifadeye indirgenir.

zCDN A

AzA ∂∂

−=

Durum 2: Bir Atık Toplama Tankının Modellenmesi

Bir kimyasal üretim tesisinin kirletici (A) içeren atık suyu son boşaltımdan önce hacmi

V olan bir toplama tankında kirletici (A) konsantrasyonu ile orantılı bir hızla bozunuyor.

Yoğunluk etkilerini ihmal ederek ve reaksiyonun birinci mertebe olduğunu varsayarak

kirletici bileşen kütle dengesini yazalım.

rA=-kCA V

CA

oAQC

QCA

Adım 1: Bir denge bölgesi seçelim: tüm reaktör (yığın parametresi)

Adım 2: Taşınım akımlarını belirtelim: Tankın içine molar akış ve tanktan dışarı molar akış

Adım 3: Denge eşitliğini sözlü olarak yazalım.

A bileşeninin molar dengesi için,

=

±

−

hizi birikimhacmindeki Vnin A

hizi harcanma / olusmahacmindeki Vnin A

akisimolar disariden Vnin A

akisimolar içine Vnin A

Adım 4: Denge eşitliğini matematiksel terimlere çevirelim.

t

)(C rFF AçikişAgirişA ∆

∆=±− VVA

için)reaksiyon (1.mertebe

QC F

QCF

AçikişA

AgirişA

AA

o

kCr =

=

=

Birimler: C[=] mol/m3, V[=]m3, Q[=]m3/s, F[=]mol/s, k[=]1/s, r[=] mol/m3/s, t[=]s

23

Molar akış yerine konsantrasyon ve hacimsel akış hızı yazılarak ve sonsuz küçük

zaman adımının limiti alınıp, belirli zaman artışı (∆t) yerine diferensiyel zaman elemanı

konularak aşağıdaki kısmi diferansiyel denklem elde edilir:

dt

)d(VCV kCQCQC AAAAo =−−

Bu eşitlik sabit hacimli kararsız TKAR ünün model denklemidir.

• Kararlı durumda çalıştırılan sürekli karıştırmalı tank (TKAR) içindeki koşullar zamanla

değişmediği için:

0=−− V kCQCQC AAAo

• Kesikli bir reaktördeki (daima kararsız) reaksiyon sırasında ne içeriye ne de dışarıya

reaktan veya ürün akışı olmadığından:

AA kC

dt)d(C

=

5. CEBİRSEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ

Bu bölümde kompleks cebirsel denklem sistemlerinin çözümü için dijital

bilgisayarlarda kullanılan iteratif işlemlerin altındaki temel kurallar ele alınacaktır. Daha

büyük sistemler için programlama yükünü basitleştirmek üzere alt programlar şeklinde

derlenen bir takım basit fakat güçlü yöntemler açıklanmıştır. Bunun amacı kimya

mühendisliği hesaplamalarında yaygın olan bir takım işleri yapacak bir alt program kitaplığı

kurmaktır. Günümüzde, buna benzer bir kısmı patentli bir kısmı serbest sistemler gitgide

çoğalmaktadır. Bu sistemler, bilgisayar üreticilerinin ortaya koyduğu bazı paket programlara

ek olarak endüstri şirketleri ve üniversiteler tarafından hazırlanmaktadır. Bu tür sistemlerin

varlığı, sistem modellemesi üzerinde çalışanlara kendi programlarını yapma olanağı sağlar.

Programlamanın bu şekilde basitleştirilmesi ile programcı veya analizci dikkati, sonuçların

analizi ve yorumu gibi, problemin daha önemli yönlerine yoğunlaşabilir.

Makro programların kullanılması, bilinen ve sık sık tekrarlanan kodlama işlemlerini

ortadan kaldırır. Ancak programcının olayların sırasını anlaması veya en azından kullanılan

belli bir programın temel prensiplerini ve sınırlamalarını anlama ihtiyacını ortadan kaldırmaz.

5.1. Doğrudan ve Dolaylı Denklemler

X=A+B

denkleminde A ve B bilindiğinde X doğrudan olarak belirlenebilir. Yani X, A ve B tarafından doğrudan tanımlanır.

24

X = Ax + B

denkleminde A ve B bilinse bile birtakım işlemler yapılmadan X doğrudan belirlenemez. Bu

anlamda

3 Y+2 x =2

2 Y+3 x =4

eşitlikleri de dolaylı denklemlerdir. Bir takım denklemlerle açıklandıklarında pek çok fiziksel

durumda lineer olmayan eş zamanlı denklemler yazmak gerekir. Yani değişkenler dolaylı

olarak tanımlanır ve bu durumlarda bir çözüm elde etmede tek pratik yöntem tam mükemmel

olmamakla birlikte oldukça başarılı olan sayısal yöntemlerdir. Yukarıdaki denklemlerin

çözümünde bazı basit yöntemler aşağıda verilmektedir.

Bu gibi denklemler basit işlemlerle çözülebilir. Gerçekte çözüm gözle görülebilecek

kadar basit olabilir. Ancak burada, iterasyonla çözüme yaklaşmada bir takım yöntemleri

göstermek için bu denklemler kullanılacaktır. Daha sonra doğrudan çözümü bulunmayan

daha kompleks durumlarda bu yöntemler kullanılabilir. En basit işlem doğrudan yerine

koyma işlemidir.

1. X için bir değer verilir (örneğin 3)

2. İlk denklemde X yerine 3 konularak Y bulunur.

3. İkinci adımda hesaplanan Y değeri 2. denklemde yerine konarak X hesaplanır.

4. Bu yeni X değeri ilk X değeri ile karşılaştırılır. Önceden belirlenen tolerans sınırı

içinde değilse yeni bir X değeri ile ikinci adıma dönülür.

5. 4. adımdaki tolerans sınırına ulaşıldığında, diğer işlemlere devam edilir

(ya sonuç yazılır veya diğer hesaplamalara devam edilir)

Aşağıdaki şekil yukarıda belirtilen işlemleri bir bilgi akışı şeklinde göstermektedir

Şekil 5.1 Yerine koyma yöntemindeki bilgi akışı

25

Bu işlemi gerçekleştirecek basit bir FORTRAN programında kullanılacak deyimler aşağıdaki gibi olabilir. C*****BASLANGIC BÖLÜMÜ 101 FORMAT(F10.5,1X,F10.5,F10.5) OPEN(4,FILE='KÖKCIKTI',STATUS='OLD',ACCESS='SEQUENTIAL') WRITE(*,102) WRITE (4,102) 102 FORMAT(5X, 'X Y XC',/,2X,'========',

/' ======== =======') C*****HESAPLAMA BÖLÜMÜ X=3 6 Y=(2.-2.*X)/3 XC=(4.-2*Y)/3 IF(ABS((XC-X)/X).LT.0.00001) GO TO 5 C*****YAZDIRMA WRITE(*,101) X,Y,XC WRITE(4,101) X,Y,XC X=XC GO TO 6 5 STOP END Aşağıdaki tablo her bir çevrimde kabul edilen ve hesaplanan sayısal değerleri göstermektedir. Çevrim X Y XC

======== ======== ======== ======= 1 3.00000 -1.33333 2.22222 2 2.22222 -0.81481 1.87654 3 1.87654 -0.58436 1.72291 4 1.72291 -0.48194 1.65463 5 1.65463 -0.43642 1.62428 6 1.62428 -0.41619 1.61079 7 1.61079 -0.40719 1.60480 8 1.60480 -0.40320 1.60213 9 1.60213 -0.40142 1.60095 10 1.60095 -0.40063 1.60042 12 1.60042 -0.40028 1.60019 13 1.60019 -0.40012 1.60008 14 1.60008 -0.40006 1.60004 15 1.60004 -0.40002 1.60002 Burada görüldüğü gibi X ve Y değerleri son 1.60002 ve -0.40002 değerlerine on beş çevrimde yaklaşmaktadır. Bu çevrimlerin grafik gösterimi aşağıda verilmektedir.

Şekil 5.2 Yerine koyma yönteminde kabul edilen ve hesaplanan sayısal değerler

0

1.6

yi

yj

zj

3.20 xi xj,0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2

1.6

1.2

0.8

0.4

0

26

Yukarıdaki cebirsel çözüm yaklaşımı yönteminde her X deneme değeri için bir hesap

değerinin ortaya çıkmasıdır (XC). Bu işlemin amacı bu iki değer arasındaki farkın tolerans

sınırının altına düşürülmesidir. Çoğunlukla bu fark değişkenin kendisinin kesri olarak ifade

edilir. Pek çok durumda % 0.01 'lik bir tolerans yeterli olmakla birlikte gerektiğinde

değiştirilebilir.

Karmaşık durumlarda modelde yer alan eşitlikler lineer değildir ve X ile XC arasında

çok sayıda eşitlik olabilir. Bu durum XC = f(X) ifadesi ile belirtilebilir.

Burada f (X) bir dizi doğrudan denklem olabilir.

Y=f1 (X)

Z=f2 (Y)

X=f3 (Z)

Buna göre hesaplama sırası aşağıdaki şekildedir.

veya en genel şekliyle,

XC ye karşı X grafiği çizilirse aşağıdaki gibi bir eğri bulunur. diagonal XC =X i

karşılayan bütün değerleri gösterir. Bu nedenle f(X) eğrisinin diagonali kesim noktası X=f(X)

durumunu gösteren çözüm noktasıdır.

Bu diyagram birtakım tipik fonksiyonları göstermede ve doğrudan yerine koyma

yöntemi için çözüme ulamada doğruluk derecesini belirlemede kullanılabilir.

1. Durum: Yeterli yakınsama, aşağıdaki şekil tatmin edici bir sonucun nispeten az birkaç

çevrimle elde edilebildiği tipik bir hali gösterir.

27

2. Durum: Yavaş yakınsama, bu durumda çözümü bulmak için pek çok çevrim gerekir.

3. Durum: Salınımlı kararsızlık bu durumda XC değeri doğru çözümün iki tarafında iki değer

(X1,X2) arasında gidip gelmeye devam eder.

4. Durum: Gitgide ıraksamalı kararsızlık, XC değerinin, doğrudan yerine koyma yöntemiyle

çözüm noktasından uzaklaştığı durumdur.

28

5. Durum: Salınımlı ıraksamalı kararsızlık, bu durumda hem x hem de xc bir ortalama

değerin etrafında çözüm noktasından sapmaların gitgide büyüdüğü bir tarzda çözümden

uzaklaşma vardır.

yukarıdaki durumların gösterdiği gibi, doğrudan yerine koyma yöntemi basit olmakla birlikte,

sadece 1. durum gibi iyi davranışlı hallerde doğru sonuç verir. Fakat 2.,3.,4. ve 5 durum gibi

daha karmaşık hallerde yetersiz veya başarısızdır. Bunun yerine doğrudan yerine koyma

yönteminin değiştirilmiş bir şekli kullanılır.

Kısmen Yerine Koyma Yöntemi

Bu yöntem bazen 3. durumdaki gibi salınımlı kararsızlık gösteren hallerde kullanılır.

Esas olarak eski deneme değeri ile elde edilen hesaplanan değer arasında bir değer verilmesi

yoluyla yerine getirilir. Bunun formülü,

X=X0 + (XC - X0).R

şeklindedir. burada Xo eski deneme değerini X yeni değeri gösterir. R oranı programcı

tarafından kararlı yakınsama sağlamak üzere ayarlanabilir. örneğin R=0,5 Xo la XC nin

ortalama değerinin yeni deneme değeri olduğunu belirtir. R=1 doğrudan yerine koymayı

gösterir. R nin küçültülmesi çözümüne yaklaşmada kararlılığı artırır.

Bu yöntem salınımlı ıraksamalı kararsızlık durumunda da etkilidir. Ancak bu kısmen

yerine koyma yöntemi 2. durumda gösterilen yavaş yakınsama halinde daha kötüdür ve

29

gitgide ıraksamalı kararsızlık halinde de yararsızdır. Bununla birlikte özel durumlarda

kullanışlı olduğu için yöntemi içine alan bir alt program aşağıda verilmektedir.

SUBROUTINE CPS(X,XC,R,NC) NC=2 IF(ABS((X-XC)/(X+XC)).LT.0.00001) NC=1 X=X+(XC-X)*R RETURN END

Burada X deneme değerini XC hesaplanan değeri, R kısmen yerine koyma oranını, NC

ise yakınsama indisini gösterir.

Bu alt programın nasıl kullandığına örnek olarak aşağıdaki denklemde X i bulalım.

X=(5.Y2+ 3. - 8.X0,8)0,36

Y değeri programda başka yerde verilsin. Bu denklemin çözümü için alt programa giriş ve

çıkışı da içeren aşağıda verilen bilgi akışına uygun bir FORTRAN programı kullanılabilir.

Şekil 5.3 Kısmi yerine koyma yöntemindeki bilgi akışı

C*****CPS ALTPROGRAMI ILE CEBIRSEL DENKLEMLERIN ÇÖZÜMÜ C*****BASLANGIC BÖLÜMÜ 101 FORMAT(F10.5,1X,F10.5)

OPEN(4,FILE='KÖK1CIKTI',STATUS='OLD',ACCESS='SEQUENTIAL') WRITE(*,102) WRITE(4,102)

102 FORMAT(5X, 'X XC',/,2X,'======== ========') C*****HESAPLAMA BÖLÜMÜ

X=5 Y=3

30

6 XC=(5.*Y**2+3.*SQRT(X)-8.*X**0.8)**0.36 C*****YAZDIRMA

WRITE(*,101) X,XC WRITE(4,101) X,XC CALL CPS(X,XC,0.5,NC) IF(NC.NE.1) GO TO 6 STOP END

Yukarıdaki programın değişik R değerleri için çalıştırılmasıyla elde edilen sonuçlar

aşağıda verilmektedir.

R=1,0 X XC

====== ====== 5.00000 3.07813 3.07813 3.42646 3.42646 3.36621 3.36621 3.37670 3.37670 3.37488 3.37488 3.37519 3.37519 3.37514

R=0.5 X XC ====== ======= 5.00000 3.07813 4.03906 3.25754 3.64830 3.32729 3.48779 3.35549 3.42164 3.36705 3.39435 3.37180 3.38308 3.37377 3.37842 3.37458 3.37650 3.37491 3.37571 3.37505 3.37538 3.37511 3.37524 3.37513 3.37519 3.37514

Kısmi yerine koyma yönteminin tek avantajı programcıya çözüme ulaşma sürerken

yerine koyma oranı R yi ayarlamak suretiyle, elle müdahale etme fırsatını sağlamasıdır.

Salınımlı kararsızlık gösteren hallerde bu çok kullanışlıdır. Bununla birlikte yakınsamayı

bilinen bütün durumlar için gerçekleştirmeye yarayacak daha genel bir yöntem gerekir. Bu

yöntemler içinde burada sadece Wegstein ve Newton-Raphson yöntemleri ele alınacaktır.