mÔ phỎng sÓng cƠ truyỀn trong cẤu trÚc Đa lỚp vÀ Ứng...

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

MÔ PHỎNG SÓNG CƠ TRUYỀN TRONG CẤU TRÚC

ĐA LỚP VÀ ỨNG DỤNG TRONG SIÊU ÂM ĐỊNH LƯỢNG

XƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Hà Nội, tháng 10/2019

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ


MÔ PHỎNG SÓNG CƠ TRUYỀN TRONG CẤU TRÚC

ĐA LỚP VÀ ỨNG DỤNG TRONG SIÊU ÂM ĐỊNH LƯỢNG

XƯƠNG

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số chuyên ngành: 8 44 01 03

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Lâm Hoài.

Hà Nội, tháng 10 năm 2019

LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết

quả mới được công bố trong luận văn là trung thực và chưa được ai công bố trong bất

kỳ công trình nào khác.


Tác giả:



ii

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và làm việc tại Học viện khoa học và công nghệ Việt

Nam, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Lâm Hoài, tôi đã học hỏi được rất

nhiều kiến thức Vật lý, Toán học. Để hoàn thành được Luận án Thạc sĩ này và để có

thể trở thành một người có khả năng độc lập nghiên cứu Khoa học, tôi xin gửi đến

người thầy hướng dẫn trực tiếp của tôi lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu

quý cũng như lòng kính trọng của mình. Một lần nữa tôi xin cảm ơn các thầy và TS.

Nguyễn Thị Lâm Hoài đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung chính của luận án Thạc

Sĩ.

Tôi xin cảm ơn Trường THPT Yên Khánh B - Khánh Cư – Yên Khánh - Tỉnh

Ninh Bình nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành việc học tập

và nghiên cứu trong thời hạn 2 năm.

Tôi xin chân thành cảm ơn Học viện khoa học và công nghệ Việt Nam đã tạo

điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại học viện, phòng sau đại học đã

hỗ trợ tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận án.

Cuối cùng, tôi xin được dành tất cả những thành quả trong học tập của mình

dâng tặng những người thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng bước chân

tôi.



iii

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1. TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA XƯƠNG ..................................................... 3

1.1 Vai trò và cấu tạo của xương ..................................................................... 3

1.1.1 Vai trò, chức năng của bộ xương ...................................................................... 3

1.1.2 Phân loại xương ................................................................................................. 4

1.1.3 Cấu trúc vi mô của xương ................................................................................. 6

1.2 Các đại lượng cơ học đặc trưng cho xương ............................................ 7

1.2.1 Độ cứng và giới hạn chịu lực ............................................................................ 7

1.2.2 Ứng suất, sức căng và độ đàn hồi ..................................................................... 8

1.2.3 Suất đàn hồi thể tích và hệ số Poisson ............................................................. 8

1.2.4 Tính dị hướng .................................................................................................... 9

1.2.5 Độ xốp ................................................................................................................. 9

1.3 Các bệnh về xương ....................................................................................... 9

1.3.1 Loãng xương ...................................................................................................... 9

1.3.2 Gãy xương ........................................................................................................ 10

1.4 Kĩ thuật siêu âm và vai trò của nó trong chẩn đoán và điều trị các

bệnh liên quan đến xương ..................................................................... 10

1.4.1 Các kĩ thuật siêu âm ......................................................................................... 10

1.4.2 Định lượng siêu âm xương ............................................................................. 12

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ............................................. 15

2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn .............................................................. 15

2.1.1 Lịch sử phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn................................. 15

2.1.2 Các khái niệm và kĩ thuật cơ bản của FEM .................................................... 15

2.2 Phương pháp trọng số thặng dư và Garlerkin FEM ............................ 18

2.2.1 Phương pháp trọng số thặng dư .................................................................... 18

2.2.2 Phương pháp Galerkin cho phần tử hữu hạn ................................................ 20

2.3 Quy trình thực hiện Galerkin FEM.......................................................... 22

2.3.1 Giải phương trình vi phân đơn giản bằng Galerkin FEM.............................. 22


iv

2.3.2 Tóm lược quy trình giải thuật Galerkin FEM ................................................ 26

Chương 3. SỰ TRUYỀN CỦA SÓNG DẪN SIÊU ÂM TRONG CẤU TRÚC ĐA LỚP

MÔ TẢ XƯƠNG DÀI ......................................................................... 28

3.1 Sóng dẫn và phép định lượng sóng dẫn siêu âm trong xương dài ... 28

3.2 Mô hình đa lớp cho xương dài ................................................................ 32

3.3 Phương trình truyền sóng ....................................................................... 33

3.3.1 Phương trình truyền sóng trong chất rắn ..................................................... 33

3.3.2 Phương trình truyền sóng trong chất lỏng .................................................... 34

3.3.3 Các điều kiện biên ............................................................................................ 34

3.4 Giải phương trình bằng phương pháp phần tử hữu hạn bán giải tích

..................................................................................................................... 35

3.5 Các tham số dùng trong mô phỏng ......................................................... 36

3.6 Bản xương phẳng đặt trong không khí .................................................. 37

3.6.1 Tín hiệu miền thời gian ................................................................................... 37

3.6.2 Biến đổi Randon và hệ thức tán sắc ............................................................... 38

3.6.3 Ảnh hưởng của tần số sóng siêu âm ............................................................... 39

3.6.4 Ảnh hưởng của độ dày bản xương ................................................................. 41

3.6.5 Ảnh hưởng của vị trí nguồn ............................................................................ 42

3.7 Bản xương phẳng phủ bởi lớp mô mềm ............................................... 43

Kết luận chung ....................................................................................................... 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 46


1

MỞ ĐẦU

Các sóng siêu âm Y học với tần số từ 1-10MHz (Medical Ultrasounds),

có đóng góp rất lớn trong lĩnh vực chăm sóc sức khỏe con người, phổ biến nhất

là trong lĩnh vực tim mạch và sản khoa. Khoảng gần 20 năm gần đây, một

hướng nghiên cứu ứng dụng mới của sóng siêu âm: SIÊU ÂM ĐỊNH LƯỢNG

XƯƠNG được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm phát triển nhằm mục

đích chế tạo các linh kiện siêu âm y học mới với mục đích chẩn đoán và theo

dõi các bệnh lý liên quan đến xương (loãng xương, gãy xương), dần dần thay

thế cho phương pháp chẩn đoán xương truyền thống sử dụng X-ray. Lợi thế lớn

nhất của siêu âm định lượng xương (Bone QUS) so với X-ray là QUS không

gây ion hóa tế bào sống, vì vậy có thể dùng cho cả trẻ em và phụ nữ mang thai.

Mặt khác, do bản chất là các dao động cơ học, sóng siêu âm được đánh giá là

có khả năng phản ánh tốt hơn các tính chất cơ học của xương mà X-ray không

thể đo được, ví dụ như độ đàn hồi của xương. Ngoài ra thiết bị vi mô thường

có thể thiết kế nhỏ gọn, có thể cầm tay được với giá thành không cao. Đến nay

Bone-QUS đã đạt được một số thành tựu tương đối quan trọng trong việc đo

mật độ xương ở các vị trí nơi xương thường có hình dạng có thể coi là phẳng

và cấu trúc xốp như gót chân, ngón tay, xương hông. Một số thiết bị vi mô dạng

này đã được thương mại hóa và bán ra thị trường.

Có ba kĩ thuật đo chính được sử dụng trong siêu âm xương: Cấu hình đo

xung-phản xạ, cấu hình truyền qua và cấu hình truyền dọc. Các phép đo có thể

được thiết lập trên các mẫu vật liệu giả xương (phantom), trên mẫu xương chết

(in vitro) hay trực tiếp trên các cơ thể sống (in vivo). Nguồn phát phát ra xung

siêu âm truyền qua mẫu vật tới nguồn thu. Về mặt lý thuyết, tín hiệu thu được

có chứa đầy đủ thông tin về tính chất của xương như mật độ, độ đàn hồi…. Tuy

nhiên do tính chất phức tạp của mẫu xương việc đoán nhận cũng như phân tích

tín hiệu để lấy ra được các thông tin này là không hề đơn giản. Bởi vậy, sự hiểu


2

biết về sự truyền của sóng vi mô trong các cấu trúc xương này là hết sức cần

thiết để làm cơ sở cho việc phân tích và đoán nhận tính chất của tín hiệu vi mô

thu được trong các phép đo.

Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến sóng dẫn siêu âm (ultrasonic

guided wave UGW) truyền trong cấu trúc xương dài. Các nghiên cứu về sóng

dẫn trong xương dài qua cấu hình truyền dọc rất được quan tâm phát triển gần

đây với các nhóm nghiên cứu mạnh nằm ở các nước Phần Lan, Pháp, Canada

và Trung Quốc. Mục đích của luận văn là mô phỏng tín hiệu sóng siêu âm thu

được trong cấu hình đo truyền dọc dựa trên mô hình toán học cho sóng truyền

trong các cấu trúc xương dài, và khảo sát sự phụ thuộc của tín hiệu vào các

thông số của phép đo.

Về mặt phương pháp, chúng tôi mô hình hóa cấu trúc xương như một vật

liệu đa lớp rắn/lỏng xen kẽ. Phần xương cứng được mô tả như vật liệu rắn trong

khi đó phần da và tủy xương mang tính chất của chất lỏng. Chúng tôi sử dụng

phương pháp phần tử hữu hạn bán giải tích (SAFE) được phát triển bởi tiến sĩ

Nguyễn Vũ Hiệu và cộng sự để tính toán sự truyền của sóng siêu âm trong

trong các mô hình này.

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1: Trình bày cấu trúc, chức năng và tính chất cơ học của xương

Chương 2: Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 3: Mô phỏng sự truyền của sóng siêu âm trong cấu trúc đa lớp

xương


3

Chương 1. TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA XƯƠNG

1.1 Vai trò và cấu tạo của xương

1.1.1 Vai trò, chức năng của bộ xương

Bộ xương giúp tạo hình và đảm bảo cho hoạt động của cơ thể. Các xương

liên kết với nhau tạo thành khung cứng và điểm tựa để nâng toàn bộ cơ thể,

giúp cho người có tư thế đứng thẳng. Xương kết hợp với cơ tạo nên hệ đòn bẩy

mà điểm tựa là các khớp xương, đảm bảo cho hoạt động của cơ thể. Sự tăng

trưởng về chiều cao và khả năng hoạt động của con người phụ thuộc rất lớn vào

khung xương.

Hình 1.1 Cấu tạo bộ khung xương của con người [1]

Bộ xương có chức năng bảo vệ cho các cơ quan nội tạng. Thật vậy những

khoảng trống tạo bởi bộ xương là nơi giữ các cơ quan nội tạng nội tạng: hộp

sọ giữ bộ não; xương sống chứa tủy sống; xương sườn tạo thành hộp bảo vệ hai


4

cơ quan quan trọng là phổi và tim…Xương là nơi dự trữ các chất mỡ, các muối

khoáng, đặc biệt là Canxi và phốt pho và điều hòa các khoáng chất trong cơ thể

khi cần thiết. Tủy xương là nơi tạo ra huyết cầu cho cơ thể. Trung bình, có 2,6

triệu tế bào hồng cầu được sản xuất từ tủy xương.

1.1.2 Phân loại xương

a) Phân loại xương theo hình dạng

Dựa theo hình dạng, ta có thể phân biệt các loại xương như sau:

Xương phẳng (hay xương dẹt): Là các xương có dạng bản phẳng ta có thể

tìm thấy các xương này ở hộp sọ, xương bả vai, xương chậu hay xương gót

chân. Xương ức, xương sườn cũng có thể coi là xương phẳng. Các xương này

thường có cấu trúc xốp và tương đối nhẹ.

Hình 1.2 Cấu trúc xương phẳng và xương dài

Xương ống (hay xương dài): Có cấu trúc dạng ống, khoảng trống ở giữa

được lấp đầy bởi tủy bao gồm xương ở các chi trên (xương cánh tay, xương

cẳng tay, xương đốt bàn tay) và xương ở các chi dưới (xương đùi, xương cẳng

chân, xương mác, xương đốt bàn chân). Xương dài có chức năng hỗ trợ trọng

lượng của cơ thể và tạo điều kiện cho việc di chuyển (Hình 1.2).

Xương ngắn: Thường gặp ở các khớp nối như xương cổ tay, cổ chân, bàn

tay, bàn chân. Chúng có kích thước ngang, dọc, trước, sau gần bằng nhau.

Xương đặc

Vỏ xương

Xương xốp


5

Xương ngắn gộp lại với nhau có thể chịu được áp lực rất lớn, là nơi chịu trách

nhiệm chính cho các vận động phức tạp của cơ thể (Hình 1.3).

Hình 1.3 Xương ngắn ( xương bàn tay bàn chân) và xương có hình dạng

bất định (xương sống)

Xương có hình dạng bất định: là các xương có hình dạng khá phức tạp, có

thể gặp ở xương đốt sống (Hình 1.3) và một số xương trong vùng chậu như

pubis, ilium và ischium.

Ngoài ra còn có xương vừng và xương có hốc khí: Các xương vừng là

những cấu trúc xương nhỏ, tròn bám vào các gân gấp của bàn chân và thường

ở vị trí rất gần so với khớp. Xương giúp giảm ma sát và áp lực của gân gấp khi

gân qua đoạn gần khớp. Xương có hốc khí có chứa không khí bên trong như

xương trán, xương hàm, thân xương bướm

b) Phân loại xương theo thành phần cấu tạo

Xương đặc: Chiếm 70% khối lượng xương của cơ thể, có cấu trúc rắn chắc,

và khối lượng riêng lớn. Xương đặc là loại xương chủ yếu cấu tạo nên thân của

xương dài.

Xương xốp: Thường gặp ở các đầu các xương ống, các xương ngắn và xương

dẹt. Ở các xương dài cũng có một lớp mỏng xương xốp nằm ở phần trong của

ống xương, tiếp giáp với tủy sống. Xương xốp có cấu tạo gồm các lá xương

đan chéo vào nhau tạo ra nhiều hốc lớn, thông nhau và chứa đầy tủy sống.


6

1.1.3 Cấu trúc vi mô của xương

Ở thang nano mét, xương được hợp thành bởi các phân tử collagen được

xắp xếp thành các sợi nhỏ. Các sợi nhỏ này lại được xếp lại tạo thành các sợi

xơ. Các tinh thể khoáng xương được sắp hàng xen kẽ với các sợi xơ và các sợi

sơ đã khoáng hóa này xắp xếp thành phiến xương có độ dày đặc trưng khoảng

vài micro mét. Định hướng của các sợi xơ phụ thuộc vào các phiến xương và

có thể thay đổi trong các lớp phụ của phiến.

Hình 1.4 Cấu trúc vi mô của xương [2]

Cách tổ chức này giống như kiểu cấu trúc gỗ dán xoắn. Một osteon tương

đương một cấu trúc hình trụ với đường kính 100‐300 micrometters bao gồm

một số lá xương xắp xếp quanh kênh Haversian chứa các mạch máu và dây

thần kinh. Một osteon còn được gọi là một cấu trúc đơn vị (BSU) của xương.

Tại vùng ngoại vi của mỗi osteon, giữa khoảng cách của các osteons với osteons

liền kề hoặc mô kẽ, có dòng chảy của chất khoáng, rất giàu proteoglycan. Trong

xương xốp, mỗi bản xương có độ dày dao động quanh 100 micrometters được

tạo thành từ các sợi xương sắp xếp song song.


7

1.2 Các đại lượng cơ học đặc trưng cho xương

1.2.1 Độ cứng và giới hạn chịu lực

Tác dụng một lực vào mặt cắt của xương sao cho hướng của lực song song

với trục xương, ta thấy độ biến thiên của chiều dài xương phụ thuộc vào lực tác

dụng theo dạng đồ thị sau ( hình 1.5):

Hình 1.5 Sự phụ thuộc chiều dài của xương vào lực tác dụng lên xương

Hệ số góc của phần tuyến tính trên đồ thị là độ cứng của xương. Độ cứng

phản ánh khả năng chịu tác dụng lực của xương, có độ lớn phụ thuộc nhiều vào

cấu trúc hình học của xương. Độ cứng được tính bởi: , ở đó F là độ lớn

lực tác dụng lên xương (tính bằng N), và ∆l là độ biến dạng của xương (tính

bằng mm).

Giới hạn chịu lực của xương được định nghĩa là lực tối đa mà xương chịu

được mà không bị gãy, hỏng, được xác định bằng giá trị của lực tại điểm cực

trị của đường cong trên. Các xương khác nhau có giới hạn chịu lực khác nhau.

Giá trị của độ cứng và giới hạn chịu lực của một số xương trong cơ thể người

được thể hiện dưới Bảng 1.1.


8

Loại xương Độ cứng (N/m) Giới hạn chịu lực (N)

Xương đùi

Ép đứng 5568(1597),{4937-

16948},9039(3412)a

Ép bên 4000{1100-8700},2586(1146)a

Cột sống

Nén {2602-5802}

Uốn trước 3109(1234) 630-2907},2098(815)

Xương quay

Nén 12946(3644)

Bảng 1.1 Độ cứng và giới hạn chịu lực của một số loại xương[2]

1.2.2 Ứng suất, sức căng và độ đàn hồi

Ứng suất là lực tác dụng lên một đơn vị diện tích (A), được xác định

bởi công thức: ¾ = F=A¾ = F=A

Sức căng được tính bằng tỷ lệ giữa độ biến dạng (∆l) và chiều dài ban

đầu (lo) của xương: 0/l l .

Độ đàn hồi (E) hay suất Young phản ánh khả năng đàn hồi của xương

được định nghĩa bằng độ dốc của tiếp tuyến trên đường cong ứng suất:

2(N/ mm )E

1.2.3 Suất đàn hồi thể tích và hệ số Poisson

Suất đàn hồi thể tích đo lường khả năng chịu nén của khối vật chất theo

tất cả các hướng, xác định bởi P

VV

. Ở đó, P là áp suất và V là thể tích

của mẫu.

Khi chịu lực, xương có khả năng bị biến dạng theo cả hai hướng dọc theo

và vuông góc với phương của lực tác dụng. Hệ số Poisson được định nghĩa là


9

tỉ số giữa sức căng theo phương vuông góc với phương tác dụng lực và sức

căng song song với phương truyền lực:

( l / l )

( / )

OT OT T

T T Ll l

Hệ số nén khối K quan hệ với suất Young (E) và hệ số Poisson ( ) bởi công

thức sau:

(1 2 )

EK

1.2.4 Tính dị hướng

Tính chất cơ học của xương là khác nhau theo các hướng khác nhau, bởi

vậy xương có tính dị hướng. Có một số yếu tố tạo nên tính dị hướng cơ học của

xương, bao gồm định hướng của BSU và mạng lưới xốp Havers, định hướng

của lamellae và sự liên kết của các sợi collagen và tinh thể hydroxyapatite.

Thường người ta coi xương có tính dị hướng trực giao, tức là tính chất xương

biến thiên dọc theo trục vuông góc với trục xương.

1.2.5 Độ xốp

Độ xốp được định nghĩa là tỉ số phần thể tích rỗng trên tổng thể tích xương

/rV V V . Độ xốp là khác nhau cho từng loại xương. Xương đặc có độ xốp rất

thấp cỡ 2-3% trong khi xương xốp có độ xốp cỡ 70-80%. Ngoài ra độ xốp còn

phu thuộc vào độ tuổi và bệnh lý của xương. Ví dụ: xương người già có độ xốp

lớn hơn xương của người trẻ; xương của người bị loãng xương có độ xốp lớn

hơn xương người khỏe mạnh.

1.3 Các bệnh về xương

1.3.1 Loãng xương

Loãng xương (còn được gọi xốp xương hay thưa xương) là một bệnh lý

của hệ thống xương, đặc trưng bởi sự giảm tỷ trọng khoáng chất của xương

(Bone Mineral Density‐BMD) hay giảm trọng lượng của một đơn vị thể tích

xương (Bone Mass Content – BMC), đồng thời với sự giảm bề dày lớp vỏ

xương. Loãng xương thường xảy ra âm thầm, các triệu chứng lâm sàng không


10

thể hiện các một cách tức thời và rõ ràng. Loãng xương khiến cho sức chống

đỡ và chịu lực của xương giảm đi, xương sẽ trở nên mỏng mảnh, dễ gãy, dễ lún

và dễ xẹp, đặc biệt ở các vị trí chịu lực của cơ thể như: cột sống, cổ xương đùi,

đầu dưới xương quay, xương dần trở nên mỏng mảnh, yếu và dễ gãy khi bị

chấn thương dù rất nhẹ, thậm chí không rõ chấn thương.

Loãng xương do nhiều nguyên nhân khác nhau gây ra, bao gồm: kém phát

triển thể chất từ khi còn nhỏ, còi xương, suy dinh dưỡng; có tiền sử gia đình

cha, mẹ bị loãng xương hoặc gãy xương; ít hoạt động thể lực, ít hoạt động ngoài

trời, bất động quá lâu ngày do bệnh tật hoặc do nghề nghiệp; có thói quen sử

dụng nhiều rượu, bia, cà phê, thuốc lá; bị mắc một số bệnh hoặc đang sử dụng

dài hạn một số thuốc có tác dụng phụ gây ảnh hướng đến sức khỏe của xương.

1.3.2 Gãy xương

Gãy xương là tình trạng tổ chức xương bị phá hủy do tác động cơ học, có thể

là một vết nứt nhỏ trên thân xương hay tình trạng xương bị phá hủy hoàn toàn.

Nguy cơ bị gãy xương phụ thuộc một phần vào lứa tuổi. Xương gãy khá phổ

biến ở trẻ nhỏ, tuy nhiên gãy xương ở trẻ em thường ít phức tạp hơn gãy xương

ở người lớn. Người lớn tuổi có xương giòn hơn dẫn đến nguy cơ gãy xương do

té ngã. Người bị loãng xương cũng có nguy cơ gãy xương cao hơn người khỏe

mạnh. Gãy xương nghiêm trọng có thể có các biến chứng nguy hiểm nếu không

được điều trị kịp thời; các biến chứng có thể bao gồm tổn thương mạch máu hoặc

dây thần kinh và nhiễm trùng xương ( viêm tủy xương ) hoặc mô xung

quanh. Thời gian phục hồi khác vết gãy phụ thuộc vào độ tuổi và sức khỏe của

bệnh nhân và mức độ nghiêm trọng của vết gãy.

1.4 Kĩ thuật siêu âm và vai trò của nó trong chẩn đoán và điều trị các bệnh

liên quan đến xương

1.4.1 Các kĩ thuật siêu âm

Siêu âm (Ultrasound/Sonography) là một kỹ thuật chẩn đoán hình ảnh

không xâm lấn, áp dụng phổ biến trong y tế, phương pháp tạo ảnh là sử dụng

https://www.webmd.com/osteoporosis/bone-health-13/slideshow-fractures

https://www.webmd.com/heart/anatomy-picture-of-blood

https://www.webmd.com/diabetes/osteomyeltis-treatment-diagnosis-symptoms


11

sóng siêu âm (sóng âm tần số cao) để xây dựng và tái tạo hình ảnh về cấu trúc

bên trong cơ thể hỗ trợ chẩn đoán và điều trị bệnh. Do hình ảnh siêu âm được

ghi nhận theo thời gian thực nên nó có thể cho thấy hình ảnh cấu trúc và sự

chuyển động của các bộ phận bên trong cơ thể kể cả hình ảnh dòng máu đang

chảy trong các mạch máu. Siêu âm thường được dùng để khảo sát các mô mềm

và cơ quan nội tạng trong cơ thể, và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực y

học như sản khoa, tim mạch.

Hiện các thiết bị siêu âm y học thường dùng một đầu dò có cả hai chức

năng phát/thu để tiến hành siêu âm. Sóng siêu âm phát ra từ đầu dò truyền vào

bên trong cơ thể. Do trở kháng âm của các phần cơ thể là không đồng nhất một

phần sóng siêu âm bị hấp thụ, một phần truyền qua và một phần bị phản xạ trở

lại trở lại đầu dò. Đầu dò thu nhận sóng âm phản hồi, qua quá trình xử lý số

liệu sẽ cho ra các hình ảnh siêu âm mà chúng ta nhìn thấy qua hiển thị màn

hình.

Các kĩ thuật siêu âm phần mềm [3]

Siêu âm kiểu A (A-mode): ghi lại sóng phản hồi bằng những xung nhọn,

mà vị trí tương ứng với chiều sâu và biên đô tỷ lệ thuận với cường độ của âm

vang (echo). Kiểu A ít có giá trị về chẩn đoán mà thường dùng để kiểm tra sự

chính xác của máy siêu âm.

Siêu âm kiểu B (B-mode) mỗi sóng xung kiểu A đều được ghi lại bằng

một chấm sáng nhiều hay ít tùy theo cường độ của âm dội. Sự di chuyển của

đầu dò trên da bệnh nhân cho phép ghi lại cấu trúc âm của các mô trong cơ thể

nằm trên mặt phẳng quét của chùm tia, đây là phương pháp siêu âm cắt lớp

(Echotomography). Hình thu được từ các âm vang này sẽ được lưu trữ trong bộ

nhớ và chuyển thành tín hiệu trên màn truyền bằng các chấm trắng, đen, xám.

Siêu âm kiểu B này được ứng dụng trong các loại máy siêu âm xách tay đen

trắng hay siêu âm phủ màu xách tay.

Siêu âm kiểu Động (M-mode) là một kiểu hai chiều với tốc độ quét

nhanh, tạo nên hình ảnh theo thời gian thực (real time). Với siêu âm kiểu M âm

http://thanhanmedical.com.vn/san-pham/may-sieu-am-xach-tay-den-trang-dus-3000/

http://thanhanmedical.com.vn/san-pham/may-sieu-am-xach-tay-den-trang-dus-3000/

http://thanhanmedical.com.vn/san-pham/may-sieu-am-mau-xach-tay-dus-6000/


12

vang sẽ ghi lại theo kiểu A, nhưng chuyển động theo thời gian nhờ màn hình

quét ngang thường xuyên. Do đó những cấu trúc đứng yên trên màn hình là một

đường thẳng, còn những cấu trúc chuyển động là một đường cong ngoằn nghèo

tùy theo sự chuyển động của cơ quan thăm khám. Siêu âm kiểu này thường

dùng để khám tim.

Siêu âm kiểu Doppler sử dụng hiệu ứng Doppler để đánh giá và quan sát

các dòng máu chảy trong mạch máu, đặc biệt được ứng dụng trong chẩn đoán

các bệnh tim mạch. Với siêu âm kiểu 3D hiện nay có 2 loại, đó là loại tái tạo

lại hình ảnh nhờ các phương pháp dựng hình máy tính và một loại được gọi là

3D thực sự (Live 3D, 3D real time, 4D). Siêu âm 3D do một đầu dò có cấu trúc

khá lớn, mà trong đó người ta bố trí các chấn tử nhiều hơn theo hình ma trận,

phối hợp với phương pháp quét hình theo chiều không gian nhiều mặt cắt, các

mặt cắt theo kiểu 2D này được máy tính lưu giữ lại và dựng thành hình theo

không gian 3 chiều.

1.4.2 Định lượng siêu âm xương

Rất nhiều ứng dụng của kĩ thuật siêu âm đã được triển khai trên các mô

mềm sinh học, tuy nhiên chỉ đến 20 năm gần đây người ta mới bắt đầu nghiên

cứu để ứng dụng siêu âm trong việc chẩn đoán và chữa trị các bệnh về xương,

mở ra sự phát triển của ngành định lượng siêu âm định lượng xương (QUS) [4-

8]. Đến nay, QUS đã đạt được một số các thành tựu nhất định như có thể chẩn

đoán mật độ xương với độ chính xác tương đương với kỹ thuật đo mật độ tia X

[9,10], hay theo dõi sự hồi phục của vết nứt xương, gãy xương[11]. Những lợi

thế như không chứa các tia có khả năng ion hóa tế bào nên có thể dùng cho cả

trẻ sơ sinh và phụ nữ có thai [12], rẻ tiền, nhỏ gọn, dễ di chuyển khiến cho QUS

trở thành đối tượng nghiên cứu hấp dẫn do tính ứng dụng cao trong việc chăm

sóc sức khỏe con người.

Trong QUS, có ba kĩ thuật đo chính được sử dụng là [2]:

Kĩ thuật đo xung – phản xạ: giống như siêu âm phần mềm, kĩ thuật đo

xung phản xạ sử dụng một đầu dò đơn hoạt động như cả nguồn phát và nguồn


13

thu. Đầu dò này phát các xung sóng siêu âm truyền vào trong xương và thu lại

phần tính hiệu bị phản xạ. Vận tốc truyền sóng phản ánh tính chất của xương

do vậy có thể tính được dựa vào độ dày xương và thời gian trễ của tín hiệu phản

xạ v = 2d=tv = 2d=t với d là độ dày của xương [3]

Kỹ thuật đo truyền ngang: sử dụng một cặp đầu dò phát/ thu đặt trên

hai mặt đối diện nhau của mẫu xương. Đầu phát phát ra tín hiệu siêu âm, đi

qua mẫu xương. Tín hiệu truyền qua được ghi lại bởi đầu thu. Qua việc so sánh

tính hiệu này với một tín hiệu qua môi trường tham chiếu (thường được chọn

là nước), người ta có thể rút ra được các thông số quan trọng của mẫu xương

như vận tốc khối và hệ số suy giảm tần rộng [13-16].

Hình 1.7: Kĩ thuật đo truyền ngang trong định lượng siêu âm xương[2]

Kĩ thuật đo truyền dọc là kĩ thuật định lượng siêu âm sử dụng một tập

hợp các các đầu dò phát và thu được xếp thẳng hàng với nhau dọc theo trục

xương. Thông số quan trọng trong phép đo này là thời gian tới (TOF) và vận

tốc của tín hiệu tới đầu tiên (FAS). Tần số sóng siêu âm sử dụng trong câú hình

này nằm trong khoảng 100 kHz đến 2.0 MHz, thấp hơn đáng kể so với tần số

lâm sàng được sử dụng trong siêu âm thông thường của các mô mềm.


14

Hình 1.8: Kĩ thuật đo truyền dọc trong định lượng siêu âm xương [2]

Kĩ thuật đo truyền dọc thường được dùng trong các phép đo định lượng

siêu âm trên xương dài. Qua các phép đo, người ta có thể ước lượng mật độ,

chiều dày cũng như độ đàn hồi của xương [17-20]


15

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn

2.1.1 Lịch sử phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method -FEM) hay

nhiều khi còn gọi là giải tích phần tử hữu hạn (Finite Element Analysis - FEA)

được phát triển vào cuối những năm 1940, ban đầu để phục vụ nhu cầu phát

triển của kĩ thuật hàng không trong việc tạo ra những cấu trúc cho máy bay có

khả năng chịu lực cao khi bay với tốc độ lớn. Do chưa có sự hỗ trợ của máy

tính hiện đại, các kĩ sư đã phát triển một phương pháp dựa trên các ma trận để

tính các lực tác động vào các phần của cấu trúc bay khi biết độ dịch chuyển/biến

dạng của cấu trúc đó, và ngược lại, để tính độ dịch chuyển của cấu trúc khi biết

lực là các phương pháp tiền thân của phương pháp phần tử hữu hạn. Thuật ngữ

phần tử hữu hạn (FEM) được dùng đầu tiên bởi Clough [21] vào năm 1960 khi

nghiên cứu ứng suất phẳng và được dùng phổ biến đến hiện nay. Trong các

thập kỉ 60-70, FEM được phát triển và ứng dụng trong rất nhiều các lĩnh vực

của khoa học kĩ thuật. FEM là phương pháp tính toán số nặng, sử dụng các ma

trận với số chiều cao. Một trong những phần mềm sử dụng FEM đầu tiên -

NASTRAN - được phát triển vào những năm 1960 phục vụ chương trình thám

hiểm không gian của Mỹ. Hiện nay cũng có rất nhiều phần mềm tính toán được

phát triển sử dụng FEM, có thể kể đến ANSYS ,ALGOR, hay COSMOS/M.

Với năng lực của máy tính hiện nay, hầu hết các phần mềm này đều chạy được

trên máy tính cá nhân, giải quyết rất nhiều bài toán tĩnh học hay động học của

các cấu trúc, bài toán truyền nhiệt, sự chảy của chất lỏng, các bài toán điện từ,

sóng trong các môi trường đàn hồi hay sóng địa chất…

2.1.2 Các khái niệm và kĩ thuật cơ bản của FEM

Giả sử ta có một miền vật liệu với những tính chất vật lý xác định. Để

cho dễ hình dung ta xét trường hợp miền có dạng phẳng (Hình 2.2). Nguyên

tắc tính toán của FEM dựa trên việc chia nhỏ miền xác định của bài toán thành


16

nhiều vùng con với kích thước hữu hạn, được gọi là các “phần tử”. Hình 2.2b

cho thấy một phần tử hình tam giác bao phủ một vùng con hữu hạn của miền

xác định. Ta thấy “phần tử” có thể có hình dạng bất kì. Các đỉnh của phần tử

được đánh số, các điểm ở đỉnh gọi là các nốt (nodes). Một nốt là một điểm mà

giá trị của biến trường sẽ được tính tường minh trong FEM. Các nốt nằm trên

biên của phần tử được mô tả ở trên được gọi là các nốt ngoài và có thể giúp

phần tử liên kết với các phần tử lân cận khác. Ngoài ra ta cũng có thể lấy các

nốt không nằm trên biên phần tử được gọi là các nốt trong và không thể liên

kết với bất cứ phần tử khác nào. Hình 2.2 b biểu diễn các phần tử tam giác chỉ

có các nốt ngoài.

Hình 2.2 Sự chia nhỏ miền khảo sát với phần tử hình tam giác trong

phương pháp phần tử hữu hạn [22].

Nhìn vào hình 1c, ta thấy một phần tử bất kì đều liên kết với các phần tử

khác qua nốt ngoài của chúng (element connectivities). Điều kiện rằng, các biến

trường của hai phần từ có giá trị như nhau tại mọi nốt liên kết hai phần tử đó

cho phép ta thiết lập phương trình FEM cho tất cả các nốt trong toàn vùng. Điều

kiện này được gọi là điều kiện liên tục của biến trường, đảm bảo cho tính vật

lý của nghiệm và sự thiết lập phương trình cho các nốt trên toàn vùng được gọi

là sự ghép nối (assembling). Có thể thấy độ chính xác của phương pháp phụ


17

thuộc vào việc định nghĩa các phần tử. Số phần tử càng nhiều, số nốt càng lớn

thì độ chính xác càng cao. Một số ví dụ kinh điển về thiết lập FEM trong tính

toán chính xác các kết cấu tĩnh học trong chương 2,3,4 của tài liệu tham khảo

[22], ở đó người ta quan tâm tới lực và độ dịch chuyển tại một số điểm gián

đoạn của cấu trúc cơ học. Tuy vậy, trong các bài toán truyền sóng, truyền

nhiệt…ta cần tìm trường vật lý biểu diễn quá trình tại mọi điểm

thuộc miền xác định. Phương pháp Galerkin-FEM được phát triển [23,24] nhằm

giải quyết vấn đề này. Nội dung chính của phương pháp sẽ được trình bày chi

tiết ở mục 2.2. Điểm mấu chốt của Galerkin FEM là sử dụng các hàm ngoại

suy đã biết để mô tả sự biến thiên của các biến trường tại một điểm bất kì nằm

trong phần tử. Giá trị gần đúng của biến trường tại một điểm bất kì có tọa độ

(x,y) được suy ra từ các giá trị biến trường tại các nốt. Ví dụ, cho phần tử ba

nốt biểu diễn trên đây, giả sử giá trị của trường được xác định tại các nốt 1, 2,

và 3 lần lượt được xác định là và , ta có thể tìm biến trường bằng biểu

thức gần đúng dưới đây:

Á(x; y) = N1(x; y)Á1 + N2(x; y)Á2 + N3(x; y)Á3Á(x; y) = N1(x; y)Á1 + N2(x; y)Á2 + N3(x; y)Á3 (1)

Trong đó và là các hàm ngoại suy (interpolation functions) hay

hàm định dạng (shape functions) thỏa mãn một số điều kiện nhất định tại các

nút. Thông thường, người ta sử dụng các hàm ngoại suy dạng đa thức. Nếu các

biến trường là vô hướng (như nhiệt độ trong bài toán truyền nhiệt chẳng hạn),

thì các phần tử tam giác cho bởi phương trình (1) được gọi là có 3 bậc tự do.

Nếu biến trường là một véc tơ, ví dụ như véc tơ độ dịch chuyển trong phương

trình truyền sóng 2 chiều thì các phần tử tam giác này có 6 bậc tự do. Tóm lại,

số bậc tự do của phần tử bằng tích của số nốt của phần tử với số giá trị cần tính

của biến trường tại một nốt.

Một chương trình tính toán sử dụng FEM thường có 3 giai đoạn:

a) Giai đoạn tiền xử lý, cần có những thủ tục:

-Định nghĩa vùng xác định hình học của bài toán

-Định nghĩa loại phần tử sẽ được sử dụng


18

-Định nghĩa tính chất hình học của phần tử

-Định nghĩa tính chất vật liệu cho phần tử

-Định nghĩa liên kết giữa các phần tử để tạo lưới (assembling)

-Định nghĩa các điều kiện ràng buộc vật lý (điều kiện biên)

b) Thiết lập tính toán

-Tính toán các biến trường cơ bản

-Tính toán các biến trường thứ phát

c) Hậu xử lý

-Kiểm tra tính hội tụ của nghiệm

-Kiểm tra tính vật lý của nghiệm

2.2 Phương pháp trọng số thặng dư và Garlerkin FEM

Vấn đề mà luận văn này quan tâm tới cũng giống như phần lớn các bài

toán trong khoa học và kĩ thuật đều được quy định bởi một phương trình vi đối

với biến vật lý tương ứng, thỏa mãn những điều kiện biên nhất định. Trong một

số trường hợp đơn giản ta có thể tìm nghiệm chính xác của bài toán (lời giải

mạnh strong formulation). Tuy nhiên, trong đại đa số các trường hợp, sự phức

tạp của phương trình vật lý cùng với sự phức tạp trong cấu trúc hình học của

miền xác định và điều kiện biên khiến cho khả năng tìm được nghiệm chính

xác là thấp, ta phải phát triển những kĩ thuật để tìm nghiệm gần đúng của

phương trình và Galerkin FEM là một trong những kĩ thuật này. Galerkin FEM

được phát triển dựa trên một kĩ thuật gần đúng cơ bản hơn: Phương pháp trọng

số thặng dư.

2.2.1 Phương pháp trọng số thặng dư

Phương pháp trọng số thặng dư là phương pháp gần đúng để giải quyết

các phương trình vi phân bằng cách sử dụng một tập hợp hàm cơ bản được chọn

thỏa mãn trước các điều kiện biên, và sử dụng một tích phân để tối thiểu hóa

sai số trung bình trên toàn bộ miền xác định của bài toán. Để đơn giản, chúng

tôi trình bày ở đây một ví dụ. Xét phương trình vi phân một chiều


19

(2)

với điều kiện biên

(3)

Phương pháp trọng số thặng dư tìm nghiệm gần đúng của phương trình

dưới dạng:

(4)

Với là nghiệm gần đúng, được biểu diễn dưới dạng một tổ hợp của các

tích giữa hằng số cần được xác định với hàm thử . Điều kiện tiên quyết

với hàm thử là chúng liên tục trên vùng đang được xét và thỏa mãn chính xác

các điều kiện biên. Thay nghiệm ở phương trình (4) vào phương trình (2) ta

định nghĩa sai số thặng dư như sau:

(5)

ở đó là phần thặng dư. Chú ý rằng thặng dư cũng là một hàm

của các hệ số . Phương pháp trọng số thặng dư đòi hỏi rằng, các hệ số được

tìm sao cho

(6)

với là tập hợp hàm trọng số ngẫu nhiên. Ta thấy rằng, tích phân

trên cho ta một hệ n phương trình tuyến tính với cho n ẩn số . Phương trình

(6) đòi hỏi rằng tổng các sai số với trọng số bất kì trên toàn bộ miền xác định

là bằng 0. Chúng ta cần chú ý rằng, do điều kiện rằng các hàm thử thỏa mãn

điều kiện tại các biên, nên lời giả là chính xác tại biên, tuy vậy tại một điểm bất

kì, lời giải có sai số khác 0. Phương pháp trọng số thặng dư có thể tìm thấy lời

giải trùng với nghiệm chính xác trong một số trường hợp đặc biệt, nhưng do

“may mắn” hơn là có tính quy luật. Trong các trường hợp 2, 3 chiều việc tìm

ra các hàm thử thích hợp cho phương trình vi phân cũng là việc tương đối khó

khăn. Ta có thể thấy một số các biến thể của phương pháp trọng số thặng dư

như phương pháp lặp điểm, lặp vùng con, bình phương tối thiểu hay phương


20

pháp Galerkin. Trong phương pháp Galerkin, hàm trọng số được chọn trùng

với hàm thử:

(7)

Bởi vậy, các ẩn số được xác định bởi n phương trình:

(8)

2.2.2 Phương pháp Galerkin cho phần tử hữu hạn

Phương pháp trọng số thặng dư đã trình bày trong phần trên sử dụng các

hàm thử có tính toàn cục, tức là mỗi hàm thử được sử dụng trong toàn miền và

từng hàm đều thỏa mãn điều kiện biên. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày

sự ứng dụng của phương pháp này trong FEM.

Giả sử chúng ta xem xét phương trình vi phân một chiều

(9)

thỏa mãn điều kiện biên

(10)

Chia miền xác định thành M “phần tử” bởi M+1 điểm chia sao cho

và . Ta tìm nghiệm của phương trình dưới dạng

(11)

ở đó là lời giải tại nốt thứ ( ) cần phải tìm trong bài toán và

là hàm thử tương ứng. Ở đây có sự khác biệt lớn hàm thử trong FEM: Các hàm

chỉ nhận giá trị khác 0 trong khoảng . Hàm thử đơn giản

nhất có dạng đa thức bậc nhất được định nghĩa như sau:

(12)


21

Ta thấy rõ ràng rằng các hàm thử không gì khác chính là các hàm ngoại

suy tuyến tính sao cho nghiệm trong khoảng [ ] là tổ hợp tuyến tính

của các giá trị nốt lân cận và . Ví dụ, trong khoảng ta có:

(13)

Chú ý rằng các hàm thử ở đây được chọn là tuyến tính. Các hàm ngoại suy

dạng đa thức bậc cao hơn cũng có thể được sử dụng. Thay biểu thức của

vào phương trình (9), ta có biểu thức của thặng dư :

(14)

Áp dụng phương pháp trọng số thặng dư Galerkin, lấy các hàm trọng số

giống hệt các hàm thử, ta thu được

(15)

với . Chú ý rằng trong khoảng chỉ có hai hàm thử

là khác 0, do vậy phương trình trên chuyển thành

(16)

Tính tích phân trên ta được hệ phương trình cho giá trị cần

tính của các giá trị nốt . Công thức này gọi là công thức yếu (weak

formulation) với ý nghĩa nghiệm là gần đúng. Việc thiết lập công thức yếu cho

hệ đang khảo sát làthao tác quan trọng nhất của phương pháp Galerkin FEM.

Công thức 16 có thể viết lại dưới dạng ma trận:

(17)

[K] được gọi là ma trận độ cứng của hệ (stiffness matrix), {y} là véc tơ

“dịch chuyển” ở các nốt và {F} là véc tơ “lực” tại các nốt. Phương trình 17 là

dạng hình thức của Galerkin FEM, bao gồm cả bước tính toán cho từng phần

tử và bước kết nối các phần tử. Như đã nói ở trên, phương trình 17 biểu diễn

một cách nguyên tắc phương pháp Galerkin FEM. Trong các tính toán thực tế


22

khi số phần tử là rất lớn, ma trận độ cứng có số chiều lớn và không thể tính toán

trực tiếp được. Người ta thường tính ma trận độ cứng cho từng phần tử và dùng

kĩ thuật kết nối để tạo ma trận độ cứng toàn cục.

2.3 Quy trình thực hiện Galerkin FEM

2.3.1 Giải phương trình vi phân đơn giản bằng Galerkin FEM

Để minh họa, chúng tôi sẽ các bước ứng dụng của phương pháp Galerkin

FEM để giải một phương trình vi phân, từ đó tóm lược các bước thực hiện

Galerkin FEM. Để tiện so sánh kết quả, ta chọn phương trình vi phân đơn giản

có nghiệm giải tích

(18)

thỏa mãn điều kiện biên

(19)

Phương trình này có nghiệm giải tích là . Bây giờ ta sẽ giải

phương trình này bằng phương pháp Galerkin FEM

Thiết lập công thức yếu cho bài toán

Lấy là hàm thử thỏa mãn các điều kiện biên

(20)

Nhân phương trình với và lấy tích phân trên miền xác định, ta có

(21)

Lấy tích phân từng phần ta được:

(22)

Do điều kiện biên , ta thu được

(23)

Đây là công thức yếu (weak formulation) của phương trình.

Phần tử và nốt


23

Ta chia miền xác định [0,1] thành N đoạn thẳng bằng nhau, mỗi đoạn

thẳng có độ dài . Định nghĩa các điểm nốt

(24)

Lúc đó, đoạn thẳng thứ k được giới hạn bởi , ta định nghĩa

đây là phần tử thứ k. Tập hợp các nốt và phần tử được gọi là một lưới phần tử.

Hình 2.3 Biểu diễn các phần tử và các nốt cho trường hợp N=5.

Hình 2.3 Lưới các phần tử của bài toán trong miền xác định [0,1]

Hàm cơ sở

Với phép chia lưới phần tử như ở trên, ta có:

(25)

Bởi vậy các hàm thử là

(26)

(27)

(28)

Thiết lập hệ phương trình tuyến tính

Ta tìm lời giải dưới dạng

(29)

Do tính chất của các hàm thử, ta có thể thấy các lời giải ở nốt thỏa mãn

(30)

Đạo hàm của lời giải là


24

(31)

Thay vào công thức yếu, ta được

(32)

hay

(33)

hoặc dưới dạng ma trận:

(34)

ở đó

(35)

(36)

. Các phần tử ở hàng thứ nhất (i=1) là

(37)

(38)

Đóng góp địa phương của từng phần tử và ráp nối toàn cục (assembling)

Ta có thể viết

(39)

(40)

Ta có thể thấy đóng góp cho từ phần tử k là

(41)


25

Ta thấy rằng trong khoảng [ ] chỉ có các hàm là khác 0, bởi

vậy tích phân trên chỉ đóng góp các số hạng khác 0 vào các phần tử

. Ma trận 2x2 này được gọi là ma trận độ cứng địa

phương của phần tử thứ k . Tuy vậy do dạng của hàm thử và cách chia

phần tử là đồng nhất nên ta thấy ma trận này không thay đổi với mọi phần tử.

Thay giá trị của hàm cơ sở vào ta tính được:

(42)

Tương tự ta có

(43)

Việc thiết lập ma trận toàn cục từ từng phần tử được gọi là kỹ thuật ghép

nối (assembling). Sự thành lập ma trận độ cứng toàn cục được minh họa theo

quy tắc dưới bảng sau.

Chỉ số trong ma trận

độ cứng cục bộ

Chỉ số trong ma trận

độ cứng toàn cục

Chỉ số trong véc

tơ lực cục bộ

Chỉ số trong

véc tơ lực cục

bộ

Hàng Cột Hàng Cột Cột Cột

1 1 k k 1 k

1 2 k k+1

2 1 k+1 k 2 k+1

2 2 k+1 k+1

Bảng 2: Vị trí của các phần tử của ma trận độ cứng và véc tơ lực cục bộ

trong biểu diễn toàn cục

Giải hệ phương trình

Lời giải FEM của phương trình tương ứng với số phần tử khác nhau cho

lưới được biểu diễn trong Hình 2.3 so sánh với lời giải giải tích. Ta thấy số

phần tử càng lớn thì lời giải FEM càng tiệm cận lời giải giải tích.


26

Hình 2.3 Lời giải FEM với số phần tử bằng 2 (đường liền nét, màu vàng),

bằng 5 (liền nét, màu đỏ) và bằng 10 (đường chấm trắng) so sánh với lời giải

giải tích (đường liền nét, màu xanh) của phương trình

2.3.2 Tóm lược quy trình giải thuật Galerkin FEM

Qua ví dụ trên ta có thể tóm lược lại các bước giải thuật Galerkin FEM

như sau:

Bước 1: Thiết lập công thức yếu (weak formulation) với hàm thử thỏa mãn

điều kiện biên của phương trình vật lý.

Bước 2: Định nghĩa lưới các phần tử hữu hạn bằng cách chia miền xác

định thành những phần nhỏ và xác định các nốt của các phần tử.

Bước 3: Dựa trên định nghĩa phần tử và vị trí các nốt, thiết lập công thức

cho hệ các các hàm cơ sở.

Bước 4: Biến đổi công thức yếu của bài toán để xác định hệ phương tình

tuyến tính mà hệ phải thỏa mãn.

Bước 5: Tính toán đóng góp địa phương của các phần tử và thực hiện ráp

nối toàn cục.


27

Bước 6: Giải hệ phương trình tuyến tính và lấy ra nghiệm của phương

trình.


28

Chương 3. SỰ TRUYỀN CỦA SÓNG DẪN SIÊU ÂM

TRONG CẤU TRÚC ĐA LỚP MÔ TẢ

XƯƠNG DÀI

3.1 Sóng dẫn và phép định lượng sóng dẫn siêu âm trong xương dài

Như đã trình bày trong chương 1, cấu hình đo truyền dọc thường được

sử dụng để khảo sát tính chất của các xương dài [17]. Cấu hình này sử dụng

một hay một tập hợp các điện cực thu và một hay một tập hợp các điện cực thu

nằm trên một trục song song với trục xương và trên cùng một mặt phẳng của

cấu trúc xương. Mặt trên của lớp xương có thể được phủ một lớp da, mặt dưới

của bản xương có thể tiếp xúc với lớp tủy sống. Sóng siêu âm phát ra từ nguồn

phát (transmitter), truyền đi trong cấu trúc xương, và được ghi lại bởi các điện

cực thu (receivers) tại các vị trí khác nhau bằng cách di chuyển điện cực thu

dọc theo trục của xương hoặc sử dụng một mảng các điện cực thu offset.

Hình 3.1 Sơ đồ cấu hình đo truyền dọc trong phép định lượng siêu âm

xương

Sự hiểu biết lý thuyết sóng là cần thiết để phân tích và đoán nhận tín hiệu.

Từ góc độ toán học, sóng truyền trong xương là nghiệm của phương trình sóng

trong môi trường đàn hồi. Phương trình sóng này được rút ra tử phương trình

định luật 2 Newton (biểu diễn mối liên quan giữa lực tác dụng và đạo hàm bậc

2 theo thời gian của độ dịch chuyển của các phần tử vật chất) và định luật

Hook’s (liên hệ tensor nén với tensor độ biến dạng thông qua tensor đàn hồi).

Xét trường hợp khi môi trường là đồng nhất và đẳng hướng, phương trình này

Nguồn phát

Nguồn thu


29

gọi là phương trình Navier [25]. Cho các môi trường kích thước vô cùng lớn

và không bị giới hạn bởi các mặt phân cách, phương trình sóng viết được thành

hai thành phần độc lập:

(44)

(45)

ở đó

(46)

ở đó và lần lượt là các hệ số Lamé liên quan đến các tensor stress và strain

và là khối lượng riêng của môi trường. Nghiệm của phương trình sóng cho ta

hai loại sóng độc lập: Một sóng dọc thường được gọi là L-wave truyền với vận

tốc , và một sóng ngang thường được gọi là wave truyền với

vận tốc . Khi xét đến tính không đồng nhất của môi trường, phương

trình sóng trở thành phương trình Christoffel [25]. Số nghiệm thu được cho các

sóng khối là 3: một sóng dọc L-wave có vận tốc pha lớn nhất và hai sóng ngang

nằm trên mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng dọc là các sóng SH và

SV truyền theo phương Ox. Trong trường hợp tổng quát môi trường các sóng

khối là giả dọc hay giả ngang.

Mẫu xương trong thực tế không phải là môi trường vô hạn mà nó có kích

thước nhất định và phân cách với môi trường bên ngoài bởi các mặt phân cách.

Lúc đó, sóng truyền trong xương không những bị quy định bởi phương trình

sóng (các phương trình Navier, Christoffel như đã nói ở trên) mà còn bị ràng

buộc bởi một loạt các phương trình biểu diễn điều kiện biên. Điều kiện biên

cứng (nghĩa là sự triệt tiêu của véc tơ độ dịch chuyển và tensor độ nén tại mặt

phân cách) hoặc điều kiện biên liên tục (nghĩa là sự liên tục của véc tơ độ dịch

chuyển và của tensor độ nén khi đi qua mặt phân cách) thường được sử dụng

trong các bài toán. Một số hiện tượng vật lý xảy ra tại mặt phân cách có thể


30

hiểu như là biểu hiện vật lý của điều kiện biên: phản xạ, tán xạ và hiện tượng

đổi modes. Hiện tượng đổi modes xảy ra khi sóng tới đến theo một góc xiên

với mặt phân cách. Giả sử sóng dọc tới chạm tới mặt phân cách dưới một góc

khác trực giao, tồn tại một thành phần áp lực song song với mặt phân cách có

thể gây ra dịch chuyển của các hạt dẫn đến sự hình thành sóng ngang, đây chính

là hiện tượng chuyển mode sóng. Theo đó, cho sóng L‐wave tới, ta có thể có

sóng phản xạ kiểu L và kiểu S và sóng tán xạ trong môi trường thứ hai kiểu L

hay kiểu S. Do các biên sóng truyền trong môi trường hữu hạn là chồng chập

tuyến tính của các sóng khối L và S sau một cơ số các lần bị phản xạ, tán xạ và

chuyển modes tại mặt phân cách, gọi là các sóng dẫn. Ta thấy, vật rắn với kích

thước vô hạn chỉ cho một số hữu hạn các kiểu sóng được truyền đi (1 L-wave

và 2 S-waves). Ngược lại, vật có kích thước hữu hạn cho phép vô số các kiểu

(mode) sóng truyền trong nó.

Bó sóng trong bản phẳng đồng nhất đẳng hướng là bài toán tiêu biểu về

sóng dẫn. Các sóng dẫn trong bản phẳng đồng nhất được gọi là sóng Lambs

Các modes sóng trong sóng Lamb chia làm hai loại tùy theo tính chất của dao

động: loại thứ nhất là các modes sóng đối xứng kí hiệu là , với

và loại thứ hai là kiểu bất đối xứng kí hiệu , Liên hệ giữa vận

tốc pha và tần số của các kiểu sóng Lamb được rút ra từ nghiệm thực của các

phương trình:

(47)

Cho kiểu sóng đối xứng và

(48)

cho kiểu sóng phản xứng. Ở đây, , với là vận tốc pha của bó sóng.

, và là vận tốc của các sóng khối kiểu

dọc và kiểu ngang, h là độ dày bản xương

Định nghĩa vận tốc nhóm của bó sóng bằng biểu thức


31

vg =d!

dk= c2

p

µ

cp ¡ !dcp

d!

¶¡1

vg =d!

dk= c2

p

µ

cp ¡ !dcp

d!

¶¡1

(49)

Vận tốc nhóm thường được hiểu như là vận tốc của năng lượng hoặc các

thông tin truyền đi được theo phương truyền của sóng

Hình 3.2 Hệ thức tán sắc của các sóng dẫn Lamb đối xứng An và phản

xứng Sn

Sự phụ thuộc của vận tốc pha và vận tốc nhóm vào độ lớn của tần số được

gọi là hệ thức tán sắc được biểu diễn trên Hình 3.2

Sự thay đổi trên các hệ thức tán sắc của sóng dẫn có thể phản ánh sự thay

đổi hình dạng hay tính đẳng hướng/ bất đẳng hướng của môi trường, chính vì

Vận

tốc

pha

(km/s)

Vận

tốc

nhóm

(km/s)

Tần số x Độ dày bản xương [f(MHZ) x d(mm)]

Tần số x Độ dày bản xương [f(MHZ) x d(mm)]


32

vậy, sóng dẫn trong xương là một đối tượng nghiên cứu khá hấp dẫn. Trong

cấu hình đo truyền dọc, người ta thấy rằng tín hiệu tới đầu tiên là thành phần

tần số thấp của sóng , tiếp sau đó đến các thành phần tương ứng với vận tốc

sóng khối kiểu L rồi tiếp đến là sóng kiểu [18,26]. Người ta cũng thấy rằng

sóng tới với biên độ rất nhỏ trong khi tới với biên độ lớn hơn nhiều. Tại

miền tần số thấp, modes sóng ít bị tán sắc và vận tốc của mode sóng

này là một hằng số phụ thuộc vào khối lượng riêng của môi trường tuy nhiên

lại không phụ thuộc nhiều vào độ dày của bản xương phẳng. Ngược lại, sóng

lại phản ánh tương đối tốt sự phụ thuộc vào độ dày bản xương và ít nhạy

cảm với tính dị hướng hay không đồng nhất của vật liệu xương.

Sự phức tạp của cấu trúc hình học, tính không đồng nhất và không đẳng

hướng của xương thường làm cho việc giải bài toán bó sóng trở nên phức tạp

và trong hầu hết các trường hợp, chúng ta chỉ có các lời giải số hoặc bán giải

tích. Nhu cầu hiểu biết về sự đóng góp của các mode sóng Lamb vào tín hiệu

siêu âm là động lực khiến chúng tôi thực hiện tính toán số mô phỏng sự truyền

của sóng dẫn siêu âm trong cấu trúc xương trong luận văn này.

3.2 Mô hình đa lớp cho xương dài

Hình 3.3 Mô hình đa lớp mô tả xương dài

Thông thường trong các thí nghiệm, người ta xem xét mẫu xương dài mặt

trên được phủ hoặc không bởi một lớp da mềm và mặt dưới có thể tiếp xúc hay

không với một lớp tủy sống. Về mặt vật lý, bản xương có thể coi như một môi

Nguồn phát Đầu thu

Tủy sống (lỏng)

Xương đặc (rắn)

Da mềm (lỏng)


33

trường rắn trong khi da và tủy sống mang tính chất của chất lỏng. Mô hình của

xương dài bởi vậy có thể coi như một cấu trúc đa lớp gồm một lớp chất rắn

kẹp giữa hai lớp chất lỏng (da) và (tủy) như Hình 3.3. Cho cấu hình

truyền dọc, các nguồn phát và thu được đặt ở trên mặt trên của lớp chất lỏng

. Mặt dưới của lớp tủy tiếp xúc với không khí. Ta gọi các biên giữa

và lần lượt là và . Các biên với không khí lần lượt là .

3.3 Phương trình truyền sóng

3.3.1 Phương trình truyền sóng trong chất rắn

Tín hiệu sóng siêu âm thu được là lời giải của phương trình truyền sóng

cho chuyển động của các phần tử trong hệ mô tả ở phần 3.1 dưới tác động của

nguồn phát. Phương trình truyền sóng trong lớp rắn được cho bởi:

(50)

ở đó là khối lượng riêng của môi trường rắn. là véc tơ hai

thành phần cho độ dịch chuyển, là toán tử vi phân được biểu diễn dưới dạng:

(51)

ở đó và:

(52)

là biểu diễn rút gọn của ten xơ ứng suất . Biểu diễn

rút gọn của ten xơ biến dạng liên hệ với độ dịch chuyển

bởi:

(53)

Phương trình liên hệ giữa ứng suất và độ biến dạng là:

(54)

Với


34

C =

0

@c11 c12 c16

c12 c22 c26

c16 c26 c66

1

A ; ´ =

0

@´11 ´12 ´16

´12 ´22 ´26

´16 ´26 ´66

1

A ;C =

0

@c11 c12 c16

c12 c22 c26

c16 c26 c66

1

A ; ´ =

0

@´11 ´12 ´16

´12 ´22 ´26

´16 ´26 ´66

1

A ; (55)

tương ứng là ten xơ độ cứng và độ nhớt. Với giả thiết môi trường là đồng

nhất và đẳng hướng, ta chỉ có các phần tử là khác không, liên hệ

với nhau bởi Các phần tử có độ lớn phụ thuộc vào

khối lượng riêng của chất rắn và các vận tốc sóng nén, sóng trượt theo công

thức:

(56)

Ten xơ độ nhớt cho phép ta đưa vào tính toán sự hấp thụ sóng siêu âm

của vật liệu theo cách đơn giản nhất. Các phần tử của ma trận này liên hệ với

các hệ số suy giảm của sóng nén và sóng trượt theo công thức:

(57)

Trong đó , là tần số ở đó người ta đo hệ số suy giảm.

3.3.2 Phương trình truyền sóng trong chất lỏng

Trong các lớp chất lỏng , phương trình truyền sóng là

(58)

đó là áp suất chất lỏng trong các môi trường . và tương

ứng là hệ số khối và khối lượng riêng của chất lỏng. là tín hiệu nguồn phát.

Vận tốc sóng âm truyền trong các chất lỏng được tính bằng:

(59)

3.3.3 Các điều kiện biên

Điều kiện biên diễn tả sự liên kết giữa các lớp của mô hình. Điều kiện

biên đòi hỏi sự liên tục của thành phần trực giao của vận tốc và của ứng suất

khi đi qua mặt phân cách rắn/ lỏng và sự triệt tiêu của chúng tại các mặt biên

tự do:

(60)

(61)


35

(62)

Một cách tường minh, các điều kiện biên này được viết:

(63)

(64)

3.4 Giải phương trình bằng phương pháp phần tử hữu hạn bán giải tích

Để giải các phương trình sóng đã trình bày trong phần 3.1, trong lĩnh

vực siêu âm xương, người ta dùng hai phương pháp số truyền thống. Phương

pháp biến phân hữu hạn miền thời gian ( Finite Difference Time Domain-

FDTD) được ứng dụng trong các công trình kinh điển của siêu âm xương. Dựa

trên phương pháp FDTD, một số các phần mềm, cả thương mại lẫn miễn phí,

được thiết kế phát triển dành riêng cho mô phỏng xương, như Wave2000‐3000

(@Cyber Logic) or Simsonic (simsonic.fr). Tuy nhiên, điểm yếu của FDTD là

tính toán bị sai số khá lớn khi cấu trúc hoặc tính chất của xương là phức tạp.

Phương pháp thứ 2 là phương pháp phần tử hữu hạn như mô tả trong chương

2, linh hoạt trong việc mô tả hình dạng xương và cho phép bao gồm trong tính

toán tính chất hấp thụ sóng của xương. Bởi vậy cho đến nay, FEM là phương

pháp phù hợp nhất để mô phỏng xương. Tuy vậy, FEM có nhược điểm là đòi

hỏi thời gian tính toán rất lớn. Trong công trình [27], tiến sĩ Nguyễn Vũ Hiệu

cùng với cộng sự đã đề xuất kết hợp FEM với biến đổi Fourrier-Laplace để

giúp giảm thời gian tính toán xuống rất thấp. Phương pháp này gọi là phần tử

hữu hạn bán giải tích (SAFE). Các bước chính của phương pháp SAFE có thể

được tóm tắt lại trong các bước sau:

Bước 1: Áp dụng phép biến đổi Laplace trên biến thời gian t và phép biến

đổi Fourier trên biến không gian x cho áp suất chất lỏng và véc tơ độ dịch

chuyển (x,y,t) :


36

(65)

(66)

với lần lượt là các biến Laplace và Fourier. Các phương trình truyền sóng

được đưa về phương trình vi phân một chiều với biến y.

Bước 2: Thực hiện các quy trình của phương pháp phần tử hữu hạn mô

tả trong chương 2 trên phương trình vi phân một chiều trên miền tần số vừa thu

được ở bước 1. Theo đó, cho mỗi giá trị ( ), các nghiệm nốt cho áp suất và

độ dịch chuyển được tính toán bằng cách giải phương trình:

(67)

ở đó

(68)

Ta thấy trong ma trận độ cứng toàn cục này, các số hạng ngoài đường

chéo thể hiện sự liên kết giữa các lớp chất lỏng và chất rắn. Chi tiết về sự thiết

lập công thức yếu, đóng góp địa phương của từng phần tử và sự kết nối phần

tử thành ma trận toàn cục có thể tham khảo trong các tài liệu [27-29].

Bước 3: nghiệm không thời gian trên miền ( ) được tìm lại bằng cách

sử dụng hai phép biến đổi ngược: biến đổi Fourrier ngược sử dụng kĩ thuật FFT,

và biến đổi ngược Laplace sử dụng phương pháp tích chập cầu phương.

3.5 Các tham số dùng trong mô phỏng

Trong luận văn này chúng tôi thực hiện mô phỏng cho hai trường hợp: (i)

một lớp xương phẳng đặt trong không khí và (ii) xương phẳng được phủ một

lớp mô mềm đặt trong không khí. Chúng tôi chọn các tham số cho mô phỏng

như trong tài liệu tham khảo [30], ở đó tính chất của cấu trúc tương tự như tính

chất của xương ống bò. Các thông số cho mẫu xương được trình bày trong Bảng

3.1.


37

Nguồn phát có kích thước rộng 0.7mm phát ra tín hiệu dạng sin với biên

độ biến điệu kiểu Gaussian, tới nghiêng một góc ®® với pháp tuyến bản xương:

s(t) = A sin(2¼fct)e¡4[fct¡1]2s(t) = A sin(2¼fct)e¡4[fct¡1]2 (69)

ở đó fcfc là tần số trung tâm của nguồn phát. Đầu thu có dạng điểm gồm 64 phần

tử nằm cách đều nhau và hai đầu thu liên tiếp nằm cách nhau 0.0704mm và ở

đây ta giả thiết rằng góc thu tín hiệu là đồng bộ với góc chiếu. Tín hiệu thu

được được tính bằng hình chiếu của véc tơ độ dịch chuyển các phần tử môi

trường tại điểm đặt đầu thu lên trục của đầu thu.

Các thông số cho phần tử hữu hạn như sau: Các biến phân theo trục x có giá

trị khoảng 1/10 bước sóng ngắn nhất của hệ và biến phân thời gian được chọn

lần lượt là là mm và . Độ dài của xương được chọn đủ lớn

để tránh các sóng phản xạ lại từ biên. Độ dày xương 6.5mm và lớp mô

hf = 4hf = 4mm được chia làm 20 phần tử mỗi lớp. Phần tử có dạng 3 nốt. Trường

sóng được mô phỏng trong khoảng thời gian .

Xương Da/tủy

Độ dày 6.5 mm 4.0 mm

Khối lượng riêng 1850 kg/m3 1000 kg/m3

Vận tốc sóng nén 4000 m/s 1500 m/s

Vận tốc sóng trượt 1800 m/s 0

Hệ số hấp thụ sóng nén 5 dB/cm 0

Hệ số hấp thụ sóng trượt 11 dB/cm 0

Bảng 3.1 Các thông số của bản xương dùng trong mô phỏng

3.6 Bản xương phẳng đặt trong không khí

3.6.1 Tín hiệu miền thời gian

Chúng tôi biểu diễn trong mục này kết quả mô phỏng cho mô hình chỉ

gồm một lớp xương phẳng đặt trong không khí. Hình 3.4 biểu diễn tập hợp 32


38

tín hiệu sóng theo thời gian với góc tới và góc thu tín hiệu là 30 độ. Mỗi tín

hiệu đều đã được chuẩn hóa bằng cách chia cho biên độ lớn nhất của chúng và

chúng tôi không áp dụng phương pháp lọc sóng nào. Ta có thể phân biệt được

hai nhóm sóng: Nhóm thứ nhất có vận tốc khá lớn tuy nhiên có biên độ suy

giảm nhanh theo khoảng cách, và nhóm thứ hai có vận tốc chậm hơn và sự suy

giảm biên độ cũng nhỏ hơn. Nhóm thứ nhất có thể đoán nhận là các sóng khối

tần số cao, trong khi đó nhóm thứ hai là các sóng dẫn với tần số thấp và độ suy

giảm thấp hơn [30]. Ngoài ra chúng ta quan sát thấy một sóng có cường độ rất

mạnh và gần như không bị suy giảm, truyền với vận tốc khoảng 1.7km/s gần

bằng vận tốc của sóng bề mặt Rayleigh.

Hình 3.4 Bản xương phẳng trong không khí: tín hiệu miền thời gian

3.6.2 Biến đổi Randon và hệ thức tán sắc


39

Hình 3.5: Các modes sóng Lamb được kích thích

Để có được thông tin chính xác về vận tốc của các kiểu sóng dẫn, chúng

ta sử dụng biến đổi Randon [31] để biểu diễn phổ biên độ sóng theo vận tốc và

tần số của chúng. Kết quả được đưa ra trên Hình 3. 4.

Ta thấy có nhiều kiểu sóng dẫn đồng thời được kích thích bởi nguồn sóng

và truyền trong xương trong một khoảng giá trị khá lớn của vận tốc. Đường

màu trắng biểu diễn hệ thức tán sắc theo lý thuyết của sóng Lamb cho thấy sự

phù hợp giữa kết quả mô phỏng và lý thuyết truyền sóng thông thường, khẳng

định sự đúng đắn của chương trình tính toán.

3.6.3 Ảnh hưởng của tần số sóng siêu âm

Bây giờ chúng ta sẽ đi khảo sát sự ảnh hưởng của tần số nguồn phát lên

sự hình thành của các kiểu sóng dẫn. Để làm vậy, chúng tôi giữ nguyên chiều

dày của xương, vị trí các nguồn thu và góc chiếu của chùm tới và thay đổi tần

số trung tâm của tín hiệu tới, lần lượt là và 1.25 MHz. Kết

quả được biểu diễn trên Hình 3.6 (a‐d). Ta thấy số kiểu sóng dẫn được kích

thích tăng dần theo tần số của nguồn phát. Tại =250KHz, ta thấy chỉ có ba

kiểu sóng bậc thấp và của sóng Lamb được kích thích. Ta cũng thấy

trên hình 3.6a rằng sóng dẫn có vận tốc lớn nhất xấp xỉ giá trị của sóng khối

dạng nén P-wave, có khả năng đóng vai trò sóng tới đầu tiên (FAS) trong phép

Vận

tốc

pha

(km/s)

Tần số (MHz)


40

đo chính là sóng dẫn kiểu A1. Sóng dẫn có vận tốc lớn thứ hai là sóng Lamb

kiểu A0, được sinh ở tần số quanh 200Khz và có vận tốc cỡ 2km/s. Tại 500

KHz, có 5 kiểu sóng bao gồm các kiểu sóng phản xứng và các kiểu sóng

đối xứng được kích thích. Tuy nhiên kiểu sóng được kích thích ở

vùng vận tốc thấp hơn và ít tán sắc hơn.

Tại các tần số cao hơn nữa, ta thấy các kiểu sóng dẫn bậc thấp dường như

“chuyển” bớt năng lượng của chúng để tạo ra các kiểu sóng dẫn bậc cao: ta thấy

có khoảng 7 kiểu sóng được tạo tại tần số 750MHz và 9 kiểu sóng được tạo tại

tần số 1.25Mhz.

Tần số (MHz)

Vận

tốc

pha

(km/s)

Vận

tốc

pha

(km/s)

Tần số (MHz)

Tần số (MHz)


41

Hình 3.6 Các sóng dẫn siêu âm hình thành trong xương với các tần số

trung tâm khác nhau của nguồn phát

3.6.4 Ảnh hưởng của độ dày bản xương

Giữ nguyên tần số bằng 1MHz, góc chiếu 30 độ, vị trí của các nguồn phát

và thu giống như trong phần 3.6.1 và thay đổi độ dày của xương, ta thấy số kiểu

sóng được kích thích là giảm theo độ dày của xương. Với độ dày xương bằng

2mm, chỉ có 3 kiểu sóng đầu tiên là , and có thể được quan sát. Cho

bản xương dày 4mm, 5 kiểu sóng và được quan sát và như ta đã

thấy có 7 kiểu sóng được quan sát khi độ dày xương là 6.5mm. Đồng thời, phần

Vận

tốc

pha

(km/s)

Vận

tốc

pha

(km/s)

Tần số (MHz)

Tần số (MHz)

Vận

tốc

pha

(km/s)

Tần số (MHz)


42

tán sắc của kiểu sóng có thể được quan sát tốt hơn trong xương mỏng còn

phần không tán sắc của nó sẽ rõ hơn trong xương dày (Hình 3.7).

Hình 3.7 Các sóng dẫn siêu âm trong các bản xương có độ dày khác

nhau

3.6.5 Ảnh hưởng của vị trí nguồn

Giữ tần số sóng tới ở 1MHz, độ dày xương 6.5mm và góc chiếu của sóng

tại 300. Tịnh tiến toàn bộ mảng đầu thu dọc theo trục x. Hình 3.8 biểu diễn các

trường hợp khi các đầu thu nằm trong khoảng [10-55] mm (a) và [35-80] (b)

tính từ nguồn phát. Ta thấy rõ ràng rằng độ phân giải tốt hơn cho bảng tán sắc

thu được với khoảng cách đầu phát-đầu thu nhỏ hơn.

Vận

tốc

pha

(km/s)

Vận

tốc

pha

(km/s)

Tần số (MHz)

Tần số (MHz)


43

Hình 3.8 Ảnh hưởng của vị trí nguồn thu lên sự quan sát các kiểu sóng

dẫn trong xương.

3.7 Bản xương phẳng phủ bởi lớp mô mềm

Trong mục này chúng tôi trình bày kết quả mô phỏng với mô hình xương gồm có 3

lớp: Lớp mô mềm có độ dày 4mm, lớp xương có độ dày 6.5mm và lớp tủy có độ dày

vô hạn, có thể coi như một nửa mặt phẳng. Các thông số của nguồn phát, đầu thu

được lấy giống như trong mục 3.6.1.

Tần số (MHz)

Tần số (MHz)

Vận

tốc

pha

(km/s)

Vận

tốc

pha

(km/s)


44

Hình 3.9 Tín hiệu miền thời gian và hệ thức tán sắc của tín hiệu thu được

trong trường hợp có mặt lớp mô mềm và tủy sống

Tập hợp 32 tín hiệu miền thời gian và hệ thức tán sắc của sóng dẫn siêu âm

trong trường hợp này được biểu diễn trên Hình 3.9. Ta nhận thấy rằng các kiểu

sóng dẫn dường như được kích thích tại cùng một giá trị vận tốc khoảng

4000m/s, tương đương với sóng đầu (head-wave) [32]. Do sự có mặt của lớp

mô mềm, khả năng quan sát các kiểu sóng dẫn siêu âm kém hơn hẳn trong

trường hợp chỉ có bản xương và không có lớp mô.


45

Kết luận chung

Trong luận văn này, chúng tôi đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn bán

giải tích (SAFE) để mô phỏng sự hình thành các sóng dẫn siêu âm trong xương

trong phép đo định lượng siêu âm sử dụng cấu hình đo truyền dọc. Các đóng

góp chính của luận văn là:

Áp dụng thành công phương pháp SAFE cho hai mô hình: xương như

một bản rắn phẳng và xương như một cấu trúc 3 lớp lỏng/rắn/lỏng. Ở đây

lớp rắn mô tả xương có tính chất đàn hồi –nhớt. Mô tả được tập hợp các

tín hiệu thu được tương tự như dữ liệu thực nghiệm và dùng phép biến

đổi Randon để khảo sát sự tán sắc của trường sóng được mô phỏng. Sự

phù hợp gần như tuyệt đối với kết quả tính toán lý thuyết khẳng định sự

chính xác của chương trình mô phỏng.

Khảo sát khả năng hình thành và quan sát các kiểu sóng dẫn vào một số

thông số của phép đo như tần số nguồn phát, độ dày bản xương, khoảng

cách giữa các đầu dò thu-phát.

Các kết quả mô phỏng có thể ứng dụng để thiết kế bộ tham số tối ưu trong phép

đo định lượng siêu âm cho xương dài.

Tuy vậy, do lý thuyết truyền sóng trong mô hình đa lớp là tương đối phức tạp

nên sự phân tích, đoán nhận kết quả mô phỏng trong phần 3.7 của luận văn còn

tương đối hạn chế. Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và khảo sát tác động của

các lớp chất lỏng đại diện cho da và tủy sống lên trường sóng thu được trong

thời gian sắp tới.


46

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] https://vi.wikipedia.org › wiki › Hệ_vận_động

[2] Haiat G. and Laugier P., Bone quantitative utrasound, Springer, 2006.

[3] W.N. McDicken, “Diagnostic ultrasonics”, John Wiley and Sons (1981).

[4] C. M. Langton, S. B. Palmer, and S. W. Porter, “The measurement of

broadband ultrasonic attenuation in cancellous bone,” Eng Med 13(2), 89–91

(1984).

[5] K. E. Fredfeldt, “Sound velocity in the middle phalanges of the human hand”

Acta Radiol Diagn 27, 95–96 (1986).

[6] D. Hans, S. Srivastav, C. Singal, R. Barkmann, C. Njeh, E. Kantorovich, et

al., “Does combining the results from multiple bone sites measured by a new

quantitative ultrasound device improve discrimination of hip fracture?,” J Bone

Miner Res 14, 644–651 (1999).

[7] A. J. Foldes, A. Rimon, D. D. Keinan, and M. M. Popovtzer, “Quantitative

ultrasound of the tibia: a novel approach assessment of bone status,” Bone 17(4),

363–367 (1995).

[8] . P. H. Nicholson, R. M¨ uller, G. Lowet, X. G. Cheng, T. Hildebrand, P. R¨

uegseger, G. van der Perre, J. Dequeker, and S. Boonen, “Quantitative ultrasound

measurement reflect structure independently of density in human vertebral

cancellous bone”, Bone 23(5), 425–431 (1998).

[9] C. Simonelli, R.A.Adler, G.M.Blake, J.P.Caudill, A.Khan, E.Leib,

M.Maricic, J.C.Prior, S.R.Eis, C.Rosen, and D.L.Kendler, “Dual-Energy X-Ray

Absorptiometry Technical issues: the 2007 ISCD Official Positions,” J Clin Densitom

11(1), 109-122 (2008).

[10] C. Simonelli, R.A.Adler, G.M.Blake, J.P.Caudill, A.Khan, E.Leib,

M.Maricic, J.C.Prior, S.R.Eis, C.Rosen, and D.L.Kendler, “Dual-Energy X-Ray

Absorptiometry Technical issues: the 2007 ISCD Official Positions,” J Clin Densitom

11(1), 109-122(2008).

[11] C. C. Gl¨ uer, R. Eastell, D. M. Reid, D. Felsenberg, C. Roux, R.

Barkmann, W. Timm T. Blenk, G. Armbrecht, A. Stewart, J. Clowes, F. E.


47

Thomasius, and S. Kolta, “Association of five quantitative ultrasound devices and

bone densitometry with osteoporotic vertebral fractures in a population-based

sample: the OPUS Study,” J Bone Miner Res 19(5), 782–793

(2004).

[12] H. McDevitt and S. F. Ahmed, “Quantitative ultrasound assessment of

bone health in the neonate,” Neonatology 91(1), 2–11 (2007).

[13] S. Chaffai, F. Peyrin, S. Nuzzo, R. Porcher, G. Berger, and P. Laugier,

“Ultrasonic characteriza tion of human cancellous bone using transmission and

backscatter measurements: relationships to density and microstructure,” Bone 30(1),

229–237 (2002).

[14] T. Otani, I. Mano, T. Tsujimoto, T. Yamamoto, R. Teshima, and H. Naka,

“Estimation of in vivo cancellous bone elasticity,” Jap J Appl Phys 48 (7)(2009).

[15] R. Barkmann, P. Laugier, U. Moser, S. Dencks, M. Klausner, F. Padilla,

G. Haiat, M. Heller and C. C. Gl¨ uer, “In vivo measurements of ultrasound

transmission through the human proximal femur,” Ultrasound Med Biol 34(7), 1186–

1190 (2008).

[16] F. Padilla, F. Jenson, and P. Laugier, “Estimation of trabecular thickness

using ultrasound ultrasonic baclkscatter,” Ultrasonic Imaging 28, 3–22 (2006).

[17]A.J. Foldes, A. Rimon, D. Keinan, M. Popovtzer,“Quantitative ultrasound

of the tibia: a novel approach for assessment of bone status”, Bone, 17, 363-

367 (1995).

[18] E. Bossy, M. Talmant, F. Peyrin, L. Akrout, P. Cloetens, and P. Laugier,

“An in vitro study of the ultrasonic axial transmission technique at the radius: 1-MHz

velocity measurements are sensitive to both mineralization and intracortical

porosity,” J Bone Miner Res 19(9), 1548–1556. Epub 2004 Jun 1542 (2004).

[19] K. Raum, I. Leguerney, F. Chandelier, E. Bossy, M. Talmant, A. Saied, F.

Peyrin, and P. Laugier, “Bone microstructure and elastic tissue properties are

reflected in QUS axial trans mission measurements,” Ultrasound Med Biol 31(9),

1225–1235 (2005).

[20] K. Raum, I. Leguerney, F. Chandelier, E. Bossy, M. Talmant, A. Saied, F.

Peyrin, and P. Laugier, “Bone microstructure and elastic tissue properties are


48

reflected in QUS axial trans mission measurements,” Ultrasound Med Biol 31(9),

1225–1235 (2005).

[21] Clough, R. J. “A Stiffness Method for the Analysis of Thin Plates in

Bending”, Journal of Aerospace Sciences, 28, no.1 (1961).

[22] David. V. Hutton, “Fundamental of Finite Element Method”, Elizabeth A.

Jones, 2004.

[23] Stasa F. L, Applied Element Analysis for Engineers. New York: Holt,

Riehart, and Winston, 1985.

[24] Burnett, D.S. Finite Element Analysis. Reading, MA: Addison-Wesley,

1987

[25] J. L. Rose, "Ultrasonic Wave in Solid Media", Chap. 1-12, Cambridge

University Press (2004).

[26] Nicholson PH, Moilanem P, Karkkainen T, Timonen “Guided ultrasonic

waves in long bones: modelling, experiment and in vivo application”, Physiol Meas.

23(4), 755-768 (2002).

[27] V.-H. Nguyen and Salah Naili, “Ultrasonic wave propagation in

viscoelastic cortical bone plate coupled with fluids: a spectral finite element study”

Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering 16, 693 (2013).

[28] V.-H. Nguyen and Salah Naili, “Simulation of ultrasonic wave

propagation in anisotropic poroelastic bone plate using hybrid spectral/finite

element method”, International Journal for Numerical Method in Biomedical

Engineering 28, 861 (2012)

[29] V.-H. Nguyen and S. Naili, “Simulation of transient ultrasonic wave

propagation in fluid-loaded heterogeneous cortical bone” Vietnam Journal of

Physics 33,225 (2011).

[30] L. H. Le, Y. J. Gu, Y. Li, and C. Zang, “Probing long bones with ultrasonic

body waves”, Applied Physics Letter 96, 114120 (2010).

[31] Tho N. H. T. Tran, Lawrence H. Le, Mauricio D. Sacchi,Vu-Hieu Nguyen

and Edmond H. M. Lou, “Multichannel filtering and reconstruction of ultrasonic

guided wave fields using time intercept-slowness”, J. Acoust. Soc. Am 136, 248

(2014).


49

[32] Ngô Đức Thiện, “Mô phỏng truyền sóng siêu âm trong bản xương đặc với

cấu hình đo truyền dọc”, Luận văn thạc sĩ (2015).

mÔ phỎng sÓng cƠ truyỀn trong cẤu trÚc Đa lỚp vÀ Ứng...

Documents