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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

(ultima modifica 01/10/2012)

Prima di definire le grandezze di base e le costanti universali del modello elettromagnetico per poter sviluppare i vari temi dell’elettromagnetismo, si intende richiamare le regole fondamentali delle operazioni dell’algebra e calcolo vettoriale.

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Alcune grandezze elettromagnetiche sono:

• scalari: cariche, corrente e energia, altre sono

• vettoriali: come l’intensità del campo elettrico e magnetico.

Entrambe possono essere funzioni del tempo e della posizione spaziale (o punto).

Per un tempo e un punto dati:

• una grandezza scalare è completamente definita dalla sua ampiezza, espressa da un numero positivo o negativo nella unità di misura relativa.

• una grandezza vettoriale richiede la definizione della sua ampiezza , direzione , verso e punto di applicazione o di definizione.


Per specificare la direzione di un vettore nello spazio tridimensionale sono necessari tre valori numerici che dipendono dalla scelta del sistema di coordinate :

•sistema di coordinate cartesiane

•sistema di coordinate cilindriche

•sistema di coordinate sferiche.

La scelta del sistema di coordinate è legato alle caratteristiche geometriche del problema che si sta esaminando.

Le espressioni generali delle leggi e teoremi riguardanti l’elettromagnetismo sono indipendenti dal sistema di coordinate adottato.


Algebra vettoriale

Una grandezza vettoriale può essere scritta come:

dove

• è il vettore di dimensioni unitarie avente la

stessa direzione e verso di e

• è l’ampiezza o modulo di

Graficamente:

A

A aA

AA

a A

A A

A


Somma di due vettori e :

Può essere ottenuta:

• con la regola del parallelogramma

(parallelogram rule)

• con la regola del testa-coda

(head-to-tail rule)

Per la somma valgono:

• la proprietà commutativa: e

• la proprietà assocciativa:

A B

BAC

A

B C

A

BC

ABBA CBACBA

AB


La differenza di due vettori può essere definita come la somma del primo vettore più il vettore opposto del secondo:

BABA

B

A

AB

B BA


Prodotto di Vettori

Prodotto di un vettore per uno scalare positivo:

L’ampiezza di cambia di k volte, mentre la direzione e il verso rimangono invariate.

Il prodotto tra due vettori può essere di due tipi:

• prodotto scalare o

• prodotto vettoriale.

kA aAk

A


Il prodotto scalare ( scalar or dot product) tra due vettori:

è uno scalare pari al prodotto delle ampiezze di e di

per il coseno dell’angolo più piccolo tra e che risulta minore di 180°.

Esso è

• positivo per < 90°

• negativo per > 90°

• nullo per = 90° (vettori perpendicolari)

ed è uguale al prodotto della ampiezza del primo vettore per la proiezione del secondo vettore nella direzione del primo.

ABB cos BA A

A

ABB cos

A B

ABθ

ABθ

ABθ

ABθ

A

B

B


Evidentemente si ha che:

Per il prodotto valgono:

• la proprietà commutativa: e

• la proprietà distributiva:

Inoltre risulta non definibile il prodotto scalare:

ABBA

CABACBA

AAA e AAA 2

CBA


Il prodotto vettoriale ( vector or cross product) tra due vettori:

è un vettore perpendicolare al piano contente i vettori e

la cui ampiezza è pari a numericamente uguale all’area del parallelogramma formato dai vettori e

Il verso e la direzione sono deducibili con la regola della mano destra

A B

ABsinθ BA A B

ABn sinθ BA a B A

B

A

a n

B A

ABθ

ABsinθ B


Per il prodotto vettoriale

• non è valida la proprietà commutativa:

• vale la proprietà distributiva:

• non è valida la proprietà associativa:

A BB A

CABACBA

C BACBA

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Si possono definire due tipi di prodotti di tre vettori:

•Prodotto triplo scalare:

•Prodotto triplo vettoriale:

BACACBCBA

BA CCA BCBA

ABC

CAB

BCACBA


Sistemi di coordinate

Nello spazio bidimensionale un punto è localizzato dalla intersezione di due linee.

Nello spazio tridimensionale un punto è localizzato dalla intersezione di tre piani.

Quando le tre superfici sono perpendicolari tra di loro il sistema è chiamato sistema a coordinate ortogonali e i vettori unitari nelle tre direzioni delle coordinate sono chiamati vettori base.

Tra i diversi sistemi di coordinate ortogonali, i più comuni sono:

• sistema di coordinate cartesiane o rettangolari

•sistema di coordinate cilindriche

•sistema di coordinate sferiche


Sistema di coordinate cartesiane o rettangolari

Un punto P(x1, y1, z1) in coordinate cartesiane è l’intersezione di tre piani specificati da: x = x1 , y = y1 e z = z1,

I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni:yxzxzyzyx a aa a aa a aa

z

xyx1y1

z1

P(x, y, z)az

ayax


Un vettore in coordinate cartesiane può essere scritto come:

Il prodotto scalare di due vettori e è:

Il prodotto vettoriale di due vettori e è:

B

x x y y z zA B A B A B A B

A

A B

zyx

zyx

xyyxzxxzyzzy

BBB

AAA

aaa

)BAB(Aa)BAB(Aa)BAB(AaBA

zyx

zyx

A

zzyyxx AaAaAaA

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In coordinate cartesiane una lunghezza differenziale è espressa da:

una area differenziale è espressa da:

e un volume differenziale è espresso da:

dz ady adx a ld zyx

yddx ds

,zddx ds

zddy ds

z

y

x

dzdy dx dv


Sistema di coordinate cilindriche

In coordinate cilindriche un punto P(r1, 1, z1) è l’intersezione di una superficie cilindrica r = r1 con un semipiano contenente l’asse z, che forma un angolo = 1 con il piano xz e un piano parallelo al piano xy per z = z1.

P(r1, 1, z1)

1

r1

z1

z

yx

az a

ar


I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni:

Un vettore in coordinate cilindriche può essere scritto come

In coordinate cilindriche una lunghezza differenziale è espressa da:

φrzrzφzΦr aaa a aa a aa

A

zzφφrr AaAaAaA

dz ad r adr a ld zr


In coordinate cilindriche una area differenziale è espressa da:


dφdr r ds

dz,dr ds

dz dφr ds

z

φ

x

dz ddr r dv


Le relazioni tra le componenti di un vettore in coordinate cilindriche a coordinate cartesiane:

Le formule di conversione dalle coordinate cilindriche alle coordinate cartesiane e inverse sono:

z

r

z

y

x

A

A

A

100

0cossin

0sincos

A

A

A

zzxy

tan

yxr

zz

sin r y

cos rx1-

22

A


Sistema di coordinate sferiche

In cord. c. un punto P(R1, 1, 1) è definito dalla intersezione di:

• una superficie sferica centrata nell’origine di raggio R = R1

• con un cono circolare con il vertice nell’origine degli assi e l’asse coincidente con l’asse z e un semiangolo pari a =1, e

• un semipiano contenente l’asse z con un semipiano contenente l’asse z, che forma con il piano xz un angolo = 1.

1

R1

1

P(R1, 1, 1)a

Raa

x

z

y


I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni:

Un vettore in coordinate sferiche può essere scritto come

In coordinate sferiche una lunghezza differenziale è espressa da:

aaa a aa a aa RRR

A aA aA aA RR

d sinθ R adθ R adR a ld θR

A


In coordinate sferiche una area differenziale è espressa da:


d dR Rds

d dR sinθ Rds

dφ dθ Rds

θ

2R

dφ dθ dR sinθ Rdv 2


Le formule di conversione dalle coordinate sferiche alle coordinate cartesiane e inverse sono:

z

yx tanθ

xy

tanφ

zyxR

cosθ Rz

sinφ sinθ r y

cosφ sinθ Rx

221

1-

222


Integrali contenenti funzioni vettoriali

Nell’elettromagnetismo sono utilizzati integrali che contengono funzioni vettoriali del tipo:

integrale volumetrico di un vettore

che si risolve scomponendo da prima la grandezza vettoriale nelle sue tre componenti relative al sistema di coordinate adottato e facendo la somma dei tre integrali scalari.

integrale lineare di una grandezza scalare dove V è una funzione scalare e è un incremento differenziale di lunghezza e C è il percorso di integrazione.

v

dv F

V dlc

dl

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In coordinate cartesiane:

è un integrale lineare di un vettore nel quale l’integrando rappresenta la componente del vettore nella direzione del percorso di integrazione.

x y zC C

x y z C C C C

V dl V(x,y,z) a dx a dy a dz oppure

V dl a V(x,y,z) dx a V(x,y,z) dy a V(x,y,z) dz

ldFC

F

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