1

M10 – Limieten van rijen

Inleiding

We willen het asymptotisch gedrag of het limietgedrag van een rij (𝑥𝑛)𝑛 ∈ 𝑁 beschrijven,

d.w.z. we willen beschrijven hoe xn zich gedraagt als n ‘zeer groot’ wordt.

2

Rijen met een EINDIGE limiet

- We noemen a de limiet van de rij (𝑥𝑛)𝑛 ∈ 𝑁

- Keuze van 𝑛0 is afhankelijk van de keuze van 𝜀

3

Rijen met een ONEINDIGE limiet

- We noemen plus oneindig de limiet van de rij (𝑥𝑛)𝑛 ∈ 𝑁

- Keuze van 𝑛0 is afhankelijk van de keuze van 𝑀

4

Basiseigenschappen van limieten

Omgekeerde is niet noodzakelijkerwijs waar!!

5

Stijgende en dalende rijen

Elke stijgende rij (𝒙𝒏)𝒏 ∈ 𝑵 heeft een limiet; bovendien is deze …

- … eindig a.s.a. deze rij naar boven begrensd is

- … oneindig a.s.a. deze rij niet naar boven begrensd is

Elke dalende rij (𝒙𝒏)𝒏 ∈ 𝑵 heeft een limiet; bovendien is deze …

- … eindig a.s.a. deze rij naar onder begrensd is

- … oneindig a.s.a. deze rij niet naar onder begrensd is

6

Limieten tussen rijen onderling

“Nemen van de limiet bewaart de orde tussen rijen”

Insluitingsstelling voornamelijk gebruiken bij alternerende rijen!!

Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema

7

Rekenregels van rijen

8

9

Rekenregels van limieten van rijen

10

OPGELET 1: ONBEPAALDE VORMEN VOOR RIJEN:

11

OPGELET 2: LIMIET VAN DE NOEMER VAN DE QUOTIËNTRIJ IS WÉL NUL

12

Convergente rijen in Rn

Normale rekenregels van limieten blijven gelden!!

13

M11 – Belangrijke functies

Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële functies

14

Logaritmische functies

𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑎) = 1

EXTRA: BRIGGSE logaritme

𝑙𝑜𝑔10 (𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 (𝑥) = 𝑦

EXTRA: NATUURLIJKE logaritme

𝑙𝑜𝑔𝑒 (𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥) = 𝑦

Verband tussen exponentiële en logaritmische functies

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎𝑦) = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑦) = 𝑦

15

Goniometrische functies

Goniometrische cirkel

16

Sinus- & cosinusfunctie

Algebraïsch

Grafisch op de goniometrische cirkel

Grafisch in het assenstelsel

Sinusfunctie

Cosinusfunctie

17

Tangens- & cotangensfunctie

Algebraïsch

Grafisch op de goniometrische cirkel

Grafisch in het assenstelsel

Tangensfunctie

Cotangensfunctie

18

Goniometrische formules

Zie formularium

Sinus, cosinus, tangens & cotangens van enkele speciale hoeken

19

Intermezzo: Transformaties van grafieken

SPIEGELEN T.O.V.

… x-as 𝑦 = −𝑓(𝑥)

… y-as 𝑦 = 𝑓(−𝑥)

… oorsprong 𝑦 = −𝑓(−𝑥)

VERSCHUIVEN NAAR … links 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎)

… rechts 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎)

VERSCHUIVEN NAAR … omhoog 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑎

… omlaag 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑎

TRANSFORMEREN T.O.V. X-AS … inkrimpen

𝑦 =1

𝑎∙ 𝑓(𝑥)

… uitrekken 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥)

TRANSFORMEREN T.O.V. Y-AS … inkrimpen

𝑦 = 𝑓(1

𝑎∙ 𝑥)

… uitrekken 𝑦 = 𝑓(𝑎 ∙ 𝑥)

20

M12 – Continuïteit en limieten van functies

Continuïteit van functies

Definitie van continue functies

21

Eigenschappen van continue functies

22

23

Limieten van functies

Definitie van limieten van functies

!

24

Eigenschappen van limieten van functies

… Eigenschappen van limieten gezien in module 10 blijven geldig …

25

M13 – Afgeleiden voor functies van één veranderlijke

Definitie van de afgeleide

Betekenis van de afgeleide

26

Eigenschappen en rekenregels van de afgeleide

27

28

29

Middelwaardestelling van Rolle en Lagrange

30

Tweede en hogere orde afgeleiden

Definitie

nde-orde benadering

31

Regel van l’Hôpital